Тэта-функции на косых произведениях двумерных торов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Егоров, Дмитрий Владимирович

• Егоров, Дмитрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Егоров, Дмитрий Владимирович

1 Введение

1.1 Постановка задачи.

1.2 Симплектические и кэлеровы многообразия.

1.3 Классическая тэта-функция.

1.4 Общие результаты о вложении в комплексное проективное пространство

1.5 Ниль- и солвмногообразия.

1.6 Косые произведения двумерных торов.

1.7 План работы.

2 Тэта-функции на многообразии Кодаиры-Терстона

2.1 Свойства классической тэта-функции.

2.2 Тэта-функции многообразия Кодаиры-Терстона.

2.2.1 Тэта-функция — сечение линейного комплексного расслоения.

2.2.2 Мультипликативное свойство вкт.

2.3 Вложение Мкт в комплексное проективное пространство

2.4 Вложение является симплектпческим отображением

3 Тэта-функции на косых произведениях двумерных торов с нулевым классом Эйлера

3.1 Расслоения.

3.2 Тэта-функции на расслоениях.

3.2.1 вм — сечение линейного комплексного расслоения.

3.2.2 Мультипликативное свойство 9м

3.3 Вложение в комплексное проективное пространство

3.4 Вложение является симплектическим отображением

3.5 Связь с другими обобщениями тэта-функций.

Глава

Введение

1.1 Постановка задачи

В диссертации рассматривается важная и интересная задача симплектической геометрии — построение канонических симплектических вложений замкнутых многообразий с целочисленной симплектической формой в комплексное проективное пространство. Отображения вложения при этом строятся при помощи обобщенных тэта-функций.

Как известно, классическая тэта-функция абелева многообразия, с геометрической точки зрения, является сечением голоморфного линейного расслоения над комплексным тором. Классическая теорема Лефшеца утверждает, что сечения достаточно большой тензорной степени этого расслоения задают комплексно-аналитическое вложение абелева многообразия в некоторое комплексное проективное пространство.

Зададимся целью обобщить данную конструкцию на некоторые расслоения, где слои и база — одномерные комплексные торы. Мы вводим аналоги классических тэта-функций как сечения линейных комплексных расслоений над данными расслоениями. Нам однако придется отказаться от голоморфности вложения, так как на данных расслоениях, вообще говоря, нет не только кэлеровой структуры, но и комплексной. Тем не менее, данные многообразия являются симплектическими. Мы будем строить тэта-функции так, чтобы для них выполнялся симплектический аналог теоремы Лефшеца — тэта-функции с характеристиками, которые являются сечениями тензорной степени данного линейного расслоения, задают симплектическое вложение многообразия в С?*0 (для достаточно больших тензорных степеней). Симплектическое вложение означает, что вкладываемое многообразие наследует симплектическую структуру комплексного проективного пространства.

Автор благодарит Искандера Асановича Таймаиова за постановку задачи и терпение. Автор также благодарит Андрея Евгеньевича Миронова за полезные обсуждения.

1.2 Симплектические и кэлеровы многообразия

Гладкое многообразие М размерности 2п называется симплектическим, если на нем существует невырожденная дифференциальная 2-форма и, являющаяся замкнутой (с1ш ~ 0). Условие невырожденности можно определить двумя эквивалентными способами. Форма невырождена если для любого ненулевого касательного вектора и € ТМ существует касательный вектор г; £ ТМ такой, что со (и, у) 0, или эквивалентно шп ф 0 всюду на М, то есть шп пропорциональна форме объема.

Пусть (М,ш) и (N,00') обозначают два многообразия М, N с симплектическими формами о> и и/ соответственно. Отображение / : М N называется симплектическим отображением из (М, и) в (Аг, о/) если /*(и/) = со.

Исторически первыми примерами симплектических многообразий были кэлеровы многообразия. Компактное комплексное многообразие называется кэлеровым, если на нем существует эрмитова метрика Н^йг1^ такая, что ассоциированная с ней форма со = • А (№ замкнута, то есть (ко = 0. Сама метрика при этом тоже называется кэлеровой.

Таким образом все кэлеровы многообразия являются симплектическими. Возник естественный вопрос о том, существуют ли симплектические многообразия, не являющиеся кэлеровыми. Терстон в своей работе [1] привел первый пример такого многообразия. Позже выяснилось, что данный пример был ранее известен Кодаире [4], поэтому это многообразие называется многообразием Кодаиры-Терстона. Известно, что если многообразие кэлерово, то это налагает серьезные топологические ограничения. Так например, нечетномерные числа Бетти должны быть четны. Терстон для многообразия Кодаиры-Терстона вычислил Ь1, оказавшееся равным 3, и тем самым доказал, что данное многообразие не является кэлеровым.

Если класс когомологий [и;] формы ассоциированной с кэлеровой метрикой лежит в целочисленном классе когомологий, w] G Я2(М; Z) С Я2(М;Е), то данное многообразие называется ходжевым, а сама форма ходжевой. Целочисленность означает, что периоды из по всем циклам из Н2 (М; Z) являются целыми числами. Пример ходжева многообразия — это комплексное проективное пространство с формой, ассоциированной с метрикой Фубини-Штуди.

Пространство CP" определяется как фактор-пространство С™+1\{0} по действию С* = С\{0}:

Д ., zn) - (А*0, А*\., Аз"), А е С*.

На этом пространстве задана метрика Фубини-Штуди, имеющая в однородных координатах (z° : . \ zn) вид

Ej • (Efc dzkdzk) - (Е, • (Е, zkdzk)

Е,.^)

Этой эрмитовой метрике сопоставим однозначно форму

Е, ) • Efe dzk A dzk — (Ej A (Efc 2тг • (Efe zkzk)

Комплексное многообразие называется проективным алгебраическим, если оно вкладывается в комплексное проективное пространство CP" как множество нулей системы однородных многочленов.

Легко заметить, что свойства кэлеровостп и ходжевости наследуются подмногообразиями: если многообразие Y является подмногообразием кэлерова (ходжева) многообразия X, то кэлерова метрика (ходжева форма) на X индуцирует при вложении кэлерову метрику (ходжеву форму) на Y. Отсюда следует, что проективные алгебраические многообразия являются ходжевыми. Классическая теорема Кодаиры о вложении утверждает, что верно и обратное утверждение.

Теорема (Кодаира.). Комплексное многообразие проективно алгебраично тогда и только тогда, когда оно ходжево.

Доказательство теоремы Кодаиры состоит в построении вложения ходжева многообразия в проективное пространство достаточно большой размерности и применения следующей теоремы Чжоу.

Теорема (Чжоу). Аналитическое подмножество X с СРП выде,алетсл в пространстве CP'1 как множество нулей системы однородных многочленов, то есть является проективно алгебраическим многообразием.

Это одно из проявлений знаменитого принципа GAGA, «Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique», сформулированного Серром.

Для комплексных торов эквивалентность ходжевости и алгебранчности доказывается теоремой Лефшеца, в которой строится каноническое вложение торов в комплексное проективное пространство при помощи тэта-функций.

1.3 Классическая тэта-функция

Рассмотрим подробнее классическую тэта-функцию на п-мерном торе и теорему Лефшеца (см. например [17, 18]). Рассмотрим формальный ряд

17)= ехр(7гг"(Пт, т) + 2ттг(т, г)). (1.1)

Если мнимая часть матрицы положительно определена, то этот ряд сходится в любой компактной области в Сп и определяет целую функцию. Из (1.1) следует, что тэта-функция удовлетворяет условиям периодичности в(г + т,0.) = теЪп, (1.2) в (г + Г2т, О) = ехр (-т(0,т, т) - Ъп(т, г)) ■ в(г, П). (1.3)

С геометрической точки зрения, тэта-функция является сечением линейного голоморфного расслоения Ь над комплексным тором, СП/(ЖП + НО1). Сечения состоят во взаимно однозначном соответствии с функциями / на универсальной накрывающей тора С" такими, что /(г + Л) = где Л — элемент решетки Л = Хп + {2Ъп\ е\(г) — мультипликаторы, то есть ненулевые функции е\ : С —>■ С*, удовлетворяющие тождествам едС* + /0 ем(г) = е,((л + Л) е\(г) = еЛ+м(г), Л, ц в Л, е0(г) = 1.

Мультипликаторы следующим образом задают линейное расслоение над тором — прямое произведение Сп х С факторизуется по действию Л: з,го) ~ + \,ех(г)и1).

Для любой пары векторов а, Ь £ Еп определяется тэта-функция с характеристиками а и Ъ: в[а, Ь](г, Г2) = ^ ехр(7гг(0(ш + а), (га + а)) + 2т((т + а), (г + Ь))).

Из (1.4) следует, что тэта-функция с характеристиками удовлетворяет следующим условиям периодичности в[а,Ь](г + т, П) = ехр(2тН(т,а)) ■ в[а,Ь](г,П), тбГ (1.5) в[а, 6](г + Г2т, Г2) = схр (—7гг(Пгг, п) — 2т{п, (г + 6))) (1.6) х в[а,Ь]{г,П).

Семейство функций

0, Ь/с1](г, сГ1 • О), 0 ^ V < с1, й е N задает базис глобальных сечений расслоения Ь®^, с£-й тензорной степени расслоения Ь.

Введем отображение тора в комплексное проективное пространство ра:М = Сп/{Ъп + 02"} СР г, сГ1 • О) : . : г, ¿Г1 • О) е СР'

Следующая теорема задает каноническое вложение тора в комплексное проективное пространство при помощи тэта-функций.

Теорема (Лефшец). Отображение корректно определено, и при с1>г является вложением.

На М можно определить инволюцию а : М —>■ М : сг(х) —

Эта. инволюция объясняет, почему утверждение теоремы Лефшеца неверно при (1 = 2. Отображение порождено сечениями #[0, е](~, Г2/2) (2е е Z,i/2Zn). Все эти функции четны, и ранг отображения ср2 в точке г = 0 равен нулю. Это также означает, что <^2 разлагается в композицию где 7г — естественная проекция.

Многообразие Ф (М/а) называется многообразием Куммера, а отображение Ф — отображением Куммера.

Комплексный тор Сп/ {Ъп + называется разложимым, если П симплектическими преобразованиями из 8р(п, Ъ) приводится к блочному виду. Группа Эр(п,Ъ) является подгруппой ОЬ(2п, Ъ), и состоит из элементов д таких, что и А, В, С и И — целочисленные (п х п)-матрицы, I — единичная (п х /г)-матрица.

Теорема (Куммер). Если комплексный тор М = Сп/ {Ъп + неразложим, то отображение Куммера

2П \ (р2 = фотт,

Ф : г —> (0 [0, Ьо] П/2) [О, Ъ2пх] Г2/2))

2^} = Ъп/2Ъп) является вложением многообразия (с особенностями) М/а в СР2"-1.

1.4 Общие результаты о вложении в комплексное проективное пространство

Напомним (см. например [2]), что многообразие СР°° = Нт,,^^ СРП является базой универсального 51-расслоения. Следовательно все главные Б1-расслоения и ассоциированные с ними линейные комплексные расслоения порождены отображением базы в СР°°, а точнее в СР", для достаточно большого п. Линейные комплексные расслоения классифицируются первым классом Чжэня, который порождается формой кривизны расслоения. Определим данную форму следующим образом.

Пусть М является вещественной базой. Структура расслоения со слоем С1 и структурной группой (7(1) = б"1 определяется функциями склейки Та'''(х) — ег1Ра0^ в области 11ар = IIа Г) 11р. Связность в области задается 1-формой «горизонтальное» направление задается условием 0, причем разность этих форм в пересечении областей 1>а. имеет вид где цар{х) — числовая функция. Форма кривизны О определяется формулой

27гШ — с1ша, в области иа.

Очевидно в области иар и)а — сЦз = <1(1цар = 0.

Таким образом, форма И корректно определена на всей базе М.

Для многообразия СР'г формой кривизны универсального расслоения является форма Фубини-Штуди Таким образом, вследствие функториального свойства характеристических классов, если Г2 является формой кривизны линейного расслоения Ь —> М, индуцированного отображением / : М —> СРП, то

Г [ад - р.

Костант в работе [3] показал, что любая замкнутая 2-форма с целыми периодами является формой кривизны некоторого «Б11-расслоения. Данные утверждения могут служить отправной точкой для следующих теорем вложения Громова и Тишлера.

Напомним, что теорема Кодаиры утверждает, что кэлерово многообразие можно вложить в комплексное проективное пространство тогда и только тогда, когда оно ходжево, то есть форма, ассоциированная с кэлеровой метрикой, лежит в целочисленном классе когомологий. Рассмотрим аналогичные результаты для симплектической категории.

Теорема (Громов[5]). Если и целочисленная симплектическая форма на многообразии М, то существует симплектическое погружение М в СРП для достаточно большого п.

Тишлер обобщил данный результат в своей работе [6].

Теорема (Тишлер). Пусть М замкнутое многообразие с целочисленной замкнутой 2-формой со. Тогда существует симплектическое отображение / : М —► СРП для достаточно большого п.

1.5 Ни ль- и солвмногообразия

Многообразия, для которых мы строим вложение в С¥п, принадлежат к классам ниль- и солвмногообразпй. Мы определяем данные классы следующим образом. Нильмногообразие (солвмногообразие) — это компактное однородное пространство вида (?/Г, где О — это односвязная нильпотентная (разрешимая) группа Ли, и Г дискретная подгруппа С. Очевидно, что любое нильмногообразие является также и солвмногообразием. Простейшим примером нильмногообразия может служить тор, являющийся однородным пространством абелевой группы Ли.

В работе [7] Бенсон и Гордон показали, что любое кэлерово нильмногообразие диффеоморфно комплексному тору. Позже [8] они предположили, что любое кэлерово солвмногообразие также диффеоморфно тору. Контрпримеры был указаны в работе [9]. Ими оказались гиперэллиптические поверхности — фактор-многообразия двумерного комплексного тора по действию конечной циклической группы, одновременно обладающие структурой расслоения, где слой и база одномерные комплексные торы (см. следующий параграф). Хасегава в работах [10, 11] показал, что любое кэлерово солвмногообразие — это либо тор, либо гиперэллиптическая поверхность.

Всего существует семь гиперэллиптических поверхностей. Для четырех из них мы построим вложение в комплексное проективное пространство при помощи введенных на них голоморфных тэта-функций.

Таким образом мы строим вложение четырехмерных симнлектических ниль- и солвмногообразий в комплексное проективное пространство, которое в общем случае будет симплектическим, так как вообще говоря данные многообразия не являются кэлеровыми. В случае гиперэллиптических поверхностей вложение будет голоморфным.

1.6 Косые произведения двумерных торов

Среди четырехмерных ниль- и солвмногообразий мы выделяем для дальнейшего рассмотрения класс многообразий, являющихся пространствами расслоения, где слон и база двумерные (вещественные) торы. При этом мы сможем опираться на классическую теорию тэта-функций на одномерном комплексном торе.

Классификация данных многообразий была проведена в работе [19]. Приведем результаты данного исследования, основываясь на работе [13], в которой для каждого типа многообразий был определен его геометрический тип по Терстону. Мы не будем касаться геометрий данных многообразий, так как это не относится к теме диссертации.

Для заданных коммутирующих матриц А, В € Б'Ь(2, Ъ) и пары целых чисел 7п,п расслоение, отвечающее {А, В, (т, п)}, строится следующим

Таблица 1.1: Косые произведения двумерных торов

А,В,(тп,п)}

Примечание

0,0)} = Г2 хТ

Произведение двумерных торов т,п)},(т,п)^( 0,0)

Многообразие Кодаиры-Терстона ч1 0 (б) {-/,/,(0,0)}

7) {-/,/,(-1,0)}

1) (2)

0,0) ,/,(-1,0) ,/, (0,0) (-1,0) ,/,(0,0)

Гиперэллиптические поверхности I, (т, п) >, к ф 0, п ф

Нильмногообразие

-1 к 0 /, (т, п) >, к Ф

Нильмногообразие -I, (т,п) >, к ф

Нильмногообразие

А,1, (т,п)}, |1гЛ| >

Солвмногообразие

Л, -/, (т,п)}, ЬгА>

Солвмногообразие образом. Обозначим через точку Т2 = Ш?/2? соответствующую е Е2. Тогда расслоение, соответствующее {Л, В, (0,0)}, получается при факторизации Т2 х!2/ ~ по действию матриц А,В:

А, В, (га, п)} получается из {Л, В, (0,0)} если вырезать Т2 х Б2 и приклеить обратно с помощью отображения отождествления Т2 х дБ2 —> Т2 х ЭО в \ ( в + пир/2-7Г у -м .у у г ) у г + пср/2тт /

В полученном расслоении А, В являются матрицами монодромии, (га, п) — классом Эйлера.

Полный список расслоений, с точностью до диффеоморфизма пространства расслоения (не изоморфизма расслоений), приведен в таблице 1.1. / обозначает единичную матрицу.

1.7 План работы

В дальнейших

главах мы строим симплектические вложения многообразий, являющихся Т2—расслоениями над Г2, в комплексное проективное пространство.

Напомним, что данные расслоения характеризуются двумя инвариантами: матрицами монодромин и классом Эйлера. Мы ограничимся рассмотрением расслоений, где один из данных инвариантов является тривиальным. Во второй главе мы рассмотрим многообразие Кодаиры-Терстона, представленное в виде {/, 7, (??г, п)}. В третьей — расслоения с нулевым классом Эйлера, {Л, В, (0,0)}. Согласно работе [12] на всех данных расслоениях существует симплектическая форма.

Структура каждой главы будет следующей. Для каждого многообразия мы определяем линейное комплексное расслоение над ним так, чтобы первый класс Чжэня порождался симплектической формой. Сечения данного расслоения по определению — тэта-функции на нем. Сечения линейного расслоения задают отображение в С1Р?\ Мы доказываем, что данное отображение, при достаточно больших п, будет симплектическим вложением, то есть форма Фубшш-Штуди индуцирует симплектическую форму на образе вложения.

Многообразие Кодаиры-Терстона единственное кроме тора расслаивается двумя различными (расслоения не изоморфны) способами

В связи с этим данное многообразие рассматривается и во второй, и в третьей

главах, где предложены два различных варианта тэта-функций. После того как результаты третьей главы были готовы, выяснилось, что тэта-функции на многообразии Кодаиры-Терстона, введенные там, с см. [19]): определенной степенью точности совпадают с тэта-функциями Кирвина и Урибе [15], которые определили их, исходя из теории представлений. Мы покажем это в

§3.5. Заметим, что в третьей главе мы вводим тэта-функции на целом классе многообразий, включающем в себя многообразие Кодаиры—'Тсрстона.

Глава

Тэта-функции на многообразии Кодаиры-Терстона

Результаты этой главы изложены в [23].

В данной главе мы строим аналог классической тэта-функции на абелевом многообразии для нильмногообразия Кодаиры-Терстона Мкт-Многообразие Кодаиры-Терстона Мкт является фактор-многообразием К4 по действию дискретной группы Г, которая задается следующими образующими: а:{х,у,г,Ь) (х + 1, у, г + Ху, Ь), Лей, А ^ О Ь:(х,у,г,Ь) (х,у+1,гг, ¿)

->■ (ж, у, я, £ + 1)

Многообразие Кодаиры-Терстона замечательно тем, что оно является первым известным примером симплектического, но не кэлерова многообразия [1].

Заметим, что вложение Мкт в СРП не может быть голоморфным так, как многообразие Мкт не является кэлеровым. Тем не менее мы докажем, что данное отображение будет симплектическим. Другими словами, форма Фубини-Штуди на СРП индуцирует симплектическую структуру на многообразии Мкт

2.1 Свойства классической тэта-функции

В этой и последующих

главах при определении симплектических тэта-функций мы будем использовать тэта-функцию с характеристиками в[1/2,1/2](г,т).

Наш выбор именно этой тэта-функции, в обозначениях книги Мамфорда [17] — $11, связан с тем, что данная функция умножается на экспоненту при всех модулярных преобразованиях: «- + • (2.2) где С является ненулевой константой, зависящей от матрицы

I , ас1 — Ьс = 1.

Заметим, что для тэта-функции 9[0, 0; {г. г) дополнительно требуется чтобы произведения аЬ, сс1 были четны. Из (1.5)-(1.6) еле,дует, что бц(г + 1 ,т) = -бц (г, г), (2.3)

0и(% + т,т) = — ехр(—27гг.г — 7ггт) • вц(г, т). (2.4)

Тэта-функция вц порождает линейное комплексное расслоение Ь. Сечения расслоения Ь®й мы будем называть тэта-функциями степени <1 Функции

1/2,1/2 + Ь/с1}(г,т/с1), ЪеЪ/вЖ (2.5) образуют базис пространства тэта-функций степени с/. Размерность данного пространства равна с2.

Пусть {о!г}^=1 — набор констант такой, что их сумма равна, нулю. Тогда следующее произведение является тэта-функцией степени (I в[а,Ь](г + оц,т). 1=

Тэта-функция #[1/2,1/2] (г, т) удовлетворяет следующему уравнению в частных производных:

Всюду далее мы будем обозначать тэта-функцию вц(г, т) просто через в(г, г).

2.2 Тэта-функции многообразия Кодаиры-Терстона

Многообразие Мкт расслаивается над двумерным тором Т2 при проекции х,у,г,€) (у,г). Слои являются также двумерными торами.

Левоинвариантнаямплектическая форма и>кт = — Xхс1у) Ах + ¿у/\сИвместнаруктурой расслоения. Это значит, что и)Кт являетсяммой двух форм. Ограничение формы {¿х — Ххс1у) А в/х на любойой невырождено, а формау А/; является образомимплектической формы на базе при проектировании.

Исходя из этих фактов, мы определим пространство тэта-функций степени к Е N на многообразии Мкт, как линейную оболочку попарных произведений обыкновенных базисных тэта-функций степени к (2.5) на слое и па базе: врк(г + ¿ж, \у + г) • вЦу + И, г); р, я = 1,., к

Обозначим данное пространство как С^- Заметим, что размерность данного пространства равна к2.

Тэта-функцию степ сии один будем обозначать как вКТ(х, у, г, I) = в (г + гх, Ху + г) ■ 9(у + И, г).

2.2.1 Тэта-функция

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тэта-функции на косых произведениях двумерных торов»

линеиного комплексного расслоения

Из (2.3)-(2.4) следует, что: вкт(х+11У^ + Ху,г) = -е-^+^-^У+Ъ .ект{х,у>:,Ь),

0кт(х,у + 1,г,г) =

Окт(х,у,г + М) = -вкт(х,у,г,Ь),

Окт(х, у, + 1) = -е-^+иН* • вкт(х, у, г, ¿).

2.7)

Из этих формул следует, что тэта-функция является сечением линейного комплексного расслоения над многообразием Мкт, которое получается при факторизации Ж4 х С по действию группы Г и, V)) ~ (Л • и, еЛ(м)гу), и б!4,ше€,АеГ где е\{и) - мультипликаторы, то есть ненулевые функции еЛ : М4 -> С* удовлетворяющие тождествам еЛ(> • и) ■ е^и) = е\ц(и), А, /л е Г е0(и) = 1.

Сечения расслоения, заданного мультипликаторами, находятся во взаимно однозначном соответствии с функциями / на М4, такими, что

А-«) = еЛ(«)/(и), АеГде!4.

При этом необходимо проверить, чтобы соотношения в группе Г выполнялись и для мультипликаторов. Образующие (2.1) группы Г связаны одним нетривиальным соотношением сл = аГЧ^аЬ.

Это означает, что мультипликаторы линейного комплексного расслоения над Мкт должны удовлетворять следующему тождеству: е^-1 ■ и) х . х ес(и) = ',, и£14 еь(61а6 • и)еа(с ■ и)

Легко проверить, что мультипликаторы (2.7) удовлетворяют этому тождеству.

2.2.2 Мультипликативное свойство вкт

Пусть - набор констант. Как и для классической тэта-функции нам хотелось бы, чтобы произведение П*=1 &(2 + аг,т) было тэта-функцией степени к при выполнении условия к

5> = о.

2.8)

Данное свойство тэта-функции является ключевым при доказательстве теоремы о вложении в комплексное проективное пространство.

Однако у вкт период зависит от аргумента функции. Мы не можем перемножить тэта-функции со сдвинутыми периодами и получить тэта-функцию степени к. Поэтому мы не будем сдвигать периоды. Более формально, введем действие £ = (С1! С2) £ С2

С • 9КТ)(х, у, г, г) = в(г + 1х + С\ А у + г) • в (у + И + С2, г)- (2-9)

Тогда, как не трудно убедиться, при выполнении условия (2.8), следующее произведение является тэта-функцией степени к: к

П {оа-вкт)(х,у,г,г) ее, к

2.10)

2.3 Вложение Мкт в комплексное проективное пространство будет отображением многообразия МКт в СР,;2 ] .

Теорема 1. Отображение корректно определено и является вложением при к ^ 3.

Доказательство. Докажем теорему для к = 3. При к > 3 доказательство аналогичное.

Сперва установим инъективность отображения (р/. Здесь мы будем следовать доказательству классической теоремы Кодаиры о вложении для алгебраических многообразий (см. ее изложение, например, в [16, глава 1, §4]).

Прежде всего заметим, что пространство тэта-функций степени к — это глобальные сечения к-й тензорной степени расслоения заданного мультипликаторами (2.7).

Заметим, что если верно, что для любых точек и Ф и 6 Мкт существует сечение з е Ск такое, что в (и,) — 0 и в(ь) ф О, то отображение является инъективным. Действительно, допустим отображение «склеивает» точки и ии. Это значит, что для всех сечений 5 6 Ск верно, что = С • где С - некоторая ненулевая константа. Если в - сечение удовлетворяющее вышеуказанному условию, то мы приходим к противоречию.

Также заметим, что при выполнении данного условия верно, что для любой точки и £ Мкт не все сечения обращаются в ноль в точке и. Отсюда следует корректность <-р1;.

Будем подбирать требуемую тэта-функцию степени три в виде произведения двух функций з = / ■ д: ж, у, z, а, 0) = 9(г + гх + а,Ху + г)9(г + 1х + /3,Ху + г)х х9(г + гх-а-/3,Ау + {), (2.11) д(у, 7, 6) = в {у + И + 7; г)в{у + И + 5, г)9{у + й--у-5,г). (2.12)

Из (2.10) следует, что функция / ■ д действительно является тэта-функцией степени три на многообразии Мкт.

Обозначим координаты точек как (х,у^,1) и (х', у', У, ¿') соответственно. Выберем 7 так, чтобы #(¿/+¿¿+7, г) = 0. Теперь подберем 5 так, чтобы остальные сомножители в определении функции д были не равны нулю в точке V

9(у' + Ш + 6, г)в{у' + и' - 7 - 6, г) ф 0.

Мы можем этого добиться, так как нули тэта-функции изолированы. Также малым шевелением а, ¡3 можно добиться, чтобы функция / не равнялась нулю в точке у.

Построенное сечение решило бы задачу, если бы 9(у' + й' + 7, ?) ф 0. Допустим, что это так. Так как у тэта-функции в фундаментальной области решетки, образованной ее периодами, единственный нуль, то отсюда следует, что у — у',I = ¿'. Равенство по модулю решетки, но без ограничения общности можно считать, что ?./,, V находятся в фундаментальной области, единичном кубе, 0 ^ х,у,г,Ь < 1.

Выберем а так, чтобы 9{2 + гх + а, Ху + г) = 0. Заметим, что теперь 9{г' + гх' + а, Ху' + г) Ф 0. Так как иначе и = и. Подберем ¡3 так, чтобы функция /(у) ф 0 ; 7,6 так, чтобы д(ь) ф 0. к '

Таким образом мы построили необходимое сечение и доказали инъективность отображения (рк

Теперь докажем, что ранг <рк максимален. Здесь мы будем следовать доказательству теоремы Лефшеца, изложенному в [18]. Для начала покажем, что ранг отображения максимален, если максимален ранг (над С) следующей матрицы: вк2 дхзк-2 дув 1 дуЗк 2 дг8к-г dtSx дьвр

Заметим, что отображение <рк, записанное в однородных координатах, является композицией отображения в Ск~ и дальнейшей проекции 7г : СА;2\{0} —> СР*"-1. Очевидно, дифференциал совпадает с подматрицей 3, получающейся при вычеркивании первой строки.

Теперь допустим, что в точке и Е Мкт первая строка 3 является линейной комбинацией остальных. Это означает, что радиус-вектор фк{и) коллинеарен образу некоторого касательного вектора в точке и. Так как 7Г проецирует вдоль комплексных прямых проходящих через начало координат, то ядро дифференциала 7г как раз и состоит из таких векторов. Следовательно, максимальность ранга матрицы 3 является необходимым и достаточным условием максимальности ранга

Преобразуем матрицу 3 к удобному для нас виду. Ранг следующей матрицы совпадает с рангом <7:

3 = ду - 1д1)з1 дг - ¡д^зх (ду + \{дг + {дх).ч] ду - гдг)зк2 (дг - гдх)зк2 дy + iдt)sk2 дг + iдx)sk2 у

Последняя две строки 7 — это условия Коши-Римана. Так как сечения являются голоморфными относительно г + гх, то последняя строчка 3 всегда пулевая.

Предположим, что ранг 3 (над С) в некоторой фиксированной точке и = и* — (х*, у*, г*, Ь*) £ МКТ меньше 4. Это означает, что существует нетривиальный набор констант а, Ь, с, (I такой, что азР(и*) + Ь-(ду - гд<)з5(и*) + - гдх)з3(и") + ^(ду + 1дг)з3(и*) = О, 1,. . ., /с2

Из (2.10) следует, что функция з{и,(г, и) = (/л • 0*г)(«)(1/ • #дт)(г>)((-/л ~ и) ' 9кт){и). лежит в Ск(к = 3) при любых /.¿. ¿л Значит она раскладывается по базису и для нее верно равенство

Ъ с ав(и*, ц, и) + -{ду~ ¿¿^(и*, ц, и) + -(дя- ?дх)з(и*, /х, */)+ + = (2.13)

Введем обозначение Ь = | (ду — +~ (дг — гдх) + % (ду + ?Д) и перепишем последнее равенство в виде:

Ыоё(1л-вкт){и*) = -а-Ыоё{1Увкт){и)-Ыоё((-^-и)-вкт)(и*). (2.14)

Для любых и, ¡л существует V такое, что у ■ вкт)Ы)((-ц - и) ■ вкт){и) ф 0. (2.15)

Из (2.14)-(2.15) следует, что функция

2.16) является целой функцией от ¡л = (/х1, /г2). Согласно (2.7) функция £(//) удовлетворяет следующим условиям периодичности: ео^ + м2) = еолл

Л/х2 + г) = гЬ. жг(Ь + г/)

2.17)

2.18)

2.19)

2.20)

Следовательно производные д^ ц являются целыми двоякопериодическими функциями. Это означает, что они постоянны, и £ = ад1 + Рц2 + 7. Из (2.17),(2.19) следует, что а = (3 = 0, и функция £ постоянна. Из (2.18),(2.20) следует, что

Ь = 2С+Ь-±£ = 0. 2

Тогда верно следующее соотношение:

М = 5 дг — 1дх)9(х + 1х + /Д Лу + г) 9(г + гх + /и.1, Ху + г)

-2с дув(г + 1х + /Д Лу + г) 9(г + гх + [х1, Ху + г) 7- (2.21)

Здесь мы неявно использовали условия Коши-Римана: ду + гдг)в(у + и, г) = 0. Обозначим через И дифференцирование по переменной г + гх:

Из (2.6) следует, что дув(г + гх, \у + г) = + «ж, у + г). (2.22)

47гг

Подставляя (2.22) в (2.21) и учитывая при этом, что

Бв)^ + гж + /Д у + г) = д^в^ + '1х + /Д у + г), получим, что функция в {г* + гх* + /-/,', у* + г), как функция от ц1, удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами: Л о -0"-в'

2ттг 70 = 0.

Выписав общее решение, можно легко убедиться, что это приводит к противоречию с условиями периодичности тэта-функции (2.7) и следовательно с = с1 = 7 = 0. Из (2.13) следует, что а = 0.

Мы получаем, что набор постоянных о, Ь, с, <1 тривиален и матрица 7 имеет максимальный ранг. Так как точка и* была выбрана произвольной, то ранг щ всюду равен 4. Теорема доказана.

•у

2.4 Вложение является симплектическим отображением

Многообразие Мкт является симплектическим многообразием, где симплектическая форма может быть к примеру задана следующей левоинвариантной 2-формой: шкт — (¿2 — Хх<1у) А (1х + ¿у А сК. В этом разделе мы докажем следующее утверждение:

Теорема 2. 1. При к ^ 3 отображение 1рк индуцирует симплектическую структуру на многообразии Мкт

2. Индуцированная симплектическая форма когомологична к ■ оокт

Доказательство. В определении отображения ¡рк выберем в качестве базисных тэта-функций из Ск следующие функции: 1х, Ху + ?) • е\{у + и, г)-, р, б/ = 1,., к.

Заметим, что отображение (рк является композицией отображения Сегре ак : С¥к'г х СР/с1 —СР*2-1, которое задается в однородных координатах формулой ак ([г1 : . : [ш1 : . : и)к}) = [х1ги1 : '/ю2 : . : Л*"1 : хкь)к] и отображения фк : МКТ СР^"1 х СР'0-1, фк - (Фк,Фк). Где фк(х,у^) = [в1(г + 1х,Ху + г) : . : вкк(г + гж, Ху + г)],

Итак, <рк = сгк о фк. Обозначим через О,' симплектическую форму (ассоциированную с метрикой Фубини-Штуди) на первом сомножителе

СР*1 х СРк, через О" на втором. Тогда Г2' + ГУ является симплектической формой на произведении. Так как отображение Сегре является голоморфным вложением, то нам достаточно доказать, что индуцированная форма гр1(£1' + Г2") является симплектической.

Заметим, что базис внешней алгебры левоинвариантных форм можно выбрать в следующем виде: йх, Ау, (¡г — \xcly, (М.

Отображение является голоморфным вложением комплексного тора в СР^ из классической теоремы Лефшеца, и значит форма Фубини-Штуди индуцирует симплектическую форму на торе: где функция а нигде на Мкт не равна нулю. Пусть ф'к)*(х, у, z)(n') = / • (сЬ - Ахйу) /\(1х + д • (с1г — АхЯу) А ¿у + И ■ с!х А <1у.

Здесь /, д. /г - некоторые функции на Мкт- Это общий вид 2-формы на Мкт-, которая индуцирована отображением зависящим от х, у, z.

Заметим, что для любого фиксированного у отображение Ф'к также является голоморфным вложением из теоремы Лефшеца и следовательно где функция [5 нигде на МКТ не равна нулю. Отсюда следует, что / = /3. Собирая все вместе получим:

ФКп' + п"))2 = + т*(п»))2 =

5 ■ (¿г — Ахйу) А йх + д ■ (<£г — Ахс1у) А ¿у + к ■ ¿х А йу + а ■ йу А сИ)2 .

Раскрывая скобки получим: ф*к(П' + П"))2 = 2а(5 ■ (Ь Л с1у Л ёг Л <М.

Последнее равенство эквивалентно условию невырожденности индуцированной формы. Замкнутость следует из того, что дифференциал коммутирует с фк. Следовательно, + П") является замкнутой и невырожденной то есть симплектической формой. Мы доказали первый пункт утверждения теоремы.

Докажем второй пункт. Обозначим через Ь — расслоение, заданное мультипликаторами (2.7). При доказательстве вложения мы отмечали, что тэта-функции степени к являются сечениями Ь(дк.

Напомним, что любое линейное комплексное расслоение над многообразием М индуцируется универсальным расслоением над СРП при отображении М в комплексное проективное пространство. Следовательно расслоение Ь&к и его форма кривизны являются образами универсального расслоения и его формы кривизны, которая есть форма Фубини-Штуди. Также вспомним, что первый класс Чжэня линейных расслоений реализуется именно формой кривизны. Следовательно когомологический класс индуцированной формы совпадает с первым классом Чжэня сг(Ь®к) = к ■ сх(Ь) и нам нужно доказать, что

Сг(Ь) = [{¿г - \xcly) А ¿х + йу А <Щ.

Воспользуемся теорией когомологий Чеха для того, чтобы вычислить Сх{Ь). Введем покрытие М4 множествами с/А = л• с/0, лег.

Для этого разнесем сдвигами из решетки Г множество и0 = {\ик\ < 3/4}.

Заметим, что данное покрытие является хорошим — все непустые конечные пересечения диффеоморфны М4. Поэтому когомологии нерва этого покрытия изоморфны когомологиям всего пространства Мкт

Функции перехода g\ß : U\ Г\ иц —► С* можно выразить через мультипликаторы g\ß(u) = ех(и) ■ e^-iiß ■ и)\ А,деГ. (2.23)

Нерв N{U) минимального подпокрытия построенного выше покрытия U\ гомеоморфен Мкт > и его когомологии с коэффициентами в Z совпадают с Н*{МКТ\ Z). Коцикл zXlw е C2(W;Z)

ZXß,/ = ¿(~l0g^AAt') + log(^ ~ loß(^)) i2'24) по определению реализует первый класс Чжэня расслоения L. Данная формула задает значение £ на двумерном симплексе (A, /i, v) е N(U).

Второе число Бетти многообразия Мкт равно 4. Базисные 2-циклы реализуются двумерными торами Тас, Тьс, T¿a, T¿b, образованными коммутирующими сдвигами (2.1).

Определим функции Д (и) по формуле ех(и) = е2™Ыи\ (2.25)

Согласно (2.23)—(2.25)

Ci(PVD = /» + Л(/х • и) - fx(u) - Д(А • и).

Вычисляя первый класс Чжэня на базисных 2-циклах, получим: сЖа]) = С!([ГМ]) = 1; С1([ЗД = С1([гасг]) = 0. (2.26)

Так как многообразие Мкт является однородным пространством нильпотентной группы Ли, то любой элемент из Н2{Мкт\®0 реализуется левоинвариантнымн формами двойственными к базисным 2-циклам. Группа Н2(МкТ\Ж) порождается классами когомологий форм (<1г — \х(!у) А (1х, с1у А сИ, — \x.dy) Л с1у и ¿х Л ей.

Из (2.26) следует, что С\{Ь) = [(сЬ — Ххйу) Л Ах + с1у Л сИ]. Теорема доказана.

Глава 3

Тэта-функции на косых произведениях двумерных торов с нулевым классом Эйлера

Результаты этой главы изложены в [24].

В этой главе мы предлагаем иную конструкцию тэта-функций на четырехмерных симплектических многообразий, которую распространяем па косые произведения двумерных торов с нулевым классом Эйлера.

Мы вводим аналоги классических тэта-функций как сечения линейных комплексных расслоений над данными расслоениями. Нам однако придется отказаться от голоморфности вложения, так как на данных расслоениях, вообще говоря, нет не только кэлеровой структуры, но и комплексной. Тем не менее, данные многообразия являются симплектическими. Мы будем строить тэта-функции так, чтобы для них выполнялся симплектический аналог теоремы Лефшеца — тэта-функции с характеристиками, которые являются сечениями тензорной степени данного линейного расслоения, задают снмплектическое вложение многообразия в СР* (для достаточно больших тензорных степеней).

3.1 Расслоения

Используя таблицу 1.1, выпишем из нее расслоения с нулевым классом Эйлера. Результат, с точностью до диффеоморфизма пространства расслоения (не изоморфизма расслоений), приведен в таблице 3.1. I обозначает единичную матрицу.

Покажем, что все расслоения с нулевым классом Эйлера являются однородными пространствами вещественных групп Ли. Пусть С — это вещественная группа Ли с координатами (х, у, 5, £) и следующим линейным представлением: 5

АХВУ

Р ■ (Х1 У > ^ г

0 0 1

Обозначим через Г дискретную подгруппу элементов с целыми координатами. Тогда однородное пространство Г\С является пространством расслоения соответствующего {А, В}. Заметим, что р является точным представлением не (?, а Г\С.

Очевидно, можно перейти к определению расслоений в виде фактор-многообразия К'1 по действию группы Г со следующими образующими

Таблица 3.1: Косые произведения двумерных торов с нулевым классом Эйлера

А, В} Примечание

А) {/, /} = Т2 х Т2 Произведение торов

В) «{С::)"} (2)1 г (3) | Г "М .4 (4) {-/,/} Гиперэллиптические поверхности

С) { I1 Ч ,Л,кф 0 Н° ч 1 Многообразие Кодаиры-Терстона

Р) 1 ( 1 к ),/ Д-/0 \V о -V /

Е) ¡(г Л 1 Ц° ч 1

Р) {А,1}, \ЪхА\>2

С) {А,-/}, ЬтА> 2 если В = I): а : (х + 1, у, as + (3t, 7,9 + 5t), b : (x,y + l,s,t), с : (x,y,s + l,t), d : (x,y,s,t + 1),

3.1)

3.2)

3.3)

3.4) где A = I I . Если В = —I, то 7 b : (x,y + 1,-s, -t).

3.5)

Зиая точное представление Г\(?, мы можем вычислить образующие алгебры левоинвариантных форм. Для этого как обычно вычислим

Р Xdp = ds\ \

Cdx + Ddy А~ХВ~У w

V 0 0 0 / где С, D некие постоянные матрицы. Таким образом 1-формы dx, dy, u)2, где u>i \ I ds А~ХВ~У

W2, dt являются образующими.

3.2 Тэта-функции да расслоениях

Здесь и далее через М будем обозначать пространство расслоений, где слой и база — двумерные торы и класс Эйлера — нулевой.

Введем формально функцию на Е4, универсальной накрывающей М: вм{х,у,з,г) =в{з + иЬ,и) .0(® + гу,г). (З.б)

Здесь — это классическая тэта-функция с характеристиками

1/2,1/2], заданная мультипликаторами (2.3)-(2.4). В следующей таблице приведены функции со в зависимости от расслоения, г обозначает \/—I. и

В1), (ВЗ) (-1 + у^=3)/2

В2), (В4) г

С), (Е) —кх + г

О) кх + г

Г), (О) {Х~ху+ + г\ху~) / (Х~хи+ + г\хи-)

Здесь Л, Л 1 собственные значения А, а (и+,ь+)т, (и , и )т собственные вектора транспонированной матрицы А:

Ат\"++\ = А и и' А

-1 и V

3.7)

Причем отнормируем вектора так, чтобы и+ь~ — и~у+ = 1.

Лемма 1. Для всех расаноепий 1т и; > 0.

Доказательство. Неочевиден только последний случай: и+У~ — и~У+

1т СО = -7Т-—ГТ-7—-Г7Г > 0. (А хгг)2

Лемма доказана. Это значит, что ряд, определяющий тэта-функцию, сходится и функция Ом корректно определена.

Лемма 2. Под действием образующей (3.1) из Г: х, у, 5, ¿) —» (х + 1, у, аз + /Зг, 75 + Л) функции и), .ч + огё преобразуются следующим образом: аси — /3 в -\-ujt ш —>-г, +

-7W + <5 ' —7W + <5 '

Доказательство. Очевидно достаточно показать, что: . аш(х) — (3 w(a; + l) =-у, У к ' ~-уш(х) + 5

Если и является константой, то легко проверить, что в каждом случае аш — (3 и> =--.

70; + о

Если ш = kx + i, —кх + г, то преобразование также очевидно. В случаях (F, G) необходимо использовать тождества аб — /З7 = 1 и (3.7). Лемма доказана.

Пусть т)}р=1 — базис классических тэта-функций степени к

2.5). Определим пространство тэта-функций степени к многообразия M, как линейную оболочку попарных произведений обыкновенных базисных тэта-функций степени к на слое и базе:

6pk(s + cvt, ш) ■ 6qk(x + iy,i), р, q = 1. к

Будем обозначать данное пространство как Ск. Заметим, что размерность пространства Ск равна к2. Тэта-функция степени один — это 9м

3.2.1 Ом — сечение линейного комплексного расслоения.

Покажем, что функция 9м является сечением линейного комплексного расслоения над многообразием М. Для этого вспомним, что сечения состоят во взаимно однозначном соответствии с функциями / па универсальной накрывающей такими, что /(Л ■ и) — еЛ(и)/(и), где Л — элемент решетки Г, дискретной группы действующей на К4, е\(и) — мультипликаторы, то есть ненулевые функции еЛ : Е4 —>• С* удовлетворяющие тождествам

Мультипликаторы следующим образом задают линейное комплексное расслоение над многообразием М - прямое произведение К4 х С факторизуется по действию Г: и, ю) ~ (Л • и, е\(и)ги),

Рассмотрим поведение функции вм под действием образующих группы ел(д • и) е^и) = еЛ¡¿(и), Х,/леТ е0(м) = 1.

Г (3.1)-(3.4) (при В = /): вм(х + 1, у, ая + рь, 75 + 5Ь) =

3.8)

С(-7о/ + ехр( ^ + . вм{х, у, 5,0 —7си -+- о

6>м(ж,у + 1,М) = - ехр(-27гг(ж + гу) + 7г) • Ом(х,у,з,г), вм(х,у,з+ 1,4) =

3.9) (3.10) 1) = — схр(—2тп(5 + — 7гго») • (ж, у, я, 4) .(3.11)

При В = — I формулу (3.9) следует заменить на следующую:

Ом(х, у + 1, -5, -¿) = ехр(-27гг(ж + гу) + 7г) • вм(х, у, (3.12)

Мы воспользовались свойствами периодичности классической тэта-функции (2.2)-(2.4) и леммой 2. Из этих формул следует, что вм является сечением расслоения, заданного мультипликаторами (3.8) - (3.12).

Чтобы убедиться в корректности конструкции расслоения заданного этими мультипликаторами, необходимо только проверить, что нетривиальные соотношения между образующими решетки Г (3.1)-(3.5): а,с] = с1'*(Г, М] - с^1"*, [д,Щ = д~хЬГхдК влекут за собой тождества на мультипликаторы. Это очевидно, если учесть, что все мультипликаторы заданы поведением одной и той же функции.

3.2.2 Мультипликативное свойство Ом

Введем действие С = (А - /л) Е С2 на 9 м:

С " Ом)(х, у, 5, £) = 0($ + иЬ + Л, а;) • в(х + 1у + /х, г). (3.13)

Пусть Сг = (А,., //;), г — 1,., к — набор постоянных векторов из С2 такой, что его сумма равна нулю. Как и для классической тэта-функции нам хотелось бы, чтобы произведение к

П(Сг"М(я,У,М) (3.14)

1=1 было тэта-функцией степени к. Данное свойство тэта-функции является ключевым при доказательстве теоремы о вложении в комплексное проективное пространство.

Легко убедиться, что этому мешает мультипликатор (3.8) вида ехр(—7(5 +о;£)2).

Если данный мультипликатор нетривиален, то есть 7 ф 0, потребуем, чтобы выполнялось еще одно соотношение: к

Е = (з-15)

1=1

Тогда, как не трудно убедиться, произведение (3.14) является тэта-функцией степени к.

3.3 Вложение в комплексное проективное пространство

Перенумеруем базисные тэта-функции пространства £/„.: {ст,}^. Тогда отображение

4>к = (^1,СГ2, ■ • ■

• 2 1 будет отображением многообразия М в СР .

Напомним, что мы обозначали элементы матрицы монодромии А как и при 7 Ф 0 требуем выполнения дополнительного условия (3.15).

Теорема 3. Отображение (рк корректно определено и является влоо/сением при: а) k ^ 4, если j Ф 0; б) к ^ 3, если 7 — 0.

Доказательство. Докажем пункт а) утверждения теоремы при к — 4. Из доказательства будет ясно как доказывать в остальных случаях.

Сперва установим инъективность отображения <рк. Мы будем следовать доказательству классической теоремы Лефшеца о вложении для абелевых многообразий (см. ее изложение, в [17, глава 2, теорема 1.3]).

Прежде всего заметим, что пространство тэта-функций степени к — это глобальные сечения к-й тензорной степени расслоения заданного мультипликаторами (3.8)-(3.12).

В предыдущей главе, в §2.3 мы уже отмечали, что если верно, что для любых точек и ф v 6 M существует сечение а £ Ск такое, что а(и) — 0 и a(v) ф 0, то отображение ipk является корректно определенным и инъективным.

Будем подбирать тэта-функцию степени четыре в виде произведения двух функций cr = f ■ g: f{s + u{x)t, x, a, ß) = e{s + ut + a, lo)d(s + ut + ß,u))x xe(s + ut + i,u)0(s + ut + 8,u), (3.16) д{х + гу, а', /3', У) = 0(х + гу + а', г)в(х + гу + /3', г) х х в(х + гу + У, г)в{х + гу + 6г). (3.17)

Здесь

7 = 1 (-2(а + /3)+ у/-4(а + р)2 - а2 - /?2) , (3.18)

5=1 (-2(а + /?) - + /?)2 - а2 - /?2) , (3.19)

5' = -а' - (3' - У. (3.20)

В §3.3.2 было показано, что функция / ■ д действительно является тэта-функцией степени четыре многообразия М.

Обозначим координаты точек и, V как (х, у, з, ¿) и (х',у',з',1/) соответственно. Выберем а;' так, чтобы в(х+{у+а') = 0. Теперь подберем /37', так, чтобы остальные сомножители в определении функции <7 не были равны нулю в точке V. в(х' + 1у' 4- (З')в{х' + гу' + 7'Щх' + ¿у' + 6') ф 0.

Мы можем этого добиться так, как нули тэта-функции изолированы. Также малым шевелением а, /3, 7,6 можно добиться, чтобы функция / не равнялась нулю в точке V.

Заметим, что в этом месте становится ясным, почему в пункте а) к должно не меньше четырех. При к = 3, когда не было бы 6', константы /?',У были бы функциями а.' вследствие условий (3.15), и мы не смогли бы добиться вышеуказанного неравенства нулю.

Построенное сечение решило бы задачу, если бы в(х' + гу' + а') ф 0. Допустим, что это так. Так как у классической тэта-функции в фундаментальной области решетки, образованной ее периодами, единственный нуль, то отсюда следует, что а- = х', у = у'. Равенство по модулю решетки, но без ограничения общности можно считать, что и, V находятся в фундаментальной области, единичном кубе, 0 ^ х. у, в, I < 1.

Выберем а так, чтобы 0(5 + с^(а;)£ + аг, (¿?(а:)) = 0. Заметим, что теперь в (в' + т(х')1' + а. си (ж')) ф 0. Так как иначе и = у. Подберем /3,7, <5 так, чтобы функция /(у) ф 0 ; а', /?', 7', 8' так, чтобы д{у) ф- 0.

Таким образом мы построили необходимое сечение и доказали инъективность отображения

Теперь докажем, что ранг ц)к максимален. Здесь мы будем следовать доказательству теоремы Лефшеца, изложенному в [18]. В §2.3 мы показали, что ранг отображения максимален, если максимален ранг (над С) следующей матрицы:

Преобразуем матрицу 7 к удобному для нас виду. Ранг следующей матрицы совпадает с рангом 3\

Эхсг1 3 = ду<у\ д8о1 дх - 1ду)аг дх - 1ду)ак2

3. + дх + ъду)ак 2

У= (д$ + дх + 1ду)а\

V Ф д* ~ )

Напомним, что для голоморфной функции / комплексного аргумента w = и + iv:

Последняя две строки J — это условия Коши-Римана. Так как сечеппя ctj- для любого х разлагаются в ряд по s + u>(x)t, то последняя строчка J всегда нулевая.

Заметим, что если ш — const, что выполняется для тэта-функций на расслоениях (В), то сечения голоморфны, и можно использовать доказательство классической теоремы Лефшеца. Мы будем предполагать, что (дх + ¡ду)вм ф 0.

Предположим, что ранг J (над С) в некоторой фиксированной точке и* — (x*,y*,s*,t*) G М меньше 4. Это означает, что существует нетривиальный набор констант а, Ъ, с, d такой, что аа3(п*) + Ь-{дх - idy)(jj(u*) + + + ±(дх + 1ду)а0{и>) = 0,

Функция а = f(s + u)(x)t,x,a,p) ■ g(x + iy, а', р', У), описываемая формулами (3.16)-(3.20), лежит в Ck{k = 4) при любых а, ¡3, а', /?', 7'. Значит она раскладывается по базису а:/ и для нее верно следующее равенство в точке и*

Ъ с д d аа + ~(дх - idy)a + + -)<т + + ~{дх + idy)a = 0. (3.21) ¿ 2, и) ¿

Введем обозначение Ь = — + + + ^(дх + гду) и перепишем (3.21) в виде:

ЫоЕ((а, а') ■ 9м)(и*) =-а - Ыоё((р,(3') ■ вм)(и*)~

- Ыоё((Ъ1') ' вм)(и*) - Ыо&((5,5') ■ 9м)(и*). (3.22)

Здесь ((Л, /.г) • 9м) — действие, описанное формулой (3.13). Для любых и, а, а' существуют /3, /3', 7', такие, что

3,/3')-9м)(и) х ((7,У) • 9м)(и) х ((8,8') ■ 9м)(и) ф 0. (3.23)

Из (3.22)-(3.23) следует, что функция а, а') = Ыоё((а, а') • 9м)(и*) (3.24) является целой функцией от (а, а') € С2. Согласно (3.8)-(3.12) функция £ (а, а') удовлетворяет следующим условиям периодичности: а + 1,а') = £{а,а'), (3.25) а + Ца;*),а/) = ¿(а, а') - 2тггс - + (3.26) а,а' + 1) = €(а,а'), (3.27) а, а' + г) = £ (а, а') - 2тЪ. (3.28)

Следовательно производные являются целыми двоякопериодическими функциями. Это означает, что они постоянны, и £ = Аа + ВЫ + С. Из (3.25),(3.27) следует, что А = В = 0, и функция £ = С, постоянна. Из (3.26),(3.28) следует, что

Ь = 2тг гс + = 0.

Тогда верно следующее соотношение: дв + + и>(х)г + а, ш(х)) в(я + о>(ж)£ + а, и(х)) й |"(д»б)(з + а>(ж)г + а, ш(х)) 2 [ в {я + ш{х)Ь + а, ш{х)) (3.29)

Здесь мы неявно использовали условия Коши-Римана: дх + гду)в(х + й/, г) = 0.

Обозначим через И дифференцирование по з + шЬ:

Из (2.6) следует, что дхв(з + шг,ш) = + + + (з.зо)

4-7гг

Подставляя (3.30) в (3.29) и учитывая при этом, что

Р0) (в + иг + а, и) = дав(з + сЛ + а, и), получим, что функция + и>Ь* + а, о;), как функция от а, удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами:

Выписав общее решение данного уравнения, можно легко убедиться, что это приводит к противоречию с условиями периодичности тэта-функции (2.3)-(2.4) и следовательно с = й = С = 0. Из (3.21) следует, что а = 0.

Мы получаем, что набор постоянных а, Ь, с, ё, тривиален и матрица 3 имеет максимальный ранг. Так как точка и* была выбрана произвольной, то ранг </?£ всюду равен 4. Теорема доказана.

3.4 Вложение является симплектическим отображением

Для всех {А, В} пространство расслоения М является симплектическим многообразием, где симплектическая форма может быть к примеру задана следующей 2-формой: = г/.т; А ¿у + ¿в А сИ. В этом разделе мы докажем следующее утверждение:

Теорема 4. 1. Если отображение фк является вложением, то оно индуцирует симплектическую структуру на многообразии М.

2. Индуцированная симплектическая форма когомологична к ■ шд/.

Доказательство. В определении отображения (рк выберем в качестве базисных тэта-функций из С к следующие функции: вркО + иЛ,и) ■ ВЦх + гу,г); =

Заметим, что отображение <рк является композицией отображения Сегре ак : Сг,,:1 х СР'0-1 —> СР*2-1, которое задается в однородных координатах формулой егк [ш1 : . : ни*]) = [¿V : х1и,2 : . : зкюк~1 : zkwk} и отображения фк : М СР'°~! х СР*-1, фк = (ф'к>фк). Где ф'к{х, з, I) = [вЦз + шЬ, и) : . : вк{з + шЬ, а;)], ф'Цх, у) = [в1к(х + гу, г) : . : вк(х + гу, г)].

Итак, 1рк — сгк ° Фк- Обозначим через О' симплектическую форму (ассоциированную с метрикой Фубини-Штуди) на первом сомножителе

СР* X СРА', через П" на втором. Тогда О' + С1" является снмплектической формой на произведении. Так как отображение Сегре является голоморфным вложением, то нам достаточно доказать, что индуцированная форма ф*к($1' + П") является снмплектической.

Напомним, что в §3.2 мы вычислили образующие алгебры левоинвариантных форм: йх, ¿¿у, ш2:

Заметим, что

А и<2 = ¿в А (И, так как А,В е

Отображение является голоморфным вложением комплексного тора в С¥к из классической теоремы Лефшеца, и значит ф%)*(х,у)(П")=[1-с1хЛс1у, где ¡хф 0 всюду на М. Пусть ф'к)*(х, 5, = / ■ А (¿ж + д ■ ш2 А &х + Д ■ ¿в А (И.

Здесь /, ¿г, /г — некоторые функции на М. Это общий вид 2-формы, индуцированной отображением ф'к, зависящим от х, з,

Заметим, что для любого фиксированного х отображение ф'к также является голоморфным вложением и следовательно ф'кУ(П') = г/.^ЛсЙ, где v ф 0 всюду на М. Отсюда следует, что h = v. Собирая все вместе получим: п")? = тпп') + (ipk)*W))2 = (/ ' Л dx + д ■ и>2 Л dx + v ■ ds A dt + /.t ■ dx Л dy)¿ .

Раскрывая скобки получим:

ФКП' + Q"))2 = 2ци ■ dx Л dy Л ds Л dt.

Последнее равенство эквивалентно условию невырожденности индуцированной формы. Замкнутость следует из того, что дифференциал коммутирует с ф^. Следовательно, (OJ + Cl") является симплектической формой. Мы доказали первый пункт утверждения теоремы.

Докажем второй пункт. Обозначим через L — расслоение, заданное мультипликаторами (3.8)-(3.12). При доказательстве вложения мы отмечали, что тэта-функции степени к являются сечениями Ь®к. Как и в предыдущей главе, в §2.4 нам нужно доказать, что ci(L) = [dx A dy + ds A dt].

Воспользуемся теорией когомологий Чеха для того, чтобы вычислить Ci(L). Введем покрытие IR4 множествами

Ux = А ■ £/0, А е Г. Для этого разнесем сдвигами из решетки Г множество

U0 = (И < 3/4}. 53

Заметим, что данное покрытие является хорошим — все непустые конечные пересечения диффеоморфны Ж4. Поэтому когомологии нерва этого покрытия изоморфны когомологиям всего пространства М.

Функции перехода : 11\ П 17^ —> С* можно выразить через мультипликаторы

9хи(и) = ех(и) ■ е/(-1(/л ■ и); А,/хеГ. (3.31)

Нерв N(1^) минимального подпокрытия построенного выше покрытия 1]\ гомеоморфен М, и его когомологии с коэффициентами в Ъ совпадают с Н*{М-1). Коцикл е С2(Ы]Х) 1

Х/и/ = + 1оё(9^) - 1ое(^л)) (3.32) по определению реализует первый класс Чжэня расслоения Ь. Данная формула задает значение г на двумерном симплексе (Л, /х, и) е N(11). Легко установить, что

1) Я2(М;М) = К4, если М является многообразием Кодаиры-Терстона:

А= Г Л) , В = Е, {О I) и образующие Н2(М;Ш) могут быть выбраны в виде [с1х Л ¿у), Л <Щ, [¿■у Л ей], [(¿в - \xdtt) Л ¿х}\

2) во всех остальных случаях Н2{М\Ш) = Е2, и образующими являются [с1х Л ¿у], [¿8 Л (Щ.

Таким образом, для всех многообразий М, торы ТаЬ) ГТЫ) образованные коммутирующими сдвигами из Г (3.1)-(3.5), являются циклами двойственными к [dx A dy], [ds A dt]. В случае многообразия Кодаиры-Терстона мы получаем еще два цикла: Тм, Тас. Определим функции f\(u) по формуле ех(и) = e2nif^u\ (3.33)

Согласно (3.31)—(3.33)

С1(Ы) = /» + /Л(/х ■ и) - /Л(и) - /„(А ■ «).

Вычисляя первый класс Чжэня на Таь, Тссг, получим: c1(M = c1([T«í]) = l; (3.34)

В случае многообразия Кодаиры-Терстона:

Сг([Тм]) = с1([Твс]) = 0. (3.35)

Так как многообразие М является однородным пространством вещественной группы Ли, то любой элемент из Н2(М\ R) реализуется левоинвариантными формами двойственными к базисным 2-циклам. Из (3.34)-(3.35) следует, что Cj(L) = [dx A dy + ds A dt]. Теорема доказана.

3.5 Связь с другими обобщениями тэта-функций

Аналоги тэта-функции на нильмногообразиях уже определялись ранее [14, 15]. Данные обобщения исходят из теории представлений. Рассмотрим данный подход и покажем, что исевдопериодические функции, введенные в работе [15], при определенных условиях оказываются тэта-функциями на многообразии Кодаиры-Терстона, введенными в данной главе, Для начала покажем как в рамках данного подхода определяется классическая тэта-функция.

Напомним несколько определений из симплектической геометрии. Действие группы Ли (? на симплектическом многообразии (М, ш) называется слабо гамильтоновым, если каждая однопараметрическая подгруппа инфииитезимально порождена симплектическим градиентом некоторого гамильтониана, то есть для любого £ е д, где д алгебра Ли группы (7, существует функция : М —> Е такая, что где Х^ — это инфинитезимальное действие £ на М. Действие называется гамильтоновым, если линейное отображение £ —> является гомоморфизмом алгебр Ли:

Фц,Фп} =

Рассмотрим группу К2 с координатами (х,у), оснащенную симплектической структурой (1х А с1у. К2 действует на себя сдвигами, инфииитезимально порожденными векторными полями дх, ду. Для того, чтобы данное действие стало гамильтоновым, возьмем центральное расширение М2, с одной нетривиальной скобкой [дх,ду] — Z и гамильтонианом = 1. Это значит, что Z действует тривиальным образом на Ж2, но полученная группа действует гамильтоновым образом. Новая группа — это хорошо известная группа Гейзенберга.

Группу Гейзенберга можно определить как множество {а 6 М3} с групповым законом а • Ь = (а1 + Ъ1, а2 + Ь\ а3 + Ь3 - а2Ъ1).

Пусть Г — это подгруппа элементов с целочисленными значениями. Тогда = Г\Н(^(3) является компактным многообразием. Центр группы Гейзенберга {(0,0,2)} С Не1э(3) действует справа как 5'1 на Это действие дает 0> структуру главного 5'-расслоения над Г2, чей первый класс Чжэня порождается симплектической формой. 511 действует на С умножениями и порождает эрмитово линейное расслоение С Т2, ассоциированное с Ц. Данное расслоение обладает единственным (с точностью до нормировки) голоморфным сечением. Расслоение С можно поднять на М2, универсал] ьную накрывающую Т2. Классическая тэта-функция является единственным сечением С, представленное в виде сечения получающегося тривиального расслоения.

Заметим, что тэта-функции, введенные в работе [14], являются функциями на ф. Аусландер ставил своей целью построение базиса Ь2(13). Очевидно тэта-функции Аусландера сильно отличаются от определяемых в данной работе.

Группа Гейзенберга действует на транзитивно справа, и это действие индуцирует унитарное (по отношению к лебеговой мере) действие на Ь2(С2) известное как правое (квази-) регулярное представление. Следовательно Ь'2(0;) можно разложить в сумму неприводимых унитарных представлений группы Гейзенберга, известных по работе Кириллова [20]. Для наших целей достаточно знать, что для любого Л G Е\{0} существует унитарное неприводимое представление 7Г,\ группы Heis(3) на Ух — Ь2(Ж, dx) заданное следующим образом тгЛ((а, b, c))f](x) = e2mX(c+bx~) f (х + а)

Тогда

L2(Q) = @\m®vo, кет где Vo — L2(T2), и каждое инвариантное подпространство может быть разложено в сумму копий неприводимого пространства Vk.

Функциональные пространства L2(R, dx) и L2(Q) связанные следующим ©-отображением Вейля-Брезина [21],[22]. Пусть х, у, ф — координаты на Q. индуцированные координатами а1, а2, а3 на Heis(3). Для каждого к G Z\{0} определим отображение Qk : L2(R, dx) —► L2(Q) следующим образом:

0,/)(Г(х, у, ф)) = 1(У + т)е2™™. m€Z

Отображения унитарны и совместны с действием группы Гейзенберга. Определим функции ê^f : Ш2 С следующим образом:

Ш){х,у) = ^/(у + т)е2**т*. m<=Z

Заметим, что сечения С®к можно отождествить с функциями / : Q ■—> С такими, что

0,0, с) ■ (яг, у, ф)) = e~2nikcf ((х, у, ф)).

Следовательно функции 0*/ могут быть отождествлены с сечениями £®к Данные сечения индуцируют сечения тривиального расслоения над универсальным накрытием Т2. После выбора соответствующей тривиалнзации и отождествления сечений с функциями на Е2, мы получаем функции Ок/ ■

Классическая тэта-функция 0(г), с точностью до домножения на экспоненту, является образом гауссова произведения под Действием отображения Вейля-Брезина при к = 1: е-^Жя, у) = в(х + {у) х е~пу~.

Данный факт связан с устройством ядра лапласиана Ходжа на порожденного тэта-функцией, и на \\ — порожденного гауссовым произведением.

В работе [15] данный подход обобщается для многообразия Кодаиры-Терстона следующим образом. Пусть (? — Не1з(3) х М, Г0 = Г х 2. Тогда многообразие Кодаиры-Терстона М — Г0\С. Так как на многообразии М существует целочисленная симплектическая форма и, то существует эрмитово линейное расслоение С —> М такое, что его формой кривизны является ш.

Далее авторами вводится аналог группы Гейзенберга. для тора — центральное расширение

1 м с -> С 1 такое, что С действует на М гамильтоновым образом. Это действие поднимается на расслоение С и индуцирует правое (квази-) регулярное представление р группы С на Ь2(М,С), заданное следующим образом: р(9)з)(т) — ¿Г^т • д).

Данное представление является унитарным по отношению к мере Лиувилля на М и разлагается в прямую сумму унитарных неприводимых представлений тхк : С —> Епс1(Ук) как

Ь2(М,С®к) = 4к2Ук. Для любого к £ определяется семейство отображений Ь2(К2) Ь2(М, С®к), тп, п = 0,1,. . . , 2к - 1} так, чтобы

2к—1

Ь2(М,С®к)~ 0 в^п(Ь2(Ш2)) т,п=0 было ортогональным разложением ¡2{М, С®к) в сумму неприводимых С-пространств. Отождествляя сечения С®к с функциями па универсальной накрывающей, получаем для любой функции, интегрируемой с квадратом, / : I2 С и для любых т,п = 0,1,., 2к — 1 функции : Е4 С заданные формулой е~2пЦту-п(г+ху)]-4ткгх "у ^ е2тпуа-4тк(Ьу-га-у(х+а)2/2)а £ ) ¿^

Данные функции имеют следующие условия псевдопериодичиости: (*Г7)(®,У + М-М) =

ПЛ(х, + М) = е^СС'"/)^, У, *),

У,+ 1) = е^к»№<п/)(х,у,гЛ

60

На этом мы заканчиваем изложение работы Кирвина и Урибе. Покажем, что при определенном выборе / : М2 —С функция оказывается с определенной степенью точности тэта-функцией на многообразии Коданры-Терстона, определенной в данной главе. Пусть к = 1, т = 0, п — 0, / = д({) • /?(ж): = е-2п1\ }1{х) = е~2жх\

Тогда

A■кгzx—2■кt2—2■кx1 . + (у + + г)) . + ^^^ (33^ где в(г,т) — классическая тэта-функция с характеристиками [0,0].

Напомним, что определенная нами в третьей главе тэта-функция на многообразии Кодаиры-Терстона (3.6) имеет следующий вид ' где в[а, т) — это классическая тэта-функция с характеристиками [а,Ь]. Мы выбрали несколько иную тэта-функцию за ее инвариантность относительно модулярных преобразований. Кирвин и Урибе видимо с той же целью домножили аргумент и период на два. Если сделать замену переменных х' = у' = —ж, г' — в, Ь' = у, к — 1, то функция

-^.^Кя + ЧМ), ш = -кх + 1 переходит в {у' + , y' + i)- \]{-у' + it', i), которая с точностью до сдвига на характеристики и домножения на экспоненту совпадает с функцией (3.36).

Литература

1] Thurston W. P. Some simple examples of symplectic manifolds // Proc. Amer.Math. Soc. 1976. V. 55, N 2. P. 467-468.

2] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986. 760 с.

3] Kostant В. Quantization and unitary reprezentations. Berlin: SpringerVerlag, 1970. P. 87-207.

4] Kodaira K. On the structure of compact complex analytic surfaces. I // Amer. J. Math. 1964. V. 86, N 3. P. 751-798.

5] Gromov M. L. A topological technique for the construction of the solutions of differential equations and inequalities // Actes Congres Intern. Math. (Nice, 1970). V. 2. Paris: Gauthier-Villars, 1971. P. 221-225.

6] Tischler D. Closed 2-forms and an embedding theorem for symplectic manifolds // J. Diff. Geom. 1977. V. 12, N 2. P. 229-235.

7] Benson C., Gordon C.S. Kähler and symplectic structures on nilman-ifolds // Topology. 1988. V. 27, N 4. P. 755-782.

8] Benson С., Gordon С. S. Kähler structures on compact solvmanifolds // Proc. Amer. Math. Soc. 1990. V. 108, N 4. P. 971-980.

9] Campana F. Remarques sur les groupes de Kähler nilpotents // Ann. Sei. de l'École Norm. Sup. 1995. V. 28, N 3. P. 307-316.

10] Hasegawa K. Complex and Kähler structures on compact solvmanifolds // J. Symplectic Geom. 2005. V. 3, N 4. P. 749-767.

11] Hasegawa K. A note on compact solvmanifolds with Kähler structures // Osaka J. Math. 2006. V. 43, N 1. P. 131-135.

12] Geiges H. Symplectic structures on T2-bundles over T2 // Duke Math. J. 1992. V. 67, N 3. P. 539-555.

13] Ue M. Geometrie 4-manifolds in the sense of Thurston and Seifert 4-manifolds I // J. Math. Soc. Japan. 1990. V. 42, N 3. P. 511-540.

14] Auslander L. Lecture notes on nil-theta functions. Providence. R.I.: AMS, 1977. 96 p.

15] Kirwin W. D., Uribe A. Theta-functions on the Kodaira — Thurston manifold // ARXIV.ORG: сб. электр. препринтов. 2007. 24 дек. URL: http://arxiv.org/abs/0712.4016. (дата обращения: 21.02.2009).

16] Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир, 1982. 496 с.

17] Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях. М.: Мир, 1988. 448 с.

18] Тайманов И. А. Секущие абелевых многообразий, тэта-функции и солитонные уравнения // Успехи математических наук. 1997. Т. 52, № 1. С. 149-224.

19] Sakamoto К., Fukuhara S. Classification of T2-bundles over T2 // Tokyo J. Math. 1983. V. 6, N 2. P. 311-327.

20] Кириллов А. А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли // Успехи математических наук. 1962. Т. 17, № 4. С. 57-110.

21] Weil A. Sur certains groupes d'opérateurs unitaires // Acta Math. 1964. V. Ill, N 1. P. 143-211.

22] Brezin J. Harmonic analysis on nilmanifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1970. V. 150, N 2. P. 611-618.

Работы автора по теме диссертации

23] Егоров Д. В. Тэта-функции на многообразии Кодаиры — Терстона // Сибирский математический журнал. 2009. Т. 50, № 2. С. 320-328.

24] Егоров Д. В. Тэта-функции на косых произведениях двумерных торов с нулевым классом Эйлера // Сибирский математический журнал. 2009. Т. 50, № 4. С. 818-830.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Егоров, Дмитрий Владимирович, 2009 год

1. Thurston W. P. Some simple examples of symplectic manifolds // Proc. Amer.Math. Soc. 1976. V. 55, N 2. P. 467-468.

2. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986. 760 с.

3. Kostant В. Quantization and unitary reprezentations. Berlin: SpringerVerlag, 1970. P. 87-207.

4. Kodaira K. On the structure of compact complex analytic surfaces. I // Amer. J. Math. 1964. V. 86, N 3. P. 751-798.

5. Gromov M. L. A topological technique for the construction of the solutions of differential equations and inequalities // Actes Congres Intern. Math. (Nice, 1970). V. 2. Paris: Gauthier-Villars, 1971. P. 221-225.

6. Tischler D. Closed 2-forms and an embedding theorem for symplectic manifolds // J. Diff. Geom. 1977. V. 12, N 2. P. 229-235.

7. Benson C., Gordon C.S. Kähler and symplectic structures on nilman-ifolds // Topology. 1988. V. 27, N 4. P. 755-782.

8. Benson С., Gordon С. S. Kähler structures on compact solvmanifolds // Proc. Amer. Math. Soc. 1990. V. 108, N 4. P. 971-980.

9. Campana F. Remarques sur les groupes de Kähler nilpotents // Ann. Sei. de l'École Norm. Sup. 1995. V. 28, N 3. P. 307-316.

10. Hasegawa K. Complex and Kähler structures on compact solvmanifolds // J. Symplectic Geom. 2005. V. 3, N 4. P. 749-767.

11. Hasegawa K. A note on compact solvmanifolds with Kähler structures // Osaka J. Math. 2006. V. 43, N 1. P. 131-135.

12. Geiges H. Symplectic structures on T2-bundles over T2 // Duke Math. J. 1992. V. 67, N 3. P. 539-555.

13. Ue M. Geometrie 4-manifolds in the sense of Thurston and Seifert 4-manifolds I // J. Math. Soc. Japan. 1990. V. 42, N 3. P. 511-540.

14. Auslander L. Lecture notes on nil-theta functions. Providence. R.I.: AMS, 1977. 96 p.

15. Kirwin W. D., Uribe A. Theta-functions on the Kodaira — Thurston manifold // ARXIV.ORG: сб. электр. препринтов. 2007. 24 дек. URL: http://arxiv.org/abs/0712.4016. (дата обращения: 21.02.2009).

16. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир, 1982. 496 с.

17. Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях. М.: Мир, 1988. 448 с.

18. Тайманов И. А. Секущие абелевых многообразий, тэта-функции и солитонные уравнения // Успехи математических наук. 1997. Т. 52, № 1. С. 149-224.

19. Sakamoto К., Fukuhara S. Classification of T2-bundles over T2 // Tokyo J. Math. 1983. V. 6, N 2. P. 311-327.

20. Кириллов А. А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли // Успехи математических наук. 1962. Т. 17, № 4. С. 57-110.

21. Weil A. Sur certains groupes d'opérateurs unitaires // Acta Math. 1964. V. Ill, N 1. P. 143-211.

22. Brezin J. Harmonic analysis on nilmanifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1970. V. 150, N 2. P. 611-618.Работы автора по теме диссертации

23. Егоров Д. В. Тэта-функции на многообразии Кодаиры — Терстона // Сибирский математический журнал. 2009. Т. 50, № 2. С. 320-328.

24. Егоров Д. В. Тэта-функции на косых произведениях двумерных торов с нулевым классом Эйлера // Сибирский математический журнал. 2009. Т. 50, № 4. С. 818-830.