Полулокальные нормальные формы пуассоновых структур и гамильтонизация динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Воробьев, Юрий Михайлович

• Воробьев, Юрий Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Воробьев, Юрий Михайлович

Введение

1 Предварительные сведения и основные определения

1.1 Скобка Схоутена.

1.2 Пуассоновы многообразия.

1.3 Исчисление на расслоениях

1.3.1 Связность Эресмана

1.3.2 Пуассоновы расслоения и пуассоновы связности.

2 Метод спаривания для пуассоновых структур

2.1 Пуассоновы структуры спаривания.

2.1.1 Факторизация тождества Якоби

2.1.2 Горизонтально,невырожденные бивекторные поля и геометрические данные.

2.1.3 Основной результат.

2.1.4 Плоские пуассоновы структуры спаривания.,,.

2.1.5 Симметрии структурных уравнений.

2.1.6 Симплектические слоения пуассоновых структур спаривания

2.1.7 Инфинитезимальные пуассоновы автоморфизмы.

2.1.8 Сохраняющие слои преобразования.

2.2 Окрестность симплектического листа.

2.2.1 Полулокальная теорема расщепления

2.2.2 Сингулярные коприсоединенные орбиты коалгебр во*(4) и е*(3)

3 Метод гомотопии для пуассоновых структур

3.1 Инфинитезимальные генераторы.

3.1.1 Гладкие семейства пуассоновых тензоров спаривания.

3.1.2 Критерии существования инфинитезимальных генераторов.

3.2 Относительные 2-коциклы Казимира.

3.3 Эквивалентность пуассоновых структур в окрестности симплектического листа

3.3.1 Постановка задачи

3.3.2 Калибровочная эквивалентность трансверсальных пуассоновых структур.

3.3.3 Единственность трансверсальной пуассоновой структуры.

3.3.4 Достаточные и необходимые условия для полулокальной пуассоновой эквивалентности.

4 Пуассоновы структуры, индуцированные транзитивными алгеброидами Ли

4.1 Транзитивные алгеброиды Ли.

4.2 Пуассоновы структуры Л-спаривания.

4.2.1 Однородные геометрические данные.

4.2.2 Варьируя связность 7.

4.2.3 Изоморфизмы алгеброидов Ли и пуассонова эквивалентность.

5 Проблема полулокальной линеаризации и нормальные формы пуассоновых структур

5.1 Линеаризованная пуассонова структура над симплектическим листом

5.1.1 Линеаризованные геометрические данные и трансверсальные подрасслоения.

5.1.2 Существование линеаризованных пуассоновых структур.

5.1.3 Деформированные линеаризованные пуассоновы структуры.

5.1.4 Транзитивный алгеброид Ли снмплектического листа.

5.2 Теорема о полулокальной линеаризации.

5.2.1 Линеаризуемость в сингулярной точке.

5.2.2 Полулокальная линеаризуемосгь.

5.2.3 Нормальные формы и линеаризуемость над симплектическим листом полупростого и компактного типов

5.2.4 Примеры нелинеаризуемых пуассоновых структур.

5.2.5 Плоские линеаризованные пуассоновы структуры.

6 Задача гамильтонизации для проектируемой динамики

6.1 Проектируемые динамические системы на расслоениях.

6.1.1 Общие свойства проектируемых векторных полей.

6.1.2 Инвариантные связности.

6.1.3 Алгебра Ли проектируемых гамильтоновых векторных полей.

6.1.4 Г-Приводимость.

6.2 Задача гамильтонизации на пуассоновых расслоениях.

6.2.1 Постановка задачи. Необходимые условия.

6.2.2 Уравнения гомологического типа и критерии гамильтонизации

6.2.3 Случай тривиальных пуассоновых расслоений.

6.2.4 Семейства периодических по времени гамильтоновых систем.

6.3 Гамильтонизация линейных векторных полей.

6.3.1 Общие свойства линейных векторных полей.

6.3.2 Линейные гамильтоновы векторные поля на расслоениях Ли-Пуассона.

6.3.3 Критерии гамильтонизации.

6.3.4 Уравнения гомологического тина на плоских расслоениях Ли.

6.4 Задача гамильтонизации па симплектических расслоениях

7 Линеаризованная гамильтонова динамика над симплектическими подмногообразиями

7.1 Процедура линеаризации.

7.2 Линеаризованные гамильтоновы модели над симплектическим листом.

7.2.1 Гамильтонова форма систем в вариациях.

7.2.2 Инфинитезимальные первые интегралы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полулокальные нормальные формы пуассоновых структур и гамильтонизация динамических систем»

Актуальность темы. Диссертация посвящена развитию новых дифференциально-геометрических методов изучения (вырожденных) пуассоновых структур и их применению в теории динамических систем.

За последние 40 лет пуассонова геометрия, т.е. геометрия пространств с общими нелинейными скобками Пуассона, стала ареной актуальных исследований, тесно взаимодействующих с различными областями математики и математической физики, такими как теория гамильтоновых систем, интегрируемость и приводимость, теория сингулярностей, теория квантования, спектральная теория (см., например, монографии Тахтаджяна и Фадцеева [39], Карасева и Маслова [24], Вайсмана [146], Канна да Сильва и Вайнсгайна [53], Ортега и Ратью [137], Дюфора и Зунга [72]).

Изучение* вырожденных скобок Пуассона восходит к работам Софуса Ли, который, в качестве частного случая, развил также теорию линейных скобок Пуассона на векторных пространствах; сегодня они называются скобками Ли-Пуассона и играют фундаментальную роль в различных задачах математической физики. Дальнейшее проявление интереса к вырожденным пуассоновых структурам связано с построением многочисленных физических моделей, соответствующих механическим системам, особенно системам, обладающим группами симметрий или связей, в которых пуассоновы многообразия появляются в качестве фазовых пространств классических частиц. Здесь одним из важнейших примеров является скобка Дирака, которая применяется для изучения динамических систем со связями. Другой мотивацией для изучения вырожденных пуассоновых структур стало развитие теории редукций и некоммутативной интегрируемости гамильтоновых систем, начатое в работах Мейера [124], Марсдсна и Вайнстайпа [120], Мищенко и Фоменко [33].

Различные интересные пуассоновы структуры были получены при решении задачи га-мильтонизации для уравнений движения, описывающих физические модели, например, для уравнения Вонга классической частицы в поле Янга-Миллса [132], для ковариантных ВМТ-уравнений заряженной релятивистской частицы со спином [45], для уравнения движения твердого тела [27], [7]). Задача гамильтонизации для важного класса линеаризованных гамильтоновых динамик изучалась в работах [119], [104] и, например, для модели Хиггса и уравнений Зайберга-Виттена в [38]. Некоторые интересные примеры нелинейных скобок Пуассона полиномиального типа возникают при изучении алгебр симметрий интегрируемых и суперинтегрируемых систем, в частности, резонансных алгебр (см., например, [7], [15], [28], [35], [36], [37], [97], [98], [99], [100]).

В контексте хорошо известной задачи о связи между вырожденной лагранжевой и га-мильтоновой формулировками классической механики, пуассоновы структуры можно также получить из пресимплектических структур [91], [68]. Геометрический способ построения (пре)симплектических структур на расслоениях с помощью связностей, который называется методом спаривания, был предложен Стернбергом [141] и получил дальнейшее развитие в работе [94]. Кроме того, в работе [135], процедура спаривания была распространена на некоторый специальный класс векторных пуассоновых расслоений (коприсоединенных расслоений, ассоциированных с главными расслоениями) и были введены калибровочные структуры Ли-Пуассона.

Отметим, что пуассонова геометрия связана еще с целым рядом интересных геометрико-дифференциальных объектов таких, как локальные алгебры Ли [2G], алгеброиды Ли и группоиды Ли [115], и структуры Дирака [56]. Геометрически, пуассоново многообразие можно трактовать как объединение симплектических многообразии (симплектических листов), обычно различных размерностей, которые согласуются друг с другом некоторым гладким образом. Другими словами, общее пуассоново многообразие является сингулярным слосчш-ем симплектическими многообразиями в смысле Суссмана [142] и Стефана [140]. Например, в случае структуры Ли-Пуассона, симплектические листы являются коприсоединенными орбитами, несущими симплектическую структуру, называемую формой Кириллова [25].

В отличие от случая симплектических многообразий, локальная структура общих пуассоновых многообразий оказывается очень непростой. Важный вклад в понимание этой структуры был сделан Вайнстайном в работе [158]. Теорема Вайнстайна о локальном расщеплении дает локальную нормальную форму пуассоновой структуры и приводит к важному понятию локальной трансверсальной пуассоновой структуры. В той же работе была сформулирована знаменитая задача линеаризации, которая положила начало многочисленным глубоким исследованиям [54], [55], [163], [2], [69], [29], [168], [169], [128], [131], [60].

Важные результаты относительно локальной линеаризации пуассоновой структуры, как в аналитическом так и в гладком случаях, были получены Конном в работах [54], [55]. Доказательство теоремы Конна о гладкой линеаризации содержит в высшей степени нетривиальные аналитические рассуждения, основанные на объединении метода Ньютона и аппроксимирующей схемы Нэша-Мозера. Только недавно Крейник и Фернандес в работе [60] предложили геометрическое доказательство теоремы Конна, которое опирается на метод гомотопии Мозера [136] и результаты о собственных групоидах и интегрируемости алгеб-роидов Ли [57], [58].

Одним из первых глобальных результатов в пуассоновой геометрии является теорема о симплектической реализации произвольного пуассонова многообразия, доказанная Карасевым [22] (локально см. также у Вайнстайна [158]) и разработанная на этой основе теория соответствия между пуассоновыми многообразиями и симплектическими группоидами [23], [162].

В 1977 году, в терминах исчисления Схоутена для поливекторных полей, Лихнерович в работе [114] дал "алгебраически-дифференциальное"определение пуассоновой структуры, что послужило толчком для систематического изучения пуассоновых когомологий. В частном случае симплектического многообразия, пуассоновы когомологии совпадают с когомо-логиями де Рама. Однако, в общем случае, даже для регулярных пуассоновых многообразий, вычисление пуассоновой когомологии является сложной задачей. Первые результаты в этом направлении были получены Карасевым и Воробьевым [16], [17], [101], Вайсманом [145], Ху [166] и Гинзбургом [89]. В сингулярном случае, Монниер [130] вычислил ростковую, пуассонову когомологию для двумерной пуассоновой структуры, обладающую простыми сингулярностями в смысле Арнольда [1].

За последние 10 лет было проведено много исследований, посвященных полулокальной пуассоновой геометрии, т.е. геометрии в окрестности сингулярного симплектического листа ненулевой размерности пуассонова многообразия [75], [90], [76], [50], [59], [66], [127], [129], [77]. Инфинитезимальные свойства листа полностью определяются транзитивным алгеброидом Ли [101], [95], который, в частности, индуцирует понятие редуцированный линейной голоно-мии листа [90], [75], [76]. В работе [95] было показано, что обращение в нуль второй группы когомологпй транзитивного алгеброида Ли симплектического листа означает формальную Пуссонову эквивалентность вблизи этого листа. В недавней работе [61], было доказано, что условие такого типа также достаточно для стабильности компактного симплектического листа в смысле работы [158]. Кроме того, как было показано в [59], явления жесткости и гибкости, известные в симплектической геометрии, также имеют место в контексте пуас-соновой геометрии и теории сингулярных слоений. Все эти результаты ориентированы на изучение нормальных форм пуассоновой структуры вблизи сингулярных симплектических листов, что является предметом активных исследований в настоящее время.

Основная цель данной работы: развитие единого геометрико-дифференциального подхода к изучению полулокальный пуассоновой геометрии и построение (вырожденных) пуассоновых структур с применениями к гамильтопову формализму для динамических систем на рсслоенных пространствах.

Основные инструменты:

• Исчисление Схоутена.

• Теория (нелинейных) связностеи Эресмана.

• Метод гомотопии для контравариантпых тензорных полей.

• Теория алгеброидов Ли.

Основные результаты:

• . Новый геометрический метод построения пуассоновых структур спаривания на расслоениях общего типа.

• Полулокальная теорема расщепления над вложенным (сингулярным) симплектиче-ским листом. Понятие полулокальной трансверсальной пуассоновой структуры.

• Критерии полулокальной пуассоновой эквивалентности и описание соответствующих когомологических препятствий.

• Описание нового класса пуассоновых структур на расслоениях Ли-Пуассона, ассоциированных с транзитивными алгеброидами Ли.

• Понятие линеаризованной пуассоновой структуры сингулярного симплектического листа.

• Теорема о нормальной форме и теорема линеаризации для пуассоновой структуры над симплектическим листом компактного и полупростого типа.

• Геометрические и аналитические критерии гамильтонизации проектируемой динамики на общих пуассоновых расслоениях. Описание возможности гамильтонизации в терминах пуассоновых структур спаривания.

• Гамильтонов формализм для линеаризованной гамильтоновой-динамики над сингулярным симплектическим листом пуассонова многообразия.

Основные результаты были опубликованы в работах:

• Ю.М. Воробьев, Гамилътоновы структуры систем в вариациях и симплектические связности, Мат. Сборник 191 (4), 3-38 (2000).

• Ю.М. Воробьев, О линеаризованных пуассоновых структурах, Мат. Заметки 70 (4), 535-543 (2001).

• Yu. Vorobjev, Coupling tensors and Poisson geometry near a single symplectic leaf. In: Lie Algebroids and Related Topics in Differential Geometry, Banach Center Publ., Polish Acad. Sci., Warsaw, 2001, vol. 54, pp. 249-274.

• Yu. Vorobjev, On Poisson realizations of transitive Lie algebroids, J. of Nonlinear Math. Phys. 11, 43-48 (2004).

• Ю.М. Воробьев, О линеаризации гамилътоновых систем па пуассоновых многообразиях, Мат. Заметки 78(3), 323-330 (2005).

• Ю.М. Воробьев, Линеаризуемость пуассоновых структур на сингулярных симплек-тических листах, Мат. Заметки 80 (6), 825-837 (2006).

• Yu. Vorobjev, Poisson structures and linear Euler systems over symplectic manifolds. Amer. Math. Soc. Transl. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, 137-239.

• Yu. Vorobjev, Poisson equivalence over symplectic leaf, Amer. Math. Soc. Transl. (2), AMS,

- Providence, RI, 2005, Vol. 216, 241-277.

• Yu. Vorobiev, Averaging of Poisson structures. American Inst, of Phys. 1079, 235-240 (2008).

• Ю.М. Воробьев, Препятствия к эквивалентности пуассоновых структур вблизи симплектического листа полупростого и компактного типа, Функц. Анализ и Его Прил. 42 (2), 81-84 (2008).

• G. Davila Rascon, R. Flores Espinoza, and Yu. Vorobiev, Euler equations on so(Jt) as a nearly integrable Hamiltonian system, Qualitative Theory of Dynamical Systems 7 (1), 129-146 (2008).

• G. Davila Rascon and Yu. Vorobiev, A Hamiltonian approach for skew-product dynamical systems, Russian J. of Math. Phys. 15 (1), 35-44 (2008).

Результаты доложены на следующих международных конференциях:

• Июнь 2000 — Международная конференция "Poisson 2000", CIRM, Люмини, Франция.

• Июль 2002 — XXI Международная конференция "Геометрические Методы в Физике", Беловежа, Польша.

• Май 2004 — XI Международная конференция "Симметрии в Физике", Чешский Технический Университет, Прага, Чешская Республика.

• Июль 2005 — Летняя школа и конференция по пуассоновой геометрии, ICTP, Триест, Италия.

• Июнь 2005 — II Международная конференция по сверхинтегрируемьш системам в классической и квантовой механике, Дубна, Россия.

• Август 2006 — Международный математический конгресс, Мадрид, Испания.

• Июль 2008 — XXVII Международная конференция "Геометрические методы в физике", Беловежа, Польша.

• Июль 2009 — XIII Международная конференция "Методы симметрии в физике", Дубна, Россия.

• Июнь 2010 — VIII Международная конференция AMS-SMM, Беркли, Калифорния, США.

Обзор содержания диссертации

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Воробьев, Юрий Михайлович, 2010 год

1. B.1.. Арнольд, Замечания о пуаесоновых структурах на плоскости и других степенях форм объема, Труды Сем. им. И.Г. Петровского 12, 37-46 (1987).

2. В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, Наука, Москва, 1989, 3-е изд. 472с.

3. В.И. Арнольд, Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, "Регулярная и хаотическая динамика МЦНМО, ВКМ НМУ, Москва, 2000.

4. В.И. Арнольд и А.Б. Гивенталь, Симплектическая геометрия, Удмуртский государственный университет, Ижевск, 2000, 168с.

5. В.И. Арнольд, В.В. Козлов и А.И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, Итоги науки и техники: Современные проблемы математики: Фундаментальные направления, том 3, ВИНИТИ, Москва, 1985, стр. 5-303.

6. A.B. Болсинов и А.Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, Удмуртский государственный университет, Ижевск, 1999. Т. 1-2.

7. A.B. Борисов и И.С. Мамаев, Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике, Удмуртский государственный университет, Ижевск, 1999.

8. A.M. Виноградов и II.C. Красильщик, Что такое гамилътонов формализм?, Успехи Мат. Наук 30, 173-198 (1975).

9. В.П. Вифлянцев, Теорема Фробениуса для дифференциальных систем с особенностями, Вестник Москов. Унив. Сер. I, Матем., Мех. 3, 11-14 (1980).

10. Ю.М. Воробьев, Гамильтоновы структуры систем в вариациях и симплектические связности, Мат. Сборник 191 (4), 3-38 (2000).

11. Ю.М. Воробьев, О линеаризованных пуассоновых структурах, Мат. Заметки 70 (4), 535-543 (2001).

12. Ю.М. Воробьев, О линеаризации гамильтоновых систем на пуассоновых многообразиях, Мат. Заметки 78(3), 323-330 (2005).

13. Ю.М. Воробьев, Линеаризуемость пуассоновых структур на сингулярных симплек-тических листах, Мат. Заметки 80 (6), 825-837 (2006).

14. A. Blaom, A geometric setting for Hamiltonian perturbation theory, in Memoirs of Amer. Math. Soc. Vol. 153, No. 727, 2001, 112 p.

15. O. Brahic, Normal forms of Poisson structures near a symplectic leaf, ArXiv:math. SG/0403136, 2004.51. 0. Brahic, Extensions of Lie brackets, J. of Geometry and Physics 6 (2), 352-374 (2010).

16. O. Brahic and R.L. Fernandes, Poisson fibrations and fibered symplcctic groupoids, Contemporary Mathematics, AMS, Providence, R.I., 2008, Vol. .450, pp. 41-60.

17. A. Cannas da Silva and A. Weinstein, Geometric models for noncommutative algebras. In: Berkeley Mathematics, Lectures, American Math. Soc., Providence, 1999, vol. 10.

18. J. Conn, Normal forms for analytic Poisson structures, Annals of Math. 119, 576-601 (1984).

19. J. Conn, Normal forms for smooth Poisson structures, Ann. of Math. 121, 565-593 (1985).

20. T.J. Courant, Dirac manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 319 (2), 631-661 (1990).

21. M. Crainic and R.L. Fernandes, Integrability of Lie brackets, Ann. Math. 157 (2), 575-620 (2003).

22. M. Crainic and R.L. Fernandes, Integrability of Poisson brackets, J. Differ. Geom. 66, 71-137 (2004).

23. M. Crainic and R.L. Fernandes, Rigidity and flexibility in Poisson geometry, Travaux Mathématiques 16, 53-68 (2005).

24. M. Crainic and R.L. Fernandes, A geometric approach to Conn's linearization theorem, arXiv:0812.3060, 2008.

25. M. Crainic and R.L. Fernandes, Stability of symplectic leaves, Inventions of Mathematics 180 (3), 481-533 (2010).

26. R.H. Cushman and L.M. Bates, Global aspects of classical integrable systems, Birkhâuser Verlag, Berlin, 1997.

27. G. Dávila Rascón, R. Flores Espinoza and Yu. Vorobiev, Euler equations on so(4) as a nearly integrable Hamiltonian system, Qualitative Theory of Dynamical Systems 7 (1), 129-146 (2008).

28. G. Dávila Rascón and Yu. Vorobiev, A Hamiltonian approach for skew-product dynamical systems, Russian J. of Math. Phys. 15 (1), 35-44 (2008).

29. G. Dávila Rascón and Yu. Vorobiev, The first step of normalization for Hamiltonian systems with two degrees of freedom over orbit cylinders, Electronic J. of Diff. Equations, No. 54, 1-17 (2009).

30. B.L. Davis and A. Wade, Nonlinearizability of certain Poisson structures, Travaux Mathématiques, 16, 69-85 (2005).

31. B.L. Davis and A. Wade, Dirac structures and gauge symmetries of phase spaces, Rend. Semin.Mat.Univ. Politec. Torino 67, 123-135 (2009).

32. B.A. Dubrovin, AI. Giordano, G. Marmo, and A. Simoni, Poisson Brackets on presymplectic manifolds, Intern. J. Moden Phys. 8, 3747-3771 (1993).

33. J.-P. Dufour, Linéarisation de certaines structures de Poisson, J. Diff. Geom. 32 (2), 415— 428 (1990).

34. J.-P. Dufour, Normal forms of Lie algebroids, Banach Center Publ. 54, 35-41 (2001).

35. J.-P. Dufour and A. Wade, On the local structure of Dirac manifolds, Compositio Mathematica 144 (3), 774-786 (2008).

36. J.-P. Dufour and N.T. Zung, Poisson structures and their normal forms, Birklmuser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2005, 321 p.

37. J.J. Duistermaat and J.A.C. Kolk, Lie groups, Springer-Verlag, Berlin, 2000, 344 p.

38. C. Ehresmann, Les connexions infinitesimales dans un espace fibre dijferentiable, In: Colloque Topologie, Bruxelles, CBRM, 1950, Licge, 1951, pp. 29-55.

39. R.L. Fernandes, Connections in Poisson geometry I: Holonomy and invariants, J. Differential Geom. 54 (2),,303-365 (2000).

40. R.L. Fernandes, Lie Algebroids, Holonomy, and characteristic classes, Adv. in Math. 170, 119-179 (2002).

41. R.L. Fernandes, The symplectization functor, Real Soc. Mat. Esp. 11, 67-82 (2008).

42. R. Flores Espinoza and Yu.M. Vorobjev, Transversally-maximal algebras of infinitesimal Poisson automorphisms, Russian Math. Surveys 49 (6), 223-224 (1994).

43. R. Flores Espinoza and Yu.M. Vorobjev, On Dirac type brackets. In. Quantization, Coherent States and Complex Structures (J.-P. Antoine, et al., eds.), Plenum Press, N.Y., 1995, pp. 235-241.

44. R. Flores Espinoza and Yu.M. Vorobjev, Linear Hamiltonian systems and symplectic geometry, University of Sonora Press, 1998, 150 p.

45. R. Flores Espinoza and Yu. Vorobiev, Hamiltonian formalism for fiberwise linear Hamiltonian dynamical system, Bol. Soc. Mat. Mexicana (3) 6, 213-234 (2000).

46. R. Flores Espinoza and Yu. Vorobiev, Relativistic corrections to elementary Galilean dynamics and deformations of Poisson brackets. In: Hamiltonian systems systems and celestial mechanics (Hamsys.-98), Vol.6, World Scientific, 2000, pp. 161-173.

47. R. Flores Espinoza and Yu. Vorobiev, On dynamical and geometric phases of time-periodic linear Euler equations, Russian J. Math. Physics 12 (3), 326-349 (2005).

48. A.T. Fomenko, Integrability and nonintegrability in geometry and mechanics, Kluwer, Dordrecht, 1988.

49. A. Frolicher and A. Nijenhuis, Theory of vector valued differential forms, Pt. I, Indagationes Math. 18, 338-359 (1956).

50. V.L. Ginzburg, Momentum mappings and Poisson cohomology, Internat. J. Math. 7 (3), 329-358 (1996).

51. V.L. Ginzburg, Equivariant Poisson cohomology and a spectral sequence asociated with a momentum map, Internat. J. Math. 10 (8), 977-1010 (1999).

52. V.L. Ginzburg and A. Golubev, Holonomy on Poisson manifolds and the modular class, Israel. J. Math. 122, 221-242 (2001).

53. M. Gotay, R. Lashof, .7. Sniatycki, and A. Weinstein, Closed forms on symplectic fiber bundles, Comment. Math. Helv. 58, 617-621 (1983).

54. W. Greub, S. Halperin, and R. Vanstone, Connections, curvature, and cohomology, Academic Press, New York-London, 1973, Vol. II.

55. V. Guillemin and S. Steinberg, Symplectic technique in physics, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1984.

56. V. Guillemin, E. Lerman, and S. Sternberg, Symplectic fibrations and multiplicity diagrams, Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1996.

57. V.M. Itskov, M. Karasev, and Yu.M. Vorobjev, Infinitesimal Poisson geometry, Amer. Math. Soc. Transi. (2), AMS, Providence, RI, 1998, Vol. 187, pp. 327-360.

58. J.D. Jackson, Classical electrodynamics, Wiley, New York, 1975.

59. E.G. Kalnins, G.C. Williams, W. Miller, Jr., and G.S. Pogosyan, Supermtegrability in three-dimensional Euclidean space, J. Math. Phys. 40, 690-708 (1999).

60. E.G. Kalnins, W. Miller, and G.S. Pogosyan, Superintegrability on the 2-Dimensional Hyperboloid, J. Math Phys. 38, p. 5416 (1997).

61. M. Karasev, Noncommutative algebras, nanostructures, and quantum dynamics generated by resonances. In: Quantum Algebras and Poisson Geometry in Mathematical Physics (M.V. Karasev, ed.), AMS, Providence, RI, 2005, pp. 1-18.

62. M. Karasev and E. Novikova, Polynomial commutation relations for a quantum particle in electric and magnetic fields. In: Quantum Algebras and Poisson Geometry in Mathematical Physics (M.V. Karasev, ed.), AMS, Providence, RI, 2005, pp. 19-136.

63. M.V. Karasev and Yu.M. Vorobjev, Deformations and cohomology of Poisson manifolds, Lecture Notes in Math., Vol. 1453, Springer-Verlag, Berlin, 1990, pp. 271-289.

64. S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of differential geometry, new ed., Wiley-Interscience, 1996, Vol. 1, 2.

65. P. Libermann and C.-M. Marie, Symplectic geometry and analytical mechanics, Reidel, Dordrecht, 1987.

66. J.-P. Ortega and T.S. Ratiu, Singular reduction of Poisson manifold, Lett. Math Phys. 46 (4), 359-372 (1998).

67. J'.A. Schouten, Uber Dijferentialkonkomitanten zweier kontravarianter Grossen, Indag. Math. 2, 449-452 (1940).

68. P. Stefan, Accessible sets,orbits, and foliations with singularities, Proc. London Math. Soc. (3) 29, 699-713 (1974).

69. S. Sternberg, Minimal coupling and the symplectic mechanics of a classical particle in the presence of a Young-Mills field, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 74, 5253-5254 (1977).

70. H.J. Sussmann, Orbits of families of vector fields and integrability of distributions, Trans Amer Math. Soc. 180, 171-188 (1973).

71. C.L. Terng, Natural vector bundles and natural differential operators, American J. of Math. 100, 775-828 (1978).

72. I. Vaisman, Cohomology and and differential forms, M. Dekker, New York, 1973.

73. I. Vaisman, Remarks on the Lichnerowicz-Poisson cohomology, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 40 (4), 951-963 (1990).

74. I. Vaisman, Lectures on the geometry of Poisson manifolds, in Progress in Math. Birkhâuser, Boston, 1994, Vol. 118, 205 p.

75. I. Vaisman, Hamiltonian structures on foliations, J. Math. Phys. 43, 4966-4977 (2002).

76. I. Vaisman, Coupling Poisson and Jacobi structures on foliated manifolds, Intern. J. of Geometric Methods in Modern Physics 1 (5), 607-637 (2004).

77. I. Vaisman, Poisson structures on foliated manifolds, Travaux Mathématiques 16, 139—1612005).

78. I. Vaisman, Foliation-coupling Dirac structures, J. of Geometry and Physics 56 (6), 917-9382006).

79. V.S. Varadarajan, Lie groups, Lie algebras, and their representations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New York, 1974; 2-nd ed., Springer-Verlag, New York, 1984.

80. Yu. Vorobjev, Coupling tensors and Poisson geometry near a single symplectic leaf. In: Lie algebroids and related topics in diffei ential geometry, Banach Center PubL, Polish Acad. Sci., Warsaw, 2001, Vol. 54, pp. 249-274.

81. Yu. Vorobjev, On Poisson realizations of transitive Lie algebroids, J.of Nonlinear Math. Phys. 11, 43-48 (2004).

82. Yu. Vorobjev, Poisson structures and linear Euler systems over symplectic manifolds, Amer. Math. Soc. Transi. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, pp. 137-239.

83. Yu. Vorobjev, Poisson equivalence over symplectic leaf, Amer. Math. Soc. Transi. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, pp. 241-277.

84. Yu. Vorobiev, Averaging of Poisson stmctures, American Inst, of Phys. 1079, 235-240 (2008).

85. A. Wade, Poisson fiber bundles and coupling Dirac structures, Annals of Global Analysis and Geometry 33 (3), 207-217 (2008).

86. A. Weinstein, The local structure of Poisson manifolds, J. Diff. Geom. 18, 523-557 (1983).

87. A. Weinstein, Symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds, Advances in Matli. 6, 329-346 (1971).

88. A. Weinstein, A universal phase space for particles in Yang-Mills fields, Lett. Math. Phys. 2, 417-420 (1978).

89. A. Weinstein, Neighborhood classification of isotropic embeddings, J. Differential Geoin. 16, 125-128 (1981).

90. A. Weinstein, Symplectic groupoids and Poisson manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 16, 101-104 (1987).

91. A. Weinstein, Linearization Problem for Lie algebroids and Lie groupoids, Lett. Math. Phys. 52, 93-102 (2000).

92. S.K. Wong, Field and particle equations for the classical Yang-Mills field and particles with isotopic spin, Nuovo Cimento 65 A (4), 689-694 (1970).

93. N.M.J. Woodhouse, Integrability,self-duality, and twistor theory, Clarendon Press, Oxford, 1996.

94. P. Xu, Poisson cohomology of regular Poisson manifolds, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 42 (4), 967-988 (1992).

95. V.A. Yakubovich and V.M. Starzhinskii, Linear differential equations with periodic coefficients, Wiley, New York-Toronto, 1975.

96. N.T. Zung, A geometric proof of Conn's linearization theorem for analytic Poisson structures, Preprint math. (2002) SG/0207263.

97. N.T. Zung, Levi decomposition of analytic Poisson structures and Lie algebroids, Topology 42 (6), 1403-1420 (2003).