h-Принцип и отображения с заданными особенностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Рябичев Андрей Дмитриевич

• Рябичев Андрей Дмитриевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Рябичев Андрей Дмитриевич

Обозначения и соглашения

Введение

0.1 Бордмановские особенности и общие отображения

0.2 Согласованные ростки

0.3 Скрученное касательное расслоение

0.4 Основная теорема

0.5 Следствия в размерности

0.6 Следствия в размерности

Структура работы

1 Предварительные сведения

1.1 Стратификации и общие отображения

1.2 Теоремы Элиашберга и Громова

2 Локальное описание общих отображений

2.1 Эквивалентности общих ростков

2.2 Импликации между эквивалентностями общих ростков

2.3 Нормальная форма общего отображения

2.4 Цилиндрические покрытия

2.5 Доказательство Леммы

3 Глобальное описание общих ростков

3.1 Локально согласованные системы ростков

3.2 Скрученное касательное расслоение

3.3 Доказательство Теоремы

3.4 Системы ростков вдоль стратов

3.5 Глобальная версия Теоремы

3.6 Дополнение: глобально согласованные системы ростков

4 Характеристические классы и векторные расслоения

4.1 Ориентирующие локальные системы

4.2 Класс Эйлера с локальными коэффициентами

4.3 Классификация расслоений ранга 2 над поверхностями

4.4 Классификация расслоений ранга 3 над трёхмерными многообразиями

5 Общие отображения поверхностей

5.1 Модификации вдоль складок

5.2 Модификации в окрестности сборок

5.3 Характеристические классы Тс'рМ

5.4 Доказательство Теоремы 2А

5.5 Кривые на поверхностях и гомологии

5.6 Доказательство Теоремы 2В

6 Общие отображения 3-многообразий

6.1 Общие ростки в размерности

6.2 Характеристические классы скрученного касательного расслоения

6.3 Доказательство Теоремы

Заключение

Список литературы

Обозначения и соглашения

Все рассматриваемые многообразия и подмногообразия по умолчанию считаются бесконечно гладкими и без края. Под замкнутым многообразием мы всегда будем понимать компактное многообразие без края (не обязательно ориентируемое). Отображения между многообразиями предполагаются бесконечно гладкими, если не оговорено противное. Мы фиксируем пару многообразий М, N размерности п >

Слово "гомологичны" по умолчанию означает "гомологичны по модулю два". Для подмногообразия С С М размерности к мы обозначаем элемент, двойственный по Пуанкаре к С, через [С] е Нп-к(М,%2).

Когда мы пишем "окрестность А С и С X", имеется в виду, что и является окрестностью подмножества А в объемлющем пространстве X. Открытые подмножества многообразий по умолчанию подразумеваются "достаточно хорошими", например являющимися множествами внутренних точек некоторых подмногообразий с краем.

Рассматривая набор объектов Уг, где индекс г пробегает некоторое множество к, мы обычно обозначаем его {Уг} (вместо {Уг}гек). Как правило, индекс г принимает значение в Z>0 или в множестве {1,... ,к} для некоего к. Мы непосредственно уточняем множество значений индексов, когда это существенно.

Каждый раз, говоря про локально конечный набор {иг} открытых множеств многообразия X, мы будем предполагать, что для каждого г замыкание иг С X компактно. Поскольку X — многообразие, в любое открытое покрытие можно вписать подпокрытие с таким свойством. Таким образом, в силу локальной конечности, каждое иг будет пересекать лишь конечное число и^.

Символ "означает "изоморфно" (по отношению к группам, векторным расслоениям, и т. д.). Символ "=" по отношению к топологическим пространствам означает "гомеоморф-но".

Введение

0.1 Бордмановские особенности и общие отображения

Начнём с того, что напомним бордмановскую классификацию особенностей. Возьмём отображение f : М ^ N. Для последовательности целых чисел I = %1)%2, ...,гг, такой что п > ¿1 > ¿2 > ... > ¿г > 0, определено подмножество Т1 (f) С М. Можно определить Т1 ^) индуктивно:

Т*1 ^) = {х е М | &ш(кегс/(х)) = ¿1},

(f) = {х е М | а1ш(кег#|ЕП (/)(х)) = ¿2},

Т1 (f) = {х е М | &ш(кегс/(/)(х)) = ¿г}.

Это определение работает в предположении, что полученное на к-м шаге множество Тг1'...'гк (f) С М является подмногообразием, и, тем самым, мы можем сделать следующий шаг.

Можно определить множество Т1 ^) иначе — как прообраз некоторого подмногообразия Т1 (М, N) С (М, N) в пространстве г-струй. Если струйное расширение ]г ^) транс-версально Т1 (М, N), то оба определения совпадают (детали изложены в [3], см. также [26, §2]). Из соображений размерности мы можем положить г = п +

Для различных последовательностей I длины г подмногообразия Т1 (М, N) С (М, N) не пересекаются. Обозначим через Т(М, N) множество критических г-струй отображений М ^ N. Известно, что бордмановское разбиение Т(М, N) = У7=00 Т1 (М, N) не является стратификацией [3, стр.48]. Однако, поскольку пересечения Т1 (М, N) С (М, N) со слоями Зг (М, N) ^ М х N суть квазиаффинные алгебраические подмножества, можно выбрать стратификацию Т(М, N), которая будет подразбиением бордмановского разбиения. Мы напоминаем необходимые определения и доказываем существование указанного подразбиения в §1

Если струйное расширение ^) : М ^ (М, N) отображения f : М ^ N трансвер-сально всем Т1 (М, N), то отображение f называется бордмановским, а если г^) транс-версально выбранной стратификации Т(М, N), то отображение f называется общим. Очевидно, любое общее отображение является бордмановским.

Если М компактно, то по теореме Тома о трансверсальности общие отображения М ^ N образуют открытое всюду плотное подмножество в пространстве всех С ^-отображений М ^ N с топологией Уитни. Множество бордмановских отображений также плотно, но оно не будет открытым при п > 3 (см., например, [23]).

Для общего отображения f множество его критических точек Т(/) = ]г^)-1 (Т(М, N)) является стратифицированным подмножеством в М. Любой страт С С Т(/) целиком лежит в некотором Т1 ^), причём из соображений размерности последовательность I должна заканчиваться нулём. Поэтому ограничение f |с является иммерсией С ^ N.

0.2 Согласованные ростки

В данной работе мы изучаем следующий вопрос:

Вопрос. При каких условиях существует общее отображение М ^ N с заданными особенностями?

Сейчас мы уточним, что такое "отображение с заданными особенностями". Напомним, что если п достаточно велико, то бордмановские особенности отображений М ^ N могут не быть стабильными, см., например, [26, §3.7]. В частности, для фиксированной последовательности I ростки отображения f в разных точках х,х' е Т1 (f) могут быть неэквивалентны. Поэтому мы вынуждены задать росток особенности в каждой точке.

А именно, зафиксируем непустое замкнутое подмножество Б С М. Пусть имеется набор открытых множеств иг С М, такой что Б С и иг, и набор п-мерных многообразий У (где г = 1, 2,... пробегает фиксированный, возможно, бесконечный набор индексов). Пусть задан набор общих отображений рг : иг ^ У, для которых У Т(рг) = Б.

Набор {рг} называется локально согласованным, если для любых г,] ростки рг и рз в каждой точке х е иг П и3 являются ¿-эквивалентными (это означает, что для некоторых окрестностей х е и С (иг П и3) и рг(и) С У С У найдётся вложение в : У ^ V, для которого в ° Рг1и = Рз 1и).

(Поскольку отображения рг общие, Б С М апостериори является стратифицированным подмножеством, см. §3.1).

Будем говорить, что отображение f' : М ^ N имеет заданные особенности, если Т(f') = Б и для любого г ростки f' и рг в любой точке х е иг являются ¿-эквивалентными.

0.3 Скрученное касательное расслоение

Зафиксируем локально согласованный набор отображений {рг} как выше. Далее мы строим следующее векторное расслоение ТМ над М ранга п, называемое скрученным касательным расслоением.

Сперва положим и0 = У0 = М \ Б и р0 = Ы : и0 ^ У0. Если мы дополним набор {(1, р2,...} отображением р0, он останется локально согласованным.

Для каждого г = 0,1,... возьмём векторное расслоение Ег ^ иг, равное р*(ТУ). Поскольку набор {рг} локально согласован, для любых г,] и точки х е игПи3 имеется изоморфизм слоёв ¿в : Ег1х ^ Ез|х, где в — отображение, устанавливающее ¿-эквивалентность ростков рг и рз в х. Этот изоморфизм слоёв не зависит от выбора в, и, следовательно, задан глобальный изоморфизм Фг,3- : Е^и^пщ ^ Е3^пщ.

Расслоение Т^^М получается склейкой расслоений Ег при помощи Фг,3-, г,] = 0,1,.... Такая склейка корректно определена, §3

0.4 Основная теорема

Следующая теорема обобщает ^-принцип Я. М. Элиашберга для отображений со складками [32]. Она является основным результатом нашей работы ([16], [31]).

Теорема 1. Непрерывное отображение f : М ^ N гомотопно общему отображению f', имеющему заданные особенности, определённые локально согласованной системой отображений {рг}, если и только если расслоения Ти f *(TN) изоморфны.

Для доказательства Теоремы 1 существенно, что Б — стратифицированное подмножество в М и для любого страта С С Б и любого г ограничение рг1спщ является иммерсией.

Также мы используем относительную версию ^.-принципа Я. М. Элиашберга (см. §1.2), поэтому существенно, что подмножество Б, в котором ^ имеют складки, непусто.

Имеются известные результаты Й. Андо об отображениях с заданными особенностями. В работе [2] доказывается некоторый критерий того, гомотопно ли произвольное отображение между многообразиями гладкому отображению, имеющему бордмановские особенности не хуже (в лексикографическом порядке), чем заранее заданные. Этот критерий формулируется в терминах струй.

Отличие Теоремы 1 от этих результатов в том, что на вход мы требуем более подробные данные (заданные согласованные ростки в каждой точке, вместо сечения пространства струй), но и на выходе мы получаем отображение с заданными особенностями в каждой точке; у Андо не контролируются ни конкретные бордмановские классы особенностей, ни то, какие подмногообразия эти особенности образуют.

0.5 Следствия в размерности

Пусть М, N — связные замкнутые многообразия размерности 2. Ниже мы сформулируем обобщение теоремы, доказанной Я. М. Элиашбергом в случае ориентируемого N, см. [32, §4]. Это обобщение выводится из Теоремы 1 вычислением характеристических классов расслоения Т}М.

Особенности общих отображений М ^ N суть складки Е1'0 и сборки Е1'1'0. Такие особенности называются мореновскими. Все они стабильны [14], [21]. Также, напомним, что для любого I множество Е1 С (М, N) является гладким подмноообразием ([3, §6]). Поэтому для общего отображения / : М ^ N подмножество Е1(/) С М — гладкое 1-подмногообразие, а подмножество Е1'1(/) = Е1'1'0/) С Е1 (/) — дискретно.

Возьмём непустое замкнутое 1-подмногообразие С С М и дискретное подмножество Р С С. Для каждой точки р Е Р выберем вектор единичной нормали к С, называемый характеристическим вектором. Выбор характеристического вектора определяет общий р-росток, имеющий сборку в р и складки в С рядом с р, с точностью до эквивалентности. А именно, образ характеристического вектора будет направлен "наружу" относительно сборки, см. Рис

Если [С] = 0, то С ограничивает два двумерных подмногообразия с краем М+, М- С

М. Обозначим через п+, соответственно п-, число точек Р, характеристический вектор которых направлен наружу относительно М+, соответственно относительно М-.

Теорема 2Л. Отображение f : М ^ N гомотопно общему отображению с множеством складок С \ Р и множеством сборок Р (с заданными характеристическими векторами), если и только если выполнены следующие условия:

А-1. [С] = Wl(M) + f);

А-2. [Р]= W2(M) + f*w2(N);

А-3. если [С] = 0, то |х(М+) - х(М-) - п+ + п-| = | deg f • х^)|.

Здесь deg f — степень отображения (возможно, неориентируемых) многообразий. Она определяется как степень индуцированного гомоморфизма в старших когомологиях с коэффициентами в ориентирующем пучке. Последний гомоморфизм определён, коль скоро f) = w1(M). Поэтому если [С] = 0, то, ввиду условия А-1, степень deg f корректно определена (см. §4.2).

Теорема 2А имеет следствие, являющееся ответом на вопрос §0.2 для п =

Теорема 2В. Общее отображение М ^ N с множеством складок С \ Р и множеством сборок Р (с заданными характеристическими векторами) существует, если и только если выполнены следующие условия:

В-1. [Р] = [С]2;

В-2. если ) = 0, то [С] = Wl(M);

В-3. если [С] = 0, то найдётся й е 2, такое что |х(М+) — х(М-) — п+ + п-1 = • х(N)| и либо х(М) < № • х(N), либо й = 0; при этом, если М ориентируемо и N неори-ентируемо, то й должно быть чётным;

В-4. если [С] = 0, Wl(M) = 0 и [С]2 = W2(M), то W2(N) = 0 и х(N) > х(М).

Эта теорема обобщает некоторые результаты работ [7], [11], [12] и [24], посвящённых комбинаторному описанию множества критических точек общего отображения между поверхностями.

0.6 Следствия в размерности

Пусть теперь М, N — замкнутые трёхмерные многообразия. Все особенности общих отображений М ^ N также мореновские. Это складки Т1,0, сборки Т1,1,0 и ласточкины хвосты Т1,1,1,0. Они стабильны, являются гладкими подмногообразиями и имеют размерности 2, 1 и 0, соответственно.

Возьмём произвольное непустое замкнутое 2-подмногообразие Б С М, замкнутое 1-подмногообразие С С Б и дискретное подмножество Р С С.

Теорема 3. Непрерывное отображение f : M ^ N гомотопно общему отображению f', такому что E^f') = S, E1'1(f') = C и E1'1'1(f') = P, если и только если выполнены следующие условия:

• [S] = W1(M) + f *W1(N);

• [C] = W2(M)+ W1(M) ■ f*W1(N);

• для каждой компоненты C' С C мы имеем [C'] ■ [S] = |P П C'| mod

Последнее условие нужно, чтобы на C \ P существовало поле характеристических векторов (образы которых будут направлены "наружу" относительно сборок). Более точно, если это условие выполнено, то таких полей существует ровно два. Общее отображение f' строится для каждого из них, см. §6.

Заметим, что если указанное отображение f' существует, то условия Теоремы 3 согласуются с подсчётом полиномов Тома для мореновских особенностей. А именно, если обозначить i-ю градуировку класса f'*w(N)/w(M) через Wj, то известно, что [Е1 (f')] = w)1, [Е1'1 (f')] = wJuf + w2 и [E1'1'1(f')] = W^ + wj1wj2 (см., например, [27, стр. 204]). Эти равенства сводятся к условиям Теоремы 3 вычислением классов Wj.

Также заметим, что если умножить общее отображение поверхностей на тождественное отображение S1 ^ S1, то первые два условия Теоремы 3 для полученного отображения трёхмерных многообразий будут следовать из условий A-1 и A-2 Теоремы 2A для исходного отображения поверхностей.

Доказать аналог Теоремы 2B для трёхмерных многообразий пока не удалось. Тем не менее, из Теоремы 3 можно легко вывести ряд фактов об общих отображениях с заданными особенностями для некоторых 3-многообразий. Например:

Следствие 1. Пусть M, N — трёхмерные гомологические сферы. Тогда в гомотопическом классе любого отображения M ^ N существует общее отображение с любым наперёд заданным непустым подмногообразием складок и без других особенностей.

Следствие 2. Пусть M, N — произвольные замкнутые ориентируемые 3-многообразия, а S С M — непустое подмногообразие коразмерности 1, гомологичное нулю. Тогда в гомотопическом классе любого отображения M ^ N найдётся общее отображение с множеством складок S и без других особенностей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «h-Принцип и отображения с заданными особенностями»

Структура работы

В §1.1 мы напоминаем необходимые сведения о трансверсальности отображений между многообразиями и доказываем существование стратификации множества критических струй, являющейся подразбиением бордмановского разбиения. В §1.2 мы формулируем результаты Я. М. Элиашберга и М. Л. Громова, используемые в доказательстве Теоремы 1.

Раздел 2 посвящён обсуждению эквивалентностей ростков. В нём формулируется важный результат (Лемма 3), существенный для доказательства Теоремы 1. В §3 приводится само доказательство, а также обсуждаются другие способы задавать особенности и формулируются соответствующие версии Теоремы 1.

В разделе 4 мы доказываем, что векторные расслоения ранга п над п-многообразием с точностью до изоморфизма определяются своими характеристическими классами для п = 2 и 3. В разделе 5 доказываются Теоремы 2А и 2В, а в разделе 6 — Теорема 3.

Благодарности

В первую очередь я хочу поблагодарить своего научного руководителя А. Г. Горинова за многочисленные продуктивные обсуждения и за неоценимую помощь в работе с текстами. Я горячо признателен С. А. Мелихову за возможность выступить на семинаре по геометрической топологии и за обсуждения некоторых деталей, плодотворно изменившими подход к формулировке Теоремы 1. Я благодарен С. М. Натанзону, впервые обратившего моё внимание на работы Я. М. Элиашберга. Также я хочу поблагодарить В. С. Жгуна и П. Е. Пушкаря, давших ценные советы для доказательства некоторых важных лемм. Я благодарю Ю. М. Бурмана и В. А. Васильева, открывших для меня увлекательный мир алгебраической топологии, а последнего — ещё и за многочисленные подробные консультации по теории особенностей. Наконец, я хочу поблагодарить своих родных и близких, в особенности Алису Щепинову, за заботу и поддержку.

1 Предварительные сведения

1.1 Стратификации и общие отображения

Напомним основные определения.

Пусть Xi,X2,Y — многообразия произвольных размерностей. Отображения fi : Xi ^ Y и f2 : X2 ^ Y называются трансверсальными, если для любых xi G Xi и x2 G X2, таких что fi(xi) = f2(x2) = y, пространство TyY порождается образами Im(dfi(xi)) и Im(df2(x2)). Аналогично, подмногообразия в Y являются трансверсальными, если транс-версальны отображения, вкладывающие их в Y.

Из теоремы о неявной функции следует, что пересечение трансверсальных подмногообразий всегда является подмногообразием. Говорят, что иммерсии fi : Xi ^ Y, i = 1, 2,..., находятся в общем положении, если любое fi(Xi) трансверсально пересечению любого набора fj (Xj), j = i.

Стратифицированным подмножеством многообразия X называется локально конечное дизъюнктное объединение подмногообразий (называемых стратами), для которого выполнены следующие условия. Условие размерности: замыкание каждого страта есть его объединение с некоторым набором стратов меньшей размерности. Условие регулярности: для любых стратов C, C', если последовательность xi G C стремится к точке y G C' и lim (Tx.C) = T С TyX, то T D TyC'.

(Свойства стратифицированных подмножеств обсуждаются, например, в [6, Часть I, §1] или [22, §§18-19].)

Возьмём многообразия X, X' и стратифицированное подмножество Y С X. Отображение f : X' ^ X называется трансверсальным к Y, если оно трансверсально каждому страту. Тогда по теореме о неявной функции f-i(Y) С X' также будет стратифицированным подмножеством, страты которого суть прообразы стратов Y. В частности, все эти прообразы будут гладкими подмногообразиями в X'.

Мы хотим определить общие отображения так, чтобы множества их критических точек всегда допускали стратификацию, инвариантную при замене переменных. Это можно сделать вследствие Леммы 1.

Сперва мы докажем следующее предложение о стратификации алгебраических подмножеств, обобщающее [6, Parti, Th. 1.7]. Мы называем подмножество Y С Rm алгебраическим (квазиаффинным), если Y = Yi \ Y2, где Yi, Y2 суть нули некоторых систем полиномиальных уравнений. Заметим, что замыкание любого алгебраического множества снова будет алгебраическим.

Предложение 1. Пусть Xi,... ,Xk С - семейство замкнутых алгебраических подмножеств. Пусть группа G действует на Rm полиномиальными автоморфизмами, сохраняя Xi для всех i. Тогда у X = (J Xi существует стратификация, такая что каждое Xi является объединением некоторого набора стратов, и такая что каждый страт переходит в себя при действии G.

Доказательство. Сперва забудем про действие G и построим следующую стратификацию X. Мы действуем индукцией по d = max(dim Xi).

Если d = 0, то X является конечным множеством точек. Пусть каждая из них будет отдельным 0-мерным стратом.

Пусть d > 1. Разложим каждое Xj на неприводимые компоненты. Обозначим через Y1,... , Y набор всех полученных неприводимых алгебраических множеств (совпадающие считаются один раз). Заметим, что, поскольку Xj сохраняются при действии G, каждое Y под действием любого g G G переходит в некоторое Yj.

Ни у какой пары множеств из Y1,... , Y нет совпадающих неприводимых компонент размерности d, поэтому следующие алгебраические множества

E(Y1),..., E(Y), Y1 П ( Ц| Yj) ,..., Y П ( U Yj)

имеют размерности < d, и мы можем применить к этому набору предположение индукции. Здесь через E(Yj) мы обозначаем множество негладких точек Yj, а также гладких точек, в которых размерность касательного пространства меньше d.

Для каждого Yj определим d-мерный страт как дополнение Yj до стратов размерности < d, которые в нём содержатся. Если dim Yj = d, то полученный страт будет непустым гладким алгебраическим множеством.

Мы построили стратификацию X. Заметим, что каждый страт под действием любого g G G переходит в некоторый страт. Требуемая стратификация получается из построенной путём объединения стратов, лежащих в одной орбите при действии G. □

Лемма 1. Для любой пары n-мерных многообразий U, V множество E(U, V) С Jr(U, V) допускает стратификацию, которая является подразбиением разложения Тома-Борд-мана, инвариантную относительно левого действия Diff(V) и правого действия Diff(U). Такую стратификацию можно выбрать естественным образом для всех пар многообразий. Более точно, для открытых подмножеств U' С U и V' С V стратификация E(U', V') будет равна пересечению Jr(U', V') С Jr(U, V) со стратификацией E(U, V).

Доказательство. Возьмём x G U и y G V. Выбор локальных координат в U и V отождествляет пространство r-струй J£(U, V), при которых образ x равняется y, с евклидовым пространством Rm для некоторого m.

Для каждой ненулевой последовательности I длины r многообразие E1 (U, V)П J y (U, V) является алгебраическим ([3, §2]; см. также [26, §§2.5,2.7]). Замыкание E1 (U, V) равно объединению U EJ(U, V) по всем J, которые > I в лексикографическом порядке. Пусть X1 = E1 (U, V) П J,y(U, V).

Группы Diffx(U) и Diffy(V) диффеоморфизмов U, соотв. V, сохраняющих x, соотв. y, действуют на J£y (U, V) полиномиально. Эти действия сохраняют каждое X1. Поэтому мы можем применить Предложение 1 к Rm = J£y (U, V) с семейством подмногообразий X1 и группой G = Diffx(U) х Diffy(V). '

Таким образом мы имеем G-инвариантную стратификацию E(U, V) П J£ y (U, V). Поскольку E1 (U, V) П J£ (U, V) = X1 \ ( Uj>/ XJ), каждый страт полученной стратификации лежит в некотором многообразии Тома-Бордмана.

Затем, используя действие Diff(U) х Diff(V), мы можем перенести эту стратификацию из Jr,y (U, V) в слои Jr y, (U, V) для всех (x',y') G U х V. Поскольку исходная стратификация была G-инвариантной, такие переносы корректно определены. Страты E(U, V) определяются как объединения образов стратов X при переносах для всех (x',y').

Мы построили стратификацию на слоях векторного расслоения .(и,У) ^ и х V. Пространство .]г(и') может быть рассмотрено как ограничение этого расслоения на и' х V' С и х V, откуда следует требуемая естественность. □

1.2 Теоремы Элиашберга и Громова

В доказательстве Теоремы 1 мы используем следующую теорему [32, ТЬ. 2.2]. Сперва напомним основные обозначения.

Если для векторных расслоений р : Е ^ X и р' : Е' ^ У задано непрерывное отображение / : X ^ У и послойный морфизм Е : Е ^ Е', такой что р' о Е = / о р, то мы будем говорить, что Е накрывает /.

Пусть задано замкнутое подмногообразие С С М коразмерности 1. С-иммерсией М ^ N называется отображение, имеющее складки Е1'0 в С, и без других критических точек. С-мономорфизм М ^ N — это послойный морфизм касательных пространств Е : ТМ ^ TN, такое что ограничения Е 1т(м\с) и Е 1тс послойно инъективны, и при этом существуют окрестность и 3 С и инволюция к : и ^ и с множеством неподвижных точек С, для которой Е У о ¿к = Е 1и.

Пусть О С М — замкнутое подмногообразие размерности п с краем, такое что каждая компонента М \ О пересекает С, и пусть задано отображение /0 : О ^ N. Обозначим через 1шшс д (М^) пространство отображений / : М ^ N, таких что / 1м\в является С -иммерсией и / |в = /0. Обозначим через Мопс,в (М^) пространство послойных мор-физмов Е : ТМ ^ TN, таких что Е|т(м\в) является С-мономорфизмом и Е 1то = ¿/о.

Теорема 4 (Элиашберг). Отображение п0 (1шшс,в(М^)) ^ п0 (Мопс,в(М^)) индуцированное взятием дифференциала, сюръективно. □

Другими словами, каждое Е Е Мопс,в (М^) может быть продеформировано в дифференциал С-иммерсии в классе С-мономорфизмов, фиксированных над О. В частности, если Мопсв(М^) непусто, то 1шшсв(М^) тоже непусто.

Также мы используем следующую теорему, известную как относительный к-принцип Громова для иммерсий открытых многообразий. Он обобщает теоремы Смейла и Хирша об иммерсиях из [8], [9] и [17]. Мы формулируем частный случай данной теоремы, который нам непосредственно нужен.

Возьмём п-многообразия и, V, причём и некомпактно. Пусть заданы непрерывное отображение / : и ^ V и послойный изоморфизм Е : Ти ^ TV, накрывающий /. Предположим, что имеется замкнутое подмногообразие О С и размерности п с краем, такое что ограничение / 1в гладко и Е 1в = 1в, а также для некоторого подмногообразия К С и положительной коразмерности и может быть сжато в сколь угодно малую окрестность К и О посредством изотопии, неподвижной на О.

Теорема 5 (Громов). Существует иммерсия /' : и ^ V, такая что Е гомотопно ' в классе послойных изоморфизмов, неподвижных над Б. □

Эта теорема может быть выведена, например, из теоремы о голономной аппроксимации, см. [5, ТЬ. 1.2.1 и §2.1]. См. также [29, §3] или [28, §1.1.3].

2 Локальное описание общих отображений

2.1 Эквивалентности общих ростков

В этом подразделе вводятся различные понятия эквивалентности ростков отображений М ч N в локально замкнутом подмножестве Б С М. Обычно мы будем рассматривать росток общего отображения в множестве его критических точек, поэтому подмножество Б можно предполагать стратифицированным, причём все страты имеют положительную коразмерность и ограничение ростка на каждый страт является иммерсией.

Пусть имеются отображения р1 : и ч V и р2 : и2 ч V из окрестностей Б С и С М и Б С и2 С М в некоторые п-многообразия VI, V2.

Определение 1. Б-ростки отображений р1 и р2 называются глобально эквивалентными, если существуют окрестность и3 3 Б, многообразие V размерности п, отображение р3 : и3 ч V, иммерсии а1 : и3 ч и1 и а2 : и3 ч и2, тождественные на Б, и иммерсии в1 : V ч V!, в2 : V ч V;, такие что диаграмма

а1 Т Т а2

^3 -—Ч и;

Vl Vз —ч V2

коммутативна.

Б-ростки отображений р1 и р2 называются глобально Ь-эквивалентными, если они глобально эквивалентны, и при этом в качестве и3 можно выбрать подмножество и1 П и2, а в качестве а1, а2 — соответствующие вложения.

Определение 2. Предположим, что подмножество Б С М стратифицированно. Б-ростки отображений р1 и р2 называются эквивалентными вдоль стратов, если для каждого страта С С Б ростки р1 и р2 в С глобально эквивалентны.

Б-ростки отображений р1 и р2 называются Ь-эквивалентными вдоль стратов, если для каждого страта С С Б ростки р1 и р2 в С глобально Ь-эквивалентны.

Определение 3. Б-ростки отображений р1 и р2 называются локально эквивалентными, если для любой точки х Е Б ростки р1 и р2 в х глобально эквивалентны.

Б-ростки отображений р1 и р2 называются локально Ь-эквивалентными, если для любой точки х Е Б ростки р1 и р2 в х глобально Ь-эквивалентны.

Предложение 2. Шесть описанных отношений действительно являются отношениями эквивалентности.

Для доказательства Предложения 2 нам понадобится следующая лемма.

Лемма 2. Пусть Б — локально замкнутое подмножество п-многообразия и. Предположим, отображение р : и ч и таково, что р^ = И^ и дифференциал р во всех точках Б невырожден. Тогда существует окрестность Б С и' С и, такая что р|и — диффеоморфизм на образ.

Доказательство. Сначала предположим, что Б компактно. Заметим, что дифференциал р невырожден в некоторой окрестности Б. Предположим, что требуемую окрестность и' выбрать нельзя. Тогда для любого натурального к найдётся пара точек хк = ук на расстоянии < 1 от Б, таких что р(хк) = р(ук). Заменим {хк} и {ук} на сходящиеся подпоследовательности. Их пределы лежат в Б. Если пределы совпадают, то, поскольку в точке предела дифференциал р невырожден, мы получаем противоречие с теоремой об обратном отображении. Если пределы не совпадают, то мы получаем противоречие с инъ-ективностью р на Б.

Теперь предположим, что Б замкнуто, но, возможно, некомпактно. Возьмём собственное отображение £ : и ^ Е>0. Для каждого к Е ^>0 множество £-1([к — 2; к + 2]) П Б компактно. Поэтому существует окрестность (£-1([к — 2; к + 2]) П Б) С и к С и, для которой р1ик — диффеоморфизм на образ. Определим

Wk = ик П ик+1 П р-1 (£-1((к — 1; к + 3)))

и положим и' = и Шк. Понятно, что и' С и открыто. Также и' 3 Б, поскольку Шк 3 £-1([к; к + 1]) П Б. Дифференциал р в каждой точке и' невырожден. Покажем, что р1и< инъективно.

Возьмём х Е Шк. Тогда £ (р(х)) Е (к 2; к + 3). Следовательно, если р(у) = р(х), то либо у Е Шк-1, либо у Е Шк, либо у Е Шк+1. В каждом из случаев мы видим, что х,у Е и (для г = к в первых двух случаях и г = к + 1 в третьем случае). Но р1и1 инъективно, поэтому у = х.

Наконец, пусть Б С и — произвольное локально замкнутое подмножество. Тогда множество и = и \ (Б \ Б) открыто в и. Остаётся применить доказанное выше к замкнутому подмножеству Б С и. □

Доказательство Предложения 2. Рефлексивность и симметричность очевидны. Проверим транзитивность глобальной эквивалентности. Проверки для других отношений делаются аналогично.

Пусть заданы отображения р1 : и1 ^ У1, р2 : и2 ^ У2 и р3 : и3 ^ "3, где и1,и2,и3 3 Б — окрестности, а "1, "2, "3 — произвольные п-многообразия. Предположим, что Б-росток р1 глобально эквивалентен Б-ростку р2, который глобально эквивалентен Б-ростку р3. Это означает, что имеется следующая коммутативная диаграмма:

и1,2 и2,з

и1

VI,2

и2

^2,3

^2

"1,

и3

^3

"2

2,3

VI

" 1 " 2 " 3

Здесь и1,2, и2,3 3 Б — окрестности, "1,2,"2,3 — некоторые п-многообразия. Отображения а1,а2, а'2, а3 суть иммерсии, тождественные на Б. По Лемме 2 их можно считать диффеоморфизмами на образ, уменьшив при необходимости и1,2 и и2,3. Отображения в1, в2, в2, вз — произвольные иммерсии.

2

Возьмём расслоенное произведение ^1,2,3 = £Л,2 хи2 и2,3. Дифференциалы а2 и а'2 невырождены, поэтому и1,2,3 будет многообразием, а соответствующие отображения а1,2 : и1,2,3 Ч и1,2 и а2,3 : и1,2,3 Ч и2,3 — иммерсиями. Поскольку а2 и а'2 инъективны, то же верно и для а1,2 и а2,3. Таким образом, и1,2,3 можно считать вложенным в М. Тогда а1,2 и а2,3 будут тождественны на 5".

Аналогично, возьмём расслоенное произведение У1,2,3 = У1,2 Ху2 V2,3 и определим иммерсии в1,2 : ^1,2,3 Ч У1,2 и в2,3 : ^1,2,3 Ч У2,3. Мы получили следующую коммутативную диаграмму.

и1,2,3

Отображение р1,2,3 в ней существует и единственно вследствие универсального свойства ^,2,3 и коммутативности диаграммы. Оно вместе с композициями а1 о а1,2, а3 о а2,3, в1 о в1,2 и в3 о в2,3 устанавливает глобальную эквивалентность ¿"-ростков и р3. □

2.2 Импликации между эквивалентностями общих ростков

Заметим, что между определениями из §2.1 имеются тривиальные редукции: глобально ¿-эквивалентные ростки всегда глобально эквивалентны, эквивалентные вдоль стратов ростки всегда локально эквивалентны, и т. п.

Чтобы показать отсутствие обратных импликаций в некоторых случаях, сперва мы докажем следующее техническое утверждение.

Предложение 3. Пусть X, У, ^ — топологические пространства, д : X Ч У и Л : У Ч Z —непрерывные отображения. Предположим, что Л — локальный гомеоморфизм. Возьмём линейно связное подмножество Ш С X2, такое что для любого (х,у) € Ш мы имеем Л(д(х)) = Л(д(у)), и, кроме того, д(х0) = д(у0) для некоторого (х0,у0) € Ш. Тогда для любого (х,у) € Ш будет выполнено д(х) = д(у).

Доказательство. Предположим, существует элемент (х1,у1) € Ш, такой что д(х1) = д(у1). Из линейной связности Ш, существует пара путей 71,72 : [0; 1] Ч X, таких что (71 (¿),72(£)) — путь в Ш из точки (х0,у0) в точку (х1,у1).

Отметим все 5 Е [0; 1], такие что д(ъ^)) = д(т2(Ь)) для любого Ь Е [0; в]. Пусть — точная верхняя грань таких в. В силу непрерывности, д(71(в0)) = д(72(в0)).

С одной стороны, к(д(у1(Ь))) = к(д(^2(Ь))) для всех Ь Е [0; 1], по определению Ш. С другой стороны, сколь угодно близко к найдётся Ь > в0, такое что д(71(Ь)) = д(т2(Ь)). Это вступает в противоречие с тем, что ограничение к на некоторую окрестность д(^1(в0)) является гомеоморфизмом. □

Замечание 1. Даже в случае ростков общих отображений в критическом множестве, Ь-эквивалентные вдоль стратов ростки (и, тем самым, эквивалентные вдоль стратов) могут не быть глобально эквивалентными (и тем более глобально Ь-эквивалентными).

Например, возьмём пару общих отображений р1,р2 : К3 ^ К3, имеющих особенность типа ласточкин хвост Е1,1,1,0 в некоторой точке. Предположим, что Е(р1) = Е(р2) = Б и что р1 и р2 совпадают в некоторой окрестности и 3 Е1,1(р1).

Заметим, что Б-ростки р1 и р2 не будут глобально эквивалентными, если у р1 и р2 различаются множества пар точек Б с совпадающими образами, образующие кривую, выходящую из ласточкиного хвоста, см. Рис. 2. Чтобы доказать это, нужно дважды применить Предложение 3: к X = Б, У = "3, Z = К3, д = р3 и к = в1 (обозначения из Определения 1), и затем к к = в2.

С другой стороны, поскольку р1|и = р2|и, Б-ростки р1 и р2 будут эквивалентными вдоль стратов. Более того, можно построить р1, р2, которые имеют Ь-эквивалентные вдоль стратов Б-ростки, но не глобально эквивалентные.

Для этого зафиксируем какое-нибудь р1. Возьмём пару точек х,у Е Б, имеющих одинаковый образ, как на Рисунке 2. Возьмём маленький шар р1(х) Е V С К3 и диффеоморфизм ф : V ^ V, тождественный вблизи границы, но нетождественный в точке р1(х). Пусть х Е их С К3 — окрестность, содержащая ровно одну компоненту прообраза р-1("). Определим р2 равным р1 вне их П р-1(") и равным ф о р1 на их П р-1("). Отметим, что Б-ростки р1 и р2 будут Ь-эквивалентными вдоль стратов, но вследствие Предложения 3 не будут глобально эквивалентными, поскольку р1(х) = р1 (у) и р2(х) = р2(у).

Замечание 2. Глобально эквивалентные ростки (и, тем самым, эквивалентные вдоль стра-тов или локально эквивалентные) могут не быть даже локально Ь-эквивалентными (и тем более Ь-эквивалентными вдоль стратов и локально Ь-эквивалентными).

Это верно, поскольку ¿-эквивалентность "помнит" близкие к Б пары регулярных точек, близких друг к другу и имеющих одинаковый образ. Например, ростки отображений К2 Ч К2, заданные как (ж,у) Ч (ж2,у) и (ж,у) Ч (х2,х + у), в общем критическом множестве х = 0 будут глобально эквивалентными, но не будут локально ¿-эквивалентными.

Замечание 3. В общем случае, если ограничение рассматриваемых отображений на страты является иммерсией, локально эквивалентные ростки могут быть не эквивалентны вдоль стратов. Например, возьмём и и V равными цилиндру Б1 Х (-1; 1), а V — ленте Мёбиуса. Определим отображения : и Ч V и р2 : и Ч V2 как композицию проекции на экватор и Ч Б1 и вложения Б1 в качестве экватора в V и У2, соответственно. Пусть Б = Б1 Х 0 С и состоит из одного страта. Ограничения р1и будут иммерсиями. В этой ситуации Б-ростки р1 и р2 локально ¿-эквивалентны, но не эквивалентны вдоль стратов (и тем более не ¿-эквивалентны вдоль стратов).

Однако, если рассматривать лишь общие ростки, то имеет место следующая лемма (мы докажем её в §2.5). Напомним, что, вследствие Леммы 1, для пары многообразий и, V размерности п имеется стратификация Е(и, V), являющаяся подразбиением разложения Тома-Бордмана. Отображение / : и Ч V называется общим, если и только если ]г (/) трансверсально каждому страту. В этом случае определена стратификация на Е(/) С и как прообраз стратификации Е(и, V) С Зг(и, V).

Лемма 3. Пусть и, V и V' — многообразия размерности п, и пусть р : и Ч V и р' : и Ч V' — общие отображения, причём Е(р) = Е(р') = Б. Предположим, что Б-ростки р и р' локально ¿-эквивалентны. Тогда они ¿-эквивалентны вдоль стратов.

Тем самым, между описанными отношениями эквивалентности имеются следующие импликации (импликации, верные для общих ростков в их критическом множестве, но неверные для произвольных ростков, отмечены тонкими стрелками):

глобальная эквивалентность

эквивалентность вдоль стратов 4

глобальная ¿-эквивалентность

¿-эквивалентность вдоль стратов

| Лемма 3

локальная эквивалентность

локальная ¿-эквивалентность

Все импликации на данной диаграмме, идущие влево или вниз, суть тривиальные редукции. Пропущенная стрелка вверх или вправо означает, что импликация отсутствует, см. Замечания выше.

Вопрос. Следует ли для общих ростков в их критическом множестве эквивалентность вдоль стратов из локальной эквивалентности?

Мы не знаем ответа на этот вопрос, поэтому в дальнейшем мы будем изучать общие ростки с точностью до ¿-эквивалентностей.

2.3 Нормальная форма общего отображения

Ниже мы приводим необходимые сведения о ростках общих отображений в стратах множества критических точек. Многие из этих свойств общеизвестны (см., например, [26, §9.5]). Заметим, однако, что рассматриваемые нами ростки не обязательно стабильны.

Предложение 4. Пусть U,V — многообразия размерности n, C С U — локально замкнутое k-подмногообразие и f : U Л V — отображение, такое что f le является иммерсией. Тогда для некоторой трубчатой окрестности Ue 3 C ограничение f luC может, быть представлено в виде композиции

Ue Л Ve Л V,

где Ve — это тотальное пространство некоторого векторного расслоения ранга n — k над C, окрестность Ue рассматривается как нормальное расслоение к C, отображение g послойно, а отображение h является иммерсией. Другими словами, g может быть записано как (s,t) Л (s,gv(s,t)), где s — это координата в C, а t и gv(s,t) — это локальные координаты в слоях Ue и Ve, соответственно.

Доказательство. В качестве Ve мы берём пулбэк нормального расслоения к f (C). Пусть h диффеоморфно отображает его в некоторую трубчатую окрестность f (C). Тогда ограничение f на достаточно малую трубчатую окрестность C С Ue С M пропускается через Ve. Таким образом, у нас есть отображение g : Ue Л Ve, осталось выбрать структуру векторного расслоения на Ue так, чтобы g было послойным.

Поскольку gle является диффеоморфизмом на образ, для всех x Е C образ dg(TxUe) трансверсален слоям Ve. В силу непрерывности дифференциала, то же выполняется для точек, близких к C. Другими словами, можно заменить окрестность Ue на меньшую, так чтобы для всех x Е Ue образ dg(Tx Ue ) был трансверсален соответствующему слою Ve.

Тогда по теореме о неявной функции прообраз каждого слоя Ve будет подмногообразием в M, трансверсальным к C. Если требуется, заменим ещё раз окрестность Ue на меньшую, чтобы все эти прообразы были диффеоморфны Rn-k и задавали на Ue структуру векторного расслоения с базой C. □

Определение 4. В обозначениях Предложения 4, отображение g : Ue Л Ve называется нормальной формой f в C. Заметим, что C-ростки f и g глобально L-эквивалентны.

Отметим, что, вообще говоря, нормальная форма не единственна. Однако, вследствие Предложения 6 нормальная форма единственна с точностью до L-эквивалентности. Это предложение является своего рода универсальным свойством. Сперва докажем следующий вспомогательный факт.

Предложение 5. Пусть U,V — n-многообразия, р : U Л V — иммерсия, C С U — подмногообразие положительной коразмерности, такое что p(C) — подмногообразие в V. Тогда для некоторой окрестности C С U' С V ограничение plw — диффеоморфизм на образ.

Доказательство. Выберем трубчатую окрестность p(C) С V' С V. Далее будем действовать как в доказательстве Предложения 4. А именно, выберем трубчатую окрестность

С С и' С и, так что р отображает и' в V' послойно. Если и' выбрана достаточно близкой к С, то ограничение р на каждый слой инъективно. Следовательно, р|и' инъективно, что и требуется. □

Предложение 6. Возьмём п-многообразия и, ^^ и подмногообразие С С и. Пусть /1 : и Ч V и /2 : и Ч V* — отображения, С-ростки которых глобально ¿-эквивалентны. Предположим, что /1 является своей собственной нормальной формой в С. Тогда существуют окрестности С С и' С и и /(и') С V/ С V и иммерсия в : V/ Ч такие что

в о /1 |и' = Л |и'.

Доказательство. Мы используем только то, что /1(С) С V является подмногообразием. Это выполнено, поскольку /1(С) является сечением векторного расслоения V Ч С. Структуры векторных расслоений на и и V далее не существенны.

По определению, если С-ростки /1 и /2 глобально ¿-эквивалентны, то существуют окрестность С С и'' С и, п-многообразие V3, отображение /3 : и'' Ч V3 и иммерсии в1 : Vз Ч V и в2 : Vз Ч V;, такие что в1 ◦ /3 = /1 |и» и в2 ◦ /3 = /21и".

Заметим, что /3(С) С V3 является подмногообразием и иммерсия в1|/з(с) будет диффеоморфизмом на образ. По Предложению 5, для некоторой окрестности /3(С) С V' С V ограничение в11V' также является диффеоморфизмом на образ. Нам остаётся положить и' = Д-1^'), V/ = Ага и в = в2 о (в1|у3)-1. □

Лемма 4. Росток общего отображения / в каждом страте С С Е(/) имеет нормальную форму.

Доказательство. Напомним, что каждый страт С С Е(/) содержится в некотором Е1 (/), причём I = ¿1,..., г,—1, 0. Поскольку последний член в I нулевой, кег /|тс = 0. Следовательно, / |с является иммерсией, и мы можем применить Предложение 4 к С-ростку отображения /. □

2.4 Цилиндрические покрытия

Далее мы определим некоторый класс покрытий, который облегчит работу с послойными отображениями векторных пространств. Они будут использоваться в доказательстве Леммы 3.

Пусть р : и Ч С — векторное расслоение. Обозначим через || • || норму в слоях и. Мы предполагаем С вложенным в и в качестве нулевого сечения.

Определение 5. Покрытие С С и и С и называется цилиндрическим, если для каждого и^ и каждого слоя ^ = р-1(ж), х € С, либо ^ П и = 0, либо ^ П и = ^ П и и.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рябичев Андрей Дмитриевич, 2020 год

Список литературы

[1] F. Aicardi, T. Ohmoto, First order local invariants of apparent contours, Topology 45 (2006), 27-45.

[2] Y. Ando, A homotopy principle for maps with prescribed Thom-Boardman singularities, Trans. Amer. Math. Soc., 359 (2007), 480-515.

[3] J. M. Boardman, Singularities of differentiable maps. IHES Publ. Math., 33 (1967), 21-57.

[4] A.Edmonds, Deformation of maps to branched coverings in dimension two. Ann. Math., vol. 110 (1979), 113-125.

[5] Y. M. Eliashberg, N. M. Mishachev, Holonomic approximation and Gromov's h-principle. L'Enseignement Math., 47 (2001), arXiv:math/0101196

[6] M. Goresky, R. MacPherson, Stratified Morse theory. Springer-Verlag, 1988.

[7] D. Hacon, C. Mendes de Jesus, M. C. Romero Fuster, Graphs of stable maps from closed orientable surfaces to the 2-sphere. J. Singul. 2 (2010), 67-80.

[8] M. Hirsch, Immersions of manifolds. Trans. Amer. Math. Soc., vol. 93, no. 2 (1959), 242276.

[9] M. Hirsch, On imbedding differentiable manifolds in Euclidean space. Ann. Math., 73, no. 3 (1961), 566-571.

10] H. Kneser, Die kleinste Bedeckungszahl innerhalb einer Klasse von Flachenabbildungen. Math. Ann. 103 (1930), 347-358.

11] C. Mendes de Jesus, Graphs of stable maps between closed orientable surfaces. Comput. Appl. Math. 36 (2017), no. 3, 1185-1194

12] C. Mendes de Jesus, M. C. Romero-Fuster, Graphs of stable maps from closed surfaces to the projective plane. Topology Appl. 234 (2018), 298-310.

13] J. Milnor, J. D. Stasheff, Characteristic Classes. Princeton University Press, 1974.

14] B. Morin, Formes canoniques des singularites d'une application differentiable. C. R. Acad. Sci. Paris, 260 (1965), 5662-5665.

15] A. Ryabichev, Eliashberg's h-principle and generic maps of surfaces with prescribed singular locus. Topology and its Applications, vol. 276 (2020). DOI: 10.1016/j.topol.2020.107168

16] A. Ryabichev, Maps of manifolds of the same dimension with prescribed Thom-Boardman singularities. arXiv:1810.10990

17] S. Smale, The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces. Ann. Math., 69, no. 2 (1959), 327-344.

[18] E. Spanier, Algebraic Topology. Springer-Verlag, New York, New York, 1982.

[19] E. Spanier, Singular homology and cohomology with local coefficients and duality for manifolds. Pacific Journal of Mathematics, vol. 160, no. 1, (1993), 165-200.

[20] G. Whitehead, Elements of homotopy theory. Springer-Verlag, 1978.

[21] H. Whitney, On singularities of mapping of Euclidean spaces. I. Mappings of the plane into the plane. Annals of Mathematics, vol. 62, no. 3, (1955), 374—410.

[22] H.Whitney, Tangents to an Analytic Variety. Ann. Math., 81, no. 3 (1965), 496-549.

[23] L.Wilson, Nonopenness of the set of Thom-Boardman maps. Pacific J. Math., 84, no. 1 (1979), 225-232.

[24] M.Yamamoto, The number of singular set components of fold maps between oriented surfaces. Houston J. Math. 35 (2009), no. 4, 1051-1069.

[25] T. Yamamoto, Apparent contours of stable maps between closed surfaces. Kodai Math J., vol. 40 (2017), 358-378.

[26] В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений, Том 1, Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982.

[27] В. И. Арнольд, В. А. Васильев, В. В. Горюнов, О. В. Ляшко, Особенности. I. Локальная и глобальная теория, Динамические системы - 6, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 6, ВИНИТИ, М., 1988, 5-250.

[28] М.Громов, Соотношения с частными производными. М.: Мир, 1990.

[29] Н.М. Мишачёв, Я. М. Элиашберг, Введение в h-принцип. М.: МЦНМО, 2004.

[30] В.В.Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М.: МЦНМО, 2004.

[31] А. Д. Рябичев, Отображения с заданными бордмановскими особенностями. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, T. 492, №1 (2020), 62-64. DOI: 10.31857/S2686954320030170

[32] Я. М. Элиашберг, Об особенностях типа складки. Изв. АН СССР. Сер. матем., 34:5 (1970), 1110-1126.

[33] Я. М. Элиашберг, Хирургия особенностей гладких отображений. Изв. АН СССР. Сер. матем., 36:6 (1972), 1321-1347.