Алгебраическая К-теория некоторых многообразий и смежные вопросы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Ананьевский, Алексей Сергеевич

• Ананьевский, Алексей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ананьевский, Алексей Сергеевич

Содержание

Введение

Глава 1. /^-теория однородных многообразий

1.1. Представления редуктивных алгебраических групп

1.2. Комбинаторика подгруппы

1.3. Ограничение представлений

1.4. Примеры: Ах + Ах С <32, ВА С и С1 + С„_ 1 С С„

1.5. Представления, векторные расслоения и ^-теория

1.6. А'-теория однородных многообразий

1.7. К-теория скрученных форм

1.8. Примеры

Глава 2. 5Х-ориентированные теории когомологий

2.1. Предварительные сведения о 8%{к) и кольцевых теориях когомологий

2.2. Специальная линейная и симплектическая ориентации

2.3. Трансферы вдоль замкнутых вложений

2.4. Предварительные вычисления в стабильных когомотопических группах и стабильное отображение Хопфа

2.5. Обращение стабильного отображения Хопфа

2.6. Дополнение к нулевому сечению

2.7. Специальная линейная версия теоремы о проективизирован-ном расслоении

2.8. Принцип расщепления

2.9. Когомологии многообразий 5Х-флагов

2.10. Симметрические многочлены

2.11. Когомологии специальных линейных грассманианов и класси-

фицирующих пространств

Глава 3. О соотношении алгебраических М5£-кобордизмов и производных групп Витта

3.1. Мотивные сферы и символы

3.2. Теоремы универсальности

3.3. Эрмитова Ä'-теория Шлихтинга и группы Витта

3.4. Т-спектр ВО и теория когомологий ВО*'*

3.5. Мотивная версия теоремы Коннера-Флойда

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраическая К-теория некоторых многообразий и смежные вопросы»

Введение.

В алгебраической геометрии существует большое число теорий когомоло-гий, доставляющих различные инварианты многообразий. Однако зачастую эти инварианты с трудом поддаются вычислению. Существуют различные алгебраические, геометрические и топологические подходы к этой проблеме.

Один из основных методов состоит в том, чтобы свести вычисление теории когомологий на данном многообразии к вычислению значения в простейшем случае — на базовом поле. К результатам такого плана можно отнести хорошо известное описание групп Чжоу однородных многообразий при помощи циклов Шуберта [1], или же классическое вычисление Д.Квиллена [2], описывающее алгебраическую /Г-теорию проективного пространства,

= (1)

Иногда при вычислениях удается использовать общие методы, позволяющие получать единообразные ответы для широкого круга теорий, удовлетворяющих некоторым наборам аксиом. С другой стороны, при вычислениях конкретных теорий когомологий можно использовать их специфические особенности. Например, поскольку К-теория основана на векторных расслоениях, то к её вычислению можно привлекать аппарат теории представлений. Больше всего результатов такой подход дает для однородных многообразий. Помимо уже упомянутого выше результата Д.Квиллена для проективных пространств, стоит отметить вычисление Р.Суона, описавшего /С-теорию проективных квадрик [3]. Случаи скрученных форм этих многообразий, т.е. многообразий Севери-Брауэра и нерасщепимых проективных квадрик, также были разобраны в названных работах. Для скрученных форм ответ носит по сути аналогичный характер, только помимо /С-теории поля может возникать-К-теория некоторых центральных простых алгебр, в частности, для квадрик

возникают алгебры Клиффорда. Наиболее общий результат для однородных проективных многообразий получил И.А.Панин [4], который показал, что в этой ситуации ^-теория всегда может быть описана в терминах К-теории некоторых центральных простых алгебр.

В первой главе настоящей работы вычисляется алгебраическая К-теория внутренних форм однородных многообразий где Н < С — связные

расщепимые редуктивные группы одинакового ранга. А именно, в Теореме 4 доказано, что

г

Лг)7) (2)

г=1

для некоторых центральных простых алгебр А(А$)7. Здесь г = [И: ]¥(Н)] — индекс групп Вейля рассматриваемых алгебраических групп. Отметим, что, как показано в последнем параграфе первой главы, известные результаты о ^-теории однородных проективных многообразий могут быть выведены из Теоремы 4.

Существенную роль в доказательстве играет тот факт, что выбор рациональной точки на однородном многообразии индуцирует тензорную эквивалентность между категорией эквивариантных векторных расслоений над рассматриваемым многообразием и категорией конечномерных представлений стабилизатора выбранной точки. Другим важным ингредиентом является спектральная последовательность А.Меркурьева [5], которая позволяет переходить от эквивариантной К-теории к обычной. Оказывается, что для расщепимых редуктивных групп Н < С одинакового ранга эта последовательность вырождается (Предложение 2), доставляя явный ответ. Для доказательства того, что спектральная последовательность вырождается, можно воспользоваться теоремой Р.Стейнберга [б], которая утверждает, что кольцо представлений Я(Н) является свободным модулем над В третьем па-

раграфе первой главы, в Теореме 2, мы даем новое наглядное доказательство

этого результата, строя некоторый явный базис, состоящий из неприводимых представлений. Полученный базис был использован не только в этой работе, но и для построения исключительных линейных наборов в статье [7]. Затем мы доказываем формулу 2 для расщепимого случая (Теорема 3), и, пользуясь принципом расщепления [8], переносим полученные вычисления на скруче-ные формы (Теорема 4). Отметим, что для данной расщепимой редуктивной группы С имеется полная классификация редуктивных подгрупп максимального ранга [9, § 3]. А именно, такие подгруппы соответствуют квази-замкну-тым (в характеристике ноль — замкнутым) симметричным подмножествам системы корней группы С, поэтому можно явно выписать список многообразий, покрываемых Теоремой 4. В последнем параграфе первой главы разбираются некоторые примеры, в частности, описывается ^-теория кватернионных проективных пространств и октонионной проективной плоскости.

Вернемся к общим методам вычисления, работающим для целых классов теорий когомологий, удовлетворяющих некоторым наборам аксиом. Как оказалось позднее, описание, подобное формуле 1, может быть получено в довольно широком контексте: аналогичный изоморфизм имеет место для всех так называемых ориентированных теорий когомологий [10, 11]. Помимо групп Чжоу и алгебраической .^-теории к ним относятся, например, алгебраические кобордизмы и этальные когомологии с коэффициентами в где т взаимно просто с характеристикой базового поля. Более того, адаптируя классические геометрические приемы в алгебраический контекст, в описанной ситуации можно получить вычисления для многообразий флагов СЬп/Р в терминах срезанных колец многочленов от характеристических классов. Отметим, что описанные результаты не зависят от знания коэффициентов рассматриваемой теории, т.е. значения на базовом поле; к примеру, в случае алгебраической ^-теории К*(к) для многих полей вообще не поддается вычислению. Хочется подчеркнуть, что используемые при таком подходе методы носят общий гео-

метрический характер и довольное часто являются алгебраический адаптацией классических топологических и дифференциально-геометрических приемов.

Во второй главе настоящей диссертации развиваются методы работы с 5Х-ориентированными теориями когомологий. Некоторые естественными образом возникающие теории когомологий, например, эрмитова А'-теория и производные группы Витта, не являются ориентируемыми, т.е. для них не выполняется формула 1. Это происходит, в частности, потому что для них невозможно определить классы Тома для всех векторных расслоений и отсутствуют изоморфизмы Тома. Однако для производных групп Витта и эрмитовой А^-теории можно при помощи комплексов Кошуля определить классы Тома и Эйлера для векторных расслоений с дополнительной структурой, а именно, для векторных расслоений с тривиализован-ным определителем, т.е. векторных расслоений со структурной группой (5Х-расслоений). Таким образом, представляется осмысленной аксиоматизация понятия ЙХ-ориентированной теории когомологий при помощи фиксации классов Тома и Эйлера ¿Х-расслоений и развитие возникающей теории характеристических классов, которые являются аналогами классов Понт-рягина. Отметим, что аналогичный подход в литературе уже встречается: И.А.Паниным и Ч.Уолтером было сформулировано определение симплекти-ческой ориентации и получена симплектическая версия формулы 1. А именно, они показали, для ¿эр-ориентированных теорий имеет место изоморфизм А(НРп) ^ А(к)Щ/(гп+1), где НРп = ^+2/(^2 х 5Р2п) - кватернионное проективное пространство [12]. Далее авторами развивается теория характеристических классов, которые они называют классами Понтрягина. Однако, как заметил В.М.Бухштабер, эти классы являются аналогами симплектиче-ских классов Бореля [13], поэтому их естественнее называть классами Бореля. Развитая теория позволяет вычислить когомологии кватернионных многооб-

разий флагов, а также классифицирующих пространств В8р2П-

В качестве первого шага надо выбрать специальную линейную версию проективного пространства, для которой можно будет получить формулу 1. Если действовать по аналогии с Р" ~ СЬп+\/{СЬ1 х и НРп =

то естественным кандидатом представляется БЬп+х/5ХП. Но это многообразие является аффинным расслоением над Ап+1 — {0}, поэтому с когомологической точки зрения они не различаются, а геометрически пунктированное аффинное пространство выглядит проще, поэтому мы будем рассматривать последнее. Для этого многообразия есть известное вычисление П.Балмера и С.Жилля производных групп Витта [14, Теорема 8.13]:

УГ(АП+1 - {0}) = \¥*{к) © УУ*~п{к)е. (3)

Это вычисление не выглядит удивительным, если вспомнить, что рассматриваемое многообразие является мотивной сферой в гомотопической категории, определенной В.Воеводским и Ф.Морелем [15, 16], а производные группы Витта представимы [17]. Интересным представляется тот факт, что при четном п в качестве элемента е можно выбрать класс Эйлера расслоения Т = Оп+х / 0{—1), где под 0{—1) мы понимаем тавтологическое линейное расслоение над Ап+1 — {0}. К сожаление, для случая нечетного п базис выглядит значительно сложнее. Кроме того, для ориентированных теорий (которые, конечно, 5Х-ориентированы) даже в четном случае соответствующий класс Черна тривиален. Поэтому нельзя ожидать, что 1 и е(7~) будут образовывать базис для каждой 5Х-ориентированной теории когомологий.

Для того, чтобы разрешить возникшее затруднение, можно воспользоваться следующей аналогией между алгебраическим и топологическим контекстами. Максимальная компактная подгруппа ЗЬп(Ш) совпадает с 50П(К), поэтому с топологической точки зрения (т.е. над полем К) понятие 5 ¿-расслоения совпадает с понятием ориентированного вещественного

векторного расслоения. Хорошо известно, что вычисления, использующие классы Эйлера ориентированных расслоений, значительно упрощаются после обращения двойки в коэффициентах, поэтому мы желаем обратить некоторый аналогичный элемент в алгебраическим контексте. Есть два интересных элемента в стабильных когомотопических группах 7г*'*(&), которые при взятии вещественных точек соответствуют двойке: обычная двойка в 7г0,0 (к) и стабильное отображение Хопфа г] £ 7Г-1индуцированное морфизмом А2 - {0} Р1. Вообще говоря, двойка не обратима в производных группах Витта, поэтому мы будем обращать 77. Некоторой дополнительной мотивацией к этому может служить теорема Ф.Мореля [18], утверждающая, что для совершенного поля имеет место изоморфизм ©п7гп,тг(А;)[77_1] = \У°(к)^,^1], т.е. элемент г} в некотором смысле обратим в производных группах Витта.

Наиболее естественным контекстом для работы с ориентированными теориями когомологий являются нестабильная и стабильная мотивные гомотопические категории В.Воеводского и Ф.Мореля. Мы в основном работаем с 5 ¿/-ориентированными биградуированными представимыми теориями когомологий А*'*(—), а такие теории тривиальным образом являются алгебрами над стабильными когомотопическими группами. Обращение стабильного элемента Хопфа доставляет периодическую теорию когомологий, поэтому можно не умаляя общности вместо обращения положить 77 = 1, получая градуированную теорию А*(—) = А*'*(—)/ (1 — г]). Для таких теорий в Лемме 25 второй главы устанавливается аналог формулы 3:

А*(А2п+1 - {0}) = А*{к) © А*~2п{к)е(Т). (4)

Поскольку это равенство задается при помощи некоторого класса Эйлера, то имеет место и аналогичная относительная формула, вычисляющая когомоло-гии дополнения к нулевому сечению Б //-расслоения (Теорема 7). Отметим, что из приведенного выше изоморфизма следует, что любая ориентирован-

ная теория когомологий после обращения ту зануляется, т.е. в такой теории г/ нильпотентно (Следствие 3).

Затем в работе рассматриваются специальные линейные грассманиа-ны которые можно определить как дополнение к нулевому се-

чению определителя тавтологического расслоения над обычным грассманиа-ном. Эти многообразия являются естественными алгебраическими аналогами двулистных ориентированных накрытий обычных грассманианов. Для них в Теореме 8 доказывается аналог формулы 1:

2п—2

Л*(5Сг(2, 2п)) = 0 А*-2г(А0е(71)* © А*-2п+2(/с)е(Т2), (5)

г=0

2п—1

А*(5Сг(2, 2п + 1)) = ф А*"2г(/с)е(71Г. (6)

г=0

Здесь 71 и — тавтологические расслоения над специальными линейными грассманианами. Относительный случай устанавливается в Теореме 9, а соотношения, которым удовлетворяют классы е(71) и е(Т2) выводятся в Теореме 12.

Отметим, что П.Балмером и Б.Калмесом недавно были получены описания скрученных производных групп Витта обычных грассманианов [19]. Скрученные группы возникают по причине использования трансферов, которые имеют место только в скрученной ситуации. Мы работаем с многообразиями с тривиальным каноническим пучком и замкнутыми вложениями с 5Х-нормальными расслоениями, поэтому и удается избежать возникновения закруток. Кроме того, мы заинтересованы в вычислениях, которые могут быть перенесены на относительный случай, поэтому ищем базисы, выражающиеся через характеристические классы расслоений, в отличии от зависящих от трансферов базисов, построенных в упомянутой работе. Оказывается, что базисы из характеристических классов могут быть построены для грассманианов БСг^к, п) где хотя бы одно из чисел к, п—к четно (Теорема 13). В случае,

когда оба числа нечетны, базис может быть описан при помощи трансферов, но такое описание не переносится на относительный случай.

В настоящей работе описываются и когомологии многообразий специальных линейных флагов (Предложение 7). В частности, получены формулы

>Г(£Ь2п/№Г) = е2,е„] Д5ь ^ _ , ^^ , (7)

¿*№„+1/№)п) = А*(к)[еъ е2,..., еп]^ > ^ , (8)

где = сгДе^, е^,е^), Ь = сгп(е1, ег,..., еп). Существование такого рода изоморфизмов влечет выполнение принципа расщепления, который, нестрого говоря, утверждает, что с когомологической точки зрения любое 5Х-расслоение представляется в виде суммы некоторого количества ЙХ-расслоений рангов два и один. А поскольку любое двумерное 5Т-расслоение каноническим образом может быть снабжено симплектиче-ской формой, мы получаем принцип симплектичности (Теорема 11), который, неформально говоря, утверждает, что с когомологической точки зрения любое 5Х-расслоение четного ранга может быть снабжено симплектической формой, согласованной с 5Х-структурой.

Формулы 7-8 прекрасно согласуются с тем принципом, что ¿>ХП является алгебраическим аналогом группы 50П(К): тогда 6X2 соответствует 502 (М) = 511, и выбор максимального набора коммутирующих 6X2 в 5ХП параллелен выбору максимального компактного тора Т в 50П(М). Поэтому топологическим аналогом формул 7-8 являются хорошо известные описания ко-гомологий 302п(Щ/Т и 302п+1(Щ/Т как коинвариантов групп Вейля Иг(Вп) и 1У(.0П) соответственно.

В последнем параграфе второй главы, в Теореме 14, показывается, что произведенные вычисления когомологий специальных линейных грассманиа-нов позволяют описать когомологии классифицирующих пространств ВЗЬп в виде однородных формальных степенных рядов от характеристических

классов:

и >

(9) (10)

В третьей главе развитые общие методы работы с 5Х-ориентированными теориями применяются для доказательства мотивного аналога теоремы Кон-нера-Флойда, восстанавливающего производные группы Витта по алгебраическим симплектическим кобордизмам. Непосредственный мотивный аналог теоремы Коннера-Флойда [20, Теорема 10.2], восстанавливающий эрмитову А-теорию по симплектическим кобордизмам, был получен И.А.Паниным и Ч.Уолтером [21]. Он утверждает, что для каждого гладкого многообразия X имеет место естественный изоморфизм

Отображение индуцируется теоремой универсальности, утверждающей, что алгебраические симплектические кобордизмы являются универсальной симплектически ориентированной теорией когомологий. Однако эрмитова К-теория не только симплектически ориентирована, но и 5Х-ориентирована, поэтому возникает вопрос, нельзя ли получить аналогичный изоморфизм, заменив МБр на МБЬ. В Теореме 21 третьей главы настоящей работы показывается, что такой изоморфизм имеет место после обращения стабильного отображения Хопфа,

Кроме того, в Теореме 19 доказывается, что эрмитова А'-теория с обращенным стабильным отображением Хопфа становится изоморфна многочленам Лорана над производными группами Витта. Тогда, полагая г] = 1, форму-

(П)

МвЬ^Х) Зизь^м КО[ъ*\к) ^ КО§(Х).

(12)

лу 12 можно переписать в виде

М51Л*(Х)/(т/ - 1) ЪмБь^к) Ж2*(к) ^ УГ{Х). (13)

Отметим, что предложенное доказательство формулы 12 было основано на использовании уже упоминавшегося выше принципа симплектичности, полученного во второй главе настоящей диссертационной работы.

Все результаты, представленные в работе, опубликованы в 2012-2013 гг. в [7, 22, 23].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ананьевский, Алексей Сергеевич, 2013 год

Литература

1. Demazure M. Désingularisation des variétés de Schubert généralisées // Ann. Sci. École Norm. Sup. (4). 1974. Vol. 7. P. 53-88.

2. Higher K-theories // Ed. by H. Bass. Lect. Notes in Math. 1972.

3. Swan R. G. K-theory of quadric hypersurfaces // The Annals of Mathematics. 1985. Vol. 122, no. 1. P. 113-153.

4. Panin I. On the algebraicK-theory of twisted flag varieties // K-theory. 1994. Vol. 8, no. 6. P. 541-585.

5. Merkurjev A. Equivariant if-theory // Handbook of if-theory. 2005. Vol. 2. P. 925-954.

6. Steinberg R. On a theorem of Pittie // Topology. 1975. Vol. 14. P. 173-177.

7. Ananyevskiy A., Auel A., Garibaldi S., Zainoulline K. Exceptional collections of line bundles on projective homogeneous varieties // Advances in Math. 2013. Vol. 236. P. 111-130.

8. Панин И. А. Принцип расщепления и if-теория односвязных полупростых алгебраических групп // Алгебра и Анализ. 1998. Т. 10, № 1. С. 88-131.

9. Borel A., Tits J. Groupes réductifs // Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1965. Vol. 27, no. 1. P. 55-150.

10. Panin I. Oriented cohomology theories of algebraic varieties // K-Theory. 2003. Vol. 30, no. 3. P. 265-314.

11. Levine M., Morel F. Algebraic cobordism. Springer, 2007.

12. Panin I., Walter C. Quaternionic Grassmannians and Pontryagin classes in algebraic geometry // arXiv preprint arXiv: 1011.0649. 2010.

13. Borel A., Hirzebruch F. Characteristic classes and homogeneous spaces I // Amer. J. Math. 1958. Vol. 80, no. 2. P. 458-538.

14. Balmer P., Gille S. Koszul complexes and symmetric forms over the punctured affine space // Proceedings of the London Mathematical Society. 2005. Vol. 91, no. 02. P. 273-299.

15. Morel F., Voevodsky V. A 1-homotopy theory of schemes // Publications Mathématiques de l'IHES. 1999. Vol. 90, no. 1. P. 45-143.

16. Voevodsky V. Al-homotopy theory // Doc. Math. 1998. P. 579-604.

17. Hornbostel J. Al-representability of hermitian K-theory and Witt groups // Topology. 2005. Vol. 44, no. 3. P. 661-687.

18. Morel F. Al-Algebraic topology over a field. Springer, 2012.

19. Balmer P., Calmes B. Witt groups of Grassmann varieties // Journal of Algebraic Geometry. 2012. Vol. 21, no. 4. P. 601-642.

20. Conner P. E., Floyd E. E. The relation of cobordism to K-theories. Springer-Verlag, 1966.

21. Panin I., Walter C. On the relation of symplectic algebraic cobordism to hermitian K-theory // arXiv preprint arXiv:1011.0652. 2010.

22. Ananyevskiy A. On the algebraic K-theory of some homogeneous varieties // Documenta Mathematica. 2012. Vol. 17. P. 167-193.

23. Ананьевский А. С. О соотношении алгебраических MSL-кобордизмов и производных групп Витта // Доклады Академии Наук. 2013. Т. 448, № 5. С. 503-505.

24. Jantzen J. С. Representations of algebraic groups. Orlando: Academic Press, 1987.

25. Humphreys J. E. Linear Algebraic Groups. New-York: Springer-Verlag, 1972.

26. Serre J.-P. Groupes de Grothendieck des schémas en groupes réductifs déployés // Publications Mathématiques de L'IHÉS. 1968. Vol. 34, no. 1. P. 37-52.

27. Humphreys J. E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. New-York: Springer-Verlag, 1978.

28. Atiyah M. F., Macdonald I. G. Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Pub. Co., 1969.

29. Bourbaki N. Lie groups and Lie algebras. Berlin: Springer-Verlag, 2002.

30. Tits J. Représentations linéaires irréductibles d'un groupe réductif sur un corps quelconque // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1971. Vol. 247. P. 196-220.

31. McNinch G. J. Levi decompositions of a linear algebraic group // Transformation Groups. 2010. Vol. 15, no. 4. P. 937-964.

32. Kambayashi T., Miyanishi M., Takeuchi M. Unipotent Algebraic Groups. Springer Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 1974.

33. Baez J. C. The octonions // Bull. Amer. Math. Soc.(NS). 2002. Vol. 39, no. 2. P. 145-205.

34. Jardine J. F. Motivic symmetric spectra // Doc. Math. 2000. Vol. 5. P. 445-552.

35. Morel F. Basic properties of the stable homotopy category of smooth schemes // preprint, taken from a Web site approximately in March. 2000.

36. Panin I., Walter C. On the algebraic cobordism spectra MSL and MSp // arXiv preprint arXiv: 1011.0651. 2010.

37. Schlichting M. Hermitian K-theory of exact categories // K-theory. 2010. Vol. 5, no. 1. P. 105-165.

38. Panin I., Walter C. On the motivic commutative ring spectrum BO // arXiv preprint arXiv: 1011.0650. 2010.

39. Nenashev A. Gysin maps in oriented theories // Journal of Algebra. 2006. Vol. 302. P. 200-213.

40. Nenashev A. Gysin maps in Balmer-Witt theory // Journal of Pure and Applied Algebra. 2007. Vol. 211. P. 203-221.

41. Panin I., Pimenov K., Rondigs O. On Voevodsky's Algebraic K-Theory Spectrum // Algebraic topology. 2009. P. 279-330.

42. Balmer P. Witt groups // Handbook of K-theory. 2005. Vol. 1,2. P. 539-576.

43. Fulton W. Young tableaux: with applications to representation theory and geometry. Cambridge University Press, 1996.

44. Gille S., Nenashev A. Pairings in triangular Witt theory // Journal of Algebra. 2003. Vol. 261, no. 2. P. 292-309.

45. Schlichting M. The Mayer-Vietoris principle for Grothendieck-Witt groups of schemes // Inventiones mathematicae. 2010. Vol. 179, no. 2. P. 349-433.

46. Balmer P. Derived Witt groups of a scheme // Journal of Pure and Applied Algebra. 1999. Vol. 141, no. 2. P. 101-130.

47. Walter C. Grothendieck-Witt groups of triangulated categories // K-theory preprint archive. 2003.