Геометрия твисторных пространств гиперкомплексных многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Томберг Артур Юрьевич

• Томберг Артур Юрьевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Томберг Артур Юрьевич

Обзор результатов

Направления дальнейших исследований и применений

1 Предварительные сведения

1.1 Сбалансированные многообразия

1.2 Гиперкомплексная и гиперкэлерова геометрия

1.3 Стабильность

2 Сбалансированные метрики на твисторных пространствах

2.1 Случай гиперкэлерова многообразия

2.2 Случай гиперкомплексного многообразия

3 Послойно стабильные расслоения на твисторных пространствах ги-перкэлеровых многообразий

3.1 Послойная стабильность как открытое по Зарисскому свойство

3.2 Неприводимые расслоения и послойная стабильность

3.3 Стабильное, но послойно нестабильное расслоение на Т'№(М)

Заключение

Список литературы

Введение

Кватернионы были введены У. Гамильтоном в XIX веке при попытке обобщить операции умножения и деления комплексных чисел, рассматриваемых как точки в М2, на высшие измерения. Хотя амбициозным идеям Гамильтона о полной перестройке геометрии и физики его времени в терминах кватернионов не суждено было сбыться, вполне уместно, что прогресс в геометрии в XX веке естественным образом привел математиков к проблеме поиска подходящих кватернионных аналогов понятия комплексного многообразия, которые, как оказалось, имеют богатую теорию с многочисленными применениями в современной физике. Следует отметить, что наивное определение многообразия с атласом карт, принимающих значения в И", слишком ограничительно: требование, чтобы дифференциалы функций перехода И" ^ И" были И-линейными, влечет за собой тот факт, что сами функции перехода должны быть И-аффинными, что дает нам только плоские аффинные многообразия. Мы будем придерживаемся другого подхода, который приведет нас к определению гиперкомплексных многообразий и их особого случая гиперкэлеровых многообразий, являющихся основными объектами изучения данной диссертации.

Вспомним, что в случае комплексного многообразия, имеется альтернатива обычному определению в терминах комплексных карт и голоморфных функций перехода. А именно, комплексное многообразие можно задать как гладкое многообразие М вместе с почти комплексной структурой (то есть эндоморфизмом касательного расслоения I : ТМ ^ ТМ, удовлетворяющим I2 = -1), которая является интегрируемой, в смысле Ньюлендера-Ниренберга [38]. Непосредственно обобщая это определение на случай кватернионов, можно рассматривать гладкое многообразие М вместе с тройкой интегрируемых почти комплексных структур 1,.],К : ТМ ^ ТМ, удовлетворяющих кватернионным соотношениям

I2 = з2 = К2 = -1, и = -л = к.

Мы будем называть такое многообразие гиперкомплексным. Эти многообразия были впервые изучены в 1980-ых годах Ч. Бойером [6], давшим полную классификацию компактных гиперкомплексных многообразий кватернионной размерности 1, и показавшим, что единственными таковыми являются комплексные торы, поверхности КЗ и поверхности Хопфа. Аналогичной классификации в старших размерностях не существует, однако было найдено очень много примеров таких многообразий; в частности, Д. Джойс [26] построил большое семейство левоинвариантных гипер-

комплексных структур на компактных однородных пространствах, заново открыв и обобщив более раннюю работу физиков [45].

Для данного гиперкомплексного многообразия (М, I,К), предположим, что на нем задана риманова метрика д, являющаяся эрмитовой по отношению ко всем трем комплексным структурам I,К одновременно (такая д называется гиперэрмитовой). Обозначая через ш/ ,ШJ,шк соответствующие эрмитовы формы, мы будем называть многообразие М гиперкэлеровым, если все три эти формы замкнуты. Обозначив

0,1 = шJ + шк,

можно показать, что приведенное выше условие равносильно замкнутости формы 0/. Компактное гиперкэлерово многообразие М называется простым если оно од-носвязно и удовлетворяет Н2'0(М) = С. Изучение гиперкэлеровых структур исторически предшествует изучению структур гиперкомплексных: определение гиперк-элерова многообразия было впервые дано Э. Калаби [11] в 1970-ых годах, однако гиперкэлеровы многообразия также появлялись в гораздо ранней работе М. Берже [4] 1950-ых годов о классификации неприводимых групп голономии римановых многообразий, где они соответсвтуют группе голономии Бр(п). Несложно видеть, что форма 01, определенная выше, является невырожденной (2, 0)-формой по отношению к комплексной структуре I на М. Условие (10/ = 0 делает ее голоморфной сим-плектической формой. С другой стороны, из доказательства Ш. Яу гипотезы Калаби [54] следует, что компактное кэлерово голоморфное симплектическое многообразие является гиперкэлеровым, что показывает эквивалентность этих двух понятий. Ги-перкэлерова геометрия играет важную роль в теории квантовой гравитации посредством ее связи с суперсимметрией [24] и имеет богатую и развитую теорию, однако, в отличии от общего гиперкомплексного случая, примеров компактных гиперкэле-ровых многообразий мало. Два семейства простых гиперкэлеровых многообразий в каждой кватернионной размерности, а именно схемы Гильберта точек на поверхности Х3 и обобщенные многообразия Куммера, были построены А. Бовиллем [3], в то время как К. О'Грэди построил два спорадических примера в комплексных размерностях 6 и 10 (соответствующих кватернионным размерностям 3 и 5) [39, 40]. В данный момент неизвестно, существуют ли иные примеры, которые не являются деформационно эквивалентными этим.

Важным инструментом для изучения как гиперкомплексных, так и гиперкэлеро-вых многообразий является твисторный формализм. Теория твисторов была введена Р. Пенроузом [43] в контексте теоретической физики в 1960-ых годах и с тех пор играет важную роль как в физике, так и в математике. В гиперкомплексной геометрии она принимает следующую форму. Для заданного гиперкомплексного многообразия (М,1 ,.],К), несложно видеть, что существует целая двумерная сфера интегрируемых почти комплексных структур на М:

52 = {х!I + х2. + х3К : х2 + х2 + х2 = Т}

Такие структуры мы будем называть индуцированными комплексными структурами. Произведение М х 52 параметризует совокупность индуцированных комплекс-

ных структур в точках М, и отождествляя 52 с СР1 обычным способом, мы будем называть Т-(М) = М х Б2 = М х СР1 твисторным пространством гиперкомплексного многообразия М. Оказывается, что на Т-(М) существует естественная комплексная структура, по отношению к которой проекция п : Т-(М) ^ СР1 является голоморфным отображением. В случае, если на М также существует гиперкэлерова метрика д, она порождает естественную эрмитову метрику на Т-(М). Полезность твисторного пространства Т-(М) заключается в том, что его комплексная структура содержит в себе всю информацию о кватернионной структуре гиперкомплексного многообразия М. Так, например, М может быть восстановлено из Т-(М). В более общем смысле, имеется понятие твисторного преобразования, которое принимает множество разных форм, и ассоциирует с каждым объектом на М, каким-либо образом совместимым с кватернионной структурой, соответствующий голоморфный объект на Т-(М), взаимно-однозначным образом. Для случая гиперкэлерова М, это соответствие переводит векторное расслоение на М, являющееся одновременно голоморфным по отношению ко всем индуцированным комплексным структурам, в голоморфное расслоение на Т-(М), удовлетворяющее определенным условиям ограничения (теорема 1.2.7, изначально из статьи [28]). Это приводит к отождествлению соответствующих пространств модулей, и таким образом, геометрия твистор-ного пространства Т-(М) помогает в нашем понимании геометрии исходного многообразия М.

Вспомним, что для того, чтобы иметь осмысленную структуру на пространстве модулей векторных расслоений, нам нужно рассматривать стабильные векторные расслоения. Понятие стабильности было впервые введено Д. Мамфордом в алгебро-геометрическом контексте в [36] для проективных многообразий, а затем обобщено на кэлеровы многообразия, и далее на общие эрмитовы многообразия. В начале 1980-ых годов, Ш. Кобаяши и Н. Хитчин независимо друг от друга ввели гипотезу о том, что пространства модулей стабильных расслоений по существу совпадают с пространствами модулей векторных расслоений Эрмита-Эйнштейна, чисто дифференциально-геометрическим понятием, введенным Кобаяши в [29]. Хотя верность этой гипотезы была известна для кривых из более ранней работы М. Нара-симхана и К. Сешадри [37], обобщение этого результата потребовало значительного количества времени и сил от многих математиков. Известная сегодня под именем соответствия Кобаяши-Хитчина, эта гипотеза постепенно доказывалась в возрастающей общности: С. Дональдсон дал новое дифференциально-геометрическое доказательство для кривых [13], а затем разрешил случай алгебраических поверхностей [14] и многообразий [15], К. Уленбек и Ш. Яу доказали гипотезу для кэлеровых многообразий [49, 50], Н. Бухдаль дал доказательство для общих поверхностей [10], и наконец Ю. Ли и Ш. Яу разрешили случай общих эрмитовых многообразий [31]. Соответствие Кобаяши-Хитчина, среди многих других своих применений, приводит к лучшему пониманию геометрии пространств модулей стабильных расслоений. В то время как существует богатая теория стабильных векторных расслоений в алгебраическом контексте (см., например, [25]), некэлеров случай представляется более сложным. Исторически первое явное описание пространства модулей стабильных

расслоений на некэлеровом многообразии принадлежит П. Брааму и Ж. Уртю-бизу [7]. Работая на примарной эллиптической поверхности Хопфа, они описали пространство модулей стабильных БЬ(2, С)-расслоений, которые по соответствию Кобаяши-Хитчина можно отождествить с БП(2)-инстантонами. С тех пор, тема пространств модулей стабильных расслоений над некэлеровыми многообразиями привлекает большой интерес исследователей, но в то время как некоторые результаты в этом направлении были достигнуты (см. [9, 8]), многое остается неизвестным.

Одна из причин, по которой случай некэлерова многообразия остается сложным для изучения, является тот факт, что, несмотря на то, что соответствие Кобаяши-Хитчина остается верным для произвольного эрмитова многообразия, в отсутствии кэлеровой метрики в общем случае имеется потеря структуры на пространствах модулей, а с понятием стабильности становится сложнее работать. Не вдаваясь в данный момент в подробности, отметим, что ключевым звеном в определении стабильности является понятие степени, которое для голоморфного векторного расслоения Е на компактном кэлеровом многообразии размерности п принимает форму

deg(E) := J а(Е) лшп-!.

Здесь сл(Е) — первый класс Черна, рассматриваемый как элемент второй группы когомологий де Рама, а ш — кэлерова форма. Чтобы увидеть, что это определение не зависит от выбора представителя С1(Е), заметим, что для любой 1-формы п, имеем

J йп л шп-! = J й (п л шп-!) + J п л й (шп-!) = 0. (1)

Первый член справа нулевой по теореме Стокса, а второй член нулевой по условию кэлеровости йш = 0. Из этого следует, что deg(E) — топологический инвариант Е, так как таковым являетя С1(Е). В случае, если ш — общая эрмитова форма, не являющаяся замкнутой, степень не определена корректно. В таком случае, нужно несколько подкорректировать данное выше определение deg(E), что будет сделано в параграфе 1.3. Следует заметить, что для общего эрмитова многообразия, deg(E) не является топологическим инвариантом Е, а лишь голоморфным инвариантом, что усложняет теорию и соответствующие пространства модулей. Однако если эрмитова форма ш удовлетворяет условию й (шп-!) = 0, нетрудно видеть, что равенство (1) остается верным и определение deg(E), данное выше, имеет смысл. Метрика, чья эрмитова форма ш удовлетворяет условию й (шп-!) = 0 называется сбалансированной; сбалансированные метрики были впервые введены М.-Л. Михельсон [34]. Для многообразий размерности > 3, они образуют строго больший класс, чем кэле-ровы метрики, а ввиду сказаного выше, можно утверждать, что сбалансированные многообразия образуют самый большой класс многообразий, для которых в общем случае можно надеяться на наличие хорошей структуры на пространстве модулей стабильных расслоений.

Обзор результатов

В статье [28], Д. Каледин и М. Вербицкий изучают автодуальные связности на комплексных векторных расслоениях Е над гиперкэлеровым многообразием М. Таковыми называются связности V, чья кривизна инвариантна по отношению к естественному действию группы Би(2) на расслоении Л*М дифференциальных форм на гиперкэлеровом М. Они доказывают, что пространство модулей автодуальных связ-ностей на Е локально является комплексификацией пространства модулей структур Эрмита-Эйнштейна на Е. Кроме этого, они изучают твисторное пространство Т-(М) = М х СР1 и его естественные проекции

Т-(М)

М СР1

и доказывают версию твисторного преобразования для автодуальных связностей, переводящего (Е, V) в голоморфное векторное расслоение (а*Е, (a*V) ) на тви-сторном пространстве Т-(М). В статье дается явное описание того, какие именно голоморфные расслоения на Т-(М) получаются таким образом, и показывается, что полученное соответствие взаимно-однозначное (теорема 1.2.7). Кроме этого, показывается, что образ автодуальной связности по этому соответствию полустабилен на Т-(М), что дает описание твисторного преобразования как инъективного отображения соответствующих пространств модулей. Наконец, для заданного векторного расслоения Е на М с Би(2)-инвариантными первыми двумя классами Черна С1(Е), С2(Е), изучаются голоморфные структуры на комплексном расслоении а*Е на Т-(М), чьи ограничения на все слои голоморфной твисторной проекции п : Т-(М) ^ СР1 стабильны; такие расслоения называются послойно стабильными. Доказывается, что пространство модулей послойно стабильных расслоений на Т-(М) изоморфно пространству сечений твисторной проекции 77 : Т-(М) ^ СР1 (такие сечения называются твисторными прямыми), где М — пространство деформаций Е, обладающее естественной гиперкэлеровой метрикой, и таким образом, тоже допускающее твисторное пространство Т-(М). М называется двойственным многообразием к М; терминология аналогична случаю поверхностей К3, изученному Ш. Мукаи [35]. Ввиду твисторного преобразования, описанного выше, получается отождествление пространства модулей автодуальных связностей на Е, индуцирующих стабильные голоморфные структуры для каждого I е СР1, с пространством прямых в твисторном пространстве Т-(М) двойственного многообразия М.

Предметом данной диссертации является расширение двух результатов из статьи [28]. Первый из них обобщен, а для другого доказано частичное обратное утверждение. Дадим теперь описание этих двух результатов.

Для работы с пространством модулей голоморфных расслоений, и в частности для построения твисторного преобразования как включения пространств модулей, необходимо корректное определение стабильности на Т-(М). Как было сказано

выше, твисторное пространство Т-(М) гиперкэлерова многообразия М оснащено естественной эрмитовой метрикой, которая однако не обязана быть кэлеровой, и более того, в случае если М компактно, никогда таковой не является (следствие 2.2.4). В параграфе 4.4 статьи [28], авторы показывают, что естественная эрмитова метрика на твисторном пространстве Т-(М) гиперкэлерова многообразия М сбалансирована (теорема 2.1.1), что, согласно аргументам, приведенным выше, является следующим лучшим вариантом после кэлеровости; этот результат является ключевым в их обсуждении отображений пространств модулей, возникающих из твисторного преобразования и двойственности. В данной диссертации мы обобщаем этот результат и показываем, что твисторное пространство Т-(М) общего компактного гиперкомплексного многообразия М тоже допускает сбалансированные метрики (теорема 2.2.3). Иными словами, сбалансированность Т-(М) верна при отсутствии каких-либо предположений о метрической структуре изначального многообразия М. В отсутствии гиперкэлеровой метрики на М, сбалансированная метрика на Т-(М) строится неявно. Ключевым моментом доказательства является тот факт, что на общем комплексном многообразии комплексной размерности п, для любой строго положительной (п - 1, п - 1)-формы п, всегда найдется строго положительная (1,1)-форма ш, такая что шп-1 = п. Таким образом, существование замкнутой строго положительной (п - 1,п - 1)-формы п гарантирует, что соответствующая (1, 1)-форма ш является эрмитовой формой сбалансированной метрики (лемма 2.2.1). Такая форма п строится на Т-(М) как некоторая линейная комбинация форм, полученных из произвольной гиперэрмитовой метрики на М. Этот результат был ранее опубликован автором данной диссертации в статье [47].

При работе с послойно стабильными расслоениями на твисторном пространстве Т-(М) гиперкэлерова многообразия М, Каледин и Вербицкий доказывают короткую техническую лемму (лемма 7.3 в [28]), которая гласит, что такие расслоения являются стабильными как голоморфные расслоения на Т-(М); этот результат применяется ими для описания соответствия двойственности как отождествления между пространствами модулей. На самом деле, они доказывают более сильный результат: в статье показано, что голоморфное векторное расслоение Е на Т-(М), стабильно ограничивающееся на общий слой твисторной проекции п : Т-(М) ^ СР1 (мы будем называть такое Е послойно стабильным в общей точке) неприводимо, в том смысле, что оно не имеет собственных подпучков строго меньшего ранга. Здесь и далее, общность понимается в смысле топологии Зарисского на СР1. В данной диссертации, мы доказываем частичное обратное утверждение к этому результату (теорема 3.2.1): неприводимое голоморфное расслоение Е на твисторном пространстве Т-(М) простого гиперкэлерова многообразия М послойно стабильно в общей точке по отношению к твисторной проекции п : Т-(М) ^ СР1 в случае если ранг Е равен 2 или 3, а также в общем случае, при условии, что Е является послойно простым в общей точке, то есть его ограничение Е/ на слой п-1(1) для общего I е СР1 — простое расслоение, в том смысле, что Нот(Е/,Е/) = С. Первым шагом к доказательству является тот факт, что послойная стабильность Е по отношению к п : Т-(М) ^ СР есть открытое по Зарисскому условие на СР1 (теорема 3.1.2).

Это доказывается посредством обобщения аргумента А. Телемана из статьи [46], где открытость по Зарисскому показана для семейств типа X х У ^ У, где Х,У — комплексные многообразия, удовлетворяющие определенным условиям. Используя этот факт, мы следуем от противного: если Е не послойно стабильно в общей точке, то существуют дестабилизирующие подпучки некоторого ранга в для Е/ для каждого I е СР1. Применяя взаимно-однозначное соответствие между подпучками Е/ ранга в и линейными подпучками Л5(Е/), можно показать, что существует линейное расслоение Ь на Т-(М), такое что для каждого I е СР1, существуют нетривиальные морфизмы

Ь/ = Ь|п-1(/) — Са(Е/) с Л*(Е/),

где СЯ(Е/) обозначает конус внешних мономов — замкнутое аналитическое подмножество Л5(Е/). Тот факт, что из этих морфизмов можно «склеить» собственный подпучок Т С Е ранга в (что противоречит неприводимости Е) равносилен чисто алгебраическому условию существования сечения

ус-^Р(п*(Ь* ® Л3Е))

СР1

где У С Р(п*(Ь* ® ЛЯЕ)) — замкнутое аналитическое подмножество, параметризующее морфизмы Ь/ ^ Л5(Е/) с образом в СЯ(Е/). Если ранг Е равен 2 или 3, такие сечения всегда существуют, так как в этом случае СЯ(Е/) = Л5(Е/). В противном случае, можно построить мультисечение, то есть сечение У над разветвленным накрытием / : X ^ СР1 (лемма 3.2.2). Дальнейшая стратегия состоит в том, чтобы взять расслоенное произведение

Т-(М)

X-—^ СР1

и использовать мультисечение для построения собственного подпучка Т С р*(Е) на 2. Далее, можно показать, что если Е является послойно простым в общей точке, это условие вместе с неприводимостью Е влекут за собой неприводимость расслоения обратного образа р*(Е) на расслоенном произведении 2, что дает противоречие, и таким образом доказывает результат. Мы также строим явный пример стабильного векторного расслоения на Т-(М) для М = поверхности КЗ, все ограничения которого на слои твисторной проекции нестабильны, показывая тем самым, что стабильность сама по себе не подразумевает послойную стабильность на твисторном пространстве гиперкэлерова многообразия; этот результат является содержанием статьи [48] автора данной диссертации.

Эти результаты интересны как сами по себе, так и в плане дальнейшего обобщения и расширения. Сбалансированные метрики представляет из себя хорошее

р

п

обобщение кэлеровых метрик со многими интересными свойствами, и таким образом, примеры сбалансированных многообразий всегда представляют интерес сами по себе. Из работы Каледина и Вербицкого было известно, что твисторные пространства Т-(М) гиперкэлеровых многообразий М сбалансированы, однако самих примеров компактных гиперкэлеровых многообразий не так много, как было сказано выше. С другой стороны, соответствующий результат для гиперкомплексных многообразий дает много новых сбалансированных многообразий Т-(М), так как гиперкомплексных М много. Более того, существование сбаланисрованной метрики на твисторном пространстве Т-(М) гиперкомплексного многообразия М естественным образом приводит к обсуждению стабильных расслоений на Т-(М), и было бы интересно узнать, обобщаются ли какие-либо из результатов Каледина и Вербицкого о взаимоотношениях между различными пространствами модулей из статьи [28] на случай гиперкомплексного М. Что касается послойной стабильности расслоений на Т-(М) для гиперкэлерова М, естественным направлением исследований было бы попытаться доказать полное обратное утверждение теоремы 3.2.1, то есть послойную стабильность в общей точке произвольного неприводимого расслоения на Т-(М). Заметим, что неприводимые расслоения присутствуют только в неалгебраическом контексте. Для алгебраических многообразий, неприводимых расслоений не существует и можно всегда работать с различными фильтрациями, в то время как отсутствие таких методов для неприводимых расслоений на неалгебраических многообразиях усложняет их изучение. Таким образом, в случае верности полного обратного утверждения к теореме 3.2.1, мы получим очень изящное описание неприводимых расслоений на Т-(М), особенно с учетом результатов о двойственности из статьи [28].

Дадим теперь краткое описание содержания каждой главы этой диссертации.

• Глава 1 дает обзор теории сбалансированных многообразий, гиперкомплексной и гиперкэлеровой геометрии и стабильных векторных расслоений. Она в основном состоит из определений и формулировок результатов, которые необходимы для двух следующих глав. Ни один из результатов не является оригинальным, а ссылки на источники приведены в начале главы и в самом тексте. Большая часть содержимого в параграфе 1.1 появлялась ранее в статье [47] автора диссертации и воспроизводится здесь с незначительными добавлениями.

• Глава 2 начинается с доказательства сбалансированности твисторного пространства Т-(М) гиперкэлерова многообразия М в параграфе 2.1. Аргумент принадлежит Каледину и Вербицкому и появлялся в статье [28]. Мы воспроизводим его здесь, поскольку идеи из доказательства нужны в следующем параграфе. В параграфе 2.2, показывается, что твисторное пространство Т-(М) компактного гиперэрмитова многообразия М сбалансировано, что также доказывает результат для произвольных компактных гиперкомплексных М, так как они всегда допускают гиперэрмитовы метрики. Материал этой главы воспроизводится из статьи [47] с незначительными изменениями.

• Глава 3 посвящена неприводимости и послойной стабильности расслоений на

твисторном пространстве Т-(М) простого гиперкэлерова многообразия М. В параграфе 3.1 доказывается, что послойная стабильность и полустабильность являются открытыми по Зарисскому условиями на базе твисторной проекции п : Т-(М) ^ СР1. Доказательство по сути сводится к проверке того, что аргумент Телемана из статьи [46] применим к случаю твисторной проекции п : Т-(М) ^ СР1. В параграфе 3.2 доказывается, что послойно стабильное в общей точке расслоение Е на Т-(М) неприводимо; доказательство принадлежит Каледину и Вербицкому [28]. Доказывается частичное обратное утверждение к этому результату, которое охватывает случаи гк Е = 2,3, а также общий случай для Е послойно простого в общей точке. В параграфе 3.3 строится конкретный пример простого, но послойно нестабильного расслоения на Т-(М) для М = поверхности К3; материал этого параграфа воспроизводит статью [48].

т т __и и __и

Направления дальнейших исследовании и применении

Результаты, представленные в этой диссертации, могут быть обобщены и использованы в дальнейших исследованиях разными способами. В статье [28] результат о стабильности твисторного пространства Т-(М) гиперкэлерова многообразия М используется для установления соответствий между некоторыми пространствами модулей на М и Т-(М). Естественный вопрос, который хотелось бы прояснить, состоит в том, можно ли похожим образом использовать результат теоремы 2.2.3 для установления аналогичных соответствий в случае гипекомплексного М. Было бы наивным надеяться, что общая картина будет такой же хорошей, так как при переходе от гиперкэлерова к гиперкомплексному случаю происходит слишком болшая потеря структуры. Тем не менее, можно все-таки попытаться построить твисторное преобразование для общих гиперкомплексных многообразий тем или иным путем. Возможно, правильным подходом будет изучение случая НКТ-многообразий. Таковыми называются гиперэрмитовы многообразия, удовлетворяющие свойству д/О/ = 0, где О/ = ш. + (см. параграф 1.2). Будучи обобщением гиперкэлеровых мно-

гообразий, НКТ-многообразия наследуют от них много хороших свойств и имеют достаточно богатую и развитую теорию (см. [2] для обзора НКТ-геометрии). Было бы интересно узнать, существует ли более простое доказательство теоремы 2.2.3 в случае существования НКТ-структуры на М, и можно ли в этом случае построить метрику явно. Естественная эрмитова метрика на Т-(М), индуцированная НКТ-метрикой на М, не будет сбалансированной, однако, возможно, ее можно каким-то образом изменить, чтобы получить сбалансированную метрику.

Другим потенциальным направлением исследований является вопрос существования помимо сбалансированной метрики других некэлеровых метрик на твистор-ном пространстве Т-(М) компактного гиперкомплексного многообразия М. Например, астено-кэлерова метрика — это эрмитова метрика на комплексном многообразии, чья эрмитова форма ш удовлетворяет условию дд (шга-2) = 0, где п — размерность многообразия. В статье [18] было показано, что для компактного гипер-

кэлерова многообразия М, твисторное пространство Т-(М) не допускает астено-кэлеровых метрик. В действительности, сбалансированные и астено-кэлеровы метрики являются в некоторой степени антиподами: в течении долгого времени считалось, что комплексное многообразие не может допускать сбалансированных и астено-кэлеровых метрик одновременно, если только оно не кэлерово (см. [17], где это утверждение называется «фольклорной гипотезой»). Хотя в статье [18] доказывается, что это не так, было бы интересно узнать, допускает или нет твистор-ное пространство Т-(М) компактного гиперкомплексного многообразия М астено-кэлерову метрику.

Что касается результатов главы 3, имеется гипотеза, что на самом деле полное обратное утверждение к теореме 3.2.1 верно для расслоений Е произвольного ранга, без каких-либо условий. Один из подходов к доказательству этого очевиден: зная, что обратное утверждение верно для расслоений Е, послойно простых в общей точке, можно попытаться показать, что таковым является любое неприводимое расслоение Е на Т-(М). Доказывая от противного, можно предположить существование морфизма ^ : Е ^ Е(В) (где В — некоторый дивизор), не происходящего из мероморфной функции на СР1 , и рассмотреть собственные значения этого морфиз-ма. Очевидно, что над СР1 таких собственных значений нет (в противном случае, их собственные пространства дали бы противоречие к неприводимости Е), но можно всегда взять разветвленное накрытие / : X ^ СР1, над которым будет существовать собственное значение. Далее можно рассуждать аналогично доказательству теоремы 3.2.1, пытаясь получить противоречие к неприводимости Е, взяв расслоенное произведение / : X ^ СР1 и п : Т-(М) ^ СР1, и используя собственное разложение обратного образа Е на это расслоенное произведение.

Глава

Предварительные сведения

В данной главе приводятся определения, а также базовые теоремы и вспомогательные результаты (по большей части без доказательств), которые потребуются в дальнейших главах. Основной литературой для этой главы является: [34, 30] для раздела 1.1; [51, 52, 27, 28, 53] для раздела 1.2; [30, 32, 41] для раздела

Сбалансированные многообразия

Нашей первой задачей является определение сбалансированных метрик на многообразиях. Дадим сначала несколько базовых определений дифференциальной геометрии. В дальнейшем М будет обозначать (вещественное) С-многообразие, а Е ^ М (вещественное) С ^-векторное расслоение над М. Обозначим через Г(Е) пространство С -сечений Е.

Определение 1.1.1. Связностью на Е называется М-линейный оператор V : Г(Е) ^ Г(Л1М <8> Е), удовлетворяющий правилу Лейбница:

V(/s) = / ® 8 + /V« V/ е СТОМ,5 е Г(Е).

Для векторного поля X е Г(ТМ), обозначим черех Vх8 е Г(Е) обычное спаривание X с Vs е Г (Л1М <8> Е). Для любой связности V, ее кривизна : Л2(ТМ) ^ Бпё(Е) определяется следующим образом:

(X, У) := Vх^ - ^Vх - V[х>y] VX, У е Г (ТМ).

В частном случае касательного расслоения Е = ТМ, можно также определить кручение Ту : Л2(ТМ) ^ ТМ связности V как

Ту (X, У) := VXУ - ^X - [X, У] VX, У е Г (ТМ).

Несложно проверить, что и Tv — С ^-линейные операторы, и таким образом, они являются тензорами: е Г(Л2М ® Бпё(Е)), Ту е Г(Л2М <8> ТМ). Если = 0,

связность называется плоской; если же Ту = 0, она называется связностью без кручения.

Заметим, что связность V : Г(Е) ^ Г(Л1М ® Е) на Е задает естественным образом связность (также обозначаемую через V) на двойственном расслоении Е* = Ношм(Е, М), такую что

+ (п, Vв} = й ((п,в)) Уп е Г(Е*), в е Г(Е),

где через (,) обозначается спаривание Е* с Е. Имея связности Vе, Vе на векторных расслоения Е,Г, можно определить индуцированные связности vE®E, VE®F на расслоениях Е ф Г, Е ® Г следующим образом:

VE®E (в ф г) := (Vе в) ф (Vе г) У в е Г(Е), г е Г(Г),

VE®E (в ® г) := (Vе в) ® г + в ® (Vе г) У в е Г(Е), г е Г(Г).

Таким образом, начиная с единственной связности V на Е, можно построить индуцированные связности на всех тензорных произведениях (Е*)®г ® Е®9. Более того, несложно проверить, что подпространства симметричных и кососимметричных тензоров инвариантны по отношению к этим связностям. В дальнейшем все эти индуцированные связности на тензорных степенях Е будут обозначаться одним и тем же символом V, а когда Vв = 0 для некоторого тензора в, мы будем говорить, что связность сохраняет в, или что в является параллельным тензором по отношению к V.

Пусть теперь М обозначает комплексное многообразие, а Е ^ М — комплексное векторное расслоение. Так как Е в частности является вещественным векторным расслоением, на нем определены связности, однако в данном случае нас интересуют связности, являющиеся С-линейными, в смысле операторов Г(Е) ^ Г(Л1М ® Е). Таковыми в точности являются связности, сохраняющие оператор I : Е ^ Е умножения на мнимую единицу в Е, удовлетворяющий I2 = -1. В дополнении к индуцированным связностям, описанным в предыдущем абзаце, С-линейная связность V на Е индуцирует С-линейные связности на комплексном двойственном расслоении Е* = Ношс(е,С), а также на сопряженном расслоении Е. В частном случае (вещественного) касательного расслоения Е = ТМ, вышеуказанный оператор I : ТМ ^ ТМ называется почти комплексной структурой на М. Общеизвестно, что почти комплексная структура I: ТМ ^ ТМ в действительности является умножением на мнимую единицу для некоторой структуры комплексного многообразия на М тогда и только тогда, когда I интегрируема, то есть на ТМ существует некоторая связность без кручения V, которая сохраняет I [38].

Оператор I задает естественное разложение на собственные значения на ком-плексифицированном касательном пространстве ТСМ = ТМ ®м С = Т1,0М ф Т0,1М, где

Т 1,0М = {V е ТСМ : IV = л/-Ъ} = {х - л/-1!Х : X е ТМ} , Т0ДМ = {V е ТСМ : IV = ->/-Ь} = {X + ^/-IIX : X е ТМ}

Заметим, что ТМ = Т 1,0М как комплексные расслоения, а Т0,1М является двойственным расслоением к Т1,0М. Мы также можем определить индуцированный оператор I : Т*М ^ Т*М на кокасательном пространстве, задавая 10 (X) := -^Т^), и более общо на расслоении ЛПМ, задавая I (О1 л ... л Оп) = (1О1) л ... л (1Оп). Существует также аналогичное разложение ТСМ = Т*М ®МС = (Т*)1,0 М ф (Т* )0,1 М, где

(Т*)1,0 М = {ш е ТСМ : ш^) = 0 Vv е Т0,1М} = {о + л/-11П : О е Т*М} ,

(Т*)0,1 М = {ш е Т*М : = 0 Vv е Т 1,0М} = {о - л/-11П : О е Т*М} . Дифференциальные формы высших степеней на М имеют разложение ЛСМ = ЛкМ ®М С = ЛММ ф Лк-1ДМ ф ... Л1,к-1М ф Л0,кМ,

где

ЛмМ * Лр ((Т*)1,0 М) ® Л9 ((Т*)0,1 М)

Вещественный оператор внешнего умножения ( : Г(ЛкМ) ^ Г(Лк+1М) можно -линейно продолжить до ЛСМ; на вышеуказанных пространствах Лр,<?М, этот оператор имеет разложение ( = д + <9, где

д : Г(ЛММ) Г(ЛР+1,9М), 9 : Г(ЛММ) Г(Лм+1М).

Для удобства введем также дифференциальный оператор (с = (д - д). Заметим, что (с является вещественным оператором, как и то есть он переводит вещественные формы в вещественные.

Приступим теперь к изучению эрмитовых метрик на комплексных векторных расслоениях Е ^ М над комплексными многообразиями М.

Определение 1.1.2. Эрмитова метрика Н на Е есть сечение расслоения Е* <8> Е*, которое является скалярным произведением над каждой точкой М. Иными словами, для любого х е М, рассматривая Н как полуторалинейную форму на Ех, имеем:

Н(и^) = Н^,и) ^^ е Ех, Н(и, и) > 0 V« * 0 е Ех.

Если Е — голоморфное векторное расслоение с эрмитовой метрикой Н, можно показать (см. [30], предложение 1.4.9), что существует единственная С-линейная связность ^ на Е, сохраняющая Н, и такая что для любого голоморфного сечения 8 расслоения Е, имеет степень (1,0), то есть лежит в Л1,0М ® Е с ЛСМ ® Е. Эта связность называется связностью Черна эрмитова векторного расслоения (Е, Н). Можно показать, что кривизна В^ связности Черна имеет степень (1,1), то есть лежит в Л1ДМ <8> Бпё(Е) с ЛСМ ® Бпё(Е).

В частном случае касательного расслоения Е = ТМ, эрмитова метрика на комплексном многообразии М есть риманова метрика д на ТМ, удовлетворяющая

д(1^1У) = д(^У) VX,Y е Г(ТМ),

где I — почти комплексная структура. Что увидеть эквивалентность этого определения с данным в предыдущем абзаце, заметим, что имея такую д, Н^,У) := д^, У) -%/—!д(IX, У) есть эрмитова метрика на ТМ в смысле определения 1.1.2. С другой стороны, если Н — эрмитова метрика на ТМ, рассматриваемом как комплексное векторное расслоение, д := И,е(Н) будет удовлетворять вышеуказанному свойству, что доказывает эквивалентность двух определений. Эрмитовы метрики всегда существуют: действительно, взяв произвольную риманову метрику до на ТМ, можно определить метрику

g(X, У) : = до^, У) + до(IX, ГУ) VX, У е Г(ТМ),

которая очевидно будет эрмитовой. Заметим, что, как риманова метрика, д индуцирует вещественный изоморфизм расслоений ТМ * Л1М. С другой стороны, отождествляя ТМ * Т1,0М как комплексные расслоения, построенная выше метрика Н индуцирует изоморфизм комплексных векторных расслоений Т1,0М * Л0,1М.

Для произвольного эрмитова многообразия (М, ^д), на его касательном расслоении ТМ существуют две канонические связности:

1. Связность Леви-Чивиты есть единственная М-линейная связность без кручения, сохраняющая метрический тензор д.

2. Связность Черна VCh есть единственная С-линейная связность, сохраняющая д, чей тензор кручения лежит в Л2,0М <8>С Т1,0М С (Л2М <8>М С) ®С Т1,0М * Л2М ТМ, где Т1,0М и (ТМ, I) отождествлены как комплексные векторные расслоения. Можно показать (см. предложение 1.7.6 в [30]), что это эквивалентно нашему предыдущему определению связности Черна для эрмитовой метрики Н на ТМ, построенной из д как выше.

Для любой эрмитовой метрики д на М, определим ее эрмитову форму ш е Л2М следующим образом:

ш^,У) := д(^,У) VX,Y е Г(ТМ).

Несложно проверить, что ш — невырожденная вещественная (1,1)-форма, удовлетворяющая условию строгой положительности:

ш^,^) > 0 VX ф 0 е ТМ.

Дадим теперь определение кэлеровых и сбалансированных метрик.

Определение 1.1.3. Пусть (М,^д) — эрмитово многообразие комплексной размерности п. Оно называется кэлеровым многообразием если его эрмитова форма ш замкнута. Если же ш удовлетворяет более слабому условию й(шп-1) = 0, М называется сбалансированным многообразием.

Можно показать, что условие dw = 0, определяющее кэлерово многообразие, эквивалентно условию VLC/ = 0, а также занулению тензора кручения TCh связности Черна VCh. С другой стороны, заметим что TCh лежит в

Л2'0M ®с T 1,0M g Л1,0М ®с (Л1,0М ®с T 1,0M) * Л1,0М ®C EndC(T 1,0M),

и можно показать (см. теорему 1.6 в [34]), что зануление (1, 0)-формы, полученной взятием комплексной свертки в Endc(T1,0 M) тензора TCh эквивалентно условию d(wn-1) = 0, определяющему сбалансированное многообразие.

Очевидно, что в размерности dime M = 2, сбалансированность эквивалентна кэлеровости, так как в этом частном случае wn-1 = w. Вообще говоря, однако, кэле-ровость является более сильным условием, чем сбалансированность. Примерами сбалансированных некэлеровых многообразий являются твисторные пространства Tw(M) некоторых самосопряженных римановых 4-многообразий M; в данном случае, Tw(M) является некоторым трехмерным комплексным многообразием, из которого можно восстановить конформную структуру M. Они всегда сбалансированны (см. [34], раздел 6), но как было показано Хитчиным в [23], твисторное пространство Tw(M) кэлерово лишь в случаях M = S4 и CP2. В главе 2, мы покажем (следуя [28]), что твисторные пространства гиперкэлеровых многообразий сбалансирован-ны, а также обобщим это результат на случай твисторных пространств компактных гиперкомплексных многообразий.

Гиперкомплексная и гиперкэлерова геометрия

Дадим теперь определения гиперкомплексных и гиперкэлеровых многообразий, а также их твисторных пространств, и приведем несколько результатов из гиперкэле-ровой геометрии, которые нам потребуются позже.

Определение 1.2.1. Cж-многообразие M называется гиперкомплексным если оно допускает тройку почти комплексных структур /, J, K, которые являются интегрируемыми и удовлетворяют кватернионным соотношениям

/2 = J2 = K2 = -1, /J = -J/ = K.

Гиперэрмитова метрика на гиперкомплексном многообразии M есть риманова метрика g на TM, которая является эрмитовой по отношению ко всем трем комплексным структурам /, J, K. В случае, если связность Леви-Чивиты VLC метрики g удовлетворяет условию VLC/ = VLC J = VLCK = 0, g называется гиперкэлеровой метрикой.

Как и эрмитовы метрики, гиперэрмитовы метрики всегда существуют: взяв произвольную риманову метрику g0 на гиперкомплексном многообразии M, зададим VX, Y е r(TM),

g(X, Y) := g0(X, Y) + g0(JX, /Y) + g0( JX, JY) + g0(KX, KY).

Простая проверка показывает, что д гиперэрмитова. С другой стороны, гиперкэле-ровы метрики достаточно редки, и их существование накладывает жесткие ограничения на геометрию многообразия М. Несложно видеть, что для проверки условия Vе0I = Vе03 = Vе0К = 0, задающего гиперкэлерову метрику, достаточно убедиться, что лишь два из ^3,К параллельны: например, если Vе03 = Vе0К = 0, то Vе0I = Vе03К = (Vе03) К + 3 К) = 0. Обозначая через ш/,шк соответствующие кэлеровы формы, из

йш. = 0 « Vе03 = 0, йшк = 0 « Vе0К = 0, следует, что гиперкэлеровость д эквивалентна замкнутости формы

О/ = ш. + \/-!шк

на М. Простая проверка показывает, что эта 2-форма невырождена и имеет тип (2,0) по отношению к комплексной структуре I. Из этого следует, что гиперкэле-рово М является голоморфно симплектическим многообразием. С другой стороны, из теоремы Калаби-Яу [54] следует, что любое компактное кэлерово голоморфно симплектическое многообразие допускает гиперкэлерову структуру. Мы будем называть компактное гиперкэлерово многообразие М простым если оно односвязно и удовлетворяет условию Н2,0(М) = С.

Заметим, что на гиперкомплексном многообразии (М, I, 3, К), структуры I, 3, К индуцируют действие кватернионной алгебры Н на касательном расслоении ТМ, задавая на каждом касательном пространстве ТтМ структуру кватернионного векторного пространства. В случае если М гиперкэлерово, это действие к тому же параллельно по отношению к связности Леви-Чивиты Vе0, так как 1, 3 и К являются параллельными. Простая проверка показывает, что любая линейная комбинация вида

А = x1I + х23 + х3К, х^х2,х3 е М, х\ + х2 + х2 = 1,

удовлетворяет условию А2 = -1, таким образом задавая почти комплексную структуру на М. Более того, она интегрируема, так как таковыми являются 1, 3 и К. Мы будем называть такие А индуцированными комплексными структурами на гиперкомплексном многообразии М. Нетрудно видеть, что гиперэрмитова метрика д на М является эрмитовой по отношению к каждому такому А; обозначим через

шА^,У) := g(AX, У) VX,Y е Г(ТМ)

соответствующую эрмитову форму. Гиперкэлеровость д эквивалентна условию замкнутости всех таких форм ша . Множество всех индуцированных комплексных структур на гиперкомплексном многообразии М топологически представляет из себя двумерную сферу:

Б2 = {А = х^ + х23 + хзК : х\ + х2 + х2 = 1} = {А е Н : А2 = -1} с 1шН.

Взяв одновременно все индуцированные комплексные структуры во всех точках М, получаем следующий геометрический объект.

Определение 1.2.2. Пусть (М^,3,К) — гиперкомплексное многообразие. Декартово произведение многообразий Т-(М) = М х Б2 называется твисторным пространством М.

В этом определении, Б2 подразумевается как множество индуцированных комплексных структур на М, как было показано выше. Отождествляя двумерную сферу Б2 с комплексной проективной прямой СР1, можно задать на Т-(М) * М х СР1 естественную комплексную структуру. Пусть ^р1 : ТСР1 ^ ТСР1 обозначает обычную комплексную структуру на СР1. Для произвольной точки (т,А) е М х СР1, определим I: Т(т,А) Т-(М) ^ Т(т,А) Т-(М) следующим образом:

I : ТтМ ф ТАСР1 ТтМ ф ТАСР1.

(X,V) — (А^ор! V)

Очевидно, что это задает почти комплексную структуру на Т-(М), которая к тому же оказывается интегрируемой [27], таким образом превращая Т-(М) в комплексное многообразие комплексной размерности п + 1, где ё1шС М = п. Обозначим естественные проекции через

Т-(М)

М СР1

Как нетрудно видеть, вторая проекция п является голоморфной. Слои п являются копиями М с соответствующими индуцированными комплексными структурами, и будет полезно рассматривать Т-(М) как семейство комплексных многообразий (М, А), лежащих над точками А е СР1 посредством отображения п. Следуя этой аналогии, в естественном разложении касательного пространства Т(т,А) Т-(М) * ТтМ ф ТаСР1, будем называть векторы в ТтМ вертикальными, а векторы в ТаСР1 горизонтальными, и аналогично для 1-форм. Сечения отображения п будем называть твисторными прямыми, а постоянные сечения

вт : СР1 Т-(М), А ^ (т,А)

где т е М зафиксировано, будем называть горизонтальными твисторными прямыми. Существует естественная антиголоморфная инволюция на твисторном пространстве Т-(М) = М х СР1:

1' := ¡ё х 1 : М х СР1 М х СР1

Здесь 1: СР1 ^ СР1 антиподальное отображение на СР1 * Б2; очевидно, что 1 оп = п о 1'. Как оказывается, гиперкомплексная структура на М может быть полностью восстановлена из горизонтальных твисторных прямых в Т-(М), которые могут быть полностью охарактеризованы как сечения голоморфной проекции п : Т-(М) ^ СР1,

коммутирующие с антиголоморфными инволюциями ¿, ¿/, чье нормальное расслоение изоморфно Оср 1 (1)®"" (см. [42]).

Если на М задана гиперэрмитова метрика (в частности, если на нем есть ги-перкэлерова метрика), на твисторном пространстве Т-(М) естественным образом строится эрмитова метрика. Обозначая через дм гиперэрмитову метрику на М, а через дСр1 обычную метрику Фубини-Штуди на СР1, несложно проверить, что

д := ^*(дм) + п* (дСр1)

является эрмитовой метрикой на Т-(М); для простоты обозначения, будем писать д = дм + дСр1. В точке (т, А) е Т-(М), соответствующая эрмитова форма ш раскладывается следующим образом:

ш ((X, V), (X', V')) = шм (X, X') + Шср1 (V, V') = дм№ X') + дСр1 (^ V, V').

Здесь (X, V), (X', V') е ТтМ ф Т^СР1 = Т(т,А) Т-(М).

Работая со всей совокупностью индуцированных комплексных структур на гиперкомплексном многообразии М, зачастую изначальные структуры I, 7, К не играют особой роли, и в таком случае мы будем обозначать через I е СР1 произвольную индуцированную комплексную структуру. С другой стороны, если изначальные структуры I, 7, К представляют для нас важность, произвольная индуцированная комплексная структура на М будет обозначаться через А е СР1. В главе 2, изначальные структуры I, 7, К будут очень часто использоваться в вычислениях, поэтому мы будем использовать второе обозначение, в то время как в главе 3 мы будем использовать первое обозначение; в любом случае, путаницы быть не должно. До конца этой главы, мы будем предполагать, что М компактное гиперкэлерово многообразие, а произвольную индуцированную комплексную структуру на М будем обозначать через I, в то время как соответствующее кэлерово многообразие (М, I) будет обозначаться как М/.

Вспомним, что на гиперкэлеровом многообразии М имеется параллельное действие кватернионной алгебры Н на касательном расслоении ТМ. Ограничивая это действие на группу унитарных кватернионов в Н, получаем действие (2) на ТМ, а значит на всех его тензорных расслоениях, и в частности на расслоении дифференциальных форм Л*М. Так как это действие параллельно, оно коммутирует с оператором Лапласа, а значит сохраняет гармонические формы. Применяя теорию Ходжа, получаем естественное действие (2) на когомологиях Н*(М,С).

Лемма 1.2.3. Дифференциальная форма п на гиперкэлеровом многообразии М является (2)-инвариантной тогда и только тогда, когда она имеет тип Ходжа (р,р) по отношению ко всем индуцированным комплексным структурам М/.

Доказательство. Предложение 1.2 в [52]. □

Определение 1.2.4. Пусть М — гиперкэлерово, а I — индуцированная комплексная структура. Мы будем называть I структурой общего типа если все элементы

в

фНР'Р(М/) п Н 2р(М, Z) с Н *(М, С)

р

Би (2)-инвариантны.

Эта терминология оправдана: большинство индуцированных комплексных структур действительно имеют общий тип, а именно, имеется следующее предложение.

Предложение 1.2.5. Пусть М — гиперкэлерово многообразие. Множество Б0 С Б2 индуцированных комплексных структур общего типа является плотным в Б2, и его дополнение счетно.

Доказательство. Предложение 2.2 т [51]. □

Как мы в свое время увидим, если структура I имеет общий тип, это накладывает жесткие условия на геометрическую структуру многообразия М/. Например, все линейные расслоения на М/ имеют лишь нулевые либо нигде не зануляющиеся сечения (см. доказательство следствия 1.3.14), и таким образом многообразие М/ не может быть алгебраическим, так как на нем нет эффективных дивизоров.

Теперь мы хотим ввести понятие векторного расслоения на М, которое является голоморфным одновременно во всех комплексных структурах, индуцированных гиперкэлеровой структурой на М.

Определение 1.2.6. Пусть М — гиперкэлерово, и пусть Е — (гладкое) комплексное векторное расслоение на М. Если Е допускает связность V, чья кривизна Я1 е Г(Л2М <8> Епё(Е)) Би(2)-инвариантна, расслоение со связностью (Е, V) называется автодуальным. В случае, если V может быть выбрана таким образом, чтобы она сохраняла эрмитову метрику Н на Е, расслоение (Е, Н) называется гиперголоморфным.

Как следствие леммы 1.2.3, Би(2)-инвариантность равносильна тому, что Я1 является сечением Л1'1М/ ® Е, для любой индуцированной комплексной структуры I. Как следствие одной из версий теоремы Ньюлендера-Ниренберга (см [30], предложение 1.3.7), (0,1)-часть V0'1 такой связности по отношению к I задает голоморфную структуру на Е над М/. Таким образом, автодуальная связность V задает семейство голоморфных векторных расслоений Е/ над кэлеровыми многообразиями М/, а в случае гиперголоморфной структуры, V является связностью Черна одновременно для всех эрмитовых расслоений (Е/,Н). Чтобы собрать все эти расслоения в один объект, используем формализм твисторов.

Вспомним, что твисторное пространство Т-(М) имеет естественную (неголоморфную) проекцию а : Т-(М) ^ М. Для заданного автодуального расслоения (Е, V) на М, рассмотрим расслоение обратного образа и связность (а*E,а*V) на Т-(М). Применяя соображения из предыдущего абзаца и строение Т-(М), кривизна связности а*V имеет тип (1,1), и таким образом, (0,1)-часть (а*^)0'1 связности задает голоморфную структуру на расслоении а*Е над Т-(М), которое мы

обозначим через Tw(E). Соответствие

а* : (Е, V) — Tw(E) := (а*Е, (а*У)0,1)

задает функтор из категории автодуальных расслоений над М в категорию голоморфных расслоений над Tw(M), называемый твисторным преобразованием. Оказывается, что это функтор обратим, и его образ может быть описан явно.

Теорема 1.2.7. Твисторное преобразование (Е, V) ^ Tw(E) задает эквивалентность категорий между категориями автодуальных расслоений на М и голоморфных векторных расслоений на Tw(M), чьи ограничения на все горизонтальные тви-сторные прямые тривиальны.

Доказательство. Теорема 5.12 в [28]. □

Закончим этот раздел еще одним техническим результатом о вычислении высших прямых образов твисторного преобразования Tw(E) гиперголоморфного расслоения по отношению к голоморфной твисторной проекции п : Tw(M) ^ СР1.

Предложение 1.2.8. Пусть М — гиперкэлерово многообразие с голоморфной твисторной проекцией п : Tw(M) ^ СР1, I — индуцированная комплексная структура, а Е — гиперголоморфное расслоение на М с соответствующим голоморфным расслоением Tw(E) на Tw(M). Тогда для любого г > 0,

ЯЧ* Tw(E) * 0СР1 (г) ®с Н*(М/,Е/),

где Нг(М/, Е/) — пространство г-ых когомологий голоморфного пучка Е/ на М/.

Доказательство. Предложение 6.3 в [53]. □

Заметим, что для гиперголоморфного Е, группы когомологий Нг(М/,Е/) (не естественно) изоморфны для разных I е СР1 (см. следствие 8.1 в [52]).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия твисторных пространств гиперкомплексных многообразий»

Стабильность

Пусть (М, I, д) — компактное эрмитово многообразие комплексной размерности п, а ш — его эрмитова форма. Мы будем обозначать через О пучок голоморфных функций на М. В этом разделе мы введем понятие стабильности для (голоморфных) векторных расслоений Е над М, определим метрики Эрмита-Эйнштейна и опишем соответствие Кобаяши-Хитчина.

Для заданного когерентного пучка Т над М, можно построить двойственный пучок Т* = Исш (Т, О). Существует естественный морфизм во второй двойственный пучок а : Т —> Т**. Можно показать, что ядро а в точности является подпучком кручения Т:

кег ах = (а е Тх : /а = 0 для некоторого / Ф 0 в Ох} Уж е М.

Определение 1.3.1. Когерентный пучок Т над М называется пучком без кручения если Ух е М, слой Тх является Ох-модулем без кручения, или, что равносильно, если естественный морфизм пучков

а : Т Т**

инъективен. Если этот морфизм является изоморфизмом, мы говорим что Т 'рефлексивен. Мы будем называть пучок Т нормальным если для каждого открытого подмножества и С М и для каждого аналитического подмножества А С и коразмерности не меньше 2, отображение ограничения

Т(и) Т(и ч А)

является изоморфизмом.

Очевидно, что векторное расслоение Е, рассматриваемое как локально свободный пучок, рефлексивно (а значит, и не имеет кручения). С другой стороны, для произвольного когерентного пучка Т, пусть

Б(Т) = {х е М : Тх не является свободным модулем над Ох}

обозначает множество особенностей Т. Можно показать (см. раздел §1 главы 2 в [41]), что для произвольного когерентного пучка, множество особенностей является замкнутым аналитическим подмножеством М коразмерности > 1 (> 2 для пучка без кручения, > 3 для рефлексивного пучка), и таким образом, ограничение Т на М ч Б(Т) локально свободно. Это оправдывает следующее определение.

Определение 1.3.2. Ранг гкТ когерентного пучка Т над М — это ранг локально свободного пучка

Т1мнад

М ч Б(Т).

Для произвольного когерентного пучка Т и любого целого числа в > 0, можно определить пучок внешнего произведения А5Т. Если в равен рангу Т, то А5Т имеет ранг 1, и детерминантальный пучок Т,

ёе! Т := (А*Т)**

на самом деле является линейным расслоением на М, как показывают следующие два результата.

Лемма 1.3.3. Двойственный пучок любого когерентного пучка рефлексивен.

Доказательство. Предложение У.5.18 в [30]. □

Лемма 1.3.4. Рефлексивный пучок ранга 1 является линейным расслоением.

Доказательство. Лемма 1.1.15 в главе 2 [41]. □

Чтобы дать определение степени когерентного пучка на М, нужно наложить некоторое дифференциально-геометрическое условие на метрику д.

Определение 1.3.5. Метрика д называется годюшоновой если она удовлетворяет условию

дд (шп-1) = о.

Определение 1.3.6. Пусть д — годюшонова метрика. Степень когерентного пучка Т на М по отношению к д определяется как

degg (Т) = [ С1(ёе1 Т,Н) л шп-1, им

где Н — произвольная эрмитова метрика на линейном расслоении det Т, а

Т,Н) := — Кн, 2п

где Кн е Г(Л1;1М) — форма кривизны связности Черна на (det Т, Н). Мы будем писать deg(Т) когда метрика понятна из контекста.

Условие годюшоновости на д гарантирует, что degд (Т) определено корректно и не зависит от метрики Н (см. лемму 1.1.18 в [32]). Если метрика д удовлетворяет условию сбалансированности ^(шп-1) = 0 (в частности, если она кэлерова), очевидно, что она годюшонова, и более того, в этом случае степень зависит лишь от первого класса Черна c1(det Т), делая ее топологическим инвариантом det Т; для произвольной годюшоновой метрики, степень является лишь голоморфным инвариантом det Т. Заметим, что для произвольной эрмитовой метрики д на М, степень не определена корректно, однако, как показывает следующая теорема, доказанная в [19], конформный класс д всегда содержит годюшонову метрику, которая по сути единственна.

Теорема 1.3.7. Если М компактно, то для любой эрмитовой метрики д на М, существует положительная функция р е СТО(М, М>0), такая что

д' := р • д

годюшонова. Если М связно и п > 2, то д' единственна вплоть до положительной константы.

Дадим теперь определение стабильности для когерентных пучков без кручения на М.

Определение 1.3.8. Пусть д — годюшонова метрика на М, а Т — ненулевой когерентный пучок без кручения. д-наклон Т определяется как

^(Т) :=

^д (Т)

гк(Т) :

и обозначается просто ^(Т), если метрика понятна из контекста. Пучок Т называется д-стабильным (соотв. д-полустабильным) если для любого подпучка 0 £ Т с 0 < гк(0) < гк(Т), имеем

(0 ) < ^д (Т) (соотв. 1Лд (0) < ^д (Т)).

Т называется д-полистабильным если он является прямой суммой д-стабильных пучков одинакового наклона. Т называется неприводимым если он не имеет ненулевых подпучков строго меньшего ранга.

Очевидно, что неприводимый Т стабилен по отношению к любой метрике на М. Также очевидно, что в случае рефлексивного пучка, Т неприводим тогда и только тогда, когда Т* неприводим.

Нашей следующей задачей является определение структур Эрмита-Эйнштейна на голоморфном векторном расслоении Е над эрмитовым многообразием (М,1,д). Это понятие тесно связано с понятием стабильности, как мы увидим ниже. Вспомним, что эрмитова структура на М задает линейный оператор на расслоении дифференциальных форм на М, заданный внешним умножением на эрмитову форму ш метрики д:

Ьд : ЛР'9М Лр+1'9+1М

а ——> а л ш

Обозначим д-сопряженный оператор Ьд через Лg : Лр'9М ^ Лр-1'9-1М. Можно показать, что для любой (1,1)-формы а, Лд (а) удовлетворяет следующему тождеству:

а л шп-1 = Ч(а)шп. п

Определение 1.3.9. Эрмитова метрика Н на голоморфном векторном расслоении Е на М называется метрикой Эрмита-Эйнштейна по отношению к д если кривизна Ен е Г(Л1'1М <8> Бпё(Е)) ее связности Черна удовлетворяет равенству

У-1ЛдКн = 7 • ,

или что равносильно,

,п-1 _ ,п

п

где 7 вещественная константа, называемая константой Эйнштейна для Н.

(л/-1ДЛ) л шп-1 = • ,

В случае, если метрика д годюшонова, константа Эйнштейна пропорциональна степени векторного расслоения Е, как показывает следующее предложение.

Предложение 1.3.10. Если д годюшонова, а Н — метрика Эрмита-Эйнштейна на Е с константой Эйнштейна то

7 = (п- 1)!2Шд(М) • ^(Е),

где

Уо! ' Г 1

д (М) = [ , о/м п!

объем М по отношению к метрике д.

Доказательство. Лемма 2.1.8 в [32]. □

Следующая теорема иногда называется теоремой Кобаяши о занулении.

Теорема 1.3.11. Пусть (Е,Н) — векторное расслоение Эрмита-Эйнштейна по отношению к д, с константой Эйнштейна 7. Если 7 отрицательна, то Е не имеет ненулевых глобальных голоморфных сечений. Если 7 = 0, то любое глобальное голоморфное сечение Е параллельно по отношению к связности Черна (Е,Н).

Доказательство. Теорема 2.2.1 в [32]. □

Одним из следствий теоремы Кобаяши о занулении является тот факт, что метрики Эрмита-Эйнштейна по большому счету единственны. Вспомним, что голоморфное векторное расслоение Е называется простым, если его единственные эндоморфизмы — гомотетии, иными словами, Исш(Е, Е) = С.

Предложение 1.3.12. Если Е простое, то метрика Эрмита-Эйнштейна на Е (если она существует) единственна вплоть до положительной константы.

Доказательство. Предложение 2.2.2 в [32]. □

Чтобы построить примеры векторных расслоений Эрмита-Эйнштейна, возьмем гиперкэлерово многообразие М. Как в предыдущем разделе, обозначим через д ги-перкэлерову метрику на М, а через $0 £ $2 = СР1 множество комплексных структур общего типа на М. Имеем следующую лемму.

Лемма 1.3.13. Любая (2)-инвариантная 2-форма в на гиперкэлеровом много-обназии М удовлетворяет

Л/в = 0,

где I - любая индуцированная комплексная структура, а Л/ обозначает оператор Лд на многообразии М/.

Доказательство. Лемма 2.1 в [52]. □

Из этой леммы следует, что любое гиперголоморфное расслоение Е на гиперк-элеровом многообразии М является расслоением Эрмита-Эйнштейна с константой Эйнштейна 0, так как его гиперголоморфная связность имеет (2)-инвариантную кривизну. Другим следствием леммы является следующее.

Следствие 1.3.14. Пусть М — компактное гиперкэлерово многообразие, а Tw(M) — его твисторное пространство. Твисторная проекция п : Tw(M) ^ СР1 устанавливает взаимно-однозначное соответствие между дивизорами на СР1 и на Tw(M).

Доказательство. Достаточно показать, что единственные (неприводимые) гиперповерхности в Tw(M) — это слои твисторной проекции п : Tw(M) ^ СР1. Предположим, что это не так, а V £ Tw(M) — неприводимая гиперповерхность, не являющаяся слоем п. Использую теорему Реммерта о собственном отображении (см.

[21], стр. 34), можно заключить, что п^) = СР1, и таким образом, V пересекается со всеми слоями п. Мы можем выбрать структуру общего типа I е $о так, чтобы пересечение V п п-1(!) = V п М/ было дивизором в М/. Обозначая через Ь линейное расслоение, ассоциированное с этим дивизором, первый класс Черна с1(Ь) е Н^(М/) п Н2(М, Z) (2)-инвариантен по общности I. Обозначим через п гармоническую форму, представляющую с1(Ь); очевидно, что п (2)-инвариантна как дифференциальная форма. По предложению 11.2.23 в [30], существует эрмитова метрика Н на Ь, такая что С1(Ь,Н) = п; иными словами,

—Я = п,

2п 1

где Я — кривизна V . Так как Кн (2) -инвариантна, (Ь, Н) гиперголоморфно, и как следует из леммы 1.3.13, (Ь,Н) является расслоением Эрмита-Эйнштейна с константой Эйнштейна 0. Но по теореме Кобаяши о занулении (теорема 1.3.11), все глобальные сечения Ь параллельны по отношению к связности Черна Н, из чего следует, что они либо глобально нулевые, либо глобально незануляющиеся, что противоречит построению Ь как линейного расслоения эффективного дивизора в М/. Более того, аргумент показывает, что М/ не имеет эффективных дивизоров, и таким образом, не может быть алгебраическим. В частности, выбранное выше V £ Tw(M) не может существовать. □

Существует тесная взаимосвязь между структурами Эрмита-Эйнштейна и стабильностью. Следующая фундаментальная теорема, чье доказательство является предметом книги [32], показывает эквивалентность этих двух понятий.

Теорема 1.3.15. Пусть д — годюшонова метрика, а Е — голоморфное векторное расслоение на М. Е допускает метрику Эрмита-Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно полистабильно. В случае если Е стабильно, эта метрика единственна вплоть до положительной константы.

Этот результат называется соответствием Кобаяши-Хичтина, в честь людей, сформулировавших его как гипотезу. Он был доказан в возрастающей общности различными математиками, среди которых наибольший вклад был сделан Дональд-соном [13, 14, 15], Уленбек и Яу [49, 50], Бухдалем [10], а также Ли и Яу [31].

Нашим первым применением этой теоремы будет тот факт, что голоморфное линейное расслоение Ь на М, которое очевидно будет стабильным в любой метрике, всегда допускает метрику Эрмита-Эйнштейна Н, единственную вплоть до константы. Так как связность Черна не меняется, если метрика умножается на константу, мы видим, что для произвольной эрмитовой метрики д на М, мы можем определить константу Эйнштейна Ь по отношению к д как

7д(Ь) := У=1ЛдЯЛ,

где Я — кривизна связности Черна (Ь,Н). Имеем следующий результат.

Предложение 1.3.16. Пусть д' — годюшонова метрика в конформном классе д. Тогда существует положительное число с, зависящее лишь от д и д', такое что

(Ь) = с • 7д(Ь)

для всех голоморфных линейных расслоений Ь на М.

Доказательство. Пусть д' = р • д, где р е СХ(М, М>0). Тогда ш' = р • ш для соответствующих эрмитовых форм. Пусть Н — метрика Эрмита-Эйнштейна по отношению к д на Ь, и пусть в!1 обозначает кривизну связности Черна (Ь,Н). Имеем

degg'(Ь) = /мС1(Ь,Н) л (ш')п-1 = 2П I У-Гв^ л (р • ш)п-1 =

= ^ [ рп-1(У-1ЛдВн)шп = ([ рп-1шп) • 7д(Ь). 2пп о/м 2пп\ .Ум )

□

Закончим этот раздел, введя еще одно понятие стабильности, имеющее смысл для гиперкэлерова многообразия М. Вспомним, что М оснащено твисторным пространством Т'№(М) и голоморфной проекцией ж : Tw(M) ^ СР1, чьи слои параметризуют все индуцированные кэлеровы структуры М/ на М.

Определение 1.3.17. Голоморфное векторное расслоение Е на Tw(M) называется послойно стабильным если его ограничение Е/ на М/ стабильно в индуцированной кэлеровой структуре для всех I е СР1. Е называется послойно стабильным в общей точке если Е/ стабильно для всех I в непустом открытом по Зарисскому подмножестве СР1. Похожим образом, Е называется послойно простым если все ограничения Е/ простые, в смысле Иош(Е/,Е/) = С, и послойно простым в общей точке если Е/ простое для всех I в непустом открытом по Зарисскому подмножестве СР1.

Глава 2

Сбалансированные метрики на твисторных пространствах

Вспомним, что твисторное пространство Tw(M) гиперкэлерова многообразия М оснащено естественной эрмитовой метрикой, индуцированной гиперкэлеровой метрикой на М и метрикой Фубини-Штуди на СР1. Хотелось бы, чтобы эта метрика на Tw(M) была кэлерова, но это не так (следствие 2.2.4). Тем не менее, как было показано Калединым и Вербицким [28], эта метрика на Tw(M) удовлетворяет более слабому условию сбалансированности. Таким образом, в некотором смысле, происходит потеря метрической структуры при переходе от М к Tw(M). Ввиду этого, нет никаких оснований думать, что для более общей структуры гиперкомплексного многообразия на М без какой-либо заданной метрики, Tw(M) должен обладать какими-либо интересными свойствами. Тем не менее, удивительный результат, представленный в этой главе, заключается в том, что Tw(M) сбалансировано для общего компактного гиперкомплексного многообразия М, и таким образом, получается что для сбалансированности Tw(M) не требуется вообще никаких условий на эрмитову структуру М.

В главе 2.1, мы представим аргумент Каледина и Вербицкого (возможно, чуть более подробно, чем в их статье [28]), доказывающий сбалансированность индуцированной метрики на Tw(M) для гиперкэлерова М. В главе 2.2, мы покажем, что твисторное пространство Tw(M) общего компактного гиперкомплексного многообразия М допускает сбалансированную метрику. В этом случае, построение метрики неявно: она получена взятием «п-ого корня» некоторой замкнутой строго положительной (п,п)-формы на твисторном пространстве Tw(M), где п = diшcМ. Содержание этой главы во многом идентично содержанию статьи [47] автора данной диссертации.

Случай гиперкэлерова многообразия

Вспомним, что для гиперкомплексного многообразия (М, I, 7, К), твисторное пространство Tw(M) имеет естественные проекции

Tw(M)

М СР1,

а в точке (т, А) е Tw(M), касательное пространство раскладывается в прямую сумму Т(т,А) Tw(M) = ТтМфТАСР1; мы называем векторы в ТтМ вертикальными, а векторы в ТдСР1 горизонтальными, и аналогично для кокасательного раслоения. Если дм — гиперкэлерова метрика на М, то

д := (дм) + п* (дсР1)

эрмитова метрика на Tw(M), где 5ср1 — метрика Фубини-Штуди на СР1; мы будем писать просто д = дм + дср1. Похожим образом, эрмитова форма ш метрики д на Tw(M) раскладывается как

ш = Шм + Шср1,

где шм е Л^М, а шср1 е Л^СР1 над точкой (т, А) е Tw(M); в этом разложении нет компоненты из Л^М ® Л АСР1. Заметим, что Шср1 является обратным образом формы Фубини-Штуди с СР1 по отображению п, в то врем как шм не является обратным образом никакой формы с М, а «собрана» из всех кэлеровых форм ша метрики дм на М для разных индуцированных комплексных структур А е СР1. Более явно, для любых (X, V), (X', V') е ТтМ ф Т4СР1 = Т(т А) Tw(M), имеем:

ш ((X, V), (X', V')) = шм (X, X') + Шср1 (V, V') = дм (АХ, X') + дср1 (^ V, V').

Теорема 2.1.1. (Каледин-Вербицкий) Пусть (М, I, 7, К,дм) — гиперкэлерово многообразие комплексной размерности п. Тогда его твисторное пространство Tw(M) с эрмитовой метрикой, индуцированной гиперкэлеровой структурой, сбалансировано.

Доказательство. Мы воспроизводим аргумент из раздела 4.4 в [28]. В обозначениях, введенных сверху, нам нужно показать, что й (шп) = 0. Очевидно, что это равносильно

шп-1 л йш = 0.

Заметим, что имеется разложение дифференциального оператора й = йм + ¿ср!, согласно разложению в прямую сумму ТTw(M) = ТМфТСР1. Так как ш = шм+шСР!, имеем

йш = ймшм + йср! шм + ¿мшср! + ¿ср! шср! .

Первый член нулевой по гиперкэлеровости М, в то время как последние два члена нулевые, так как Шср1 является обратным образом замкнутой формы с СР1 на Tw(M). Рассмотрим второй член. Чтобы упростить наш аргумент, мы будем работать над фиксированной горизонтальной твисторной прямой {т} х СР1 д Tw(M). Пусть

W := 1шН = {а1 + ЪЗ + сК} * М3,

и пусть № = СР1 х W — соответствующее тривиальное расслоение. Когда мы рассматриваем СР1 как пространство параметров комплексных структур на М, оно представляет из себя единичную сферу Б2 д W, и таким образом, мы можем рассматривать № как ограничение № = TW. Есть естественное вложение № в (тривиальное) расслоение вертикальных 2-форм над горизонтальной прямой {т} х СР1:

№ = СР1 х W {т} х СР1 х ЛтМ (А,а1 + ЪЗ + сК) |—> (т,А,аш/ + Ъш. + сшк).

Для заданного элемента V = а1 + ЪЗ + сК о! W, обозначим через шу = аш/ + Ъш. + сшк его образ по этому отображению. Таким образом, можно воспринимать № как расслоение вертикальных 2-форм над {т}хСР1 с глобальным репером {ш/, ш.,шк}. Так как dcpl ш/ = dcpl ш. = dcplшк = 0, оператор dcpl на № можно воспринимать как плоскую связность

dcpl = V : Г (№) Г (Л1СР1 ® №)

Дш/ + ¡2ш. + /зшк ——> dfl ® ш/ + df2 ® ш] + dfз ® шк.

Разумеется, это просто обычная евклидова связность на М3 ^ 1ш Н, ограниченная на Б2 = СР1. Заметим, что № = TW^ = ТМ3|^2 = N ф ТБ2, где N — нормальное расслоение вложения Б2 д М3, ТБ2 — его касательно расслоение. В точке А = (а1, а2, а3) е Б2 = СР1, имеем

NA = {Л а1ш/ + Л а2ш. + Л а3шк : Л е М} ,

ТаБ2 = {^1 ш/ + У2 ш. + У3 шк : а1^1 + а2^2 + а3^3 = 0} .

Таким образом, N — тривиальное расслоение с глобальной тривиализацией, заданной шм = х1ш/ + х2ш. + х3шк, в то время как почти комплексная структура 1ср1 : ТСР1 ^ ТСР1 в точке А е СР1 задается кватернионным умножением V ^ AV, где мы снова воспринимаем А е NA, V е ТаБ2 как элементы W. Мы хотим посчитать

dcplшм = V (х1ш/ + х2ш] + х3шк) = dx1 ® ш/ + dx2 ® ш. + dx3 ® шк.

Зафиксируем точку А = (а1, а2, а3) в {т} хСР1 и посмотрим на разложение dcplшм = дср1 шм + с^ср1 шм. Мы утверждаем, что дср1 шм е Г (Л0'1СР1 ® Л^М), где под комплексной структурой на ТтМ подразумевается А. Чтобы проверить это, мы используем описание dcpl как связности V и подставим произвольный вектор V +

л/-Т/ср1 V = V + 6 Т^СР1, где V = (-1,-2,-з) е Т^СР1 является веществен-

ным.

Уу+утгАу Им = -1и/ + + -зик+ - аз-2) и/ + У-Т(аз-1 - а^з)^ + У-Ца^ - 02^1)^^ = = иу + У-ТиАУ.

Подставляя в эту форму произвольный вектор X е ТтМ и (0,1)-вектор К е Т^М (по отношению к комплексной структуре А), получаем

иу(Х,К) + У-ТшАу(Х,К) = ) + л/=Тд(^Х,Г) =

= д^Х, К) + л/-Тд(А(^)Х, АК) = д^Х, К) + л/-Тд(^Х, -л/-ТГ) = 0.

Таким образом, <9ср1 им е Г (Л0,1СР1 <8> Л^М) и дср1 им е Г (Л1,0СР1 <8> Л^2М), так как им вещественная, а ¿^1 им _ сопряженная форма к ¿^1 им. Рассмотрим теперь форму и""-1 л ^и.

и" 1 л йи = (им + иср1) л ^ср1 им = и"- 1 л дср1 им + и"- 1 л С?ср1 им + + (п - 1)и"-2 л иср1 л 9ср1 им + (п - 1)и"-2 л иср1 л (9ср1 им.

Так как и"-1 е Л^Т^^М, вертикальная бистепень первых двух членов равна (п -Т,п + Т), (п + Т,п - Т), соответственно, а значит они нулевые, так как ё1шс М = п. С другой стороны, степень горизонтальной части последних двух членов равна 3 > 2 = ёткСР1, а значит они также нулевые.

□

Случай гиперкомплексного многообразия

Докажем теперь обобщение теоремы 2.1.1 для компактных гиперэрмитовых (а значит общих гиперкомплексных) многообразий М. В отличии от гиперкэлерова случая, метрика произведения на Т-(М) = М х СР1 не обязательно будет сбалансированной, поэтому нужен другой подход. Нам понадобятся две леммы, в доказательстве которых используются линейно-алгебраические аргументы. Вспомним из раздела 1.1, что вещественная (1,1)-форма п на комплексном многообразии (М, I) комплексной размерности п строго положительна, если она удовлетворяет условию П(Х, /X) > 0 для всех ненулевых X е ТМ. Похожим образом, мы будем называть вещественную (п- Т,п- Т)-форму п строго положительной, если для любой ненулевой а е Л1М, П л а л /а является строго положительной кратной (любой) формы объема на М, согласованной с ориентацией, заданной комплексной структурой. Существует тесная взаимосвязь между замкнутыми строго положительными (п - Т,п - Т)-формами на М и сбалансированными метриками.

Лемма 2.2.1. Пусть (М,/, д) — эрмитово многообразие комплексной размерности п. Существование замкнутой строго положительной (п - Т,п - Т)-формы на М равносильно сбалансированности М, не обязательно в той же метрике.

Доказательство. (Ср. [34], стр. 279-280) Пусть п 6 Г(Лп-1,п-1М) — замкнутая строго положительная форма. Риманова форма объема Q 6 Г(Л2пМ) индуцирует изоморфизм расслоений Лп-1,п-1М ^ Л1ДТМ ^ Т1,0М <g> Т0,1М, а метрика д задает изоморфизм Л1,1ТМ = Л1,1М. При этих отождествлениях, п можно воспринимать как строго положительную (1,1)-форму на М. Применяя простую линейную алгебру, существует локальный ортонормальный репер {в1,1в1,... ,en,Ien} в ТМ, такой что п 6 Г(Л1,1М) может быть выражена как

n

П = Y,ai ei л Iei, i=1

где ei рассматриваются как сечения Л1М = ТМ, и где все ai > 0. Так как Q = e1 л Ie1 л... л en л Ien, форма п, как сечение ЛП-1,П-1М, может быть выражена в этом репере посредством

п = ai e1 л Ie1 л . . . л ei л Iei л . . . л en л Ien

i=1

Теперь мы хотим найти строго положительную форму ш е Г(Л1;1М), такую что шп-1 = п- Если такая форма существует, доказательство будет закончено, так как условие д (шп-1) = 0 будет означать, что эрмитова метрика на М, индуцированная формой ш сбалансированна. Если мы запишем

ш = X! bi ei л Iei, i=1

тогда

n- 1

ш

- 1)! b1.. .bi,.. .bn e1 л Ie1 л ... л ei л Iei л ... л en л Ien

i=1

Если шп 1 = п, заметим что

(n - 1)! b1 ...bi ...bn bj

aj (n - 1)! b1 ...bj ...bn

bi

Записывая

a1 = (n - 1)! b2 ...bn

(n - 1)! J2 ...?n • Щ-1 = (n - 1)! a1 ...^ bT\ b1 b1 1 a2 an 1

b1 определено однозначно, так как b1 > 0 и все ai > 0. Зная b1 , очевидно, что и остальные bi определены однозначно. Это показывает, что ш существует локально, а ее глобальное существование следует из ее единственности. □

Lemma 2.2.2. Пусть (М, I) — компактное комплексное многообразие. Предположим, что его касательное пространство ТМ раскладывается в прямую сумму ТМ = E ф F комплексных подрасслоений E и F. Если ш,ш' — вещественные (1,1)-формы на М, такие что ш строго положительна при ограничении на E, а ш' строго положительна на F и E £ ker ш', то существует число Т > 0, такое что ш + Тш' строго положительна на М.

a

Доказательство. Это по сути локальная задача из-за компактности M, так как если {Ui} — покрытие M, такое что ш + Тш' строго положительна на Ui, взяв конечное подпокрытие, и взяв Т за максимум соответствующих Ti's, получаем строго положительную форму ш + Тш' на всем M.

Пусть ш = Ш1 + Ш2 + шз — разложение ш относительно прямой суммы

Л2 (E* ф F*) = Л2^*) ф (E* ® F*) ф Л2(Е*).

Заметим, что ш' полностью лежит в третьем слагаемом. По предположению строгой положительности, ш>1 является эрмитовой формой на E, а значит происходит из эрмитовой метрики. Выбрав локальный ортонормальный репер {ei, lei,..., e^, ie^} для этой метрики, мы можем выразить ш1 как

k

ш1 = Y, ei Л iei, i=1

где ei рассматриваются как сечения E* = E. Похожим образом, ш' является эрмитовой формой на F, индуцированной некоторой эрмитовой метрикой. Можно построить локальный ортонормальный репер {/1,1/1,..., /i,//i} расслоения F, в котором две формы раскладываются как

i 1

шз = £ Л i/j, ш' = £ Л i/j, j=1 j=1

где мы вновь рассматриваем /у как сечения F* = F. Очевидно, что можно выбрать Т > 0 таким, что на некоторой окрестности, шз + Тш' строго положительна на F. Таким образом, ш + Тш' становится локально строго положительной при ограничении на E и на F, поэтому осталось позаботиться лишь о члене ш>2. Достаточно показать, что можно выбрать Т таким образом, что ш>1 + ш>2 + Тш' локально строго положительна. Пусть

k l X = £ (X^ei + X2iiei), Y = £ (Yy-/ + Yyi/j) i=1 j=1

произвольные незануляющиеся сечения E, F, записаннные в вышеуказанных реперах, и пусть t > 0. Мы хотим показать, что подставляя (X + tY, /(X + tY)) в вышеуказанную форму, получается строго положительное число:

ш1 (X, /X) + ш2 (X, t/Y) + ш2 (tY, /X) + ^'(tY, t/Y) > 0,

ш1 (X, /X) + 2t ш2(X, /Y) +12 Тш'(Y, /Y) > 0.

Рассматривая это как квадратное уравнение в t, его строгая положительность эквивалентна строгой отрицательности дискриминанта:

4ш2(X, /Y)2 - 4Tшl(X, /X)ш'(Y, /Y) < 0,

Ш2(Х, ТУ)2 < Тшх(Х, IX)ш'(У,1У). Записав правую сторону в базисах {ег,Тег}, ,Ifj}, получаем

(2к \ / 21 £ Х2Д £ у2

в то время как

^2(Х, ТУ) = £ с?XУj,

г?

для некоторых коэффицентов с?. Применяя неравенство Коши к ш2(Х,1У)2, получаем

^ су ХгУ;-) < £ (с? )2 £ Х2У2 = £ (су )2 ( £ X2) / £ У?) .

\г? / г? г? г? \г=1 / \?=1 /

Сумма (с?)2 очевидно локально ограничена некоторым Т > 0, что дает желаемое неравенство. □

Пусть теперь (М,1,<1,К,дм) — гиперэрмитово многообразие комплексной размерности п, а д обозначает индуцированную эрмитову метрику на твисторном пространстве Т-(М) с эрмитовой формой ш, следуя обозначениям из предыдущего раздела. Если дм гиперкэлерово, аргумент в доказательстве теоремы 2.1.1 о том что Т-(М) сбалансировано состоял в том, чтобы показать, что (п, п)-форма

шп = (шм + ШСр1) = шМ + ПшМ 1 л ШСр1

на Т-(М) замкнута. Для общей гиперэрмитовой дм, мы вместо этого воспользеумся леммой 2.2.2, чтобы показать, что некоторая линейная комбинация форм

ашП + вddc (шП"1)

является замкнутой строго положительной (п,п)-формой на Т-(М), а затем применим лемму 2.2.1, чтобы заключить, что Т-(М) сбалансировано. Нам потребуется компактность М, чтобы применять лемму 2.2.2.

Теорема 2.2.3. Пусть (М, 1,3, К, дм) — компактное гиперэрмитово многообразие комплексной размерности п. Его твисторное пространство Тж(М) сбалансировано.

Доказательство. Форма объема на Т-(М) = М х СР1, индуцированная метрикой произведения, имеет следующий вид:

п+1 (шм + шср1)п+1 (п + 1)шП л шср1

ш

~ у СР / V- "СР- _ о . , ,

"^(м) = 7——ртг = -/-—рт^- = -/-—рт;- = "м л шСР1

4 ' (п + 1)! (п + 1)! (п + 1)!

Здесь "м обозначает обратный образ формы объема с М по отображению проекции а : Т-(М) ^ М. Заметим, что ш*П = п! "м и ddc (шП-1) являются замкнутыми (п, п)-формами на Т-(М), и мы можем рассматривать их как элементы Л1,1Т Т-(М),

при отождествлении, индуцированном формой объема )• Так как метрика

на Т-(М) индуцирует изоморфизм ТTw(M) ^ Л1 Т-(М), мы сможем применить лемму 2.2.2 если сможем показать, что шм строго положительна на горизонтальных формах, а вертикальные формы лежат в ее ядре, в то время как (ш^-1) (знак будет зависеть от размерности М) строго положительна при ограничении на вертикальные формы в Л1М. Первое утверждение несложно, так как шм является положительной кратной вертикальной формы объема Ом, и мы знаем, что От-^(м) = Ом Л шСр1. Что касается второго утверждения, так как нам нужно доказать строгую положительность лишь на вертикальных формах, достаточно взять

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Томберг Артур Юрьевич, 2019 год

Список литературы

[1] C. Bânicâ and O. Stânâ§ilâ. Algebraic methods in the global theory of complex spaces. John Wiley & Sons, 1976.

[2] M. L. Barberis. A survey on hyper-Kâhler with torsion geometry. Rev. Union Mat. Argent., 49(2):121-131, 2008.

[3] A. Beauville. Varietes Kâhlériennes dont la premiere classe de Chern est nulle. J. Diff. Geom, 18:755-782, 1983.

[4] M. Berger. Sur les groupes d'holonomie des varietes à connexion affine et des varietes riemanniennes. Bull. Soc. Math. France, 83:279-330, 1955.

[5] E. Bishop. Conditions for the analyticity of certain sets. Michigan Math. J., 11:289304, 1964.

[6] C. P. Boyer. A note on hyper-Hermitian four-manifolds. Proc. Amer. Math. Soc., 102:157-164, 1988.

[7] P. J. Braam and J. Hurtubise. Instantons on Hopf surfaces and monopoles on solid tori. J. Reine Angew. Math., 400:146-172, 1989.

[8] V. Brinzânescu, A. D. Halanay, and G. Trautmann. Vector bundles on non-Kâhler elliptic principal bundles. Ann. Inst. Fourier Grenoble, 63(3):1033-1054, 2013.

[9] V. Brinzanescu and R. Moraru. Stable bundles on non-Kahler elliptic surfaces. Comm. Math. Phys., 254(3):565-580, 2005.

[10] N. Buchdahl. Hermitian-Einstein connections and stable vector bundles over compact complex surfaces. Math. Ann., 280:625-648, 1988.

[11] E. Calabi. Metriques kâhleriennes et fibres holomorphes. Ann. Sci. Ec. Norm. Sup., 12:269-294, 1979.

[12] J.-P. Demailly. Complex Analytic and Differential Geometry. Доступно по адресу http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf.

[13] S. K. Donaldson. A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri. J. Diff. Geom., 18:269-278, 1983.

[14] S. K. Donaldson. Anti self-dual Yang-Mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles. Proc. London Math. Soc., 50:1-26, 1985.

[15] S. K. Donaldson. Infinite determinants, stable bundles and curvature. Duke Math. J., 54:231-247, 1987.

[16] D. Eisenbud. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer Verlag, New York, 1995.

[17] T. Fei. Construction of non-Kahler Calabi-Yau manifolds and new solutions to the Strominger system. Adv. Math., 302:529-550, 2015.

[18] A. Fino, G. Grantcharov, and L. Vezzoni. Astheno-Kahler and balanced structures on fibrations. Int. Math. Res. Notices. To appear, available at arXiv:1608.06743.

[19] P. Gauduchon. Sur la 1-forme de torsion d'une variete hermitienne compacte. Math. Ann., 267:495-518, 1984.

[20] H. Grauert and R. Remmert. Coherent Analytic Sheaves. Springer Verlag, Berlin, 1984.

[21] P. Griffiths and J. Harris. Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons, New York, 1978.

[22] R. Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer Verlag, New York, 1977.

[23] N. J. Hitchin. Kahlerian twistor spaces. Proc. London Math. Soc., 43:133-150, 1981.

[24] N. J. Hitchin, A. Karlhede, U. Lindstrom, and M. Rocek. Hyperkahler metrics and supersymmetry. Comm. Math. Phys., 108:535-589, 1987.

[25] D. Huybrechts and M. Lehn. The geometry of moduli spaces of sheaves. Cambridge University Press, 2 edition, 2010.

[26] D. Joyce. Compact hypercomplex and quaternionic manifolds. J. Diff. Geom., 35(3):743-761, 1992.

[27] D. Kaledin. Integrability of the twistor space for a hypercomplex manifold. Selecta Math. New Series, 4:271-278, 1998.

[28] D. Kaledin and M. Verbitsky. Non-Hermitian Yang-Mills connections. Selecta Math. New Series, 4:279-320, 1998.

[29] S. Kobayashi. First Chern class and holomorphic tensor fields. Nagoya Math. J., 77:5-11, 1980.

[30] S. Kobayashi. Differential geometry of complex vector bundles. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1987.

[31] J. Li and S. T. Yau. Hermitian Yang-Mills connections on non-Kahler manifolds. In Mathematical aspects of string theory, pages 560-573, London, 1987. World Scientific Publ.

[32] M. Lubke and A. Teleman. The Kobayashi-Hitchin correspondence. World Scientific Publ., River Edge, NJ, 1995.

[33] Yu. Manin. Introduction to the theory of schemes. Springer, 2018.

[34] M. L. Michelsohn. On the existence of special metrics in complex geometry. Acta Math., 149(3-4):261-295, 1982.

[35] S. Mukai. Symplectic structure of the moduli space of sheaves on abelian or K3 surfaces. Invent. Math., 77:101-116, 1984.

[36] D. Mumford. Projective invariants of projective structures and applications. In Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962), pages 526-530, Djursholm, 1963. Inst. Mittag-Leffler.

[37] M. S. Narasimhan and C. S. Seshadri. Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface. Ann. Math., 82:540-567, 1965.

[38] A. Newlander and L. Nirenberg. Complex analytic coordinates in almost-complex manifolds. Ann. Math., 65:391-404, 1957.

[39] K. O'Grady. Desingularized moduli spaces of sheaves on a K3. J. Reine Angew. Math., 512:49-117, 1999.

[40] K. O'Grady. A new six-dimensional irreducible symplectic variety. J. Alg. Geom., 12:435-505, 2003.

[41] C. Okonek, M. Schneider, and H. Spindler. Vector bundles on complex projective spaces, volume 3 of Progress in Mathematics. Birkhauser, 1980.

[42] H. Pedersen and Y. S. Poon. Deformations of hypercomplex structures. J. Reine Angew. Math., 499:81-99, 1998.

[43] R. Penrose. Twistor algebra. J. Math. Phys., 8(2):345-366, 1967.

[44] G. Pourcin. Theoreme de Douady au-dessus de S. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa III, 23:451-459, 1969.

[45] Ph. Spindel, A. Sevrin, W. Troost, and A. Van Proeyen. Extended supersymmetric ^-models on group manifolds. Nucl. Phys., B308:662-698, 1988.

[46] A. Teleman. Families of holomorphic bundles. Commun. Contemp. Math., 10(4):523-551, 2008.

[47] A. Tomberg. Twistor spaces of hypercomplex manifolds are balanced. Adv. Math., 280:282-300, 2015.

[48] А. Ю. Томберг. Пример стабильного, но послойно нестабильного расслоения на твисторном пространстве гиперкэлерова многообразия. Матем. Заметки, 105(6):949-954, 2019.

[49] K. K. Uhlenbeck and S. T. Yau. On the existence of Hermitian Yang-Mills connections in stable vector bundles. Comm. Pure Appl. Math.., 39:S257-S293, 1986.

[50] K. K. Uhlenbeck and S. T. Yau. A note on our previous paper: On the existence of Hermitian Yang-Mills connections in stable vector bundles. Comm. Pure Appl. Math., 42:703-707, 1989.

[51] M. Verbitsky. Hyperkähler embeddings and holomorphic symplectic geometry II. GAFA, 5(1):92-104, 1995.

[52] M. Verbitsky. Hyperholomorphic bundles over a hyperkahler manifold. J. Alg. Geom, 5(4):633-669, 1996.

[53] M. Verbitsky. Coherent sheaves on general K3 surfaces and tori. Pure Appl. Math. Q, 4(3-2):651-714, 2008.

[54] S. T. Yau. On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampere equation I. Comm. on Pure and Appl. Math., 31:339-411, 1978.