Теория и расчет упругих маятников и подвесных пружин, применяемых в приборах времени и гравиметрах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Богданов Ю.М.

• Богданов Ю.М.
• 1950

Оглавление диссертации Богданов Ю.М.

Введение.

Глава 1.

Свободные колебания упругого маятника с сосредоточенной массой при малых амплитудах.

1. Общие положения. . Л

2. Период малых колебаний упругого маятника /первое приближение/.V.

3. Период малых колебаний упругого маятника /второе приближение/.;. *.

4. Эффективная длина упругого маятника. 4.

5. Период малых колебаний упругого маятника при малой нагрузке пружины.;.

Глава 2.

Свободные колебания упругого маятника при больших амплитудах. ■?

6. Колебания упругого маятника-постоянной длины. 22 > 7. Колебания упругого маятника переменной длины.*

Глава 3.

Малые колебания физического маятника на пружинном подвесе. ¥

8. Диференциальное уравнение упругой линии пружины 40 '9. Период малых колебаний в первом приближении. 42 10. Период малых колебаний-во втором-приближении.

11. Влияние изменения модуля упругости пружины на суточный ход маятника.«'.,.

12. Мгновенный центр вращения маятника.

13. Период и мгновенный центр колебаний высшего порядка.

14. Сравнение полученных выражений для периода кояе-> баний.

15- Определение равмеров пружинного подвеса.

Глава 4.

Малые колебания упругого гравиметрического маятника.

16. Диференциаяьные уравнения движения.

1 ?. Период малых колебаний в первом приближении.

18. Период малых колебанийг во втором прибл ¡тении.

19. Условие апериодического движения.

20. Мгновенный центр вращения маятника.

21. Сравнение полученных выражений для периода колебаний.:

22. Определение размеров пружины.

23. Коэфициент. чувствительности упругого гравиметрического маятника.

Глава 5. "

Модель часов с маятником нк пружинном подвесе.

24. Движение модели часов с двумя степенями свободы.

25. Движение модели часов с маятником на пружинном подвесе.

В ы в о д ы.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Богданов Ю.М.

ВЫВОДЫ ,

1* Период малых колебаний упругого точечного часового лзаятнйяа /фиг»4;/ при отсутствии сопротивлений зависят от параметров маятника я от величины ускорения оилн тявеоти. Эта зависимость выражается формулой которую можно рекомендовать для предварительного определе«* I шя периода нолебан&Ш упругого точечного часового маятнике о

При малых амплитудах колебаний, не превшшюшх 3

2. Аналогичная, завйошооть для упругого точечного ура-» виметрического маятника /фиг*§/ выраааетсл формулой которую моедо рекомендовать для предварительного определен иия периода малых колебаний упругого точечного гравиметрии о ческого маятника при амплитудах не более В *

3. Выражения Дб/ я /IV/ «сжяо использовать для предварительного определения ддшш пру нивы по зада шиш периоду колебаний и другпараметрам дтятнинад ,

4. Если параметры маятника таковы, что величина не превышает 0,25, для предаарительвого определения периода малых колебаний упругих точечных маятников /как часового , так и гравиметрического/ можно рекомендовать известную формулу а/

5. -При больших, амплитуда* колебаний закон движения упругого маятника, в той числе период колебаний* траеито-» ршо движения сосредоточенной маооы и очертания упругой ли-иии прутинв можно определить на основе нелинейной теорий статического нагиба стержней малой хеоткооти»

Для получения численных решений необходимо при этом воспользоваться методами чиоленного или графического интегрирования диферетщельных уравнений, а такав графические слоеобом задания функций» Изложенные в главе 2 числена НыШ та грзфичеокяй методы позволяет определить еакон движения упругого маятника с любой практически неоОхидишой о?е* пенью точности при сколь угодно больших амплитудах колебаний. б. Период основных колебаний маятника часового тина на пру&щшогй педаесе определяется формулой г ^ ^¿Л- - - ¿¿¿{ше]

-Г У ^ ^ - ¡¿л 1

СиС+сМ(со£) X ' /82/ период колебаний вьошего порядка приближенно вьзранается формулой

Период колебаний одошего порядка для маятников обычно применяемых а точных часах Ошает порядка 0,01 периоде ос Яовных колебаний.

9 .Для определения длины подвесном пружины часового маятника по даннш параметрам маятника получена формула:

Размеры поперечного оечения пружшш выбираются предварительно.

8. Период основных колебаний гравиметрического упруго го маятника приближенно аыракается формулой: с^м-ес / /126/, а период колебаний высшего порядка формулой: е? ре 7 / * г ~ Т ус**,*"**^ - {с^м . Ает/

Движение гравиметрического упругого маятника ©таноаит* ©я апериодическим при & > — .

9. Для определения длины опорной пружины упругого гра ашетричеоксго маятника получена формула:

У

10. Получено вира«ение коэфициента чувствительности упругого граэиметрического маятника:

2 4 У 1 А Л

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛЩЩРАОТШ.

1. В.й. Смирнов. Курс внегаей маге«атаки* 3* Г.М.Фихтенгольц. й&ро диференцшэл.ьисго и интегрального исчисления,

3. Г.К.Суслов* Теоретическая механика* 1946:. •

4.* Н.Е.Жуковский. Механика точки, 1900«

5. К.Е.ЖуковошЙ. О движении маятника о трением в точке привеса. 1695. в* Д♦А.Андронов и Хайьин. Теория колебаний*. 193?« ?.»Б.В. Булгаков. Колебания* 1949. 8* И*И.Безухов. Динамика сооружений. 193У* 9. К,#.Теодорчйк.Автокол©Оательнае системы.: 19$ 8. 10* С.П.Тимошенко, Теория упругости. 193?. 11«. В.И.Кузнецов* О расчете плоских пружин,работающих на изги0»Вестник инженеров и техников>194в, ® 11-12*

12* Б.П.Попов1. Теория и расчет гибких упругих деталей* 194?г.

13. Е.П.Попов. Нелинейные задачи статики тонких стершей*.

1848*

14. ф* В,Дроздов.Детали приборов* 1948.

15. З.М.АкСельрод, Часовне механизмы* 194У*

16« Л. П. Шише лов, {Механика часового механизма. 1931—33 17« А*АЛйахайаоа. Ь'уро гравшетрш. 1939* 18., А.А.Андронов и й.йеймарк» ДАЙ, 1946^Т. 61, II. 19* Н.Н.Баутин. ДАН, 1948, т. 61, Ш 1.

20. H.H. Баутян. ДАЙ, 1949, т. 65, & 3.

21. Г, И. Рудаков ский,. Определение силы тяжести упругими маятниками. Геодезист, 1938* Ш 5.

22.' Gleuel,К. Der l3oc'nrönisraus bei Pendel und ünruh. Zeltschrift ffir ■ Instrumentenlíunde, Bö 58,I938,nrI2. '

23. Graf, A. Zur Theorie elastischer Pendel" ralt besonderer Berücksichtigung des Holweck-Lejaysehen Stsbpendels. Zeitschrift für Geophysik,Brsunschw.,1934,Bd 10,nr 2.

•24.Lejsy,R. Instrument transportable pour la mesure rapide de 1э gravité. Bulletin Géodésique.Psrls,1930,nr 28. 'Û ■ ' ^ 3£-/ > ' / • 1 97 . ; уфч^ '^г^Гуг^, ^ге-^г. А-С^.*. У-^/л ¿Г.2/.

ПЕРИОД КОЛЕБАНИЙ- УПРУГОГО МАЯТНИКА ПЕРЕМЕННОЙ МИНЫ

• аявотм««* ги 1М п Г. яш

ПРИ БОЛЬШИХ АШЯИТУДАД. |.||| I I щт ш 1 тт у М) ч

Упругий маятник переменной длины представляет1 собой закрепленную одним концов прямую пружину.» лДидь которой может скользить сосредиточенпая лиюса. Движение сосредоточенном массы играаичено,дополнительной связью: масоа не покидает горизонтальной .прямой нуправлявшей» В положений оТйТйчеи.ного -ргшновесна пруэкина прямолинейна и вертикальна. Оси .гфужины. к даарешляше'й лежат а о да о й- п лес к оо т и, яь дяюце й ся плоскостью симметрии поперечных сечений и, следовательно

I ' главной плоскостью изгиба пружины. Связь сосредоточенной масоьз с пружиной и направляющей не накладывает никаких ограничении .:на величину угла'между упругой'линией пружины и направляющей в толке ,их'пересечения. Сосредоточенная масса может быть выполнена, и ¿"¿пример, а вид в дмух ползунов ,ашр-нирно сьязанных между собой, один да которых скользит по пружине, .другой —• по направляющей. Трением а 'кинематических парах мы'в. дальнейшей будем пренебрегать, точно также как и внутренним трением -пружины, т.е. считать систему консервативной. Массой пружины также пренебрегаем. ¡Маятник представлен схематически на ^»иг.1. Если сместить с ос ре- / доточенную массу вдоль направля-ЭДей из положения стытичеи-кого равновесия и оо вобо дить .маятн-ик. начнет совершать ио-леб^ния-около положения статического-равновесия.

Колебания маятника при больших амплитудах сопровождаются значительным изгибом приживи и периодическим из

M, фи?. /

Пружина маятника в процессе колебаний находится под воздействием реакций движущейся массы. Линия действия этой ресЖЦйй проходит череи точку пересечения прямолинейной направляющей с упругой линаейопружшш перпендикулярно к последней.

Таким образом, линия действия нагрузки на пружину поо^ • тоянн.о образует прямой угол с- упругой линией пружины а точке приложения нагрузки. ,

Ир 'Л колебании маятника точка1 приложен шг. ньтруани ne-. ¿шоДичеоки перемещается вдоль упругой линии, т>е. периодически изменяется длина рабочего участий пруВДШАа.

Й области статики гибких стержней встречаем аналогичную схему действия сил при большом изгибе стержня, свободно •опертого в двух неподвижных точках, поперечной силой, при-Ji.oweHHOM à середине рабочей част*! стержня /фаг, 2/.Здесь •длине:' рабочего .участка стержня, при изменении величины по-. перечной силы изменяете,^, а линии действия опорных реакций сораз уют постоянно ауяшй угол с упругой линией"' стержня г а спорных точках. Схемы решения такой статической задачи дан» в работе К ЛЬ Попова »Теория и расчет гибких упругих •деталей" Л;. 194?-, стр. Г? 5-176. Эта задачу статики и. может служить основой при решении Динамической задачи определения -колебаний .упругого-маятника переменной длиньи

Согласно нелинейной Теории статического изгиба стержней

•малой жесткости, напряжения и деформации пружины заданной

F J у

•жесткости ^ с вполне определяется числовыми значениями трех главных олдшегичееккх параметров: модуля эллиптически интегралов к , аллиптичеоиой ймшштудщ ^ в начальной точке /о/~ й эллиптической амплитуды ^в концевой точке /у' рабочего участка упругой линии пружинь).

Б свою очередь, гдавнке эллиптические параметры являются пункциями-нагрузки пружинн,•ее форм« и размеров, -а также модуля упругости материала* пружина. Эти t^yнкциош*льные за-висимости удобно выражаются через введенные прош. Е.П.-Пи-аовым ' ко«шй^йентм подобия. <

I *

При изгибе аерноначально прямой пружины сосредоточенными силами, действующими только по концам рабочей части пружина, шедт место, оледующие соотношения между - главными элл ипт йч е с к им и параметрами и иоуфьуицй^нтами подобия:- ,

• , ^ ^

ЯЖ см Y= ; /г/ л V где эллиптический интеграл-первого -рода модуля /<

И амплютудь ^ f . /FF7 ■ f' v т сйлово-й ко оодрициент оодоййя^. , n M. ■ ■ . - • ; и>~- -■ моментныщ нощшпциент подобия-;' / ' :

- угловой но заАпидиент подобия, или угол наклона у пру г о V) \ л и н и и к линии действия полной внутренней силы Р в данном поперечном сечении пружины; • , .

- длин о рабочей части упругой линии; 1 - 5 ¿Г - модель упругости, первого рада материала пружины; г иомен» инерции поперечного сечения пружина;

М. - -изгабаащлй. момент. в данном поперечном .'оечекни пружин», $ ~ угол' найлона 'кавательвой в данной/.точке упругой линий к координатной оси . Ж ,/фиг. v >' угол наклона 'координатной оси Ж ' к -линий' действия полной внутренней-оили;в-Данном поперечном сечении пружины*.

Значения коэффициентов подобия изменяются вдоль упругой 'Линии. Величина , ^ , ^ 'и ^ нмэив&отся главным а козцуициентгуми подобия. Мидеисами /О/.-и. ./и/ обоз-начины величины, относящиеся к со ответе Тиуюхдим точкам упругой линии' Дуй г . I/. Точка /1/ в процессе колеЗшшя, маятника :периодически перемещается .вдоль упругой- -линии. , I • нйк йЗГйОатаций мсмент а течке У'1/ рс.шен 'нулю, из .соотношений /2/. получаем Ч^, - у-шщ у■ ограпичи-' в.аясь пределами - ^ два значения: эллиптической амплитуды " Vе-, и У'-"¡Г ■ • как Действующая на пружину реакция массы нормальны й -упругой линии, т.е. £ - X■ ~ ,то ' из. соотношения /З/'находим,'что модуль эллиптических интегралов- к сохраняет постоянное .ин.оченйе : ч '

- Д Т ■ . /V

При этом, как вадно из фиг.1, -имеем следующие значения ■ \ л-у при 'отклонениях^маятника в положительном и отрицательном .направлениях оси ^

При ¿г* - ф ' /5/ Дри; £; ^^.у. />У/

Далее, по свойству упругой линии, где точна /а/ является точкой .перегиба, находим области значений ^ :

21 Я

При У,>0- о ; /б/

При -¿Л.о-'

При колебаниях маятника о произвольной амплитудой модуль- эллиптических интегралов к сохраняет постоянное значение' - .Эллиптическая амплитуда ^ ^при у'/>0

7Г сохраняет значение . ^ , при не реходе адвооы через положение статического равновесия=#■) -^-изменяется скачком

77 $ Л~ . ; от до , сохраняя последнее значение при люоых у, < о . ¿ллилгичеси амплитуда. У- при изменении X ж от .Ас 0 возрастает от О до ^ при О смачном меняет свое значение на - при далыа.еймем изменен нии ^ от О до - ОО убьшает от до Ж . .

6.ад с!!У1Ш1йтуда перемещения массы имеет конечное значение >& ,тогда эллиптическая амплитуда ^ остается в пределах % * % * £ при ^ >£2-0 , или .■» пределах % * |г' прй - £ * у, ^ о.

В силу.симметрия колебаний относительно осей координат /а положении статического равновесия координата массы у = о ■ / можно ограничиться установлением закона движени маятника в области пеложатвгльнш; значений , -соответствуя

Щйм образом распространяя а случае необходимости найденный закон ' ни область отрицательных значении У, путем несложных преобразований.

Яри з¿данных параметрах маятники и начальных условиях напршер, координаты.- $рчкн ¿9/. еадеяки пру^яньг: ^ = 0 и амплитудное значение ^ . ^слзещения сосредоточенной массы/, форма упругой винйи пру&ины,- .координата' уг сосредоточенной б массы и ее производные аю .времени, поиепцкальн-ая энергия, пру кинь;, внутреннее силы & напряженяя целиком определяется значен леи эллиптической амплитуды / ~

Уравнение упругой .дишшу записанное в эллиптических па- * раметрах, имеет вид'/см. • упомянутую работу. Й-.Я. Додова/:

-/'Л = ^ к (м % - Сл /- ^у'^/7/ • ' / ■

Здесь Е М -■ эллиптический интеграл второго рода модуля • к и'амплитуды Ф ; - дл'йиа упругой лййш между начальной точкой :улУ . и. точкой f/j . Прйншая'во внимание соотиошеяиЕ /1/, /3/, -/А/ и /5/,а и^кае- = и = с^гтгг? получаем безразмерное смещение'-"сосредоточенной масси:

-

•/ [/I'А* 2ъ ' - ' М

По уравнению /8/ составлена та б лица 1 и построен график ф С?,] /Фиг. ЗА ;

- 8 у