Динамика предварительно деформированных тонких упругих стержней тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Красноруцкий, Дмитрий Александрович

• Красноруцкий, Дмитрий Александрович
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Красноруцкий, Дмитрий Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ДИССЕРТАЦИИ. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРНЫЙ ИСТОЧНИКОВ

1.1. Статика стержней

1.2. Малые колебания стержней

1.3. Динамика существенно длинных стержней-тросов

1.4. Нелинейная динамика стержней

1.5. Заключение по обзору литературы

ГЛАВА 2. СТАТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СТЕРЖНЯ

2.1. Система уравнений статического деформирования пространственного криволинейного стержня

2.2. Переход к безразмерному виду

2.3. Алгоритм решения методом пристрелки

2.4. Модель троса как весьма длинного стержня

2.5. Учет аэродинамических нагрузок от установившегося потока

2.6. Алгоритм решения итерационным методом Ньютона

Выводы по главе 2

ГЛАВА 3. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО

ДЕФОРМИРОВАННОГО СТЕРЖНЯ

3.1. Вывод определяющих уравнений

3.2. Учет аэродинамических нагрузок при малых колебаниях

3.3. Приведение уравнений малых колебаний к безразмерному виду

3.4. Алгоритм расчета по методу начальных параметров

3.4.1. Краевые условия в глобальном базисе

3.4.2. Краевые условия в локальном базисе

3.4.3. Одновременное использование глобального и локального базиса для задания краевых условий

3.4.4. Построение форм колебаний

3.5. Применение метода конечных разностей для решения краевой задачи

на собственные значения

3.5.1. Представление системы уравнений в матричном виде

3.5.2. Простейшая конечно-разностная схема

3.5.3. Четырехузловая схема с постоянным шагом

3.5.4. Схема с произвольным шагом

3.5.5. Представление краевых условий в матричном виде

3.5.6. Сведение к обобщенной проблеме собственных значений

Выводы по главе 3

ГЛАВА 4. ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕЙ

4.1. Уравнения динамического нелинейного деформирования стержня

4.2. Методы решения

4.2.1. Развитие метода Хаболта

4.2.2. Развитие метода Парка

4.2.3. Выбор начального приближения

4.3. Взаимодействие капсулы магнитометра с тросом в потоке воздуха

4.3.1. Вывод определяющих уравнений

4.3.2. Алгоритм расчета усилий реакции троса на капсулу

4.3.3. Определение ориентации капсулы в пространстве

Выводы по главе 4

ГЛАВА 5. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ

5.1. Исследования процесса петлеобразования на сжатых скручиваемых стержнях

5.1.1. Шарнирно-опертый стержень

5.1.2. Защемленный стержень

5.2. Малые колебания троса в потоке воздуха

5.3. Учет относительных скоростей при колебаниях троса в потоке

5.4. Динамическое деформирование консольного стержня

5.5. Нелинейная динамика тросов в потоке воздуха

5.5.1. Колебания троса при импульсном нагружении потоком воздуха

5.5.2. Задача о взаимодействии капсулы с тросом в потоке воздуха

Выводы по главе 5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

П2.1. Выражения для якобиана системы уравнений статического деформирования стержня

П2.2. Выражения второй производной матрицы поворота по компонентам вектора конечного поворота

П2.3. Выражения частных производных от аэродинамической нагрузки

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

П4.1. Приведение уравнений движения стержня к безразмерному виду

П4.2. Соотношения для энергий

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

П5.1. Сжатие консольного стержня следящей нагрузкой

П5.2. Построение кривой деформирования сжатого шарнирно-опертого стержня

П5.3. Тестирование методики расчета малых колебаний

П5.3.1. Расчет конической пружины

П5.3.2. Расчет колебаний цилиндрической пружины

П5.3.3. Расчет колебаний натянутого троса

П5.4. Тестирование четырехузловой схемы расчета малых колебаний

П5.4.1. Защемленный стержень с точечной массой на конце

П5.4.2. Моделирование точечной массы путем задания большой плотности на малом участке длины

П5.5. Сравнение методов прямого интегрирования между собой

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика предварительно деформированных тонких упругих стержней»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность выбора темы диссертации. Для обеспечения эффективной, надежной и безопасной эксплуатации машин, приборов и аппаратуры, при проектировании новых поколений конструкций и усовершенствовании существующих в последнее время широко используются расчетные методы. Стержни и тросы находят свое применение во многих областях техники. Они используются в машинах, приборах, могут быть как самостоятельными, так и вспомогательными элементами конструкций. Несмотря на то, что теория тонких стержней является одной из первых теорий в механике сплошных сред, и существует большое число фундаментальных теоретических и практических работ по стержням, некоторые вопросы, в основном связанные с численной реализацией моделей стержней, остаются недостаточно освещенными. Кроме того, судя по различным публикациям, при возникновении конкретной практической задачи для изучения закономерностей динамических процессов зачастую приходится разрабатывать специальную модель стержня или нити, подходящую для решения этой задачи, а так же составлять и тестировать численные алгоритмы расчета по математической модели. Другими словами, представляется актуальным разработать методику численного расчета по дифференциальной модели стержня для современных ЭВМ, позволяющую решать широкий круг практических задач, связанных с механикой стержней и тросов. В данной работе за основу взята одна из моделей тонкого упругого стержня, проведена разработка и тестирование методики численного расчета на достаточно широком круге задач, представляющих как теоретический, так и практический интерес.

Диссертация состоит из пяти глав и излагается в следующем порядке.

В первой главе обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор основных этапов развития теории стержней. На основе литературных источников дан краткий обзор проблем, близких к рассмотренным в диссертационной работе, и степень их разработанности. Это проблемы определения статической конфигурации стержней под действием приложенной нагрузки; пробле-

мы расчета линейной и нелинейной динамики стержней; проблемы расчета существенно длинных стержней (тросов, канатов, проводов), широко используемых во многих сферах техники.

Ввиду того, что обозначенным проблемам посвящено огромное количество публикаций, пришлось ограничиться ссылками лишь на некоторые работы, важные, по мнению автора, для определения места диссертационной работы среди других работ. На основе проведенного анализа сделаны выводы об актуальности вопросов, решаемых в работе.

Во второй главе излагаются вопросы, связанные с определением статической конфигурации пространственного тонкого упругого стержня под действием приложенной нагрузки. Рассмотрена возможность моделировать трос весьма длинным стержнем. Получены выражения для аэродинамической нагрузки на стержень, находящийся в потоке воздуха. Изложены алгоритмы численного решения соответствующей краевой задачи методом пристрелки и с помощью итерационного метода Ньютона, который позволил решать зачади о деформировании весьма длинных стержней - тросов.

Третья глава посвящена вопросам расчета малых колебаний стержня относительно достигнутой нелинейной статической конфигурации. Получены уравнения для амплитуд малых колебаний, записаны безразмерные выражения, рассмотрены два подхода к получению численного решения, сходящегося к точному. Первый подход - по методу начальных параметров линейная краевая задача сводится к задаче поиска корней частотного определителя. Второй - по методу конечных разностей задача сводится к матричной обобщенной проблеме собственных значений.

В четвертой главе изложены вопросы, связанные с нелинейной динамикой стержней, составлены уравнения движения и основные соотношения, необходимые для получения численного решения. Рассмотрены численные методы прямого интегрирования для сведения системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравне-

ний. Некоторые многошаговые методы адаптированы для произвольной сетки, произведена модификация, улучшающая точность. Получены уравнения движения капсулы магнитометра, подвешенной на тросе в потоке воздуха, разработан алгоритм расчета совместной нелинейной динамики стержня-троса и капсулы как единой системы.

Пятая глава посвящена практической реализации разработанных численных методик. Рассмотрены тестовые задачи, задачи, взятые из работ других исследователей, а также задача об устойчивости движения капсулы магнитометра на тросе в потоке воздуха. Разработанные алгоритмы можно использовать для решения широкого круга задач, представляющих как теоретический, так и практический интерес.

Цели диссертации.

1. Разработать методику расчета по модели тонкого упругого стержня, подходящую для решения широкого круга задач малых колебаний предварительно деформированных пространственных криволинейных стержней (тросов) и нелинейного динамического деформирования, ограниченного только базовыми допущениями классической модели тонкого упругого стержня (гипотеза Эйлера-Бернулли, материал работает в пределах закона Гука).

2. Провести тестирование работоспособности созданной методики расчета по данной модели стержня, в нелинейной постановке решить задачу об устойчивости движения капсулы магнитометра на тросе в потоке воздуха.

Задачи исследования.

1. На основе уравнений статики пространственного криволинейного стержня [59] получить уравнения малых колебаний относительно достигнутого состояния статического равновесия.

2. Разработать и протестировать методику расчета статических конфигураций стержня и расчета малых колебаний предварительно деформированного стержня.

3. Адаптировать численную методику для расчета тросов как весьма

длинных стержней.

4. Составить уравнения нелинейного динамического деформирования стержня, разработать и протестировать методику численного расчета.

5. Разработанные алгоритмы применить к решению практически важных задач, в том числе к задаче об устойчивости движения капсулы магнитометра на тросе в потоке воздуха.

Научная новизна работы. На основе известных уравнений [59], описывающих большие перемещения пространственного криволинейного тонкого упругого стержня, получены уравнения малых колебаний относительно достигнутой статической конфигурации и уравнения нелинейного динамического деформирования. Исходные уравнения статики и, следовательно, полученные на их базе уравнения линейной и нелинейной динамики обладают рядом преимуществ. В частности геометрия осевой линии стержня может быть произвольной (изломы, скачки кривизны), модель описывает любые повороты и вращения поперечных сечений стержня.

Разработана методика расчета, включающая в себя расчет нелинейного статического деформирования, расчет малых колебаний предварительно деформированного стержня и нелинейного динамического деформирования стержней. Модель стержня напрямую может использоваться для описания статики и динамики тросов, что имеет преимущество перед классическими «ниточными» и «цепными» моделями, так как учет жесткостей на сжатие и изгиб происходит автоматически.

Рассмотрены известные практически важные задачи, получены новые и более точные результаты, в частности более глубоко исследована задача о петлеобразовании на сжатых скручиваемых стержнях. Разработана и протестирована методика расчета совместной нелинейной динамики капсулы магнитометра, подвешенной на тросе в потоке воздуха.

Методы исследований. Для решения задачи о поиске статической конфигурации стержня под нагрузкой, представляющую собой нелинейную крае-

вую задачу, использовались два метода: метод пристрелки и итерационный метод Ньютона.

Задача о малых колебаниях предварительно деформированного стержня, являющаяся линейной краевой задачей на собственные значения, решается по методу начальных параметров, либо с помощью метода конечных разностей сводится к обобщенной проблеме собственных значений.

Нелинейная динамика стержня описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Применение методов прямого интегрирования позволило свести задачу к последовательности нелинейных краевых задач, которые в свою очередь решаются с помощью итерационного метода Ньютона.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в работе, основывается на сопоставлении результатов расчета по методикам диссертационной работы с известными аналитическими и численными решениями, а также с известными экспериментальными данными и результатами моделирования в конечно-элементном пакете ANS YS.

Практическая значимость заключается во внедрении результатов исследований в ООО ГП «Сибгеотех» (результаты исследований использовались при выполнении договорной работы № АГД-7-10 «Разработка и изготовление транспортируемой под вертолетом капсулы магнитометра»). Результаты работы использовались при разработке конструкций зонтичных антенн космических аппаратов в ОАО «Информационные спутниковые системы» имени академика М.Ф. Решетнёва». Копии актов приведены в приложении 1.

На защиту выносится:

1) методика расчета частот и форм малых колебаний предварительно деформированного пространственного криволинейного тонкого упругого стержня;

2) методика расчета динамического нелинейного деформирования пространственного криволинейного тонкого упругого стержня;

3) результаты решения практических задач.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на II Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 2011 г.); на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.); на семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2011 г.); на Всероссийской научно-технической конференции «Наука. Промышленность. Оборона.» (Новосибирск, 2008-2011 гг.); на международном форуме IFOST (Ульсан, Корея, 2008 г.; Новосибирск, 2010 г.); на международной научно-технической конференции «Прикладные задачи математики и механики» (Севастополь, 2009, 2010 гг.); на XXI Всероссийской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» (Кемерово, 2009 г.); на конференции XXIX Российской школы по проблемам науки и технологий (Миасс, 2009 г.); на Межвузовской научной студенческой конференции «Интеллектуальный потенциал Сибири» (Новосибирск, 2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, из которых 3 опубликованы в ведущих периодических изданиях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников из 157 наименований. Объем диссертации - 150 страницах основного текста (общий объем с приложениями -210 страниц, включая 84 рисунка и 15 таблиц).

Автор глубоко признателен профессору Саленко С. Д. за полезные советы при обсуждении практических задач, а также коллективу кафедры «Прочность летательных аппаратов» НГТУ за постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 гг.)» (проект РНП 2.1.2/10114).

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Красноруцкий, Дмитрий Александрович

Выводы по главе 5

Данная глава диссертации посвящена практической реализации разработанных алгоритмов. В приложении 5.1 на примере задачи о собственных колебаниях защемленного стержня с точечной массой на конце было показано преимущество разработанной 4-х узловой схемы для сведения линейной краевой задачи на собственные значения к матричной обобщенной проблеме собственных значений. Кроме того, в результате сравнения получаемых результатов, определен оптимальный закон распределения плотности на малом участке длины для моделирования точечной массы.

Рассмотрены задачи о петлеобразовании на сжатых скручиваемых стержнях, постановки которых взяты из публикаций других исследователей, результаты во многом совпали. Но кроме того, было проведено более глубокое исследование с применением разработанных аппаратов линейной и нелинейной динамики тонкого упругого стержня. Обнаружено, что механизм петлеобразования принципиально зависит от вида нагружения кручения. Если стержень скручивается фиксированным моментом, тогда критическим является максимальный момент на кривой деформирования для стержня бесконечной крутильной жесткостью. При действии критического момента частота первого тона становится равной нулю, при рассмотрении нелинейной динамики происходит почти мгновенное сворачивание стержня в плоскую петлю. Однако, в рассмотренной постановке без учета демпфирования, для стержня с реальным отношением крутильной и изгибной жесткостей частота первого тона обращается в нуль до достижения максимального крутящего момента на кривой деформирования. При расчете нелинейной динамики в этой точке обнаруживается очень быстрый рост ускорений при малейшем возбуждении, вынуждающем стержень деформироваться по форме, близкой к полученной форме малых колебаний. При этом сказать о закритическом развитии ничего не удается, численное решение нелинейной динамики разваливается даже при самых малых шагах по времени, какие позволяет использовать вычислительная двойная точность ЭВМ в силу практически мгновенного роста ускорений. При добавлении внутреннего демпфирования в стержне (не любого отличного от нуля) потеря устойчивости не наблюдается, но в точке максимального крутящего момента и за ней по кривой деформирования даже без внешнего возбуждения наблюдается потеря устойчивости и очень быстрое сворачивание стержня в петлю.

Другой механизм петлеобразования обнаружен для случая, когда стержень скручивается на фиксированный угол и его концы при этом защемлены. Здесь критическим является некоторый максимальный угол закручивания, при этом крутящий момент лежит выше точки максимального крутящего момента. Для больших углов закручивания не существует никаких форм равновесия, даже статически неустойчивых. С помощью разработанного аппарата нелинейной динамики стержня установлено, что происходит почти мгновенное сворачивание стержня в плоскую петлю. Критический угол закручивания зависит от соотношения крутильной и изгибной жесткостей. С ростом этого соотношения критический угол уменьшается, но критическая точка на кривой «момент-сила сжатия» перемещается вверх, и для соотношений СЗР / ЕЗ > 6 не будет вторичной потери устойчивости, а угол закручивания равен 2ж. То есть петлеобразование происходит плавно, пропорционально скручиванию. При этом значения всех частот малых колебаний на всем интервале принадлежат действительной числовой прямой. Однако если шарнирно-опертый стержень скручивать на фиксированный угол, тогда потеря устойчивости петлеобразования всё равно будет происходить в точке максимального момента на кривой деформирования.

Модель стержня применена для расчета тросов как весьма длинных стержней, рассмотрен случай малых колебаний троса, находящегося в потоке воздуха. Изначально прямой стержень с относительно малой изгибной жесткостью сначала деформируется перемещением опоры, затем к нему прикладывается весовая нагрузка, нагрузка от потока и затем рассчитываются малые колебания такого предварительно деформированного стержня. Рассмотрена неконсервативная задача, когда при малых колебаниях учитываются относительные скорости. В этом случае поток оказывает демпфирующее воздействие на колебания.

Рассмотрена задача об импульсном нагружении порывом ветра троса на двух опорах, моделирующих воздушные ЛЭП. Эта задача была рассмотрена В.А. Светлицким. Им предложен метод приближенной оценки. Разработанная модель стержня позволяет получать результаты решения задачи в общей нелинейной постановке.

В данной главе диссертации приведен пример расчета динамики капсулы магнитометра на тросе в потоке воздуха. Разработанные алгоритмы позволяют моделировать совместную нелинейную динамику и находить области критических скоростей полета.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты.

1. На основе уравнений статики пространственного криволинейного стержня [59] составлены уравнения малых колебаний предварительно деформированного тонкого упругого стержня. Учтено влияние аэродинамического демпфирования при малых колебаниях, получены расчетные формулы.

2. Разработана и протестирована методика расчета малых колебаний предварительно деформированного тонкого упруго стержня, состоящая из двух основных этапов. Сначала находится равновесная нелинейная статическая деформированная конфигурация стержня под нагрузкой, нелинейная краевая задача решается методом пристрелки или с помощью итерационного метода Ньютона. Затем рассчитываются частоты и формы малых колебаний относительно достигнутого состояния. Линейная краевая задача на собственные значения решается либо по методу начальных параметров (поиск корней частотного определителя), либо с применением метода конечных разностей (задача сводится к матричной обобщенной проблеме собственных значений).

3. Численная методика адаптирована для расчета тросов как весьма длинных стержней. Использован итерационный метод Ньютона для решения нелинейной статической задачи и метод конечных разностей для линейной динамики стержня-троса. Применение МКР позволяет линейную краевую задачу на собственные значения свести к матричной обобщенной проблеме собственных значений. С помощью полиномов Лагранжа получена схема, значительно улучшающая точность получаемых результатов при сохранении размерности итоговых матриц.

4. На основе уравнений статики пространственного криволинейного стержня [59] получены уравнения нелинейного динамического деформирования стержня, разработана и протестирована методика численного расчета. Два известных многошаговых метода прямого интегрирования были адаптированы для произвольной сетки по времени - получены более общие выражения, являющиеся схемами этих методов в частном случае постоянной сетки. Кроме того, получены формулы этих методов с учетом дополнительного шага в аппроксимации.

5. Создан программный комплекс, реализующий разработанные алгоритмы. В качестве примера приложения проведены углубленные исследования некоторых известных задач, в частности получены новые результаты в задаче о петлеобразовании на сжатых скручиваемых стержнях; рассмотрены задачи о динамике тросов в потоке воздуха, в результате более общего подхода получены новые результаты в задаче о колебаниях кабеля ЛЭП при импульсном на-гружении порывом ветра.

6. В общей нелинейной постановке решена практически важная задача из области геофизики об устойчивости движения капсулы магнитометра на тросе в потоке воздуха. Составлены уравнения движения капсулы в пространстве, разработан алгоритм расчета совместной нелинейной динамики капсулы и троса как весьма длинного стержня. Верификация проводилась на тестовых примерах, по которым есть экспериментальные данные. Разработанный алгоритм использовался при выполнении договорной работы (имеется акт внедрения).

Разработанные методики расчета малых колебаний предварительно деформированных пространственных тонких упругих стержней и расчета нелинейного динамического деформирования могут быть применены в других практически важных задачах, где есть необходимость анализировать динамику или статику тонких упругих стержней, кабелей или тросов. При этом не накладывается никаких ограничений (за исключением принятых допущений модели стержня) на геометрию осевой линии, жесткостных и массовых характеристик поперечных сечений, виды прикладываемых нагрузок, учет демпфирования и краевых условий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Красноруцкий, Дмитрий Александрович, 2011 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем. - М.: Машиностроение, 1978. - 310 с.

2. Ананьев И.В., Колбин Н.М., Серебрянский Н.П. Динамика конструкций летательных аппаратов. М."Машиностроение", 1972. - 416 с.

3. Аринчев С. В. Теория колебаний неконсервативных систем (с примерами на компакт-диске): Учеб. Пособие для вузов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 464 с.

4. Бадиков Р.Н. Исследование влияния продольной сжимающей силы на собственную частоту колебаний цилиндрической пружины спирального грохота. Изв. вузов. Машиностр. - 2004, № 10, с. 15-20.

5. Бадрухин Ю.И., Кабанов В.В. Уравнения криволинейных стержней. // Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1982, с. 115-123.

6. Бейлин Е. А. Механика стержневых систем и сплошных сред - Сб. тр. Ленингр. инж.-строит. ин-та, 1969, № 60, с. 5-19.

7. Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 3. М. Машиностроение, 1988. - 567с.

8. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. - М.: Гос-техиздат, 1965. - 600с.

9. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: ГИФМЛ, 1961.-339 с.

10. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1967.-984с.

11. Ганбат Д., Гаврюшин С.С. Исследование статических и динамических характеристик винтовых пружинных мельниц. Известия высших учебных заведений. Машиностроение. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007, том 8, с. 10-16.

12. Голубев О.Б. Обобщение теории тонких стержней. - Тр. Ленингр. политехи, ин-та, 1963, № 226, с. 18-24.

13. Гордиенко Б.А. Теория пространственно-криволинейных упругих стержней // ПММ-1979. - Т.43. - Вып.2. - С. 374-380.

14. Григолюк Э. И., Селезов И Т. Не классические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. ВИНИТИ. Т. 5. М., 1973. - 272 с.

15. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. - М.: Наука, 1988. - 232 с.

16. Григорьянц М.С., Лукьянова В.Н. Определение частот и форм колебаний абсолютно гибкого стержня, нагруженного аэродинамическими силами. Расчеты на прочность. - М. Машиностроение, 1982, вып. 23, с. 222-226.

17. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Динамика упругих управляемых конструкций. - М.: Изд-во МАИ, 2007. - 328 с.

18. Детинко Ф.М. Следящая нагрузка и устойчивость плоской формы изгиба стержня. Изв. РАН. Мех. тверд, тела - 2002. - N 5. - С. 137-144.

19. Джанелидзе Г. Ю Соотношения Кирхгофа для естественно скрученных стержней. - Тр. Ленингр. политехи, ин-та, 1939, № 3, с. 37-45.

20. Джанелидзе Г. Ю., Лурье А. И. Задача Сен-Венана для естественно скрученных стержней. - Докл. АН СССР, 1939, 24, № 1, с. 23-26.

21. Едаков A.B. Численное решение нелинейных многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифф. уравнения. 1992, т.28, №7, с. 1276-1279.

22. Елисеев В. В. Теория упругости стержней, основанная на модели оснащенной кривой. - Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1976, № 1, с. 163166.

23. Елисеев В.В. О построении одномерных моделей в теории равновесия упругих стержней. - Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Л., Ленингр. политехи, ин-т, 1977.- 14 с.

24. Елисеев B.B. Теория упругости стержней, основанная на модели оснащенной кривой // Изв. АН СССР. - МТТ, 1976, №1, с. 163-166.

25. Железнов Л.П., Кабанов В.В. Функции перемещений конечных элементов оболочек вращения как твердых тел. // МТТ, 1990, №1, с. 131-136.

26. Жилин П.А. Нелинейная теория тонких стержней. Доклад на XXXIII летней школе "Актуальные проблемы механики", Санкт-Петербург, 2005.

27. Жилин П.А. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2007. - 101 с.

28. Жуковский Н. Е. Связь между вопросами о движении материальной точки и о равновесии гибкой нити. // Н. Е. Жуковский. Полное собрание сочинений. Т. I. - М.: ОНТИ, 1937. - С. 86-89.

29. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Скоробогатов А.Д. Изгиб стержней под действием следящей нагрузки. Прикл. мех. и техн. физ. - 2004, т. 45, № 5, с. 167-175.

30. Иванов Г.В., Иванова О.Н. Вычисление пространственных равновесных форм тонких упругих стержней методом самоуравновешенных невязок // Прикл. мех. и техн. физ. - 1994, т. 35, № 4, с. 130-136.

31. Иванов Г.В., Иванова О.Н. Численное решение нелинейных задач о пространственных формах равновесия тонких упругих стержней // Прикл. мех. и техн. физ. - 1995, т. 36, № 6, с. 105-112.

32. Иванова O.A., Марчевский И.К., Морева B.C., Щеглов Г.А. Исследование аэроупругих колебаний провода, вызываемых отрывным вихревым обтеканием. Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, №4(2), с. 157-159.

33. Илюхин A.A. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. - Киев: Наук. Думка, 1979. - 216 с.

34. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1984.-752 с.

35. Кирхгоф Г. Механика. - М., Изд-во АН СССР, 1962. - 402 с.

36. Коновалов А. А. Дифференциальные уравнения для больших перемещений пространственного стержня - Динамика, прочность и долговечность деталей машин. Ижевск, 1974, вып. 3, с. 3-12.

37. Коробейников С.Н. Вторичная потеря устойчивости сжатого шарнир-но опертого стержня // Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике / Тез. докл. IV междунар. конф. - Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН.- 1995.-С. 104.

38. Коробейников С.Н. Геометрически нелинейный анализ оболочек с учетом больших приращений поворотов // Моделирование в механике: Сб. Науч. Тр. / Вычислит, центр, Ин-т теор. и прикл. механики. АН СССР. Сиб. отд. Новосибирск. - 1990. - Т4(21). - №4. - С. 119-126.

39. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 262 с.

40. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. Изд. Высшая школа М., 1970. - 712с.

41. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е., Пустовой Н.В. Колебания предварительно деформированных стержней. Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 179-180.

42. Красноруцкий Д. А., Левин В.Е. О численном методе решения задачи колебаний предварительно деформированного стержня. Труды Всероссийской научно-технической конференции "Наука. Промышленность. Оборона" (20-22 апреля), 2011, с. 327-332.

43. Красноруцкий Д.А. Малые колебания предварительно деформированного плоского нерастяжимого стержня. Сборник тезисов докладов Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции "Интеллектуальный потенциал Сибири" (часть 1). - Новосибирск: Сибстрин, 2008, с. 73.

44. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е. Динамика предварительно деформированных стержней. Сборник тезисов докладов конференции МСНТ'09. - Ми-асс, 2009, с. 40.

45. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е. Колебания предварительно деформированного плоского стержня. Наука. Промышленность. Оборона: Труды IX Всероссийской научно-технической конференции. - Новосибирск: НГТУ, 2008, с. 208-211.

46. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е. О процессе петлеобразования на сжатом скручиваемом стержне. Труды Всероссийской научно-технической конференции "Наука. Промышленность. Оборона." посвященные 60-летию НГТУ, 2123 апреля. - Новосибирск: НГТУ, 2010, с. 345-349.

47. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е. Построение кривой деформирования шарнирно опертого стержня под действием сжимающей силы. Наука. Промышленность. Оборона: Труды X Всероссийской научно - технической конференции, посвященной 50-летию факультета летательных аппаратов НГТУ. -Новосибирск: НГТУ, 2009, с. 208-212.

48. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е. Расчет динамики и устойчивости предварительно деформированного пространственного криволинейного стержня. Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Тр. XXI Всероссийской конференции, Кемерово, 30 июня - 2 июля 2009. г. Новосибирск: Параллель, 2009, с. 133-140.

49. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е., Пустовой Н.В. Динамическое деформирование гибких упругих стержней. Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций: тез. докл. II Всерос. конф. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011, с. 53.

50. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е., Пустовой Н.В. Нелинейные колебания упругих стержней. Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции «Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте». Том 8. Физика и математика, Химия. - Одесса: Черноморье, 2011, с. 50-55.

51. Кузнецов В.В. К определению вращений в трехмерном пространстве на основе понятия вариации вектора // Изв. АН СССР. - МТТ. - 1987. - № 4. -С. 58-60.

52. Кузнецов В.В., Левяков C.B. Геометрически нелинейные модели гибких стержней // Строительная механика и расчет сооружений. - 1991. - №5. -С. 7- 10.

53. Кузнецов В.В., Левяков C.B. О вторичной потере устойчивости эйлерова стрежня // ПМТФ. - 1999. - Т.40,- №6. - С. 184-185.

54. Кузнецов В.В., Сойников Ю.В. Метод конечных элементов в задачах нелинейного деформирования подкрепленных оболочек произвольной формы // Изв. АН СССР. - МТТ. - 1988. -N 3. - С. 136-143.

55. Курбатова Н.В. Некоторые задачи теории упругости и электроупругости и их решение методом конечных элементов. Дис. канд. физ.-мат. наук -2007 - Юж. федерал, ун-т, Ростов-на-Дону. - 121 с.

56. Левин В.Е. Конечный элемент пространственного криволинейного стержня // Математические проблемы механики сплошных сред., сб. научн. трудов.-Новосибирск. - Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН - 2001 -Вып.118. - С. 173-177.

57. Левин В.Е. Применение вектора поворота твердого тела в аппроксимации пространственной кривой. Сиб. журн. индустр. матем., 4:1 (2001), с. 120128.

58. Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Расчет динамики и устойчивости естественно закрученного консольного стержня. Наука и технологии. Труды XXIX Российской школы. - М.: РАН, 2009, с. 67-71.

59. Левин В.Е., Пустовой Н.В. Механика деформирования криволинейных стержней: монография. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. - 208 с.

60. Лось М.В. Орданович А.Е. Анализ процесса образования петли на гибком стержне. Вест. Моск. Ун-та. Сер.1. Математика, механика. 1998, №3. С. 62-65.

61. Лось М.В. Орданович А.Е. О бифуркациях решений дифференциальных уравнений в задаче образования петли на гибком стержне. Дифференциальные уравнения. 2001. том.37, №12. С. 1705-1707.

62. Лось М.В. Орданович А.Е. Определение условий образования петли на гибком стержне. Вест. Моск. Ун-та. Сер.1. Математика, механика. 2000. №6. С. 33-37.

63. Лось М.В. Орданович А.Е. Определение формы гибкого стержня при осевом и сжатии и кручении. Вест. Моск. Ун-та. Сер.1. Математика, механика. 1994. №5. С. 48-54.

64. Лось М.В. Численное моделирование поведения системы "тело-трос" с учетом изгибной жесткости троса и механизм петлеобразования: Дис. канд. физ-мат. наук. М.: МГУ, 2000, 92 с.

65. Лось М.В., Орданович А.Е. Об образовании петель на тросах или нитях. Доклады Академии наук. 2002. том 383, №4. С. 496-499.

66. Лурье А.И. О малых деформациях криволинейных стержней. - Тр. Ленингр. политехи, ин-та, 1941, № 3, с. 47-54.

67. Льюин Б. Гены. М., Мир, 1987, 544 с.

68. Ляв А. Математическая теория упругости - М.; Л.: ОНТИ, 1935. -

674 с.

69. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. - М.: Мир, 1982. - 294с.

70. Николаи Е. Л. К задаче об упругой линии двоякой кривизны - В кн.: Труды по механике. М., ОГИЗ, 1955, с. 45-277.

71. Новожилов В. В., Слепян Л.И. О принципе Сен-Ванана в динамике стержней - Прикл. математика и механика, 1965,29, № 2, с. 261-281.

72. Орданович А.Е., Лось М.В. Численное моделирование процесса образования петли. Проблемы машиностроения и надежности машин. 2002, № 5, с. 85-91.

73. Отчеты по проектам РНП 2.1.2/1051 и РНП 2.1.2/10114 «Создание математических моделей и методов расчета жесткостных, прочностных и динамических характеристик элементов авиационных конструкций из традиционных и композиционных материалов», 2009-2011гг.

74. Павлов В.А., Михайлов С.А., Гайнутдинов В.Г. Теория больших перемещений стержней// Изв Вузов. - Авиац. техн. -1985. -№3. - С 55-58.

75. Попов Е. П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. - Л.; М.: Гос-техиздат, 1948. - 170 с.

76. Попов Е.П. Теория и расчет гибких стержней. - М.: Наука, 1986. -

296 с.

77. Пустовой Н. В., Левин В. Е., Красноруцкий Д. А. Расчет тросов с применением нелинейных уравнений стержня. Известия вузов. Строительство, №9, 2010г., с. 3-10.

78. Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Исследование процесса петлеобразования на сжатых скручиваемых стержнях. Материалы XVIII международной научно-технической конференции "Прикладные задачи математики и механики", Севастополь, 13-17 сентября 20Юг, с. 23-27.

79. Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Колебания упругого предварительно деформированного криволинейного стержня, Материалы XVII международной научно-технической конференции "Прикладные задачи математики и механики", Севастополь 2009, с.8-12

80. Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Определение частот собственных колебаний предварительно деформированного гибкого стержня, Доклады АН ВШ РФ, № 1 (12), Новосибирск: НГТУ, 2009, с. 107-117.

81. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979.-744 с.

82. Светлицкий В. А. Строительная механика машин. Механика стержней. В 2 томах. Том 2. Динамика. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ, 2009, 383 с.

83. Светлицкий В.А. Механика абсолютно гибких стержней. - М.: Изд-во МАИ, 2001.-431 с.

84. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. - М.: Наука, 1978.-222 с.

85. Светлицкий В.А. Механика стержней: Учеб. для втузов. В 2-х ч. Ч. 1. Статика. - М.: Высшая школа, 1987. - 320 с.

86. Светлицкий В.А. Механика стержней: Учеб. для втузов. В 2-х ч. Ч. 2. Динамика. - М.: Высшая школа, 1987. - 304 с.

87. Светлицкий В.А. Нестационарные колебания стержней при импульсном напряжении. Изв. РАН. Мех. тверд, тела - 2006. - N 2. - С. 69-76.

88. Светлицкий В.А. Строительная механика машин. Механика стержней. В 2 томах. Том 1. Статика. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ, 2009, 408 с.

89. Светлицкий В.А., Нарайкин О.С. Упругие элементы машин. - М.: Машиностроение, 1989.-264с.

90. Соколов А.И. Нелинейные колебания абсолютно гибкого провода в потоке воздуха // Наука и образование: электронное научно- техническое издание, 2008, №4, (http://technomag.edu.ru/doc/87224.litml)

91. Сорокин Ф.Д. Прямое тензорное представление уравнений больших перемещений гибкого стержня с использованием вектора конечного поворота. // Изв. РАН. МТТ. - 1994 - № 1. - С. 164-168.

92. Сухоруков А.Л. Исследование частот и форм собственных колебаний упругого погруженного в жидкость троса. Труды Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MAT-LAB". М.: ИПУ РАН, 2002. С. 108-129.

93. Хемш М., Нилсен Д. Аэродинамика ракет: в 2-х кн. Кн. 1. Пер. с англ. - М.: Мир, 1989.-426 с.

94. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Мир,1979, 312с.

95. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. - М.: Мир, 1971.-191 с.

96. Чаюн И.М., Чаюн М.И. Расчетная схема канатов с учетом оборванных проволок. Труды Одесского политехнического университета, 2002, вып. 1(17), с. 47-52.

97. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. - JL: Машиностроение, 1986. - 336 с.

98. Шаманский В.Е. Методы решения нелинейных краевых задач на ЭЦВМ. - Киев. - Наукова Думка, 1966. - 196 с.

99. Шкутин ЛИ. Механика деформаций гибких тел. Новосибирск. - Наука, 1988.-128с.

100. Эйлер Л. Методы нахождения кривых линий. - М., Л.: ГТТИ, 1934. -С. 447-572.

101. Alba Sofia, Giuseppe Muscolino. Dynamic analysis of suspended cables carrying moving oscillators International Journal of Solids and Structures 44 (2007), pp. 6725-6743.

102. Antman S. S. The theory of rods. Handbuch der Physik, Vol. 6a/2, Springer-Verlag, Berlin, 1972, pp. 641-703.

103. Argyris J.H. An excursion into large rotations. // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. - 1982. - V.32. - № 1. - P. 85-155.

104. Atanackovic Teodor M., Glavardanov Valentin B. Buckling of a twisted and compressed rod. Int. J. Solids and Struct. - 2002. - Vol. 39. - N 11. - P. 29872999.

105. Balaeff A., Koudella C. R., Mahadevan L. and K. Schulten. Modelling DNA loops using continuum and statistical mechanics. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A (2004) 362, pp. 1355-1371.

106. Bathe, K.J. Finite Element Procedures. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1996.

107. Burgess, J.J. Equations of motion of a submerged cable with bending stiffness. Offshore Marine and Arctic Engineering 1-A, 1992, pp. 283-289.

108. By Sung-Pil Chang, Jung-n Park, Kyoung-Chan Lee. Nonlinear Dynamic Analysis of Spatially Suspended Elastic Catenary Cable with Finite Element Method. Structural Engineering. Vol. 12, No. 2. March 2008, pp. 121-128.

109. Calhoun P.R., Da Deppo D.A. Nonlinear finite element analysis of clamped arches // J. Struct. Eng. - 1983. - V.109. -№3. - P. 599-612.

110. Calkin M.G. and March R.H.. The dynamics of a falling chain: I. American Journal of Physics, February 1989, 57, pp. 154-157.

111. Cherstvy A.G. Torque-induced deformations of charged elastic DNA rods: thin helices, loops, and precursors of DNA supercoiling. J Biol Phys (2011), 37, pp. 227-238.

112. Chung J., Hulbert, G.M. A time integration algorithm for structural dynamics with improved numerical dissipation: the generalized-a method. Journal of Applied Mechanics, 1993, Vol. 60, pp. 371-375.

113. Clebsch A., Theorie der Elastizit'at fester K'orper, Leipzig, 1862, p. 176.

114. Danilin A.N., Grishanina T.V., Shklyarchuk F.N., Buzlaev D.V. Dynamics of a space vehicle with elastic deploying tether. Computers and Structures 72 (1999), pp. 141-147.

115. Ericksen J. L., Trusdell C. Exact theory of stress and strain in rods and shells. - Arch. Ration. Mech. and Anal., 1958, 1, pp. 295-323.

116. Fritzkowski P., Kaminski H. Dynamics of a rope modeled as a discrete system with extensible members Comput Mech, 2009, pp. 473^-80.

117. Gear C.W. Numerical Integration of Stiff Ordinary Differential Equations. Report No. 221, Department of Computer Science, University of Illinois, 1967.

118. Goyal S., Perkins N.C., Lee C.L. Nonlinear dynamics and loop formation in Kirchhoff rods with implications to the mechanics of DNA and cables. Journal of Computational Physics 209, 2005, pp. 371-389.

119. Hardy S. The implementation and application of dynamic finite element analysis in geotechnical problems. PhD thesis, Imperial College, London, 2003.

120. Hernandez E., Otarola E., Rodriguez R., and Sanhueza F. Finite element approximation of the vibration problem for a timoshenko curved rod. Revista de la Union matematica argentina, Vol. 49, № 1, 2008, pp. 15-28.

121. Hilber H.M., Hughes T.J.R. & Taylor R.L. Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 1977, Vol.5, pp. 283-292.

122. Houbolt J.C. A recurrence matrix solution for the dynamic response of elastic aircraft. Journal of the Aeronautical Sciences, Vol. 17. 1950, pp. 540-550.

123. Hughes T.J.R, Hilber H.M. Collocation, dissipation and overshoot for time integration schemes in structural dynamics. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 1978, Vol.6, pp. 99-117.

124. Irvine H M. Cable Structures[M], Cambridge, Mass: MIT Press, 1981.

125. Iwai R., Kobayashi N. A New Flexible Multibody Beam Element Based on the Absolute Nodal Coordinate Formulation Using the Global Shape Function and the Analytical Mode Shape Function. Nonlinear Dynamics 34, 2003, pp. 207-232.

126. Jayaraman H B, Knudson W C. A curved element for the analysis of cable structures [J]. Comput and Struct, 1981, 3(4), pp. 325-333.

127. Karami G., Farshad M., Yazdchi M. Free vibrations of spatial rods - a finite-element analysis. Commun. Appl. Numer. Meth. - 1990, vol. 6. - N 6. - P. 417428.

128. Katona M.G., Zienkiewicz O.C. A unified set of single step algorithms, Part 3: the beta-m method, a generalization of the Newmark scheme. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1985, Vol. 21, pp. 1345-1359.

129. Kim Jin Gon, Kim Yoon Young. A new higher-order hybrid-mixed curved beam element. Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1998. - Vol. 43. - N 5. - P. 925940.

130. Kirchhoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung unendlich dünnen elastischen Stabis. J. reine u. angew. Math., 1859, B56.

131. Kirchhoff G. R. Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Stäben // Crelle Journal fuer die reine und angewandte Mathematik. — 1858. — Bd. 56. -S. 285 -313.

132. Koh, H.M. Estimation of the Modal Damping Ratio in Stay Cable by Free Vibration and Forced Vibration Test. Korea Bridge Design and Engineering Research Center, Seoul, Korea, 2007.

133. Krasnorutskiy D. A., Levin V. E., Pustovoy N. V. Own Vibrations of the Loaded Flexible Rod. The Third International Forum on Strategic Technologies, June 23-29, 2008.-P. 104-105.

134. Li Shirong. Nonlinear free vibration of thermally buckled beam with both ends immovable and simply supported. J. Gansu Univ. Technol. - 2001. - Vol. 5. - N l.-P. 111-114.

135. Moler C.B., Stewart G.W. An Algorithm for Generalized Matrix Eigenvalue Problems, SIAM J.Numer. Anal. 10, 1973.

136. Mukhopadhyay M., Sheikh A.H. Large amplitude vibration of horizontally curved beams: A finite element approach. J. Sound and Vibr. - 1995. - Vol. 180. -N2.-P. 239-251.

137. Newmark N. M. A Method of Computation for Structural Dynamics, Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 85, No. EM3, July 1959, pp. 67-94.

138. Pai P.Frank, Anderson Tony J., Wheater Eric A. Large-deformation tests and total-Lagrangian finite-element analyses of flexible beams. Int. J. Solids and Struct. - 2000. - Vol. 37. - N 21. - P. 2951-2980.

139. Papastamatiou D.J. Ground Motion and Response of Earth Structures Subjected to Strong Earthquakes. PhD thesis. Imperial College. London, 1971.

140. Park J., Kang N.. Applications of fiber models based on discrete element method to string vibration. Journal of Mechanical Science and Technology 23 (2009) 372-380.

141. Park K.C., Underwood P.G. A variable-step central difference method for structural dynamics analysis - part 2. Implementation and performance evaluation. Computer methods in applied mechanics and engineering, 23 (1980), pp. 259-279.

142. Park K.C., Underwood P.G. A variable-step central difference method for structural dynamics analysis-part 1. Theoretical aspects. Computer methods in applied mechanics and engineering, 22 (1980), pp. 241-258.

143. Park K.C. An improved stiffly stable method for direct integration of nonlinear structural dynamic equations. Journal of Applied Mechanics, ASME, Vol.42, Issue 2, June 1975, pp. 464-470.

144. Plaut R.H. Postbuckling and vibration of end-supported elastica pipes conveying fluid and columns under follower loads. J. Sound and Vibr. - 2006. - Vol. 289.-N 1-2.-P. 264-277.

145. Pustovoy N. V., Levin V. E., Krasnorutskiy D. A. Analysis of a Looping Process of Compressed Twisted Rods. Proceedings. The 5th International Forum on Strategic Technologies, Oct. 13-15, 2010. - P. 119-123.

146. Razavi S.H., Abolmaali A., Ghassemieh M. A weighted residual parabolic acceleration time integration method for problems in structural dynamics. Computational methods in applied mathematics, Vol.7(2007), No.3, pp. 227-238.

147. Schulz Mauro, Filippou Filip C. Non-linear spatial Timoshenko beam element with curvature interpolation. Int. J. Numer. Meth. Eng. -2001. - Vol. 50. - N 4.-P. 761-785.

148. Tillerson, J.R., Stricklin, J.A. Numerical Methods of Integration Applied in the Nonlinear Dynamic Analysis of Shells of Revolution. NASA-CR-108639, National Aeronautics and Space Admistration, Washington, D. C., Aug. 1970.

149. Timoshenko, S. P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars, hilosophical Magazine and Journal of Science, 41 (1921), pp. 744-747.

150. Tomaszewski W. and Pieranski P.. Dynamics of ropes and chains. I. The fall of the folded chain. New J. Phys., 7(45), 2005.

151. Wood W.L., Bossak M., Zienkiewicz O.C. An alpha modification of Newmark's method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1981, Vol.15, pp. 1562-1566.

152. Wu R.W.H., Witmer E.A. Nonlinear Transient Responses of Structures by the Spatial Finite-Element Method. AIAA Journal, Vol. 11, No. 8, Aug. 1973, pp. 1110-1117.

153. Xu Daolin, Guo Yufeng. Complexity of cable dynamics. G. R. Liu et al. (eds.), Computational Methods, (2006), 1689-1694.

154. Yildirim V. A parametric study on the free vibration of noncylindrical helical springs. Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1998. - Vol. 65. - N 1. - P. 157-163.

155. Zhu Z.H., Meguid S.A. Elastodynamic analysis of low tension cables using a new curved beam element. International Journal of Solids and Structures 43 (2006) 1490-1504.

156. Zienkiewicz O.C., Wood W.L. ,Taylor R.L., An alternative singlestep algorithm for dynamic problems", Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1980, Vol. 8, pp. 31-40.

157. Справочник «Вибрации в технике» - М.: Машиностроение, 1980-Т.З.- 544с.

УТВЕРЖДАЮ

Директор ООО ГП «Сибгеотех»

<о!?

"■ид С. г-чС

гэг; 1