Устойчивость, нелинейный изгиб и колебания стержней и пластин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Охоткин, Кирилл Германович

• Охоткин, Кирилл Германович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Охоткин, Кирилл Германович

Введение

Глава I. Общие сведения по изгибу и колебаниям стержней и теории тонких оболочек

1. Устойчивость стержневых систем

1.1. Система координат

1.2. Уравнение равновесия стержня

1.3. Уравнение равновесия стержня в касательной системе координат

2. Устойчивость тонких пластин и оболочек

2.1. Уравнение сильного изгиба тонкой пластины в декартовых координатах

2.2. Векторное уравнение изгиба пластины в цилиндрических координатах

3. Колебания нагруженных стержней 30 Выводы

Глава II. Систематизация решений в параметрическом виде для нелинейного изгиба стержней

1. Общее решение задачи об изгибе стержня

2. Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом под действием нагрузки под произвольным ) глом

3. Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом под действием поперечной силы

4. Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом под действием продольного сжатия

5. Изгиб стержня как аналогия перемагничивания магнитной системы

6. Изгиб стержня с обоими защемленными концами под действием продольного сжатия

7. Изгиб стержня с обоими шарнирно закрепленными концами под действием продольного сжатия

8. Сводная таблица решений и описание интерактивной программы демонстрации аналитических решений для изгибов стержней 49 Выводы

ГЛАВА III. Решение уравнения равновесия для круговой пластины

1. Устойчивость круговой пластины под действием радиального сжатия

1.1. Задача о пластине с защемленными краями

1.2. Задача о пластине с закрепленными краями

2. Специальные функции. Система обозначений

2.1. «Эллиптический интеграл Бесселя»

2.2. «Эллиптическая амплитуда Бесселя»

2.3. «Эллиптический синус Бесселя»

3. Формы прогиба пластины. Пороги внешней нагрузки.

3.1. Представление решений с помощью введенных специальных функций

3.2. Спектр внешней нагрузки и профили пластины 63 Выводы

Глава IV. Колебания нагруженных стержней после потери устойчивости

1. Общее уравнение движения стержня

2. Колебания консоли в нагруженном состоянии

2.1. Определение частоты собственных колебаний нагруженного стержня

2.2. Частоты колебаний при продольной нагрузке

2.3. Частоты колебаний при поперечной нагрузке

3. Аналогия с магнитными колебаниями в ферромагнитном слое 80 Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость, нелинейный изгиб и колебания стержней и пластин»

В авиационной, ракетной, кораблестроительной и других областях промышленности всегда большое внимание привлекают проблемы устойчивости и колебаний конструкций: оболочек, мембран, стержневых систем и т.д. Особое значение имеет задача о поведении конструкций под действием быстро меняющихся во времени и собственно ударных нагрузок, поскольку ударные разрушения относятся к наиболее тяжким последствиям природных и техногенных катастроф. Поэтому изучение ударных, или динамических нагрузок всегда является объектом пристального внимания исследователей, особенно после появления основополагающей работы М.А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского [1].

Такие задачи о поведении конструкций крайне важны как в теоретическом, так и практическом отношении, однако точные решения их получить весьма сложно. Подобные задачи очень часто решаются приближенными или численными методами, и только небольшое число задач удалось решить аналитически.

В последние годы в работах Ю.В. Захарова [2-4] была найдена аналогия между задачей о перемагничивании магнитного слоя с несимметричными граничными условиями и задачей Эйлера об устойчивости упругого стержня. Для магнитной системы была найдена последовательность пороговых полей потери устойчивости ферромагнитного слоя как аналогия исследованной М.А. Лаврентьевым и А.Ю. Ишлинским [1] динамической потери устойчивости упругой системы.

Найденная аналогия помогла получить ряд аналитических результатов для описания устойчивости магнитных и упругих систем. Так, для упругих систем были найдены точные решения в эллиптических функциях нелинейного уравнения сильного изгиба упругого стержня-консоли под действием поперечной сосредоточенной нагрузки на свободном конце [5-6].

Полученные теоретические результаты позволяют подойти с новых позиций к анализу более сложных упругих систем, и, в частности, к анализу задач об изгибе тонкой пластины и о колебаниях стержней.

Интересно не только само явление потери устойчивости конструкций, но и их закритическое поведение. Всякие попытки точно решать сложные проблемы устойчивости и механики сплошных сред приводят к необходимости получения и решения соответствующих, как правило, нелинейных уравнений, т.е. требуют развития математического аппарата.

Задача об изгибе стержня является одним из вопросов расчета конструкций. Как правило, такие задачи решаются на базе приближенных линеаризованных уравнений равновесия для изогнутых стержней, приводящих к решениям в виде полиномов. Чаще всего используются именно эти решения. Вместе с тем имеются для некоторых случаев точные решения нелинейных уравнений, выраженные в квадратурах [7-10], или в эллиптических интегралах [12-13]. В последнем случае решения определяются тремя параметрами, связанными с условиями на двух концах и действующей силой и находящихся из вспомогательных таблиц и номограмм. Все эти решения имеют громоздкий вид и труднодоступны для инженеров-практиков, поэтому до последнего времени решались задачи получения приближенных выражений даже для таких стандартных характеристик, как максимальный прогиб стержня [16]. Вместе с тем, в последнее время есть определенный прогресс в получении точных решений, выраженных через эллиптические функции с единственным параметром - модулем к, определяемым действующей силой. В настоящее время известны достаточно эффективные, быстрые алгоритмы для вычисления эллиптических функций и интегралов, что позволяет создать эффективный пакет прикладных программ визуализации точных решений для изгиба тонких стержней. В наши дни, когда перед конструкторами стоят задачи миниатюризации спутников, это имеет ясно выраженное прикладное инженерное значение при расчете устройств точной механики в условиях ограниченных габаритов, поскольку точные решения в ряде случаев значительно отличаются от приближенных. Например, прогиб в приближенном решении оказывается в некоторых случаях в два раза больше прогиба в точном. Поэтому сравнение точных решений с приближенными может позволить найти те области параметров, где целесообразно использовать точное или возможно использовать приближенное решение. Это может позволить выбрать оптимальные характеристики создаваемых устройств в точной механике.

Задачи об изгибе оболочек и пластин при достаточной ясности и проработанности для линейных случаев существенно усложняются при переходе к рассмотрению сильных изгибов, т.е. к нелинейному случаю. Вместе с тем изучение закритического поведения оболочек и пластин обязательно приводит к рассмотрению нелинейных задач различной степени сложности.

Не будут исключением и задачи, которые являются целью этой диссертационной работы: исследование устойчивости упругих стержней и пластин под действием внешней нагрузки в геометрически нелинейном случае, нахождение порогов устойчивости и соответствующих им форм выпучивания, исследование колебаний упругих стержней после потери ими устойчивости.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Охоткин, Кирилл Германович

Выводы

Получено общее нелинейное интегро-дифференциальное уравнение произвольных движений (перемещений) тонкого упругого стержня (линии).

Рассмотрен частный случай малых колебаний стержня в изначально нагруженном состоянии.

В качестве простой модельной задачи выбран стержень, защемленный с одной стороны и свободный на другом конце, под действием сосредоточенной нагрузки. Получено дифференциальное уравнение малых колебаний стержня в нагруженном состоянии, в окрестностях нелинейных порогов для малой добавки к углу наклона касательной к оси стержня, зависящей от времени и от координаты. При описании начального нагруженного состояния использовались точные нелинейные решения равновесия стержня, полученные ранее.

Полученное уравнение малых колебаний после перехода стержня в изогнутое состояние сводится к известному уравнению Ламе.

Получена зависимость частоты каждой моды от внешней нагрузки. Эта зависимость до соответствующего порога имеет линейный характер, как было показано ранее многими авторами.

Найденная зависимость частоты от внешней нагрузки после порогов в изогнутом состоянии имеет нелинейный характер. Обращение частот п-то тона колебаний стержня в ноль при пороговой силе происходит в точках бифуркации.

Вид полученного уравнения малых колебаний и частотных зависимостей позволяет провести аналогию между колебаниями упругих механических систем и магнитными колебаниями в ферромагнитном слое.

Результаты этой главы опубликованы в работах [66-68].

Заключение

1. Систематизированы и обобщены точные решения для нелинейного изгиба тонких стержней для различных случаев закрепления и приложения внешней силы. Решения записаны в параметрическом виде и выражены через эллиптические функции Якоби и зависят только от одного дополнительного параметра - модуля эллиптических функций, определяемого внешней нагрузкой и модой решения.

2. На основе этой системы решений создан пакет прикладных программ, позволяющий визуализировать прогибы стержня при различных граничных условиях и в зависимости от физических характеристик стержня, приложенной силы и моды решения.

3. Получено точное решение геометрически нелинейного уравнения для сжатой радиальной нагрузкой круговой пластины, являющееся обобщением решения задачи о сильном изгибе тонкого стержня на двумерную поверхность.

4. Для описания точных решений введена система новых специальных функций -«эллиптических интегралов Бесселя» и «эллиптических функций Бесселя», которые для систем с цилиндрической симметрией являются аналогами эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби.

5. Найдена система статических и динамических порогов внешней нагрузки и соответствующие им формы прогиба радиально сжатой пластины. Найденные решения выражены через новые функции, что позволило получить систему решений, аналогичную решению задачи о сильном изгибе стержня.

6. Исследованы колебания тонкого упругого стержня после потери им устойчивости в изогнутом состоянии и найдены частоты колебаний в зависимости от внешней нагрузки, приложенной под произвольным углом. Проведена аналогия с колебаниями веерной магнитной системы.

Приношу искреннюю благодарность научному руководителю и учителю Ю.В. Захарову за постановку задачи, постоянную помощь и внимание к работе.

Автор искренне благодарен К.С. Александрову и Р.Г. Хлебопросу за пристальное внимание к работе и детальное обсуждение результатов, С.Г. Овчинникову, Р.С. Исхакову, A.M. Баранову, В.Г. Суховольскому, Ю.И. Манькову, Л.И. Шкутину за полезные обсуждения и интерес к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Охоткин, Кирилл Германович, 2002 год

1. Лаврентьев М.А., Ишлинекий А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // ДАН СССР. 1949. Т. 64. № 6. С. 779 782.

2. Захаров Ю.В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании // ДАН. 1995. Т. 344. № 3. С. 328 -332.

3. Захаров Ю.В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании. Пороговые поля и частоты магнитного резонанса // Препринт №758Ф. Красноярск: Ин-т физики СО РАН, Ин-т биофизики СО РАН. 1995. С. 40.

4. Zakharov Yu.V., Uvaev I.V. // Proc. of Moscow International Symposium on Magnetism. P. II. M.: Физический факультет МГУ. 1999. P. 44 47.

5. Захаров Ю.В., Захаренко А.А. Динамическая потеря устойчивости в нелинейной задаче о консоли // Вычисл. технол. 1999. Т. 4. № 1. С. 48 54.

6. Захаров Ю.В., Захаренко А.А. Динамическая потеря устойчивости в нелинейной задаче о консоли и оценка риска катастроф / Препринт №780Ф. Красноярск: Ин-т физики СО РАН. - 1997. - 8 с.

7. Эйлер JI. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума. М.: ГТТИ, 1934. - 600 с.

8. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. - 576 с.

9. Ляв. А. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ, 1935. - 674 с.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. - 248 с.

11. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физматгиз, 1959. - 568 с.

12. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986. - 296 с.

13. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л. -М.: ОГИЗ, 1948.- 170 с.

14. Heinzerling Н. Mathematische Behandlung einiger grundlegender Fragen des Knicksproblems des geraden Stabes Diss. - 1938. - Karlsruhe: Borna - Leipzig, 1939.- P. 64. (Korreferent Dr. phil. h. L. Collatz).

15. Коллатц JI. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями).- М.: Физматгиз, 1968. 504 с.

16. Астапов Н. С. Приближенные формулы для прогибов сжатых гибких стержней // ПМТФ. 1996. Т. 37, № 4. С. 200 203.

17. Левяков С.В. Формы равновесия и вторичная потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного продольной силой // ПМТФ. 2001. Т. 42, № 2. С. 153 -159.

18. Кузнецов В.В., Левяков С.В. Эластика Эйлерова стержня с защемленными концами //ПМТФ. 2000. Т. 41, № 3. С. 184 186.

19. Кузнецов В.В., Левяков С.В. О вторичной потере устойчивости Эйлерова стержня // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 6. С. 184 185.

20. Кузнецов В.В., Левяков С.В. Многозначные решения пространственных задач нелинейного деформирования тонких криволинейных стержней // ПМТФ. 1998. Т. 39, №2. С. 141 149.

21. Halphen G.-H. Sur une courbe elastique // Journal de l'ecole polytechnique. Paris, 1884. V. 54. p 183.

22. Halphen G.-H. Traite des fonctions elliptiques. Paris, 1888.

23. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев B.B. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Наукова думка, 1975. - 704 с.

24. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. - 984 с.

25. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. М.: Наука, 1976. - 416 с.

26. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.- 744 с.

27. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

28. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 286 с.

29. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: Из-во ЛГУ, 1988.-254 с.

30. Муштари Х.М. Нелинейная теория оболочек. М.: Наука, 1990.

31. Лурье А.И. Нелинейная теория оболочек. М.: Наука, 1980. - 512 с.

32. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Из-во МГУ, 1969. - 695 с.

33. Панов Ю.В., Феодосьев В.Н. О равновесии и потере устойчивости пологих оболочек при больших прогибах // ПММ, 1948. Т. XII. №4. С. 389-406, - 1949. -Т. XIII. № 1.-С. 116.

34. Феодосьев В.И. К расчету хлопающей мембраны // ПММ, 1946. Т. X. №2. С. 295 -300.

35. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.: Гостехиздат, 1949. 781 с.

36. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. М.: Изд-во УДН, 1988.- 176 с.

37. Foppl A. Forlesungen iiber technische Mechanik. Bd 5. Die wichtigsten Lehren der hoheren Elastizitatstheorie. Leipzig: B.G. Teubner, 1907. 391 s.

38. Karman Th. Festigkeitsprobleme in Maschinenbau. Enzyklopadie der Mathematischen Wissenschaften. Bd IV. Mechanik, Teilband 4, Hft 3, Art 27, Punkt 8. Ebene Platten. Leipzig: B.G. Teubner, 1910. S. 311 385.

39. Сьярле Ф., Рабье П. Уравнения Кармана. М.: Мир, 1983. - 172 с.

40. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. - 384 с.

41. Захаров Ю.В., Игнатченко В.А. Частоты магнитного резонанса в пленках на антиферромагнитной подложке //ЖЭТФ. 1970. Т. 59. № 3. С. 951 956

42. Zakharov Yu., Ignatchenko V.A. Magnetic resonanse in films on antiferromagnetic substrate // Czech. J. Phys. 1971. V. B21. № 4-5. P. 482 - 485.

43. Хрусталев Б.П., Мельник A.C. Низкочастотная область спин-волнового резонанса в тонких металлических слоях с обменной анизотропией // ФММ. 1973. Т 36. №2. С. 435 -436.

44. Саланский Н.М., Ерухимов М.Ш. Физические свойства и применение магнитных пленок. Новосибирск: Наука, Сибирское отд., 1975. - 222 с.

45. Salansky N.M., Khrustalev В.P. Peculiarities of the resonance absorption in the magnetic films magnetized to non-saturated state // Czech. J. Phys. 1971. V B21. № 4-5. P. 419-428.

46. Aharoni A., Frei E.H., Shtrikman S. Theoretical approach to the asymmetrical magnetization curve//J. Appl. Phys. 1959. - V. 30. №12. - P. 1956- 1961.

47. Goto E., Hayashi N., Miyashita Т., Nakagawa K. Magnetization and switching characteristics of composite thin magnetic films // J. Appl. Phys. 1965. V. 36, № 9. P. 2951 -2958.

48. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Физматгиз, 1977. - 408 с.

49. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

50. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1985. - 760 с.

51. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. -М.: Наука, 1987.

52. Справочник по специальным функциям // Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган, М.: Наука,

53. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968.

54. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Физматгиз, 1967.

55. Сикорский Ю.С. Элементы теории эллиптических функций. М. -Л.: ОНТИ, 1936.

56. Ince E.L. The periodic Lame functions // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1940. V. 60. -P. 47-63.

57. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. -М.: Физматгиз, 1962.

58. Цимринг Ш.Е. Специальные функции и определённые интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. М.: Радио и связь, 1988.

59. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г. Сильный изгиб тонкой круглой мембраны // Тезисы докладов 12-ой Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1999, С. 151.

60. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г. Решение нелинейного уравнения сильного изгиба тонкой круглой мембраны // Тезисы докладов Междунар. конф.

61. Математические модели и методы их исследования». Красноярск, 1999, С. 101-102.

62. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г. О геометрически нелинейном прогибе тонкой круглой пластинки // Тезисы докладов III Всеросс. научно-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых специалистов «Решетневские чтения». -Красноярск: САА, 1999. С. 111-112.

63. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г. Динамическая устойчивость круглой пластинки. // Материалы Второй Всеросс. научно-практ. конф. «Достижения науки и техники развитию сибирских регионов». Ч. 4 - Красноярск: КГТУ, 2000. С 10-11.

64. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г. Устойчивость тонкой круговой пластины при радиальном сжатии // ДАН. -2001, Т. 377, № 6, - С.764-768.

65. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г. Колебания стержней в нагруженном состоянии // «Математические модели и методы их исследования». Труды международной конференции. Т. 1. / ИВМ СО РАН. Красноярск, 2001. С. 252-256.

66. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г. Магнитные колебания в пленке аналогия с механическими колебаниями стержня // Тезисы Байкальской междунар. научно-практ. конф. «Магнитные материалы». - Иркутск: ИркГПУ, 2001. С. 77.