Гашение колебаний механических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Гаврилов, Дмитрий Николаевич

• Гаврилов, Дмитрий Николаевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Гаврилов, Дмитрий Николаевич

Содержание

Введение 2

I Гашение колебаний консоли при ее кинематическом перемещении 9

1 Гашение колебаний консоли 9

1.1 Постановка задачи о гашении колебаний консоли................................10

1.2 Обобщенные лагранжевы координаты упругого тела............................12

1.3 Построение математической модели задачи о гашении колебаний консоли . . 14

1.4 Моделирование перемещения упругого тела перемещением системы соосных маятников..............................................................................17

1.5 Критерии выбора управляющего воздействия....................................21

1.6 Введение дополнительных условий на движение основания консоли..........24

1.7 Обратимость процесса................................................................27

1.8 Построение решения задачи о гашении колебаний консоли......................30

2 Энергетический подход к задаче о гашении колебаний 31

2.1 Гашение колебаний как минимизация полной энергии колебаний в конце пути 32

2.2 Сравнение управлений, полученных методами гашения и минимизации ... 34

2.3 Исследование влияния высоких частот в задаче гашения колебаний..........36

2.4 Анализ влияния дополнительных условий на движение основания консоли

на возникающие колебания..........................................................37

3 Гашение колебаний консоли на основе введения базисных функций 39

3.1 Построение системы базисных функций ..........................................39

3.2 Гашение колебаний с использованием базисных функций ......................42

3.3 Об особых точках в задаче гашения колебаний ..................................45

3.4 Построение решения без особых точек............................................47

II Колебания сопряженных упругих тел 52

4 Колебания Т-образного стержня 52

4.1 Определение собственных частот на основе уравнений Лагранжа I рода ... 53

4.2 Квазистатический метод определения первой собственной частоты............57

4.3 Сравнение приближенного значения с точным....................................61

5 Колебания двух свободных одинаковых стержней, скрепленных под заданным углом 62

5.1 Нахождение собственных частот системы из двух одинаковых стержней скрепленных под углом....................................................................63

5.2 Упрощение модели за счет использования свойств симметрии..................66

5.3 Использование приближенного метода для определения первой собственной частоты системы стержней..........................................................68

5.4 Сравнение результатов даваемых точным и приближенным методами .... 72

Заключение 76

Приложения 78

Список литературы 81

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гашение колебаний механических систем»

Введение

Нахождение силы, осуществляющей перевод системы из одного заданного состояние в другое заданное состояние, является одной из важнейших задач теории управления. В частном случае, когда система переходит из состояния покоя в состояние покоя, говорят о задаче гашения колебаний.

Среди многочисленных методов, позволяющих решать такие задачи, H.H. Моисеев [14| выделяет принцип максимума Понтрягина и теорию локальных экстремумов, изложенную Ф.Л. Черноусько в книге [35]. К важнейшим методам управляемых процессов можно отнести и метод динамического программирования, предложенный Р. Беллманом [3| и развитый им в дальнейшем совместно с его учениками в целом ряде более поздних монографий.

Задача о гашении колебаний тележки с маятниками при ее перемещении за заданное время на заданное расстояние была поставлена и решена на основе принципа максимума Понтрягина в монографии [34]. Интересно, что полученное решение представляется в виде суммы гармоник по собственным частотам системы, что при длительных временах движения вызывает раскачку системы.

Гашение колебаний консоли постоянного сечения при перемещении ее основания за заданное время на заданное расстояние при использовании интегродпфференциальных соотношений рассмотрено в работе [13]. Оптимальное управление, которым в данной задаче является ускорение основания консоли, искалось в виде ряда по времени, а определялось из условия минимальности полной энергии упругого стержня в момент остановки основания.

Статья [21] и монография [22] развивают эти идеи для задачи гашения колебаний тележки с маятниками. В них показывается, что решение, полученное с помощью принципа максимума Понтрягина, соответствует наложению на движение системы неголономной связи высокого порядка. Используя это, в работах [21, 22] предлагается решать задачу с помощью обобщенного принципа Гаусса. Оказалось, что при использовании обобщенного принципа Гаусса управление является степенной функцией времени. Тем самым удалось математически обосновать применение управления в виде ряда по времени, которое, по сравнению с управлением полученным при использовании принципа максимума Понтрягина, имеет более гладкий характер, что позволяет его использовать при реализации управления реальными механическими системами.

Этот подход к выбору оптимального управления был проанализирован и развит в ста-

тье [29] для задачи гашения колебании консоли постоянного сечения. В ней для описания прогиба упругой консоли использовались не ннтегроднфференцпальные соотношения, а обобщенные лагранжевы координаты и уравнения Лагранжа второго рода. Показывается, что задача гашения п форм колебаний консоли может быть сведена к решению системы линейных алгебраических уравнений порядка 2п + 2.

Данная работа продолжает этп исследования. В ней идеи, предлагаемые другими авторами, были существенно проанализированы и развиты. Это позволило разработать новый подход к задаче гашения колебаний механических систем. Его особенность состоит во введении системы базисных функций, которые имеют аналитическое представление. Такое рассмотрение задачи гашения позволило: во-первых, свести решение задачи гашения п форм колебаний к решению системы линейных алгебраических уравнений порядка п, во-вторых, исследовать зависимость решения от параметров задачи н определить особые значения параметров, для которых решение неограниченно возрастает, в-третьих, построить решение, не имеющее особенностей для любых значений параметров задачи.

Использование обобщенных лагранжевых координах для исследования задачи гашения колебаний упругих тел позволяет существенно упростить математическую модель описываемого процесса. Но для использования этого подхода необходимо знать собственные частоты и собственные формы колебаний исследуемой системы с высокой точностью. При этом наибольший интерес представляют низшие частоты, в особенности, первая соб-С1венная частоха.

В настоящее время разработан целый ряд подходов к решению этих задач. Эти подходы условно можно разделить на три группы: точные методы (основанные, как правило, на разложении колебаний по собственным формам), приближенные методы, использующие априорно задаваемые формы колебаний (например, основанные на предположении о подобии формы колебаний форме статического прогиба) и численные методы (меход конечных разностей и конечных элементов). Несмотря на такое количество методов для решения этп задачи не теряют своей актуальности. В этой работе используются два сравнительно новых метода, предложенных в монографиях [22, 23] и основанных на использовании множителей Лагранжа.

Первый из них, позволяет эффективно определять собственные частоты для систем упругих тел, состоящей из элементов, для которых известны их собственные частоты н формы. При этом искомые собственные формы системы выражаются через известные частоты ее элементов, а для получения приближенного значения собственных частот с высокой точностью можно использовать квазистатическпй учет высших форм колебаний.

Эффективность квазистатического учета высших форм собственных колебаний в динамических задачах упругости была показана в работах С.А. Зегжды, М.П. Юшкова и их учеников.

Для определения низших частот механических систем, состоящих из связанных друг с другом тел, может быть также применен второй метод, основанный на рассмотрении реакций связи в качестве обобщенных лагранжевых координат. Этот квазистатический подход предполагает, что реакции связей уравновешиваются силами инерции системы. Деформации системы при этом соответствуют состоянию квазистатического равновесия реакций и сил инерции. Величины реакций определяются таким образом, чтобы суммарные перемещения точек системы, вызванные ее движением, как абсолютно твердого тела и ее деформациями, удовлетворяли уравнениям связей.

Впервые такой подход был применен Герцем при решении задачи о соударении шаров. Возникающая при деформации шаров сила уравновешивается инерцией поступательного движения соударяющихся тел. При этом деформации считаются такими, какими они были в статике под действием силы соударения и сил инерции. В работах С.А. Зегжды и В.Н. Вернигора показывается, что данный подход может эффективно применяться в задачах динамики упругих систем. В частности, данный подход продемонстрировал свою эффективность для различных задач динамики балок [5], [16|-[20].

Цель работы состоит в том, чтобы исследовать задачу гашения колебаний для различных механических систем с использованием обобщенного принципа Гаусса.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Показано, что математическая модель задачи о гашении конечного числа собственных форм колебаний упругой консоли переменного сечения при кинематическом перемещении ее основания эквивалентна модели гашения колебаний конечного числа соосных математических маятников, ось которых перемещается также как основание консоли.

2. Введены в рассмотрение базисные функции порядка т, т = 0, оо. Они являются функциями времени. Каждой из них задается то ускорение при движении точки по прямой, при котором, в соответствии с обобщенным принципом Гаусса порядка 2т + 2, пропзводпая от ускорения по времени того же порядка равна нулю. При данном ускорении точка за время, равное единице, проходит путь, равный единице, причем как в начале, так н в конце пути скорость точки и все производные от нее по времени до порядка т равны нулю.

3. Показано, что управление, обеспечивающее гашение п форм колебаний упругого тела в конечный момент времени, может быть представлено в виде ряда по базисным функциям, число членов которого равно »,+ 1. Коэффициенты этого ряда являются аналитическими функциями параметра Л, равного отношению времени перемещения к периоду первой формы колебаний.

4. Выяснилось, что управление, обеспечивающее гашение колебаний консоли для любого числа гасимых форм /г, имеет счетное множество особых значений Л, при приближении к которым это управление неограниченно возрастает.

5. Показано, что управление, представленное в виде

?¿(¿,A) = 7^(1, Л) + /./.(п2(£, А) - И!^, А)),

где щ (¿, Л) и и-2Л) — управления, построенные в виде рядов, обеспечивающих гашение « первых форм собственных колебаний и начинающихся соответственно с первой и второй базисных функций, не будет иметь особых точек, если параметр ¡1 выбран

т

из условия минимальности функционала / п2(£, А)Л1. Здесь т — время перемещения.

о

В работе использованы и уточнены современные аналитические методы, разработанные на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механпческого факультета СПбГУ. Все рассмотренные задачи решались с использованием современных математических программ.

Первая часть посвящена решению задачи о гашении колебаний консоли переменного сечения при кинематическом перемещении ее основания. Она состоит из трех глав.

В первой главе рассматривается классическая постановка задачи гашения колебаний. В ней вводятся в рассмотрение обобщенные лагранжевы координаты. Строится математическая модель гашения колебаний консоли переменного поперечного сеченпя. Показывается, что к аналогичной модели может быть сведена и задача о гашении колебаний некоторого числа соосных математических маятников, ось которых перемещается также как основание консоли. Рассматриваются различные подходы к выбору класса функций, на котором будет реалнзовываться требуемое перемещение. Предлагается дополнять классическую постановку задачи дополнительными условиями на искомое управление, которое связано с ускорением основания консоли, а именно требовать, чтобы в начальный и конечный момент управление и производные от него до некоторого порядка были равны нулю. Для оптимизации численного эксперимента предлагается использовать свойство обратимости

задачи, что позволяет уменьшить порядок получаемой системы алгебраических уравнений в 2 раза.

Вторая глава первой части работы посвящена задаче гашения колебаний при минимизации полной энергии колебаний в конечный момент времени. Этот подход, впервые предложенный в работе [13], реализуется с помощью обобщенных лагранжевых координат. Показывается, что минимизация полной энергии консоли по 2п свободным параметрам в конечный момент времени для времен больших первого периода эквивалентна задаче гашения п собственных форм колебаний этой консоли. Исследуется вопрос о количестве собственных частот, которое необходимо учитывать в задаче гашения колебаний консоли. На основании энергетических характеристик движения исследуется вопрос о влиянии дополнительных условий па управление, предложенных в первой главе, на возникающие в процессе перемещения колебания.

Третья глава первой части отражает новый подход к задаче гашения колебаний. В ней вводится система базисных функции, которая обеспечивает перемещение основания консоли, из одного положения в другое за заданное время. Искомое ускорение основания предлагается искать в виде ряда по этим функциям. Показывается, что задача гашения колебаний зависит только от одного параметра Л, равного отношению времени перемещения к периоду первой формы колебании. Находятся особые значения этого параметра, при которых решение неограниченно возрастает. Предлагается алгоритм нахождения управления для любых значений Л.

Вторая часть диссертации посвящена вопросу определения собственных частот и форм для механических систем. В первой части показывается, что использование обобщенных лагранжевых координат, позволяет построить для задачи колебания механических систем математическую модель, которая может приближено описывать реальные системы даже с учетом нескольких первых форм колебаний. Однако данный подход требует априорного знания достаточно точного значения собственных частот и форм колебании, что для механических систем, состоящих из нескольких упругих тел, само по себе, является сложной задачей. В этой части работы рассматриваются два метода, позволяющие достаточно точно определять низшие частоты колебаний.

Первый метод применяется для определения собственных частот и собственных форм колебаний упругих систем, состоящих из элементов, для которых известны их собственные частоты п формы. В данном методе условия соединения упругих тел рассматриваются как голономные связи. Их реакции, равные множителям Лагранжа, являются силами взаимодействия между телами системы. На основе уравнений связей составляется снсте-

ма линеГшых однородных уравнений относительно амплитуд множителей Лагранжа при собственных колебаниях. Решение данной системы позволяет собственные частоты п собственные формы всей системы выразить через собственные частоты и собственные формы ее элементов. Также рассматривается приближенный алгоритм определения собственных частот и форм, основанный на квазистатпческом у чехе высших форм элементов системы.

Второй меюд предназначен для определения низших частот механических систем, состоящих из связанных друг с другом тел. Условия соединения тел записываются в виде голономпых связей, реакции которых рассматриваются как обобщенные координаты. Поэтом}' число степеней свободы оказывается равным количеству связей. Этот квазистатический подход позволяет с высокой ючностыо определить первую собственную частоту механической системы и при этом не требует знания собственных частот и форм ее элементов.

Предложенные методы рассматриваются на примере двух систем: Т-образной консоли и двух одинаковых свободных стержней, скрепленных под углом. Каждой из этих систем посвящена отдельная глава второй части работы.

В четвертой главе решается задача о нахождении собственных частот для Т-образной консоли, которая рассматривается как два упругих стержня, скрепленных между собой. Собственные частоты находятся двумя методами и для разных конфигураций механической системы. Полученные результаты сравниваются.

В пяюй главе рассматривается система из двух одинаковых стержней, скрепленных под заданным углом. Для этой системы строится два решения: точное н приближенное, на основе второго метода. Также предлагается рассмотреть две математических модели данной задачи: полную и упрощённую за счет свойств симметрии. Полученные результаты сравниваются.

Апробация работы. Полученные результаты были представлены автором на следующих конференциях: Международная научная конференция по механике «Пятые Поляхов-ские чтения», Санкт-Петербург, 3-6 февраля 2009 года [10], 10. Magdeburger MaschinenbauTage, Magdeburg, 27-29 September 2011 [40], Седьмой международный симпозиум по классической и небесной механике (CCMECII7), 17-28 октября 2011 года, Москва (Росспя)-Седльце (Польша) [39], Международная научная конференция по механике «Шестые По-ляховские чтения», Санкт-Петербург, 31.01-3.02.2012 [6|, Международная конференция «Восьмые Окуневскпе чтения», Санкт-Петербург, 25-28 июня 2013 года [7].

Результаты докладывались па семинарах кафедры теоретической и прикладной механике СПбГУ (2011-2012 гг.), а также на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС

«Компьютерные методы в механике сплошной среды» (Computer Methods in Continuum Mechanics) (2010 г.).

Публикации. По теме диссертации имеется 7 публикаций [6]-[10],[39, 40|, в том числе 1 статья в журнале рекомендованном ВАК [9| и одна статья в сборнике международной конференции [10]. В совместной работе [9] соавтору принадлежит постановка задачи и метод решения, автору принадлежит реализация предложенного метода и результаты расчетов.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Гаврилов, Дмитрий Николаевич

Выводы

1. Найдены приближенные значения первых собственных частот Т-образного стержня для различных значений параметров.

2. Найдены собственные частоты и формы механической системы, состоящей из двух

одинаковых однородных стержней, скрепленных под заданным углом. Для данной системы предложено две модели: полная и упрощенная за счет свойств симметрии.

3. На примере двух механических систем показано, что метод, основанный на рассмотрении реакций в качестве обобщенных лагранжевых координат, позволяет находить первую собственную частоту с высокой точностью.

4. Рассмотренные методы позволяют находить первые собственные частоты механических систем с высокой точностью. Что может быть использовано для решения задачи о гашении колебаний этих систем.

Заключение

Основные результаты диссертации

1. Показано, что математическая модель задачи гашения конечного числа собственных форм колебаний упругой консоли переменного сечения при кинематическом перемещении ее основания эквивалентна модели гашения колебаний конечного числа со-осных математических маятников, ось которых перемещается также как основание консоли.

2. На основании численного эксперимента подтверждена гипотеза о быстром убывании вклада в полную энергию колебаний консоли энергии колебаний по собственным формам. Также показывается, что наложения дополнительных условий на управление в начальный п конечный момент приводит к уменьшению вклада высших форм в энергию колебаний.

3. Введены в рассмотрение базисные функции порядка т,т = 0, оо. Они являются функциями времени. Каждой из них задается то ускорение при движении точки по прямой, при котором, в соответствии с обобщенным принципом Гаусса порядка 2т + 2, производная от ускорения по времени того же порядка равна нулю. При данном ускорении точка за время, равное единице, проходит путь, равный единице, причем как в начале, так и в конце пути скорость точки и все производные от нее по времени до порядка т равны нулю.

4. Показано, что управление, обеспечивающее гашение п форм колебаний упругого тела в конечный момент времени, может быть представлено в виде ряда по базисным функциям, число членов которого равно п +1. Коэффициенты этого ряда являются аналитическими функциями параметра Л, равного отношению времени перемещения к периоду первой формы колебаний.

5. Найдены особые и исследованы особые значения параметра Л, при котором управление, обеспечивающее гашение п собственных форм колебаний консоли, неограниченно возрастает.

6. Показано, что управление, представленное в виде

и{1, А) = + 11,{и2{1,\) Л)),

где Л) и и2(£, Л) — управления, построенные в виде рядов, начинающихся соответственно с первой и второй базисных функций, не будет иметь особых точек при любом числе гасимых форм, если параметр ¡л выбран из условия минимальности

т

функционала / и2(£, А)г//,. Здесь т — время перемещения.

о

Рассмотрены два метода, позволяющие определять собственные частоты сложных механических систем. С помощью этих методов найдены собственные частоты двух систем: Т-образной консоли и механической системы, состоящей из двух одинаковых однородных стержней, скрепленных под заданным углом.

На примере двух механических систем показано, что метод, основанный на рассмотрении реакций в качестве обобщенных лагранжевых координат, позволяет находить первую собственную частоту с высокой точностью.

Приложения

Приложение 1

Собственные формы и частоты консоли постоянного поперечного сечения

^-вЬ^ + Д, (сЬХ°Х

сов

Хах

Ха{х) = *т— _ [ 1 — I

Собственные формы и частоты консоли в форме клина и конуса

тР а'

Ла{Х) = -—-, Л.а[Х) = -

X 1

ь? = Л? Е,7(г)

Таблица 11: Постоянные А2, для консоли

№ Пост. поп. сеч. Клин Конус

А2 А2 А2 К

1 3.516 1.36222 5.3151 -0.0152 8.71926 -0.0052

2 22.0345 0.981868 15.2072 0.00061 21.1457 0.00018

3 61.6972 1.00078 30.0198 -0.000025 38.4538 0.

4 120.902 0.999966 49.7633 0. 60.6801 0.

5 199.86 1. 74.44 0. 87.834 0.

6 298.556 1. 104.051 0. 119.919 0.

7 416.991 1. 138.596 0. 156.936 0.

8 555.165 1. 178.075 0. 198.887 0.

9 713.079 1. 222.489 0. 245.771 0.

10 890.732 1. 271.838 0. 297.589 0.

Собственные формы и частоты свободного стержпя постоянного поперечного сечения

Ха(х) = вт + вЬ

Г + Аа ГсЬ— + соя —

, ,2 _ Е3 у!

Собственные формы и частоты свободного стержня в форме клина и конуса

ла{х) =-—-, Л^.х) = -^-.

7

, Е3{1)

Таблица 12: Постоянные А2, А„ для свободного стержня

№ Пост. поп. сеч. Клин Конус

А* А* Л, А* Л,

1 22.373 -1.018 12.7575 0.002013 17.4165 0.00083

2 61.67 -0.999 27.7554 -0.000057 35.027 -0.00002

3 120.90 -1.000034 47.5759 0. 57.3696 0.

4 199.86 -0.999999 72.295 0. 84.6028 0.

5 298.56 -1 101.932 0. 116.731 0.

6 416.99 -1 136.496 0. 153.779 0.

7 555.2 -1 175.989 0. 195.751 0.

8 713.1 -1 220.413 0. 242.652 0.

9 890.7 -1 269.77 0. 294.483 0.

10 1087.9 -1 314.06 0. 351.246 0.

Приложение 2

В таблицах приняты следующие обозначения: для упрощения записи мантисса для членов меньшего порядка, чем главный, опускалась. Для таких значений в таблице приводится только их порядок.

2

Таблица 13: Вклад в полную энергию колебаний в долях каждой из форм для рас-

ширенной краевой задачи первого порядка при гашении двух первых форм

Номер собственной частоты

А 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.6 0 0 0.309 Ю-2 ю-5 10"8 10"8 10"8 10"8 0

0.8 0 0 Ю-9 0.233 10~5 10~7 кг9 10-ю 10~10 10-ю 0

1.0 0 0 0.46210'6 ю-10 10 10 0 0 0 0 0

1.12 0 0 0.464 Ю~5 ю-7 10~8 10 10 0 0 0 0

1.2 0 0 0.17710 5 ш-8 10~9 0 Ю-10 0 0 0

1.5 0 0 0.17410 7 0 0 0 0 0 0 0

2.0 0 0 0.226 10~8 0 0 0 0 0 0 0

Таблица 14: Вклад в полную энергию колебаний в долях '- каждой из форм для расширенной краевой задачи второго порядка при гашении двух первых форм

Номер собственной частоты

А 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.6 0 0 0.15810 1 ю-3 10"6 Ю-7 10"8 10~9 Ю"10 10-1О

0.8 0 0 0.114 Ю-3 ю-7 10-ю Ю-9 10-ю 0 0 0

1.0 0 0 0.305 10 е ю-10 Ю"10 0 0 0 0 0

1.12 0 0 0.154 10 5 10^9 10-ю 0 0 0 0 0

1.2 0 0 0.446 10~7 Ю-10 0 0 0 0 0 0

1.5 0 0 0.306 ю-8 0 0 0 0 0 0 0

2.0 0 0 0.205 Ю-9 0 0 0 0 0 0 0

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гаврилов, Дмитрий Николаевич, 2013 год

Список литературы

[1| Акуленко Л.Д. Асимптотические методы оптимального управления. М.: Наука, 1987. 368 с.

[2| Бабаков И.М. Теория колебании. Москва, 1958. 628 с.

[3] Батман Р. Динамическое програмирование. М.: Изд-во иностр. лит. 1960. 400 с.

[4] Вернигор В.Н. Определение собственных частот и эквивалентных масс упругого тела по его динамической податиливости // Вести. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1990. Вып. 4 (N°2). С. 35-42.

[5| Вернигор В.Н., Михайлов А.Л. Модальный анализ механических колебаний упругих систем. Рыбинск 2001.

[6] Гаврилов Д.Н. Безударное гашение колебаний // Международная научная конференция по механике "Шестые Поляховские чтения". 31 января 3 февраля 2012 г., Санкт-Петербург: Тезисы докладов М.: Издатель И.В. Балабанов, 2012. С. 219.

[7] Гаврилов Д.Н. Гашение колебаний консоли переменного поперечного сечения // Международная конференция "Восьмые Окупевские Чтения". 25-28 июня 2013 г., Санкт-Петербург: Материалы докладов / Балт. гос. техн. ун-т. — СПб., 2013. С. 107-108.

[8] Гаврилов Д.Н. Применение обобщенного принципа Гаусса к задаче гашения колебаний // Труды семинара "Компьютерные методы в механике сплошной среды". Издательство С.-Петербургского университета. 2011. С. 3-14.

[9] Гаврилов Д.Н., Зегжда С.А. Гашение колебаний упругого тела при его перемещении // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2012. Вып. 3. С. 73-83.

[10| Гаврилов Д.Н., Зегжда С.А. Изгибные колебания свободной системы из двух сопряженных под углом стержней // Международная научная конференция по механике "Пятые Поляховские чтения". 3-6 февраля 2009 г., Санкт-Петербург: Тезисы докладов - СПб, 2009. С. 159.

[11| Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука. 1988, - 326 с.

[12| Костин Г.В., Саурин В.В. Интегродпфференциальный подход к решению задач линейной теории упругости. Доклады академии наук. 2005. Т. 404. №5, С. 535-538.

[13| Костин Г.В., Саурин В.В. Моделирование и оптимизация движений упругих систем методом интегродифференциальных соотношений. Доклады академии наук. 2006. Т. 408. т. С. 750-753.

|14| Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. 352 с.

[15| Зегжда С.А. К задаче о соударении деформируемых тел // Прикладная механика. Вып. 4. Л.: Изд-во Лунингр. ун-та. 1979. С.91-108.

[16| Зегжда С.А. Соударение колец // Вести. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1986. Вып. 1. С. 77-83.

[17] Зегжда С.А. Соударение упругих тел. Изд-во СПбГУ. 1997, 316 с.

[18| Зегжда С.А., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. О "балочном"подходе в задачах распространения трещин // Механика твердого тела. .№3. 1999.

[19| Зегжда С.А., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н., Сысик В.П. Динамическая модель развития трещины внури бруса // Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выроботках. Матер. XI международной научной школы им. акад. С.А. Христиановича. Симферополь, 2001 г. С. 66-67.

[20| Зегжда С.А., Синилъщикова Г.А. Развитие трещины в тонком брусе при импульсном нагруженпи // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 3. 2007. С. 15-23.

[21| Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х. Применение обобщенного принципа Гаусса к решению задачи о гашении колебаний механических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. Ш. С. 20-25.

[22] Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Неголономная механика. Теория и приложения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 344 с.

[23] Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Уравнения движения неголономных систем и вариационные приципы механики. Новый класс задач управления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

[24] Зегжда С.А., Товстик П.Е., Юшков М.П. Обобщенный прицип Гамильтона-Остроградского и его применение для гашения колебаний // ДАН, 2012, том 447, №3, с. 280-284.

[25| Зегжда С. А., Юшков М.П. Применение уравнений Лагранжа первого рода при исследовании собственных колебаний вала с дисками // Механика твердого тела. №4,

1999. С. 31-35.

[26] Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983, — 392 с.

[27] Поляхов H.H., Зегжда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика. М.: Высш. шк.

2000. 592 с.

[28] Сииильщикова Г.А. Использование реакций связей как обобщенных координат при моделировании колебаний упругих систем // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 37. Перм. гос. ун-т. -- Пермь, 2005. С. 146-156.

[29] Солтаханов Ш.Х. Гашение колебаний консоли // Вести. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. №4. С. 105-112.

[30] Сысик В.П. Использование уравнений Лагранжа в теории удара и в динамике развития трещин. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. СПб. 2002.

[31] Тимошенко С.П. К вопросу о действии удара на балку. Изв. С.-Петербургского политех. пн-та. Т. 17. Выи. 2. 1912.

[32] Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М., 1967.

[33| Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М. Машиностроение. 1975. 170 с.

[34] Черпоусъко Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980, - 384 с.

[35| Черноусъко Ф.Л., Баничук II.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. М.: Наука, 1973. 238 с.

[36] Черноусъко Ф.Л., Болотник H.H., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. М.: Наука, 1989, — 364 с.

[37| Черноусъко Ф.Л., Ананъевский И.М., Решмин С. А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Наука, 2006, — 327 с.

[38| Чуев M.А. Дифференциальные уравнения програмных движений механпческоей системы // Мех. тверд, тела. 2008. .№1. С. 179-192.

[39| Gavrilov D.N. Modeling of forced oscillations of the cantilever by a system of mathematical pendulums // 7-th International Symposium on Classical and Celestial Mechanics (CCMECH'2011). Book of Abstract. Wydawnietwo Collegium Mazovia, Siedlce, 2011, 29 p.

[40] Gavrilov D.N. Problem of oscillation suppression of the cantilever // 10. Magdeburger Maschinenbau-Tage 2011, 27 - 29 September 2011, CD, B5-1. P. 1-8.

[41] Катке E. Differentialgleichungen. Lösungs methoden und Lösungen. I. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Leipzig. 1959. (Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. СПб-М.-Краснодар: Лань, 2003, — 576 с.)

[42] Soltakhanov Sh.Kh., Yushkov М.Р., Zegzhda S.A. Mechanics of non-holonomic systems. A New Class of control systems. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. 2009.

[43] Yushkov M.P., Zegzhda S.A. A New Method of Vibration Analysis of Elastic Systems based on the Lagrange Equations of the First Kins // Technische Mechanik, Bd 18, H2, 1998. P. 153-160.