Теоретико-конструктивные проблемы моделирования мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.01.01, доктор технических наук Графский, Олег Александрович

• Графский, Олег Александрович
• доктор технических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор технических наук Графский, Олег Александрович

Введение.

1 Теоретико-конструктивные проблемы моделирования мнимых элементов.

1.1 Историко-литературный обзор введения в геометрию мнимых элементов и способов их моделирования.

1.1.1 Открытие геометрической интерпретации комплексных чисел

1.1.2 Введение в геометрию мнимых элементов и анализ способов их моделирования.

1.2 Проблемы моделирования мнимых элементов в геометрии.

1.2.1 Моделирование мнимых элементов в теории алгебраических кривых и нелинейных преобразованиях.

1.2.2 Целесообразность моделирования мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях.

1.3 Моделирование мнимых элементов в прикладных технических задачах.

1.3.1 Вопросы моделирования картины электрического поля.

1.3.2 Анализ исследований повышения надежности износостойких ионно-плазменных покрытий.

Выводы по разделу 1 и постановка задач исследований.

2 Теоретические основы моделирования и визуализации мнимых элементов на плоскости.

2.1 Предлагаемый метод моделирования мнимых элементов.

2.1.1 Общие положения

2.1.2 Визуализация образов на полях с мнимыми значениями координат точек.

2.1.3 Структурная схема композиций исследуемых отображений

2.1.4 Система полей с действительными, мнимыми и квадратичными значениями координат точек.

2.2 Характерные свойства исследуемых отображений.

2.2.1 Определение инвариантных элементов, класса точек и типа соответствий.

2.2.2 Отображения координатных сеток.

2.2.3 Структура полей и их классификация.

2.3 Анализ исследуемых отображений с проективных позиций.

2.3.1 Проективная модель квадратичного поля.

2.3.2 Проективный подход к метрическому определению соответственных точек на координатной оси классическими приемами построений.

2.4 Графоаналитические исследования в разработке способов построения соответственных точек.

2.4.1 Построение соответственных точек в прямом отображении.

2.4.2 Исследование отображений в полярных координатах.

2.4.3 Анализ построений соответственных точек в прямом отображении.

2.4.4 Построение соответственных точек в обратном отображении

Выводы по разделу 2.

3 Отображения, преобразования и геометрический анализ алгебраических кривых линий в плоскости.

3.1 Метрическая группа преобразований в исследуемых отображениях.

3.1.1 Трансляция и вращение.

3.1.2 Отражения.

3.1.3 Гомотетия

3.2 Моделирование и визуализация мнимых элементов в решении позиционных задач на плоскости.

3.2.1 Способы построения мнимых точек пересечения прямой линии с коникой.

3.2.2 Построение мнимых точек при взаимном пересечении коник.

3.3 Исследуемые отображения в геометрическом анализе алгебраических кривых линий.

3.3.1 Взаимные превращения коник квадратичного поля.

3.3.2 Геометрический анализ кривых линий четвертого и высших порядков.

3.3.3 Взаимное пересечение кривых линий четвертого порядка

3.4 Моделирование мнимых элементов в преобразовании Гирста.

3.4.1 Моделирование мнимых F-точек.

3.4.2 Построение соответственных точек в эллиптической инволюции.

Выводы по разделу 3.

4 Исследования отображений на основе теории функций

• комплексного переменного.

4.1 Исследование и анализ функции отображения.

4.1.1 Исследование аналитичности функции отображения.

4.1.2 Анализ функции отображения.

4.1.3 Построение соответственных точек в комплексной плоскости.

4.2 Функции комплексного переменного.

4.2.1 Функция W = —

2 1 ЯП 4.2.2 Функция w = z . low

4.2.3 Функция w =

4.2.4 Функция Жуковского w = ^

Z + -\.

4.2.5 Функция w = е

4.2.6 Обзор тригонометрических функций.

4.3 Моделирование и визуализация точек с координатами двух комплексных переменных.

4.3.1 Метод изображения комплексных точек.

4.3.2 Апробация метода моделирования и визуализации комплексных точек.

4.3.3 Анализ построений при моделировании точек с комплексными координатами.

Выводы по разделу 4.

5 Основы моделирования и визуализации мнимых элементов в трехмерном пространстве.

5.1 Построение геометрического аппарата исследуемых отображений.

5.1.1 Принципы моделирования 3-полей.

5.1.2 Классификационные признаки и структура 3-полей.

5.1.3 Конструктивная и структурная схемы исследуемых отображений.

5.2 Квадратичное 3-поле.

5.2.1 Проективная модель квадратичного 3-поля.

5.2.2 Плоскости в квадратичном 3-поле.

5.2.3 Прямые линии в квадратичном 3-поле.

5.3 Отображения и преобразования в квадратичном 3-поле.

5.3.1 Характерные свойства и построение соответственных точек.

5.3.2 Движения в квадратичном 3-поле.

Выводы по разделу 5.

6 Исследуемые отображения в вопросах начертательной геометрии и ее приложениях.

6.1 Моделирование и визуализация мнимых элементов в теории взаимного пересечения квадрик.

9 6.1.1 Квадрики с двумя точками соприкосновения.

6.1.2 Квадрики с общей плоскостью симметрии.

6.1.3 Случаи распадения биквадратной кривой на действительную и мнимую части.

6.2 Вопросы формообразования поверхностей.

6.2.1 Формообразование поверхностей как прообразов косой плоскости.

6.2.2 Аналитический метод формообразования косой плоскости и ее прообразов.

6.2.3 Многомерный подход к формообразованию поверхностей и геометрический аппарат их построения.

Р 6.3 Исследуемые отображения в приложении к геометриям

Кэли-Клейна.

6.3.1 Построение системы абсолютов и моделей плоскостей неевклидовых геометрий.

6.3.2 Трансформация моделей неевклидовых плоскостей.

6.3.3 Определение расстояний между двумя точками с позиции квадратичных координат.

Выводы по разделу 6.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-конструктивные проблемы моделирования мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях»

Актуальность темы исследования. Начертательная геометрия, являясь на современном этапе учебной дисциплиной и базой прикладной геометрии, дает замечательный пример реализации своих методов в решении самых разнообразных задач, которые сводятся не только к элементарным построениям, но и отличаются большой наглядностью. Но эта дисциплина, постоянно совершенствуясь в образовательном и прикладном аспектах, до сих пор не имеет общеупотребительных способов решения задач с участием мнимых элементов (МЭ). Следовательно, графические построения не всегда находятся в полном соответствии с аналитическим решением той же задачи. В результате возникает проблема изображения МЭ на чертеже. Это обстоятельство явилось одной из главных причин отказа от чтения лекций по совместному курсу начертательной и аналитической геометрий (например, в МАИ), хотя параллельное изложение аналитических и синтетических методов было бы более эффективно при изучении студентами фундаментальных и специальных дисциплин.

Актуальность этой проблемы не ограничивается вопросами преподавания начертательной геометрии. Здесь также следует отметить особую значимость моделирования и изображения (визуализации) МЭ в таких областях знаний как основания геометрии (строение неевклидовых метрических геометрий), алгебраическая геометрия (теория алгебраических кривых линий и поверхностей, бирациональные преобразования), вопросы теории поля, позволяющие оперировать комплексными функциями, применяемыми для решения прикладных задач.

Представленная проблема моделирования и визуализации МЭ в начертательной геометрии, прежде всего, относится к задачам на взаимное пересечение алгебраических поверхностей. Например, биквадратная кривая при взаимном пересечении квадрик состоит из действительной и мнимой ветвей. Представление на чертеже в качестве решения только действительной ветви, нарушает известную теорему Безу. Но это только одна сторона исследуемого вопроса. Анализ известных теорем и решаемых на их основе задач показывает несоответствие полученного построения на чертеже сути теоремы. Например, теорема о линии пересечения двух квадрик, имеющих общую плоскость симметрии, утверждает, что ее проекцией на эту плоскость или плоскость ей параллельную является кривая второго порядка (не часть, а вся кривая). Но графически строится лишь часть указанной проекции линии пересечения. Следовательно, оставшаяся часть, которая на чертеже не строится, представляет собой проекцию или проекции мнимого пересечения рассматриваемых поверхностей. Или в теореме о двух точках пересечения любых двух кривых второго порядка, при* надлежащих одной квадрике, в графических построениях не рассматривается случай, когда эти точки являются мнимыми.

Создатель начертательной геометрии Г. Монж, имея в виду достоинства и недостатки графических и аналитических способов решения задач, отметил следующее: «Следует пожелать, чтобы обе эти науки изучались вместе: начертательная геометрия внесла бы присущую ей наглядность а наиболее сложные аналитические операции, а анализ, в свою очередь, внес бы в геометрию свойственную ему общность» (С. 28)1

Поэтому на основании всего вышесказанного, можно утверждать, что одной из главных проблем в параллельном изучении графических и аналитических способов решения геометрических задач является обучение студентов л изображению МЭ на поле чертежа.

Для указанных выше областей знаний, где вопросы изображения (визуализации) МЭ имеют важное значение, отметим, во-первых, проблему геометрической интерпретации получения неевклидовых геометрий Кэли - Клейна. Как известно, каждая из этих метрических геометрий характеризуется своим абсолютом и типом мероопределения длин отрезков и углов между прямыми линиями. Здесь следует отметить два основных положения, в которых приходится оперировать с мнимыми элементами: мнимыми точками как результатом пере

1 Монж, Г. Начертательная геометрия/Г. Монж; Пер. В.Ф. Газе; Под общей ред. Т.П. Кравца. -Л.: Изд-во АН СССР, 1947.-291 с. сечения прямой линии с абсолютом при эллиптическом типе мероопределения длины отрезка и мнимыми касательными, проведенными к абсолюту при таком же типе мероопределения величины угла между прямыми линиями. Кроме того, в некоторых геометриях сам абсолют является мнимым. Очевидно, имея метод моделирования МЭ, в том числе и несобственных, можно конструктивно подойти к моделированию всех девяти геометрий Кэли - Клейна, показав во взаимосвязи для каждой геометрии модель ее плоскости и соответствующий ей абсолют. Такая интерпретация может служить наглядным материалом для изучения основ неевклидовых геометрий.

Во-вторых, это вопросы алгебраической геометрии. Здесь наиболее значимыми как с теоретических, так и прикладных позиций следует отметить три аспекта, в которых целесообразно оперирование мнимыми элементами: формообразование алгебраических поверхностей; конструктивное определение характеристик алгебраических кривых линий; проведение анализа синтетических методов, применяемых в нелинейных (кремоновых) преобразованиях.

В теории алгебраических поверхностей недостаточно исследован вопрос их формообразования с позиции анализа координатных (главных) сечений этих поверхностей. В качестве указанных сечений могут выступать и коники, которые, как известно, имеют «мнимые продолжения», или «дополнения» (термин Ж.-В. Понселе). Следовательно, на основе этого можно прийти к способу формообразования поверхностей и этот вопрос требует обстоятельного рассмотрения.

Приоритет применения в геометрии МЭ принадлежит Ж.-В. Понселе. Пользуясь своим «принципом непрерывности», он отмечает целесообразность введения пары несобственных мнимых круговых (циклических) точек, через которые проходят все окружности, а также мнимой окружности, инцидентной несобственной плоскости, общей для всех сфер. Без такого понятия невозможно полно исследовать алгебраические кривые линии и поверхности, а также применять нелинейные алгебраические преобразования (кремоновы преобразования), широко используемые для конструирования технических форм различного назначения.

Как известно характеристики алгебраических кривых линий определяют по формулам Ю. Плюккера. При этом часть точек исследуемых кривых и касательных, к ним проведенных, особенно при анализе кривых более высокого порядка, обязательно будут мнимыми. Поэтому наряду с этими формулами конструктивное определение характеристик кривых даст более ощутимый эффект, если их анализ проводить параллельно с визуализацией МЭ. То есть определять характеристики плоских алгебраических кривых на таких «полных» их моделях, на которых можно было бы наглядно показать как действительные, так и мнимые точки для определения порядка кривой, а также действительные и мнимые касательные для определения ее класса.

В кремоновых преобразованиях при построении соответственных точек также возникает необходимость рассматривать МЭ. Например, в центральных преобразованиях, когда слабоинвариантная прямая пересекает инвариантную кривую в двух мнимых двойных точках. Кроме того, имеет место такая специализация указанных выше преобразований, когда некоторые фундаментальные точки являются мнимыми. Поэтому как сам геометрический аппарат преобразований, так и конструируемые им алгебраические кривые целесообразно рассматривать с позиции визуализации МЭ.

В-третьих, это теория поля. Известно, что конформные отображения, задаваемые функциями комплексного переменного позволяют решать прикладные задачи в таких областях, как гидро- и аэродинамика (например, задачи на обтекание и моделирование профиля обтекания), электростатика (моделирование картины электростатических полей), термодинамика (вместо проводников электричества рассматриваются проводники тепла, а вместо разности потенциалов - разность температур) и др.

При этом в указанных задачах с позиции теории поля широко используется понятие комплексного потенциала, от него переходят к силовым функциям и потенциальным. Такой переход позволяет моделировать, например, силовые и эквипотенциальные линии электростатического поля. При наличии определенных по знаку и форме зарядов (в гидродинамике им эквивалентно рассматриваются источники и стоки) возникают практические задачи по анализу этих линий. Их исследование и моделирование в прикладных задачах, например, для повышения качества ионно-плазменного покрытия изделий, приобретают практическую значимость.

Вследствие этого, на современном этапе разработка нового научного направления в начертательной геометрии по моделированию комплексной плоскости и пространства на действительной евклидовой плоскости является актуальной. Таким образом, объектом диссертационного исследования является совокупность теоретических и прикладных вопросов, в которых возникает необходимость моделирования мнимых элементов, а предметом исследований -мнимые элементы, конструктивное оперирование которыми является целесообразным в начертательной геометрии и других областях знаний.

На основании вышеизложенного определены цель и основные задачи диссертационного исследования, которому предшествовали разработки, выполненные в соответствии с планом фундаментальных исследований Министерства путей сообщения на кафедре «Начертательная геометрия и инженерная графика» Дальневосточного государственного университета путей сообщения (ДВГУПС).

Цель работы. Разработка теории моделирования мнимых элементов, обеспечивающей возможность их визуализации в синтетическом обосновании фундаментальных вопросов геометрии и конструктивных решениях теоретических и прикладных задач.

Поставленная цель требует решения следующих основных задач: - на основе историко-литературного обзора введения в геометрию МЭ, анализа способов их моделирования, сформулировать наиболее важных теоретические и прикладные проблемы, требующие моделирование и визуализацию МЭ;

- разработать в проективной и метрической интерпретации теорию моделирования МЭ плоскости и метод их визуализации, позволяющие привести в полное соответствие аналитические и синтетические решения;

- на основании разработанного метода изображения МЭ плоскости предложить конструктивные способы в освещении ряда вопросов алгебраической геометрии, в частности теории алгебраических кривых и бирациональных преобразований;

- применить разработанный метод визуализации отображений известными комплексными функциями, имеющими прикладное значение в задачах теории поля;

- теоретические основы моделирования и визуализации МЭ плоскости обобщить на пространство трех измерений в проективной и метрической интерпретациях;

- применить разработанный метод моделирования и визуализации МЭ к решению задач начертательной геометрии, формообразованию поверхностей и получению неевклидовых геометрий по схеме Кэли - Клейна;

- исследовать возможности выполненных теоретических разработок в приложении к физическим процессам и явлениям, определить в соответствии с полученными результатами перспективные направления новых исследований, рассмотрев одно из них, направленное на повышение качества ионно-плазменного покрытия изделий из износостойких материалов.

Методика выполнения работы. Главной методической особенностью работы является рассмотрение вопросов как в метрической, так и проективной интерпретациях. Каждая из основных задач представляет собой комплекс взаимосвязанных вопросов, рассмотрение которых основывается на методах проективной, начертательной, аналитической, исчислительной, многомерной геометрий, теории функций комплексного переменного и теории поля, классических способов геометрических построений, программирования и компьютерной визуализации.

Теоретической базой настоящего исследования явились основополагающие работы:

- по проективной геометрии Ж.-В. Понселе, X. Штаудта, Я. Штейнера, М. Шаля, Э. Лагерра, Г. Ганкеля, Н.В. Ефимова, Н.А. Глаголева, Н.Ф. Четверухи-на, Г.Б. Гуревича и других ученых;

- по развитию идей неевклидовых геометрий Ф. Клейна, А. Кэли, А. Пуанкаре, В. Бляшке, В.Ф. Кагана, Д.М.Ю. Соммервилля, Б.А. Розенфельда, И.М. Яглома и их учеников;

- по исследованиям в аналитической и алгебраической геометрии К.А. Андреева, Э. Штуди, ВА. Реуса, Г. Дарбу, П.К. Рашевского, Д. Кокса, Дж. Литтла, Д. ОТНи и других отечественных и зарубежных ученых;

- по вопросам геометрического моделирования в начертательной геометрии И.С. Джапаридзе, К.И. Валькова, З.А. Скопеца, включая способы построения мнимых элементов Ф.М. Суворова, В. Швана, П.В. Филиппова, Г.С. Иванова, А.Г. Гирша, К.К. Конакбаева;

- по автоматизации проектирования и визуализации геометрических объектов в области прикладной геометрии Ю.И. Бадаева, В.А. Бусыгина, В.Я. Волкова, Ю.И. Денискина, В.Г. Ли, В.Е. Михайленко, К.М. Наджарова, В.М. Най-дыша, B.C. Обуховой, А.Л. Подгорного, А.Д. Тузова, В.И. Якунина и их учеников.

Научная новизна. Научная новизна и теоретическая значимость работы заключается в том, что в диссертации для моделирования МЭ предложена система координатных проекционно-связанных полей: девяти плоских полей (2-поле) в двумерном случае и двадцати семи объемных (3-поле) - в трехмерном пространстве. В каждом случае система полей, состоящая из квадратичного, линейно-квадратичных и линейных полей, позволяет в зависимости от сочетания координат точек (действительных и мнимых) рассматривать их образы одновременно на нескольких полях с учетом возникающих между ними соответствий. Этот подход отличается от моделирования комплексной плоскости и комплексного пространства в многомерном действительном евклидовом пространстве достаточной простотой и не требует знаний многомерной геометрии, что является основным условием для ее овладения инженерно-техническими работниками. В итоге получены следующие результаты, имеющие научную новизну:

- установлено, что введением дополнительного квадратичного поля можно моделировать геометрические образы в полном объеме, включая их действительные и мнимые составляющие; при обобщении на трехмерный случай аналогичную роль играет квадратичное 3-поле;

- установлены характерные свойства соответствий, возникающих между указанными полями, включая определение инвариантных и слабоинвариантных элементов, а также структуры полей, выявленной на основе разработанной их классификации;

- разработаны конструктивные способы построения соответственных точек; для получения однозначных соответствий предложено линейно-квадратичные поля и квадратичное поле рассматривать как модели двух- и четырехлистных римановых поверхностей;

- на основе предложенного метода изображения МЭ разработаны способы моделирования абсолюта евклидовой плоскости и трехмерного пространства;

- разработана методика геометрического анализа и визуализации кривых высших порядков, позволяющая проследить в квадратичном поле их инцидентность, как действительным, так и мнимым областям;

- предложен способ графического определения характеристик плоских алгебраических кривых, полностью соответствующий известным формулам Ю. Плюккера, а также всех точек (действительных и мнимых) взаимного пересечения этих линий;

- предложен способ построения соответственных точек для бирациональ-ных преобразований в пучке слабоинвариантных прямых, на которых индуцируется эллиптическая инволюция, применительно к бирациональным преобразованиям; для одной из специализаций этих преобразований с двумя мнимыми фундаментальными точками показана возможность их конструктивного определения;

- разработан и графически реализован способ формообразования и построения поверхностей четвертого порядка, имеющих в качестве главных сечений коники; установлено, что мнимые продолжения таких поверхностей образуют новые поверхности того же порядка.

Практическая ценность. Практическую значимость исследований составляют результаты, базирующиеся на моделировании МЭ плоскости и пространства. Разработанная методика применима к задачам начертательной геометрии (в том числе и к задачам, в которых не требуется моделирование МЭ: построение линии среза, собственных и падающих теней архитектурных форм; построение точек пересечения кривой линии с криволинейной поверхностью и др.), а также к теории алгебраических кривых и поверхностей, основаниям геометрии, теории функций комплексного переменного и решаемых на ее основе прикладных задач. В частности, получены следующие результаты:

- создана методика, обеспечивающая полное соответствие результатов, получаемых при графическом и аналитическом решении задач на плоскости и в пространстве;

- на основании разработанных структурной схемы и системы полей созданы модели МЭ, отличающиеся своей наглядностью и простотой, позволяющие инженерно-техническим работникам не овладевать специальными разделами высшей математики;

- создана наглядная модель совместной интерпретации плоскостей и соответствующих абсолютов неевклидовых геометрий схемы Кэли - Клейна, которая может служить методическим материалом при изучении курса оснований геометрии;

- представлены способы построения соответственных точек в отображениях комплексными функциями, наиболее часто применяемых в прикладных исследованиях; на примере профиля обтекания Жуковского - Чаплыгина разработан алгоритм его построения с последующей компьютерной визуализацией;

- представлены уточнения по вопросам моделирования картины электростатических полей с учетом прохождения их через мнимые области; даны графические способы по построению силовых и эквипотенциальных линий для двух разноименных и двух одноименных равных зарядов.

На защиту выносятся:

- метод моделирования МЭ в предлагаемой системе координатных полей и способы построения соответственных точек, инцидентных этим полям на плоскости и в пространстве;

- классификация по определению структуры полей;

- способ приведения многозначных соответствий, устанавливаемых между полями, к однозначным;

- способ визуализации МЭ в решении позиционных задач на плоскости и в бирациональных преобразованиях;

- метод геометрического анализа характеристик плоских алгебраических кривых линий;

- метод построения соответственных точек в отображениях комплексными функциями и способ визуализации мнимых точек плоскости с координатами двух комплексных переменных;

- способы визуализации МЭ в решении задач начертательной геометрии;

- метод формообразования и способ построения поверхностей четвертого порядка, имеющие в качестве главных своих сечений коники;

- метод построения в квадратичном поле системы плоскостей и абсолютов неевклидовых геометрий схемы Кэли - Клейна;

- метод образования псевдоевклидовой метрики на плоскости и способ определения расстояний между двумя точками в псевдоевклидовой геометрии на евклидовой плоскости;

- синтетический метод определения параметров физических величин с позиции специальной теории относительности;

- методы анализа электростатических полей посредством их отображения в поля моделирования МЭ.

Реализация результатов исследования. Результаты теоретических исследований, выполненных в диссертационной работе, внедрены на предприятиях тяжелого машиностроения и авиационной промышленности (г. Оренбург) в виде методик и рекомендаций, обеспечивающих качественное покрытие изделий при использовании ионно-плазменных технологий; в проектном институте «Дальгипротранс» (г. Хабаровск) в качестве базы данных (графические и аналитические модели), используемые при проектировании строительных сооружений. Результаты исследований используются в учебном процессе Дальневосточного государственного университета путей сообщения на кафедре «Электротехника, электроника и электромеханика» при изучении студентами третьего курса разделов теории электромагнитного поля и на кафедре «Начертательная геометрия и инженерная графика» при изучении темы «Образование поверхностей» и решения позиционных задач, в которых целесообразно изображать мнимые элементы, а также в задачах не требующие моделирования МЭ (построение линии среза, собственных и падающих теней и т. д.).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены, обсуждены и (или) представлены в виде тезисов докладов: на международных конференциях: «Проблемы транспорта Дальнего Востока» (Владивосток, 1995, 1997); «GraphiCon 2002» (Нижний Новгород, 2002)-; всероссийских конференциях: «Роль инженерной графики и машинного проектирования в подготовке специалистов для народного хозяйства» (Ленинград, 1984); «Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта в новых условиях развития Дальневосточного региона» (Хабаровск, 1993); «Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Сибири и Дальнего Востока» (Хабаровск, 1997); «Актуальные вопросы современной инженерной графики» (Рыбинск, 2000); всероссийских семинарах-совещаниях заведующих кафедрами графических дисциплин (Пенза, 1999; Нижний Новгород, 2000; Ростов-на-Дону, 2001; Саратов, 2004);

- региональных и межвузовских конференциях: «Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Дальневосточного региона» (Хабаровск, 1995); «Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Сибири и Дальнего Востока» (Хабаровск, 1999); «Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту» (Екатеринбург, 2000); «Графическое образование: вопросы теории, истории и практики» (Хабаровск, 2000);

- научно-технических и научно-методических конференциях ДВГУПС (Хабаровск, 1974, 1976, 1987, 1989, 2002);

- межкафедральном научно-методическом семинаре ДВГУПС (Хабаровск, 1984, 1986, 1988, 2003);

- научно-методических семинарах кафедры «Начертательная геометрия и инженерная графика» Ленинградского института инженеров железнодорожного транспорта (Ленинград, 1977); кафедры «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика» Омского государственного технического университета (Омск, 2000);

- расширенном заседании кафедры «Прикладная геометрия» Московского авиационного института (Государственный технический университет, 2003, 2004).

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 40 научных работ, включая 2 монографии, 10 тезисов докладов, 4 депонированные в ВИНИТИ и ЦНИИТЭИ МПС рукописи и 2 зарегистрированных в ВНТИЦентр отчетов о НИР. В указанный объем не входят статьи [7, 12, 39, 42, 58, 61, 72, 144, 210] и тезисы докладов [8, 13, 14, 38, 67, 75, 86, 140, 149, 175], опубликованные в рамках развития НИРС в соавторстве со студентами в научных сборниках молодых ученых, аспирантов и студентов ДВГТУ (Владивосток), ДВГУПС, ХГТУ (Хабаровск).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, семи глав (разделов), заключения. Содержит 276 страниц текста, исключая 18 таблиц, 178 рисунков и библиографический список использованных источников (230 наименований). Общий объем - 404 страниц.

Заключение диссертации по теме «Инженерная геометрия и компьютерная графика», Графский, Олег Александрович

Выводы по разделу 7

Результаты исследований прикладного характера позволяют сделать следующие выводы.

1. Установлено, что определение некоторых параметров физических величин, рассматриваемых с позиции специальной теории относительности, можно привести в полное соответствие с геометрическим аппаратом, разработанным в п. 3.1.2 для моделирования МЭ; предлагаемые интерпретации наглядны, позволяют анализировать результаты по элементарному чертежу.

2. Предложен ряд перспективных исследований в таких областях, как кристаллофизика, нелинейная оптика и теория электромагнитных полей, изучение которых может быть основано на разработанной методике геометрического анализа алгебраических кривых линий (подразд. 3.3).

3. На основании применения разработанной методики моделирования и визуализации МЭ в теории электрических полей получены следующие результаты: предложены способы построения семейств силовых и эквипотенциальных линий идеальных картин электростатического поля двух равных точечных зарядов (разноименных и одноименных) как в действительной, так и мнимой областях; полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе при изучении теоретических основ электротехники; на основании экспериментальных и теоретических исследований ионно-плазменного покрытия изделий проведен конструктивный анализ семейств силовых линий и даны рекомендации, обеспечивающие качественное покрытие; в случае размещения в камере установки двух экранов, подтверждено, что силовые линии можно рассматривать как алгебраические линии восьмого порядка, которые являются четырех циркулярными; предложено анализировать эти линии в поле моделирования МЭ с обоснованным построением всех мнимых ветвей, а с проективных позиций рассматривать их прохождение через мнимые циклические точки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования показали, что проблема моделирования МЭ в начертательной геометрии и ее приложениях является актуальной, а разработанная теория отвечает основной идее диссертации — приведению графических методов решения задач в полное соответствие с аналитическими. При этом в работе заложен такой теоретический подход, реализация которого позволяет решать задачу как синтетическими, так и аналитическими методами, следовательно, и с применением программирования и компьютерной графики. Выполненные исследования направлены на моделирование и визуализацию МЭ на плоскости и по полученным результатам обобщены на пространство трех измерений.

В работе получены следующие теоретические и практические результаты.

1. Анализ классических приемов построений, с одной стороны, и известные методы отображения пространств друг на друга, с другой, позволили на их основе предложить такой метод моделирования МЭ, который имеет широкую область применения, включая и задачи начертательной геометрии.

2. Установлено, что разработанный метод находится в полном соответствии как с главным предложением X. Штаудта, так и с теорией «дополнений», или «мнимого продолжения», которую предложил Ж.-В. Понселе. При этом показано, что необходимые построения на чертеже можно выполнять несколькими способами. 3. Расширены возможности моделирования МЭ за счет введения системы проекционно-связанных полей (линейных, линейно-квадратичных, квадратичных). Установлено, что если линейные поля позволяют моделировать МЭ только в одной конкретной мнимой области, то в квадратичном поле можно проследить прохождение кривой линии или поверхности, как через действительную область, так и различные мнимые.

4. Исследована структура и разработана классификация полей, даны аналитические зависимости определения многозначности устанавливаемых соответствий между точками полей, которые справедливы для «-мерного случая. Для приведения к однозначным соответствиям предложено рассматривать линейно-квадратичные и квадратичные поля как модели римановых поверхностей.

5. Показано, что на проективной модели плоского квадратичного поля возможна интерпретация циклических точек, изотропных прямых, действительных и мнимых окружностей и циркулярных кривых высокого порядка, проходящих через эти мнимые точки. При обобщении полученных результатов на пространство трех измерений получена картина прохождения всех действительных и мнимых сфер, изотропного конуса через мнимую окружность, инцидентную несобственной плоскости.

6. Предложено графическое определение порядка, класса алгебраических кривых линий и других их характеристик, соответственных формулам Ю. Плюккера, а также точек взаимного пересечения этих линий, которые или их часть являются мнимыми. Дано обоснование построений соответственных точек в преобразовании, когда на слабоинвариантной прямой линии устанавливается эллиптическая инволюция, а также построение в одной из специализаций этих преобразований двух мнимых фундаментальных точек.

7. На основании предложенного метода создана наглядная модель совместной интерпретации плоскостей и соответствующих абсолютов неевклидовых геометрий по схеме Кэли - Клейна, которая раньше рассматривалась абстрактно. Показано моделирование псевдоевклидовой метрики и определение расстояния между двумя точками в этой геометрии.

8. Представлены способы построения соответственных точек при отображениях различными комплексными функциями наиболее часто применяемых в прикладных исследованиях; на примере построения профиля обтекания Жуковского - Чаплыгина разработан алгоритм и представлена его компьютерная визуализация;

9. Предложены и внедрены в учебный процесс (ДВГУПС, Хабаровск) методы решения ряда позиционных задач начертательной геометрии, требующих моделирования и визуализации как действительных, так и мнимых линий взаимного пересечения квадрик, что в совокупности обеспечивает полное решение задач; представленная методика позволяет достаточно просто решать задачи, и не требующие моделирования МЭ (построение линии среза, собственных и падающих теней архитектурных форм, точек пересечения кривой линии с поверхностью).

10. Предложен и внедрен (ОАО «Дальгипротранс», Хабаровск) способ формообразования поверхностей четвертого порядка, главными сечениями которых являются коники. Разработан и реализован радиально-ортогональный способ построения этих поверхностей; установлено, что полости некоторых поверхностей визуализируются в действительном пространстве посредством аналогичных построений в мнимых областях.

11. Предложены и внедрены (ДВГУПС, Хабаровск) способы построений как действительных, так и мнимых силовых и эквипотенциальных линий некоторых электростатических полей, поскольку только такие полные построения отражают геометрический смысл картины поля в целом.

12. Предложена и внедрена (Оренбургский станкозавод и ПО «Стрела», Оренбург) методика анализа моделирования картины электрического поля при применении ионно-плазменных технологий; методика предусматривает визуализацию в мнимой области силовых линий, существенно влияющих на качество покрытия изделия, при этом дается наглядная картина прохождения этих линий через циклические точки, инцидентные несобственной прямой.

Таким образом, разработанная теория моделирования и визуализации мнимых элементов, круг теоретических и прикладных задач, рассмотренных в диссертации, их постановка, методы исследования и полученные теоретические и практические результаты относятся к новому научному направлению в начертательной геометрии, и применимы к области прикладной геометрии и компьютерной графики.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Графский, Олег Александрович, 2004 год

1. Алексеева, JI.B. Анизотропные свойства отражения и преломления световых волн в оптических кристаллах: Дис. . канд. физ.-мат. наук / JI.B. Алексеева. Хабаровск., 1999. - 113 с.

2. Аникеева, Н.П. Геометрическое моделирование картины электрического поля в камере осаждения износостойких покрытий: Дис. . канд. техн. наук / Н.П. Аникеева. М., 1998. - 127 с.

3. Аргунов, Б.И. Элементарная геометрия / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. — М.: Просвещение, 1966. 366 с.

4. Базылев, В.Т. Геометрия / В.Т Базылев, К.И. Дуничев. М.: Просвещение, 1975.-367 с.

5. Бакельман, И.Я. Инверсия / И.Я. Бакельман. М.: Наука, 1966. — 79 с.

6. Берже, М. Геометрия: В 2 т. Т.1./ М. Берже; Под ред. И.Х. Сабитова; Пер.с франц М.: Мир, 1984. — 560 с.

7. Берже, М. Геометрия: В 2 т. Т.2./ М. Берже; Под ред. И.Х. Сабитова; Пер.с франц. М.: Мир, 1984. — 368 с.

8. Бессонов, JI.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле/Л.А. Бессонов. — М.: Гардараки., 2001.-317 с.

9. Болдарев, А.В. О предельных переходах в геометрических моделях схемы Кэли-Клейна /А.В. Болдарев, О.А. Графский // Молодежь и научно-технический прогресс: Материалы региональной науч. конф./ ДВГТУ. — Владивосток, 2000. 4.1. - С. 28-29.

10. Боярчук, А.И. Применение методов проективной геометрии к решению конструктивных задач: Дис. . канд. техн. наук /А.И. Боярчук. Грозный, 1948. -181 с.

11. Буземан, Г. Проективная геометрия и проективные метрики / Г. Бузе-ман, П. Келли; Под ред. И.М. Яглома; Пер. с англ. М.: Изд-во иностранной лит., 1957.-с 410.

12. Бутырин, П.А. Оценки интенсивности и качества электромагнитных процессов по площадям и длинам их траекторий / П.А. Бутырин, О.А. Шатуно-ва // Электричество. 2001. -№10. - С. 50-60.

13. Бюшгенс, С.С. Синтетическая геометрия / С.С. Бюшгенс, А.А. Глаголев // Математика в СССР за тридцать лет 1917 1947: Сб. статей под ред. А.Г. Ку-роша, А.И. Маркушевича, П.К. Рашевского. - М-Л.: ОГИЗ, 1948. - С. 939-989.

14. Вальков, К.И. Вопросы использования методов геометрического моделирования/ К.И. Вальков // Вопросы геометрического моделирования: сб. науч. тр./ ЛИСИ Л., 1968. - Вып.52. - С. 7-15.

15. Вальков, К.И. Лекции по основам геометрического моделирования / К.И. Вальков. — Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1975. 180 с.

16. Вальков, К.И. Метод предельного геометрического моделирования / К.И. Вальков // Вопросы прикладной математики и геометрического моделирования: Краткие содержания докладов к XXVI науч. конф., 30 янв- 9 февр. 1968 г./ ЛИСИ Л., 1968. - С. 69-72.

17. Вальков, К.И. Об изучении эквивалентных пространств/ К.И. Вальков // Вопросы геометрического моделирования: Сб. науч. тр./ ЛИСИ. Л., 1974. -№ 100.-С. 2-18.

18. Вальков, К.И. Применение методов геометрического моделирования в некоторых задачах специальной теории относительности / К.И. Вальков // Вопросы геометрического моделирования: Сб. науч. тр./ ЛИСИ Л., 1968. -Вып. 52. - С. 64-84.

19. Вальков, К.И. Проекционные методы прикладной геометрии/ К.И. Вальков, И.С. Джапаридзе, И.И. Котов, Л.Н. Лихачев, З.А. Скопец // Тр. Московского науч.-методического семинара по начертательной геометрии и инженерной графике / МАИ. М., 1972. - С. 8-22.

20. Васильева, М.В. Аналитическая геометрия / М.В. Васильева // Вопросы дифференциальной и неевклидовой геометрии: Уч. зап./ МГПИ. М., 1983. -№208.-С. 352-394.

21. Вениаминова, З.Н. Об одном способе построения линий перехода поверхностей второго порядка / З.Н. Вениаминова // Тр. Московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. М.: Советская наука, 1958. - С. 22-34.

22. Вольберг, О.А. Основные идеи проективной геометрии / О.А. Воль-берг. -М.-Л.: Учпедгиз, 1949. 188 с.

23. Вялков, В.И. Графоаналитические исследования топологических преобразований / В.И. Вялков, О.А. Графский // Прикладные вопросы начертательной геометрии: Сб.науч.тр./ ЛИИЖТ. Л., 1978. - С. 128-136. - Деп. в ЦНИИТЭИ МПС, 724/78.

24. Гвоздев, Ю.В. К вопросу о пересечении поверхностей второго порядка по плоским кривым: Дис. .канд. техн. наук/Ю.В. Гвоздев. Киев, 1959.-100 с.

25. Гершензон, Е.М. Электродинамика / Е.М. Гершензон, Н.Н. Малов. -М.: Академия, 2002. 352 с.

26. Гильберт, Д. Наглядная геометрия / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен; Пер.с нем. М.: Наука, 1981.-344 с.

27. Гирш, А.Г. Критерий мнимости коник при различном их задании / А.Г. Гирш // Начертательная геометрия и машинная графика в практическом решении инженерных задач: Межвузовский тематический сб. науч. тр./ ОмПИ. -Омск, 1986.-С. 51-54.

28. Гирш, А.Г. Обобщение «сечений Вилларсо» на поверхности вращения с образующей коникой Электронный ресурс./ А.Г. Гирш // Прикладная геометрия: Электронный журнал. М.: МАИ, 2003. - Вып. 5. — №11.— 12 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

29. Гирш, А.Г. Точки пересечения и общие касательные двух окружностей / А.Г. Гирш // Начертательная геометрия и машинная графика в практическом решении инженерных задач: Межвузовский тематический сб. науч. тр./ ОмПИ. -Омск, 1987.-С. 53-57.

30. Гирш, А.Г. Уравнения первой и второй степени с комплексными коэффициентами и их графики / А.Г. Гирш // Геометрическое моделирование в практике решения инженерных задач: Сб. науч. тр./ ОмПИ. — Омск, 1991. — С. 79-85.

31. Глаголев, Н.А. Проективная геометрия / Н.А. Глаголев. М.: Высш. шк., 1963.-344 с.

32. Глазунов, Е.А. О проекции линии пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии / Е.А. Глазунов // Труды Московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. -М.: Советская наука, 1958. С. 35-69.

33. Графский, О.А. Автоматизированное проектирование трехмерных объектов / О.А. Графский, А.И. Соколовский // Проблемы железнодорожного транспорта: Межвузовский сб. науч. тр./ ДВГУПС. Хабаровск, 1997. -С. 91-96.

34. Графский, О.А. Анализ и построение неевклидовых плоскостей схемы Кэли-Клейна Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал /МАИ. М., 1999. - Вып. 1. - № 1.-25 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

35. Графский, О.А. Аппарат начертательной геометрии четырехмерного пространства / О.А. Графский, Ю.Р. Кунсман // Проблемы железнодорожного транспорта. Поиск, перспективы развития: Межвузовский сб. науч. тр./ ДВГАПС. Хабаровск, 1993. - С. 143-149.

36. Графский, О.А. Аффинные преобразования в квадратичной плоскости Электронный ресурс. / О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2003. - Вып. 5. - № 10. - 17 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

37. Графский, О.А. Введение мнимых элементов в начертательную геометрию: Монография / О.А. Графский. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004.- 168 с.

38. Графский, О.А. Геометрическое истолкование квадратичных и мнимых плоскостей Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2003. - Вып. 5. - № 9. - 23 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

39. Графский, О.А. Геометрическое моделирование основных положений специальной теории относительности / О.А. Графский // Транспорт и связь: Межвузовский сб. науч.тр./ ДВГАПС. Хабаровск, 1994. - С. 124-131.

40. Графский, О.А. Геометрические преобразования в построении собственных и падающих теней архитектурных форм / О.А. Графский // Бюллетень научных сообщений / ДВГУПС. Хабаровск, 1998. - №2. - С.41-43.

41. Графский, О.А. Геометрические преобразования в формообразовании поверхностей как гиперпроекций пятимерного пространства О.А. Графский // Бюллетень научных сообщений / ДВГУПС. Хабаровск, 1998. - № 2 — С.27-29.

42. Графский, О.А. Исследование взаимосвязи моделей неевклидовых геометрий/ О.А. Графский // Актуальные проблемы теории и методики графических дисциплин: Материалы семинара-совещания зав. графических кафедр вузов России / ПГАСА. Пенза, 1999. - С. 85-87.

43. Графский, О.А. Исследование свойств квадратичной плоскости в декартовых координатах Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2003. - Вып. 5. - № 9. - 17 с. -Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

44. Графский, О.А. Исследование свойств квадратичной плоскости в полярных координатах Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2003. - Вып. 5. - № 9. - 19 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

45. Графский, О.А. Исследование топологических преобразований с поверхностью преломления вращения / О.А. Графский// Материалы XXVIII науч.-технической конф./ ХабИИЖТ. Хабаровск, 1974. - Вып. 9. - С. 116-122.

46. Графский, О.А. Использование геометрических преобразований в построении линии среза некоторых фигур / О.А. Графский // Бюллетень научных сообщений / ДВГУПС. Хабаровск, 1998. - №2. - С.31-33.

47. Графский, О.А. К вопросу классификации преобразований на основе посредников преобразования / О.А. Графский // Бюллетень научных сообщений / ДВГУПС. Хабаровск, 1998. - №2. - С. 35-37.

48. Графский, О.А. К вопросу построения фундаментальных образов в геометрии / О.А. Графский // 12-я Международная конференция по компьютерной графике и машинному зрению «ГрафиКон-2002»: Труды конф. 16-21 сент., 2002 г. -Н. Новгород, 2002. С. 346-353.

49. Графский, О.А. К вопросу формообразования поверхностей / О.А. Графский, А.В. Горбунова, Н.В. Грязнова, А.В. Громов, А.А. Мамаев // Проблемы железнодорожного транспорта: Межвузовский сб. науч. тр./ ДВГУПС. -Хабаровск, 1997.-С. 82-87.

50. Графский, О.А. Конструирование геометрических форм главными сечениями/ О.А. Графский // Оптические и электрические процессы в кристаллах: Межвузовский сб. науч. тр./ ДВГАПС. Хабаровск, 1996. - С. 72-74.

51. Графский, О.А. Моделирование мнимых элементов на плоскости: Монография / О.А. Графский. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. - 161 с.

52. Графский, О.А. Образы коник квадратичной плоскости Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ.- М., 2003. Вып. 5, № 10. - 14 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

53. Графский, О.А. Построение моделей многомерных пространств Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2000. - Вып.2. - № 2. - 11 е.- Режим доступа: http.//www.mai.ru/ ~apg.

54. Графский, О.А. Стереографические проекции на квадратичной плоскости Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2003. - Вып. 5. - № 10. - 14 с. - Режим доступа: http .//www. mai.ru/~apg.

55. Графский, О.А. Схема Кэли Клейна и формообразование поверхностей Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. - М., 2000. - Вып. 2. - № 3. - 19 с. - Режим доступа: http.//www. mai.ru/~apg.

56. Графский, О.А. Теоретические основы моделирования квадратичного пространства Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия:

57. Электронный журнал / МАИ. М., 2003. - Вып. 5. - № 9. — 15 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

58. Графский, О.А. Типы соответствий при отображении окружности в прямую линию Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2003. - Вып. 5. - № 9. - 11 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

59. Графский, О.А. Топологические преобразования в интерпретации специальной теории относительности / О. А. Графский, Д.Ю. Янголь, Р.В. Сто-вбчатый // Проблемы железнодорожного транспорта: Межвузовский сб. науч. тр./ ДВГУПС. Хабаровск, 1997. - С. 75-87.

60. Графский, О.А. Топологические преобразования окружности Евклида в окружности Минковского и Галилея / О.А. Графский; Хабаровский ин-т инж. жел.-дор. тр-та. Хабаровск, 1984. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ, 2676-84.

61. Графский, О.А. Топологические преобразования поверхностей второго порядка / О.А. Графский; Хабаровский ин-т инж. жел.-дор. тр-та. — Хабаровск, 1984. 6 с. - Деп. в ВИНИТИ, 2675-84.

62. Гурвиц, А. Теория функций/ А. Гурвиц, Р. Курант; Пер. с нем.- М.: Наука, 1968.-618 с.

63. Гуревич, Г.Б. Проективная геометрия / Г.Б. Гуревич. М.: Физматгиз, 1960.-320 с.

64. Гусев, Я.В. Построение линии взаимного пересечения некоторых поверхностей / Я.В. Гусев // Материалы второй конференции по начертательной геометрии Ташкент: ФАН, 1968. - Вып. 60. - С. 202-206.

65. Дарбу, Г. Принципы аналитической геометрии / Г. Дарбу. J1.-M.: Гл. ред. технико-теоретической лит., 1938. - 375 с.

66. Денискина, А. Р. Методы аппроксимации дискретных обводов в задачах твердотельного моделирования: Автореф. дис. .канд. техн. наук / А.Р. Денискина. М., 1999. - 18 с.

67. Джапаридзе, И.С. Начертательная геометрия в свете геометрического моделирования / И.С. Джапаридзе. Тбилиси: Ганатлеба, 1983. - 298 с.

68. Джапаридзе, И.С. О некоторых направлениях исследований в области геометрического моделирования / И.С. Джапаридзе // Начертательная геометрия и ее приложения: Межвузовский науч. сб. — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1976. Вып. 1. - С. 71-80.

69. Джапаридзе, И.С. Построение конструктивных моделей пространств, их систематизация и связь с методами изображений, применяемыми в технике: Дис. . д-ра техн. наук / И.С. Джапаридзе. Тбилиси, 1965. - 363 с.

70. Димантов, Е.А. Построение некоторых кривых четвертого порядка на плоскости / Е.А. Димантов // Вопросы геометрического моделирования: Сб. науч. тр./ЛИСИ.-Л., 1973.-№80.-С. 108-127.

71. Ефимов, Н.В. Высшая геометрия / Н.В Ефимов.-М.: Наука, 1971.576 с.

72. Ефимов, Н.В. Линейная алгебра и многомерная геометрия / Н.В. Ефимов, Э.Р. Розендорн. М.: Наука, 1970. - 528 с.

73. Иванов, Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований)/ Г.С. Иванов. М.: Машиностроение, 1987. - 192 с.

74. Иванов, Г.С. Начертательная геометрия / Г.С. Иванов. М.: Машиностроение, 1995. - 224 с.

75. Иванов, Г.С. Теоретические и конструктивно-прикладные вопросы квадратичных кремоновых инволюций: Дис. . канд. техн. наук / Г.С. Иванов. -М., 1968.-149 с.

76. Иванов, Г.С. О моделировании одного множества рациональных поверхностей Электронный ресурс./ Г.С. Иванов // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2002. - Вып. 4. - № 8 - 11 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

77. Иванов, Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии / Г.С. Иванов. М.: Машиностроение, 1998. - 158 с.

78. Извольский, Н.А. Синтетическая геометрия / Н.А. Извольский. М.: Учпедгиз, 1941.- 131 с.

79. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. -М.: Наука, 1968.-322 с.

80. Каган, В.Ф. Основания геометрии. В 2 ч. 4.2: Учение об основании геометрии в ходе его исторического развития/ В.Ф. Каган. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1956. — 344 с.

81. Каган, В.Ф. Очерки по геометрии / В.Ф. Каган. М.: Изд-во МГУ, 1963.-576 с.

82. Кантор, И.Л. Гиперкомплексные числа / И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. М.: Наука, 1973.- 144 с.

83. Клейн, Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии: В 2 т. Т.1./ Ф. Клейн; Под ред. М.М. Постникова: Пер. с нем. М.: Наука, 1989. - 456 с.

84. Клейн, Ф. Неевклидова геометрия/ Ф. Клейн; Пер.с нем. M.-JL: ОНТИ НКТП СССР, 1936. - 355 с.

85. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2 т. Т.1: Арифметика. Алгебра. Анализ / Ф. Клейн; Под ред. В.Г. Болтянского; Пер. с нем. -М.: Наука, 1987.-432 с.

86. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2 т. Т.2: Геометрия / Ф. Клейн; Под ред. В.Г. Болтянского; Пер. с нем.- М.: Наука, 1987.-416 с.

87. Ковалев, Д.К. Процессы намагничивания монодоменных ВТСП элементов и их применение в криогенных электрических машинах / Д.К. Ковалев, С.М.-А. Конеев, А.Е. Ларионов и др.// Электричество. 2002. - № 3. - С. 29-39.

88. Кокс, Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры / Д. Кокс, Дж. Литтл, Д. ОТПи; Под ред. В.Л. Попова; Пер.с англ.- М.: Мир, 2000. -687 с.

89. Конакбаев, К.К. О мнимых точках пересечения прямой с коникой/ К.К. Конакбаев // Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: Тр. ин-та/ МАИ. М., 1970. - №205. - Вып. 4. - С. 33 - 42.

90. Кострюков, А.В. Геометрическая модель электростатического поля процесса нанесения ионно-плазменных покрытий / А.В. Кострюков // Конструирование поверхностей и их технические приложения: тематический сб. науч. тр./ МАИ -М, 1992,-С. 13-16.

91. Кострюков, А.В. Геометрическое моделирование процесса формирования поверхностей при осаждении тонкопленочных покрытий: Дис. . канд. техн. наук / А.В. Кострюков. М., 1992. - 191 с.

92. Котов, И.И. Аналитическая геометрия с теорией изображений /И.И. Котов, В.А. Маневич, А.Р. Зенгин. М.: Высш. шк., 1969. - 304 с.

93. Котов, И.И. Графические способы задания и построения форм поверхностей: Дис. . д-ра техн. наук. В 2 ч./ И.И. Котов. М., 1961. - 4.1. -169 е., 4.2.-212 с.

94. Кусебаев, У.К. Конструирование специальных геометрических моделей для описания электрического поля ЛЭП: Дис. . на соиск. ученой степени канд. техн. наук / У.К. Кусебаев. Киев, 1990. - 125 с.

95. Кучеренко, С.И. О некоторых кривых 4-го порядка // С.И. Кучеренко, Н.А. Никулин // Прикладная геометрия и инженерная графика: Межведомственный респ. Науч.-технический сб. Киев: Буд1вельник, 1980. - Вып. 30. - С. 69-71.

96. Кэли, А. Шестой мемуар о формах: Пер. с англ./ А. Кэли// Об основаниях геометрии: Сб. классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей; Ред. и вступ. ст. А.П. Нордена. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1956. - С. 222-252.

97. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Гос. изд-во физико-мат. лит., 1958. -678 с.

98. Лобачевский, Н.И. Геометрические исследования по теории параллельных линий / Н.И. Лобачевский; Пер., комментарии, вступ. ст. и прим. проф. В.Ф. Кагана. М.-Л.: Изд-во Академии наук СССР, 1945. - 176 с.

99. Лунц, Г. Л. Функции комплексного переменного/ Г. Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц. СПб.: Лань, 2002. - 304 с.

100. Макарова, Н.М. Двумерная неевклидова геометрия с параболической метрикой длин и углов: Дис. . канд. физ.-мат. наук / Н.М. Макарова. -Ю- Сахалинск, 1962. 205 с.

101. Малахов, Н.А. Построение линии пересечения поверхностей топологическими преобразованиями и графомеханическими способами: Дис. . канд. техн. наук / Н.А. Малахов. Л., 1954. - 176 с.

102. Маркушевич, А.И. Введение в теорию аналитических функций / А.И. Маркушевич, Л.А. Маркушевич. М.: Просвещение, 1977. - 320 с.

103. Маркушевич, А.И. Очерки по истории теории аналитических функций / А.И. Маркушевич. М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1951. -127 с.

104. Милн-Томсон, J1.M. Теоретическая гидродинамика / JI.M. Милн-Томсон; Под ред. Н.Н. Моисеева; Пер. с англ. М.: Мир, 1964. - 655 с.

105. Михайленко, В.Е. Конструирование форм современных архитектурных сооружений / В.Е. Михайленко, С.Н. Ковалев. Киев: Буд1вельник, 1978. -112 с.

106. Михайленко, В.Е. Формообразование оболочек в архитектуре / В.Е. Михайленко, B.C. Обухова, A.JL Подгорный. Киев: Буд1вельник, 1972 - 207 с.

107. Млодзиевский, Б.К. Основы аналитической геометрии на плоскости / Б.К. Млодзиевский. М. МОСПЕЧАТЬ, 1922. - 323 с.

108. Моиз, Э.Э. Геометрия / Э.Э. Моиз, Ф.Л. Дауне; Под. ред. И.М. Ягло-ма; Пер.с англ. -М.: Просвещение, 1972. 622 с.

109. Молодший, В.Н. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века / В.Н. Молодший. М.: Учпедгиз, 1963. - 262 с.

110. Мусхелишвили, Н.И. Курс аналитической геометрии/ Н.И. Мусхели-швили. СПб.: Лань, 2002. - 656 с.

111. Найханов, В.В. Обоснование содержания учебного курса «Геометрическое моделирование и инженерная графика»/ В.В. Найханов, В.В. Трифонова,

112. B.И. Якунин. Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика: Международный межвузовский науч.-методический сб. тр. кафедр графических дисциплин / ННГАСУ. Н. Новгород, 2001. - Вып. 6. - С. 4-8.

113. Нгуен, Ван Дьем. Применение квадратичного преобразования к построению линии пересечения поверхностей / Нгуен Ван Дьем // Прикладная геометрия и инженерная графика: Межведомственный респ. науч. сб. Киев: Бущвельник, 1971. - Вып. XIII. - С. 68-72.

114. Об основаниях геометрии: Сб. классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей; Ред. и вступ. ст. А.П. Нордена. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1956. — 527 с.

115. Обухова, B.C. Аналитический способ построения кривых 4-го порядка с одной трехкратной точкой / B.C. Обухова // Прикладная геометрия и инженерная графика: Межведомственный респ. науч.-технический сб. Киев: Бу-д1вельник, 1975. - Вып. 19. - С. 23-25.

116. Олоничев, П.М. Казанский геометр Федор Матвеевич Суворов / П.М. Олоничев// Историко-математические исследования; Под ред. Г.Ф. Рыбкина,

117. A.П. Юшкевича. -М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1956. Вып. IX. -С. 271-316.

118. Пеклич, В.А. Высшая начертательная геометрия: Монография /

119. B.А. Пеклич. М.: АСВ, 2000. - 344 с.

120. Погорелов, А.В. Аналитическая геометрия / А.В. Погорелов. М.: Наука, 1968.- 176 с.

121. Привалов, И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И.И. Привалов. М.: Наука, 1967. - 444 с.

122. Протокол 40-го заседания. 20 ноября 1884 г./ Собрание протоколов заседаний секций физико-математических наук общества Естествоиспытателейпри Императорском Казанском университете. — Казань: Типо-литография Императорского ун-та, 1884. Т. 3. - С. 95-98.

123. Протокол 79-го заседания. 31 марта 1898 г./ Известия Физико-математического общества Императорского Казанского университета. Вторая серия. Казань: Типо-литография Императорского ун-та, 1898. Т. VIII. № 2. -С. 18-20.

124. Пчелкин, Б.К. Специальные разделы высшей математики (Функции комплексного переменного. Операционное исчисление)/ Б.К. Пчелкин. М.: Высш. шк., 1973.-464 с.

125. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Ра-шевский. — М.: Наука, 1964. 664 с.

126. Розенфельд, Б.А. Геометрические преобразования в работах Леонарда Эйлера / Б. А. Розенфельд // Историко-математические исследования; Под ред. Г.Ф. Рыбкина, А.П. Юшкевича. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1957-Вып. Х.-С.371 -422.

127. Розенфельд, Б.А. История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом пространстве / Б.А. Розенфельд. М.: Наука, 1976. - 413 с.

128. Розенфельд, Б.А. Многомерные пространства / Б.А. Розенфельд. М.: Наука, 1966.-648 с.

129. Розенфельд, Б.А. Неевклидовы геометрии / Б.А. Розенфельд. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1955. - 744 с.

130. Розенфельд, Б.А. Неевклидовы пространства / Б.А. Розенфельд. М.: Наука, 1969.-548 с.

131. Розенфельд, Б.А. Стереографическая проекция / Б.А. Розенфельд, Н.Д. Сергеева. М.: Наука, 1973. - 48 с.

132. Рудой, К.А. Коноскопические картины в оптически активных одноосных кристаллах / К.А. Рудой, Б.В. Набатов, В.И. Строганов и др.// Кристаллография. 2003. -№ 2. - С. 334-339.

133. Рыжков, В.В. Лекции по аналитической геометрии / В.В. Рыжков. -М.: Факториал Пресс, 2000. 208 с.

134. Рыжов, Н.Н. О теореме Монжа / Н.Н. Рыжов // Тр. Московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. М.: Советская наука, 1958.-с. 97- 100.

135. Рязанов, Г.А. Электрическое моделирование с применением вихревых полей / Г.А. Рязанов. М.: Наука, 1969. - 336 с.

136. Савелов, А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения: Справочное рук. / А.А. Савелов; Под ред. А.П. Нордена, М.: Гос.изд-во физи-ко-мат. лит., 1960.-293 с.

137. Садовничий, В.А. Теория операторов / В.А. Садовничий. М.: Высш. шк., 1999.-368 с.

138. Свешников, А.Г. Теория функций комплексной переменной/ А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. М.: Наука, 1970. - 304 с.

139. Седов, Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики / Л.И. Седов. М.: Наука, 1980. - 448 с.

140. Сиротин, Ю.И. Основы кристаллофизики / Ю.И. Сиротин, М.П. Шас-кольская. — М.: Наука, 1979. 639 с.

141. Скопец З.А. Геометрические миниатюры / З.А. Скопец; Сост. Г.Д Глейзер. М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

142. Скопец, З.А. Неевклидова и проективная циклография и ее применение к начертательной геометрии в евклидовом пространстве: Автореф. дис. . д-ра. физ.-мат. наук / З.А. Скопец. М., 1961. - 27 с.

143. Стинрод, Н. Первые понятия топологии. Геометрия отображений отрезков, кривых, окружностей и кругов / Н. Стинрод, У. Чинн; Пер.с англ. М.: Мир, 1967.-224 с.

144. Сухарев, Ю.П. Замечания о значении научных интерпретаций / Ю.П. Сухарев // Геометрические модели и алгоритмы: Межвузовский тематический сб. тр./ЛИСИ. Л., 1983.- С. 50-71.

145. Тарасов, Б.Ф. Аналитические выражения топологических преобразований / Б.Ф. Тарасов //Сб. тр./ ЛИИЖТ. Л., 1968. - Вып. 278. - С. 24-26.

146. Тарасов, Б.Ф. Ободном способе топологических преобразований / Б.Ф. Тарасов, О.А. Графский // Вопросы теории и практики начертательной геометрии: Сб. науч. тр./ ЛИИЖТ. Л., 1976. - С. 22-29. - Деп. в ВИНИТИ, 1180.

147. Татур, Т.А. Основы теории электромагнитного поля / Т.А. Татур. М.: Высш. шк., 1989.-271 с.

148. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. — М.: Наука, 1975.-576 с.

149. Фабер, Т.Е. Гидроаэродинамика / Т.Е. Фабер; Под ред А.А. Павельева; Пер. с англ. — М.: Постмаркет, 2001. — 560 с.

150. Федоров, Н.Н. Основы электродинамики / Н.Н. Федоров. М.: Высш. шк., 1980.-399 с.

151. Федотов, Г.И. Построение линии пересечения поверхностей в точке соприкосновения / Г.И. Федотов // Труды межвузовского семинара по начертательной геометрии / МАИ. М., 1959. - С. 74-83.

152. Филиппов, П.В. Векторное моделирование в начертательной геометрии многомерного пространства и некоторых ее приложениях: Дис. . д-ра техн. наук / П.В. Филиппов. — JI., 1966. -Т.1.-263 е., т.2. 576 с.

153. Филиппов, П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения / П.В. Филиппов. JL: Изд-во Ленинградского ун-та, 1979. -280 с.

154. Флоренский, П.А. Мнимости в геометрии / П.А. Флоренский. М.: Лазурь, 1991.-96 с.

155. Фор, Р. Современная математика / Р. Фор, А. Кофман, М. Дени-Папен; Под ред. А.Н. Колмогорова; Пер.с франц. М.: Мир, 1966. - 271 с.

156. Фролов, С.А. Методы преобразования ортогональных проекций / С.А. Фролов. -М.: Машиностроение, 1970. 152 с.

157. Ханинаев, Ж.С. О некоторых свойствах линии пересечения двух поверхностей второго порядка: Дис. . канд. техн. наук / Ж.С. Ханинаев. М., 1951.- 114с.

158. Хартсхорн, Р. Основы проективной геометрии / Р. Хартсхорн; Под ред. И.М. Яглома; Пер.с англ. М.: Мир, 1970. - 160 с.

159. Черняев, М.П. Константин Алексеевич Андреев как геометр / М.П. Черняев // Историко-математические исследования; Под ред. Г.Ф. Рыбкина,

160. A.П. Юшкевича. -М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1956. — Вып. IX. С. 723 - 756.

161. Четверухин, Н.Ф. Начертательная геометрия / Н.Ф. Четверухин,

162. B.C. Левицкий, З.И. Прянишникова и др.; Под ред. Н.Ф. Четверухина. М.: Высш. шк., 1963. - 420 с.

163. Четверухин, Н.Ф. Начертательная геометрия как математическая наука / Н.Ф. Четверухин // Тр. межвузовского семинара по начертательной геометрии/ МАИ-ВЗЭИ. М., 1959. - С. 3-6.

164. Четверухин, Н.Ф. Проективная геометрия / Н.Ф. Четверухин. — М.: Просвещение, 1969. 368 с.

165. Четверухин, Н.Ф. Теоретические основания начертательной геометрии. Ч. 1: Мировоззренческие вопросы в преподавании геометрии / Н.Ф. Четверухин.-М.: МАИ, 1971.-36 с.

166. Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат. М.: Наука, 1969.-576 с.

167. Шван, В. Элементарная геометрия. Геометрия на плоскости / В. Шван; Пер. с нем. М.: Гос. учебно-пед. изд-во, 1937. - Т. 1. - 400 с.

168. Штейнер, Я. Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга / Я. Штейнер; Под ред. Д.М. Синцова; Пер. с нем. М.: Гос. учебно-пед. изд-во, 1939. - 80 с.

169. Эйлер, J1. Основания алгебры: В 2 ч. Ч. 1. Аналитика определенная / J1. Эйлер; Пер.с франц. со многими присовокупленьями В. Висковатова. — СПб.: Императорская Академия Наук, 1812. — 410 с.

170. Юнг, Дж. В. Проективная геометрия / Дж. В. Юнг; Под ред. В.Ф. Кагана; Пер.с англ. Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000. - 184 с.

171. Яглом, ИМ. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии. 4.1. Аффинная геометрия / И.М. Яглом, В.Г. Ашкинузе. — М.: Учпедгиз, 1962. — 247 с.

172. Яглом, И.М. Геометрические преобразования: В 2 т. Т.1: Движения и преобразования / И.М. Яглом- М.: Гос.изд-во технико-теоретической лит., 1955.-282 с.

173. Якунин, В.И. Анализ научных исследований в прикладной геометрии / В.И. Якунин // Роль инженерной графики и машинного проектирования в подготовки специалистов для народного хозяйства: Тез. докл. респ. науч.-методической конф./ ЛПИ. JL, 1984. - С. 4.

174. Якунин, В.И. Проблемы и перспектива совершенствования дидактических основ обучения инженерным графо-геометрическим дисциплинам /

175. B.И. Якунин, Г.Ф. Горшков// Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика: Международный межвузовский науч.-методический сб. тр. кафедр графических дисциплин / ННГАСУ. Н. Новгород, 2000. - Вып.5.1. C. 4-8.

176. Якунина, М.Г. Интерпретация моделей плоскостей неевклидовых геометрий / М.Г. Якунина, О.А. Графский// Научно-технические и экономические проблемы транспорта: Материалы 58-й науч. конф. творческой молодежи / ДВГУПС. Хабаровск, 2000. - Т. 4. - С. 93-96.

177. Baker, H.F. An introduction to plane geometry. With many examples / H.F. Baker. Cambridge: The University press, 1943. - VIII. - 382 p.

178. Bereis, R. Darstellende Geometrie / R. Bereis.- Berlin: Akademie Verlag, 1964.-Т.1.-493 s.

179. Blaschke, W. Ebene Kinematik / W. Blaschke, H.R. Muller // Matematische Einzelschriften herrausgegeben von Wilgelm Blaschke. Miinchen: Verlag von R.OIdenbourg, 1956. - 269 s.

180. Blaschke, W. Projektive Geometrie / W. Blaschke // Biicher der Matematik und Naturwissenschaften / Wolfenbiitteler Verlagsanstalt, 1948. 2-te Aufl. - 160 s.

181. Fucke, R. Darstellende Geometrie / R. Fucke, K. Kirch, H. Nickel. Leipzig: VEB Fachbuchverlag, 1970. - 289 s.

182. Hankel, H. Die Elemente der projectivischen Geometrie in synthetischer Behandlung / H. Hankel. Leipzig: Druck und Verlag von B.G. Teubner, 1875. -256 s.

183. Hankel, H. Uber die Vieldeutigkeit der Quadratur und Rectification algebraischer Curven / H. Hankel. Leipzig: Leopold Voss, 1864. - 36 s.

184. Laguerre, E. Sur l'emploides imaginairesen g6ometrie / E. Laguerre // Oeuvres. Paris: Gauthier - Villars, 1905. - T.2. - P. 88-97.

185. Poncelet, J.-V. Traite des proprietes projectives des figures / J.-V. Poncelet // Applications d'Analyse et des Geometrie. Paris, 1862. - T.l. - 563 p., 1864 - T. 2. - 602 p.

186. Sommerville, D.M.Y. Bibliography of non-euclidean geometry / D.M.Y. Sommerville. New York: Chelsea publishing company, 1970. - 410 p.

187. Staudt, K.G.Ch. Beitrage zur Geometrie der Lage / K.G.Ch. v. Staudt. -Niirnberg: Verlag der Fr. Korrf schen Buchhandlung, 1856. Heft 1. - 129 s., Heft 2.-S. 131 -283, 1860. - Heft 3.-S. 285-396.

188. Staudt, K.G.Ch. Geometrie der Lage/ K.G.Ch. v. Staudt. Niirnberg: Verlag von Bauer und Raspe, 1847. -216 s.

189. Staudt, K.G.Ch. Von den reellen und imaginaren Halbmessern der Kurven und Flachen II. Ordnung / K.G.Ch. v. Staudt. Niirnberg: Verlag von Bauer und Raspe, 1867.-59 s.

190. Steiner, J. Einige geometrische Betrachtungen / J. Steiner // Oswald's klassiker der exakten Wissenschaften; Herasgegeben vov Rudolf Sturm. Leipzig: Verlag von Wilhelm Engelmann, 1901. - Nr. 123. - 125 s.

191. Steiner, J. Verlesungen iiber synthetische Geometrie: In 2 Theil. Erste Theil. Die Theorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung / J. Steiner; Rearbeitet von Dr. Geiser. Leipzig: Druck und Verlag von B.G. Teubner, 1875. -208 s.

192. РОССИЙСКОЕ АВИАЦИОННО-КОСМИЧЕСКОЕ АГЕНТСТВО д RUSSIAN AIRSPACE AGENCY

193. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ Л FEDERAL STATE EN IERPRISE

194. ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ II PRODUCTION ASSOCIATION

195. MMHipaiHifHfMn II UflHMHftHi а—ш мrFEflfl" JA "STItELH460005. г Оренбург, ул Шевченко, 26 JB 26. Shevchenco. 460005 Orenburg. Ru:;ia

196. Тепефон. [phone], Факс. [phone] Te|.: [phone]; Fax [phone]fc'.n>cii/ strela&wail csu.ru E-mail: strela®mr.I osu.ru1. АКТ

197. Разработанная методика позволяет прогнозировать толщину осаждаемого слоя, как в процессе конструирования изделий, так и выбора схемы осаждения.

198. Ожидаемый годовой экономический эффект составит 2 млн. руб.

199. Примечание: настоящий документ не является основанием для финансовых расчетов.

200. Первый заместитель генерального директора Главный инженер1. Маркман A.M./

201. Открытое акционерное общество1. ОРЕНБУРГСКИЙ СТАНКОЗАВОД

202. Россия, 460513, г. Оренбург, ул. Ногина, б

203. Тел- [phone], 56-93-46 Факс[phone], 56-78-45 E"Mail [e-mail]от/У ^

204. Утверждаю: Генеральный директор Чапа^Йа И.В.1. На №от1. Акт

205. Ожидаемый годовой экономический эффект составит 750 тыс. рублей.

206. Примечание: настоящий документ не является основанием для финансовых расчетов.1. Главный инженерР1. М.М. Мерзликин

207. Госстрой России Дальневосточный проектно-изыскательский институт транспортного строительства

208. Министерство путей сообщениядальневосточный государственный университет путей сообщения680021, Россия, г.Хабаровск, Серышева, 47 Телефон: [phone] Факс: [phone] - 08. E-mail: [e-mail]1. От 2004 г. №

209. УТВЕРЖДАЮ: Ректор университета ^яепх^адокт. техн. наук, ;^профессорг-'^В.ЩГригоренко 06^04.2004 г.ъ'Р1. АКТ

210. Зав. кафедрой «Электротехника, электроника и электромеханика», докт. техн. наук, профессорроссийская федерация

211. УТВЕРЖДАЮ: Ректор университета техн. наукт профессор

212. Разработанный метод позволяет решать ряд задач, как на построение действительных, так и мнимых элементов, поскольку только в таком случае полученные построения находятся в полном соответствии с аналитическими решениями.

213. Зав. кафедрой «Начертательная геометрия и инженерная графика»,докт. пед. наук, профессор Д.ф. Карева