Теория нелинейных отображений многомерных моноидальных поверхностей и ее приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.01.01, доктор технических наук Вертинская, Нелли Дмитриевна

• Вертинская, Нелли Дмитриевна
• доктор технических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор технических наук Вертинская, Нелли Дмитриевна

Введение

Глава I

Моделирование и конструирование кривых и поверхностей взаимно однозначными соответствиями в методе двух изображений

1.1. Моделирование кривых и поверхностей

1.1.1. Анализ методов изображений в начертательной геометрии

1.1.2. Обобщение двухкартинного чертежа в пространствах размерности N=24-5 для обеспечения взаимно однозначного соответствия

1.1.3. Проецирование кривых в обобщенном методе двух изображений взаимно однозначными соответствиями

1.1.4. Моделирование поверхностей в обобщенном методе двух изображений взаимно однозначными соответствиями

1.2. Конструирование кривых и поверхностей по их моделям 63 1.2.1. Конструирование линий каркасов поверхностей по их моделям

1.3. Конструирования поверхностей, удовлетворяющих наперед заданным условиям инцидентности

1.4. Моделирование двух поверхностей в заданном отображении

1.5. Исследование линии пересечения, касания двух поверхностей

1.6. Конструирование двух поверхностей, обеспечивающих наперед заданное взаимное положение

Выводы

Глава II

Получение математических моделей гиперповерхностей монои-ального типа многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах и написание их уравнений

11.1.Моделирование одномерных образующих многофакторных зависимостей

II.1.1 .Аппроксимация плоских массивов точек кривыми

11.1.2. Вычислительные методы интерполирования плоских массивов точек

II. 1.3. Интерполирование плоских массивов точек дробнорациональной кривой третьего порядка

11.2. Моделирование гиперповерхностей моноидального типа, инцидентных трем сечениям гиперплоскостей

II.2.1 .Моделирование моноидальных гиперповерхностей, инцидентных сечениям пучка гиперплоскостей с несобственной осью 116 И.2.2.Моделирование моноидальных гиперповерхностей, инцидентных сечениям связки гиперплоскостей

11.2.3. Обоснование метода конструирования поверхностей, инцидентных связке сечений плоскостей

11.3. Математическое моделирование технологических процессов с помощью связки гиперплоскостей

11.3.1. Создание модели технологического процесса очистки сточных вод Братского ЛПК

11.3.2. Математическое моделирование технологического процесса очистки промышленных стоков Усть- Илимского ЛПК

11.3.3. Обработка сточных вод Зиминского гидролизного завода индукционными токами и влияние их на жизнедеятельность живых организмов

11.3.4. Применение индукционных токов для очистки сточных вод гидролизного завода

11.3.5. Математическое моделирование трехкомпонентных систем 145 113.6. Оптимизация технологического процесса получения тетраэтоксисилана

II.3.7. Создание математической модели технологического процесса ректификации метилхлорсиланов

И.3.8. Оптимизация технологического процесса на примере биологической параметризации поголовья молодняка птицефабрики

II.3.9. Математическое моделирование технологического процесса получения гексилацетоуксусного эфира

II. 4. Математическое моделирование технологических процессов с помощью пучка гиперплоскостей с несобственной осью

11.4.1. Математическое моделирование процесса теплоотдачи

11.4.2. Математическое моделирование экономических зависимостей

11.4.3. Исследование и оптимизация способа электрохимической обработки сточных вод

11.4.3.1. Теоретические предпосылки к созданию безэлектродного индукционного электрокоагулятора

11.4.3.2. Оптимизация технологического процесса очистки сточных вод от тяжелых металлов

11.4.4. Математическое моделирование сплавов Вуда 190 И.4.5. Оптимизация продолжительности процесса гидрогенизации сапропелита с использованием основ математического моделирования

II.4.6. Оптимизации технологического процесса водоподготовки на Иркутской ТЭЦ-3 с помощью математического моделирования

II.4.7. Математическое моделирование технологического процесса получения этила бромистого

И.4.8. Математическое моделирование функциональных зависимостей на примере выделения кристаллогидратов в процессе обработки растворов индукционными токами

II.4.9. Планирование экспериментальных исследований с помощью математического моделирования на примере безэлектродного электрохимического процесса в дву- и трехкомпонентных растворах

II АЮ.Математическое моделирование систем реагирующих веществ на базе конструктивной геометрии

Выводы

Глава III

Конструирование технических систем на основе математического моделирования многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах

III. 1. Методы нелинейных отображений и их применение при конструировании технических систем

111.2. Возможность направленного поиска конструктивных решений технических систем на примере моделирования производства эпихлоргидрина

111.2.1. Определение оперативной зоны по результатам математического моделирования технологического процесса производства эпихлоргидрина

111.3. Эвристическое значение оптимизации режимов технологических процессов с помощью математического моделирования многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах

111.3.1. Моделирование и конструирование задач начертательной геометрии

111.3.2. Конструирование технических систем с помощью математического моделирования на базе конструктивной геометрии

III.3.2.1. Способ электрохимической металлизации внутренних поверхностей труб по патенту №

III.3.2.2 Способ электрохимической пассивации внутренней поверхности длинномерных металлических труб по патенту №

111.3.2.3. Способ электрохимического упрочнения железобетонных конструкций по заявке №

111.3.2.4. Исследование и разработка электрохимического способа экстракции углей по патенту №

111.3.2.5. Способ и устройство электрохимического обеззараживания природных вод по патенту №

Выводы

Глава IV

Научно-методическое использование математического моделирования на базе конструктивной геометрии при подготовке инженеров - технологов химических производств IV. 1. Семинары инженеров-технологов химических предприятий, аспирантов и преподавателей ИрГТУ IV.2. Авторские спецкурсы для студентов химико-технологических специальностей ИрГТУ и школьников IV.2.1. Вводный математический практикум IV.2.2. Вводный лабораторный практикум IV.2.3. Лабораторные исследования

IV.2.4. Исследовательские задания по оптимизации технологических процессов

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория нелинейных отображений многомерных моноидальных поверхностей и ее приложения»

Под математическим моделированием понимают изучение свойств объектов на математических моделях. Его целью является определения оптимальных условий протекания процесса, управления им на основе математической модели и перенос результатов на объект [160].

Основным понятием метода математического моделирования является понятие математической модели. Математической моделью называется приближенное описание какого-либо явления или процесса внешнего мира, выраженное с помощью математических символов.

Математическое моделирование включает три взаимосвязанных этапа: 1) составление математического описания изучаемого объекта; 2)выбор метода решения системы уравнений математического описания и реализация его в форме моделирующей программы; 3)установление соответствия (адекватности) модели объекту [150].

Основные требования к процессу моделирования. Чтобы моделирование имело смысл, оно должно удовлетворять двум требованиям. 1. Экономичность. Исследование на модели должно быть более экономичным, чем непосредственное исследование на оригинале. 2. Традуктивность (от латинского traductio -перенесение, перевод). Она означает, что мы должны знать, как по результатам испытания модели определить интересующие нас параметры оригинала. При этом нас практически всегда интересует количественная традукция. Нам не достаточно узнать в результате моделирования, что такой-то процесс вообще осуществим. Важно иметь возможность рассчитать и оптимизировать его [149].

Математическое моделирование всегда стремилось соответствовать задачам технологии. От простых расчетов геометрических размеров деталей механизмов и машин до определения необходимых соотношений компонентов, вступающих в реакции между собой веществ - такой диапазон успехов различных известных методов моделирования [133, 144, 144,145,148,210,211].

В современном научно-техническом прогрессе отчетливо наблюдается эволюция технологических процессов, направленных от простых механических обработок природных материалов с известными свойствами к синтезу многочисленных материалов с наперед заданными свойствами, которыми не обладают материалы природные, полимеры и композиты, сплавы и т. д.

Начертательная геометрия на современном этапе вплотную подошла к исследованию многомерных многообразий различных структур, которые, как оказалось, лежат в глубинных основах многочисленных технологических, конструктивных и социально-экономических процессов.

Таким образом, начертательная геометрия наряду с другими разделами прикладной математики, оказывается эффективным средством решения задач ускорения научно-технического прогресса. Эти задачи решаются на важных теоретических результатах, полученных в работах известных специалистов в области начертательной геометрии К. И. Валькова, В. Я. Волкова, И. Н. Джапаридзе, Г. С. Иванова, И. И. Котова, В. Е. Михайленко, В. А. Осипова, В. Н. Первико-вой, 3. С. Скопеца, А. М. Тевлина, С. А. Фролова, П. В. Филиппова, Н. Ф. Чет-верухина, В. Ю. Юрков, В. И. Якунина и многие другие.

Решение задачи моделирования технических поверхностей в начертательной геометрии реализуется путем отображения исследуемой поверхности на плоскость или хорошо изученную поверхность [232]. В методе двух изображений, в общем случае, алгебраическая поверхность моделируется многозначным соответствием, что затрудняет исследование свойств поверхности, инцидентных ей линий, особых точек и т. д. В методе двух изображений только плоскость и поверхности я-го порядка моноидального типа с двумя и более (л-1)-кратными точками, в две из которых помещаются центры проецирования, моделируются на плоскости взаимно однозначными соответствиями, что существенно облегчает исследование свойств моделируемых поверхностей.

Замена проецирования связками прямых проецированием конгруэнциями и комплексами кривых (прямых) вызвано необходимостью моделирования большего числа поверхностей взаимно однозначными соответствиями. В этом случае модели поверхностей получаются нелинейными. Нелинейные методы отображения базируются на теории кремоновых преобразований [218]. Прикладная значимость кремоновых преобразований плоскости и трехмерного пространства показана в работах И. С. Джапаридзе, A. JI. Подгорного, Скопец 3. А. и их учеников [136 - 140, 178 - 180, 188, 189]. В основном в качестве аппарата проецирования используются лишь связки и конгруэнции прямых, что дает возможность моделирования поверхностей, несущих каркасы кривых только второго порядка.

Моделирование же поверхностей на основе криволинейного проецирования, когда вспомогательное проецирование выполняется пучками кривых, позволяет моделировать поверхности, несущие каркасы кривых линий av порядка V>2. Однако исследований в этом направлении проведено недостаточно [139,187, 189,241].

Все обобщения аппарата проецирования в основном решают прямую задачу начертательной геометрии: данную поверхность (кривую) подбором соответствующего аппарата проецирования отобразить на плоскость взаимно однозначным соответствием. Решение обратной задачи, когда по модели и аппарату проецирования требуется сконструировать поверхность, несущую каркасы кривых второго порядка, посвящены работы [152, 156, 157]. Но отсутствуют работы такого плана, когда по данной модели конструируется поверхность, несущая каркасы кривых высших порядков. Последние имеют многочисленные области приложений.

Свойства поверхностей во многом определяются свойствами их линий, поэтому конструирование кривых линий представляет важную компоненту сложной задачи конструирования поверхностей. Конструирование технических кривых сводится к построению кривых, сопрягающих точки заданного дискретного массива с выполнением некоторого набора краевых условий (фиксированных касательных, асимптотических направлений, круги кривизны и т. д.) [147,

154,157,164].

На современном этапе технические кривые в большинстве случаев представляются в виде составных обводов определенного порядка гладкости, для чего используется большая номенклатура функций (алгебраических,трансцендентных).

Применение нелинейных преобразований для конструирования кривых позволяют получить широкий класс алгебраических кривых, моделируемых взаимно однозначным соответствием, отличающихся разнообразием своих характеристик и особенностей. Кроме того, существование непосредственной зависимости свойств конструируемой кривой от аппарата отображения, расположения кривой относительно плоскости проекций и аппарата отображения дает возможность прогнозировать свойства конструируемой кривой до ее непосредственного получения.

Технические поверхности по аналогии с техническими кривыми аппроксимируются отсеками рациональных алгебраических поверхностей или обводами различного порядка гладкости, составленными из отсеков указанных поверхностей. Для решения этой задачи необходимо в первую очередь научиться решать прямую задачу: по данной поверхности (двум поверхностям) изучить все простые кривые, плоские и пространственные, найти особые точки и кривые (построить модели линии пересечения или касания определенного порядка гладкости двух поверхностей).

В современной науке и технике все большее значение приобретают зависимости многих переменных, изучаемые теоретическим и опытным путем. Устанавливаемая зависимость многих переменных может быть представлена в виде моделирующий ее многомерной геометрической фигуры. В разработку методов многомерной геометрии внесли существенный вклад ее представители начертательной геометрии В. Я. Волков, В. Н. Первикова, П. В.Филиппов, В. Ю. Юркова [126-131,173-176, 199,205-209]. При решении ряда многопараметрических задач целью является конструирование гиперповерхностей, моделирующих те или иные технологические процессы, зависимости «состав-свойство» [12,15,

176] и т. д. Зачастую получаемая модель многофакторных зависимостей невозможно представить многомерным обводом, отвечающая требованиям функционального назначения, расчета, ввода в ЭВМ и др. [208]. Поэтому в качестве составляющих обводов целесообразно выбирать рациональные гиперповерхности, так как они легко параметризуются и являются простыми в счете. Определенный интерес в этом плане представляет собой получение гиперповерхностей с помощью нелинейных преобразований.

На основе выше изложенного цель исследования настоящей работы формулируется следующим образом: разработка методов конструирования многомерных моноидальных поверхностей, заданных дискретными множеством экспериментальных точек, как теоретической основы для определения многофакторных зависимостей, применяемых при синтезе новых современных материалов, решении сложных экологических проблем, моделировании химико-технологических производственных процессов и технических систем.

Сформулированная проблема потребовала решения следующих теоретических и прикладных задач:

- исследовать конструктивно-прикладные вопросы моделирования кривых и многомерных моноидальных поверхностей в классическом и обобщенных методах двух изображений взаимно однозначными соответствиями;

- разработать теоретическую базу конструирования гладких многомерных обводов;

- разработать геометрические основы практически удобных и реализуемых на ЭВМ способов моделирования многопараметрических объектов и процессов в физико-химическом анализе многокомпонентных систем и других областях техники и технологии;

- на основе разработанных методов моделирования поверхностей моноидального типа применить их к моделированию химически реагирующих и нереагирующих между собой веществ многокомпонентных систем; - применить разработанные методы к прогнозированию экспериментальных исследований, позволяющих направлять и увеличивать выход продукции химических реакций, получать новые вещества и материалы;

- применить разработанные методы к конструированию технических систем;

- применить разработанные методы конструирования моноидальных гиперповерхностей к решению задач активизации эвристического мышления студентов в виде научно - методического авторского спецкурса «Математическое моделирование многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах».

В связи с выше изложенным в настоящей работе в ее теоретической части рассматривается решения двух основных задач моделирования поверхностей:

-прямая, когда требуется для данных двух поверхностей Е" порядков п,п, несущих каркасы кривых ау,аУ порядка у > 2,у > 2,получить на основе криволинейного проецирования их модели и изучить влияние их взаимного положения (пересечение, касание и т. д.) на существование общих компонентов их моделей;

-обратной, когда требуется конструировать две поверхности, несущие каркасы кривых высших порядков, по их данным моделям в виде центральных инволюций с общим центром, на основе криволинейного проецирования конструировать две поверхности, при этом необходимо обеспечивать их наперед заданное взаимное положение (пересечение, касание определенного порядка гладкости).

Разработать геометрические основы практически удобных и реализуемых на ЭВМ способов моделирования многопараметрических объектов и процессов в физико-химическом анализе многокомпонентных систем и других областях техники и технологии.

В прикладной части работы теоретические разработки используются для конструирования технических поверхностей, моделирующих многофакторные зависимости путем аппроксимации и интерполировании их отсеками или обводами алгебраических поверхностей, несущих каркасы кривых порядка V > 2.

Решение задач, поставленных в работе, базируется на методах алгебраической, проективной, исчислительной и начертательной геометрий, при этом используется как синтетический так и аналитический методы. Они основаны на использовании нелинейных способов отображения пространства, связанных с криволинейным проецированием алгебраических кривых аУ порядка V > 2. При решении прикладных задач выясняется их геометрическая сущность и устанавливается связь с теоретическими исследованиями, выполненными в работе. Разработанные алгоритмы программно реализованы на алгоритмическом языке и отлажены на ЭВМ.

Обоснованность и достоверность полученных результатов и выводов подтверждается доказательствами и сравнениями с известными теоретическими результатами,расчетами тестовых примеров, внедрениями в реальное проектирование.

Научная новизна. Научная новизна и теоретическая значимость работы заключается в том, что в диссертации для моделирования и конструирования кривых и поверхностей взаимно однозначными соответствиями предложены методы моделирования и конструирования рациональных алгебраических кривых и многомерных моноидальных поверхностей;

- установлены зависимости характеристик моделей и аппаратов проецирования;

- разработан метод моделирования двух поверхностей, базирующийся на криволинейном проецировании, доказана теорема о существовании слабоинвариантной кривой, являющейся моделью линии пересечения поверхностей, которая при распадении обеспечивает соприкосновение поверхностей определенного порядка гладкости;

- создана теоретическая база нового подхода к конструированию гладких многомерных обводов, смежные составляющие которых моделируются на плоскости изображения в обобщенном методе двух изображений центральными кремоновыми инволюциями и общим центром;

- разработаны методики конструирования моноидальных гиперповерхностей инцидентных связке и пучку гиперплоскостей, для чего доказана соответствующая теорема;

- на основе разработанных методик в применении к моделированию химических и технологических процессов установлена возможность моделировать химические процессы реагирующих и нереагирующих между собой веществ;

- разработанные методы криволинейного проецирования применены к моделированию технических систем;

- разработан авторский спецкурс «Математическое моделирование многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах», обеспеченный научно - методическими пособиями.

Практическая ценность выполненного исследования заключается в разработке методик, конструирования моделей, алгоритмов и программ расчета алгебраических моноидальных гиперповерхностей с целью моделирования многомерных функциональных зависимостей. В частности, решены следующие задачи, имеющие значимость для начертательной геометрии и инженерной графики:

1) предложена методика моделирования алгебраических моноидальных многомерных поверхностей, несущих каркасы кривых аУ порядка У> 2, на основе криволинейного проецирования и конструирования из них отсеков гладких двумерных обводов, состоящих из попарно соприкасающихся смежных составляющих;

2) разработаны математические модели многофакторных экономических зависимостей, заложенные в основу пакета прикладных программ, а также программы расчета уравнений моноидальных гиперповерхностей, зарегистрированной в отраслевом фонде алгоритмов и программ;

3) разработаны математические модели химических многокомпонентных зависимостей «состав-свойство».

4) выполнено конструирование технических систем на основе математического моделирования.

На защиту выносится:

- метод моделирования рациональных алгебраических кривых высших порядков и многомерных моноидальных поверхностей, несущих каркасы кривых высших порядков, взаимно однозначными соответствиями;

- зависимости характеристик моделей и аппарата криволинейного проецирования;

- метод моделирования двух поверхностей, базирующийся на криволинейном проецировании;

- теорема о существовании слабоинвариантной кривой - модели линии пересечения двух поверхностей;

- способ конструирования двух поверхностей на основе криволинейного проецирования;

- теоретическая база конструирования гладких двумерных обводов, смежные составляющие которых моделируются на плоскости изображений в обобщенном методе двух изображений центральными кремоновыми инволюциями с общим центром;

- методики конструирования гиперповерхностей моноидального типа инцидентных связке и пучку гиперплоскостей;

- методики моделирования химических и технологических процессов реагирующих и нереагирующих между собой веществ;

- методики моделирования технических систем на базе криволинейного проецирования;

- авторский спецкурс «Математическое моделирование многофакторных и многопараметических процессов в многокомпонентных системах».

Все сформулированные задачи определили структуру работы. Она состоит из введения, четырех глав, заключения. Общий объем 377 страниц в том числе 50 рисунков, 61 таблица. Библиографический список содержит 254 наименования, 30 приложений.

Первая глава посвящена моделированию поверхностей с {у-2)-или у-1)- кратной точкой, несущей каркасы кривых аУ порядка V > 2, которые моделируются в обобщенном методе двух изображений на основе криволинейного проецирования взаимно однозначными соответствиями. Проведен анализ существующих методов изображений, который показывает, что поверхности в классическом методе двух изображений моделируются многозначными соответствиями. Из-за отсутствия законченной теории многозначных соответствий невозможно по таким моделям поверхностей исследовать их свойства. Поэтому, следуя общепринятому направлению, предлагается путем замены аппарата проецирования или носителя модели получать в качестве моделей взаимно однозначные соответствия.

В этой главе подробно рассмотрено моделирование плоских кривых ап порядка пс одной («-2)-кратной точкой и л-2 двукратными точками взаимно однозначными соответствиями, когда в качестве вспомогательного проецирования используются пучки плоских кривых моноидального типа.

На основе исследования первой главы изучается совместное моделирование двух поверхностей, несущих каркасы кривых а" порядка V > 2, с целью получения моделей их линии пересечения, касания определенного порядка гладкости. Впервые предложен алгоритм конструирования двух поверхностей с наперед заданным их взаимном положением, заданных своими моделями центральными инволюциями с общим центром, имеющими общую слабоинвариантную кривую. Значит, на стадии задания моделей появляется возможность прогнозирования взаимного положения (пересечения, касания определенного порядка гладкости) конструируемых поверхностей. На этих исследованиях базируется разработанная методика конструирования двумерных гладких обводов.

Во второй главе, прикладной на основе исследований первой теоретической главы получены алгебраические гиперповерхности, моделирующие: а) экономические зависимости, связывающие себестоимость, объем производства, коэффициент использования мощностей, надежность и технический уровень [33]; б) многокомпонентные физико-химические зависимости [32, 34,36, 39,48, 55, 69, 73,77, 84,95,119]; в) многофакторных и многопараметрических зависимостей в многокомпонентных технологических процессах [37, 40, 41, 44, 49, 50, 51-54, 56 - 60,62 - 69, 70,71, 72, 76, 78, 79, 86, 88-90, 103,105,106, 108,110].

При этом технические поверхности получаются или как отсек алгебраической поверхности (модель технико-экономической зависимости), или как двумерный обвод при моделировании многокомпонентных химических зависимостей. Полученные модели предназначены для решения задач оптимизации. Поэтому на полученные модели накладываются ряд специфических требований вычислительного и функционального назначения.

Третья глава посвящена конструированию технических систем методами математического моделирования на базе конструктивной геометрии.

Так как уравнение гиперповерхности отображает многофакторный и многопараметрический процесс в многокомпонентных системе, то данное обстоятельство позволяет использовать его не только для прогнозирования оптимальных режимов технологических процессов, что нами показано во второй главе, но и для определения новых возможностей конструирования технических систем на основе многомерного моделирования.

В своих исследованиях, которые отражены в третьей главе, эти возможности условно сгруппированы в три аспекта.

Первый аспект основан на методах нелинейного отображения пространства и иллюстрируется техническими решениями на уровне изобретений конструкторских задач [1,2,3, 4,167].

Второй аспект основан на возможности направленного поиска конструктивных решений по оптимальным режимам технологических производств, смоделированных методами математического моделирования на базе конструктивной геометрии [87, 89,90,92,118].

Третий продуктивный аспект конструирования технических систем на основе математического моделирования на базе конструктивной геометрии можно условно назвать эвристическим, так как он основан на способности математического моделирования на базе конструктивной геометрии выявлять функциональные зависимости многомерных экспериментальных значениям. Этот аспект так же иллюстрирован решением технологических задач на уровне изобретений [42,45,46,168,169,170].

Четвертая глава посвящена практическому использованию разработанных методик математического моделирования в научно-методической работе со специалистами промышленных предприятий, аспирантами, преподавателями и студентами вузов и учащимися средних школ [43, 46,47].

В процессе работы со специалистами-технологами по моделированию многомерных технологических процессов на упомянутых и др. предприятиях обнаружился существенный пробел в вузовской подготовке инженеров-технологов химических и других технологических процессов, заключающийся в отсутствии знаний и навыков специалистов по современным методам многомерного математического моделирования. Данное обстоятельство объясняется относительной новизной упомянутых методик, разработанных и апробированных в 1980-90 годы учеными МАИ, МГТУ, ОмПИ, ИрГТУ.

Отличительной особенностью учебно-методического процесса с технологами производств явилась реальность, производственное происхождение всех упражнений, задач, расчетно-графических и курсовых проектов. Этот богатый учебно-методический материал, полученный из рук самих производственных специалистов мы положили в основу учебно-методических пособий: «Основы математического моделирования многофакторных и многопараметрических зависимостей» (Лекции и практические занятия) [74, 75, 76, 80, 82, 91], «Сборник задач по математическому моделированию» [77].

Одновременно с обучением производственного персонала основам математического моделирования на базе конструктивной геометрии были предприняты многочисленные попытки организации и проведения научных и научно-методических семинаров для аспирантов и преподавателей, которые работали на основании соответствующих приказов ректора ИрГТУ (см прил. № №24-26).

Таким образом, введение в вузовскую подготовку специалистов спецкурса по математическому моделированию на базе конструктивной начертательной геометрии преследует цель формирование современного инженера, способного к самостоятельному поиску, нахождению и решению научно-технических задач современной технологии. Вместе с тем, обязательное включение в учебные планы вузовской подготовки спецкурса по математическому моделированию может перегрузить его излишней многопрофильностью, поэтому спецкурс предлагается в качестве дополнительной услуги с 2-го по 8-ой семестры на факультативных началах вне основного расписания занятий. Все выше отмеченное сконцентрировано в авторском спецкурсе «Математическое моделирование многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах», который был утвержден ректоратом университета (см. прил. №28).

Объективным критерием успешного достижения цели исследовательских занятий является возможность формулировать конструктивные предложения в выводах по выполнению заданий оптимизации режимов исследуемых процессов. При выполнении исследований по заданиям промышленных предприятий такими объективными оценками могут стать отзывы специалистов предприятий -заказчиков и рекомендации научно-практических конференций, где в докладах могут быть представлены отчёты выполненных исследовательских задач.

Проведенная работа была обеспечена научно-методическими разработками автора,приведеные в качестве приложений [35,43,74,75,80-88,91-102,109,113]. Обращает на себя внимание особенно большая роль в выполнении программы спецкурса лабораторный практикум по темам программы. Эта роль лабораторного практикума понятна, так как именно в процессе самостоятельного получения экспериментальных массивов точек при исследовании реальных процессов студент проявляет наивысшую творческую активность.

I. МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНЫМИ СООТВЕТСТВИЯМИ

Заключение диссертации по теме «Инженерная геометрия и компьютерная графика», Вертинская, Нелли Дмитриевна

Выводы.

Во второй главе, посвященной геометрическому моделированию многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах путем их аппроксимации и интерполированию моноидальными гиперповерхностями, получены следующие результаты:

1. На основе анализа точности аппроксимирующих и интерполирующих одномерных точечных массивов описывающих многопараметрические экономические зависимости, обоснована целесообразность их параметризации и интерполирования дробно - рациональными кривыми третьего порядка.

2. Разработаны методики математического моделирования гиперповерхностей, инцидентных связке и пучку с несобственной осью плоскостей, выполнено обоснование конструирования гиперповерхностей, инцидентных сечениям связки плоскостей.

3. Получены математические модели, инцидентные связке и пучку сечений плоскостей технологических процессов: очистки сточных вод Братского ЛПК; очистки сточных вод Усть-Илимского ЛПК; очистки сточных вод, содержащих тяжелые металлы, фурфурол; интенсивности теплообмена; экономической зависимости себестоимости продукции то объема производства, надежности, коэффициента использования мощностей; получения этила бромистого; получение сплавов Вуда.

4. Получены математические модели нереагирующих между собой веществ: сплавов трехкомпонентных систем солей: двойных систем, сечений тройной и четверной взаимных систем.

5. Выполнены оптимизации технологических процессов получения: - тетраэтоксисилана,

- ректификации метилхлорсиланов;

- гексилацетоуксусного эфира;

- биометризации поголовья молодняка птицефабрик;

- гидрогенизации сапропелита;

- водоподготовки Иркутской ТЭЦ-3.

6. Созданы модели влияния индукционных токов на протекание химических реакций:

- дву- и трехкомпонентных растворов;

- систем реагирующих веществ.

7. Получены многочисленные экспериментальные подтверждения теоретическому предложению 1.3 главы I , что как это неоднократно выше отмечалось выше в выводах по исследованиям (см. пп. II.8, 11.10 и др.), при моделировании технологических процессов соотношение между данными массивами значений факторов, параметров и компонентов fi}p.-, с;,klV.) и моделями данных процессов представляют собой гиперповерхности, заданные уравнениями

I (fi,pb ськь.)=0, которые являются отображением функциональной зависимости между указанными факторами, параметрами и компонентами.

Данное обстоятельство позволяет находить вместе с оптимальными режимами исследуемых процессов и конкретные рекомендации по технологическим и техническим решениям, в основе которых положены обнаруженные функциональные зависимости.

234 Глава III

КОНСТРУИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОФАКТОРНЫХ И МНОГОПАРМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМАХ III.1. Методы нелинейных отображений и их применение при конструировании технических систем

Начертательная геометрия как математическая наука занимается вопросами моделирования абстрактных пространств. Из преобразований пространств наиболее гибкими являются топологические, т. е. взаимно непрерывные и взаимно однозначные преобразования, обладающие широкими возможностями в смысле деформативности. С помощью таких преобразований можно решать большой круг задач с участием криволинейных поверхностей. Интересны преобразования связанные с моделированием винтовых поверхностей.

За последние десятилетия начертательная геометрия расширила границы исследований за рамки классических методов и поэтому определяется как теория методов моделирования пространства и многообразий различного числа измерений и различной структуры. Кроме того, начертательная геометрия выделяется в самостоятельный раздел геометрии за счет специфики методов конструирования моделей: 1) это- конструктивные (синтетические) методы и 2) обратимые отображения, которые строятся с помощью вспомогательных необратимых отображений.

Теоретическими основами современной начертательной геометрии являются проективные преобразования прямой и коник, коллинеации и корреляции, в том числе поляритеты и нуль- системы, проективные преобразования коник, норм- кривых и квадрик и т. д. Подробнее остановимся на корреляции пространства.

Корреляция - отображение пространства на себя (или на другое пространство), при котором точка, прямая и плоскость переходят соответственно в плоскость, прямую и точку с сохранением инцидентности. Инволюционная корреляция есть поляритет £1, где каждая точка и каждая плоскость являются самосопряженными и образуют общий линейный . комплекс. Поляритет П есть нуль - система.

К нуль - системе приводит механическое винтовое движение, при котором множество точек пространства расслаивается на со их траекторий -соосных винтовых линий одинакового шага и направления. Через произвольную точку А проходит единственная такая винтовая линия, и нормальная к ней в точке А плоскость а является нуль- плоскостью точки А.

Общий линейный комплекс прямых, а с ним и порождающую им нуль - систему можно определить как семейство прямых, пересекающих соответствующие прямые двух проективных пучков прямых с общей самосоответствующей прямой (способ Сильвестра).

Как известно [144] кремоновы преобразования пространства классифицируются по виду их ассоциированных комплексов, т. е. множества прямых, соединяющих точки одного пространства с соответствующими точками второго. Комплексы прямых линий могут выродиться в конгруэнции прямых. Тогда каждая прямая линия содержит оо1 пар соответственных точек и является самосоответственной (слабоинвариантной). В частности, комплекс может выродиться в связку прямых, тогда преобразование будет центральным. Конгруэнции кривых (прямых) линий являются основой преобразования для получения криволинейных и нелинейных моделей, в частном случае, винтовых поверхностей.

Погружением линии в множество конгруэнций можно конструировать квазивинтовые поверхности соответствующего класса. Понятие винта аналогично понятию нуль - системы, при этом ось / и параметр р винта являются, соответственно, центральной осью и параметром нуль- системы. Поэтому положение оси спирально - винтового проецирования выбираем из следующих соображений. На несобственной плоскости имеется точка А00, которая соответствует этой плоскости в нуль - системе. Повернем пространство так, чтобы точка А° располагалась над нами «вертикально». В этом случае ось / - ось нуль - системы - также расположится вертикально и будет играть роль соп

00 ряженной поляры некоторой «горизонтальной» прямой а плоскости £ .

Винтовой поверхностью общего вида называют такую поверхность, которая образуется, когда произвольная кривая линия, принятая за образующую поверхности, вращается вокруг некоторой (постоянной) оси и в то же время движется вдоль этой оси на расстоянии, функционально связанным с углом поворота. В общем случае при этом получается винтовая поверхность аксиального перемещающего шага. Винтовая поверхность постоянного шага называется цилиндрической винтовой поверхностью. Поверхность вращения рассматривается как поверхность нулевого шага. Обобщением цилиндрического винта является конический винт. Надо отметить, что в литературе вопрос о коническом винтовом проецировании и его разновидностях исследован сравнительно мало, хотя в некоторых работах этот способ применен для построения сечения винтовых поверхностей [196,197].

Однако возможности конического винтового проецирования этим далеко не исчерпываются. Этот метод может быть применен для решения более сложных геометрических и технических задач, в частности, связанных с конструированием огибающих поверхностей [196].

Коническая винтовая линия при заданных значениях оси / и параметра р определяется по форме и положению тремя независимыми параметрами: углом Т'наклона образующей базового конуса к оси /, осевым смещением е и углом поворота конуса вокруг оси / (рис. III. 1)

Следовательно, в нашем распоряжении трехпараметрическое множество оо2) винтовых линий £,т.е. комплекс. о А е у ' Б

Рис. III. 1

Практически, на основе изложенных положений автором были решены конкретные технические задачи, оформлены авторскими свидетельствами и патентами на изобретения.

Так цилиндрические винтовые поверхности положены в основы изобретений по а. с. СССР №1255070 на "Винтовой режущий аппарат " и по а. с. СССР №1523718 на "Насос перистальтического типа".

Винтовой режущий аппарат содержит винтовой режущий элемент, соединенный своим валом с механизмом привода. Противорежущий элемент механизма выполнен в виде спирали, закрепленной в трубном корпусе, имеющем окна с режущими кромками [2], (см. приложение №11).

Насос перистальтического типа содержит корпус, в котором образован рабочий канал для перекачивания жидкости и установленные тороидальные деформированные приводные камеры, подключенные к многофазному источнику давления [3], (см. приложение № 12).

Особенно широкое практическое применение цилиндрических винтовых поверхностей открывается для резьбовых соединений.

Так по а. с. СССР №1703870 на "Резьбовые соединения" [4] решена техническая задача повышения прочности соединения за счет исключения разрывов и микротрещин.

Резьбовое соединение содержит соединяемые детали, в отверстия коротых вставлена втулка. Во втулке с радиальным натягом размещен стержень. Втулка выполнена с наружной резьбовой нарезкой и по крайней мере с одним разрезом