Нелинейное моделирование алгебраических кривых высших порядков в проектировании технических устройств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.01.01, кандидат технических наук Бабич, Владимир Николаевич

• Бабич, Владимир Николаевич
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Бабич, Владимир Николаевич

ЕВЕЩЕНИЕ.

I. КОНСТРУНТЙШСЧРИКЯДЦНЫЕ ВОПРОСЫ композиций косых

ПРОЕЦИРОВАНИЙ.

1.1. Конструирование нелинейных соответствий плоскости композицией косых отображений.

1.1.1. Композиция косых проецирований в случае несовпадения -точек последующего и предыдущего отображений в промежуточном поле.

1.1.2. Композиция косых проецирований в случае совпадения ^ -точки последующего и предыдущего отображений в промежуточном поле

1.2. Обобщение аппарата косого проецирования плоскости на плоскость для конструирования нелинейных соответствий в пространствах различной размерности.

1.2.1. Отображение 2-плоскостей друг на друга в 4-х мерном пространстве.

1.2.2. Отображение 2-плоскостей друг на друга в /2 -мерном пространстве.

1.3. Разработка алгоритма для автоматизации счета характеристик бирациональных соответствий плоскости.

1.4. Конструирование нелинейных преобразований плоскости с наперед заданными характеристиками.

1.4.1. Общие сведения о жонкьеровских преобразованиях.

1.4.2. Бирациональные преобразования плоскости с {71 - ^ )-1фатной * -точкой.

1.4.3. Пример получения бирационального преобразования плоскости с характеристикой типа 3, I2, 41.

ВЫВОДЫ.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ

ЭКВИДИСТАНТ ПЛОСКИХ КРИВЫХ.

2.1. Исследование взаимосвязей характеристик алгебраической кривой и ее эквидистанты.

2.1.1. К проективному образованию плоских алгебраических кривых.

2.1.2. Основные характеристики алгебраических кривых.

2.1.3. Общие сведения об абсолюте плоскости

2.1.4. Установление взаимосвязей мезду характеристиками эквидистанты и алгебраической кривой.

2.2. Анализ характеристик, вывод уравнений эквидистант некоторых алгебраических кривых.

2.2.1. Вывод уравнений эквидистант заданных алгебраических 1фивых.

2.2.2. Численное решение уравнений алгебраических кривых с помощью аналитического треугольника

2.3. Алгоритм построения эквидистанты плоского контура

2.3.1. Описание блок-схемы и алгоритма линейной аппроксимации.

2.3.2. Алгоритм построения эквидистанты плоского контура.

ВЫВОДЫ.

3. РАЗРАБОТКА КОНСТРУКЦИЙ НЕКОТОРЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

И МЕТОДИКА ВЫБОРА ИХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ.III

3.1. Разработка конструкции и выбор рациональных параметров тренажера "Постановка блока".ш

3.1.1. Описание конструкции тренажера "Постановка блока".

3.1.2. Моделирование траекторий полета мяча как сечений эквидистант конических поверхностей высших порядков.

3.2. К выбору рациональных параметров прямоточных клапанов.

3.3. Построение математической модели зависимости скорости утечки газа от давления и размеров щели клапана.

ВЫВОДЫ.

ЗАКШОЧЕНИЕ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейное моделирование алгебраических кривых высших порядков в проектировании технических устройств»

Актуальность теш исследования. Актуальной задачей современности является ускорение темпов научно-техничеокого процесса как решающего условия повышения эффективности общественного производства и улучшения качества выпускаемой продукции, В решениях 26 съезда КПСС, постановлениях партии и правительства, принятых в последние годы, науке отводится важная роль в решении этой ключевой проблемы современности. Отмечается, что одним из важнейших направлений развития научных исследований в области естественных и технических наук является расширение исследований по теоретическим и прикладным дисциплинам, в частности, по прикладной математике, направленных на совершенствование и эффективное применение в народном хозяйстве электронной вычислительной техники, оборудования с числовым программным управлением, развития робототехники, разработку и внедрение гибких переналаживащихся систем и т.д.

Накопленный за последние два-три десятилетия опыт конструирования сложных технических форм, эксплуатации оборудования с ЧПУ показывает, что методы прикладной геометрии, в частности, начертательной геометрии нашли широкое применение при разработке математических моделей технических форм, технологических процессов и т.п.

При этом геометрическими аналогами указанных математических моделей, как правило, являются поверхности высших порядков различных размерностей. В наотоящее время, в основном такие поверхности конструируются кинематическим способом и задаются каркасом образующих, законы изменения параметров которых определяются линиями, называемыми направляющими или параметроносителями. Такой способ задания поверхностей, отличаясь простотой и наглядностью, зачастую не дает информации о поверхности в целом Д порядок поверхности, наличие особых точек и линий). Последнее обстоятельство не позволяет прогнозировать свойства поверхностей. Например, при проектировании аэродинамических форм с целью получения выпуклых поверхностей в качестве образующих и направляющих выбирают дуги выпуклых кривых, но I в ряде случаев конструируемая поверхность оказывается двоякой кривизны, и,соответственно,ее сечения плоскостями общего положения будут невыпуклыми кривыми.

Большая вероятность получения невыпуклых сечений при таком способе конструирования технических поверхностей объясняется тем, что порядки конструируемых поверхностей существенно выше порядков их образующих и направляющих. Это справедливо даже для поверхностей, имеющих простой закон образования. Например, /77/, порядок поверхности параллельного переноса равен сумме порядков образующей и направляющей, порядок поверхности вращения в два раза выше порядка образующей, а порядок линейчатой поверхности равен удвоенному произведению порядков ее трех направляющих. Допустим, что в последнем случае, проекции направляющей некоторой технической линейчатой поверхности аппроксимированы обводом из кубических сплайнов. Тогда в общем случае сами направляющие будут представлять собой одномерные обводы из дуг пространственных кривых девятого порядка, а техническая поверхность будет представлять собой двумерный обвод из отсеков линейчатых поверхностей 2*9-9-9 = 1458-го порядка. Естественно,ее сечения плоскостями общего положения будут невыпуклыми.

Приведем еще один характерный пример, показывающий, что в широко применяемых математических моделях, на основе которых составляются управляющие программы воспроизведения кривых линий и поверхностей на станках с ЧПУ, скрыты кривые линии высших порядков. Как известно, при обработке плоских или пространственных контуров на станке с ЧПУ в управляющую программу вводится информация об эквидистанте этого контура. В работе /18/ выведена формула, связывающая порвдок эквидистанты с характеристиками кривой: например, порядок эквидистаяты кривой второго порядка находится в пределах от четырех до восьми, порядок эквидистанты кривой третьего порядка - в пределах от восьми до восемнадцати, а порвдок эквидистанты кривой четвертого порядка - в пределах от десяти до тридцати двух.

Таким образом, на основании вышесказанного, следует отметить, что в математических моделях технических форм, ряда технологических процессов в неявной или явной форме присутствуют кривые линии и поверхности высших порядков, сведения о которых в существующих справочниках отсутствуют. Поэтому с позиций разработки эффективного математического обеспечения автоматизированного проектирования и воспроизведения сложных технических форм актуальную проблему представляет собой конструирование, исследование и прогнозирование свойств алгебраических кривых высших порядков.

В решение этой проблемы или ее частных задач внесли существенный вклад специалисты в области начертательной геометрии A.B. Бубен-ников, К .И. Вальков, В.Я. Волков, И .И. Котов, В.Б. Михайленко, BJU Ооипов, B.C. Обухова, В.Н. Первикова, H.H. Рыжов, A.M. Тевлия, С Д. Фролов, П.В. Филиппов, Н.Ф. Четверухин, В.И. Якунин и многие другие. Следует отметить плодотворность применения для решения указанной проблемы методов нелинейной начертательной геометрии, развиваемой в СССР трудами З.А. Скопеца, И.С. Джапаридзе, А.Л. Подгорного, Г.С. Иванова, В.А. Пеклича и других.

Нелинейная начертательная геометрия, базирующаяся на проецировании прямых и кривых, алгебраическими многообразиями высших размерностей, теоно примыкает к бирациональной алгебраической геометрии, в частности, к теории нелинейных соответствий.

Нелинейные соответствия, порождаемые косыми проецированиями (проецированиями конгруэяциями прямых) между точками двух плоскостей, представляет удобный аппарат для конструирования и исследования кривых. Следует отметить, что при конструировании различных кривых с помощью косого проецирования можно ухе на стадии задания прообраза и аппарата проецирования прогнозировать появление особых точек, которые совпадают о фундаментальными точками соответствия в той или иной плоскости проекций. Характеристики соответствий определяют основные свойства конструируемых алгебраических кривых, к которым относятся порядок, жанр, количество особых точек и их кратность. В связи с этим, изучение характеристик возникающих между плоскостями бирациональных соответствий является необходимым предварительным этапом при исследовании и прогнозировании свойств алгебраических кривых.

Отметим, что характеристики бирациональных соответствий плоскости до сих пор подсчитаны лишь для соответствий до 21-го порядка. Это объясняется значительной трудоемкостью существующей методики их подсчета, основанного на решении так называемых уравнений существования /31, 32, 87/. Следует предположить, что применение методов нелинейной начертательной геометрии упростит эту процедуру, придаст ей наглядность и позволит автоматизировать процесс расчета указанных характеристик. Эта гипотеза была положена в основу теоретических исследований настоящей работы.

В прикладной части работы результаты теоретических исследований по конструированию алгебраических кривых высших порядков о заданными характеристиками были попользованы для решения ряда задач по заказам заинтересованных организаций. В частности, методика определения характеристик эквидистант данных кривых, вывод их уравнений, расчет координат их точек, разработка практически удобного способа конструирования эквидиотаят разрабатывались в рамках создаваемой кафедрой 905 МАИ в соответствии с х/д темой № 16120 системы автоматизированного проектирования технических поверхностей. Указанные разработки выполняются в соответствии с решениями Л 24 - I от 26 июня 1980 г. коллегии министерства авиационной промышленности СССР.

Цель работы.

Разработка методики конструирования, исследования и прогнозирования свойств рациональных алгебраических кривых высших порядков, базирующееся на методах нелинейной начертательной геометрии, как теоретической основы для проектирования технических кривых и поверхностей.

Цель исследования »сформулированная в работе, достигнута решением следующих основных задач: а) разработать методику получения характеристик алгебраических кривых высших порядков (рациональных), основанную на применении косых проецирований прямыми линейных конгруэнций; б) исследовать взаимосвязь характеристик кривых и их эквидиотаят, разработать на их основе практически удобные алгоритмы конструирований эквидастант; в) теоретические разработки по конструированию алгебраических кривых высших порядков использовать для математического моделирования взаимосвязи функционального, конструктивного и технологического параметров проектируемых технических устройств.

Методика выполнения работы.

Решение задач, поставленных в диссертации, базируется на нелинейных методах начертательной геометрии. Предложенный алгоритм вычисления характеристик бирациональных преобразований плоскости основан на их представлении в виде композиции квадратичных отображений, которые осуществляются косым проецированием прямыми Кг(1,1). Следует отметить, что возможность такого представления гарантирует известная теорема Нетер-Кастельнуово о том, что преобразование плоскости любого порядка можно представить в виде композиции квадратичных преобразований.

Установление взаимозависимости характеристик алгебраической кривой и ее эквидистантн, во избежание оперирования с мнимыми образами рассматривается в гиперболическом пространстве» Это придает рассуждениям наглядность. В отличие от формулы, выведенной в /18/ порядок эквидистантн выражен через количество и типы особых точек данной кривой, что упрощает использование полученной формулы.

При решении прикладных задач оообое внимание обращается на выявление геометрической сущности и их связи с теоретическими исследованиями, выполненными в работе.

Решение теоретических вопросов в основном выполнено, базируясь на методах алгебраической, проективной, исчислительной и начертательной геометрий!

Решение поставленных теоретических и прикладных задач осуществляется численными методами на ЭБМ ВС-1033. Обоснованность и достоверность полученных результатов и выводов подтверждается сравнением с извеотными теоретическими результатами, расчетами тестовых примеров и внедрением в реальное проектирование.

Научная новизна выполненного исследования, посвященного нелинейному моделированию алгебраических кривых высших порядков применительно к проектированию технических форм соотоит: а) в разработке формализованного метода расчета характеристик кремоновых преобразований плоскости, теоретической базой которого служит композиция косых проецирований прямыми гиперболической линейной конгруэнции; б) в реализации предложенного метода в виде программы на алгоритмическом языке ФОРТРАН-4 и подсчете на ЭВМ ЕС-ЮЗЗ характеристик бирациональннх преобразований плоскости до 27-го порядка включительно (характеристики преобразований до 22-го порядка были подсчитаны ранее), что эквивалентно проективной классификации плоских алгебраических кривых (рациональных) до 27-го порядка; в) в рассмотрении конструктивных вопросов квадратичного отображения двумерных плоекоотей друг на друга в п -мерном проективном пространстве, осуществляемого проецированием )-плоскостями конгруэнции Кг (1,1); г) в установлении зависимости порядка эквидистанты от характеристик (порядок, число и виды оообых точек, инцидентность циклическим точкам, касание несобственной прямой) данной кривой и разработке практически удобного алгоритма конструирования эквидистант плоских кривых.

Практическая ценность выполненного исследования заключается в разработке методик, математических моделей, алгоритмов и программ конструирования и расчета алгебраических кривых высших порядков и поверхностей, несущих каркас таких кривых, с целью моделирования сложных технических форм. В частности, решены следущие четыре задачи, имеющие значимость для теории преобразований и теории алгебраических кривых, инженерной практики и спорта:

1) программа расчета характеристик бирациональннх преобразований плоскости и таблица характеристик для преобразований до 27-го порядка включительно, проективный классификатор рациональных алгебраических кривых до 27-го порядка включительно;

2) блок-схема и программа построения эквидистанты плоского контура, обеспечивающие при заданной точности воспроизведение получение минимального числа опорных точек;

3) разработана конструкция тренажера "Постановка блока", функциональный узел которого представляет собой механическую реализацию эквидиотант парабол второго и третьего порядков с переменными параметрами;

4) построена математическая модель скорости утечки газа от параметров клапана и давления в цилиндрах компрессора как алгебраической поверхности шестого порядка для рационального выбора параметров клапана с целью минимизации потерь.

На защиту вынооится методика нелинейного моделирования плоских кривых (алгебраических) высших порядков применительно к математическому моделированию сложных технических форм, включающая:

- метод расчета характеристик бирациональных преобразований плоокости, основанный на композиции квадратичных отображений и отличающийся от известного способа решения систем уравнений существования наглядностью, простотой и формализуемостью;

- формула для определения порядка эквидистанты, выражаемого через характеристики данной кривой; блок-схема и программа счета координат минимального числа опорных точек эквидистанты плоокого контура, обеспечивающие воспроизведения последнего с наперед заданной точностью; конструкция тренажера "Постановка блока", функциональный узел которого представляет механическую реализацию эквидиотант парабол с переменными параметрами;

- математическая модель многофакторной зависимости для рационального выбора параметров компрессорных клапанов конструкции СГИ.

Реализация результатов исследования.

Разработанная конструкция тренажера "Постановка блока" внедрена в тренировочный процесс команд высшей лиги по волейболу "Уралочка" и "Малахит" (г. Свердловск).

Предложенная методика рационального выбора параметров прямоточных клапанов конструкции СГИ попользована в проектной разработке филиала № 3 Государственного проектного и научно-исследовательского института "ПРОМНИИПРОЕКТ". Конструкции указанных клапанов внедрены в ШО "Химпром" им. С.М. Кирова с экономическим эффектом 155787 руб. и УНПЗ им. 22 партсъезда Миннефтепрома СССР с экономическим эффектом 10000 руб.

Аппробация работы.

Основные результаты диссертационной работы были доложены и обсуждены:

1. На "Межзональном научно-методическом совещании-семинаре заведующих кафедрами и ведущих лекторов по начертательной геометрии и инженерной графике ВУЗов Волго-Вятской, Центрально-черноземной и Поволжской зон", г, Йошкар-Ола, 1982 г.

2. На научно-технических конференциях Свердловского горного института, г. Свердловск, 1982, 1983 гг.

3. На Всесоюзной научно-методической конференции "Научно-методические основы использования ТСО, ЭВМ и САПР в учебном процессе общеинженерных дисциплин", г. Москва, МАИ, 1983 г.

4. На Всесоюзном семинаре "Кибернетика графики", г. Москва, 1984 г.

5. На совещании-семинаре по алгебраической геометрии, организованной математическим институтом им. Стеклова, МГУ, ЯГПИ, г. Ярославль, 1984 г.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 7 научных работ, материалы исследования включены в три технических отчета по х/д НИР 23/101-81 СГИ и 8I0I4249 МАИ, в которых достаточно полно освещены теоретические и прикладные вопросы проведенных в диссертации исследований.

Структура и объем работы.

Диссертация соотоит из введения, трех глав, заключения, библиографии 91 наименований и содержит стр. машинописного текста, 26 рис., 3 табл.

Первая глава посвящена разработки методики расчета характеристик бирациональных соответствий плоскости, получаемых цепью косых проецирований с целью их использования при конструирования, исследовании и прогнозировании свойств алгебраических кривых высших порядков и поверхностей, несущих каркас таких кривых.

Во второй главе проводится исследование взаимосвязей характеристик алгебраических кривых и их эквидистант. Выведены уравнения экви-дистант кривых, используемых в самолетостроении в соответствии с комплексной целевой программой ГКНТ, АН СССР оц. 027 по договору I90I0 - 09050, а также дальнейшему исследованию и разработке на их основе практически удобных алгоритмов расчета эквидистант.

В третьей главе, на основании результатов, полученных в предыдущих двух главах, рассматриваются решения конкретных инженерных задач.

- 15

I. КОНСТРУКТИШО-ШШВДЖ ВОПРОСЫ КОМПОЗИЦИЙ КОСЫХ

ПРОЕЦИРОВАНИЙ

Как известно, классические методы начертательной геометрии (центральное проецирование, ортогональное проецирование и др.) позволяют отображать прямые линии в виде прямых. Такие методы называются линейными. Изучением свойств фигур, инвариантных относительно колли-неаций, занимается проективная геометрия / 7,10,15,21,23,38,39,44, 49,67 /.

В теории нелинейных соответствий большое значение имеют обобщенные методы отображений (косое проецирование, стереографическое проецирование и др.), при которых прямые изображаются кривыми /1,4, 14,19,20,29,37,57,59,72,87,88, 90 /. При задании бирациональных (кремоновых) соответствий между двумя несовмещенными полями удобно пользоваться косым проецированием двупараметрическим множеством прямых линий, составляющих различные конгруэнции первого порядка и класса/т?/5б, 87, 90/.

При конструировании и задании различных плоских контуров и отсеков поверхностей о помощью бирациональных соответствий можно уже на стадии задания прообраза и аппарата проецирования, заранее прогнозировать особенности кривой в фундаментальных точках. Характеристики бирациональных соответствий плоскости определяют основные свойства алгебраических кривых, к которым относятся порядок, жанр, количество особых точек и их кратность. Поэтому изучение характеристик бирациональных соответствий плоскости является актуальной задачей для исследования и прогнозирования свойств алгебраических кривых (гомалоидов), получаемых с помощью нелинейных соответствий плоскости.

В связи с вышеизложенным задачей настоящей главы является разработка методики расчета характеристик бирациональннх соответствий плоскости, получаемых цепью косых проецирований с целью их использования при конструировании, иооледовании и прогнозировании свойотв алгебраических кривых высших порядков и поверхностей, несущих каркас таких кривых.

Заключение диссертации по теме «Инженерная геометрия и компьютерная графика», Бабич, Владимир Николаевич

Выводы

В этой главе, посвященной разработке конструкций двух технических устройств и методике выбора их рациональных Парамонов были получены следующие результаты,

1. Разработана и внедрена конструкция тренажера "Постановка блока" на основе теоретических результатов, полученных в первых двух главах.

2. Предложена конструктивная модель выбора параметров тренажера "Постановка блока" на основе эквидистантных поверхностей, направляющими которых являются конические поверхности.

3. Проведены экспериментальные исследования герметичности прямоточных клапанов, которые являлись исходными данными для получения математической модели рационального выбора скорости утечки газа от величины давления компрессора и размеров входной щели клапана.

4. Получена математическая модель зависимости скорости утечки газа от давления и размеров клапана для рационального выбора их параметров, описываемое уравнением (3.15) шестого порядка, что позволяет минимизировать ^¿У с целью увеличения а??

КОД клапана.

Предложенная методика рационального выбора параметров прямоточных клапанов конструкции ОТ! (п. 3.3) использована в проектной разработке филиала В 3 Государственного проектного и научно-исследовательского института "ПРОМНИИПРОЖТ".

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе, посвященной разработке методики конструирования, исследования и прогнозирования свойств рациональных алгебраических кривых высших порядков были получены следующие научные и практические результаты:

1. С целью нелинейного моделирования алгебраических кривых высших порядков рассмотрены конструктивные модели и исследованы свойства квадратичных точечных отображений двух плоскостей друг на друга в пространствах различной размерности. Доказано, что в

-мерном проективном пространстве, косое проецирование точек

2-плоскостей друг на друга сводится к их взаимному отображению

3-плоскостями в пятимерном проективном цространстве.

2. Предложен алгоритм вычисления характеристик бирациональ-ных соответствий высших порядков, основанный на их представлении в виде композиции квадратичных отображений, осуществляемых проецированием прямыми гиперболической линейной конгруэнции Кг(1,1). Этот алгоритм реализован в виде программы на языке ФОРТРАН-4 и на ЭВМ ЕС-1033. Впервые получены характеристики бирациональных соответствий с 22-го по 27-ой порядки.

3. Составлен проективный классификатор рациональных алгебраических кривых до 27-го порядка, содержащий следующие параметры: порядок кривой, число и кратность особых точек, дополнительное к кратным точкам число простых точек, однозначно определяющих данную кривую.

4. С целью конструирования алгебраических кривых высших порядков, предназначенных для аппроксимации широкораспространенных технических кривых, разработаны конструктивные модели получения характеристик бирациональных соответствий плоскости, имеющих фундаментальные точки кратности (^-'¿{Л'ф.

5. Выведена формула для подсчета порядка эквидистанты как функции от основных параметров данной алгебраической кривой. Показано, что порядок 71? экввдистанты алгебраической кривой п -го порядка равен =2(л*-2с/- зг - // где и - число двоичных точек (узловых или изолированных) алгебраической кривой; г* - число точек возврата алгебраической кривой; / - число точек касания кривой с несобственной прямой и (или) число инциденций, циклическим точкам.

6. Разработан алгоритм расчета минимального числа опорных точек эквидистанты плоского контура, обеспечивающий заданную точность его воспроизведения, исключение явления "подреза", прогнозирование зон "недореза" при известном значении радиуса фрезы.

7. На основе проведенных экспериментальных исследований герметичности прямоточных клапанов получена математическая модель зависимости скорости утечки газа как функции от параметров клапана в виде моноидальной алгебраической поверхности шестого порядка. Математическая модель использована для определения рабочего параметра (длины щели) клапана, обеспечивающего минимальные потери.

8. Разработана конструкция тренажера "Постановка блока", фундаментальный узел которого представляет собой механическую реализацию эквидистант парабол второго и третьего порядков с переменным параметром.

9. Результаты диссертационной работы внедрены на трех предприятиях. Суммарный экономический эффект от внедрения прямоточного клапана конструкции СГИ и методики рационального выбора его параметров составляет 165787 рублей, что подтверждается соответствующими актами и расчетами экономической эффективности.

Разработанная конструкция тренажера "Постановка блока" внедрена в тренеровочный процесс команды высшей лиги по волейболу среди женщин "Уралочка" (г. Свердловск).

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Бабич, Владимир Николаевич, 1984 год

1. Агафонов Г. Л. Косая перспектива в пятимерном проективном пространстве. Ученые записки Ярославского пединститута, вып. 61. - Ярославль, 1967. - с. 3-8.

2. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии М.: Мир, 1968. 912 с.

3. Бабич В.Н.,' Иванов Г. С., Пеклич В.Н., Суняйкин Г.Н. Вычисление характеристик кремоновых преобразований плоскости с помощью ЭВМ. В печати. Юбс.

4. Бабич В.Н. К исследованию характеристик кремоновых преобразований с фундаментальными точками высших кратностей. В печати.

5. Болтянский В.Г. Огибающая. М.: ГИФМЛ, 1961. - 76 с.

6. Вальков К. И, Лекции по основам геометрического моделирования. -Л.: Наука. 1975.

7. Волков В.Я. Теория параметризации и моделирования геометрических объектов многомерных пространств и ее приложения. Автореферат докт. дисс. М.: 1983.

8. Волков В.Я. О методике конструирования алгебраических многообразий многомерных пространств. Тезисы докладов межзонального науч.-метод, совещания-семинара заведующих кафедрами и ведущих лекторов по начертательной геометрии и инженерной графике

9. ВУЗов Волго-Вятской, Центрально-Черноземной и Поволжской зон, Йошкар-Ола.: МПИ, 1982. с. 119.

10. Вольберг O.A. Основные идеи проективной геометрии М.: ГТТИ, 1948. 194 с.

11. Виро О.Я. Склеивание алгебраических гиперповерхностей, устранение особенностей и построение кривых. Труды Ленинградской межд. топологической конф. Л.: Наука, 1983. - с. 149-197.

12. Виноградов В. Л. Расслояемые кремоновы преобразования пространств . Автореферат канд. дисс.: Ярославль: ЯГПИ, 1972.

13. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. - 512 с.

14. Герасимова И.С. Получение квадратичного кремонова преобразования пространства посредством косого проецирования в 4-х мерном пространстве. Ученые записки ЯГПИ. Вып. 57. Ярославль: 1977. - с. 19-21.

15. Гильберт Д., Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981. - 344 с.

16. Гирш А.Г. Построение обводов линий и поверхностей методами интерполяции и аппроксимации. Автореферат канд. дисс. М.: МИ, 1972.

17. Гизатуллин М.Х. Определение соотношения для кремоновой группы плоскости. Известия АН СССР, том 46, № 5. М.: 1982.с. 709-770

18. Гончаров К.В. Геометрические преобразования к исследованию отраженных волн в сейсморазведке. Автореферат канд. дисс. М.: МАИ, 1975.

19. Григоров Хр., Скопец З.А. Об одной нелинейной плоской модели пространства. Ученые записки ЯГПИ, вып. 92. Ярославль:1. ЯШИ, 1971. с. 53-62.

20. Григоров X., Пеклич В.А. Кремоновы соответствия между двумя плоскостями как результат последовательных проектирований конгруэнциями прямых. Годишник на ВТУЗ, Математика, т. 8, кн. 2.- София, 1973. с. 62-68.

21. IVpeBH4 Г.Б. Проективная геометрия. М.: i960 - 320 с.

22. Данилова H.H. Иванов Г.С. Конструирование ассоциированных линейчатых поверхностей. Научные труды МЛТИ, вып. 54. М.: МЛТИ, 1973. - с. 5-8.

23. Джапаридзе И.С. Модели трехмерного проективного пространства, порождаемые комплексами проективных преобразований плоских полей. Тбилиси: Труды ГПИ, J& 3 (101), 1965.

24. Джапаридзе И. С. Конструктивные модели отображения проективных преобразований пространства. Тбилиси: ГПИ, 1964 - 127 с.

25. Джапаридзе И.С. Начертательная геометрия в свете геометрического моделирования. Тбилиси: Ганатлеба, 1983. - 208 с.

26. Ермаков A.B., Иванов Г.С. О моделировании алгебраических поверхностей специального вида центральными кремоновыми преобразованиями. Научные труды МЛТИ, вып. 54. М.: МИТИ, 1973.- с. 67-79.

27. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1978. 576 с.

28. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970. - 528 с.

29. Зайденварг М.А. Упрощение некоторых видов сложных поверхностей нелинейным преобразованием. Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. II. Киев,: 1970. - с. 21-24.

30. Зейлигер Д.Н. Комплексная линейчатая геометрия. Л.-М.: ГТТИ, 1934. - 195 с.

31. Иванов Г.С. Кремоновы преобразования плоскости и пространства. Научные труды МЛТИ, вып. 39. М.: МЛТИ, 1971.- с. 85-119.

32. Иванов Г.С. Бирациональные цреобразования в моделировании поверхностей. М.: МАИ, 1984. - 45 с.

33. Иванов Г.С., Канакбаев К.К. Анализ способов конструирования одномерных динамических обводов точек. Труды МАИ, № 229, вып. 7. М.: МАИ, 1971. -с. 8-II.

34. Иванов Г.С. К вопросу моделирования алгебраических поверхностей центральными кремоновыми преобразованиями. Сб. трудов МЛТИ, вып. 54. М.: МЛТИ, 1973. - с. 80-91.

35. Иванов Г.С. Жонкьеровские цреобразования плоскости в приложении к конструированию обводов. Материалы научно-технической конференции ф-та ОИП МАИ. М.: 1970.

36. Иванов Г.С. Некоторые конструктивные вопросы центрального квадратичного цреобразования. Сб. трудов ПЛТИ, № 58, вып. 2.- Йошкар-Ола, 1968.

37. Клейн Ф. Высшая геометрия. М.-Л.: ГОНТИ, 1939. - 400с

38. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М.: Просвещение,1966.

39. Комиссарук A.M. Основы аффинной геометрии на плоскости.- Минск: Высшая школа, 1967. 296 с.

40. Котов И.И. Аналитическая геометрия в пространстве и начертательная геометрия поверхностей. М.: МАИ, 1968. - 147 с.

41. Котов И.И., Якунин В.И., Иванов Г.С. Учебное пособие по начертательной геометрии на базе ЭВМ. Часть 2. М.: МАИ, 1977. - 53 с.

42. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971,- 432 с.

43. Михайленко Б.Е., Обухова B.C., Подгорный А.Л. Формообразование оболочек в архитектуре. Киев: Будивельник, 1972. -208с44» Михайленко В.Е. Прикладная геометрия архитектурных оболочек. Автореферат докт. дисс. Киев: 1971.

44. Лузин H.H. Дифференциальное исчисление. М.: Советская наука, 1946. - 452 с.

45. Млодзиевский Б.К. К таблицам кремоновых чисел первых 21 порядка. М.: Математический сборник Je 31, 1922. - 24 с. 58-77.

46. Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. М. - Л.: ОГИЗ, 1947. - 644 с.

47. Мчедлишвили Е.А. Методы изображений. Тбилиси, : ГНИ,1974.

48. Мчедлишвили Е.А. Проективная геометрия и плоскостное отображение пространства. Тбилиси,: ТГУ, 1974. - 267 с.

49. Наумович Н.В. Комплексный чертеж -мерного пространства и его применение. Труды конференции по прикладной геометрии ВУЗов Северного Кавказа. Новочеркаск, 1967.

50. Норден А.П. Теория поверхностей. М.: Гостехиздат, 1956. - 260 с.

51. Осипов В.А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей. М.: Машиностроение, 1979. - 248 с.

52. Осипов В.А. Вопросы конструирования и программирования обработки плоских и пространственных обводов. Труды Московского сем. по Н.Г. и инженерной графике, вып. 2. М.: МАИ, 1963.

53. Обухова B.C. Синтетические методы конструирования алгебраических поверхностей высших порядков. Прикладная геометрия и инженерная трафика, вып. 12. Киев: Будивельник, 1971.

54. Обухова B.C. Синтетические способы построения алгебраических кривых. Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. II. Киев: Будивельник 1970. - с. 32-39.

55. Подгорный А.Л. Геометрическое моделирование пространственный конструкций. Автореферат докт. дисс. Киев: КИСИ, 1975.

56. Пеклич В.А. Об одном нелинейном преобразовании пространства прямых. Украинский геометрический сборник, вып. 13.- Харьков: ХПИ, 1973.

57. Пеклич В.А. Проектирование 4-х мерного цространства из двух одномерных центров, сб. трудов НВИИ, В 6. Красноярск: НВИИ, 1970.

58. Пеклич В.А. Об одной гиперсети прямых в , сб. трудов ЖГИ, вып. 39. M.s МЛТИ, 1971.

59. Первикова В.Н. Основы многомерной начертательной геометрии. ч. I. М.: Наука, 1976.

60. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. т. I. М.: Наука, 1964. - 544 с.

61. Попов И.А. Об одном способе построения алгебраических кривых, сб. статей по алгеб. геометрии 2. Л., 1932.

62. Погорелов A.B. Геометрия. М.: Наука, 1983. - 288 с.

63. Платонов В.А. Уравнение с шестью неизвестными. М.: М.Г., 1983. - 240 с.

64. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.- Л.: ГОНТИ, 1938. 336 с.

65. Розенфельд Б.А. Многомерные цространства. М.: Наука, 1966.

66. Рыжов H.H. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей, сб. Математика, прикладная геометрия, т. 26, вып. 3. М.: Труды УДН, 1967. - с. 2-16.

67. Савелов A.A. Плоские кривые. М.: Физматгиз, I960. - 293 с.

68. Скопец З.А., Тихомиров A.C. Инволюция ассоциированных прямых в 4-х мерном проективном пространстве. Межвузовский республиканский сб., вып. 3. Л.: 1975.

69. Солоненко М.П. Теоретические и конструктивные вопросы некоторых многозначных соответствий и их технические цриложения. Автореферат канд. дисс. М.: 1970.

70. Смогоржевский A.C., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. М.: Физматгиз. 1961. - 264 с.

71. Солоненко М.П., Тевлин A.M. Спирально-винтовое проецирование, сб. Кинематические методы конструирования технических поверхностей, вып. 213. М.: МАИ. 1970.

72. Семендяев К.А., Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука, 1983. - 721 с.

73. Станков А.Н. О задании преобразований трехмерного цро-странства. Вопросы прикладной математики и геометрического моделирования. Л.: ЛИСИ, 1973.

74. Станков А.Н. Конструктивный способ задания кремоновых преобразований 4-х мерного пространства и моделирование их на плоскости. Вопросы геометрического моделирования. Л.: ЛИСИ, 1973. - с. 88-98.

75. Тарасенко В.А. Вопросы автоматизации расчета и воспроизведения некоторых квазиэквидистантных поверхностей. Автореферат канд. дисс. М.: 1974.

76. Курс начертательной геометрии на базе ЭВМ под редакцией Тевлина A.M. М.: Высшая школа, 1983. - 175 с.

77. Уокер Р. Алгебраические кривые. М.: Иностранная литература, 1952. - 236 с.

78. Филиппов П.Б. Многомерная начертательная геометрия и ее применения. Л.: Наука, 1979. - 298 с.

79. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. М.: Мвр, 1982. - 304 с.

80. Федоров A.B., Иванов Г.С., Боровиков И.Ф. Построение математической модели влияния ионной имплантации на характеристики сопротивления усталости. Поверхность. Физика, химия, механика. M.s АН СССР, вып. I, 1984. с. 69-71.

81. Фролов С.А. Методы преобразования ортогональных проекций. М.: Машгиз, 1963. - 144 с.

82. Фролов П.П. Справочное руководство по коспрессорному хозяйству. М.: Госгортехиздат, 1963. - 196 с.

83. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1969. - 367 с.

84. Штофов В.Ф. Эквидистанты линий, лежащих на двумерных обводах. Автореферат канд. дисс. М.: 1980.

85. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного цроектщювания технических поверхностей. М.: МАИ, 1980. - 86 с.87. ^¿/dsc/7 //.Я Сге/гголл rrans/cr/na-tions ¿п pZasi and space.— ¿¿mdan. ■ fart^rzatye, ^/7.

86. SS. tfey? Jie fametrie der /аде. 3d /,¿,3.- Zezpzijr,333 ¿?.

87. SammernlZe ЛНК ¿ntr^i/c^rz to Мзо/ А/ dimensions. ¿яле/ял, ^m Semote j Jx^oivcfiorr ifr я/жёг-а/су20Л7р£гу. — ffxfard, 443s. ^

88. M /fene a'?r з^згтзп я'/узбглг'¿еЛзп Xi/гирп. ¿e/pzzy.- £3scA?/7sr/7£' ^¿'^¿^/'¿z77^/1/77^, /St7S. —3/3A