Формообразование линий и поверхностей на основе кривых второго порядка в компьютерном геометрическом моделировании тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.01.01, доктор наук Короткий Виктор Анатольевич

• Короткий Виктор Анатольевич
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Короткий Виктор Анатольевич

Введение

Глава 1. Аналитический обзор исследований в области применения кривых второго порядка к решению конструктивных задач геометрического моделирования

1.1 Методы построения кривых второго порядка на расширенной евклидовой плоскости

1.2 Применение КВП в конструировании поверхностей

1.3 Поверхности второго порядка в задачах компьютерного геометрического моделирования

1.4 Квадратичные бирациональные преобразования в задачах компьютерного геометрического моделирования

1.5 Цель диссертационного исследования

Выводы к главе

Глава 2. Построение аффинно-метрических характеристик КВП, заданной действительными точками и действительными касательными

2.1 Проективные алгоритмы построения АМХ КВП

2.2 Классификатор специализаций

2.3 Построение КВП по пяти точкам (модуль 1)

2.3.1 Построение инволюции сопряженных диаметров

2.3.2 Построение главных осей и асимптот

2.3.3 Построение вершин

2.4 Построение КВП по пяти касательным (модуль 2)

2.4.1 Все касательные - собственные (специализация 4)

2.4.2 Одна из касательных - несобственная (специализация 5)

2.5 Построение КВП по четырем точкам и касательной (модуль 3)

2.5.1 Данная прямая инцидентна одной из данных точек

(специализации 6-11)

2.5.2 Данная прямая не инцидентна данным точкам

(специализации 12-15)

2.6 Построение КВП по четырем касательным и точке (модуль 4)

2.6.1 Данная точка инцидентна одной из данных касательных

(специализации 16-19)

2.6.2 Данная точка не инцидентна ни одной из касательных

(специализации 20-22)

2.7 Построение КВП по трем точкам и двум касательным (модуль 5)

2.7.1 Данные касательные инцидентны данным точкам

(специализации 23-28)

2.7.2 Данные касательные не инцидентны данным точкам (специализации 29-39)

2.8 Построение КВП по трем касательным и двум точкам (модуль 6)

2.8.1 Данные точки инцидентны данным касательным

(специализации 40-44)

2.8.2 Данные точки не инцидентны данным касательным

(специализации 45-53)

2.9 Программное средство «Компьютерный коникограф»

2.9.1 Структура программного средства «Компьютерный коникограф»

2.9.2 Программный модуль «Построение КВП по пяти точкам»

2.9.3 Программный модуль «Построение КВП по пяти касательным»

2.9.4 Модуль «Построение КВП по трем точкам и двум касательным»

2.9.5 Модуль «Парабола по четырем касательным»

2.9.6 Подмодуль «Коника»

2.9.7 Подмодуль «Гипербола»

2.9.8 Подмодуль «Эллипс»

2.10 Применение программы «Компьютерный коникограф» для точного вычерчивания КВП

2.10.1 Построение КВП по пяти точкам

2.10.2 Построение КВП по пяти касательным

2.10.3 Построение КВП по трем точкам и двум касательным

2.10.4 Построение параболы по четырем касательным

2.10.5 Построение параболы по четырем точкам

Выводы к главе

Глава 3. Построение кривой второго порядка, проходящей

через мнимые точки и касающейся мнимых прямых

3.1 Графическое представление мнимых элементов и конструктивные построения с их участием

3.2 Дополнительный классификатор

3.3 Построение КВП по пяти точкам, две из которых мнимые (специализация 11)

3.4 Построение КВП по пяти касательным, две из которых мнимые (специализация 12)

3.5 Построение КВП по пяти точкам, четыре из которых мнимые (специализация 21)

3.6 Построение КВП по пяти касательным, четыре из которых мнимые (специализация 22)

3.7 Построение КВП по действительной касательной и четырем точкам, две

из которых мнимые (специализация 31)

3.8 Построение КВП, заданной действительной точкой и четырьмя касательными, две из которых мнимые (специализация 32)

3.9 Построение КВП, заданной действительной касательной и четырьмя мнимыми точками (специализация 41)

3.10 Построение КВП, заданной действительной точкой и четырьмя мнимыми касательными (специализация 42)

3.11 Построение КВП, заданной тремя действительными точками и двумя мнимыми касательными (специализация 51)

3.12 Построение КВП, заданной тремя действительными касательными и двумя мнимыми точками (специализация 52)

3.13 Построение КВП, заданной действительной точкой, двумя мнимыми точками и двумя мнимыми касательными (специализация 61)

3.14 Построение КВП, заданной действительной касательной, двумя мнимыми точками и двумя мнимыми касательными (специализация 62)

3.15 Построение КВП, заданной действительной точкой, двумя мнимыми точками и двумя действительными касательными (специализация 71)

3.16 Построение КВП, заданной действительной касательной, двумя мнимыми касательными и двумя действительными точками (специализация 72)

3.17 Частные случаи инцидентности вещественных и мнимых точек

и касательных

Выводы к главе

Глава 4. Кривые второго порядка в моделировании

поверхностей

4.1 Кинематический способ конструирования поверхностей с применением КВП в качестве образующих

4.2 Эллиптический купол на треугольном или четырехугольном опорном контуре

4.2.1 Поверхность на четырехугольном контуре

4.2.2 Поверхность на треугольном контуре

4.3 Компьютерное геометрическое моделирование поверхностей второго порядка

4.3.1 Построение квадрики, проходящей через девять данных точек

4.3.1.1 Постановка задачи

4.3.1.2 Алгоритм Rohn-Papperitz

4.3.1.3 Алгоритм J.H. Engel

4.3.1.4 Компьютерный вариант алгоритма J.H. Engel

4.3.1.5 Построение главных осей квадрики

4.3.1.6 Графический эксперимент (на примере эллипсоида вращения)

4.3.2 Конструирование плоского соединения фокальных квадрик

4.3.3 Плоское соединение параболических цилиндров

Выводы к главе

Глава 5. Геометрическое моделирование поверхности

посредством ее отображения на четырехмерное пространство

5.1 Компьютерное моделирование фигур четырехмерного пространства

5.1.1 Инварианты ортогонального проецирования в E4

5.1.2 Примеры моделирования фигур четырехмерного пространства на трехмерном гиперэпюре

5.2 Выход в четырехмерное пространство как способ конструирования

поверхностей

5.2.1 Постановка задачи и схема ее решения

5.2.2 Алгоритм построения поверхности в четырехмерном пространстве

5.2.3 Оценка влияния управляющих параметров

5.2.4 Пример конструирования поверхности на четырехзвенном контуре

5.2.5 Сравнение с прогрессическим ключевым способом

5.2.6 Поверхность на трехзвенном контуре

5.2.7 Компьютерная визуализация поверхностей

четырехмерного пространства

Выводы к главе

Глава 6. Вопросы теории и практического применения квадратичных кремоновых преобразований в задачах компьютерного

геометрического моделирования

6.1 Построение фундаментальных точек квадратичного кремонова преобразования, заданного семью парами соответственных точек

6.1.1 Вспомогательная задача

6.1.2 Конструктивный алгоритм решения задачи реконструкции

6.1.3 Экспериментальная графическая проверка алгоритма

6.2 Квадратичное кремоново соответствие плоских полей, заданное мнимыми фундаментальными точками

6.2.1 Квадратичное соответствие с мнимыми фундаментальными точками (постановка задачи)

6.2.2 Вспомогательные теоремы

6.2.3 Преобразование Гирста

6.2.4 Универсальный алгоритм построения соответственных точек

в квадратичном кремоновом преобразовании

6.2.5 Пример конструктивной реализации универсального алгоритма

6.3 Квадратичные кремоновы преобразования в задаче конструирования динамических обводов (пример)

6.3.1 Преобразование Гирста как обобщенная инверсия

6.3.2 Образ окружности в обобщенной инверсии

6.3.3 Графоаналитический алгоритм Г.С.Иванова

6.3.4 Проверка решения методом графического дифференцирования

Выводы к главе

Глава 7. Конические сечения и поверхности второго порядка

в конструктивных задачах начертательной геометрии

7.1 Соприкосновение кривых второго порядка

7.1.1 Пучок коник с двумя совпавшими базисными точками

7.1.2 Основная теорема для пучка коник с двумя совпавшими базисными точками

7.1.3 Примеры применения основной теоремы

7.2 Двойное соприкосновение поверхностей второго порядка

7.2.1 Действительные и мнимые элементы в пучке квадрик

7.2.2 Основные теоремы для случая двойного соприкосновения квадрик

7.3 «Компьютерный коникограф» как графический инструмент для конструктивного решения задач начертательной геометрии

7.3.1 Гомология двух непересекающихся конических сечений

7.3.2 Преобразование двух конических сечений в две окружности

7.3.3 Преобразование пучка КВП в пучок окружностей

7.3.4 Задача Аполлония и задача четырех шаров

7.3.5 Задача о трансверсалях (конструктивное решение)

Выводы к главе

Глава 8. Исследование приложений разработанных методов к решению

практических задач

8.1 Исследование кинематических схем подъемно-транспортных механизмов пожарной спецтехники средствами компьютерного геометрического моделирования

8.2 Моделирование движения рабочего тела в проточной части паровой микротурбины средствами компьютерной графики

8.3 Геометрическое моделирование каркасно-сетчатых оболочек, образованных прямыми линиями и кривыми второго порядка

8.4 Геометрическая модель диффузора дымовых труб

8.5 Установка фланцев и соединение специальных емкостей

с помощью плоских сварных швов

Выводы к главе

Основные результаты диссертационного исследования

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

Приложения

Приложение 1. Акт внедрения части результатов диссертационной работы, относящихся к автоматизированному построению кривых второго порядка, на предприятии «Урало-Сибирская пожарно-техническая компания», г. Ми-

асс

Приложение 2. Акт внедрения проекта двояковыпуклой поверхности, содержащей прямолинейные образующие, в ООО «Контроль и экспертиза», г. Челябинск

Приложение 3. Технический акт внедрения результатов диссертационной работы на предприятии ООО НПП «Сварка-74», г. Челябинск

Приложение 4. Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ

Приложение 5. Заключение Межрегионального Совета по науке и техноло- ^^

гиям, г. Миасс

Приложение 6. Заявка на грант Фонда содействия инновациям

(информация о проекте)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формообразование линий и поверхностей на основе кривых второго порядка в компьютерном геометрическом моделировании»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Развитие графических САПР, базирующихся на методах вычислительной геометрии, зачастую приводит к полному или частичному исключению классических методов начертательной и проективной геометрии из арсенала конструктора-проектировщика.

Одним из препятствий к совмещению проективных и компьютерных методов геометрического моделирования в графически ориентированных САПР является невозможность построения кривой второго порядка, заданной произвольным наперед указанным набором пяти линейных инциденций (точек и касательных) - собственных или несобственных (бесконечно удаленных), вещественных или мнимых.

Вплоть до восьмидесятых годов ХХ века разрабатывались и патентовались механические устройства-коникографы для вычерчивания конических сечений. С появлением средств компьютерной графики на смену механическим чертежным приборам пришел электронный кульман и САО-САМ-САЕ технологии сквозного проектирования.

Но при этом так и не появился электронный аналог механических коникогра-фов. В прикладных графических пакетах применяются полиномы третьего и более высоких порядков, но не предусмотрено вычерчивание кривых второго порядка (КВП), проходящих через заданные точки и касающихся данных прямых. Вместе с тем, современные аппаратные и программные средства компьютерной графики позволяют конструктивно реализовать любые, самые сложные алгоритмы, в том числе проективные графические схемы построения КВП. В связи с этим возникает актуальная проблема классификации, разработки и конструктивной реализации на ЭВМ алгоритмов построения кривой второго порядка, заданной любым внутренне непротиворечивым набором вещественных и мнимых точек и касательных.

Кривые второго порядка играют особую роль как в физике и математике, так и в технических приложениях, в частности - в теории бирациональных (кремоно-вых) преобразований, представляющих собой эффективный аппарат геометриче-

ского моделирования. Актуальность разработки и компьютерной реализации алгоритмов построения КВП определяется не только широким применением этих кривых при конструировании геометрических форм, машин и механизмов, но и необходимостью диалектического сочетания достоинств аналитических и синтетических инструментов и методов при решении задач геометрического моделирования.

Проведенный анализ позволил выделить три взаимосвязанных актуальных направления научного поиска: A) разработка математического аппарата построения аффинно-метрических характеристик (АМХ) кривых второго порядка, удовлетворяющих как вещественным, так и мнимым краевым условиям; B) практическое применение КВП в конструктивных задачах компьютерного геометрического моделирования; C) методы конструктивной реализации на ЭВМ графических алгоритмов решения задач теории квадратичных бирациональных преобразований, теории конических сечений и поверхностей второго порядка. На основании триады ABC определены объект, предмет и цель диссертационного исследования.

Объектом диссертационного исследования является пятипараметрическое многообразие кривых второго порядка на расширенной евклидовой плоскости.

Предмет диссертационного исследования - проективные алгоритмы образования КВП и методы их конструктивной реализации средствами компьютерной графики.

Цель исследования - разработка математического аппарата построения кривых второго порядка, обеспечивающего возможность их применения как одного из основных формообразующих элементов в практике компьютерного геометрического моделирования, а также в качестве графического инструмента для реализации используемых в начертательной геометрии конструктивных методов моделирования пространств различной размерности.

Для достижения поставленной цели требуется решение следующих теоретических и прикладных задач:

• разработать аффинный классификатор всех возможных внутренне непротиворечивых сочетаний точек и касательных, определяющих кривую второго порядка на расширенной евклидовой плоскости, с учетом вещественных и мнимых краевых условий (точек и касательных);

• составить геометрически точные, реализуемые на ЭВМ с помощью графических примитивов «прямая» и «окружность», проективные алгоритмы построения аффинно-метрических характеристик (АМХ) кривой второго порядка, удовлетворяющей заданному набору вещественных и мнимых краевых условий;

• на основе составленных алгоритмов разработать прикладную программу построения кривых второго порядка, упрощающую практическое применение конических сечений как при решении практических задач формообразования в технике и архитектурно-строительном проектировании, так и при исследовании теоретических вопросов геометрического моделирования;

• разработать методы моделирования кинематических поверхностей в трехмерном и четырехмерном евклидовых пространствах с использованием средств компьютерной графики и кривых второго порядка как одного из основных формообразующих элементов;

• составить конструктивно реализуемые на ЭВМ графические алгоритмы построения соответственных точек в квадратичном бирациональном преобразовании, заданном как семью парами соответственных точек, так и фундаментальными точками преобразования (вещественными или мнимыми).

Научная новизна работы состоит в том, что:

• составлен перечень (классификатор специализаций) всех возможных аф-финно различных сочетаний вещественных и мнимых точек и касательных, определяющих КВП на расширенной евклидовой плоскости;

• составлены геометрически точные алгоритмы построения АМХ кривой второго порядка (центра, вершин, фокусов, асимптот), заданной любым внутренне непротиворечивым набором вещественных и мнимых точек и касательных;

• разработан метод конструирования кинематических поверхностей, являющийся пространственным аналогом метода инженерного дискриминанта, отличающийся применением вспомогательных линейчатых поверхностей в качестве направляющих;

• разработан метод компьютерного моделирования поверхности, заключающийся в отображении опорного контура на четырехмерное пространство, позволяющий, в отличие от известных методов, моделировать поверхность как на четырех-звенном, так и на трехзвенном опорных контурах;

• на основании теоремы о мнимом двойном соприкосновении фокальных квадрик разработана методика соединения квадрик вращения по плоской кривой;

• разработан компьютерный вариант проективно-синтетического алгоритма построения соответственных точек в квадратичном бирациональном преобразовании, заданном как вещественными, так и мнимыми фундаментальными точками; составлен компьютерный вариант алгоритма реконструкции квадратичного бира-ционального преобразования, заданного семью парами наперед указанных соответственных точек.

Практическая значимость и внедрение. По результатам проведенных исследований разработаны геометрические алгоритмы построения АМХ КВП и методы конструирования кинематических поверхностей, основанные на совмещении достоинств точных компьютерных вычислений и проективных методов формообразования.

Работа выполнена в рамках реализации программы развития Южно-Уральского государственного университета на 2010-2019 гг. по приоритетному направлению развития «Суперкомпьютерные и грид-технологии в решении проблем энерго-и ресурсосбережения». На выполнение работы получен грант в рамках конкурса «Старт-17-1» (договор №2518ГС1/39118 от 03.05.2018 г. «Разработка вихревых инжекционных горелок повышенной эффективности для газовых турбин»), согласно постановлению Правительства РФ от 20.12.2016 по грантовой поддержке

центров Национальной технологической инициативы на базе образовательных организаций высшего образования. Подана заявка на изобретение. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Результаты теоретических исследований диссертационной работы внедрены на предприятиях Челябинской области: на предприятии МЧС «УСПТК-РМЗ», г. Миасс; ООО «Контроль и экспертиза», г. Челябинск; ООО НПП «Сварка 74», г. Челябинск. Выполненные работы подтверждаются актами внедрения.

Методы исследования. В качестве основного метода принят проективно-синтетический метод геометрического моделирования, основанный на установлении коллинеарных и квадратичных соответствий между действительными и мнимыми элементами двух, трех, четырехмерных расширенных евклидовых пространств, дополненных мнимыми элементами. Использован математический инструмент проективной и дифференциальной геометрии, теория конических сечений и поверхностей второго порядка, теория мнимых элементов, теория бирацио-нальных преобразований плоскости.

Теоретическую базу диссертационного исследования составили:

- по аналитической и проективной геометрии: труды К.А. Андреева, Ф.М. Суворова, С.С. Бюшгенса, М.М. Постникова, Н.А. Глаголева, Н.Ф. Четверухина, О.А. Вольберга, Е.А. Мчедлишвили, И.С. Джапаридзе и других ученых;

- по дифференциальной геометрии: труды С.С. Бюшгенса, М.Я. Выгодского, А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна и других ученых;

- по начертательной геометрии и ее приложениям: работы Н.Ф. Четверухина, И.И. Котова, К.И. Валькова, В.Е. Михайленко, А.М. Тевлина, Г.С. Иванова, В.И. Якунина, В.С. Полозова, В.Я. Волкова, О.А. Графского, Т.В. Аюшеева, А.Л. Подгорного, К.Л. Панчука и других ученых;

- по компьютерному геометрическому моделированию: труды В.С. Полозова, С.И. Роткова, Е.В. Попова, Н.Н. Голованова, Д.В. Волошинова, А.В. Толока, С.Н. Кривошапко и других ученых;

- по моделированию многомерных пространств: труды С.М. Куликова, Н.В. Наумович, Б.А. Розенфельда, Е.А. Глазунова, Н.Ф. Четверухина, Д.З. Гордевского, В.П. Болотова, В.Я. Волкова, Д.В. Волошинова и других ученых;

- по теории конических сечений и поверхностей второго порядка: работы J.H. Engel, L.O. Hesse, K. Rohn, E. Papperitz, T. Reye, E.O. Staude, Д. Гильберта, Ф. Клейна, З.А. Скопеца, А.В. Акопяна, Я.Л. Геронимуса и других ученых;

- по теории бирациональных преобразований: труды L. Cremona, T. A. Hirst, H.P. Hudson, Fr. Severi, К.А. Андреева, И.М. Яглома, Г.С. Иванова, Н.Д. Вертинской, М.Ф. Евстифеева и других ученых;

- по теории мнимых элементов в геометрии: труды J.V. Poncelet, J. Steiner, K. Staudt, Ф. Клейна, Ф.М. Суворова, О.А. Вольберга, А.Г. Гирша и других ученых.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования рассматривались и обсуждались:

- на научно-методической конференции «Информатизация инженерного образования» (Инфорино 2012), 10-11 апреля 2012 г., г. Москва, НИУ «МЭИ»;

- на 2 (2010г.), 3 (2011г.), 4 (2012г.) и 5 (2013г.) Всероссийских научно-практических конференциях с международным участием «Информационные технологии и технический дизайн в профессиональном образовании и промышленности», г. Новосибирск, НГТУ;

- на Международных научно-практических Интернет-конференциях «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации», г. Пермь, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 2012...2017 гг.;

- на Международной научно-технической конференции «International Conference on Industrial Engineering» (ICIE-2015), 22-23 октября 2015, г. Челябинск, Южно-Уральский государственный университет (НИУ);

- на 26-й Международной научной конференции GraphiCon 2016, 19-23 сентября 2016 г., ННГАСУ, Нижний Новгород;

- на Международной научно-технической конференции «2016 2nd International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing» (ICIEAM), 19-

20 May 2016, г. Челябинск, Южно-Уральский государственный университет (НИУ);

- на XII Международном симпозиуме по фундаментальным и прикладным проблемам науки, 12-14 сентября 2017 г., г. Миасс, Россия;

- на Международной научно-технической конференции «International Conference on Construction, Architecture and Technosphere Safety», 21-22 сентября 2017, г. Челябинск, Южно-Уральский государственный университет (НИУ);

- на 27-й Международной научной конференции GraphiCon 2017, 24-28 сентября 2017 г., Пермский государственный национальный исследовательский университет, г. Пермь.

Положения, выносимые на защиту

• перечень всех внутренне непротиворечивых аффинно различных сочетаний действительных («Основной классификатор») и мнимых («Дополнительный классификатор») точек и касательных, определяющих кривую второго порядка на расширенной евклидовой плоскости;

• проективные алгоритмы построения АМХ кривой второго порядка, заданной набором вещественных и мнимых точек и касательных, и программный модуль «Компьютерный коникограф», выполняющий построение АМХ кривой второго порядка и ее последующее вычерчивание;

• метод моделирования кинематических поверхностей, образованных движением кривой второго порядка с переменным эксцентриситетом, отличающийся использованием вспомогательных направляющих линейчатых поверхностей -цилиндроидов и коноидов;

• метод компьютерного геометрического моделирования поверхностей четырехмерного пространства с использованием гиперэпюра, позволяющий конструировать гладкую поверхность, проходящую не только через четырехугольный, но и через треугольный замкнутый контур;

• методика соединения фокальных квадрик по плоской кривой, основанная на теореме о мнимом двойном соприкосновении квадрик вращения с общим фокусом;

• компьютерный вариант алгоритма построения соответственных точек в квадратичном бирациональном преобразовании, заданном как вещественными, так и мнимыми фундаментальными точками преобразования;

• компьютерный вариант алгоритма реконструкции квадратичного бирацио-нального преобразования, заданного семью парами наперед указанных соответственных точек.

Публикации. Материалы диссертационного исследования опубликованы в 40 статьях, из них 4 статьи в изданиях, индексируемых в наукометрической базе Scopus, и 16 статей в изданиях, рекомендованных ВАК (10 статей принадлежат лично автору). Опубликована статья в электронном журнале, индексируемом в Scopus.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав с выводами, заключения и списка используемой литературы. Общий объём составляет 323 страницы, 221 рисунок. Библиографический список включает 226 наименований, в том числе 14 иностранных.

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА К РЕШЕНИЮ КОНСТРУКТИВНЫХ ЗАДАЧ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1 Методы построения кривых второго порядка на расширенной евклидовой плоскости

Кривые второго порядка (КВП, конические сечения, коники) играют совершенно особую роль как в физике и математике, так и в разнообразных технических приложениях. Более двух тысячелетий конические сечения являются как объектом, так и инструментом геометрического моделирования. Они изучены так, как никакие другие геометрические многообразия.

Конические сечения впервые появились в работах греческого математика Менехма и подробно описаны в трудах одного из трех величайших математиков древности Аполлония Пергского еще в IV веке до н.э. [179]. Систематическое исследование свойств КВП и их геометрическое моделирование стало возможно на основе учета их проективных свойств. Проективную геометрию - одно из величайших достижений человеческой мысли - открытую в 18 веке Дезаргом и Паскалем, немедленно забыли и переоткрыли лишь в 19 веке [41].

Девятнадцатое столетие - чрезвычайно плодотворный период в развитии как прикладной математики, так и ее теоретических разделов [72]. В частности, французский математик Ж.-В. Понселе (1788-1867) в «Трактате о проективных свойствах фигур» (1822) сформулировал основные положения проективной геометрии, а также ввел в рассмотрение мнимые геометрические образы - мнимые точки, мнимые прямые, мнимые кривые линии. Теория мнимых элементов, получившая свое развитие в алгебре и анализе, приобрела свое содержательное продолжение в проективной геометрии (Ж.-В. Понселе, Х. Штаудт, Я. Штейнер, Ф. Клейн и др.) и находит практическое применение в начертательной геометрии, в аппарате кремо-новых преобразований, в теории поля (Г.С. Иванов, А.Г. Гирш, В.А. Пеклич, О.А. Графский и др.). Впервые в России тему мнимого в геометрии начал разрабатывать

последователь Н.В. Лобачевского, профессор Казанского университета Ф.М. Суворов (1845-1911). В своей работе «Об изображении воображаемых точек и воображаемых прямых...» (1884), он систематически изложил методы проективной геометрии, позволяющие выполнять конструктивные построения с участием мнимых точек и мнимых прямых [191]. Советский математик О. А. Вольберг рассмотрел задачу построения КВП, инцидентной двум или четырем мнимым точкам [36]. Современная трактовка мнимых геометрических образов дана в работах А.Г. Гирша [43, 44, 45, 110], О.А. Графского [53].

Конические сечения - простейшие после прямой линии алгебраические кривые. В прикладной геометрии кривые второго порядка играют двоякую роль. С одной стороны, они используются, наряду с другими кривыми линиями, как формообразующий элемент при конструировании гладких обводов и поверхностей [14, 123, 150, 161]. С другой стороны, кривые второго порядка - это один из эталонных чертежных инструментов, такой же, как прямая линия и окружность, применяемый для решения геометрических задач и выполнения расчетно-графических компьютерных экспериментов. Эталон должен обладать наивысшими метрологическими свойствами, поэтому кривая второго порядка должна вычерчиваться с максимально возможной точностью. Отсюда естественным образом следует задача точного вычерчивания этих кривых.

Для решения этой задачи вплоть до восьмидесятых годов 20 века разрабатывались и патентовались механические устройства для вычерчивания разнообразных алгебраических кривых, в том числе конических сечений [17, 18, 39, 186]. С появлением средств компьютерной графики ситуация изменилась. На смену механическим чертежным приборам пришел электронный кульман и CAD-CAM-CAE технологии сквозного проектирования [49, 61, 173, 197]. Развитие вычислительной геометрии и компьютерной графики привело к смене парадигмы в вопросах геометрического моделирования. В основу описания кривых линий и поверхностей в 60-х годах прошлого века был заложен аппарат сплайн-функций [62, 208], которые стали основным инструментом геометрического моделирования.

Но при этом так и не появился универсальный электронный аналог механических коникографов. В прикладных графических пакетах эффективно применяются полиномы третьего и более высоких порядков [21, 138, 149, 168, 169], но не предусмотрено построение аффинно-метрических характеристик (АМХ) кривой второго порядка (центра, вершин, фокусов, асимптот), проходящей через заданные точки и касающейся данных прямых. Программное обеспечение графических САПР, основанное на полиномиальной аппроксимации, не предоставляет пользователю возможность геометрически точного построения АМХ конического сечения, заданного произвольным внутренне непротиворечивым набором действительных и мнимых инциденций. Ни в одном графическом редакторе нет опции геометрически точного построения АМХ кривой второго порядка, инцидентной пяти наперед заданным точкам и касательным. Современные графические пакеты лишь в частных случаях обеспечивают вычерчивание конических сечений, удовлетворяющих некоторым требованиям инцидентности.

Вместе с тем, современные аппаратные и программные средства компьютерной графики позволяют конструктивно реализовать любые, самые сложные графические алгоритмы, в том числе проективно-синтетические схемы построения АМХ КВП, заданной любым внутренне непротиворечивым набором пяти линейных ин-циденций - как вещественных, так и мнимых, как собственных, так и несобственных [82, 95, 110].

В связи с этим возникает задача разработки и программной реализации геометрически точных графических алгоритмов определения АМХ кривой второго порядка, заданной любым набором действительных или мнимых точек и касательных. В научной и технической литературе имеются отдельные примеры моделирования КВП [16, 36, 39, 156], но отсутствует как полный перечень возможных специализаций, так и описание соответствующих алгоритмов.

В основу решения задачи построения КВП положены основные теоремы проективной геометрии. Теорема Паскаля, описывая проективное порождение кривой второго порядка из форм первой ступени, позволяет находить ряд точек кониче-

ского сечения, если указаны пять его точек [36, 46]. Геометрически точное определение метрики кривой второго порядка (ее осей, вершин, асимптот, фокусов) также базируется на идеях и методах проективной геометрии [37, 47, 70, 74].

Понятие «геометрически точное решение» имеет вполне определенный смысл. Геометрически точным в математике называют решение, для конструктивной реализации которого используются лишь два простейших графических примитива - прямая линия и окружность [6, 210]. Существует очевидная связь: чем проще алгоритм, чем меньше он содержит графических примитивов, тем выше принципиально возможная точность его конструктивной реализации. Поэтому проективные алгоритмы построения метрики конического сечения, для реализации которых используются лишь прямые линии и однократно начерченная окружность, следует признать не только «геометрически точными», но и наиболее точными в инженерном, конструктивном смысле по сравнению с другими возможными способами решения этой задачи.

Другой вариант моделирования КВП - алгебраический, когда для определения коэффициентов уравнения искомой коники решают систему пяти уравнений (не обязательно линейных), а затем приводят полученное уравнение к каноническому виду посредством решения характеристического уравнения второго порядка [28]. Этот способ требует большого количества последовательных вычислений. Например, пусть требуется построить КВП, проходящую через четыре наперед указанные точки 1(х1, у1), 2(х2, у2), 3(хэ, уз), 4(х4, у4) и касающуюся прямой с уравнением y-y0=k(x-x0). Подставляя координаты точек 1, ..., 4 в общее уравнение кривой второго порядка Лх2+2Бху+Су2+2Эх+2Еу+1=0, получаем четыре линейных уравнения относительно пяти неизвестных коэффициентов Л, Б, С, Э, Е. Условие касания искомой коники с данной прямой описывается квадратным уравнением [39]: [(уо-кхо)(Б+кС)+Э+кЕ]2=(Ск2+2Бк+Л)[С(уо-кхо)2+2Е(уо-кхо)+1 ].

Следовательно, для определения коэффициентов уравнения КВП требуется решить нелинейную систему пяти алгебраических уравнений, что реализуется приближенными вычислительными методами. Точность решения может снижаться, если заданные точки имеют существенно различные (отличающиеся на порядки)

значения декартовых координат. Вместе с тем, эта же задача (построение АМХ КВП, заданной четырьмя точками и касательной) геометрически точно решается посредством построения единственной окружности и проведения нескольких прямых линий (два решения) [82, 85]. При этом точность решения не зависит от относительного положения данных точек, среди которых могут быть несобственные (бесконечно удаленные) точки.

Таким образом, для определения АМХ кривой второго порядка целесообразно использовать проективный метод геометрического моделирования в сочетании с методами вычислительной геометрии, реализованными в компьютерной графике. Совмещение достоинств этих методов позволяет полностью решить задачу построения кривой второго порядка для любого набора наперед заданных краевых условий [46, 65, 70, 202].

Возможность конструктивной реализации проективных алгоритмов с помощью точных вычислительных средств компьютерной графики фактически означает окончательное завершение идеологического «противостояния» аналитической геометрии Декарта (Rene Descartes, 1596-1650) и синтетической геометрии Дезарга (Girard Desargues, 1591-1661) [41, 72, 189], поскольку геометрически точные проективные алгоритмы наиболее эффективно реализуются на базе инструментальных средств современной вычислительной техники. Решение проблемы геометрически точного построения кривых второго порядка позволяет практически применять их в конструктивных задачах компьютерного геометрического моделирования.

1.2 Применение КВП в конструировании поверхностей

Свойства поверхности во многом определяются свойствами линий, образующих эту поверхность. Свойства линий, в свою очередь, определяются видом математических функций, описывающих эти линии. В современных САПР основным инструментом моделирования кривых линий являются NURBS-кривые, внедренные в международные стандарты CAD/CAM [61, 169]. Численные методы стано-

вятся основным способом конструирования поверхностей. При этом моделирование поверхности по существу сводится к ее аппроксимации по заданному набору реперных линий и точек, исходя из заданного порядка гладкости конструируемой поверхности. В частности, известно множество решений задачи «натягивания» поверхности на заданный пространственный контур с применением различных вариантов бикубической сплайн-аппроксимации (поверхности Кунса, Безье, КЦЕББ-поверхности и др.) с последующей табуляцией точек полученной поверхности [165, 166, 193].

Тем не менее, задачи формообразования далеко не всегда требуют для своего решения численных методов. Численные методы имеют свои недостатки, одним из которых является невозможность получения аналитического описания поверхности. В ряде случаев традиционные геометрические способы формообразования могут оказаться предпочтительнее вычислительных методов.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Короткий Виктор Анатольевич, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Авдоньев, Е.Я. Конструирование поверхностей, удовлетворяющих некоторым метрическим требованиям / Е.Я. Авдоньев // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1972. - Вып. 14. - С. 102-106.

2. Авдоньев, Е.Я. Аналитическое описание корпусных поверхностей / Е.Я. Авдоньев // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1972. - Вып. 15. - С. 156160.

3. Авдоньев, Е.Я. О связи геометрии обводов поверхности с наперед заданными требованиями к ней / Е.Я. Авдоньев, С.М. Протодьяконов // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. -Киев, изд-во «Будивельник», 1973. - Вып. 17. - С. 26-30.

4. Авдоньев, Е.Я. Применение алгебраических кривых высших порядков к построению гидроаэродинамических профилей / Е.Я. Авдоньев, С.М. Протодьяконов // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1974. - Вып. 18. - С. 111-114.

5. Авдоньев, Е.Я. Методика задания участков корпусной поверхности и формирования ее математической модели / Е.Я. Авдоньев // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1981. - Вып. 32. - С. 100-102.

6. Адамар, Ж. Элементарная геометрия: в 2 ч. / Ж. Адамар. - М.: Учпедгиз, 1952. - Ч. 2. Стереометрия. - 761 с.

7. Акопян, А.В. Геометрические свойства кривых второго порядка / А.В. Ако-пян, А.А. Заславский. - М.: Изд-во МЦНМО, 2007. - 136 с.

8. Амиров, М. К вопросу конструирования сетчатого каркаса / М. Амиров,

B.Е. Михайденко // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1974. - Вып. 18. -

C. 10-16.

9. Ананов, Г.Д. Графоаналитическая геометрия / Г.Д. Ананов. - Л.: ЛИСИ, 1975. - 115 с.

10. Андреев, В.А. Расчет и построение контуров самолета на плазе / В.А. Андреев, В.А. Зворыкин, Л.А. Коноров и др. - М.: Оборонгиз, 1960.

11. Андреев, К.А. О геометрических соответствиях в применении к вопросу о построении кривых линий / К.А. Андреев. - М.: Издание Московского Математического общества, состоящего при Императорском Московском Университете, 1879. - 168 с.

12. Арнольд, В.И. Вещественная алгебраическая геометрия / В.И. Арнольд. -М.: МЦНМО, 2009. - 88 с.

13. Атанасян, Л.С. Геометрия: в 2 ч. / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. - М.: КНО-РУС, 2015. - Ч. 1. - 400 с.; Ч. 2. - 424 с.

14. Бабаков, В.В. Проектирование поверхностей кривыми второго порядка в самолетостроении / В.В. Бабаков. - М.: Машиностроение, 1969. - 124 с.

15. Бакельман, И.Я. Высшая геометрия / И.Я. Бакельман. - М.: Просвещение, 1967. - 368 с.

16. Белогужев, В.А. Проективные способы построения основных параметров кривых второго порядка, заданных полным полярным соответствием и одним из их элементов / В.А. Белогужев // Вопросы начертательной геометрии и инженерной графики: научные труды. - Ташкент, Изд-во «ФАН» Узбекской ССР, 1966. - Вып. 39. - С. 10-21.

17. Бергер, Э.Г. К синтезу механизмов для огибания конических сечений методом проективной геометрии / Э.Г. Бергер // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Буди-вельник», 1973. - Вып. 16. - С. 110-113.

18. Бергер, Э.Г. Способ геометрического и механического образования рациональных кривых 3-го и 4-го порядка / Э.Г. Бергер, В.П. Табацков // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1982. - Вып. 33. - С. 88-89.

19. Берже, М. Задачи по геометрии с комментариями и решениями / М. Берже, Ж.-П. Бери, П. Пансю. - М.: Мир, 1989. - 304 с.

20. Берже, М. Геометрия: в 2 т. / М. Берже. - М.: Мир, 1984. - Т. 2. - 368 с.

21. Бойков, В.Н. Автоматизированное проектирование автомобильных дорог / В.Н. Бойков, Г.А. Федотов, В.И. Пуркин. - М.: Изд-во МАДИ, 2005. - 224 с.

22. Болотов, В.П. Применение методов начертательной геометрии многомерного пространства к вопросам конструирования поверхностей / В.П. Болотов, П.В. Филиппов // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1978. - Вып. 26. - С. 1012.

23. Болотов, В.П. Геометрический и программный комплекс интерактивного графического программирования в САПР: дис. ... д-ра техн. наук / В.П. Болотов. -Владивосток: Изд-во ДВГУ, 1993. - 234 с.

24. Борковская, Л.В. Графическое построение оснащения кривых линий и поверхностей E4 / Л.В. Борковская // Кинематические методы конструирования технических поверхностей: сб. статей под ред. А.М. Тевлина. Труды Московского авиационного ин-та. - М.: МАИ, 1970. - Вып. 213. - С. 81-93.

25. Бубенников, А.В. Начертательная геометрия / А.В. Бубенников. - М.: Высшая школа, 1985. - 288 с.

26. Бюшгенс, С.С. Дифференциальная геометрия / С.С. Бюшгенс. - М.: Изд-во ЛКИ, 2008. - 304 с.

27. Бюшгенс, С.С. Аналитическая геометрия. Первый концентр, вып. 1/ С.С. Бюшгенс. - М.-Л.: Объединенное научно-техническое изд-во НКТП СССР. Государственное технико-теоретическое изд-во, 1934. - 237 с.

28. Бюшгенс, С.С. Аналитическая геометрия. Первый концентр, вып. 2/ С.С. Бюшгенс. - М.-Л.: Объединенное научно-техническое изд-во НКТП СССР. Главная редакция общетехнической литературы и номографии, 1936. - 206 с.

29. Вальков, К.И. Лекции по основам геометрического моделирования / К.И. Вальков. - Л.: Ленинградский инженерно-строительный ин-т, 1970. - 239 с.

30. Вальков, К.И. Проекционный схематизм - инструмент и метод / К.И. Вальков. - Л.: Ленинградский инженерно-строительный ин-т, 1988. - 82 с.

31. Васильев, Н.Б. Прямые и кривые. Библиотечка физико-математической школы, выпуск 4 / Н.Б. Васильев, В.Л. Гутенмахер. - М.: Наука, 1970. - 112 с.

32. Вачнадзе, Г.А. Проективное образование гиперповерхности второго порядка в четырехмерном пространстве / Г.А. Вачнадзе // Сб. начертательной геометрии и инженерной графики. - Тбилиси: Грузинский политехнический ин-т, 1957. -Вып. 1 (49). - С. 14-20.

33. Вертинская, Н.Д. Теория нелинейных отображений многомерных монои-дальных поверхностей и ее приложения: дис.... докт. техн. наук / Н.Д. Вертинская.

- Омск, 2006. - 377 с.

34. Волков, В.Я. Многомерная исчислительная геометрия / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2008. - 244 с.

35. Волошинов, Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация / Д.В. Волошинов. - Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2010. - 355 с.

36. Вольберг, О. А. Основные идеи проективной геометрии / О. А. Вольберг.

- М.-Л.: Учпедгиз, 1949. - 188 с.

37. Вольберг, О. А. Лекции по начертательной геометрии / О. А. Вольберг. -М.: Учпедгиз, 1947. - 347 с.

38. Выгодский, М.Я. Дифференциальная геометрия / М.Я. Выгодский. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. - 511 с.

39. Геронимус, Я.Л. Геометрический аппарат теории синтеза плоских механизмов / Я.Л. Геронимус. - М.: Изд-во физико-математической литературы, 1962.

- 399 с.

40. Гильберт, Д. Наглядная геометрия / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. - М.: Наука, 1981. - 344 с.

41. Гиндикин, С.Г. Рассказы о физиках и математиках / С.Г. Гиндикин. - М.: Изд-во «Терра», 2013. - 480 с.

42. Гирш, А.Г. Построение обводов линий и поверхностей методами интерполяции и аппроксимации: автореферат дис. канд. техн. наук / А.Г. Гирш. - М., 1972. - 15 с.

43. Гирш, А.Г. Наглядная мнимая геометрия / А.Г. Гирш. - М.: ООО ИПЦ «Маска», 2008. - 216 с.

44. Гирш, А.Г. Комплексная геометрия - евклидова и псевдоевклидова / А.Г. Гирш. - М.: ООО ИПЦ «Маска», 2013. - 216 с.

45. Гирш, А. Г. Мнимости в геометрии / А. Г. Гирш // Геометрия и графика. -2014. - V. 2. - I. 2. - C. 3-8.

46. Глаголев, Н.А. Проективная геометрия / Н.А. Глаголев. - М.: Высшая школа, 1963. - 343 с.

47. Глаголев, Н.А. Геометрические преобразования в начертательной геометрии / Н.А. Глаголев // Вопросы современной начертательной геометрии: сб. статей под ред. Н.Ф. Четверухина. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. - С. 9-54.

48. Глазунов, Е.А. Аксонометрия / Е.А. Глазунов, Н.Ф. Четверухин. - М.: ГИТТЛ, 1953. - 291 с.

49. Голованов, Н.Н. Геометрическое моделирование / Н.Н. Голованов. - М.: Изд-во физико-математической литературы, 2012. - 472 с.

50. Гомес, Ж. Когда прямые пересекаются. Неевклидовы геометрии / Жуан Гомес; пер. с англ. - М.: Де Агостини, 2013. - 152 с.

51. Гордевский, Д.З. Популярное введение в многомерную геометрию / Д.З. Гордевский, А.С. Лейбин. - Харьков: Изд-во Харьковского государственного университета, 1964. - 191 с.

52. Готовцев, А.А. Аutodesk alias: с чего начать? // CADMASTER №5 (66) / 2012, С. 42-44.

53. Графский, О.А. Теоретико-конструктивные проблемы моделирования мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях: дис.... докт. техн. наук / О.А. Графский. - М.: Изд-во МАИ, 2004. - 404 с.

54. Джапаридзе, И.С. Построение конструктивных моделей пространств, их систематизация и связь с методами изображений, применяемыми в технике: автореферат дис. ... д-ра техн. наук / И.С. Джапаридзе. - Тбилиси, 1965. - 46 с.

55. Евстифеев, М.Ф. Автополярные треугольники. Гармонично вписанные и описанные конические сечения / М.Ф. Евстифеев // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1969. - Вып. 8. - С. 164-168.

56. Евстифеев, М.Ф. Полярное соответствие в пучках и рядах конических сечений / М.Ф. Евстифеев // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1969. -Вып. 9. - С. 120-122.

57. Евстифеев, М.Ф. Поляритет и квадратичное соответствие / М.Ф. Евсти-феев // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1970. - Вып. 10. - С. 93-96.

58. Евстифеев, М.Ф. О некоторых особенностях распавшихся кривых 3-го порядка / М.Ф. Евстифеев // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1974. - Вып. 18. - С. 114-114.

59. Ермакова, В.А. О касании кривых 2-го порядка / В.А. Ермакова // Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: сб. статей под ред. И.И. Ко-това. Труды института, вып. 2. - М.: Изд-во МАИ, 1968. - С. 77-81.

60. Ефимов, Н.В. Высшая геометрия / Н.В. Ефимов. - М.: Физматлит, 2003. -

584 с.

61. Жермен-Лакур, П. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. 2. Пер. с франц. / Жермен-Лакур П., Жорж П.Л., Пистр Ф., Безье П. - М.: Мир, 1989. - 264 с.

62. Завьялов, Ю.С. Сплайны в инженерной геометрии / Ю.С. Завьялов, В.А. Леус, В.А. Скороспелов. - М.: Машиностроение, 1985. - 224 с.

63. Замятин, А.В. Развитие каркасно-кинематического метода для формообразования сложно-структурированных поверхностей: дис. . д-ра техн. наук / А.В. Замятин. - Ростов-на-Дону: Изд-во РГСУ, 2013. - 307 с.

64. Иванов, Г.С. Начертательная геометрия / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1995. -224 с.

65. Иванов, Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1998. - 157 с.

66. Иванов, Г.С. Бирациональные преобразования в моделировании поверхностей / Г.С. Иванов. - М.: МАИ, 1984. - 44 с.

67. Иванов, Г.С. Конструирование технических поверхностей. Математическое моделирование на основе нелинейных преобразований / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1987. - 192 с.

68. Иванов, Г. С. Конструктивный способ исследования свойств параметрически заданных кривых / Г. С. Иванов // Геометрия и графика. 2014. Т. 2. №. 3.

69. Иванов, Г. С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями / И. М. Дмитриева, Г. С. Иванов // Геометрия и графика. 2015. Т. 3. №. 2. С. 3-8.

70. Клейн, Ф. Высшая геометрия / Ф. Клейн. - М.: УРСС, 2004. - 400 с.

71. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2 т. Т. 2: Геометрия / Ф. Клейн. - М.: Наука, 1987. - 416 с.

72. Клейн, Ф. Лекции о развитии математики в 19 столетии: в 2 т. / Ф. Клейн.

- М.: Наука, 1989. - Т. 1. - 456 с.

73. Клеменс, Г. Мозаика теории комплексных кривых / Г. Клеменс. - М.: Мир, 1984. - 160 с.

74. Кокстер, Х.С.М. Действительная проективная плоскость / Х.С.М. Кок-стер. - М.: Физматлит, 1959. - 280 с.

75. Конакбаев, К.К. О мнимых точках пересечения прямой с коникой / К.К. Конакбаев // Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: сб. статей под ред. И.И. Котова. Труды института № 205, вып. 4. - М.: Изд-во МАИ, 1970.

- С. 33-42.

76. Корниенко, Л.В. Применение одного вида поверхности переноса для составных оболочек / Л.В. Корниенко // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1974. - Вып. 18. - С. 36-38.

77. Королевич, А.И. Геометрия графического отображения / А.И. Королевич.

- Львов: Изд-во Львовского университета, 1968. - 279 с.

78. Короткий, В.А. Теоретический минимум по начертательной геометрии в примерах и задачах / В.А. Короткий // Состояние, проблемы и тенденции развития графической подготовки в высшей школе: сб. трудов Всероссийского совещания заведующих кафедрами графических дисциплин вузов РФ: в 2 т. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2006. - Т. 2. - С. 133-139.

79. Короткий, В.А. Торсовая поверхность в курсе начертательной геометрии / В.А. Короткий // Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации: межвузовский научно-методический сб. - Саратов: СГТУ, 2007. - С. 82-86.

80. Короткий, В.А. Проективная геометрия в компьютерном геометрическом моделировании / В.А. Короткий // Сб. материалов 1 Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и технический дизайн в профессиональном образовании и промышленности». - Новосибирск: НГТУ, 2009. -С. 45-49.

81. Короткий, В.А. Проективная геометрия на компьютере / В.А. Короткий// Научно-методические проблемы геометрического моделирования, компьютерной и инженерной графики в высшем профессиональном образовании: сб. статей Меж-дунар. науч.-метод. конф. - Пенза: Приволжский Дом знаний, 2009. - С. 75-80.

82. Короткий, В.А. Проективное построение коники / В.А. Короткий. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2010. - 94 с.

83. Короткий, В.А. Коника на евклидовой плоскости, заданная пятью действительными элементами / В.А. Короткий // Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации: Межвуз. науч.-метод. сб. - Саратов: СГТУ, 2010. - С. 165-170.

84. Короткий, В.А. Однородные координаты на плоскости / В.А. Короткий// Информационные технологии и технический дизайн в профессиональном образовании и промышленности: сб. матер. 2-й Всерос. науч.-практ. конф. с международным участием. - Новосибирск: НГТУ, 2010. - С. 69-76.

85. Короткий, В.А. Проективное построение коники, заданной пятью действительными элементами / В.А. Короткий // Деп. в ВИНИТИ 19.01.2010, 13-В2010. - 44 с.

86. Короткий, В.А. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» / В.А. Короткий // Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011 г.

87. Короткий, В.А. Электронный макет линейчатой квадрики / В.А. Короткий // Информационные технологии и технический дизайн в профессиональном образовании и промышленности: сб. матер. 3-й Всерос. науч.-практ. конф. с международным участием.- Новосибирск: НГТУ, 2011. - С. 108-113.

88. Короткий, В.А. Соприкосновение коник / В.А. Короткий // Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации: межвуз. науч.-метод. сб. - Саратов: СГТУ, 2011. - С. 78-82.

89. Короткий, В.А. Точное построение обобщенной параболы Мора / В.А. Короткий // Информационные технологии и технический дизайн в профессиональном образовании и промышленности: сб. матер. 4-й Всерос. науч.-практ. конф. с международным участием. - Новосибирск: НГТУ, 2012. - С. 57-61.

90. Короткий, В.А. Гомология двух конических сечений / В.А. Короткий // Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации: межвуз. науч. -метод. сб. - Саратов: СГТУ, 2012. - С. 27-33.

91. Короткий, В.А. Квадратичное преобразование плоскости, установленное пучком конических сечений / В.А. Короткий // Омский научный вестник. - 2013. -№ 1(117). - С. 9-14.

92. Короткий, В.А. Проективное соответствие пучков конических сечений / В.А. Короткий // Информационные технологии и технический дизайн в профессиональном образовании и промышленности: сб. матер. 5-й Всерос. науч.-практ. конф. с международным участием. - Новосибирск: НГТУ, 2013. - С. 49-56.

93. Короткий, В.А. Начертательная геометрия на экране компьютера / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова // Геометрия и графика. - 2013. - V. 1, I. 1. - С. 61-66.

94. Короткий, В.А. Об одном особом случае пересечения квадрик / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2013. - V. 1, I. 2. - С.17-21.

95. Короткий, В.А. Синтетические алгоритмы построения кривой второго порядка / В.А. Короткий // Вестник компьютерных и информационных технологий. -2014. - № 11. - С. 20-24.

96. Короткий, В.А. Кривые второго порядка в задачах формообразования архитектурных оболочек / В.А. Короткий, Е.А. Усманова // Известия ВУЗов. Серия «Строительство». - 2014. - № 9-10 (669-670). - С. 101-107.

97. Короткий, В.А. Компьютерное моделирование фигур четырехмерного пространства / В.А. Короткий // Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2014. - № 7. - С. 14-20.

98. Короткий, В.А. Преобразование пучка коник в пучок окружностей / В.А. Короткий // Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации: межвуз. науч.-метод. сб. - Саратов: СГТУ, 2014. - С. 53-57.

99. Короткий, В.А. Двойное прикосновение в пучке поверхностей второго порядка / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2014. - V. 2, I. 1. - С. 5-16.

100. Короткий, В.А. Начертательная геометрия. Конспект лекций / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова, И.В. Буторина. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ,

2014. - 191 с.

101. Короткий, В.А. Геометрическое конструирование оболочек способом выхода в четырехмерное пространство / В.А. Короткий, Е.А. Усманова, Л.И. Хмарова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Строительство и архитектура». - 2014. Т. 14, № 2. - С. 48-51.

102. Короткий, В.А. Конструирование плоского сопряжения фокальных квадрик / В.А. Короткий // Приволжский научный журнал. - 2014. - №1. - С. 19-26.

103. Короткий, В.А. Применение кривых второго порядка для конструирования гладких каркасно-сетчатых поверхностей / В.А. Короткий, Е.А. Усманова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Строительство и архитектура». - 2014. - Т. 14, № 3. - С. 45-48.

104. Короткий, В.А. Эллиптический купол на треугольном или четырехугольном фундаменте / В.А. Короткий // Приволжский научный журнал. -

2015. - № 1. - С. 96-102.

105. Короткий, В.А. Геометрическое моделирование поверхности посредством ее отображения на четырехмерное пространство / В.А. Короткий //

Омский научный вестник. Серия «Приборы, машины и технологии». - 2015. - №1 (137). - С. 8-12.

106. Короткий, В.А. Архитектурная оболочка на замкнутом контуре / В.А. Короткий, Е.А. Усманова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Строительство и архитектура». - 2015. Т. 15, № 2. - С. 47-51.

107. Короткий, В.А. Компьютерное моделирование кинематических поверхностей / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова, Е.А. Усманова // Геометрия и графика. -

2015. - V. 3, I. 4. - С. 19-26.

108. Короткий, В.А. Универсальный компьютерный коникограф / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова // Труды 26-й Международной научной конференции ОгарЫ-Соп 2016 (19-23 сентября 2016), ННГАСУ, Нижний Новгород, Россия. - С. 347-351.

109. Короткий, В.А. Соприкосновение конических сечений / В.А. Короткий// Геометрия и графика. - 2016. - V. 4, I. 3. - С. 36-45.

110. Короткий, В.А. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2016. - V. 4, I. 4. - С. 19-30.

111. Короткий, В.А. Начертательная геометрия. Решение задач / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова, Е.А. Усманова. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ,

2016. - 139 с.

112. Короткий, В.А. Квадратичное кремоново соответствие плоских полей, заданное мнимыми Б-точками / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2017. - V. 5, I. 1. - С. 21-31.

113. Короткий, В.А. Реконструкция квадратичного кремонова преобразования / В.А. Короткий // Геометрия и графика. - 2017. - V. 5, I. 2. - С. 59-68.

114. Короткий, В.А. Визуальная компьютерная реконструкция квадратичных соответствий / В.А. Короткий // Труды 27-й Международной научной конференции ОгарЫСоп 2017 (24-28 сентября 2017), ПГНИУ, Пермь, Россия. - С. 355-358.

115. Короткий, В.А. Графоаналитические алгоритмы конструирования одномерных и двумерных динамических обводов / В.А. Короткий // Фундаментальные и прикладные проблемы науки: матер. 12-й Междунар. симпозиума. - М.: РАН,

2017. - С. 189-199.

116. Короткий, В.А. Компьютерная визуализация кривой второго порядка, проходящей через мнимые точки и касающейся мнимых прямых / В.А. Короткий// Научная визуализация. - 2018. - V. 10, I. 1. - С. 56-68.

117. Котов, И.И. Геометрические основы ключевых способов построения поверхностей / И.И. Котов // Труды Всесоюзного заочного энергетического института: сб. научн. тр. - М.: Изд-во МЭИ, 1957. - Вып. 10. - С. 15-36.

118. Котов, И.И. О построении обводов технических форм / И.И. Котов // Труды Всесоюзного заочного энергетического института: сб. научн. тр. - М.: Изд-во МЭИ, 1958. - Вып. 13. - С. 19-36.

119. Котов, И.И. Новый метод построения поверхностей, удовлетворяющих некоторым наперед заданным требованиям / И.И. Котов // Вопросы теории, приложений и методики преподавания начертательной геометрии (труды Рижской научно-методической конференции, июнь 1957). - Рига: Рижский институт инженеров гражданского воздушного флота, 1960. - С. 143-161.

120. Котов, И.И. Лекции для слушателей факультета повышения квалификации преподавателей по курсу «Начертательная геометрия» / И.И. Котов. - М.: МАИ, 1971. - 101 с.

121. Котов, И.И. Начертательная геометрия. Курс лекций для слушателей факультета повышения квалификации преподавателей / И.И. Котов. - М.: МАИ, 1973.

- 200 с.

122. Котов, И.И. Алгоритмы машинной графики / И.И. Котов, В.С. Полозов, Л.В. Широкова. - М.: Машиностроение, 1977. - 271 с.

123. Котов, И.И. Учебное пособие по начертательной геометрии на базе ЭВМ. Часть 2. Обводы точек на плоскости / И.И. Котов, В.И. Якунин, Г.С. Иванов.

- М.: МАИ, 1977. - 53 с.

124. Кривошапко, С.Н. Аналитические поверхности в архитектуре зданий, конструкций и изделий / С.Н. Кривошапко, И.А. Мамаева. - М.: Книжный дом «Либроком», 2012. - 328 с.

125. Крылов, А.Н. Мои воспоминания / А.Н. Крылов. - Ленинград: Судостроение, 1984. - 480 с.

126. Куликов, С.М. Введение в начертательную геометрию многомерных пространств / С.М. Куликов. - М.: Машиностроение, 1970. - 84 с.

127. Курс начертательной геометрии (с учетом принципов программированного обучения) / под ред. Н.Ф. Четверухина. - М.: Высш. шк., 1968. - 266 с.

128. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования: учебник / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева. - Омск: Изд-во СибАДИ, 2010. - 253 с.

129. Кутищев, Г.П. Геометрия алгебраических уравнений, разрешимых в радикалах / Г.П. Кутищев. - М.: Книжный дом «Либроком», 2012. - 168 с.

130. Лапшин, М.Л. Алгорифмизация ключевых способов образования поверхностей / М.Л. Лапшин // Прикладная геометрия поверхностей: сборник аспирантских работ, под ред. И.И. Котова. - М.: МАИ, 1964. - С. 41-50.

131. Лапшин, М.Л. Аппроксимация судовых обводов / М.Л. Лапшин // Вопросы прикладной геометрии: сб. работ аспирантов и соискателей, под ред. А.М. Тевлина. - М.: МАИ, 1966. - С. 59-63.

132. Лебедева, Н.В. Фермы, арки, тонкостенные пространственные конструкции / Н.В.Лебедева. - М.: «Архитектура-С», 2006. - 120 с.

133. Маневич, В.А. Аналитическая геометрия с теорией изображений / В.А. Маневич, И.И. Котов, А.Р. Зенгин. - М.: Высш. шк., 1969. - 304 с.

134. Михайленко, В.Е. Формообразование оболочек в архитектуре / В.Е. Михайленко, В.С. Обухова, А.Л. Подгорный. - Киев: Будивельник, 1972. - 205 с.

135. Михнев, М.М. Графические методы определения кривизны плоских и пространственных кривых линий / М.М. Михнев // Труды Всесоюзного заочного энергетического института: сб. науч. тр. - М.: Изд-во МЭИ, 1958. - Вып. 13. - С.37-51.

136. Монж, Г. Начертательная геометрия. Классики науки / Г. Монж. - М.: Книга по требованию, 2013. - 292 с.

137. Мурадов, Ш. Сечения поверхностей вращения 2-го порядка по заданному эллипсу / Ш. Мурадов // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1967. -Вып. 5. - С. 141-145.

138. Муфтеев, В.Г. Моделирование кривых высокого качества на основе метода v-кривых // В.Г. Муфтеев // Электронный журнал «Прикладная геометрия». -2007. - Вып. 9. - № 19. - www.mai.ru/~apg. - С. 25-74.

139. Мчедлишвили, Е.А. Проективная геометрия и плоскостное отображение пространства / Е.А. Мчедлишвили. - Тбилиси: изд-во Тбилисского государственного ун-та, 1974. - 265 с.

140. Мчедлишвили, Е.А. Методы изображений / Е.А. Мчедлишвили. - Тбилиси: Грузинский политехнический ин-т, 1974. - 208 с.

141. Надолинный, В.А. Проективно-аналитический способ конструирования рациональных кривых / В.А. Надолинный // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Буди-вельник», 1976. - Вып. 22. - С. 23-25.

142. Найдыш, В.М. Методы и алгоритмы формирования поверхностей и обводов по заданным дифференциально-геометрическим условиям: дис. ... д-ра техн. наук / В.М. Найдыш. - Мелитополь, 1982. - 518 с.

143. Наумович, Н.В. Эпюр четырехмерного евклидова пространства и его свойства / Н.В. Наумович // Сборник начертательной геометрии и инженерной графики. - Тбилиси: Грузинский политехнический ин-т, 1957. - Вып. 1 (49). - С. 2130.

144. Наумович, Н.В. Об одном методе начертательной геометрии четырехмерного евклидова пространства / Н.В. Наумович // Труды Московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике: сб. научн. тр. - М.: Изд-во «Советская наука», 1958. - С. 146-161.

145. Наумович, Н.В. Центральные квадратичные преобразования и их применения / Н.В. Наумович // Вопросы теории, приложений и методики преподавания начертательной геометрии (труды Рижской научно-методической конференции, июнь 1957). - Рига: Рижский институт инженеров гражданского воздушного флота, 1960. - С. 74-84.

146. Наумович, Н.В. Геометрические места в пространстве и задачи на построение / Н.В. Наумович. - М.: Учпедгиз, 1962. - 152 с.

147. Новицкий, О.Н. Классификация циклов на проективной плоскости // Ученые записки. Геометрия: Ярославль, ЯрГПИ, 1971. - Вып. 83. - С. 48-63.

148. Обухова, В.С. О множествах конических сечений на алгебраических поверхностях / В.С. Обухова // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1973. -Вып. 16. - С. 19-24.

149. Охотников, Д.В. Конструирование поверхностей с линейным каркасом из рациональных кубик / Д.В. Охотников // Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации: Межвуз. науч.-метод. сб. - Саратов: СГТУ, 2010. - С. 15-19.

150. Павлов, А.В. К вопросу о построении обводов технических форм с помощью кривых 2 порядка / А.В. Павлов // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1965. - Вып. 1. - С. 110-118.

151. Павлов, А.В. Модификация метода кривых 2-го порядка для системы автоматизированного проектирования / А.В. Павлов // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1982. - Вып. 34. - С. 7-9.

152. Пеклич, В.А. О построении нормалей к коническим сечениям / В.А. Пек-лич // Начертательная геометрия: сб. трудов. - М.: ВЗПИ, 1969. - Вып. 48. - С. 104115.

153. Пеклич, В.А. Элементы теории множеств в начертательной геометрии / В.А. Пеклич // Сб. научно-методических статей по начертательной геометрии и инженерной графике. - М.: Высш. шк., 1979. - Вып. 7. - С. 10-17.

154. Пеклич, В.А. Мнимая начертательная геометрия / В.А. Пеклич. - М.: Изд-во АСВ, 2007. - 104 с.

155. Пеклич, В.А. Высшая начертательная геометрия / В.А. Пеклич. - М.: Изд-во АСВ, 2000. - 344 с.

156. Пеклич, В.А. Задачи по начертательной геометрии / В.А. Пеклич. - М.: Изд-во АСВ, 1997. - 230 с.

157. Пеклич, В.А. Упражнения и задачи по начертательной геометрии / В.А. Пеклич. - М.: Изд-во АСВ, 2002. - 190 с.

158. Пеклич, В.А. Задачи московских и российских олимпиад по начертательной геометрии / В.А. Пеклич, Б.Г. Жирных, В.М. Марков. - М.: АСВ, 2004. - 150 с.

159. Погорелов, А.В. Дифференциальная геометрия / А.В. Погорелов. - М.: Наука, 1969. - 176 с.

160. Подгорный, А.Л. Ключевые способы задания множеств линий и конструирования поверхностей / А.Л. Подгорный // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1969. - Вып. 9. - С. 6-21.

161. Подгорный, А.Л. Множества кривых 2-го порядка и конструирование из них поверхностей / А.Л. Подгорный // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1969. - Вып. 9. - С. 38-52.

162. Подгорный, А.Л. Формообразование некоторых оболочек для промышленных зданий / А.Л. Подгорный, Хоанг Зуй Тханг // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1978. - Вып. 25. - С. 12-15.

163. Подгорный, А.Л. К вопросу определения количества кривых 2-го порядка, заданных пятью условиями / А.Л. Подгорный // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1970. - Вып. 11. - С. 14-18.

164. Полещук, Н.Н. AutoLISP и Visual LISP в среде AutoCAD / Н.Н. Полещук, П.В. Лоскутов. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 960 с.

165. Полозов, В.С. Автоматизированное проектирование. Геометрические и графические задачи / В.С. Полозов, О.А. Будеков, С.И. Ротков и др. - М.: Машиностроение, 1983. - 277 с.

166. Полозов, В.С. Базисный курс начертательной геометрии / Полозов В.С., С.И. Ротков, В.И. Дергунов. - М.: АСВ, 2007. - 184 с.

167. Понтрягин, Л.С. Кубическая парабола / Л.С. Понтрягин // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». - 1984. - №3. - С. 10-14, 32.

168. Попов, Е.В. Автоматизированное построение NURBS-поверхностей по заданному множеству реперных точек / Е.В. Попов // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика: междунар. межвуз. науч. -метод. сб. трудов кафедр графических дисциплин. - Н. Новгород: ННГАСУ, 2001. - Вып. 7. - С. 100108.

169. Попов, Е.В. Геометрическое моделирование тентовых тканевых конструкций методом натянутых сеток / Е.В. Попов // Материалы 11-й Международной конференции по компьютерной графике GRAPHICON 2001. - Н. Новгород: ННГАСУ, 2001. - С. 149-152.

170. Попова, Л.С. К вопросу проектирования плоских и пространственных обводов / Л.С. Попова, О.В. Синицына // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика: Междунар. межвуз. науч.-метод. сб. тр. кафедр графических дисциплин. - Н.Новгород: ННГАСУ, 2001. - Вып. 6. - С. 131-134.

171. Постников, М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1. Аналитическая геометрия / М.М. Постников. - М.: Наука, 1973. - 754 с.

172. Прасолов, В.В. Геометрия / В.В. Прасолов, В.М. Тихомиров. - М.: Изд-во МЦНМО, 2013. - 336 с.

173. Препарата, Ф. Вычислительная геометрия / Ф. Препарата, М. Шеймос. -М.: Мир, 1989. - 478 с.

174. Птицына, М.Г. Некоторые задачи, связанные с полетом ракет и спутников, в учебном курсе начертательной геометрии / М.Г. Птицына // Преобразования геометрических фигур и их практические приложения: тр. Московского авиационного ин-та. - М.: МАИ, 1968. - Вып. 184. - С. 114-124.

175. Рабинский, Е.Б. Некоторые свойства направляющих линейчатых поверхностей с пропорциональной разбивкой / Е.Б. Рабинский // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский науч. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1967. - Вып. 5. - С. 106-109.

176. Рабинский, Е.Б. Аппроксимация функций кривыми 2-го порядка при построении плоских обводов / Е.Б. Рабинский // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1972. - Вып. 15. - С. 98-100.

177. Разработка методики выбора рациональных конструктивно-геометрических параметров гладких каркасно-сетчатых поверхностей строительных конструкций средствами начертательной геометрии и компьютерного геометрического моделирования: отчет о НИР / Южно-Уральский государственный ун-т; рук. Л.И. Хмарова; исполн.: В.А. Короткий [и др.]. - Челябинск, 2015. - 138 с.

178. Рожкова, Л.И. К вопросу конструирования плоских обводов / Л.И. Рож-кова // Вопросы прикладной геометрии: сб. работ аспирантов и соискателей, под ред. А.М. Тевлина. - М.: МАИ, 1966. - С. 51-58.

179. Розенфельд, Б.А. Аполлоний Пергский / Б.А. Розенфельд. - М.: Изд-во МЦНМО, 2004. - 175 с.

180. Розман, Б.М. Задача Аполлония и ее практическое приложение / Б.М. Розман. - М.: МАИ, 1964. - 36 с.

181. Ротков, С.И. Средства геометрического моделирования и компьютерной графики пространственных объектов для САЬБ-технологий: дис. ... д-ра техн. наук / С.И. Ротков. - Н. Новгород, 1999. - 287 с.

182. Ротков, С.И. К вопросу о заблуждениях в геометро-графической подготовке инженера / С.И. Ротков // Состояние, проблемы и тенденции развития графической подготовки в высшей школе: сб. тр. Всерос. совещания заведующих кафедрами графических дисциплин вузов РФ: в 2 т. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2006. - Т. 1. - С. 36-40.

183. Рыжков, В.В. Начертательная геометрия кривых линий и поверхностей/ В.В. Рыжков // Вопросы современной начертательной геометрии: сб. статей под ред. Н.Ф. Четверухина. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. - С. 244-285.

184. Рыжов, Н.Н. Геометрические условия как параметры / Н.Н. Рыжов, И.П. Гершман, А.М. Якубовский // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский науч. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1968. -Вып. 6. - С. 7-12.

185. Савелов, А.А. Плоские кривые / А.А. Савелов. - М.: Книжный дом «Либ-роком», 2009. - 296 с.

186. Сальков, Н.А. Приложение свойств циклиды Дюпена к изобретениям / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2017. - V. 5, I. 4. - С. 37-43.

187. Скопец, З.А. Преобразование двух кривых второго порядка в две окружности посредством гомологии / З.А. Скопец // Известия ВУЗов. Математика. - 1964.

- № 2(39). - С. 139-143.

188. Смогоржевский, А.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка / А.С. Смогоржевский, Е.С. Столова. - М.: Физматлит, 1961. - 263 с.

189. Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. - М.: Наука, 1990. - 256 с.

190. Субботин, Е.В. Диффузоры дымовых труб в виде оболочки вращения с криволинейной образующей / Е.В. Субботин, В.М. Асташкин // Вестник ЮУрГУ. Строительство и архитектура. - 2010. № 33. - С. 8-12.

191. Суворов, Ф.М. Об изображении воображаемых точек и воображаемых прямых на плоскости и о построении кривых линий второй степени, определяемых с помощью воображаемых точек и касательных. - Казань: Типография императорского Университета. - 1884. - 130 с.

192. Супоницкий, М.П. Коробовая линия парабол / М.П. Супоницкий // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1969. - Вып. 9. - С. 156-159.

193. Тевлин, А.М. Курс начертательной геометрии на базе ЭВМ / А.М. Тев-лин, Г.С. Иванов, Л.Г. Нартова, В.С. Полозов, В.И. Якунин. - М.: Высш. шк., 1983.

- 175 с.

194. Толок, А.В. Функционально-воксельный метод в компьютерном моделировании: монография / А.В. Толок. - М.: Физматлит, 2016. - 112 с.

195. Уокер, Р. Алгебраические кривые / Р. Уокер. - М.: Книжный дом «Либ-роком», 2009. - 240 с.

196. Устенко, Г.И. К вопросу о преобразовании кривых второго порядка с использованием сложного отношения четырех точек прямой / Г.И. Устенко, Ж.Г. Левина // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский науч. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1976. - Вып. 22. - С. 30-36.

197. Фокс, А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / М. Пратт, А. Фокс. - М.: Мир, 1982. - 304 с.

198. Цвицинский, И.В. Построение обводов технических форм с помощью коллинеаций / И.В. Цвицинский // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский науч. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1972. - Вып. 14. - С. 41-47.

199. Четверухин, Н.Ф. Введение в высшую геометрию / Н.Ф. Четверухин. -М.: Учпедгиз, 1935. - 216 с.

200. Четверухин, Н.Ф. Стереометрические задачи на проекционном чертеже / Н.Ф. Четверухин. - М.: Учпедгиз, 1955. - 128 с.

201. Четверухин, Н.Ф. Начертательная геометрия / Н.Ф. Четверухин, В.С. Левицкий, З.И. Прянишникова, А.М. Тевлин, Г.И. Федотов. - М.: Высшая школа, 1963. - 419 с.

202. Четверухин, Н.Ф. Проективная геометрия / Н.Ф. Четверухин. - М.: Просвещение, 1969. - 368 с.

203. Четверухин, Н.Ф. Параметризация и ее применение в геометрии / Н.Ф. Четверухин, Л.А. Яцкевич // Математика в школе. - 1963. - №5. - С. 20-25.

204. Четверухин, Н.Ф. О параметризации кривых линий и поверхностей и ее значении в учебном процессе / Н.Ф. Четверухин // Математика в школе. - 1964. -№5. - С. 29-33.

205. Четверухин, Н.Ф. О графической геометрии / Н.Ф. Четверухин // Вопросы прикладной геометрии: тр. Московского авиационного ин-та: сб. статей под ред. А.М. Тевлина. - М.: МАИ, 1972. - Вып. 246. - С. 5-9.

206. Шаль, М. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов / Мишель Шаль (1793-1880). - М.: М. Катковъ, 1883. - 333 с.

207. Шеин, В.Т. Построительная классификация кривых 2-го порядка и класса / В.Т. Шеин // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский науч. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1974. - Вып. 18. - С. 107-111.

208. Шикин, Е.В. Кривые и поверхности на экране компьютера / Е.В. Шикин, Л.И. Плисс. - Диалог-МИФИ, 1996. - 240 с.

209. Шульжевич, В.А. К вопросу о значении начертательной геометрии в 19 веке / В.А. Шульжевич // Начертательная геометрия и ее приложения: сб. тр. Ленинградского ин-та инженеров железнодорожного транспорта. - М.-Л.: изд-во «Транспорт», 1965. - Вып. 240. - С. 3-10.

210. Энциклопедия элементарной математики: в 5 т. Т. 4: Геометрия. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. - 567 с.

211. Якунин, В.А. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей. Формирование математической модели поверхности / В.А. Якунин. - М.: Изд-во МАИ, 1980. - 86 с.

212. Якунин, В.А. Судьбу начертательной геометрии должны определять специалисты / В.А. Якунин, Г.С. Иванов // Состояние, проблемы и тенденции развития графической подготовки в высшей школе: сб. трудов Всероссийского совещания заведующих кафедрами графических дисциплин вузов РФ: в 2 т. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2006. - Т. 1. - С. 31-36.

213. Engel, J.H. Konstruktionen zur Geometrie der Flächen zweiter Ordnung und der ebenen Kurven dritter Ordnung / J.H. Engel // Vierteljahrsschrift der Naturforschende Gesellschaft in Zürich, 1889. - pp. 299-337.

214. Glaeser, G. Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik / G. Glaeser. - Springer Spektrum, Berlin, 2014. - 508 p.

215. Hesse, L.O. Über die Construction der Oberflächen zweiter Ordnung, von welchen beliebige neun Puncte gegeben sind / L.O. Hesse (1811-1874) // Journal für die reine und angewandte Mathematic, herausgegeben von A.L. Crelle, Berlin. - 1842. -Band 24. - Heft 1. - pp. 36-39.

216. Hirst, T.A. On the Quadric Inversion of Plane Curves / Thomas Archer Hirst (1830-1892) // Proceedings of the Royal Society of London. - 1865. - Volume 14. - pp. 91-106.

217. Hudson, H.P. Cremona transformation in plane and space / Hilda Phoebe Hudson (1881-1965). - Cambridge University Press, 1927. - 454 p.

218. Korotkiy, V.A. Surface as an Object of Computer Geometric Modelling / V.A. Korotkiy, E.A. Usmanova, L.I. Khmarova // Procedia Engineering, Vol. 129, 2015, pp. 775-780.

219. Korotkiy, V.A. Dynamic connection of second-order curves / V.A. Korotkiy, E.A. Usmanova, L.I. Khmarova // 2016 2nd International Conference on Industrial Engineering, Application and Manufacturing (ICIEAM) // IEEE Conference Publications, 2016. - pp. 1-4. - DOI: 10.1109/ICIEAM.2016.7911687.

220. Korotkiy, V.A. Geometric Modeling of Construction Communications with Specified Dynamic Properties / V.A. Korotkiy, E.A. Usmanova, L.I. Khmarova // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 262 (2017) 011001 D0I:10.1088/1757-899X/262/1/012110. The 2017 International Conference on Construction, Architecture and Technosphere Safety (ICCATS 2017).

221. Korotkiy, V.A. Kinematic Metods of Designing Free Form Shells / V.A. Korotkiy, L.I. Khmarova // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 262 (2017) 011001 D0I:10.1088/1757-899X/262/1/012109. The 2017 International Conference on Construction, Architecture and Technosphere Safety (ICCATS 2017).

222. Kramer, W. Darstellende Geometrie / W. Kramer. - Berlin: HumboldtUniversität, 1959. - 188 p.

223. Reye, T. Die Geometrie der Lage. Zweite Abtheilung / T. Reye. - Leipzig: Baumgärtner's Buchhandlung, 1892. - 330 p.

224. Rohn, K. Lehrbuch der Darstellenden Geometrie. In zwei Bänden. Band 2: Die Flächen zweiten Grades / E. Papperitz, K. Rohn. - Leipzig, 1896. - 270 p.

225. Severi, Fr. Lezioni di geometria algebrica. - Padova: Angelo Graghi, 1908. Перевод на нем.: Vorlesungen über algebraische Geometrie: Geometrie auf einer Kurve, Riemannsche Flächen, Abelsche Integrale. - Berlin-Leipzig, B.G. Teubner, 1921. Имеется перевод с нем.: Лекции по алгебраической геометрии: Геометрия на кривой, римановы поверхности, абелевы интегралы, 2011 (Lezioni-Severi-ru.pdf, документ с сайта bkmd. Narod.ru).

226. Staude, E.O. Flächen 2. Ordnung und ihre Systeme und Durchdringungskurven / E.O. Staude (1857-1928) // In Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften. Band III: Geometrie, Th. 2, H. 2. - Leipzig, B.G. Teubner, 1904. - pp. 161-256.

318

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Акт внедрения части результатов диссертационной работы Короткого В.А., относящихся к автоматизированному построению кривых второго порядка, на предприятии «Урало-Сибирская пожарно-техническая компания», г. Миасс.

Приложение 2. Акт внедрения проекта двояковыпуклой поверхности, содержащей прямолинейные образующие, в ООО «Контроль и экспертиза» (свидетельство об аккредитации № ЯЛ.Ки.611080), г. Челябинск.

Приложение 3. Технический акт внедрения результатов диссертационной работы Короткого В.А., на предприятии ООО НПП «Сварка-74», г. Челябинск.

Сваркаф

ООО НПП «Сварка-74» г.Челябинск, ул.Рылеева, д.11 Тел/Факс: [phone] e-mail: ¡[e-mail]

исх. т •/от {6,о4.2оЩ г

ТЕХНИЧЕСКИЙ АКТ внедрения результатов диссертационной работы Короткого Виктора Анатольевича на тему: "Кривые второго порядка в конструктивных задачах компьютерного геометрического моделирования", представленной на соискание ученой степени доктора технических наук но специальности 05.01.01 «Инженерная геометрия и компьютерная графика»

1 .ООО «Научно-производственное предприятие «Сварка 74» специализируется на разработке технологий роботизированной сварки сложных технических систем, корпуса которых во многих случаях представляют собой конструкции оболочкового типа с различными патрубками, штуцерами, отводами, стыкуемыми элементами в виде труб, арматуры, деталей различной формы и т. д. При этом, в компьютерную программу роботов необходимо вводить данные, основанные на сопряжении стыкуемых элементов, пересечение которых представляет собой сложные кривые, по которым движется сварочная горелка или электрод в робототехнических системах. Предложенный В.А. Коротким способ конструирования плоского сопряжения поверхностей вращения второго порядка (глава 3 п. 3.4.2. диссертации) позволил уточнить траекторию движения электрода по секущим плоскостям, что обеспечивает качество сварки соединяемых элементов и необходимую глубину проплавления. Способ практически реализован при изготовлении тройников, отводов и других оболочковых конструкций.

2. При проектировании пространственных стержневых конструкций требуется находить положение прямолинейных фиксирующих стержней, связывающих четверки скрещивающихся направляющих, и указывать места сварки фиксирующего стержня с четырьмя заданными, обеспечивая точность сборки и последующей сварки. Для решения этой задачи средствами трехмерного

www.svarkaQru

компьютерного геометрического моделирования используется предложенный В.А.Коротким алгоритм, основанный на вычерчивании вспомогательных кривых второго порядка с помощью разработанного в диссертации программного средства «Компьютерный коникофаф" (глава 6, п. 6.3.5 диссертационной работы).

Генеральный директор ООО «НПП Сварка 74» , доктор технических наук

Шахматов М.В.

Приложение 4. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Приложение 5. Заключение МСНТ, г. Миасс.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Межрегионального совета по науке и технологиям

на работу Короткого Виктора Анатольевича "Графоаналитические алгоритмы конструирования одномерных и двумерных динамических обводов"

Рассмотрев рукопись доклада Короткого В.А. "Графоаналитические алгоритмы конструирования одномерных и двумерных динамических обводов" на XII Международном симпозиуме по фундаментальным и прикладным проблемам науки (12-14 сентября 2017 года, г. Миасс, Россия), опубликованную в Материалах XII Международного симпозиума "Фундаментальные и прикладные проблемы науки" (М.: РАН, 2017),

а также во исполнение Решения XII Международного симпозиума по фундаментальным и прикладным проблемам науки от 14.09.2017 г. № ФПГТН-44,

Межрегиональный совет по науке и технологиям принимает следующее Заключение:

1. Признать научные результаты, содержащиеся в работе Короткого В.А. "Графоаналитические алгоритмы конструирования одномерных и двумерных динамических обводов", в качестве основы для подготовки и последующей защиты диссертации на соискание ученой степени доктора наук.

2. Рекомендовать Короткому В.А. подготовить рукопись монографии (объемом 120-180 страниц текста) по материалам выполняемой диссертации с учетом ее последующей публикации в серии "Итоги науки" (М.: РАН, 2017).

Н.П. Ершов

ФОНД СОДЕЙСТВИЯ ИННОВАЦИЯМ

III

Заявка С1-37751

Подана:

ИНФОРМАЦИЯ О ПРОЕКТЕ

Тематика проекта

Название проекта

Разработка вихревых инжекционных горелок повышенной эффективности для газовых турбин

Название проекта на английском языке:

Название НИОКР 1-ого года (этапа) реализации проекта Разработка конструкции высокоэффективных вихревых инжекционных горелок для газовых турбин с изготовлением и испытанием экспериментальных образцов.

Название НИОКР 2-ого года (этапа) реализации проекта Разработка конструкторской документации с изготовлением опытных партий инжекционных горелок.

Название НИОКР 3-ого года (этапа) реализации проекта Доработка конструкторской документации для мелкосерийного производства, изготовление мелких серий по заказам потребителей

Направление программы СТАРТ: Н4 Новые приборы и аппаратные комплексы

Фокусная тематика: Автономные источники энергии

Приоритетные направления:

Энергоэффективностъ, энергосбережение, ядерная энергетика

Критическая технология федерального уровня:

Технологии энергоэффективного производства и преобразования энергии на органическом

информация о заявителе и участниках проекта

Основные сведения

Руководитель (потенциальный) предприятия:

Карипова Римма Наиловна

Научный руководитель:

Карипов Рамзиль Салахович

Участие в конкурсном отборе:

Презентация проекта будет проводиться в режиме видеоконференции Другие члены проектной команды:

Сотрудник Должность Роль в проекте Опыт и квалификация

Короткий Виктор Анатольевич лопенг кафедры инженерной графики компьютерная графика. 30-моделн. ПО для станков с ЧПУ кандидат технических наук

Ковалёв Юрий Михайлович профессор, зав. кафедрой вычислительной механики сплошных срез Расчет газодинамических процессов Доктор физико-математических наук

Скоробогатов Алексей Валерьевич зам начальника управления энергетики - главного энергетика начальник энерго-сервнсного отдела ФГАОУ ВО "ЮУрГУ" испытания инжекпионных горелок, оформление протоколов испытаний сертификат на право обслуживания и эксплуатации оборудования Capstone серии 200 1000

Карипов Денис Рамзнлевнч ннженер-конструктор проектирование инжекпионных горелок. САПР

Потапов .Александр Сергеевич начальник ннновадионного отдела ФГАОУ ВО "ЮУрГУ" (НПУ менеджер по маркетингу н продажам опыт работы в маркетинге н продажах -более 10 лет. ВЗФ'ЭИ

страница 2 из 24

о Ю1

И К)

Е ^

В 00

О) b-j

О

Я

и _

о

SC OJ

<jj о £

Ф 00

О)

о н

о

U)

о

Ul

К) о

00

3

Я и я о о н Я

to и

т

й it

2 ^ СО rvj

Е w

й 2

тз н «

я Р я

si tö

я

со Й

^ S

5 СО

Я V

В х

« О

я

о Р

Я

я

*

О) «

Я

я о я

о S

н

£ н

. о

^ §

н^ О

«

а ■в в

£э о

X

CD

ЕС В

CD р\

СО

И

«

Р

я

р

-ö

р

я U)

н

К)

е U)

о

s

я

о

-ö

2

Р

Я

я

üq

О

я

-ö

о

О)

«

н

О)

О ч о и о -ö