Теоретическое описание неравновесного критического поведения двумерной структурно неупорядоченной XY-модели методами Монте-Карло тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Попов Иван Сергеевич

• Попов Иван Сергеевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Попов Иван Сергеевич

1.1 Введение

1.2 Фазовые переходы и критические явления

1.3 Динамическое критическое поведение

1.4 Системы с медленной динамикой и эффекты старения

1.5 Двумерная XY-модель и фазовый переход Березинского-Костерлица-Таулесса

1.6 Методы моделирования критического поведения однородных и структурно неупорядоченных систем

2 Исследование неравновесного критического огрубления, фрагментации и неравновесной вихревой динамики однородной

и структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели

2.1 Введение

2.2 Огрубление и фрагментация в двумерной XY-модели

2.3 Метод определения геометрических характеристик кластеров в системе

2.4 Метод исследования вихревых возбуждений в структурно неупорядоченной системе

2.5 Исследование динамики кластеризации в системе при различных температурах и концентрациях спинов

2.5.1 Исследование динамики огрубления

2.5.2 Исследование динамики фрагментации

2.5.3 Равновесие при огрублении и фрагментации

2.5.4 Понижение размерности кластеризации

2.6 Исследование вихревой динамики в системе при различных температурах и концентрациях спинов

2.7 Исследование механизма влияния структурного беспорядка на процесс огрубления через вихревую подсистему

2.8 Выводы

3 Исследование эффектов старения в однородной и структурно неупорядоченной двумерной XY-модели при релаксации из различных начальных состояний

3.1 Введение

3.2 Исследование эффектов старения в процессе релаксации системы из начального высокотемпературного состояния

3.2.1 Исследование эффектов старения

3.2.2 Исследование температурной и концентрационной зависимости флуктуационно - диссипативного отношения

3.3 Исследование эффектов старения в процессе релаксации системы из начального низкотемпературного состояния

3.3.1 Старение и нарушение флуктуационно - диссипа-тивной теоремы

3.3.2 Субстарение и нарушение флуктуационно - дис-сипативной теоремы

3.4 Выводы

4 Численное исследование равновесных низкотемпературных

о о __о

свойств однородной и структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели

4.1 Введение

4.2 Численное исследование однородной системы в рамках динамик Метрополиса и Кавасаки

4.3 Определение критической температуры структурно неупорядоченной системы с различной концентрацией дефектов

4.4 Исследование температурной зависимости и влияния структурного беспорядка на поперечную жесткость системы

4.5 Исследование температурной и концентрационной зависимости аномальной размерности системы

4.6 Выводы

5 Заключение

Литература

Введение

Исследование неравновесного критического поведения систем вызывает значительный фундаментальный и практический интерес [1-16]. С приближением к критической точке в системе возникают аномально большие и долгоживущие флуктуации основных термодинамических величин, характеризующиеся сильным взаимодействием. Введение в систему структурного беспорядка приводит к дополнительному эффекту взаимодействия флуктуаций через поле дефектов структуры [5,8,9,11].

Понижение размерности приводит к усилению флуктуационных эффектов [13-16]. Переход к рассмотрению систем с непрерывной симметрией также сопровождается увеличением роли флуктуаций в общей картине критического поведения [17-21]. К настоящему времени низкоразмерные системы с непрерывной симметрией представляют обширную область исследований теоретической [1-4,12,13,22-25], вычислительной [2,3,26-35], и экспериментальной [2,3,36,37] физики.

Исследование низкоразмерных систем вызывает особенный интерес с точки зрения теории фазовых переходов, согласно которой асимптотические зависимости критических свойств системы определяются главным образом симметрией параметра порядка, размерностью системы и характером взаимодействия в системе [5-9,15,16].

Согласно теореме Мермина-Вагнера [17] в двумерных системах с непрерывной симметрией основного состояния дальний порядок разрушается при всех конечных температурах аномально сильными попе-

речными (с ненулевым «ротором») флуктуациями спиновой плотности. Это приводит к флуктуационному срыву фазового перехода, связанного с возникновением низкотемпературной упорядоченной фазы [18,19]. Однако с начала 70-х годов известно, что в двумерных системах с двух-компонентным параметром порядка возникает топологический фазовый переход Березинского-Костерлица-Таулесса (БКТ) [17-21] при температуре Твкт, связанный со сменой асимптотик пространственной корреляционной функции с экспоненциальной в высокотемпературной фазе на степенную - в низкотемпературной. Физически фазовый переход БКТ связан с образованием в низкотемпературной фазе при Т < Твкт связанных состояний «вихрей» и «антивихрей» - «вихревых квазимолекул» [19], разрушающихся в высокотемпературной фазе Т > Твкт. Низкотемпературная фаза характеризуется отличной от нуля величиной поперечной жесткости р [18].

Двумерная XY-модель является одной из базовых фундаментальных моделей исследования фазовых переходов и критических явлений в статистической физике и кинетике и представляет дискретный вариант двумерной системы с двухкомпонентным параметром порядка, где имеет место фазовый переход БКТ [18,19]. Важной особенностью фазового перехода БКТ в двумерной XY-модели является то, что в низкотемпературной фазе Т < Твкт каждая температура становится критической, т.е. наблюдается непрерывный каскад фазовых переходов [18-21]. Это позволяет провести определенную аналогию между неравновесными эффектами в двумерной ХУ-модели и поведением спинового стекла [38-43].

В состоянии термодинамического равновесия [18-21] в низкотемпе-

ратурной фазе T < TBKT все вихри и антивихри связаны в вихревые квазимолекулы, межъядерное расстояние в которых меньше постоянной решетки в области низких температур T ^ TBKT. Дальнего порядка в системе нет, он разрушается поперечными флуктуациями спиновой плотности. Несмотря на это, спины в системе упорядочиваются в области локального упорядочения - области «квазидальнего порядка» (англ. «quasi-long-range-order area») [44,45]. Таким образом, в термодинамике двумерной XY-модели можно выделить две основные составляющие - вихревую подсистему [18,19] и подсистему областей квазидальнего порядка [44,45]. Вихревая подсистема определяется как подсистема вихрей и антивихрей в системе. Подсистема областей квазидальнего порядка состоит из спиновых областей с медленно меняющейся от узла к узлу ориентацией спинов [44,45], в частности включая подсистему спиновых волн в спин-волновом приближении [46].

Большинство реальных системы содержат дефекты структуры. Работа Харриса [47], посвященная влиянию немагнитной примеси на критический свойства магнитных систем, вызвала значительный интерес к исследованию критического поведения структурно неупорядоченных систем. Согласно сформулированному Харрисом критерию, дефекты данного типа существенно видоизменяют критические свойства системы, если в однородном варианте теплоемкость расходится в критической точке, т.е. критический индекс а > 0. В случае а < 0 влияние примеси сводится к изменению такой неуниверсальной характеристики критического поведения, как критическая температура Tc, которая снижается с ростом примесной концентрации и обращается в нуль при исчезновении спиновой перколяции. Согласно критерию Хар-

риса, в двумерной XY-модели влияние структурного беспорядка несущественно вблизи точки перехода БКТ Твкт. Однако, как показали результаты работ [44-46], влияние структурного беспорядка становится существенным в низкотемпературной фазе Т < Твкт, где наличие дефектов приводит к изменению значений показателей для равновесной корреляционной функции и к их концентрационной зависимости.

С введением в систему структурного беспорядка появляется ряд дополнительных процессов [28,30,33-35]: пиннинг вихревых возбуждений и рассеяние спиновых волн на дефектах структуры. Процесс пин-нинга существенно сказывается на критических свойствах [34], существенно замедляя процессы локальной вихревой релаксации, при этом вихревые возбуждения длительно пиннингуются в потенциальных ямах вблизи дефектов.

Эффективным методом исследования вкладов различных подсистем в общую картину критического поведения является исследование неравновесной критической релаксации из различных начальных неравновесных состояний [48]. Для раздельного исследования влияния вихревой подсистемы и подсистемы спиновых волн можно рассмотреть два существенно разных начальных состояния - высокотемпературное и низкотемпературное. Высокотемпературное начальное состояние создается как равновесное состояние для системы с температурной Т0 ^ Твкт. При этом в системе присутствует значительное количество свободных вихревых элементарных возбуждений, концентрация которых существенно неравновесна для низкотемпературной фазы Т < Твкт. Таким образом, данное состояние является «вихревым начальным состоянием». Противоположностью начальному высокотемпературному, вих-

ревому, состоянию служит низкотемпературное состояние, получаемое как основное состояние системы, при T0 = 0. Вихревые возбуждения в данном случае отсутствуют, и релаксация происходит преимущественно за счет спин-волновых эффектов, в особенности при T ^ TBKT. Данное начальное состояние является «безвихревым».

Процесс неравновесной критической релаксации системы к состоянию термодинамического равновесия сопровождается такими неравновесными процессами [48], как неравновесная аннигиляция вихрей и антивихрей с образованием локально упорядоченных областей, диффузия вихревых возбуждений и их взаимодействие. При этом на стадии неравновесной релаксации в системе в низкотемпературной фазе T < TBKT даже в области низких температур T ^ TBKT может присутствовать определенная концентрация вихревых возбуждений, не связанных в квазимолекулы [48].

В процессе неравновесной релаксации из начального вихревого состояния изначально в системе области квазидальнего-порядка практически отсутствуют - система полностью разупорядченная. С течением времени малые области растут и объединяются в более крупные, с уменьшением их общего количества. Данный процесс является процессом критического огрубления и приводит к локальному упорядочению системы [49]. Таким образом, двумерная XY-модель относится к динамическим системам с огрублением (англ. coarsening dynamical systems) [50-53]. Исследование процесса огрубления является современной актуальной научной задачей. Огрубление встречается в исследованиях кристаллического роста [54,55], наносуспензий и нано-эмульсий (т.н. «ozou» эффект) [56-58], мороженого [59], квантовых

точек [60-62], многих задачах астрофизики и космологии [63,64], а также в широком диапазоне задач материаловедения [65,66]. Динамическим системам с огрублением свойственны многие универсальные особенности, объединенные самой концепцией огрубления, а не конкретным видом системы [50-53].

Противоположностью огрублению в процессе релаксации из начального высокотемпературного состояния для релаксации из начального низкотемпературного состояния можно ввести процесс «фрагментации», связанный с фрагментацией крупных структур на малые, с увеличением их общего количества. Изначально в системе присутствует одна упорядоченная область, которая с течением времени за счет тепловых флуктуаций распадается на множество локально упорядоченных областей. При этом, возможно, в системе сначала протекает фрагментация, а затем огрубление. Фрагментацию и огрубление в дальнейшем будем называть процессом «кластеризации» областей квазидальнего порядка.

Неравновесная критическая релаксация относится к области кооперативного поведения [67,68], связанного с возникновением диссипа-тивных структур в динамических процессах. Кластеризация областей квазидальнего порядка и неравновесная вихревая динамика, их непосредственное и опосредственные взаимодействия как раз и являются примерами самоорганизующихся структур в неравновесном критическом поведении двумерной ХУ-модели.

Двумерная ХУ-модель используется для описания критических свойств широкого спектра реальных физических систем [24]. В первую очередь к ним можно отнести ультратонкие магнитные пленки, в частности [69] 1-2.5 МЬ (атомных слоев) Ре/Ли(100) в области температур Т

К, 2 ML Fe/W(100) при T 180-220 К, Лg/2.2 ML Fe/W(100) при T 270-330 К, 2 МЬ Со/Си(100) при Т 230-410 К и 3-6.2 МЬ Ш/Си(100) при Т 210-388 К. Использование ультратонких магнитных пленок особенно актуально в современных и перспективных технологиях повышения плотности записи информации на магнитные носители [70,71]. Критические свойства обширного класса планарных магнетиков типа «легкая плоскость» [72-75], в том числе достаточно специфические ^СгСЦ [76], (СбНвСН2Шз)2СгВг4 [77], (СНзШз^МпСЦ [78], (tetrenH5)o.8Cu4[W(CN)8]4 • 7.2Н20 [79], описывают в рамках двумерной ХУ-модели. Сверхпроводящие тонкие пленки [80-83], решетки джо-зефсоновских контактов [84-86] и контактов SFS (сверхпроводник -ферромагнетик - сверхпроводник) [87-89], двумерные кристаллы [19], смектические жидкие кристаллы [90-95], некоторые корреляционные свойства двумерной турбулентности [96], сингулярности в критических свойствах сверхтекучих тонких пленок жидкого гелия [97-104], плавление нескольких слоев сорбированного ксенона в монокристаллическом графите [105], процесс сорбирования водорода на вольфраме W(011) р(2 х 2) [106], и некоторые свойства многих других систем [24, 107] описываются с использованием двумерной ХУ-модели. Двумерная ХУ-модель используется для описания динамических свойств даже таких экзотических систем, как стаи птиц [108] и некоторых других форм коллективного поведения живых организмов [109,110].

Если статические свойства двумерной ХУ-модели можно считать достаточно хорошо исследованными [24], то исследование неравновесного критического поведения таких систем и влияние на него структурного беспорядка остается актуальной нерешенной задачей. Это обусловлено

явлениями медленной релаксации из начального неравновесного состояния [48,111-124], в частности эффектами старения, памяти и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы, влиянием на них сильной вихревой неравновесности, кластеризации областей квазидальнего порядка и пиннинга вихрей на дефектах.

В соответствии с вышеизложенным были поставлены цели работы:

- исследование влияния структурного беспорядка на неравновесные эффекты старения и нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы в системе.

- определение влияния неравновесной вихревой динамики и спин-волновых элементарных возбуждений на процесс медленной критической релаксации системы из начального вихревого и безвихревого неравновесного состояния.

- исследование неравновесной критической кластеризации в системе с дефектами для различных начальных неравновесных состояний, исследование взаимного влияния процесса локального упорядочения в области квазидальнего порядка и процессов неравновесной вихревой динамики.

- численное исследование поперечной жесткости структурно неупорядоченной системы в низкотемпературной фазе, определение пределов применимости спин-волнового приближения и сравнение с результатами для однородной системы.

- исследование динамических критических свойств двумерной ХУ-модели в рамках диссипативной модели критической релаксации и модели с сохраняющимся параметром порядка.

Научная новизна результатов

1. Впервые осуществлено численное моделирование неравновесной критической релаксации структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели во всей низкотемпературной фазе Т < Твкт в широком диапазоне спиновой концентрации р из двух различных неравновесных начальных состояний - низкотемпературного Т0 = 0 и высокотемпературного Т0 ^ Твкт. Исследованы эффекты старения и нарушения флу-ктуационно-диссипативной теоремы в широком диапазоне времен ожидания и определены асимптотики перехода ^ ^ то на скейлинго-вых динамических режимах. Определены температурные зависимости асимптотического значения величины флуктуационно-диссипативного отношения X: степенные для начального высокотемпературного состояния и универсальная линейная - для низкотемпературного.

2. Впервые обнаружены эффекты субстарения для релаксации однородной и структурно неупорядоченной системы из начального низкотемпературного состояния. Исследованы соответствующие скейлинги и определена температурная и концентрационная зависимости индекса субстарения д(Т,р). Показано, что д(Т,р) = п(Т,р), где п(Т,р) -аномальная размерность системы.

3. Впервые показано, что спин-волновое приближение принципиально не позволяет получить правильной температурной зависимости поперечной жесткости для системы с дефектами, и для адекватного описания свойств неупорядоченной системы даже в области низких температур требуется учет взаимодействия вихревой составляющей с полем дефектов структуры.

4. Впервые осуществлено прямое численное исследование класте-

ризации в однородной и структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели. Обнаружен эффект аномального замедления процесса кластерного огрубления в неупорядоченной системе.

5. Впервые разработан и реализован метод поиска и идентификации вихревых элементарных возубждений в структурно неупорядоченной системе. Исследованы динамические зависимости процесса неравновесного пиннинга вихревых возбуждений. Показано, что динамика кластерного огрубления определяется динамикой свободных и пиннин-гованных вихревых возбуждений, и аномальное замедление кластеризации связано с замедлением вихревой динамики вследствие пиннинга вихревых возбуждений на дефектах.

6. Впервые показано, что неравновесное критическое поведение двумерной ХУ-модели во всей низкотемпературной фазе Т < Твкт описывается в рамках релаксационной модели А с несохраняющимся параметром порядка, а применение модели В с сохраняющимся параметром порядка возможно только в области низких температур Т ^ Твкт.

Научная и практическая значимость работы

Научная значимость работы обусловлена необходимостью выявления природы неравновесных процессов критической релаксации в структурно неупорядоченных системах и необходимостью разработки и апробации методик численного исследования неравновесных критических явлений. Особую значимость результаты работы могут принести при истолковании результатов натурных экспериментов над системами с медленной динамикой, в частности при нарушении связи между корреляционными функциями и функциями отклика.

Практическая значимость работы обусловлена важностью в различ-

ных областях систем, описываемых двумерной ХУ-моделью, что требует глубокого понимания явлений в данной модели. В частности, использование ультратонких магнитных структур в технологиях повышения плотности магнитной записи, требует детальных сведений о процессе релаксации системы.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика численного исследования неравновесных критических свойств однородной и структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели при релаксации из различных начальных неравновесных состояний и методика определения температурных и концентрационных зависмо-стей асимптотического значения величины флуктуационно-диссипативного отношения Xто(Т,р) с использованием скейлинговых зависимостей и набора времен ожидания широкого диапазона.

2. Неравновесная критическая релаксация системы из низкотемпературного состояния демонстрирует эффекты субстарения с показателем д(Т,р) = п(Т,р). Температурная зависимость асимптотического значения флуктуационно-диссипативного отношения Xто(Т,р) характеризуется универсальной зависимостью от Т/Твкт(р) для различных спиновых концентраций р.

3. При релаксации системы из начального высокотемпературного состояния температурная зависимость асимптотического значения флу-ктуационно-диссипативного отношения Xто(Т,р) имеет степенной вид. Введение в систему дефектов структуры приводит к понижению критического значения флуктуационно - диссипативного отношения в Твкт за счет процесса пиннинга вихрей.

4. Полученные численно и аналитически значения поперечной жест-

кости в однородной и структурно неупорядоченной системах указывают на существование нелинейных ангармонических спин-волновых эффектов и вкладов от межвихревого взаимодействия в чистой системе. Спин-волновое приближение не применимо для неупорядоченной системы вследствие пиннинга вихревых возбуждений на дефектах.

5. Методика исследования неравновесного процесса кластеризации и неравновесной вихревой динамики в однородной и структурно неупорядоченной двумерной XY-модели при релаксации из высокотемпературного и низкотемпературного начального состояния. Эффект аномального замедления процесса огрубления в структурно неупорядоченной системе обусловлен «окаймляющим» действием вихревой подсистемы.

6. Релаксация двумерной XY-модели в низкотемпературной фазе корректно описывается динамикой Метрополиса с несохраняющимся параметром порядка, в то время как динамика Кавасаки с сохраняющимся параметром применима для описания только низкотемпературных свойств с T ^ Твкт.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретическое описание неравновесного критического поведения двумерной структурно неупорядоченной XY-модели методами Монте-Карло»

Апробация работы

Основные результаты научной работы докладывались и обсуждались на Всероссийском научном семинаре «Вычислительная физика: алгоритмы, методы и результаты» (Таруса, 2011), на региональных научно-практических конференциях «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2011, 2012, 2013, 2014), на VIII Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2012), на научно-практических семинарах «Вычислительная физика и суперкомпьютерные технологии» (Омск, 2012, 2013, 2014), на «XXV IUPAP Conference on Computational Physics» (Moscow, 2013), на «Moscow

International Symposium on Magnetism (MISM)» (Moscow, 2014), на «Двадцать первой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых» (ВНКСФ-21, Омск, 2015), на Международной конференции «Spin physics, spin chemistry and spin technology» (St. Petersburg, 2015), на «International Conference on Computer Simulation in Physics and beyond» (Moscow, 2015), на семинаре «Методы суперкомпьютерного моделирования» (Таруса, 2015), а также на научных семинарах кафедры теоретической физики ОмГУ.

Публикации

Список публикаций автора по теме диссертации включает 25 работ [125-149], опубликованных в российских и иностранных журналах, сборниках трудов и материалах конференций, из которых 8 статей [127-134] в журналах из баз цитирования Scopus и Web of Sciense и перечня ВАК, монография [125] и обзорная статья в сборнике [126], а также 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [146-149].

1 Динамические критические явления и методы их описания

1.1 Введение

Хорошо известно, что многобразие критического поведения различных систем при фазовых переходах принято явно разделять на статические и динамические критические явления [1,5-11,13-16]. Статические критические явления представляют собой поведение системы в критической точке в состоянии термодинамического равновесия. В противоположность этому в области динамических критических явлений рассматриваются процессы релаксации системы к состоянию термодинамического равновесия. В последние годы особенно актуальным стало рассмотрение динамики релаксации систем, когда можно явно выделить влияние начального неравновесного состояния [48,111-124]. Это позволяет более подробно исследовать влияние различных термодинамических вкладов в общую картину критического поведения. При моделировании это позволяет определять в том числе и статические величины через параметры начального неравновесного поведения [150-153], что позволяет не затрачивать ресурсы на приведение системы в равновесное состояние. Это становится особенно важным с приближением к критической точке, так как вследствие эффекта критического замедления времена релаксации неограниченно возрастают.

В данной главе сделан общий обзор современного состояния представлений о динамических критических явлениях и методах их описания.

1.2 Фазовые переходы и критические явления

Фазовые переходы являются широко распространенными явлениями в природе. Под фазовыми переходами подразумевают переходы вещества [7, 154] из одной термодинамической фазы в другую. Термодинамическая фаза - статистически однородное состояние вещества, т.е. такое состояние системы, когда физические свойства во всех ее точках одинаковы. При сосуществовании в системе двух или трех фаз, между ними существует граница раздела фаз, характеризуемая поверхностной энергией. При движении по фазовой диаграмме системы линии (в более общем случае - поверхности) раздела фаз, с разных сторон от которых фазы различны, называют кривыми фазового равновесия.

Наиболее широко используемой [7] классификацией фазовых переходов является классификация Эренфеста (1933 г.). согласно которой можно выделить фазовые переходы первого рода (ФП I) и фазовые переходы второго рода (ФП II).

ФП I происходят путем появления новой фазы в объеме старой фазы в виде зародышей новой фазы [7]. Вблизи или выше точки ФП I зародыши имеют сверхкритический размер и постепенно увеличиваются, постепенно увеличивая объем новой фазы в массиве старой. Вследствие наличия границ раздела и различия в плотности фаз, ФП I происходит с поглощением или выделением тепла, называемого скрытой теплотой фазового перехода. При этом ФП I характеризуются разрывом первых производных химического потенциала при переходе через кривую равновесия фаз.

При протекании ФП II, напротив, новая фаза сразу возникает во

всем объеме системы, полностью заменяя собой старую фазу, вследствие чего их называют непрерывными фазовыми переходами [7]. Сосуществование двух фаз, разделяемых ФП II, исключено. ФП II характеризуется тем, что первые производные от химического потенциала непрерывны, а вторые производные терпят конечный или бесконечный разрыв. Данного типа фазовые переходы обычно связаны со спонтанным нарушением симметрии системы.

Система в точке ФП II находится в критическом состоянии, в котором возникают критические явления. Под критическими явлениями обычно подразумевают процессы, связанные с возникновением в системе аномально больших, долгоживущих и сильно взаимодействующих флуктуаций основных величин. Критическим явлениям свойственны аномально высокие значения восприимчивости системы в критическом состоянии, аномально медленная динамика релаксации и развитая хаотичность поведения, приводящая к сложной предсказуемости временных зависимостей значений локальных величин.

При движении вдоль кривой фазового равновесия, через которую происходит ФП I, возможна ситуация, когда кривая закончится в критической точке. В окрестности критической точки происходят критические явления и ФП I, в некотором смысле, становится похожим на ФП II - скачки первых производных химического потенциала становятся малыми, при этом возникает аномальное поведение вторых производных химического потенциала. Обычно необходимым условием существования критической точки является совпадение неприводимых представлений групп симметрии переходящих друг в друга фаз («жидкость»-«газ», но не «кристаллическое состояние»-«жидкость»).

Таким образом, все это определяет физическую общность между фазовыми переходами и критическими явлениями [7, 154]. Критическим явлениям, вследствие их флуктуационного характера, свойственна универсальность, когда явления из физически совершенно различных систем (смена агрегатных состояний, переходы между различными состояниями магнитного упорядочения в материалах, между различными кристаллическими модификациями и т.п.) описываются одинаковым набором закономерностей вблизи критической точки.

Первая универсальная теория фазовых переходов была предложена Л.Д. Ландау [154] и объединила существовавшие до этого теории критического поведения. Было введено фундаментальное для фазовых переходов понятие - параметр порядка, используемое для описания спонтанного нарушения симметрии при смене фаз. Теория Ландау базировалась на разложении термодинамического потенциала вблизи температуры фазового перехода в ряд по степеням параметра порядка с аналитическими по температуре коэффициентами разложения. Главный недостаток теории Ландау - отсутствие учета корреляции микроскопических переменных вследствие рассмотрения усредненной самосогласованной картины явления [1,5-9,11,12,14-16]. Теория Ландау, как и существовавшие до этого теории критических явлений, относятся к теориям среднего поля.

Поведение некоторых основных физических величин вблизи критической точки Тс подчиняется степенным зависимостям с показателями, называемыми критическими индексами. Вблизи критической температуры поведение намагниченности М (Т), восприимчивости х (Т), теплоемкости С (Т), критической изотермы М (Н,Тс), корреляционной длины

£ и пространственной корреляционной функции С (г) можно представить следующим образом [7,153]:

С (Т) - |Т - Тс|-а М (Т) - (Тс - Т)в X (Т) -|Т - Тс -

М (й,Тс) - ^

£ (Т) -|Т - Тс| С (г, Тс) - 1

-V

с

|г| ^-2+п'

1.1) 1.2)

1.3)

1.4)

1.5)

1.6)

где а, в, 7,^, V, п - критические индексы термодинамических функций и ^ - размерность системы. п носит название критического индекса Фишера и показывает величину аномальной размерности системы. Восприимчивость и корреляционная длина при Т = Тс расходится. Корреляционная длина £ показывает характерный линейный размер областей сильной корреляции локального поля параметра порядка в системе. Вдали от критической точки при Т ^ Тс корреляционная длина £ порядка межчастичного расстояния, но с приближением к критической точке размеры коррелированных областей неограниченно растут. При этом экспоненциальный спад пространственной корреляционной функции С(г) сменяется степенным.

Полный набор критических индексов а, в, 7,^, V, п характеризует состояние системы в равновесии и определяет класс универсальности критического поведения - системы, обладающие одинаковым набором критических индексов относятся к одному классу универсальности [153].

Критические индексы и корреляционная длина являются базовыми основными понятиями теории критического поведения. В окрестности

критической точки Тс корреляционная длина £ является главным пространственным масштабом, растущим неограниченно с приближением к Тс. Вследствие этого все основные равновесные термодинамические характеристики становятся функциями только £. В результате возникает свойство масштабной инвариантности системы. «Микроскопические» параметры системы, такие как постоянная кристаллической решетки, несущественны для критического поведения. Существенными характеристиками становятся такие «глобальные» параметры, как размерность системы, симметрия параметра порядка, характер взаимодействия. Для системы с совпадающими «глобальными» характеристиками наборы критических индексов приблизительно совпадают.

Данные соображения ложатся в основу гипотезы скейлинга, согласно которой в критической точке макроскопические параметры не меняются при изменении пространственного масштаба, т.е. макроскопические характеристики определяются флуктуациями масштаба только корреляционной длины £, которые зависят только от симметрии параметра порядка, размерности системы и характера взаимодействия в системе. Эти факты легли в основу ренормализационно группового подхода описания и флуктуационной теории критических явлений. Основы современной теории критического поведения были заложены в работах А.З. Паташинского, В.Л. Покровского [9] и Л.П. Каданова [156], а развитие метода ренормализационной группы - в работах К. Вильсона [5].

Важным свойством системы в критической точке, согласно гипотезе подобия, является обобщенная однородность функциональной зависимости термодинамического потенциала от приведенных величин температуры и внешнего поля. Используя данное утверждение, получаются

скейлинговые соотношения между различными критическими индексами [153]:

Из них следует, что для получения полного набора критических индексов, характеризующих равновесные свойства, достаточно знания двух критических индексов.

1.3 Динамическое критическое поведение

Выше проведенное рассмотрение критического поведения было посвящено в основном равновесным критическим характеристикам. При переходе к рассмотрению динамического критического поведения общая картина существенно усложняется - находящиеся в равновесии в задачах критической статики подсистемы в динамике становятся взаимодействующими.

В широком смысле под динамикой подразумевают любые задачи с временной переменной [1, 12]. При рассмотрении динамики критического поведения речь обычно идет о задачах стохастической динамики [157-174]. Стохастичность порождается внутренними причинами -флуктуациями локальных значений термодинамических характеристик, хаотическим характером межчастичного взаимодействия и т.п. Сто-хастичность моделируют путем введения в динамические уравнения

(2 - п) V ^ 7, а + в (1 + 6) ^ 2,

6>* + 2-п.

* - 2 + п

а + 2в + 7 ^ 2,

а ^ 2 - (¿V,

(1.7)

(1.8) (1.9)

(1.10) (1.11)

«шума» - случайной внешней силы, для которой задаются моменты и корреляторы. Стохастические уравнения такого вида называют уравнениями Ланжевена. Критическая динамика рассматривается в рамках подхода ланжевеновских уравнений и изучает, в первую очередь, критические сингулярности времен релаксации и различных кинетических коэффициентов [1,12].

Критические сингулярности времен релаксации связаны с существованием в системе долгоживущих флуктуаций параметра порядка в окрестности Тс. Время релаксации системы тге1 и время корреляции флукту-аций тсогг при этом неограниченно возрастают. Вводится динамический критический индекс г [12,22,23], определяемый соотношением

Тге1, Тсогг ~ £ * ~ (Т - Тс . (1.12)

Как из этого видно, время релаксации и время корреляции флуктуаций в критической точке неограниченно возрастает.

Общая картина критической динамики значительно сложнее и разнообразнее картины статических, т.е. равновесных, критических явлений [1]. Связано это с более широким спектром физических процессов, в первую очередь обсуловленными взаимодействием различных мод внутренних подсистем, имеющих различных характерные пространственные и временные масштабы. В равновесном критическом поведении система находится в состоянии термодинамического равновесия и отсутствуют макроскопические процессы релаксации и переноса.

Из такого рода представления о соотношении неравновесного и равновесного критического поведения может показаться, что в равновесном состоянии нет ничего, что не содержалось бы в уравнениях нерав-

новесной релаксации. При этом достаточно, из соображений факта прихода системы в состояние термодинамического равновесия при £ ^ то (если есть на то основания), положить временные производные равными нулю. При этом должны получиться уравнения, полностью описывающие равновесное поведение. Однако, в общем случае, это не так и, в некотором смысле, это во многом достаточно фундаментальный вопрос в физике и не только [175,176]: в системе в состоянии термодинамического равновесия появляются новые симметрии, что математически выражается в появлении дополнительных групповых свойств в кинетических уравнениях при равных нулю временных производных. Новые групповые свойства и новые симметрии могут порождать новые закономерности и эффекты, отсутствующие в неравновесной динамике.

Динамические критические явления принято подразделять по классификации Гальперина-Хоэнберга [22,23]. Подробный обзор современных аспектов классификации критической динамики содержится в [1, 12,22].

Модели критической динамики обычно строятся как наборы уравнений и других математических соотношений с определенными симмет-риями, решения которых в пределе £ ^ то переходят в равновесные значения, определяемые в теории равновесного критического поведения.

Для описания релаксации решеточных спиновых моделей подходят релаксационные модели динамического поведения А и В. Некоторые аспекты неравновесного поведения консервативных систем описываются в рамках моделей С и Б с сохраняющейся энергией.

Модель А рассматривает динамику системы в рамках стохастиче-

ского дифференциального уравнения вида

^ = -о + £ (М), (1.13)

<£ (М)> =0, (1.14)

(£(ж,г)£(ж',г')> = 2БТ£(ж - х')5(г - г'), (1.15)

где ф - параметр порядка, Б - кинетический коэффициент, £(ж, г) -гауссова случайная сила. Решение этого уравнения позволяет определить динамические корреляционные функции. Особенность модели А заключается в том, что параметр порядка в процессе релаксации не сохраняется. Данная модель описывает диссипативные процессы в системе при релаксации из состояния с неравновесным значением параметра порядка и достоверно моделируется в рамках динамики односпинового переворота (динамика Метрополиса, «тепловой бани», Глаубера).

Модель В рассматривается в рамках стохастического дифференциального уравнения вида

= -V 3, (1.16)

3 = -^щк) + п(*А О.17)

(п(ж,г)> = 0, (1.18)

(п(ж,г)£(ж',г')> = 2БТ5(х - ж')^(г - г'), (1.19)

где ф(ж,г) - параметр порядка, п(ж,г) - гауссова случайная сила, Б -кинетический коэффициент. Релаксация в рамках модели В с сохраняющимся параметром порядка. Моделирование динамики в рамках модели В осуществляется с использованием алгоритмов двухспинового обмена, например динамики Кавасаки.

Стохастические уравнения моделей А и В можно записать в единой

форме

^ = -Д^)^ + £(М) (1.20)

<£ (х,£)> =0, (1.21)

(£(ж, £)£(X, £')> = 2ЛТ(¿Уж)а6(ж - ж')6(£ - £'), (1.22)

где при а = 0 получается модель А критической динамики, при а = 2 -модель В.

Одной из наиболее употребимых форм гамильтониана системы в теории критического поведения является гамильтониан Гинзбурга-Ландау-Вильсона [1,12]

Н[ф] =|Л[2ф2(х) + 1[Уф(х)]2 + иф4(х) - Мж)ф(ж)], (1.23)

где г — Т - Тс0 - относительная величина отклонения от критической точки Тс0 в среднеполевом приближении, и - константа связи, характеризующая интенсивность взаимодействия флуктуаций, ^(ж) - внешнее, по отношению к модели, поле. С использованием гамильтониана Гинзбурга-Ландау-Вильсона уравнения моделей А и В критической динамики принимают следующий вид

^ = -£(*У)а[(г - У2)ф(ж, £) + иф3(ж,£) - Л(ж,£)] + £(ж,£),

(£ (ж,£)> =0, (1.24)

(£(ж, £)£(X, £')> = 2ЛТ(¿Уж)а6(ж - ж')6(£ - £').

Модели критической динамики С и Б относятся к консервативным моделям, в которых сохраняется энергия. В модели С параметр порядка не сохраняется, в модели Б - сохраняется. Стохастические дифференциальные уравнения моделей С и Б для случая произвольного

гамильтониана имеют вид:

^ = + £(*,*), (1.25)

-^ = ^ ЦШт + ПМ), (1.26)

АН = 2СI Л [р2(ж) + #р(х)ф2(х)], (1.27)

(£ (х,г)> =0, (1.28)

(£(ж, г)£(х', г')> = 2ЛТ(¿Уж)а^(х - х')£(г - г'). (1.29)

(п(х,г)> = 0, (1.30)

(п(х,£)п(х',г')> = 2ЛТ(¿Уж)а^(х - х')£(г - г'), (1.31)

где при а = 0 получается модель С критической динамики, при а = 2 - модель Б. р(х,г) определяет плотность гидродинамических мод в системе.

Данные стохастические дифференциальные уравнения в случае гамильтониана Гинзбурга-Ландау-Вильсона имеют следующий вид:

= -£(*У)а [(г - У2)ф(ж, г) + иф3(х, г) -

-й(х,£) + | р(х,г)ф(х,г)] + £ (х,г), (1.32)

^ = с У2 [р(ж,*) + 2 ф2(х,г)] + п(х, г), (1.33)

(£ (х,г)> =0, (1.34)

(£(ж, г)£(х', г')> = 2ЛТ(¿Уж)а^(х - х')£(г - г'), (1.35)

(п(х,г)> = 0, (1.36)

(п(х,г)п(х',г')> = 2ЛТ(¿Уж)а^(х - х')£(г - г'). (1.37)

В критической динамике вводится обобщение скейлинга равновесных термодинамических характеристик на случай динамической релаксации - динамический скейлинг [177-201]. В рамках динамического

скейлинга рассматривается обобщенная однородность термодинамического потенциала от частоты ш и волнового вектора д, возникающих в результате фурье-преобразования по времени г и пространственным координатам ж.

1.4 Системы с медленной динамикой и эффекты старения

Под старением обычно понимают процесс медленного изменения свойств системы с течением времени, даже если система не подвергается никакому внешнему воздействию. Если процессы старения связаны с обратимыми микроскопическими процессами, при этом медленность процесса связана с высокими энергетическими барьерами, коллективными свойствами системы и др., тогда принято говорить о «физическом старении». Если старение связано с медленной реакцией системы с окружающей средой, в частности медленным охлаждением, окислением, фотохимическими превращениями на слабом свету, радиохимическими процессами и т.п., тогда данный процесс называют «химическим старением». Изменения в протекающих химических процессах с течением времени в биологических системах называется «биологическим старением». Физическое старение явно выделяется на фоне химического и биологического старения вследствие обратимости его «элементарных» процессов. Химическое и биологическое старение в своей «базе» имеют изначально макроскопические процессы, неравновесная релаксация которых необратима. Обычно, сами по себе, микроскопические процессы имеют достаточно малые, на фоне макроскопической релаксации, характерные времена.

Наличие в фазовом пространстве системы высоких энергетических барьеров, множественность метастабильных состояний или сложное коллективное поведение приводит к существенному замедлению процесса релаксации. Время релаксация таких систем к состоянию термодинамического равновесия значительно превышает времена элементарных процессов (колебания узлов кристаллической решетки, «прыжковые» времена, характерная скорость «переворота спина» и т.п.), достигая значений от миллисекунд до многих лет, тысячелетий и гораздо более.

Наибольшие времена релаксации имеют такие комплексные неупорядоченные системы, как стекла [38-43,202-208]: спиновые, дипольные, металлические. Эффекты старения изначально были открыты как раз в стеклах и системах со «стекольной» фазой. Времена микроскопических процессов, например в спиновых стеклах, составляют величины порядка 10-12 с [39]. Но сложная развитая структура множества ме-тастабильных состояний в фазовом пространстве системы и высокие энергетические барьеры, их разделяющие, приводят к аномальному замедлению релаксации системы из начального неравновесного состояния (для спиновых стекол времена релаксации гораздо более 106 с [39], т.е. более чем на 18 порядков выше микроскопического масштаба времени). При этом в каждый конкретный момент времени в эксперименте можно полагать, что система стационарна.

Однако, старение и аномально медленная релаксация возможны и в структурно однородных системах, в частности в системах вблизи критической точки. Развитое флуктуационное поведение, в частности аномально большие, долгоживущие и сильно взаимодействующие флук-

туации основных термодинамических величин, приводит к аномально медленной релаксации. Данное явление обсуждалось выше и называется критическим замедлением. В малой окрестности и в самой критической точке система становится аномально восприимчивой, однако реакция на внешнее воздействие, как и релаксация к состоянию термодинамического равновесия, становятся неограниченно долгими. Таким образом, медленная динамика систем в критической точке связана с коллективными эффектами, которые, как обсуждалось выше, обусловлены сильной скоррелированностью системы и неограниченно большой корреляционной длиной.

В настоящей работе исследование сосредоточено на старении, проявляющемся за счет коллективных эффектов, а именно критического замедления, в точке фазового перехода, точнее в низкотемпературной фазе двумерной ХУ-модели вплоть до точки топологического фазового перехода Березинского-Костерлица-Таулесса Т < ТВкт. Далее внимание будет сосредоточено преимущественно на старении и медленной динамике в неравновесной критической релаксации систем.

Системы, отличающиеся наличием аномально медленной релаксацией и эффектов старения, называют системами с медленной динамикой. Основным проявлением медленной динамики, следовательно, является старение.

Обычно принято выделять три основных признака старения [2,3]:

1. Медленная динамика системы, характеризующаяся неэкспоненциальной релаксацией.

2. Нарушение однородности процесса релаксации во времени.

3. Процесс релаксации характеризуется динамическим скейлингом.

Старение, как неравновесный эффект, имеет важную особенность -существенная зависимость процесса релаксации системы от начального неравновесного состояния. «Память» о деталях начального состояния сохраняется достаточно долго - в течение всего процесса медленной релаксации.

Интересным следствием данной особенности является возможность исследования внутренних по отношению к системе динамических процессов с помощью изучения релаксации из существенно различных начальных неравновесных состояний. В состоянии равновесия система «не помнит», а в квазиравновесной релаксации «помнит» только общие свойства начального состояния, в то время как при реализации медленной релаксации возможно использование различных деталей начального неравновесного состояния.

Стохастический процесс релаксации в каждый момент времени «помнит» достаточно долгую «предысторию». При этом в некоторых случаях эту «предысторию» достаточно сложно «стереть», например, путем внешнего воздействия. Следует отметить, что стохастические процессы релаксации в статистической механике неравновесных процессов в рассматриваемых задачах являются марковскими. Природа возникновения «долговременной памяти» в сугубо марковской динамике зависит от природы возникновения медленной динамики - кооперативные флук-туационные эффекты или сложная топология энергетической поверхности в фазовом пространстве, с множественными глубокими локальными минимумами.

В данной работе рассматривается система в критическом состоянии, поэтому на первый план выходят флуктуационные кооперативные

эффекты. В критическом состоянии система является сильно коррелированной, при этом «информация» «хранится» в доменах или областях квазидальнего порядка, в вихревых элементарных возбуждениях - во всех структурах, имеющих большой пространственный и энергетический масштаб. Для разрушения данных коррелированных областей требуется длительное время воздействия. В таких системах, как спиновые стекла, с большим числом метастабильных состояний с большим временем жизни аналогичный эффект связан с длительностью «ухода» системы вдаль от изначальных локальных состояний - при низких температурах система долго «гуляет» вблизи локального минимума, имея высокую вероятность возврата.

Старение - это нетривиальное явление, возникающие в неравновесном поведении систем с медленной динамикой. Старение связано с замедлением релаксационных процессов в системе с увеличением возраста образца - времени ожидания гп,. Математически старение проявляется в первую очередь через двухвременные зависимости таких динамических характеристик системы, как автокорреляционные функции С(г,гад) и функции отклика Я(г,гад). В процессе медленной неравновесной релаксации данные функции двухвременной природы имеют явную зависимость не только от разности времен г - гш, но и от времени ожидания гш в отдельности - для различных гш кривые динамических зависимостей не совпадают. Таким образом, происходит нарушение однородности протекания процесса релаксации во времени.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Попов Иван Сергеевич, 2016 год

Список литературы

[1] Tauber U.C. Critical Dynamics: A Field Theory Approach to Equilibrium and Non-Equilibrium Scaling Behavior. - Cambridge: Cambridge University Press. 2014. - 529 p.

[2] Henkel M., Pleimling M. Non-Equilibrium Phase Transitions. Vol. 1, Heidelberg: Springer. - 2008. - 385 p.

[3] Henkel M., Pleimling M. Non-Equilibrium Phase Transitions. Vol. 2, Heidelberg: Springer. - 2010. - 544 p.

[4] Henkel M. Conformal invariance and critical phenomena. -Heidelberg: Springer. 1999. - 418.

[5] Вильсон К., Когут Д. Ренормализационная группа и £ — разложение. / Пер. с англ. В.А. Загребного; Под ред. В.К. Федянина. — М.: Мир, 1975. - 256 с.

[6] Изюмов Ю.А., Сыромятников В.И. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. - М.: Наука, 1984. - 248 с.

[7] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 3-е изд. -М.: Наука, 1976. - 584 с.

[8] Ма Ш. Современная теория критических явлений. / Пер. с англ.

A.Н. Ермилова, А.М. Курбатова; Под ред. Н.Н. Боголюбова (мл.),

B.К. Федянина. - М.: Мир, 1980. - 298 с.

[9] Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. 2-е изд. - М.: Наука, 1982. - 382 с.

[10] Райдер Л. Квантовая теория поля. - М.: Мир, 1987. - 512 с.

[11] Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. - М.: Мир, 1973. - 342 с.

[12] Васильев А.Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. - СПб.: Изд-во ПИ-ЯФ, 1998. - 773 с.

[13] Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. -Oxford: Clarendon Press. 1996. - 1008 p.

[14] Паташинский А.З., Покровский В.А. Метод ренормализационной группы в теории фазовых переходов. // УФН. - 1977. - T.121, вып.1. - C.55-96.

[15] Fisher M.E. The renormalization group and the theory of critical behavior. // Rev. Mod. Phys. - 1974. - V.46. - № 4. - P. 597-616.

[16] Фишер М. Физика критического состояния. / Пер.с англ. М.Ш. Гитермана. - М.: Мир, 1968. - 221 с.

[17] Mermin N.D., Wagner H. Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models. //Phys. Rev. Lett. - 1966. - V.17. - P.1133-1136.

[18] Березинский В.Л. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии. //ЖЭТФ. - 1970. - Т.59. - С.907.

[19] Березинский В.Л. Низкотемпературные свойства двумерных систем с непрерывной группой симметрии. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 232 с.

[20] Kosterlitz L.M., Thouless D.J. Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems. //J.Phys.C. - 1973. - V.6. -P.1181.

[21] Kosterlitz J.M. The critical properties of the two-dimensional XY model. // J. Phys. C.: Solid State Phys. - 1974. - V.7. - P.1046-1060.

[22] Folk R., Moser G. Critical dynamics: a field-theoretical approach. // J. Phys. A: Math. Gen. - 2006. - V. 39. - P. R207.

[23] Hohenberg P.C., Halperin B.I. Theory of dynamics critical phenomena. // Rev. Mod. Phys. - 1977. - V. 49. - P. 435.

[24] Коршунов С.Е. Фазовые переходы в двумерных системах с непрерывным вырождением. // УФН. - 2006. - Т. 176. - Вып. 3. - С. 233.

[25] Gouveat M.E., Mertens F.G., Bishop A.R., Wysin G.M. The classical two-dimensional XY model with in-plane magnetic field. // J. Phys.: Condens. Matter. - 1990. - V. 2. - P. 1853.

[26] Биндер К. Методы Монте-Карло в статистической физике. М.: Мир, 1982. - 426 с.

[27] Гулд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: В 2 ч. М.: Мир, 1992. Ч. 2. - 400 с.

[28] Wysin G.M., Pereira A.R. Extinction of the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless phase transition by nonmagnetic disorder in planar symmetry spin models. // Phys. Rev. B. - 2005. - V. 72. - P. 094418.

[29] Costa B.V., Courab P.Z., Leonelb S.A. Berezinskii-Kosterlitz-Thouless transition close to the percolation threshold. // Phys. Lett. A. - 2013. - V. 377 - P. 1239.

[30] Wysin G.M. Vortex-vacancy interactions in two-dimensional easy-plane magnets. // Phys. Rev. B. - 2003. - V. 68. - P. 184411.

[31] Costa B.V. Kosterlitz-Thouless Transition: The Diluted XY model. // J. Phys.: Conf. Ser. - 2014. - V. 487 - P. 012008.

[32] Strandburg K.J. Two-dimensional melting. // Rev. Mod. Phys. -1988. - V. 60. - P. 161.

[33] Surungan T., Okabe Y. Kosterlitz-Thouless transition in planar spin models with bond dilution. // Phys. Rev. B. - 2005. - V. 71. - P. 184438.

[34] Pereira A.R., Mol L.A.S., Leonel S.A., Coura P.Z., Costa B.V. Vortex behavior near a spin vacancy in two-dimensional XY magnets. // Phys. Rev. B. - 2003. - V. 68. - P. 132409.

[35] Leonel S.A., Coura P.Z., Pereira A.R., Mol L.A.S., Costa B.V. Monte Carlo study of the critical temperature for the planar rotator model with nonmagnetic impurities. // Phys. Rev. B. - 2003. - V. 67. - P. 104426.

[36] Ahlberg M., Andersson G., Hjörvarsson B. Two-dimensional XY-like amorphous Co68Fe24Zr8/Al70Zr30 multilayers. // Phys. Rev. B. -2011. - V. 83. - P. 224404.

[37] Liebig A., Korelis P.T., Ahlberg M., Hjörvarsson B. Experimental realization of amorphous two-dimensional XY magnets. // Phys. Rev. B. - 2011. - V. 84. - P. 024430.

[38] Binder K., Young A.P. Spin glasses: Experimental facts, theoretical concepts, and open questions. // Rev.Mod. Phys. - 1986. - V. 58 -P. 801.

[39] Mezard M., Parisi G., Virasoro M. Spin-Glass theory and Beyond. Singapore: World Scientific. - 1987.

[40] Franz S., Mezard M., Parisi G., Peliti L. Measuring Equilibrium Properties in Aging Systems. // Phys. Rev. Lett. - 1998. - V. 81. -P. 1758.

[41] Alba M., Ocio M., Hammann J. Ageing Process and Response Function in Spin Glasses: An Analysis of the Thermoremanent Magnetization Decay in Ag:Mn (2.6%). // Europhys. Lett. - 1986. - V. 2. - P. 45.

[42] Vincent E.J., Hammann J. Critical behaviour of the CdCr2x0.85ln2x0.i5S4 insulating spin glass. // J. Phys. C. -1987. - V. 20. - P. 2659.

[43] Ageing and the Glass Transition / Edited by Henkel M., Pleimling M., Sanctuary R. / In book Lect. Notes Phys. Berlin-Heidelberg: Springer. - 2007. - V. 716. - P. 349.

[44] Berche B., Farinas-Sanchez A. I., Holovatch Yu., Paredes R. Influence of quenched dilution on the quasi-long-range ordered phase of the 2d XY model. // Eur. Phys. J. B. - 2003. - V.36. - P.91.

[45] Kapikranian O., Berche B., Holovatch Yu. The 2D XY model on a finite lattice with structural disorder: quasi-long-range ordering under realistic conditions. // Eur. Phys. J. B. - 2007. - V.56. - P.93-105.

[46] Kapikranian O., Berche B., Holovatch Yu. Perturbation expansion for the diluted two-dimensional XY model. // Phys. Lett. A. - 2007. -V.366. - P.150-154.

[47] Harris A.B. Effect of random defects on the critical behavior of Ising models. // J. Phys. C. - 1974. - V.7. - №6. - P.1671-1692.

[48] Berthier L., Holdsworth P.C.W., Sellitto M. Nonequlibrium critical dynamics of the two-dimensional XY-model. // J. Phys. A. - 2001.

- V.34. - P.1805.

[49] Afzal N., Pleimling M. Aging processes in systems with anomalous slow dynamics. // Phys. Rev. E. - 2013. - V. 87. - P. 012114.

[50] Gratton M.B., Witelski T.P. Transient and self-similar dynamics in thin film coarsening. // Phys. D - Nonlin. Phen. - 2009. - V. 238.

- P. 2380.

[51] Lifshitz I.M., Slyozov V.V. The kinetics of precipitation from supersaturated solid solutions. //J. Phys. and Chem. Solids. - 1961. - V. 19. - P. 35.

[52] Wagner C. Theorie der alterung von niederschlagen durch umlosen (ostwaldreifung). // Zeit. Elektroch. - 1961. - V. 65. - P. 581.

[53] Watson S.J., Otto F., Rubinstein B.Y., Davis S.H. Coarsening dynamics of the convective Cahn-Hilliard equation. // Phys. D -Nonlin. Phen. - 2003. - V. 178. - P. 127.

[54] Marsh B.D. Crystal size distribution (CSD) in rocks and the kinetics and dynamics of crystallization 1. Theory. // Contribut. Mineral. Petrol. - 1988. - V. 99. - P. 277.

[55] Mock A., Jerram D.A., Breitkreuz C. Using quantitative textural analysis to understand the emplacement of shallow-level rhyolitic laccoliths - A case study from the Halle Volcanic Complex, Germany. // J. Petrol. - 2003. - V. 44. - P. 833.

[56] Patravale V.B., Date A.A., Kulkarni R.M. Nanosuspensions: a promising drug delivery strategy. // J. Pharm. Pharmacol. - 2004. -V. 56. - P. 827.

[57] Solans C., Izquierdo P., Nolla J., Azemar N., Garcia-Celma M.J. Nanoemulsions. // Current Opinion in Colloid & Interface Science. -2005. - V. 10. - P. 102.

[58] Vitale S.A., Katz J.L. Liquid droplet dispersions formed by homogeneous liquidliquid nucleation: «the ouzo effect». // Langmuir.

- 2003. - V. 19. - P. 4105.

[59] Clarke C. The Science of Ice Cream. The Royal Society of Chemistry.

- 2004.

[60] Floro J.A., Sinclair M.B., Chason E., Freund L.B., Twesten R.D., Hwang R.Q., Lucadamo G.A. Novel SiGe island coarsening kinetics: Ostwald ripening and elastic interactions. // Phys. Rev. Lett. - 200.

- V. 84. - P. 701.

[61] Ross F.M., Tersoff J., Tromp R.M. Coarsening of self-assembled Ge quantum dots on Si(001). // Phys. Rev. Lett. - 1998. - V. 80. - P. 984.

[62] Vengrenovich R.D., Gudyma Y.V., Yarema S.V. Ostwald ripening of quantumdot nanostructures. // Semiconduct. - 2001. - V. 35. - P. 1378.

[63] Okuzumi S., Tanaka H., Takeuchi T., Sakagami M. Electrostatic barrier against dust growth in protoplanetary disks. I. Classifying the evolution of size distribution. // Astrophys. Journ. - 2011. - V. 731. - P. 95.

[64] Silk J., White S.D. The development of structure in the expanding universe. // Astrophys. Journ. - 1978. - V. 223. - P. L59.

[65] Ratke L., Voorhees P.W. Growth and coarsening: Ostwald ripening in material processing. Springer-Varlag. - 2002.

[66] Voorhees P.W. The theory of Ostwald ripening. //J. Stat. Phys. -1985. - V. 38. - P. 231.

[67] Хакен Г. Синергетика. В 2 частях. Часть 1. Принципы и основы: неравновесные фазовые переходы и самоорганизация в физике, химии и биологии. / Пер. с англ. - М.: УРСС. 2015. - 448 с.

[68] Хакен Г. Синергетика. В 2 частях. Часть 2. Перспективы и приложения: Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. / Пер. с англ. - М.: УРСС. 2015. - 432 с.

[69] Vaz C.A.F., Bland J.A.C., Lauhoff G. Magnetism in ultrathin film structures. // Rep. Progr. Phys. - 2008. - V. 71. - P. 056501.

[70] Evans R.F.L., Fan W.J., Chureemart P., Ostler T.A., Ellis M.O.A., Chantrell R.W. Atomistic spin model simulations of magnetic nanomaterials. // J. Phys.: Condens. Matter. - 2014. - V. 26. -P. 103202.

[71] T.J. Fal, J.I. Mercer, M.D. Leblanc, J.P. Whitehead, M.L. Plumer, J. van Ek Kinetic Monte Carlo approach to modeling thermal decay in perpendicular recording media // Phys. Rev. B. - 2013. - V. 87. -P. 064405.

[72] Kawabat C., Bishop A.R. A monte Carlo study of the two-dimensional Heisenberg model with easy-plane symmetry. // Solid State Commun. - 1986. - V. 60. - P. 167.

[73] Elmers H.-J., Hauschild J., Liu G.H., Gradmann U. Critical phenomena in the two-dimensional XY magnet Fe(100) on W(100). // J. Appl. Phys. - 1996. - V. 79. - P. 4984.

[74] Elmers H.-J., Hauschild J., Liu G.H., Gradmann U. Ultrathin Magnetic Structures. / Edit by Bland J.A.C., Heinrich B. Berlin: Springer. - 1994.

[75] Elmers H.-J., Hauschild J., Liu G.H., Gradmann U. Ferromagnetic Monolayers. // Int. J. Mod. Phys. B. - 1995. - V. 9. - P. 3115.

[76] Als-Nielsen J., Bramwell S.T., Hutchings M.T., McIntyre G.J., Visser D. Neutron scattering investigation of the static critical properties of Rb2CrCl4. // J. Phys.: Condens. Matter. - 1993. -V. 5. - P. 7871.

[77] Bellitto C., Filaci P., Patrizio S. Zero-field magnetic susceptibility study of the magnetic phase transition in the two-dimensional ionic ferromagnet bis(benzylammonium)tetrabromochromate(II), (CoH5CH2NH3)2CrBr4. // Inorg. Chem. - 1987. - V. 26. - P. 191.

[78] Paduan-Filho A., Becerra C.C. Magnetic properties and critical behavior of the pure and diluted two-dimensional weak ferromagnet (CH3NH3)2Mni-xCdxCl4. // J. Appl. Phys. - 2002. - V. 91. - P. 8294.

[79] Pratt F.L., Zielinski P.M., Balanda M., Podgajny R., Wasiutynski T., Sieklucka B. A ^SR study of magnetic ordering and metamagnetism in a bilayered molecular magnet. // J. Phys.: Condens. Matter. -2007. - V. 19. - P. 456208.

[80] Ganguly R., Chaudhuri D., Raychaudhuri P., Benfatto L. Slowing down of vortex motion at the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless transition in ultrathin NbN films. // Phys. Rev. B. - 2015. - V. 91. - P. 054514.

[81] Wolfgang H.N., Na Y.K., Roumpos G., Schneider C., Kamp M., Hofling S., Forchel A., Yamamoto Y. Algebraic order and the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless transition in an exciton-polariton gas. // Phys. Rev. B. - 2014. - V. 90. - P. 205430.

[82] Hoek van der A., Beelen van H. Theoretical descriptions of the flow resistivity of very thin films near the Kosterlitz-Thouless transition. // Phys. B: Condensed Matter. - 2003. - V. 328. - P. 211.

[83] Zhao W., Wang Q., Liu M., Zhang W., Wang Y., Chen M., Guo Y., He K., Chen X., Wang Y., Wang Y., Xie X., Niu Q., Wang L., Ma X., Jain J.K., Chan M.H.W., Xue Q.-K. Evidence for Berezinskii-Kosterlitz-Thouless transition in atomically flat two-dimensional Pb superconducting films. // Solid State Comm. - 2013. - V. 165. - P. 59.

[84] Beasley M.R., Mooij J.E., Orlando T.P. Possibility of Vortex-Antivortex Pair Dissociation in Two-Dimensional Superconductors. // Phys. Rev. Lett. - 1979. - V. 41. - P. 1165.

[85] Hebard A.F., Fiory A.T. Evidence for the Kosterlitz-Thouless Transition in Thin Superconducting Aluminum Films. // Phys. Rev. Lett. - 1980. - V. 44. - P. 291.

[86] Korshunov S. Magnetoinductance of Josephson junction array with frozen vortex diffusion. // Phys. Rev. B. - 2003. - V. 68. - P. 094512.

[87] Bulaevskii L.N. , Kuzii V.V., Sobyanin A.A. Superconducting system with weak coupling to the current in the ground state. // JETP Lett.

- 1977. - V. 25. - Iss. 7. - P. 314.

[88] Buzdin A.I., Bulaevskii L.N., Panyukov S.V. Critical-current oscillations as a function of the exchange field and thickness of the ferromagnetic metal (F) in an S-F-S Josephson junction. // JETP Lett. - 1982. - V. 35. - Iss. 4. - P. 147.

[89] Buzdin A.I., Bujicic B., Kupriyanov M. Yu. Superconductor-ferromagnet structures. // Zh. Eksp. Teor. Fiz. - 1992. - V. 101.

- Iss. 1. - P. 231.

[90] Pargellis A.N., Green S., Yurke B. Planar XY-model dynamics in a nematic liquid crystal system. // Phys. Rev. E. - 1994. - V. 49. - P. 4250.

[91] Bietenholz W., Gerber U., Rejyn-Barrera F.G. Berezinskii-Kosterlitz-Thouless transition with a constraint lattice action. // J. Stat. Mech. - 2013. P12009.

[92] Singh A., Ahmad S., Puri S., Singh S. Ordering dynamics of nematic liquid crystals: Monte Carlo simulations. // Euro. Phys. Lett. - 2012.

- V. 100. - P. 36004.

[93] Bray A.J. Theory of phase-ordering kinetics. // Adv. Phys. - 1994.

- V. 43. - P. 357.

[94] Bray A.J. Theory of phase-ordering kinetics. // Adv. Phys. - 2002.

- V. 51. - P. 481.

[95] Minoura K., Kimura Y., Ito K., Hayakawa R. Dynamics of Annihilation Process of Disclination Pairs in Nematic Liquid Crystals. // Molecular Crystals and Liquid Crystals Science and Technology. Section A. Molecular Crystals and Liquid Crystals. -1997. - V. 302. - P. 345.

[96] Tabeling P. Two-dimensional turbulence: a physicist approach. // Phys. Rep. - 2002. - V. 362. - P. 1.

[97] Karimov Y.S., Novikov Y.N. Phase transitions in a two-dimensional ferromagnet with «easy-plane» anisotropy. // Sov. Phys. — JETP Lett. - 1974. - V. 19. - P. 159.

[98] Bishop D.J., Reppy J.D. Study of the Superfluid Transition in Two-Dimensional He4 Films. // Phys. Rev. Lett. - 1978. - V. 40. - P. 1727.

[99] Bishop D.J., Reppy J.D. Study of the superfluid transition in two-dimensional He4 films. // Phys. Rev. B. - 1980. - V. 22. - P. 5171.

[100] Faulkner M.F., Bramwell S.T., Holdsworth P.C.W. Topological-sector fluctuations and ergodicity breaking at the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless transition. // Phys. Rev. B. - 2015. - V. 91.

- P. 155412.

[101] Ozawa T., Stringari S. Discontinuities in the First and Second Sound Velocities at the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Transition. // Phys. Rev. Lett. - 2014. - V. 112. - P. 025302.

[102] Misra S., Urban L., Kim M., Sambandamurthy G., Yazdani A. Measurements of the Magnetic-Field-Tuned Conductivity of Disordered Two-Dimensional Mo43Ge57 and 1nOx Superconducting Films: Evidence for a Universal Minimum Superfluid Response. // Phys. Rev. Lett. - 2013. - V. 110. - P. 037002.

[103] Wada N., Hieda M., Toda R., Matsushita T. Observation of superfluidity in two- and one-dimensions. // Low Temp. Phys. -2013. - V. 39. - P. 786.

[104] Arrigoni F., Vitali E., Galli D.E., Reatto L. Excitation spectrum in two-dimensional superfluid He4. // Low Temp. Phys. - 2013. - V. 39. - P. 793.

[105] Nuttall W.J., Noh D.Y., Wells B.O., Birgeneau R.J. Isothermal melting of near-monolayer xenon on single-crystal graphite. // J. Phys.: Condens. Matter. - 1995. - V. 7. - P. 4337.

[106] Lyuksyutov I.F., Fedorus A.G. Critical exponents of the H — W(011) system. // Sov. Phys. JETP. - 1981. - V. 53. - P. 1317.

[107] Taroni A., Bramwell S.T., Holdsworth P.C.W. Universal window for two-dimensional critical exponents. // J. Phys.: Condens. Matter. -2008. - V. 20. - P. 275233.

[108] Tu Y., Toner J. Long-Range Order in a Two-Dimensional Dynamical XY Model: How Birds Fly Together. // Phys. Rev. Lett. - 1995. -V. 75. - P. 4326.

[109] Cavagna A., Giardina I., Grigera T.S., Jelic A., Levine D., Ramaswamy S., Viale M. Silent Flocks: Constraints on Signal Propagation Across Biological Groups. // Phys. Rev. Lett. - 2015. -V. 114. - P. 218101.

[110] Solon A.P., Chate H., Tailleur J. From Phase to Microphase Separation in Flocking Models: The Essential Role of Nonequilibrium Fluctuations. // Phys. Rev. Lett. - 2015. - V. 114. - P. 068101.

[111] Berthier L., Kurchan J. Non-equilibrium glass transitions in driven and active matter. // Nature Phys. - 2013. - V. 9. - P. 310.

[112] Godreche C., Luck J.-M. Response of non-equilibrium systems at criticality: exact results for the Glauber-Ising chain. // J.Phys.A. -2000. - V.33. - P.1151.

[113] Godreche C., Luck J.-M. Response of non-equilibrium systems at criticality: ferromagnetic models in dimension two and above. // J. Phys.A. - 2000. - V.33. - P.9141.

[114] Godreche C. Luck J.-M. Nonequilibrium critical dynamics of ferromagnetic spin systems. // J. Phys. Cond. Matt. - 2002. - V.14. - P.1589.

[115] Henkel M., Paessens M., Pleimling M. Scaling of the linear response in simple aging systems without disorder. // Phys. Rev. E. - 2004. - V.69. - P.056109.

[116] Picone A., Henkel M. Local scale-invariance and ageing in noisy systems. // Nucl. Phys. B. - 2004. - V.688. - P.217-265.

[117] Schehr G., Paul R. Universal aging properties at a disordered critical point. // Phys. Rev. E. - 2005. - V.72. - P.016105.

[118] Pleimling M., Gambassi A. Corrections to local scale invariance in the nonequilibrium dynamics of critical systems: Numerical evidences. // Phys. Rev. B. - 2005. - V.71. - P.180401(R).

[119] Cugliandolo L.F., Kurchan J. On the out-of-equilibrium relaxation of the Sherrington-Kirkpatrick model. // J. Phys. A: Math. Gen. 1994.

- V.27. - P.5749.

[120] Cugliandolo L.F., Kurchan J. Recent theories of glasses as out of equilibrium systems. // Phil. Mag. B. - 1995. - V.71. - P.501.

[121] Cugliandolo L.F., Kurchan J., Peliti L. Energy flow, partial equilibration, and effective temperatures in systems with slow dynamics. // Phys. Rev. E. - 1997. - V.55. - P.3898.

[122] Calabrese P., Gambassi A. Aging in ferromagnetic systems at criticality near four dimensions. // Phys. Rev. E. - 2002. - V.65.

- P.066120.

[123] Lei X.W., Zheng B. Short-time critical dynamics and ageing phenomena in two-dimensional XY model. // Phys. Rev. E. - 2007. - V.75. - P.040104.

[124] Struik L.C.E. Physical Aging in Amorphous Polymers and Other Materials. Amsterdam: Elsevier. - 1978.

[125] Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н., Попов И. С. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем и эффектов старения / Изд-во ОмГУ, 2015. - 334 с.

[126] Попов И.С., Прудников П.В., Прудников В.В. Численное описание неравновесного критического поведения двумерной структурно неупорядоченной XY-модели методами Монте-Карло. // Сборник трудов «Вычислительные технологии в естественных науках. Методы суперкомпьютерного моделирования». Часть 3. Под ред. Р.Р. Назирова, Л.Н. Щура., С. 150. - М.: ИКИ РАН, 2015.

[127] Popov I.S., Prudnikov P.V., Prudnikov V.V. Non-equilibrium critical vortex dynamics of disordered 2D XY-model. // Journal of Physics: Conference Series. 2016. V. 681. P. 012015.

[128] Прудников П.В., Прудников В.В., Попов И.С. Неравновесные эффекты старения в критическом поведении структурно неупорядоченных планарных магнетиков. // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 101. Вып. 8. С. 596.

[129] Попов И.С., Прудников П.В. Старение, огрубление и вихревая динамика в неравновесном критическом поведении двумерной XY-

модели. // Известия высших учебных заведений. Физика. 2015. Т. 58. Вып. 7/2. С. 161.

[130] Prudnikov P.V., Popov I.S. Coarsening in Critical Dynamics of 2D XY-model. // Solid State Phenomena. 2015. V. 233-234. P. 8.

[131] Прудников В.В., Прудников П.В., Алексеев С.В., Попов И.С. Исследование эффектов старения и температурной зависимости поперечной жесткости системы в двумерной XY-модели. // Физика металлов и металловедение. 2014. Т. 115. Вып. 12. - С. 1254.

[132] Prudnikov P.V., Popov I.S. Non-equilibrium critical dynamics in pure and diluted 2D XY-model. // Journal of Physics: Conference Series. 2014. V. 510. P. 012014.

[133] Попов И. С., Прудников П. В. Численное исследование планар-ных сверхпроводящих систем в рамках 2D XY-модели / Вестник Омского университета. 2013. Вып. 2. С. 84.

[134] Алексеев С. В., Прудников В. В., Прудников П. В., Попов И. С. Исследование эффектов старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в двумерной XY-модели при моделировании из начального состояния с малым значением намагниченности // Вестник Омского университета. 2011. Вып. 4. С. 55.

[135] Popov I.S., Prudnikov P.V., Prudnikov V.V. Non-equilibrium critical vortex dynamics of disordered 2D XY-model / Book of Abstracts "International Conference on Computer Simulation in Physics and beyond". 2015. P. 33.

[136] Popov I.S., Prudnikov P.V. Non-equilibrium coarsening domain grows and vortex dynamics in two-dimensional XY-model / Book of Abstracts The International Conference "Spin physics, spin chemistry and spin technology". 2015. P. 137.

[137] Popov I.S., Prudnikov P.V. Effects of aging and coarsening in critical dynamics of 2D XY-model / Book of Abstracts Moscow International Symposium on Magnetism. Moscow. 2014. P. 530.

[138] Попов И. С. Эффекты огрубления в неравновесном критическом поведении двумерной XY-модели / Сб. статей II Региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых по физике и математике. Омск. 2014. С. 95.

[139] Popov I.S., Prudnikov P.V. Non-equilibrium critical dynamics of pure and diluted 2D XY model / Book of Abstracts. XXV IUPAP Conference on Computational Physics. 2013. P. 152.

[140] Попов И. С., Прудников П. В. Исследование неравновесной критической динамики структурно неупорядоченной двумерной XY-модели / Сб. статей региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых ФМ ОмГУ. 2013. C. 62.

[141] Попов И. С. Исследование неравновесной критической динамики структурно неупорядоченной двумерной XY-модели / Сб. тезисов XXXVII региональной научно-практической конференции "Молодёжь третьего тысячелетия". 2013.

[142] Попов И. С., Прудников П. В. Неравновесная критическая динамика однородной и структурно неупорядоченной двумерной XY-

модели в фазе Березинского / Труды VIII Международной научно-технической конференции "Динамика систем, механизмов и машин секция "Математика, математическое моделирование". 2012. С. 84.

[143] Попов И. С. Эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в однородной и структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели / сб. статей XXXVI региональной научно-практической конференции "Молодежь третьего тысячеле-тия"секции "Физико-математические науки 2012. С. 157.

[144] Попов И. С. Эффекты старения и нарушения флуктуационно-дис-сипативной теоремы в однородных и структурно неупорядоченных системах с аномально медленной критической динамикой / сб. статей конференции "Актуальные проблемы современной науки 2012. С. 111.

[145] Попов И. С. Исследование эффектов старения в двумерной ХУ-модели / Сб. тезисов XXXV региональной научно-практической конференции "Молодёжь третьего тысячелетия". 2011. С. 377.

[146] Прудников П.В., Прудников В.В., Алексеев С.В., Попов И. С. Программа численного моделирования на многопроцессорной вычислительной системе неравновесного поведения однородной и структурно неупорядоченной двумерной XY модели в низкотемпературной фазе Березинского / Свидетельство № 2012661123, дата регистрации в Реестре программ для ЭВМ 07.12.2012.

[147] Прудников П.В., Прудников В.В., Вакилов А.Н., Поспелов А.Н., Медведева М.А., Попов И. С. Комплекс моделирования неравновесных фазовых превращений в сильно неупорядоченных спиновых системах / Свидетельство № 2014613547, дата регистрации в Реестре программ для ЭВМ 28.03.2014.

[148] Попов И. С., Прудников П. В. Комплекс моделирования неравновесного поведения кластера атомов Fe на поверхности W[110] / Свидетельство № 2014618255, дата регистрации в Реестре программ для ЭВМ 13.08.2014.

[149] Прудников В. В., Прудников П. В., Попов И. С. Идентификация топологических возбуждений в однородных и структурно неупорядоченных планарных магнетиках / Свидетельство № 2014618696, дата регистрации в Реестре программ для ЭВМ 28.08.2014.

[150] Huse D.A. Remanent magnetization decay at the spin-glass critical point: A new dynamic critical exponent for nonequilibrium autocorrelations. // Phys. Rev. B. - 1989. - V. 40. - P. 304.

[151] Janssen H.K., Schaub B., Schmittmann B. New universal short-time scaling behaviour of critical relaxation processes. // Z. Phys. B. -1989. - V. 73. - P. 539.

[152] Zheng B. Monte Carlo Simulations of Short-Time Critical Dynamics. // Int. J. Mod. Phys. B. - 1998. - V. 12. - P. 1419.

[153] Прудников В. В., Вакилов А. Н., Прудников П. В. Фазовые переходы и методы их компьютерного моделирования. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 224 с.

[154] Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов. // ЖЭТФ. - 1937. -Т.7. - №1. - С.19.

[155] Доценко В.С. Критические явления в спиновых системах с беспорядком. // УФН. - 1995. - Т.165. - №5. - С.481-528.

[156] Kadanoff L.P. Scaling Laws for Ising Models Near Tc. // Physics. - 1966. - V.2. - P.263.

[157] Chaikin P. M., Lubensky T. C. Principles of Condensed Matter Physics. Cambridge: Cambridge University Press. - 1995.

[158] Cowan B. Topics in Statistical Mechanics. London: Imperial College Press. - 2005.

[159] Kardar M. Statistical Physics of Fields. Cambridge: Cambridge University Press. - 2007.

[160] Pathria R. K. Statistical Mechanics. Oxford: Butterworth-Heinemann. - 1996.

[161] Reichl L. E. A Modern Course in Statistical Physics. Weinheim: Wiley-VCH. - 2009.

[162] Reif F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. Singapore: McGraw-Hill. - 1985.

[163] Schwabl F. Statistical Mechanics. Berlin: Springer. - 2006.

[164] Van Kampen N. G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Amsterdam: North Holland. - 1981.

[165] Van Vliet C. M. Equilibrium and Non-equilibrium Statistical Mechanics. New Jersey: World Scientific. - 2010.

[166] Forster D. Hydrodynamic Fluctuations, Broken Symmetry, and Correlation Functions. Redwood City: Addison-Wesley. - 1983.

[167] Krapivsky P. K., Redner S., Ben-Naim E. A Kinetic View of Statistical Physics. Cambridge: Cambridge University Press. - 2010.

[168] Kubo R., Toda M., Hashitsume N. Statistical Physics II -Nonequilibrium Statistical Mechanics. Berlin: Springer. - 1991.

[169] Lovesey S. W. Condensed Matter Physics: Dynamic Correlations. Menlo Park: Benjamin-Cummings. - 1986.

[170] Marro L., Dickman R. Nonequilibrium Phase Transitions in Lattice Models. Cambridge: Cambridge University Press. - 1999.

[171] Mukamel D. Phase transitions in nonequilibrium systems. In: Soft and Fragile Matter: Nonequilibrium Dynamics, Metastability and Flow, eds. Cates M. E., Evans M. R.. Scottish Universities Summer School in Physics 53. Bristol: Institute of Physics Publishing. - 2000. - P. 231.

[172] Polettini M. Nonequilibrium thermodynamics as a gauge theory. // Europhys. Lett. - 2012. - V. 97. - P. 30003.

[173] Risken H. The Fokker-Planck Equation. Heidelberg: Springer. -1984.

[174] Zwanzig R. Nonequilibrium Statistical Mechanics. Oxford: Oxford University Press. - 2001.

[175] Корольков Д.В., Скоробогатов Г.А. Теоретическая химия. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2005. - 655 с.

[176] Корольков Д.В. Теоретическая химия. В 12 томах. Том 1. Общие принципы и концепции. М.: Академкнига. 2007. - 464 с.

[177] Alba M., Pouget S., Fouquet P., Farago B., Pappas C. Critical scattering and dynamical scaling in an Heisenberg ferromagnet: neutron spin echo versus renormalization group theory. // Preprint arXiv:cond-mat/0703702. - 2007. - P. 1.

[178] Dunlavy M. J., Venus D. Critical slowing down in the two-dimensional Ising model measured using ferromagnetic ultrathin films. // Phys. Rev. B. - 2005. - V. 71. - P. 144406.

[179] Frey E., Schwabl F. Critical dynamics of magnets. // Adv. Phys. -1994. - V. 43. - P. 577.

[180] Ferrell R. A., Menyhard N., Schmidt H., Schwabl F., Szepfalusy P. Dispersion in second sound and anomalous heat conduction at the lambda point of liquid helium. // Phys. Rev. Lett. - 1967. - V. 18. -P. 891.

[181] Ferrell R. A., Menyhard N., Schmidt H., Schwabl F., Szepfalusy P. Fluctuations and lambda phase transition in liquid helium. // Ann. Phys. (NY) - 1968. - V. 47. - P. 565.

[182] Halperin B. I., Hohenberg P. C. Scaling laws for dynamic critical phenomena. // Phys. Rev. - 1969. - V. 177. - P. 952.

[183] Halperin B. I., Hohenberg P. C., Ma S.-k. Calculation of dynamic critical properties using Wilson's expansion methods. // Phys. Rev. Lett. - 1972. - V. 29. - P. 1548.

[184] Halperin B. I., Hohenberg P. C., Ma S.-k. Renormalization-group methods for critical dynamics: I. Recursion relations and effects of energy conservation. // Phys. Rev. B. - 1974. - V. 10. - P. 139.

[185] Halperin B. I., Hohenberg P. C., Ma S.-k. Renormalization-group methods for critical dynamics: II. Detailed analysis of the relaxational models. // Phys. Rev. B. - 1976. - V. 13. - P. 4119.

[186] Halperin B. I., Hohenberg P. C., Siggia E. D. Renormalization-group calculations of divergent transport coefficients at critical points. // Phys. Rev. Lett. - 1974. - V. 32. - P. 1289.

[187] Halperin B. I., Hohenberg P. C., Siggia E. D. Renormalization-group treatment of the critical dynamics of superfluid helium, the isotropic antiferromagnet, and the easy-plane ferromagnet. // Phys. Rev. B. -1976. - V. 13. - P. 1299.

[188] Halperin B. I., Hohenberg P. C., Siggia E. D. Renormalization-group treatment of the critical dynamics of superfluid helium, the isotropic antiferromagnet, and the easy-plane ferromagnet. // Phys. Rev. B. -1980. - V. 21. - P. 2044.

[189] Kotzler J., Kaufmann M., Nakielski G., Behr R., Assmus W. Anisotropic dynamical scaling near the vortex-glass transition of twinned YBa2Cu3O7-<5 // Phys. Rev. Lett. - 1994. - V. 72. - P. 2081.

[190] Ma S.-k., Mazenko G. F. Critical dynamics of ferromagnets in 6 — e dimensions. // Phys. Rev. Lett. - 1974. - V. 33. - P. 1383.

[191] Ma S.-k., Mazenko G. F. Critical dynamics of ferromagnets in 6 — e dimensions: general discussion and detailed calculation. // Phys. Rev. B. - 1975. - V. 11. - P. 4077.

[192] Murtazaev A. K., Mutailamov V. A. Investigation on the critical dynamics of real magnetics models by computational physics methods. // J. Magn. Mag. Mat. - 2003. - V. 259. - P. 48.

[193] Michel K. H., Schwabl F. On the hydrodynamics of antiferromagnets. // Z. Phys. - 1970. - V. 240. - P. 354.

[194] Schwabl F., Michel K. H. Hydrodynamics of Heisenberg ferromagnets. // Phys. Rev. B. - 1970. - V. 2. - P. 189.

[195] Cardy J. Scaling and Renormalization in Statistical Physics. Cambridge: Cambridge University Press. - 1996.

[196] Chaikin P. M., Lubensky T. C. Principles of Condensed Matter Physics. Cambridge: Cambridge University Press. - 1995.

[197] Forster D. Hydrodynamic Fluctuations, Broken Symmetry, and Correlation Functions. Redwood City: Addison-Wesley. - 1983.

[198] Kardar M. Statistical Physics of Fields. Cambridge: Cambridge University Press. - 2007.

[199] Landau D. P., Bunker A., Evertz H. G., Krech M., Tsai S.-H. Spin dynamics simulations — a powerful method for the study of critical dynamics. // Prog. Theor. Phys. Suppl. - 2000. - V. 138. - P. 423.

[200] Lovesey S. W. Condensed Matter Physics: Dynamic Correlations. Menlo Park: Benjamin-Cummings. - 1986.

[201] Stancil D. D., Prabhakar A. Spin Waves — Theory and Applications, New York: Springer. - 2009.

[202] Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J.-P., Cugliandolo L.F. Slow dynamics and ageing in spin glasses. In M. Rubi, editor, Complex behaviour of glassy systems, Lecture Notes in Physics 492, Heidelberg, 1997. Springer.

[203] Dupuis V., Bert F., Bouchaud J.-P., Hammann J., Ladieu F., Parker D., Vincent E. Ageing, rejuvenation and memory phenomena in spin glasses. // Pramana Journal of Physics. - 2005. - V.64. - P.1109.

[204] Ocio M., Alba M., Hammann J. Time scaling of the ageing process in spin-glasses: a study in CeNiFeF6. // J. Physique Lett. - 1985. -V.46. - P.1101.

[205] Parker D., Ladieu F., Hammann J., Vincent E. Effect of cooling rate on ageing in spin glasses. // Phys. Rev. - 2006. - V.74. - P.184432.

[206] Heerisson D., Ocio M. Fluctuation-dissipation ratio of a spin glas in the ageing regime. // Phys. Rev. Lett. - 2002. - V.88. - P.257202.

[207] Herisson D., Ocio M. Off-equilibrium fluctuation-dissipation relation in a spin glass. // Eur. Phys. J. - 2004. - V.40. - P.283.

[208] Rodriguez G.F., Kenning G.G., Orbach R. Full ageing in spin glasses. // Phys. Rev. Lett. - 2003. - V.91. - P.037203.

[209] Godreche C., Luck J.-M. Nonequilibrium critical dynamics of ferromagnetic spin systems. // J. Phys. Cond. Matt. - 2002. - V. 14. - P. 1589.

[210] Fisher D.S., Huse D.A. Nonequilibrium dynamics of the spin-glass ordered phase. // Phys. Rev. B. - 1988. - V. 38. - P. 373.

[211] Picone A., Henkel M. Response of non-equilibrium systems with long-range initial correlations. // J. Phys. A. - 2002. - V. 35. - P. 5575.

[212] Schehr G., Le Doussal P. Exact multilocal renormalization on the effective action: application to the random sine-Gordon model statics and non-equilibrium dynamics. // Phys. Rev. E. - 2003. - V. 68. -P. 046101.

[213] Yeung C., Rao M., Desai R.C. Bounds on the decay of the autocorrelation in phase-ordering dynamics. // Phys. Rev. E. - 1996. -V. 53. - P. 3073.

[214] Henkel M., Paessens M., Pleimling M. Scaling of the magnetic linear response in phase-ordering kinetics. // Europhys. Lett. - 2003. - V. 62. - P. 664.

[215] Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems. // J. Phys. A. - 2005. - V. 38. - P. R133.

[216] Cugliandolo L.F., Kurchan J., Peliti L. Energy flow, partial equilibration, and effective temperatures in systems with slow dynamics. // Phys. Rev. E. - 1997. - V. 55. - P. 3898.

[217] Hohenberg P.C., Shraiman B.I. Chaotic behavior of an extended system. // Physica D. - 1989. - V. 37. - P. 109.

[218] Edwards S.F. The role of entropy in the specification of a powder. In book Granular Matter: An Interdisciplinary Approach. / Edit. by A. Mehta. - New York: Spinger. - 1994.

[219] Monasson R. Structural Glass Transition and the Entropy of the Metastable States. // Phys. Rev. Lett. - 1995. - V. 75. - P. 2847.

[220] Gnan N., Maggi C., Parisi G., Sciortino F. Infinite Randomness Fixed Point of the Superconductor-Metal Quantum Phase Transition. // Phys. Rev. Lett. - 2013. - V. 110. - P. 035701.

[221] Cugliandolo L.F. The effective temperature. //J. Phys. A: Math. Theor. - 2011. - V. 44. - P. 483001.

[222] Pokrovsky V.L., Uimin G.V. Magnetic properties of two-dimensional and layered systems. // Phys. Lett. A. - 1973. - V. 45. - P. 467.

[223] Pokrovsky V.L., Uimin G.V. Magnetic properties of plane and layer systems. // Sov. Phys. JETP. - 1974. - V. 38. - P. 847.

[224] Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. / Пер. с англ. под ред. А.М. Бродского. - М.: Мир. - 1985. - 488 с.

[225] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 1. Exact Results. Ed. by C. Domb, J.L. Lebowitz. Academic Press. - 1972.

[226] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 2. Ed. by C. Domb, J.L. Lebowitz. Academic Press. - 1972.

[227] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 3. Series Expansions for Lattice Models. Ed. by C. Domb, J.L. Lebowitz. Academic Press. - 1974.

[228] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 5A. Ed. by C. Domb, J.L. Lebowitz. Academic Press. - 1976.

[229] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 5B. Ed. by C. Domb, J.L. Lebowitz. Academic Press. - 1976.

[230] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 6. Exact Results. Ed. by C. Domb, J.L. Lebowitz. Academic Press. - 1976.

[231] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 7. Ed. by C. Domb, M.S. Green. Academic Press. - 1983.

[232] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 8. Ed. by C. Domb, M.S. Green. Academic Press. - 1983.

[233] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 9. Ed. by C. Domb, M.S. Green. Academic Press. - 1984.

[234] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 10. Ed. by C. Domb, M.S. Green. Academic Press. - 1986.

[235] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 11. Ed. by C. Domb, M.S. Green. Academic Press. - 1987.

[236] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 12. Ed. by C. Domb, M.S. Green. Academic Press. - 1988.

[237] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 13. Ed. by C. Domb, M.S. Green. Academic Press. - 1989.

[238] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 14. Ed. by C. Domb, M.S. Green. Academic Press. - 1991.

[239] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 15. Ed. by C. Domb, M.S. Green. Academic Press. - 1992.

[240] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 16. Ed. by C. Domb, M.S. Green. Academic Press. - 1994.

[241] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 17. Ed. by C. Domb, M.S. Green. Academic Press. - 1995.

[242] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 18. Ed. by C. Domb, M.S. Green. Academic Press. - 2001.

[243] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 19. Ed. by C. Domb, M.S. Green. Academic Press. - 2001.

[244] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 20. Ed. by C. Domb, M.S. Green. Academic Press. - 2001.

[245] Френкель Д., Смит Б. Принципы компьютерного моделирования молекулярных систем: от алгоритмов к приложениям. / Пер. с англ. под ред. В.А. Иванова, М.Р. Стукана. - М.: Научный мир. -2013. - 578 с.

[246] Ciccotti G., Hoover W.G. Molecular-Dynamics Simulation of Statistical Mechanical Syaytems. // Proceeding of the 97th International «Enrico Fermi» School of Physics. - Amsterdam: North-Holland. - 1986.

[247] Meyer M., Pontikis V. Proceeding of the NATO ASI on Computer Simulation in Matherial Science. - Dordrecht: Kluwer. - 1991.

[248] Allen M.P., Tildesley D.J. Proceeding of the NATO ASI on Computer Simulation in Chemical Physics. - Dordrecht: Kluwer. -1991.

[249] Allen M.P., Tildesley D.J. Computer Simulation of Liquids. -Oxford: Clarendon Press. - 1987.

[250] Haile J.M. Molecular Dynamics Simulations: Elementary Methods. - New York: Wiley. - 1992.

[251] Рапапорт Д.К. Искусство молекулярной динамики. / Пер. с англ. под ред. Р.Г. Ефремова. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований. - 2012. - 632 с.

[252] Hoover W.G. Molecular Dynamics. - Berlin: Springer. - 1986.

[253] Evans D.J., Morriss G.P. Statistical Mechanics of Non-Equilibium Liquids. - London: Acadimic Press. - 1990.

[254] Nose S. A unified formilation of the constant temperature molecular dynamics method. // Mol. Phys. - 1984. - V. 81. - P. 511.

[255] Nose S. A molecular dynamics method for simulation in canonical ensemble. // Mol. Phys. - 1984. - V. 52. - P. 255.

[256] Hoover W.G. Canonical dynamics: Equilibrium phase-space distribution. // Phys. Rev. A - 1985. - V. 31. - P. 1695.

[257] Hoover W.G. Constant pressure equation of motion. // Phys. Rev. A - 1986. - V. 34. - P. 2499.

[258] Anderson H.C. Molecular dynamics at constant pressure and/or temperature. // J. Chem. Phys. - 1980. - V. 72. - P. 2384.

[259] Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. 1. - New York: Wiley. - 1957.

[260] Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. 2. - New York: Wiley. - 1966.

[261] Kapmen van N.G. Stochastic Process in Physics and Chemistry. -Amsterdam: North-Holland. - 1981.

[262] Metropolis N., Rosenbluth A.W., Rosenbluth M.N., Teller A.N., Teller E. Equation of state calculations by fast computing mechanics. // J. Chem. Phys. - 1953. - V. 21. - P. 1087.

[263] Metropolis N. The begining of the Monte-Carlo method. // Los Alamos Science. - 1987. - V. 12. P. 125.

[264] Fermi E., Pasta J.G., Ulam S.M. Studies of non-linear problem. // LASL Report LA-1940. - 1955.

[265] Barker J.A., Watts R.O. Structure of water: A Monte-Carlo calculation. // Chem. Phys. Lett. - 1969. - V. 3. - P. 144.

[266] McDonald I.R., Singer K. Calulation of the thermodynamic properties of liquid argon from Lennard-Jones parameters by Monte-Carlo method. // Discuss. Faraday Soc. - 1967. - V. 43. - P. 40.

[267] Wood W.W., Jacobson J.D. Preliminary results from recalculation of the Monte Carlo equation of state of hard-spheres. // J. Chem. Phys. - 1957. - V. 27. - P. 1207.

[268] Alder B.J., Wainwright T.E. Phase transitions for a hard sphere system. // J. Chem. Phys. - 1957. - V. 27. - P. 1208.

[269] Newman M.E.J., Barkema G.T. Monte Carlo methods in statistical physics. - Clarendon Press, Oxford. - 1999.

[270] Bray A.J., Briant A.J., Jervis D.K. Breakdown of Scaling in the Nonequilibrium Critical Dynamics of the Two-Dimensional XY Model. // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 84. - P. 1503.

[271] Рассел С., Норвиг П. Искусственный интеллект. Современный подход. / Пер. с англ. - М.: Вильямс, 2015. - 1410 с.

[272] Abriet S., Karevski D. Off equilibrium dynamics in 2d-XY system. // Eur. Phys. J. B. - 2004. - V. 37. - P. 47.

[273] Prudnikov V.V.,Teitelbaum G.B. Non-universal dynamic scaling in two-dimensional degenerate systems. // Phys.Lett.A. - 1977.- V.63. - P.1-3.

[274] Teitel S., Jayaprakash C. Phase transtions in frustrated two-dimensional XY models. // Phys. Rev. B. - 1983. - V. 27. - P. 598(R).