Численные исследования эффектов старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных спиновых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Маляренко Петр Николаевич

• Маляренко Петр Николаевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Маляренко Петр Николаевич

Введение

1 Критические явления и методы их исследования для спиновых системах

1.1 Классификация фазовых переходов

1.2 Критические индексы

1.3 Логарифмические поправки

1.4 Теория скейлинга

1.5 Конечноразмерный скейлинг

1.6 Динамические модели критического поведения

1.7 Влияние немагнитных атомов примесей на критическое поведение спиновых систем

1.8 Модель Изинга

1.9 Метод Монте-Карло

1.9.1 Локальные алгоритмы

2 Исследование маргинального влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга

2.1 Введение

2.2 Неравновесные критические свойства систем, характеризующихся аномально медленной динамикой

2.2.1 Явление старения

2.2.2 Теория локальной масштабной инвариантности

2.2.3 Нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы. Флуктуационно-диссипативное отношение

2.3 Модель и методы

2.4 Исследование поведения корреляционной длины для высокотемпературного начального состояния

2.5 Исследование неравновесной критической релаксации намагниченности

2.6 Особенности моделирования сильно неупорядоченных систем

2.7 Моделирование неравновесного критического поведения автокорреляционной функции и динамической восприимчивости

2.7.1 Высокотемпературное начальное состояние

2.7.2 Низкотемпературное начальное состояние

2.8 Исследование нарушений флуктуационно-диссипативной теоремы

2.9 Анализ результатов и выводы

3 Исследование неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга

3.1 Введение

3.2 Модель и методы моделирования

3.3 Исследование неравновесного критического поведения намагниченности

3.4 Исследование влияния примесных атомов для случая высокотемпературного начального состояния

3.5 Исследование влияния немагнитных атомов примесей на поведение трехмерной модели Изинга, эволюционирующей из низкотемпературного начального состояния

3.5.1 Анализ эффектов старения

3.5.2 Результаты исследования нарушений флуктуационно-диссипативной теоремы

3.6 Анализ результатов и выводы

4 Исследование влияния различных начальных состояний на неравновесную критическую динамику двумерной и трехмерной моделей Изинга

4.1 Введение

4.2 Модель и методика исследования

4.3 Исследование влияния начальных состояний на эффекты старения

4.3.1 Трехмерная модель Изинга

4.3.2 Двумерная модель Изинга

4.4 Исследование влияния начальных состояний на значения флуктуационно-диссипативного отношения

4.5 Анализ результатов и выводы

Заключение

Литература

Введение

Количественное описание фазовых переходов и критических явлений в различных решеточных системах является одной из наиболее сложных задач. Применение метода ренормализационной группы и е-разложения [1-4], методов высоко- и низкотемпературных разложений [5], а также гипотезы скейлинга позволило определить многие общие свойства фазовых переходов. Было получено описание особенностей равновесного критического поведения термодинамических систем, получены уравнения состояния, вычислены значения критических индексов и установлены соотношения между ними. На основе выявленных закономерностей сформулирована гипотеза универсальности для статических критических явлений, согласно которой критическое поведение системы определяется размерностью пространства, числом компонент параметра порядка, симметрией гамильтониана и радиусом характерного взаимодействия. Применение аналитических методов позволяет получить точные решения лишь для достаточно ограниченного числа

V-* ТЛ V-/

моделей. В связи с этим, в решении решеточных моделей широкое применение находят численные методы, в том числе метод Монте-Карло.

Коллективное поведение статистических систем вблизи критической точки характеризуется аномально медленной динамикой. После изменения некоторых термодинамических параметров и условий система в термодинамическом пределе не достигает состояния равновесия. Неравновесная эволюция в этом случае демонстрирует ряд особенностей, обычно наблюдаемых в стекольных системах. К таким особенностям относятся эффекты старения и нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы (ФДТ) [6-10]. Для описания неравновесных явлений проводится исследование свойств динамических восприимчивостей и корреляционных функций параметра порядка. Скейлинговое поведение этих величин описывается универсальными характеристиками: показателями, скейлинговыми функциями и отношения-

ми амплитуд, которые определяются числом компонент параметра порядка и размерностью системы. Такая универсальность позволяет вычислять характеристики систем в различных статистических моделях [11,12], и методы Монте-Карло являются естественным подходом для этого анализа.

Моделирование критической динамики систем методом Монте-Карло связано с рядом трудностей. Динамический критический индекс ^, характеризующий степенную зависимость времен релаксации и корреляции от приведенной температуры, принимает для систем с дефектами структуры большие значения, чем для чистых систем [13]. Кластерные алгоритмы Сведсена-Ванга [14] или Вольфа [15], позволяющие уменьшить влияние эффектов критического замедления, не подходят для исследования динамических критических явлений, поскольку существенно меняют динамику системы.

Исследование критического поведения структурно неупорядоченных систем остается актуальной задачей физики конденсированного состояния вещества. Вблизи критической точки в системе наблюдается сильный отклик даже на малые возмущения. Поэтому характеристики слабо неупорядоченных систем могут существенно отличаться от свойств чистой системы. Изучение таких характеристик требует особых методов аналитического и численного исследования [16,17]. Особенности влияния слабого замороженного беспорядка на критическое поведение исследуются в течение длительного периода [18-20]. В работе [21] был определен критерий, согласно которому малый беспорядок оказывается существенным для критического поведения только в случае, когда коэффициент теплоемкости чистой системы а положителен. При этом условии критическое поведение слабо неупорядоченной системы характеризуется новым набором характеристик. В противном случае, при а < 0, наличие беспорядка несущественно для критического поведения. Условию а > 0 удовлетворяют только системы с эффективным гамильтонианом, изоморфным вблизи критической точки модели Изинга. При введении в такие системы любой концентрации слабо коррелированных замороженных дефектов структуры наблюдается принципиальное изменение класса универсальности критического поведения [17,22,23].

Исследования неупорядоченных магнетиков с изингоподобным критическим поведением проводились методами ренормгруппы (РГ), численны-

ми методами Монте-Карло и экспериментально. Результаты этих исследований представлены в большом количестве публикаций, обзор которых приведен в [24]. В работах [25,26] авторы высказали интересные идеи о нарушении репличной симметрии в системах с замороженным беспорядком. В работах [27, 28] было осуществлено аналитическое исследование критических свойств слабо неупорядоченных системы, с использованием теоретико-полевых методов, в двухпетлевом приближении, при явном введении в гамильтониан системы потенциалов, приводящих к нарушению репличной симметрии. В результате данных исследований было показано, что критические свойства структурно неупорядоченных изингоподоб-ных классических спиновых систем обладают устойчивостью относительно нарушения репличной симметрии системы. При этом критическое поведение разбавленных систем данного типа характеризуется отдельным классом универсальности по сравнению с чистой системой, что связано с изменением значений критических индексов, характеризующих степенной характер сингулярностей температурных зависимостей термодинамических и корреляционных свойств системы в критическом состоянии, и модификацией функциональных зависимостей скейлинговых функций, характеризующих асимптотические поправки к универсальным зависимостям термодинамических свойств системы в критическом состоянии и в непосредственной близости от критической точки — в критической области.

В то же время, остаются актуальными вопросы изучения зависимости критических показателей от концентрации дефектов структуры и выделения основных режимов критического поведения неупорядоченных систем. Эти вопросы исследуются до сих пор [29,30].

Важно заметить, что результаты анализа неравновесной критической динамики могут быть применены для объяснения результатов экспериментальных исследований мультислойных магнитных структур Fe/Cr [31] и Со/Сг [32]. Для подобных сверхструктур с наномасштабной периодичностью возникает возможность сделать больше время релаксации за счёт эффектов, возникающих вследствие большей характерной корреляционной длины спин-спиновых корреляций. Неравновесная критическая и низкотемпературная динамика мультислойных магнитных структур характеризуется медленным ростом пространственных спин-спиновых корреляций в систе-

ме. При этом на малых временах мультислойные структуры демонстрируют поведение, характерное для трехмерных систем, что связано с процессом роста поперечной компоненты корреляционной длины — пока данный пространственный компонент спин-спиновых корреляций обладает характерным пространственным масштабом, много меньшим толщины системы, влияние конечной толщины магнитной структуры не демонстрирует существенного влияния на неравновесные критические и низкотемпературные свойства. Однако, в процессе неравновесной релаксации поперечная компонента корреляционной длины достигает характерного пространственного масштаба, связанного с толщиной мультислойной структуры, при этом неравновесные критические и низкотемпературные свойства начинают демонстрировать особенности поведения двумерных и квазидвумерных систем. Такие системы низкой размерности отличаются от трехмерных систем в первую очередь тем, что в них наблюдается усиление эффектов, связанных с пространственной корреляцией за счет усиления флуктуационных эффектов, что приводит к сильной коррелированности спиновых флуктуаций в неравновесных динамических свойствах системы в критической точке, а также в области низких температур. В мультислойных магнитных структурах, в отличие от простых многослойных спиновых моделей статистической механики, может существовать иерархия характерных пространственных масштабов, связанных с искусственно созданной крупномасштабной сверхструктурой системы — эти особенности приводят к дополнительному усилению флуктуационных эффектов, а также пространственных и динамических спин-спиновых корреляций. Поэтому неравновесные эффекты старения и неэргодичности в мультислойных магнитных структурах возникают не только вблизи критической точки, но и в низкотемпературной фазе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные исследования эффектов старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных спиновых систем»

Цели работы:

1. Численное исследование влияния дефектов структуры на неравновесную критическую динамику двумерной и трехмерной моделей Изинга, эволюционирующих из различных начальных состояний.

2. Численное исследование эффектов старения на основе анализа двухвре-менных зависимостей корреляционных функций и функций отклика.

3. Численное исследование нарушений ФДТ, а также расчет предельных значений флуктуационно-диссипативного отношения (ФДО).

4. Выявление основных подклассов универсальности для неравновесных

^ ^ ^ V тт

критических свойств двумерной и трехмерной моделей Изинга в зависимости от начального состояния и степени неупорядоченности системы.

Научная и практическая значимость работы.

Развитые в диссертации методы компьютерного моделирования неравновесного критического поведения чистой и структурно неупорядоченных трехмерной и двумерной моделей Изинга, а также полученные результаты вносят существенный вклад в обоснование и развитие представлений теории критических явлений. Научная ценность проведенных исследований обусловлена построением корректной методики для численного описания неравновесной эволюции моделей Изинга в окрестности критической температуры в условиях их слабого и сильного разбавления немагнитными атомами примеси. Выявленное в результате проведенных расчетов существенное влияние дефектов структуры на неравновесные характеристики критического поведения систем может найти применение при отработке методики и постановке экспериментальных исследований реальных спиновых систем, а также практическом использовании направленной модификации свойств материалов, испытывающих фазовые превращения, за счет их легирования, что служит научной основой для создания материалов с новыми, перспективными физико-химическими свойствами.

Полученные в диссертации результаты вносят существенный вклад в физику фазовых переходов в области исследования критического поведения сложных спиновых систем, характеризующихся аномально медленной динамикой. Детально изучено влияние дефектов структуры и различных начальных состояний на неравновесную критическую динамику двумерной и трехмерной моделей Изинга. Выделены различные подклассы неравновесного критического поведения рассматриваемых систем, что привело к развитию новых представлений теории неравновесных критических явлений.

Положения, выносимые на защиту:

1. Методика численного Монте-Карло исследования неравновесного критического поведения двумерной и трехмерной чистой и структурно неупорядоченных моделей Изинга при эволюции из начальных состояний с различными значениями намагниченности.

2. В случае двумерной и трехмерной моделей Изинга с точечными дефектами структуры при эволюции из низкотемпературного начального состояния вследствие пиннинга доменных стенок на дефектах структуры наблюдается особое критическое поведение, характеризуемое явлением «сверхстарения» и равным нулю предельным ФДО.

3. Для трехмерной модели Изинга существует три подкласса универсальности неравновесного критического поведения, соответствующие чистой, слабо неупорядоченной и сильно неупорядоченной системам.

4. Принадлежность слабо неупорядоченной двумерной модели Изинга классу универсальности чистой системы и возникновение кроссовер-ных явлений перколяционного поведения для систем с сильной неупорядоченностью.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях «Фазовые переходы, критические явления и нелинейные явления в конденсированных средах», Махачкала (2017, 2019 г.г.); International Conference «Computer Simulation in Physics and beyond» 2018, Moscow, Russia; XVII Всероссийской школе-конференции молодых ученых «Проблемы физики твердого тела и высоких давлений», Сочи, 2018; Всероссийских научно-практических конференциях «Омские научные чтения», Омск (2017, 2018, 2019 г.г.), а также на научных семинарах кафедры теоретической физики ОмГУ им. Ф.М. Достоевского.

Проведенные исследования были поддержаны грантами РФФИ (No.17-12-00279, 19-32-50006) и грантом Президента РФ МД-6868.2018.2.

Список опубликованных работ по теме диссертации Научные статьи:

1. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Pospelov E.A., Malyarenko P.N., Vakilov A.N. Aging and non-equilibrium critical phenomena in Monte Carlo simulations of 3D pure and diluted Ising models // Progress of Theoretical and Experimental Physics. - 2015. - Vol. 215. Issue 5. 053A01. - P. 1-20.

2. Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Маляренко П.Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков при эволюции из низкотемпературного начального состояния // Письма в ЖЭТФ. — 2015. — Т. 102, вып. 3. — С. 192-201.

3. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Pospelov E.A., Malyarenko P.N. Peculiarities of non-equilibrium critical behavior of 3D diluted Ising model with evolution from low-temperature initial state // Material Science Forum. — 2016. — Vol. 845. — P. 85-88.

4. Krizhanovskiy V.V., Malyarenko P.N., Prudnikov V.V., Prudnikov P.V. Features of the non-equilibrium critical dynamics in 3D pure and diluted Ising-like ferromagnets // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2016. — Vol. 9. No. 4. — P. 463-468.

5. Прудников В.В., Прудников П.В., Маляренко П.Н. Исследование влияния различных начальных состояний и дефектов структуры на характеристики неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. — 2017. — Т. 152. № 6(12). — С. 1293-1308.

6. Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Маляренко П.Н. Эффекты сверхстарения и перколяционного кроссовера в неравновесном критическом поведении двумерной неупорядоченной модели Изинга // Письма в ЖЭТФ. — 2018. — Т. 107. № 9. — С. 595-603.

7. Прудников В.В., Прудников П.В., Маляренко П.Н. Монте-Карло-исследование влияния начальных состояний и дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной модели Изинга // ФТТ. — 2018. — Т. 60. № 6. — С. 1086-1098.

8. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Malyarenko P.N. Influence of initial states and structure defects on non-equilibrium critical behavior of 3D and 2D Ising models // J. Phys.: Conf. Ser. - 2019. - Vol. 1163. - 012005.

9. Malyarenko P.N., Prudnikov V.V., Prudnikov P.V. Peculiarities of non-equilibrium critical behavior of site-diluted 2D Ising model // J. Phys.: Conf. Ser.-2019.-Vol. 1163.-012016. doi:10.1088/1742-6596/1163/1/012016.

10. Прудников В.В., Прудников П.В., Маляренко П.Н., Щур Л.Н. Исследование маргинального влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга // ЖЭТФ. - 2020. -Т. 157. Вып. 2. - C. 308-326.

11. Прудников В.В., Прудников П.В., Маляренко П.Н., Щур Л.Н. Расчет логарифмических поправок для корреляционной длины и их проявление в неравновесном критическом поведении автокорреляционной функции для неупорядоченной двумерной модели Изинга // Вестник Омского университета. - 2019. - Т. 24. Вып. 4. - C. 16-24 (из списка ВАК).

Материалы конференций:

1. Prudnikov V., Prudnikov P., Pospelov E., Malyarenko P. Aging properties of the disordered Ising-like ferromagnets at critical point // Book of Abstracts of Moscow International Symposium on Magnetism (MISM 2014). - М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова. - 2014. - 976 с. (на англ.яз.). - С. 187.

2. Прудников В.В., Иванов А. В., Маляренко П. Н. Эффекты старения в неравновесном критическом поведении трехмерной структурно неупорядоченной модели Изинга при эволюции из начального низкотемпературного состояния // ФМ ОмГУ 2014: сборник статей II региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых по физике и математике. - Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2014. - С. 59-63.

3. Прудников В.В., Прудников П. В., Маляренко П. Н. Численное исследование эффектов старения в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга при эволюции из начального низкотемпературного состояния // Сборник тезисов, материалы Двадцать первой Все-

российской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-21, Омск): материалы конференции, тезисы докладов: В 1 т. — Екатеринбург - Омск: Изд-во АСФ России, 2015. — С. 80-81.

4. Прудников В.В., Маляренко П. Н. Численное исследование эффектов старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченной трехмерной модели Изинга // ФМ ОмГУ 2015: сборник статей III региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых по физике и математике. — Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2015. — С. 60-65.

5. Прудников В.В., Прудников П. В., Маляренко П. Н. Численные исследования влияния различных начальных состояний на характеристики неравновесного критического поведения спиновых систем // ФМХ Ом-ГУ - 2016: сборник статей IV региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых по физике, математике и химии. — Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та, 2016. — С. 74 - 78.

6. Прудников В.В., Маляренко П. Н. Численное исследование влияния различных начальных состояний на характеристики неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга // ФМХ ОмГУ - 2017: сборник статей V региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых по физике, математике и химии. — Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2017. — С. 61-66.

7. Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Маляренко П. Н. Моделирование неравновесного критического поведения двумерной модели Изинга // Омские научные чтения: материалы Всероссийской научно-практической конференции (Омск, 11-16 декабря 2017 г.) — Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2017. — С. 895-898.

8. Прудников В.В., Маляренко П.Н. Численное исследование влияния различных начальных состояний и дефектов структуры на значения флуктуационно-диссипативного отношения для двумерной модели Изинга // ФМХ ОмГУ - 2018: сборник статей VI региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых по физике, математике и химии. — Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2018. — С. 56-61.

9. Прудников В.В., Маляренко П.Н. Влияние начальных состояний на критическую релаксацию неупорядоченной двумерной модели Изин-га // Омские научные чтения: материалы Всероссийской научно-практической конференции (Омск, 10-15 декабря 2018 г.) — Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2018. — С. 628-631.

Настоящая диссертация содержит введение, четыре главы, заключение и список литературы из 118 наименований. Работа представлена на 136 страницах, включает 47 рисунков и 14 таблиц.

Глава 1

Критические явления и методы их исследования для спиновых системах

1.1 Классификация фазовых переходов

Понятие фазового перехода в системе неразрывно связано с понятием термодинамической фазы системы. Состояние системы, при котором она имеет как пространственную, так и статистическую однородность, называют термодинамической фазой. Для термодинамической фазы физические свойства всей системы в целом однородны по пространству и не изменяются во времени. Процессы, протекающие на микроскопическом уровне, определяют большое разнообразие физических свойств макроскопической системы, и, как следствие, разнообразие термодинамических фаз. Термодинамические фазы могут определяться агрегатным состоянием вещества, свойствами магнитоупорядоченности системы, свойствами возникновения спонтанной поляризации, особенностями кристаллической структуры и аллотропии вещества, возникновением макроскопических квантовых когерентных состояний и др. Понятно, что в современное время, с развитием возможностей экспериментальных и теоретических исследований, понятие термодинамической фазы вещества претерпело существенное расширение, однако, общая суть и физический смысл понятия фазы остался прежним. Фазовым переходом принято называть переход системы из одной термоди-

намической фазы в другую. Основные примеры фазовых переходов определяются соответствующими термодинамическими фазами, переход между которыми рассматривается. В качестве хорошо известных примеров можно отметить фазовые переходы, связанные со сменой агрегатных состояний вещества: испарение/конденсация, плавление/отвердевание, сублима-ция/десублимация, и фазовые переходы в магнитоупорядоченных системах: переходы из ферромагнитной, антиферромагнитной, ферримагнитной и ге-ликомагнитной фаз в парамагнитную фазу (или между собой).

Все фазовые переходы подразделяются на два вида - первого (ФП1) и второго (ФП2) рода. При фазовых переходах первого рода наблюдается разрыв первых производных химического потенциала ц,(Р,Т). При этом происходит скачкообразное изменение энтропии ДБ, которому соответствует скрытая теплота фазового перехода д\2 = ТДБ. Плотность вещества Др и внутренняя энергия £ также меняются скачкообразно. Наиболее известными примерами фазовых переходов первого рода являются переходы жидкость-твердое тело и жидкость-газ.

При ФП2 в исследуемой системе при критической температуре Тс на микроуровне происходит резкое изменение симметрии при плавном изменении параметров. При этом вторые производные Т) терпят разрыв, а первые непрерывны.

График равновесия фаз, наблюдаемый на фазовой диаграмме, заканчивается в критической точке. Эта точка наблюдается в случае фазовых состояний вещества, различающихся только количественно. Например, жидкое и газообразное состояния вещества отличаются друг от друга величиной взаимодействия между молекулами. Жидкая и твердая фаза вещества отличаются на качественном уровне в связи с различным внутренним строением, проявляющемся в различной симметрии. Для ФП1 при околокритической температуре первая производная термодинамического потенциала претерпевает небольшой скачок. Для второй производной в этом случае наблюдается аномальное поведение. Параметр порядка - величина, которая равна нулю в симметричной фазе и принимает отличные от нуля значения в несимметричной фазе. Параметр порядка зависит от температуры Т следующим

образом:

{

Ф(Т)Н 0' Т>Тс (1.1)

у 7 ^ =0, т<тс,

где Тс - критическая температура, при которой наблюдается фазовый переход. Для разных систем в качестве параметра порядка выбираются различные величины. Примерами являются намагниченность для магнитных систем, разность плотностей жидкости и пара для системы жидкость-пар в окрестности критической точки, смещения атомов при структурных фазовых переходах.

1.2 Критические индексы

При фазовых переходах и критических явлениях некоторые из термодинамических величин вблизи критической температуры Тс определяются степенным поведением. Для описания этого поведения рассматриваются показатели, получившие название критических индексов. Представим в общем виде температурную зависимость какой-либо термодинамической характеристики системы / (г), где г - приведенная температура:

Т — Т

Г = ^^. (1.2)

^ С

Предположим, что функция / (г) непрерывна и / (г) > 0 при малых значениях г > 0. Тогда критический показатель Л, связанный с функцией /(г), есть

А - Иш1^. (1.3)

т1п Г

Вблизи критической температуры Тс функция /(г) характеризуется зависимостью:

/(Г) - ТЛ. (1.4)

В двойном логарифмическом масштабе графики критических характеристик имеют вид прямых, из наклона которых можно найти значения критических показателей. Таким образом, критические индексы, в отличие от полного вида функции, всегда измеримы. Особый интерес к критическим показателям связан тем, что они являются универсальными, т. е. не зависят

от микроскопических деталей системы, а определяются небольшим числом общих признаков.

Критические показатели характеризуют поведение теплоемкости С (т):

С (г) - |т — , (1.5)

намагниченности М (т):

М(т) - |т, (1.6)

восприимчивости:

Х(т) - |т-, (1.7) изотермической намагниченности М(к, Т = Тс):

М(к, Тс) - к1'5. (1.8)

В критической точке величины С(т) и х(т) являются расходящимися.

Сильные флуктуации параметра порядка определяют критическое поведение для фазовых переходов, которые являются непрерывными. Эти флуктуации описываются корреляционной длиной £ (т), характеризуемой индексом и:

£(Т) - |тГ. (1.9)

Флуктуации намагниченности приводят к неограниченному возрастанию корреляционной длины £, а также времени релаксации системы тг и времени корреляции флуктуаций т в окрестности Тс. Расходимость тг, т описывается динамическим критическим индексом ^, который определяется соотношением:

ТГ,т - |Т - Тс|-^. (1.10)

Для описания поведения корреляционной функции флуктуаций параметра порядка вводится критический индекс ц:

ОД1т=т ■ (1.11)

В некоторых случаях какой-либо из критических индексов оказывается равным нулю. Это означает, что соответствующая величина либо испытывает

разрыв первого рода в критической точке, либо характеризуется особой логарифмической зависимостью, которая объясняется пределом

Irl-s - 1

lim i-1-= - ln\т|. (1.12)

s^Ö S

Изучение таких величин является непростой задачей, поскольку на основе данных экспериментального или численного исследования сложно выявить точное равенство нулю значения критического показателя.

Критические индексы связаны между собой неравенствами, которые в критической точке переходят в равенства [33,34]:

а + + 7 = 2, (1.13)

7 = ß(S - 1), (1.14)

7 = (2 - rj)u, (1.15)

2 - а = vd. (1.16)

Таким образом, критическое поведение равновесных систем определяется только двумя независимыми критическими показателями. Существуют различные аналитические и численные методы, позволяющие найти значения критических индексов.

1.3 Логарифмические поправки

В ряде случаев степенные скейлинговые зависимости (1.5) - (1.8) модифицируются логарифмическими поправками. Так, логарифмические поправки возникают для некоторых систем при 4 < 4С [35,36]. Тип фазового перехода в широко известно модели Поттса зависит от числа состояний: если число состояний больше четырех, то реализуется ФП1, а в противном случае - ФП2. Случай д = 4 характеризуется ФП2, при котором возникают логарифмические поправки. Согласно критерию Харриса [21], присутствие точечных некоррелированных дефектов в образце существенно для критического поведения, если критический показатель теплоемкости для однородной системы а положителен. Если для чистой системы а отрицательно,

то структурный беспорядок оказывается несущественным. В случае двумерной модели Изинга критерий Харриса неприменим, поскольку а = 0. В этом случае необходим учет логарифмических поправок.

Согласно работам [37,38], с учетом логарифмических поправок соотношения (1.5) - (1.8) принимают вид:

~М-"( 1 + 01п , (1.17)

С (г) ~М-а( 1+д1п , (1.18)

Х(Т) - М-7 ^ 1 + д1п^, (1.19)

т(т) - |т|^ 1 + д1п^ , (1.20)

к1/5( 1 ' 1

5

т(Ь) - 1 + д1п—^ , г = 0. (1.21)

Здесь д - коэффициент, пропорциональный концентрации дефектов структуры [38], который определяется как

4 4 8 1-ю 1-ю

9 = -90 = ----1 « 4.843-Р, (1.22)

п к (1 + л/2/п)2 Р р

где р - спиновая концентрация. Показатели 7, а, 7, / связаны универсальными соотношениями [37]

ДО - 1) = 66 - 7, (1.23)

2/ -7 = 7, (1.24)

7 = 7 + -^, (1.25)

2- а

где параметр 7 является характеристикой системы. Значение 7 = 0 соответствует гиперскейлингу. Эти соотношения справедливы для всех вышеперечисленных систем, в которых необходимо учитывать логарифмические поправки. Для двумерной модели Поттса с числом состояний д = 4 значения критических показателей есть [39] а = 2/3, / = 1/12, 7 = 7/6, £ = 15

и v = 2/3, а показатели для поправок равны [40,41] а = -1, /3 = -1/8, 7 = 3/4, 3 = -1/15 и 3 = 1/2. Применение метода конечноразмерного скейлинга [41,42] дает значение q = 0.

Для модели 0(N) значение верхней критической размерности dc = 4. В этом случае гиперскейлинговые соотношения не выполняются и критические показатели принимают среднеполевые значения а = 0, ß = 1/2, 7 = 1, 5 = 3 и v = 1/2. Ренормгрупповые методы предсказывают значения показателей для поправок [43,44] а = (4 - N)/(N + 8), ß = 3/(N + 8), 3 = (N + 2)/(N + 8), 3 = 1/3 и 3 = (N + 2)/2(N + 8) и 3 = 1/4.

В работе [45] показано, что для структурно неупорядоченной двумерной модели Изинга с точечными замороженными дефектами структуры значения критических индексов равны индексам чистой модели, а именно: а = 0, ß = 1/8, 7 = 7/4, Ö = 15 и и = 1, но при этом влияние логарифмических поправок оказывается существенным. В работах [46-48] получены значения показателей для поправок (3 = 0, 7 = 7/8 и 3 = 1/2. В более поздней работе [49] приводятся значения (3 = 0, ß = -1/16, 7 = 7/8 и 3 = 1/2. Значение 7 = 7/8 из работ [46-48] было подтверждено для двумерной модели Изинга со случайными связями [50].

1.4 Теория скейлинга

Известно, что термодинамические потенциалы, например, удельный потенциал Гиббса д(т, h), могут быть представлены в виде суммы регулярной части дгед (т, h) без какого-либо особого критического поведения и сингулярной части gsing (т, h), демонстрирующей особенности критического поведения:

д(т, h) = дгед(т, h) + gsmg(т, h). (1.26)

Феноменологическая теория скейлинга для равновесных фазовых переходов основывается на предположении, что вблизи критической точки сингулярная часть термодинамического потенциала является обобщенной однородной функцией. С математической точки зрения функция f (xi,x2,...) называется обобщенной однородной функцией, если она удовлетворяет соотношению

Xf (xhx2 ...) = f (xi\Sl ,x2Xs2,...) (1.27)

для всех положительных значений Л Е Показатели 82,... называются скейлинговыми размерностями, а переменные х1, х2, ... - скейлинговыми полями. В физике предполагается, что сингулярная часть удельного потенциала Гиббса д8пд (г, к) демонстрирует скейлинговое поведение вида [51]

дзтд(т,к) ~Ла-2д(тЛ,ЬЛ^), (1.28)

где д(х, у) - соответствующая скейлинговая функция. Выражение (1.28) справедливо только для значений г и к, стремящихся к нулю. Вне этого предела (как, например, при любом численном моделировании или в эксперименте) будут наблюдаться отклонения от предсказываемого скейлингово-го поведения.

Как нетрудно доказать, частные производные от обобщенно однородных функций тоже будут являться обобщенно однородными функциями. Также это касается и преобразований Лежандра. Намагниченность, а также магнитную восприимчивость рассмотрим как примеры. Дифференцируя (1.28) по сопряженному полю к, получим

т(т, к) = - (Ц^А - Ла-2+^гп(тЛ, кЛ^), (1.29)

Х(т, к) = - (- Х'-2+2^х(тЛ, кЛ"), (1.30)

где скейлинговые функции определяются как

т(х,у) = -(Щ^) , Х(х, У) = - (. (1.31)

Поскольку соотношение (1.27), определяющее обобщенно однородную функцию, справедливо для всех положительных Л, можно выбрать конкретное значение Л и получить некоторую скейлинговую форму. Выберем Л = |х1|-1/51, тогда первый аргумент функции / в правой части является константой. Отсюда функция п аргументов f(х1,... ,хп) сводится к виду

ДхЬ ... , Хп) = Ы1/в1 /(1, |Х1|1/51 Х2,..., |Х1|1/51 Хп) (1.32)

со скейлинговой функцией /, которая эффективно зависит от п — 1 аргументов. Построив 1х\1—1/в 1 $(х\,... ,хп) как функцию п — 1 переменных, можно свести наборы данных для разных значений х1 к одному многообразию. В частности, при п = 2 наблюдается «коллапс» различных наборов данных для разных х1 на универсальной кривой, определяемой /. Существует несколько возможностей выбора значения Л, приводящих к различным, но математически эквивалентным скейлинговым формам. Например, для п = 2 скейлинговые формы

Ы-51 /(Х1,Х2) = /(±1,Х2 Ы— ^ 51), (1.33)

|1—1/52 /(Х1,х2) = /(Х11х21— 51752 , ±1). (1.34)

одинаково справедливы [52]. В качестве примера рассмотрим соотношения (1.29) и (1.30). Выбирая Л = 1/ |т| и считая к = 0, получим

т(т, 0) - т—(а—2+^т(—1,0), (1.35)

Х(т, 0) - г—(а—2+2^х(±1,0), (1.36)

где намагниченность определена только при т < 0. В общем случае х(+1,0) = х(—1,0), т. е. амплитуды восприимчивости могут быть различны при температуре ниже критической и выше нее. Сравнивая эти уравнения с (1.6) и (1.7), получим соотношения,

Р = + 2 — 7 = а — 2 + 2^5, (1.37)

воспроизводящие равенства Рашбрука (1.13) и Уидома (1.14). Равенство Фишера (1.15) можно получить аналогичным образом из скейлинговой формы для корреляционной функции. Рассматривая уравнение состояния М-к-т (1.29) и выбирая кХ36 = 1, найдем

т(т,к) - А-3 т(тХ,кХ36)\А=н_1/(9й = к1/5т(тк-1/135, 1). (1.38)

Считая т = 0, получим уравнение критической изотермы т(Тс, к) - |к|1/s. Это уравнение может быть записано в виде

тн - т(тн, 1), 22

(1.39)

где тн = тк-1/6, тн = тк-1/36. Таким образом, уравнение состояния описывается одной универсальной кривой, являющейся графиком зависимости перемасштабированного параметра порядка тн как функции перемасштабированного управляющего параметра тн. Функция т(х, 1) обычно называется скейлинговой функцией Хенки-Стенли [52].

Применяя преобразования Лежандра к термодинамическому потенциалу Гельмгольца / = д + тк, можно получить еще одну скейлинговую форму. Поскольку преобразования Лежандра обобщенно-однородных функций также являются обобщенно однородными функциями, для сингулярной части потенциала Гельмгольца должно выполняться соотношение:

/*гпд(Т,т) - Ха-2/(Т\,т\3). (1.40)

Тогда нетрудно получить скейлинговую форму и для сопряженного поля

к(т,т) =(Ц^-) - Х-36к(тХ,тХ3). (1.41)

у ^КЬ у Г

Выбирая тХ3 = 1, получим соотношение

кт - к(тт, 1), (1.42)

где кт = кт-6, тт = тт-1/3. Функцию к(х, 1) часто называют скейлинговой функцией Уидома-Гриффитса [53,54]. Скейлинговые функции к(х, 1) и т(х, 1) являются аналитическими в окрестности х = 0, т.е. при критической температуре. Скейлинговая форма Хенки-Стенли - это зависимость параметра порядка как функции управляющего параметра при фиксированном внешнем поле. Таким образом, она является естественной и выглядит более удобной для изучения. Но зачастую скейлинговые формы Уидома-Гриффитса оказываются более простыми и удобными для исследований аналитическими методами.

1.5 Конечноразмерный скейлинг

Для систем конечных размеров корреляционная длина не может расходиться, и расходимость всех остальных величин округляется и смещает-

ся. При значении температуры около критического значения Тс линейный размер системы Ь будет выражать роль ^ в скейлинговых соотношениях. Выражение (1.9) может быть записано в виде:

|1 - Т/Тс| - С1/1У —> Ь-1/1/, (1.43)

откуда видно, что (1.5 - 1.7) могут быть переписаны в виде:

С (Т) - Ьа/и, (1.44)

М(¿) - Ь-^/и, (1.45)

х(Т) - Ь^. (1.46)

В общем случае эти соотношения справедливы в окрестности Тс до тех пор, пока скейлинговая переменная х = (1 - Т/Тс)Ь1/,у остается фиксированной. В частности, это верно для положений Ттах максимумов термодинамических величин, таких как удельная теплоемкость или восприимчивость, скейлинговое выражение для которых есть

Ттах Тс(1 ХтахЬ ^ + ...). (1.47)

В более общем виде скейлинговое соотношение, например, для восприимчивости имеет вид

^(Т,Ь) = Ь7/7 (х). (1.48)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Маляренко Петр Николаевич, 2020 год

Литература

1. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е-разложение. — М.: Мир, 1975. —246 с.

2. Паташинский А.З., Покровский В.А. Метод ренормализационной группы в теории фазовых переходов // УФН. — 1977. — Т. 121, вып. 1. — С. 55-96.

3. Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. — M.: Наука, 1982. — 382 с.

4. Ма Ш. Современная теория критических явлений. — М.: Мир, 1980. — 230 с.

5. Фишер М. Физика критического состояния / Пер. с англ. М.Ш. Гитер-мана. — М.: Мир, 1968. — 221 с.

6. Berthier L., Kurchan J. Nonequilibrium glass transitions in driven and active matter // Nature Phys. 9. — 2013. — V. 310. — P. 310-314.

7. Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J.-P., Cugliandolo L. F., Complex behavior of glassy systems. In Lecture Notes in Physics. — Springer, Berlin, 1997. — Vol. 492. — P. 184.

8. Cugliandolo L. F. Slow relaxation and nonequilibrium dynamics in condensed matter. // In Les Houches: Ecole dEte de Physique Theorique, eds. J.-L. Barrat. — Springer, Berlin, 2003. — Vol. 77. — P. 371

9. Henkel M., Pleimling M. Non-Equilibrium Phase Transitions, Volume 2: Ageing and Dynamical Scaling far from Equilibrium (Theoretical and Mathematical Physics). — Springer, Heidelberg, 2010. — P. 544

10. Прудников В.В., Прудников П.В., Мамонова М.В. Особенности неравновесного критического поведения модельных статистических систем и методы их описания // УФН. — 2017. — Т. 187, № 8. — С. 762-797.

11. Afzal N., Pleimling M. Aging processes in systems with anomalous slow dynamics // Phys. Rev. E. — 2013. - 87, 012114. — P. 1-8.

12. Parisi G., Ricci-Tersenghi F., Ruiz-Lorenzo J. J. Generalized off-equilibrium fluctuation-dissipation relations in random Ising systems // Eur. Phys. J. — 1999. — Vol. 11, Iss. 2. — P. 317-325

13. Oerding K. The dynamic critical exponent of dilute and pure Ising systems // J. Phys. A. — 1995. — V. 28. — P. L639 - L643.

14. Swendsen R.H., Wang J.-S. Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations. // Phys. Rev. Lett. — 1987. — V. 58. — P. 86.

15. Wolf U. Collective Monte Cario Updating for Spin Systems. // Phys. Rev. Lett. — 1989. — V. 62. — P. 361.

16. Ozeki Y., Ito N. Nonequilibrium relaxation method // J. Phys. A: Math. Theor. — 2007. - V. 40, № 31. — P. R149-R203.

17. Ozeki Y., Yotsuyanagi S., Ito N. Nonequilibrium Relaxation Study of Effect of Randomness on Critical Universality Classes of Ferromagnetic Phase Transitions // J. Phys. Soc. Jpn. — 2012. - V. 81 № 7. — 074602.

18. Хмельницкий Д. Е. Фазовый переход второго рода в неоднородных телах // ЖЭТФ. - 1975. - Т. 68, вып. 5. — С. 1960-1968.

19. Прудников В. В., Белим С. В., Иванов А.В., Осинцев Е. В., Федоренко А. А. Критическая динамика слабо неупорядоченных спиновых систем // ЖЭТФ. — 1998. Т. 114, вып. 3. — С. 972-978.

20. Yin J. Q., Zheng B., Prudnikov V. V., Trimper S. Short-time dynamics and critical behavior of three-dimensional bond-diluted Potts model // Eur. Phys. J. B. — 2006. — V. 49, Iss. 2. — P. 195-203.

21. Harris A. B. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // J. Phys. C: Solid State Phys. — 1974. — V. 7, № 9. — P. 1671.

22. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Fedorenko A. A. Static and dynamic critical properties of 3D systems with long-range correlated quenched defects // J. Phys. A: Math. Gen. — 1999. - V. 32, № 49. — P. 8587.

23. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Fedorenko A. A. Field-theory approach to critical behavior of systems with long-range correlated defects // Phys. Rev. — 2000. — V. 2, Iss. 13. — P. 8777.

24. Pelissetto A., Vicari E. Critical phenomena and renormalization-group theory // Phys. Rep. — 2002. — V. 368, Iss. 6. — P. 549 - 727.

25. Dotsenko V. S., Harris A. B., Sherrington D., Stinchcombe R. B. Replica-symmetry breaking in the critical behaviour of the random ferromagnet // J. Phys. A: Math. Gen. — 1995. - V. 28, № 11. — P. 3093.

26. Dotsenko V. S. and Feldman D. E. Replica symmetry breaking and the renormalization group theory of the weakly disordered ferromagnet // J. Phys. A: Math. Gen. — 1995. — V. 28, № 18. — P. 5183

27. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Fedorenko A. A. Stability of critical behavior of weakly disordered systems with respect to the replica symmetry breaking // Phys. Rev. B. — 2001. — V. 63, Iss. 18. — P. 184-201.

28. Прудников В.В., Прудников П.В. Критическое поведение неупорядоченных систем с эффектами нарушения репличной симметрии // ЖЭТФ. — 2002. — Т. 122, вып. 3 (9). — С. 636-646.

29. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Krinitsyn A. S., Vakilov A. N., Pospelov E. A., Rychkov M. V. Short-time dynamics and critical behavior of the three-dimensional site-diluted Ising model // Phys. Rev. E. — 2010. — V. 81, Iss. 1. —P. 011130.

30. Прудников В.В., Прудников П.В., Вакилов А.Н., Криницын А.С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // ЖЭТФ. — 2007. — Т. 132, вып. 2 (8). — С. 417-425.

31. Дровосеков А. Б., Крейнес Н. М., Холин Д. И., Королев А. В., Миляев М. А., Ромашев Л. Н., Устинов В. В. Спин-стекольное состояние многослойных структур Fe/Cr со сверхтонкими слоями железа // Письма в ЖЭТФ. — 2008. — Т. 88, вып. 2. — С. 126-131.

32. Mukherjee T., Pleimling M., Binek Ch. Probing equilibrium by nonequilibrium dynamics: Aging in Co/Cr superlattices // Phys. Rev. B. — 2010. — V. 82, Iss. 13. - P. 134425.

33. Изюмов Ю.А., Скрябин Ю.Н. Статистическая механика магнитоупоря-доченных систем. — М.: Наука, 1987. — 264 с.

34. Доценко В.С. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // УФН. — 1995. — Т. 165, № 5. — С. 481-528.

35. Wegner F. J. In Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. VI. — London: Academic Press, 1976. — p. 8.

36. Berche B., Shchur L. N. Numerical investigation of logarithmic corrections in two-dimensional spin models // JETP Lett. — 2004. — V. 79, Iss. 5. — P. 213-217.

37. Kenna R., Johnston D.A., Janke W. Scaling Relations for Logarithmic Corrections // Phys. Rev. Lett. - 2006. — Vol. 96, Iss. 11. — P. 115701.

38. Shchur L. N., Vasilyev O. A. Critical amplitude ratio of the susceptibility in the random-site two-dimensional Ising model // Phys. Rev. E. — 2001. — Vol. 65. — P. 016107.

39. den Nijs M. P. M. A relation between the temperature exponents of the eight-vertex and q-state Potts model // J. Phys. A. — 1979. — Vol. 12, № 10. — P. 1857-1868.

40. Nauenberg M., Scalapino D. J. Singularities and Scaling Functions at the Potts-Model Multicritical Point // Phys. Rev. Lett. — 1980. — Vol. 44, Iss. 13. — P. 837-840.

41. Salas J., Sokal A. D. Logarithmic Corrections and Finite-Size Scaling in the Two-Dimensional 4-State Potts Model // J. Stat. Phys. — 1997. — Vol. 88, Iss. 3-4. P. 567-615.

42. Black J. L., Emery V. J. Critical properties of two-dimensional models // Phys. Rev. B. — 1981. — Vol. 23, Iss. 1. — P. 429-432.

43. Kenna R. Finite size scaling for O(N) -theory at the upper critical dimension // Nucl. Phys. B. — 2004. — Vol. 691, Iss. 3. — P. 292-304.

44. Brezin E. An investigation of finite size scaling // J. Phys. France. — 1982.

— Vol. 43, № 1.—P. 15-22.

45. Доценко Вик. С., Доценко Вл. С. Фазовый переход в 2D модели Изинга с примесными связями // Письма в ЖЭТФ. — 1981. — Т. 33, вып. 1. — С. 40-44.

46. Шалаев Б. Н. Корреляционная функция и восприимчивость двумерной модели Изинга с примесями // ФТТ. — 1984. — Т. 26. — С. 1811-1823.

47. Shankar R. Exact critical behavior of a random bond two-dimensional Ising model // Phys. Rev. Lett. — 1987. — Vol. 58, Iss. 23. — P. 2466-2469.

48. Ludwig A.W.W. Comment on "Exact Critical Behavior of a Random-Bond Two-Dimensional Ising Model"// Phys. Rev. Lett. — 1988. — Vol. 61, Iss. 20. — P. 2388.

49. Jug G., Shalaev B. N. Critical behavior of weakly disordered anisotropic systems in two dimensions // Phys. Rev. B. — 1996. — Vol. 54, Iss. 5. — P. 3442-3453.

50. Roder A., Adler J., Janke W. High-temperature series analysis of the free energy and susceptibility of the 2D random-bond Ising model // J. Phys. A.

— 1999. — V. 265, Iss. 1-2. — P. 28-42.

51. Henkel M., Hinrichsen H., Lübeck S. Non-Equilibrium Phase Transitions Volume 1: Absorbing Phase Transitions (Theoretical and Mathematical Physics). — Springer, Heidelberg, 2008. — P. 396.

Non-Equilibrium Phase Transitions, Volume 2: Ageing and Dynamical Scaling far from Equilibrium (Theoretical and Mathematical Physics). — Springer, Heidelberg, 2010. — P. 544

52. Hankey A., Stanley H.E. Systematic application of generalized homogeneous functions to static scaling, dynamical scaling, and universality // Phys. Rev. B. — 1972. — Vol. 6, Iss. 9. — P. 3515-3542.

53. Widom B. Equation of state in the neighborhood of the critical point // J. Chem. Phys. — 1965. — Vol. 43, Iss. 11. — P. 3898.

54. Griffiths R.B. Thermodynamic functions for fluids and ferromagnets near the critical point // Phys. Rev. — 1967. — Vol. 158, Iss. 1. — P. 176-187.

55. Hohenberg P. C, Halperin B. I. Theory of dynamic critical phenomena. // Rev. Mod. Phys. — 1977. — V. 49, Iss. 3. — P. 435-479.

56. Kawasaki K. Diffusion Constants near the Critical Point for Time-Dependent Ising Models. I. // Phys. Rev. — 1966. — Vol. 145, Iss. 1. — P. 224-230.

57. Onuki A. Phase Transition Dynamics. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — P. 714.

58. Прудников В.В., Прудников П.В., Калашников И.А., Циркин С.С. Ре-нормгрупповое описание процессов неравновесной критической релаксации в коротковременном режиме: трехпетлевое приближение // ЖЭТФ. — 2008. — Т. 133, Вып. 6. — С. 1251-1257.

59. Prudnikov P. V., Medvedeva M. A. Non-Equilibrium Critical Relaxation of the 3D Heisenberg Magnets with Long-Range Correlated Disorder // Prog. Theor. Phys. — 2012. — V. 127, Iss. 3. — P. 369-382.

60. Rosov N., Hohenemser C., Eibschutz M. Dynamic critical behavior of the random-exchange Ising system Feo9Zn01F2 determined via Mossbauer spectroscopy // Phys. Rev. B. — 1992. — V. 46, Iss. 6. — P. 3452.

61. Dorogovtsev S. N. Critical properties of magnets with dislocations and point impurities // Sov. Phys. JETP. — 1981. — V. 80 — P. 2053-2067.

62. Weinrib A., Halperin B.I. Critical phenomena in systems with long-range-correlated quenched disorder // Phys. Rev. B. — 1983.— V. 27 — P. 413-427.

63. Stinchcombe R.B. Diluted magnetism / Phase transitions and critical phenomena, ed. C. Domb, J.L. Lebowitz. — New York: Academic Press, 1983. -V. 7. — P. 151-191.

64. Campostrini M., Pelissetto A., Rossi P., Vicari E. Improved high-temperature expansion and critical equation of state of three-dimensional Ising-like systems // Phys. Rev. E. — 1999. — V. 60, No 4. — P. 3526-3563.

65. Hasenbusch M. Monte Carlo studies of the three-dimensional Ising model in equilibrium // International Journal of Modern Physics C. — 2001. — Vol. 12, No. 7. — P. 911-1009.

66. Haupt A., Straub J. Evaluation of the isochoric heat capacity measurements at the critical isochore of SF6 performed during the German Spacelab Mission D-2 // Phys. Rev. E. — 1999. — Vol. 59, Iss. 2. — P. 1795-1802.

67. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Fedorenko A.A. Field-theory approach to critical behaviour of systems with long-range correleted defects // Phys. Rev. B. — 2000. — V. 82. — P. 8777.

68. Ising E. Z. Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus // Z. Physik. — 1925. — V. 31. — P. 253-258.

69. Paierls R. On Ising's Model of Ferromagnetism // Proc. Cambridge. Phil. Soc. — 1936. — V.32. — P. 477-481.

70. Kramers H.A., Wannier G.H. Statistic of the Two-Dimensional Ferromagnet // Phys. Rev. — 1941. — V. 60. — P. 252-262.

71. Onsager L. A two-dimensional model with an order-disorder transition // Phys. Rev. — 1944. — V. 65. — P. 117-149.

72. Parola A., Reatto L. Liquid state theories and critical phenomena // Adv. Phys. — 1995. — V. 44, Iss. 3. — P. 211-298.

73. Metropolis N., Rosenbluth A.W., Rosenbluth M.N., Teller A.H., Teller E. Equation of State Calculations by Fast Computing Machines // J. Chem. Phys. — 1953. — V. 21, № 6. — P. 1087-1092.

74. Plechko V.N. Fermionic structure of two-dimensional Ising model with quenched site dilution // Phys. Lett. A. — 1998. — Vol. 239, Iss. 4-5. — P. 563.

75. Shalaev B. N. Critical behavior of the two-dimensional Ising model with random bonds // Phys. Rep. — 1994. — V. 237, Iss. 3. — P. 129-188.

76. Wang J. S., Selke W., Dotsenko Vl. S., Andreichenko V. B. Monte Carlo study of the 2D Ising model with impurities // Nuclear Physics B. — 1990. -V. 344, Iss. 3. — P. 531-556.

77. Selke W., Shchur L. N., Talapov A. L. Monte Carlo simulations of dilute Ising models // Annual Reviews of Computational Physics. — 1995. — P. 17-54.

78. Talapov A.L., Shchur L.N. Critical-Point Correlation Function for the 2D Random Bond Ising Model // Europhys. Lett. — 1994. — Vol. 27, № 3. — P. 193-196.

79. Kim J. K., Patrascioiu A. Critical behavior of the specific heat in the two dimensional site diluted Ising system // Phys. Rev. Lett. — 1994. — V. 72, Iss. 17. — P. 2785.

80. de Queiroz S. L. A., Stinchcombe R. B. Transfer-matrix scaling from disorder-averaged correlation lengths for diluted Ising systems // Phys. Rev. B. — 1994. — V. 50, Iss. 14. — P. 9976-9981.

81. Ballesteros H. G. et al. Ising exponents in the two-dimensional site-diluted Ising model // J. Phys. A. — 1997. — V. 30, Iss. 24. — P. 8379-8383.

82. Selke W., Shchur L. N., Vasilyev O. A. Specific heat of two-dimensional diluted magnets // Physica A. — 1998. — V. 259, Iss. 3-4. — P. 388-396.

83. Park H., Pleimling M. Aging in coarsening diluted ferromagnets // Phys. Rev. B. — 2010. — Vol. 82, Iss. 14. — P. 144406.

84. Janssen H. K., Schaub B., Schmittmann B. New universal short-time scaling behaviour of critical relaxation processes // Z. Phys. B. — 1989. — V. 73, Iss. 4. — P. 539-549.

85. Jaster A., Mainville J., Schulke L., Zheng B. Short-time critical dynamics of the three-dimensional Ising model // J. Phys. A: Math. Gen. — 1999. — V. 32, Iss. 8. — P. 1395-1406.

86. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Zheng B., Dorofeev S. V., Kolesnikov V. Yu. Short-Time Critical Dynamics of the Three-Dimensional Systems with Long-Range Correlated Disorder // Prog. Theor. Phys. — 2007. — V. 117, Iss. 6. — P. 184-201.

87. Calabrese P., Gambassi A., KrzakalaF. Critical ageing of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. — 2006. — P06016.

88. Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems // J. Phys. A: math. Gen. — 2005. — V. 38. — P. 133-193.

89. Henkel M., Enss T., Pleimling M. On the identification of quasiprimary scaling operators in local scale-invariance // J. Phys. A: Math. Gen. — 2006.

- V. 39, № 42. — P. L589-L598.

90. Lippiello E., Corberi F., Zannetti M. Test of local scale invariance from the direct measurement of the response function in the Ising model quenched to and below Tc // Phys. Rev. E. — 2006. — V. 74, Iss. 4. — P. 041113.

91. Baumann F., Stoimenov S., Henkel M. Local scale invariances in the bosonic contact and pair-contact processes // J. Phys. A: Math. Gen. — 2006. — V. 39, № 16. — P. 4095-4118.

92. Pleimling M., Gambassi A. Corrections to local scale invariance in the nonequilibrium dynamics of critical systems: Numerical evidences // Phys. Rev. B. — 2005. — Vol. 71, Iss. 18. — P. 180401.

93. Enss T., Henkel M., Picone A., Schollwock U. Ageing phenomena without detailed balance: the contact process // J. Phys. A: Math Gen. — 2004. — V. 37, № 44. — P. 10479-10495.

94. Hinrichsen H. Dynamical response function of the disordered kinetic Ising model // J. Stat. Mech. Theor. Exp. — 2008. — V. 2008, № 2. — P. P02016.

95. Corberi F., Gambassi A., Lippiello E., Zannetti M. The non-equilibrium response of the critical Ising model: universal scaling properties and local scale invariance // J. Stat. Mech. — 2008. — V. 2008, № 2. — P. P02013.

96. Calabrese P., Gambassi A. Aging in ferromagnetic systems at criticality near four dimensions // Phys. Rev. E. — 2002. — V. 65. — P. 066120.

97. Cugliandolo L. F., Kurchan J., Peliti L. Energy flow, partial equilibration, and effective temperatures in systems with slow dynamics // Phys. Rev. E.

— 1997. — V. 55, Iss. 4. — P. 3898-3914.

98. Godreche C., Luck J. M. Nonequilibrium critical dynamics of ferromagnetic spin systems // J. Phys.: Condens. Matter. — 2002. — V. 14, Iss. 7. — P. 1589-1599.

99. Janke W. Monte Carlo Methods in Classical Statistical Physics / Computational Many-Particle Physics. — Springer, Berlin, 2008. — P. 79140.

100. Ricci-Tersenghi F. Measuring the fluctuation-dissipation ratio in glassy systems with no perturbing field // Phys. Rev. E. — 2003. — V. 68. — P. 065104(R).

101. Martins P.H.L., Plascak J.A. Universality class of the two-dimensional site-diluted Ising model // Phys. Rev. E. — 2007. — Vol. 76, Iss. 1. — P. 012102.

102. Hoshen J. Percolation and cluster structure parameters: The radius of gyration // J. Phys. A: Math. Gen. — 1997. — Vol. 30, № 24. — P. 84598469.

103. Stauffer D., Aharony A. Introduction to percolation theory. — London: Taylor & Fransis, 1985. — 294 p.

104. Aharony A., Stauffer D. Test of universal finite-size scaling in two-dimensional site percolation // J. Phys. A: Math. Gen. — 1997. — Vol. 30, № 10. — P. L301-L306.

105. Henley C.K. Critical Ising Spin Dynamics on Percolation Clusters // Phys. Rev. Lett. — 1985. — Vol. 54, Iss. 18. — P. 2030-2033.

106. Harris C.K., Stinchcombe R.B. Critical dynamics of diluted Ising systems // Phys. Rev. Lett. — 1986. — Vol. 56, Iss. 8. — P. 869-872.

107. Lage E.J.S. Critical dynamics of the pure and diluted two-dimensional Ising model // J. Phys. C. — 1986. — Vol. 19, № 4. — P. 91-95.

108. Марков О.Н., Прудников В.В. Компьютерное моделирование критической динамики неупорядоченных двумерных изинговских систем // Письма в ЖЭТФ. — 1994. — Т. 60, Вып. 1. — С. 24-29.

109. Hoshen J., Kopelman R. Percolation and cluster distribution. I. Cluster multiple labeling technique and critical concentration algorithm // Phys. Rev. B. — 1976. — Vol. 14, Iss. 8. — P. 3438-3445.

110. Nightingale M.P., Blote H.W.J. Dynamic Exponent of the Two-Dimensional Ising Model and Monte Carlo Computation of the Subdominant Eigenvalue of the Stochastic Matrix // Phys. Rev. Lett. — 1996. — Vol. 76, Iss. 24. — P. 4548-4551.

111. Dunlavy M. J., Venus D. Critical slowing down in the two-dimensional Ising model measured using ferromagnetic ultrathin films // Phys. Rev. B.

— Vol. 71, Iss. 14. — P. 144406.

112. Prudnikov V. V., Markov O. N. Monte Carlo Renormalization Group of Dilute 2D Ising Dynamics // Europhys. Lett. — 1995. — V. 29, Iss. 3. — P. 245-250.

113. Ferrenberg A.M., Landau D.P. Critical behavior of the three-dimensional Ising model: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. B. — 2001.

— V. 44, Iss. 10. — P. 5081-5091.

114. Guida R., Zinn-Justin J. Critical exponents of the N-vector model // J. Phys. A. - 1998. - Vol. 31, № 40. - P. 8103-8121.

115. Прудников В.В., Прудников П.В., Вакилов А.Н. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 316 с.

116. Schehr G., Paul R. Universal aging properties at a disordered critical point // Phys. Rev. E. - 2005. - Vol. 72, Iss. 1. - P. 016105.

117. Calabrese P., Gambassi A. Aging and fluctuation-dissipation ratio for the dilute Ising model // Phys. Rev. B. - 2002. - Vol. 66, Iss. 21. - P. 212407.

118. Godreche C., Luck J. M. Response of non-equilibrium systems at criticality: ferromagnetic models in dimension two and above // J. Phys. A: Math. Gen. - 2000. - V. 33, Iss. 50. - P. 9141-9164.