Исследование неравновесных критических свойств неупорядоченных низкоразмерных спиновых систем с двухкомпонентным параметром порядка методами Монте-Карло тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Попова Анна Павловна

• Попова Анна Павловна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Попова Анна Павловна

2.5 Эффекты старения

2.6 Методика исследования критических свойств двумерной XY-модели

с термализацией примесей

2.7 Основные результаты и выводы

3 Размерный переход в многослойной ХУ-модели

3.1 Зависимость температуры перехода от толщины системы

3.2 Температурная зависимость поперечной спиновой жесткости

3.3 Вихревые структуры

3.4 Эффекты старения

3.5 Основные результаты и выводы

4 Эффекты памяти в двумерной разбавленной ХУ-модели

4.1 Неравновесные эффекты памяти

4.2 Притяжение динамических зависимостей автокорреляционных функций в термоциклированном диапазоне

4.3 Влияние введения примесей на неравновесные эффекты памяти

4.4 Основные результаты и выводы

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование неравновесных критических свойств неупорядоченных низкоразмерных спиновых систем с двухкомпонентным параметром порядка методами Монте-Карло»

Актуальность

Исследование критических свойств физических систем представляет значительный фундаментальный и прикладной научный интерес [1,2]. В последнее время большую актуальность имеют исследования поведения низкоразмерных систем [3-6], в которых часто возникают новые, по сравнению с трехмерными системами, явления. Важное место в этих исследованиях занимает исследование поведения решеточных моделей статистической механики. Данная диссертация посвящена теоретическому исследованию низкотемпературных и критических статистических свойств низкоразмерных разбавленных спиновых систем с двухкомпонентным параметром порядка методами Монте-Карло. В качестве объекта исследования выбраны классическая двумерная XY-модель и многослойная XY-модель.

Двумерным системам с параметром порядка, обладающим непрерывной областью значений, характерно отсутствие дальнего упорядочения при всех отличных от нуля температурах [7]. Но двумерная XY-модель испытывает топологический фазовый переход Березинского-Костерлица-Таулесса при температуре перехода Твкт, причем во всей области Твкт существует квазидальний порядок [8-12]. Наличие низкотемпературной фазы позволяет проводить исследование критического поведения не только при одной критической температуре То, как в других моделях, но в целом температурном диапазоне Т ^ Твкт.

В настоящий момент критическое поведение чистой двумерной XY-модели изучено подробно. Новизна и актуальность работы определяется исследованием влияния примесей на поведение разбавленных систем. Обычно используют модели замороженного беспорядка, в которых распределение примесных узлов остается неизменным в процессе моделирования. Введение подвижных дефек-

тов приводит к возникновению новых физических процессов в критическом поведении данных систем. В данной работе исследуется поведение структурно неупорядоченной системы с термализующимся беспорядком, содержащей только подвижные дефекты или одновременно подвижные и неподвижные дефекты.

В трехмерной ХУ-модели происходит классический переход между парамагнитным и ферромагнитным состояниями при критической температуре. В связи с этим возникает интерес к исследованию поведения многослойной модели, которое в случае одного слоя должно соответствовать поведению двумерной системы, а в пределе бесконечного количества слоев должно асимптотически стремиться к поведению трехмерной системы. В данной работе исследован такой размерный переход.

Двумерная ХУ-модель при температуре Т ^ Твкт демонстрирует старение и память, наблюдающиеся в системах с медленной динамикой. Старение отражает связь длительности процессов и времени жизни системы. Эффекты памяти представляют собой способность системы после воздействия небольшой длительности восстановить динамику и вернуться к поведению, наблюдавшемуся до воздействия. В данной работе проведено исследование эффектов памяти в двумерной разбавленной ХУ-модели при термоциклировании.

Цели диссертации:

1. Исследование неравновесных процессов кластеризации и огрубления структурного беспорядка в двумерной ХУ-модели с термализацией примесей.

2. Исследование размерного перехода в многослойной ХУ-модели, связанного с изменением критических и низкотемпературных свойств с увеличением толщины системы, при переходе от двумерной к трехмерной системе.

3. Исследование эффектов памяти в двумерной ХУ-модели при термоцик-лировании неравновесной критической релаксации.

Задачи диссертации:

— определение динамических зависимостей геометрических характеристик кластеров примесей в двумерной разбавленной ХУ-модели с термализацией примесей;

— определение температур перехода и температурной зависимости поперечной жесткости в двумерной разбавленной ХУ-модели с термализацией примесей;

— определение зависимости температуры фазового перехода и температурной зависимости поперечной жесткости от количества слоев в многослойной ХУ-модели;

— определение концентрационных, размерных и температурных зависимостей вихревой плотности в многослойной ХУ-модели;

— определение динамических зависимостей двухвременных автокорреляционных функций двумерной ХУ-модели при термоциклировании.

Научная новизна результатов

1. Проведено численное исследование критического поведения двумерной ХУ-модели с термализующимся структурным беспорядком. Обнаружен процесс неравновесной агрегации дефектов в ядрах вихрей, имеющий характер огрубления.

2. Определено влияние введения термализующегося беспорядка на динамический скейлинг в двумерной ХУ-модели.

3. Обнаружены температурные интервалы с отрицательной поперечной спиновой жесткостью в двумерной разбавленной ХУ-модели с термализующим-ся структурным беспорядком в высокотемпературной фазе.

4. Проведено исследование влияния характера структурного беспорядка на неравновесные процессы термализации структурного беспорядка.

5. Проведено исследование эффектов старения в системе с термализую-

щимся беспорядком на основе автокорреляционной функции спинов и автокорреляционной функции подвижных дефектов.

6. Проведено численное исследование критических свойств и размерного перехода в неупорядоченной многослойной XY-модели. Определены температуры перехода. Показано, что с увеличением количества слоев многослойной XY-модели поведение системы плавно переходит от поведения двумерной XY-модели к поведению трехмерной XY-модели.

7. Проведено вычисление концентрационных, размерных (от количества слоев) и температурных зависимостей вихревой плотности в многослойной XY-модели. Поведение близко к экспоненциальной зависимости от 1/Т при низких температурах.

8. Проведено вычисление температурной зависимости поперечной спиновой жесткости в многослойной XY-модели. Показано, что отношение значений спиновой жесткости в точке перехода к температуре перехода имеет степенную зависимость.

9. Показано наличие памяти в двумерной XY-модели при термоциклиро-вании при Т ^ Твкт. Обнаружено притяжение автокорреляционных функций к кривым с исходной температурой в термоциклированном диапазоне.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость состоит в важности изучения вопросов теории критических явлений [1], таких как неравновесное критическое поведение и флуктуационные эффекты в низкоразмерных спиновых системах, влияние примесей на критическое поведение, фундаментальные вопросы о смене типа фазового перехода при переходе от двумерных систем к трехмерным, а также описание явлений в системах с медленной динамикой.

Использование в качестве объекта исследования классической спиновой решеточной модели статистической физики позволяет выделить главные осо-

бенности критического поведения реальных физических систем, зачастую скрытые за деталями устройства подробных моделей данных конкретных систем.

Практическая значимость работы определяется областью применения ХУ-модели: описание критического поведения реальных систем [6], среди которых планарные ферромагнетики, сверхтекучие пленки жидкого гелия, ультратонкие магнитные пленки, а также многие другие системы.

Методология и методы исследования

Теоретическое исследование проводилось методами Монте-Карло статистической физики. Исследование равновесных критических и низкотемпературных свойств низкоразмерных систем осуществлялось с использованием методов конечно-размерного скейлинга, позволяющих выделить ведущие асимптотики масштабных зависимостей равновесных свойств. Преодоление технических проблем, связанных с критическим замедлением и ростом времени корреляции, было осуществлено путем использования кластерных алгоритмов, а именно — алгоритма Вольфа. Исследование неравновесной релаксации систем в критической точке и низкотемпературной фазе осуществлялось с контролем временного роста корреляционной длины, что позволило выделить асимптотические динамические свойства исследуемых систем в термодинамическом пределе. Для исследования неравновесного поведения рассматриваемых низкоразмерных спиновых систем был выбран алгоритм Метрополиса, позволяющий проводить численное моделирование динамики модели А классификации Гальперина-Хоэнберга. Выбранные методы Монте-Карло статистической физики были адаптированы для исследования систем с подвижными дефектами структуры для исследования процессов термализации структурного беспорядка. Основные особенности термализации структурного беспорядка проявляются в геометрических свойствах формирующихся неравновесных когерентных структур дефектов. Поэтому были разработаны специальные методы иссле-

дования кластеризации дефектов структуры, в основу которых был положен алгоритм Хошена-Копельмана с периодическими граничными условиями. Выбранные методы исследования, основанные на методах Монте-Карло статистической физики, хорошо зарекомендовали себя и доказали свою корректность и эффективность в области исследования критических явлений.

Положения, выносимые на защиту

1. Методика исследования равновесных и неравновесных критических свойств двумерной XY-модели с термализацией структурного беспорядка для получения температурных, концентрационных и динамических зависимостей геометрических характеристик кластеризации дефектов структуры.

2. Взаимодействие неравновесных вихревых структур с подсистемой подвижных дефектов в неравновесной критической релаксации двумерной XY-модели сопровождается кластеризацией структурного беспорядка и формированием неравновесных когерентных структур дефектов. Кластеризация имеет выраженный характер огрубления, при этом наиболее крупные кластеры формируют отдельную подсистему в критической динамике.

3. Поперечная спиновая жесткость двумерной структурно неупорядоченной XY-модели с термализующимся беспорядком принимает отрицательные значения при температурах Т > Твкт(р) и характеризуется в этой области степенной температурной зависимостью р8(р,Т) ~ Т-к(р\ Геометрические характеристики наиболее крупных равновесных кластеров дефектов проявляют критический скейлинг и переход к термодинамическому пределу.

4. Увеличение толщины многослойной структурно неупорядоченной XY-модели приводит к размерному переходу от топологического перехода Березин-ского-Костерлица-Таулесса в двумерной XY-модели к переходу ферромагнетик-парамагнетик в трехмерной XY-модели. Отношение значений поперечной спиновой жесткости в точке перехода к температуре перехода имеет степенную

зависимость от толщины системы в многослойной XY-модели.

5. Неравновесная критическая релаксация двумерной чистой и структурно неупорядоченной XY-модели при термоциклировании сопровождается эффектами памяти, которые проявляются в двухвременных зависимостях автокорреляционной функции. Эффекты памяти демонстрируют связь с эффектами старения. Наличие низкотемпературной фазы в двумерной XY-модели позволяет наблюдать эффекты памяти не только при охлаждении, но и при нагревании, а также наблюдать проявление памяти в диапазоне термоциклиро-вания.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность результатов обеспечивается согласованностью с известными результатами в предельных случаях и применением апробированных и хорошо зарекомендовавших себя методов.

Апробация результатов проводилась на 14 конференциях: CSP (Москва, 2018, 2020), EASTMAG (Екатеринбург, 2019; Казань, 2022), «Математическое и компьютерное моделирование» (Омск, 2021), «Омские научные чтения» (Омск, 2018, 2019, 2020, 2022), СПФКС (Екатеринбург, 2018, 2019), «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2019), «ОКНО» (Омск, 2018; Новосибирск, 2021).

Работа автора по теме диссертации была поддержана грантом РФФИ № 20-32-90207 для аспирантов.

Публикации

Список публикаций автора по теме диссертации включает 27 работ [13-39], из которых 8 статей [13-20] в журналах из Scopus и WoS и перечня ВАК.

Личный вклад автора

Автор принимал непосредственное участие в постановке задач и выборе методов исследования, создании программного кода, получении результатов и формулировке выводов исследования. Подготовка публикаций осуществлялась

совместно с соавторами. Вклад автора в проведение исследований, вошедших в состав диссертационной работы, являлся превалирующим.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации — 147 страниц машинописного текста, в том числе 37 рисунков, 2 таблицы и список цитируемой литературы из 93 наименований.

Соответствие диссертации паспорту специальности

Содержание диссертации соответствует пункту 5. «Теория конденсированного состояния. Изучение различных состояний вещества и физических явлений в них. Статистическая физика. Теория фазовых переходов. Физическая кинетика.» паспорта специальности 1.3.3. «Теоретическая физика».

1 ХУ-модель: применение, свойства и методы описания

В данной главе описывается двумерная и многослойная ХУ-модель, перечисляются области применения модели, дается обзорное рассмотрение текущего состояния исследований критического поведения ХУ-модели, описываются методы численного исследования, которые применялись для проведения данного диссертационного исследования.

1.1 Классическая ХУ-модель и область ее применимости

Классическая ХУ-модель относится к базовым спиновым решеточным моделям статистической физики. Классические решеточные спиновые модели используются для исследования фундаментальных свойств фазовых переходов и критических явлений. Классическая ХУ-модель является моделью с двухком-понентным параметром порядка. Модель состоит из решетки, в узлах которой располагаются классические планарные спины, лежащие в плоскости (ХУ). Гамильтониан классической ХУ-модели:

Н^ = - Е ^' (!.!)

(ьз)

где Б* — спин в ¿-ом узле решетки; 3 > 0 — обменный интеграл, задающий ферромагнитное взаимодействие между спинами. Взаимодействие существует только между спинами в узлах, являющихся ближайшими соседями, поэтому суммирование (...) производится по всем парам ближайших соседних узлов на решетке; множитель 2 связан с двойным учетом пар ближайших соседей вследствие симметрии процесса суммирования. Классический планарный спин Бг обладает одной степенью свободы, что может быть выражено с использованием фазы спина: = ) = (соб(^), вт(^)), тогда гамильтониан

XY-модели может быть переписан в следующей форме:

(1.2)

которая демонстрирует существенную нелинейность классической XY-модели, что во многом обуславливает возникновение в системе нетривиальных нелинейных явлений.

В разбавленной системе некоторые узлы решетки занимают немагнитные примеси. Гамильтониан разбавленной классической XY-модели:

где р{ — число заполнения, равное 1 для узла со спином и 0 для примесного узла. В начальный момент времени примеси распределяются по решетке равномерно и некоррелированно. р — концентрация спинов, с = 1 — р — концентрация примесей. Температура измеряется в единицах обменного интеграла, поэтому в последующих расчетах полагается 3 = 1.

В данной работе для двумерной XY-модели выбрана квадратная решетка. Схематическое представление двумерной разбавленной XY-модели приведено на Рисунке 1.1 (слева).

Многослойная XY-модель представляет собой расширение двумерной и трехмерной XY-моделей. В ее основе лежит трехмерная решетка с линейными размерами Ь х Ь х N. Здесь Ь — линейный размер системы в плоскости слоев. Линейный размер N вдоль направления, перпендикулярного слоям, определяет количество слоев, т. е. является количественной характеристикой толщины системы. В случае одного слоя N =1 многослойная XY-модель совпадает с двумерной XY-моделью с линейным размером Ь. При увеличении количества слоев N ^ <ж многослойная XY-модель приближается к трехмерной XY-модели, за исключением граничных условий вдоль направления, перпендикулярного слоям, которые остаются открытыми в многослойной XY-модели. В направлени-

(1.3)

ях вдоль слоев решетки граничные условия задаются периодическими, как и в двумерной XY-модели. Схематическое представление многослойной модели приведено на Рисунке 1.1 (справа).

/--/ у у X ( \ I I / / Ч ч

-- -- - / / \----^ \ / - / / /

\ I | \ \ \ ' / / I----^

I / \ М И I \ - I -

- ■ ~ / ш ^ ^ { ^ \ \---I /

Ч / / \ \ 1 ^ \ - / Ч - /

/ \ \ у - / - - / у ^ I ■ -

X ■ ) ■^.ч/ж-У-^/'-—

t Ш / \ Ч V ■» \ ^ ■ ■ \ Ч -- -

--ч — ■ \ / / / \ ^ 1 \

. / \ / / ( / \ П ■ \ ^

| | ^ X" -----Ч / / * ✓ V / I \ /

✓ /- ^.Ч-ж/^—Чи I / ч / X

Рисунок 1.1. Схематическое представление XY-модели. (Слева) Классическая двумерная разбавленная XY-модель. Стрелки изображают спины, квадраты — дефекты структуры. (Справа) Многослойная система с количеством слоев N = 3.

Взаимодействие между спинами в многослойной модели также задается гамильтонианом вида (1.3). Суммирование производится между ближайшими спинами как в плоскости, так и в соседних плоскостях.

XY-модель используется для исследования фундаментальных вопросов фазовых переходов и критических явлений [1], в частности, особенностей неравновесного критического поведения низкоразмерных спиновых систем, критических свойств систем с непрерывным вырождением основного состояния, влияния введения примесей на критическое поведение, задач об изменении типа фазового перехода в системах разной размерности, в частности о размерном фазовом переходе, а также динамических явлений в системах с медленной динамикой, среди которых неравновесные эффекты старения и эффекты памяти.

Выбор классической модели для исследования обусловлен целью исследования фундаментальных вопросов критического поведения системы, а также явлений, имеющих макроскопические масштабы, вследствие чего получаемая картина не должна существенно измениться при учете квантовых эффектов [8].

ХУ-модель находит применение при описании критического поведения реальных физических систем, среди которых можно выделить критические свойства ультратонких магнитных пленок [40], широкого класса планарных магнетиков [41,42] и многих других систем [6,43].

Некоторые системы демонстрируют поведение, подобное поведению ХУ-модели, при определенных условиях: например, фрустрированные гейзенберговские антиферромагнетики на треугольной решетке в процессе неравновесной релаксации [44].

1.2 Критическое поведение ХУ-модели

В данном разделе описывается критическое поведение двумерной разбавленной ХУ-модели, многослойной разбавленной ХУ-модели и эффекты памяти в низкоразмерных спиновых системах.

1.2.1 Двумерная разбавленная ХУ-модель

Двумерные системы с непрерывной симметрией параметра порядка, к которым относится двумерная ХУ-модель, выделяются в ряду низкоразмерных систем. В этих системах не существует дальнего порядка при всех температурах, отличных от нуля, в результате долгоживущих флуктуаций спиновой плотности, принимающих аномально большие значения.

Двумерная ХУ-модель уникальна тем, что в ней существует не одна критическая точка. При температуре Тект происходит топологический переход Березинского-Костерлица-Таулесса (БКТ) [8-12]. Вся низкотемпературная фаза Т < Тект, называемая низкотемпературной фазой Березинского, является непрерывной последовательностью критических точек.

В условиях квазидальнего порядка, в отличие от дальнего порядка, про-

странственная корреляционная функция спинов С (г) асимптотически стремится к нулю при г ^ <Х), поэтому область квазидальнего порядка характеризуется отсутствием спонтанной намагниченности. Фазовый переход БКТ математически проявляется в первую очередь в смене асимптотической зависимости пространственной корреляционной функции С (г) от расстояния г: в высокотемпературной фазе Т > Тект наблюдается состояние с экспоненциальной зависимостью С (г) от расстояния г, которая определяется ведущим пространственным масштабом — корреляционной длиной £; в низкотемпературной фазе Т < Тект возникает квазидальний порядок, характеризующийся сменой асимптотики пространственной корреляционной функции С (г) на степенную зависимость. С физической точки зрения переход БКТ состоит в распаде связанных пар топологических дефектов — вихрей и антивихрей при достижении температуры фазового перехода БКТ: в низкотемпературной фазе в равновесном состоянии все вихревые структуры связаны в вихревые квазимолекулы, межмолекулярное расстояние в которых обычно меньше постоянной решетки, и снижение температуры сопровождается уменьшением этого расстояния [6]; в высокотемпературной фазе, напротив, происходит диссоциация вихревых квазимолекул на отдельные вихри и антивихри.

При приготовлении системы при высокой температуре, когда в системе существует большое количество свободных вихрей, и последующей низкотемпературной релаксации при Т ^ Тект, процессом, вносящим существенный вклад в динамику, является взаимное притяжение вихрей и антивихрей, завершающееся их аннигиляцией.

Многие исследования [45,46] посвящены выяснению того, как влияет беспорядок структуры на критическое поведение разбавленной ХУ-модели, однако до конца этот вопрос еще не изучен. Изучение влияния введения примесей (см. [17,46-51] и ссылки в них) базируется в основном на модели замороженно-

го беспорядка. Для двумерной ХУ-модели воздействие введения замороженных примесей на критическое поведение определяется новым эффектом по сравнению с системой без примесей — пиннингом вихрей на дефектах, вследствие чего наблюдается замедление релаксации.

Подсистема термализующихся примесей учитывается при описании с помощью двумерной ХУ-модели свойств систем, в которых релаксация подсистемы примесей происходит за время, сравнимое со временем релаксации спиновой подсистемы.

При критической релаксации системы с подвижными дефектами, становятся возможными новые процессы — агрегация структурного беспорядка в кластеры и образование когерентных структур дефектов. Полосовые структуры дефектов могут наблюдаться в системах с подвижными дефектами, которые описываются двумерной ХУ-моделью [52,53], а также другими решеточными моделями [54-58] при условии добавления специального дальнодействующего взаимодействия.

Взаимодействие между вихрями характеризуется логарифмической зависимостью от расстояния, аналогично случаю двумерного кулоновского газа [8-10]. Примесный узел притягивает изолированный вихрь также с логарифмической зависимостью [59]. Поэтому введение термализующегося беспорядка в виде подвижных дефектов структуры, может приводить к нетривиальным кооперативным явлениям в неравновесном критическом поведении, без включения явного дальнодействующего потенциала.

1.2.2 Многослойная разбавленная ХУ-модель

Важной особенностью ХУ-модели является реализация двух принципиально различных фазовых переходов при смене размерности. В двумерной системе происходит топологический переход БКТ при Тект = 0.893(4) [60,61],

и в области Т < Тект наблюдается квазидальний порядок. Трехмерная ХУ-модель характеризуется реализацией классического фазового перехода второго рода типа ферромагнетик-парамагнетик при температуре То = 2.2018(5) [62] и низкотемпературной фазой с дальним порядком. Ясно, что при переходе от двумерной ХУ-модели к трехмерной будет иметь место размерный кроссовер, когда топологический фазовый переход БКТ превращается в классический фазовый переход второго рода.

Математически, фазовый переход БКТ выражается изменением асимптотической зависимости пространственной корреляционной функции. В высокотемпературной фазе Т > Тект эта функция имеет экспоненциальную зависимость, в низкотемпературной фазе Т < Тект — степенную. Корреляционная длина £ в точке перехода Т = Тект и в низкотемпературной фазе Т < Тект становится бесконечно большой. Эта зависимость меняется в высокотемпературной области Т > Тект, и близко к температуре перехода БКТ корреляционная длина имеет экспоненциальную зависимость £ ~ ехр(6|Т — Тект —), где и — критический индекс корреляционной длины и Ь > 0. Из данной зависимости видно £ ^ то: при Т ^ Тект. При Т < Тект всегда имеем £ = то. В случае классического фазового перехода второго рода имеет место иная зависимость £ ~ |Т — Тс\—1У, также демонстрирующая £ ^ то при Т ^ То. Однако, в данном случае для низкотемпературной фазы будем иметь £ < то. Таким образом, в двух предельных случаях имеют место две принципиально различные температурные зависимости для корреляционной длины £. Из теории критических явлений хорошо известно, что корреляционная длина £ при переходе в критическое состояние неограниченно возрастает и становится единственным важным пространственным масштабом в системе. Поэтому ясно, что критическое поведение ХУ-модели в двумерном и трехмерном случаях принципиально различается, и размерный кроссовер становится крайне нетривиальным. При изучении

размерного кроссовера в XY-модели обычно [62] постулируют масштабную зависимость, что дает формулу TQ (N) — N—l/v для температуры перехода системы с толщиной N: N = 1 соответствует двумерной XY-модели, N ^ то соответствует трехмерной XY-модели. Вводя индекс поправки к скейлингу ш получают более точную аппроксимацию Tq(N) — (1 + aN)N—l/v. Однако, с уменьшением толщины системы N также происходит рост погрешности данной аппроксимации, а для двумерной XY-модели (N = 1) такая зависимость вообще прекращает работать.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Попова Анна Павловна, 2024 год

Список литературы

[1] Ма Ш. Современная теория критических явлений. — М.: Мир, 1980. — 296 с.

[2] Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. — М.: Мир, 1973. — 419 с.

[3] Gibertini M., Koperski M., Morpurgo A. F., Novoselov K. S. Magnetic 2D materials and heterostructures // Nat. Nanotechnol. — 2019. — Vol. 14. — P. 408-419.

[4] Рыжов В. Н., Тареева Е. Е., Фомин Ю. Д., Циок Е. Н. Переход Березинского-Костерлица-Таулеса и двумерное плавление // УФН. — 2017. — Т. 187(9). — С. 921.

[5] Kosterlitz J. M. Kosterlitz-Thouless physics: a review of key issues // Rep. Prog. Phys. — 2016. — Vol. 79. — P. 026001.

[6] Коршунов С. Е. Фазовые переходы в двумерных системах с непрерывным вырождением // УФН. — 2006. — Т. 176(3). — С. 233-274.

[7] Mermin N. D., Wagner H. Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or two-dimensional isotropic Heisenberg models // Phys. Rev. Lett. — 1966. — Vol. 17. — P. 1133.

[8] Березинский В. Л. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии. I. Классические системы // ЖЭТФ. — 1970. — Т. 59. — С. 907-920.

[9] Березинский В. Л. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии. II. Квантовые системы // ЖЭТФ. — 1971. — Т. 61. — С. 1144-1156.

[10] Березинский В. Л. Низкотемпературные свойства двумерных систем. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 232 с.

[11] Kosterlitz J. M., Thouless D. J. Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems //J. Phys. C: Solid State Phys. — 1973. — Vol. 6. — P. 1181-1203.

[12] Kosterlitz J. M. The critical properties of the two-dimensional xy model // J. Phys. C: Solid State Phys. — 1974. — Vol. 7. — P. 1046-1060.

[13] Popova A. P., Popov I. S., Chemeris S. P., Prudnikov V. V., Prudnikov P. V. Memory Effects in the Nonequilibrium Critical Behavior of the Two-Dimensional XY Model in the Low-Temperature Berezinskii Phase // JETP Letters. — 2023. — Vol. 117. — P. 945-951.

[14] Popov I. S., Popova A. P., Prudnikov P. V. Non-equilibrium vortex annealing of structural disorder in Berezinskii-Kosterlitz-Thouless dynamics of the two-dimensional XY-model // EPL (Europhysics Letters). — 2019. — Vol. 128, No. 2. — P. 26002.

[15] Popov I. S., Popova A. P., Prudnikov P. V. Disorder Aggregation by Vortices in Non-Equilibrium Critical Annealing of Two-Dimensional XY-model //J. Phys.: Conf. Ser. — 2019. — Vol. 1163. — P. 012039.

[16] Popov I. S., Popova A. P., Prudnikov P. V. Non-equilibrium vortex annealing of structural disorder in the critical relaxation of diluted two-dimensional XY-model //J. Phys.: Conf. Ser. — 2019. — Vol. 1389. — P. 012024.

[17] Popov I. S., Popova A. P., Prudnikov P. V., Prudnikov V. V. Dynamical Scaling in Time dependence of Correlation Length in Non-equilibrium Critical Relaxation of Pure and Site-diluted 2D XY-model //J. Phys.: Conf. Ser. — 2019. — Vol. 1163. — P. 012042.

[18] Popova A. P., Popov I. S., Prudnikov P. V. Vortex annealing of structural disorder in non-equilibrium critical relaxation of the two-dimensional site-diluted XY-model with generalized model of disorder //J. Phys.: Conf. Ser.

— 2021. — Vol. 1740. — P. 012012.

[19] Popov I. S., Popova A. P., Prudnikov P. V. Dimensional Crossover in Critical Behavior of Thin XY-films: Equilibrium and Non-equilibrium Properties // J. Phys.: Conf. Ser. — 2019. — Vol. 1163. — P. 012041.

[20] Popov I. S., Popova A. P., Prudnikov P. V. The dimensional crossover in critical behavior of layered XY-model //J. Phys.: Conf. Ser. — 2019. — Vol. 1389. — P. 012025.

[21] Попов И. С., Попова А. П., Прудников П. В. Фазовый переход Березин-ского-Костерлица-Таулесса и неравновесный вихревой отжиг структурного беспорядка // Омские научные чтения — 2018: материалы Второй Всероссийской научной конференции. — Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2018.

— С. 657-659.

[22] Попов И. С., Попова А. П., Прудников П. В. Неравновесное критическое поведение двумерной XY-модели с расплавленным структурным беспорядком // Тезисы докладов XIX Всероссийской школы-семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества. — Екатеринбург, 2018. — C. 91.

[23] Popov I. S., Popova A. P., Prudnikov P. V. Dimensional Crossover in Critical Behavior of Thin XY-films: Equilibrium and Non-equilibrium Properties // Book of Abstracts of International Conference "Computer Simulation in Physics and beyond". — Moscow, 2018. — P. 97.

[24] Попов И. С., Попова А. П., Прудников П. В. Размерный кроссовер в критическом поведении XY-модели // Тезисы докладов XIX Всероссийской школы-семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества. — Екатеринбург, 2018. — C. 92.

[25] Попова А. П., Попов И. С., Прудников П. В. Эффекты старения в неравновесной критической динамике двумерной XY-модели с отожженным структурным беспорядком // Омские научные чтения — 2019 : материалы Третьей Всероссийской научной конференции. — Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2019. — С. 840-843.

[26] Попов И. С., Попова А. П., Прудников П. В. Термализация дефектов структуры в неравновесной вихревой динамике двумерной структурно неупорядоченной XY-модели // XII Сибирский семинар по высокотемпературной сверхпроводимости и физике наноструктур 0КН0-2018 : сборник статей. — Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2019. — С. 82-86.

[27] Popov I. S., Popova A. P., Prudnikov P. V. Non-equilibrium vortex annealing of structural disorder in the critical relaxation of diluted two-dimensional XY-model // VII Euro-Asian Symposium "Trends in MAGnetism" (EASTMAG-2019). Book of Abstracts, Vol. I. — Ekaterinburg, Russia, 2019. — P. 307-308.

[28] Попов И. С., Попова А. П., Прудников П. В. Влияние термализации дефектов структуры на динамические корреляционные свойства и старение структурного беспорядка в критической релаксации двумерной XY-модели // Тезисы докладов XX Юбилейной Всероссийской школы-семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества. — Екатеринбург, 2019. — С. 99.

[29] Попов И. С., Попова А. П., Прудников П. В. Влияние неравновесного вихревого отжига дефектов структуры на динамический скейлинг в неравновесном критическом поведении двумерной XY-модели // Тезисы докладов XX Юбилейной Всероссийской школы-семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества. — Екатеринбург, 2019. — С. 101.

[30] Popova A. P., Prudnikov P. V. Equilibrium and non-equilibrium critical properties of two-dimensional and multilayer XY-model // Молодёжь третьего тысячелетия : сборник научных статей. — Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2019. — С. 141-145.

[31] Popov I. S., Popova A. P., Prudnikov P. V. The dimensional crossover in critical behavior of layered XY-model // VII Euro-Asian Symposium "Trends in MAGnetism" (EASTMAG-2019). Book of Abstracts, Vol. I. — Ekaterinburg, Russia, 2019. — P. 312-313.

[32] Попов И. С., Попова А. П., Прудников П. В. Размерный переход в релаксационных свойствах вихревых структур в критическом поведении структурно неупорядоченных тонких XY-пленок // Тезисы докладов XX Юбилейной Всероссийской школы-семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества. — Екатеринбург, 2019. — С. 100.

[33] Попов И. С., Попова А. П., Прудников П. В. Релаксационные процессы и эффекты старения в неравновесной критической динамике структурно неупорядоченных тонких XY-пленок // Тезисы докладов XX Юбилейной Всероссийской школы-семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества. — Екатеринбург, 2019. — С. 102.

[34] Попова А. П., Попов И. С., Прудников П. В. Формирование когерентных структур дефектов при вихревом отжиге в критической динамике двумерной XY-модели // Омские научные чтения — 2020 : материалы Четвертой

Всероссийской научной конференции. — Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2020. — С. 2404-2409.

[35] Popova A. P., Popov I. S., Prudnikov P. V. Vortex annealing of structural disorder in non-equilibrium critical relaxation of the two-dimensional site-diluted XY-model with generalized model of disorder // International Conference on Computer Simulation in Physics and beyond. Book of Abstracts. — Moscow, 2020. — P. 81.

[36] Попова А. П., Попов И. С., Прудников П. В. Неравновесная агрегация структурного беспорядка и формирование когерентных структур дефектов в критической динамике двумерной XY-модели с развитой вихревой неравновесностью // Сборник тезисов докладов XIII Сибирского семинара по высокотемпературной сверхпроводимости и физике наноструктур 0КН0-2021. — Новосибирск: ИНХ СО РАН, 2021. — С. 12.

[37] Попова А. П., Попов И. С., Прудников П. В. Процессы взаимодействия вихрей и дефектов структуры неравновесной критической релаксации двумерной XY-модели с комплексным структурным беспорядком // Математическое и компьютерное моделирование : сборник материалов IX Международной научной конференции, посвященной 85-летию профессора В. И. Потапова. — Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2021. — С. 143-145.

[38] Popova A. P., Popov I. S., Prudnikov P. V. Non-equilibrium vortex coarsening of disorder in two-dimensional XY-model with complex dilution model // VIII Euro-Asian Symposium "Trends in MAGnetism" (EASTMAG-2022) Book of abstracts. Vol. I. — Kazan, 2022. — P. 353-354.

[39] Попова А. П., Попов И. С., Прудников П. В. Неравновесный вихревой отжиг дефектов и формирование неравновесных когерентных структур в двумерной XY-модели с комплексной моделью структурного беспорядка

// Омские научные чтения — 2022: естественные науки : Материалы V Всероссийской научной конференции. В 5-ти частях. Часть 3. — Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2023. — С. 50-53.

[40] Vaz C. A. F., Bland J. A. C., Lauhoff G. Magnetism in ultrathin film structures // Rep. Progr. Phys. — 2008. — Vol. 71. — P. 056501.

[41] Kawabata C., Bishop A. R. A Monte Carlo study of the two-dimensional Heisenberg model with easy-plane symmetry // Solid State Commun. — 1986.

— Vol. 60. — P. 167.

[42] Elmers H.-J., Hauschild J., Liu G. H., Gradmann U. Critical phenomena in the two-dimensional XY magnet Fe(100) on W(100) //J. Appl. Phys. — 1996. — Vol. 79. — P. 4984.

[43] Taroni A., Bramwell S. T., Holdsworth P. C. W. Universal window for two-dimensional critical exponents //J. Phys.: Condens. Matter. — 2008.

— Vol. 20. — P. 275233.

[44] Popov I. S., Prudnikov P. V., Ignatenko A. I., Katanin A. A. Universal Berezinskii-Kosterlitz-Thouless dynamic scaling in the intermediate time range in frustrated Heisenberg antiferromagnets on a triangular lattice // Phys. Rev. B. — 2017. — Vol. 95. — P. 134437.

[45] (Odor G. Universality classes in nonequilibrium lattice systems // Rev. Mod. Phys. — 2004. — Vol. 76. — P. 663.

[46] Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Особенности неравновесного критического поведения модельных статистических систем и методы их описания // УФН. — 2017. — Т. 187(8). — С. 817.

[47] Kapikranian O., Berche B., Holovatch Yu. Interplay of topological and structural defects in the two-dimensional XY model // Phys. Lett. A. — 2008. — Vol. 372. — P. 5716.

[48] Kapikranian O., Berche B., Holovatch Yu. The 2D XY model on a finite lattice with structural disorder: quasi-long-range ordering under realistic conditions // Eur. Phys. J. B. — 2007. — Vol. 56. — P. 93.

[49] Berche B., Farinas-Sanchez A. I., Holovatch Yu., Paredes Yu. Influence of quenched dilution on the quasi-long-range ordered phase of the 2d XY model // Eur. Phys. J. B. — 2003. — Vol. 36. — P. 91.

[50] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Popov I. S. Superaging and Subaging Phenomena in a Nonequilibrium Critical Behavior of the Structurally Disordered Two-Dimensional XY Model // JETP. — 2018. — Vol. 126. — P. 368.

[51] Прудников П. В., Прудников В. В., Попов И. С. Неравновесные эффекты старения в критическом поведении структурно неупорядоченных планар-ных магнетиков // Письма в ЖЭТФ. — 2015. — Т. 101(8). — С. 596.

[52] Sandvik A. W., Daul S., Singh R. R. P., Scalapino D. J. Striped Phase in a Quantum XY Model with Ring Exchange // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 89. — P. 247201.

[53] Valdez-Balderas D., Stroud D. Superconductivity versus phase separation, stripes, and checkerboard ordering: A two-dimensional Monte Carlo study // Phys. Rev. B. — 2005. — Vol. 72. — P. 214501.

[54] Valdez-Balderas D., Stroud D. Single-particle density of states of a superconductor with a spatially varying gap and phase fluctuations // Phys. Rev. B. — 2006. — Vol. 74. — P. 174506.

[55] Valdez-Balderas D., Stroud D. Effects of inhomogeneities and thermal fluctuations on the spectral function of a model d-wave superconductor // Phys. Rev. B. — 2008. — Vol. 77. — P. 014515.

[56] Reichhardt C. J. O., Reichhardt C., Bishop A. R. Structural transitions, melting, and intermediate phases for stripe- and clump-forming systems // Phys. Rev. E. — 2010. — Vol. 82. — P. 041502.

[57] Reichhardt C. J. O., Reichhardt C., Bishop A. R. Anisotropic sliding dynamics, peak effect, and metastability in stripe systems // Phys. Rev. E. — 2011. — Vol. 83. — P. 041501.

[58] Derzhko V., Jedrzejewski J., Krokhmalskii T. On the nature of striped phases: striped phases as a stage of "melting" of 2D crystals // Eur. Phys. J. B. — 2009. — Vol. 68. — P. 501.

[59] Pereira A. R., Mol L. A. S., Leonel S. A., Coura P. Z., Costa B. V. Vortex behavior near a spin vacancy in two-dimensional XY magnets // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 68. — P. 132409.

[60] Gupta R., Baillie C. F. Critical behavior of the two-dimensional XY model // Phys. Rev. B. — 1992. — Vol. 45. — P. 2883.

[61] Prudnikov P. V., Popov I. S. Non-equilibrium critical dynamics of pure and diluted 2D XY-model //J. Phys.: Conf. Ser. — 2014. — Vol. 510. — P. 012014.

[62] Hasenbusch M. The Kosterlitz-Thouless transition in thin films: a Monte Carlo study of three-dimensional lattice models //J. Stat. Mech. — 2009. — P02005.

[63] Schmidt A., Schneider T. Dimensional crossover in the layered xy-model // Z. Phys. B. — 1992. — Vol. 87. — P. 265.

[64] Santos-Filho J. B., Plascak J. A. Monte Carlo simulations of the site-diluted three-dimensional XY model // Comp. Phys. Comm. — 2011. — Vol. 182. — P. 1130.

[65] Popov I. S., Prudnikov P. V. Coarsening in Critical Dynamics of 2D XY-Model // Solid State Phenomena. — 2015. — Vol. 233-234. — P. 8.

[66] Tauber U. C. Critical Dynamics: A Field Theory Approach to Equilibrium and Non-Equilibrium Scaling Behavior. — Cambridge: Cambridge University Press, 2014.

[67] Henkel M., Pleimling M. Non-Equilibrium Phase Transitions. Vol.2: Ageing and Dynamical Scaling Far from Equilibrium. — Heidelberg: Springer, 2010.

[68] Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н., Щур Л. Н. Исследование маргинального влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга // ЖЭТФ. — 2020. — Т. 157(2). — С. 308.

[69] Popov I. S., Prudnikov P. V., Prudnikov V. V. Non-equilibrium critical vortex dynamics of disordered 2D XY-model //J. Phys.: Conf. Ser. — 2016. — Vol. 681. — P. 012015.

[70] Berthier L., Holdsworth P. C. W., Sellitto M. Nonequilibrium critical dynamics of the two-dimensional XY model //J. Phys. A. — 2001. — Vol. 34. — P. 1805.

[71] Berthier M., Holdsworth P. C. W. Surfing on a critical line: Rejuvenation without chaos, memory without a hierarchical phase space // Europhys. Lett. — 2002. — Vol. 58(1). — P. 35.

[72] Abriet S., Karevski D. Off equilibrium dynamics in the 2d-XY system // Eur. Phys. J. B. — 2004. — Vol. 37. — P. 47.

[73] Прудников В. В., Прудников П. В., Попов И. С. Особенности влияния дефектов структуры на эффекты корреляции и взаимодействия вихревых возбуждений в неравновесной ВКТ-динамике двумерной XY-модели // ЖЭТФ. — 2020. — Vol. 158(5). — P. 884.

[74] Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты сверхстарения и перколяционного кроссовера в неравновесном критическом поведении двумерной неупорядоченной модели Изинга // Письма в ЖЭТФ. — 2018. — Т. 107(9). — С. 595.

[75] Cugliandolo L. F., Lozano G. S., Nessi N. Non equilibrium dynamics of isolated disordered systems: the classical Hamiltonian p-spin model //J. Stat. Mech. — 2017. — Vol. 2017. — P. 083301.

[76] Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н. Исследование влияния различных начальных состояний и дефектов структуры на характеристики неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. — 2017. — V. 152. — P. 1293.

[77] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A. Influence of disorder on ageing and memory effects in non-equilibrium critical dynamics of 3D Ising model relaxing from an ordered state //J. Stat. Mech. — 2016. — Vol. 2016. — P. 043303.

[78] Godreche C., Luck J. M. Nonequilibrium critical dynamics of ferromagnetic spin systems //J. Phys.: Condens. Matter. — 2002. — Vol. 14. — P. 1589.

[79] Landau D. P., Binder K. A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. — Cambridge: Cambridge University Press, 2015.

[80] Hohenberg P. C., Halperin B. I. Theory of dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. — 1977. — Vol. 49. — P. 435.

[81] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Alekseev S. V., Popov I. S. Investigation of the effects of aging and temperature dependence of the transverse rigidity of a system in the two-dimensional XY model // Phys. Metal. Metallogr. — 2014. — Vol. 115. — P. 1186.

[82] Wolff U. Collective Monte Carlo Updating for Spin Systems // Phys. Rev. Lett. — 1989. — Vol. 62. — P. 361.

[83] Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: Теория, приложения, алгоритмы. — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 112 с.

[84] Hoshen J., Kopelman R. Percolation and cluster distribution. I. Cluster multiple labeling technique and critical concentration algorithm // Phys. Rev. B. — 1976. — Vol. 14. — P. 3438.

[85] Bray A. J., Briant A. J., Jervis D. K. Breakdown of Scaling in the Nonequi-librium Critical Dynamics of the Two-Dimensional XY Model // Phys. Rev. Lett. — 2000. — Vol. 84. — P. 1503.

[86] Lei X. W., Zheng B. Short-time critical dynamics and aging phenomena in the two-dimensional XY model // Phys. Rev. E. — 2007. — Vol. 75. — P. 040104(R).

[87] Pajda M., Kudrnovsky J., Turek I., Drchal V., Bruno P. Ab initio calculations of exchange interactions, spin-wave stiffness constants, and Curie temperatures of Fe, Co, and Ni // Phys. Rev. B. — 2001. —Vol. 64. — P. 174402.

[88] Fye R. M., Martins M. J., Scalapino D. J., Wagner J., Hanke W. Drude weight, optical conductivity, and flux properties of one-dimensional Hubbard rings // Phys. Rev. B. — 1991. — Vol. 44. — P. 6909.

[89] Shastry B. S. Mott transition in the Hubbard model // Mod. Phys. Lett. B. — 1992. — Vol. 23. — P. 1427.

[90] Singh A. Finite U-induced competing interactions, frustration, and quantum phase transition in a triangular-lattice antiferromagnet // Phys. Rev. B. — 2005. — Vol. 71. — P. 214406.

[91] Chattopadhyay B., Shenoy S. R. Kosterlitz-Thouless signatures from 3D vortex loops in layered superconductors // Phys. Rev. Lett. — 1994. — Vol. 72. — P. 400.

[92] Pokrovsky V. L., Uimin G. V. Magnetic properties of two-dimensional and layered systems // Phys. Lett. A. — 1973. — Vol. 45. — P. 467.

[93] Pokrovskii V. L., Uimin G. V. Magnetic properties of plane and layer systems // Sov. Phys. JETP. — 1974. — Vol. 38. — P. 847.