Численное исследование критической динамики однородной и неупорядоченной двумерной XY-модели в низкотемпературной фазе методами Монте-Карло тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Алексеев, Сергей Вячеславович

• Алексеев, Сергей Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алексеев, Сергей Вячеславович

Содержание

Введение

1 Критические явления и методы их описания

1.1 Фазовые переходы и критические явления

1.2 Критические индексы

1.3 Масштабная инвариантность и скейлинг

1.4 Особенности двумерных систем

1.5 Особенности теоретического описания структурно неупорядоченных спиновых систем

2 Численное исследование однородной двумерной ХУ-модели в области низких температур

2.1 Двумерная ХУ-модель

2.2 Динамика Метрополиса

2.3 Динамика Кавасаки

2.4 Исследование температурной зависимости поперечной жесткости системы

2.5 Результаты численного исследования однородной двумерной ХУ-модели в рамках различных динамик

2.6 Выводы

3 Численное исследование эффектов старения в однородной двумерной ХУ-модели и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы

3.1 Системы с медленной динамикой и эффекты старения

3.2 Флуктуационно-диссипативная теорема

3.3 Результаты численного исследования эффектов старения с различными значениями времени ожидания

3.3.1 Эволюция из полностью упорядоченного начального состояния

3.3.2 Эволюция из начального состояния с малым значением намагниченности

3.4 Результаты численного исследования динамической восприимчивости и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы

3.5 Выводы

4 Влияние структурного беспорядка на критическую динамику двумерной ХУ-модели

4.1 Особенности структурно неупорядоченных двумерных систем

4.2 Определение критической температуры структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели с различной концентрацией дефектов

4.3 Результаты численного исследования эффектов старения в структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели

4.3.1 Эволюция из полностью упорядоченного начального состояния

4.3.2 Эволюция из начального состояния с малым значением намагниченности

4.4 Выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование критической динамики однородной и неупорядоченной двумерной XY-модели в низкотемпературной фазе методами Монте-Карло»

Введение.

Количественное и качественное описание фазовых переходов и критических явлений в различных системах представляет как теоретический, так и практический интерес и до сих пор остается одной из наиболее трудных и актуальных задач статистической физики [1-7]. В окрестности точки фазового перехода существует ряд особенностей, которые требуют особого подхода к их изучению. Некоторые термодинамические характеристики системы в этой точке испытывают аномально большие и долгоживущие во времени флуктуации, которые характеризуются сильным взаимодействием между собой. В построении теории фазовых переходов наиболее продуктивными оказались методы ренормгруппового и теоретико-полевого описания [1,8,9], е- разложения [1,4,5,10], а также применение гипотезы подобия (скейлинга). Это позволило глубже понять особенности поведения термодинамических систем непосредственно в критической области, выявить многие общие принципы фазовых переходов, построить уравнения состояния, рассчитать значения критических индексов для многих решеточных систем и установить связь между ними. Существенный вклад в строгую количественную теорию кооперативных явлений в решеточных системах внесли также методы высоко- и низкотемпературных разложений [11]. Установленные закономерности позволили сформулировать гипотезу универсальности для статических критических явлений: критическое поведение зависит от размерности пространства (решетки), числа компонент параметра порядка, симметрии гамильтониана и радиуса характерного взаимодействия. Вследствие чего, в пределах одного класса универсальности для всех систем, претерпевающих

фазовый переход второго рода, критические индексы являются одинаковыми. Важную роль в построении общей микроскопической теории фазовых переходов играют точные аналитические решения, которые удалось получить лишь для весьма ограниченного числа решеточных моделей. Ввиду того, что реальным материалам присущи такие особенности, как анизотропия, наличие дефектов структуры, существование многоспинового обмена, диполь-дипольного взаимодействия, колебания решетки [4], точное описание таких систем методами теоретической физики - задача чрезвычайно сложная. Поэтому в последнее время существенно возросла роль численных методов (в том числе и метода Монте-Карло) в решении решеточных моделей [12,13]. Эти методы были хорошо апробированы на большинстве модельных систем [14-20]. Сейчас компьютерный эксперимент может стать серьезным подспорьем для исследователя. Моделирование позволяет получать количественные характеристики для проверки теоретических расчетов с высокой степенью точности. Кроме того, вычислительные мощности современных компьютеров растут с каждым годом, что делает их еще более доступными для исследователей.

К настоящему моменту экспериментально обнаружено и синтезировано большое число магнитных кристаллов, близких по свойствам к двумерным системам, фазовые переходы в которых обладают рядом необычных свойств [21-25]. Эти низкоразмерные магнитные системы характеризуются сильным взаимодействием магнитных ионов в плоскости и слабым межплоскостным взаимодействием. Термодинамические свойства таких систем характеризуются достаточно широким температурным интервалом, в котором проявляются только двумерные свойства этих систем, определяемых взаимодействием в магнитной ионной плоскости. Иссле-

дование низкоразмерных систем представляет большой интерес с точки зрения теории фазовых переходов, согласно которой асимптотическое поведение термодинамических и корреляционных функций вблизи температуры фазового перехода определяется главным образом размерностью системы и ее симметрийными свойствами, выраженными главным образом через число компонент параметра порядка - спонтанной намагниченности в ферромагнетиках.

Еще в 70-х годах прошлого века было установлено, что плоские вырожденные системы, описываемые ХУ-моделью с двухкомпонентным параметром порядка, характеризуются особым типом фазового перехода. Особенностью этого фазового перехода является отсутствие дальнего порядка (спонтанной намагниченности) при всех конечных температурах, разрушаемого аномально большими поперечными флуктуациями спиновой плотности. Фазовый переход в таких системах связан со сменой асимптотик корреляционных функций: с экспоненциальной зависимости от расстояния в высокотемпературной фазе на степенную в низкотемпературной фазе, характеризуя сильно коррелированное состояние системы с эффективно бесконечным радиусом корреляции.

Существует ряд принципиальных трудностей, возникающих при моделировании критического поведения систем взаимодействующих частиц методом Монте-Карло. Они связаны, в основном, с явлением критического замедления, характеризующимся тем, что время релаксации системы, как и время корреляции состояний, неограниченно растут по мере приближения к критической температуре. При этом предсказываемый степенной характер их асимптотической зависимости от приведенной температуры определяется динамическим критическим индексом г. Для структурно

неупорядоченных систем эта проблема еще более существенна, так как их неравновесное критическое поведение определяется индексом г, принимающим большие значения, чем для систем без дефектов [26]. Для уменьшения эффектов влияния критического замедления применяют кластерные алгоритмы Сведсена-Ванга [27] или Вольфа [28], но эти алгоритмы столь существенно меняют динамику системы, что для получения информации о характеристиках критической динамики их применять нельзя.

В последнее время особое внимание уделяется исследованию систем, характеризующихся медленной динамикой. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми в них свойствами старения при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы [29-40]. Хорошо известными примерами подобных систем с медленной динамикой и эффектами старения являются такие комплексные неупорядоченные системы как стекла: ди-польные, металлические, спиновые. Однако, данные особенности неравновесного поведения, как показали различные аналитические и численные исследования, могут наблюдаться и в структурно однородных системах в критической точке или вблизи нее при фазовых переходах второго рода, так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации. К системам с медленной динамикой относится и двумерная ХУ-модель при температурах ниже и равной температуре фазового перехода [41]. Под процессом старения материалов понимают явление роста времени релаксации системы к состоянию равновесия с увеличением «возраста» материала, т.е. времени прошедшего после приготовления образца [42]. Явление старения проявляется математически прежде всего в двухвременных характеристиках системы, таких

как корреляционные функции и функции отклика.

Большинство реальных систем содержат дефекты структуры, которые могут оказывать заметное влияние на поведение системы, в том числе и вблизи температуры фазового перехода. Работа Харриса [43], посвященная изучению влияния эффектов «разбавления» спиновых систем немагнитными атомами примеси на их критическое поведение, стимулировала большое количество исследований в этой области. Из критерия, сформулированного Харрисом, следовало, что наличие дефектов такого типа может существенно изменить критическое поведение системы, если без их присутствия теплоемкость системы расходилась вблизи критической точки. В противном случае, присутствие дефектов не влияет на характеристики системы за исключением такой неуниверсальной величины как критическая температура, которая убывает с ростом концентрации дефектов и при пороговой концентрации, соответствующей порогу перко-ляции системы, обращается в нуль. Согласно критерию Харриса предсказывается, что в двумерной ХУ-модели влияние дефектов структуры оказывается несущественным близи критической температуры Тбкт- Однако в низкотемпературной фазе для Т < Тбкт, как показали аналитические и численные исследования равновесных свойств модели [44-46], наличие дефектов приводит к изменению значений показателей для равновесной корреляционной функции и к их концентрационной зависимости. Однако, динамика структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели до сих пор не исследована.

В связи с вышесказанным в диссертационной работе были поставлены следующие цели:

1. численное исследование неравновесной динамики однородной двумерной ХУ-модели методами Монте-Карло в низкотемпературной области вплоть до температуры фазового перехода Березинского-Костерлица-Таулесса при эволюции системы из полностью упорядоченного состояния в рамках динамики Метрополиса и динамики Кавасаки.

2. численное исследование неравновесной динамики структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели для различных спиновых концентраций методами Монте-Карло в низкотемпературной области вплоть до температуры фазового перехода Березинского-Костерлица-Таулесса при старте системы из различных неравновесных начальных состояний.

3. численное исследование эффектов старения в однородной и структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели с целью выявления различных режимов временной зависимости автокорреляционной функции для различных значений времени ожидания.

4. определение показателей степенной зависимости автокорреляционной функции однородной и структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели, а также показателей пространственной корреляционной функции.

к «о

5. численное исследование температурной зависимости поперечной жесткости системы в квазиравновесном состоянии и сравнение с аналитическими результатами.

6. численное исследование нарушения флуктуационно-диссипативной

теоремы при эволюции системы из полностью упорядоченного начального состояния, а также расчет значения асимптотического предела на больших временах наблюдения.

Для этого было проведено компьютерное моделирование однородной и структурно неупорядоченной систем с помощью методов Монте-Карло в области низких температур и в малой окрестности критической температуры.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [47-55].

Научная новизна результатов

1. Впервые осуществлено компьютерное моделирование критического поведения двумерной ХУ-модели в области низких температур в рамках динамики Кавасаки и получены соответствующие показатели степенной зависимости автокорреляционной функции.

2. Впервые численно исследованы эффекты старения во всей низкотемпературной фазе, и получены подтверждения существования двух временных режимов в динамике системы.

3. Впервые численно исследованы эффекты старения в структурно неупорядоченных системах.

4. Впервые численно исследована температурная зависимость поперечной жесткости системы.

Научная и практическая значимость работы

Полученные в диссертации результаты вносят существенный вклад в исследование критического поведения двумерных систем, как однородных, так и содержащих дефекты структуры.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика и результаты численного исследования неравновесного критического поведения и эффектов старения в структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели;

2. Наличие различных температурных областей применимости алгоритма Метрополиса и алгоритма Кавасаки для описания динамики двумерной ХУ-модели;

3. Подтверждение существования в неравновесной динамике ХУ-модели эффектов старения при релаксации из начального упорядоченного состояния и двух различных временных режимов, характеризующихся двукратным изменением степенных показателей для автокорреляционной функции;

4. Сопоставление результатов численного определения температурной зависимости поперечной жесткости системы с аналитической зависимостью, полученной из решения самосогласованного уравнения, указывает на наличие дополнительных вкладов от нелинейных спин-волновых эффектов и взаимодействия вихревых возбуждений;

5. Численное доказательство существования эффектов нарушения флук-туационно-диссипативной теоремы в неравновесном поведении двумерной ХУ-модели;

6. Существенность влияния дефектов структуры на степенной характер релаксации двумерной ХУ-модели в низкотемпературной фазе на больших временах наблюдения при эволюции системы из различных

неравновесных начальных состояний. Наличие трех динамических режимов в неравновесном поведении автокорреляционной функции.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XXXIV и XXXV научно-практических конференциях «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2010, 2011) и международном симпозиуме «Moscow International Symposium on Magnetism» (Москва, 2011), а также на научных семинарах кафедры теоретической физики ОмГУ.

1 Критические явления и методы их описания

1.1 Фазовые переходы и критические явления

Фаза - однородное состояние системы, когда свойства одинаковы для любого участка. Различные фазовые состояния разделяются границей, которую можно наблюдать непосредственно. Когда нарушаются внешние условия, то нарушается равновесие фаз, и вещество переходит из одной фазы в другую. Такое явление называется фазовым переходом. Все существующие в природе фазовые переходы делят на два класса - I и II рода. Фазовые переходы I рода (или скачкообразные) характеризуются разрывом первых производных химического потенциала р (Р, Т):

т.е. энтропия испытывает скачок, и появляется скрытая теплота перехода в новую фазу д12 = ТД5,

т.е. удельный объем также меняется скачком, следовательно и плотность вещества испытывает скачок Ар = рч — Р\- Со скачками энтропии и удельного объема связано скачкообразное изменение внутренней энергии Д£ = ТАЗ - РАу.

Фазовый переход, при котором происходит скачкообразное изменение симметрии, но состояние тела меняется непрерывно, называется фазовым переходом второго рода [3,56]. Такие переходы характеризуются непрерывными первыми производными от р (Р,Т), а вторые производные име-

(1.1)

(1.2)

ют конечные или бесконечные разрывы при критических температурах:

Из этих формул следует, что имеют место разрывы теплоемкости АСр, изотермической сжимаемости Л (§р)т и коэффициента теплового расширения

А (Ц)р. Важно

то, что фазовые переходы II рода сопровождаются изменением симметрии системы. В то время, как в точке фазового перехода первого рода находятся в равновесии тела в двух различных состояниях, в точке перехода второго рода состояния обеих фаз совпадают.

Для количественной характеристики изменения структуры тела при прохождении через точку фазового перехода вводят величину параметра порядка (р, определенную таким образом, чтобы она пробегала отличные от нуля значения в несимметричной фазе и равнялась нулю в симметричной фазе, причем она является непрерывной при критической температуре. Свойства систем при непрерывных фазовых переходах характеризуются сильными и продолжительными во времени флуктуациями параметра порядка [3]. В зависимости от температуры, параметр порядка ведет себя следующим образом:

[ О, т > тс <р{Т) = \ . (1.6)

О, т < тс

Для фазовых переходов, связанных со смещением атомов от их положений в симметричной фазе, под (р можно понимать величину этого смещения. Для магнитных переходов под <р можно понимать макроскопический

магнитный момент (отнесенный к единице объема) ферромагнетика или магнитный момент подрешетки - в случае антиферромагнетика.

Нужно заметить, что симметрия тела меняется (повышается) лишь в тот момент, когда (р обращается в точности в нуль; любое сколь угодно малое, но отличное от нуля значение параметра порядка приводит уже к понижению симметрии. При прохождении через точку фазового перехода второго рода обращение р в нуль происходит непрерывным образом, без скачка.

Важным понятием в теории фазовых переходов и критических явлений является понятие критической точки. Критическая точка - это точка на фазовой плоскости, в которой оканчивается кривая фазового равновесия. Критическая точка может существовать только для таких фазовых состояний вещества, различие между которыми имеет лишь чисто количественный характер. Таковы жидкость и газ, отличающиеся друг от друга большей или меньшей ролью взаимодействия между молекулами. Такие фазы, как жидкость и твердое тело или различные кристаллические модификации вещества, характеризуются качественными различиями между собой, так как отличаются своей внутренней симметрией. О всяком свойстве симметрии можно сказать, что либо оно есть, либо его нет. Оно может появиться или исчезнуть лишь сразу, скачком, а не постепенно. В каждом состоянии тело будет обладать либо одной, либо другой симметрией, и поэтому всегда можно указать, к какой из двух фаз оно относится. Критическая точка, следовательно, для таких фаз не может существовать, и кривая равновесия должна либо уходить на бесконечность, либо пересекаться с кривыми равновесия других фаз.

Переходы первого рода, близкие к критической точке, становятся весь-

ма «похожими» на фазовые переходы второго рода, а именно скачки первых производных (плотность, скрытая теплота перехода) становятся малыми, но одновременно возникает аномальное поведение вторых производных термодинамического потенциала (теплоемкость, сжимаемость и т. п.), как и в случае типичных фазовых переходов второго рода. Это и определяет физическую общность между фазовыми переходами второго рода и критическими явлениями.

1.2 Критические индексы

Поведение некоторых физических величин для непрерывных фазовых переходов в окрестности критической температуры Тс характеризуется набором критических индексов. Так вблизи критической температуры можно определить поведение намагниченности М (Т), восприимчивости X (Т), теплоемкости С (Т), изотермической намагниченности М (/г, Тс) следующим образом [3,16]:

где а, /?, 7,5 - критические индексы термодинамических функций. Теплоемкость и восприимчивость при Т = ТС расходятся.

Свойства систем при непрерывных фазовых переходах определяются сильными и долгоживущими флуктуациями параметра порядка. Мерой магнитных флуктуаций является линейный размер £(Т) характерного магнитного домена - области с сильно коррелированными спинами.

М(Т)~\Т-Те\", Х(Т)~\Т-ТСГ, С{Т)~\Т-Тс\~\

—а

(1.7)

(1.8) (1.9)

(1.10)

При Т ^>ТС длина корреляции £(Т) по порядку величины равна периоду решетки. Поскольку по мере приближения Т к Тс сверху, корреляция в ориентации спинов увеличивается, £(Т) будет возрастать при приближении Т к Тс. Расходимость £(Т) в окрестности Тс описывается критическим индексом и:

£(Т) ~ \Т - Тс\-". (1.11)

Из-за долгоживущих флуктуаций намагниченности, время релаксации системы тг , а также время корреляции флуктуаций т , в окрестности Тс неограниченно возрастают. Можно ввести динамический критический индекс 2, определяемый соотношением

тг,т~(Т-Тс)—. (1.12)

Поведение корреляционной функции флуктуаций параметра порядка определяется критическим индексом г]:

- х-**2-". (1.13)

Все эти индексы составляют полный набор статических индексов, характеризующих состояние системы в равновесии. Существуют соотношения, позволяющие выразить одни индексы через другие [3,57]:

а + 2/3 + 7 > 2 (1.14)

а ^ 2 — ¿V (1.15)

(2-77)^7 (1.16)

(1.17)

(1.18)

(1-2 + 1]

18

Данные индексы являются универсальными для систем одинаковой размерности и с одинаковым числом компонент параметра порядка, и не зависят от микроскопических параметров системы. Из приведенных соотношений видно, что только два критических индекса являются независимыми. Существуют различные способы вычисления критических индексов, в том числе и с помощью компьютерного моделирования.

1.3 Масштабная инвариантность и скейлинг

Понятия критических индексов и корреляционной длины являются ключевыми в теории фазовых переходов второго рода. В теории фазовых переходов и критических явлений предполагается, что корреляционная длина £ является единственным масштабом, который существует в системе вблизи Тс. На масштабах, меньших все пространственные корреляции спадают по степенному закону, поэтому на этих масштабах должно наблюдаться явление масштабной инвариантности [57]. С другой стороны, в точке фазового перехода корреляционная длина становится бесконечной. Поэтому характеристики системы на масштабах меньших £ должны быть эквивалентны свойствам всей системы в точке фазового перехода.

Другим важным свойством масштабной инвариантности является то, что микроскопические параметры системы (структура решетки и т.п.) не должны быть существенными для критического поведения. Для фазовых переходов и критических явлений должны быть существенны лишь «глобальные» характеристики, такие как размерность пространства, топология параметра порядка и т.п. Причем для разных систем значение соответствующих критических индексов приблизительно совпадает. Приведенные выше рассуждения составляют основу так называемой гипотезы

скейлинга [57], которая гласит, что макроскопические свойства системы не должны меняться при глобальном изменении пространственного масштаба системы. Т.о. значение критических индексов зависит лишь от флук-туаций, природа которых определяется симметрией параметра порядка и размерностью системы. Эти факты легли в основу теории (основанной на ренормгрупповом анализе) позволяющей вычислять критические индексы.

Возникает вопрос, почему основное внимание обращают на такую величину, как критический показатель, который дает значительно меньшую информацию, чем вид полной функции. Ответ на этот вопрос определяется тем экспериментальным фактом, что вблизи критической точки поведение функции, имеющей вид многочлена, определяют главным образом ее ведущие члены. Поэтому логарифмические кривые, полученные из эксперимента при температурах, достаточно близких к критической точке, имеют вид прямых, и критический показатель легко найти из наклона этих прямых. Т.о., критические показатели всегда измеримы, чего нельзя сказать о полной функции. Вторая причина такого внимания к критическим показателям заключается в том, что имеется большое число соотношений между критическими показателями, которые выводятся из общих термодинамических и статистических положений, и поэтому справедливы для любой частной системы.

Начало современной теории фазовых переходов и критических явлений было заложено в работах А.З. Паташинского, В.Л. Покровского и Л.П. Каданова [5,58]. Ими была сформулирована гипотеза подобия критических флуктуаций. Каданов сформулировал идею масштабной инвариантности термодинамических свойств систем в окрестности критических то-

чек (1966). Основываясь на гипотезе подобия, Вильсон разработал метод ренормализационной группы, который позволил аналитически вычислить значение критических индексов системы.

1.4 Особенности двумерных систем

В 1970 в работе [59] впервые было аналитически показано, что в двумерных системах при низких температурах появляется алгебраический порядок. Это значит, что корреляционные функции параметра порядка убывают по степенному закону. Другими словами, средний параметр порядка в двумерной системе с линейным размером Ь убывает как Ь~А. Догадка о возможности такого поведения была высказана несколько ранее Стенли и Капланом [61] на основании численных расчетов. Доказательство, найденное Березинским, основано на представлениях о невзаимодействующих голдстоуновских возбуждениях (спиновых волнах). По сути оно является развитием идей Ландау-Пайерлса о неустойчивости далекого порядка в двумерных системах с непрерывной группой симметрии [62,63], доведенных до статуса точного доказательства Хоэнбергом [64] и Мермином и Вагнером [66]. Березинский впервые указал, что в низкотемпературной фазе указанных систем появляется поперечная жесткость. Это общее название охватывает, например, плотность сверхтекучей компоненты двумерных сверхтекучих жидкостей и модуль сдвига кристаллов. Березинский нашел соотношение между поперечной жесткостью р8 и скейлинговой размерностью параметра порядка:

А = (1-19)

4тг р8

В работе [65] Березинский впервые ввел локализованные топологиче-

ские возбуждения систем с указанной группой симметрии - вихри и исследовал их роль в фазовом переходе. Он обнаружил, что при низких температурах вихрь и антивихрь образуют связанное состояние - вихревую пару, а при достаточно высоких температурах пары диссоциируют. В отличие от диссоциации в трехмерном газе, двумерная диссоциация осуществляется не постепенно, а путем фазового перехода при определнной температуре.

Следующий фундаментальный шаг был сделан через два года Костер-лицем и Таулессом [68,69] и независимо от них Фейнманом. Они заметили, что не только энергия, но и энтропия отдельного вихря пропорциональны размеру системы. Поэтому условие обращения свободной энергии вихря в нуль однозначно определяет отношение поперечной жесткости в точке фазового перехода к его температуре. Для пленки сверхтекучего гелия отношение сверхтекучей плотности к температуре переходе, найденное теоретически Костерлицем и Нелсоном [70] и подтвержденное экспериментом Бишопа и Реппи [71], оказалось комбинацией мировых постоянных:

= (1.20)

Тс 7Г п2 у ;

Еще проще выглядит универсальное значение скейлинговой размерности параметра порядка в точке перехода: Д = 1/8 [5]. Стало также ясно, что этот фазовый переход комбинирует черты скачкообразности и дискретности: энтропия, площадь и даже теплоемкость изменяются непрерывно, но поперечная жесткость падает скачком до нуля.

Результаты, полученные в последние годы с помощью методов Монте-Карло в области низких температур, являются сопоставимыми с результатами Ф. Венье, полученными в рамках спин-волнового приближения [72].

/ 4 \ \

/ У ^ Ч \ >*■ у / Ч \ х

/ / у \ \ \ / \

И \ / / ^ —

\ Ч ^ Ж- / \Ч \ / / /

х ^ \ \ / /

а б

Рис. 1.1: Схематическое изображение вихря (а) и антивихря (б) на примере двумерного магнетика.

Рассмотрим модель спиновой системы в виде плоской решетки с линейным размером L и циклическими граничными условиями. В данной модели с каждым г-м узлом связан единичный двумерный вектор Sf.

Si = (Six, Siy). (1-21)

Любая конкретная конфигурация системы задается набором векторов {iSi,..., Sn} для всех узлов решетки. В отсутствие внешнего магнитного поля изотропная модель характеризуется гамильтонианом вида:

H = -J^2 SiSj, (1.22)

<ij>

где J - интеграл обменного взаимодействия, а сумма берется по всем ближайшим соседям. В угловых переменных:

Sx = cos ip, Sy = sin <p (1.23)

гамильтониан можно переписать следующим образом:

Я = -J J2 cosfe ~ <Pj)- (L24)

<i,j>

Вид гамильтониана (1.24) указывает на сильную нелинейность системы, следствием которой является существование наряду с обычными спи-

новыми волнами возбужденных состояний особой природы, так называемых вихрей и антивихрей, количество которых растет с ростом температуры [73]. Схематичное изображение вихря и антивихря представлено на рис. 1.1.

Каждый вихрь характеризуется топологическим зарядом д = +1, антивихрь - q = —1. В случае двумерного магнетика топологический заряд выражается в виде:

где к - целое число, <р имеет смысл угла поворота вектора спина. Вихри взаимодействуют между собой подобно двумерному кулоновскому газу -по логарифмическому закону [69]. Энергия взаимодействия двух топологических зарядов и 5 расположенных в точках с радиус-векторами и выражается в виде:

Согласно теореме Мермина и Вагнера [66] в двумерной модели с взаимодействием только между ближайшими соседями, у которой имеется непрерывная симметрия, спонтанный момент отсутствует. Двумерная ХУ-модель принадлежит именно к такому типу. Но следует заметить, что отсутствие спонтанного момента намагниченности наблюдается лишь в двумерных системах бесконечного размера, а в системах с конечными размерами намагниченность не исчезает в низкотемпературной фазе [67]. Отсутствие дальнего порядка в системе не всегда означает монотонное изменение ее термодинамического состояния с изменением температуры. Эта немонотонность может проявиться не в появлении дальнего порядка, а в изменении поведения корреляционной длины, что и имеет место

(1.25)

(1.26)

в ХУ-модели. Корреляционная функция спинов спадает экспоненциально с расстоянием между спинами при достаточно высоких температурах, а при низких температурах характеризуется степенным поведением:

С(х - х') ~ ехр |-|ж - х'\ 1п , Т > 3 (1.27)

/ . х Т/2тг7

•г<<' (1'28)

Отсюда следует, что во-первых, в двумерной ХУ-модели нет спонтанного момента, а во-вторых, это выражение показывает, что имеется линия критических точек для низких температур. Согласно теории классического скейлинга, в точке фазового перехода имеется следующая степенная зависимость от расстояния:

С(х-х') ~ ¡х-х'Г^ (1.29)

где г) — ~ критический индекс, непрерывно зависящий от температуры. При этом степенное поведение коррелятора сохраняется в целом интервале температур. Это означает, что в системе должна быть непрерывная последовательность фазовых переходов. Наивысшая температурная точка, при которой экспоненциальное поведение корреляторов сменяется степенным, соответствует фазовому переходу Березинского-Костерлица-Таулеса. Соответствующая температура Тс оценивается из соотношения:

Тс « 3 (1.30)

Березинский [59], а позднее Костерлиц и Таулес [68] показали, что ниже этой температуры начинается спаривание вихревых возбуждений, при котором образуется связанное состояние вихрь-антивихрь, называемое ин-стантоном. Выше критической точки все такие пары диссоциируют, однако, существование самих вихрей проявляется в корреляции спинов на

конечной длине, которая медленно падает с возрастанием температуры. С учетом взаимодействия вихрей выражение для определения критической температуры запишется в виде [73]:

Среднеквадратичное расстояние пары вихрь-антивихрь:

тг 3 ( тг2^

—— 2 Тс

/г2\ = а2-—;——, (1.32)

Оно остается конечным при достаточно низких температурах, когдатг/Т > 2, что соответствует образованию инстантона. С повышением температуры это расстояние увеличивается и при Тс = 13 среднее расстояние в этой паре становится бесконечным, т.е. происходит диссоциация пары. В этом и состоит фазовый переход Березинского-Костерлица-Таулеса (он является фазовым переходом второго рода). Температура данного перехода для двумерной ХУ-модели Тбкт = 0,893 [74-80]. Критическое поведение двумерной ХУ-модели определяется следующими характеристиками корреляционной длины:

[ 00, т <ТС

Поведение восприимчивости можно записать [81]:

£2-,, т>Тс ХН • (1-34)

оо, Т <ТС

1.5 Особенности теоретического описания структурно неупорядоченных спиновых систем

Известно, что в реальных системах всегда присутствуют разного рода дефекты структуры, которые могут иметь различную природу и оказывать

ЬШ1/2

т >т,

сильное влияние на процессы, протекающие в твердых телах. Например, в ферромагнитном кристалле часть ячеек может быть занята атомами, имеющими нулевой магнитный момент. Если концентрация немагнитных атомов превышает определенную величину, ферромагнетизм полностью подавляется [82]. Другим примером служит ситуация, когда в решетке возможны дефекты, приводящие к случайно распределенным выделенным направлениям ориентации спинов. Также в качестве примера можно упомянуть переход жидкого Не4 в сверхтекучее состояние в пористой среде [83]. Поэтому описание влияния дефектов структуры во всех возможных формах их проявления является одной из интересных и сложных проблем теории критических явлений.

Теоретическое изучение влияния случайно распределенных дефектов и примесей на различные явления началось много лет назад. Движение электронов в неупорядоченных твердых телах, перколяционная задача, модель Изинга со спинами на случайных узлах и другие подобные задачи привлекали к себе многих исследователей, чьи результаты работы отражены в литературе [84-86].

Влияние дефектов структуры на критическое поведение может оказаться весьма существенным. Допустим, что в систему, находящуюся вблизи критической точки, введено малое количество примесей или в ней разорвано небольшое количество связей. Такое изменение можно рассматривать как введение малого возмущения. Отклик системы на такое возмущение описывается на языке поведения различных восприимчивостей и корреляционных функций. Известно, что вблизи критической точки поведение идеальной однородной системы характеризуется тем, что некоторые из этих величин велики и представляют собой сингулярные функции

температуры. Это означает, что малое количество дефектов структуры может привести к большим эффектам вблизи критической точки, тем самым существенно изменяя критическое поведение однородной системы. При этом могут измениться значения критических индексов, которые описывают сингулярное поведение данных функций. Возможно, что наличие дефектов приводит к сглаживанию сингулярного поведения некоторых величин. Может произойти размытие фазового перехода второго рода и исчезновение критической точки. Механизмы этих эффектов глубоко скрыты природой и до сих пор еще недостаточно хорошо изучены. По крайней мере, ясно, что в неидеальной системе возникает новый характерный параметр - среднее расстояние между дефектами. При приближении к критической точке он начинает «конкурировать» с корреляционной длиной, что и обусловливает отклонение в критическом поведении неоднородной системы от поведения идеальной системы.

Дефекты разделяются на два вида [4] в зависимости от того, как они распределены в матрице. Если способ приготовления образца таков, что дефекты структуры находятся в равновесии с матрицей системы, то их принято называть расплавленными, или равновесными. Как правило, при приготовлении образца дефекты не успевают прийти в термодинамическое равновесие с матрицей и как бы «замораживаются» в ней в виде некоторой конфигурации, несущей память о способе приготовления системы. Такие дефекты принято называть замороженными.

В случае расплавленных дефектов структуры их концентрация играет роль дополнительной термодинамической переменной. Ее влияние на критическое поведение проявляется только лишь в сдвиге критической температуры и перенормировке значений критических индексов с факто-

ром 1/(1 — а), если индекс теплоемкости однородной системы а положителен [87]. Но в случае с замороженными дефектами все оказывается не так просто.

Феноменологический подход к описанию универсального критического поведения систем определяется гамильтонианом вида [1,4]:

Н = 1^х {-кф{х) + 1-гф\х) + + + ...}, (1.35)

где ф(х) - п-компонентный параметр порядка; Н - внешнее поле, сопряженное параметру порядка; г(Т), м(Т),... - аналитические функции температуры Т и внешних параметров.

Однородные системы являются трансляционно-инвариантными. Их поведение в критической точке (при температуре фазового перехода) определяется фиксированными точками уравнений ренормгруппы:

/г = 0, г = г*,« = гг*, (1.36)

а коэффициенты более высокой скейлинговой размерности равны нулю.

Неоднородные системы с замороженными примесями уже не являются трансляционно-инвариантными. При этом параметры Н(х), г(х), и(х),... начинают зависеть случайным образом от координат.

Влияние случайности, вызванное присутствием дефектов, ослабевает с уменьшением скейлинговой размерности полей: к{х) - случайное поле (со средним равным нулю), характеризуется наиболее сильным влиянием на поведение систем при фазовых переходах;

г(х)- случайное поле локальной критической температуры при определенных условиях может модифицировать критическое поведение систем и изменить значения критических индексов (отличное от нуля среднее просто сдвигает критическую температуру);

и(х),... - влияние этих полей на критическое (асимптотическое) поведение термодинамических функций несущественно.

Рассмотрим влияние дефектов структуры типа «случайная температура» на критическое поведение. Пусть г(х) = г + У(х), где У(х) характеризует потенциал случайного поля дефектов в точке х со средним значением по распределению дефектов, равным нулю:

тт = о. (1.37)

Процедура усреднения функции свободной энергии и корреляционных функций по потенциалу примесей восстанавливает трансляционную инвариантность этих величин, что позволяет применить для дальнейшего исследования критического поведения ренормгрупповую технику.

Распределение дефектов обычно задается через второй момент функции распределения

{{У(х)У(у)))=д(х-у). (1.38)

В простейшем случае некоррелированных точечных дефектов [91]:

д{х-у) = у5\х-у), (1.39)

где V ~ (величина потенциала)2 х (концентрация дефектов), (1 - размерность системы. Существуют более сложные и реалистичные модели. Модель с протяженными дефектами размерности еа, которые параллельны друг другу и хаотически распределены по объему образца [88], описывается распределением с

д(х-у) = у8*-ел{х1_-у±). (1.40)

Вейнриб и Гальперин [89] предложили модель, которая учитывает эффекты корреляции дефектов со случайной ориентацией и описывается

распределением с

д(х-у) = \х-у\-а. (1.41)

Учет моментов более высокого порядка не существенен для критического поведения. Функционал свободной энергии ^ системы с дефектами определяется соотношением:

ехр = / Р {-Но #хУ(х)ф2(х)) , (1.42)

где Н0 - гамильтониан однородной системы. Для слабо неоднородной системы можно воспользоваться разложением

ехр ! б*хУ{х)ф2{х= 1 - ^ У <1йУ{х)ф2{х)+

+ I /х^уУ(х)ф2(х)У(у)ф2(у) + ...,

(1.43)

и провести усреднение по примесям:

({£г)) = (¿¿¿г) + 5 /(Ф2№Ф2Шо + " •">

(1.44)

где (.. .)о - усреднение по распределению флуктуаций с гамильтонианом однородной системы Но. Для однородных систем теплоемкость можно записать в виде:

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Алексеев, Сергей Вячеславович

4.4 Выводы

Было проведено численное исследование эффектов старения в структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели в низкотемпераутной фазе при эволюции системы из различных начальных состояний при разных значениях времени ожидания и концентрации дефектов.

Ааи

0,9 0,60,3

-- • .

А(Ц„)

1 10 100 1000 10000 МСЭ/э

0,1

10 100 1000 10000

М , МСБ/э w аш

0,1

1 10 100

АО,и

1000 10000

М , МСБ/э

1-1

0,1

10 100

1000 10000

1-1 , МСЭ/в

А(Ш

•н

0,1 д

1 10 100 1000 10000

М , МСБ/э

V/

Рис. 4.8: Временная зависимость автокорреляционной функции структурно неупорядоченной системы с концентрацией спинов р = 0, 8 при старте системы из состояния с то -С 1 для времен ожидания МСБ/в : 100 (1), 500 (2), 1000 (3) для температур Г/.7: 0,1 (а), 0,2 (б), 0,3 (в), 0,4 (г), 0,49 (д)

АО.и

1-1

0,5

10 100 1000

АШ

10000 М , МСБ/э

0,5

10 100

1000 10000

М , МОЭ/в

А(*.У

0,5

А(Ш

0,1

10 100 1000 10000

М , МСв/э

10 100 1000 10000

М , МСБ/э

Рис. 4.9: Временная зависимость автокорреляционной функции структурно неупорядоченной системы с концентрацией спинов р — 0,9 при старте системы из состояния с то 1 для времен ожидания МСБ/в : 100 (1), 500 (2), 1000 (3) для температур Г//: 0,1 (а), 0,2 (б), 0,3 (в), 0,4 (г)

Наличие точечных дефектов в системе понижает температуру фазового перехода, а также существенно сказывается на неравновесном поведении двумерной ХУ-модели - динамика становится более медленной по сравнению с динамикой стуктурно однородной модели. В поведении автокорреляционной функции модели было выделено три различных динамических режима: режим замораживания при I — на, котором временное поведение автокорреляционной функции А(£, аппроксимируется линейной зависимостью =1 — а(£ — ), режим степенной релаксации с ~ ¿~А при £ — и промежуточный режим 1 1

М , МСв/э , МСЭ/э г

14 , МСБ/э и/'

Рис. 4.10: Временная зависимость автокорреляционной функции структурно неупорядоченной системы с концентрацией спинов р = 0,9 при старте системы из состояния с то <С 1 для времен ожидания МСБ/в : 100 (1), 500 (2), 1000 (3) для температур Т/Л: 0,5 (а), 0,6 (б), 0,68 (в) кроссоверного поведения при £ — « Ьу^. Режим замораживания связан с эффектами локализации пар вихрь-антивихрь на дефектах структуры и замедлении спиновой диффузии. Выявлено, что показатели автокорреляционной функции являются неуниверсальными не только по отношению к изменению температуры, но и по отношению к изменению концентрации примесей в системе.

При старте из состояния с то <С 1 показатели Д^ для системы с концентрацией спинов р = 0,8 превосходят аналогичные показатели для системы с концентрацией р = 0,9 на всех временных интервалах. При эволюции системы из начального неупорядоченного состояния наличие дефектов структуры приводит к ускорению динамики.

Заключение.

В диссертационной работе методами компьютерного моделирования проведено исследование неравновесной динамики структурно однородной и структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели.

Основными результатами работы являются:

1. Установлено, что динамика Метрополиса правильно описывает неравновесное поведение двумерной ХУ-модели во всей низкотемпературной фазе и в критической области, а динамика Кавасаки - только в области очень низких температур, где можно пренебречь взаимодействием вихрей.

2. При исследовании эффектов старения в структурно однородной системе во всей низкотемпературной области выявлены два режима степенного поведения автокорреляционной функции. Для временного интервала í - ^ < в пределах статистических погрешностей выполняется соответствие г)(Т)/2, а для £ — выполняется соответствие г](Т)/4.

3. Установлено, что при старте из состояния сто< 1 поведение автокорреляционной функции качественно отличается от случая старта из упорядоченного состояния. В случае старта из состояния сто 1 наблюдается рост времени релаксации с увеличением времени ожидания, в то время, как при старте из состояния с то = 1 - уменьшение. На временах £ — £ц, >> показатели А а системы с то 1 превосходят аналогичные показатели для системы с то = 1 на 12 порядка. Эти различия обусловлены тем, что при релаксации из состояния с то = 1 роль в динамике высокоэнергетичных вихревых возбуждений является малой и динамика системы определяется только низкоэнергетичными спинволновыми возбуждениями. При старте системы из состояния с то 1 роль вихревых возбуждений и их взаимодействие является определяющей.

4. В критической точке Твкт/З = 0,89 для показателя получено значение г] = 0,248(4), что в пределах погрешности хорошо согласуется с точным теоретическим значением г] = 1/4.

5. Установлено, что динамика неупорядоченной двумерной ХУ-модели существенно отличается от динамики однородной модели и становится более медленной. В поведении автокорреляционной функции модели было выделено три различных динамических режима. Показатели автокорреляционной функции являются неуниверсальными не только по отношению к изменению температуры, но и по отношению к изменению концентрации примесей в системе.

6. Неравновесное поведение двумерной ХУ-модели сопровождается эффектами нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы и характеризуется величиной Хоо = 2,49(13) для времен £ —

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алексеев, Сергей Вячеславович, 2012 год

Список литературы

[1] Вильсон К., Когут Д. Ренормализационная группа и £ — разложение. / Пер. с англ. В.А. Загребного; Под ред. В.К. Федянина. — М.: Мир, 1975. - 256 с.

[2] Изюмов Ю.А., Сыромятников В.И. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. - М.: Наука, 1984. - 248 с.

[3] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 3-е изд. - М.: Наука, 1976. - 584 с.

[4] Ma Ш. Современная теория критических явлений. / Пер. с англ. А.Н. Ермилова, A.M. Курбатова; Под ред. H.H. Боголюбова (мл.), В.К. Федянина. - М.: Мир, 1980. - 298 с.

[5] Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. 2-е изд. - М.: Наука, 1982. - 382 с.

[6] Райдер Л. Квантовая теория поля. - М.: Мир, 1987. - 512 с.

[7] Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. - М.: Мир, 1973. - 342 с.

[8] Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. - Oxford: Clarendon Press, 1996. - 1008 p.

[9] Fisher M.E. The renormalization group and the theory of critical behavior. // Rev. Mod. Phys. - 1974. - V.46. - № 4. - P. 597-616.

[10] Паташинский А.З., Покровский В.А. Метод ренормализационной группы в теории фазовых переходов. // УФН. - 1977. - Т.121, вып.1.

- С.55-96.

[11] Фишер М. Физика критического состояния. / Пер.с англ. М.Ш. Ги-термана. - М.: Мир, 1968. - 221 с.

[12] Биндер К. Методы Монте-Карло в статистической физике. М.: Мир, 1982. - 426 с.

[13] Гулд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: В 2 ч. М.: Мир, 1992. Ч. 2. - 400 с.

[14] Камилов И. К., Муртазаев А.К., Алиев X. К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло. // УФН.

- 1999. - Т.169. - №. - С.773-795

[15] Муртазаев А.К., Камилов И.К., Магомедов М.А. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло, конечно-размерный скейлинг и критические индексы сложных решеточных моделей. // ЖЭТФ. - 2001. -Т.120. -№6. - С.1535

[16] Прудников В. В., Вакилов А. Н., Прудников П. В. Фазовые переходы и методы их компьютерного моделирования. - Москва: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2009. - 224 с.

[17] Прудников В.В., Бородихин В.Н. Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга со случайными магнитными полями методом Монте-Карло. // ЖЭТФ. - 2005. - Т. 128. - №. - С.337

[18] Selke W. and Shchur L.N. Critical Binder cumulant in two-dimensional anisotropic Ising models. // J. Phys. A. 2005. V. 38. L739-L744.

[19] Shchur L.N., Berche В., Butera P. High-precision determination of universal amplitude ratios for the q=3 Potts model in 2d. // Phys. Rev. B. - 2008. - V.77. - P.144410.

[20] Кашурников B.A., Красавин А.В. Эффективный квантовый алгоритм Монте-Карло для моделирования сильнокоррелированных систем. // ЖЭТФ. - 2007. - Т. 132. - т. - СМ.

[21] Bramwell S. Т., Holdsworth Р. С. W., Hutchings М. Т. Static and Dynamic Magnetic Properties of Rl^CrC^: Ideal 2D-XY Behaviour in a Layered Magnet. // J. Phys. Soc. Jpn. - 1995. - V.64. - P.3066.

[22] Als-Nielsen J., Bramwell S. Т., Hutchings M. Т., Mclntyre G. J., Visser D. Neutron scattering investigation of the static critical properties of Rb2CrCl4. // J. Phys. Condens. Matter. - 1993. - V.5. - P.7871.

[23] Elmers H. J., Hauschild J., Liu G. H., Gradmann U. Critical phenomena in the two-dimensional XY magnet Fe(100) on W(100). //J. Appl. Phys.

- 1996. - V.79. - P.4984.

[24] Ahlberg M., Andersson G., Hjorvarsson B. Two-dimensional XY-like amorphous Co68Fe24Zr8/Al70Zr30 multilayers. // Phys. Rev. B. - 2011.

- V.83. - P.224404.

[25] Liebig A., Korelis P. Т., Ahlberg M., Hjorvarsson B. Experimental realization of amorphous two-dimensional XY magnets. // Phys. Rev. B. - 2011. - V.84. - P.024430.

[26] Oerding K. The dynamic critical exponent of dilute and pure Ising systems. // J. Phys. A. - 1995. - V.28. - P.L639-L643.

[27] Swendsen R.H., Wang J.-S. Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations. // Phys. Rev. Lett. - 1987. - V.58. - P.86.

[28] Wolf U. Collective Monte Carlo Updating for Spin Systems. // Phys. Rev. Lett. - 1989. - V.62. - P.361.

[29] Godreche C., Luck J.-M. Response of non-equilibrium systems at criticality: exact results for the Glauber-Ising chain. // J.Phys.A. - 2000.

- V.33. - P.1151.

[30] Godreche C., Luck J.-M. Response of non-equilibrium systems at criticality: ferromagnetic models in dimension two and above. // J. Phys.A. - 2000. - V.33. - P.9141.

[31] Godreche C. Luck J.-M. Nonequilibrium critical dynamics of ferromagnetic spin systems. // J. Phys. Cond. Matt. - 2002. -V.14. - P. 1589.

[32] Henkel M., Paessens M., Pleimling M. Scaling of the linear response in simple aging systems without disorder. // Phys. Rev. E. - 2004. - V.69.

- P.056109.

[33] Picone A., Henkel M. Local scale-invariance and ageing in noisy systems. // Nucl. Phys. B. - 2004. - V.688. - P.217-265.

[34] Schehr G., Paul R. Universal aging properties at a disordered critical point. // Phys. Rev. E. - 2005. - V.72. - P.016105.

[35] Pleimling M., Gambassi A. Corrections to local scale invariance in the nonequilibrium dynamics of critical systems: Numerical evidences. // Phys. Rev. B. - 2005. - V.71. - P.180401(R).

[36] Cugliandolo L.F., Kurchan J. On the out-of-equilibrium relaxation of the Sherrington-Kirkpatrick model. //J. Phys. A: Math. Gen. 1994. - V.27. - P.5749.

[37] Cugliandolo L.F., Kurchan J. Recent theories of glasses as out of equilibrium systems. // Phil. Mag. B. - 1995. - V.71. - P.501.

[38] Cugliandolo L.F., Kurchan J., Peliti L. Energy flow, partial equilibration, and effective temperatures in systems with slow dynamics. // Phys. Rev. E. - 1997. - V.55. - P.3898.

[39] Berthier L., Holdsworth P.C.W., Sellitto M. Nonequlibrium critical dynamics of the two-dimensional XY-model. //J. Phys. A. - 2001. -V.34. - P.1805.

[40] Calabrese P., Gambassi A. Aging in ferromagnetic systems at criticality near four dimensions. // Phys. Rev. E. - 2002. - V.65. - P.066120.

[41] Lei X.W., Zheng B. Short-time critical dynamics and ageing phenomena in two-dimensional XY model. // Phys. Rev. E. - 2007. - V.75. -P.040104.

[42] Struik L.C.E. Physical Aging in Amorphous Polymers and Other Materials. // Amsterdam: Elsevier, 1978

[43] Harris A.B. Effect of random defects on the critical behavior of Ising models. // J. Phys. C. - 1974. - V.7. - №6. - P.1671-1692.

[44] Berche В., Farinas-Sanchez A. I., Holovatch Yu., Paredes R. Influence of quenched dilution on the quasi-long-range ordered phase of the 2d XY model. // Eur. Phys. J. B. - 2003. - V.36. - P.91.

[45] Kapikranian 0., Berche В., Holovatch Yu. The 2D XY model on a finite lattice with structural disorder: quasi-long-range ordering under realistic conditions. // Eur. Phys. J. B. - 2007. - V.56. - P.93-105.

[46] Kapikranian O., Berche В., Holovatch Yu. Perturbation expansion for the diluted two-dimensional XY model. // Phys. Lett. A. - 2007. - V.366. -P. 150-154.

[47] Прудников В.В., Алексеев С.В. Численное исследование неравновесного поведения двумерной XY-модели в низкотемпературной области. // Вестник Омского госуниверситета. - 2006. вып. 4. - с.27-30.

[48] Прудников В.В., Прудников П.В., Алексеев С.В. Исследование температурной зависимости поперечной жесткости системы в двумерной XY-модели. // Вестник Омского госуниверситета. - 2010. - вып. 2. -с.83-86.

[49] Прудников В.В., Прудников П.В., Алексеев С.В. Исследование эффектов старения в двумерной XY-модели. // Вестник Омского госуниверситета. - 2010. - вып. 2. - с.55-58.

[50] Прудников В.В., Прудников П.В., Алексеев С.В. Исследование влияния дефектов структуры на динамику двумерной XY-модели в низкотемпературной фазе. // Вестник Омского госуниверситета. - 2010. - вып. 4. - с.76-81.

[51] Алексеев C.B. Исследование эффектов старения в двумерной XY-модели. // Сборник статей XXXIV региональной научно-практической конференции "Молодежь III тысячелетия". - Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та, 2010. - с. 66-69.

[52] Прудников В.В., Прудников П.В., Попов И.С., Алексеев C.B. Исследование эффектов старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в двумерной XY-модели при моделировании из начального состояния с малым значением намагниченности. // Вестник Омского госуниверситета. - 2011. - Вып. 4. - С.55-60.

[53] Прудников П.В., Прудников В.В., Попов И.С., Алексеев C.B. Исследования эффектов старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в двумерной XY-модели методами Монте-Карло. // Труды семинара "Вычислительные технологии в естественных науках. Вычислительная физика: алгоритмы, методы и результаты". Под ред. P.P. Назирова, JI.H. Щура. - М.: Изд-во "Ротапринт ИКИ РАН 2012. - С. 161-185. [Труды ИКИ РАН. Серия "Механика, управление и информатика". Вып. 6.] .

[54] Алексеев C.B. Исследование эффектов старения в неупорядоченной двумерной XY-модели. // Сборник статей XXXV региональной научно-практической конференции "Молодежь III тысячелетия". -Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та, 2011. - с. 53-56.

[55] Alekseyev S.V., Prudnikov P.V., Prudnikov V.V. Ageing phenomena in two-dimensional XY-model. // Book of abstracts: Moscow International

Symposium on Magnetism, August 21-15, 2011 - M.: МАКС Пресс, 2011.

- 944 с. (на англ. яз.). - с.450-451.

[56] Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов. // ЖЭТФ. - 1937. - Т.7.

- №. - С.19.

[57] Доценко B.C. Критические явления в спиновых системах с беспорядком. // УФН. - 1995. - Т.165. - №5. - С.481-528.

[58] Kadanoff L.P. Scaling Laws for Ising Models Near Tc. // Physics. - 1966.

- V.2. - P.263.

[59] Березинский В.Л. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии. //ЖЭТФ. -1970. - Т.59. - С.907.

[60] Березинский В.Л. Низкотемпературные свойства двумерных систем с непрерывной группой симметрии. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 232 с.

[61] Stanley H.Е., Kaplan Т.A. Possibility of a Phase Transition for the Two-Dimensional Heisenberg Model. // Phys. Rev. Lett. - 1966. - V.17. -P.913-915.

[62] Ландау Л.Д. // Phys. Z. der Sowietunion. - 1937. - V.2. - P.36.

[63] Peierls R.E. Quelques propriétés typiques des corps solides. // Ann. Inst. Henri Poincare. - 1935. - V.5. - P.177-222.

[64] Hohenberg P. Existence of Long-Range Order in One and Two Dimensions. // Phys. Rev. - 1967. - V.158. - P.383-386.

[65] Березинский B.J1. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии. // ЖЭТФ. -1971.-Т.61.-С.1251.

[66] Mermin N.D., Wagner Н. Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models. //Phys. Rev. Lett. - 1966. - V.17. - P.1133-1136.

[67] Bramwell S.T., Holdsworth P.C.W. Magnetization and universal sub-critical behaviour in two-dimensional XY magnets. //J. Phys. Condens. Matter. - 1993. - V.5. - P.53.

[68] Kosterlitz L.M., Thouless D.J. Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems. //J.Phys.C. - 1973. - V.6. -P.1181.

[69] Kosterlitz J.M. The critical properties of the two-dimensional XY model. // J. Phys. C.: Solid State Phys. - 1974. - V.7. - P.1046-1060.

[70] Nelson D.R., Kosterlitz J.M. Universal Jump in the Superfluid Density of Two-Dimensional Superfluids. // Phys. Rev. Lett. - 1977. - V.39 -P.1201-1205.

[71] Bishop D.J., Reppy J.D. Study of the Superfluid Transition in Two-Dimensional 4He films. // Phys. Rev. Lett. - 1978. - V.40 - P.783.

[72] Wegner F. Spin-Ordering in a Planar Classical Heisenberg Model. // Z. Phys. - 1967. - V.206. - P.465.

[73] Изюмов Ю.А., Скрябин Ю.Н. Статистическая механика магнитоупо-рядоченных систем. - М.: Наука, 1987.

[74] Kenna R. Homotopy in statistical physics. // Condensed Matter Phys. -2006. - V.9. - P.283.

[75] Zheng B., Ren F., Ren H. Corrections to scaling in two-dimensional dynamic XY and fully frustrated XY models. // Phys.Rev.E - 2003.-V.68 - P.046120

[76] Zheng B. Monte Carlo simulations and numerical solutions of short-time critical dynamics. // Physica, A. - 2000. - V.283. - P.80-85.

[77] Ying H.P., Zheng B., Yu Y., Trimper S. Corrections to scaling for the two-dimensional dynamic XY model. //Phys. Rev. E. - 2001.- V.63

[78] Gupta R., Baillie C.F. Critical behavior of the two-dimensional XY model. // Phys. Rev. B. - 1992. - V.45. - P.2883-2898,

[79] Tomita Y., Okabe Y. Probability-changing cluster algorithm for two-dimensional XY and clock models. // Phys. Rev. B. - 2002. - V.65.

- P. 184405.

[80] Luo H.J., Zheng B. Critical relaxation and critical exponents. // Mod. Phys. Lett. B. - 1997. - V.ll. - P.615-623.

[81] Kogut J.B. An introduction to lattice gauge theory and spin systems. // Rev. Modern Psys. - 1979. - V.51. - P.659-713.

[82] Stauffer D. Violation of dynamical scaling for randomly dilute Ising ferro-magnets near percolation threshold. // Phys. Rev. Lett. - 1975. - V.35.

- №6. - P.394-397.

[83] Nikolaou M., Wallin M., Weber H. Critical Scaling Properties at the Superfluid Transition of 4He in Aerogel. // Phys. Rev. Lett. - 2006. -V.97. - P.225702.

[84] Stauffer D. Scaling theory of percolation clusters. // Physics Reports. -1979. - V.54. - Ж. - P. 1-78.

[85] Stauffer D. Introduction to percolation theory. London: Taylor & Fransis, 1985. - 294 p.

[86] Stinchcombe R.B. Dilute magnetism. Phase transitions and critical phenomena, ed. Domb C. and Lebowitz J.L. // New York: Acad. Press., 1983. - V.7. - P.151-191.

[87] Fisher M.E. Renormalization of critical exponent by hidden variables. // Phys. Rev. - 1968. - V.176. - №1. - P.257-272.

[88] Дороговцев C.H. Критические свойства магнетиков с дислокациями и точечными примесями. // ЖЭТФ. - 1981. - В.80. - №5. - С.2053-2067.

[89] Weinrib A., Halperin B.I. Critical phenomena in systems with long-range-correlated quenched disorder. // Phys. Rev. B. - 1983. - V.27. - P.413-427.

[90] Boyanovsky D., Cardy J.L. Critical behavior of m-component magnets with correlated impurities. // Phys. Rev. B. - 1982. - V.26. - №1. -P. 154-170.

[91] Хмельницкий Д.Е. Фазовый переход второго рода в неоднородных телах. // ЖЭТФ. - 1975. - В.68. - №5. - С.1960-1968.

[92] Lubensky T. C. Critical properties of random-spin models from of the e-expansion. // Phys. Rev. B. - 1975. - V.ll. - №9. - P.3573-3580.

[93] Birgeneau R.I., Cowley R.A., Shirane G., Yoshizawa H., Belanger D.P., King A.R., Jaccarino V. Critical behaviour of site-diluted three dimensional Ising magnet. // Phys. Rev. B. - 1983. - V.27. - №.12. -P.6747-6757.

[94] Thurston T.R., Peter C.J., Birgeneau R.J., Horn P.M. Critical behaviour of site-diluted three dimensional Ising magnet. // Phys. Rev. B. - 1988. - V.37. - P.9559-9563.

[95] Henkel M., Pleimling M. Non-Equilibrium Phase Transitions. Volume 2: Ageing and Dynamical Scaling Far from Equilibrium. - Dordrecht, Springer, 2010.

[96] Stoimenov S. Physical ageing in plastics and other glassy materials. // Polymer Engineering and Science. - 1977. - V.17. - P. 165.

[97] Angell C.A. Formation of glasses from liquids and biopolymers. // Science. - 1995. - V.267. - P.1924.

[98] Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J.-P., Cugliandolo L.F. Slow dynamics and ageing in spin glasses. In M. Rubi, editor, Complex behaviour of glassy systems, Lecture Notes in Physics 492, Heidelberg, 1997. Springer.

[99] Vincent E. Ageing, rejuvenation and memory: the example of spin-glasses. In M. Henkel, M. Pleimling, R. Sanctuary, editors, Ageing and the glass transition, Lecture Notes in Physics 716, Heidelberg, 2007. Springer.

[100] Dupuis V., Bert F., Bouchaud J.-P., Hammann J., Ladieu F., Parker D., Vincent E. Ageing, rejuvenation and memory phenomena in spin glasses. // Pramana Journal of Physics. - 2005. - V.64. - P. 1109.

[101] Ocio M., Alba M., Hammann J. Time scaling of the ageing process in spin-glasses: a study in CeNiFeF6. //J. Physique Lett. - 1985. - V.46. -P.1101.

[102] Parker D., Ladieu F., Hammann J., Vincent E. Effect of cooling rate on ageing in spin glasses. // Phys. Rev. - 2006. - V.74. - P. 184432.

[103] Héerisson D., Ocio M. Fluctuation-dissipation ratio of a spin glas in the ageing regime. // Phys. Rev. Lett. - 2002. - V.88. - P.257202.

[104] Hérisson D., Ocio M. Off-equilibrium fluctuation-dissipation relation in a spin glass. // Eur. Phys. J. - 2004. - V.40. - P.283.

[105] Rodriguez G.F., Kenning G.G., Orbach R. Full ageing in spin glasses. // Phys. Rev. Lett. - 2003. - V.91. - P.037203.

[106] Krzakala F. Glassy properties of the Kawasaki dynamics of two-dimensional ferromagnets. // Phys. Rev. Lett. - 2005. - V.94. - P.077204.

[107] Crisanti A., Ritort F. Violations of the fluctuation-dissipation theorem in glassy systems: basic notions and the numerical evidence. //J. Phys. A. - 2003. - V.36. - R.181.

[108] Franz S., Mezard M., Parisi G., Peliti L. The response of glassy systems to random perturbations: A bridge between equilibrium and off-equilibrium. // J. Stat. Phys. - 1999. - V.97. - P.459.

[109] Prudnikov V.V.,Teitelbaum G.B. Non-universal dynamic scaling in two-dimensional degenerate systems. // Phys.Lett.A. - 1977.- V.63. - P.l-3

[110] Прудников В. В., Вакилов А. Н., Марков О. Н. Компьютерное моделирование фазовых переходов в однородных и неупорядоченных системах.- Омск: ОмГУ, 2001. - 85 с.

[111] Zheng В., Schulz М. and Trimper S. Deterministic equations of motion and dynamic critical phenomena. //Phys. Rev. Lett. - 1999. - V.82. -P.1891-1894.

[112] Binder K., Landay D.P. Critical properties of the two-dimensional anisotropic Heisenberg model. // Phys.Rev.B. - 1976. - V.13. - P.1140.

[113] Okano K., Schulke L., Yamagishi K., Zheng B. Universality and scaling in short-time critical dynamics. // Nucl. Phys. B. - 1997. - V.485. -P.727.

[114] Hohenberg P.C., Halperin B.I. Theory of dynamic critical phenomena. //Reviews of Modern Physics. - 1977. - V.49. - N.3. - P.435-479

[115] Metropolis N., Rosenbluth A.W., Rosenbluth M.N., Teller A.H., Teller E. // J. Chem. Phys. - 1953. - V.21. - P.1087.

[116] Kawasaki K. Diffusion Constants near the Critical Point for Time-Dependent Ising Models. // Phys. Rev. - 1966. - V.145. - P.224-230.

[117] Newman M.E.J., Barkema G.T. Monte Carlo methods in statistical physics. - Clarendon Press, Oxford. - 1999.

[118] Kubo R. The fluctuation-dissipation theorem. // Rep. Prog. Phys. -1966. - V.29. - P.255.

[119] Palma G., Meyer T., Labbe R. Finite size scaling in the 2D XY-model and generalized universality. // Phys. Rev. E. - 2002. - V.66. - P.026108.

[120] Binder K., Luijten E. Monte Carlo tests of renormalization-group predictions for critical phenomena in Ising models. // Phys. Reports.

- 2001. — V. 344. — P.179-253.

[121] Berche B., Farinas Sanchez A.I., Paredes R. Correlations in the low-temperature phase of the two-dimensional XY model. // Europhys. Lett.

- 2002. - V.60. - P.539-545.

[122] Berche B. Bulk and surface properties in the critical phase of the two-dimensional XY model. //J. Phys. A. Math. Gen. - 2003. - V.36. -P.585.

[123] Mondaini L., Marino E.C. Sine-Gordon/Coulomb-gas soliton correlation functions and an exact evaluation of the Kosterlitz-Thouless critical exponent. // J. Stat. Phys. - 1995. - V.118. - P.767.

[124] Pereira A.R., Mol L.A.S., Leonel S.A., Coura P.Z., Costa B.V. Vortex behavior near a spin vacancy in 2D XY-magnets. //. Phys. Rev. B. -2003. - V.68. - P.132409.

[125] Mol L.A.S., Pereira A.R., Pires A.S.T. Planar vortex in two-dimensional XY ferromagnets with a nonmagnetic impurity potential. // Phys. Rev. B. - 2002. - V.66. - P.052415.

[126] Leonel S.A., Coura P.Z., Pereira A.R., Mol L.A.S., Costa B.V. Monte Carlo study of the critical temperature for the planar rotator model with nonmagnetic impurities. // Phys. Rev. B. - 2003. - V.67. - P.104426.

[127] Tomita Y., Okabe Y. Finite-size Scaling of Correlation Ratio and Generalized Scheme for the Probability-Changing Cluster Algorithm. // Phys.Rev. B. - 2002. - V.66. - P.180401.