Численное исследование влияния дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение спиновых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Колесников, Вячеслав Юрьевич

• Колесников, Вячеслав Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колесников, Вячеслав Юрьевич

Введение.

Глава 1 Обзор методов исследования критического поведения спиновых систем с дальнодействующей корреляцией дефектов.

1.1 Основные представления теоретического описания критического поведения спиновых систем.

1.1.1 Фазовые переходы второго рода и критические явления.

1.1.2 Критические индексы.'.

1.1.3 Масштабная инвариантность и скейлинг.

1.1.4 Теоретическое описание неупорядоченных спиновых систем.

1.2 Результаты ренормгрупповых исследований влияния дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение спиновых систем.

1.3 Результаты компьютерного моделирования спиновых систем с дальней пространственной корреляцией дефектов.

Глава 2 Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной ферромагнитной модели Изинга с линейными дефектами в области слабой неупорядоченности.

2.1 Введение.

2.2 Модель и методы моделирования.

2.2.1 Метод коротковременной динамики.

2.2.2 Метод кумулянтов Биндера.

2.2.3 Особенности алгоритмов и анализа результатов моделирования структурно неупорядоченных систем.

2.3 Критическая коротко временная динамика трехмерной модели Изинга с линейными дефектами со спиновой концентрацией р=0.8.

2.3.1 Критическая релаксация из полностью упорядоченного начального состояния.

2.3.2 Критическая эволюция из начальных неупорядоченных состояний.

2.4 Расчет критических характеристик в состоянии равновесия.

2.5 Анализ результатов и выводы.

Глава 3 Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной ферромагнитной XY-модели с линейными дефектами в области слабой неупорядоченности.

3.1 Введение.

3.2 Модель и методы моделирования.

3.3 Критическая коротковременная динамика трехмерной XY-модели с линейными дефектами со спиновой концентрацией р=0.8.

3.3.1 Критическая релаксация из полностью упорядоченного начального состояния.

3.3.2 Критическая эволюция из начальных неупорядоченных состояний.

3.4 Итоговые результаты компьютерного моделирования.

3.5 Анализ результатов и выводы.

Глава 4 Компьютерное моделирование критической динамики сильно неупорядоченных систем с линейными дефектами.

4.1 Введение.

4.2 Критическая коротковременная динамика трехмерной модели Изинга с линейными дефектами со спиновой концентрацией р=0.6.

4.2.1 Критическая релаксация из полностью упорядоченного начального состояния.

4.2.2 Критическая эволюция из начальных неупорядоченных состояний.

4.3 Критическая коротковременная динамика трехмерной XY-модели с линейными дефектами со спиновой концентрацией р=0.6.

4.3.1 Критическая релаксация из полностью упорядоченного начального состояния.

4.3.2 Критическая эволюция из начальных неупорядоченных состояний.

4.4 Анализ результатов и выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование влияния дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение спиновых систем»

В природе можно наблюдать большое разнообразие критических явлений и систем, испытывающих фазовые превращения. Кроме того, существуют синтезируемые в научно-исследовательских лабораториях различные материалы, обычно не встречающиеся в природе, но обладающие рядом интересных для практического использования структурных и физических характеристик. Как правило, эти необычные свойства приобретаются материалами при осуществлении в них фазовых переходов. Примером могут служить соединения, характеризующиеся высокотемпературной сверхпроводимостью. Поэтому изучение фазовых переходов и критических явлений в различных материалах имеет большой теоретический и практический интерес и является одной из наиболее сложных и неизменно актуальных задач статистической теории [1-9]. Наблюдаемые по мере приближения к точке фазового перехода аномально большие и долгоживущие флуктуации некоторых термодинамических переменных характеризуются эффективно сильным взаимодействием между собой. К настоящему времени для теоретического анализа поведения систем в критической области разработаны сложные методы ренормгруппо-вого и теоретико-полевого описания [2, 9-12]. Но эти исследования, в основном, связаны с упрощенным теоретическим описанием модельных систем Изинга, Гейзенберга и др. Многим реальным материалам присущи такие усложняющие теоретическое описание особенности, как анизотропия, наличие дефектов структуры, существование многоспинового обмена, диполь-дипольного взаимодействия, учет колебаний решетки и др. [5]. Строгое описание таких систем методами теоретической физики — задача чрезвычайно сложная. К тому же при таком описании, как и в случае других систем с сильным взаимодействием, неизбежно используются приближения. Поэтому данные теоретические методы исследования требуют своего обоснования путем сопоставления достигнутых результатов с результатами физического или компьютерного эксперимента.

Эти и некоторые другие факторы привели к тому, что в исследовании фазовых переходов и критических явлений сильно возросла роль численных экспериментов, в которых интенсивно используются методы Монте-Карло [14, 15]. Они были хорошо апробированы на большинстве модельных систем [16-22]. Результаты, полученные с помощью компьютерного моделирования, не уступают по точности другим экспериментальным и теоретическим методам, а иногда и превосходят их [23, 24]. Именно задачи фазовых переходов и критических явлений являются той областью, в которой компьютерный эксперимент становится альтернативой реальному физическому эксперименту. А зачастую, например, при описании свойств сильно неупорядоченных систем, это единственно возможный способ получения достоверной информации, поскольку описание ренормгрупповыми методами критического поведения структурно неупорядоченных систем оказывается справедливым лишь в области малых концентраций дефектов. Компьютерное моделирование критических явлений дает возможность получения наглядной информации о росте флуктуаций намагниченности и критическом замедлении процессов релаксации в магнетиках по мере приближения к температуре фазового перехода, о проявлении аномальных свойств в поведении теплоемкости и магнитной восприимчивости [25-27]. Для получения подобной информации из физического эксперимента потребовалось бы привлечение больших технических и финансовых средств, в то время как для осуществления компьютерного моделирования применяются суперкомпьютеры и кластерные вычислительные системы, непрерывно совершенствуемые год от года, и становящиеся все более доступными для исследователей.

В большинстве работ, посвященных изучению структурно неупорядоченных спиновых систем, исследование ограничивается рассмотрением низкой концентрации примесей, что позволяет считать дефекты структуры и создаваемые ими случайные поля гауссовски распределенными и пространственно некоррелированными (случай S -коррелированных или точечных дефектов [28]). Однако согласно критерию Харриса [29], такие дефекты влияют лишь на критическое поведение систем, характеризуемых однокомпонент-ным параметром порядка (сильно анизотропные одноосные (изингоподоб-ные) магнетики). А для неупорядоченных систем с параметром порядка, имеющим более одной компоненты (XY-магнетики, гейзенберговские магнетики), точечные дефекты не оказывают существенного влияния на универсальные характеристики их критического поведения. Однако можно поставить вопрос о влиянии на критическое поведение эффектов корреляции дефектов, который значительно менее изучен. Этой же области исследований принадлежит и проблема влияния на критическое поведение протяженных дефектов (таких как дислокации, границы зерен и т.д.). Можно ожидать, что дальнодействующая корреляция в пространственном распределении дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем. Так, в реальных кристаллах при введении атома примеси вокруг него образуется поле структурных напряжений, посредством которых он как бы притягивает соседние примесные атомы. Это подтверждают эксперименты по рассеянию нейтронов и рентгеновского излучения в различных системах, находящихся вблизи критических точек. В работах [4, 5] показывается, что интенсивность отраженного пучка представляет собой суперпозицию двух конкурирующих составляющих, одна из которых зависит от корреляционной функции спинов и близка к теоретически предсказанной для данного материала, а другая определяется неупорядоченностью системы и зависит от пространственного распределения атомов примеси. Наличие второй составляющей можно объяснить тем, что дефекты, возникающие в кристалле, представляют собой устойчивые структуры — дислокации примесей, которые уже не образуют систему случайно распределенных точечных атомов (не являются S -коррелированными), а характеризуются квазидальним порядком. В силу этого, к моделям систем с дальнодействующей корреляцией дефектов существует несомненный интерес как с общетеоретической точки зрения выявления новых типов критического поведения в неупорядоченных системах, так и с точки зрения реальной возможности проявления дальнодействующей корреляции дефектов в ориентационных стеклах [30], полимерах [31] и неупорядоченных твердых телах с дефектами фракталоподобного типа [32].

Модель изотропной неупорядоченной системы с дальнодействующей корреляцией дефектов была предложена А. Вейнрибом и Б.И. Гальпериным в работе [33], где в рамках применения ренормгруппового подхода и метода £-разложения был получен критерий существенности влияния дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение систем (расширенный критерий Харриса). Показано, что дефекты, обладающие свойством дальней пространственной корреляции, могут при определенных условиях изменять критическое поведение не только систем с однокомпонентным параметром порядка (модель Изинга), но и систем с двухкомпонентным (XY-модель) и трехкомпонентным (гейзенберговская модель) параметром порядка. В работе [34] было осуществлено теоретико-полевое описание критического поведения непосредственно трехмерных систем (без использования метода е-разложения) с дальнодействующей изотропной корреляцией дефектов в двухпетлевом приближении с последовательным применением для анализа рядов разложения методов суммирования и проведен расчет динамического и статических критических индексов для систем с различным числом компонент параметра порядка и различными значениями параметра корреляции. Было выявлено значительное отличие характеристик критического поведения систем с дальнодействующей корреляцией от аналогичных характеристик для однородных систем и систем с некоррелированными дефектами. Также удалось установить, что получающаяся картина областей устойчивости различных типов критического поведения для значений параметра корреляции, изменяющихся в интервале 2<а<3, существенно отличается от предсказываемых в работе [33].

Поэтому в диссертационной работе ставились следующие цели исследования: проверка предсказаний работы [34] с помощью численного эксперимента для систем, характеризуемых малыми концентрациями дефектов структуры, и расширение представлений теории о критическом поведении структурно неупорядоченных систем с эффектами дальнодействующей корреляции дефектов в область высокой концентрации дефектов, недоступной для аналитического ренормгруппового описания. Для этого было осуществлено численное описание методами Монте-Карло критического поведения систем с примесями немагнитных атомов в виде случайно распределенных линий (что соответствует параметру корреляции а = 2), т.е. с дефектами, обладающими квазидальним порядком. Исследовались структурно неупорядоченные трехмерные ферромагнитные модели Изинга и XY как в области низкой концентрации дефектов (со спиновой концентрацией /> = 0.80), так и в области их высокой концентрации с р = 0.60.

Существует ряд принципиальных трудностей, возникающих при моделировании критического поведения систем взаимодействующих частиц методом Монте-Карло. Они связаны, в основном, с явлением критического замедления, характеризующимся тем, что время релаксации системы, как и время корреляции состояний, неограниченно растут по мере приближения к критической температуре. При этом предсказываемый степенной характер их асимптотической зависимости от приведенной температуры определяется динамическим критическим индексом г. Для структурно неупорядоченных систем эта проблема еще более существенна, так как их неравновесное кри-- тическое поведение определяется индексом г, принимающим большие значения, чем для систем без дефектов [35]. Для уменьшения эффектов влияния критического замедления применяют кластерные алгоритмы Сведсена-Ванга [36] или Вольфа [37], но эти алгоритмы столь существенно меняют динамику системы, что для получения информации о характеристиках критической динамики их применять нельзя. В связи с этим в диссертационной работе был применен метод коротковременной динамики (МКД) для получения значений как динамического, так и статических критических индексов. Метод был обоснован результатами аналитических и численных исследований, проведенных в работах [38, 39]. Особенностью МКД является то, что информация об универсальном критическом поведении может быть получена на относительно малых макроскопических промежутках времени (от 1000 до 2000 шагов Монте-Карло на спин (MCS/s)) на ранней стадии развития системы в критической точке или ее окрестности. А значит время релаксации системы, как и время корреляции состояний, на этом этапе не успеют стать аномально большими. Поэтому в МКД не возникает проблемы критического замедления. В последние годы МКД был применен к исследованию критического поведения широкого ряда систем (см., например, обзор [40]), при этом получаемые результаты находятся в хорошем соответствии с результатами применения традиционных методов Монте-Карло.

Исследования показывают [41, 42], что МКД применительно к структурно неупорядоченным системам имеет некоторые особенности. Так, для слабо неупорядоченных моделей на малых временах эволюции системы (около 100 - 400 MCS/s) имеет место явление кроссовера от критического поведения, соответствующего однородной системе, к поведению систем со структурным беспорядком. Т.е. можно выделить несколько этапов динамического развития систем. Это приводит к усложнению анализа данных моделирования. Тем не менее, сравнение результатов, полученных с помощью МКД, с результатами применения традиционных равновесных методов Монте-Карло [42] показало хорошее согласие получаемых значений статических критических индексов. Это дает основание для применения метода коротко-временной динамики к исследованию критических динамических характеристик сильно неупорядоченных систем.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Колесников, Вячеслав Юрьевич

Заключение

В диссертационной работе методами компьютерного моделирования было осуществлено исследование влияния эффектов дальней пространственной корреляции немагнитных атомов примеси, распределенных в образцах в виде линейных дефектов структуры, на критическое поведение трехмерных ферромагнитных модельных спиновых систем.

Основными результатами работы являются следующие:

1. Осуществлено компьютерное моделирование равновесного критического поведения трехмерной слабо неупорядоченной (p = 0.S) ферромагнитной модели Изинга с линейными дефектами. Получены значения набора статических критических индексов а, Р, у и v модели, индекс асимптотической поправки к скейлингу а, а также значение критической температуры Тс модели.

2. Впервые для исследования влияния структурного беспорядка с дальней пространственной корреляцией дефектов на критическое поведение спиновых систем был применен метод коротковременной динамики. В результате численного исследовании критической релаксации для слабо неупорядоченной (р = 0.8) трехмерной модели Изинга с линейными дефектами были определены значения совокупности динамических и статических критических индексов при применении методики учета поправок к скейлингу. Полученные значения критических индексов находятся в хорошем согласии с результатами теоретико-полевого описания и результатами проведенного моделирования равновесного критического поведения модели. Сделан вывод, что метод коротковременной динамики может служить надежной альтернативой традиционным методам Монте-Карло не только при численных исследованиях однородных систем, но и систем со структурным беспорядком, обеспечивая при меньших машинных затратах получение более полной информации о критическом поведении структурно неупорядоченных систем.

3. Впервые методом коротковременной динамики осуществлено численное исследование неравновесного критического поведения трехмерной слабо неупорядоченной (/> = 0.8) ферромагнитной XY-модели с линейными дефектами. Определены значения совокупности динамических и статических критических индексов при применении методики учета поправок к скейлингу. Полученные значения критических индексов находятся в хорошем согласии с результатами теоретико-полевого описания. На примере исследования XY-модели впервые получено численное подтверждение о существенности влияния дальней пространственной корреляции дефектов на критическое поведение систем с многокомпонентным параметром порядка.

4. В отличие от результатов исследования неравновесного критического поведения однородных систем впервые выявлено наличие нескольких этапов динамического развития в эволюции слабо неупорядоченных систем после микроскопического временного масштаба: области с характеристиками однородной системы, кроссоверной области и области, характеризующейся влиянием структурного беспорядка.

5. Впервые осуществлено компьютерное моделирование неравновесной критической динамики трехмерных сильно неупорядоченных ферромагнитных модели Изинга и XY-модели с дальнодействующей корреляцией дефектов (спиновая концентрация р- 0 6) в коротковременном режиме. Полученные значения критических индексов позволяют сделать вывод о существовании различных классов универсального критического поведения для рассматриваемых систем, отвечающих областям слабой и сильной структурной неупорядоченности.

Полученные результаты подтверждают факт влияния дальней пространственной корреляции дефектов на критическое поведение спиновых систем с одно- и двухкомпонентным параметром порядка, а также вносят существенный вклад в развитие численных методов применительно к неупорядоченным спиновым системам, а также дают обоснование и развитие представлений теории критических явлений неупорядоченных систем, являются отправной точкой для последующих исследований в данной области теоретической и вычислительной физики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колесников, Вячеслав Юрьевич, 2009 год

1. Брус А., Каули Р. Структурные фазовые переходы. М.: Мир, 1984. 408 с.

2. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е-разложение. М.: Мир, 1975.-256 с; УФН. 1985. Т. 146. №3. С. 459-491.

3. Изюмов Ю.А., Сыромятников В.И. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. М.: Наука, 1984. 248 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 3-е изд. М.: Наука, 1976.-584 с.

5. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980. — 298 с.

6. Паташинский А. 3., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982 383 с.

7. Райдер Л. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987. 512 с.

8. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М.: Мир, 1973. — 342 с.

9. Amit D. Field theory the renormalization group and critical phenomena. New York: Acad.press.: McGraw-Hill, 1978. 333 p.

10. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford: Clarendon Press, 1996,- 1008 p.

11. Domb C.M., Green M. Phase Transitions and Critical Phenomena: Series Expansion for Lattice Models, Vol. 3. New York: Academic Press, 1974. 693 P

12. Domb C., Lebowitz J.L. Phase transitions and critical phenomena, Vol. 20. New York: Academic Press, 2001. 201 p.

13. Fisher M.E. The renormalization group and the theory of critical behavior 11 Rev. Mod. Phys. 1974. V. 46. № 4. P. 597-616.

14. Биндер К. Методы Монте-Карло в статистической физике. М.: Мир, 1982.-426 с.

15. Гулд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: В 2 ч. М.: Мир, 1992. 4.2.-400 с.

16. Камилов И. К., Муртазаев А. К., Алиев X. К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло // УФН. 1999. Т. 169. №7. С.773-795.

17. Прудников В. В., Вакилов А. Н., Марков О. Н. Компьютерное моделирование фазовых переходов в однородных и неупорядоченных системах. Омск: ОмГУ, 2001.-85 с.

18. Прудников В. В., Вакилов А. Н., Прудников П. В. Фазовые переходы и методы их компьютерного моделирования. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009.-224 с.

19. Selke W. and Shchur L.N. Critical Binder cumulant in two-dimensional anisotropic Ising models // J. Phys. A. 2005. V. 38. L739-L744.

20. Shchur L.N., Berche В., Butera P. High-precision determination of universal . amplitude ratios for the q=3 Potts model in 2d // Phys. Rev. B. 2008. V. 77. P.144410.

21. Аплеснин C.C. Исследование магнитных свойств слабовзаимодейст-вующих антиферромагнитных цепочек с альтернированным обменным взаимодействием со спином S=l/2 при помощи квантового метода Монте-Карло // ЖЭТФ. 2000. Т. 117. С. 218-226.

22. Аплеснин С.С. Неадиабатическое взаимодействие акустических фоно-нов со спинами S=l/2 в двумерной модели Гейзенберга // ЖЭТФ. 2003. Т. 124. С. 1080-1089.

23. Mouritsen O.G. Computer studies of phase transitions and critical phenomena. Berlin; Heidelberg: Springer, 1984. 329 p.

24. Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 1994. V. 205. № 1-3. P. 41.

25. Selke W., Shchur L.N. and Vasilyev O.A. Specific heat of two-dimensional diluted magnets // Physica A. 1998. V. 259. pp. 388-396.

26. Васильев O.A., Щур Л.Н. Универсальность отношения критических амплитуд восприимчивости двумерной модели Изинга с немагнитными примесями//ЖЭТФ. 2000. Т. 117. С. 1110-1121.

27. Shchur L.N. and Vasilyev O.A. The critical amplitude ratio of the susceptibility in the random-site two-dimensional Ising model // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. P. 016107.

28. Хмельницкий Д.Е. Фазовый переход второго рода в неоднородных телах //ЖЭТФ. 1975. Т. 68. № 5. с. 1960-1968.

29. Harris А.В. Effect of random defects on the critical behavior of Ising models // J. Phys. С 1974. V. 7. № 6. P. 1671-1692.

30. Binder K., Reger J.D. Theory of orientational glasses. Models, concepts, simulations // Advances in Physics. 1992 V. 41. P. 547-627.

31. Blavats'ka V., von Ferber C., Holovatch Yu. Polymers in long-range-correlated disorder // Phys. Rev. B. 2001. V. 64. P. 041102.

32. Korzhenevskii A.L., Luzhkov A.A., Schirmacher W. Critical behavior of crystals with long-range correlations caused by point defects with degenerate internal degrees of freedom // Phys. Rev. B. 1994. V. 50. № 6. P. 3661-3666.

33. Weinrib A., Halperin B.I. Critical phenomena in systems with long-range-correlated quenched disorder // Phys. Rev. B. 1983. V. 27. P. 413^127.

34. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V. and Fedorenko A. A. Field-theory approach to critical behavior of systems with long-range correlated defects // Phys. Rev. B. 2000. V.62. P.8777-8786.

35. Oerding K. The dynamic critical exponent of dilute and pure Ising systems // J. Phys. A. 1995. V. 28. P. L639-L643.

36. Swendsen R.H., Wang J.-S. Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations //Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 86.

37. Wolf U. Collective Monte Carlo Updating for Spin Systems // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 361.

38. Huse D. Remanent magnetization decay at the spin-glass critical point: A new dynamic critical exponent for nonequilibrium autocorrelations // Phys. Rev. B. 1989. V. 40. P. 304.

39. Janssen H. K., Schaub B. Schmittmann B. New universal short-time scaling behaviour of critical relaxation process // Z. Phys. В Condensed Matter. 1989. V.73.P.539-549.

40. Zheng B. Monte Carlo simulations of short-time critical dynamics // Int. J. Mod. Phys.-B. 1998. V. 12. P. 1419.

41. Zheng G.-P., Li M. Effect of disorder on critical short-time dynamics // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. P. 036130.

42. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Dorofeev S.V., Kolesnikov V.Yu. Monte Carlo studies of critical behaviour of systems with long-range correlated diso-der // Condensed Matter Physics, 2005. V. 8. P. 213-224.

43. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов // ЖЭТФ. 1937. Т. 7. № 1. С. 19.

44. Доценко B.C. Критические явления в спиновых системах с беспорядком //УФН. 1995. Т. 165. №5. С.481-528.

45. Kadanoff L.P. Scaling Laws for Ising Models Near Tc // Physics. 1966. V.2. P.263.

46. Stauffer D. Violation of dynamical scaling for randomly dilute Ising ferro-magnets near percolation'threshold // Phys. Rev. Lett. 1975. V. 35. № 6. P. 394-397.

47. Nikolaou M., Wallin M., Weber H. Critical Scaling Properties at the Super-fluid Transition of 4He in Aerogel // Phys. Rev. Lett. 2006. V. 97. P. 225702.

48. Stauffer D. Scaling theory of percolation clusters // Physics Reports. 1979. V. 54. № l.P. 1-78.

49. Stauffer D. Introduction to percolation theory. London: Taylor & Fransis, 1985.-294 p.

50. Stinchcombe R.B. Dilute magnetism. Phase transitions and critical phenomena, ed. Domb C. and Lebowitz J.L. New York: Acad. Press., 1983. V. 7. P. 151-191.

51. Fisher M.E. Renormalization of critical exponent by hidden variables // Phys. Rev. 1968. V. 176. № 1. P. 257-272.

52. Дороговцев C.H. Критические свойства магнетиков с дислокациями и точечными примесями // ЖЭТФ. 1981. Т. 80. № 5. С. 2053-2067.

53. Boyanovsky D., Cardy J.L. Critical behavior of m-component magnets with correlated impurities // Phys. Rev. B. 1982. V. 26. № 1: P. 154-170.

54. Lubensky Т. C. Critical properties of random-spin models from of the e-expansion // Phys. Rev. B. 1975. V. 11. № 9. P. 3573-3580.

55. Birgeneau R.I., Cowley R.A., Shirane G., Yoshizawa H., Belanger D.P., King A.R., Jaccarino V. Critical behaviour of site-diluted three dimensional Ising magnet // Phys. Rev. B. 1983 V. 27. № 12. P. 6747-6757.

56. Thurston T.R., Peter С.J., Birgeneau R.J., Horn P.M. Critical behaviour of site-diluted three dimensional Ising magnet // Phys. Rev. B. 1988. V. 37. P. 9559-9563.

57. Korzhenevskii A.L., Luzhkov A.A., Heuer H.-O. Critical behaviour of systems with longe-range correlated quenched defects // Europhys.Lett. 1995. V. 32. P. 19-24.

58. Ballesteros H. G., Parisi G. Site-diluted three dimensional Ising Model with long-range correlated disorder // Phys. Rev. B. 1999. V. 60. P. 12912.

59. Guida R., Zinn-Justin J. Critical exponents of the N-vector model // Journal of Physics. A. 1998. V. 31. P. 8103.

60. Jug G. Critical behaviour of disordered spin systems in two and three dimensions //Phys. Rev. B. 1983. V. 27. № 1. P. 607-612.

61. Mayer I. O. Critical exponents of the dilute Ising model from four-loop expansion // Journal of Physics. A. 1989. V. 22. P. 2815-2823.

62. Прудников B.B., Белим C.B., Иванов A.B., Осинцев Е.В., Федоренко А.А. Критическая динамика слабо неупорядоченных спиновых систем // ЖЭТФ. 1998. Т. 114. № 3. С. 972.

63. Прудников В.В., Прудников П.В., Федоренко А.А. Теоретико-полевое описание мультикритического поведения систем с двумя параметрами порядка// Письма в ЖЭТФ. 1998. Т. 68. № 12. С. 900.

64. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Zheng В., Dorofeev S.V., Kolesnikov V.Y. Short-time critical dynamics of systems with long-range correlated disorder //

65. Abstracts of The 3-rd International Workshop Hangzhou 2006 on Simula-tional Physics. 2006. P. 14.

66. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Zheng В., Dorofeev S.V., Kolesnikov V.Y. Short-time critical dynamics of the three-dimensional systems with long-range correlated disorder // E-print arXiv: cond-mat.diss-nn / 0709.0997. 2007. P. 1-24.

67. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Zheng В., Dorofeev S.V., Kolesnikov V.Y. Short-time critical dynamics of the three-dimensional systems with long-range correlated disorder // Progress of Theoretical Physics. 2007. V. 117. № 6. P. 973-991.

68. Lenz W. Beitrage zum Verstandnis der magnetischen Eigenschaften in festen Korpern // Physikalische Zeitschrift. 1920. V21. P. 613-615.

69. Ising E. Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus // Zeitschr. f. Physik. 1925. V. 31. P. 253-258.

70. Peierls R. On Ising's Model of Ferromagnetism // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1936. V. 32. P. 477-481.

71. Kramers H.A. and Wannier G.H. Statistics of the Two-Dimensional Ferro-■ magnet. Part I. // Phys. Rev. 1941. V. 60. P. 252-262.

72. Onsager L. A two-dimensional model with an order-disorder transition // Phys. Rev. 1944. V. 65. № 1. P. 117-149.

73. Oerding K., Janssen H.K. Non-equilibrium Critical Relaxation with Coupling to a Conserved Density // J. Phys. A: Math. Gen. 1993. V. 26. P. 3369.

74. Oerding К., Janssen H.K. Non-equilibrium Critical Relaxation with Reversible Mode Coupling // J. Phys. A: Math. Gen. 1993. V. 26. P. 5295.

75. Oerding K., Janssen H.K. Non-equilibrium Relaxation at a Tricritical Point // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. V. 27. P. 715.

76. Oerding K., Janssen H.K. Non-equilibrium Critical Relaxation in Dilute Ising systems // J. Phys. A: Math. Gen. 1995. V. 28. P. 4271.

77. Humayun K., Bray A. J. Non-equilibrium dynamics of the Ising model for T less-than/equal-to Tc // J- Phys. A: Math. Gen. 1991. V. 24. P. 1915.

78. Menyhard N. Domain-growth properties of a two-dimensional kinetic Ising model // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. V. 27. P. 663.

79. Stauffer D. Kinetics of clusters in Ising models // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. 1992. V. 186. P. 197.

80. Miinkel C., Heermann D.W., Adler J., Gofman M., Stauffer D. The dynamical critical exponent of the two-, three- and five-dimensional kinetic Ising model // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. 1993. V. 193. P. 540.

81. Ito N. Non-equilibrium relaxation and interface energy of the Ising model // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. 1993. V. 196. P. 591-600.

82. Li Z.B., Ritschel U. and Zheng B. Monte Carlo simulation of universal short-time behavior in critical relaxation // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. V. 27. pp. 837-842.

83. Schiilke L. and Zheng B. The short-time dynamics of the critical Potts model // Phys. Lett. A. 1995. V. 204. pp. 295-298.

84. Grassberger P. Damage spreading and critical exponents for "model A" Ising dynamics // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. 1995. V. 214. P. 547.

85. Zheng В., Schulz M. and Trimper S. Deterministic equations of motion and dynamic critical phenomena // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. pp. 1891-1894.

86. Zhang J.B., Wang L., Gu D.W., Ying H.P. and Ji D.R. Monte Carlo study of critical scaling and universality in non-equilibrium short-time dynamics // Phys. Lett. A. 1999. V. 262. pp. 226-233.

87. Zheng В., Schulz M. and Trimper S. Dynamic simulations of the Kosterlitz-Thouless phase transition // Phys. Rev. E. 1999. V. 59. pp. 1351-1354.

88. Bray A. J., Briant A. J. and Jervis D. K. Breakdown of Scaling in the Non-equilibrium Critical Dynamics of the Two-Dimensional XY Model // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. pp. 1503-1506.

89. Jensen L. M., Kim B. J. and Minnhagen P. Dynamic critical exponent of two-, three1, and four-dimensional XY models with relaxational and resistively shunted junction dynamics // Phys. Rev. B. 2000. V. 61. pp. 15412-15428.

90. Luo H. J., Schiilke L. and Zheng B. Dynamic Approach to the Fully Frustrated XY Model // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. pp. 180-183.

91. Luo H. J., Schiilke L. and Zheng B. The critical exponent 0' in spin glasses // Mod. Phys. Lett. B. 1999. V. 13. P. 417.

92. Ying H. P. and Harada K. Short-time dynamics and magnetic critical behavior of the two-dimensional random-bond Potts model // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 174.

93. Ying H. P., Luo H. J., Schiilke L. and Zheng B. Dynamic Monte Carlo Study of the Two-Dimensional Quantum XY Model // Mod. Phys. Lett. B. 1998. V. 12. P. 1237. '

94. Janssen H. K., in From Phase Transition to Chaos, edited by GyDrgyi G., Kondor I., Sasvari L., and Tel Т., Topics in Modern Statistical Physics. Singapore: World Scientific, 1992. 68 p.

95. Schiilke L. Short-Time Critical Dynamics // arXiv: hep-lat/0007003. 2000. V.l.

96. Binder K. Finite size scaling analysis of ising model block distribution functions // Zeitschrift fiir Physik B: Condensed Matter. 1981. V. 43. № 1. P. 119.

97. Binder К. Critical Properties from Monte Carlo Coarse Graining and Renor-malization // Phys. Rev. Lett. V. 47. № 9. P. 693.

98. Ballesteros H. G., Fernandez L. A., Martin-Mayor V., Munoz Sudupe A. New universality class in three dimensions?: the antiferromagnetic RP2 model // Phys. Lett. B. 1996. V. 378. P. 207.

99. Иванов A.B., Прудников B.B., Федоренко A.A. Критическая динамика спиновых систем в четырехпетлевом приближении // Письма в ЖЭТФ. 1997. Т. 66. № 12. С. 793-798.

100. Jaster A., Mainville J, Schulke L., Zheng В. Short-time critical dynamics of the three-dimensional Ising model // J.Phys. A. 1999. V. 32. P. 1395.

101. Колесников В.Ю., Прудников B.B. Монте-Карло исследования влияния дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение трехмерной XY-модели // Вестник Омского университета. 2004. Вып. 4. С. 34-36.

102. Прудников В.В., Гергертд Е.А., Колесников В.Ю., Прудников П.В. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной XY-модели с линейными дефектами методом коротковременной динамики // Вестник Омского университета, 2007. Вып. 4. С. 28-33.

103. Прудников В.В., Прудников П.В., Колесников В.Ю. Численное исследование неравновесного критического поведения сильно неупорядоченной трехмерной XY-модели с линейными дефектами // Вестник Омского университета. 2009. Вып. 2. С. 57-62.

104. Okano К., Schulke L., Yamagishi К. and Zheng В. Monte Carlo Simulation of the Short-time Behaviour of the Dynamic XY Model // arXiv: cond-mat/9705236. 1997. V.l.

105. Hasenbusch M., Torok T. High precision Monte Carlo study of the 3D XY-universality class // arXiv: cond-mat/9904408. 1999. V.l.

106. Barkema G. Т., Newman M. E. J. New Monte Carlo algorithms for classical spin systems // arXiv: cond-mat/9703179. 1997. V.l.

107. Gottlob A. P., Hasenbusch M. Critical Behaviour of the 3D XY-Model: A Monte Carlo Study// arXiv: cond-mat/9305020. 1993. V.l.