Компьютерное моделирование методом Монте-Карло критического поведения неупорядоченных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Марков, Олег Николаевич

• Марков, Олег Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Марков, Олег Николаевич

Содержание

Список рисунков

Список таблиц

Введение

1 Критические явления в неупорядоченных системах

1.1 Термодинамический потенциал в форме Гинзбурга-Ландау. Условия на параметры разложения при описании фазовых переходов второго рода

1.2 Критические индексы

1.3 Метод ренорм-группы и ^разложения

1.4 Применение ренорм-группы в динамике

1.4.1 Непрерывная модель

1.4.2 Дискретная модель

1.5 Влияние случайно распределенных примесей на критическое поведение

2 Компьютерное моделирование критической динамики однородной и слабонеупорядоченной двумерной модели Изинга

2.1 Определение модели и основных принципов компьютерного моделирования критической динамики

2.2 Определение критического индекса 2 для однородной и слабонеупорядоченной двумерной модели Изинга

2.3 Анализ результатов моделирования однородной и слабонеупорядоченной двумерной модели Изинга

3 Компьютерное моделирование критической динамики сильнонеупорядоченной двумерной модели Изинга

3.1 Определение критического индекса 2 для сильнонеупорядоченной двумерной модели Изинга

3.2 Анализ результатов моделирования сильнонеупорядоченной двумерной модели Изинга

4 Компьютерное моделирование критического поведения однородной и неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга

4.1 Определение модели, особенности критического поведения неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга и ее применение для изучения случайных полей

4.2 Методика компьютерного моделирования критического поведения антиферромагнитной модели Изинга

4.3 Результаты моделирования

Заключение

Список цитируемой литературы

Список рисунков

2.1 Двумерная неупорядоченная модель Изинга. В каждом узле решетки находится спин или немагнитный атом примеси. Показана процедура блочного разбиения системы с линейным размером Ь и размером блока 6 = 2. Направление спинов в ре-нормированной системе размером Ь/Ь определяется наличием спинового протекания и направлением большинства спинов в блоке

2.2 Изменение исходной т\ и перенормированных намагни-ченностей от времени для однородной двумерной ферромагнитной модели Изинга (Ь = 400)

2.3 Изменение исходной т\ и перенормированных пц^) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели Изинга (Ь = 400) с концентрацией спинов

р = 0.95

2.4 Изменение исходной т\ и перенормированных ть(£) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели Изинга (Ь — 400) с концентрацией спинов

р = 0.9

3.1 Изменение исходной т\ и перенормированных га&(£) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели Изинга (Ь = 400) с концентрацией спинов р = 0.85

3.2 Изменение исходной mi и перенормированных rrib{t) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферро-

магнитной модели Изинга (L = 400) с концентрацией спинов р = 0.80

3.3 Изменение исходной т\ и перенормированных rrib(t) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели Изинга (L = 400) с концентрацией спинов

р = 0.75

3.4 Изменение исходной mi и перенормированных m&(i) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели Изинга (L — 400) с концентрацией спинов

р = 0.70

3.5 Зависимость динамического критического индекса z от концентрации спинов р в логарифмическом масштабе | Ы(р—рс)\. Прямая задает аппроксимацию зависимости z(jp) логарифмической функцией А' 11п(р — рс) | + В'

3.6 Изменение исходной т\ и перенормированных rrib{t) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели Изинга (L = 200) с концентрацией спинов

р = 0.80

3.7 Изменение исходной mi и перенормированных rri^t) намагни-ченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели Изинга (L — 800) с концентрацией спинов

р = 0.80

4.1 Антиферромагнитная модель Изинга со взаимодействием как ближайших, так и следующих за ближайшими соседями на простой кубической решетке, о, • - узлы, принадлежащие двум различным магнитным подрешеткам. Каждый спин, находящийся в узле (например 0), взаимодействует с 6-ю ближайшими (1) и 12-ю следующими за ближайшими соседями

(2 )

4.2 Температурная зависимость "шахматной" восприимчивости Х&д вдоль кривой фазовых переходов II рода для системы 183 с р = 0.95 для различных значений Л: (1) — к = 0, (2) —

/г = 2.0, (3) — к = 3.0

4.3 Зависимость намагниченности М от величины магнитного поля 1г для системы 183 с р = 0.95 для ряда температур вблизи трикритической точки = 4.6: (1) — Т — 4.0, (2) — Т = 4.5,

(3) — Т = 4.6. Графики (1) и (3) смещены влево и вправо по

оси абсцисс соответственно на -1.0 и на +1.0

4.4 Фазовая диаграмма антиферромагнитной модели Изинга: Д - р = 1.0 (однородная), + - р — 0.95, V - р = 0.8, * - трикри-тические точки

Список таблиц

2.1 Значения динамического индекса гь и экстраполированные значения ^=00 для двумерной слабонеупорядоченной системы Изинга (Ь = 400) с различными концентрациями спинов р

3.1 Значения динамического индекса гь и экстраполированные значения гь=00 Для двумерной сильнонеупорядоченной системы Изинга (Ь = 400) с различными концентрациями спинов р

4.1 Значения трикритических температур 7} и внешнего магнитного поля к/ для трехмерной неоднородной антиферромагнитной модели Изинга с различными линейными размерами Ь и концентрацией спинов р

4.2 Значения "критических температур" ТС(Ь) для трехмерной неоднородной антиферромагнитной модели Изинга с различными линейными размерами Ь, величиной внешнего магнитного поля Н и концентрацией спинов р

4.3 Значения критических температур ТС(Ь = оо) для трехмерной неоднородной антиферромагнитной модели Изинга с различными значениями внешнего магнитного поля к и концентрации спинов р

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компьютерное моделирование методом Монте-Карло критического поведения неупорядоченных систем»

Введение

Проблема фазовых переходов и связанных с ними критических явлений в макроскопических системах является одной из наиболее интересных задач физики конденсированного состояния. Из ряда экспериментов известно, что по мере приближения к точке фазового перехода в веществе растут флуктуации некоторых термодинамических переменных. Эти флуктуации простираются на большие пространственные области и медленно затухают. С ростом флуктуаций в системе растет и их взаимодействие между собой. Любое слабое взаимодействие становится вблизи критической точки сильным, обуславливая математическую сложность описания явления.

Экспериментальные исследования показали интересную общность свойств фазовых переходов в различных веществах. Это позволило сформулировать принцип универсальности критических явлений [2, 50, 25, 19, 11, 12] и предложить модель, в основе которой лежала гипотеза масштабного подобия флуктуаций [23, 22, 68, 21]. Идеи использования метода ренормали-зационной группы и последующая их иллюстрация с помощью метода разложения по отклонению от размерности пространства четыре [104, 103, 3] позволили сделать еще несколько шагов в понимании фазовых переходов в их количественном описании.

В критической точке наряду с особенностями равновесных термодинамических переменных сингулярное поведение испытывают кинетические коэффициенты и динамические функции отклика. Однако, исследование динамических свойств критических флуктуаций сталкивается с трудностями более сложными, чем при описании равновесных свойств. Так, оказывается

существенным взаимодействие флуктуации параметра порядка с другими долгоживущими возбуждениями [52, 53, 54, 55, 71, 26, 10, 32].

Глубоко интересен вопрос о влиянии пространственных неоднородно-стей на критическое поведение. Неоднородность систем прежде всего связана с присутствием примесей. Рассеяние флуктуаций на примесях характеризуется специфическими законами сохранения. Особенно интересно влияние замороженных примесей, чье присутствие проявляется или как случайные возмущения локальной температуры для ферромагнитных и антиферромагнитных систем в отсутствие внешнего магнитного поля или как случайные магнитные поля для антиферромагнитных систем в однородном магнитном поле. Благодаря тому, что магнитное поле нарушает симметрию системы по отношению к изменению знаков спинов, статистические свойства этих неупорядоченных систем существенно отличаются.

Исследования показали [56], что в первом случае присутствие замороженных примесей изменяет свойства системы вблизи критической точки, если теплоемкость системы в однородном состоянии испытывает расходимость в критической точке с индексом а > 0. В противном случае присутствие примесей не сказывается на поведении магнетиков при критической температуре. Критерий справедлив как при описании равновесного, так и неравновесного критического поведения. Влияние беспорядка, вызванного присутствием примесей сильнее проявляется в динамике [51]. Данному критерию удовлетворяют только системы, эффективный гамильтониан которых вблизи критической точки изоморфен модели Изинга. Присутствие случайно распределенных точечных примесей особенно сильно проявляется в термодинамике систем вблизи трикритической точки, поскольку индекс теплоемкости при этом положителен и не мал — 1/2)- Изменения, которые может претерпеть динамика флуктуаций в трикритической точке неоднородной системы, по сравнению с однородной неизвестны, и несмотря на интенсивные теоретические и экспериментальные усилия в течение по-

следних двадцати лет [6], в настоящее время существует совсем немного надежно установленных фактов о поведении систем со случайными полями. В частности, природа фазового перехода в модели Изинга со случайными полями все еще остается мистической загадкой, а получаемые при моделировании таких систем результаты являются противоречивыми. По одним данным это фазовый переход I рода вплоть до очень низких значений случайного поля, по другим все-таки II рода [89, 105]. Практически единственным надежно установленным фактом является то, что верхняя критическая размерность для этого фазового перехода (размерность системы, выше которой критические явления описываются теорией среднего поля) равна шести [6], в отличие от однородных систем, где она равна четырем, а нижняя критическая размерность перехода (размерность системы, выше которой осуществляется дальнее упорядочение при температурах отличных от нуля) равна двум [41].

Ренормгрупповой анализ с использованием ^-разложения [79, 43] выявил, что критическое поведение примесных систем характеризуется новым набором критических индексов, значения которых не зависят от концентрации точечных примесей в области их малых концентраций. Однако, асимптотическая сходимость рядов ^-разложения для систем с примесями еще более слабая, чем для однородных. В работах [82, 66] проведен анализ равновесного, а в работе [28] — динамического критического поведения разбавленных магнетиков для двумерных систем.

По критической динамике разбавленных систем до сих пор очень немного экспериментальных работ, нет и достаточно обоснованных теоретических оценок динамического индекса 2 из-за плохой асимптотической сходимости рядов ^-разложения. Остался невыясненным и вопрос: являются ли критические индексы примесных систем универсальными, т.е. не зависящими от концентрации примесей вплоть до порога перколяции, или существует линия фиксированных точек, определяющая непрерывное изме-

нение критических индексов с концентрацией.

Особенный интерес для исследователей представляют неупорядоченные низкоразмерные магнетики, описываемые моделью Изинга. Из-за равенства нулю индекса теплоемкости а однородной модели влияние беспорядка, вносимого присутствием примеси, становится неопределенным. Детальное рассмотрение этого случая [92, 46] позволило прийти к выводу, что влияние примеси затрагивает только поведение теплоемкости, в то время как остальные термодинамические и корреляционные функции не изменяют своего критического поведения, за исключением появления логарифмических поправок. Теоретико-полевое рассмотрение релаксационного режима критической динамики неупорядоченных двумерных изинговски-подобных магнетиков показало [28], что оно не отличается от динамики однородной модели в области с сгтр < 1 - рс и характеризуется индексом £ = 2.277. Однако, нет достаточно ясного понимания процессов критической релаксации при больших концентрациях примесей, особенно, близких к порогу перколяции рс. В ряде работ [58, 57] были высказаны идеи нарушения при перколяционной концентрации спинов стандартной формы динамического скейлинга.

Как цели, так и средства науки начинают меняться в наш компьютерный век. Долгое время теоретическая физика стремилась к аналитическим решениям своих проблем. Это казалось едиственно возможным способом полного описания. Однако большой ряд важных и актуальных задач не допускает такого решения. Единственно возможным подходом явилось применение ЭВМ.

В данной работе в качестве метода исследования неупорядоченных магнитных систем используется метод Монте-Карло, который в настоящее время широко используется для решения различных задач физики, механики, химии, биологии, кибернетики. В приложении к физике метод Монте-Карло можно определить как метод исследования физического про-

цесса путем создания и эксплуатации стохастической модели, отражающей динамику данного процесса, поэтому в статистической физике с помощью метода Монте-Карло получены наиболее значительные достижения. Это связано с тем, что статистические закономерности макроскопических систем имеют прежде всего стохастическую природу, а метод Монте-Карло, используемый для прямого моделирования естественной вероятностной модели, позволяет довольно просто вычислить средние в каноническом ансамбле.

Компьютерный эксперимент позволяет получать информацию о свойствах лишь конкретных модельных систем, для которых заданы взаимодействия между частицами. В качестве такой модельной системы здесь использована модель Изинга, являющейся самой распространенной в статистической физике моделью. Модель Изинга находит применение при рассмотрении самых разнообразных систем, таких как магнитные системы (ферромагнетики, антиферромагнетики, ферримагнетики), классические жидкости, бинарные смеси и сплавы, адсорбция на поверхности и т.д. Наиболее часто модель Изинга используется при описании фазовых переходов [20, 80]. Именно задачи теории фазовых переходов и критических явлений являются той областью, в которой компьютерный эксперимент становится альтернативой реальному физическому эксперименту и зачастую единственно возможным способом получения достоверной информации.

Критическая динамика неупорядоченных двумерных систем для концентраций примесей близких к порогу перколяции рс ранее не изучалась методами Монте-Карло.

В связи с этим целью настоящей диссертации является:

1. Исследование критического релаксационного поведения однородной и неупорядоченной двумерной модели Изинга со случайно распределенными замороженными в узлах решетки немагнитными атомами примеси в широких интервалах их концентрации. В рамках данного исследования ставится

задача:

- определить динамический критический индекс г;

- определить функциональную зависимость динамического скейлин-гового поведения при высоких концентрациях примеси;

- провести сопоставление динамического критического поведения данной модели при различных значениях концентрации примеси.

2. Исследование критического поведения однородной и неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга со случайно распределенными замороженными в узлах решетки немагнитными атомами примеси на простой кубической решетке с учетом взаимодействия как ближайших соседей, так и следующих за ближайшими. В рамках данного исследования ставится задача:

- построить фазовую диаграмму данной модели при различных значениях концентрации примеси;

- определить параметры трикритической точки при различных значениях концентрации примеси.

Настоящая диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

В главе 1, носящей обзорный характер, в краткой форме излагается содержание ряда концепций и методов, применяемых для описания критических явлений. Основное внимание уделяется вопросам динамики критических явлений и влиянию точечных случайно распределенных примесей на универсальность критических явлений.

В главе 2 методом Монте-Карло, совмещенным с методом динамической ренорм-группы, исследуются процессы критической релаксации намагниченности в двумерной слабонеупорядоченной модели Изинга (Ь = 400). Компьютерное моделирование методом Монте-Карло критической динамики двумерной модели Изинга осуществляется как в однородном случае, так и с концентрацией спинов р = 0.95,0.9. Вычисляется значение

динамического критического индекса z. Проводится сравнение с результатами применения ^-разложения и значениями динамического индекса для однородных систем, а также полученных при численном моделировании методами Монте-Карло. Обсуждается универсальность критических индексов двумерных неупорядоченных магнетиков в данном интервале концентраций примесей.

В главе 3 методом Монте-Карло, совмещенным с методом динамической ренорм-группы, исследуются процессы критической релаксации намагниченности в двумерной сильнонеупорядоченной модели Изинга. Компьютерное моделирование методом Монте-Карло критической динамики двумерной модели Изинга осуществляется при концентрациях спинов р = 0.85,0.8,0.75,0.7. Вычисляется значение динамического критического индекса z. Проведено исследование факта нарушения при концентрациях спинов близких к порогу перколяции стандартной формы динамического скейлинга для логарифма времени релаксации. Для оценки эффектов влияния конечного размера было проведено моделирование систем с линейными размерами L = 200 и L = 800 с концентрацией спинов р = 0.8.

В главе 4 для выявления особенностей фазовых превращений в магнетиках со случайными полями по сравнению с системами со случайной локальной температурой (случайными спиновыми взаимодействиями) осуществлено компьютерное моделирование методом Монте-Карло критического поведения однородной и неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга на простой кубической решетке с учетом взаимодействия как ближайших соседей, так и следующих за ближайшими соседями с концентрацией спинов р = 0.95,0.8. Построены фазовые диаграммы для этой модели при концентрации спинов р = 1.0,0.95,0.8 и определены параметры трикритической точки — трикритическая температура Tt и трикритиче-ская величина внешнего поля ht.

В Заключении подводятся итоги диссертационной работы.

Основные положения выносимые на защиту:

1. Процедура динамического ренормгруппового описания критической динамики двумерной неупорядоченной модели Изинга, методика обработки результатов компьютерного моделирования и выделения значений критического динамического индекса г.

2. Выделение в критической динамике двумерной неупорядоченной модели Изинга классов универсальности однородного, слабонеупорядоченного и сильнонеупорядоченного поведения и связанных с ними изменений в функциональной зависимости обобщенного динамического скейлингового соотношения 1п г = /(1п£г).

3. Существование упорядоченной фазы при низких температурах и рассмотренных концентрациях спинов р = 0.95 и р = 0.8 для трехмерной неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга во внешнем постоянном магнитном поле. В области значений напряженности внешнего поля, характеризующейся слабыми эффектами случайных полей, переход в упорядоченную фазу осуществляется в виде фазового перехода II рода.

4. Существование на кривой фазовых переходов трехмерной неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга во внешнем постоянном магнитном поле при концентрациях спинов р = 0.95 и р — 0.8 трикрити-ческой точки, делящей эту кривую на области переходов I рода (высокие поля) и II рода (низкие поля).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Марков, Олег Николаевич

Основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Разработана процедура блочного разбиения для двумерных спиновых примесных систем на квадратной решетке. На основе этой процедуры создана программа компьютерного моделирования методом Монте-Карло, совмещенным с методом динамической ренормгруппы.

2. Осуществлено компьютерное моделирование процессов критической релаксации намагниченности в двумерной модели Изинга с замороженными в узлах решетки немагнитными атомами примеси. Рассмотрены системы размером Ь = 400 с концентрацией спинов р = 1.0, 0.95, 0.9, 0.85, 0.8, 0.75, 0.7. Методом динамической ренормгруппы получены значения критического индекса г в широкой области изменения концентрации спинов: 2(1.0) = 2.24 ± 0.07, 2(0.95) = 2.24 ± 0.06, z(0.9) = 2.24 ± 0.06, -г(0.85) = 2.38 ± 0.05, г(0.8) = 2.51 ± 0.06, ,г(0.75) = 2.66 ± 0.07, 2(0.7) = 2.88 ± 0.06.

3. Проведено сравнение результатов компьютерного моделирования критической динамики с результатами теоретико-полевого подхода. Для однородных и слабонеупорядоченных систем выявлено хорошее согласие между значениями критического динамического индекса 2, полученными в результате компьютерного моделирования и аналитического расчета. Сделан вывод, что критическая динамика двумерных слабонеупорядоченных систем принадлежит к тому же классу универсальности, что и динамика однородной системы.

4. Для сильнонеупорядоченных систем с концентрацией спинов р < 0.85 результаты компьютерного моделирования демонстрируют существенное увеличение критического динамического индекса г, что отражает проявление эффектов сингулярного динамического скейлингового поведения вблизи порога перколяции. Выявлена логарифмическая зависимость индекса 2 от концентрации спинов для р = 0.7,0.75,0.8,0.85, описываемая функцией г = А'\Ы(р- ре)\ + В' с А! = 0.56 ± 0.07, В' - 1.62 ± 0.07. Это является подтверждением квадратичной формы /(х) = Ах2 + Вх + С скей-линговой функции для логарифма времени релаксации 1пт = /(1п

5. Осуществлено компьютерное моделирование методом Монте-Карло критического поведения трехмерной однородной и неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга во внешнем магнитном поле на простой кубической решетке с учетом взаимодействия как ближайших соседей, так и следующих за ближайшими. В процессе моделирования рассмотрены три системы с Ь = 18, 24, 32 с концентрацией спинов р = 1.0, 0.95, 0.8. Определена температура и тип фазового перехода для значений магнитного поля к — 0; 1.0; 2.0; 3.0; 4.0; 4.5; 5.2. Показано, что в области значений напряженности внешнего поля, характеризующейся слабыми эффектами случайных полей, переход в упорядоченную фазу осуществляется в виде фазового перехода II рода. На основе полученных результатов построены фазовые диаграммы данной модели при указанных выше концентрациях спинов. Сделан вывод, что в области рассмотренных концентраций атомов немагнитной примеси случайные поля не разрушают фазовый переход из парамагнитного в антиферромагнитное состояние в трехмерной модели Изинга.

6. В результате исследования эффектов магнитного гистерезиса в неупорядоченной антиферромагнитной моделе Изинга выделены значения параметров, определяющих трикритическую точку: = 6.14 ± 0.03, Ь^ = 5.40 ± 0.10 для р = 1.0; Тг = 5.15 ± 0.10, Л* = 5.35 ± 0.07 для р = 0.95; Тг = 2.64 ± 0.03, ^ = 4.71 ± 0.05 для р = 0.8. Для однородной системы (р ~ 1.0) полученные значения Т/, находятся в хорошем согласии с более ранними работами по компьютерному моделированию данной модели.

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем:

1. Впервые для описания критической динамики двумерной неупорядоченной модели Изинга применен метод динамической ренормгруппы и получены значения критического динамического индекса 2 в широком интервале концентраций примеси.

2. Впервые для двумерной модели Изинга определены области классов универсальности критической динамики для однородной, слабонеупорядоченной и сильнонеупорядоченной систем.

3. Впервые для трехмерной неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с учетом взаимодействия как ближайших соседей, так и следующих за ближайшими построены фазовые диаграммы для различных значений концентраций примеси.

4. Впервые для трехмерной неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с учетом взаимодействия как ближайших соседей, так и следующих за ближайшими получены значения трикритических точек (магнитного поля температуры %) для различных значений концентрации примеси.

Разработанные в диссертации методы и полученные результаты вносят существенный вклад в разработку численных методов, обоснование и развитие представлений теории критических явлений неупорядоченных систем, являются отправной точкой для последующих исследований в данной области теоретической и компьютерной физики. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15, 16, 17, 18, 86, 87].

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю — кандидату физико-математических наук В.В. Прудникову за постановку задач, плодотворное сотрудничество и поддержку в работе.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Марков, Олег Николаевич, 1999 год

Список цитируемой литературы

[1] Вакилов А.Н., Прудников В.В. Компьютерное моделирование критической динамики разбавленных магнетиков // Письма в ЖЭТФ. -1992. - Т.55. - Вып.12. - С.709-712.

[2] Вакс В.Г., Ларкин А.И. О фазовых переходах второго рода // ЖЭТФ.

- 1965. - Т.49. - N 3. - С.975-989.

[3] Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и с разложение.

- М.: Мир, 1975. - 256 с.

[4] Гинзбург В.Л. Несколько замечаний о фазовых переходах второго рода и микроскопической теории сегнетоэлектриков // ФТТ. - 1960. -

Т.2. - N 9. - С.2034-2043.

[5] Гулд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. В 2-х частях. ч.2. - М.: Мир, 1992. - 400 с.

[6] Доценко B.C. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // УФН. - 1995. - Т.165. - N 5. - С.481-528.

[7] Займан Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем. - М.: Мир, 1982. - 591 с.

[8] Иванченко Ю.М., Лисянский A.A., Филиппов А.Э. Флуктуационные эффекты в системах с конкурирующими взаимодействиями. - Киев: Наука думка, 1989. - 280 с.

[9] Изюмов Ю.А., Сыромятников В.Н. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. - М.: Наука, 1984. - 248 с.

[10] Кавасаки К. Динамическая теория флуктуации вблизи критических точек // Квантовая теория поля и физика фазовых переходов. - М.: Мир, 1975. - С.101-148.

[11] Каданов Л.П. Критические явления, гипотеза универсальности, скей-линг и капельная модель // Квантовая теория поля и физика фазовых переходов. - М.: Мир, 1975. - С.7-32.

[12] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 3-е изд. - М.: Наука, 1976. - 584 с.

[13] Леванюк А.П. К теории рассеяния света вблизи точек фазового перехода второго рода // ЖЭТФ. - 1959. - Т.36. - N 3. - С.810-818.

[14] Ма Ш. Современная теория критических явлений. - М.: Мир, 1980. -298 с.

[15] Марков О.Н., Осинцев Е.В., Прудников В.В. Фазовая диаграмма неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями // Вестн. Омского унив. - 1996. - N 2. - С.47-49.

[16] Марков О.Н., Прудников В.В. Компьютерное моделирование критической динамики неупорядоченных двумерных изинговских систем // Письма в ЖЭТФ. - 1994. - Т.60. - В.1. - С.24-29.

[17] Марков О.Н., Прудников В.В. Компьютерное моделирование критической динамики сильно неупорядоченных двумерных изинговских систем // ФТТ. - 1995. - Т.37. - N 6. - С.1574-1583.

[18] Марков О.Н., Прудников В.В. Компьютерное моделирование неравновесного критического поведения неупорядоченных двумерных изинговских систем // Изв. вузов. Физика. - 1994. - N 8. - С.83-88.

[19] Мигдал A.A. Диаграммная техника вблизи точки Кюри и фазовый переход в бозе-жидкости // ЖЭТФ. - 1968. - Т.55. - N 5. - С.1964-1979.

[20] Методы Монте-Карло в статистической физике/иод ред. К.Биндера.

- М.: Мир, 1982. - 426 с.

[21] Паташинский А.З. Гипотеза подобия в теории фазовых переходов второго рода // ЖЭТФ. - 1967. - Т.53. - N 6. - С.1987-1996.

[22] Паташинский А.З., Покровский B.JI. О поведении упорядочивающихся систем вблизи точки фазового перехода // ЖЭТФ. - 1966. - Т.50 -N 2. - С.439-447.

[23] Паташинский А.З., Покровский B..JI. Фазовый переход второго рода в бозе-жидкости // ЖЭТФ. - 1964. - Т.46. - N 3. - С.994-1016.

[24] Паташинский А.З., Покровский B.JL Флуктуационная теория фазовых переходов. - М.: Наука, 1982. - 383 с.

[25] Поляков A.M. Микроскопическое описание критических явлений // ЖЭТФ. - 1968. - Т.55. - N 3. - С.1026-1038.

[26] Поляков A.M. Свойства далеких и близких корреляций в критической области // ЖЭТФ. - 1969. - Т.57. - N 1. - С.271-284.

[27] Прудников В.В., Вакилов А.Н. Компьютерное моделирование критической динамики разбавленных магнетиков // ЖЭТФ. - 1993. - Т.103.

- Вып.З - С.962-969.

[28] Прудников В.В., Вакилов А.Н. Критическая динамика разбавленных магнетиков // ЖЭТФ. - 1992. - Т.101. - Вып.6. - С.1853-1861.

[29] Стоунхэм A.M. Теория дефектов в твердых телах. Т.1. - М.: Мир, 1978. - 569 с.

[30] Хеерман Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике. - М.: Наука, 1990. - 176 с.

[31] Хмельницкий Д.Е. Фазовый переход второго рода в неоднородных телах // ЖЭТФ. - 1975. - Т.68. - N 5. - С.1960-1968.

[32] Хоенберг П.С. Динамические явления в окрестности критической точки: жидкий гелий и антиферромагнетики / / Квантовая теория поля и физика фазовых переходов. - М.: Мир, 1975. - С.149-218.

[33] Эллиот Р., Крамханся Дж., Лис. П. Теория и свойства неупорядоченных материалов. - М.: Мир, 1977. - 300 с.

[34] Юхновский И.Р. Фазовые переходы второго рода. - Киев: Наук, думка, 1985. - 224 с.

[35] Aeppli G., Guggenheim Н., Uemura Y.J. Spin dynamics near the magnetic percolation threshold // Phys. Rev. Lett. - 1984. - V.52. - N 11. - P.942-945.

[36] Aharany A. Critical phenomena in disordered systems // JMMM. - 1978.

V.7. - N 1. - P. 198-206.

[37] Amit D. Field theory the renormalization group and critical phenomena. - New York: Acad.press: McGraw-Hill, 1978. - 333 p.

[38] Andreichenko V.B., Selke W., Talapov A.L. Dynamics in a dilute ferromagnet at the percolation threshold //J. Phys. A. - 1992. - V.25. -P.L283-L286.

[39] Biswal В., Chowdhury D. Dimensionality dependence in the singular dynamic scaling in the dilute Ising model // Phys. Rev. A. - 1991. -V.43. - N 8. - P.4179-4181.

[40] Bresin E., Le Guillou J.C., Zinn-Justin J. Field theoretical approach to critical phenomena / / Phase transition and critical phenomena, ed. Domb C. and Lebowitz J.L. - New York: Acad, press. - 1976. - V.6. -P.127-249.

[41] Bricmont J., Kupiainen A. Lower critical dimension for the random-field Ising model // Phys. Rev. Lett. - 1987. - V.59. - N 16. - P.1829-1832.

[42] Chowdhury D., Stauffer D. Dilution dependence of the relaxation time in the dilute Ising model // J. Phys. A. - 1986. - V.19. - P.L19-L21.

[43] Chowdhury D., Stauffer D. Monte Carlo simulation of three-dimensional diluted Ising model // J. Stat. Phys. - 1986. - V.44. - N 1. - P.203-210.

[44] Di Castro C. The multiplicative renormalization group and the critical behavior in d = 4 — £ dimensions // Lett, nuovo cim. - 1972. - V.5. -

N 1. - P.69-74.

[45] Di Castro C., Jona-Lasinio G. Renormalization group approach to critical phenomena // Phase transition and critical phenomena, ed. Domb C. and Lebowitz J.L. - New York: Acad, press. - 1976. - V.6. - P.508-558.

[46] Dotsenko V.S., Dotsenko V.S. Critical behaviour of the 2D~Ising model with impurity bonds //J. Phys. C. - 1982. - V.15. - N 3. - P.495-507.

[47] Fisher M.E. Renormalization of critical exponent by hidden variables // Phys. Rev. - 1968. - V.176. - N 1. - P.257-272.

[48] Fisher M.E. The renormalization group and the theory of critical behavior // Rev. Mod. Phys. - 1974. - V.46. - N 4. - P.597-616.

[49] Grest G.S., Soukoulis C.M., Levin K. Comparative Monte Carlo and mean-field studies of random-field Ising systems // Phys. Rev. B. - 1986. - V.33. - N 11. - P.7659-7674.

[50] Griffits R.B. Termodynamic function for fluids and ferromagnets near the critical point // Phys. Rev. - 1967. - V.158. - N 1. - P.176-189.

[51] Grinstein G., Ma S.K. and Mazenko G.F. Dynamics of spin interacting with quenched random impurities // Phys. Rev. B. - 1977. - V.15. -

N 1. - P.258-272.

[52] Halperin B.I., Hohenberg P.C. Calculation of dynamic critical properties // Phys. Rev. Lett. - 1967. - V.19. - N 2. - P.700-703.

[53] Halperin B.I., Hohenberg P.C., Ma S. Calculation of dynamic critical properties using Wilson's expansion methods // Phys. Rev. Lett. - 1972. - V.29. - N 23. - P.1548-1551.

[54] Halperin B.I., Hohenberg P.C., Ma S. Renormalization-group methods for critical dynamics // Phys. Rev. B. - 1974. - V.10. - N 1. - P.139-153.

[55] Halperin B.I., Hohenberg P.C., Siggia E.D., Ma S. Renormalization-group treatment of the critical dynamics of the binary-fluid and gas-liquid transition // Phys. Rev. B. - 1976. - V.13. - N 5. - P.2110-2123.

[56] Harris A.B. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // j. Phys. C. - 1974. - V.7. - N 6. - P.1671-1692.

[57] Harris C.K., Stinchcombe R.B. Critical dynamics of diluted Ising systems // Phys. Rev. Lett. - 1986. - V.56. - N 8. - P.869-872.

[58] Henley C.K. Critical Ising spin dynamics on percolations clasters // Phys. Rev. Lett. - 1985. - V.54. - N 18. - P.2030-2033.

[59] Heuer H.-O. Monte Carlo simulation of disordered 2-dimensional Ising systems // Europhys. Lett. - 1991. - V.16. - N 5. - P.503-508.

[60] Heuer H.-O. Critical crossover phenomena in disordered Ising systems // J. Phys. A. - 1993. - V.26. - N 6. - P.L333-L339.

[61] Heuer H.-O. Dynamic scaling of disordered Ising systems //J. Phys. A.

- 1993. - V.26. - N 6. - P.L341-L346.

[62] Hohenberg P.C., Halperin B.I. Theory of dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. - 1977. - V.49. - P.435-479.

[63] Ito N. Non-equilibrium relaxation and interface energy of the Ising model // Physica A. - 1993. - V.196. - P.591-600.

[64] Jain S. Non-universality in the dynamics at the percolation threshold // J. Phys. A. - 1986. - V.19. - P.L667-L673.

[65] Jan N., Moseley L.L., Stauffer D. Dynamic Monte Carlo renormalization group // J. Stat. Phys. - 1983. - V.33. - N 1. - P.l-11.

[66] Jug G. Critical behaviour of disordered spin systems in two and three dimensions // Phys. Rev. B. - 1983. - V.27. - N 1. - P.607-612.

[67] Jug G. Critical singularities of the random two-dimensional Ising model // Phys. Rev. B. - 1983. - V.27. - N 7. - P.4518-4521.

[68] Kadanoff L.P. Scaling laws for Izing models near Tc j j Physics. - 1966. -V.2. - N 6. - P.263-273.

[69] Kalle C. Vectorised dynamic Monte Carlo renormalisation group for the Ising model // J. Phys. A. - 1984. - V.17. - P.L801-L806.

[70] Katz S.L., Gunton J.D., Liu C.P. Monte Carlo renormalization group study of two-dimensional Glauber model // Phys. Rev. B. - 1982. - V.25.

- N 9. - P.6008-6011.

[71] Kawasaki K. Dynamics of critical Auctions // Progr. Theor. Phys. - 1968.

- V.40. - N 4. - P.706-733.

[72] Lage E.J.S. Critical dynamics of the pure and diluted two-dimensional Ising model // J. Phys. C. - 1986. - V.19. - N 1. - P.L91-L95.

[73] Landau D.P. Magnetic tricritical points in Ising antiferromagnets // Phys. Rev. Lett. - 1972. - V.28. - N 7. - P.449-452.

[74] Landau D.P. Tricritical exponents and crossover behavior of a next-nearest-neighbor Ising antiferromagnet // Phys. Rev. B. - 1976. - V.14.

- N 9. - P.4054-4058.

[75] Li Z.B., Schülke L., Zheng B. Dynamic Monte Carlo measurement of critical exponents // Phys. Rev. Lett. - 1995. - V.74. - N 25. - P.3396-3398.

[76] Li Z.B., Schülke L., Zheng B. Finite size scaling and critical exponents in critical relaxation // Phys. Rev. E. - 1996. - V.53. - N 5. - P.2940-2951.

[77] Linke A., Heermann D.W., Altevogt P., Siegert M. Large-scale simulation of the two-dimensional kinetic Ising model // Physica A. - 1995. - V.225.

- P.318-324.

[78] Macisaak K., Jan N. On the dynamic exponent of the two-dimensional Ising model // J. Phys. A. - 1992. - V.25. - P.2139-2145.

[79] Marro F., Labarta A., Tejada F. Critical behaviour of Ising models with static site dilution // Phys. Rev. B. - 1986. - V.34. - N 1. - P.347-349.

[80] Mouritsen O.G. Computer studies of phase transitions and critical phenomena. - Berlin; Heidelberg: Springer, 1984. - 329 p.

[81] Müller-Krumbhaar H.? Landau D.P. Tricritical relaxation in an Ising-Glauber model with competing interactions // Phys. Rev. B. - 1976.

- V.14. - N 5. - P.2014-2016.

[82] Newman K.E., Riedel E.K. Cubic N-vector model and randomly dilute Ising model in general dimensions // Phys. Rev. B. - 1982. - V.25. -

N 1. - P.264-280.

[83] Newman M.E.J., Barkema G.T. Monte Carlo study of the random-field Ising model // Phys. Rev. E. - 1996. - V.53. - N 2. - P.393-404.

[84] Paula G.L.S., Figueiredo W. Dynamical phase diagram of the random field Ising model // Eur. Phys. J. B. - 1998. - V.l. - N 4. - P.519-522.

[85] Poole P.H., Jan N. Dynamical properties of the two- and three-dimensional Ising models by 'damage spreading' //J. Phys. A. - 1990. -V.23. - P.L453-L459.

[86] Prudnikov V.V., Markov O.N. Critical dynamics of disordered two-dimensional Ising systems: a Monte Carlo study //J. Phys. A. - 1995. -V. 28. - P.1549-1556.

[87] Prudnikov V.V., Markov O.N. Monte Carlo renormalization group of dilute 2D Ising dynamics // Europhys. Lett. - 1995. - V. 29. - N 3.

- P.245-250.

[88] Racz Z., Collins M.F. Linear and nonlinear critical slowing down in the kinetic Ising model: high-tempurature series // Phys. Rev. B. - 1976. -V.13. - N 11. - P.3074-3077.

[89] Rieger H., Young A.P. Critical exponets of the three-dimensional random field Ising model // J. Phys. A. - 1993. - V.26. - P.5279-5284.

[90] Rieger H. Critical behavior of the 3D random field Ising model: Two-exponent scaling or first order phase transition ? // Phys. Rev. B. - 1995.

- V.52. - N 10. - P.6659-6672.

[91] Rogiers J., Indekeu J.O. Critical dynamics of the two-dimensional kinetic Ising model: high-tempurature series analysis of the autorelaxation time // Phys. Rev. B. - 1990. - V.41. - N 10. - P.6998-7003.

[92] Shalaev B.N. Critical behavior of the two-dimensional Ising model with random bonds // Phys. Rep. - 1994. - V.237. - N 3. - P.129-188.

[93] Stauffer D. Introduction to percolation theory. - Taylor k, Fransis, 1985.

- 294 p.

[94] Stauffer D. Scaling theory of percolation clasters // Phys. Rep. - 1979. -V.54. - N 1. - P. 1-78.

[95] Stauffer D. Violation of dynamical scaling for randomly dilute Ising ferromagnets near percolation threshold // Phys. Rev. Lett. - 1975. -V.35. - N 6. - P.394-397.

[96] Stauffer D. Coarse graining, Monte Carlo renormalisation, percolation threshold and critical temperature in the Ising model //J. Phys. A. -1984. V.17. - P.L925-928.

[97] Stinchcombe R.B. Dilute magnetism // Phase transitions and critical phenomena, ed. Domb C. and Lebowitz J.L. - New York: Acad, press.

- 1983. - V.7. - P.151-191.

[98] Tobochnik J., Sarker S., Cordery R. Dynamic Monte Carlo renormalization group // Phys. Rev. Lett. - 1981. - V.46. N 21. P.1417-1420.

[99] Wang J.S., Selke W., Dotsenko Vl.S., Andreichenko V.B. The two-dimensional random bond Ising model at criticality - a Monte Carlo study // Europhys. Lett. - 1990. - V.ll. - N 4. - P.301-305.

[100] Wang J.S., Selke W., Dotsenko Vl.S., Andreichenko V.B. The critical behaviour of the two-dimensional dilute Ising magnet // Physica A. -1990. - V.164. - P.221-239.

[101] Wegner F.J. The critical state, general aspects // Phase transition and critical phenomena, ed. Domb C. and Lebowitz J.L. - New York: Acad, press. - 1976. - V.6. - P.8-124.

[102] Williams J.K. Monte Carlo estimate of the dynamical critical exponent of the 2D kinetic Ising model // J. Phys. A. - 1985. - V.18. - N 1. - P.49-60.

[103] Wilson K.G. Feynmann-graph expansion for critical exponents // Phys. Rev. Lett. - 1972. - V.28. - N 9. - P.548-551.

[104] Wilson K.G., Ficher M.E. Critical exponent in 3.99 dimensions // Phys. Rev. Lett. - 1972. - V.28. - N 4. - P.240-241.

[105] Young A.P., Nauenberg M. Quasicritical behavior and first-order transition in the d=3 random-field Ising model // Phys. Rev. Lett. -1985. - V.54. - N 22. - P.2429-2432.