Теоретическое изучение нестандартных явлений переноса в плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат физико-математических наук Забурдаев, Василий Юрьевич

• Забурдаев, Василий Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Забурдаев, Василий Юрьевич

Введение

Глава 1. Скиновые явления в плазме

1.1 К теории проникновения магнитного поля в проводящую среду

1.2 Скиновые явления в пылевой плазме.

Глава 2. Стохастический транспорт в плазме

2.1 Ускоренная супердиффузия и конечная скорость полетов Леви.

2.2 Эффекты памяти в стохастическом транспорте.

2.3 К теории теплопереноса в замагниченной высокотемпературной плазме

Глава 3. Нелинейная динамика решетки электронных вихрей

3.1 Исходные уравнения и общие свойства.

3.2 Нелинейная динамика решетки электронных вихрей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретическое изучение нестандартных явлений переноса в плазме»

Процессы переноса в плазме представляют собой отдельную большую область исследований. Механизмы и законы, лежащие в их основе чрезвычайно разнообразны, да и сами переносимые субстанции различны по своей природе. Это могут быть обыкновенные нейтральные или имеющие заряд частицы, пассивные или активные примеси, излучение, тепло, магнитное поле, волны. Ввиду очевидной важности этих явлений в плазме, они подробно изучаются в течение многих лет, накоплен богатейший экспериментальный материал и сопровождающая его теория. Однако в результате постоянно растущей точности, усовершенствования методики и постановки экспериментов, уменьшения характерных времен и пространственных масштабов появляются результаты, которые не могут быть объяснены хорошо известной, привычной теорией и требуют нового рассмотрения и более детального анализа.

В данной диссертации рассмотрены примеры таких транспортных процессов, которые выходят за рамки классического переноса, и поэтому могут быть названы нестандартными, но при этом они отнюдь не являются экзотическими. Эти примеры различны природой исследуемых объектов, но едины средой в, которой они происходят - это прежде всего плазма. Ниже следует их краткий обзор.

Мы будем обсуждать теорию скин-эффекта и, следовательно, изучать транспорт магнитного поля при некоторых дополнительных условиях -в присутствии пучка заряженных частиц и в случае наличия пылевого компонента. Инжекция пучка в плазму приводит к быстрому вносу его собственного магнитного поля, а учет инерции электронов приводит к специфическому поведению фронта проникновения. Тем самым, на малых временах и масштабах задачи наблюдается отклонение от классической теории скин-эффекта или обычной диффузии магнитного поля. При наличии пылевого компонента в плазме поведение магнитного поля описывается уравнением нелинейной диффузии с коэффициентом диффузии, зависящим от его величины (магнетосопротивление), что вновь соответствует более сложной динамике, чем в стандартной ситуации.

Исследуя процесс переноса излучения в линиях в корональной плазме, можно обнаружить, что наличие далеких корреляций в полетах фотонов приводит к нелокальности транспорта и более быстрому, чем обычная диффузия, расплыванию начального возмущения. Оказывается, что новый класс уравнений стохастического переноса, который активно использует математический язык дробных производных, позволяет существенно продвинуться в аналитическом исследовании асимптотик такого процесса и обладает нетривиальными и интересными свойствами. Эти уравнения существенно обобщают и дополняют диффузионные, а их решения расширяют класс так называемых устойчивых законов. Существуют механизмы, которые приводят к уравнениям подобного же типа, но с временной нелокальностью и более медленной чем диффузионная эволюцией. Примером служит рассмотренная в диссертации "двойная диффузия" замагниченных заряженных частиц поперек сильного магнитного поля, имеющего малую случайную поперечную составляющую.

Двумерные решетки электронных вихрей являются примером регулярных структур в плазме и обладают целым рядом важных свойств, отличающих их от обычных двумерных кристаллов и обычных волновых сред. Они являются причиной специфической динамики и волнового движения в такой среде. Эти особенности становятся еще более выразительными при учете нелинейных эффектов.

Как мы видим, в основном базой для сравнения служит классическая диффузия, которая действительно хорошо описывает многие процессы, протекающие в плазме. Однако более тонкое изучение некоторых явлений показывает, что для их адекватного объяснения необходимо использование новых типов зависимостей, которые должны быть получены с должным уровнем строгости, исходя из физической сути задачи. Можно сказать, что развитие и претворение в жизнь такого подхода и является связующей нитью содержания диссертации, к краткому изложению которого мы переходим.

Первая глава посвящена вопросам динамики магнитного поля в плазме. В первой ее части рассмотрен процесс быстрого вноса магнитного поля пучком заряженных частиц.

Задача о транспортировке сильноточных пучков заряженных частиц имеет не только целый ряд физических особенностей, но и важное прикладное значение. Так, некоторое время назад активно обсуждалась идея их использования в программе УТС для подвода необходимой мощности к термоядерной мишени [1]. При этом их ток намного превышает альфве-новский, а это означает, что необходима токовая и зарядовая нейтрализация пучка, что может быть достигнуто, например, при транспортировке по плазменному каналу. Но даже слабая разбалансировка этой системы может привести к развороту пучка в собственном поле и его разрушению. Не менее важным является вопрос о динамике магнитного поля пучка при его инжекции в проводящую среду.

Малые характерные пространственные и временные масштабы этой задачи позволяют воспользоваться приближением электронной магнитной гидродинамики (ЭМГ)[2]. Рассмотрение подобных процессов в рамках ЭМГ позволило обнаружить множество интересных фактов, остававшихся скрытыми при использовании классической теории скин-эффекта, и вылилось в серию задач под общим названием: "Теория недиффузионо-го (нелинейного) проникновения магнитного поля в плазму". Как один из важных результатов, следует отметить работу [3], где авторами был предсказан механизм проникновения поля в плазму в виде нелинейной волны постоянной амплитуды, движущейся с постоянной скоростью.

Нашей целью является изучение особенностей поведения магнитного поля сильноточного пучка заряженных частиц при его инжекции в плазму с учетом инерции электронов.

Было получено одномерное уравнение, описывающее динамику поля, проведен его асимптотический анализ с помощью метода Лэкса разложения решения по гладкости, который показал, что начальный разрыв магнитного поля распространяется в глубь плазмы с токовой скоростью, экспоненциально при этом затухая.

Некоторым обобщением на случай многокомпонентной плазмы можно назвать задачу о скиновых явлениях в пылевой плазме, которым посвящена вторая часть главы, потому как многие ее результаты имеют свои аналогии в работах по скин-эффекту в ЭМГ.

Плазменно-пылевые структуры хорошо известны в космической плазме - это планетные кольца, межзвездные облака и хвосты комет. Пыль неизбежно присутствует в плазме экспериментальных, а также промышленных установок. Например, присутствие пыли ухудшает качество компьютерных микросхем, изготовленных методом плазменного травления. Важность и сложность решения этих проблем заставили экспериментаторов и теоретиков заняться целенаправленным изучением плазменных процессов, обусловленных влиянием пыли [4].

Целью этой части диссертации стало изучение динамики магнитного поля в пылевой плазме, выполненное в приближении многокомпонентной МГД. Движение электронного и ионного компонента рассматривалось на фоне неподвижной, произвольно заряженной пыли. В случае наличия градиента концентрации пыли, но при пренебрежении инерцией ионов и электронов, а также диссипацией, связанной со столкновением компонент с пылью, мы, как и в работе [3], имеем дело с нелинейной волной конвективного проникновения поля в плазму. В случае однородного распределения концентрации пыли поведение такой системы описывается уравнениями нелинейной диффузии. В зависимости от параметров задачи (частоты столкновения ионов и электронов с пылью, различное соотношение концентраций компонентов плазмы) рассмотрены предельные случаи этих уравнений и найдены некоторые их решения, включая автомодельные режимы. Полученные результаты применимы также и для описания процессов в физике твердого тела, где аналогом компонентов плазмы могут выступать электроны и дырки полупроводников, а аналогом пыли -кристаллическая решетка и атомы примеси [5].

Во второй главе рассматриваются уравнение и свойства стохастического транспорта и их применение для описания переноса излучения в корональной плазме и переноса тепла в сильном магнитном поле, имеющем малую случайную поперечную компоненту.

Стохастический транспорт - это также одно из чрезвычайно популярных в настоящее время направлений в физике процессов переноса. Возросший интерес к нему связан с развитием математического аппарата дробных производных [6], которые характеризуют и отражают нелокальность изучаемых явлений. Существует обширная литература, в которой обсуждаются возможные причины возникновения такой нелокальности, соответствующие уравнения и их свойства (см., напр., обзоры [7, 8, 9, 10]). Часто такой причиной являются микроскопические особенности случайных блужданий, которые служат моделью для описания макроскопического транспорта.

В первой части главы рассмотрена модель случайных блужданий с непрерывным временем и учетом конечности скорости движения отдельных частиц. Выведено уравнение в дробных производных (аналог субстанциональной производной дробного порядка), описывающее процесс "переключения" стохастического переноса с быстрого расплывания х ос ta, а > 1 на псевдоволновой режим а = 1 за счет конечности скорости движения отдельных частиц. Обсуждены качественные особенности нового режима, а также возможность применения данной модели для описания переноса излучения в линиях в корональной плазме, где блуждающими частицами являются фотоны и возбуждения ионов, в которые они преобразуются при поглощении, а дальность полета фотонов определяется формой контура линии.

Во второй части обсуждаются эффекты памяти в стохастическом переносе - зависимость вида описывающих его уравнений от макроскопического времени. Получены уравнения, явно учитывающие микроскопические особенности задачи, без которых невозможно адекватное описание процесса переноса, предложены способы их решения и проанализированы их асимптотические свойства. На модельном примере было продемонстрировано, что начальное условие может сильно изменить эволюцию даже в случае диффузионных параметров задачи - эффективным уравнением будет диффузия, но с постоянным источником. Аналогичная замена имеет место и для субдиффузионных режимов.

Субдиффузия обладает целым рядом интересных свойств. Ее возникновение связано с наличием временной нелокальности процесса переноса. Примером субдиффузионного поведения может служить модель случайных блужданий с ловушками [11], когда среднее время нахождения частицы в одной точке бесконечно. Однако примеров, когда субдиффузия оказывается строгим следствием обоснованной физической модели, не так уж и много. Таковым, по нашему мнению, также является процесс теп-лопереноса в стохастическом магнитном поле, рассмотренный в третьей части главы. Начало данной тематике было положено в известных работах [12, 13]. Используя общепринятое диффузионное приближение для описания плотности магнитных линий, а также предположив диффузионный закон движения замагниченных частиц вдоль них, мы получим так называемую "двойную диффузию" частиц со скейлингом х ос t1/4. В диссертации показано, что в случае "вытянутого" начального распределения частиц эффективное уравнение для их плотности будет иметь субдиффузионный характер. Были проанализированы границы и условия применимости данной модели, также рассмотрены различные формы начального распределения, обсуждены эффекты памяти.

Третья глава диссертации связана с изучением нелинейной динамики регулярной решетки электронных вихрей в плазме.

Динамика двумерных точечных вихрей является еще одной популярной областью исследования, которой посвящены множество работ и обзоров [14, 15, 16, 17]. Причина этого - широкая распространенность данного объекта в различных физических явлениях и его необычные свойства.

Первая часть главы посвящена выводу основных уравнений (следуя работе [18]), описывающих динамику решетки вихрей, кратко обсуждаются основные свойства ее поведения и важные отличия от обычных двумерных кристаллических решеток обычных частиц: отсутствие массы у отдельного вихря, динамические уравнения низшего порядка, совпадение фазового пространства с координатным, чувствительность к геометрии решетки и др.

Во второй части проанализированы слабо- и сильнонелинейные эффекты, определяющие эволюцию регулярных ансамблей электронных вихрей в замагниченной плазме: нетривиальный эффект зависимости воздействия нелинейности от формы фронта, связь уравнений с геометрией поверхностей, возникновение различных типов особенностей за конечное время, один из которых может быть описан с помощью нелинейного уравнения диффузии. Выявлены качественные отличия в поведении такой среды от стандартных нелинейных волновых сред.

В Заключении коротко перечислены основные результаты работы.

Итак, автор выносит на защиту:

• Решение в рамках ЭМГ задачи о вносе в плазму магнитного поля пучком заряженных частиц с учетом инерции электронов плазмы.

• Классификацию скиновых явлений в пылевой плазме, где пыль считается точечной и имеющей постоянный заряд.

• Обобщение модели ускоренной супердиффузии на случай конечной скорости движения отдельных частиц.

• Описание эффектов "памяти" в стохастическом транспорте.

• Анализ нелинейной динамики решетки электронных вихрей.

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Забурдаев, Василий Юрьевич

Основные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в работах [19, 25, 44, 47, 54, 55] и докладывались на следующих российских и международных конференциях:

• 30th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Санкт-Петербург, Россия (2003).

• 11-th International Workshop on the Physics of Nonideal Plasmas, Валенсия, Испания (2003).

• International Workshop "Microscopic Chaos and Transport in Many-Particle Systems", Дрезден, Германия (2002).

• European Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis EUROATTRACTOR2002, Варшава, Польша (2002).

• Российская научная школа "Нелинейные волны 2002", Нижний Новгород, Россия (2002).

• XXVIII, XXVII, XXIX Международная Звенигородская Конференция по физике плазмы и УТС, Звенигород, Россия (2000-2002).

В заключение хотелось бы выразить благодарность всему коллективу Отделения прикладной физики, где автор начал свою научную деятельность под руководством А.С.Кингсепа, и в особенности своему учителю и научному руководителю К.В. Чукбару, без постоянного внимания и поддержки которого написание данной работы было бы невозможным.

Рисунки

7 = 0 t о = а0 а = 0

О h ве h х

Рис.1.2. Динамика проникновения магнитного поля (без учета инерции электронов). в

Рис.1.3. Динамика проникновения магнитного поля (без учета инерции электронов). X

Рис.1.4. Геометрия задачи. п(х) п(х)

Рис.1.5. Эволюция концентрации ионного компонента в случае, когда профиль магнитного поля имеет вид "горба" и "ямы". t\ < t2 < £3 •

G(xj)

0.8

0.6

0.4

0 2 Г=

- Мб

-6-4-2 2 4 6 flfy(x,t)

Рис.II.1. Функция Грина и распределение летящих частиц для /3 = 1/4.

G(x,t) t=I t=3 1=6

3

L J J a

-6 -4 -2 2 4 6 nfly(x,t) n2(x, t)

1

0.8

0.6

0.4 t=30 0.2 t—0 -------

-4-2 2 4 п(х, t)

Рис.11.3. Плотность частиц щ и п в случае задержки начального распределения по времени жизни to = 50, щ(х) = ехр(—х2), у = 2, ^(х) = (1/2)ехр(-|х|).

Рис.II.4. Трубка магнитного потока в магнитном поле со случайной составляющей .

Заключение

Еще раз кратко перечислим основные результаты работы.

1. В рамках ЭМГ была рассмотрена задача о быстром проникновении магнитного поля сильноточного пучка заряженных частиц при его инжекции в плазму. В условиях, когда инерция электронов доминирует над возможной нелинейностью, получено решение, описывающее эволюцию начального скачка магнитного поля в виде бегущего с токовой скоростью разрыва, который экспоненциально затухает во времени.

2. В приближении многокомпонентной МГД также была решена задача об эволюции магнитного поля в пылевой плазме. Движение ионного и электронного компонентов рассматривалось на фоне неподвижной заряженной пыли. Были получены основные уравнения, описывающие динамику такой системы, рассмотрены их предельные случаи, получены решения, отвечающие этим случаям. Указаны пределы их применимости. Полученные результаты могут быть использованы для описания процессов в физике твердого тела, где аналогами компонентов плазмы могут служить электроны и дырки полупроводника, а аналогом пыли - кристаллическая решетка и атомы примеси.

3. Благодаря строгому выводу уравнений стохастического переноса из модели случайных блужданий удалось учесть эффекты конечной скорости движения частиц. Для ускоренной супердиффузии в эффективном транспортном уравнении получен дробный аналог субстанциональной производной. Асимптотический анализ позволил обнаружить новые свойства переноса как переключение автомодельности, вымирание сидящих частиц, нетривиальная зависимость от размерности задачи. Их физическая важность явно проявляется при применении модели для описания конкретной задачи, в данном случае это перенос излучения в линиях в корональной плазме.

4. Детальный анализ микроскопических уравнений транспорта в свою очередь позволил обнаружить в них эффекты памяти, заключающиеся в сильной зависимости уравнений от начального распределения и самого вида уравнения от макроскопического времени задачи. Точные уравнения неизбежно должны учитывать микроскопические детали, и вследствие этого достаточно сложны. Однако на начальном этапе эволюции можно предложить макроскопическую альтернативу, учитывающую следующий момент функции распределения и существенно повышающую точность уравнений.

5. Задача о транспорте заряженных частиц в стохастическом поле является примером субдиффузионного характера поведения и демонстрирует естественность возникновения и использования языка дробных производных для описания физических явлений, в особенности стохастического переноса.

6. Регулярные вихревые структуры являются чрезвычайно интересными объектами. Даже их линейная динамика существенно отличается от привычной кристаллической. Рассмотренные же нелинейные эффекты распространения волн в такой среде и исследование образования особенностей за конечное время еще ярче демонстрируют отличие вихревых решеток от стандартных волновых сред.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Забурдаев, Василий Юрьевич, 2003 год

1. А.С.Кингсеп, Л.И.Рудаков, К.В.Чукбар, "О недиффузионном механизме проникновения магнитного поля в плазму", Доклады АН СССР 262, с.1131 (1982).

2. А.С.Кингсеп, К.В.Чукбар, В.В.Яньков, Электронная магнитная гидродинамика. В сб. Вопросы теории плазмы, вып. 16, под редакцией Б.Б.Кадомцева., с.209-250, М.:1987.

3. А.С.Кингсеп, Ю.В.Мохов, К.В.Чукбар, "О нелинейных скиновых явлениях в плазме", Физика плазмы 10, вып.4, с.854 (1984).

4. В.Н. Цытович, "Плазменно-пылевые кристаллы, капли и облака", Успехи физических наук, 167(1), с.57 (1997).

5. А.Г.Коллюх, Ю.М.Малозовский, В.К.Малютенко, "Пинч-эффект в электронно-дырочной плазме с несобственной проводимостью", ЖЭТФ 89, вып.3(9), с.1018 (1985).

6. С.Г.Самко, А.А.Килбас, О.И.Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск (1987), с. 1.

7. J.-P.Bouchand and A.Georges, "Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanics, modeles and physical applications", Phys. Rep. 195, p.127 (1990).

8. M.B.Isichenko, "Percolation, statistical topography, and transport in random media", Rev. Mod. Phys. 64, p.961 (1992).

9. J.Klafter, R.Metzler, "The random walks guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach", Phys.Rep. 339, pp.1-77 (2000).

10. К.В.Чукбар, "Стохастический транспорт и дробные производные", ЖЭТФ 108, с.1875 (1995).

11. B.B.Kadomtsev,O.P.Pogutse, "Electron thermal conductivity across "shaggy" magnetic field", Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, Proceedings of the 7th International Conference, Innsbruck, Vol.1, p.649 (1979).

12. A.B.Rechester, M.N.Rosenbluth, "Electron Heat Transport in a Tokamak with Destroyed Magnetic Surfaces", Phys. Rev. Lett. 40, p.38 (1978).

13. Ф.Дж.Сэффмэн, "Динамика вихрейНаучный мир, Москва 2000, с.1.

14. B.В.Козлов, "Общая теория вихрей", Изд. дом "Удмуртский университет", с.1 (1996).

15. G.Blatter, M.V.Feigel'man, V.B.Geshkenbein et al., "Vortices in high-temperature superconductors", Rev.Mod.Phys. 66, p.1125 (1994).

16. R.N.Kraichnan, D.Montgomery, "Two-dimensional turbulence", Rep.Prog.Phys. 43, p.547 (1980).

17. Смирнов В.В., Чукбар К.В., "Фононы" в двумерных вихрервых решетках", ЖЭТФ 120, с.145 (2001).

18. В.Ю.Забурдаев, "К теории недиффузионного проникновения магнитного поля в проводящую среду", Физика плазмы, 26(5), с.494-496 (2000).

19. A.V.Gordeev, A.S.Kingsep, L.I.Rudakov, "Electron

20. Magnetohydrodynamics", Physics Reports, 243, p.221 (1994).21 2223