Изучение динамики и кинетики классических и "вихревых" частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат физико-математических наук Романов, Алексей Сергеевич

• Романов, Алексей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Романов, Алексей Сергеевич

Введение

1 Эксперимент с газом невзаимодействующих частиц

1.1 Газ невзаимодействующих частиц.

1.2 Описание динамики системы дисков с помощью случайных матриц.

2 Хольцмарковская статистика диполей.

Формулы Лоренца и Ланжевена.

2.1 Классические задачи.

2.2 Трехмерные диполи.

2.3 Магнитные моменты, распределенные по плоскости.

3 Субдиффузия в сложных гребешковых структурах и гирляндах

3.1 Субдиффузионный транспорт.

3.2 Гребешковая структура.

3.3 Сложная гребешковая структура.

3.4 Типичные задачи.

3.5 Гирлянды

4 Дипольное приближение в динамике трех вихрей

4.1 Общие вопросы вихревой динамики.

4.2 Постановка задачи.

4.3 Разложение по малому параметру 1/R.

5 Квантовая динамика вихрей

5.1 Квантование вихревых нитей.

5.2 Изотропные вихри.

5.3 Анизотропные вихри.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изучение динамики и кинетики классических и "вихревых" частиц»

В данной работе представлены задачи по исследованию систем с большим количеством частиц; проведено сравнение модели случайно распределенных диполей для трех и двумерного случая с классическими задачами Лоренца и Ланжевена; дан точный вывод уравнений переноса в разветвленных гребеш-ковых структурах; решены задачи по классической и квантовой динамики точечных вихрей. Проведенные исследования являются актуальными и новыми во многих направлениях физики.

Исследование динамики и статистики различного рода частиц широко распространено в разных областях физики. В основу исследования таких систем часто закладывают базовые законы взаимодействия между частицами. Простейшие модели — это хорошо известные биллиардные системы, где взаимодействие происходит между шарами или дисками [1, 2, 3]. В более сложных случаях взаимодействие носит не локальный характер, например, является кулоновским. Для слабостолкновительной плазмы (астрофизической или лабораторной плазмы низкой плотности) необходимо знать, за какие времена ее компоненты релаксируют к равновесному состоянию [4]. Газ косвенно взаимодействующих частиц (см.ниже) может являться аналогом такой плазмы и использоваться для приближенного нахождения времен этой релаксации. Такая модель позволяет детально отслеживать динамику системы, что очень важно и для практических применений, и для понимания общих закономерностей. В работе также рассматривается система непосредственно взаимодействующих частиц (дисков). В этом случае соударения моделируются с помощью случайных матриц. Предлагается алгоритм для описания динамики в пространстве скоростей. Эта модель может быть применима уже для сильностолкновительной плазмы.

Вопросами распределения полей от случайно расположенных источников интересуются давно, и данной тематике посвящено много работ, см.напр.,[5, б, 7, 8]. В плазме крайне важную роль играет распределение электрических и магнитных полей. Источниками таковых являются как обычные заряды, так и, например, вихревые структуры с дипольным распределением поля, поэтому рассматриваемая задача случайно распределенных диполей имеет непосредственное отношение к плазме. Метод, применяемый в работе, позволяет находить поле от произвольных точечных источников. В данной диссертации исследуются электрические Е и магнитные Н поля от случайно распределенных электрических диполей и магнитных моментов и проводится сравнение результатов с классическими формулами Лоренца и Ланжевена [9]. Для изучения статистических свойств задачи применяется метод Хольцмар-ка. В рамках модели диполей в трехмерном пространстве точно вычислена добавка к "действующему" полю. При выводе классической формулы Ланжевена для намагниченности рассматривается термодинамически равновесная система. В данной работе исследуется также представляющая практических интерес неравновесная конфигурация часто встречающаяся в реальных объектах. В модели, рассмотренной в диссертации, магнитные моменты (спины) случайном образом распределены по плоскости, каждый спин направлен по перпендикуляру к ней. Оказывается, намагниченность плоскости спинов во внешнем магнитном поле при определенных условиях не зависит от концентрации спинов, что качественно отличается от формулы Ланжевена.

Одним из актуальных вопросов в физике является исследование переноса в сложных средах — кластерах и полимерах [10, 11, 12]. Плазма во внешнем магнитном поле устроена очень сложно. В такой плазме перенос зачастую становится аномальным, и его особенности не могут уже быть описаны в рамках обычной диффузионной модели даже с модифицированным коэффициентом диффузии. Для правильного теоретического анализа задачи необходим аппарат дробных производных. Примером работ, с успехом использующих язык дробных производных, служат статьи по транспорту в структурах с переплетенным магнитным полем [13], работа по астрофизической плазме [14]. В данной диссертации рассматриваются сложные гребешковые структуры (СГС), построенные из простой гребешковой структуры (ГС) [15, 16, 17] последовательной заменой отростков на структуры другого уровня. Эволюция суммарной концентрации переносимой субстанции вдоль хребта такой структуры носит субдиффузионный характер с дробной производной по времени [18, 19]. Также изучались модельные структуры, у которых на оси хребта находятся двумерные диски или трехмерные шары. Исследованные в работе модели СГС и гирлянд могут быть использованы для качественного анализа транспорта в плазме. Уравнения для транспорта частиц в таких структурах полностью покрывают возможный интервал существования субдиффузионного режима, что, несомненно, важно для нахождения скейлингов и решения конкретных задач.

Вихревые структуры являются неотъемлемой частью плазмы и плазмен-ноподобных сред во всех физически возможных диапазонах существования, начиная с плазмы твердого тела и заканчивая термоядерной и даже кварк-глюонной плазмой. Вихри в плазме определяют ее устойчивость, динамику, процессы транспорта и т.п. В диссертации решена задача о взаимной динамике дипольного вихря (близкая вихревая пара с противоположными интен-сивностями) и точечного вихря для редуцированного гамильтониана. Найдены начальные параметры, для которых дипольный вихрь не распадается на отдельные вихри, и выписанные уравнения, описывающие движения диполя, полностью проинтегрированы. Процесс распада дипольных пар важен для физики плазмы, так как вихри в плазме часто встречаются именно в таком виде. Также возможным объектом приложения может служить кварк-глюонная плазма, в которой, при рассеянии кварков [20] в сильных внешних полях, их взаимная динамика идентична вихревой.

Развитые в физике плазмы методы анализа эволюции завихренности позволяют описывать вихревое движение в сверхпроводниках или просто в заряженной жидкости с вмороженным в течение ротором обобщенного импульса [21, 22]. Исходя из базовых уравнений, получают уравнение, описывающее динамику вихревых нитей и точечных вихрей в сверхпроводнике [23]. В данной работе исследуется переход от классической динамики двух вихрей к квантовой. Указывается, что оператор гамильтониана для двумерной системы двух вихрей есть функция тока, примененная к гамильтониану одномерного квантового осциллятора. Естественными собственными функциями в такой системе являются функции Эрмита. Когерентные состояния в ней отсутствуют для обычно используемых функций тока. При рассмотрении анизотропной функции тока, характерной для слоистых сверхпроводников [24] ответ записывается в виде рекуррентных соотношений. Задача решается для разных функций тока, в том числе и для функции Макдональда, описывающей электронные вихревые течения в плазме.

Кратко по главам.

Первая глава посвящена численному исследованию релаксации газа точечных частиц, взаимодействующих с диском.

В первом параграфе в область (квадрат L х L) помещается N невзаимодействующих частиц массы т. Частицы между собой никак не взаимодействуют, двигаются прямолинейно с постоянной скоростью, а при соударении со стенкой зеркально отражаются. Для релаксации к равновесному состоянию (равномерное распределение частиц по области с распределением Максвелла по скоростям) необходимо ввести диск массы М и радиуса R. Столкновение частицы и диска упругое. Система диск+частицы релаксирует к равновесному состоянию за характерное для данной системы время req. Время этой релаксации определяется геометрией области и диска: тед = тр^М/т, где тр ~ L2/(2R(u)) — время свободного пробега частицы, и — ее тепловая скорость. Оценки хорошо согласуются с экспериментами.

Во втором параграфе газ дисков описывается с помощью случайных матриц. Для ускорения численного расчета часто работают с упрощенной моделью, которая отражает необходимые параметры точной системы. Так для описании динамики газа двумерных дисков в данном параграфе применяются случайные матрицы. Динамика системы рассматривается только в пространстве скоростей. Соударение двух дисков можно записать в матричном виде V' = AV, где V и V' - вектора, отвечающие значениям скоростей до и после соударения, при этом матрица А зависит только от угла tp между линией соединяющей центры дисков и осью х. Строится случайный процесс с дискретным временем tn, в котором на каждом шаге диски случайным образом взаимодействуют друг с другом. В среднем требуется 5 — 10 столкновений каждому диску, чтобы система пришла к равновесному состоянию.

Во второй главе рассматривается газ случайно распределенных диполей в двух- и трехмерном пространстве.

В первом параграфе поясняется исходя из каких классических задач возникает интерес к исследованию системы случайно распределенных по пространству диполей или магнитных моментов. Первая — это модель Лоренца для диэлектрика, вторая имеет отношение к формуле Ланжевена для намагниченности газа спинов.

Во втором параграфе дан точный вывод т.н. "действующего поля" в рамках модели равномерно распределенных в трехмерном пространстве диполей. В кубе с ребром L случайным образом расставляются N диполей, так что концентрация п = N/L3 (интересует предел N оо,п = const). Все диполи ориентированы в одном направлении z и имеют одинаковый дипольный момент d. Для нахождения распределения суммарного поля был применен метод, который использовал Хольцмарк в своей работе [25]. Среднее значение (Ег) есть добавка к внешнему полю Eq и дается величиной 0,16 • 4л"Р/3, то есть составляет шестую часть добавки в формуле Лоренца.

В третьем параграфе по плоскости (х, у) равномерно распределены магнитные моменты (спины) ц. Каждый спин направлен перпендикулярно плоскости. За п+, п обозначается концентрация спинов направленных вверх, вниз, а п — п++п-. Применяя метод Хольцмарка, для нахождения распределения электрического поля, получается энергия плоскости спинов во внешнем магнитном поле Н = Hez: и2

Е ~ (п+ - п)2— - (п+ - п-)цН, а где а — это минимальное расстояние, на котором могут находиться спины, например, межатомное расстояние. Исходя из минимума энергии, намагниченность М = ц(п+ - п)Я есть М ~ аН для Н < цп/а не зависит от концентрации. Для Я > цп/а минимум энергии не достигается и намагниченность М = nfiH/H. Это соответствует случаю Ланжевена для полей

В третьей главе диссертации исследуется эволюция концентрации частиц в сложных гребешковых структурах.

В первом параграфе дается общее представление о субдиффузии и микроскопической модели, отвечающей субдиффузионному поведению.

Во втором параграфе дается точный вывод асимптотического уравнения для переноса суммарной концентрации частиц в гребешковой структуре.

Под гребешковой структурой [15, 16] понимается хребет бесконечной длины к которому через равные расстояния I пристыкованы отростки бесконечной длины. По отросткам и хребту частицы диффундируют с коэффициентом диффузии D. В задаче о гребешковой структуре интересен вид уравнения, описывающего перенос суммарной плотности числа частиц вдоль оси структуры. Известно, что такой перенос субдиффузионный и описывается уравнением с дробной производной по времени с показателем 1 /2. При этом полученное уравнение корректно учитывает начальные данные.

В третьем параграфе рассмотрены гребешковые структуры (ГС), в которых учитываются дополнительные разветвления отростков. Производится последовательный вывод уравнения переноса суммарной концентрации вдоль хребта структуры.

В четвертом параграфе с помощью СГС решается несколько задач, которые являются аналогами классических задач на начальные и краевые условия. Вычислена асимптотика суммарной концентрации в двух состыкованных структурах с показателями а и /3, так что а > (3. Более разветвленная структура {(3) впитывает в себя все частицы по степенному закону При пропускании потока через структуру а конечной длины в пристыкованную структуру (3 бесконечной длины выясняется, что для а > (3/2 поток сравнивается с входящим по степенному закону, в обратном случае поток не проходит сквозь структуру.

В пятом параграфе приведены структуры, у которых через равные расстояния на хребте расставлены диски или шары. В дисках и шарах частицы также диффундируют с коэффициентом диффузии D. Эта структура названа гирляндой. Уравнения эволюции, описывающие динамику в гирляндах медленнее, чем для сложных гребешковых структур.

В четвертой главе поставлена и решена задача о взаимной динамике диполыюго и монопольного вихрей.

В первом параграфе рассматриваются общие вопросы динамики точечных вихрей. Исходя из базового уравнения вмороженности выписана система гамильтоновых уравнений, описывающую такую динамику. Выписываются три дополнительных (помимо энергии) интеграла для данной системы [2G] — это момент и две компоненты импульса.

Во втором параграфе формулируется задача трех вихрей. При этом два вихря обладают одинаковыми, но противоположными по знаку зарядами — это дипольный вихрь.

В третьем параграфе, используя дипольность двух вихрей, точный гамильтониан частично линеаризуется по малому параметру 1/R — отношение расстояния между диполями к расстоянию до центрального вихря. Для полученного гамильтониана выписывается система четырех уравнений, которая решается в явном виде. Уравнения редуцированной системы для обычно используемых функций тока имеют седловую особую точку. Для функций тока вида ф{г) = гп особая точка — центр.

Численные расчеты показывают качественное совпадение в динамике редуцированной и точной моделях. Редуцированная модель описывает область параметров М, Н для которых диполь не распадается на отдельные вихри, что относится и к точной модели. При переходе через седловую точку в редуцированной модели диполь распадается (I ~ R) на отдельные вихри. В точной системе диполь распадается на некоторое время, а потом опять собирается, уходя на бесконечность или вращается вокруг центрального вихря попеременно распадаясь и собираясь вновь.

В пятой главе диссертации сделан переход от классической динамики уже двух вихрей к квантовой.

В первом параграфе описаны стандартные приемы квантования. Хорошо известны понятия квантования интенсивностей вихрей [22, 27], связанного с правилом Бора-Зоммерфельда и встречаемым во многих классических работах. В диссертации основной упор делается на вопрос о квантовом описании динамики двух точечных вихрей. Так же как задача двух тел система приводится к динамическим уравнениям на две координаты с гамильтонианом, совпадающим с функцией тока ф(г).

Во втором параграфе рассмотрены изотропные вихри: функция тока зависит лишь от модуля расстояния. Обозначая одну координату за импульс, а вторую за координату и сделав переход к операторам, задача сводится к квантовой с оператором Гамильтона Н = Гф (^J—h2d2/dq2 + q2^. Собственные функции оператора г2 = —h2d2/dq2 -f q2 — это функции Эрмита [28]. Функции от оператора г2 отвечает тот же набор собственных функций Эрмита, а собственные значения Н есть Т0ф (у/2к +1). Аналогичные результаты дает подход Гейзенберга, основанный на матричном представлении.

У квантового осциллятора существуют так называемые когерентные состояния [28], которые во время эволюции сохраняют свою форму. Волновая функция осциллятора, модуль которой совпадает с функцией Гаусса, есть когерентное состояние. Для вихревого гамильтониана гауссово состояние распадается. Связано это с тем что угловая скорость в классике меняется в зависимости от радиуса, и>г = дф/дг . В квантовом случае спектр энергии не рациональный. Но для функции тока ф(г) — г2п спектр рациональный, поэтому начальное состояние периодически восстанавливается.

В третьем параграфе исследуется вопрос о квантовой динамике для случая анизотропной функции тока, характерной для слоистых сверхпроводников типа ВТСП керамик [24]. Вихрь наклонен под углом к плоскостям и создает на далеких по сравнению с лондоновской длиной поле скоростей с функцией тока вида: ф = А(х2 — у2)/ (х2 + у2)2. Вводя операторы координаты и импульса, получается симметризованный оператор гамильтона. Ответ выписан в виде рекуррентных соотношений на коэффициенты разложения по функциям Эрмита. Для нулевого значения энергии, что отвечает движению по сепаратрисе, собственная функция выражается через функцию Бесселя.

В Заключении перечислены основные результаты работы.

Итак, автор выносит на защиту:

1. Численное и аналитическое исследование динамики системы невзаимодействующих частиц и диска. Реализацию модели случайных матриц для моделирования процесса релаксации в пространстве скоростей газа дисков.

2. Нахождение полей, создаваемых случайно распределенными диполями в двух- и трехмерном пространстве и их сравнение с классическими формулами Лоренца и Ланжевена.

3. Исследование транспорта в сложных гребешковых структурах и гирляндах.

4. Решение задачи динамики трех вихрей в дипольном приближении.

5. Описание квантовой динамики двух вихрей.

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Романов, Алексей Сергеевич

Основные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в работах [30, 35, 53, 54] и докладывались на следующих российских и международных конференциях:

• Н-я и Ш-я Курчатовская молодежная научная школа (Москва 2004 и 2005)

• Форум, посвященный году физике в МГУ (Москва 2005),

• Сессия по нелинейной физике (Москва 2005),

• Научная школа "Нелинейные волны 2006" (Н.Новгород 2006).

• III конференция молодых ученых, посвященная дню космонавтики (Москва 2006)

• 373 WE Heraeus Seminar Anomalous Transport: Experimental Results and Theoretical Challenges (Bad-Honnef,Germany, 2006)

В заключении хочу выразить благодарность всему коллективу отделения прикладной физики, в котором автор работает. В первую очередь я признателен своему научному руководителю Чукбару К.В. за интересные задачи и многочисленные обсуждения материала работы. Я благодарен Калинину Ю.Г. и Кингсепу А.С. за интерес и поддержку работы. За ценные советы и научные беседы по работе благодарю Гордеева А.В., Долгачева Г.И., Забурдаева В.Ю., Оселедца В.И., Попова П.В. Результаты диссертации получены в рамках проектов: инициативные проекты РНЦ "Курчатовский Институт", НШ-5819.2006.2, РФФИ 06-02-08189-офи.

Заключение

Перечислим кратко основные результаты работы.

1. Численно исследована динамика газа невзаимодействующих частиц и диска. Характерные времена в такой системе определяются геометрией области и диска, а релаксация к положению равновесия носит экспоненциальный характер. Описан способ как с помощью матриц, в которых содержится информация о соударении двух дисков, может быть составлен случайный процесс, описывающий релаксацию газа дисков к положению равновесия в пространстве их скоростей.

2. В работе проведено сравнение точно решаемой модели газа случайно распределенных диполей с моделью Лоренца для непрерывного диэлектрика. Показано, что добавка в действующем поле составляет около шестой части добавки в модели Лоренца. Для газа спинов с двумя возможными направлениями, распределенных по двумерной пленке, находящейся во внешнем магнитном поле, равновесная намагниченность не зависит от концентрации спинов, что качественно отличается от формулы Ланже-вена.

3. Транспорт в сложных геометрических структурах является актуальной задачей на данный момент в стохастическом переносе. Вследствие нетривиальной пространственной геометрии объектов, вместо простых диффузионных уравнений возникают их субдиффузионные аналоги. В работе рассматривались сложные гребешковые структуры. Выписано точное и асимптотическое субдиффузионное уравнение, описывающее перенос вдоль оси системы. Рассмотрены типичные задачи, в которых исследуется круг вопросов сходных с классическими задачами математической физики на начальные и краевые условия. Сложные гребешковые структуры оказываются эффективными барьерами для потока частиц.

4. Вопросы динамики точечных вихрей интересны как с общефизической, так и с прикладной точек зрения. В данной работе решена задача трех вихрей в дипольном приближении для различных функций тока и проведен анализ начальных условий, при которых дипольная вихревая пара, движущаяся в поле третьего вихря, не распадается на отдельные вихри.

5. В данной работе показано, как от задачи динамики двух классических вихрей перейти к квантовой динамике. Для симметричных функций тока найдены волновые функции, описывающие в общем виде динамику такой системы, и они выражаются через функции Эрмита. Также рассмотрен переход для анизотропных вихрей, возникающих в ВТСП-керамиках. Найдены рекуррентные соотношения для разложения собственных функций в этом случае по базису функций Эрмита.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Романов, Алексей Сергеевич, 2007 год

1. Adler В. JWainwright Т. Е. Phase transition for a hard sphere system // J. Chem.Phys. 1957. - Vol. 27. - P. 1208.

2. Gaspard P., Beijern H. When do tracer particle dominate the lyapunov spectrum? // J.Stat.Phys.-2Ш.~ Vol. 109, no. 3/4.

3. Volkov I., et.al. Molecular dynamics simulations of crystallization of hard spheres // Phys.Rev.E.- 2002.- Vol 66.- P. 063401.

4. Силин В. П. Введение в кинетическую теорию газов. — М.гНаука, 1998.

5. Коган В. И., Лисица В. С., Шолин Г. В. В сб.вопросы теории плазмы. Вып.13. — М.:Энергоатомиздат, 1984.

6. Чукбар К. В. Статистика двумерных вихрей и распределение Хольцмар-ка // Физика плазмы. — 1997. — Т. 25. — С. 83.

7. Wesenberg J. Н., M0lmer К. Field inside a random distribution of parallel dipoles // PRL. 2004. - Vol. 93. - P. 143903.

8. Gabrielli A., Baertschiger Т., et. al. Force distribution in a randomly perturbed lattice of identical particles with 1/r2 pair interaction // Phys.Rev.E. 2006. - Vol. 74. - P. 021110.

9. Сивухин Д. В. Электричество. — M.: Физматлит, 2002.

10. Балагуров Б. Я., Вакс В. Г. О случайных блужданиях по решетке с ловушками // ЖЭТФ. 1973. - Т. 65, № И. - С. 1939.

11. И. Isichenko М. В. Percolation, statistical topography and transport in random media // Rev.Mod.Phys. 1992. - Vol. 64. - P. 961.

12. Klafter J., Metzler R. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys.Rep. — 2000. — Vol. 339. — P. 1.

13. Zaburdaev V. Y. Theory of heat transport in a magnetized high-temperature plasma // Plasma Physics Reports. 2004. - Vol. 31. - P. 1091.

14. Зеленый JI. M., Милованов А. В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // УФЕ. 2005. - Т. 174. - С. 809.

15. Havlin S., Ben-Avraham D. Diffusion in disordered media j I Adv.Phys.— 1987.-Vol. 36.-P. 695.

16. Архинчеев В. Е., Баскип Э. М. Аномальная диффузия и дрейф в гре-бешковой модели перколяцинных кластеров // ЖЭТФ. — 1991. — Т. 100, №7.-С. 292.

17. Durhuus В., Jonsson Т., Wheater J. Random walks on combs // J.Phys.A. — 2006.-Vol. 39.-P. 1009.

18. Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. - Т. 108. - С. 1875.

19. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — М.:Наука, 1987.

20. Окунь Л. Б. Физика элементарных частиц. — М.:Наука, 1998.

21. Кингсеп А. С., Чукбар К. В., Яиъков В. В. Электронная магнитная гидродинамика, в сб.Вопросы теории плазмы Вып.16. — М.:Энергоатомиздат, 1987.- С. 209.

22. Blatter G., Feigel'man М. V., Geshkenbein V. В. Vortices in high temperature superconductors // Rev.Mod.Phys. —1994. — Vol. 66. — P. 1125.

23. Uby L., Isichenko M. В., Yankov V. V. Vortex filament dynamics in plasmas and superconductors // Phys.Rev.E. — 1995. — Vol. 52, no. 1. — P. 932.

24. Чукбар К. В., Яиъков В. В. Нелокальность вихревых нитей в слоистых сверхпроводниках // письма в ЖЭТФ. — 1995. — Т. 61. — С. 487.

25. Holtsmark Н. Field inside a random distribution of parallel dipoles // Ann.d.Phys. 1919. - Vol. 58. - P. 577.

26. Борисов А. В., Мамаев И. С., Соколовский М. А. Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. — Москва-Ижевск:институт компьютерных исследований, 2003.

27. Ландау JI. Д., Лифшиц Е, М. Статистическая физика. — М:Физматлит, 2001.-Т. 9.

28. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика.— М:Физматлит, 2001. Т. 3.

29. Чернов Н., Лебовиц ЛСинай Я. Динамика массивного поршня, погруженного в идеальный газ // УМН. 2002. - Т. 58, № 6.

30. Романов А. С. Некоторые вопросы релаксации газа невзаимодействующих частиц и диска. Описание динамики с помощью случайных матриц. // препринт ИАЭ-6345/L- 2004.

31. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики.— М.:Наука, 1967.

32. Коткин Г. Л. Лекции по статистической физике. — НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевск, 2006.

33. Chandrasekhar S. Stochastic problems in physics and astronomy // Rev.Mod.Phys. 1943. - Vol. 15. - P. 1.

34. Золотарев В. M. Одномерные устойчивые распределения. — М.:Наука, 1983.

35. Романов А. СЧукбар К. В. Хольцмарковская статистика диполей и Формулы Лоренца и Ланжевена // Электронный журнал Исследовано в России. — 2005. http://zhurnal.ape.relam.ru/articles/2005/158.pdf.

36. Montroll Е. W., Schlesinger М. F. Studies in statistical mechanics // ed.by Leibowitz J. and Montroll E.W. Noth-Holland, Amsterdam. — 1984. — Vol. 2.-P. 1.

37. Шкилев В. П. Модель аномального стохастического переноса // ЖЭТФ. 2005. - Т. 128, № 9. - С. 655-661.

38. Schmiedeberg М., Stark Н. Superdiffusion in a honeycomb billiard // Phys.Rev.E. 2006. - Vol. 73. - P. 031113.

39. Учайкип В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФЕ. 2003. - Т. 173, № 8.

40. Zaburdaev V. Y. Random walk model with waiting times depending on the preceding on the preceding jump length // Journal of Statistical Physics. — 2005. Vol. 123, no. 4. - Pp. 871-881.

41. Лубашевский И. А., Земляное А. А. Континуальное описание аномальной диффузии по гребешковой струкртуре // ЖЭТФ. — 1998.— Т. 114, К0-10.-С. 1284.

42. Зеленый Л. М., Милованов А. В. Эффекты памяти в стохастическом транспорте // письма в ЖЭТФ. 2003. - Т. 77. - С. 654.

43. Смирнов В. В., Чукбар К. В. "Фононы" в двумерных вихревых решетках // ЖЭТФ. 2001. - Т. 120. - С. 145.

44. Одинцов Д. С., Руднев И. А., Кашурников В. А. Динамика вихревой системы и энергетические потери в двумерной сверхпроводящей пластине // ЖЭТФ. 2006. - Т. 130, № 7. - С. 77.

45. Гордеев А. В., Лосева Т. В. Стационарная вихревая структура в плазме с сильным магнитным полем // Физика плазмы. — 2000. — Т. 26. — С. 1030.

46. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика, — М:Физматлит, 2001. — Т. 6.

47. Козлов В. В. Общая теория вихрей.— Ижевск: Изд.дом 'Удмуртский университет", 1998.

48. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Итоги науки и техники: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — Москва:ВИНИТИ, 1985.- Т. 3.

49. Новиков Е. А. Динамика и статистика системы вихрей // ЖЭТФ.— 1975.-Т. 68.-С. 1868.

50. ArefH. Motion of three vortices // Phys.Fluids. 1979. - Vol. 22. - P. 393.

51. Долоюанский Ф. В. О механических прообразах фундаментальных гидродинамических инвариантов и медленных многообразий // УФН.— 2005.-Т. 175, № 12. — С. 1257.

52. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М:Едиториал УРСС, 2003.

53. Романов А. С. Дипольное приближение в динамике трех вихрей // ТМ Ф. — 2006. — Т. 148.

54. Забурдаев В. 10., Романов А. СЧукбар К. В. Эрмитовы состояния в квантовом взаимодействии вихрей // УФН.— 2005.— Т. 175, № 8.— С. 881.

55. Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойство, применения. — Москва-Ижевск:РХД, 2002.