Теоретическое исследование квазистационарной и релаксационной стадий процесса деления возбужденного атомного ядра тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, кандидат физико-математических наук Актаев, Нуркен Ерболатович

• Актаев, Нуркен Ерболатович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Актаев, Нуркен Ерболатович

Введение

I Формулы Крамерса

§ 1.1 Вывод формулы Крамерса для случая среднего трения

1.1.1 Основные понятия и определения

1.1.2 Поток вероятности частиц через барьер

1.1.3 Число частиц в квазистационарном состоянии

1.1.4 Получение формулы Крамерса

§ 1.2 Границы применимости формул Крамерса

§ 1.3 Итоги I главы

II Динамическая модель деления ядер

§2.1 Описание динамической модели

§ 2.2 Адекватность динамической модели

2.2.1 Гармонический осциллятор

2.2.2 Сравнение с предшественниками

§ 2.3 Итоги II главы

III Согласие динамической квазистационарной и крамерсовой скоростей деления

§ 3.1 Гармонический потенциал

§ 3.2 Тригонометрический потенциал

§ 3.3 Полиномиальный потенциал

§3.4 Бистабильный потенциал

§ 3.5 Ангармонический потенциал

§ 3.6 Итоги III главы

IV Модифицированный крамерсов подход к делению ядер

§ 4.1 Поправки к формуле Крамерса

4.1.1 Обоснование выбора потенциала

4.1.2 Нулевой порядок малости по

4.1.3 Первый порядок малости по

4.1.4 Второй порядок малости по

§ 4.2 Границы применимости поправок

§ 4.3 Итоги IV главы

V Релаксационная стадия процесса деления возбуждённых ядер

§ 5.1 Связь между та, и тг

§ 5.2 Сравнение с результатами динамического моделирования

§ 5.3 Моделирование релаксационной стадии с учётом испускания лёгких частиц

§ 5.4 Итоги V главы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретическое исследование квазистационарной и релаксационной стадий процесса деления возбужденного атомного ядра»

Прошло уже около 60 лет с того момента, как в Лос-Аламосе (США) Э. Ферми, Д. Пастой и С. Уламом было проведено компьютерное моделирование процесса вибрации гибкой цепи, состоящей из 32 частиц. Вся система представляла собой идеализированную одномерную атомную решетку, удерживаемую химическими связями. В результате использования в этом эксперименте компьютера удалось достичь небывалой точности вычисления. Это привело к тому, что было обнаружено периодическое поведение системы вместо эргодического, которое ожидалось. Таким образом, впервые повышение точности расчётов привело к открытию нового физического явления.

Бурное развитие вычислительной техники в последние 50 лет открыло ранее недоступные возможности ещё большего увеличения точности расчётов. Это повлекло за собой выявление новых закономерностей в различных областях науки [1 — 4]. Важнейшим инструментом подобных исследований являются математические модели, реализованные в виде компьютерных кодов. Исследования в области ядерной физики (ЯФ) не являются в этом смысле исключением. Сложность, трудоёмкость, а иногда и невозможность проведения экспериментов в ЯФ приводит к необходимости её изучения с помощью таких моделей. Одним из уникальных явлений, которое изучается подобным образом, является деление атомного ядра. Оно было открыто в 1939 году О. Ганном и Ф. Штрассманом [6]. Для количественного описания этого явления Н. Бором и Д. Уиллером была разработана статистическая модель (СМБУ) [7], основанная на методе переходного состояния [8, 9]. Суть этого метода заключается в следующем. Предполагается, что деление произошло, если ядро преодолевает некоторую критическую точку на поверхности потенциальной энергии (потенциала). В роли такой точки, как правило, выступает седловая точка, соответствующая барьеру деления. Скорость деления при этом рассчитывается согласно выражению, которое получило название «формула (выражение) Бора-Уиллера». Само же деление представляет собой чисто случайный процесс.

Сразу после открытия реакции деления X. Крамере в работе [10], аналитически решая уравнение Фоккера-Планка (УФП), получил несколько приближённых формул для скорости деления (СД) атомных ядер. Согласно этим формулам СД зависела от ядерного трения. Однако результаты работы X. Крамерса находились в противоречии со статистическим выражением для скорости деления Бора-Уилл ера [7], в котором трение не учитывалось. Почему-то сложилось так, что этому противоречию не было уделено должного внимания. Об этом свидетельствуют работы тех лет, в которых для построения статистической модели использовалось только выражение Бора-Уиллера [11 - 19]. А о работе X. Крамерса не вспоминали в ядерной физике до 1973 года.

В 1973 году в работах В. Струтинского [20, 21] статистическое выражение Бора-Уиллера впервые было подвергнуто серьёзной критике. Обсуждались границы применимости этого выражения. Было выдвинуто предположение, что формула Бора-Уиллера применима только для достаточно ограниченного круга задач. Для всех остальных случаев необходимо применять крамерсовы формулы, которые являются более универсальными по сравнению с формулой Бора-Уиллера. Существует мнение, что работы [20, 21] послужили мотивацией для постановки экспериментов по анализу влияния диссипации на скорость деления ядра.

В конце 70-х начале 80-го годов Д. Хилыпером с сотрудниками были поставлены эксперименты, в которых впервые удалось зафиксировать именно те нейтроны, которые покидают делящееся ядро [22]. Такие нейтроны мы будем называть предразрывными [27]. Их количественной характеристикой является средняя множественность предразрывных нейтронов ^.

Одновременно с Д. Хилыпером группой теоретиков во главе с X. Вай-денмюллером было проанализировано влияние трения на скорость деления ядер. Оказалось [23 - 26], что учёт эффектов диссипации приводит к эмиссии большего числа предразрывных нейтронов, чем это предсказывалось СМБУ.

Большое внимание к этим нейтронам было приковано потому, что они являются мерой времени протекания процесса деления - своего рода «ядерными часами» [27]. Вскоре появилось большое количество экспериментальных данных по измерению числа предразрывных нейтронов [28 - 31]. Оказалось, что количество предразрывных нейтронов, рассчитанное с учётом диссипации, ближе к экспериментальным результатам, нежели полученное в рамках СМБУ. В результате чего, СМБУ была модифицирована: в формулу Бора-Уиллера был добавлен крамерсов диссипативный множитель. Такую статистическую модель мы будем называть статистической моделью Крамерса (СМК). Подобное название впервые прозвучало в работе В. Струтинского [20, 21]. В литературе также встречается термин «картина Крамерса» [33]. Такие статистические модели используются в ядерной физике и по сей день [36-41].

Однако крамерсова поправка не полностью решила проблему избыточных нейтронов (так мы будем называть разность между экспериментально измеренным значением и полученным в результате использования СМБУ). Для энергий свыше 70 — 90 МэВ СМК приводит к заниженному, по сравнению с экспериментальным, значению Это несоответствие указывает на то, что процесс деления имеет динамический характер, который не учитывается в рамках СМК.

Впервые динамическое моделирование процесса деления удалось реализовать в 1986 году Я. Абе с сотрудниками [42]. Адекватность построенной ими модели была доказана посредством сравнения результата численного моделирования с известным аналитическим решением [43, 44] Для описания динамики деления использовались стохастические уравнения Ланжевена (УЛ), которые с физической точки зрения эквивалентны уравнению Фоккера-Планка. Численное решение УЛ осуществлялось методом Эйлера [45]. Путём численного решения УЛ была построена временная зависимость скорости деления. Оказалось, что эта скорость на начальной стадии нелинейно возрастала от нуля до квазистационарного значения. Более того, динамическая квазистационарная скорость деления (КССД) неплохо согласовалась с аналитической крамерсовой скоростью деления (КСД). Таким образом, построенная динамическая модель хорошо отражала диссипативную динамику деления ядра. Однако эта модель имела (и имеет до настоящего времени) крупный недостаток. При энергии возбуждения, незначительно превышающей высоту барьера деления, затраты компьютерного времени превосходят все разумные пределы. Это время порой может отличаться от времени необходимого для статистического моделирования в сотни раз. В результате оказывается возможным изучать только те системы, которые имеют 100% или близкую к ней вероятность деления. Реальная же ситуация, разумеется, значительно богаче.

В 1990 — 1993 годах П. Фрёбрихом и др. было выявлено, что спустя определённое время, скорость деления достигает своего квазистационарного предела. Следовательно, дальнейшее динамическое моделирование становится излишним: допускается режим применимости СМК. Таким образом, одним из главных требований перехода в статистическую ветвь является согласие КССД и КСД.

Впервые объединение динамической и статистической ветвей было предложено в работе [46]. Такие модели получили название — комбинированные динамическо-статистические модели (КСДМ). Суть таких моделей состоит в том, что вначале процесс моделируется динамически с использованием стохастических уравнений, а затем, при выполнении определённых условий моделирование переходит в статистическую ветвь. Одним из таких условий является согласование времени динамического моделирования с временем, необходимым системе, чтобы достичь своего квазистационарного предела. Подобные модели распространены для случая одной [46 - 61], двух [62 - 66] и трёх [67 - 71] степеней свободы. В последних двух случаях формула Крамерса, необходимая для статистической ветви, приобретает свой многомерный вид [72]. Разумеется, учёт как можно большего числа степеней свободы соответствует более реалистичной ситуации. Но в то же время он влечёт за собой огромные затраты машинного времени. Принимая во внимание, что в последнее время возник большой интерес к реакциям с малыми, порядка 1%, вероятностями деления [76], их теоретическое описание при помощи КДСМ даже для одной степени свободы возможно только для весьма ограниченного круга задач. Из-за этого в настоящее время возникла необходимость построения такой статистической модели, которая бы учитывала не только диссипацию, как это сделано в СМК, но и релаксационный интервал делительного процесса, то есть являлась бы неплохой заменой динамического режима.

Первая попытка построения такой модели принадлежит, по-видимому, Д. Хайнду с соавторами [73]. Её идея состоит в следующем. Считается, что скорость деления равна нулю в течение определённого промежутка времени т5. После этого деление моделируется в рамках СМК. Модели подобного рода мы будем называть статистическими моделями Крамерса с временной задержкой деления (СМКЗ) [48, 75, 76]. Разумеется, подобное подавление скорости деления является довольно грубым приближением реальной ситуации. В работах К.-Х. Шмидта [74 - 77] временная задержка деления имеет более сложную структуру, которая лучше соответствует временной зависимости скорости деления. Однако в работах Д. П. Лестоуна [38, 40] время релаксации не учитывается вовсе. Авторы считают, что этим временем можно пренебречь, поскольку оно в несколько раз меньше обратной крамерсовой скорости гг А в работах X. Хофмана [33, 34, 35] вообще утверждается, что временная задержка деления в статистической модели приводит к двойному учёту испущенных частиц при делении. Аргументация авторов этой работы сводится к тому, что идентичны среднее время деления та [48] и тк .

Таким образом, сложилась довольно противоречивая картина в отношении адекватного построения СМК. Открытыми остаются вопросы: нужна ли временная задержка деления? Если нужна, то способна ли она заменить динамическую ветвь КДСМ? Насколько нам известно, на момент написания настоящей диссертации не существовало ни одной работы, где бы результаты, полученные с помощью СМК, СМКЗ и КДСМ сравнивали бы «напрямую».

Ситуация осложняется тем, что крамерсова скорость деления, которая является важнейшим ингредиентом СКМ, СМКЗ, КДСМ, не всегда согласуется с КССД, полученной путем динамического моделирования. В работах [49, 78 - 81] было показано, что это различие может достигать 20%. Если в 90-х годах прошлого века такая точность являлась вполне приемлемой, то в настоящее время она должна быть улучшена. Попытки разобраться в причинах отклонения КСД от КССД предпринимались неоднократно. В работе [82] было показано, что к такому отклонению приводит отличие потенциала от осцилляторного в экстремальных точках. В [48] установлено влияние положения точки разрыва на величину КССД и получена соответствующая поправка к КСД. И, наконец, в работе [68] с использованием многомерной модели было показано, что на согласие скоростей влияет выбор термодинамического потенциала.

Необходимость повышения точности согласования КСД и КССД диктуется как минимум тремя обстоятельствами. Во-первых, недавно обнаружено [84, 85], что учёт эффектов немарковости влияет как на динамическую, так и на крамерсову скорости деления. При этом соответствующие динамические уравнения и выражение для скорости Крамерса приобретают немарковский вид. Во-вторых, как известно делящееся ядро в реальности представляет собой квантовую систему. Учёт квантовых эффектов приводит к изменению численного значения скорости деления [78]. И третье обстоятельство заключается в том, что учет каждой последующие степени свободы существенно изменяет значение КССД [70, 86]. Все эти эффекты как раз порядка 10 — 20%, т.е. такого же масштаба, как и принимаемая до сих пор точность аналитических выражений для скорости деления. Заметно ощущается явный недостаток исследований, направленных на изучение рассогласования скоростей. Причем неплохо было бы начать с такой ситуации, которая с одной стороны максимально упрощала бы модель настолько, чтобы было возможно развязать» эффекты, влияющие на согласие КСД и КССД. Но с другой стороны, по-прежнему бы отражала основные закономерности процесса деления. Таким образом, подводя итого вышесказанному, можно сформулировать цель настоящей диссертации.

Цель работы: провести систематическое теоретическое исследование квазистационарной и релаксационной стадий процесса деления возбуждённого атомного ядра и установить влияние корректного описания этих стадий на адекватность моделирования деления с учётом испускания лёгких частиц. В связи с этим в работе поставлены следующие задачи:

1. получить более точные аналитические выражение (поправки к формулам Крамерса) для квазистационарной скорости деления, применяемые для моделирования процесса деления ядра и его конкуренции с испусканием частиц;

2. изучить влияние стадии установления квазистационарной скорости деления на механизм формирования наблюдаемых величин: вероятности деления, средних множественностей предразрывных нейтронов, протонов, альфа-частиц, дейтронов и гамма-квантов.

Научная новизна и значение результатов

1. Получены поправки к классическим формулам Крамерса на ненулевые высшие производные (НВП) в экстремальных точках потенциальной энергии делящегося ядра. Эти поправки позволяют согласовать скорости деления, рассчитанные по формулам Крамерса, с квазистационарными скоростями, вычисленными в рамках динамического моделирования, с точностью 1%;

2. Вопреки теоретическим предсказаниям выявлено, что эти поправки применимы не только в режиме сверхзатухания, но и при достаточно малых значениях коэффициента затухания, сравнимых со значениями частот коллективного движения вблизи квазистационарного состояния и седловой точки потенциала делящегося ядра;

3. Разработан и аналитически обоснован теоретический подход, учитывающий релаксационный характер процесса деления. Этот подход позволит проводить более эффективный и корректный анализ разнообразных экспериментальных данных, касающихся процесса деления ядер при высоких значениях энергии возбуждения;

4. Впервые с помощью моделирования доказана необходимость учёта релаксационной стадии деления при высоких значениях энергии возбуждения делящегося ядра.

Практическая значимость результатов

Полученные поправки к формуле Крамерса на НВП, которые улучшают точность формулы Крамерса, дают возможность проводить более адекватный и корректный анализ процесса деления ядра и формирования наблюдаемых величин, таких как: вероятность деления, средние множественности предразрывных нейтронов, протонов, альфа-частиц, дейтронов и гамма-квантов. Разработанный теоретический подход, основанный на учёте релаксационного характера процесса деления ядра, обеспечивает более адекватное моделирование процесса деления возбуждённого атомного ядра, сопровождаемого испусканием лёгких частиц, и позволяет получить реальные оценки среднего времени деления, сопоставимые с экспериментальными данными. Существенное научное значение результатов подтверждается наличием независимых ссылок на работу I.I. Gontchar and N.E. Aktaev // Physical Review С (2009) 80, 044601 научными сотрудниками из Southeast University (Nanjing, People's Republic of China), Gesellschaft fuer Schwerionenforschung (Darmstadt, Germany), Grand Accélérateur Nationl d'Ions Lourds (Caen, France), Yale University (New Häven, USA), Université Bordeaux I, (Gradignan, France), Washington University (St. Louis USA).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка аббревиатур, списка обозначений и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Физика атомного ядра и элементарных частиц», Актаев, Нуркен Ерболатович

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Проанализирован вывод формулы Крамерса для случая среднего трения. В результате этого анализа выявлена дополнительная граница применимости формулы: квазистационарное состояние и точка разрыва должны быть расположены относительно далеко от седловой точки.

2. Проведено систематическое исследование влияния ангармоничности потенциала (наличие НВП) на согласие динамической квазистационарной и крамерсовой скоростей деления. Выявлено, что различие между этими скоростями может достигать 40%.

3. Получены поправки к крамерсовой скорости деления на ненулевые высшие производные в экстремальных точках потенциальной энергии нулевого, первого и второго порядков малости по отношению . Некоторые из этих поправок, помимо ненулевых высших производных, учитывают также положения квазистационарного состояния # , седловой точки и точки разрыва Продемонстрировано, что эти поправки можно применять не только в режиме сверхзатухания (/?» созс1), для которого они получены, но и при промежуточных значениях коэффициента затухания ( /? « со^ ).

4. Проведено теоретическое обоснование необходимости учёта релаксационной стадии процесса деления атомных ядер для адекватного моделирования этого процесса, сопровождаемого испусканием легких частиц.

5. Анализ влияния релаксационной стадии процесса деления на механизм формирования наблюдаемых величин (вероятность деления, средние множественности предразрывных нейтронов, протонов, альфа-частиц, дейтронов и гамма-квантов) позволил доказать, что наиболее адекватное моделирование этой стадии удается достичь только в рамках комбинированной динамическо-статистической модели. В случаях, когда удобнее использовать статистическую модель Крамерса (например, для анализа реакций деления ядер при низких значениях параметра делимости и высоких энергиях возбуждения), также необходимо учитывать временную задержку деления. Причем, это не приводит к двойному учету испускаемых частиц.

6. Впервые с хорошей точностью продемонстрировано, что при увеличении времени динамического моделирования значения шести наблюдаемых (вероятности деления, средних множественностей предразрывных нейтронов, протонов, альфа-частиц, дейтронов и гамма-квантов.) перестают зависеть от этого параметра.

В заключении выражаю глубокую признательность и благодарность научному руководителю — Игорю Ивановичу Гончару за помощь в процессе выполнения диссертационной работы.

Сердечную благодарность хочу выразить своим родителям Ерболату Елюбаевичу Актаеву и Орынтай Букентаевне Актаевой за неоценимую Поддержку и Понимание во всём.

Отдельную благодарность выражаю Геннадию Дмитриевичу Адееву за полезную критику, внимание к работе, поддержку и помощь на заключительном этапе работы над диссертацией.

Выражаю благодарность Дмитрию Олеговичу Ерёменко, Вячеславу Владимировичу Самарину, Юрию Алексеевичу Честнову за полезные обсуждения результатов диссертационной работы.

Благодарю Марию Владимировну Чушнякову за плодотворное сотрудничество в процессе написания статей.

Благодарен Аскару Бакировичу Кильдибекову и Владимиру Григорьевичу Шахову за поддержку во время обучения в аспирантуре.

Аббревиатуры

АРГО — аналитическое решение уравнений Ланжевена для гармонического осциллятора.

БЧ — броуновская частица.

ВД - вероятность деления.

ДСД - динамическая скорость деления.

КСД - крамерсова скорость деления.

КСС — квазистационарное состояние.

КССД — квазистационарная скорость деления.

КЧ - ключевые точки потенциала # , , .

НВПЭ - ненулевые высшие производные в экстремальных точках потенциальной энергии.

СВПДГ - среднее время первого достижения границы СД - скорость деления.

СМБУ - статистическая модель Бора-Уиллера. СМК — статистическая модель Крамерса.

СМКЗ - статистическая модель Крамерса с временной задержкой деления.

СТ — седловая точка.

ПУЛ — полные уравнения Ланжевена.

РС — релаксационная стадия

РУЛ - редуцированное уравнение Ланжевена.

РЧМ - результат численного моделирования.

УЛ - уравнения Ланжевена.

УФП — уравнение Фоккера-Планка.

ФК — формула Крамерса.

ЯФ — ядерная физика.

Обозначения

А - массовое число. а — параметр плотности одночастичных уровней энергий. В1 - высота барьера деления.

- коэффициент диффузии в конфигурационном пространстве. Ор — коэффициент диффузии в импульсном пространстве.

Д, - коэффициент диффузии в пространстве скоростей. £>0 - диаметр исходного сферического ядра. Е*ш - полная энергия возбуждения. Е*п - внутренняя энергия ядра т - инерционный параметр.

Ир — число поделившихся ядер в динамическом режиме.

- полное число частиц, участвующих в моделировании. р — обобщенный импульс.

7 - обобщённая координата.

- скорость деления.

Яр - скорость деления, полученная при динамическом моделировании.

- динамическая квазистационарная скорость деления.

51 - энтропия. Т - температура.

- время динамического моделирования.

11 - кинетическая энергия. V - потенциальная энергия. 2 - зарядовое число. Р - коэффициент затухания. - кинетическая энергия испаренной частицы

Atb — ширина временного бина. р - плотность вероятности.

Ф - Интеграл вероятности Лапласа. р - коэффициент корреляции.

71 - фрикционный параметр. сг - среднеквадратическое отклонение. сг2 - дисперсия. т - шаг моделирования. тс1ес ~~ среднее время распада. тг - время релаксации скорости деления. тиу - время релаксации средних значений кинетической и потенциальной энергий. т5 - временная задержка деления. 1 соно - «частота» гармонического осциллятора. а>45 - «частота» в квазистационарном состоянии. соз(1 — «частота» в седловой точке. соКг - крамерсова «частота». - волновая функция. ц/т - случайная (Ланжевеновская) сила.

Заключение

В диссертации проведено систематическое теоретическое исследование квазистационарной и релаксационной стадий процесса деления возбуждённых ядер. Продемонстрировано, что повышение точности расчётов позволило выявить интересные особенности этих стадий.

В частности для квазистационарной стадии, показано, что непарабо-личность потенциала в экстремальных точках потенциальной энергии является одной из причин существенного рассогласования (более 30%) крамерсо-вой и квазистационарной скоростей деления.

Следует отметить, что проблема учёта релаксационной стадии возникла относительно недавно (менее 20 лет), поэтому исследования в этом направлении чрезвычайно важны. В настоящей диссертации чётко сформулирована роль релаксационной стадии при моделировании процесса деления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Актаев, Нуркен Ерболатович, 2011 год

1. E.N. Lorenz «Deterministic nonperiodic flow» // Journal of the Atmospheric Sciences (1963) V. 20, p. 130 - 141.

2. P. Fröbrich and J. Stroth «Role of statistical fluctuations in the emission of 8 electrons from dissipative heavy-ion collisions» // Physical Review Letters (1990) V. 64, № 6, p. 629 632.

3. S. Ruffo and D.L. Shepelyansky «Universal diffusion near the golden chaos border» // Physical Review Letters (1996) V. 76, № 18, p. 3300 3303.

4. B.B. Прудников, П.В. Прудников, A.H. Вакилов и A.C. Криницын «Компьютерное моделирование критического поведения трёхмерной неупорядоченной модели Изинга» // Журнал экспериментальной и теоретической физики (2007) Т. 132, вып. 2(8), с. 417 425.

5. О. Yu. Sliusarenko, V. Yu. Gonchar, А. V. Chechkin, I. M. Sokolov and R. Metzler «Kramers-like escape driven by fractional Gaussian noise» // Physical Review E (2010) V. 81, 041119.

6. O. Hahn and F. Strassmann «Über den nachweis und das verhalten der bei der bestrahlung des urans mittels neutronen entstehenden erdalkalimetalle» //Naturwissenshaften (1939) V. 27, p. 11 13.

7. N. Bohr and J.A. Wheeller «The mechanism of nuclear fission» // Physical Review (1939) V. 56, p. 426 450.

8. P. Hanggi, P. Talkner and M. Borkovec «Reaction-rate theory: fifty years after Kramers» // Reviews of Modern Physics (1990) V. 62, № 2, p. 251 -342.

9. V.l. Mel'nikov «The Kramers problem: fifty years of development» // Physics Reports (1991) V. 209, № 1 & 2, p. 1 71.

10. H.A. Kramers «Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reaction» // Physica (1940) V. 7, p. 284 304.

11. P. Fong «Asymmetric fission» // Physical Review (1953) V. 89, p. 332 -333.

12. P. Fong «Statistical theory of nuclear fission: asymmetrical fission» // Physical Review (1956) V. 102, p. 434 448.

13. И. Халперн «Деление ядер» (1962) Государственное издательство физико-математической литературы, с 152.

14. А.В. Игнаткж «Влияние оболочечной структуры осколков на процесс деления» //Ядерная физика (1968) т. 7, с. 1043 — 1050.

15. А.В. Игнаткж «Статистическое описание выходов продуктов деления» //Ядерная физика (1969) т. 9, с. 357 366.

16. L.G. Moretto «Statistical description of deformation in excited nuclei and disappearance of shell effects with excitation energy» // Nuclear Physics A1972) V. 182, p. 641-668.

17. L.G. Moretto «Shell model calculations of fission decay widths and probabilities in superheavy nuclei» // Nuclear Physics A (1972) V. 180, p. 337 -362.

18. B.D. Wilkins, E.P. Steinberg and R.R. Chasman «Scission-point model of nuclear fission based on deformed-shell effects» // Physical Review С (1976) V. 14, № 5, p. 1832 1863.

19. B.A. Рубченя «Проявление первичных и вторичных оболочек ядер-осколков при делении тяжёлых и сверхтяжёлых элементов» (1979) Ленинград, с. 29 (Препринт/Рад. ин-т: РИ — 104).

20. V.M. Strutinsky «The fission width of excited nuclei» // Physics Letters В1973) V. 47, № 2, p. 121 123.

21. B.M. Струтинский «Ширина деления нагретых ядер» // Ядерная Физика1974) Т. 19, вып. 2, с. 259 262.

22. P. Grange and H.A. Weidenmiiller «Fission probability and the nuclear friction constant» // Physics Letters В (1980) V. 96, p. 26 30.

23. P. Grange, Qing Li-Jang and H.A. Weidenmiiller «Induced nuclear fission viewed as a diffusion process: Transients» // Physical Review C (1983) V. 27, p. 2063 2077.

24. S. Hassani and P. Grange «Neutron multiplicities in fission viewed as a diffusion process» // Physics Letters B (1984) V. 137, p. 281 286.

25. S. Hassani and P. Grange «Nuclear dissipation, fission probability and neutron multiplicity prior to fission» // Zeitschrift fîir Physik A (1986) V. 325, № l,p. 95-98.

26. D. Hilscher and H. Rossner «Dynamics of nuclear fission» // Annales de Physique (1992) V. 17, p. 471 552.

27. E. Holub, D. Hilscher, G. Ingold, U. Jahnke, H. Orf and H. Rossner «Neutron emission in central heavy-ion collisions of 165Ho + 20Ne at 11, 14.6, and 20.1 MeV/nucleon» // Physical Review C (1983) V. 28, p. 252 270.

28. W.P. Zank, D. Hilscher, G. Ingold, U. Jahnke, M. Lehmann and H. Rossner «Fusion-fission dynamics at high excitation energies studied by neutron emission» // Physical Review C (1986) V. 33, p. 519 536.

29. D.J. Hinde, R.J. Charity, G.S. Foote, J.R. Leigh, J.O. Newton, S. Ogaza and A. Chattejee «Neutron multiplicities in heavy-ion-induced fission: Time-scale of fusion-fission» //Nuclear Physics A (1986) V. 452, p. 550 572.

30. D.J. Hinde, H. Ogata, M. Tanaka, T. Shimoda, N. Takahashi, A. Shinohara, S. Wakamatsu, K. Katori, H. Okamura «Pre-scission neutron multiplicity following the 160 + 142Nd reaction» // Physical Review C (1988) V. 37, p. 2923 2926.

31. H. Hofmann and F. Ivanyuk «Mean first passage time for nuclear fission and the emission of light particles» // Physical Review Letters (2003) V. 90, № 13, 132701.

32. H. Hofmann and A.G. Magner «Mean first passage time for fission potential having structure» // Physical Review C (2003) V. 68, 014606.

33. H. Hofmann «A note on the time evolution of the fission decay width under the influence of dissipation» // http://aps.arxiv.org/abs/nucl-th/0304032v2.

34. N.P. Shaw, I. Dioszegi, I. Mazumdar, A. Buda, C.R. Morton, J. Velkovska, J.R. Beene, D.W. Stracener, R.L. Varner, M. Thoennessen and P. Paul «Nuclear viscosity of hot rotating 240Cf» // Physical Review C (2000) V. 61, 044612.

35. K. Siwek-Wilczynska, I. Skwira and J. Wilczynski «Tests of the fission-evaporation competition in the deexcitation of heavy nuclei» // Physical Review C (2005) V. 72, 034605.

36. S.G. McCalla and J.P. Lestone «Fission decay width for heavy-ion fusion-fission reactions» // Physical Review Letters (2008) V. 101, 032702.

37. J.P. Lestone and S.G. McCalla «Statistical model of heavy-ion fusion-fission reactions» // Physical Review C (2009) V. 79, 044611.

38. RJ. Charity «Systematic description of evaporation spectra for light and heavy compound nuclei» // Physical Review C (2010) V. 82, 014610.

39. Y. Abe, C. Gregoire and H. Delagrange «Langevin approach to nuclear dis-sipative dynamics» // Journal de Physique (1986) V. 47, p. 329 338.

40. G.E. Uhlenbeck and L.S. Ornstein «On the theory of the Brownian motion» //Physical Review (1930) V. 36, P. 823 841.

41. S. Chandrasekhar «Stochastic problems in physics and astronomy» // Reviews of Modern Physics (1943) V. 15, № 1, p. 1 89.

42. H. Risken «The Fokker-Planck equation» (1984) Springer-Verlag, p 472.

43. N.D. Mavlitov, P. Frôbrich and I.I. Gonchar «Combining a Langevin description of heavy-ion induced fission including neutron evaporation with the statistical model» // Zeitschrift fur Physik A (1992) V. 342, p. 195 198.

44. P. Frobrich, I.I. Gontchar and N.D. Mavlitov «Langevin fluctuation-dissipation dynamics of hot nuclei: Prescission neutron multiplicities and fission probabilities» // Nuclear Physics A (1993) V. 556, P. 281 306.

45. I.I. Gontchar and P. Frobrich «Nuclear fission: combining the dynamical Langevin equation with the statistical model» // Nuclear Physics A (1993) V. 551, p. 495-507.

46. I.I. Gontchar, P. Frobrich and N.I. Pischasov «Consistent dynamical and statistical description of fission of hot nuclei» // Physical Review C (1993) V. 47, №5, p. 2228-2235.

47. I. Gontchar, L.A. Litnevsky and P. Frobrich «A C-code for combining a Langevin fission dynamics of hot nuclei with a statistical model including evaporation of light particles and giant dipole y quanta» // Computer

48. Physics Communications (1997) V. 107, p. 223 245.

49. P. Frobrich and I.I. Gontchar «Langevin description of fusion, deep-inelastic collisions and heavy-ion-induced fission» // Physics Reports (1998) V. 292, № 3 & 4, p. 131-237.

50. G. Chaudhuri and S. Pal «Prescission neutron multiplicity and fission probability from Langevin dynamics of nuclear fission» // Physical Review С (2002) V. 65, 054612.

51. И.И. Гончар, H.A. Пономаренко, В.В. Туркин и JI.A. Литневский «Теоретическое исследование зависимости среднего времени деления возбуждённых атомных ядер от углового момента» // Ядерная физика (2004) Т. 67, № 11, с 2101 -2115.

52. W. Ye «Effect of isospin on the evaporation residue cross section» // Physical Review С (2007) V. 76, 021604(R).

53. M.H. Eslamizadeh, V.A. Drozdov, D.O. Eremenko, S. Yu. Platonov, O.V. Fotina and O.A. Yuminov «А dynamical-statistical model of nuclear fission of heavy elements» // Moscow University Physics Bulletin (2008) V. 63, № l,p. 24-27.

54. N. Chen and W. Ye «Roles of isospin in evaporation residue cross section as a probe of nuclear dissipation» // Communication in Theoretical Physics (2008) V. 49, № 3, p. 739 742.

55. W. Ye, H.W. Yang and F. Wu « Isospin effects on the evaporation residue spin distribution» // Physical Review С (2008) V. 77, 011302(R). W. Ye «Isospin effects on neutrons as a probe of nuclear dissipation» // Physical Review С (2009) V. 79, 031601(R).

56. W. Ye «Significant role of deformation in probing postsaddle nuclear dissipation with light particle emission» // Physical Review С (2010) V 81, 054609.

57. D.V. Vanin, G.I. Kosenko and G.D. Adeev «Langevin calculation of fission fragment mass distribution in fission of excited nuclei» // Physical Review С (1999) V. 59, № 4, P. 2114 2121.

58. И.И. Гончар, А.Э. Геттингер, Л.В. Гурьян и В. Вагнер «Многомерная динамическо-статистическая модель деления возбуждённых ядер» //

59. Ядерная физика (2000) Т. 63, № Ю, С. 1778 1797.

60. I. Gontchar, М. Morjean and S. Basnary «Nuclear dissipation from fission time» // Euro Physics Letters (2002) V. 57(3), P. 355 361.

61. W. Wagner, I.I. Gontchar, A.E. Gettinger, L.A. Litnevsky, H.-G. Ortlepp and D.V. Kamanin «Novel Features of the fragment mass variance in fission of hot nuclei» // Yadernaya Fizika (2002) V. 65, № 8, P. 1 8.

62. Y. Jia and J.-D. Bao «Calculations of the anisotropy of the fission fragment angular distribution and neutron emission multiplicities Prescission from Langevin dynamics» // Physical Review С (2007) V. 75, 034601.

63. A.V. Karpov, P.N. Nadtochy, D.V. Vanin and G.D. Adeev «Three-dimensional Langevin calculations of fission fragment mass-energy distribution from excited compound nuclei» // Physical Review С (2001) V. 63, 054610.

64. A.V. Karpov, P.N. Nadtochy, E.G. Ryabov and G.D. Adeev «Consistent application of the finite-range liquid-drop model to Langevin fission dynamics of hot rotating nuclei» // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics (2003) V. 29, p. 2365-2380.

65. Г.Д. Адеев, A.B. Карпов, П.Н. Надточий и Д.В. Ванин «Многомерный стохастический подход к динамике деления возбуждённых ядер» // Физика Элементарных Частиц и Атомного Ядра (2005) Т. 36, вып. 4, с. 731-814.

66. P.N. Nadtochy, A. Kelic and К.-Н. Schmidt «Fission rate in multidimensional Langevin calculation» // Physical Review С (2007) V. 75, 064614.

67. E.G. Ryabov, A.V. Karpov, P. N. Nadtochy and G. D. Adeev «Application of a temperature-dependent liquid-drop model to dynamical Langevin calculation of fission-fragment distribution of excited nuclei» // Physical Review С (2008) V. 78, 044614.

68. Z. Jing-Shang and H.A. Weidenmuller «Generalization of Kramers's formula: Fission over a multidimensional potential barrier» // Physical Review

69. C (1983) V. 28, № 5, p. 2190 2192.

70. DJ. Hinde, D. Hilscher, H. Rossner, B. Gebauer, M. Lehmann and M. Wil-pert «Neutron emission as a probe of fusion-fission and quasifission dynamics» // Physical Review C (1992) V. 45, № 3, p. 1229 1259.

71. B. Jurado, C. Schmitt, K.-H. Schmidt, J. Benlliure, Y. Enqvist, A.R. Junghans, A. Kelic and F. Rejmund «Transient effects in fission from new experimental signatures» // Physical Review Letters (2004) V. 93, № 7, 072501.

72. B. Jurado, C. Schmitt, K.-H. Schmidt, J. Benlliure and A.R. Junghans «Conditions for the manifestation of transient effects in fission» // Nuclear Physics A (2005) V. 757, p. 329 348.

73. C. Schmitt, P.N. Nadtochy, A. Heinz, B. Jurado, A. Kelic and K.-H. Schmidt «First experiment on fission transient in fissile spherical nuclei produced by fragmentation of radioactive beams» // Physical Review Letters (2007) V. 99, 042701.

74. C. Schmitt, K.-H. Schmidt, A Kelic, A. Heinz, B. Jurado and P.N. Nadtochy «Fragmentation of spherical radioactive heavy nuclei as a novel probe of transient effects in fission» // Physical Review C (2010) V. 81, 064602.

75. P. Frôbrich and G.-R. Tillack «Path-integral derivation for the rate of stationary diffusion over a multidimensional barrier» // Nuclear Physics A (1991) V. 540. p. 353 -364.

76. P. Frôbrich and A. Ecker «Langevin description of fission of hot metallic clusters» // Euro Physics Journal D (1998) V. 3, p. 245 256.

77. J.-D. Bao and Y. Jia «Determination of fission rate by mean last passage time» // Physical Review C (2004) V. 69, 027602.

78. J.-D. Bao and Y. Jia «Last passage time statistics for barrier-crossing processes» // Journal of Statistical Physics (2006) V. 123, № 4, p. 861 869.

79. O. Edholm and O. Leimar «The accuracy of Kramers' theory of chemical kinetics» // Physica (1979) V. 98A, p. 313 324.

80. I.I. Gontchar, M.V. Chushnyakova, N.E. Aktaev, A.L. Litnevskv and

81. E.G. Pavlova «Disentangling effects of potential shape in the fission rate of heated nuclei » // Physical Review С (2010) V. 82, 064606.

82. A.E. Гегечкори, Ю.А. Анищенко, П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев «Влияние эффектов немарковости на скорость и времена деления» // Ядерная физика (2008) Т. 71, № 12. с. 2041 2051.

83. В. Yilmaz, S. Ayik, Y. Abe and D. Boilley «Non-Markovian diffusion over a parabolic potential barrier: influence of the friction-memory function» // Physical Review E (2008) V. 77, 011121.

84. И.И. Гончар «Динамическое моделирование процесса деления с одной и двумя степенями свободы: влияние на времена деления» // Ядерная физика (2009) Т. 72, № 10, с 1 5.

85. Y. Abe, S. Ayik, P.-G. Reinhard and E. Suraud «On stochastic approaches of nuclear dynamics» // Phys. Rep. (1996) V. 275, p. 49 196.

86. S. Chandrasekhar «Stochastic problem in physics and astronomy» // Reviews of Modern Physics (1943) V. 15, № 1, p. 1 89.

87. Л.Д. Ландау и E.M. Лифшиц «Механика» серия: «Теоретическая физика» том 1 (1988) Государственное издательство физико-математической литературы, с. 216.

88. J. Sadhukhan and S. Pal «Role of shape dependence of dissipation on nuclear fission» // Physical Review С (2010), Y. 81, 031602(R).

89. W. Ye «Significant role of fissility in evaporation residue cross sections as a probe of presaddle nuclear dissipation» // Physical Review С (2010) V. 81, 011603(R).

90. H. Hofmann and J.R. Nix «Fission dynamics simplified» // Physics Letters В (1983) V. 122, № 2, p. 117 120.

91. F. Scheuter and H. Hofmann «On the propagation of a fissioning system across the barrier towards scission» // Nuclear Physics A (1983) V. 394, p. 477-500.

92. S. Misicu «Quantum dissipation in cluster decay phenomena: I. Smoothly joined quadratic potentials» // Journal of Physics G: Nuclear and Particle

93. Physics (2000) V. 26, p. 1 13.

94. Y. Abe, D. Boilley, B.-G. Giraud and T. Wada «Diffusion over a saddle with a Langevin equation» // Physical Review E (2000) V. 61, № 2, p. 1125 -1133.

95. D. Boilley and Y. Lallouet «Non-markovian diffusion over a saddle with a generalized Langevin equation» // Journal of Statistical Physics (2006) V. 125, №2, p. 477-493.

96. И.И. Гончар и Г.И. Косенко «Применима ли формула Крамерса для описания распада высоковозбуждённых атомных ядер» // Ядерная физика (1991) т. 53, вып. 1, с. 133 141.

97. О. Edholm and С. Blomberg «Decay of angular correlation functions by multiple rotational potential diffusion in polymer chains, with applications to NMR relaxation in paraffin chains of lipid bilayers» // Chemical Physics (1979) V. 42, p. 449-464.

98. P. Talkner and E. Pollak «Numerical test of finite-barrier corrections for the hopping rate in a periodic potential» // Physical Review E (1993) V. 47, № 1, p. 21-23.

99. R. Guantes, J.L. Vega and S. Miret-Artes «Kramers' turnover theory for diffusion of Na atoms on a Cu(001) surface measured by He scattering» // Journal of Chemical Physics (2003) V. 119, № 5, p. 2780 2791.

100. I.I. Gontchar and P. Frobrich «Dynamics of the thermal decay of a metasta-ble system over a multiple-humped barrier» // Nuclear Physics A (1994) V. 575, p. 283-296.

101. B. Jurado, C. Schmitt, K.-H. Schmidt, J. Benlliure and A.R. Junghans «А critical analysis of the modeling of dissipation in fission» // Nuclear Physics A (2005) V. 747, p. 14-43.

102. I.I. Gontchar and N.E. Aktaev «Importance of the relaxation stage for adequate modeling of nuclear fission accompanied by light particle emission» // Physical Review С (2009) V. 80, 044601.

103. H.E. Актаев и И.И. Гончар «Динамическое и статистическое моделирование процесса деления высоковозбужденных атомных ядер сучетом релаксационной стадии» // Известия Российской Академии Наук. Серия физическая (2010) Т. 74, № 4, с. 545 548.

104. Н.С. Brinkman «Brownian motion in a field of force and the diffusion theory of chemical reactions» // Physica (1956) V. 22, p. 29 34.

105. N.G. van Kampen «А soluble model for diffusion in a bistable potential» // Journal of Statistical Physics (1977) V. 17, № 2, p. 71 88.

106. R.S. Larson and M.D. Kostin «Kramers's theory of chemical kinetics: eigenvalue and eigenfunction analysis» // Journal of Chemical Physics (1978) V. 69, 4821.

107. J.F. Gouyet and A. Bunde «Diffusion in a bistable potential at intermediate and high friction» // Journal of Statistical Physics (1984) V. 36, p. 43 64.

108. G.H. Weiss «Overview of theoretical models for reaction rates» // Journal of Statistical Physics (1986) V. 42, p. 3 36.

109. L. Schimansky-Geier and H. Herzel «Positive Lyapunov exponents in the Framers oscillator» // Journal of Statistical Physics (1993) V. 70, p. 141 -147.

110. D.L. Stein «Critical behavior of Kramers escape rate in asymmetric classical field theories» // Journal of Statistical Physics (2004) V. 114, p. 1537 -1556.

111. E. Vanden-Eijnden and M.G. Westdickenberg «Rare events in stochastic partial differential equations on large spatial domains» // Journal of Statistical Physics (2008) V. 131, p. 1023 1038.

112. N. Berglund and B. Gentz «Anomalous behavior of the Kramers rate at bifurcation in classical field theories» // http://arxiv.org/abs/0809.2652v2.

113. H.E. Актаев и И.И. Гончар «Модифицированный крамерсов подход к описанию деления возбуждённых атомных ядер» // Известия РАН. Серия физическая (2011) в печати.

114. H.J. Krappe, J.R. Nix, A.J. Sierk «From heavy-ion elastic scattering to fission: a unified potential for the description of large-scale nuclear collectivemotion» // Physical Review Letters (1979) V. 42, № 4, p. 215 218.

115. A.J. Sierk «Macroscopic model of rotating nuclei» // Physical Review C (1986) V. 33, № 6, p. 2039 2053.

116. M. Brack, J. Damgaard, A.S. Jensen, H.C. Pauli, V.M. Strutinsky and C.Y. Wong «Funny Hills: the shell-correction approach to nuclear shell effects and its applications to the fission process» // Reviews of Modern Physics (1972) V. 44, № 2, p. 320 405.

117. R.W. Hasse and W.D. Myers «Geometrical relationships of macroscopic nuclear physics» (1988) Springer-Verlag, p. 116.

118. N.E. Aktaev and I.I. Gontchar «Comment on "Systematic description of evaporation spectra for light and heavy compound nuclei"» // Physical Review C (2010) V. 82. 059810.