Некоторые вопросы аналитической механики систем с идеальными связями и систем с трением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор наук Сумбатов Александр Сумбатович

• Сумбатов Александр Сумбатович
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Сумбатов Александр Сумбатович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. О ЛАГРАНЖЕВОЙ ФОРМЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ

§1. Об уравнениях Лагранжа в неголономной механике

История задачи

Задача о качении твёрдого тела по плоскости без скольжения

Несколько замечаний

Обратная задача вариационного исчисления

Пуассоновы структуры и гамильтонизация неголономных систем

§2. О квадратичном по скоростям кинетическом потенциале

§3. Неэкстремальность семейств кривых, определяемых динамическими уравнениями неголономных систем Чаплыгина

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ В СИСТЕМАХ С ИДЕАЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИ

§1. Условия существования циклической координаты

в голономных системах с двумя степенями свободы

§2. О циклических координатах в голономных системах

с тремя степенями свободы

§3. Дополнения к §§1 и

Задача Биркгофа

Случай, когда существуют не менее п — 1 позиционных координат

Об одном инвариантном признаке разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби

§4. О линейных интегралах уравнений Чаплыгина

§5. Об однородных линейных инвариантных соотношениях

уравнений динамики

§6. Некоторые линейные инвариантные соотношения в задаче о движении тела по горизонтальной гладкой плоскости

§7. О возможностях применения обобщений теоремы

площадей в системах с качением твердых тел

ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ С ТРЕНИЕМ

§1. О возникновении парадоксов Пенлеве

в системах с одной фрикционной парой

§2. К динамике твердого тела, касающегося одной точкой

опорной поверхности с сухим трением

О критическом перемещении по Болотову-Чаплыгину

Распределение ускорений в теле, касающегося одной точкой неподвижной опоры

Шар Джеллетта

§3. Об условиях возникновения скольжения

в плоской системе с сухим трением

Условия сохранения чистого качения тела

Качение неоднородного колеса по горизонтальному рельсу

Вращение тела с цилиндрическими опорами вокруг вертикали при действии постоянного вращающего момента

ГЛАВА 4. ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ В СИСТЕМАХ С СУХИМ ТРЕНИЕМ

§1. Об оптимальных параметрах заточки инструмента

на точильном круге

§2. Маятник Пошехонова

§3. О качении тяжелого диска по поверхности вращения

отрицательной кривизны

Кинематика движения

Уравнения движения

Приведение уравнений к безразмерному виду

Приведение уравнений к виду,

удобному для численного интегрирования

Стационарные качения диска

по параллели опорной поверхности

Условия устойчивости стационарных качений диска

по параллели опорной поверхности

Учет трения качения и трения верчения

§4. Об условиях неподвижности основания

физического маятника

ГЛАВА 5. ЗАДАЧИ О БРАХИСТОХРОНЕ С СУХИМ ТРЕНИЕМ

§1. О классификации обобщений

классической задачи о брахистохроне

§2. Задача о кривой наибыстрейшего спуска с сухим трением

как изопериметрическая вариационная задача

Преобразование уравнений движения

Необходимые условия экстремума

Первый случай

Допустимые значения для множителей Лагранжа

Вычисление первообразных в изопериметрических условиях

Конечные уравнения экстремальной кривой

Аналитическая формула для времени спуска частицы

вдоль экстремальной кривой

Второй случай

§3. Задача о брахистохронном движении

тяжёлого диска с сухим трением

Введение

Постановка задачи и уравнения движения диска

Частные случаи

Необходимые условия экстремума

Скольжение диска

Качение диска

Условия существования экстремального движения

Вычисление постоянных интегрирования на искомой экстремали

Стартовое множество

и свойства экстремальных траекторий центра диска

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

261

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация состоит из двух частей.

Первая часть посвящена вопросу о существовании лагранжевой формы уравнений движения неголономных систем, развитию и приложениям методов аналитической механики и дифференциальной геометрии к решению задачи о существовании линейных по скоростям интегралов (общих и некоторых частных) в динамике голономных и неголономных систем.

Вторая часть работы посвящена общетеоретическим и прикладным задачам механики систем с сухим трением. Решены конкретные нетривиальные задачи механики, в том числе, вариационные задачи о брахистохроне с сухим трением.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы аналитической механики систем с идеальными связями и систем с трением»

Актуальность темы

Многие задачи, рассмотренные в диссертации, являются классическими, имеют богатую историю и обширную библиографию. Суть работы состоит в прояснении некоторых тонких теоретических вопросов, остававшихся незамеченными пли не поддававшихся долгое время решению и вызывавших ошибки. Поэтому любое продвижение в их решении несомненно является актуальным. Также актуальным является привлечение строго обоснованных математических подходов с целью развития и придания завершенной формы классическим методам теоретической механики, расширению сферы их применения.

Цели и задачи диссертационной работы

Целью работы является развитие методов аналитической механики голономных, неголономных систем и систем с трением для получения необходимых и достаточных инвариантных условий существования линейных

интегралов, которые можно эффективно применять; для обоснования некоторых специфических движений, наблюдающихся в ряде систем с трением, исключительно на основе законов механики; для расширения диапазона вариационных задач механики, которые решаются средствами классического вариационного исчисления и их модификаций, с использованием алгебры, дифференциальной геометрии, тензорного анализа и других математических дисциплин.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми. Впервые строго доказано, что в типовой неголономной системе с тремя степенями свободы уравнения движения не имеют лагранжевой формы, и в общем случае эти уравнения не могут быть представлены в виде уравнений Лагранжа 2-го рода относительно какого то ни было локально невырожденного кинетического потенциала. Впервые в задаче поиска скрытых циклических координат в голономных системах с двумя и тремя степенями свободы в диссертации используются понятия дифференциальных инвариантов и параметров лагранжиана, с помощью которых удалось переформулировать и обобщить условия существования скрытой циклической координаты в консервативных системах с двумя степенями свободы, вытекающие из классической работы Дж. Синга, и решить полностью эту задачу для систем с тремя степенями свободы. Кроме того, показано, как конструктивно решается вопрос о скрытой циклической координате в голономных системах с произвольным числом степеней свободы, если в системе существует строго один линейный по скоростям первый интеграл, не известный заранее. Впервые получены в инвариантной форме условия существования линейного интеграла уравнений Чаплыгина в неголономной системе с двумя степенями свободы и условия существования некоторых видов совокупностей линейных однородных инвариантных соотношений в голономных и неголоном-ных системах, приведены примеры из динамики твердого тела. Впервые доказано, что область применения классических обобщений теоремы пло-

щадей в задаче качения тел без скольжения существенно ограничена и по существу исчерпывается задачами о катании шаров, которые исследовал С.А. Чаплыгин.

Даны некоторые приложения теории Е.А. Болотова о критическом полюсе для случая плоскопараллельного движения твердого тела с сухим трением. Впервые доказано, что пространственный аналог теории Болотова эффективен только для случая, когда опорная поверхность, по которой движется тело с сухим трением, плоская. Опираясь исключительно на классическую формулировку закона Кулона о трении, впервые завершена теория А.Ю. Ишлпнского, построенная для описания динамики кабинетного прибора, который демонстрирует суточное вращение Земли. В диссертации построена математическая модель, с помощью которой впервые удалось объяснить некоторые типичные движения монеты (диска) по двояковыпуклой поверхности вращения, удалось так подобрать закон трения, параметры системы и форму поверхности, что численные результаты моделирования оказались качественно близкими к наблюдаемым в реальных устройствах. В вариационных задачах о брахпстохронном движении тел дано альтернативное решение задачи о наибыстрейшем спуске тяжелой частицы по направляющей кривой с сухим трением. Впервые рассмотрена и полностью решена более сложная задача о брахпстохронном спуске тяжелого круглого диска по кривой с сухим трением с учетом условий, что диск может катиться, скользить и покидать опорную кривую.

Теоретическая и практическая значимость

Работа проясняет и расширяет возможности анализа динамики систем на те случаи, когда система обладает линейными интегралами и инвариантными соотношениями, указывает границы некоторых применений общей теории, дает теоретическое обоснование поведения ряда прикладных систем с сухим трением, демонстрирует эффективность использования модифицированной теории Лагранжа для решения задач вариационного исчисления при наличии одновременно ограничений-равенств и ограничений-

неравенств. Результаты диссертации вошли в опубликованные обзоры и монографию по трению.

Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут найти применение в учебных курсах и научных исследованиях в МГУ им. М.В. Ломоносова, Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Институте проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН, МФТИ, МАИ, КНИТУ-КАИ и в других научных центрах математики и механики.

Методология и методы исследования

Большинство результатов, полученных в диссертации, основаны на геометрических методах исследования в решении теоретических и прикладных задач механики. Используются методы математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных первого порядка, высшей и линейной алгебры, классического вариационного исчисления.

Положения, выносимые на защиту

I. Не существует универсального действия типа действия по Гамильтону, уравнения экстремалей которого совпадают с динамическими уравнениями неголономных систем Чаплыгина.

II. Условия существования линейных по скоростям первых интегралов уравнений движения голономных и неголономных систем с двумя и тремя степенями свободы допускают инвариантную и конструктивную форму записи, что дает существенное продвижение в решении проблемы интегрируемости уравнений аналитической механики.

III. Обобщения теоремы площадей и теория Болотова-Чаплыгина о критических перемещениях в задаче качения твердого тела по абсолютно шероховатой поверхности и поверхности с трением имеют существенные ограничения применимости, которые установлены в явном виде.

IV. Существуют некоторые особые движения в ряде прикладных задач механики:

• для „качающегося маятника" Пошехонова „застревание" рамы в начале движения является в рамках закона Кулона следствием взаимодействия моментов сил трения в цилиндрических опорах вертикальной оси рамы и силы Корполпса, приложенной к физическому маятнику, который поворачивается вокруг горизонтальной оси рамы;

ралевпдной траектории на поверхности вращения отрицательной кривизны наблюдается в рамках неголономной модели из-за присутствия моментов сил трения качения и верчения в пятне контакта.

V. В задаче переменной структуры о наибыстрейшем скатывании в вертикальной плоскости тяжелого круглого диска по опорной кривой с сухим трением

нения определенных условий для стартового положения диска;

мости от значения коэффициента трения.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается использованием математически строго доказанных теорем и утверждений. Все результаты диссертации базируются на основных положениях механики. Достоверность результатов дополнительно проверялась, где это возможно, дублированием вычислений с помощью компьютерных систем.

Основные результаты работы докладывались на семинарах в ВЦ РАН, МГУ, Институте проблем механики РАН, Университете Парпж-6, в Национальной школе шоссе и мостов (Париж), в Институте математической физики ПЖ.-Л. Лагранж" Туринского университета, в Высшей технической

школе (Дармштадт), в Институте проблем техники Академии наук Польши (Варшава), а также на следующих Всесоюзных и Всероссийских международных съездах, конференциях, симпозиумах, семинарах и школах:

1. Всесоюзные и Всероссийские съезды по теоретической и прикладной механике V (1981), VI (1986), VIII (2001), IX (2006), X (2011), XI (2015).

2. Всесоюзная конференция "Нелинейные колебания механических систем" (Горький, 1987).

3. IUTAM-ISIMM Symposium on Modern Developments in Analyt. Mech. (Torino, June 7-11, 1982).

4. Четаевские конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением III (1977), IV (1982), V (1987), X (2012), XI (2017).

5. Int. Conf.-Sem. "Dynamics of multibody systems containing rigid, elastic and liquid elements", Sagarejo (1996).

6. XII Всероссийское совещание по проблемам управления (Москва, ИПУ РАН, 2014).

7. Международные симпозиумы по классической и небесной механике. Великие Луки. II (1996), III (1998), V (2004), VI (2007).

8. Международная конференция им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН). X (2008), XI (2010).

9. Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методике преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, Российский Университет Дружбы Народов).

XXXVIII (2002), XLV (2009).

10. Int. Conf. "Dynamical System Modelling and Stability Investigation" (Kyiv, Nat.Univ.) (2005, 2007, 2009, 2011, 2013, 2015).

11. Int. Sc. Kravchuk Conf. (Kyiv, Polytechnik Inst.) XI (2006), XII (2008), XIII (2010), XV (2014), XVI (2015).

12. Крымская международная математическая школа "Метод функ-

ций Ляпунова п его приложения" (Симферополь, Спмф. гос. ун-т). IV (1998) V (2000), VI (2002), VII (2004), VIII (2006), IX (2008), X (2010).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографии. Каждому параграфу предшествует аннотация — краткое изложение его содержания. По результатам диссертации опубликованы 38 работ. Текст диссертации занимает 285 е., фиг. 31, библ. 246 назв.

Краткое содержание диссертации

Развитие механики неголономных систем началось с практически не замеченной пионерской работы 1872 года Н.М. Феррерса, в которой явно указывалось, что уравнения движения в форме Лагранжа 2-го рода не пригодны для описания движения систем с неголономнымп связями, в частности, в задачах о качении твердого тела без скольжения. Поначалу ряд известных ученых некорректно записывали уравнения неголономной динамики.

Когда было осознано принципиальное отличие уравнений движения систем с гол oí ю.vi н i)i .vi и и неголономнымп идеальными связями, появились попытки преобразовать уравнения неголономной динамики к лагранжевой форме. Здесь эффективным является метод приводящего множителя, идею которого высказал П. Аппель и развил С.А.Чаплыгин для неголономных систем с двумя степенями свободы. В последние 20-25 лет метод переживает второе рождение в связи с появлением серии работ в рамках современной математики и механики по гамильтонизацип неголономных систем.

Кроме теории приводящего множителя, задачу гамильтонизацип в неголономной механике пытались решать с помощью обратной задачи вариационного исчисления (И.М Рапопорт, В.С.Новоселов, С.Н. Кирпичников, В. Сарле, и др.), которая состоит в поиске кинетического потенциала —

нениями движения неголономной системы. В §2 получены необходимые и достаточные условия существования локально невырожденного квадратпч-

ного по скоростям кинетического потенциала для системы двух уравнений 2-го порядка с произвольными квадратичными правыми частями. Уравнения такого вида описывают, например движение неголономных систем по инерции. Для уравнений саней Чаплыгина (неголономная система с 2-мя степенями свободы) полученные условия не выполняются.

В механике голономных систем имеется ряд дескриптивных функций (Лагранжа, Гамильтона, Якоби, Рауса), которые дают уравнения движения механической системы как уравнения экстремалей соответствующего функционала. Но ни одна из этих функций не годится для неголономных систем. В §3 доказано принципиальное утверждение: не существует универсального действия типа действия по Гамильтону, уравнения экстремалей которого совпадают с динамическими уравнениями неголономных систем Чаплыгина.

В диссертации, опираясь на работы классиков дифференциальной геометрии, в частности, относящиеся к задаче о наложимости двух поверхностей, одна из которых обладает метрикой поверхности вращения, была решена задача о существовании скрытой циклической координаты в консервативных голономных системах с двумя степенями свободы. При этом возникла полная аналитическая аналогия при замене функции гауссовой кривизны первой квадратичной формы поверхности (в механике эта форма задается кинетической энергией системы) силовой функцией (§1, гл. 2). Полученный результат обобщен на голономные неконсервативные системы.

Здесь существенна сама постановка задачи. Функция Лагранжа системы задается в произвольных обобщенных координатах, требуется выяснить, существует ли скрытая циклическая координата в этой системе. Это равносильно существованию линейного по обобщенным скоростям общего интеграла системы. В ряде работ вопрос о существовании алгебраических по скоростям интегралов в системах с двумя степенями свободы исследуется в случаях, когда кинетическая энергия записана в специальных координатах (изотермических, нуль-координатах и др.). Однако при этом не

отмечается, что переход от заданных координат к специальным координатам связан с нахождением общего интеграла соответствующего дифференциального уравнения 1-го порядка, что, вообще говоря, представляет неразрешимую задачу. Для решения задачи о циклических координатах этого не требуется.

В классических работах Ф.Г. Мпндпнга, Э. Бельтрамп, Л. Бпанкп были введены и использовались важные понятия дифференциального инварианта и дифференциального параметра в геометрии, которые оказались востребованными и для поиска циклических координат в консервативных голономных системах. В §2 гл. 2 диссертации получены инвариантные конструктивные признаки существования одной и двух скрытых циклических координат в системах с тремя степенями свободы.

В §3 гл. 2 диссертации рассмотрены задача Дж. Бпркгофа об условном линейном интеграле и два приложения результатов §§1-2. Доказано, в частности, что, если на пзоэнергетпческом уровне консервативной голономной системы существует линейный по скоростям интеграл, то в некоторой вспомогательной системе есть скрытая пли явная циклическая координата.

Результаты §§ 4-6 в гл. 2 получены под влиянием идей классической работы Г. Рпччп-Курбастро и Т. Левп-Чивпты об абсолютном дифференциальном исчислении (1901). Эта работа дала математический аппарат для развития общей теории относительности, но ее значение для других наук, в частности, для общей механики тоже очень важно. В §4 для неголоном-ных систем Чаплыгина с двумя степенями свободы даны условия существования общего линейного интеграла и однородного линейного инвариантного соотношения. В §5 рассматриваются подмногообразия траекторий голономной пли неголономной системы, задаваемые в локальных координатах уравнениями линейными и однородными относительно обобщенных скоростей. В конструктивной форме устанавливаются локальные условия существования некоторых таких подмногообразий. Полученные результаты иллюстрируются на примерах из динамики твердого тела. В §6 в задаче

о движении тяжелого твердого тела по горизонтальной гладкой плоскости найдено в параметрической форме общее аналитическое выражение поверхности, ограничивающей тело, при которой уравнения движения допускают совокупность четырех линейных и однородных по скоростям инвариантных соотношений.

Заканчивается гл. 2 результатами, связанными с обобщениями С.А. Чаплыгиным и некоторыми другими авторами теоремы площадей и вытекающих из них линейных интегралов в случаях, когда ось виртуальных поворотов механической системы как одного твердого тела подвижна. При этом на требуемый этими обобщениями закон движения оси влияет распределение масс в системе. В диссертации доказано, что ограничения в указанных обобщениях, налагаемые на закон движения оси, по крайней мере, в неголономных системах с качением, являются жесткими настолько, что полностью определяют движущееся тело (симметричный шар) и опорную поверхность, которая может быть только сферической или цилиндрической.

Главы 3-5 диссертации посвящены системам с сухим трением, некоторым общим вопросам теории и вопросам строго обоснования некоторых специальных движений, встречающихся в ряде прикладных задач с сухим трением.

В §1 гл. 3 дано строгое доказательство условия Jle Суан Аня возникновения парадоксов Пенлеве в системах с одной фрикционной парой.

В §2 гл. 3 изучается найденное С.А. Чаплыгиным обобщение теории Е.А. Болотова о критическом полюсе для случая пространственного движения твердого тела по поверхности с сухим трением. Согласно этой теории существует критический винт, с помощью которого можно дифференцированно указать значения начальных условий и параметров системы, в зависимости от которых последующее движение тела будет непрерывным или в системе немедленно произойдет тангенциальный удар трением. В диссертации доказано, что пространственный вариант теории критического винта

применим только, когда опорная поверхность плоская.

В §3 гл. 3 рассматривается общая задача о плоском движении твердого тела по неподвижной поверхности при наличии сухого (кулонова) трения. Связь предполагается неудерживающей. В развитие теории Болотова получены условия, имеющие вид системы двух однотипных неравенств, которые гарантируют контакт поверхностей и сохранение качения тела без проскальзывания. Проведен анализ полученных условий на двух примерах механических систем.

В гл. 4 изучаются конкретные задачи механики систем с сухим трением с целью строгого обоснования некоторых специфических типов движений в рассматриваемых системах, опираясь только на классический закон Кулона о трении.

В §1 гл.4 решена задача о нахождении точки соприкосновения и угла наклона инструмента, затачиваемого на точильном абразивном круге, при которых давление круга на инструмент оказывается минимальным по величине. Эти параметры важны для долговечности эксплуатации точильного круга и безопасности работы на нем.

В §2 гл.4 логически завершена теория А.Ю. Ишлинского для прибора, демонстрирующего суточное вращение Земли в кабинетных условиях. Существует особенный режим движения рамы в этом приборе. Его появление, оказывается, можно строго объяснить "игрой" моментов сил трения в подшипниках вертикальной оси рамы и момента силы Кориолиса, приложенной к маятнику, который поворачивается вокруг горизонтальной оси рамы.

В §3 гл. 4 с помощью аналитического и численного моделирования построена теория траекторий спуска диска по двояковыпуклой твердой поверхности вращения (воронки) — основного элемента развлекательного автомата для сбора денег, используемого в ряде стран. Решающим оказался учет трения качения и трения верчения.

В §4 рассмотрена задача об условиях неподвижности основания физи-

ческого маятника на горизонтальной плоскости с сухим трением. Предложены достаточные условия неподвижности основания маятника при колебательных и некоторых вращательных его движениях. Несмотря на статическую неопределимость задачи, её удалось решить.

В гл. 5 приведены решения двух задач о брахистохроне с трением, найденные средствами вариационного исчисления. Спустя почти 300 лет после решения классиками первой задачи о брахистохроне Н. Эшбп с соавторами поставил и решил задачу о нахождении кривой с сухим трением, по которой тяжелая частица скатывается из заданной стартовой точки в заданную финальную точку за минимальное время (1975). В §2 задача Эшбп решена как вариационная задача с двумя изопериметрическимп условиями. При этом для лагранжиана задачи соответствующее уравнение Эйлера оказывается конечным уравнением относительно искомой функции.

Долгое время задача Эшбп оставалось единственной задачей с сухим трением, решенной как условная вариационная задача. Были попытки её обобщения, чтобы решить задачу о наибыстрейшем спуске тяжелого диска по направляющей кривой в вертикальной плоскости. При этом необходимо учитывать, что диск может не только катиться, скользить по направляющей кривой с трением, но и покидать эту кривую. В §3 главы 5 диссертации приведено полное решение данной задачи с помощью модифицированного метода Лагранжа и введения дополнительных дифференциальных переменных. Оказалось, что в экстремальном движении диск может только скользить, а вид направляющей кривой зависит от величины коэффициента сухого трения и при уменьшении его до нуля стремится к циклоиде.

СИСТЕМЫ

с идеальными связями

ГЛАВА 1. О ЛАГРАНЖЕВОЙ ФОРМЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ

§ 1. Об уравнениях Лагранжа в неголономной механике

Рассматривается вопрос о возможности записи уравнений движения неголономных систем в форме уравнений Лагранжа 2-го рода в обобщённых координатах для минимального числа параметров. Обсуждаются соответствующие результаты Ж. Адамара и А. Бегена. Доказывается, что в классической задаче с тремя степенями свободы о качении твёрдого тела по неподвижной плоскости без скольжения случаев, когда все три уравнения Чаплыгина вырождаются в уравнения Лагранжа, не существует. Для той же задачи с двумя степенями свободы установлен самый общий вид неголономных линейных связей, когда уравнения Лагранжа 2-го рода оказываются применимыми для минимального числа параметров. Формулируются два подхода к решению проблемы голономизации (гамильтонизации) уравнений движения неголономных систем. Параграф изложен в соответствии со статьей [86] , написанной лично соискателем.

История задачи. В механике неинтегрируемые связи появились в задаче о катании твёрдого тела по поверхности без скольжения. По-видимому впервые непригодность уравнений Лагранжа 2-го рода для описания движения таких систем („неголономных" по терминологии Герца) была обнаружена Феррерсом 1 в работе 1872 года [152]. Он эту особенность открыл существенно раньше остальных учёных: только через 20 лет к этому же выводу пришёл Фиркандт [239], и почти через четверть века после выхода

1 Шотландец по матери Норман Маклеод Феррерс (1829-1903) в русскоязычной литературе встречается, кроме того, иод фамилиями „Ферре" „Феррер" и „Ферер" . Например, в 1-ом томе русского перевода монографии Рауса ( [214], с. 369) он „Феррерс " , а во

"

работы Феррерса появились уравнения Чаплыгина [104] (хотя всё необходимое для их получения, в том числе, и само понятие „чаплыгинские системы" в работе Феррерса уже имелось [90]).

В первом издании трактата Аппеля по механике [116] были приведены уравнения движения тела вращения по плоскости без проскальзывания в форме уравнений Лагранжа 2-го рода. Эта ошибка перекочевала в трактат из работы Линделёфа [191]. Аппель, по-видимому, быстро обнаружил ошибку, и уже во втором издании его трактата она была исправлена. Более того, Аппель опубликовал обстоятельный мемуар на тему о качении тела по поверхности [117] и впоследствии много внимания уделил формам уравнений движения неголономных систем.

Начиная со 2-го издания своего трактата по механике (1900-1904 гг.), а затем в 3-ем издании (1909-1911 гг.) и в последнем 4-ом прижизненном авторском издании второго тома (1923 г.) Аппель ссылался на работу [152], но неполно: по Аппелю в цитируемой работе обнаружено, что уравнение качения тяжёлого обруча по горизонтальной плоскости без скольжения, соответствующее обобщённой координате угла наклона плоскости обруча к горизонту, имеет вид уравнения Лагранжа 2-го рода. Больше ни слова. На самом деле, это была только иллюстрация Феррерсом основного результата его работы, в частности, утверждения, что уравнения Лагранжа, если и появляются в неголономных системах, то как исключение, а не правило.

Безусловно Аппель знал работу Феррерса. Во-первых, краткое описание работы [152] имеется в подстрочном примечании в монографии Рауса [215] (с. 369 рус. перев.), в котором Раус мягко упрекает Аппеля, что тот в § 462 своего трактата ограничился только ссылками на зарубежные работы, посвящённые данной теме, не раньше 1888 г. Во-вторых, во французском расширенном издании Энциклопедии Клейна-Мюллера по математическим наукам [150] четвёртый том „Механика" редактировал Аппель. Раздел IV-1 этого тома был написан Фоссом и дополнен братьями Эженом и Франсуа Коссера. В нём на с. 140-141 дана точная ссылка на работу [152]

(она стоит первой по хронологии в списке работ разных авторов в связи с утверждением в тексте, что лагранжева форма уравнений движения некорректна для неголономных систем).

Не повезло работе Феррерса [152] и в русскоязычной литературе. Неадекватно отражена эта работа в некоторых исторических обзорах по механике. Так, в книге [18] на с. 143 утверждается, что в работе [152] решена задача о чистом качении однородного круглого тяжёлого диска по горизонтальной плоскости. На самом деле, данная задача была решена значительно позже Аппелем и Кортевегом. В книге [47] на с. 107-108 вообще без ссылки на работу [152] утверждается, что в ней Феррерс вывел уравнения

Лагранжа 1-го рода с множителями связей, и „этот вывод Феррерса поч-

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Сумбатов Александр Сумбатович, 2020 год

Литература

1. Акуленко Л. Д. Аналог классической брахистохроны для диска // Доклады Академии наук. 2008. Т. 419. No 2. С. 193-196. = Akulenko L.D. An Analog of the Classical Brachistochrone for a Disk // Doklady Physics, 2008, Vol. 53, No. 3, pp. 156-159.

2. Акуленко Л.Д. Задача о брахистохроне для диска // Прикладная математика механика. 2009. Т.73. Вып.4. С.520-530. = Akulenko L.D. The brachistochrone problem for a disk //J. Appl. Math. Mech. 2009. Vol.73. 371-378.

3. Андронов В.В., Журавлев В.Ф. Сухое трение в задачах механики. М.: Ин-т комп. иссл., Ижевск: Регул, хаот. динамика. 2010. 184 с.

4. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977. 328 с.

5. Афонин A.A., Козлов В.В. Задача о падении диска, движущегося по горизонтальной плоскости // Изв. АН СССР. Мех. тв. тела. 1997. №1. С. 7-13.

6. Богоявленский A.A. Об одном виде обобщенного интеграла площадей // Прикл. матем. и механ. Т. 21. Вып. 3. 1957. С. 422-423.

7. Богоявленский A.A. Теоремы взаимодействия частей механической системы // Прикл. матем. и механ. Т. 30. Вып. 1. 1966. С. 203-208.

8. Болотов Е.А. О движении материальной плоской фигуры, стесненной связями с трением // Матем. сб. 1906. Т.25. Вып.4. С. 562-708.

9. Болсинов A.B., Борисов A.B., Мамаев И.С. Гамильтонизация неголо-номных систем в окрестности инвариантных многообразий // Нелин. динам. 2010. Т. 6. № 4. С. 829-854.

10. Болсинов A.B., Борисов A.B., Мамаев И.С. Геометризация теоремы Чаплыгина о приводящем множителе // Нелин. динам. 2013. Т. 9. № 4. С. 627-640.

11. Букреев Б.Я. Курс приложений дифференциального и интегрального исчисления к геометрии. Элементы теории поверхностей. Киев, 1900. 303 с.

12. Буров A.A. О частных интегралах уравнений движения твердого тела по гладкой горизонтальной плоскости // В сб.: Задачи иссл. уст. и стаб. движения. М.: ВЦ АН СССР. 1985. С. 118-121.

13. Вагнер В.В. Геометрия пространства конфигураций твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки // Уч. зап. Сарат. ун-та, сер. физ.-мат. ин-та, 1938. Т. 1 (14). Вып. 2. С. 34-57.

14. Вагнер В.В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу, 1941. Вып. 5. С. 301-327.

15. Веку а И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978. 296 с.

16. Воронец П.В. Преобразование уравнений движения с помощью линейных интегралов движения (с приложением к задаче обп телах) // Изв. Киевск. ун-та, 1907. Т. 47. № 1. С. IV.1-IV.82. № 2 С. IV.83-IV.180.

17. Галилео Галилей. Избранные труды в двух томах. Том 2. М.: Наука. 1964. 575 с.

18. Григорьев Ю.А., Цыганов A.B. О вычислении переменных разделения в уравнении Гамильтона-Якоби на компьютере // Нелин. динамика. 2005. Т. 1. № 2. С. 163-179.

19. Григорьян А.Т., Фрадлин Б.И. История механики твердого тела. М.: Наука, 1982. 293 с.

20. Голубев Ю.Ф. Брахистохрона для твердого тела, скользящего по кривой // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2013. — №4. — С. 71-87.

21. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. M.-JL: Гостехиздат. 1934. 359 с.

22. Гюнтер Н.М., Кузьмин P.O. Сборник задач по высшей математике. Т. 1. М.: ГИФМЛ, 1958. 284 с.

23. Дувакин А.П. Об устойчивости движений диска // Инж. журнал. Т. 5. Вып. 1. 1965. С. 3-9.

24. Забелина (Харламова) Е.И. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки, при наличии неголономной связи // Тр. Донецк, ин-дустр. ин-та, 1957. Т. 20. Вып. 1. С. 69-75.

25. Иванов А.И. О брахистохроне частицы переменной массы с постоянным отношением количества присоединяемых и отделяемых частиц //

——

26. Иванов А.П. Основы теории систем с трением. М.: Ин-т коми, иссл., Ижевск: Регул, хаот. динамика. 2011. 304 с.

27. Илиев И. Классификация линейных интегралов голономной механической системы с двумя степенями свободы // Прикл. матем мех. 1971. Т. 35. Вып. 3. С. 420-422.

28. Ишлинский А.Ю. О маятнике Пошехонова. Астрон. жур. Т. 32. Вып. 5. 1955. С. 462-468. См. также "Прикладные задачи механики". Книга 2: Механика упругих и абсолютно твёрдых тел. М.: Наука. 1986. С. 212224.

29. Карапетян A.B., Рубановский В.И. О модификации теоремы Рауса об устойчивости стационарных движений систем с известными первыми

интегралами // Сборник научно-методических статей по теоретической механике. М.: Высш. шк. 1986. Вып. 17. С. 91-99.

30. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдитори-ал УРСС, 1998. 168 с.

31. Киселевська Л.М. До теорп маятника Пошехонова. Доп. АН УРСР. Сер. А. 1968. № 6. С. 547-550.

32. Козлов В.В., Колесников H.H. О теоремах динамики // Прикл. матем. и механ. Т. 42. Вып. 1. 1978. С. 28-33.

33. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: Изд-во МГУ, 1980. 230 с.

34. Козлов В.В. О движении диска по наклонной плоскости // Изв. АН СССР. Мех. тв. тела. 1996. №5. С. 29-35.

35. Козлов В.В. Трение по Пенлеве и лагранжева механика // Докл. Акад. наук, 2011. Т. 438, №6. С. 758-761.

36. Колосов Г. В. О некотором видоизменении начала Гамильтона в применении к решению вопросов механики твердого тела // Сборник Института инженеров путей сообщения. СПБ. 1903. Вып. 71. 76 с.

37. Космодемьянская Г.Н. Движение твердого тела около неподвижной точки при неголономной связи. В кн.: Добронравов В.В. Основы механики неголономных систем. М.: Высш. шк., 1970. 270 с.

38. Кулешов A.C. О стационарных качениях диска на шероховатой плоскости // Прикл. матем мех. 2001. Т. 65. Вып. 1. С. 173-175.

39. Легеза В. П. Кривая наибыстрейшего спуска в задаче о скатывании однородного цилиндра // Прикл. механика. Киев. 44 (12), 131-138 (2008). = Legeza V.P. Quickest-Descent Curve in the Problem of Rolling of a Homogeneous Cylinder // Int. Appl.Mech. 2008. V.44. No.12. Pp. 14301436.

40. Легеза В. П. Брахистохрона для катящегося цилиндра // Изв. Акад. Наук. Механика тв. тела. 2010, №1. С.34-41. = Legeza V.P. Brachistochrone for a Rolling Cylinder // Mechanics of Solids, 2010. Vol. 45, No.l. Pp. 27-33.

41. Легеза В. П. Условия чистого качения тяжелого цилиндра по брахистохроне // Прикл. механика. Киев. 46 (6), 137-143 (2010). = Legeza V.P. Conditions for pure rolling of a heavy cylinder along a brachistochrone // Int. Appl.Mech. 46 (6), 730-735 (2010).

42. Легеза В.П., Легеза Д.В. Умови порушення "чистого" кочення ци-лшдра вздовж брахютохрони // HayKOBi BicTi НТУУ "КП1" (матер1а-лознавство та машинобудування) 1, С. 109-114 (2010).

43. Легеза В. П. Циклоидальный маятник с катающимся цилиндром // Изв. Акад. Наук. Механика тв. тела. 2012, №4, С. 11-15. = Legeza V.P. Cycloidal Pendulum with a Rolling Cylinder // Mechanics of Solids, 2012, Vol.47, No.4, pp. 380-384.

44. Ле Cyan Ань. О парадоксах Пенлеве с кулоновым трением // Тр. Jle-нингр. политехи, ин-та.— 1988. № 425.— С. 91-97.

45. Ле Cyan Ань. Парадоксы Пенлеве и закон движения механических систем с кулоновым трением // Прикл. матем. и механ. Т.54. Вып.4. 1990. С. 520-529.

46. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. 2-ое изд. М.-Ижевск: Ин-т компьютерных иссл., 2014. 496 с.

47. Меркин Д. Р. Краткая история классической механики Галилея-Ньютона. М.: Физматлит, 1994. 160 с.

48. Неймарк Ю.И., Фуфаев И.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука. 1965. 520 с.

49. Неймарк Ю.И., Фуфаев И.А. Парадоксы Пенлеве и динамика тормозной колодки // Прикл. матем. и механ. 1995. Т. 59. Вып. 3. С. 366-375.

50. Новоселов B.C. Применение метода Гельмгольца к исследованию движения неголономных систем // Вести. Ленингр. ун-та. Сер. мат., мех., астр., 1958. № 1, вып. 1. С. 80-87.

51. Новоселов B.C. Применение метода Гельмгольца к изучению движения систем Чаплыгина // Вести. Ленингр. ун-та. Сер. мат., мех., астр., 1958. № 13, вып. 3. С. 102-111.

52. Новоселов B.C. Вариационные методы в механике. Изд-во ЛГУ. 1966. 72 с.

53. Норден А.П. Теория поверхностей. М.: ГИТТЛ. 1956. 260 с.

54. Перцев Б.П. Теория маятника Пошехонова. Астрон. журн. Т. 31. Вып. 1. 1954. С. 90-96.

55. Петров П. И. Скалярные дифференциальные инварианты третьего порядка риманова пространства трех измерений // Аста math. Acad. sei. Hung., 1960. V. 11. No. 3-4. Pp. 205-211.

56. Погорелое A.B. Лекции по дифференциальной геометрии. Изд-во Харьковск.- ун-та, Харьков, 1967. 163 с.

57. Рашевский П.К. Риманова геометрия, и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 664 с.

58. Руссаловская A.B., Иванов Г.П., Иванов А.П. О брахистохроне точки переменной массы с трением и экспоненциальным законом истечения массы // Докл. АН УССР. Сер.А. - 1973. - С. 1024-1026.

59. Самсонов В.А. Очерки о механике: Некоторые задачи, явления и парадоксы. Ижевск: НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика" . 2001. 80 с.

-

-

61. Суворов Ф.М. О характеристиках систем трех измерений. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1871. 114 с.

62. Сумбатов A.C. О принципе Гамильтона для неголономных систем // Вести. Моск. ун-та. Сер 1. Матем. Механ., 1970. № 1. С. 98-101.

63. Сумбатов A.C. О приведении дифференциальных уравнений неголо-номной механики к форме Лагранжа // Прикл. матем. и механ. Т. 36. Вып. 1. 1972. С. 211-217.

64. Сумбатов A.C. О применении некоторых обобщений теоремы площадей в системах с качением твердых тел // Прикл. матем. и механ.

Т. 40. Вып. 1. 1976. С. 599-605.

65. Сумбатов A.C. К проблеме поиска циклических координат в консервативных динамических системах // Прикл. матем. и механ. Т. 42.

Вып. 1. 1978. С. 43-51.

66. Сумбатов A.C. Решение одной задачи Биркгофа // Прикл. матем. и механ. Т.42. Вып.6. 1978. С. 1138-1141.

67. Сумбатов A.C. О циклических координатах консервативных динамических систем с двумя степенями свободы. В кн. Теория устойчивости и ее приложения. Новосибирск: Наука, 1979. С. 214-221.

68. Сумбатов A.C. Интегралы, линейные относительно скоростей. Обобщения теоремы Якоби //В кн.: Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Общая механика. 1979. Т. 4, С. 3-57.

69. Сумбатов A.C. О линейных интегралах уравнений Чаплыгина // Прикл. матем. и механ. Т. 45. Вып. 3. 1981. С. 466-470.

70. Сумбатов A.C. О циклических координатах консервативных натуральных систем с тремя степенями свободы // Прикл. матем. и механ.

Т. 45. Вып. 5. 1981. С. 787-799.

71. Сумбатов A.C. К теореме площадей. В сб.: Задачи иссл. уст. и стаб. движения. М.: ВЦ АН СССР, 1982. С. 80-86.

72. Сумбатов A.C. Об интегрируемости уравнения Гамильтона-Якоби в обобщенных координатах // Прикл. матем. и механ. Т. 46. Вып. 1. 1982. С. 13-19.

73. Сумбатов A.C. О законе изменения кинетического момента шара, катающегося по неподвижной поверхности // Прикл. матем. и механ.

Т. 47. Вып. 5. 1983. С. 875-877.

74. Сумбатов A.C. Неэкстремальность семейств кривых, определяемых динамическими уравнениями неголономных систем Чаплыгина // Дифф. уравн. Т. 20. № 5. 1984. С. 897-899.

75. Сумбатов A.C. О применении обобщенной теоремы площадей в задаче качения твердого тела по неподвижной поверхности. В сб.: Устойчивость движения. Новосибирск: Наука, 1985. С. 159-162.

76. Сумбатов A.C. О обратной задаче вариационного исчисления. В сб.: Задачи иссл. уст. и стаб. движения. М.: ВЦ АН СССР, 1985. С. 105-118.

77. Сумбатов A.C. Об однородных линейных инвариантных соотношениях // Прикл. матем. и механ. Т. 50. Вып. 1. 1986. С. 32-42.

78. Сумбатов A.C. О движении систем с сухим трением. В сб.: Задачи иссл. уст. и стаб. движения. М.: ВЦ АН СССР, 1986. С.63-76.

79. Сумбатов A.C. О линейных интегралах неконсервативных механических систем с двумя степенями свободы. В сб.: Задачи иссл. уст. и стаб. движения. М.: ВЦ АН СССР, 1987. С. 67-72.

80. Сумбатов A.C. Некоторые инвариантные соотношения в задаче о движении тяжелого твердого тела по горизонтальной гладкой плоскости // Прикл. матем. и механ. Т. 52. Вып. 1. 1988. С. 34-41.

81. Сумбатов A.C. Об устойчивости установившихся вращений твердого тела в некоторых системах с сухим трением. В Сб. трудов V Всесоюзной конференции по аналитической механике, теории устойчивости

и управлению движением (задачи устойчивости, управления, колебания). М.: ВЦ АН СССР. 1990. С. 57-63.

82. Сумбатов A.C. Об условиях возникновения скольжения в плоской системе с трением // Прикл. матем. и механ. Т. 59. Вып. 6. 1995. С. 887894.

83. Сумбатов A.C. О маятнике Пошехонова // Прикл. матем. и механ. Т. 60. Вып. 3. 1996. С. 413-417.

84. Сумбатов A.C. К динамике твердого тела, касающегося одной точкой опорной поверхности с сухим трением. В кн.: Проблемы теории устойчивости и аналитической механики. М.: Физматлит, 2009. С. 127-135.

85. Сумбатов A.C. О возникновении парадоксов Пенлеве в системах с одной фрикционной парой. В сб.: Задачи иссл. уст. и стаб. движения.

М.: ВЦ РАН. 2011. С. 135 -143.

86. Сумбатов A.C. Об уравнениях Лагранжа в неголономной механике // Нелинейная динамика. Т. 9. № 1. 2013. С. 39-50.

87. Сумбатов A.C., Юнин Е.К. Избранные задачи механики систем с сухим трением. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. 200 с.

88. Сумбатов A.C. Об оптимальных параметрах заточки инструмента на точильном круге. В сб.: Задачи иссл. уст. и стаб. движения. М.: ВЦ РАН, 2013. С. 50-54.

89. Сумбатов A.C. О невозможности чистого скатывания вертикально вниз тяжёлого диска по кривой с сухим трением // В сб.: Задачи иссл. уст. и стаб. движения. М.: ВЦ РАН, 2013. С. 79-82.

90. Сумбатов A.C. Об уравнениях Феррерса. В кн.: Материалы международной научно-практической конференции "Математика в современном техническом университете" (Киев, 19-20 апреля 2013 г.). К.: НТУУ "КИИ", 2013. T.III "История точных наук". С. 413-415.

91. Сумбатов A.C. История и методы решения задачи о брахистохроне (классическая постановка и некоторые обобщения). В Трудах XI Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление"(13-17 июня 2017 г., Казань), Т.1 (2017). Казань: изд-во КНИТУ-КАИ, 2017. С.299-308.

92. Сумбатов A.C. Задача о брахистохроне (классификация обобщений и некоторые последние результаты) // Труды МФТИ (2017). Т.9, №3. С. 60-69.

93. Сумбатов A.C. Задача о брахистохроне с кулоновым трением как изопериметрическая вариационная задача. В сб. научно-метод. статей Теор. механика. Вып. 30. М.: Изд-во Моск. ун-та. 2018. С. 166-179.

94. Сумбатов A.C. О качении тяжелого диска по поверхности вращения отрицательной кривизны // Прикл. матем. и механ. Т. 83. № 2. 2019.

С. 234-248.

95. Суслов Г.К. О кинетическом потенциале Гельмгольца // Матем. сб., 1896. Т. 19. Вып. 1. С. 197-210.

96. Суслов Г.К. Теоретическая механика. M.-JL: Гостехиздат, 1944. 655 с.

97. Сушкевич А.К. Основы высшей алгебры. M.JL: ГИТТЛ.1941. 460 с.

98. Федоров Ю.И. О качении диска по абсолютно шероховатой плоскости // Изв. АН СССР. Мех. твердого тела. 1987. №4. С. 67-75.

99. Харламов П.В., Харламова Е.И. Одно решение задачи о движении гиростата, подчиненного неголономной связи // Мех. тв. тела.: Респ. межвед. сб., 1971. Вып. 3. С. 132-136.

100. Харламов М.П. Об условно-линейном интеграле уравнений движения твердого тела, имеющего неподвижную точку // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1976, № 3. С. 9-17.

101. Харламов М.П. Об одном классе интегралов уравнений движения твердого тела // Докл. АН УССР, 1977. Сер. А, № 2. С. 120-123.

102. Цаплин В. А. Задача о качении диска по горизонтальной плоскости. 2011. ИПМ РАН СПб. Шрг/Дт.врЬв^.ги/ВадимДаплин

103. Цыганов A.B. Интегрируемые системы в методе разделения переменных. Сер. "Современная математика". М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Ин-т комп. иссл. 2005. 384 с.

104. Чаплыгин С.А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Тр. Отд. физ. наук о-ва любителей естествозн., антропол. и этнографии. 1897. Т. 9. Вып. 1. С. 10-16.

105. Чаплыгин С.А. О некотором возможном обобщении теоремы площадей с применением к задаче о катании шаров // Матем. сб., 1897. Т. 20. Вып. 1. С. 1-32.

106. Чаплыгин С. А. О катании шара по горизонтальной плоскости //Матем. сб., 1903. Т. 24. Вып. 1. С. 139-168.

107. Чаплыгин С.А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе // Матем. сб., 1911. Т. 28, №2. С. 303-314.

108. Чаплыгин С.А. О движении твердого тела, прикасающегося к поверхности с трением. Собр. соч. Т.З. M.-J1.: Гостехиздат, 1950. С. 283-287.

109. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращательных движений снаряда // Прикл. матем. и механ. Т.10. Вып.1. 1946. С. 135-138; Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М., АН СССР. 1962. С. 426-429.

110. Четаев Н.Г. Теоретическая механика/Под ред. В.В. Румянцева,

-

111. Шаги-Султан И.З. Метод кинематических характеристик в аналитической механике. Алма-Ата: Наука, 1966. 85 с.

112. Штаерман Э. Дифференциальные уравнения движения пластинки, катящейся без скольжения по неподвижной поверхности // Универс. изв. №1. Киев. 1915. С. 29-47.

113. Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия. М.: Физматгиз, 1963. 540 с.

114. Яров-Яровой М.С. Об интегрировании уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных // Прикл. матем. и механ. Т. 27. Вып. 6. 1963. С. 973-987.

115. Яров-Яровой М.С. Об интегрировании уравнений движения материальной точки методом разделения переменных. — В сб.: Тр. межвуз. конф. по прикладной теории устойчивости движения и аналнт. механике. Казань, 1962. Изд-во Казанск. авиац. ин-та, 1964. С. 64-69.

116. Appell P. Traité de Mécanique Rationelle. T.2: Dynamique des systèmes; Mécanique analytique. Paris: Gauthier-Villars, 1896. 538 p.

117. Appell P. Les mouvements de roulement en dynamique (avec deux notes de M.Hadamard). (Scientia, Série physico-mathématique, vol. 4.) Paris: Carré et Naud, 1899. 70 p.

118. Appell P. L'intégration des équations du mouvement d'un corps pesant de révolution roulant par une arête circulaire sur un plan horizontal; cas particulier du cerceau // Rend, del circolo math, di Palermo. 1900. T. 14. P. 1-6.

119. Appell P. Traité de Mécanique Rationelle. T.2. Paris: Gauthier-Villars. 1953. = Аппель П. Теоретическая механика. T. 2. M.: Физматгиз, 1960. 487 с.

120. Ashby N., Brittin W.E., Love W.F. and Wyss W. Brachistochrone with

— — —

121. Balseiro P. Hamiltonization of Solids of Revolution Through Reduction // J. Nonlinear Sci. 27 (2017). Pp. 2001-2035.

122. Batista M. Steady motion of a rigid disk of finite thickness on a horizontal plane // Int. J. Non-Linear Mech. 2006. V.41. P. 605-621.

123. Béghin H. Étude théorique des compas qyrostatiques Anschiitz et Sperri: Thèse. Paris: Faculté des Sciences de Paris, 1922. 132 p. = Беген A. Теория гироскопических компасов Аншютца и Сперри и общая теория систем с сервосвязями. М.: Наука, 1967. 171 с.

124. Béghin H. Sur les conditions d'application des équations de Lagrange à un système non holonome // Bulletin de la S.M.F., tome 57, 1929. Pp. 118124.

125. Benenti S. Proprieta' l'intrinseche dei sistemi dinamici separabili e condizioni necessarie per l'integrabilita' dell'equazione di Hamilton-Jacobi mediante separazione delle variabili. In: 3° Congr. naz. Assoc, ital. mecc. teor. ed appl., Cagliari,. 1976. Sez. 1. Bologna, 1976. Pp. 10/1-10/13.

126. Benenti S. Orthogonal separable dynamical systems. In: Proc. Conf. "Differential Geometry and Its Applications" Opava (Czechoslovakia), August 24-28, 1992. Math. Publ., 1. Silesian Univ. Opava, 1993. Pp. 163184.

127. Benson D.C. An Elementary Solution of the Brachistochrone Problem // Amer. Math. Monthly. - 1969. - V. 76, N. 8. - P. 890-894.

128. Bianchi L. Lezioni di geometria differenziale. Bologna, 1927, vol. I, parte 1; 1927, vol. II, parte 2.

129. Bildsten L. Viscous dissipation for Euler's disk // 2002. Phys. Rev. E 66, 056309.

130. Birkhoff G.D. Dynamical systems with two degrees of freedom // Trans. Amer. Math. Soc., 1917. V. 18, No. 2. Pp. 199-300.

131. Birkhoff G.D. Dynamical Systems. Colloquium Pubis. (AMS). V.9. Providence, Rhode Isl. 1927. 305 p. = Биркгоф Г. Динамические системы. M.-Jl.: Гостехиздат, 1941. 406 с.

132. Bizyaev I.A., Borisov A.V., Mamaev I.S. Hamiltonization of Elementary Nonholonomic Systems // Rus. J. Math. Physics. 2015. V. 22. No. 4. Pp. 444-453.

133. Boute R.T. The Brachistochrone Problem Solved Geometrically: A Very

Elementary Approach // Mathematics Magazine. — 2012. — V. 85, N. 3.

-

134. Boyer Carl BMerzbach Uta C. (rev.). A History of Mathematics. 2nd

—

135. Byrne Oliver. Handbook for the artisan, mechanic and engineer. Philadelphia: H.C.Baird indust. publ. 1870. 463 p.

136. Caps HDorbolo S., Ponte S. and others. Rolling and slipping motion of Euler's disk // 2004. Phys. Rev. E 69, 056610.

137. Cendra H and Diaz V. The Lagrange-D'Alembert-Poincare equations and integrability for the Euler's disk // Regul. Chaotic Dyn. V. 12. 2007. Pp. 56-67.

138. Chaumat H. Sur les lois experimentales du frottement de glissment // C. r. Acad. sci. Paris. 1903. T. 136. Pp. 1634-1637.

139. Collinson C.D. Integrals of dynamical systems linear in the velocities // Proc. Edinburgh Math. Soc. V. 17 (Ser. II). Part 3. 1971. Pp. 241-244.

—

—— V _

141. Covic V. and Veskovic M. Brachistochrone on a surface with Coulomb

— — —

142. DalVAcqua F.A. Le equazioni di Hamilton-Jacobi che si integrano per separazione di variabili // Rend. Circolo Matem. Palermo, t. XXXIII (l°sem. 1912). Pp. 1-11.

143. Daolin Ma, Caishan Liu, Zhen Zhao and others. Rolling friction and energy dissipation in a spinning disc // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 2014. 470: 20140191.

144. Darboux G. Leçons sur la théory générale des surfaces et les applications géométrie du calcul infinitésimal. Pt. 3. Paris: Gauthier-Villar, 1894. 548 p.

145. Denman Harry H. Remarks on brachistochrone-tautochrone problems //

- - -

146. Djukic Dj. The brachistochronic motion of a material point on surface //

- - -

147. Douglas J. Solution of the inverse problem of the calculus of variations // Proc. National Acad. Sc. USA. 1939. V. 25. No. 12. Pp. 631-637.

148. Eisenhart L.P. Continous groups of transformations. Princeton, Princeton Univ. Press, 1933. = Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: Иностр. лит., 1947. 360 с.

149. Eisenhart L.P. Separable systems of Stäckel // Ann. Math. 1934. V. 35, No. 2. Pp. 284-305.

150. Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Aplliquées: T. 4. Mécanique. Fasc. 4-1. Principes de la mécanique rationelle / A. Voss, E. Cosserat, F. Cosserat. Paris-Lepzig: Gauthier-Villars, Teubner, 1915. Pp. 1-187.

151. Fasso F., Garcia-Naranjo L.C., Montaldi J. Integrability and Dynamics of the n-Dimensional Symmetric Veselova Top // J. Nonlinear Science, 2019. V. 29. Pp. 1205-1246.

152. Ferrers N.M. Extension of Lagrange's equations // The Quat. J. Pure Appl. Math. 1872. V. 12. No. 45. Pp. 1-5.

153. Forbat N.H. Sur la séparation des variables dans l'équation de Hamilton -Jacobi d'un système non conservatif // Bull. Cl. sei. Acad. roy. Belgique, 5e serie, 1944. T. 31. Pp. 462-473.

154. Giannoni F., Piccione P., Verderesi José A. An approach to the relativistic brachistochrone problem by sub-Riemannian geometry //

J. Math. Phys. - 1997. - V.38, N. 12. - Pp. 6367-6381.

155. Goldstein H. and Bender C. Relativistic brachistochrone // J. Math. Phys.

- - -

156. Die Streitschriften von Jacob und Johann Bernouli: Variationsrechnung.

Bearbeitet und kommentiert von Herman H. Goldstone, mit historischen

-

Birkhauser, 1991.

157. Golubev; Yu.F., Brachistochrone with friction //J. Computer and Systems Sciences Int. 2010, vol. 49, no. 5, pp. 719-730.

158. Golubev; Yu.F., Brachistochrone with dry and arbitrary viscous friction //J. Computer and Systems Sciences Int. 2012, vol. 51, no. 1, pp. 22-37.

159. Goursat E. Cours d'Analyse Mathématique, T.I, Paris: Gauthier-Villars,

/

1933, 5-me Ed. = Гурса Э. Курс математического анализа. T. 1. Ч. 2. Разложения в ряды. Геометрические приложения. M.- JL, Гостехиздат, 1933. 235 с.

160. Goursat E. Cours d'Analyse Mathématique, T.II, Paris: Gauthier-Villars,

/

1933, 5-me Ed. = Гурса Э. Курс математического анализа. T. 2. Ч. 2. Дифференциальные уравнения. M.-JL: Гостехиздат, 1933. 287 с.

161. Goursat E. Cours d'Analyse Mathématique, T.III, Paris: Gauthier-Villars,

/

1933, 5-me Ed. = Гурса Э. Курс математического анализа. Том 3.

Часть 2. Интегральные уравнения. Вариационное исчисление. Пер. -162. Gregory J. and Lin С. A unconstrained calculus of variations formulation for generalized optimal control probems and for the constrained problem of Bolza // J. Math. Anal. Appl. 1994. V.187. Pp. 826-841.

163. ter Haar D. Elements of Hamiltonian Mechanics. Pergamon Press, 1971. 201 p. = Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. М.:Наука, 1974. 223 с.

164. Hadamard J. Sur les mouvements de roulement // Mém. Soc. sei. phys. nat. Bordeaux. 4e sér. 1895. V. 5. Pp. 397-417.

165. Hay en Jeffrey С. Brachistochrone with Coulomb friction / / Int. J. NonLinear Mech. 2005. V. 40. Pp. 1057-1075.

166. Helmholtz H. Ueber die physikalische Bedeutung des Princips der kleinsten Wirkung // J. für die reine und angewandte Mathematik, 1887. Bd. 100. H.2. S. 137-166.

167. Hertz H. Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt. Gesammelte Werke. Bd.III. Leipzig: J.A.Barth, 1894. 352 S. = Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: Изд-во

АН СССР, 1959. 388 с.

168. Hess H.-J.j Nagel F. (eds.). Der Ausbau des Calculus durch Leibniz und die Bruder Bernoulli. — Wiesbaden: Steiner, 1989.

169. Hirsch A. Die Existenzbedingungen des verallgemeinerten kinetischen Potentials // Math. Ann. Bd 50. 1898. S. 429-441.

170. Huaux A. Sur la séparation des variables dans l'équation aux dérivées partidlas de Hamilton - Jacobi // Ann. mat. pura ed appl., 1976. T. 108. Pp. 251-282.

171. Jacobi C.G.J. Vorlesungen über Dynamik nebst fünfhinterlassenen Abhandlungen. Berlin: G. Reimer, 1866. 578 S. = Якоби К. Лекции по

динамике. М.-Л.: Гостехиздат, 1936. 271 с.

—

Приложения вариационного исчисления к механике. С. 287-334).

173. Jellett J.H. A treatise on the Theory of Friction. London: McMillan, 1872. 220 p. = Джеллетт Дж. X. Трактат по теории трения. М.-Ижевск: НИЦ "Регул, хаот. динамика", Ин-т коми. иссл. 2009. 264 с.

174. Jeremic 0.; Salinic S., Obradovic A. and Mitrovic Z. On the brachistochrone of a variable mass particle in general force fields // Math, and Computer Modelling. -2011. - V. 54. - Pp. 2900-2912.

175. Jeremic ОRadulovic R. and Obradovic A. Analysis of the

brachistochronic motion of a variable mass nonholonomic mechanical

- - -

176. Jeremic ОRadulovic RObradovic A., Salinic S. and Drazic M.

Brachistochronic motion of a nonholonomic variable-mass mechanical

--

-

177. Jovanovic B. Railing balls over spheres in Rn // Nonlinearity 31 (2018). Pp. 4006-4030.

178. Kane T.R. Dynamics of nonholonomic systems // J. Appl. Mech., 1961. V. 28. No. 4. Pp. 574-578.

179. Kessler P.; O'Reilly O.M. The Ringing of Euler's Disk // Regular and Chaotic Dynamics. 2002. V. 7. No. 1. Pp. 49-60.

180. Kleinschmidt, W., Schulze, H.K. Brachistochronen in einem zentral sym-

- - -

T234-T236.

181. Korteweg D. Uber eine ziemlich verbreitete unrichtige Behandlungsweise eines Problem der rollenden Bewegung und insbesondere über die Theorie dieser Bewegung und insbesondere über kleine rollende Schwingungen um eine Gleichgewichtslage // Nieuw Archief voor Wiskunde. 1899. Bd. 4. No. 2. S. 130-155.

182. Lawlor G. A New Minimization Proof for the Brachistochrone // Amer. Math. Monthly. - 1996. — V. 103, N.3. - Pp. 242-249.

183. Leine R.I. Experimental and theoretical investigation of the energy dissipation of a rolling disk during its final stage of motion // Arch. Appl. Mech. 2009. V.79. Pp. 1063-1082.

184. Le S aux С., Leine R.I. and Glocker C. Dynamics of a Rolling Disk in the Presence of Dry Friction // J. Nonlinear Sci. 2005. Vol. 15. Pp. 27-61.

185. Lévi M. Sur les conditions pour qu'une forme quadratique de n différentielles puisse être transformée de façonque ses coefficientes perdent une partie ou la totalité des variables qu'ils renferment // C. r. Acad. sci. Paris, 1878, t.86. Pp.463-466.

186. Levi-Civita T. Sulla integrazione délia equazione di Hamilton-Jacobi per separazione di variabili // Math. Ann., 1904. В. 59, S. 383-397.

187. Levi-Civita T. Sur la recherche des solutions particulières des systèmes différentiels et sur les mouvements stationnaires // Prace mat.-fis., Warszawa. 1906. T. 17. Pp. 1-40.

188. Levi-Civita Tullio, Amaldi Ugo Lezioni di Meccanica Razionale. Vol. 2. Parte 1. Bologna: Zanichelli ed. 1926. 526 p. = Леви-Чивита T., Амальди У. Курс теоретической механики. T. 2. 4.1. M.: ИЛ. 1951. 435 с.

189. Levi-Civita Tullio; Amaldi Ugo. Lezioni di Meccanica Razionale. Vol. 2. Parte 2. Bologna: Zanichelli ed. 1927. 688 p. = Леви-Чивита T., Амальди У. Курс теоретической механики. T. 2. 4.2. M.: ИЛ. 1951. 555 с.

190. Le Xuan Ahn. Dynamics of Mechanical Systems with Coulomb Friction. Springer-Verlag, Berlin and Heidelberg. 2003, 1st ed. 2011, 2nd ed. 280 p.

191. Lindelôf E. Sur les mouvement d'un corps de revolution roulant sur un plan horizontal // Acta Soc. Sci. Fenn. 1895. V./ 20. No. 10. Pp. 3-18.

192. Lipp S. Brachistochrone with Coulomb friction // SIAM J. Control Optim.

- - -

193. MacMillan W.D. Theoretical mechanics (Vol.3), Dynamics of Rigid

-

Динамика твердого тела. M.: Изд-во иностр. лит., 1951. 468 с.

194. Maschke H. The Kronecker-Gaussian curvature of huperspace // Trans. Amer. Math. Soc. 1906. V.7, No. 1. Pp. 81-93.

195. Mayer A. Die Existenzbedingungen eines kinetischen Potentiales // Ber. König. Säch. Gesellschaft der Wissenschaften. Leipzig. Math.-Phys. Kl. Bd. 48. 1896. S. 519-529.

196. Moffatt H.K. Euler's disk and its finite-time singularity // Nature. 2000. V. 404. Pp. 833-834.

197. Nordmark A., Dankowicz H. and Champneys A. Friction-induced reverse chatter in rigid-body mechanisms with impacts // IMA Journal of Applied Mathematics (2011) 76. Pp. 85-119.

198. Obradovic A., Salinic S., Jeremic 0. and Mitrovic Z. Brachistochronic

-

Congress on Theoretical and Applied Mechanics (Vlasina lake, Serbia, 5-8

-

199. Ohsawa T., Fernandez O.E., Bloch A.M., Zenkov D.V. Nonholonomic Hamilton-Jacoby theory via Chaplygin Hamiltonization // J. Geometry and Physycs 61 (2011). Pp. 1263-1291.

200. O'Reilly O.M. The dynamics of rolling disks and sliding disks // Nonlinear Dynamics. 1996. V. 10. No. 3. Pp. 287-305.

201. Painlevé P. Mémoire sur la transformation des equations de la dynamique

// J. Math. Pures et Appl. Ser.4, 1894, t.10. Pp. 5-92.

-

Пенлеве П. Лекции о трении. M.: Гостехтеоретиздат, 1954. 316 с.

203. Parnovsky A.S. Some generalizations of brachistochrone problem // Acta Phys. Pol. A. 1998, vol. 93. S55-S64.

204. Peiffer Jeanne. Le problème de la brachystochrone à travers les relations de Jean I. Bernoulli avec l'Hospital et Varignon. In: [168], Pp. 59-81.

205. Plato Robert. Concise Numerical Mathematics. Grad. Studies in Mathem. V. 57. AMS Ed. 2003. 453 p.

-

Gauthier- Villars, 1892. 385 p. = Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. М.:Наука, 1971. 771 с.

207. Poliak H. Les liaisons non holonomes et le paradoxe de Painleve // Bull. Cl. sci. Acad. roy. Belgique. Ser. 5. 1961. T. 47, n 7. Pp. 763-771.

208. Prange G. Die allgemeinen Integrationsmethoden der analytischen Mechanik.- Encyklopadie Math. Wiss., В. IV, 12 u. 13, Teil 1, Abt. 2, H. 4. Leipzig: Teubner. 1935. S. 506-804.

209. Przybylska M. and Rauch-Wojciechowski S. Dynamics of a rolling and sliding disk in a plane. Asymptotic solutions, stability and numerical simulations // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. V. 21. No. 2. Pp. 204231.

210. Radulovic RObradovic ASalinic S. and Mitrovic Z. The

-

Published online 26 August 2016.

211. Ricci G. Sur les groupes continus de mouvements d'une variété quelconque // Compt. rend. Ac. sc. Paris, 1898. T. 127. Pp. 360-361.

212. Ricci G. et Levi-Civita T. Méthodes de calcul différential absolu et leurs

-

S. 125-201.

213. Rodger s E. Brachistochrone and Tautochrone Curves for Rolling Bodies

- - -

214. Routh E.J. Dynamics of a System of Rigid Bodies. Part 1. 6-th ed. London-N.-Y.: McMillan Сотр. 1905. 443 p. = Pay с Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т. 1. М.: Наука. 1983. 464 с.

215. Routh E.J. Dynamics of a System of Rigid Bodies. Part 2. 6-th ed. London-N.-Y.: McMillan Сотр. 1905. Pp. 196-197. = Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т. 2. М.: Наука. 1983. С. 224-225.

216. Salinic S. Contribution to the brachistochrone problem with Coulomb friction // Acta Mech. 2009. V.208. Pp. 97-115.

217. Salinic S. Analytical solution for the problem of maximum exit velocity under Coulomb friction in gravity flow discharge chutes // Arch. Appl. Mech. 2010. V.80. Pp. 1149-1161.

218. Salinic, SObradovic, A., Mitrovic, Z. and Rusov, S., Brachistochrone with limited reaction of constraint in an arbitrary force field // Nonlinear Dynamics, 2012, vol.69, no. 1-2, pp. 211-222.

219. Salinic, S., Obradovic, A., Mitrovic, Z. and Rusov, S., Erratum: Brachistochrone with limited reaction of constraint in an arbitrary force field // Nonlinear Dynamics, 2012, vol. 70, no. 1, pp. 891-892.

V

220. Salinic S., Obradovic A., Mitrovic Z., and Rusov S. On the brachistochronic motion of the Chaplygin sleigh // Acta Mech. — Published online 20 April 2013.

221. Santilli R.M. Foundations of theoretical mechanics I. The inverse problem in Newtonian mechanics. N.Y.: Springer, 1978. 285 p.

222. Scarpello G.M. and Ritelli D. Relativistic brachistochrones under electric

——

—

223. Scarpello G.M. and Ritelli D. Planar brachistochrone of a particle

——

—

224. Stanislavsky A. A. and Weron K. Nonlinear oscillations in the rolling motion of Euler's disk // Physica D 156. 2001. Pp. 247-259.

225. Sumbatov A.S. On hidden ignorable coordinates of conservative holonomic systems with three degrees of freedom. In: Proc. IUTAM-ISIMM Symposium on Modern Developments in Anal. Mech. (Torino, June 7-11, 1982), V.2, Torino, 1983. Pp. 817-819.

226. Sumbatov A.S. Integrals linear with respect to velocities. Generalizations of the Jacobi theorem. In: Applied Mechanics Soviet Reviews. V.l: Stability and Analytical Mechanics. Hemisphere Publ. Co.: NY etc. 1990. Pp. XVII-XVIII, 327-392.

227. Sumbatov A.S. Nonholonomic systems // Reg. Chaotic Dyn. V.7, №2, 2002. Pp. 221-238.

228. Sumbatov A.S. Brachistochrone with Coulomb friction as the solution of an isoperimetrical variational problem // International Journal of Non-Linear Mechanics. Vol. 88 (2017) pp. 135-141.

229. Sumbatov A.S. Problem on the brachistochronic motion of a heavy disk with dry friction // International Journal of Non-Linear Mechanics. Vol. 99 (2018) pp.295-301.

230. Sussman, H.J. and Willems, J.C. The brachistochrone problem and modern control theory, In Proc. Conference on Geometric Control Theory and its Applications (Mexico City, 4-6 Sept. 2000), Singapour: World Sc.Publ., 2002. Pp. 113-165.

231. Synge J.L. On the Geometry of Dynamics.- In: Philosophical transactions of the Royal Society of London. 1926, ser. A, vol. 226, pp. 31-104.

232. Synge J.L. Classical dynamics // Handbuch der Physik: Vol.III/1 / S.Fliigge. Berlin: Springer, 1960. Pp. 1-225. = Cum Дж.Л. Классическая динамика. M.: Физматгиз, 1963. 448 с.

233. Thiele Rüdiger. Von den bernoullischen Brachistochrone zum Kalibrator-Konzept: ein historischer Abriss zur Entstehung der

Feldtheorie in der Variationsrechnung (hinreichende Bedingungen in

-

234. Tsiganov A.V. Towards a classification of natural integrable systems // Reg. Chaotic Dyn. V.ll, №3, 2006. Pp. 343-362.

235. Valentine F.A. The problem of Lagrange with differential inequalities as added side conditions. In the book: Contribution to the Calculus of Variations (1933-1937). Pp. 407-448. Univ. Chicago Press, Chicago, 1937.

236. Vallée Poussin Ch.-J. Leçons de Mécanique Analytique. T. I. Librairie Universitaire de Louvain, 1932. = Балле Пуссен Ш.-Ж. Лекции по теоретической механике. T. I. М.: Изд-во иностр.лит., 1948. 340 с.

237. Van Der Heijden A.M.A. and DiepStraten J.D. On the brachistochrone with dry friction // Int. J. Non-Linear Mech. 1975, vol. 10, no. 2, pp. 97-112.

--

-

239. Vierkandt A. Uber gleitende und rollende Bewegung // Monatsh. Math.Phys. 1892. Bd. 3. No. 1. S. 31-38; Erster Abschnitt: Allgemeines über die gleitende und rollende Bewegung zweier Körper auf einander, S. 39-54; Zweiter Abschnitt: Anwendung der entwickelten Formeln auf die rollende and gleitende Bewegung zweier Kugeln, S. 97-116; Dritter Abschnitt: Das Rollen und Gleiten ein erebenen Fläche, insbesondere einer homogenen Kreisscheibe, auf der Horizontalebene unter dem Einflüss der Schwere, S. 117-134. = Фиркандт А. О движении качения и скольжения // Нелин.дин. 2015. Т.П. № 2. С. 397-442.

240. Vratanar В., Saje M. On the analytical solution of the brachistochrone

-

--

V ___

241. Vukman M. Covic, Mirjana M. Lukacevic. Extension of the Bernoulli's case of a brachistochronic motion to the multibody system in the form of a closed kinematic chain // Univ. of Nie. J. FACTA UNIVERSITATIS

Ser.: Mechanics, Automatic Control and Robotics. — 1999. — V. 2, N.9.

-

242. Whittaker E. T. A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies with an introduction to the problem of three bodies. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1927. = Уиттекер E.T. Аналитическая динамика. M.-Jl.: Гостехиздат. 1937. 500 с.

243. Witner A. The analytical foundations of celestial mechanics. Princeton: Univ.Press, N.J. 1941. = Уитнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967. 524 с.

244. Woronetz Р. Uber die rollende Bewegung einer Kreiescheibe auf einer beliebigen Fläche unter der Wirkung von gegeben Kräften // Mathem. Ann. 1909. Bd. 67. S. 268-280.

245. Woronetz P. Uber die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers // Mathem. Ann. 1912. Bd. 71. S. 392-410. = Воронец П.В. Об уравнениях движения твёрдого тела // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. №2. С. 431-441. (Перевод A.C. Сумбатова)

246. Yavin Y. Modelling of the Motion of a Disk on a Surface of Revolution // Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. В: Appl. Algorithms. 2003. V. 10. No.5. Pp. 745-754.