Температурные напряжения в растущих телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Кузнецов, Сергей Игоревич

• Кузнецов, Сергей Игоревич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Кузнецов, Сергей Игоревич

Оглавление

Введение

§ 0.1 Исторический обзор

0.1.1 Введение

0.1.2 Задача теплопроводности со свободной границей

0.1.3 Связанная и несвязанная задача термомеханиики

0.1.4 Теория растущих тел

§ 0.2 Описание работы

1 Основные положения теории растущих тел

§ 1.1 Базовые определения и классификация процессов роста

§ 1.2 Математическая постановка задач механики растущих тел

§ 1.3 Постановка механических граничных условий

§ 1.4 Постановка температурных граничных условий

§ 1.5 Выводы по главе 1

2 Непрерывное наращивание термоупругого шара

§ 2.1 Введение

§ 2.2 Аналитическое решение задачи термоупругости для растущего сплошного шара

2.2.1 Постановка задачи теплопроводности для растущего шара

2.2.2 Построение решения в форме спектрального разложения

2.2.3 Исследование температурных напряжений

2.2.4 Анализ результатов

§ 2.3 Приближенное решение задачи термоупругости для растущего полого шара

2.3.1 Постановка задачи

2.3.2 Решение задачи теплопроводности для растущего полого шара

2.3.3 Исследование температурных напряжений

2.3.4 Анализ результатов

§ 2.4 Выводы по главе 2

3 Непрерывное наращивание полого цилиндра

§ 3.1 Введение

§ 3.2 Решение несвязанной задачи теплопроводности для растущего полого цилиндра

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Решение задачи теплопроводности для растущего полого цилиндра

3.2.3 Исследование температурных напряжений

3.2.4 Анализ результатов

§ 3.3 Выводы по главе 3

4 Дискретное наращивание термоупругого параллелепипеда

§ 4.1 Введение

§ 4.2 Несвязанная задача термоупругости

4.2.1 Постановка задачи

4.2.2 Решение задачи для непрерывно растущего параллелепипеда

4.2.3 Решение задачи для дискретно наращиваемого параллелепипеда

4.2.4 Сравнение решений, полученных разными методами . 92 § 4.3 Связанная задача термоупругости

4.3.1 Постановка задачи и алгоритм решения

4.3.2 Алгоритм решения

4.3.3 Построение решения задачи для одного этапа наращи-

вания

§ 4.4 Анализ результатов

§ 4.5 Выводы по главе 4

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Температурные напряжения в растущих телах»

Введение

Некоторые природные явления и технологические процессы сопровождается увеличением массы твердых тел за счет присоединения к их поверхности дополнительного материала. Примерами таких явлений и процессов могут быть электролитическое и пиролитическое осаждения, кристаллизация из растворов и расплавов, сублимация, лазерное напылепие, газотермическое и парофазное осаждение, фотополимеризация, формирование осадочных пород и космических тел. Изучением такого рода объектов занимается относительно молодое направление в механике твердого тела — механика растущих тел.

Принципиальным отличием растущих тел от тел постоянного состава является то, что растущие тела формируются за счет непрерывного присоединения ипфинитезимальных частей к поверхности роста, причем присоединяемые части могут быть как свободны от напряжений, так и предна-пряжены. При этом растущее тело также испытывает деформацию. Если температура присоединяемых частей отличается от температуры основного тела, то на поверхности роста имеет место тепловой поток. Этот тепловой поток влияет на распределение температурного поля в растущем теле. В частности, если изначально температура всех частей основного тела была одинаковой, то более нагретый или более охлажденный дополнительный материал вызывает неоднородность температурного поля в растущем теле.

Результатом неоднородности температурного поля в растущем теле является возникновение температурных напряжений. В итоге возникает ситуация, когда к основному телу, уже имеющему некоторые температурные напряжения, присоединяются свободные от напряжений (или деформиро-

ванные несогласованным с основным телом образом) части вещества извне. Следствием этого является качественное отличие напряженно-деформированного состояния растущего тела и тела постоянного состава. Причем, принципиальной особенностью является тот факт, что после прекращения роста и выравнивания температуры в выращенном таким образом твердом теле имеют место остаточные напряжения.

Остаточные напряжения в растущих телах могут привести к нежелательным последствиям, таким как потеря устойчивости, локальные нарушения сплошности, искажения геометрической формы, и т.д. В частности, учет искажений формы важен при разработке методов фотополимеризую-щей стереолитографии, а анализ устойчивости наращиваемых тонкостенных конструкций необходим при разработке микроэлектромеханических систем (MEMS).

Математические модели механики растущих тел позволяют описать процесс роста термоупругого твердого тела. В общем случае уравнения, описывающие температурные поля, а также поля напряжений и деформаций не имеют аналитического решения. Приближенное решение таких уравнений может быть получено только лишь с использованием численных алгоритмов. Однако, для построения эффективного вычислительного алгоритма необходима оценка параметров счета, обеспечивающая сходимость и приемлемую точность. Поэтому для разработки и отладки численных алгоритмов необходимо иметь готовые аналитические решения модельных задач.

§0.1 Исторический обзор

0.1.1 Введение

Как уже было сказано ранее, настоящая работа посвящена изучению температурных напряжений в твердых телах, растущих за счет присоединения к их поверхности дополнительного материала. В рассматриваемых задачах на напряженно-деформированное состояние, в первую очередь будет влиять распределение температуры в растущем теле. Задача о нахож-

денни температурного поля в теле со свободной границей известна как задача Стефана, основные методы решения которой хорошо изучены. Но задача Стефана является задачей теплопроводности и не включает в свою постановку изучение картины напряжений.

Для нахождения поля напряжений в растущем теле неприменимы классические методы (см. гл. 1). Для исследования такого рода задач следует воспользоваться теорией растущих тел. Разработаннй в настоящее время подход позволяет исследовать ряд процессов поверхностного роста. Но чтобы применить этот подход к решению рассматриваемых в настоящей работе задач, необходимо дополнить постановку задач о растущем теле соотношениями теории температурных напряжений.

Таким образом, рассматриваемая проблема находится па стыке трех направлений механики: термомеханики, теории теплопроводности тел со свободной поверхностью и механики растущих тел. Поэтому, чтобы осветить положение вещей на текущий момент времени, автор счел необходимым сделать исторический обзор по всем трем направлениям механики.

Исследуемые в настоящей работе задачи имеют не только теоретическое значение. Полученные результаты могут быть применены к моделированию ряда технологических процессов. Поэтому настоящий обзор будет неполным, если в него не включить работы, посвященные изучению электролитического осаждения, лазерного напыления, наплавки и т.д.

0.1.2 Задача теплопроводности со свободной границей

Решение задачи о фазовом переходе было впервые опубликовано в исследованиях Г. Лямэ и Б. Клапейрона в 1831 г. В их работе [150] рассматривается процесс затвердевания расплава без учета теплоты перегрева. Учесть теплоту перегрева в расчетах впервые удалось К. Г. Нэйману в 1860 г. В лекциях, которые он читал в Кепигсбергском университете излагалась методика и результаты этих расчетов [27, 105]. Позже, в 1889 г. в работах венского математика Йозефа Стефана [160, 161, 162, 163] было впервые опубликовано решение задачи о промерзании влажного грунта, математи-

чсская постановка которой схожа с постановкой задачи о затвердевании расплава. Решение задачи о промерзании, в последствии, было признано классическим, а сама задача о фазовом переходе получила название «задача Стефана».

Поскольку задача Стефана является весьма актуальной и имеет множество технических приложений, то этой проблеме посвящены сотни работ, как наших соотечественников, так и зарубежных коллег. Описания большинства трудов можно найти в различных обзорах (см., например, [30], [43]). Здесь же упомянем лишь основные из них.

В 50-е — 60-е годы XX в. активно проводилось изучение разрывных задач эллиптического и гиперболического типа. Методы, разработанные при решении этих задач были применены О. А Олейпик [90, 91, 92] к решению многомерной квазилинейной задачи Стефана. В результате применения этих методов была сформулирована концепция обобщенного решения задачи Стефана, сформулирована теорема о существовании и единственности обобщенного решения. Кроме того работае О. А. Олейпик [93] для построения решения задачи Стефана был успешно применен метод «сглаживания» коэффициентов. Этот же метол применяется для решения аналогичной задачи в работе С. JI. Каменомостской [36]. Здесь также следует отметить работу O.A. Ладыженской [53], в которой был предложен схожий метод решения разрывных задач.

Позже, французским ученым Г. Дюво [134] был применен метод вариационных неравенств к решению задачи Стефана. В результате нестационарную однофазную многомерную задачу Стефана удалось привести к вариационной постановке. Это позволило сформулировать теоремы о существовании и единственности обобщенного решения. А затем, А. Фридманом и Д. Киндерлераром [140] были выведены условия, при выполнении которых свободная граница в двух- и трехмерной однофазной задаче Стефана может описываться функцией, заданной в полярной системе координат, которая непрерывно и монотонно возрастает по времени и удовлетворяет условию Липшица по угловым координатам. Также Д. Киндерлерару

совместно с JI. Ниренбергом в работе [147] было показано, что обобщенное решение нестационарной задачи Стефана является классическим. Также отметим работы JI. Кафарелли [125, 126, 127], посвященные изучению свойств свободной границы в задачах «с препятствием».

В 80-е годы Ю. Мозером [152] был разработан метод решения многомерной задачи Стефана, основанный па теореме Нэша [154], также известной, как абстрактная теорема о неявной функции. Здесь следует упомянуть исследования JI. Хёрмапдера, Д. Г. Шеффера, Е. И. Ханзавы [157, 158, 135], в которых теорема Нэша, сформулированная удобном для практического применения виде, была использована для решения нестационарных задач о фазовом переходе в различных постановках.

Альтернативный подход к решению задачи Стефана был предложен А. Н. Тихоновым и A.A. Самарским [110], а позже, Е. JI. Албасини [120]. Суть этого подхода заключается в том, что вводится понятие «эффективной теплоемкости», которое включает в себя теплоту фазового перехода, выделяющегося на поверхности фаз. Это позволило, используя ¿-функцию Дирака, записать единое дифференциальное уравнение в частных производных для всей исследуемой области. На основе этого метода был разработан численный алгоритм построения приближенного решения многомерной нестационарной задачи Стефана.

Еще один подход к решению задачи Стефана был предложен И. И. Да-нилюком и его коллегами [41]. В его работах применялся вариационный метод, основанный на теории интегральных функционалов с переменной областью интегрирования. Такой же метод с применением теоремы Ротэ был использован М. А. Бородиным. В своих работах [22, 23] автору удалось получить классическое решение многомерных нестационарных двухфазных задач Стефана. Из альтернативных подходов, также следует упомянуть «метод расслоения на изотермы», сформулированный А. Н. Мейрмановым [74, 75] при изучении вопроса о разрешимости многомерной нестационарной задачи.

Сама по себе задача Стефана является задачей теплопроводности и

никак не затрагивает вопросы, связанные с температурными напряо!се-ниями в твердых телах. Изучением температурных напряо1сений занимается термомеханика. Поэтому следующая часть литературного обзора будет посвящена развитию этого направления.

0.1.3 Связанная и несвязанная задача термомеханиики

К первым работам по термомеханике следует отнести исследования по тсрмоу пру гости, которые проводились на основе теории Ж. М. Дюамеля и К. Г. Неймана [133]. Основное предположение этой теории заключалось в том, что полная девормация неравномерно нагретого твердого тела может быть представлена в виде суммы упругой деформации и теплового расширения. Разработанная теория позволяла решать статические и квазистатические задачи, но она не объясняла динамических эффектов, возникающих при неравномерном нестационарном нагреве.

Первые исследования температурных напряжений, проведенные с использованием законов термодинамики, были проведены У. Томсоном в 1855 году [165], а уравнения, отражающие связанность полей температуры и деформаций, были впервые выведены Л. Д. Ландау и Е. Л. Лифшицем [54].

Дальнейшее развитие теория температурных напряжений получила в трудах М.А. Био, П. Чедвика, Б. Боли и Дж. Уэйнера [121, 129, 130, 131, 21, 122, 123]. В этих работах была дана единая трактовка механических и тепловых процессов, а также была построена теория термоупругости, как обобщение классической теории упругости и теории теплопроводности. Были описаны такие явления, как перенос тепла при различных режимах теплообмена с окружающей средой, напряжения, вызванные неоднородным распределением температуры, динамические и термомеханические эффекты, тепловой удар и т.д.

Позже, в работах H.H. Шиллера [118, 119], а также, Т. А. Афанасьевой-Эрепфест [19] была получена удобная для практического применения математическая формулировка второго закона термодинамики. Особенностью новой формулровки является то, что в ней нашел свое отражение принцип

термодинамической недостижимости. С использованием этого принципа, а также принципа локального термодинамического равновесия был разработан метод термодинамических функций. С использованием построенного метода Дж.У. Гиббс в своей работе [141] вывел основные термодинамические соотношения, описывающие зависимости между напряжениями, деформациями, внутренней энергией и энтрапией. В этих же работах было выведено связанное уравнение теплопроводности.

Термодинамические основы нелинейной теории упругости были разработаны Л.Д. Седовым в 1962 году [108]. В его работах описываются процессы деформирования твердых тел при условии конечных деформаций при тепловом, физико-химическом и других воздействиях на рассматриваемые тела.

В 30-е годы XX в. П.Ф. Папкович получил представление общего решения квазистатической задачи термоупругости в форме, удобной для решения задач [95]. В этой форме представления перемещение выражается через произвольные векторную и скалярную функции, а частное решение неоднородного уравнения — через так называемый термоупругий потенциал перемещений, который представляет собой скалярное поле.

Алгоритм решения несвязанной задачи термоупругости предполагает на первом этапе построение температурного поля в рассматриваемой области. Здесь следует отметить работы A.B. Лыкова, Г. Карслоу, Д. Егера [57, 39], в которых излагаются основные методы теории теплопроводности в приложении к конкретным задачам. Также были разработаны методы решения некоторых квазистатических задач, которые получили свое отражение в работах А.Н. Динника, H.H. Лебедева, В.М Майзеля, Э. Мелапа, Г. Парку-са, Б. Боли, Дж. Уэйнера [31, 76, 55, 64, 21]. Отдельного упоминания заслуживают монографии В. Новацкого [85, 86, 155], в которых автор изложил подходы к решению сложных квазистатических задач теории температурных напряжений, в которых учитываются такие факторы, как разрывные граничные тепловые воздействия, действие источников тепла, и т.д.

Методы теории функции комплексного переменного также применялись

для решения задач термоупругости. Используя эти метды, Н.И. Мусхели-швили [82] удалось установить связь многозначности перемещений с тепловыми напряжениями, а также провел аналогию между плоской задачей термоупругости для многосвязпых тел при стационарном темпреатуриом поле с плоской задачей теории упругости с дислокациями.

Получили свое развитие и интегральные представления к решениям задач теплопроводности. В монографии С.М. Белоносова, В.Г. Овсиенко, В.Я. Карачуна [20] к решению задач теплопроводности применяется теория потенциалов. Для построения решений авторы вводят ньютоновские, а также тепловые потенциалы, а также разрабатывают приемы регуляризации граничных интегральных уравнений. В этой же работе теория потенциалов была распространена на неоднородные жидкости с памятью.

Также следует отметить труды К. Кейза [128, 42]. В первой работе автором был предложен оригинальный метод для решения задач переноса. Этот метод заключается в модификации метода Фурье путем дополнения счетного набора собственных функций континуальным множеством обобщенных функций. Во второй работе Кейз применяет разработанный метод для построения решений задач теории переноса в явном виде, а также разрабатывает численные методы для исследования задач теории переноса, не допускающих аналитического решения.

Параллельно развивалась теория температурных напряжений в тонкостенных конструкциях. Развитием изотермической теории тонкостенных оболочек занимались такие ученые, как А.Л. Гольденвейзер, А.И. Лурье, В.В. Новожилов и др. [25, 63, 88]. Также получили свое развитие методы решения задачи термоупругости для тел вращения. В частности, для решения задачи о напряжениях в коротком сплошном цилиндре А.И. Лурье, В.К. Прокоповым был предложен метод однородных решений [35]. Отметим работу Б.Г. Корнева [45], в которой автор строит аналитические решения различных задач теплопроводности (в т.ч. и для тонкостепных конструкций) с использованием теории бесселевых функций.

К первым исследованиям динамических задач термоупругости следует

отнести работу В.И. Даниловской [29], в которой задача о тепловом ударе была решена методами операционного исчисления. В работах Е. Стернбер-га и Дж. Г. Чакраворти [164] изучалась схожая задача, с той разницей, что тепловой удар представлял собой не скачок, а плавное повышение температуры. В работах Р. Муки, С. Бейера и О. Дилопа [153, 132] исследовалось влияние эффекта связанности на тепловой удар, а работа X. Крауса [149] посвящена исследованию колебаний, вызванных импульсным тепловым воздействием. Также к трудам по термоупругости в динамике можно отнести исследования П. Чедвика, И. Н. Спеддона, Я. С. Подстригача и др. [129, 130, 102, 103].

В последнее время получили свое развитие методы, основанные па применении аппарата обобщенных функций, такие как операторный метод, метод возмущений, метод неразрущающего контроля и т. д. Здесь следует отметить работу Ю.М. Коляно [44), в которой указанные методы используются для исследования задач теплопроводности и термоупругости для тел неоднородной структуры. В монографии рассматриваются задачи о температурных напряжениях в кусочно-неоднородном цилиндре, пластинках с тонкими включениями, тонкостенных элементах конструкций, строится решение задач с подвижной областью нагрева, задач с разрывными параметрами и сингулярными коэффициентами.

Также получила свое развитие термомеханика в сложных конструкциях. Это связано с тем, что в последние годы велись разработки композитов па основе полимеров. Здесь следует отметить работы В.Г. Карнаухова. В монографии [37] автор изложил разработанную им теорию наложения малых деформаций па установившиеся конечные деформации вязкоупругих тел. Основное внимание автор уделил изучению малых гармонических деформаций и распространению воли в вязкоупругих материалах. При этом, была исследована связанная задача термоупругости о колебаниях и дисси-пативном разогреве предварительно деформированных вязкоупругих тел. Еше одну свою работу [38] В.Г. Карнаухов посвятил связанным задачам термомеханики тонкостенных конструкции. В этой монографии была раз-

работана теория термоупругого деформирования вязкоупругих материалов с пьезоэффектом.

Отметим также работу [117], в которой исследовались связанные и несвязанные задачи термоупругости для двухкомпонентных смесей. К прикладным исследованиям по термомеханике следует отнести работу [24], в которой автор рассмотрел ряд задач термоупругости в применении к конкретным инженерным задачам.

Описанные выше работы посвящегш исследованию тел постоянного состава. Но настоящая работа посвящена изучению растущих тел, математическое описание которых принципиально отличается от описания тел постоянного состава. О том, как развивались методы исследования растущих тел рассказано в третьей части обзора.

0.1.4 Теория растущих тел

Первой задачей, в которой рассматривался процесс наращивания, была модельная задача, включенная в программу выпускных экзаменов Кембриджского университета [107]. Студентам-выпускникам предлагалось построить картину напряжений в трубе, на которую наматывалась тонкая проволока с переменным натягом. Один из способов решения этой задачи состоял в замене процесса укладки проволоки непрерывным увеличением радиуса рассматриваемой конструкции, при этом в касательные напряжения в каждом элементарном слое приравнивались к натяжению нити в момент намотки этого слоя. Затем следовало найти темп изменения напряжений, после чего, значения результирующих напряжений отыскивались при помощи процедуры интегрирования по времени.

Позже, индийский ученый Э.И. Рашба [106] применил описанный выше подход к исследованию напряжений в бесконечно протяженном непрерывно наращиваемом склоне. Основным результатом этой работы стала разработка метода исследования растущих тел с массовыми силами. Также, Э.И. Рашба показал, что в растущем теле, в общем случае, отсутствует свободная конфигурация, и следовательно, к растущим телам, в общем

случае, не применимы условия Сен-Венана, также известные как условия совместности деформаций.

Спустя некоторое время, С. Браун и JL Гудман в своих работах [124, 142] исследовали процесс роста упругого шарового самогравитирующего слоя. При этом предполагалось, что рост шарового слоя обусловлен непрерывным притоком извне дополнительного, свободного от нагрузок, матрениа-ла. В процессе решения этой задачи были подтверждены выводы о неприменимости условия совместности деформаций, а также о необходимости перехода к постановке задачи в скоростях. Указанные факты, в последствии, послужили базой для построения механики растущих тел.

Основателями общей теории деформирования растущих тел по праву можно назвать В. Д. Харлаба и Н.Х. Арутюняна. Монографии этих ученых [115, 4] были посвящены вопросам постановки и решения квазистатических задач о наращивании твердых тел произвольной формы при условии малых деформаций. В работах приводится классификация растущих тел, описывается общий подход к решению задач наращивания, выводится аналог условий Сен-Венана для поля скоростей.

В работах В. Д. Харлаба [115, 116] также рассматривалась задача о наращивании для вязкоупругого материала. Автор предложил свести эту задачу к классической задаче в терминах скоростей. Для этого предлагалось применить уже известный подход Вольтерра, т.е. подействовать на напряжения так называемым оператором вязкоупругости — интегральным оператором, действующим в переменной области. Однако строго обосновать эту идею и построить на ее основе методы решения задач автору так и не удалось. Эта работа была проделана позже, в трудах Н. X. Арутюняна и A.B. Манжирова [8, 65].

При формулировке задачи о поверхностном росте в терминах скоростей возникает вопрос о формулировке условия на подвижной поверхности. Очевидно, что это условие должно включать в себя величины, характеризующие как режим наращивания, так и начальное напряженно-деформированное состояние дополнительного материала. На этот факт

впервые обратил внимание В. К. Тринчер в своей работе [113].

Для восстановления картины напряжений по найденному полю скоростей необходимо также сформулировать начальные условия для тензора напряжений. Если начальное напряженно-деформированное состояние основного тела может быть определено методами классической механики деформируемого твердого тела, то формулировка начального условия для дополнительного тела является нетривиальной задачей. Задать начальное условие для поля напряжений удалось работе В. Д. Харлаба [115]. При этом предполагалось, что дополнительный материал формируется в момент присоединения к растущему телу, либо в момент присоединения новое вещество свободно от напряжений. Аналогичные условия также принимались работах Э.И. Рашбы, С. Брауна и JI. Гудмана [106, 124, 142].

Впервые сформулировать начальные условия в общем виде удалось Н. X. Арутюняну и В. К. Тринчеру в работах [11, 112]. При этом, авторы исходили из предположения, что напряженно-деформируемое состояние каждой частицы присоединяемого вещества заранее известно. В этих же работах было показано, что для определения напряженно-деформированного состояния растущего тела необходимо знать всю историю каждого присоединенного элемента дополнительного материала. Также был изложен общий подход к формулировке начальных и граничных условий.

Следует заметить, что Н.Х. Арутюнян и В. К. Тринчер в своих работах обратили внимание на то, что условие на поверхности роста будет кардинально отличаться от классического краевого условия. Однако, корректное условие на растущей поверхности было впервые выведено в работах A.B. Манжирова и С. А. Лычева. Их вывод основывался на утверждении, что на двумерной поверхности роста в любой момент времени должно быть задано трехмерное поле напряжений. В частности, в случае наращивания тела двумерными бесконечно тонкими поверхностями при отсутствии трения между ними в предположении малых деформаций краевое условие может быть выведено на основании формулы Лапласа.

Параллельно механике поверхностного роста развиваются теория и ме-

тоды моделирования процессов объемного роста. Развитием теории объемного роста занимались такие ученые как М. Эпштейн, В. А. Лубарда, Р. Се-гев [136, 137, 151, 159]. В их работах используются геометрические методы построения моделей. Из работ, имеющих прикладное значение, следует отмстить труд А. Кларбринга [148], посвященный исследованию биомеханических систем. В упомянутых работах используются неклассические методы описания механики. В частности, используются такие понятия, как материальная связанность и материальное многообразие. Эти термины были введены Дж. Д. Эшелби [138]. В классической механике, как правило, имеют дело с евклидовой геометрией, поэтому нет необходимости вводить материальное многообразие как отдельную геометрическую структуру. Вместо этого для описания деформаций используют две конфигурации: актуальную и отсчетную. При этом в качестве отсчетпой принимают свободную конфигурацию. Но поскольку свободная конфигурация в растущем теле в общем случае отсутствует, то классический подход не позволяет описать деформации в твердом теле.

Из работ, посвященных объемному и поверхностному росту, следует отметить исследования М.Е. Гертина [144, 145]. В модели, построенной в работе [143], в частности, учитывалось влияние сил поверхностного натяжения и формы граничной поверхности на физические процессы, происходящие на границе раздела фаз. Также следует отметить статью А. Ф. Андреевым и А. Я. Паршиным [2], в которой с позиции механики растущих тел описывается экспериментально установленный феномен, известный как «волны замораживания и таяния» или «кристаллизационные волны».

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кузнецов, Сергей Игоревич, 2013 год

Литература

1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 1994. — 544 с.

2. Андреев А.Ф., Паршин А. Я. О равновесной форме и колебаниях поверхности квантовых кристваллов // ЖЭТФ — 1978. — Т. 75. — С. 1511-1516.

3. Арутюнян Н.Х. Фундаментальные решения задач для растущего тела в форме четвертьплоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 2. С. 85-90.

4. Арутюнян Н. X. Краевая задача теории ползучести для наращиваемого тела // ПММ. 1977. Т. 41. Вып. 5. С. 783-789.

5. Арутюнян Н. X., Геогджаев В. О., Наумов В.Э. Задачи механики растущих вязкоупругопластических тел в условиях старения и разгрузки // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 4. С. 153-163.

6. Арутюнян Н. X., Дроздов А. Д. Механика растущих вязкоупругих тел, подверженных старению, при конечных деформациях // Мех. композита. материалов. 1985. № 4. С. 591-602.

7. Арутюнян Н. X., Дроздов А. Д., Наумов В. Э. Механика растущих вязкоупругопластических тел. М.: Наука, 1987. 471 с.

8. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B. Контактные задачи механики растущих тел // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 1. С. 145-158.

9. Арутюняп Н. X., Манжиров А. В. Контактные задачи теории ползучести. — Ереван: Институт механики HAH, 1999. — 320.

10. Арутюняп Н.Х., Манжиров A.B., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991. 176 с.

11. Арутюнян Н.Х., Метлов В. В. Нелинейные задачи теории ползучести наращиваемых тел, подверженных старению // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. № 4. С. 142-152.

12. Арутюнян Н.Х., Михайлов М.Н., Потапов В. Д. Устойчивость растущих вязкоупругих оболочек, подверженных старению // ПМТФ. 1986. № 2. С. 151-160.

13. Арутюнян Н.Х., Наумов В. Э., Радаев Ю. Н. Волны в растущих упругих телах. Препринт / Ин-т проблем механики АН СССР. М., 1989. № 405. 44 с.

14. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю. Н. Динамическое наращивание деформируемых тел. Препринт / Ин-т проблем механики АН СССР. М., 1989. № 374. 43 с.

15. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Динамическое наращивание упругого слоя. Ч. 1. Движение потока осаждаемых частиц с переменной скоростью // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. № 5. С. 6-24.

16. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Динамическое наращивание упругого слоя. Ч. 2. Случай падения приращиваемых частиц с постоянной скоростью // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. кб. С. 99-112.

17. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Математическая модель динамически наращиваемого деформируемого тела. Ч. 1. Кинематика и меры деформации растущего тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 6. С. 85-96.

18. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Математическая модель-динамически наращиваемого деформируемого тела. Ч. 2. Эволюцион-

ная граничная задача теории растущих тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 1. С. 72-86.

19. Афанасьева-Эренфест Т. А. Необратимость, односторонность и второе начало термодинамики. // Журн. прикл. физ., 1928,№ 5, с. 3-4.

20. Белоносов С.М., Овсиенко В. Г., Карачун В. Я. Применение интегральных представлений к решениям задач теплопроводности и динамики вязкой жидкости — К.: Выща шк. Изд-во Головно, 1989.??? с.

21. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.:Мир, 1964.

22. Бородин М.А. О разрешимости двухфазной нестационарной задачи Стефана. - ДАН СССР, 1982, т. 263, № 5, с. 1040-1042.

23. Бородин М.А. О классической разрешимости двухфазной нестационарной задачи Стефана. — УМН, 1983, т. 38, вып. 5, с. 152.

24. Гейтвуд Б.Э. Температурные напряжения применительно к самолетам, снарядам, турбинам и ядерным реакторам. / Пер с англ. Ди-ментберга, М., 1959.

25. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. Гостехиздат, М., 1953.

26. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. 448 с.

27. Гребер, Г. Основы учения о теплообмене / Г. Гре-бер, С. Эрк, У. Гри-гулль. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. 568 с.

28. Грипфельд М. А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. — М.: Наука, 1990. — 312 с.

29. Даниловская В. И. Температурные напряжения в упругом полупространстве, возникающие вследствие внезапного нагрева его границы. - ПММ, 1950, 14, 3.

30. Данилюк И. И. О задаче Стефана // Успехи математических наук. 1985. Т. 40, № 5 (245). С. 133-185.

31. Динник А. Н. Приложение функций Бесселя к задачам теории упругости. Ч. 2 (гл. VI. Температурные напряжения в цилиндре). Изв. Екатерин., горн, ин-та, 1915.

32. Дмитриева A.M., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Наращивание термоупругого сферического слоя: применение вариационного подхода. Препринт / Ин-т проблем механики РАН. М., 1993. № 528. 64 с.

33. Ефремова Е. А., Паршин Д. А. Напряженно-деформированное состояние вязкоупругого стареющего слоя, наносимого па вращающуюся цилиндрическую втулку // Ракетно-космическая техника: Фундаментальные и прикладные проблемы механики. Материалы Международной научной конференции, посвященной 90-летию В.И. Феодосьева. Москва, 4-6 мая 2006 г. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. С. 52.

34. Зайцев В.Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 576 с.

35. Каландия А. И., Лурье А. И., Манджавидзе Г. Ф., Прокопов В. К., Уфлянд Я. С. Линейная теория упругости. / В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т.З. М.: Наука, 1972, С. 4-70.

36. Каменомостская С. Л. О задаче Стефана. — Мат. сб., 1961, т. 53, (95), № 4, с. 488-514.

37. Карнаухов В. Г., Гуменюк Б. П. Термомеханика предварительно деформируемых вязкоупругих тел / Отв. ред. Махорт Ф.Г.; АН УССР. Ин-т механики. — Киев: Наук, думка, 1990. — 304 с.

38. Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Связанные задачи теории вязкоупру-гих пластин и оболочек. Киев: Наук, думка, 1986. — 224 с.

39. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.:Наука, 1964.

40. Карташов Э. М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел: Учеб. пособие для вузов. — М.: Высш. школа, 1979. — 415 с.

41. Кашкаха В. Е., Данилюк И. И. Об одной нелинейной пространственной задаче со свободной границей. — Докл. АН УССР. Сер. А, 1973, № 2, с. 119-123.

42. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. / Пер.с.англ М. Г. Кузьминой, под ред М. В. Масленникова. — М:Мир, — 1972.

43. Коздоба Л. А. Методы решения задач затвердевания (обзор). — Физика и химия обработки материалов, 1973, № 2, с. 41-59.

44. Коляно Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела. / Отв. ред. Буак Я.И.; АН Украины. Ин-т прикл. пробл. механики и математики. — Киев: Наук, думка, 1992. —280 с.

45. Корпев Б. Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. Решения в бесселевых функциях. — М. Наука, 1980.

46. Кузнецов С.И. Аналитическое и численное исследование упругих свойств несжимаемых сред при конечных деформациях // Актуальные проблемы механики сплошной среды: труды II международной конференции 4-8 октября, Дилижан, Армения. — Ер.: ЕГУАС, 2010, Т. I. С. 331-334.

47. Кузнецов С. И. Исследование температурных напряжений в растущем полом термоупругом шаре // XXXVIII Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной конференции в 8 томах. Москва, 10-14 апреля 2012 г. М.: МАТИ, 2012. Т. 1. С. 170-171.

48. Кузнецов С. И. Математическое моделирование термоупругого деформирования полого шара в процессе наращивания // XXXVII Гагарин-ские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах. Москва, 5-8 апреля 2011 г. М.: MATH, 2011. Т. 1. С. 189-190.

49. Кузнецов С. И. Математическое моделирование процесса термоупругого деформирования полого шара в процессе наращивания // Современные методы механики. X Всероссийский съезд но фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Вторая Всероссийская школа молодых ученых-механиков. Тезисы докладов. Нижний Новгород, 24-30 августа 2011 г. Издательствово Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 2011. С. 85.

50. Кузнецов С. И., Манжиров A.B., Федотов И. Задача теплопроводности для растущего шара // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 6. С. 139-148.

51. Кузнецов С. И., Паршин Д.А. Формирование упругого шара в процессе его вращения // XXXIV Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах. Москва, 1-5 апреля 2008 г. М.: МАТИ, 2008. Т. 1. С. 87.

52. Кузнецов С. И., Федотов И. Теоретические и экспериментальные исследования упругих свойств несжимаемых сред при конечных деформациях // Современные проблемы механики сплошной среды: труды XIV международной конференции г. Ростов-на-Дону, 19-25 июня 2010 г. - г. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2010. Т. И. С. 179-183.

53. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967.

54. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. Гостехиздат, М., 1954.

55. Лебедев H. H. Температурные напряжения в теории упругости. ОНТИ, М.-Л., 1937.

56. Левитин А.Л., Лычёв С.А., Манжиров A.B., Шаталов М.Ю. Нестационарные колебания дискретно наращиваемого термоупругого параллелепипеда // Изв. РАН, МТТ, №6, 2012, с. 95-109 (в печати).

57. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.:Высшая школа, 1967.

58. Лычев С. А. Деформирование растущих упругих пластин // Вестник нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4(4). С. 1588-1590.

59. Лычев С. А. Связанная динамическая задача термовязкоупругости // Изв. РАН. МТТ, 2008. № 5. С. 95-113.

60. Лычев С, А. Универсальные деформации растущих тел // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 6. С. 63-79.

61. Лычев С.А., Манжиров A.B., Юбер C.B. Замкнутые решения краевых задач связанной термоупругости // Изв. РАН. МТТ, 2010. N2 4. С. 138-154.

62. Лычев С.А., Лычева Т.Н., Манжиров A.B. Нестационарные колебания растущей круглой пластины // Изв. РАН. МТТ, 2011. № 2. С. 199208.

63. Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. Гостехиздат, М., 1947.

64. Майзель В. М. Температурная задача теории упругости. К.:Изд-во АН УССР, 1951.

65. Манжиров А. В. Общая безынерционная начально-краевая задача для кусочно-непрерывно наращиваемого вязкоупругого стареющего тела // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 5. С. 836-848.

66. Манжиров A.B., Лычев С.А., Кузнецов С.И., Федотов И. Аналитическое исследование процесса теплопроводности в растущем шаре // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия Естественные науки. 2012. №4 (в печати).

67. Манжиров А. В., Михин М. Н. Методы теории функций комплексного переменного в механике растущих тел // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2004. № 4 (34). С. 82-98

68. Манжиров A.B., Михин М.Н. О кручении наращиваемого эллиптического бруса // Проблемы механики деформируемых тел. Ереван: Изд-во «Гитутюн» HAH РА, 2003. С. 216-224.

69. Манжиров А. В., Михин М. Н. О кручении растущих тел // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды IX Международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения акад. И.И. Во-ровича. Ростов-на-Дону, 11-15 октября 2005 г. Т. 1. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2005. С. 131-136.

70. Манжиров А. В., Михин М. Н. Плоская задача для растущего тела // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VI международной конференции. Ростов-на-Дону, 19-23 июня 2000 г. Т. 2. Ростов-па-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001. С. 106-109.

71. Манжиров A.B., Черныш В. А. Задача об усилении заглубленной арочной конструкции методом наращивания // Изв. РАН. МТТ. 1992. № 5. С. 25-37.

72. Манжиров A.B., Паршин Д. А. Моделирование процессов наращивания цилиндрических тел на вращающейся оправке с учетом действия центробежных сил // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 6. С. 149-166.

73. Манжиров A.B., Паршин Д. А. Наращивание вязкоупругого шара в центрально-симметричном силовом поле // Изв. РАН, МТТ. 2006. № 1. С. 66-83.

74. Мейрманов А. М. О классической разрешимости многомерной задачи Стефана. - ДАН СССР, 1979, т. 249, № 6, с. 1309-1312.

75. Мейрманов А. М. О классическом решении многомерной задачи Стефана для квазилинейных параболических уравнений. — Мат. сб., 1980, т. 112(154), № 2(6), с. 170-192.

76. Мелан Э, Пар кус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. Пер. с немецкого / Под ред. Г. С. Шапиро. - М.: ФИЗМАТГИЗ, 1958. - 167 с.

77. Метлов В. В. О наращивании неоднородных вязкоупругих тел при конечных деформациях // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 4. С. 637-647.

78. Метлов В, В. О наращивании тел при конечных деформациях // Докл. АН АрмССР. 1985. Т. 80. № 2. С. 87-91.

79. Метлов В. В., Никитин А. В. О наращивании вязкоупругого цилиндра, подверженного старению // Изв. АН АрмССР. Механика. 1984. Т. 37, № 5. С. 52-60.

80. Метлов В. В., Турусов Р. А. О формировании напряженного состояния вязкоупругих тел, растущих в условиях фронтального отверждения // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 6. С. 145-160.

81. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 930 с.

82. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Изд-во АН СССР, М.-Л., 1954.

83. Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Термомеханическая модель наращиваемого тела: вариационная формулировка. Препринт / Ин-т проблем механики АН СССР. М. 1993. № 527. 39 с.

84. Николаев В.П., Инденбаум В.М. К расчету остаточных напряжений в намоточных изделиях из стеклопластиков // Мех. полимеров. 1970. № 6. С. 1026-1030.

85. Новацкий В. Вопросы тсрмоупругости. Изд-во АН СССР, М., 1962.

86. Новацкий В. Днамические задачи термоупругости М.:Мир, 1970.

87. Новацкий С. В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

88. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Судпромгиз, JL, 1962.

89. Образцов И. Ф., Паймушин В. Н., Сидоров И. Н. О постановках задачи непрерывного наращивания упругих тел // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314, № 4. С. 813-816.

90. Олейпик О. А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений. - УМН, 1957, т. 12, вып. 3, с. 3-73.

91. Олейник O.A. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами, — Изв. АН СССР. Сер. Мат., 1961, т. 25, с. 3-20.

92. Олейник О. А. О некоторых нелинейных задачах теории дифференциальных уравнений с частными производными. — Первая математическая школа. — Киев: Наукова думка, 1964, с. 117-255.

93. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана. — ДАН СССР, 1960, т. 135, № 5, с. 1054-1057.

94. Очан М. Ю. Исследование оптимального натяжения при намотке ленты на барабан // Машиноведение. 1972. № 2. С. 21-27.

95. Папкович П. Ф. Теория упругости. Оборонгиз, JI. — М., 1939.

96. Паршин Д. А. Наращивание вязкоупругого усеченного конуса под осе-симметричной торцевой нагрузкой // XXX Гагаринские чтения. Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции. Москва, 6-10 апреля 2004 г. М.: «МАТИ» - РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2004. Т. 2. С. 45-46.

97. Паршин Д. А. Наращивание гравитирующего шара // XXXI Гагаринские чтения. Тезисы докладов Международной молодежной научной

конференции. Москва, 5-9 апреля 2005 г. М.: «МАТИ» — РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2005. Т. 1. С. 100-101.

98. Паршин Д. А. О контакте массивной наращиваемой арки с жестким основанием // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Материалы V Российской конференции с международным участием. Саратов, 23-25 августа 2005 г. / Под ред. акад. Н.Ф. Морозова. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. С. 253-256.

99. Паршин Д. А. Наращивание гравитирующего упругого шара // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды IX Международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения акад. И.И. Воровича. Ростов-иа-Доиу, 11-15 октября 2005 г. Ростов-па-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2005. Т. 1. С. 157-161.

100. Паршин Д. А. Наращивание массивных деформируемых тел // XXXII Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах. Москва, 4-8 апреля 2006 г. М.: «МАТИ» - РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2006. Т. 1. С. 147-149.

101. Паршин Д. А. Кусочно-непрерывное наращивание тяжелой арки из вязкоупругого стареющего материала //IX Всеросс. съезд по теор. и прикл. механике, Аннотации докладов. Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г. Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2006 г. Т. 3. С. 170.

102. Подстригач Я. С. О влиянии термоупругого рассеяния на напряженное состояние деформируемого тела. — Изв. АН СССР, ОТН, 1960, 4.

103. Подстригач Я. С., Швец Р. Н. Некоторые динамические задачи термоупругости тонких оболочек. Теория оболочек и пластин. — // Тр.IV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Изд-ва АН АрмССР, Ереван, 1964.

104. Полянин А.Д., Манжиров A.B. Справочник по интегральным уравнениям. М.: Физматлит, 2003. 608 с.

105. Раддл, Р.У. Затвердевание отливок. - М.: Машгиз, 1960. 392 с.

106. Рашба Э.И. Определение напряжений в массивах от действия собственного веса с учетом порядка их возведения // Сб. тр. Ин-та строит. механики АН УССР. - 1953. № 18. С. 23-27.

107. Саусвелл Р. В. Введение в теорию упругости для инженеров и физиков. - М.: ГИИЛ, 1948. - 675 с.

108. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. Физматгиз, М., 1962.

109. Сеницкий Ю.Э., Лычев С. А., Несимметричные интегральные преобразования и их приложения к задачам вязкоупругости // Вестрик Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2002. Специальный выпуск. С. 16-38.

110. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966.

111. Тринчер В. К. О постановке задачи определения напряженно-деформированного состояния растущего тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 2. С. 119-124.

112. Тринчер В. К. Общая геометрически линейная постановка задачи определения деформированного состояния для тела с переменной границей // Проблемы современной механики. Ч. 2 / Под ред. акад. Л.И. Седова. М.: Изд-во МГУ, 1983. 149 с.

113. Тринчер В. К. Постановка задачи о термонапряжениях в растущем теле при заданных на растущей поверхности полных тензорах напряжений и силовых деформаций //V Всесоюзн. съезд по теор. и при-кл. механике. Аннотации докладов. Алма-Ата, 27 мая-3 июня 1981 г. Алма-Ата: Изд-во «Наука» Казахской ССР, 1981. С. 338.

114. Тринчер В. К. Расчет наращиваемых тел. — М.: Изд-во МГУ, 1989. — 154 с.

115. Харлаб В. Д. Линейная теория ползучести наращиваемого тела // Механика стержневых систем и сплошных сред: Тр. ЛИСИ. Л.: ЛИСИ, 1966. Вып. 49. С. 93-119.

116. Харлаб В. Д. Некоторые общие решения в линейной теории ползучести наращиваемого тела // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики: Межвуз. темат. сб. тр. Л.: ЛИСИ, 1986. С. 18-26.

117. Хорошун Л. П., Солтанов Н.С. Термоупругость двухкомпонентных смесей - Киев: Наук, думка, 1984. — 112 с.

118. Шиллер Н. Н. О втором законе термодинамики и об одной новой его формулировке. Киев, универ. изв., 1898.

119. Шиллер Н.Н. Опытные данные и определения, лежащие в основании второго закона термодинамики. Киев, универ. изв., 1900, 3.

120. Albasiny E.L. Proc. Just. Electr. Enqin. 103, Suppl., 1956, № 1, p. 158164.

121. Biot M. A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics. — J. Appl. Phys., 1956, 27, 3.

122. Boley B. A., Barber A. D. Dynamic response of beams and plates to rapid heating. - J. Appl. Mech., 1957, 24, 3.

123. Boley B.A., Tolins I. S. Transient coupled thermoelastic boundary value problems in the half-space. - J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1962, E 29, 4.

124. Brown C.B., Goodman L.E. Gravitational stresses in accreted bodies // Proc. Roy. Soc. London, A. 1963. Vol. 276. No. 1367. P. 571-576.

125. CafFarelli L.A. The smoothness of the free surface in a filtration problem. — Arch. Rat. Mech. and Anal., 1976 ,v. 63, p. 77-86.

126. Caffarelli L. A. The reqularity of elliptic and parabolic free boundaries. — Bui. A. M. S.,1976, v. 82, p. 616-618.

127. Caffarelli L. A. The reqularity of free boundaries in higher dimentions. — Acta Math., 1977, v. 139, № 3-4, p. 155-184.

128. Case K. Elementary solutions of the transport eqation, Ann. Phys., 9 (1960), 1.

129. Chadwick P. Progress in solid mechanics. Thermoelasticity. The dynamical theory. North-Holland Pub. Co., Amsterdam, I960, 1.

130. Chadwick P., Sneddon I.N. Plane waves in an elastic solid conducting heat. J. Mech. a. Phys. Solids, 1958, 6, 3.

131. Chadwick P., Windle D.W. Propagation of Rayleigh waves along; isothermal and insulated boundaries. — Proc. Roy. Soc, 1964, A280, 1380.

132. Dillon O.W. Jr. Thermoelasticity when the material coupling parameter equals unity. - Trans. ASME, 1965, E32, 2.

133. Duhamel J, M. C. Second mémoire sur les phénomènes termo-méchaniques. // Journal de l'École Polytechnique. 1837. - 15, № 25. P. 1-57.

134. Duvant M. G. Résolution d'un problème de Stefan (Fusion d'un bloc de glace a zéro degré). — C. R. Acad. Se, Paris, ser. A, 1973, v. 276, p. 14611463.

135. Ei-Ichi Hanzawa. Classical solutions of the Stefan problem. — Tohoku Math. J., 1981, v. 33, p. 297-335.

136. Epstein M., Elsanowski M. Material Inhomogeneities and Their Evolution: A Geometric Approach. — Springer, 2007. — 274 p.

137. Epstein M., Maugin G. A Thermomechanics of volumetric growth in uniform bodies // International Journal of Plasticity. —2000. — Vol 16, no. 7. - P. 951-978.

138. Eshelby J.D. Collect Works of J.D. Eshelby. The Mechanics of Defects and Inhomogeneities / Ed. by X. Markenscoff, A. Gupta. Solid Mechanics and Its Applications. — Springer, 2006.

139. Freidin A.B. On new phase inclusions in elasiic solids // Z. Angew. Math. Mech. - 2007. - Vol. 87, no. 2. - P. 102-116.

140. Friedman A., Kinderlehrer D. A one phase Stefan problem. — Indiana Univ. Math. J., 1975, v. 25, № 11, p. 1005-1035.

141. Gibbs J.W. On the equilibrium of heterogeneous substances // Trans. Connecticut Acad. Arts and Sciences, Vol. Ill , 1875-1878, pp. 108-248.

142. Goodman L.E., Brown C.B. Dead load stresses and the instability of slopes //J. Soil Mech. and Foundat. Div., Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. 1963. Vol. 89. No. 3. P. 103-134.

143. Gurtin M. E. A mechanical theory for crystallization of a rigid solid in a liquid melt; melting-freezing vawes // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1990. - Vol. 110, no. 4 - P. 287-312.

144. Gurtin M.E. On the two-phase stefan problem with Interface energy and entropy // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1986. — Vol. 96, no. 3 - P. 199-241.

145. Gurtin M.E.,Jabbour M.E. Interface evolution in three dimensions with curvature-dependent energy and surface diffusion: Interface-controlled evolution, phase transitions, epitaxial growth of elastic films // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 2002. - Vol. 163, P. 171-208.

146. Jabbour M. E. Bhattacharya K. A continyym theory of multispecies thin solid film growth by chemical vapor deposition // Journal of Elasticity. — 2003. - Vol. 73. - P. 13-74.

147. Kinderlehrer D., Nirenberg L. The smoothness of the free boundary in the one phase Stefan problem. — Comen. Pure and Appl. Math., 1978, v. 31, № 3, p. 257-282.

148. Klarbring A., Olisson Т., Stalhand J. Theory of residual stresses with application to an arterial geometry // Archives of Mechanics. — 2001. — Vol 59. - P. 341-364.

149. Kraus H. Thermally induced vibrations of thin nonshallow spherical shells. - AIAA J., 1966, 4, 3.

150. Lame, G. Memoire sur la solidification par refroidissement d'un globe liquide / G. Lame, B.P. Clapeyron// Annales de Chimie et de Physique. 1831. Vol. 47. P. 250-256

151. Lubarda V. A., Hoger A. On the mechanics of solids with a growing mass // Int. J. Solids Struct. - 2002. - Vol. 39. - P. 4627-4664.

152. Moser J. A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equations. — Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 1961, v. 47, p. 18241831. (Рус. пер.: Математика, 1962, т. 6, № 4.)

153. Muki R., Breuer S. Coupling effects in a transient thermoelastic problem. Osterr. Ing. Archiv, 1962, 26, 4.

154. Nash J. The imbedding problem for Riemannian manifolds. — Ann. of Math; 1956, v. 63, p. 20-63. (Рус. пер.: УМН, 1971, т. 26, вып. 4.)

155. Nowacki W. Thermoelasticity. — Pergamon-Press, Oxford-Ld. N. Y.-P, 1962.

156. Rost M. Continuum models for surface growth // Multiscale modelling in epitaxial growth / Ed. by A. Vogit. — 2005. — Vol. 149 of International Series of numerical Mathematics. — P. 195-208.

157. Schaeffer D. G. A new proof of the infinite differentiability of the free boundary in the Stefan problem. - J. Diff. Eq., 1976, v. 20, p. 266-269.

158. Schaeffer D. G. Some examples of singularities in a free boundary. — Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, 1977, v. 4, p. 133-144.

159. Segev R., Rodnay G. On volumetric growth and material frames // Extracta Mathematicae. - 1999. - Vol. 14, no. 2. - P. 191-203.

160. Stefan, J. Uber einige Probleme der Theorie der Wärmeleitung // Sitzungsberichte der kaiserliche Akademie der Wissenschaften in Wien. Mathematischnaturwissenschaftliche Klasse. 1889. Bd. XCVIII. Abth. IIa. S. 473-484.

161. Stefan, J. Uber die Theorie der Eisbildung, insbesondere über die Eisbildung in Polarmeere // Sitzungsberichte der kaiserliche Akademie der Wissenschaften in Wien. Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse. 1889. Bd. XCVIII. Abth. IIa. S. 965-983.

162. Stefan J. Uber die Diffusion von Säuren und Basen gegen einander. — S. B. Wien. Akad. Mat. Natur., 1889, Bd. 98, S. 614-634.

163. Stefan J. Über die Verdampfung und die Auflösung als Vorgänge der Diffusion. - S. B. Wien. Akad. Mat. Natur, 1889, Bd. 98, S. 1418-1442.

164. Sternberg E., Chakravorty J.G. On inertia effects in a transient thermoelastic problem. Trans. ASME, 1959, E26, 4.

165. Thomson W. On the Dynamical Theory of Heat // Cambridge: Cambridge University Press, 1882-1911, 1, pp. 174-332.

166. Weinan E., Yip. N.K. Continuum theory of epitaxial crystal growth.// Journal of Statistical Physics. - 2001. Vol. 104, no. 1-2. - P. 221-253.