Локальные эффекты в термоупругих пластинках и оболочках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Конюхов, Александр Вениаминович

• Конюхов, Александр Вениаминович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Конюхов, Александр Вениаминович

СОДЕРЖАНИЕ.

ЛОКАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ТЕРМОУПРУГИХ ПЛАСТИНАХ И ОБОЛОЧКАХ. ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМЫХ

ЯВЛЕНИЙ.

§1. Термодинамические основы изучаемых явлений.

§2. Дифференциальная постановка задачи термоупругости.

§3. Вариационная постановка задачи термоупругости.

§4. Вариационная постановка задачи в случае наличия 37 поверхности с неидеальным тепловым контактом.

ГЛАВА 2. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В МНОГОСЛОЙНЫХ

ОБОЛОЧКАХ.

§1. Дифференциальные уравнения теплопроводности многослойных оболочек с учетом• неидеального контакта между, ними.

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ.

§ 1. Локальный тепловой удар по круглой тонкой пластинке.

Определение температурного поля.

§ 2. Влияние конечной скорости распространения тепла.

§ 3. Локальный тепловой удар по круглой тонкой пластинке.

Определение НДС.

§4. Двухслойная пластина с полосой неидеального межслоевого теплового контакта.

ГЛАВА 4. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОУПРУГИХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК.

§1. Конечноэлементная модель.

§2. Конечноэлементная модель учета неидеального теплового контакта.

§ 3. Некоторые сведения о жестких системах.

§ 4. Схемы численного интегрирования по времени.

4.4.1. Схема численного интегрирования дифференциальных уравнений динамической термоупругости по времени.

4.4.2. Схема численного интегрирования в задаче с площадкой неидеального теплового контакта.

4.4.3. Учет граничных условий.

§5. Исследование жесткости системы уравнений динамической термоупругости.

ГЛАВА 5. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧ С ЛОКАЛЬНЫМИ

ЭФФЕКТАМИ.

§ 1. Тепловой удар по поверхности пластинки.

5.1.1. Тестирование задачи.

5.1.2. Численное исследование задачи.

§2. Тепловой удар по поверхности цилиндрической оболочки.

§3. Задача о неидеальном тепловом контакте для многослойных конструкций.

5.3.1. Задача неидеального теплового контакта для 145 двухслойного цилиндра. Тестирование задачи.

5.3.2. Сравнение аналитического и численного решения задачи о локальном неидеальном тепловом контакте в двухслойной пластине.

§4 Пластины и оболочки, имеющие локальный неидеальный тепловой контакт между слоями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локальные эффекты в термоупругих пластинках и оболочках»

Пластины и оболочки являются наиболее распространенными составными элементами инженерных конструкций. Конструкции могут работать в условиях взаимодействия с переменными физическими полями. В механике твердого деформируемого тела раздел, описывающий поведение упругой конструкции, работающей в поле переменных температур, получил название термоупругости.

Среди различных видов воздействий на элементы конструкций можно выделить класс термосиловых воздействий, когда неоднородность в термических условиях является сильным концентратором напряжений. Такой тип воздействия возникает при взаимодействии конструкции с локальными источниками энергии, например, взаимодействие конструкции с лучом лазера. Динамическая задача, возникающая в этом случае, получила название задачи о локальном тепловом ударе. Другое термическое воздействие, играющее роль концентратора напряжений, — это неидеальный тепловой контакт. При расчете на прочность многослойных конструкций, подверженных термосиловым воздействиям, обычными гипотезами являются гипотезы об идеальном тепловом и механическом контакте между слоями. Возможная неоднородность или дефект межслоевого соединения приводят к неидеальному тепловому контакту. Эта неоднородность, локализованная в какой-либо области, являясь концентратором напряжений, может сильно влиять на распределение напряжений в конструкции. Исследованию влияния такого вида локальных эффектов на напряженнодеформированное состояние пластин и оболочек и посвящена данная работа.

Кратко рассмотрим развитие исследований по термоупругости. Интерес к подобным задачам возник в связи с необходимостью разработки механических конструкций, способных работать в условиях неравномерного стационарного и нестационарного нагревов (например, в авиационной и ракетной технике, в системе защиты ядерных реакторов, в ряде отраслей технологии машиностроения и т.д.). К первым исследованиям термоупругого состояния в квазистатической постановке следует отнести работу Дж.Дюгамеля (J.Duhamel), который впервые в 1837 г. вывел уравнения для определения термоупругого состояния тела [164]. Позднее эти результаты получил Ф.Е.Нейман (F.E.Neumann) [193].

Задачи теории теплопроводности и определения температурных напряжений с достаточной полнотой освещены в монографиях Р.Бермана [9], Г.Карслоу и Д.Егера [54], А.В.Лыкова, [81], А.И.Вейника [22], П.Дж.Шнейдера [147], С.С.Кутателадзе [79], Л.А.Коздобы [56], Р.Бермана [9], Б.Боли и Дж.Уэйнера [10], А.Д.Коваленко [55], В.Новацкого [99]/Я.С.Подстригача, Ю.М.Коляно [112], Э.Мелана и Г.Паркуса [83], Г.ГГаркуса [108], Ф.Крэйта, У.Блека [75], P.Chadwick [155].

В 1956 г. вышла работа Био (M.A.Biot) [152], в которой было впервые осуществлено полное обоснование основных соотношений и уравнений связанной термоупругости, опирающихся на законы термодинамики необратимых процессов. Этим же автором были намечены некоторые методы решений уравнений термоупругости и сформулированы основные вариационные принципы. В последовавших публикациях В.Новацкого (W.Novacki) [198], Х.Зорского (H.Zörski) [216], [217], Я.С.Подстригача [110] предложены различные приемы преобразования дифференциальных уравнений термоупругости с целью упрощения задачи. В работе В.Ионеску-Каземира (V.Ionescu-Cazimir) [181] дана полная формулировка расширенной теоремы взаимности для задач термоупругости. Из ранних работ в области связанной термоупругости тонкостенных элементов конструкций отметим работу Р.Н.Швеца [142], где получены взаимосвязанные линейные уравнения термоупругости для тонких пластин. Исследования линейных связанных задач термоупругости отражены в обзорах В.Новацкого [100].

Многие исследователи в целях понижения размерности уравнения теплопроводности, использовали в своих работах предположение о полиномиальном законе распределения температуры по толщине оболочки или пластины. В работе Я.Ф.Малкина [82] впервые предложено представление температуры в виде бесконечного ряда. В работе Я.С.Подстригача [111] в предположении о линейном законе распределения температуры по толщине пластинки получены уравнения нестационарного теплового режима для тонких оболочек без учета кривизны. В.В.Болотиным [11] в тех же предположениях о распределении температуры по толщине аналогичные уравнения получены на основе вариационного принципа. В работе В.И. Даниловской [39] при выводе уравнений теплопроводности для тонких оболочек температура предполагалась распределенной по квадратичному закону. В ряде публикаций R.Cukic'a [158-160] на базе гипотез о линейном распределении температурного поля по толщине решены различные связанные задачи о колебаниях тонких пластин и оболочек вращения, при этом в качестве метода решения использовано преобразование Фурье. Предположение о линейном законе распределения температуры по толщине оболочки использовали: Р.Н.Швец и Е.И.Лунь [144] при выводе уравнений связанной линейной задачи термоупругости для ортотропных оболочек в рамках модели типа Тимошенко; В.М.Флячок [136], Р.Н.Швец [141], В.М.Флячок и Р.Н.Швец [137] при получении общих вариационных принципов для динамических связанных задач изотропных и анизотропных оболочек, а также ряд других авторов. В публикации [145] Р.Н.Швец, В.М.Флячок установили для связанных линейных уравнений анизотропных оболочек, с учетом кубического распределения температуры по толщине, теоремы единственности, взаимности и вариационный принцип. В работах тех же авторов [138], [146] указанные результаты распространены на случай уравнений механотермодиффузии, при этом также принят кубический закон распределения температуры по толщине оболочки. Различные варианты полиномиального закона распределения температуры по толщине оболочки представлены в монографии И.А.Мотовиловца и В.И.Козлова [93]. Краткий анализ методов сведения трехмерного уравнения теплопроводности для тонкостенных элементов конструкций к системе двухмерных уравнений дан в сообщении Я.С.Подстригача и Ю.А.Чернухи [115]. Одним из возможных подходов в этом направлении является операторный метод, сравнительно легко реализуемый для определенного класса линейных задач.

Большая роль в развитии термоупругости принадлежит исследователям украинской школы механиков. Фундаментальные труды по термоупругости принадлежат А.Д.Коваленко [55], Я.С.Подстригачу, В.А.Ломакину, Ю-.М.Коляно [114], И.А.Мотовиловцу и В.И.Козлову [93], Я.С.Подстригачу, Р.Н.Швецу [116], где с исчерпывающей полнотой изложены физические основы линейных задач термоупругости, в том числе для тонкостенных элементов конструкций, описаны основные методы решения указанных задач и представлена обширная библиография. Связанным задачам термовязкоупругости посвящена монография В.Г.Карнаухова [52]. Развитие термовязкоупругости для пластин и оболочек представлено в монографии В.Г.Карнаухова и И.ф.Киричка [53]. Исследования по термомеханике хорошо представлены в межведомственном сборнике [131]. Сборник освещает вопросы теории и методов решения квазистатических и динамических задач термоупругости, термопластичности и термовязкоупругости для пластин и оболочек.

Большое внимание изучению прочности и устойчивости оболочек при термосиловом нагружении уделено в работах ученых Казанской школы механиков. К.З.Галимовым и Х.М.Муштари (обзор [102]) получены соотношения с учетом геометрической нелинейности и температурных напряжений для изотропной и1 ортотропной цилиндрической оболочки. Термодинамика термовязкоупругих процессов в пластинах и оболочках рассмотрена в монографии Ю.П.Жигалко [43]. В этой же работе рассмотрены задачи связанной термоупругости о диссипативном разогреве пластин при вынужденных колебаниях. Цикл работ, посвященный задачам теплопроводности и термоупругости для трехслойных пластин выполнен М.А.Ильгамовым (обзор [102]). Большое количество работ М.С.Ганеевой, В.Е.Моисеевой, Л.А.Косолаповой (обзор [102]) посвящено развитию задач о неравномерном термосиловом нагружении для тонких оболочек и оболочек средней толщины с учетом деформации поперечного сдвига, геометрической и физической нелинейности.

Проблемам термоупругости посвящены также работы исследователей саратовской школы: В.А.Крысько, Л.Ф.Вахлаевой, М.П.Мисник, А.А.Сопенко [20-21], [70-74], посвященные исследованию статической и динамической устойчивости и колебанию оболочек в поле температур; П.Ф.Недорезова [96-97], посвященные исследованию задач термовязкоупругости оболочек.

Обширный обзор отечественной и зарубежной литературы по вопросам теплопроводности, термоупругости и другим разделам термомеханики за период с 1965 по 1976 г. приведен в сборнике Ю.М.Коляно, М.М.Семерака, О.А.Яворской [59].

В указанных выше работах по исследованию задач термоупругости рассматриваемое уравнение теплопроводности имело параболический тип, что соответствует предположению о мгновенном распространении тепла внутри тела. В публикации 1967 г. Х.В. Лорда (H.W.Lord) и ИШумана (Y.Shulman) [189] была предложена новая математическая модель динамической термомеханики, учитывающая конечную скорость распространения тепла. В этой новой модели в уравнение теплопроводности были введены члены тепловой инерции, за счет которых уравнение приобрело гиперболический тип. Соответствующая термомеханическая теория в отличие от классической теории, не учитывающей тепловой инерции, получила название обобщенной.

Исследованию задач обобщенной термомеханики посвящена монография Я.С.Подстригача и Ю.М.Коляно [112], в которой изложены основы теории, дано решение ряда практических задач, отмечены эффекты учета конечной скорости распространения тепла (в частности, при движении плоской гармонической волны в неограниченном термоупругом слое наблюдается с ростом частоты значительное влияние конечной скорости распространения тепла на относительное приращение фазовой скорости) и приведена библиография по указанным вопросам. В работе Р.Н.Швеца и А.А.Лопатьева [143] изучены особенности динамических процессов при высших частотах на основе линейных трехмерных уравнений обобщенной термомеханики. В частности, исследование распространения плоской гармонической волны показало, что при частоте колебаний, меньшей некоторой характеристической частоты исследуемого материала, можно использовать параболическое уравнение теплопроводности. В статье Ю.М.Коляно и З.И.Штера [60] при получении связанных уравнений обобщенной термомеханики для анизотропного тела использованы методы идентификации, закон сохранения энергии и постулат Клаузиуса-Дюгема.

В работах В.П.Барана, Д.В.Грилицкого, Р.И.Мокрика [6], Р.И.Мокрика и Ю.А.Пырьева [88], [89] осуществлен анализ различных динамических моделей линейной термоупругости с точки зрения удовлетворения их принципу причинности. Например, последние две публикации, уточняя результаты первой, позволяют рассчитывать на физическую целесообразность динамической задачи термоупругости с параболическим уравнением теплопроводности.

Основные выводы, следующие из рассмотрения связанных задач термоупругости, таковы:

1) эффект связанности в количественном отношении зависит от материала, из которого изготовлено твердое тело, (для металлических тел он менее заметен, для полимерных достаточно велик);

2) учет эффекта связанности позволяет выявить качественно новые особенности распространения упругих волн (затухание и дисперсия).

Из работ, посвященных математическому обоснованию задач термоупругости, следует прежде всего отметить фундаментальную монографию В.Д.Купрадзе, Т.Г.Гегелиа, М.О.Башелейшвилли и Т.В.Бурчуладзе [78], в которой исчерпывающим образом исследован вопрос о существовании и единственности классических (т.е. непрерывно дифференцируемых требуемое число раз) решений линейных задач теории упругости и связанной термоупругости для пространственных тел. В качестве математического аппарата использовался метод потенциала и теория многомерных сингулярных интегральных уравнений. Основные этапы развития метода потенциала в теории упругости и термоупругости отражены в работах В.Д.Купрадзе и Т.В.Бурчуладзе [76], [77], Т.Г.Гегелиа [26]. В статьях Г.Фичера (G.Fichera) [167-168] с использованием преобразования Лапласа и общей теории сильно эллиптических систем установлены результаты об однозначной разрешимости линейной связанной задачи термодиффузии, как в классах Соболева, так и в классах непрерывно дифференцируемых функций. С.Н.Васильковским получен результат о единственности решения уравнений . динамики связанной термоупругости в напряжениях [19]. В работах И.Б.Михайловской и О.Б.Новик [86-87] установлены теоремы о корректной разрешимости задачи Коши и устойчивости ее явной сеточной аппроксимации для системы интегро-дифференциальных уравнений, включающей, как частный случай, систему уравнений линейной теории связанной термоупругости. А.Н.Боценюком [13] доказана теорема о существовании и единственности некоторого класса решений для систем абстрактных дифференциальных уравнений типа уравнений термоупругости. Среди зарубежных авторов, чьи работы посвящены математическому обоснованию задач термоупругости, следует также отметить S.G.Ciamasu [156], I.Nistor [196], J.Gawinecki, T.Kowalski A.Piskorek, K.Litevska [170-172], [184-185].

В работах, посвященных динамическим задачам термоупругости, отдельно выделяются задачи о тепловом ударе (thermal shock problem). При постановке такой задачи предполагается, и что в начальный момент объект покоится, а в последующий происходит изменение термоупругого состояния вследствие изменения температурных краевых условий. Так, задача о распространении термоупругой волны в полупространстве благодаря мгновенному нагреву его границы для случая малых времен впервые рассмотрена В.И. Даниловской [40] (т. наз. первая задача В.И.Даниловской). Задача обобщена на случай связности полей температуры и деформации и дополнительно исследовалась рядом исследователей [162-163], [165], [187], [191]. Р.Б.Хетнарским (К.В.Негпаг8к1) [177-180], Б.А.Боли (В.А.Во1еу) и Р.Б.Хетнарским (КВ.НеШагзк!) [153], Б.А.Боли (В.А.Во1еу) и ИС.Толлинсом (ЬЗ.ТоШш) [154] методом малого параметра получены решения связанной задачи для малых времен. В.И.Даниловской [38] также принадлежит решение , задачи о полупространстве, по границе которого осуществляется теплообмен. Позднее были получены решения для теплового удара по тонкостенным элементам. А.Д.Коваленко [55] получено решение о тепловом ударе по круглой пластинке. Допущение о теплоизолированности пластинки позволило получить динамическое решение. Следует отметить, что при теплоизолированности пластинки стационарного решения не существует, и температура в данном решении возрастает с течением времени. Результат был обобщен В.И.Козловым [57] на случай прямоугольной пластинки, но для связанной задачи. При некоторых естественных упрощениях решение задачи получено аналитически в виде ряда Фурье. Результатом работы явилось подтверждение затухания колебаний пластины как одного из проявлений эффекта связанности полей деформации и температуры. Отметим отсутствие в работе каких-либо упрощающих гипотез о характере распределения температурного поля по толщине пластины. Решение для цилиндрической прямоугольной в плане панели рассмотрено Я.С.Подстригачом, Р.Н.Швецом [116]. Для задачи теплопроводности пластин при локальном тепловом ударе Ю.П.Жигалко [44], Ю.П.Жигалко и Е.М.Федотовым [48] использовалась гипотеза о квадратичности температурного поля по толщине. Для случая подкрепленной цилиндрической оболочки ряд асимптотических решений был получен А.Г.Горшковым, А.В.Горюновым [32]. Ими использовались уравнения теплопроводности тонкой оболочки, полученные на основе гипотезы линейности температуры по толщине оболочки. Исследованиям задачи о тепловом ударе посвящены также работы ряда зарубежных авторов G.A.Nariboli [192], E.Stenberg, J.G.Chakravorty [203-204], T.A.Zaker [210], в работах H.U.Wenk [207], E.V.Wilms [208-209] исследуются эффекты связанности при тепловом и механическом ударах.

К исследованиям задач о тепловом ударе близки исследования напряженно деформируемого состояния, создаваемого объемным источником тепла. Так, при допущении о линейном распределении температуры по толщине была решена задача о стационарном тепловом поле, вызванным локализованным тепловым ядром в круглой пластине (Б.Г.Коренев [69]). В.В.Болотиным [11] при этом допущении получены уравнения температурных полей в тонких оболочках при наличии источников тепла. Большое количество аналитических решений для тонкостенных элементов, а также массивных тел, нагреваемых точечными объемными источниками, представлено в работе Ю.М.Коляно и А.Н.Кулика [58]. Для получения решений использован аппарат обобщенных функций и интегральных преобразований. В работах Я.С.Подстригача [111], Я.С.Подстригача, Ю.М.Коляно, М.М.Семерака [113] этот аппарат использован для исследования задач для тонкостенных элементов с источниками, распределенными по некоторой полосе и ряде других. Основными гипотезами в этих работах являются гипотезы о линейном распределении температуры по толщине тонкостенного элемента. В работе Б.В.Нерубайло [98] рассмотрены задачи термоупругости оболочек на основе гипотезы о линейности температурного поля по толщине при стационарных локализованных температурных полях. В этой работе показано влияние постоянной и линейной составляющих температуры по толщине на напряженное состояние оболочки. Различные задачи с точечным источником тепла как неподвижным, так и подвижным, решены Г.Изоном (G.Eason) и И.Н.Снеддоном (I.N.Sneddon) [166] с помощью интегральных преобразований Фурье и Ханкеля-Фурье.

Отметим исследования с применением численных и численно-аналитических решений задачи термоупругости. В монографии А.Г.Угодчикова, Н.М.Хуторянского [133] исследуются задачи теории термоупругости, строятся фундаментальные решения, потенциалы и граничные интегральные уравнения для широкого круга линейных задач, а также приводятся методы решения данных задач методом граничных элементов. Т.Масатакой (T.Masataka) [190] сопоставляются решения метода конечных и метода граничных элементов, применительно к некоторым задачам механики сплошной среды. Метод граничных элементов для исследования задачи термоупругости применялся также Г.Шарпом и С.Краучем (S.Sharp, S.L.Crouch) [201], а В.В.Гнатюком, А.Н Снитко., В.В.Улитиным [27] для решения задачи стационарной термоупругости при конвективном теплообмене. А.И.Уздалевым [134], А.И.Уздалевым и Ю.И.Миндолиным [135] для решения различных стационарных задач применялся метод возмущений. Численное исследование задачи о тепловом ударе имеет практическую направленность. Например, в работе [132] рассматривалось моделирование взаимодействия некоторой орбитальной конструкции с солнечной радиацией при выходе из тени Земли. Исследуемая конструкция моделировалась сферической оболочкой, по которой происходил тепловой удар. Численное решение проводилось методом конечных разностей. Среди работ, посвященных исследованию квазистатических задач, отдельно следует отметить работу С.А.Капустина [51], где рассмотрен анализ квазистатических задач методом конечных элементов. А.Г.Горшковым, А.А.Дергачевым [34] исследовалась численно задача о тепловом ударе по тонкостенному элементу, в работе [33] рассматривался слой из композита. При численной реализации использовался метод конечных разностей, основное допущение -линейность температуры по толщине. А.А.Дергачевым, Д.В.Тарлаковским [41] рассматривалась задача о действии на цилиндрическую оболочку локализованного импульса, кинематика оболочки удовлетворяла гипотезе Кирхгофа-Лява. Метод решения -метод конечных разностей и явная схема интегрирования.

Задача о тепловом ударе исследовалась также и экспериментально. Так, коллективом авторов [91] (В.И.Моссаковскиий, Л.З.Андреев, Л.Я.Замковой, Н.П.Ободан) экспериментально исследована задача о разрушении тонкостенного элемента импульсом лазерного излучения.

При расчете многослойных конструкций на прочность при термосиловых воздействиях обычными гипотезами являются гипотезы идеальном тепловом и механическом контактах между слоями. Исследованию температурных полей в многослойных оболочках посвящена работа Э.И.Григолюка и П.ПЛулкова [36], где при выводе системы уравнений теплопроводности для трехслойных оболочек используется гипотеза о линейном распределении температуры по толщине каждого слоя, при этом отмечается, что закон распределения температуры может быть записан и в виде степенного ряда. Общий полиномиальный закон распределения температуры по толщине оболочки рассмотрен в работе

A.И.Борисюка и А.И.Мотовиловца [12]. В работе А.И.Мотовиловца,

B.И.Козлова [93] отмечается, что более общим случаем уравнений теплопроводности многослойных оболочек будут уравнения, учитывающие неидеальный тепловой контакт. А.И.Мотовиловцем,

A.М.Новиковым и С.И.Шевченко [95] рассмотрены задачи об определении температурного поля в многослойном цилиндре с условием неидеального теплового контакта между слоями. Локализованный в какой-либо области этот неидеальный тепловой контакт является концентратором напряжений и может сильно влиять на распределение напряжений в конструкции. Можно отметить работы о термоупругости пластин с разрезом. Так, в работе

B.В.Панасюка, М.П.Саврука, А.П.Дацышина [107] разрез предполагается теплоизолированным. В работе А.В.Гольцева и В.П.Шевченко [29] получено обобщение на случай оболочки с разрезом при наличии конвективного теплообмена. В работе В.А.Осадчука, Я.С.Подстригача [106] рассмотрено определение напряженного состояния в оболочке с трещиной.

В связи с развитием вычислительной техники при решении задач механики деформируемого твердого тела большое значение приобрели численные методы, основанные на вариационных постановках. Их использование приводит к более простому получению решения в силу того, что порядок производных искомых функций в функционалах ниже, чем в соответствующих дифференциальных уравнениях, к автоматическому выполнению естественных граничных условий и к возможности конструирования приближенных решений на классе кусочно-гладких функций.

Среди вариационных постановок динамических задач в теории упругости, широко используемых в методе конечных элементов, применяется принцип Гамильтона-Остроградского [1], [18], [99], [104], [157] или принцип Гуртина (M.E.Gurtin) [174], [175], который учитывает начальные условия. Фундаментальным трудом по вариационным принципам в механике твердого деформируемого тела является монография К.Васидзу [18].

Начиная с работы М.А.Био (M.A.Biot) [152], вариационные принципы термомеханики рассматривались многими авторами [150], [35], [52], [169]. В работе Р.Е.Никелла и Дж.Л.Сэкмена (R.E.Nickell, J.L.Sackman) [195] сформулированы вариационные принципы, являющиеся обобщением на случай связанной термоупругости принципов минимума потенциальной энергии, Кастильяно, Хелингера - Рейснера и Ху-Вашицу. При этом, как это было использовано в работе Гуртина для теории упругости, в выражения явно включены начальные условия путем использования интеграла свертки.

Наибольшее распространение среди численных методов получил метод конечных элементов (МКЭ). В настоящее время он является наиболее эффективным методом расчета конструкций любой геометрии и является основой многих расчетных программных комплексов. Наиболее мощным из них является конечноэлементный пакет ANS YS.

Вопросам разработки теории и применения метода конечных элементов посвящена обширная библиография. Исследованию и развитию метода конечных элементов посвящены работы А.В.Александрова, Б.Я.Лащенкова, Н.Н.Шапошникова [2]; Н.А.Алфутова, П.А.Зиновьева, Б.Г.Попова [3]; В.Н.Бакулина, А.А.Рассохи [5]; К.Бате и Е.Вилсона [7]; К.П.Горбачева [30]; А.С.Городецкого, В.Н.Зоворицкого, А.И.Лантух-Лященко,

A.О.Рассказова [31]; Я.М.Григоренко, А.П.Мукоеда [37]; С.Ю.Еременко [42]; О.К.Зенкевича [49]; В.Г.Корнеева [70]; Э.Митчела, Р.Уэйта [85]; Е.М.Морозова, Г.П.Никишова [90]; Н.Н.Шаброва [140]; С.А.Капустина [51]; А.И.Голованова, М.С.Корнишина [28].

Среди зарубежных публикаций, которые внесли большой вклад в развитие МКЭ, особо следует отметить монографии О.Зенкевича [49], O.C.Zienkiewicz, R.L.Taylor [215], W.H.Billing [151]; Дж.Аргириса [4]; Ж.-К.Сабоннадьера, Ж.-Л.Кулона [126]; Г.Стренга, Дж.Фикса [129]; Ф.Сьярле [130]; Р.Галлагера [25]; Л.Сегерлинда [128]; Дж.Одена [105]; К.Бате, Е.Вилсона [7]; Д.Норри, де Ж.Фриза [101].

Работы отечественных ученых И.Ф.Образцова, Л.М.Савельева, Х.С.Хазанова [103], В.А.Постнова, И.Я.Хархурима [118], Д.А.Розина [122-125], Р.Б.Рикардса [121], А.С.Сахарова и И.Альтенбаха [84],

B.И.Мяченкова [120] отличаются оригинальностью идей и глубиной проработки.

Связь метода конечных элементов с другими численными методами, его преимущества, недостатки и современное состояние отражены в работах Д.В.Вайнберга, А.С.Городецкого, В.В.Киричевского, А.С.Сахарова [17], О.Зенкевича [50], [212].

В последнее время исследователи МКЭ уделяют большое внимание апостериорной оценке результатов, полученных численно. Среди работ, посвященных этому вопросу можно отметить работы И.Бабушки и В.Рейнболта (I.Babushka, W.C.Rheinbolt) [148], И.Лью и В.Рейнболта (J.L.Liu, W.C.Rheinbolt) [188], О.Зенкевича и И.Цу (O.Zienkiewicz, J.Z.Zhu) [213], [214].

В настоящее время разработаны конечно-элементные схемы, использующие различные вариационные принципы. В литературе описано значительное количество моделей, при формировании основных соотношений для которых применяются функционалы Кастильяно, Рейсснера [200], Ху-Вашицу, смешанные [80], [205] и гибридные постановки [24], [206]. Однако большинство схем МКЭ реализовано в форме классического метода перемещений, основанного на функционале Лагранжа. Построенные конечные элементы метода перемещений являются самыми простыми и универсальными в практическом смысле. Многие из них достаточно хорошо изучены и апробированы на тестовых и модельных задачах. Наиболее популярным методом в МКЭ является метод перемещений.

Конечноэлементная постановка задачи стационарной термоупругости описана в монографиях Дж.Одена [105], Л.Сегерлинда [128], О.Зенкевича [49] и др. Постановка задач динамической термоупругости для МКЭ рассмотрена В.Ф.Грибановым и Н.Г.Паничкиным [35], И.А.Мотовиловцем и В.И.Козловым [93].

Основной трудностью при реализации МКЭ динамической задачи термоупругости является решение задачи численного интегрирования по времени системы дифференциальных уравнений. Так, известные методы Хабболта и Ньюморка для динамических задач теории упругости, детально описанные в монографии К.Бате, Е.Вилсона [7], требуют обобщения на задачи термоупругости. В работе В.Ф.Грибанова и Н.Г.Паничкина [35] предлагались численные схемы интегрирования уравнений термоупругости, полученные применением метода Бубнова-Галеркина по временной переменной. В полученные схемы входили числовые параметры. Оптимальные их значения из условий устойчивости и точности получались из численного эксперимента.

Анализ современного состояния вопроса о решении задач, связанных с локальным тепловым ударом и локальным неидеальным тепловым контактом показал следующее:

1. Основные исследования задачи о тепловом ударе направлены на изучение теплового удара по всей конструкции, что достаточно полно исследовано как для тонкостенных, так и для пространственных конструкций.

2. Исследование задачи о локальном тепловом ударе по тонкостенной конструкции проводилось с упрощающими гипотезами о линейности температуры по толщине. Недостаточно полно освещено решение задачи о локальном тепловом ударе, основанном на общих трехмерных уравнениях.

3. Известные математические модели о тепловом ударе, основанные на методе конечных разностей, сложно применять для анализа произвольной конструкции.

4. Поскольку наиболее эффективным методом решения задач термоупругости, как в стационарной постановке, так и в нестационарной является метод конечных элементов, актуальным представляется построение общей конечно-элементной модели указанного явления.

5. При исследовании задачи динамической термоупругости МКЭ проблемным вопросом является выбор оптимального метода интегрирования дифференциальных уравнений по времени.

6. Среди задач, описывающих термоупругое состояние многослойной конструкции, недостаточно полно исследовано влияние локального неидеального теплового контакта между слоями.

Актуальность исследуемой темы.

В связи с развитием такого направления, как технологическая термомеханика, которая ставит своей целью изучение температурных полей и напряжений в элементах конструкций при различных технологических процессах: сварке, обработке материалов концентрированными потоками энергии (световым лучом, электронным и ионными лучами, плазменной струей) при поверхностной закалке материала, актуальной остается задача о локальном тепловом ударе. Исследование этой задачи с позиции трехмерной теории, с отвлечением от принятых в теории оболочек гипотез о линейности поля температур по толщине, недостаточно полно освещено. Известные численные математические модели этого явления не ориентированы на динамический анализ произвольной конструкции в силу ограниченности используемого в них метода конечных разностей.

При исследовании многослойных оболочек в стороне от исследования оставалось такое явление, как возможный неидеальный тепловой контакт между слоями. Локализованный в некоторой области он играет роль концентратора напряжений и тем самым может сильно повлиять на распределение напряжений в конструкции. Неучет этого явления при расчете многослойных оболочек, работающих в условиях переменного поля температур, может привести к существенной недооценке напряжений в конструкции.

В связи с вышесказанным, актуальным представляется: дополнительное аналитическое исследование указанных задач о локальных эффектах в пластинах и оболочках, построение математических моделей, ориентированных на численный анализ произвольной конструкции, анализ этих явлений на основе полученных аналитических и численных решений задач.

Целью настоящей диссертации является:

1. исследование задачи о локальном тепловом ударе по тонкостенным элементам,

2. исследование влияния локального неидеального теплового контакта на напряженно деформируемое состояние многослойных пластин и оболочек,

3. построение упрощенной дифференциальной модели температурного поля в многослойных оболочках при наличии неидеального теплового контакта,

4. построение новых аналитических решений указанных задач,

5. построение конечно-элементных моделей для задачи о локальном тепловом ударе и задачи о неидеальном тепловом контакте,

6. тестирование и сравнительный анализ решений, полученных аналитически и по конечноэлементной модели,

7. численное решение новых задач.

Научная новизна:

Исследование задачи о локальном тепловом ударе с отвлечением от принятой гипотезы о линейности распределения температуры по толщине. Исследование напряженного состояния в многослойной конструкции, имеющей локальный неидеальный тепловой контакт между слоями. Построение математических моделей указанных задач, ориентированных на численный анализ произвольной конструкции. Новые решения задач о локальных эффектах в задачах теплопроводности и термоупругости.

Достоверность основных научных результатов обеспечивается: в. аналитических решениях - обоснованным применением математических методов решения задач и строгостью применяемого математического аппарата; в численных решениях - строгостью применяемого математического аппарата, решением тестовых задач, основанных на полученных аналитических решениях и хорошим согласованием в частных случаях с результатами других авторов.

Содержание, структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Содержит 182-страницы, 14 таблиц и 70 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Конюхов, Александр Вениаминович

Выводы.

Подытоживая результаты расчетов для пластин и оболочек (§§5.1-5.2), можно сделать следующие выводы о характере напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек, подвергаемых локальному нагреву.

1. При локальном нагреве тонкостенного элемента возникает температурное поле, характеризуемое локализацией в области пятна нагрева.

2. При решении задачи в стационарной постановке максимум интенсивности приходится на центр пятна нагрева.

3. При решении нестационарной задачи максимум интенсивности нестационарных напряжений приходится в начальное время на область края пятна нагрева, и по мере прогрева максимум переходит в центр пятна нагрева.

4. Характерной реакцией тонкостенных элементов на локальный нагрев является возникновение высокочастотных колебаний.

5. При рассмотрении теплового удара по тонкостенным элементам, сделанным из стали, различие динамического и квазистатического решения значительно лишь на первых периодах термоупругих колебаний.

6. При локальном нагреве определяющим напряженным состоянием является обобщенное плосконапряженное состояние. Погрешность пренебрежения изгибным состоянием тем меньше, чем меньше кривизна оболочки.

7. При рассмотрении влияния толщины наиболее напряженными будут тонкие оболочки, а при рассмотрении влияния кривизны — более пологие оболочки.

Если рассмотреть тепловой удар с тепловым лучом большой мощности, то согласно 3-му выводу разрушение будет происходить по краю пятна нагрева (выбивание целого куска оболочки в области пятна нагрева), поскольку ярко выраженный максимум интенсивности в малые времена приходится на область края пятна. Если же мощность луча будет более малой, то с течением некоторого времени максимум будет выравниваться и напряженной будет вся область пятна нагрева, при этом разрушение не может носить характер "выбивания". Этот вывод качественно хорошо согласуется с экспериментальной работой Моссаковского В.И. и др. [91] и результатами расчета Горшкова А.Г. и Дергачева A.A. [33-34], полученными методом конечных разностей для слоя, подверженного тепловому удару.

Рис.2

Рис. 3.

Распределение напряжения <ТУ в срединной поверхности в зависимости от параметра кривизны ./цилиндрической оболочки.

0.5

Распределение температурного возмущения и напряжений в срединной поверхности оболочки.

Рис. 5.

Распределение главных напряжений в срединной поверхности оболочки вдоль оси ОХ.

Рис. 6.

Распределение главных напряжений в срединной поверхности оболочки вдоль оси ОУ.

Рис. 7.

Напряжения на верхней (+1), срединной (0) и нижней поверхностях (-1).

Напряжения на верхней (+1), срединной (0) и нижней поверхностях (-1).

Рис. 9.

Полный и квазистатический прогиб оболочки в точке (0,0, 0).

Рис. 10.

Динамическая составляющая полного прогиба.

Рис. 11.

Эволюция прогиба в моменты времени 2е-4,0.4е-3, 0.1е-2Д 18е-2,0.2е-2,0.41, 0.80 с.

Рис. 12.

Эволюция прогиба в моменты времени 160,300,500,750,1500 с. и сравнение со стационарным прогибом и продольным перемещением.

Рис. 15.

Эволюция главных напряжений в срединной поверхности оболочки.

Рис.16.

Развитие интенсивности напряжений в срединной поверхности оболочки.

0.01

Рис. 17.

Распределение напряжений в момент времени 0,25е-2 для оболочек с различной кривизной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Работа посвящена исследованию задач термоупругости для пластин и оболочек с учетом локальных эффектов. В качестве источников локальных эффектов рассмотрены локальный тепловой удар и локальный неидеальный тепловой контакт в многослойной оболочке. В работе получены следующие основные результаты. 1. Построены новые аналитические решения о локальном тепловом ударе по круглой пластинке. Уравнение теплопроводности считалось трехмерным. Задачи решались на основе параболического и гиперболического уравнений теплопроводности. ,2. Выведены дифференциальные уравнения теплопроводности многослойных пластин и оболочек при наличии неидеального теплового контакта между слоями. Основной гипотезой при этом явилась линейность температурного поля по толщине каждого слоя.

3. Построена математическая модель термоупругости многослойных конструкций с дефектами вида неидеального теплового контакта. Получено соответствующее вариационное уравнение.

4. Исследована жесткость системы дифференциальных уравнений динамической термоупругости. Предложены устойчивые численные схемы решения динамических задач термоупругости, основанные на применении метода трапеций.

5. Приведены результаты тестирования задач о локальных эффектах в задачах термоупругости, на основе оригинальных аналитических решений, на основе численных результатов других авторов и проведено согласование с результатами экспериментальных работ.

6. На основе разработанной численной методики получены решения

6.1. о локальном тепловом ударе по пластинам и оболочкам;

6.2. о влиянии локального неидеального теплового контакта между слоями.

7. На основе численного анализа задач сделаны выводы, имеющие прикладной интерес.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Конюхов, Александр Вениаминович, 1999 год

1.Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. -288 с.

2. Александров A.B., Лащенков Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. -М.: Стройиздат, 1983. 488 с.

3. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. -264 с.

4. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. -М.: изд-во иностранной литературы. 1968.-240 с.

5. Бакулин В.Н., Рассоха A.A. Метод конечных элементов и голографическая интероферометрия в механике композитов. М.: Машиностроение, 1988. - 240 с.

6. Баран В.П., Грилицкий Д.В., Мокрик Р.И. К теории динамической термоупругости/ТПрикл. мат. и мех. 1978. - Т.42. -№6. -С. 10931098.

7. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. -М.: Стройиздат, 1982. 447 с.

8. Бережной Д.В. Статический расчет трехмерных конструкций методом конечных элементов. //Дисс. на соискание уч. ст. кандидата физико-математических наук. Казань: Казанский государственный университет, 1992. - 160 с.

9. Берман Р. Теплопроводность твердых тел. -М.: Мир, 1979. -286 с.

10. Ю.Боли Б.А., Уэйнер Дж.Х. Теория температурных напряжений. -М.: Мир, 1964.-517 с.

11. Болотин В.В. Уравнения нестационарных температурных полей в тонких оболочках при наличии источников тепла.// Прикл. мат. и мех. 1960. - Т.24. -№2. -С.361-363.

12. Борисюк А.И., Мотовиловец И.А. О температурном поле оболочки переменной толщины.// Прикл. мат. и мех. — 1967. Т.З. -№12. -С. 84-89.

13. Бурчуладзе Т.В. К теории динамических задач неклассической теории термоупругости// Тр. Тбилисск. математического института АНГССР. 1983. -С. 12-24.

14. Вайнберг Д.В., Городецкий A.C., Киричевский В.В., Сахаров A.C. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел // Прикладная механика. 1972. - Т.8, №8. - С. 3-28.

15. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. - 542 с.

16. Васильковский С.Н. Теорема единственности решения уравнений динамики связанной термоупругости в напряжениях// Известия высших учебных заведений. "Математика" 1984. №4. - С.21-24.

17. Вахлаева Л.Ф., Крысько В.А. О потере устойчивости оболочек, находящихся в температурном поле// Устойчивость пространственных конструкций: Сб. статей. Киев, 1978. - С. 65-69.

18. Вахлаева Л.Ф., Крысько В.А. Устойчивость гибких пологих оболочек в температурном поле// Прикладная механика -1983. -Т.19. -№1. С. 16-23.

19. Вейник А.И. Приближенный расчет процессов теплопроводности. -М.: Госэнергоиздат, 1959. -184 с.

20. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. -М.: Наука. 1971.-512 с.

21. Вольф Д. Обобщенные гибридные модели напряженного состояния в методе конечных элементов //Ракетная техника и космонавтика. -1973. Т. 11, № 3. - С. 158-160.

22. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. -428 с.

23. Гегелиа Т.Г. Методы потенциала в теории упругости //Дифференциальные уравнения. -1984. -Т.20. -№9. С. 1475-1488.

24. Гнатюк В.В., Снитко А.Н., Улитин В.В. Решение задачи термоупругости для тонких оболочек при граничных условиях третьего рода// Сопр. мат. и теория сооружений. -Киев. -1986. -№49. С. 79-83.

25. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек.//Казань: Изд-во Казанского физико-технического института, 1989. -267 с.

26. Гольцев A.C., Шевченко В.П. Термоупругость оболочек с термоизолированным разрезом при наличии теплообмена.// Прикладная механика. -1985. -№2. -С. 73-78.

27. Горшков А.Г., Горюнов A.B. Импульсный нагрев подкрепленной цилиндрической оболочки// Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 24. Изд-во Казанского университета. -1992. -С. 6266.

28. Горшков А.Г., Дергачев A.A. Воздействие мощного светового излучения на поглощающую преграду в воздухе// Тр. Всесоюз. конф. "Нелинейные явления". М.: Наука. -1991. -С. 31-35.

29. Грибанов В.Ф., Паничкин Н.Г. Связанные и динамические задачи термоупругости. -М.: Машиностроение, 1984. -182 с.

30. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Уравнения поля температур для трехслойных оболочек.// Известия СО АН СССР. Серия технических наук. -1964. -№6. Вып. 2. - С. 88-92.

31. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. К.: В ища школа, 1979. - 279 с.

32. Даниловская В.И. О динамической задачи термоупругости.// Прикладная математика и механика. -1952. -Т.16. -№3. -С.341-344.

33. Даниловская В.И. Приближенное решение задачи о стационарном температурном поле в тонкой оболочке произвольной формы.//Изв. АН СССР. Отд. технических наук. 1957. -№9. - С. 157-158.

34. Даниловская В.И. Температурные напряжения в упругом полупространстве при внезапном нагреве его границы.// Прикладная математика и механика. -1950. -Т. 14. -№3. -С.316-318.

35. Еременко С.Ю. Метод конечных элементов в механике деформируемых тел. -Харьков: Основа, 1991. 172 с.

36. Жигалко Ю.П. Вынужденные колебания оболочек и пластин. Казань: Изд-во КГУ, 1990. 102 с. .

37. Жигалко Ю.П. Напряженное состояние тонкостенных элементов конструкций при локальном нагреве потоками лучистой энергии // Тез. докл. I Саратовской международной летней школы по проблемам механики сплошной среды. Саратов: изд-во СГУ, -1995. С. 17-18.

38. Казанское математическое общество», Изд-во «Унипресс», -1998. -С. 88-91.

39. Жигалко Ю.П., Конюхов A.B. Напряженное состояние тонкостенных элементов конструкций, нагреваемых локализованными потоками лучистой энергии. //Изв. вузов "Авиационная техника", -1997. №2. -С. 19-25.

40. Карнаухов В.Г. Связанные задачи теории термовязкоупругости. -Киев: Наук, думка, 1982. -258 с.

41. З.Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Связанные задачи теории вязкоупругих пластин и оболочек. Киев: Наук, думка, 1986. -220 с.

42. Карслоу Г., Егер Дж. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. -487 с.

43. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. -Киев: Наук, думка, 1970. -308 с.

44. Коздоба JI.A. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. -М.: Наука, 1975. -227 с.

45. Козлов В.И. Термоупругие колебания прямоугольной пластины.// Прикладная механика. 1972. -Т.8. -№4. -С. 123-127.

46. Коляно Ю.М., Кулик А.Н. Температурные напряжения от объемных источников. Киев: Наукова думка, 1983. - 288с.

47. Коляно Ю.М., Семерак М.М., Яворская O.A. Термомеханика. Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 1965-1976 гг. В 2-х частях. -Львов.: Львовская науч. библиотека, 1979. в 2-х чч. 4.1. -360 е., 4.2. -838 с.

48. Коляно Ю.М., Штер З.И. Термоупругость неоднородных сред.// Инж.-физ. журнал. 1980. - Т. 38. -С. 1111-1114.

49. Конюхов A.B., Жигалко Ю.П. Задача термоупругости с учетом площадки неидеального теплового контакта // «Математическое моделирование и краевые задачи» Тр. IX Межвузовской конф.-Самара, 1999. Ч. 2. -С. 60-64.

50. Конюхов A.B., Жигалко Ю.П. Нестационарные температурные поля и напряжения в пластинах при локальном импульсном нагреве. // Тр. XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Том 3. Саратов: Изд-во СГТУ, 1997. -С. 108112.

51. Конюхов A.B./ Задача теплопроводности многослойных оболочек с учетом дефекта межслоевых соединений.// Тез. докладов международной конф. "Молодая наука новому тысячелетию". Наб. Челны, -1996. Ч. 1. -С. 51-52.

52. Конюхов A.B./ Определение температурных полей в слоистых оболочках и пластинах с учетом дефектов межслоевыхсоединений.//Казанский государственный университет. -Казань, 1996. 11 с. -Рукопись деп. в ВИНИТИ 10.01.96. N74-B96.

53. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в Бесселевых функциях. М.: Физматгиз, 1960. -458 с.

54. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. - 208 с.

55. Крысько В.А. Расчет связанных физически нелинейных трехмерных пластин в температурном поле// Изв. ВУЗов. Сер. "Строительство и архитектура". 1984. -№9. -С. 33-37.

56. Крысько В.А., Мисник М.П. Об учете условий согласования при решении трехмерной задачи термоупругости для пластины.//Известия ВУЗов "Математика". -1985. -№12. -С.63-66.

57. Крысько В. А., Мисник М.П. Расчет связанных физически нелинейных трехмерных пластин в температурном поле// Изв. высш. учебн. заведений. Серия "Строительство и архитектура". -1984.-№9.-С. 33-37.

58. Крэйт Ф., Блек У. Основы теплопередачи. М.: Мир, 1983. - 512 с.

59. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Граничные задачи термоупругости.// Дифференциальные уравнения. -1969. -Т.5. -№1. -С. 3-43.

60. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Динамические задачи теории упругости и термоупругости.// Современные проблемы математики. -М., 1975. -Т.7. -С. 163-294.

61. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. - 664 с.

62. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. Новосибирск: Наука, СО АН СССР, 1970. -659 с.

63. Ли C.B., Пиан Т. Усовершенствование метода расчета конечных элементов для пластин и оболочек с помощью смешанного подхода // Ракетная техника и космонавтика. 1978. - Т. 16, № 1. - С. 38-46.

64. Лыков А.Д. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. -599 с.

65. Малкин Я.Ф! К задачам распределения температуры в плоских пластинках// Прикл. математика и механика 1939. - Т.2. -№3. - С. 317-330.

66. Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. М.: Физматгиз, -1958. -167 с.

67. Метод конечных элементов в механике твердого тела / Под ред. А.С.Сахарова и И.Альтенбаха. К.: Вища школа, Лейпциг: ФЕБ Факбухферфлаг, 1982. - 480 с.

68. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. - 214 с.

69. Михайловская И.Б., Новик О.Б. Задачи Коши в классе растущих функций для негиперболической эволюционной системы уравнений, не являющейся параболической. I / Редакция

70. Сибирский математический журнал" Новосибирск, 1979. -22 с. -Деп. в ВИНИТИ 2.Q6.79., № 2104-79.

71. Мокрик Р.И., Пырьев Ю.А. Динамические свойства решений задач термоупругости. Докл. АН УССР -1980. -Сер.А. -№4. С. 44-47.

72. Мокрик Р.И., Пырьев Ю.А. Свойства решений динамических задач обобщенной связанной термоупругости. // Прикладная математика и механика -1981. -Т.45. -№5. С. 912-918.

73. Морозов Е.М., Никишов Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980. - 254 с.

74. Моссаковский В.И., Андреев J1.3., Замковой Л.Я., Ободан Н.П. Создание конечных возмущений в оболочках с помощью луча лазера// Докл. АН СССР. -1977. -Т. 237. -№4. -С. 796-797.

75. Мотовиловец И.А. К определению температурного поля многослойного цилиндра// Динамика и прочность машин. -1980. -Вып. 32.-С. 37-40.

76. Мотовиловец И.А., Козлов В.И. Механика связанных полей в элементах конструкций. Киев: Наук, думка, 1987. - Т.1. - 264 с.

77. Мотовиловец И.А., Комаров Г.Н., Червинко О.П. Нестационарное напряженное состояние двухслойного цилиндра при контактном термосопротивлении// Прикл. механика. -1983. -19. №11. -11. -С.46-51.

78. Мотовиловец И.А., Новикова A.M., Шевченко С.И. О температурном поле многослойного цилиндра с учетомнеидеального термоконтакта// Тепловые напряжения в элементах конструкций. -1979. -Вып. 19. -С. 47-49.

79. Недорезов П.Ф. Об определении НДС при циклическом нагружении некруговой цилиндрической оболочки из вязкоупругого материала.// Тр. XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Том 3. Саратов: Изд-во СГТУ, 1997. -С. 141-146.

80. Нерубайло Б.В. Локальные задачи прочности цилиндрических оболочек. М.: Машиностроение, 1983. -248 с.

81. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970.-256 с.

82. ЮО.Новацкий В. Обзор работ по динамическим проблемам термоупругости // Механика: Сб. переводов. М., 1966. - № 6(100). -С. 101-142.

83. Ю1.Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. -М.: Мир, 1981.-304 с.102.0бзоры исследований по МСС. К 50-летию КНЦ РАН. -Казань. 1995.- 112 с.

84. Юб.Осадчук В.А., Подстригач Я.С. Напряженное состояние и предельное равновесие оболочек с трещинами// Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Серия "Механика деф. тв. тела." М., 1986. -Т. 18. -С. 3-52.

85. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. -Киев: Наукова думка, 1976. -444 с.

86. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. -М.: Физматгиз, 1963. 252 с.

87. Пиан Т. Вывод соотношений для матриц жесткости элемента, основанный на выборе закона распределения напряжений // Ракетная техника и космонавтика. 1964. - Т. 2, №7. -С. 219-222.

88. ПО.Подстригач Я.С. Общее решение нестационарной задачи термоупругости // Прикл. мех. 1960. - Т.6. - №2. - С. 215-219.111 .Подстригач Я.С. Температурное поле в тонких оболочках// Докл. АН УССР. 1958. -№5. - С. 505-507.

89. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. -Киев: Наук, думка, 1976. 312 с.

90. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М., Семерак М.М. Температурные поля и напряжения в элементах электровакуумных приборов. К.: Наукова думка, 1970. - 307 с.

91. И4.Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: HayKaj 1984. - 368 с.

92. Подстригач Я.С., Чернуха Ю.А. Об уравнениях теплопроводности для тонкостенных элементов конструкций // Теория пластин иоболочек: Тр. IX Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. -Л., 1975. -С. 82-85.

93. Пб.Подстригач Я.С., Швец Р.Н. Термоупругость тонких оболочек. -Киев: Наук, думка, 1978. 344 с.

94. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. -Л.: Судостроение, 1977. 279 с.

95. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчете судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

96. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. -М.: Наука, 1979. 208 с.

97. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник / Под общ. ред. В.И.Мяченкова. М.: Машиностроение, 1989. - 520 с.

98. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

99. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем.

100. Л.: Изд. во ЛГУ, 1978. - 223 с.123 .Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. -М.: Стройиздат, 1977. 129 с.

101. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. Л.: Энергия, 1971. - 214 с.

102. Розин Л.А., Гордон Л.А. Метод конечных элементов в теории пластин и оболочек // Известия ВНИИ гидротехники. 1971. - Т. 95.-С. 85-97.

103. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР.- М.: Мир, 1989. 190 с.

104. Сахаров A.C., Киричевский В.В., Завьялов Г.Г. Метод конечных элементов в пространственной задаче теории упругости

105. Ворошюювградский сельскохозяйственный институт. -Ворошиловград, 1982. 99 с. - Рукопись деп. В УкрНИИНТИ 27 июля 1982 г., №3729-Д82.

106. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. -М.: Мир, 1977.-392 с.

107. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-349 с.

108. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980.-512 с.

109. Тепловые напряжения в элементах конструкций. Респ. межведомственный сб. К.: Наукова думка, 1974. Вып. 14, -160 с.

110. Угодников А.Г., Хуторянский H.M. Метод граничных элементов в механике твердого деформируемого тела. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1986. - 295 с.

111. Уздалев А.И. Температурные напряжения в пластинах, ограниченных двухсвязным контуром. -Саратов: Изд-во Саратовского политехнического института, 1975. -174 с.

112. Уздалев А.И., Миндолин Ю.И. Вариант метода возмущений применительно к решению задачи теплопроводности// Температурные задачи теории упругости. -Саратов: -1986. С. 112115.

113. Флячок В.М. Вариационная теорема динамической взаимосвязанной задачи термоупругости анизотропных оболочек // Докл. АН УССР. 1978. - Сер. А. - №7. - С. 628-631.

114. Флячок В.М., Швец Р.Н. Вариационная форма уравнений термоупругости анизотропных оболочек с учетом термомеханического взаимодействия //Мат. методы и физ.-мех. поля. 1980.-№11. - С. 67-71.

115. Флячок В.М., Швец Р.Н. Некоторые теоремы механотермодиффузии анизотропных оболочек //Мат. методы и физ.-мех. поля. 1985. -№21. - С. 32-37.

116. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, пер. с англ., 1979.-312 с.

117. Шабров H.H. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. М.: Машиностроение, 1983. - 212 с.

118. Швец Р.Н. Вариационная теорема для взаимосвязанной задачи термоупругости тонких оболочек// Матем. физика. 1980. - №28. -С. 104-108.

119. Швец Р.Н. Взаимосвязанная задача термоупругости для тонкой пластины// Прикл. мех. 1965. - Т.1. - №3. - С. 107-116.

120. Швец Р.Н., Лопатьев A.A. Об особенностях динамических процессов, протекающих в деформируемых твердых телах, при учете конечной скорости распространения тепла// Инж. физ. ж. -1978. - Т.35. - №4. - С. 705-712.

121. Швец Р.Н., Лунь Е.И. Некоторые вопросы теории термоупругости ортотропных оболочек с учетом инерции поворота и поперечного сдвига// Прикл. мех. 1971. -1.1. - №10. - С. 121-125.

122. Швец Р.Н., Флячок В.М. Некоторые теоремы теории термоупругости анизотропных оболочек// Докл. АН УССР 1977. -Сер. А. - №6. - С. 526-530.

123. Нб.Швец Р.Н., Флячок В.М. Уравнения механотермодиффузии анизотропных оболочек с учетом поперечных деформаций// Мат. методы и физ.-мех. поля. 1984. - №20. - С. 54-61.

124. Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности. М.: ИЛ, 1960.-478 с.

125. Babushka I., Rheinbolt W.C., Error estimates for adaptive finite element computation//SIAM J. Numer. Anal., -1978. -V. 15. -P. 736754.

126. Barlow J. Optimal stress locations in finite element models// Int. J. Mech. Eng. 1976. - V. 10. № 2. - P. 243-251.

127. Ben-Amoz M. On a variational theorem in coupled thermoelasticity//Trans. ASME. 1965. E32. -№4. -P.943-945.

128. Billing W.H., Einfhrung in die Methode der Finiten Elemente und ihre Anwendung in der Mechanik//Fortschritt Beriichte VDI-Zeitschrift. -1981. R.1, № 84. X. -244 s.

129. Biot M.A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics// J. Appl. Phys. -1956. Vol. 27. -№3. -P. 240-253.

130. Boley B.A., Hetnarski R.B. Propagation of discontinuities in coupled thermoelastic problems//Trans. ASME, Ser. E, -1968. V. 35. -№ 2. -P. 489-494.

131. Boley B.A., Tollins I.S. Transient coupled thermoelastic boundary value problems in the half-space//Trans. ASME, Ser. E, -1962. -V. 29. -№ 4. -P. 637-646.

132. Chadwick P. Thermoelasticity. The dynamical theory. -Progress in Solid Mechanics// Amsterdam: North-Holland Publishing Company. -1962.-V. l.ch. 6.-P. 263-328.

133. Ciamasu S.G. On the existence of solutions in the theory of linear thermoelasticity with microstructure // Bui. Inst, politech. Iasi. -1984. -Sec.l.-V. 30.-№1-4.-P.43-48.

134. Ciarlet Ph. G., Mathematical Elasticity. Vol. 1: Three dimensional Elasticity. -North-Holland publ. co., Amsterdam etc., 1988.

135. Cukic R. Coupled thermoelastic vibrations of plates // Arch. mech. stosow. -1973. V.25. -№3. -P. 513-525.

136. Cukic R. Tansversal vibrations of the thin shell of revolution produced by the thermal shock// Bui. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. -1972. V.20. -№10.-P. 771-781.

137. Cukic R. The thermal shock on the shell of revolution-coupled and uncoupled theory// Bui. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. -1972. V.20. -№10. -P. 763-770.

138. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods. Stockholm. BIT, -1963, -№3, -P. 27-43.

139. Dillon O.W. Coupled thermoelasticity of bars.// Trans. ASME, Ser. E, -1967. V. 34. -№ 1. p. 137-145.

140. Dillon O.W. Thermoelasticity. when the material coupling parameter equil unity. //Trans. ASME, Ser. E, -1965. V. 32. -№ 2. -P. 378-382.

141. Duhamel J. Second memoire sur les phenomens thermomechanique// J. I.Ecole Polytechn. -1837. № 15. -P. 1-15.

142. Dunn H.S. Transient solution of a one-dimensional thermoelastic wave propagation problem// Quart. J. Mech. Appl. Math., -1966, V. 19. -№ 2. -P. 157-165.

143. Eason G., Sneddon I.N. The dynamic stresses produced in elastic body by uneven heating // Proc. Roy. Soc. Edin., -1959. Section A, V. 65. -P. 143-176.

144. Fichera G. Existence theorems in elasticity // Handbook der physik. -1972. -Bd. 6a/2. -S. 347-389.

145. Fichera G. Uniqueness, existence and estimate of the solution in the dynamical problem of thermodiffusion in an elastic solid// Arch. mech. stosow. -1974. -V. 26. №5. -P. 903-920.

146. Fu Bao-Lian. The generalized variational principles of thermoelasticity// Sci. Sinica. 1964. -13. -№9. -P.1507-1509.

147. Gawinecki J. Existence, uniqueness and regularity of the first initial-boundary value problem for the equations of thermal stresses equations of classical and generalized thermomechanics// J. Tech. Phys. -1983 -V. 24. -№4. -P. 467-479.

148. Gawinecki J. On the first initial-boundary value problem for the equations of thermal stresses// Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. -1981. -V. 29. -№7-8. -P. 400-404.

149. Gawinecki J., Kowalski T., Litevska K. Existence and uniqueness of the solution of the mixed boundary-initial value problem in linear thermoelasticity// Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. -1982. -V. 30. -№11-12.-P. 551-556.

150. Gurtin M.E. Variational principles for linear elastodynamics// Arch. Rat Mech. Anal., -1964. V. 16. -№ 1. -P. 34-50.

151. Gurtin M.E. Variational principles for linear initial-value problems// Quart. Appl. Math., -1964. V. 22. -№ 3. -P. 252-256.

152. Hairer E., Wanner G., Solving ordinary differential equations. Pt. 2. Stiff differential algebraic problems, Springer, Berlin etc., 1991.

153. Hetnarski R.B. Coupled one-dimensional thermal shock problem for small times// Arch. Rat. Mech. Stos., -1961. V. 13. -№ 2. -P. 295-305.

154. Hetnarski R.B. Coupled thermoelastic problem for the half-space// Bull. Acad. pol. sei. Ser. sei. techn. -1964. -V. 12. -№l. -P. 49-57.

155. Hetnarski R.B. Solution of the coupled problem of thermoelasticity in the form of series of function// Arch. Rat. Mech. Stos., -1964. V. 16. -№ 4. -P. 919-941.

156. Hetnarski R.B. The fundamental solution of the coupled thermoelasticity problem for small times// Arch. Rat. Mech. Stos., -1964. V. 16.-№ 1.-P. 23-31.

157. Ionescu-Cazimir V. Theoreme de reciprocitate pentru problema dinamica a termo-elasticitii// An. Univ. Bucuresti. Ser. stiint. natur. -1963. -1963. -V. 12. -№39. -P. 93-100.

158. Kaczkowsky Z. On variational principles in thermoelasticity// Bull. Acad. pol. sei. Ser. sei. techn. -1982. -V. 30. -№5-6. -P. 245-250.

159. Kiu L.X., Liu G.O., Zeinkiewicz O.C. A generalized displacement method for the finite element analysis of thin shell // International Journal for Numerical Method in Engineering. 1985. -V.21, № 12. -P. 2145-2155.

160. Kowalski T., Litevska K., Piskorek A. Uniqueness and regularity of the solution of the first initial-boundary value problem in linear thermoelasticity// Bull. Acad. pol. sei. Ser. sei. techn. -1982. -V. 30. -№3-4.-P. 171-175.

161. Kowalski T., Piskorek A. Existenz der Lösung einer Anfangsrandwertaufgabe in der linearen Thermoelastizitätstherie// Z. angew. Math, und Mach. -1981. -Bd. 61. -15. -S. 250-252.

162. Lemaitre J., Chaboleche J.L. Mechanics of Solid Materials, Cambridge University press, 1989.

163. Lessen M. Thermoelasticity and thermal shock// J. Mech. Phys. Solids. -1956.-V. 5.-P. 57-61.

164. Liu J.L., Rheinbolt W.C., A posteriori finite element error estimator for indefinite boundary value problems// Numer. Funct. Anal, and Optimiz., -1994. -V. 15, -P. 335-356.

165. Lord H.W., Shuman Y.A generalized dynamical theory of thermoelasticity//J. Mech. Phys. Sol. -1967. -V. 15. -№5. -P. 299-309.

166. Masataka T. Introduction to boundary element method// J. Jap. Soc. Simula! Technol. -1984. -6. -№2. -P.77-83.

167. Muki R., Breuer S. Coupling effects in a transient thermoelastic problem// Usterr. Ing.-Archiv., 1962. -V. 16. -№4. -P. 349-368.

168. Nickell R.E., Sackman J.L. Approximate solutions in linear coupled thermoelasticity// Transactions ASME. Ser. E, -1968. -V.35. -№ 2. P. 255-266.

169. Nickell R.E., Sackman J.L. Variational principles for linear coupled thermoelasticity// Quart. Appl. Math. 1968. -V.26. -№1. -P.l 1-26.

170. Nistor I. A theorem of existence and uniqueness of the solution of the equations of non-linear thermoelasticity// An. stiint. Univ. Iasi. -1974. -Sec. la. -V. 20. -№2. -P. 427-432.

171. Noor A.K., Anderson C.M. Mixed models and reduced/selective integration displacement models for nonlinear shell analysis //1.ternational Journal for Numerical Methods in Engineering. -1982. -V. 18,№ 10.-P. 1429-1454.

172. Nowaski W. Some dynamic problems of thermoelasticity// Arch, mech. stosow. -1959. -V. 11. -№2. -P. 259-283.

173. Prinja N.K., Chitkara N.R. Finite-element analyses of post-collapse bending of thick pipes// Nuclear Engineering and Design. -1986. -V. 91, №1.-P. 1-12.

174. Reissner E. On a variational theorem in elasticity// J. Math. Phys. -1950. -V. 29. -№2. -P. 90-95.

175. Sharp S., Crouch S.L. Boundary integral method for thermoelasticity problems. /Trans. ASME.: J. Appl. Mech. -1986. -53. -№2. -P. 298-302.

176. Soler A.I., Brull M.A. On the solution to transient coupled thermoelastic problems by perturbation techniques// Transactions ASME. Ser. E, -1965. ,V.35. № 2. P. 389-399.

177. Sternberg E., Chakravorty J.G. On inertia effects in transientthermoelastic problems// Transactions ASME. Ser. E, -1959. -V.26. № 4.-P. 503-509.

178. Sternberg E., Chakravorty J.G. Thermal shock in elastic body with a spherical cavity// Quart. Appl. Math., -1959. V. 17. -№ 2. -P. 205-208.

179. Talaslidis D., Wunderlich W. Static and dynamic analysis of Kirkhoff shells based on a mixed finite element formulation// Computers and Structures. 1979. V. 10, № 1-2. -P. 239-249.

180. Tong P., Pian T.H. A variational principle and the convergence of a finite-element method based on assumed stress distribution// International Journal of Solids and Structures. 1969. V. 5. - P. 463472.

181. Wenk H.U. On coupled thermoelasticity vibration of geometrically nonlinear thin plates satisfying generalized mechanical and thermalconditionals on the boundary and the surface// Apl. mat. -1982. -Sv. 27. -Cis. 6. -P. 393-416.

182. Wilms E.V. On coupling effects in transient thermoelastic problems// Transactions ASME. Ser. E, -1964. -V.31. № 4. P. 719-722.

183. Wilms E.V. Temperature induced in a medium due to suddenly applied pressure inside a spherical cavity// Transactions ASME. Ser. E, -1966. -V.33. № 4. P. 941-943.

184. Zaker T.A. Stress waves generated by heat addition in an elastic solid// Transactions ASME. Ser. E, -1965. -V.32. № 1. p. 143-150.

185. Zavarise G., Wriggers P., Stein E., Schrefter B.A. Real contact mechanisms and finite element formulation coupled thermomechanical approach// Int. j. Mech. Eng., -1992. 35: -P. 767-785.

186. Zeinkiewicz O.C. A generalized finite element method state of art and future directions// Transactions ASME: Journal of Applied Mechanics. - 1983. - V. 50, № 4b. - P. 1210-1217.

187. Zienkiewicz O., Zhu J.Z. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis// Int. J. Numer. Methods Eng., -1987. -V. 24. P. 337-357.

188. Zienkiewicz O., Zhu J.Z. Adaptivity and mesh generation// Int. J. Numer. Methods Eng., -1991. -V. 32. -P. 783-810.

189. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method, McGraw-Hill, 4th Edition, 1991.

190. Zorski H. On certain property of thermoelastic media// Bull. Acad, pol. sci. Ser. sci. techn. -1958. -V. 6. -№6. -P. 331-339.

191. Zorski H. Singular solutions for of thermoelastic media// Bull. Acad, pol. sci. Ser. sci. techn. -1958. -V. 6. -№6. -P. 327-330.