Термомеханические задачи нелинейного деформирования анизотропных цилиндрических тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Христич, Дмитрий Викторович

• Христич, Дмитрий Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Христич, Дмитрий Викторович

ВВЕДЕНИЕ.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОНЕЧНОГО КВАЗИУПРУГОГО НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ

1.1 Меры деформаций и напряжений.

1.2 Основные термомеханические соотношения.

1.3 Вариационные соотношения термоупругости.

1.4 Система уравнений нелинейной анизотропной термоупругости

1.5 Результаты, полученные в первой главе.

2 КЛАСС РАССМАТРИВАЕМЫХ ЗАДАЧ. 4g

2.1 Процессы деформирования начально анизотропных цилиндрических тел.:.

2.2 Структура тензоров, описывающих физические свойства материалов.

2.3 Задача о равновесии тонкостенного анизотропного цилиндра под действием внутреннего давления, осевой силы, крутящего момента и температуры.

2.4 Система уравнений нелинейной анизотропной термоупругости в цилиндрических координатах.

2.5 Результаты, полученные во второй главе.

3 ПОСТРОЕНИЕ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОЙ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО

ТЕЛА.

3.1 Обоснование выбора типа конечного элемента. Аппроксимация полей неизвестных величин внутри элемента.

3.2 Построение матрицы жесткости конечного элемента.

3.3 Алгоритм решения связанной краевой задачи.

3.4 Тестирование программы.

3.5 Результаты, полученные в третьей главе.

4 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ.

4.1 Конечные деформации полого изотропного цилиндра.

4.2 Численное решение задачи о равновесии тонкостенного анизотропного цилиндра.

4.3 Конечные деформации композитного баллона в температурном поле.

4.4 Результаты, полученные в четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Термомеханические задачи нелинейного деформирования анизотропных цилиндрических тел»

Современные конструкционные материалы применяются в широком диапазоне механических и немеханических (температурных, электромагнитных и других) воздействий. Для описания поведения деформируемых твердых тел при указанных воздействиях во многих случаях необходимо построение сложных моделей. Математическое моделирование термомеханических процессов конечного деформирования сред с усложненными свойствами является одним из наиболее актуальных направлений современной механики, что подтверждается ростом числа публикаций по данной тематике как в России, так и за рубежом [18, 36, 39,48, 70, 86, 90,104, 106, 109, 111 и др.].

Поведение эластомеров, металлических, керамических и композитных материалов, часто обладающих значительной анизотропией свойств, существенно зависит от перечисленных факторов, поэтому необходимо построение на основе общих соотношений экспериментально обоснованных термомеханических моделей данных материалов. В настоящее время наметился существенный разрыв между обилием общих подходов и доведением их до конкретных моделей и расчетов.

Целью настоящей работы является постановка связанной термомеханической краевой задачи конечного деформирования анизотропных материалов и разработка методики ее численного решения.

Хотя число работ, в которых рассматриваются определяющие соотношения и постановки краевых задач в упругих анизотропных средах при малых деформациях, велико, имеется достаточно небольшое число работ, посвященных исследованию конечных деформаций анизотропных материалов. Это монографии А.Грина и Дж.Адкинса [27], К.Ф.Черныха [33, 97, 99], В.И.Левитаса [40], а также статьи A.Danescu [107], B.Mauget и P.Perre [109], Л.А.Толоконникова и Н.М.Матченко [93].

В монографии [27] особое внимание уделяется общей форме связи между напряжениями и конечными деформациями в упругих материалах. Рассмотрено влияние симметрии свойств материала на определяющие соотношения, при этом полагается, что группа симметрии материала не изменяется в процессе деформирования. Функция энергии деформации полагается инвариантной по отношению к группе симметрии, что накладывает ограничения на форму ее зависимости от тензора деформаций. Для различных кристаллических классов построены полиномиальные тензорные базисы для групп преобразований, описывающих симметрию свойств этих классов. В монографии [27] уделяется внимание и такому важному вопросу моделирования конечных деформаций, как исключение жестких поворотов, для чего предлагается использовать в определяющих соотношениях объективную производную Яуманна от тензора напряжений. В книге [74] показано, что в изотропных материалах это приводит к явлению осцилляции напряжений при простом сдвиге. Такое же явление возникает и в анизотропных материалах [86].

Монография" К.Ф.Черныха [97] также посвящена проблемам нелинейной анизотропной упругости. На основании изучения групп ортогональных преобразований, характеризующих симметрию свойств кристаллических классов и текстур, автор для изотропного, трансверсально-изотропного и ортотропного материалов выписывает системы инвариантов тензора деформаций, в качестве которого используется тензор конечных деформаций Коши-Грина или метрический тензор деформированного состояния. Закон упругости является следствием представления плотности энергии деформации (упругого потенциала) как функции выписанных инвариантов. Выдвинуто важное требование перехода закона упругости при малых деформациях в закон Гука. Приведены конкретные выражения для упругого потенциала в трансверсально-изотропных и ортотропных материалах. Предложенные соотношения положены в основу теории конечных деформаций тонких анизотропных оболочек (см. также [33, 76]). Поскольку соотношения формулируются в терминах инвариантных (по отношению к жесткому движению) мер напряжений и деформаций, вопрос о методе исключения конечных поворотов не ставится.

В книге В.И.Левитаса [40] с общих термомеханических позиций рассматриваются большие упругопластические деформации изотропных и анизотропных материалов. Учет анизотропии свойств производится путем включения в число аргументов функции свободной энергии тензоров четных рангов, характеризующих симметрию свойств. Важным является вывод об индифферентности этих тензоров.

В настоящей работе предлагается, следуя работам А.А.Маркина [51, 52], Г.Л.Бровко [14, 15, 17], В.И.Левитаса [40, 41, 42], А.А.Рогового [61], в качестве тензора деформаций использовать неголономную меру, обобщенная яуманновская производная которой совпадает с тензором деформации скорости. В случае анизотропных материалов это существенно облегчает запись уравнений состояния, так как тензоры, характеризующие начальную анизотропию свойств материала, индифферентны, а объективные производные указанного типа "от них обращаются в ноль при условии постоянства их компонент в главных осях анизотропии. На этот факт также указывалось в работах [40, 74, 97, 109].

Поведение анизотропных тел под действием гидростатического давления существенно отличается от поведения изотропных тел. Экспериментально установлено, что при воздействии на анизотропный материал только гидростатического давления возможно появление сдвиговых деформаций, а в начально изотропных материалах при таком воздействии сдвиговые деформации не возникают [4, 5, 43]. Различно поведение изотропных и анизотропных материалов под воздействием температурного поля [22, 56, 83]. В однородном поле температур в нестесненном изотропном теле возникают только объемные деформации, а в анизотропном теле к объемным деформациям добавляются сдвиговые. В случае нагревания тел при отсутствии деформаций, в них возникают температурные напряжения, которые в изотропных телах являются гидростатическими, а в анизотропных телах содержат шаровую и девиаторную составляющие. Механические свойства как изотропных, так и анизотропных тел зависят от температуры, причем эта зависимость может быть и нелинейной [25].

Проявление описанных нелинейных эффектов в анизотропных и изотропных телах усиливается с ростом деформаций, поэтому актуальной является разработка моделей конечного деформирования изотропных и анизотропных тел, позволяющих описать эти явления.

В современной литературе практически отсутствуют публикации, в которых были бы предложены модели конечного термоупругого деформирования анизотропных тел. Исключение составляет лишь монография В.И.Левитаса [40], в которой сделаны первые шаги в этом направлении. В случае малых деформаций упругого анизотропного тела напряжения, деформации и температура чаще всего связываются с помощью уравнений Дюгамеля-Неймана, вывод которых с точки зрения термомеханики приведен в книге В.Новацкого [58]. Вопросам термоупругости изотропных материалов посвящены классические работы А.Д.Коваленко [34, 35], Б.Боли и П.П.Уэйнера [11], М.А.Био [10, 105], Э.Мелана и Г.Паркуса [54], Я.С.Подстригача" с соавторами [72], а в случае анизотропных материалов постановки задач термоупругости на основе уравнений Дюгамеля-Неймана приведены в книгах Б.Е.Победри [68], А.С.Кравчука, В.П.Майбороды и Ю.С.Уржумцева [38], в трехтомнике по механике композитов под редакцией А.Н.Гузя [55]. В статье M.Ferrari [108] приводится общая постановка задач связанной линейной теории термоупругости для однородного изотропного тела.

Проблемы термодинамики в анизотропных материалах и формулировка вариационных принципов термоупругости рассматривались в книгах И.И.Гольденблата с соавторами [24, 25] и работах М.А.Био [10, 105], в статье Б.Е.Победри [69]. Решение смешанной задачи термоупругости для трансверсально-изотропного слоя приведено в статье [66]. Связь между напряжениями, деформациями и температурой в изотропных упругих и упруго пластических телах обсуждается в работах Ю.Н.Шевченко [101, 102].

Помимо разработки термомеханических моделей поведения материалов интерес представляет постановка краевых задач конечного деформирования анизотропных тел под действием силовых и температурных воздействий. Такие постановки задач в случае изотропных материалов рассматривались в работах А.А.Поздеева, П.В.Трусова и Ю.И.Няшина [74, 95], А.А.Поздеева и А.А.Рогового [73], В.И.Левитаса [40], А.А.Маркина и В.И.Адамова [1], А.А.Маркина и М.Ю.Соколовой [49]. В статье E.Rusu, V.Hatman [112] дана математическая постановка геометрически нелинейной задачи термоупругости для несжимаемого изотропного материала. Для случая, когда рассматриваемое тело в исходной и в конечной конфигурациях представляет собой часть цилиндра, ограниченную координатными поверхностями в цилиндрической системе координат, получено аналитическое решение задачи.

Наряду с кинематическими соотношениями и уравнениями состояния сплошной среды ъ систему уравнений связанной краевой задачи механики деформируемого твердого тела входят условия равновесия и уравнение теплопроводности. Они могут быть записаны как в дифференциальной форме, так и в виде вариационных соотношений. Постановки краевых задач термоупругости с использованием дифференциальной формы уравнений равновесия и теплопроводности, приведены в работах [31, 44]. Вариационные формы условий равновесия широко применяются при решении как линейных [20, 23, 29, 30, 80], так и нелинейных [20, 24] задач механики деформируемого твердого тела. Вариационные принципы в теплопроводности используются значительно реже, например, в работах А.Д.Коваленко [35], М.А.Био [10, 105]. Впервые вариационный принцип связанной задачи термоупругости установил М.А.Био [105], исходя из основных положений термодинамики необратимых процессов.

Преимуществом вариационных формулировок является их применимость в случаях, когда точное решение задачи теории упругости не может найдено. В этих случаях вариационный метод часто обеспечивает формулировку для приближенного решения задачи, которая дает решение с заданной точностью.

Здесь вариационный метод обеспечивает не только приближенное решение системы уравнений краевой задачи, но и приближенное выполнение граничных условий.

Основой для вариационной формулировки задачи о статическом равновесии механической системы под действием внешних и внутренних сил служит принцип виртуальной работы [20], который также называется принципом виртуальных перемещений. Принцип виртуальных перемещений состоит в том, что если механическая система, на которую наложены заданные геометрические связи, находится в равновесии под действием приложенных сил, то сумма всех виртуальных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на эту систему, на любых бесконечно малых виртуальных перемещениях, удовлетворяющих заданным геометрическим связям, равна нулю.

Этот принцип может быть сформулирован также следующим образом: если сумма всех виртуальных работ равна нулю на любых бесконечно малых виртуальных перемещениях, удовлетворяющих заданным геометрическим связям, то механическая система находится в равновесии. Принцип виртуальной работы может быть распространен на динамические задачи в случае, если учитываются члены, представляющие виртуальную работу сил инерции.

Существует несколько подходов к формулировке вариационных принципов. В линейной теории конечных деформаций упругого тела принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума потенциальной энергии деформации при условии, что существуют функция энергии деформации материала тела и функции потенциалов внешних сил. Описанный подход основан на построении функционала, зависящего от параметров состояния термомеханической системы. Этот подход является классическим и используется в работах [20, 24].

Различные вариационные принципы термоупругости приведены в работах [6, 10, 13, 20, 24, 35, 104, 105, 106, 110, 111].

В книге И.И.Гольденблата, В.Л.Бажанова и В.А.Копнова [24] получены вариационные принципы линейной и нелинейной термоупругости при малых деформациях, описываемых линеаризованным тензором Коши-Грина. В линейной постановке связь между напряжениями, деформациями и температурой в анизотропной среде описывается законом Гука, а в случае нелинейно упругой среды - более сложным законом, квадратичным относительно тензора деформаций. Принимается, что упругие характеристики рассматриваемой среды зависят от температуры. Однако при выводе вариационных соотношений температура не варьируется.

Линеаризованный тензор деформаций Коши-Грина используется также в работах [6, 104, 106].

В статье [6], авторами которой являются Л.И.Балабух и Л.А.Шаповалов, выводится вариационное уравнение для термоупругой задачи с тепловыми источниками и стоками, учитывающее необратимые явления в термоупругих процессах. Уравнение получено с использованием соотношений Дюгамеля-Неймана для изотропного материала в предположении, что упругие и тепловые константы материала не зависят от температуры. При выводе уравнения варьированию подвергаются механические и температурные переменные.

В работе Altay G.Askar, Dokmeci M.Cengiz [104] предложен обобщенный вариационный принцип, из которого следуют не только традиционно формулируемые уравнения движения и теплопроводности и естественные граничные условия для силы и теплового потока, но и условия скачков на известной внутренней поверхности или на границе. Новый вариационный принцип для термоупругой среды получен на основе принципа виртуальной работы. При его выводе использована квадратичная форма свободной энергии, учитывающая анизотропию материала. В предложенных уравнениях варьируются механические и термические характеристики процесса. Полученный вариационный принцип является аналогом принципа Ху-Васидзу [20].

В статье A.A.Cannarozzi, F.Ubertini [106] для решения задач линейной связанной термоупругости используется квазистатическая постановка на основе принципа Хеллингера-Рейсснера [23] в гибридной версии - на основе модифицированного принципа минимума дополнительной энергии - для упругой составляющей и аналогичного принципа для теплопроводности. Предполагается, что модули упругости и термические константы материала не зависят от деформаций и температуры. При выводе вариационного принципа варьируются вектор перемещений, тензор напряжений, температура и вектор теплового потока.

В статье Yang Zhenglin, Chen Haoran [115], исходя из функционального выражения Хеллингера-Рейсснера [23] для задач термоупругости в случае моноклинических материалов, получено модифицированное функциональное выражение Хеллингера-Рейсснера для задачи термоупругости со смешанными граничными условиями.

В работе D.W.Nicholson, B.Lin [111] сделана постановка связанной задачи термоупругости на основе принципа виртуальной работы с использованием функции свободной энергии, структура которой аналогична функции, используемой в линейной изотропной термоупругости при малых деформациях. Используются энергетический тензор напряжений и тензор деформаций Коши-Грина, которые являются энергетически сопряженными. Получены вариационное условие равновесия и вариационное соотношение, эквивалентное уравнению теплопроводности.

В работе [13] предлагается вариационный принцип, уравнениями Эйлера которого являются дифференциальные уравнения термоупругости в напряжениях.

Другой подход к построению вариационных принципов термоупругости описан в книге А.Д.Коваленко [35]. Он заключается в умножении уравнений равновесия и теплопроводности на независимые вариации вектора перемещений и вектора энтропии и последующем интегрировании по всему объему тела. Под вектором энтропии понимается количество тепла, прошедшего через единичную поверхность в данном направлении, деленное на абсолютную температуру. Вариационный принцип связанной термоупругости построен для изотропного материала при малых деформациях с использованием соотношений Дюгамеля-Неймана между напряжениями, деформациями и температурой. В случае несвязанной задачи термоупругости из построенного в [35] вариационного принципа следует принцип возможных перемещений.

Ряд работ [28, 57, 62, 77, 81, 82, 100, 102, 110, 111, 113-117] посвящен расчету и исследованию напряженно-деформированного состояния анизотропных тел, находящихся под влиянием внешних силовых и температурных воздействий. Во многих из этих работ используется метод конечных элементов.

В книге Ю.Н.Шевченко с соавторами [102] методом конечных элементов решается задача ■определения напряженно-деформированного состояния и температурного поля в многослойном теле вращения произвольного меридионального сечения. Предполагается, что слои тела скреплены между собой без натяга и в процессе деформирования не могут проскальзывать. Тело подвергается осесимметричному нестационарному нагреву за счет конвективного теплообмена с окружающей средой при идеальном тепловом контакте между слоями и нагружению осесимметричными объемными (силами инерции) и поверхностными силами, не вызывающими закручивания. Температура внешней среды, поверхностные и объемные силы являются функциями координат и времени. Теплофизические и механические характеристики тела зависят от температуры.

Сформулированная задача сводится к решению осесимметричной задачи теплопроводности по определению температур точек тела в заданные моменты времени и задач термоупругости и термопластичности по определению напряженно-деформированного состояния тела.

Рассматриваемая задача решается в квазистатической постановке, то есть напряженно-деформированное состояние тела определяется для фиксированных моментов времени при соответствующих значениях температуры и нагрузки. Процесс нагружения тела разделяется на малые по времени этапы (величина шага выбирается из условия устойчивости процесса расчета температурного поля с использованием явной схемы решения уравнения теплопроводности). На каждом шаге решаются вариационное уравнение, эквивалентное дифференциальному уравнению теплопроводности с начальными и граничными условиями, и вариационное уравнение Лагранжа, которое выражает принцип минимума потенциальной энергии тела и эквивалентно уравнениям равновесия и статическим граничным условиям.

Для решения системы вариационных уравнений используется метод конечных элементов. Применяются кольцевые элементы треугольного поперечного сечения с тремя узлами. В пределах каждого конечного элемента поле температур и поле перемещений аппроксимируются линейными функциями координат. •

На каждом шаге нагружения по данным о теплофизических свойствах материала тела и условиям теплообмена с окружающей средой опрделяется температурное поле для рассматриваемого момента времени. Затем для этого момента времени при известных величинах температуры в узлах из системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов определяются компоненты узловых перемещений. По полученным значениям перемещений производится вычисление деформаций и напряжений.

В работе [111] проведено численное исследование по применению конечноэлементного анализа для определения совместной термомеханической реакции почти несжимаемых эластомеров с учетом больших деформаций, нелинейного поведения материала, локализации механических воздействий и температурных градиентов.

В статье K.P.Soldatos, J.Q.Ye [114] рассмотрено трехмерное стационарное термоупругое поведение свободно опертых толстых слоистых цилиндрических оболочек и панелей с перекрестным расположением волокон. Задача решается при любом типе стационарных температурных условий на границах слоистой композитной оболочечной конструкции, которые представляются в форме рядов Фурье.

В статье В.Г.Савченко [77] исследуется напряженное состояние слоистых тел вращения, состоящих из неупруго деформирующихся изотропных материалов и упругих материалов с прямолинейной ортотропией, одно из главных направлений анизотропии которых совпадает с осью вращения тела, при неосесимметричном нагружении объемными и поверхностными силами и нагреве. Предполагается, что слои тела скреплены между собой без натяга и на их общей границе выполняются условия идеального контакта.

В статье C.Miehe [110] описан алгоритм решения нелинейных связанных задач термоупругости. Уравнения баланса импульса и энтропии записываются в интегральной форме с использованием координатных функций по Бубнову-Галеркину и линеаризуются в окрестности текущего состояния. Определяющие соотношения выражаются при помощи неогуковского потенциала свободной энергии с добавлением температурного члена. Пошаговый алгоритм решения задачи основан на схеме «предиктор-корректор» по времени итерационного типа, дискретизация области проводится при помощи стандартных изопараметрических конечных элементов.

В статье [115] излагается процедура решения разрешающих уравнений, и отмечается, что при этом исключается погрешность, которая появляется при использовании гипотез теории пластин. Метод представляет новый подход к решению задачи термоупругости для слоистых сред (особенно при определении межслойных температурных напряжений в многослойных толстых композитах).

В работе M.Savolia, J.N.Reddy [ИЗ] представлены результаты анализа напряженного состояния многослойных плит, подверженных тепловым и механическим нагрузкам, на основе трехмерной квазистатической теории термоупругости. Получены точные трехмерные решения для плит с ортотропными слоями, главные оси которых параллельны краям плит, а также в случае с антисимметричным армированием слоев. Показано, что в углах плиты при ее равномерном нагреве касательные напряжения оказываются несвязанными.

В статье H.S.Zibdeh, J.M.A1 Farran [116] получено точное решение задачи линейной теории упругости для напряжений и перемещений в круглом полом ортотропном цилиндре, в котором распределение температуры по закону косинуса от угловой координаты наложено на осесимметричное распределение. С его помощью построено решение для многослойного цилиндра, слои которого имеют одинаковое расположение осей ортотропии. Получены зависимости напряжений и перемещений от толщины слоев, расположения осей ортотропии в сечении цилиндра, от числа слоев и порядка их следования.

В статье [82], авторами которой являются А.М.Симонян, Ю.Г.Саноян, исследуются напряжения, возникающие между слоями композита при температурном воздействии. Показано, что сдвигающие межслойные напряжения возникают в основном около кромок конструкций, где рекомендуется использовать более прочные либо более пластичные связующие.

В статьях [100, 117] рассмотрены некоторые вопросы теории термонапряжений слоистых анизотропных цилиндрических оболочек. В статье [100] учитывается поперечная анизотропия материала для каждого слоя.

В работе Ю.И.Няшина и В.Ю.Кирюхина [62] рассматривается двухслойная цилиндрическая оболочка, каждый слой которой представляет собой волокнистый однонаправленный композиционный материал. Ставится и решается проблема определения углов укладки слоев, обеспечивающих минимальные (по возможности, нулевые) удлинение и закрутку композиционной трубы при однородном температурном нагреве.

В работе Е.Г.Евсеева с соавторами [28] на основе конечноразностных методов исследуется напряженно-деформированное состояние тонкостенных композитных оболочек вращения при действии осесимметрично распределенной тепловой нагрузки и внутреннего давления. Уравнения прикладной теории термоупругих композитных оболочек, учитывающие деформации поперечного сдвига, получены на основе трехмерной теории термоупругости. Рассматриваются ортотропиые многослойные оболочки, полученные намоткой. Анализируется влияние профиля температуры, распределения давления и ортотропии на напряжения и деформации в элементарном слое конструкции. Делается вывод о необходимости учета поперечных и перерезывающих деформаций, играющих существенную роль при анализе процессов расслоения и разрыва, и их комбинаций. Отмечается, что рассматриваемые термические эффекты могут вызывать разрушение матрицы, приводящее к разрушению всей конструкции до достижения критических значений напряжений в волокнах.

В статье [57], авторами которой являются В.А.Никитюк и В.В.Федоров, предложены уточнения к конечноэлементному расчету напряженно-деформированного состояния оболочек давления из композиционных материалов. Уточнения позволяют получить удовлетворительное совпадение результатов расчетов с экспериментальными данными как по напряжениям в слоях, так и по перемещениям. Приводятся результаты расчета контактного давления между фланцем и оболочкой, перемещений и напряжений в слоях с учетом геометрической нелинейности.

В работе Е.М.Селедкина [81] сформулирована методика, и получены соотношения для учета цилиндрической анизотропии при деформировании трубчатых заготовок в условиях плоской деформации. Составлены матрицы, отражающие анизотропные свойства материалов, которые необходимы для формирования матриц жесткости при расчетах с использованием метода конечных элементов. Полученные соотношения позволяют учитывать поворот главных осей анизотропии на разный угол относительно декартовой системы координат в любой точке деформируемого тела.

В настоящей работе на основе классического термомеханического подхода предложена постановка, и разработана методика численного решения задачи о конечном деформировании изотропных и анизотропных тел под воздействием внешних силовых и температурных факторов с учетом их взаимного влияния.

В первой главе с использованием неголономной меры деформаций, «повернутого» обобщенного тензора истинных напряжений и тензора условных напряжений Пиола-Кирхгофа рассматриваются условия равновесного протекания процесса конечного деформирования и уравнение теплопроводности в вариационных формах. Полученные вариационные соотношения, в отличие от известных вариационных принципов, позволяют исследовать процессы конечного термоупругого деформирования изотропных и анизотропных тел с учетом взаимного влияния деформационных и температурных характеристик процесса.

Получена замкнутая система уравнений связанной краевой задачи нелинейной анизотропной термоупругости.

Во второй главе получены выражения кинематических характеристик конечного деформирования осесимметричного тела через поле скоростей точек этого тела.

Определена структура тензоров, описывающих упругие и тепловые свойства изотропных, трансверсально-изотропных и ортотропных материалов. Для этих типов материалов получены соотношения, связывающие компоненты тензоров упругости в главных осях анизотропии материала и технические константы материалов. Система уравнений связанной краевой задачи термоупругости записана с учетом структуры тензоров, характеризующих упругие и тепловые свойства материала рассматриваемого цилиндрического тела.

Решена задача о равновесии тонкостенного цилиндрически трансверсально-изотропного цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления, осевой силы, крутящего момента и температуры, при малых деформациях. Найдены характеристики напряженно-деформированного состояния цилиндра. Проведен анализ зависимости напряжений, возникающих в цилиндре, от ориентации главных осей анизотропии материала цилиндра относительно неподвижного базиса цилиндрической системы координат.

В третьей главе на основании выбранных типа конечного элемента и законов распределения скоростей движения и скоростей изменения температуры точек в пределах конечного элемента записана замкнутая система дискретных уравнений краевой задачи. Разработан алгоритм решения связанной задачи по определению напряженно-деформированного состояния и температурного поля в составных осесимметричных конструкциях из анизотропных материалов под действием внешних силовых и тепловых факторов. Предложенный алгоритм реализован в виде прикладной программы на языке программирования высокого уровня.

Проведено тестирование прикладной программы на задачах, имеющих известное аналитическое или приближенное (в рядах) решение. Тестовые расчеты показали, что предложенные соотношения модели и их численная реализация позволяют получить результаты, удовлетворительно согласующиеся о решениями классических задач теории упругости и теплопроводности.

В четвертой главе приведены полученные с помощью разработанной прикладной программы решения ряда связанных задач термоупругости по определению напряженно-деформированного состояния и температурного поля в цилиндрических телах из изотропных и трансверсально-изотропных материалов. Сделан анализ зависимостей полученных решений от свойств материалов.

Установлено, что при малых деформациях (до 0,6%) решения, полученные с использованием геометрически линейных соотношений, совпадают с решениями, полученными по использованным в работе геометрически нелинейным соотношениям. При деформациях порядка 20% выявлены существенные различия между линейными и нелинейными решениями.

Проанализированы зависимости относительного угла закручивания тонкостенного анизотропного цилиндра от приложенного давления, изменения температуры и ориентации главных осей анизотропии материала цилиндра при различных величинах деформаций. Установлено, что при различных внешних воздействиях направление закручивания может быть разным, а при некоторых сочетаниях величин внешних воздействий и ориентации главных осей анизотропии закручивание не происходит.

Исследовано напряженно-деформированное состояние многослойного баллона из композиционного материала под действием внутреннего давления в неоднородном температурном поле, обусловленном внешними по отношению к баллону источниками тепла. Показано, что число слоев композита и ориентация главных осей анизотропии в каждом слое при постоянных размерах баллона значительно влияют на напряженно-деформированное состояние. Определены касательные напряжения, возникающие между слоями композита. Учет этих напряжений имеет существенное значение при оценке прочности баллона.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Христич, Дмитрий Викторович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К основным результатам работы отнесем следующие.

1. Построена замкнутая система связанных вариационных уравнений, описывающая термомеханические процессы конечного деформирования начально анизотропных квазиупругих тел.

2. Методом конечных элементов проведена дискретизация исходной модели, в результате чего она сведена к системе линейных уравнений относительно скоростей перемещений и скоростей изменения температур узловых точек.

3. Анализ численной модели деформирования изотропного цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления, показал, что до уровня деформаций 0,6% результаты расчетов по геометрически линейным и геометрически нелинейным соотношениям практически совпадают. При деформациях порядка 20% выявлены существенные (40-50%) различия между линейными и нелинейными решениями. Предложенная постановка задачи позволяет проследить за изменением формы цилиндра в процессе деформирования.

4. Установлено, что направление и величина относительного закручивания торцов тонкостенного цилиндрически трансверсально-изотропного цилиндра зависят от начальной ориентации главных осей анизотропии материала цилиндра относительно неподвижного базиса цилиндрической системы координат. При деформациях 11% относительный угол закручивания торцов, рассчитанный по геометрически нелинейной теории, больше угла, рассчитанного по линейной теории, на 30-40%.

5. Показано, что число слоев композиционного материала в цилиндрическом баллоне и ориентация главных осей анизотропии в каждом слое композита существенно влияют на осевые и касательные напряжения, возникающие между слоями. Различия между величинами напряжений и деформаций, рассчитанными по линейной и нелинейной теориям, не превышают 5%. Перемещения, рассчитанные по нелинейным соотношениям, больше перемещений, найденных по линейной теории. При деформациях 17% различия между ними достигают 18%.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Христич, Дмитрий Викторович, 2006 год

1. Адамов В.И., Маркин А.А. Моделирование процессов обработки давлением осесимметричных изделий // Известия вузов. Машиностроение. -1989.-№ 12. С.104-108.

2. Астапов В.Ф., Маркин А.А., Соколова М.Ю. Кручение сплошного цилиндра из изотропного упругого материала // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 1999. Т. 5. - Вып. 2. Механика. - С. 4348.

3. Астапов В.Ф., Маркин А.А., Соколова М.Ю. Определение упругих свойств материалов из опытов на сплошных цилиндрах // Механика твердого тела. 2002. - № 1.-С. 104-111.

4. Ашкенази Е.К. Анизотропия машиностроительных материалов. JL: Машиностроение,.1969. - 112 с.

5. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов: Справочник. Л.: Машиностроение, 1980. - 247 с.

6. Балабух Л.И., Шаповалов Л.А. О вариационных уравнениях термоупругости // Прикладная математика и механика. — 1960. 24. - № 4. — С.703-707.7." Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат. - 1982. - 384 с.

7. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. - 352 с.

8. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть II. Конечные деформации. М.: Наука, 1984. - 432 с.

9. Био М.А. Вариационные принципы в теории теплообмена. М.: Энергия, 1975.-209 с.

10. Боли Б., Уэйнер П.П. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. - 518 с.

11. Болотин В.В. Разрушение композиционных материалов по типу отслоений // Расчеты на прочность. Выпуск 27. М.: Машиностроение, 1986. -С. 8-20.

12. Бородачев Н.М., Савченко Н.И. Вариационный принцип для температурной задачи теории упругости в напряжениях // Пробл. прочн. 2002. -№1. - С. 141-145.

13. Бровко Г.Л. Класс моделей упругих тел при конечных деформациях и устойчивость равновесия // Устойчивость в механике деформируемого твердого тела. Калинин: Изд-во КГУ, 1986. - С.111-121.

14. Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности при больших деформациях // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1987. С. 68 - 81.

15. Бровко Г.Л. Понятия образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 308.-№3.-С. 814-824.

16. Бровко Г.Л. Следствия постулата макроскопической определимости для различных мер деформаций и напряжений // Проблемы механики деформируемого твердого тела: Межвуз. сб. науч. тр. / Калининский политехи, ин-т. Калинин: Изд-во КГУ, 1986. - С. 96-103.

17. Бураго Н.Г., Глушко А.И., Ковшов А.Н. Термодинамический метод получения определяющих уравнений для моделей сплошных сред // Известия РАН. Механика твердого тела. 2000. - № 6. - С. 4-15.

18. Ванин Г.А. Упругость неоднородных сред с иерархией структуры // Известия РАН. Механика твердого тела. 2000. - № 5. - С. 85-106.

19. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 542 с.

20. Васин Р.А., Ильюшин А.А., Моссаковский П.А. Исследование определяющих соотношений и критериев разрушения на сплошных и толстостенных трубчатых цилиндрических образцах // Механика твердого тела.-1994.-№ 2.-С. 177-184.

21. Вустер У. Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов. М.: Мир, 1977. - 383 с.

22. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.-428 с.

23. Гольденблат И.И., Бажанов B.JL, Копнов В.А. Длительная прочность в машиностроении. М.: Машиностроение, 1977. - 248 с.

24. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969.-336 с.

25. Горбачев В.И. Осреднение линейных задач механики композитов при непериодической неоднородности // Известия РАН. Механика твердого тела. -2001.-№ 1.- С. 31-37.

26. Грин А.Е., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. - 456 с.

27. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-318 с.

28. Зенкевич O.K., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974. - 239 с.

29. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды: Учебник. 3-е изд. - М.: Изд-во МГУ, 1990.-310 с.

30. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.

31. Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: Изд-во СпбУ, 2002. - 388 с.

32. Коваленко А.Д. Методы и задачи термоупругости // Прочность и пластичность. Сборник науч. трудов. М.: Наука, 1971. - С. 354-365.

33. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова думка, 1970.-370 с.

34. Король Е.З. Термодинамические потенциалы и некоторые соотношения между постоянными анизотропных сплошных сред // Упругость и неупругость / Материалы Международного научного симпозиума. М.: Изд-во МГУ, 2001.-С. 93-100.

35. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. - 768 с.

36. Кравчук А.С., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. М.: Наука, 1985. — 304 с.

37. Кукуджанов В.Н., Сантойя К. Термодинамика вязкоупругих сред с внутренними параметрами // Известия РАН. Механика твердого тела. 1997. -2.-С. 115-126.

38. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев.: Наукова Думка, 1987. - 232 с.

39. Левитас В.И. К теории больших упругопластических деформаций// Доклады АН УССР.-Киев, 1983.-№ 11.-С.48-53.

40. Левитас В.И. О механико-термодинамической аналогии и инерционности термодинамических процессов // Докл. АН УССР, Сер. А, 1981. -№ 10.-С. 39-46.

41. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. 2-е изд. - М.: Наука, 1977.-416 с.

42. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 512 с.

43. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

44. Маркин А.А. Нелинейная теория упругости: Учеб. пособие. Тула: Тул. гос. ун-т, 2000. - 72 с.

45. Маркин А.А. Теория процессов А.А.Ильюшина и термомеханика конечного равновесного деформирования // Упругость и неупругость / Материалы международного научного симпозиума. М.: Изд-во МГУ, 2001. -С.51-61.

46. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Вариант определяющих соотношений нелинейной термоупругости для анизотропных тел // Прикладная механика и техническая физика.-2003.-Т. 44.-№ 1.-С. 170-175.

47. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Вариант теории конечного упругопластического деформирования // Прогрессивная технология приборостроения. / Межвуз. сб. науч. тр. М.: Изд-во ВЗМИ, 1987. - С.57-61.

48. Маркин А.А., Сотников К.Ю. Механика сплошной среды: Учеб. пособие. Тула: Тул. гос. ун-т, 2004. - 132 с.

49. Маркин А. А., Толоконников J1.A. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения.: Всесоюзн. межвуз. сб. / Горьк. гос. ун-т. Горький, 1987. - С.32-37.

50. Маркин А.А., Толоконников JI.A. Меры процессов конечного деформирования // Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. 1987. -№ 2. - С. 49-53.

51. Матвеенко В.П., Юрлова Н.А. Идентификация эффективных упругих постоянных композитных оболочек на основе статических и динамических экспериментов // Известия РАН. Механика твердого тела. 1998. - № 3. - С. 12-20.

52. Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. М.: Физматгиз, 1958. - 167 с.

53. Механика композитных материалов и элементов конструкций. В 3-х томах. Под ред. Гузя А.Н. Киев: Наукова думка, 1982.

54. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров М.: Мир, 1967. - 386 с.

55. Никитюк В.А., Федоров В.В. К расчету напряженно-деформированного состояния композитных баллонов давления // Мех. композиц. матер, и конструкций. 1997. - 3. - № 3. - С. 23-30.

56. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

57. Новожилов В.В. Теория упругости. JL: Судпромгиз, 1958. - 370 с.

58. Новожилов В.В., Черных К.Ф. Об «истинных» мерах напряжений и деформаций в нелинейной механике деформируемого твердого тела // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1987. - № 5. - С.73-79.

59. Новокшанов Р.С., Роговой А.А. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных деформаций // Известия РАН. Механика твердого тела. 2002. - № 4. - С. 77-95.

60. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В. А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1977. - 144 с.

61. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

62. Пальмов В.А. Принципы термодинамики в теории определяющих уравнений // Математические методы механики деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1986.-С. 112-118.

63. Панферов И.В. Несимметричная температурная смешанная задача для трансверсально-упругого слоя // Прикладная математика и механика. Т.65. -Вып. 6. - 2001. - С. 1059-1064.

64. Победря Б.Е. Критерий прочности однонаправленного волокнистого композита // Проблемы прочности. 1987. - № 7. - С. 3-4.

65. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.-336 с.

66. Победря Б.Е. Модели механики сплошной среды // Известия РАН. Механика твердого тела. 2000. - № 3. - С. 47-59.

67. Победря Б.Е. Сложное нагружение слоистых композитов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2001. - № 1. - С. 21-30.

68. Победря Б.Е. Эволюционная деструкция в механике композитов // Известия РАН. Механика твердого тела. 1997. - № 2. - С.27-31.

69. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М., Громовык В.И., Лозбень B.JI. Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплоотдачи. Киев: Наукова думка, 1977. - 158 с.

70. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. -М.: Наука, 1986. 231 с.

71. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1979.-744 с.

72. Родионова В.А., Титаев Б.Ф., Черных К.Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. С.-Пб.: Изд-во С.-Пб. Ун-та, 1996. - 280 с.

73. Савченко В.Г. Термонапряженное состояние слоистых тел вращения из изотропных и прямолинейно ортотропных материалов // Прикл. мех. (Киев). 1995.-31.-№ 4.-С. 3-9.

74. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды М.: Физматгиз. — 1962.-284 с.

75. Седов Л.И. Механика сплошной среды: Учебник для студентов университетов и высших технических учебных заведений, Т.1. М.: Наука, 1973.-536 с.

76. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.-392 с.

77. Селедкин Е.М. Методика учета анизотропии при деформировании трубчатых заготовок / Тул. гос. ун-т. Тула, 1998. — 21 е.: ил. - Библиогр.: 6 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 13.05.98, № 1464-В98.

78. Симонян A.M., Саноян Ю.Г. Об особенностях сопротивления слоистых композитов температурных воздействиям // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. - № 6. - нояб.-дек. - 192 с. - С. 130-136.

79. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1979. - 640 с.

80. Соколова М.Ю. Построение образа процесса нагружения в начально анизотропной среде // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 1995. -Т.1. -Вып.2. Механика. - С. 144-150.

81. Соколова М.Ю. Структурные тензоры анизотропии в пространстве А.А.Ильюшина // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. -2001. Т. 7. - Вып. 2. Механика. - С. 173-178.

82. Соколова М.Ю. Термомеханические модели процессов конечного деформирования анизотропных тел / Дисс. . д.ф.-м.н. Тула: ТулГУ, 2003.

83. Соколова М.Ю., Ширшов В.П., Христич Д.В. Конечные деформации осесимметричных тел из композитных материалов // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2001. - Т. 7. - Вып. 2. Механика. -С.179-183.

84. Соколова М.Ю., Ширшов В.П., Христич Д.В. Моделирование процессов конечного деформирования анизотропных цилиндрических тел // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2003. - Т.9. -Вып.2. Механика. - Тула: ТулГУ. - С. 203-209.

85. Тарнопольский Ю.М., Портнов Г.Г. Особенности механики намотки армированных пластиков // Прочность и пластичность / Сб. научн. тр. М.: Наука, 1971.- С. 294-297.

86. Терегулов И.Г. Математическое моделирование необратимых многопараметрических процессов и определяющие соотношения для сплошных сред // Известия РАН. Механика твердого тела. 2000. — № 2. - С. 69-85.

87. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ. / Под ред. Г.С.Шапиро. 2-е изд. - М.: Наука, 1979. - 560 с.

88. Толоконников J1.A. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высш. школа, 1979. - 318 с.

89. Толоконников JI.A., Матченко Н.М. О представлениях предельных условий для начально анизотропных тел // Проблемы прочности. 1974. - № 3. - С. 54-56.

90. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. - 592 с.

91. Трусов П.В. Постановка и алгоритмы решения технологических задач упругопластичности при больших деформациях // Механика деформируемого твердого тела. Сб. науч. тр. Тула, 1983. - С. 134-142.

92. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. -192 с.

93. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. - 336 с.

94. Черных К.Ф. Нелинейная упругость (теория и приложения). СПб.: Изд. «Соло», 2004. - 420 с.

95. Швець Р., Жидик У., Флячок В. Термомехашчна модель шаруватих ашзотропних оболонок. Математичш проблеми мехашки неоднорщних структур: 36. мютить пращ. — Т. 1. 1н-т прикл. пробл. мех. i мат. НАН

96. Украши. JlbBiB*. 1н-т прикл. пробл. мех. i мат. НАН Украши, 2000. - С. 127130.

97. Шевченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагружениях. -Киев: Наукова думка, 1970. 287 с.

98. Шевченко Ю.Н., Бабешко М.Е., Пискун В.В., Прохоренко И.В., Савченко В.Г. Решение осесимметричной задачи термопластичности для тонкостенных и толстостенных тел вращения на ЕС ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1980.- 196 с.

99. Шубников А.В. Симметрия и антисимметрия конечных фигур. М.: Изд-во АН СССР, 1951.

100. Altay G. Askar, Dokmeci М. Cengiz. Some variational principles for linear coupled thermoelasticity // Int. J. Solids and Struct. 1996. - 33 - № 26 -P.3937-3949.

101. Biot M.A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics // J. Appl. Phys. 1956. - vol. 27 - № 3. - P.250-253.

102. Cannarozzi A.A., Ubertini F. A mixed variational method for linear coupled thermoelastic analysis // Int. J. Solids and Struct. 2001. - 38. - № 4 -P.717-739.

103. Danescu A. Material symmetry in deformed configuration // Int. J. Engng. Sci. 1990 -28. -№ 5.-pp. 367-374.

104. Ferrari M. Anisotropic layers with through-thickness thermal and material variations // J. Therm. Stresses. 1992. - 15. - № 3. - P. 439-445.

105. Mauget В., Perre P. A large displacement formulation for anisotropic constitutive laws // Eur. J. Mech. A/Solids. 1999. - Vol. 18. - PP. 859-877.

106. Miehe C. Zur numerischen Behandlung thermomechanischer Prozesse mit grossen Deformationen // Mitt. Inst. Mech /Ruhr-Univ., Bochum. 1989. - № 63. -S. 85-89.

107. Nicholson D.W., Lin B. Finite element method for thermomechanical response of near-incompressible elastomers // Acta Mech. 1997. - № 124. - P. 181-198.

108. Rusu E., Hatman V. A problem of small thermoelastic deformation superposed on finite thermoelastic deformation // Bui. Inst, politehn. Iasi. Sec. 1. -1991. -37.-№ 1-4.-C. 81-87.

109. Savolia M., Reddy J.N. Three-dimensional thermal analysis of laminated composite plates // Int. J. Solids and Struct. 1995. - 32. -№ 5. p. 593-608.

110. Soldatos K.P., Ye J.Q. Stationary thermoelastic analysis of thick cross-ply laminated cylinders and cylindrical panels // Acta mech. 1995. - 110. - № 1.- 4. -P. 1-18.

111. Yang Zhenglin, Chen Haoran. Mixed-state Hamilton semi-analytical method on thermal elastic problem of laminates // Dalian ligong daxue xuebao=J. Dalian Univ. Technol. 1997. - 37. - № 3. - P. 259-264.

112. Zibdeh H.S., A1 Farran J.M. Stress analysis in composite hollow cylinders due to an asymmetric temperature distribution // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. 1995. - 117. -№ 1.-P.59-65.

113. Zou Guiping, Tang Limin. A semi-analytical solution for thermal stress analysis of laminated composite cylindrical shells // Lixue xuebao=Acta mech. sin. -1995. 27. - № 3. c. 336-343.