Эволюция температурных напряжений как следствие процесса остывания и консолидации расплава при формировании слоистых материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Пестов, Константин Николаевич

• Пестов, Константин Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пестов, Константин Николаевич

СОДЕРЖАНИЕ

Условные обозначения

Введение

Глава 1. Построение математической модели для определения температурных напряжений в слоистых материалах с учетом фазовых переходов первого рода

1.1. Основные предположения принятые при построении математической модели

1.2. Математическая модель определения тепловых полей и границ фронтов фазовых превращений в слоистых материалах

1.3. Математическая модель определения напряженно-деформированного состояния в слоистых материалах с движущейся границей раздела фаз в отдельных слоях

1.4. Краевое условие на границе раздела фаз

Глава 2. Численные схемы

2.1. Построение численной схемы для температурной задачи в одномерном случае

2.2. Построение численной схемы для температурной задачи в двумерном случае

2.3. Численная схема для решения одномерных упругопластических задач

2.4. Тестовые сравнения численных решений температурной задачи с известными решениями

Глава 3. Результаты моделирования и численного решения некоторых практических задач

3.1. Численное решение задачи о проплавлении металлического слоя при сварке плавлением стекла и металла

3.2. Численное решение задачи определения температурных

напряжений в процессе формирования композиционного материала на базе стекла и стали, соединяемых через прокладку из

легкоплавкого металла, в упругом приближении

3.4. Численное решение задачи для трехслойного цилиндра с

крайними кристаллизующимися слоями в упругой постановке

3.3. Численное решение задачи определения температурных напряжений в процессе формирования композиционного материала на базе стекла и стали, соединяемых через прокладку из

легкоплавкого металла, в упругопластической постановке

Заключение

Литература

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Т*

Т - температура плавления,

- удельная теплота фазового перехода, р- плотность, с - удельная теплоемкость. Л - коэффициент теплопроводности, а — коэффициент температуропроводности, $ — скорость движения межфазной границы, X - коэффициент теплоотдачи,

К,Е,у,С - модуль объемной упругости, модуль Юнга, коэффициент Пуассона, модуль сдвига,

а - коэффициент линейного температурного расширения.

£у,£у,£у -компоненты тензоров полных, упругих, температурных,

пластических, структурных деформаций,

- компоненты тензоров напряжений, скоростей напряжений,

девиатора тензора напряжений,

и1,й1 - компоненты вектора перемещений и вектора скорости перемещений,

область & - го слоя, Тк- граница к - го слоя,

Г^Г^пГ,-граница сопряжения к - го и / -го слоев, ~ Я фронт фазового перехода в к-м слое,

ы - внешняя граница слоистого материала.

к Ы

Верхние индексы +обозначают жидкую и твердую фазу соответственно.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эволюция температурных напряжений как следствие процесса остывания и консолидации расплава при формировании слоистых материалов»

ВВЕДЕНИЕ

Современное развитие промышленности напрямую связано с широким внедрением новых материалов, сочетающих в себе высокие технико-эксплуатационные свойства, технологичность изготовления и низкую себестоимость производства. Применение слоистых композитов, позволяет значительно снизить массу конструкций и одновременно оптимизировать эксплуатационные характеристики машин и агрегатов. В ряде конструкций оптимальные эксплуатационные свойства можно получить лишь при условии применения составных или комбинированных узлов из разнородных материалов (слоистых композитов). Из таких материалов изготавливается не вся конструкция, а лишь те участки, которые испытывают воздействие силовых нагрузок, температур или агрессивных сред.

Технологические процессы изготовления некоторых слоистых композиционных материалов, например такие как, биметаллы, триметаллы, стеклометаллокомпозит [135, 136, 137] включают температурные режимы, при которых в материалах возможны фазовые превращения первого рода. Напряжения формирующиеся температурной и структурной неоднородностями в слоистых материалах, особенно на границах контакта разных материалов и разных фаз, могут приводить к снижению эксплуатационных качеств изделий и к разрушению их на стадии изготовления. Накопленный опыт в практике термической обработки композитов и эксплуатации изделий из них не всегда позволяет контролировать величину возникающих напряжений, что может привести к разрушению или к недопустимой деформации изделий. Знание кинетики протекания и величины временных термических напряжений позволит более качественно проводить термическую обработку, управлять остаточными напряжениями и избежать преждевременного выхода из строя деталей, подверженных высокоинтенсивному температурному воздействию. Поэтому разработка и усовершенствование методов исследования кинетики

формирования напряжений с учетом фазовых переходов в процессе температурного формирования слоистых композиционных материалов в настоящее время не утратили свою значимость и являются актуальными проблемами в механике деформируемого твердого тела.

Постоянный интерес исследователей к рассматриваемой проблеме определяется тем, что не только слоистые, но и большинство материалов, используемых в современной технике, испытывают фазовые переходы в процессе изготовления и эксплуатации. Примером могут послужить рост кристаллов, формирование ледяного покрова, промерзание грунта, затвердевание металла в изложнице. Весьма ограничен круг моделей, которые могли бы быть использованы для проведения инженерных расчетов с целью контроля отдельных технологических процессов. А моделей изготовления слоистых композиционных материалов, когда изменение агрегатного состояния возможно сразу в нескольких слоях, причем фронтов фазовых переходов в одном слое может быть несколько и они могут двигаться навстречу друг другу, сливаясь в некоторый момент времени, вообще не было обнаружено.

Основные идеи классической теории фазовых переходов заложены еще Дж. В. Гиббсом [42] в работе «О равновесии гетерогенных веществ» в 18751878 гг. С тех пор интерес к исследованию фазовых переходов непрерывно возрастает. Постоянно возрастающее количество публикаций, выделение на некоторых международных конференциях отдельных секций свидетельствуют об актуальности и об открытости вопросов взаимосвязи фазовых переходов с процессами деформирования материала.

При описании фазовых превращений выделяются два основных направления исследований:

1) фазовые превращения объемного типа, когда деформирование двухфазных тел описывается при помощи введения дополнительного параметра состояния системы, например, доли твердой фазы, которая определяется по фазовым диаграммам, к такому направлению относятся

работы В.А. Лихачева [88, 89], В.Г. Малинина [89, 105], В..И. Одинокова [131], АА. Мовчана [119-121];

2) фазовые превращения с выделение поверхности раздела фаз с дополнительным условием термодинамического равновесия на границе раздела фаз деформируемого материала, к этому направлению относятся работы В.И. Кондаурова [78, 79, 80, 81], В А. Еремеева [52, 53, 54], А.Б. Фрейдина [122, 123, 124, 176], МА. Гузева [39, 40, 48, 49], МА. Гринфельда [47].

Модели, использующие первый подход, наиболее часто используются при инженерных расчетах, что подтверждает их способность выявить важные особенности деформационных процессов при фазовых переходах, однако описание локальных полей деформаций и напряжений при таком подходе невозможно.

Второе направление исследований относится к интенсивно развивающемуся в направлении качественного уровня понимания фазовых переходов и здесь основными задачами являются: анализ неединственности и устойчивости двухфазных полей деформаций.

Параллельно основным направлениям развиваются некоторые альтернативные подходы к кинетике фазовых переходов, например, в работах А.Г. Князевой [71, 72, 73, 74, 154] когда в случае фазового перехода с участием твердого вещества меняется сразу несколько параметров состояния и граница представляет собой слой иногда довольно большой толщины или в работах по механике растущих тел [15, 107], когда кристаллизующийся материал представляется как растущий из жидкой фазы.

Данная работа выполнена как раз в рамках последнего альтернативного подхода, с тем существенным отличием, которое и обеспечивает ей научную новизну: в отличие от механики растущих тел рассматривается слоистое тело постоянной массы и состава, в котором при росте твердой фазы учитывается влияние давления (заранее неизвестного) на нее жидкой фазы.

В данной работе предполагается, что изменение агрегатного состояния есть следствие изменения температуры в первую очередь, а напряженно-деформированное состояние тела формируется как следствие неоднородного изменения температуры, скачка коэффициента линейного температурного расширения разных материалов (в случае слоистых тел) и изменением агрегатного состояния в отдельных слоях. Проводится моделирование технологических процессов изготовления слоистых материалов (СМ), в которых:

• температура на отдельных интервалах температурного режима достигает температуры плавления отдельных слоев;

• скорость изменения температуры незначительна и поэтому эффектом связности взаимодействия температурного и деформационного полей можно пренебречь;

• движение фронта фазового перехода является следствием изменения температуры.

В математических моделях термомеханики рассматриваются различные способы распространения тепла в сплошных средах, распространение тепла всегда сопровождается возникновением в теле напряжений и деформаций. Поэтому исследования напряженно-деформированного состояния тел с учетом различных связей между напряжениями, деформациями и температурой составляют основу современных моделей термомеханики. Особое внимание в задачах термомеханики уделяется способу задания тепловой нагрузки и ее моделированию при решении конкретных задач. В этой области проведен ряд исследований, в которых учитывались различные формы моделирования тепловой нагрузки: задание значений температуры и плотности потоков тепла на границе, сосредоточенных источников тепла, однородных потоков тепла на бесконечности [68, 101].

В общем случае изменение температуры тела происходит не только вследствие повода тепла от внешних источников, но и в результате самого процесса деформирования. При деформировании тела от механических или

тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает так называемый эффект связности, обусловленный взаимодействием температурных и деформационных полей. Он проявляется в образовании и движении тепловых потоков внутри тела, возникновении связанный упругих и тепловых волн, термоупругом рассеянии. Работы В.Н. Новацкого [128] и В.Г. Карнаухова [67] посвящены решению связанных задач термоупругости.

Однако построение решений связанных задач термоупругости для тел конечных размеров вызывает значительные математические трудности. Вместе с тем для многих практических задач и технологических процессов адекватные решения получаются и при решении несвязных задач термоупругости. Кроме того, при моделировании температурных напряжений и в несвязной постановке существует достаточно проблем и открытых вопросов в получении решений даже в численном виде. К таким проблемным задачам несвязанной теории температурных напряжений относятся задачи исследования напряженно-деформированного состояния в материалах при фазовых переходах. Систематическое изложение несвязной теории температурных напряжений дано в работах Б. Боли и Дж. Уайнера [23]. Классическими работами в области термоупругости слоистых сред являются работы А.Д. Коваленко [75], В.М. Вигака [36], Я.С. Подстригача, В.А. Ломакина, Ю.М. Коляно [143]. Рассмотренные в них методы, однако, в большинстве случаев, касаются решения задач термоупругости для слоя либо полупространства. В несвязной постановке выполнена и данная диссертационная работа.

Моделирование эволюции напряженно-деформированного состояния (НДС) при формировании СМ в данной работе проводилось в рамках несвязной модели термомеханики.

Первым этапом при решении несвязных задач вычислительной термомеханики является определение температурных полей. Теоретическое описание динамики фазовых переходов первого рода в случае зависимости фазового состояния только от температуры приводит к различным вариантам

задачи Стефана. Основной особенностью задач Стефана является отсутствие явного выражения для скорости движения фазовых границ. Поэтому большинство задач Стефана являются нелинейными даже при постоянных значениях теплофизических параметров, так что аналитическое решение их известно только для некоторых специальных случаев. Основными методами решения остаются численные методы, среди которых заслуженной популярностью пользуются, конечно-разностные методы, поскольку они обеспечивают высокую точность результатов, учитывают большое число параметров и не требуют грубых ограничений и допущений.

В разработку разностных методов решения задач тепло- и массопереноса с подвижными границами существенный вклад внесли A.A. Самарский [149, 152], Б.М. Будак [27-30], П.Н. Вабищевич [32, 33, 152, 153], Н.И. Никитенко [126], Дж. Дуглас [184, 186], Л. Эрлих [187], Ж. Мейер [192].

Необходимость описания фазовых превращений, в которых поверхность раздела фаз зависит только от одного параметра - температуры, стала одной из причин, вызвавших к жизни такое направление в современной математике как теория задачи Стефана [85, 133, 134].

Особенностью задачи Стефана является наличие только одного параметра состояния - температуры, и тем не менее, методы задачи Стефана нашли многочисленные приложения, например, при моделировании практических задач при выращивании кристаллов, изучении затвердевания отливок [2-7, 41, 63, 154, 161, 165, 180].

Общепринятой моделью, используемой при математическом описании разнообразных процессов кристаллизации, является классическая постановка задачи, предложенной Й. Стефаном в 1889 г [193]. Основные физические предположения, принятые в классической постановке выглядят следующим образом [1]:

1) считается, что агрегатное состояние среды изменяется только вследствие теплопроводности среды под воздействием внешних и внутренних источников теплоты;

2) передача энергии в каждой фазе рассматриваемого вещества описывается уравнением теплопроводности с соответствующими теплофизическими характеристиками;

3) фазовый переход происходит на границе раздела фаз, определяемой уравнением:

Ф(х,у,2,^ = 0, (0.1)

причем предполагается существование, однозначно определенной, достаточно гладкой поверхности раздела фаз;

4) фазовый переход происходит в равновесных условия, т.е. на границе раздела задана температура плавления:

.Уфэ^фэ^ф) — Т ,

при

5) поведение границы фазового превращения, называемой свободной границей, описывается условием Стефана:

= (0.2)

оп дп

наличие которого относит задачу к нелинейным. Условие Стефана выражает баланс энергии при переходе среды из одного агрегатного состояния в другое, подробный вывод которого для одномерного случая приведен в [101] и для многомерного - в работе [164].

Ключевым условием на свободной границе, помимо условия Стефана, является равенство температуры среды температуре плавления данного вещества, которая считается известной постоянной величиной. Это условие

имеет характер аксиомы, так как не следует ни из каких фундаментальных законов, но достаточно точно отражает многие реальные процессы.

Исторически впервые постановка задачи Стефана и ее решение были исследованы в классической работе Г.Ламе и Б. Клапейрон [190] по замерзанию жидкости. В 1931 году Л.С. Лейбензон [61] предложил, нашедший широкое практическое применение, приближенный метод решения задачи Стефана. Суть этого метода состоит в задании функции температурного распределения внутри каждой фазы, удовлетворяющей стационарному уравнению теплопроводности и граничным условиям. Подстановка температурного распределения в условие Стефана приводит к дифференциальному уравнению для определения подвижной границы, которое обычно легко разрешается относительно переменной, характеризующей положение фронта. Для учета теплоемкости обеих фаз Л.С. Лейбензон предложил второй метод [62], заключающийся в удовлетворении заданного температурного распределения не условию Стефана, а уравнению баланса тепла. В дальнейшем метод Л. Лейбензона был применен в работах А.Н, Тихонова и Е.Г. Швидковского [165], И.А. Чарного [179] для усложненных граничных условий.

Принципиально новую точку зрения на сущность задачи Стефана высказали в начале пятидесятых годов А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [149]. Основная идея этого подхода состоит во введении понятия «эффективной» теплоемкости, включающей в себя также скрытую теплоту фазового перехода, сосредоточенно выделяющуюся на поверхности раздела фаз. Это дает возможность с использованием 8 -функции записать единое квазилинейное уравнение энергии сразу во всей области, занятой теплоносящей средой, причем условие Стефана является следствием этого уравнения:

(ср + р&д(Т - Т* ))?!ШЛ = ¿¡»{ягай Т(М, 0) + д(М,0. (0.3)

Наряду с вопросами построения решения задачи Стефана, большое значение так же имеют вопросы ее разрешимости. Фундаментальные результаты по вопросам существования и единственности решения получены в работах А. М. Мейрманова [112], Л. О. Каменомостской [66] и O.A. Олейник [133, 134].

Численные методы решения задач теплопроводности для сложных тел и систем тел являются в настоящее время наиболее эффективными и универсальными в арсенале современных методов теории теплопроводности. Из-за нелинейности основным методом решения задач типа Стефана являются численные методы. Только в отдельных частных случаях возможно применение аналитического метода.

Разработке разностных методов решения краевых задач теплопроводности посвящено большое количество, как монографических работ, так и огромное число статей в периодических журналах и различных сборниках. Основы методов конечных разностей подробно изложены в монографиях Н.С Бахвалова [16], H.H. Калиткина [65], Г.И. Марчука [111], А.И. Тихонова и A.A. Самарского [150, 151].

Существенный вклад в разработку конечно-разностных методов решения задач теплопереноса внесли Б.М. Будак [27-30], П.Н. Вабищевич [32, 33, 152, 153], Ф.П. Васильев [34, 35].

Существующие в настоящее время методы численного решения задач Стефана можно условно разбить на два класса: методы с явным выделением фазовых границ и методы сквозного счета (с выделением некоторой размазанной границы фронта фазового перехода).

Численные методы, содержащие процедуру выделения фазовых фронтов, отличаются большим разнообразием подходов к решению проблемы. Среди них наиболее распространенными являются: метод ловли фронта в узел [29], в котором с помощью итерационной процедуры шаг интегрирования по временной координате подбирается так, чтобы фазовая граница сместилась на один интервал по пространству; метод прямых [18],

[35]; метод выпрямленных фронтов [28, 30, 170], основанный на замене пространственной переменной; методы миграции изотерм [185, 188], где зависимая и независимая переменные меняются местами; методы, базирующиеся на различных способах интерполяции [183]. Как правило, эти методы обладают достаточно высокой точностью выделения межфазной границы, но становятся алгоритмически весьма громоздкими в случае многофазных и многомерных задач. Следует отметить, что методы с явным выделением неизвестной границы фазового превращения для случая циклического изменения температуры на границе не подходят, т.к. число немонотонно движущихся фронтов может быть несколько, при этом некоторые из них могут сливаться друг с другом или исчезать.

Методы сквозного счета [27, 149] оказались эффективными при математическом моделировании многомерных задач, учитывающих только теплофизические процессы и в которых точное положение границы раздела не играет существенной роли. Для построения этих методов используется обобщенная формулировка задачи Стефана (0.3). Используя этот подход, A.A. Самарский и Б.Д. Моисеенко [149] разработали экономичную схему сквозного счета со сглаживанием разрывных коэффициентов в уравнении теплопроводности по температуре в окрестности фазового превращения. Схемы со сглаживанием коэффициентов предложены и в работе Б.М. Будака, E.H. Соловьевой, А.Б. Успенского [27]. Обе работы основаны на одной и той же идее сглаживания. В методах сквозного счета вместо условия Стефана используется функция сглаживания, в которой влияние фазового перехода учитывается с помощью сингулярной добавки к теплоемкости в точке фазового перехода. К недостаткам методов сквозного счета обычно относят низкую точность определения положения фазового фронта и их чувствительность к выбору параметра сглаживания, значение которого определить априори в ряде случаев затруднительно.

Все рассмотренные численные методы решения задачи Стефана кратко отражены на Схема 0.1.

В настоящей работе для определения движения и формы границы раздела фаз предложена модель и численная схема, которые явно не содержат условие Стефана (0.2) и с>-функцию, то есть обобщенного уравнения по типу (0.3). Разработанная модель содержит функцию, которую примерно можно назвать «фиктивным источником тепла» и ее введение позволяет с одной стороны упростить задачу, но с другой можно усложнить геометрию, граничные и начальные условия, а так же рассматривать слоистый материал с произвольным количеством слоев и возможностью фазовых переходов в каждом слое.

Схема 0.1

При решении несвязных задач термомеханики в результате решения температурной задачи получают пространственно-временное поле распределение температуры и исследуют динамику фронта фазового перехода, с учетом которых далее решается задача определения НДС в материале. Обзор работ по фазовым переходам и альтернативным подходам в механике деформируемого твердого тела натолкнул на идею использовать интенсивно развивающуюся достаточно молодую (первые работы по

механике растущих тел датируются 60-ми годами ХХ-го века [87, 140, 177]) теорию растущих тел.

Моделирование напряженно-деформированного состояния для слоистых материалов с учетом фазовых переходов первого рода в данной работе рассматриваются с использованием подходов механики растущих тел. Результаты ряда фундаментальных работ по механики растущих тел обобщены в монографиях Н.Х. Арутюняна, A.B. Манжирова, В.Э. Наумова [11, 12], отдельные задачи и экспериментальные исследования проводились дальневосточными учеными Г.И. Быковцевым и A.C. Лукановым [31, 91]. Процесс кристаллизации материала рассматривается как рост твердой фазы из жидкой, причем в отличие от классического подхода при неизменной массе в целом материале и с учетом влияния давления со стороны жидкой фазы.

Задачи о механическом поведении наращиваемых тел обладают в общем случае целым рядом специфических черт и образуют особый класс задач механики деформируемого твердого тела. Поскольку в настоящей работе будет идти речь только о процессах непрерывного роста фазы (кристаллизация из расплава), то в далее мы проследим ключевые моменты в истории изучения лишь такого рода процессов и обсудим основные результаты, достигнутые в соответствующем направлении механики.

Построение теории было начато в работах В.Д. Харлаба [177] и Н.Х. Арутуняна [8], посвященных вопросам постановки квазистатической задачи наращивания для произвольного тела при малых деформациях. Была отмечена невозможность использования в такой постановке стандартных для механики деформируемого твердого тела условий Сен-Венана совместности компонент тензора деформации и формул Коши, выражающих эти величины через перемещения, и при этом было указано на целесообразность перехода к их аналогам для скоростей деформации и скоростей перемещений, справедливых, в том числе, и для растущего тела.

В работах [13, 167] были сформулированы произвольные начальные условия для тензоров напряжений и деформации во всех точках дополнительной части тела на основании представления о том, что для замкнутости рассматриваемой математической задачи наращивания должно быть заранее известно полное напряженно-деформированное состояние всех дополнительных материальных элементов, в котором эти элементы присоединяются к растущему телу. При этом было замечено, что такого рода начальные условия эквивалентны заданию граничных значений всех компонент названных тензоров на текущей поверхности непрерывного роста, и показано, что из них вытекают определенные условия на скорости изменения компонент тензора напряжений, аналогичные по виду классическим граничным условиям в напряжениях и зависящие как от начальных напряжений в материале и закона движения поверхности роста, так и от действующих на тело объемных сил. В [13] было указано также на необходимость наличия информации в общем случае о всей истории изменения напряженно-деформированного состояния присоединяемых к телу элементов вплоть до момента их присоединения.

Не приводя здесь подробной библиографии, касающейся данных исследований, укажем только, что соответствующие ссылки, а также описания многих задач можно найти, например, в книгах [11, 12, 17, 166, 167].

Характерной особенностью, отличающей растущее тело, является присоединение дополнительного материала извне к внешней поверхности, в результате которого изменяется масса и напряжено-деформированное состояние тела. В работе [17] предложены механизм образования остаточных напряжений, методы их расчета в системе покрытие - основа с учетом процесса плазменного напыления слоев.

В данной работе, в отличие от уже классических подходов в механике растущих тел (рассматривающих тела переменного состава с непрерывно или дискретно увеличивающейся массой), рассматривается тело постоянного

состава и массы - слоистый материал. Однако, ввиду того, что объектом исследования является НДС твердой фазы СМ, которая в случае остывания его непрерывно увеличивается по массе и по объему и в итоге занимает весь отведенным СМ объем, то для описания НДС твердой фазы можно использовать подходы механики растущих тел. При этом, условие на границе роста твердой фазы кардинально отличается от условия, обычно используемого в механике растущих тел (заключающего в задании известного вектора напряжения или полностью тензора напряжений) и учитывает:

• влияние заранее неизвестного давления со стороны жидкой фазы, которое для СМ может достигать значительных величин и меняться в зависимости от граничных условий;

• скачок плотности при переходе материала из жидкого состояния в твердое.

Целью работы является исследование напряженно-деформированного состояния слоистых материалов в процессе изготовления с учетом фазовых переходов первого рода в отдельных слоях.

Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:

— математическая модель определения температурных полей и движения границ фазовых переходов первого рода строится без использования классического условия Стефана и сосредоточенной теплоемкости, что позволяет определять положение фронта фазового перехода, обходя все алгоритмические сложности, возникающие в случае многофазных и многомерных задач;

— предложено краевое условие на границе раздела фаз, которое позволяет в рамках теории растущих тел решать задачу об эволюции напряженно-деформированного состояния при формировании слоистых материалов с учетом фазовых переходов в отдельных слоях.

Практическая значимость. Построенная математическая модель использовалась для определения напряженно-деформированного состояния в

процессе изготовления слоистого композиционного материала на базе стекла и металла. И может быть использована при моделировании технологических процессов включающих температурные режимы, при которых в материалах возможны фазовые превращения первого рода, а также для дальнейшего развития теории фазовых превращений в механике деформируемого твердого тела.

Достоверность результатов основана на использовании законов сохранения и принципов равновесной термодинамики при построении новой модели, математической строгостью постановок задач и их анализа, получены сравнения решений по разработанной модели и численной схеме с некоторыми известными аналитическими и численными решениями. Результаты работы докладывались автором на:

— II Всероссийской конференции "Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций", посвященной 85-летию со дня рождения профессора О.В. Соснина, г. Новосибирск, 2011;

— всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления», посвященной 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова - г. Владивосток, 2011;

— совместных семинарах лаборатории необратимого деформирования и лаборатории нелинейной динамики деформирования ИАПУ ДВО РАН, 2010, 2011;

— семинаре Института прикладной математики ДВО РАН, 2011.

По теме диссертации опубликовано 9 научных работ, в том числе 3 статьи в ведущих рецензируемых журналах из списка ВАК [93, 94, 95]. Работы [138, 139] выполнены автором лично. В работах [94, 95, 96, 191] автор участвовал в обсуждении модели, разрабатывал численную схему и выполнил все необходимые расчеты. В работе [93] автор принимал участие в постановке задачи, в [136, 137] автор принимал участие в предварительном математическом моделировании технологического процесса.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (194 наименований). Объем работы - 122 страниц с 38 рисунками.

В первой главе строится математическая модель определения температурных полей и движения границ фазовых переходов без использования классического условия Стефана и сосредоточенной теплоемкости, что позволяет более точно определять положение фронта фазового перехода, чем в методах сквозного счета и использовать модель при расчетах для слоистых материалов в случаях, когда фронтов может быть несколько и они могут сливаться.

Излагается математическая модель напряженно-деформированного состояния в слоистых телах, с учетом полученных температурных полей и скоростей движения границ кристаллизации. Ввиду наличия подвижной границы, которая в случае охлаждения приводит к непрерывному увеличению объема и массы твердой фазы, выбрана теория, отражающая основные закономерности деформирования растущего твердого тела. В данной работе для слоев, в которых происходит кристаллизация из расплава предложено решать сопряженную задачу жидкость - твердое тело с уравнением сопряжения слоев по типу идеального контакта на границе раздела фаз. Для жидкой фазы приняты гипотезы о квазистатическом равновесии, упругости, малости деформаций и равенстве нулю модуля сдвига. Для твердой фазы рассматривается два варианта определяющих соотношений, соответствующие идеально упругопластическому и упругому материалу. Записано условие на движущейся границе раздела фаз, которое отличается от уже классического условия на наращиваемой поверхности в теории растущих тел.

Во второй главе приведены примеры численных схем для одномерных и двумерных задач теплопроводности с фазовыми переходами согласно разработанной математической модели. В одномерном случае система уравнений конечно-разностных уравнений модифицирована под

использование метода прогонки. Приведена численная схема для решения одномерных упругопластических задач методом дополнительных деформаций. Для проверки адекватности предложенной модели проводились сравнения решений одномерных задач по предлагаемому в работе методу с: автомодельным решением классической задачи Стефана; приближенным решение Лейбензона для бесконечного затвердевающего цилиндра; численным решением методом сквозного счета задачи о затвердевании пластины. Результаты расчетов на одномерных задачах показали хорошее совпадение результатов, а также универсальность предлагаемой модели и численной схемы.

В третьей главе решены отдельные практические задачи по определению температурных напряжений и деформаций в процессе изготовления слоистых композиционных материалов с учетом кристаллизации отдельных слоев.

В заключении приведены основные выводы, полученные в диссертации.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработана математическая модель и численная схема, которая позволяют проследить за движением фронта фазового перехода без использования классического условия Стефана и сосредоточенной теплоемкости;

2. Разработана математическая модель определения температурных напряжений для многослойного тела с нестационарной границей раздела фаз в кристаллизующихся слоях, с учетом изменяющихся термомеханических характеристик материалов;

3. Численно решены задачи определения напряженно-деформированного состояния для трехслойных цилиндрических слоистых материалов с одним центральным или двумя крайними кристаллизующимися слоями в упругой и упругопластической постановках.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Пестов, Константин Николаевич

Основные результаты работы состоят в следующем.

1) Предложена математическая модель процесса теплообмена в слоистых материалах с учетом фазовых переходов 1 рода, которая не содержит граничного условия Стефана на границе раздела фаз и эффективной теплоемкости.

2) Для предложенной математической модели разработан метод численного решения двухфазной задачи, в слоистом материале. Получено сравнение решений по предложенному методу с аналитическим решением Стефана, Лейбензона и с решением полученным численно методом сквозного счета.

3) Записана эволюционная краевая задача для многослойного тела с нестационарной границей раздела фаз в кристаллизующихся слоях, с учетом изменяющихся термомеханических характеристик материалов. Предложено краевое условие на границе раздела фаз, которое отличается от краевого условия на поверхности роста обычно используемого в механике растущих тел.

4) Получено численное решение задачи определения температурных напряжений в процессе формирования слоистого стержня на базе стекла и стали соединяемых через прокладку из легкоплавкого металла в упругом и упругопластическом приближении.

5) Получено численное решение задачи для трехслойного стеклометаллокомпозита цилиндрической формы с крайними кристаллизующимися слоями в упругой постановке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пестов, Константин Николаевич, 2012 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Авдонин Н. А. Математическое описание процессов кристаллизации. -Рига: Зинатне, 1980. - 180 с.

2. Албу А. Ф., Зубов В. И. Оптимальное управление процессом кристаллизации вещества // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2004. -№44:1,-С. 38-50.

3. Албу А. Ф., Зубов В. И. О выборе функционала и разностной схемы при решении задачи оптимального управления процессом кристаллизации металла// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2011. - №51:1. - С. 24-38.

4. Албу А. Ф., Зубов В. И. Математическое моделирование и исследование процесса кристаллизации металла в литейном деле // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2007. №47:5. - С. 882-902.

5. Албу А. Ф., Зубов В. И. Вычисление градиента функционала в одной задаче оптимального управления, связанной с кристаллизацией металла // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2009. - №49:1. - С. 51-75.

6. Албу А. Ф., Зубов В. И. О процессе плавления с ограничением на скорость остывания // Матем. моделирование. - 2002. -№14:8. - С. 119123.

7. Албу А. Ф., Горбунов В. Г., Зубов В. И. Об оптимальном управлении процессом плавления // Матем. моделирование. - 2000. - №12:5. - С. 114-118.

8. Арутюнян Н.Х. Краевая задача теории ползучести для наращиваемого тела // ПММ. - 1977. - Т. 41. - Вып. 5. - С. 783-789.

9. Арутюнян Н.Х. Фундаментальные решения задач для растущего тела в форме четвертьплоскости // Изв. АН СССР. МТТ. - 1987. - №2. - С. 8590.

10. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B. Контактные задачи механики растущих тел//ПММ.-1989.-Т. 53.-Вып. 1.-С. 145-158.

11. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязкоупругопластических тел. - М.: Наука, 1987. - 471 с.

12. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B., Наумов В.Э.. Контактные задачи механики растущих тел. -М.: Наука, 1991. - 176 с.

13. Арутюнян Н.Х., Метлов В.В. Нелинейные задачи теории ползучести наращиваемых тел, подверженных старению // Изв. АН СССР. МТТ. -1983.-№4. -С. 142-152.

14. Багмутов В. П., Захаров И. Н., Иванников А. Ю., Белолипецкий П. А. Моделирование процессов формирования структуры и напряженного состояния стали при высокоэнергетических воздействиях // Труды Третьей Всероссийской научной конференции (29-31 мая 2006 г.). Часть 1. Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций, Матем. моделирование и краев, задачи. Самара: СамГТУ, 2006, - С. 20-23.

15. Барвинок В.А., Богданович В.И., Плотников А.Н., Докукина И.А., Савич Е.К. Об одном методе решения краевой задачи термоупругости для растущего многослойного шара // Известия Самарского научного центра РАН. - 2010. - Т.12 (36) - №4 - С. 333-336.

16. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Изд. 4-е. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 636 с.

17. Барвинок В.А.. Управление напряженным состоянием и свойствами плазменных напылений. - М.: Машиностроение, 1990. - 384 с.

18. Бачелис Р. Д., Меламед В. Г., Шляйфер Д. Б. Решение задачи типа Стефана методом прямых // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1969. - № 9:3.-С. 585-594.

19. Бачин В.А. Диффузионная сварка стекла и керамики с металлами. - М.: Машиностроение, 1986. - 184 с.

20. Бенгина Т. А., Лившиц М. Ю. Конечно-разностная схема решения задачи типа Стефана с преобразованием координат // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки. - 1998. - № 6. - С. 123-125.

21. Бижанова Г. И. О точных решениях одномерных двухфазных задач со свободными границами для параболических уравнений // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. Зап. научн. сем. ПОМИ. - 2004. - №318. - С. 42-59.

22. Биргер И.А. Остаточные напряжения. - М.: Машгиз., 1963. - 233 с.

23. Боли Б., Уэйнер Д. Теория температурных напряжений. - М.: Мир, 1964. - 520 с.

24. Болотин В.В., Воронцов А.Н., Мурзаханов Р.Х. Анализ технологических напряжений в намоточных изделиях из композитов на протяжении всего процесса изготовления // Мех. композита, материалов. - 1980. - № 3. -С. 500-508.

25. Борисов В. Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка. - М.: Металлургия, 1987. - 224 с.

26. Бровман М.Я., Сурин Е.В. Расчет термических напряжений в слитке при кристаллизации // Инж. физ. ж. - 1963. - Т.6. - № 5. - С. 106-113.

27. Будак Б.М., Соловьева E.H. Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1965. - № 5. - С. 828-840.

28. Будак Б. М., Успенский А. Б. Разностный метод с выпрямлением фронтов для решения задач типа Стефана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1969.-№9:6. С. 1299-1315.

29. Будак Б.М., Васильев Ф.П., Егорова А.Т. Об одном варианте неявной разностной схемы с ловлей фазового фронта в узел сетки для решения задач типа Стефана // Вычислительные методы и программирование. -1967.-Вып. 6.-С. 231-241.

30. Будак Б.М., Гольдман H.JL, Егорова А.Т., Успенский А.Б. Метод выпрямления фронтов для решения задач типа Стефана в многомерном случае // Вычислительные методы и программирование. - 1967. - Вып. 8. -С. 103-120.

31. Быковцев Г.И., Луканов A.C. Некоторые вопросы теории затвердевающих и наращиваемых вязкоупругих сред //Изв. АН СССР, МТТ. - 1987. - 1985. -№ 5. - С. 116-118.

32. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. - 164 с.

33. Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач со свободной границей. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. - 164 с.

34. Васильев В. И., Попов В. В. Численное решение задачи промерзания грунта // Матем. моделирование. - 2008. - № 20:7. - С. 119-128.

35. Васильев Ф. П. О методе прямых для решения однофазной задачи типа Стефана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1968. - № 8:1. - С. 64-78.

36. Вигак В.М. Управление температурными напряжениями и перемещениями. - Киев: Наук, думка, 1988. - 312 с.

37. Воеводин А. Ф., Гранкина Т. Б. Численное моделирование роста ледяного покрова в водоеме // Сиб. журн. индустр. матем. - 2006. - № 9:1.-С. 47-54.

38. Волков А.Е., Сахаров В.Ю. Термомеханическая макромодель сплавов с эффектом памяти формы // Известия РАН. Серия физическая. - 2003. -Т. 67. -№ 6. - С. 845-851.

39. Галанин М.П., Гузев М.А., Низкая Т.В. Разработка и реализация вычислительного алгоритма для расчета температурных напряжений, возникающих при нагреве металла, с учетом фазовых переходов. // Препр. Ин-та прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН. - 2005. - № 139. -

19 с.

40. Галанин М.П., Гузев М.А., Низкая Т.В. Численное решение задачи термопластичности с дополнительными параметрами состояния // Препринт Ин-та прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН. - 2007. - №8. -

20 с.

41. Галкин В. А., Забудько М. А. Аналитические и численные решения нелинейных уравнений теплопроводности и кинетических уравнений для моделирования кристаллизации // Матем. моделирование. - 2001. - № 13:12.-С. 46-54.

42. Гиббс Дж. Термодинамика. Статистическая механика. - М.: Наука. -1984.-584 с.

43. Гончаров В. А. Об одном методе решения задачи Стефана в двухфазной области с неплоской границей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2000. -№40:11.-С. 1706-1715.

44. Горшков А. Г., Старовойтов Э. И., Яровая А. В. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций. - М.: Физматлит, 2005.-576 с.

45. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена // Проблемы теплообмена. - М.: Атомиздат, 1967. - С. 41-96.

46. Григорян С. О нагревании и плавлении твердого тела от трения. - ПММ. - 1958. - Т.22. - Вып. 5. - С. 577-585.

47. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. - М.: Наука, 1990. - 312 с.

48. Гузев М. А. Двухфазная природа модели идеальной пластичности // Дальневост. матем. журн. - 2010. № 10:1. - С. 9-19.

49. Гузев М. А. Условия на границе раздела фаз нелинейно-упругого материала в динамическом случае // Доклады Академии наук. - 2007. - Т. 416, №6.-С. 763-765.

50. Дарьин Н. А., Мажукин В. И. Математическое моделирование нестационарных двумерных краевых задач на сетках с динамической адаптацией // Матем. моделирование. - 1989. - № 1:3. - С. 29-43.

51. Дмитриева A.M., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Наращивание термоупругого сферического слоя: применение вариационного подхода // Препринт Инт проблем механики РАН. - 1993. - № 528. - 64 с.

52. Еремеев В.А. Выпучивание нелинейно-упругой плиты, лежащей на поверхности жидкости, с учетом фазового перехода // ПМТФ. - 1991. -№ 3. - С. 141-147

53. Еремеев В.А. Зубов JI.M. Об устойчивости равновесия нелинейно-упругих тел, испытывающих фазовые превращения //Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. - 1991. - № 2. - С. 56-65

54. Еремеев В.А. Зубов Л.М. Условия фазового равновесия в нелинейно-упругих средах с микроструктурой // Доклады АН. - 1992. - Т. 322. - № 6.-С. 1052-1056

55. Жеребятьев И.Ф. Численное решение задач типа Стефана. Алма-Ата: Гылым, 1987. - 37 с.

56. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т. Математическое моделирование процессов тепло- и массообмена с подвижными границами. - Алма-Ата: Гылым, 1992.-264 с.

57. Жерновый Ю.В., Сайчук М.Т. Об использовании метода функций Грина для численного решения многомерных задач Стефана // Инженерно-физический журнал. - 1998. - Т. 71, - № 5. - С. 910-916.

58. Жерновый Ю.В., Сайчук М.Т. О численном решении задач Стефана с использованием метода функций Грина // Инженерно-физический журнал. - 1998. - Т. 71. -№ 3. - С. 564-570.

59. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики. -М.: Физматлит, 2002. - 168 с.

60. Индербаум В.М., Перевозчиков В.Г.. Расчет остаточных напряжений в намоточных изделиях, образованных методом послойного отверждения // Мех. полимеров. -1972. - № 2. - С. 284-289.

61. Лейбензон Л.С. Руководство по нефтепромысловой механике. // Собр. тр. - т.З. - Москва: Изд-во АН СССР, 1955. - С. 435-439.

62. Лейбензон Л.С. К вопросу об отвердевании земного шара из первоначального расплавленного состояния // Собр. тр. - т.4. - Москва: Изд-во АН СССР, 1955. - С. 317-359.

63. Кабанов П. Г. Математическое моделирование процесса кристаллизации жидкого металла в условиях внешнего воздействия // Сиб. журн. индустр. матем.. - 2007. - № 10:4. - С. 55-60.

64. Калиев И. А. Однофазная задача фазового перехода типа твердое тело -сжимаемая жидкость // Сиб. журн. индустр. матем. - 2000. - № 3:2. - С. 97-114.

65. Калиткин H.H. Численные методы. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1978. - 512 с.

66. Каменомостская Л. О задаче Стефана // Математ.сборник. - 1961. - т.53 (95).-с. 488-514.

67. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости. - Киев: Наук, думка, 1982. - 260 с.

68. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. - М.: Наука, 1964, -487 с.

69. Карташов Э.М. Метод обобщенного интегрального преобразования при решении уравнения теплопроводности в области с движущимися границами // Инженерно-физический журнал. - 1987. - Т.52. - № 3. - С. 495-505.

70. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. Изд. 2-е, перераб. и доп. -М.: Наука, 1969.-420 с.

71. Князева А.Г. Введение в локально равновесную термодинамику физико-химических превращений в деформируемых средах. - Томск: Изд-во ТГУ, 1996. - 146 с.

72. Князева А.Г. Обобщение уравнения Клапейрона-Клаузиуса в связной термо-механической модели // ПМТФ. - 1996. - Т.40. - № 6. - С. 103— 111.

73. Князева А.Г. Решение задачи термоупругости в форме бегущей волны и его приложение к анализу возможных режимов твердофазных превращений // ПМТФ. - 2003. - Т.44. - № 2. - С. 22-38.

74. Князева А.Г. О моделировании необратимых процессов в материалах с большим количеством внутренних поверхностей // Физическая мезомеханика. - 2003. - Т.6. - № 5. - С. 11-27.

75. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. - Киев: Наукова думка, 1970. -309 с.

76. Ковнер С. Об одной задаче теплопроводности // Журнал геофизики. -1933. - Т. 3.-Вып. 1.-С. 32-41.

77. Ковнер С. К обоснованию термического метода разведки // ДАН СССР. -1942. - Т. 37. - № 3. - С. 115-117.

78. Кондауров В.И.,Никитин Л.В. О фазовых переходах первого рода в нелинейно-упругих средах // Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 262. - № 6. -С. 1348-1351.

79. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Фазовые переходы первого рода в упруговязкопластической среде // Изв. АН СССР. МТТ. - 1986. - № 4. -С. 130-139.

80. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Термомеханика фазовых переходов в упруговязкопластической среде при конечных деформациях // Матем. методы мех. деформ. твер. тела. -М.: Наука, 1986. - С. 56-63.

81. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированных сред. - М.: МФТИ, 2002. - 336 с.

82. Королёва О. Н., Мажукин В. И. Математическое моделирование лазерного плавления и испарения многослойных материалов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2006. - № 46:5. - С. 887-901.

83. Косинова С. Н. Решение задачи о затвердевании металлического расплава // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2002. - С. 145-148.

84. Куликов С. И., Нестеренко А. И., Нестеренко Н. Г. Решение двумерной задачи Стефана в многосвязной области // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1993. - № 33:3. - С. 404-416.

85. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.: Наука, 1967. -736 с.

86. Лаевский Ю. М., Калинкин А. А. Двухтемпературная модель гидратосодержащей породы // Матем. моделирование. - 2010. - № 22:4. -С. 23-31.

87. Левин М.А.. Напряжения и деформации в растущих телах. // Докл. АН СССР. - 1967. - Т.П. -Вып.З. - С. 222-225.

88. Лихачев В.А., Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. -Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. - 216 с.

89. Лихачев В.А., Малинин В.Г., Малинина H.A. Деформация ориентированного превращения в условиях сложного напряженного состояния // Функционально механические свойства материалов и их компьютерное конструирование. - Псков. - 1993. - С. 235 -238.

90. Ломакин В.А.. Теория упругости неоднородных тел. - М.: Изд-во МГУ, 1976.-368 с.

91. Луканов A.C. Исследование напряженно-деформированного состояния затвердевающих и наращиваемых тел // Дисс. канд. физ.-мат. наук. -Куйбышев. - 1988.- 159 с.

92. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 939 с.

93. Любимова О. Н., Гридасова Е. А., Пестов К. Н. К вопросу упрочнения стекла методом диффузионной сварки с металлом // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева Серия: Механика предельного состояния. 2010. № 2 (8). С. 318-325.

94. Любимова О.Н., Пестов К.Н., Гридасова Е. А. Численное решение задачи о проплавлении металлического слоя при сварке плавлением стекла и металла // Вычислительная механика сплошных сред. - 2010. - Т.З, №1. -С. 63-73.

95. Любимова О.Н., Пестов К.Н., Гридасова Е. А. Математическое моделирование теплового процесса диффузионной сварки стекла с металлом // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2010. -Т. 13, №4(44). - С. 52-63.

96. Любимова О.Н., Пестов К. Н. Численное решение контактной задачи термомеханики для слоистого композита с учетом фазовых переходов первого рода в отдельных слоях // Тезисы докладов 2 всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций». - г. Новосибирск: ИГИЛ - 2011. - Р. 65.

97. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. - Москва, "Наука", 1975,-256 с.

98. Любов Б.Я. Кинетическая теория фазовых превращений. - М.: Металлургия, 1969. - 264 с.

99. Любов Б.Я., Карташов Э.М. Метод решения краевых задач диффузии для области с границей, движущейся по произвольному закону // Изв. вузов. Физика, - 1970. - № 12. - С. 97-101.

100. Любов Б .Я. Вычисление скорости затвердевания металлического слитка// Докл.АН СССР, - 1949. - т.68. - №5. - с.847-850.

101. Лыков A.B. Теория теплопроводности. - М.: Изд. «Высшая школа», 1967.-600 с.

102. Мажукин В.И., Повещенко Ю.А., Попов С.Б., Попов Ю.П. Об однородных алгоритмах численного решения задачи Стефана // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. - 1985. - № 122.

103. Мажукин В. И., Такоева Л. Ю. Принципы построения динамически адаптирующихся к решению сеток в одномерных краевых задачах // Матем. моделирование. - 1990. - № 2:3. С. 101-118.

104. Мазо А. Б., Федяев В. Л., Чугунов В. А. Расчет температурного поля при моделировании термоупрочения рабочей поверхности распредвала // Исслед. по прикл. матем. - Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1992, - № 18.-С. 87-95.

105. Малинин Г.В. Исследование механических свойств материалов с эффектом памяти формы при сложных траекториях нагружения в пространстве напряжений // Научные труды Междунар. конф. "Технология -96", 17-19 апреля, 1996 г. - Новгород, 1996. - 4.1. - С.121.

106. Манжиров A.B. Общая безынерционная начально-краевая задача для кусочно-непрерывно наращиваемого вязкоупругого стареющего тела // ПММ. - 1995. - Т. 59. - Вып. 5. - С. 836-848.

107. Манжиров А. В. Основы механики наращиваемых тел // Тезисы докладов Всероссийской конференции «III сессия Научного совета РАН по механике деформируемого твердого тела» / Под ред. проф. Л. Ю. Коссовича. - Саратов, 2009. - С. 29.

108. Манжиров A.B., Михин М.Н. О кручении наращиваемого эллиптического бруса // Проблемы механики деформируемых тел. -Ереван: Изд-во «Гитутюн» HAH РА, 2003. - С. 216-224.

109. Манжиров A.B., Михин М.Н. Методы теории функций комплексного переменного в механике растущих тел // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2004. - № 4 (34). - С. 82-98.

110. Манжиров A.B., Паршин ДА. Моделирование процессов наращивания цилиндрических тел на вращающейся оправке с учетом действия центробежных сил // Изв. РАН. МТТ. - 2006. - № 6. - С. 149-166.

111. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. - Москва: Наука, 1977.-456 с.

112. Мейрманов А. М. Задача Стефана. - Новосибирск: Наука, 1986. - 239 с.

113. Меламед В.Г. Сведение задачи Стефана к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Изв. АН СССР, сер. геофиз. - 1958. - № 7. 1958.-С. 848-869.

114. Меламед В.Г. Решение задачи Стефана в случае второй краевой задачи // Сер. Мат. М.: МГУ, 1959. - № 1. - 46 с.

115. Метлов В.В., Турусов P.A. О формировании напряженного состояния вязкоупругих тел, растущих в условиях фронтального отверждения // Изв. АН СССР. МТТ. - 1985. - № 6. - С. 145-160.

116. Метлов В.В. О наращивании тел при конечных деформациях // Докл. АН АрмССР. - 1985. - Т. 80. - № 2. - С. 87-91.

117. Михин М. Н. Кручение растущего вала // Вестник Самарского государственного университета, - 2007, - № 4. - С. 304-315

118. Мовчан A.A. Исследование эффектов связности в задачах изгиба балок из сплава с памятью формы // Журнал прикладной механики и технической физики. - 1998. - Т. 39. - № 1. - С. 87-97.

119. Мовчан A.A. Казарина С.А. Исследование двухступенчатого фазового превращения в витых пружинах смещения из никелида титана // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2001. - № 1. - С. 5260.

120. Мовчан A.A. Микромеханический подход к описанию деформации мартенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1995. - № 1. - С. 197-205.

121. Мовчан A.A. Некоторые положения механики материалов, испытывающих термоупругие фазовые превращения // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1999. - Т. 5. - № 4. - С. 87-108.

122. Морозов Н.Ф., Назыров И.Р., Фрейдин А.Б. Одномерная задача о фазовом превращении упругого шара // Докл. РАН. - 1996. - Т. 346. - № 2.-С. 188-191.

123. Морозов Н.Ф., Фрейдин А.Б. Зоны фазовых переходов и фазовые превращения упругих тел при различных видах напряженного состояния //Тр. матем. ин-та им. В.А. Стеклова - 1998. - Т. 223. - № 2. - С. 220232.

124. Назыров И.Р., Фрейдин А.Б. Фазовые превращения при деформировании твердых тел в модельной задаче об упругом шаре // Изв. РАН. МТТ. -1998.-№5. -С. 52-71.

125. Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Термомеханическая модель наращиваемого тела: вариационная формулировка. Препринт / Ин-т проблем механики РАН. - 1993. - № 527. - 39 с.

126. Никитенко Н.И. Исследование процессов тепло- и массообмена методом сеток. - Киев: Наукова думка, 1971, - 265 с.

127. Николаев В.П., Инденбаум В.М. К расчету остаточных напряжений в намоточных изделиях из стеклопластиков // Мех. полимеров. - 1970. - № 6.-С. 1026-1030.

128. Новацкий В. Вопросы термоупругости. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. -364 с.

129. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

130. Образцов И.Ф., Паймушин В.Н., Сидоров И.Н. О постановках задачи непрерывного наращивания упругих тел // Докл. АН СССР. - 1990. - Т. 314,-№4. -С. 813-816.

131. Одиноков В. И., Проскуряков Б. И., Черномас В. В. Непрерывный процесс кристаллизации металла при одновременном его деформировании. - М.: Наука, 2006. - 111 с.

132. Окулов H.A. Об одном численном методе решения одномерных задач типа Стефана // Вычислительные методы и программирование. — 2011.— Т. 12. - С. 238-246.

133. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана // ДАН СССР.-1960.-Т. 135.-№5.-С. 1054-1057.

134. Олейник O.A. Решение основных краевых задач для уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами // Доклады АН СССР. -1959. -Т. 124.- №6.

135. Патент РФ №2337036. Способ изготовления цилиндрической оболочки прочного корпуса подводного аппарата. Пикуль В.В.// Бюл. изобр. 2008. -№30.

136. Патент №2428388 РФ, МПК С03С 27/02. Способ изготовления стеклометаллокомпозита / Гридасова Е. А., Любимова О.Н., Пестов К.Н., Каяк Г.Л.-№2009149790/03; Заяв. 31.12.2009; Опубл. 10.09.2011, Бюл. № 25.-6 с.

137. Патент №2428389 РФ, МПК С03С 27/02. Способ изготовления стеклометаллокомпозита / Гридасова Е. А., Любимова О.Н., Пестов К.Н., Каяк Г.Л.-№2009149794; Заяв. 31.12.2009; Опубл. 10.09.2011, Бюл. № 25.6 с.

138. Пестов К. Н. Моделирование временных напряжений и деформаций с учетом фазовых превращений 1 рода при осесимметричном остывании трехслойного цилиндра // Аннотации докладов всероссийской конференции посвященной 75-летию со дня рождения академика Мясникова - г. Владивосток: ПАПУ - 2011. - Р. 47.

139. Пестов К. Н. Моделирование термоупругих напряжений с учетом фазовых превращений 1 рода при осесимметричном остывании трехслойного цилиндра // Материалы 4 международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики теории управления и математического моделирования» - г. Воронеж: ВГУ -2011.-Р. 225.

140. Плятт ГЦ. Н., Штейнер Н. Я.. Плоская задача термоупругости для непрерывно наращиваемой полуполосы. // Прикл. мех. - 1969. - Т.5, Вып.1. - С. 53-59.

141. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. - М.: МГУ, 1984. - 336 с.

142. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: МГУ, 1995.-366 с.

143. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. - М.: Наука, 1984. - 368 с.

144. Рашба Э.И. Определение напряжений в массивах от действия собственного веса с учетом порядка их возведения // Сб. тр. Ин-та строит, механики АН УССР. - 1953. - № 18. - С. 23-27.

145. Романовский Р. К., Стратилатова Е. Н., Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений// Сиб. журн. индустр. матем., - 2004. - №7:3. -С. 119-131.

146. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. - Рига, Звайгзне, 1967, - 457 с.

147. Рубинштейн Л. И., К вопросу о численном решении интегральных уравнений задачи Стефана // Изв. вузов. Матем. - 1958, - №4, - С. 202214.

148. Рябов В. Р., Д. М. Рабкин Д. М., Курочко Р. С., Стрижевская Л. Г. Сварка разнородных металлов и сплавов. - М.: Машиностроение, 1984. - 239 с.

149. Самарский А. А., Моисеенко Б. Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1965. - Т. 5. -N05. - С. 816-827.

150. Самарский А. А. Теория разностных схем. - Москва: Наука, 1977. - 656 с.

151. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука, 1971. -553 с.

152. Самарский А.А, Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

153. Самарский А. А., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения задач математической физики на нерегулярных сетках // Матем. моделирование. - 2001. - №13:2. - С. 5-16.

154. Сапченко И. Г., Жилин С. Г., Комаров О. Н., Штерн М. В. Математическое моделирование процесса затвердевания отливки в пористой оболочковой форме // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2006. - №42. - С. 193-195.

155. Саусвелл Р.В. Введение в теорию упругости для инженеров и физиков. -М.: ГИИЛ, 1948.-675 с.

156. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. Т. 1. Изд. 6-е, стер. - СПб.: Лань, 2004. - 528 с.

157. Солонников В. А., Фролова Е. В., О справедливости квазистационарного приближения для задачи Стефана. // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. Зап. научн. сем. ПОМИ. -2007. - № 348. - С. 209-253.

158. Солтанов К. Н., Новрузов Э. Б. Об одной задаче со свободной границей. //Изв. РАН. Сер. матем. - 2002. -№ 66:4. - С. 155-176.

159. Сорокова С.Н., Князева А.Г. Стационарные режимы превращений в вязкоупругой среде // ФГВ. - 2006. - Т. 42. - № 5. - С. 63-73.

160. Танана В. П., Худышкина Е. В. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи Стефана // Сиб. журн. индустр. матем. - 2005. - № 8:4. -С.124-130.

161. Темкин Д.Е. Температурное поле в кристаллизующемся слитке цилиндрической формы // Инженерно-физический журнал. - 1962. - Т.5. - №4. - С. 89-92.

162. Термопрочность деталей машин. Под ред. И.А. Биргера и Б.Ф. Шорра. -М. Машиностроение. 1977 г. 455 с.

163. Тирский Г.А. Два точных решения нелинейной задачи Стефана // ДАН СССР. - 1959. - Т. 125. - № 2. - С. 293-296.

164. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. -М.: МГУ, 2004.-799 с.

165. Тихонов А.Н., Швидковский Е.Г. К теории непрерывного слитка // ЖТФ. -1947.-Т. 17.-Вып. 2. С. 161-176.

166. Тринчер B.K. Общая геометрически линейная постановка задачи определения деформированного состояния для тела с переменной границей // Проблемы современной механики. Ч. 2 / Под ред. акад. Л.И. Седова. - М.: Изд-во МГУ, 1983.-149 с.

167. Тринчер В.К. О постановке задачи определения напряженно-деформированного состояния растущего тела // Изв. АН СССР. МТТ. -1984.-№2.-С. 119-124.

168. Тринчер В.К. Расчет наращиваемых тел. - М.: Изд-во МГУ. 1989. - 154 с.

169. Тринчер, В. К. О расчете твердого тела при фронтальном фазовом превращении его среды // Известия Российской Академии наук. Сер. Механика твердого тела. - 1999. - № 1. - С. 54-63.

170. А.Б. Успенский. О методе выпрямления фронтов для многофронтовых одномерных задач типа Стефана // ДАН СССР. - 1967. - Т. 172. - № 2. -С. 61-64.

171. Ушаков В. И., Клочков А. В. Поведение решений однофазной задачи Стефана при больших значениях времени // Изв. вузов. Матем. - 2006. -№ 11.-С. 55-60.

172. Федоренко Р. П. Разностная схема для задачи Стефана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1975. -№ 15:5. - С. 1339-1344

173. Флеминге М. Процессы затвердевания. - М.: Мир, 1977. - 424 с.

174. Фомин С. А. Математическая модель процессов тепломассообмена при контактном плавлении // Исслед. по прикл. матем. - № 16. - Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1989. - С. 48-68.

175. Фрязинов И. В. О задаче Стефана для неоднородных сред // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1961. —№ 1:5.-С. 927-932.

176. Фрейдин А.Б. Трещины серебра и полосы сдвига в стеклообразных полимерах как слои новой фазы // Механика композит. Материалов. -1989.-№ 1.-С. 3-10.

177. Харлаб В.Д. Линейная теория ползучести наращиваемого тела // Механика стержневых систем и сплошных сред: Тр. ЛИСИ. - Л.: ЛИСИ, 1966.-Вып. 49.-С. 93-119.

178. Цун И. М. Решения и математическое моделирование динамической задачи Стефана для термически тонкого цилиндра // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. - 2008. -№ 2. С. 184-185.

179. Чарный И.А. О продвижении границы изменения агрегатного состояния при охлаждении и нагревании тел // Изв. АН СССР. МТТ. - 1948. № 2. -С. 187-202.

180. Черногорова Т., Андреев Н., Симеонов Г., Балчева Р. Кристаллизация инструментальной стали в многослойной изложнице // Матем. моделирование. - 2001. - № 13:4. - С. 84-94.

181. Ball J.M, James R.D. Fine phase mixtures as minimizers of energy // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1987. No 100. - P. 13-52.

182. Ball J.M, James R.D. Proposed experimental tests of a theory of fine microstructure and the two-well problem // Phil. Trans. R. Soc. A. - 1992 . -No 338.-P. 389-450.

183. Basu Biswajit, Date A.W. // Numerical Modeling and Solidification Problems. A review. Sadhana. - 1988. - V.13.-part 3.-P. 169-213.

184. Cannon J. R., Douglas J., Hill C. D. A multi-boundary Stefan problem and the disappearance of phases // J. Math. Mech. - 1967. - No 17. - P. 21-34.

185. Crank J., Gupta. Isoterm Migration Method in Two Dimensions // Brunei Univ. Tech. Rep. - 1974. - 42 p.

186. Douglas J., Jr.,Frias D., Henderson N., Pereira F. Simulation of single-phase multicomponent flow problems in gas reservoirs by Eulerian-Lagrangian techniques // Transp. Porous Media. - 2003. - No 50(3). - P. 307-342.

187. Ehrlich, L.W. A numerical method of solving a heat flow problem with moving boundary // J. Ass. Comput. Mach. - 1958. - No 5. - P. 161 -176.

188. Hastaoglu M.A. A Numerical Solution to Moving Boundary Problem // Application to Melting and Solidification. Int. J. Heat Mass Transfer. - 1986. -V. 29. - No 3. - P. 495-499.

189. Knowles J. Impact-Induced Tensile Waves in a Rubberlike Material // SIAM J. Appl. Math.-2002.-P. 1153-1175.

190. Lame G., ClapeironB. P. Memoire sur la solidification par refroidissement d'un globe solid //Ann. de Chem. et de Phys. - 1831. - T. 47. - P. 250—256.

191. Lyubimova O. N., Pestov K.N., Gridasova E.A.Numerical solution of problem fusion penetration metal, when glass welds metal by diffusion welding // Proceedings of international summer school «Advanced Problems in Mechanics».-St. Petersburg: IPME - 2010. - P. 419-425.

192. Meyer. G. Initial Value Methods for Boundaiy Value Problems. - New. York: Academic Press, 1973. - 232 p.

193. Stefan J. Uber einige Probleme der Theorie der Warmeleitung // S. B. Wien. Akad. Mat. Natur. - 1889. -B. 98. -P. 473-84.

194. Vuik C., Javierre E., Vermolen F.J., S. van der Zwaag. A comparison of numerical models for one-dimensional Stefan problems // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2006. - № 192. - P. 445-59.