Распространение связанных термоупругих волн в цилиндрических волноводах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Семенов, Денис Анатольевич

• Семенов, Денис Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семенов, Денис Анатольевич

Введение

Глава I. Законы сохранения в гиперболической (GNII) нелинейной термомеханике

1.1. Вводные замечания и основные законы сохранения механики и термодинамики.

1.2. Основные уравнения в пространственном представлении.

1.3. Основные уравнения в отсчетном представлении

1.4. Обратная каноническая форма основных уравнений.

1.5. Определяющие соотношения термомеханики в энергетической и энтропийной формах.

1.6. Линеаризация уравнения связанной гиперболической термоупругости.

1.7. Дифференциальные операторы и пучки связанной системы уравнений гиперболической термоупругости.

1.8. Термоупругая среда Синьорини.

1.9. Интеграл действия GN П-термоупругого тела и различные формы его вариации.

1.10. Уравнения связанного термоупругого поля в форме Эйлера-Лагранжа.

1.11. Условия инвариантности интеграла действия.

1.12. Законы сохранения гиперболической термоупругости.

1.13. Сравнение моделей гиперболической и СТЕ-термоупругости.

Глава II. Связанные СТЕ-термоупругие волны в свободном теплоизолированном цилиндрическом волноводе

II. 1. Вводные замечания и основные уравнения линейной связанной термоупругости типа СТЕ (классическая термоупругость)

11.2. Волновые поверхности связанных полей перемещений и температуры.

11.3. Плоские гармонические связанные СТЕ-термоупругие волны.

11.4. Разделение пространственных переменных в связанных уравнениях классической термоупругости для цилиндрической области.

11.5. СТЕ-термоупругие перемещения, напряжения и температура (модель классической термоупругости)

II.6. Частотное уравнение для осесимметричных связанных термоупругих волн в цилиндрическом волноводе и его численный анализ

II.7. Частотное уравнение в случае произвольных окружных гармоник. Формы перемещений и температуры.

Глава III. Гармонические связанные GN II-термоупругие волны в свободном теплоизолированном цилиндрическом волноводе

111.1. Вводные замечания и основные уравнения линейной связанной термоупругости типа GN II (гиперболическая термоупругость).

111.2. Разделение пространственных переменных в связанных уравнениях для потенциалов перемещений и температуры.

111.3. Вычисление GN П-термоупругих перемещений, напряжений и температуры

111.4. Частотное уравнение для осесимметричных GN П-термоупругих волн в свободном термоупругом волноводе и его численный анализ . 170 II 1.5. Частотное уравнение в случае произвольных азимутальных чисел. Результаты численного анализа: волновые числа и формы термоупругих волн . 180 III.б. Переход к чисто упругим волнам в соотношениях гиперболической термоупругости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распространение связанных термоупругих волн в цилиндрических волноводах»

Теория связанной (сопряженной) термоупругости — сравнительно новая область механики деформируемого твердого тела, обобщающая в единое целое две независимые дисциплины — теорию упругости и теорию теплопроводности. Предметом исследования теории термоупругости является взаимодействие (сопряжение) деформаций и температуры в твердых телах. Систематическое изложение динамической теории связанной (сопряженной) классической термоупругости дано в известной монографии [35].

Любая термодинамическая система характеризуется конечным числом независимых переменных, называемых термодинамическими параметрами. Одним из важнейших таких параметров является температура как мера интенсивности теплового движения. Температура тела может изменяться вследствие теплообмена с окружающей средой и действия источников тепла, а также в результате самого процесса деформирования.

Теория термоупругости получила существенное развитие в связи с важными прикладными проблемами, возникающими при разработке конструкций паровых и газовых турбин, ядерных реакторов, высокоскоростных самолетов, реактивных и ракетных двигателей и др. Элементы этих конструкций работают в условиях неравномерного нестационарного нагрева, при котором изменяются физико-механические свойства материалов и возникают градиенты температуры, сопровождающиеся неодинаковым тепловым расширением частей элементов. Быстрое неравномерное тепловое расширение в общем случае не может происходить свободно; оно неизбежно вызывает тепловые (термические, температурные) динамические напряжения. Знание величины и характера действия тепловых напряжений необходимо для всестороннего анализа динамической прочности конструкции.

Первоначально, исследование процессов теплопроводности в твердых телах никак не связывалось с их напряженно-деформированным состоянием. Соответствующее направление обычно называют аналитической теорией теплопроводности; основные результаты из области аналитической теории теплопроводности содержатся в классических монографиях [13,14,27]. В рамках этой теории были решены важнейшие технические задачи расчета конструкций, работающих в условиях нестационарного теплового режима.

Исследования собственно по классической теории термоупругости (СТЕ) сначала стимулировались задачами о термоупругих напряжениях в элементах конструкций. Они проводились на основе теории, разработанной Дю-гамелем (1838 г.) [78] и Нейманом (1841 г.), которые исходили из предположения, что полная деформация складывается из упругой деформации, связанной с напряжениями обычными соотношениями, и чисто теплового расширения, соответствующего известному из классической теории теплопроводности температурному полю.

В общем случае приходится считать, что изменение температуры тела происходит не только вследствие подвода тепла от внешних источников, но и в результате самого процесса деформирования. При деформировании тела от механических или тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает так называемый эффект связанности (сопряжения), обусловленный взаимодействием полей деформации и температуры. Он проявляется в образовании и движении тепловых потоков внутри тела, возникновении связанных упругих и тепловых волн и т.п.

Последовательное рассмотрение процессов упругого деформирования и теплопроводности в их взаимной связи возможно только на основе строгих термодинамических соображений. Томсон (1855 г.), по-видимому, впервые применил основные законы термодинамики для изучения свойств упругого тела.

Реальный процесс деформирования, неразрывно связанный с необратимым процессом теплопроводности, является в общем случае также необратимым. Термодинамика необратимых процессов позволила корректно поставить задачу о необратимом процессе термоупругого деформирования и дать единую трактовку взаимодействия механических и тепловых процессов в твердых телах.

Применение методов термодинамики к задачам механики было выполнено в работе Био [67] (1956 г.), в которой был дан обоснованный с использованием термодинамики необратимых процессов вывод основных соотношений и уравнений, а также сформулированы вариационные теоремы термоупругости. Необходимо отметить книгу Боли и Уэйнера [5] (1960 г.), в которой с единых теоретических позиций изложены важнейшие характерные черты теории температурных напряжений; приведены различные-постановки и методы решения задач термоупругости; на основе термодинамических законов рассмотрена теория теплообмена; приведены практические аспекты теории, а так же изучены вопросы учета температурных напряжений в неупругих телах (упругопластических и вязкоупругих).

Система дифференциальных уравнений движения и теплопроводности, вытекающая из классических законов сохранения, имеет, как известно, параболический тип [33]. Параболические уравнения допускают возможность мгновенного распространения теплового сигнала, что противоречит современным общим физическим представлениям. На этот парадокс впервые обратил внимание Б.Риман [59], а затем Дж. Максвелл (1867 г.) указал, что можно избежать парадокса, если обобщить закон теплопроводности Фурье, "подправив" его слагаемым учитывающим "инерцию" теплового потока.

Очевидным обобщением закона теплопроводности Фурье является определяющий закон Каттанео—Джеффриса (1948 г.), включающиий в себя вектор теплового потока, вектор скорости теплового потока, градиент температуры и градиент скорости изменения температуры. Более подробное изложение результатов этой работы приведено в известной обзорной статье [891.

Еще одно обобщение закона теплопроводности Фурье было осуществлено М.Е. Гертиным и А.С. Пипкиным [84] (1968 г.), которые предложили учесть предысторию температурных полей в определении теплового потока.

В 1938 г. было экспериментально установлено, что при определенных условиях тепловое возмущение распространяется подобно звуковой волне, в частности, происходит его отражение при падении на твердую стенку. Эти волновые эффекты наблюдались в жидком гелии и получили название "второго звука" (термин принадлежит Л.Д.Ландау). Впервые на это явление обратил внимание В.П. Пешков, обнаружив, что волны "второго звука" могут распространяться в жидком гелии при температуре ниже 2, 2°К. "Второй звук" исчезает при более высоких температурах Соответствующие экспериментальные результаты подробно изложены в работе [41]. Впоследствии В.П. Пешков предсказал, что подобный эффект должен наблюдаться и в кристаллических телах при условии, что рассеяние звуковых квантов на включениях и неоднородностях достаточно мало. Это предположение было подтверждено несколькими годами позже в экспериментах С.С. Ак-кермана (1969 г.) [89]. Таким образом, экспериментально установлено, что волновое распространение теплового сигнала характерно для жидких сред и твердых тел, разумеется, при определенных условиях, обеспечивающих "идеальность" их микроскопической структуры.

Для объяснения механизма "второго звука" были построены различные теории [88]. Для жидкого гелия впервые теоретическое обоснование явления "второго звука" было предложено Дж.В.Тисса (1938 г.) и Л.Д.Ландау (1941 г.) [22]. В указанной работе жидкий гелий рассматривается как смесь "нормальной" жидкости, переносящей энтропию, и "супержидкости", не переносящей энтропию. Тепловые потоки в жидкости объяснялись как "внутренний конвективный механизм", в котором потоки "нормальной" жидкости и "супержидкости" происходят во встречных направлениях без суммарного переноса массы. Уравнения движения "смеси" приводят к волновому уравнению для температуры.

В 1989 г. А.Е. Грин и П.М. Нахди отметили, что если в качестве термодинамической переменной использовать температурное смещение, введенное в еще 1921 г. Ван Данцигом [91], то макроскопические уравнения движения фононного газа могут быть получены в рамках стандартных построений для консервативных систем. Получаемая при этом модель была названа недиссипативной термоупругостью [83]. В настоящее время для этой модели используют сокращение GN II. Одно из основных свойств теории Грина-Нахди состоит в отсутствии термического производства энтропии, что позволяет использовать вариационный принцип Гамильтона и получить законы сохранения из условий инвариантности интеграла действия при преобразованиях координат и полей, соответствующих сдвигам и вращениям материального и физического многообразий [91,110].

С начала 90-х гг., особенно после публикации работ [82,83], быстрыми темпами развиваются более общие математические модели термоупругого поведения твердых тел, основанные на различных модификациях закона теплопроводности Фурье, ставивших своей целью получение связанных гиперболических уравнений термоупругости, которые гарантировали бы конечную скорость распространения теплового сигнала.

Решению динамических задач СТЕ-термоупругости посвящена монография В.Новацкого [35], в которой подробно исследовано распространение во времени гармонических волн, детально рассмотрены цилиндрические, сферические и поверхностные термоупругие волны, даны основные сингулярные решения уравнений термоупругости и описано их использование для решения краевых задач. Рассмотрены основные задачи, связанные с распространением термоупругих апериодических волн. В связи с осложнениями математического характера при выполнении обратного преобразования Лапласа, представлены приближенные решения, полученные по методу возмущений или по методу малых значений времени.

Связанная динамическая задача термоупругости для изотропного полупространства, подвергнутого тепловому удару по свободной от внешней нагрузки его поверхности, впервые изучалась Е.Б.Поповым [43], он показал, что в полупространстве распространяются две волны — тепловая и упругая, исследовал характер этих волн при малых и больших значениях времени, а также скорости их распространения.

Характерной особенностью системы уравнений связанной СТЕ-термоупругости, отличающей ее от классических систем уравнений математической физики, является то, что она состоит из системы уравнений гиперболического типа и одного скалярного параболического уравнения. Результаты, относящиеся к проблеме разрешимости уравнений связанной термоупругости, были получены в работах ряда авторов.

В работе [77] рассмотрена проблема существования решения системы уравнений термоупругости. Задача определяется заданием смешанных однородных граничных условий для перемещений, напряжений, температуры и теплового потока и начальных данных для перемещений, скорости перемещений и температуры. Условия, при которых рассматривается существование единственного решения, следующие: 1) существенные нижние границы для плотности и удельной теплоемкости больше нуля; 2) выполняется неравенство Клаузиуса—Дюгема о положительности скалярного произведения вектора теплового потока на градиент температуры; 3) оператор теории упругости является положительно определенным для принятых граничных условий. Существование единственного обобщенного решения на конечном промежутке времени доказано в пространстве функций с конечной энергией, в котором перемещения суммируемы с квадратом и имеют суммируемые с квадратом первые производные, температура суммируема с квадратом и суммируем интеграл по времени от квадратов производных температуры по координатам. В этой работе также показано, при каких условиях решение существует как классическое, т.е. имеет нужное количество непрерывных производных по координатам и времени.

Полученные результаты используются для исследования проблемы устойчивости решения уравнений термоупругости. Доказано, что при отсутствии тепловых источников и массовых сил, решение при бесконечно большой температуре обладает устойчивостью в следующем смысле: энтропия и градиент температуры стремятся к нулю, температура и перемещения или стремятся к нулю, или отвечают в пределе периодическим колебаниям. Последний случай определяется специальным видом граничных условий, например, для теплоизолированного тела.

В работе [20] методом сингулярных уравнений исследованы четыре основных граничных задачи термоупругости: на границе тела заданы 1) перемещение и температура; 2) напряжения и поток тепла; 3) перемещения и поток тепла; 4) напряжения и температура.

С помощью построенных фундаментальных решений получены сингулярные интегральные уравнения соответствующих задач и для этих уравнений доказаны альтернативы Фредгольма. Для внутренних задач термоупругости определен спектр собственных частот оператора задачи и установлены теоремы единственности. Для внешних задач доказана их разрешимость, когда перемещения, температура и их первые производные имеют заданный порядок убывания на бесконечности.

Для приближенных решений задач связанной термоупругости большое значение имеет вариационная трактовка. Определению вариационных принципов посвящены работы [95,102-104]. В работе [65] для квазистатической задачи сформулирован вариационный принцип, аналогичный принципу Ва-шизу в классической теории упругости, из которого для данного случая следуют все соотношения термоупругости и смешанные граничные условия. Сформулированы некоторые частные вариационные принципы, вытекающие из общего принципа.

Вариационная формулировка проблемы термоупругости проведена в работах [95,96]. В них получены вариационные принципы, аналогичные принципам Ху—Вашизу, Хеллингера—Рейсспера, минимума потенциальной энергии и пр. В работе [96] показано приложение частного вариационного принципа к приближенному решению задачи о нагреве полупространства.

В работах [102-104] развивается метод Био введения обобщенных координат. Путем варьирования по этим координатам вариационное уравнение приводится к системе уравнений Эйлера—Лагранжа. Задача сформулирована для температуры, объемного расширения (дилатации) и вихревой части вектора перемещений. Начальные условия заданы для температуры, перемещений и скоростей перемещений. Граничные условия могут быть заданы различными способами; путем введения дополнительных параметров они удовлетворяются приближенно.

В качестве приближенного метода решения задач термоупругости, являющегося в принципе вариационным, в работе [114] рассмотрен метод подобластей, в котором решение рассматривается как функция, ортогональная в некотором смысле системе функций, определенных в различных подобластях области определения решения.

Распространение чисто упругих волн в бесконечных цилиндрических волноводах изучалось впервые Похгаммером (L. Pochhammer) [98] и Кри (С. Chree) [74], а также несколько позже Релеем (Reyleigh). В книгах [18, 55, 94] заинтересованный читатель может найти основные результаты и указания на литературные источники по этому предмету. Похгаммером в 1876 г. были построены точные решения уравнений динамической теории упругости в форме продольных осесимметричных (по их окружному профилю) гармонических (по времени) волн, распространяющихся вдоль оси свободного цилиндрического волновода. Им было выведено частотное уравнение для этого типа волн, из которого, в принципе, можно было бы получить фазовую скорость гармонических волн любой частоты. Однако частотное уравнение Похгаммера долгое время не поддавалось анализу. В конце концов, удалось получить ряд численных результатов [62]. Частотное уравнение для волн с первой окружной гармоникой (изгибные волны) было получено в трудно обозримой форме и считалось непригодным для практического использования, пока в работе [87] не был выполненен его численный анализ.

Волны в цилиндрическом волноводе с окружными гармониками второго и более высоких порядков, по-видимому, вообще не исследовались. Неизвестно ни одного результата, касающегося частотных уравнений для таких волн. Именно поэтому теория Похгаммера—Кри до сих пор привлекает внимание исследователей.

Апробация работы. Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах:

- Семинар "Современные проблемы математики и механики" под руководством доктора физико-математических наук, проф. Ю.Н. Радаева, г. Самара, Самарский государственный университет, 2004-2009 гг.

- 14-я Зимняя школа по механике сплошных сред, г. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 2005 г.

- IX международная конференция, посвященная 85-летию со дня рождения акад. РАН И.И. Воровича, г. Ростов н/Д., Ростовский государственный университет, 11-15 октября, 2005 г.

- Третья межвузовская научно-техническая конференция, посвященная памяти заслуженного деятеля науки и техники РФ, доктора технических наук, проф. Леонида Ивановича Кудряшева, г. Самара, Самарский государственный университет, 24-25 февраля, 2006 г.

- Международная молодежная научная конференция "XXXII Гагаринские чтения", г. Москва, Институт проблем механики РАН, 4-8 апреля, 2006 г.

- Международная молодежная научная конференция "XXXIII Гагарин-ские чтения", г. Москва, Институт проблем механики РАН, 3-7 апреля, 2007 г.

- Юбилейная школа-семинар "Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики", посвященная 70-летию доктора физико-математических наук, проф. Геннадия Ивановича Быковцева, г. Самара, Самарский государственный университет, 29 января—-2 февраля, 2008 г.

- VIII Международная научно-практическая конференция "Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике", г. Новочеркасск, Южно-Российский государственный технический университет, 25 февраля, 2008 г.

- Международная молодежная научная конференция "XXXIV Гагарин-ские чтения", г. Москва, Институт проблем механики РАН, 1-5 апреля, 2008 г.

- Всероссийская конференция "Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела", г. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 13-15 октября, 2008 г.

- Ежегодные научные конференции преподавателей и молодых ученых Самарского государственного университета, г. Самара, Самарский государственный университет, 2005-2009 гг.

- 16-я Зимняя школа по механике сплошных сред, г. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 24-27 февраля, 2009 г.

- Семинар "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" под руководством доктора физико-математических наук, проф. В.А.Ковалева, г. Москва, Московский городской университет управления Правительства Москвы, 24 марта, 2009 г.

- Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, проф. Д.Д. Ивлева, г. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева, 3 апреля, 2009 г.

15

- Семинар по механике сплошной среды им. J1.A. Галина по руководством проф. В.М. Александрова, В.Н. Кукуджанова, А.В. Манжирова, г. Москва, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, май, 2009 г.

Основное содержание диссертационной работы отражено в следующих публикациях:

1. Лычев, С.А. Динамическая реакция термовязкоупругого цилиндра /

С.А. Лычев, Д.А. Семенов // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая): тез. докл. - Пермь: ИМСС УрО РАН, - 2005. -С. 203.

2. Лычев, С.А. Связанная динамическая задача термовязкоупругости для ограниченного тела / С.А. Лычев, Д.А. Семенов // Современные проблемы механики сплошной среды: труды Девятой Международной конференции. - Ростов н/Д., 2005. - Т. 2. - С. 164-168.

3. Лычев, С.А. Связанная динамическая задача термовязкоупругости /

С.А. Лычев, Д.А. Семенов // Прикладные задачи в машиностроении и экономике: труды Третьей межвузовской научно-практической конференции. - Самара: Изд-во "Самарский университет", 2006. -С. 104-110.

4. Семенов, Д.А. Нестационарные колебания термовязкоупругого тела / Д.А. Семенов // XXXII Гагаринские чтения: тез. докл. Международной молодежной научной конференции. - М.: ИПМ РАН, 2006. -С. 95-96.

5. Семенов, Д.А. Законы сохранения консервативной термоупругости / XXXIII Гагаринские чтения: тез. докл. Международной молодежной научной конференции: в 8 т. - М.: МАТИ, 2007. - Т. 1. - С. 97-98.

6. Семенов, Д.А. Законы сохранения в недиссипативной термомеханике / Д.А. Семенов // Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики: труды конференции, посвященной 70-летию д.ф.-м.н., проф. Г.И. Быковцева. - Самара:

Изд-во "Самарский университет", - 2008. - С. 70-74.

7. Семенов, Д.А. Нестационарная динамическая задача для недиссипативного термоупругого цилиндра / Д.А. Семенов // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: тез. докл. Всероссийской конференции. - Пермь, 2008. - С. 95.

8. Лычев, С.А. Законы сохранения в недиссипативной термомеханике /

С.А. Лычев, Д.А. Семенов // Вестник Самарского гос. университета.

Естественнонаучная серия. 2008. - №2 (61). - С. 183-217.

9. Семенов, Д.А. Законы сохранения классической термоупругости /

Д.А. Семенов // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: материалы VIII Международной научно-практической конференции. - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2008. -С. 15-19.

10. Семенов, Д.А. Недиссипативная теория термоупругости / Д.А. Семенов // XXXIV Гагаринские чтения: тез. докл. Международной молодежной научной конференции. - М.: МАТИ, 2008. - С. 107-108.

11. Радаев, Ю.Н. Гармонические связанные термоупругие волны в свободном теплоизолированном цилиндрическом волноводе / Ю.Н. Радаев, Д.А. Семенов // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - 2008. - №8/2(67). - С. 109-129.

12. Радаев, Ю.Н. Термомеханическая модель непрерывного наращивания термоупругого слоя / Ю.Н. Радаев, Д.А. Семенов // Зимняя школа по механике сплошных сред (шестнадцатая): тез. докл. - Пермь:

УрО РАН, - 2009. - С. 288.

13. Радаев, Ю.Н. Гармонические связанные СТЕ-термоупругие волны в свободном цилиндрическом волноводе / Ю.Н. Радаев, Д.А. Семенов // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - 2009. - №8/1(67). - С. 386-434.

Личный вклад соискателя: работы с соавторами выполнены на паритетных началах.

Цель диссертационной работы состоит в выводе обобщенных соотношений гиперболической термомеханики, исходя из интеграла действия, и решение ряда прикладных задач связанной термоупругости: анализ гармонических волн, распространяющихся вдоль оси свободного теплоизолированного цилиндрического волновода, в рамках классической линейной теории термоупругости (СТЕ) и на основе линейной теории недиссипативной термоупругости Грина—Нахди (GN II, гиперболическая термоупругость), рассматривающей термоупругую деформацию среды как волновой недис-сипативный процесс. Эта цель предполагает решение следующих задач:

Вывод законов сохранения, соответствующих гиперболической термоупругости из условий инвариантности интеграла действия (специализированного для используемой теории).

Линеаризация нелинейных законов сохранения в приближении малых деформаций и при малых изменениях температуры.

Изучение слабых разрывов решений связанных уравнений СТЕ-тер-моупругости и GN Н-термоу пру гости, а также анализ распространения плоских гармонических связанных термоупругих волн в указанных средах.

Построение аналитического решения связанной системы уравнений движения и теплопроводности в рамках классической линейной теории термоупругости (СТЕ) в цилиндрической волноведущей области.

Вывод частотного уравнения и определение форм гармонических термоупругих волн в бесконечном цилиндрическом волноводе в условиях осесимметричного окружного волнового профиля и в случае окружных гармоник сколь угодно высокого порядка (в рамках СТЕ).

Проведение численного анализа зависимости волнового числа от частоты и построения форм гармонических волн перемещений и температуры в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе в случае произвольных окружных гармоник в рамках классической линейной теории термоупругости (СТЕ).

Построение аналитического решения связанных гиперболических уравнений движения и теплопроводности в рамках линейной теории недис-сипативной термоупругости Грина—Нахди (GN II) в цилиндрическом волноводе.

Вывод частотного уравнения и форм гармонических GN П-термо-упругих волн в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе в условиях осесимметричного окружного волнового профиля и волн произвольного азимутального порядка.

Реализация вычислений с целью определения численной зависимости волнового числа от частоты и построения форм гармонических волн в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе при сколь угодно высоком азимутальном порядке волны, в рамках линейной гиперболической термоупругости.

Актуальность темы заключается в следующем. В связи с созданием мощных излучателей повысился интерес к проблемам взаимодействия интенсивных тепловых потоков с твердыми телами. Актуальным является изучение взаимной зависимости напряженно-деформированного состояния от источников тепла, и обратно, т.е. изменение температурных полей, в результате деформаций. В различных процессах обработки материалов концентрированными потоками энергии используется тепловое действие плазменного потока, лазерного или электронного луча. Создаются условия скачкообразного изменения температуры поверхности твердого тела или граничащей с ней среды (так называемый тепловой удар), что приводит к появлению в телах мощной волны термических напряжений, достаточной для образования трещин. Возникает актуальная проблема оценки роли температурных полей и термоупругих волн в механизме теплового динамического разрушения твердых тел.

Особый интерес представляют исследования, связанные с развитием гиперболической теории термоупругости, доказывающие, что при определенных условиях тепло может распространяться как волна "второго звука". Эксперимент, проведенный на цилиндрических образцах из твердого гелия при температуре, близкой к абсолютному нулю, подтверждает то, что с понижением температуры скорость тепловой волны приближается к скорости обычного звука. Экспериментально было зафиксировано отражение тепловой волны от противоположного конца цилиндра, что доказывает волновую природу распространения тепла. Указанные факты отражают огромную познавательную ценность модели гиперболической термоупругости.

Научная новизна диссертационной работы заключена в следующем:

Исходя из интеграла действия, построена континуальная модель теории гиперболической термоупругости.

Проведена линеаризация точных уравнений движения и гиперболического уравнения теплопроводности в окрестности известного напряженно-деформированного состояния.

Получены операторные формы записи соотншений термоупругости и пары взаимно сопряженных операторных пучков, определяющих системы собственных и присоединенных функций.

20

Из условий инвариантности интеграла действия выведены законы сохранения, обобщающие классические законы сохранения, постулируемые в интегральной форме.

С помощью условий совместности Адамара-—Томаса изучены слабые разрывы в СТЕ- и GN II-термоупругих средах.

В рамках классической линейной теории термоупругости и GN П-тер-моупругости с помощью связанных уравнений движения и теплопроводности проведен анализ гармонических волн, распространяющихся вдоль оси свободного теплоизолированного (в том смысле, что боковая стенка волновода непроницаема для тепла) цилиндрического волновода.

С помощью системы символьных вычислений Mathematica 6.0 реализован численный анализ частотного уравнения и форм гармонических волн в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе в случае окружных гармоник произвольного, сколь угодно высокого порядка (для СТЕ)- и GN Н-^гермоупругих сред). Построены профили форм перемещений и температуры в связанных СТЕ)- и GN II-термоупругих волнах.

Достоверность полученных результатов обусловлена строгостью формулировок краевых задач, использованием фундаментальных принципов механики и термодинамики, а также сравнением с известными из литературы результатами.

Практическая ценность: Результаты работы описывают процессы связанные с резкими изменениями температуры на поверхности твердых тел (тепловой удар), что приводит к механизму теплового разрушения твердых тел. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании термомеханических процессов, протекающих при температурах, близких в абсолютному нулю, что в свою очередь позволяет вести речь об использовании термоупругих моделей, допускающих явление "второго звука", при описании природных процессов (таких как криовулканическая активность при температурах порядка 60-70 К), протекающих как показали наблюдения на удаленных от Солнца спутниках Юпитера, Сатурна и Нептуна.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка.

В главе I изложены основные положения обобщенной нелинейной гиперболической термомеханики. Целью главы является получение линеаризованных законов сохранения, выведенных с помощью вариационного принципа Гамильтона в приближении малых деформаций и малых колебаний температуры, а также вывод условий инвариантности интеграла действия. Основное содержание этой главы следует работам [29-31,50,51,53,54].

Разделы 1.1—1.5 носят вспомогательный характер, их суть заключается в получении основных соотношений термомеханики в пространственном, отсчетном и каноническом описаниях [48,112]. Анализ связанной системы уравнений движения и теплопроводности в рамках: классической линейной теории термоупругости (СТЕ) проводится во II главе диссертации.

Наиболее естественной для соотношений, вытекающих из условий инвариантности интеграла действия, является обратная каноническая форма уравнений, введенная в механику сплошной среды Дж. Эшелби. Обратному каноническому формализму термомеханики посвящен ряд работ Ж.А. Ма-женна (G.A. Maugin), в частности [109]. Явная форма уравнений баланса в каноническом описании, в отличие от пространственного и отсчетного описаний, определяется выбором независимых термодинамических переменных.

Дальнейшее построение теории требует дополнительных соотношений, устанавливающих связи между термодинамическими потоками и термодинамическими силами. Для этого выбран некоторый набор независимых термодинамических переменных (образующих термодинамический базис), причем выбор того или иного базиса определяет различные окончательные формулировки уравнений.

Теория гиперболической термоупругости отличается от классической связанной термоупругости специальным выбором независимых термодинамических переменных, в число которых, вместо традиционно используемого со времен Фурье градиента температуры, входит градиент первообразной температуры — температурного смещения.

Одной из отличительных черт гиперболической термоупругости является то, что все основные термомеханические величины, как и в классической гиперупругости, определяются единственным потенциалом — свободной энергией. Доказано, что различные варианты выбора термодинамического базиса при условиях, что стандартный термодинамический базис расширяется посредством одной скалярной переменной состояния и внутреннее производство энтропии при любых термодинамически допустимых процессах обращается в нуль, приводят к моделям, которые эквивалентны модели GN II.

Далее в разделе 1.6 проводится линеаризация уравнений движения и гиперболического уравнения теплопроводности в окрестности заданного напряженно-деформированного состояния. Процедура линеаризации уравнений классической термоупругости с учетом начальных напряжений изложена в работах [80,90], а уравнений теории GN II —в работе [115]. Излагаемые построения в некотором смысле обобщают результаты [115] и позволяют сформулировать линейные уравнения и наиболее общие краевые условия в специальном виде, предназначенном для построения взаимно-сопряженных пучков линейных дифференциальных операторов.

В этом же разделе получена линеаризованная система уравнений движения и теплопроводности для гиперболической термоупругости. Если осуществлять линеаризацию в окрестности естественного начального состояния (в отсутствие начальных напряжений и потоков энтропии), то линейные уравнения, соответствующие отсчетному описанию, совпадают с линейными уравнениями, соответствующими пространственному описанию.

Полученные в 1.6 линейные уравнения при указании соответствующих краевых и начальных условий определяют начально-краевые задачи, решение которых может быть найдено в форме спектральных разложений по системам собственных и присоединенных функций пучков дифференциальных операторов, порождаемых исследуемыми краевыми задачами. В 1.7 получен пучок дифференциальных операторов, порождаемых системой линейных уравнений термоупругости, а также получено выражение для сопряженного операторного пучка.

В разделе 1.8 проводится конкретизация общих уравнений термоупругости для потенциала Синьорини.

Далее, в разделе 1.9, осуществляется варьирование интеграла действия термоупругой среды и выведены две специальных формы для его вариации. Первая форма удобна при варьировании физических полей, соответствующих классическим полям механики сплошных сред. Вторая форма содержит полные вариации координат и полей, а также их градиенты и оказывается удобной для получения законов сохранения, соответствующих заданной группе преобразований.

Согласно теореме Нетер [36], если интеграл действия является инфи-нитезимальным инвариантом некоторой непрерывной группы преобразований (группы Ли, [36]), то существует закон сохранения соответствующей полевой величины. Для формулировки законов сохранения достаточно указать группы инвариантности интеграла действия.

В разделе 1.10 рассматриваются первая форма вариации интеграла действия, полученная ранее, в разделе 1.9. При варьировании физических полей получаются уравнения Эйлера— Лагранжа (связанного термоупругого поля).

В разделе 1.11 используется вторая форма вариации из 1.9. Рассмотрены условия инвариантности интеграла действия при сдвигах материальных координат, сдвигах времени, преобразование, соответствующее вращению касательного пространства материального многообразия, а также приведена группа сдвигов, связанная с пространством мест, и рассмотрены преобразования пространства мест, соответствующие вращениям. Еще одна группа преобразований связана с полем температурных смещений.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Семенов, Денис Анатольевич

Заключение

1. Исходя из интеграла действия, построена континуальная модель теории гиперболической термоупругости.

2. Доказано, что различные варианты выбора термодинамического базиса при условиях, что стандартный базис расширяется посредством одной скалярной переменной состояния и внутреннее производство энтропии при любых термодинамически допустимых процессах обращается в нуль, приводят к моделям, которые эквивалентны модели GN II.

3. Выполнен переход от точных уравнений гиперболической термоупругости к их линеаризованным формам в окрестности заданного напряженно-деформированного состояния. На их основе дана корректная формулировка начально-краевых задач, в специальном виде, предназначенном для построения взаимно сопряженных пучков линейных дифференциальных операторов. Получены выражения для пар взаимно сопряженных операторных пучков, определяющих системы собственных и присоединенных функций.

4. Из условий инвариантности интеграла действия выведены законы сохранения для недиссипативной термоупругой среды типа GN II.

5. Дан полный анализ распространения плоских гармонических СТЕ-и GN II-термоупругих волн; найдены их волновые числа.

6. С помощью условий совместности Адамара—Томаса изучены слабые разрывы в СТЕ- и GN II-^гермоупругих средах. Получены соотношения, связывающие скачки производных второго порядка от перемещений и температуры при переходе через волновую поверхность.

7. В среде GN II имеется ровно две возможных скорости распространения слабых разрывов температурного смещения. Слабый разрыв температурного смещения вегда сопровождается слабым разрывом перемещений. Ни на какой волновой поверхности невозможен слабый разрыв, не сопровождающийся слабым разрывом перемещений.

8. В рамках классической линейной теории термоупругости и GN П-тер-моупругости с помощью связанных уравнений движения и теплопроводности проведен анализ гармонических волн, распространяющихся вдоль оси свободного теплоизолированного цилиндрического волновода.

9. Для классической линейной термоупругости и гиперболической термоупругости, исследовано частотное уравнение и формы гармонических волн в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе в условиях осесимметричного окружного волнового профиля. С помощью системы символьных вычислений Mathematica 6.0 численно определена зависимость волнового числа от частоты. Построены профили форм перемещений и температуры в связанной термоупругой волне.

10. Проведен анализ частотного уравнения и форм гармонических волн в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе для существенно более сложного случая окружных гармоник произвольного, сколь угодно высокого порядка (для СТЕ и GN Н-термоупругих сред). С помощью системы символьных вычислений Mathematica 6.0 численно определена зависимость волнового числа от частоты. Построены профили форм перемещений и температуры в связанной термоупругой волне.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семенов, Денис Анатольевич, 2009 год

1. Бердичевский, B.J1. Вариационные принципы механики сплошной среды / B.JI. Бердичевский. - М.: Наука, 1983. - 448 с.

2. Био, М. Вариационные принципы в теории теплообмена / М. Био. -М.: Энергия, 1975. 209 с.

3. Бленд, Д. Нелинейная динамическая теория упругости / Д. Бленд. -М.: Мир, 1972. 184 с.

4. Блох, В.И. Теория упругости / В.И. Блох. Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1964. - 484 с.

5. Боли, Б., Теория температурных напряжений / Б. Боли, Дж. Уэй-нер. М.: Мир, 1964. - 518 с.

6. Бреховских, JI.M. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн) / JI.M. Бреховских, В.В. Гончаров. М.: Наука, 1982. - 336 с.

7. Гельфанд, И.М. Вариационное исчисление / И.М. Гельфанд, С.В. Фомин. М.: Физматгиз, 1961. 228 с.

8. Грин, А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А. Грин, Дж. Адкинс. М.: Мир, 1965. - 456 с.

9. Гринченко, В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко. Киев: Изд-во Наукова думка, 1981. - 284 с.

10. Дейвис, P.M. Волны напряжений в твердых телах / P.M. Дейвис. -М.: Изд-во иностр. литературы, 1961. 104 с.199

11. Ерофеев, В.И. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность / В.И. Ерофеев, В.В. Кажаев, Н.П. Семерикова. М.: Мир, 2002. - 208 с.

12. Зоммерфельд, А.А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики / А.А. Зоммерфельд. М.: Изд-во иностр. литературы, 1950. - 456 с.

13. Карслоу, Х.С. Теория теплопроводности / Х.С. Карслоу. М., JL: Гостехтеоретиздат, 1947. - 288 с.

14. Карслоу, Х.С. Теплопроводность твердых тел / Х.С. Карслоу, Д. Егер. М.: Наука, 1964. - 488 с.

15. Коваленко, А.Д. Введение в термоупругость / А.Д. Коваленко. Киев: Изд-во Наукова думка,, 1965. - 204 с.

16. Коваленко, А.Д. Основы термоупругости / А.Д. Коваленко. Киев: Изд-во Наукова думка, 1970. - 309 с.

17. Коваленко, А.Д. Термоупругость / А.Д. Коваленко. Киев: Издательское объединение Вища школа, 1975. - 216 с.

18. Кольский, Г. Волны напряжения в твердых телах / Г. Кольский. -М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. 192 с.

19. Кошляков, Н.С. Уравнения в частных производных математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М.: Высш. школа, 1970. - 712 с.

20. Купрадзе, В.Д. Граничные задачи термоупругости / В.Д. Купрадзе, Т.В. Бурчуладзе. Дифф. уравнения, 1969. - Т. 5. - № 1.

21. Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. М.: Издательство иностр. литературы, 1964. - 830 с.

22. Ландау, Л.Д. Теория сверхтекучести гелия-Н / Л.Д. Ландау Успехи физических наук, 1967. - №11. - С. 495-520.

23. Левин, В.И. Дифференциальные уравнения математической физики / В.И. Левин, Ю.И. Гросберг. М., Л.: Гостехтеоретиздат, 1951. -576 с.

24. Лурье, А.И. Пространственные задачи теории упругости / А.И. Лурье. М.: Гостехтеоретиздат, 1955. - 492 с.

25. Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. М.: Наука, 1970. -940 с.

26. Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. М.: Наука, 1980. - 512 с.I

27. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. М.: Гостехтеоретиздат, 1952. - 392 с.

28. Лычев, С.А. Динамическая реакция термовязкоупругого цилиндра / С.А. Лычев, Д.А. Семенов // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая): тез. докл. Пермь: ИМСС УрО РАН, - 2005. -С. 203.

29. Лычев, С.А. Связанная динамическая задача термовязкоупругости для ограниченного тела / С.А. Лычев, Д.А. Семенов // Современные проблемы механики сплошной среды: труды Девятой Международной конференции. Ростов н/Д., 2005. - Т. 2. - С. 164-168.

30. Лычев, С.А. Законы сохранения в недиссипативной термомеханике / С.А. Лычев, Д.А. Семенов // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2008. №2 (61). - С. 183-217.

31. Лычев, С.А., Связанная динамическая задача для конечного цилиндра / С.А. Лычев. // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2003. №4(30). - С. 112-124.

32. Новацкий В. Теория упругости / В. Новацкий. М.: Мир, 1975. 872 с.

33. Новацкий, В. Вопросы термоупругости / В. Новацкий. М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 364 с.

34. Новацкий, В. Динамические задачи термоупругости / В. Новацкий. -М.: Мир, 1970. 256 с.

35. Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. М.: Мир, 1989. - 640 с.

36. Папкович, П.Ф. Теория упругости / П.Ф. Папкович. — М.; Л.: Обо-ронгиз, 1939. 640 с.

37. Паркус, Г. Неустановившиеся температурные напряжения / Г. Пар-кус. М.: Физматгиз, 1963. - 252 с.

38. Подстригач, Я.С. Обобщенная термомеханика / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно. Киев: Издательство Наукова думка, 1976. - 311 с.

39. Положий, Г.Н. Уравнения математической физики / Г.Н. Положий. -М.: Высш. школа, 1964. 560 с.202

40. Питаевский, JI.П. Второй звук в твердом теле / Л.П. Питаевский // Успехи физических наук, 1968. Т. 95. - Вып. 1. - С. 139-144.

41. Пешков, В.П. Об измерении сверхнизких температур / В.П. Пешков // Успехи физических наук, 1972. Т. 108. - Вып. 3. - С. 549-556.

42. Радаев, Ю.Н. Термомеханическая' модель непрерывного наращивания термоупругого слоя / Ю.Н. Радаев, Д.А. Семенов // Зимняя школа по механике сплошных сред (шестнадцатая): тез. докл. Пермь: УрО РАН, - 2009. - С. 288.

43. Радаев, Ю.Н. Гармонические связанные СТЕ-термоупругие волны в свободном цилиндрическом волноводе / Ю.Н. Радаев, Д.А. Семенов // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2008. - №8/1(67). - С. 411-459.

44. Радаев, Ю.Н. Гармонические связанные термоупругие волны в свободном теплоизолированном цилиндрическом волноводе / Ю.Н. Радаев, Д.А. Семенов // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2008. - №8/2(67). - С. 109-129.

45. Седов, Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. / Л.И. Седов. С.-Пб.: Лань, 2004. - 1088 с.

46. Семенов, Д.А. Нестационарная динамическая задача для недиссипа-тивного термоупругого цилиндра / Д.А. Семенов // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: тез. докл. Всероссийской конференции. Пермь, 2008. - С. 95.

47. Семенов, Д.А. Законы сохранения классической термоупругости / Д.А. Семенов // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: материалы VIII Международной научно-практической конференции. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2008. -С. 15-19.

48. Семенов, Д.А. Недиссипативная теория термоупругости / ДА. Семенов // XXXIV Гагаринские чтения: тез. докл. Международной молодежной научной конференции. М.: МАТИ, 2008. - С. 107-108.

49. Снеддон, И.Н. Классическая теория упругости / И.Н. Снеддон, Д.С. Берри. М.: Физматлит, 1961. - 220 с.

50. Томас, Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах / Т. Томас. М.: Мир, 1964. - 308 с.

51. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике /

52. C.Г. Михлин. М.: Гостехтеоретиздат, 1957. - 476 с.

53. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис. М.: Мир, 1985. - 590 с.

54. Шашков, А.Г. Волновые явления теплопроводности: Системно-структурный подход / А.Г. Шашков, В.А. Бубнов, С.Ю. Яновский. М: Едиториал УРСС, 2004. - 296 с.

55. Ackerman, С.С. Second sound in solid helium / С.С. Ackerman, В. Bertman, H.A. Fairbank, R.A. Guyer // Physical Review Letters. -1966. V. 16. - No. 18. - P. 789-791.

56. Atkin, R.J. A continuum approach to the second-sound effect / R.J. Atkin, N. Fox, M.W. Vasey. // Journal of Elasticity. 1975. - V.5. -P. 237-248.

57. Bancroft, D. The velocity of longitudinal waves in cylindrical bars /

58. D. Bancroft // Phys. Rev. 1941. - V. 59. - P. 588-593.

59. Bargmann, S. Theoretical and computational aspects of non-classical thermoelasticity / S. Bargmann, P. Steinmann // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2006. - V. 196. - P. 516-527.

60. Bargmann, S. Classical results for a non-classical theory: remarks on thermodynamic relations in Green-Naghdi thermo-hyperelasticity /

61. S. Bargmann, P. Steinmann // Continuum Mech. Thermodyn. 2007. -V. 19. - P. 59-66.

62. Ben-Amoz, M. On a variational theorem in coupled thermoelasticity / M. Ben-Amoz // Trans. ASME. 1965. - V. E32. - No. 4. - P. 243-245.

63. Biot, M.A. Variational principles in irreversible thermodynamics with application to viscoelasticaty / M.A. Biot // Phys. Rev. 1955. - V. 97 -P. 1463-1469.

64. Biot, M.A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics / M.A. Biot // J. Appl. Phys. 1956. - V. 27 - P. 240-253.

65. Chadwick, P. Plane Waves in an Elastic Solid Conducting Heat / P. Chadwick, I.N.Sneddon // J. Mech. Phys. Sol. V. 6. - P. 223-230.

66. Chen, J.K. Ultrafast thermoelasticity for short-pulse laser heating / J.K. Chen, J.E. Beraun, C.L.Tham // Int. J. of Eng. Sci. 2004. -V. 42. - P. 793-807.

67. Chandrasekharaian, D.S. Thermoelastisity whith Second Sound / D.S. Chandrasekharaian //A Review. Appl. Mech. Rev. 1986. - V. 39. -No. 3. - P. 355-376.

68. Chandrasekharaian, D.S. A Note on the Uniquenass of Solution in the Linear Theory of Thermoelasticity without Energy Dissipation / D.S. Chandrasekharaian // Journal of Elasticity. 1996. - V. 43. -P. 279-283.i

69. Chandrasekharaian, D.S. Thermoelastic Interactions without Energy Dissipation Due to a Point Heat Source / D.S. Chandrasekharaian, K.S. Srinath // Journal of Elasticity. 1998. - V. 50. - P. 97-108.206

70. Chien, N. Dissipative Systems, Conservation Laws and Symmetries / N. Chien, T. Honein, G. Herrmann // Int. J. Solids Structures 1996. -V. 33. - No. 20. - P. 2959-2968.

71. Chree, C. The equations of an isotropic elastic solid in polar and cylindrical coordinates: Their solution and application / C. Chree // Trans. Cambridge Philos. Soc. 1889. - V. 14. - P. 250-369.

72. Christov, C.I. Heat Conduction Paradox Involving Second-Sound Propagation in Moving Media / C.I. Christov // Physical Review Letters. 2005. - PRL. 94. - P. 154301-1-154301-4.

73. Dascalu, C. The Thermoelastic Material-momentum Equation / C. Dascalu, G.A. Maugin Journal of Elasticity, 1995. - V. 39; -P. 201-212.

74. Dafermos, C.M. Existence and asimptotic stability of solutions of the equations of linear thermoelasticity / C.M. Dafermos // Arch. Ration. Mech. and Analysis, 1968. V. 29. - №4 - P. 241-271.

75. Duhamel, J.M. Second memoire sur les phenomenes thermomecaniques / J.M. Duhamel // J. de l'Ecole Polytechnique, 1837. V. 15.

76. Eringen, A.C. Thermoelasticity (Chapter 8) / A.C. Eringen // Mechanics of Continua, Wiley, New York, 1967. P. 286-317.

77. Green, A.E. Thermoelastic stresses in initially stressed bodies / A.E. Green // Proc. Roy. Soc. Ser. A 1962. - V. 266. - P. 1-19.

78. Green, A.E. Thermoelasticity / Green, A.E. Journal of Elasticity, 1972. - V. 2. - No. 1 - P. 1-7.

79. Green, A.E. On undamped heat waves in an elastic solid / A.E. Green, P.M. Naghdi // J. Therm. Stress. 1992. - V. 15. - P. 253-264.

80. Green, A.E. Thermoelasticity without energy dissipation / A.E. Green, P.M. Naghdi // Journal of Elasticity, 1993. V. 61. - P. 189-208.

81. Gurtin, M.E. A General Theory of Heat Conduction with Finite Wave Speeds / M.E. Gurtin, A.C. Pipkin // Geom., Cont. and Micros., II. 2000. V.58. - No. 2. - P. 171-180.

82. Gurtin, M.E. An Axiomatic Foundation for Continuum Thermodynamics / M.E. Gurtin, W.O. Williams //Arch, for Rational Mech. and Anal. V. 26. - No. 2. - 1967. - P. 83-117.

83. Haddow, J.B. Plane Harmonic Waves for Three Thermoelastic Theories / J.B. Haddow, J.L. Wegner // Math. Mech. Solids. 1996.- V. 1. -P. 111-127.

84. Hudson, G.E. Dispersion of elastic waves in solid circular cylinders / G.E. Hudson //Phys. Rev. 1943. - V. 63. - P. 46-51.

85. Hetnarski, R.B. Nonclassical dynamical thermoelasticity / R.B. Hetnarski, J. Ignaczak // Int. J. of Solids and Structures. -2000. V. 37. - P. 215-224.

86. Joseph, D.D. Heat waves / D.D. Joseph, L. Preziosi. // Mod. Phys., 1989. V. 61. - No. 1. - P. 41-73.

87. Iesan, D. Incremental equations in thermoelasticity / D. Iesan // J. Thermal Stresses. 1980. - V. 3. - P. 41-56.

88. Kalpakides, V.K. Canonical Formulation and Conservation Laws of Thermoelasticity without Dissipation / V.K. Kalpakides, G.A. Maugin // Reports in Mathematical Physics. 2004. - V. 53. - P. 371-391.

89. Lessen, M. The Motion of a Thermoelastic Solid / M. Lessen // Quart. Appl. Math. 1957. - V. 15. - P. 105-108.208

90. Lockett, F.J. Effect of Thermal Properties of f Solid on the Velocity of Rayleigh Waves / F.J. Lockett //J. Mech. Phys. Sol. 1958. - V. 7. -P. 71-75.

91. Love, A.E.H. A treatise on the mathematical theory of elasticity / A.E.H. Love. NY.: Dover Publications, 1944. - 644 pp.

92. Nickell, R.E. Variational principles for linear coupled thermoelasticity / R.E. Nickell J.L. Sackman // Quart. Appl. Math. 1968. - V. 26. -No. 1. - P. 11-26.

93. Nickell, R.E. Approximate solutions in linear coupled thermoelasticity / R.E. Nickell J.L. Sackman // Trans. ASME. 1968. - V. E35. - No. 2. -P. 255-266.

94. Pabst, W. The Linear Theory of Thermoelasticity from the Viewpoint of Rational Thermomechanics / W. Pabst // Ceramics-Silikaty 2005. -V. 49 (4). - P. 242-251.

95. Pochhammer, L. Uber Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiszylinder / L. Pochhammer //J. reine angew. Math. 1876. - V. 81. - P. 324-336.

96. Puri, P. On the propagation of plane waves in type-Ill thermoelastic media / P. Puri, P.M. Jordan // Proc. R. Soc. Lond. A. 2004. - V. 460. -P. 3203-3221.

97. Radayev, Yu.N. Thermodynamical Model of Anisotropic Damage Growth Part II. Canonical Damage Growth Rate Equations and Theory of Damage Invariants / Yu.N. Radayev //J. Non-Equilib. Thermodyn. -1996. V. 21. - No. 3. - P. 197-222.

98. Rafalski, P. Lagrangian formulation of dynamic thermoelastic problem / P. Rafalski // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. tech. 1968. - V. 16. -No. 1. - P. 25-30.

99. Rafalski, P. The lagrangian formulation of the dynamic thermoelastic problem for mixed boundary conditions / P. Rafalski // Proc. Vibrat. Probl. Polish. Acad. Sci. 1968. - V. 9. - No. 1. - P. 17-35.

100. Rafalski, P. A variational principle for the coupled thermoelastic problem / P. Rafalski // Internat. J. Engng. Sci. 1968. - V. 6. - №8. -P. 465-471.

101. Sabatini, L. Acceleration Waves in Thermoelastic Beams / L. Sabatini, G. Augusti // Meccanica. 2000. - V. 35. - P. 519-546.

102. Sneddon, I.N. The Classical Theory of Elasticity / I.N. Sneddon, D.S. Berry // Encyclopedia Phys. 1958. - V. 6.

103. Swantje, B. Classical Results for a Non-Classical Theory: Remarks on Thermodynamic Relations in Green-Naghdi Thermo-Hyperelasticity /

104. В. Swantje, P. Steinmann // Continuum Mech. Thermodyn. 2007. -V. 19. - P. 59-66.

105. Maugin, G.A. On canonical equations of continuum thermomechanics / G.A. Maugin // Mechanics Research Communications. 2006. - V. 33. -P. 705-710.

106. Maugin, G.A. Towards an analytical mechanics of dissipative materials / Maugin, G.A. Geom., Cont. and Micros., II. 2000. - V. 58. - No. 2. -P. 171-180.

107. Maugin, G.A. Material inhomogeneities in elasticity / G.A. Maugin // Chapman and Hall, London, 1993. 276 pp.

108. Truesdell C. Toupin R.A. The classical field theories / C.Truesdell, R.A. Toupin // Handbuch der Physik. Band III/l - 1960. - P. 226-858.

109. Truesdell, C. The Classical Field Theories / C. Truesdell, R.A. Toupin / Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Encyclopedia of Physics. - V. III/l. Ed. S. Flugge. - Berlin: Springer, 1960. - P. 226-793.

110. Thrun, Z. The method of subregions in coupled thermoelasticity / Z. Thrun // Ingr-Arch. 1958. - V. 37 - No. 6. - P. 369-373.

111. Wang, J. Thermoelasticity without energy dissipation for initially stressed bodies / J. Wang, S.P. Slattery // IJMMS. 2002. - No. 31/6 -P. 321-327.