Течение вязкой жидкости вокруг осциллирующего цилиндра: численный эксперимент, бифуркационный и асимптотический анализ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Нуриев, Артем Наилевич

• Нуриев, Артем Наилевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Нуриев, Артем Наилевич

Содержание

Введение

Глава 1. Численный и бифуркационный анализ задачи о течении жидкости в квадратной каверне

1.1. Введение

1.2. Постановка и дискретизация задачи

1.3. Линеаризация системы и итерационный алгоритм решения

1.4. Основная ветвь решения

1.5. Построение дополнительных ветвей решения

1.6. Задача продолжения

1.7. Задача локализации

1.8. Исследование бифуркаций

1.9. Бифуркационная диаграмма и анализ решений

1.10. Выводы

Глава 2. Асимптотический анализ задачи о течении жидкости вокруг осциллирующего цилиндра

2.1. Введение

2.2. Постановка задачи

2.3. Асимптотические представления

2.4. Сращивание асимптотических разложений

2.5. Исследование вторичного стационарного течения

2.6. Анализ результатов

2.7. Выводы

Глава 3. Численный эксперимент по обтеканию вязкой жидкостью осциллирующего цилиндра

3.1. Введение

3.2. Постановка задачи

3.3. Численная схема

3.4. Моделирование возмущенного потока

3.5. Результаты двухмерного моделирования

3.6. Трехмерные течения

3.7. Вторичные стационарные течения

3.8. Определение гидродинамических сил действующих на цилиндр

3.9. Выводы

Заключение

Список рисунков

Список таблиц

Литература

Приложение А. Формула для определения силы

Приложение Б. Вычисление пятого члена разложения гидродинамической силы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Течение вязкой жидкости вокруг осциллирующего цилиндра: численный эксперимент, бифуркационный и асимптотический анализ»

Введение

Задача об обтекании вязкой несжимаемой жидкостью круглого цилиндра, совершающего гармонические колебания, является предметом исследования классической гидромеханики начиная еще с работы Стокса [1] 1851 года, но до сих пор сохраняет теоретическую и практическую актуальность. Морское и гражданское строительство, авиационно-космическое проектирование, робототехника - это лишь некоторые из областей, в которых задача имеет практическое приложение [2-11]. С теоретической точки зрения большой интерес представляет изучение сложных физических механизмов вихреобразования, структурных особенностей течения, анализ интегральных характеристик (например гидродинамических сил, действующих на цилиндр), исследование вопросов устойчивости и бифуркаций решения. Еще один важный фактор, который привлекает современных исследователей к задаче - это обширная база экспериментальных результатов (например [12-21] и др.), которая накопилась за несколько последних десятилетий. Она дает широкие возможности для верификации моделей и одновременно служит хорошей отправной точкой для разностороннего изучения задачи.

Структура течения вокруг осциллирующего цилиндра зависит от двух управляющих параметров, в качестве которых часто используются число Стокса /3 [13], характеризующее квадрат отношения диаметра цилиндра к толщине нестационарного пограничного слоя, и число Келигана-Карпентера КС [22], характеризующее отношение амплитуды колебаний к диаметру цилиндра, либо число Рейнольдса Re, построенное по диаметру цилиндра. Эти параметры определяются следующим образом:

тггл UmaxT UmaxD D^ = D ' = v ' = vT'

Здесь Umax ~ амплитуда скорости колебаний, Т - период колебаний, D - диаметр цилиндра, и - кинематическая вязкость жидкости. Управляющие параметры свя-

заны между собой соотношением

р КС

Основные направления исследования задачи можно условно разделить на экспериментальные, численные и аналитические. Аналитическое направление берет свое начало с работы Стокса [1]. Эта работа 1851 года содержит, наверное, наиболее ранние исследования свойств течения вязкой жидкости вокруг осциллирующего цилиндра, хотя во многом связана с исследованиями течения вокруг сферического маятника Бесселя 1828 года (представившим концепцию присоединенной массы), экспериментальными исследованиями Бейли [23] 1832 года, работами Пуассона [24] 1831 года и др. Стоксом было впервые показано, что гидродинамическая сила действующая на цилиндр зависит от двух управляющих параметров задачи. Для случая бесконечно большого ß им была получена формула для силы гидродинамического сопротивления F. В форме Морисона (MOJS - Morison, O'Brien, Johnson and Schaaf) [25] формула Стокса, с использованием известной аппроксимации cos¿| cos ¿| « 8/37Г cos t (см. [16]), может быть представлена в виде:

F = -KpR2Cm~+ pRCdluooluoo,

Cm = 2 + 4(/?7T)-5 + 0(£7r)-i, (1)

Cä = ((/fcr)-i + (ßn)~l - 0(ßтг)-§) ,

где Ст, C¿ - коэффициенты инерциальной и вязкой составляющих сил соответственно.

Следующие значимые аналитические исследования задачи проводились Шлихтингом в работе [26] (см. также [27]). Шлихтингом был выполнен асимптотический анализ течения, основанный на разложении по малому параметру КС, характеризующему отношение амплитуды колебаний А, к радиусу цилиндра R. Решение было представлено в виде композиции внутреннего разложения, которое строилось в области стоксовского нестационарного пограничного

слоя, и внешнего разложения. Данный подход позволил существенно расширить представления о структуре течения вокруг осциллирующего цилиндра. Во втором приближении Шлихтингом был получен непериодический член, который описывал вторичные стационарные течения («steady streaming»), возникающие вокруг цилиндра под действием трения в пограничном слое.

Ванг [28], развивая метод внешнего и внутреннего разложений, предложенный Шлихтингом [26], получил оценку гидродинамической силы, действующей на цилиндр, для случая ¡3 1, КС <С 1, КС-Re С 1. Формула Ванга определила дополнительные слагаемые в формуле (1):

Cd =

Ст = 2 + (ßTT)-l,

Зтг3

(wJ + Gött)-1-^)-!).

2KC

Аналитические исследования задачи для случая KC-Re > 1, ß » 1 проводились в работах Стюарта [29] и Райли [30]. В этом диапазоне параметров течение значительно усложняется. Помимо стоксовского нестационарного пограничного слоя, появляется второй стационарный пограничный слой во внешнем вторичном стационарном течении. При этом внешнее стационарное вторичное течение описывается полной системой уравнений Навье-Стокса, где роль безразмерного параметра играет стационарное число Рейнольдса Res, построенное по характерной скорости вторичного течения,

р КС2/?

Res = —-—.

2тг

В связи с этим дальнейшее исследование течения в практически интересном случае Res > 1 в рамках аналитической модели стало возможным только при совместном решении аналитической и численной задач. Численные исследования базового симметричного режима обтекания цилиндра для Res < 90 проводились в работах [31-33]. Отметим, что оценка гидродинамической силы, действующей на цилиндр, для данного диапазона значений параметров до настоящего времени не реализованна.

Изучению вторичных стационарных течений, возникающих вокруг осциллирующего цилиндра, посвящено множество экспериментальных исследований. Визуализация вторичных течений при гармонических колебаниях цилиндра в воздухе проводилась в работе Андраде [34]. Другие экспериментальные наблюдения вторичных стационарных течений приведены в работах Бертелсена [12], Хольтсмарка [35], Шлихтинга [27], Татсуно (см. [36]). В основном эти исследования, как и аналитические, затрагивали симметричные стационарные течения, соответствующие базовому плоскому периодическому режиму обтекания цилиндра.

Одни из первых экспериментальных наблюдений трехмерных свойств течения можно найти в работе Хони [37]. Хони были впервые описаны трехмерные структуры, возникающие в пограничном слое цилиндра в окрестности границы потери устойчивости базового двухмерного режима течения. Позднее численно-аналитическое исследование трехмерной неустойчивости было проведено в работе Холла [38]. В предположение больших /3 и малых КС Холлом была получена зависимость критического числа Келигана-Карпентера КС^ от параметра Стокса (3 (граница устойчивости)

КС/, = 5.778/Г1/4(1 + 0.205/Г1/4 + ...), (2)

которая в широком диапазоне ¡3 совпала с экспериментальными наблюдениями Хони.

Сарпкая в работах [16, 19, 21] существенно расширил область экспериментальных наблюдений (в окрестности границы трехмерной неустойчивости) для больших чисел Стокса. Используя метод лазерно-флуоресцентной визуализации, Сарпкая выделил зону формирования квазикогерентных структур, которые образуют когерентные структуры обнаруженные Хонни в [37] в окрестности линии Холла, определяемой уравнением (2). Нижняя граница этой зоны - граница абсолютной устойчивости двухмерного течения - была аппроксимирована автором

следующим образом:

КО,- = 12.5/Г2/5. (3)

Сарпкая в работе [16] проводил также анализ гидродинамических сил действующих на цилиндр, в том числе исследовал причины рассогласования экспериментальных данных и аналитических оценок Ванга-Стокса в диапазоне больших /3. Отклонение от асимптотики было связано автором со сменой режима течения, в частности с переходом от безотрывного обтекания к режимам с отрывом вихрей. Аналогичные выводы по анализу влияния режимов течения на гидродинамические силы были получены и в известной экспериментальной работе Бирмана [15].

Исследования структуры плоских и трехмерных периодических режимов течения вокруг осциллирующего цилиндра и зон их устойчивости проводились в экспериментальных работах Вильямсона [14], Татсуно и Бирмана [17]. Ви-льямсоном была рассмотрена эволюция течения с ростом числа КС при фиксированном числе Стокса (3 = 255. В диапазоне 2 < КС < 60 автором было выделено 6 типов периодического течения. В экспериментальной работе Татсуно и Бирмана впервые был рассмотрен диапазон малых и умеренных чисел Стокса (0 < /3 < 196) и проведена подробная классификация режимов в этом диапазоне.

Многочисленные данные о структуре и свойствах различных режимов течения были собраны в ходе численных исследований задачи. Особо отметим работы [39-50]. Джастинсен [39], Доч [40], Илиадис [41], Анагнастополус [43], Узуноглу [42] рассматривали двухмерную модель течения. Основные направления их исследований заключались в изучении периодических режимов течения и связанных с ними аэрогидродинамических сил, устанавливающихся при малоамплитудных гармонических колебаниях цилиндра в диапазоне малых и умеренных чисел Стокса. Нехари [44], Рашид [47], Сатон [48, 49] рассматривали трехмерные структуры возникающие вокруг осциллирующего цилиндра в

окрестности границы потери устойчивости двухмерных течений.

Нехари в работе [44] одним из первых провел исследование влияния трехмерности на гидродинамические составляющие силы. Автором было выполнено несколько двухмерных и трехмерных расчетов при малых значениях /3 и КС. Заметные различия между результатами двухмерных и трехмерных расчетов при одинаковых значениях параметров были отмечены только для вертикальной составляющей силы. Аналогичного последовательного исследования влияния трехмерности в диапазоне умеренных и больших чисел Стокса до сих пор не выполнялось. Результаты последних численных работ (например трехмерные исследования [47-49] в диапазоне умеренных чисел Стокса) несколько рассогла-суются с данными более ранних двухмерных исследований при КС> 1.

Обширные результаты по численному исследованию устойчивости периодических решений задачи в рамках анализа Флоке были получены Элстоном [51] для области малых чисел Стокса. Численное решение задачи обтекания осциллирующего цилиндра с использованием моделей турбулентности при относительно больших КС (2 < КС < 40 для (3 = 196) выполнялось в работах [45, 46]. Авторами [45, 46] также впервые исследовались вторичные стационарных течения, возникающие около цилиндра при больших амплитудах колебания. Несмотря на характерные для этого диапазона трехмерную неустойчивость и турбулентность в пограничном слое (см. например [19]), авторам удалось рассмотреть различные вторичные стационарные течения. При этом структура и значения параметров, при которых эти режимы были локализованы, качественно согласовывались с результатами экспериментальной работы Вильямсонома [14]. Важно отметить, что аналогичных исследований вторичных течений для ламинарных режимов, за исключением базового, насколько нам известно, ранее не проводилось. В тоже время, существование различных ламинарных периодических режимов в области малых и умеренных чисел Стокса, согласно результатам отмеченных выше численных [39-41] и экспериментальных [17] исследований, хорошо задокументированы.

Вторичные стационарные течения являются важными объектом исследования в задаче об обтекании гармонически осциллирующего цилиндра. Они играют основную роль в переносе массы из пограничного слоя цилиндра во внешнюю область течения. В рамках аналитических исследований (в области Res > 1, ß 1) вторичные течения имеют определяющее значение в установлении режима течения в целом. Выделяются два подхода к изучению вторичных течений. Первый подход заключается в использовании прямого численного моделирования течения около осциллирующего цилиндра. Второй подход состоит в решении стационарной задачи для вторичных течений, полученной в результате асимптотического анализа в случае Rea > 1, ß 1. Вопрос согласования результатов, полученных в этих двух подходах, до сих пор остается открытым.

Подводя итоги, можно выделить следующие перспективные направления исследования задачи о течении вязкой жидкости вокруг осциллирующего цилиндра:

• развитие асимптотической модели для случая Res > 1, ß 1,

• получение оценки гидродинамической силы, действующей на цилиндр,

• изучение влияния плоских и трехмерных режимов течения на силу сопротивления в рамках прямого численного моделирования,

• анализ вторичных стационарных течений для ламинарных режимов обтекания цилиндра.

Изложенное выше позволяет говорить о большой теоретической и практической значимости исследований обтекания осциллирующего цилиндра вязкой жидкостью. Именно она и определяет актуальность темы данной диссертационной работы. Приведенный краткий обзор исследования позволяет также сформулировать цели и задачи диссертационной работы.

Целью диссертационной работы работы является исследование режимов

обтекания вязкой жидкостью гармонически осциллирующего цилиндра и нахождение действующих на цилиндр гидродинамических сил.

Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:

1. Проведение асимптотического анализа задачи об обтекании осциллирующего цилиндра вязкой жидкостью при Res > 1, ß 1;

2. Разработка численных алгоритмов и программного обеспечения для бифуркационного анализа систем большой размерности, возникающих при решении задач вычислительной гидродинамики.

3. Проведение численного эксперимента по обтеканию вязкой жидкостью осциллирующего цилиндра; построения карты режимов обтекания, нахождение действующих на цилиндр гидродинамичиских сил и картин вторичных стационарных течений в области умеренных значений управляющих параметров Re и ß.

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются современные методы бифуркационного, асимптотического и численного анализа.

Аналитическое исследование задачи об обтекании цилиндра вязкой жидкостью проводится на основе метода асимптотических разложений по малому параметру е, который определяется как

ß7T

Асимптотическая процедура развивает метод Шлихтинга-Ванга сращивания внешнего и внутреннего разложений для осциллирующей и стационарной составляющих решения. Стационарная составляющая в главном члене описывается системой уравнений Навье-Стокса , где роль безразмерного параметра играет стационарное число Рейнольдса Res. Эта вспомогательная задача в рассматриваемом диапазоне параметров может иметь несколько решений. Поэтому для ее исследования используется аппарат бифуркационного анализа (БА).

В данной работе БА реализуется в рамках классического подхода (описанного например в [52]) для анализа однопараметрических нелинейных систем. Его целью является построение возможных ветвей решения и их стратификация относительно бифуркаций фазового портрета системы. Анализ проводится в расширенном фазово-параметрическом пространстве, которое является прямым произведением фазового и параметрического пространств системы. Основными компонентами анализа являются задачи (а) локализации решений, (Ь) продолжения по параметру, (с) исследования точек бифуркаций.

Задача (а) локализации служит для поиска вещественных решений системы при фиксированном значении числа Рейнольдса. Поскольку задача имеет большую размерность (до 106 неизвестных) применение универсальных методов поиска решений оказывается невозможным. Также невозможно и прямое выделение решений, так как неизвестны ни их число, ни хорошие начальные приближения к ним. Однако, как правило, одно из решений задачи, непрерывно продолжающееся от малых чисел Рейнольдса, строится без особых затруднений. Это обстоятельство позволяет использовать для решения задачи локализации метод БРМ гомотопии, предложенный в работе [53].

Задача (Ь) продолжения по параметру призвана обеспечить движение по выделенным локализацией ветвям решения в фазово-параметрическом пространстве системы (см. например [52, 54, 55]). Для ее решения рассматривается расширенная система уравнений, в которой помимо дискретных переменных, неизвестным считается также и параметр системы (в нашем случае число Рейнольдса). Метод решения основан на подходе «предиктор-корректор». В качестве предиктора в работе используется метод касательной, в качестве корректора - метод Мура-Пенроуза [52]. Такая связка позволяет эффективно аппроксимировать ветвь даже в окрестностях точек бифуркаций.

Исследование точек бифуркаций (с) позволяет провести заключительную стратификацию ветвей и построить бифуркационную диаграмму. Локализация точек бифуркации проводится при решении спектральной задачи.

Основная часть предлагаемого бифуркационного исследования требует самостоятельной программной реализации, поскольку существующие пакеты не позволяют проводить исследования для систем необходимой размерности. Реализация методов БА проводится на базе конечно-разностной дискретизации уравнений Навье-Стокса. Апробация созданного в работе программного комплекса проводится на классической тестовой задаче гидромеханики о течении жидкости в квадратной каверне.

Задача о циркуляционном течении вязкой жидкости в квадратной каверне прекрасно подходит для тестирования основных методов программного комплекса. С одной стороны, простая геометрия расчетной области и тривиальные граничные условия не усложняют программную реализацию численных методов. С другой стороны, разномасштабность и сложность структурных элементов течения, растущие с увеличением числа Рейнольдса, предъявляют высокие требования к качеству применяемых численных схем и размерности используемых сеток. Бифуркационный анализ этой задачи, в том числе исследование вопроса единственности решения, насколько нам известно, раннее не проводился. Косвенно о возможности существования различных решений свидетельствует наблюдаемые отличия в структуре течения при сравнении результатов разных работ при одном числе Рейнольдса (например [56] и [57] при Re = 40000). Прямое выделение нескольких решений указанной классической задачи вычислительной гидродинамики представляет и самостоятельный научный интерес.

Численное моделирование задачи об обтекании цилиндра вязкой жидкостью, представляющее второй этап исследования, проводится в пакете OpenFOAM (Open Source Field Operation And Manipulation) [58-60] - открытой платформе для численного моделирования. Этот пакет представляет широкий инструментарий для формализации задачи. Процесс разработки модели в пакете состоит из следующих основных этапов: создания геометрии и дискретизации области решения, выбора методов дискретизации управляющей системы, задания граничных условий, выбора численных методов решения (методов решения линейных

уравнений, предобуславливателей и их параметров), задания управляющих параметров задачи. Реализация каждого из этих этапов требует тщательного подбора методов и параметров для минимизации ошибок дискретизации и увеличения эффектности работы программы.

Основная программная реализация численных методов исследования осуществлялась на языке программирования С++. Для увеличения производительности отдельные части программного кода создавались с применением технологии NVIDIA CUD А. Вспомогательные расчеты и визуализация результатов выполнялись с использованием пакетов прикладных программ Mathematica, MAT-LAB. Трехмерное моделирование проводилось на высокопроизводительном кластере с применением технологии MPI.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Реализованы методы бифуркационного анализа систем большой размерности (до 106 неизвестных) применительно к задачам вычислительной гидродинамики. Впервые локализованы и исследованы различные решения классической задачи о циркуляционном стационарном течении жидкости в квадратной каверне в диапазоне чисел Рейнольдса, меньших 20000. Обнаружены и исследованы три типа вторичных стационарных течений около осциллирующего цилиндра.

2. Проведено асимптотическое исследование задачи об обтекании осциллирующего цилиндра вязкой жидкостью в диапазоне Res > 1, ß 1. Уточнено известное асимптотическое разложение для действующей на цилиндр гидродинамической силы.

3. Проведено прямое численное моделирование различных двух- и трехмерных режимов обтекания вязкой жидкостью осциллирующего цилиндра в диапазоне умеренно больших (15 < ß < 1035) чисел Стокса. Построена карта режимов, проанализированы вторичные течения, найдены действующие на цилиндр гидродинамические силы.

Достоверность следует из корректности математических постановок задач, из внутренних проверок используемых методов (проверка аппроксимационной сходимости и выполнения законов сохранения), а также из согласования полученных результатов с известными данными экспериментальных и численных исследований.

Практическая ценность. Работа носит, в основном, теоретический характер. Вместе с тем, разработанные численные алгоритмы и программное обеспечение могут быть непосредственно использованы для бифуркационного анализа реальных гидродинамических систем, полученные в работе решения задачи о циркуляционном течении в каверне могут рассматриваться как тестовые при разработке новых методов решения задач вычислительной гидродинамики. Полученные в работе соотношения для гидродинамических сил, действующих на осциллирующий цилиндр, могут найти свое применение, например, при определении демпфирующих свойств материалов на основе изучения затухающих колебаний цилиндрических тест-образцов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Вычислительный алгоритм бифуркационного анализа систем большой размерности применительно к задачам вычислительной гидродинамики.

2. Новые, отличные от классических решения в задаче о циркуляционном стационарном течении жидкости в квадратной каверне и в задаче о вторичных стационарных течений около гармонически осциллирующего цилиндра.

3. Результаты асимптотического исследования задачи об обтекании осциллирующего цилиндра вязкой жидкостью в диапазоне Res ~ 1, ß > 1. Уточненная асимптотическая формула для действующей на цилиндр гидродинамической силы.

4. Результаты численного эксперимента по обтеканию вязкой жидкостью ос-

циллирующего цилиндра для умеренно больших чисел Стокса (15 < (3 < 1035 ). Карта режимов обтекания, анализ вторичных течений и действующих на цилиндр гидродинамических сил.

Апробация результатов. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. VII, VIII молодежные школы-конференции «Лобачевские чтения», Казанский государственный университет, г. Казань, 2008, 2009.

2. Итоговые научно-образовательные конференции студентов казанского университета за 2009 и 2010 годы, Казанский государственный университет, г. Казань, 2009, 2010.

3. XI международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование», г. Саров, 2009.

4. Итоговые конференции Казанского (Приволжского) федерального университета за 2011 и 2012 годы, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 2011, 2012.

5. Международные научные конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов». Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, г. Москва, 2010-2013.

6. Международная конференция по механике «Шестые Поляховские чтения». Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург, 2012.

7. Семинары кафедры аэрогидромеханики Казанского (Приволжского) федерального университета, 2009 - 2013.

8. Семинар кафедры волновой и газовой динамики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, 2013.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ [61-77], в том числе 5 в журналах из списка ВАК [67, 68, 72, 75, 76].

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. В конце каждой главы сформулированы выводы. Полный объем диссертации составляет 174 страницы с 59 рисунками и 11 таблицами. Список литературы содержит 122 наименования.

Личный вклад автора заключается в совместной с научным руководителем постановке задач, обсуждении и интерпретации результатов. Постановка и реализация численных экспериментов, бифуркационного анализа стационарных задач принадлежат автору.

18

Глава 1

Численный и бифуркационный анализ задачи о течении жидкости в квадратной каверне

1.1. Введение

Структура двумерного стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости в квадратной каверне с подвижной границей при больших числах Рейнольд-са является предметом всестороннего изучения в последние пятьдесят лет. Вряд ли этот интерес стоит объяснять лишь практической значимостью: довольно давно из физических и численных экспериментов [78], [79] известно, что двумерное течение в каверне теряет устойчивость по третьему измерению уже при умеренных числах Рейнольдса ( Re < 1000). Научная значимость проблемы определяется двумя обстоятельствами. С одной стороны, решения данной модельной задачи содержат важнейшие структурные элементы вязких течений такие, как сдвиговый поток, нарастающие на стенках пограничные слои, первичный, присоединенный и вторичные вихри. С другой стороны, разномасштабность и сложность этих структур предъявляет растущие с ростом Re требования к качеству применяемых численных схем и размерности используемых сеток. Все это делает задачу о стационарном циркуляционном течении в каверне классическим объектом для тестирования новых методов решения уравнений Навье-Стокса.

Существование решения задачи при любых числах Рейнольдса гарантируется известной теоремой O.A. Ладыженской [80]. Одни из первых численных результатов нахождения такого решения представлены в работе [81]. Однако используемые авторами сетки не позволяли разрешать особенности течения даже при относительно низких числах Рейнольдса. Первое решение на подробных сетках (с максимальным числом узлов п = 2572) было построено Гиа [82], исследовавшего задачу о течении в каверне вплоть до Re = 104, и обнаружившего

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нуриев, Артем Наилевич, 2013 год

Литература

1. Stokes, G. G. On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums / G. G. Stokes // Trans. Camb. Phil. Soc. - 1851. - Vol. 9. — Pp. 8-106.

2. Sarpkaya, T. Vortex shedding and resistance in harmonic flow about smooth and rough circular cylinders / T. Sarpkaya // Proc. First Intl Conf. Behavior of Offshore Structures (BOSS '76). - Vol. 1. - 1976. - Pp. 220-235.

3. Sarpkaya, T. Mechanics of wave forces on offshore structures / T. Sarpkaya, M. Isaacson. — New York: Van Nostrand Reinhold, 1981. — P. 651.

4. Barltrop, N. D. P. Dynamics of fixed marine structures / N. D. P. Barltrop, A. J. Adams. — 3rd edition. — Oxford: Butterworth-Heinemann, 1991. — P. 764.

5. Naudascher, E. Flow-Induced Vibrations, An Engineering Guide / E. Naudasch-er, D. Rockwell. — Rotterdam: Balkema, 1994. - P. 414.

6. Faltinsen, O. Sea Loads on Ships and Offshore Structures / O. Faltinsen. — Cambridge: Cambridge University Press, 1993. — P. 328.

7. Sumer, B.M. Experimental study of 2D scour and its protection at a rubble-mound breakwater / B.M. Sumer, J. Freds0e // Coastal Engineering. — 2000. — Vol. 40. - Pp. 59-87.

8. Sumer, B.M. Wave scour around a large vertical circular cylinder / B.M. Sumer, J. Freds0e // Journal of Waterway, Port Coastal and Ocean Engineering. — 2001. - Vol. 127, no. 3. - Pp. 125-134.

9. Sumer, B.M. Local scour at roundhead and along the trunk of low crested structures / B.M. Sumer, J. Freds0e, et. al. // Coastal Engineering. — 2005. — Vol. 52.- Pp. 995-1025.

10. Liang, D.F. Numerical model for wave-induced scour below a submarine pipeline / D.F. Liang, L. Cheng // Journal of Waterway, port, Coastal and Ocean Engineering. - 2005. - Vol. 131, no. 5. - Pp. 193-202.

11. Егоров, А. Г. Оптимальное квазистационарное движение виброробота в вязкой жидкости / А. Г. Егоров, О. С. Захарова // Изв. вузов. Матем. — 2012. - Т. 2. - С. 57-64.

12. A.F., Bertelsen. An experimental investigation of high Reynolds number steady streaming generated by oscillating cylinders / Bertelsen A.F. // J. Fluid Mech. — 1974. - Vol. 64. - Pp. 589-697.

13. Sarpkaya, T. Vortex shedding and resistance in harmonic flow about smooth and rough circular cylinders at high Reynolds numbers: Tech. Rep. NPS-59SL76021 / T. Sarpkaya: Naval Postgraduate School, 1976.

14. Williamson, H. K. Sinusoidal flow relative to circular cylinders / H. K. Williamson II J. Fluid Mech. - 1985. - Vol. 155. - Pp. 141-174.

15. Bearman, P. W. Forces on cylinders in viscous oscillatory flow at low Keule-gan-Carpenter numbers / P. W. Bearman et al. // J. Fluid Mech. — 1985. — Vol. 154.- Pp. 337-356.

16. Sarpkaya, T. Forces on a circular cylinder in viscous oscillatory flow at low Keulegan-Carpenter numbers / T. Sarpkaya // J. Fluid Mech. — 1986. — Vol. 165.-Pp. 61-71.

17. Tatsuno, M. A visual study of the flow around an oscillating circular cylinder at low Keulegan-Carpenter numbers and low Stokes numbers / M. Tatsuno, P. W. Bearman// J. Fluid Mech. - 1990. - Vol. 211. - Pp. 157-182.

18. Kuhtz, S. Experimental investigation of oscillatory flow around circular cylinders at low beta numbers: Ph.D. thesis / University of London. — 1996.

19. Sarpkaya, T. Experiments on the stability of sinusoidal flow over a circular cylinder / T. Sarpkaya // J. Fluid Mech. - 2002. - Vol. 457. - Pp. 157-180.

20. Sarpkaya, T. Hydrodynamic damping: Tech. Rep. NPS/TS-0406 / T. Sarpkaya: Naval Postgraduate School, 2006.

21. Sarpkaya, T. Structures of separation on a circular cylinder in periodic flow / T. Sarpkaya II J. Fluid Mech. - 2006. - Vol. 567. - Pp. 281-297.

22. Keulegan, G. H. orces on cylinders and plates in an oscillating fluid. /

G. H. Keulegan, L. H. Carpenter // J. Res. Natl Bur. Stand. - 1958. - Vol. 60. - Pp. 423-440.

23. Beily, F. On the Correction of a Pendulum for the Reduction to a Vacuum: Together with Remarks on Some Anomalies Observed in Pendulum Experiments / F. Beily // Phil. Trans. R. Soc. Lond. - 1832. - Vol. 122. - Pp. 399^92.

24. Poisson, S. D. / S. D. Poisson II Mémoires de l'Académie Royale. — 1832. — Vol. 11.

25. Morison, J. R. The force exerted by surface waves on piles / J. R. Morison, M. P. O'Brien et al. // Petrol. Trans. - 1950. - Vol. 189. - Pp. 149-157.

26. Schlichting, H. Berechnung ebener periodischer Grenzschichtstrmungen /

H. Schlichting II Phys. - 1932. - Vol. 33. - Pp. 327-335.

27. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг; Под ред. JI. Г. Лой-цянский. — Москва: Наука, 1974. — С. 712.

28. Wang, С. Y. On high-frequency oscillating viscous flows / С. Y. Wang // J. Fluid Mech. - 1968. - Vol. 32. - Pp. 55-68.

29. Stuart, J. Double boundary layers in oscillatory viscous flow / J. Stuart // J. Fluid Mech. - 1966. - Vol. 24. - Pp. 673-687.

30. Riley, N. Oscillatory Viscous Flows. Review and Extension / N. Riley // IMA Journal of Applied Mathematics. — 1967. — Vol. 3, no. 4. — Pp. 419-434.

31. Riley, N. The steady streaming induced by a vibrating cylinder / N. Riley I I J. Fluid Mech. - 1975. - Vol. 68. - Pp. 801-812.

32. Haddon, E. W. The steady streaming induced between oscillating circular cylinders / E. W. Haddon, N. Riley // Q. J. Mech. Appl. Math. - 1979. - Vol. 32, no. 2. - Pp. 265-282.

33. Kim, S. K. Streaming flows generated by high-frequency small-amplitude oscillations of arbitrarily shaped cylinders / S. K. Kim // Physics of Fluids A: Fluid Dynamics. - 1989. - Vol. 1. - Pp. 975-985.

34. Andrade, C. On the Circulations Caused by the Vibration of Air in a Tube / C. Andrade // Proc. R. Soc. bond. — 1931. — Vol. 134. - Pp. 445^70.

35. Boundary layer flow near a cylindrical obstacle in an oscillating incompressible fluid / J. Holtsmark, I. Johnsen, T. Sikkeland, S. Skavlem // J. Acoust. Soc. Am. - 1954. - Vol. 26. - Pp. 26-39.

36. Ван-Дайк, M. Альбом течения жидкости и газа / М. Ван-Дайк; Под ред. Г. И. Баренблатт, В. П. Шидловский. — Москва: Мир, 1986. — С. 184.

37. Honji, Н. Streaked flow around an oscillating circular cylinder / H. Honji // J. Fluid Mech. - 1981. - Vol. 107. - Pp. 509-520.

38. Hall, P. On the stability of unsteady boundary layer on a cylinder oscillating transversely in a viscous fluid / P. Hall // J. Fluid Mech. — 1984. — Vol. 146. — Pp. 347-367.

39. Justesen, P. A numerical study of oscillating flow around a circular cylinder / P. Justesen II J. Fluid Mech. - 1991. - Vol. 222. - Pp. 157-196.

40. Dutsch, H. Low-Reynolds-number flow around an oscillating circular cylinder at low Keulegan-Carpenter numbers / H. Dutsch, F. Durst et al. // J. Fluid Mech.

- 1998. - 04. - Vol. 360. - Pp. 249-271.

41. Iliadis, G. Viscous oscillatory flow around a circular cylinder at low Keulegan-Carpenter numbers and frequency parameters / G. Iliadis, P. Anagnostopoulos // Int. J. Numer. Meth. Fluids. - 1998. - Vol. 26. - Pp. 403-442.

42. Uzunoglu, B. Low-Reynolds-number flow around an oscillating circular cylinder using a cell viscousboundary element method / B. Uzunoglu, M. Tan, W. G. Price // International Journal for Numerical Methods in Engineering.

- 2001. - Vol. 50, no. 10. - Pp. 2317-2338.

43. Anagnostopoulos, P. Blockage effect of oscillatory flow past a fixed cylinder / P. Anagnostopoulos, R. Minearb // Applied Ocean Research. — 2004. — Vol. 26.

- Pp. 147-153.

44. Nehari, D. Three-dimensional analysis of the unidirectional oscillatory flow around a circular cylinder at low Keulegan-Carpenter and beta numbers / D. Nehari, V. Armeni, F. Balli II J. Fluid Mech. - 2004. - Vol. 520. - Pp. 157-186.

45. An, H. Numerical modelling of flow characteristics and hydrodynamic forces on a cylinder subject to oscillatory flow: Ph.D. thesis / The University of Western Australia, Perth. - 2009.

46. An, H. Steady streaming around a circular cylinder in an oscillatory flow / H. An, L. Cheng, M. Zhao // Ocean Engineering. — 2009. — Vol. 36, no. 14. — Pp. 1089-1097.

47. Rashid, F. Oscillating cylinder in viscous fluid: calculation of flow patterns and forces / F. Rashid, M. Vartdal, J. Grue // Journal of Engineering Mathematics.

- 2011. - Vol. 70, no. 1-3. - Pp. 281-295. URL: http://dx.doi.org/10.1007/ S10665-010-9395-7.

48. Suthon, P. Streakline visualization of the structures in the near wake of a circular cylinder in sinusoidally oscillating flow / P. Suthon, C. Dalton // Journal of Fluids and Structures. — 2011. — Vol. 27. — Pp. 885-902.

49. Suthon, P. Observations on the Honji instability / P. Suthon, C. Dalton // J. of Fluids and Structures. — 2012. — 06. — Vol. 32. — Pp. 27-36.

50. Малахова, T.B. Нестационарная гидродинамика и теплообмен колеблющихся тел: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.05/ Малахова Татьяна Владимировна. - М.,2012. - 150 с.

51. Elston, J. R. The primary and secondary instabilities of flow generated by an oscillating circular cylinder / J. R. Elston, H. M. Blackburn, J. Sheridan // J. Fluid Mech. - 2006. - Vol. 550. - Pp. 359-389.

52. Kuznetsov, Y. A. Elements of Applied Bifurcation Theory / Y. A. Kuznetsov. — Berlin: Springer, 1995. - P. 591.

53. Rahimian, S. K. A new homotopy for seeking all real roots of a nonlinear equation / S. K. Rahimian et al. // Computers Chemical Engineering. — 2011. — Vol. 35, no. 3.-Pp. 403^111.

54. Keller, H. Numerical solution of bifurcation and nonlinear eigenvalue problems / H. Keller // Applications of Bifurcation Theory / Ed. by Rabinowitz P. — New York: Academic Press, 1977. - Pp. 359-384.

55. Шалашилин, В. И. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация (в прикладной математике и механике) / В. И. Шалашилин, Кузнецов Е. Б. - Москва: Эдиториал УРСС, 1999. - С. 224.

56. Исаев, С. А. Моделирование ламинарного циркуляционного течения в квадратной каверне с подвижной границей при высоких числах Рейнольдса с

помощью пакетов VP2/3 и FLUENT / С. А. Исаев и др. // ИФЖ. - 2005. -Т. 78, № 4. - С. 163-179.

57. Исаев, С. Моделирование ламинарного циркуляционного течения в квадратной каверне с подвижной границей при высоких числах Рейнольдса / С. А. Исаев и др. // ИФЖ. - 2002. - Т. 75, № 1. - С. 55-60.

58. Open FOAM (The Open Source CFD Toolbox): User Guide Version 2.2.1. -2013. — Last visited on 28.07.2013. URL: http://www.openfoam.org/docs/user/.

59. Jasak, H. OpenFOAM: A С++ Library for Complex Physics Simulations / H. Jasak, A. Jemcov, Z. Tukovi // International Workshop on Coupled Methods in Numerical Dynamics. — Dubrovnik, Croatia: 2007.

60. Unofficial OpenFOAM wiki. - Last visited on 28.07.2013. URL: http: //openfoamwiki.net/index.php/Main_Page.

61. Нуриев, A. H. Стационарное течение в каверне с подвижной крышкой при высоких числах Рейнольдса / А. Н. Нуриев И Труды математического центра им. Лобачевского. — 2008. — Т. 37. — С. 130-132.

62. Нуриев, А. Н. Устойчивость плоского стационарного течения в каверне с подвижной крышкой / А. Н. Нуриев // Труды математического центра им. Лобачевского. - 2008. - Т. 37. - С. 133-135.

63. Нуриев, А. Н. О неединственности стационарного течения в каверне с подвижной верхней крышкой / А. Н. Нуриев // Труды математического центра им. Лобачевского. — 2009. — Т. 39. — С. 310-312.

64. Nuriev, A. The 2-D steady incompressible flow in a driven cavity at high Reynolds numbers / A. Nuriev // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета. Сборник статей. - 2009. - С. 298-299.

65. Нуриев, А. Н. Ускорение решения задач гидромеханики с помощью технологии CUDA / А. Н. Нуриев // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета. Сборник тезисов. — 2009. — С. 41-42.

66. Демидов, Д. Е. Использование технологии NVIDIA CUDA для решения задач гидромеханики / Д. Е. Демидов, А. Г. Егоров, А. Н. Нуриев // Супервычисления и математическое моделирование. Тезисы. — 2009. — С. 58-59.

67. Егоров, А. Г. Неединственность стационарного течения вязкой жидкости в квадратной каверне / А. Г. Егоров, А. Н. Нуриев // Учен. зап. Каз. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. Науки. — 2009. — Т. 151, № 3. — С. 130-143.

68. Демидов, Д. Е. Решение задач вычислительной гидродинамики с применением технологии Nvidia CUDA / Д. Е. Демидов, А. Г. Егоров, А. Н. Нуриев // Учен. зап. Каз. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. Науки. — 2010. — Т. 152, № 1.- С. 142-154.

69. Демидов, Д. Е. Применение технологии Nvidia CUDA для решения задач гидродинамики / Д. Е. Демидов, А. Г. Егоров, А. Н. Нуриев // Основы работы с технологией CUDA / Под ред. А. В. Боресков, А. А. Харламов. — 2010. - С. 193-204.

70. Нуриев, А. Н. О существовании различных стационарных ветвей решения задачи течения вязкой жидкости в квадратной каверне / А. Н. Нуриев // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНО-СОВ-2010». - М.: МАКС Пресс, 2010. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM).

71. Нуриев, А. Н. Асимптотическое решение задачи о высокочастотном осцил-ляционном вязком потоке вокруг цилиндра / А. Н. Нуриев // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2011». — М.: МАКС Пресс, 2011. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM).

72. Нуриев, А. Н. Использование методов бифуркационного анализа при исследовании системы уравнений Навье-Стокса для приложения в задачах гидромеханики и химической технологии / А. Н. Нуриев // Вестник Казанского технологического университета. — 2011. — № 16. — С. 334-336.

73. Нуриев, А. Н. Численное исследование бифуркаций двухмерных стационарных уравнений Навье-Стокса / А. Н. Нуриев // Шестые Поляховские чтения. Тезисы докладов. — СПб.: 2012. — С. 169.

74. Нуриев, А. Н. Применение методов бифуркационного анализа для решения задачи о вторичном стационарном течении вокруг осциллирующего цилиндра / А. Н. Нуриев // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2012». - М.: МАКС Пресс, 2012. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM).

75. Нуриев, А. Н. Решение задачи об осциллирующем движении цилиндра в вязкой жидкости в пакете OpenFOAM / А. Н. Нуриев, О. Н. Зайцева // Вестник Казанского технологического университета. — 2013. — № 8. — С. 116-123.

76. Нуриев, А. Н. Применение методов бифуркационного анализа для решения задач гидромеханики / А. Н. Нуриев, А. Г. Егоров // Вестник Казанского технологического университета. — 2013. — № 4. — С. 104-109.

77. Нуриев, А. Н. Исследование периодических режимов течения в задаче об осциллирующем движении цилиндра в вязкой жидкости / А. Н. Нуриев // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНО-СОВ-2013». - М.: МАКС Пресс, 2013.-1 электрон, опт. диск (CD-ROM).

78. Prasad, А. К. Reynolds number and end-wall effects on a lid-driven cavity flow / A. K. Prasad, J. R. Koseff// Phys. Fluids. - 1989. - Vol. 1, no. 2. -Pp. 208-218.

79. Shankar, P. N. Fluid Mechanics in the Driven Cavity / P. N. Shankar, M. D. Deshpande // Annu. Rev. Fluid Mech. - 2000. - Vol. 32. - Pp. 93-136.

80. Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкойнесжимае-мой жидкости / О. А. Ладыженская. — Москва: Наука, 1970. — С. 205.

81. Rubin, S. Polynomial interpolation methods for viscous flow calculation / S. Rubin, P. Khosla // J. Сотр. Physics. - 1977. - Vol. 24. - Pp. 217-244.

82. Ghia, U. High-Re Solutions for Incompressible Flow Using the Navier-Stokes Equations and a Multigrid Method / U. Ghia, K. N. Ghia, С. T. Shin // J. Сотр. Physics. - 1982. - Vol. 48. - Pp. 387-411.

83. Barragy, E. Stream Function-Vorticity Driven Cavity Solutions Using p Finite Elements / E. Barragy, G. F. Carey // Computers and Fluids. — 1997. — Vol. 26.

- Pp. 453-468.

84. Erturk, E. Numerical Solutions of 2-D Steady Incompressible Driven Cavity Flow at High Reynolds Numbers / E. Erturk, Т. C. Corke, C. Gokcol // Int. J. Numer. Meth. Fluids. - 2005. - Vol. 48. - Pp. 747-774.

85. Erturk, E. Fourth Order Compact Formulation of Navier-Stokes Equations and Driven Cavity Flow at High Reynolds Numbers / E. Erturk, C. Gokcol // Int. J. Numer. Meth. Fluids. - 2006. - Vol. 50. - Pp. 421-436.

86. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей / К. Флетчер.

- Москва: Мир, 1991. - Т. 2. - С. 552.

87. Weinan, Е. Vorticity boundary conditions and related issues for finite difference schemes / E. Weinan, J, G. Liu // J. Сотр. Physics. — 1996. — Vol. 124. — Pp. 368-382.

88. Khosla, P. K. A diagonally dominant second-order accurate implicit scheme /

Р. К. Khosla, S. G. Rubin // Computers & Fluids. — 1974. — Vol. 2, no. 2. — Pp. 207-209.

89. Федоренко, P. П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений / Р. П. Федоренко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1961. - Т. 1, № 5. - С. 922-927.

90. Wesseling, P. An Introduction to Multigrid Methods / P. Wesseling. — Chichester: Wiley, 1992. - P. 284.

91. Trottenberg, U. Multigrid / U. Trottenberg, C. W. Oosterlee, A. Schuller. -London: Academic Press, 2001. — P. 631.

92. Vanka, S. P. Block-implicit multigrid solution of Navier-Stokes equations in primitive variables / S. P. Vanka // J. Сотр. Physics. — 1986. — Vol. 65. — Pp. 138-156.

93. Roache, P. J. Quantification of uncertainty in computational fluid dynamics / P. J. Roache II Annu. Rev. Fluid. Mech. - 1997. - Vol. 29. - Pp. 123-160.

94. Fortin, A. Localization of Hopf bifurcations in Fluid Flow problems / A. Fortin et al. // Int. J; Numer. Meth. Fluids. - 1997. - Vol. 24. - Pp. 1185-1210.

95. Sahin, M. A novel fully-implicit finite volume method applied to the lid-driven cavity problem. Part II. Linear stability analysis / M. Sahin, R. G. Owens // Int. J. Numer. Meth. Fluids. - 2003. - Vol. 42. - Pp. 79-88.

96. Cazemier, W. Proper orthogonal decomposition and low-dimensional models for driven cavity flows / W. Cazemier, R. W. C. P. Verstappen, A. E. P. Veldman // Phys. Fluids. - 1998. - Vol. 10, no. 7. - Pp. 1685-1698.

97. Gomes, F. M. ARPACK++: A С++ Implementation of ARPACK Eigenvalue Package / F. M. Gomes, D. C. Sorensen. — 2000. — P. 196. URL: www.caam. rice. edu/software/ARPACK.

98. Saad, Y. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving non-symmetric linear systems / Y. Saad, M. H. Schultz // SIAM J. Sci. Comput. — 1986. - Vol. 7. - Pp. 856-869.

99. Pernice, M. Multigrid-preconditioned Newton-Krylov method for the incompressible Navier-Stokes equations / M. Pernice, M. D. Toccia // Sci. Comput. — 2001. - Vol. 23, no. 2. - Pp. 398-418.

100. Weinan, E. Vorticity boundary conditions and related issues for finite difference schemes / E. Weinan, Jian-Guo Liu // J. Comp. Physics. — 1996. — Vol. 124. — Pp. 368-382.

101. Arnoldi, W. E. The principle of minimized iterations in the solution of the matrix

*

eigenvalue problem / W. E. Arnoldi // Quarterly of Applied Mathematics. — 1951. - Vol. 9. - Pp. 17-29.

102. Sorensen, D. C. Implicit Application of Polynomial Filters in a k-Step Arnoldi Method / D. C. Sorensen // SIAM. J. Matrix Anal, and Appl. — 1992. — Vol. 13, no. 1. - Pp. 357-385.

103. Lehoucq, R. B. ARPACK Users Guide: Solution of Large-Scale Eigenvalue Problems with Implicitly Restarted Arnoldi Methods / R. B. Lehoucq, D. C. Sorensen, C. Yang. - Philadelphia: SIAM, 1998. - P. 142.

104. Abouhamza, A. A neutral stability curve for incompressible flows in a rectangular driven cavity / A. Abouhamza, R. Pierre // Math, and Comp. Modelling. — 2003. - Vol. 38. - Pp. 141-157.

105. Riley, N. Steady streaming / N. Riley // Annual Review of Fluid Mechanics. — 2001.-Vol. 33.-Pp. 43-65.

106. Wolfram Mathematica documentation center. — Last visited on 20.05.2013. URL: http://reference.wolfram.com/mathematica/guide/Mathematica.html.

107. Bickley, W. G. The plane jet / W. G. Bickley // Philosophical Magazine. — 1937.

- Vol. 23. - Pp. 727-731.

108. Golubitsky, M. Singularities and Groups in Bifurcation Theory, vol. II / M. Gol-ubitsky, I. Stewart, D. G. Schaeffer. Appl. Math. Sci., vol. 69. — New York: Springer-Verlag, 1988. - P. 533.

109. Graham, J. M. R. Hydrodynamic damping of structural elements / J. M. R. Graham, B. Djahansouzi // In Proc. Eighth Zntl Con. Offshore Mech. and Arctic Engng, The Hague, The Netherlands. - 1989. - Vol. 2. - Pp. 289-293.

110. Stansby, P. K. Flow around a cylinder by the random vortex method / P. K. Stans-by, P. A. Smith // In Proc. Eighth Intl Conf Offshore Mech. and Arctic Eng., The Hague, The Netherlands. - 1989. - Vol. 2. - Pp. 419^26.

111. Sortland, B. Force measurements in oscillating flow on ship sections and circular cylinders in a U-tube water tank: Ph.D. thesis / Norwegian Institute of Technology, Trondheim. — 1986.

112. Глава 5. Создание и конвертация сеток (перевод руководства пользователя OpenFOAM). - Last visited on 28.07.2013. URL: http://www.unihub.ru/ resources/125/download/latex_mesh.pdf.

113. Jasak, H. Error analysis and estimation for the Finite Volume method with applications to fluid flows: Ph.D. thesis / Imperial College, University of London.

- 1996.

114. Franjo, Juretic. Error analysis in finite volume CFD: Ph.D. thesis / Imperial College, University of London. — 2004.

115. Ferziger, J. H. Computational methods for fluid dynamics / J. H. Ferziger, M. Peric. — 3rd rev. edition. — Berlin: Springer, 2002. — P. 424.

116. Jasak, H. High resolution NVD differencing scheme for arbitrarily unstructured meshes / H. Jasak, H. G. Weiler, A. D. Gosman // Int. J. Numer. Meth. Fluids. - 1999. - Vol. 31. - Pp. 431-449.

117. A library that introduces a boundary-condition groovyBC. — Last visited on 20.05.2013. URL: http://openfoamwiki.net/index.php/Contrib_groovyBC.

118. Issak, R. I. Solution of implicitly discretised fluid flow equations by operator-splitting / R. I. Issak // J. Comput. Phys. - 1986. - Vol. 62. - Pp. 40-65.

119. Versteeg, H. K. An introduction to computational fluid dynamics. The finite volume method / H. K. Versteeg, W. Malalasekera. — New York: Longman, 1995. - P. 258.

120. P., Karrholm F. Numerical Modelling of Diesel Spray Injection, Turbulence Interaction and Combustion: Ph.D. thesis / Chalmers University of Technology, Goteborg. - 2008.

121. T., Behrens. OpenFOAM's basic solvers for linear systems of equations / Behrens T. — 2009. — P. 18. URL: http://www.tfd.chalmers.se/~hani/kurser/ OS_CFD_2008/TimBehrens/tibeh-report-fin.pdf.

122. Martinez, G. Caractéristiques dynamiques et thermiques de l'écoulement autour d'un cylindre circulaire a nombres de Reynolds modere's: Ph.D. thesis / I.N.P. Toulouse. — 1979.

Приложение А Формула для определения силы

Обозначая ф = ф — Фо> перепишем исходную задачу в виде

9 , . Ред(ф + %,Аф) dt + Т 9{г,в) =еАф

г = 1 :

ф = О, г —» оо :

дг

= — 2 sin 9 cos i

0 = 0

(АЛ)

(А.2) (А.З)

Важно то обстоятельство, что в отличие от ф, функция ф затухает на бесконечности. Умножим уравнение (А.1) на гбш9 и почленно проинтегрируем его по области течения. Имеем для первого члена

27Г С» 2ТГ

Афг sin 9rdrd9 =

г sin 9 — фг sin 0

о 1

оо

<Z0 = А + 27Г cos £

r=1

При интегрировании учтена гармоничность функции гвтА и граничные условия (А.2). Интегрирование следующего члена с учетом граничных условий дает

2ж оо 27:

А2фг sin 9rdrd9 =

о 1

г (у. sin 9 — Афг sin 9

00

¿0 =

Г=1

2тг

Г=1

2тг

Г fay

sin0d0 = -F

r=l

Третий интеграл вычисляется следующим образом.

1

27Г ОО Q Г О

cost

О 1

(*о, Ьф)

-7г-——-——г sin 0 rdrdO = д (г,

27Г 00

О 1

-п дАф

дАф\

sin2 в (г + г-1) ^ - sin 9 cos 0 (г2 - 1) ^J drdfl =

27Г ОО

Г sin 29 , 1 ——Аф rdrdO - -rz 2

2тг

(sin29 (г2-I) Аф)\^9 =

о 1

2тг

sin 20 O2sin20

дг г2

+ 20-

ОО

sin0d0 + В =

г=1

2тг

sin + Б = В

г= 1

Что касается последнего оставшегося интеграла, то в силу затухания 0 на бесконечности он равен нулю

27Г ОО

О 1

5 (г, 9)

2тг

008 ^

дг) г2 \дО )

d9 = О

ОО

Сопутствующие вычисления здесь удобно проводить в декартовых координатах, и лишь в конце перейти в цилиндрические.

Суммируя вычисленные интегралы, придем к формуле для определения силы

dA

Fez = -2тг sin t Н—-—I- е/ЗВ cos t.

dt

(A.4)

Используя аналогичные приемы интегрирования можно получить и другие полезные формулы, применяемые для вычисления компонент силы при асимптотическом разложении. Приведем их ниже без описания процедуры вывода.

Обозначим 5 = 8И19 (г — г~1), С = зт 9г~1. Для любой достаточно гладкой функции Ф, определенной в области [1, оо] х [0,2-к), справедливы следующие

соотношения:

2fl" 00 27Г

5ДФ rdrdd =

_ гф

к аг

2тг

sin Odd + 2

о i

о

г=оо

ф|г=1 sin

27Г ОО

2тг

сдфпЫ0 = -

'0Ф <9г

+ Ф sin Ode,

О 1

г-1

2я- оо 27Г

rÄÄ* I

а (г, б1) 2

{r2AФ)r=oosm2вdв,

о i

27Г 00

О 1

2ж оо

О

2тг

(г2ДФ)г=1 sin 2£Ш,

2тг

0 1

27Г оо

д (г, 0)

<9Ф\

2Ф + —) sin 2 0d6,

дг

г=1

О 1

д (г, 0)

2тг

2Ф + -Р-I sin 2Odd.

дг

г=1

Приложение Б Вычисление пятого члена разложения

гидродинамическои силы

В данном разделе будут представлены основные этапы вычисления пятого члена разложения гидродинамической силы /I при главной временной гармонике. Для нахождения Д нам потребуется частичное решение задач для трех компонент внутреннего разложения: ф2, Ф2, Фз- Поскольку все промежуточные вычисления будут иметь громоздкие результаты, изложение решения будет проведено в алгоритмической форме.

Используя представления (2.5), (2.6), полученные в разделе 2.3, и разложение (2.12), выпишем уравнения для ф2 (77, в), ф2 (?7, 0, ¿)> Фъ 0, £) и необходимые граничные условия.

Уравнения для ф2 (77,0, £)

0Ч* = _2*Ь+р

дг]4

г. у.

дг]3

д (фо,¿1) д (^ъ ¿о) д ¿о)

5 (т/, 0)

дШ

9 (77,0)

(Б.1)

Н=о = 0'

дф2

дт)

7?=0

п 7 1 ч'дЧ,

+ Т1

дЯ>2

т=1

дг

+ Ф3|г=1 (Б.2)

г=1

Уравнения для ф2 (77,

5 (^о, ¿1) д [фъ £>0) д (фо, ¿о)

Ьоф2 = -(3

+

9(77,0) ' а(ту,0) 9(77,0)

0(^1) 9(^ь£0)

(Б.З)

+

9(77,0) 9(77,0)

- - Ь2ф0

Ф2 =0,

дф2

дг)

= 0, ф2

?7=0

Г}=оо

дЧр

6 дг3

77=0

(Б.4)

V

г=1

+ 2 дг2

Г=1

5Ф2

+ Фз

г=1

Г=1

Уравнения для (77, 0, ¿)

=

' яг-п в\ 1 я77ГЙ\ ^ я (к

д (-00, ¿>2

+ 5(77,0/ + ¿(77,0)' ~Т1~дМ

д (ф\,СЬ\) 5 (ф2,йо)

0(77,6?) + а (77,61)

"77 а(77,61) +77 5(77,0)

J и

д{фъщ) д[фъй^

5(77,0) + 5(77,0) + 5(77,0) а(77,0)

-Ьгф2 - Ь2фх - Ь3ф0

(Б.5)

Г.У.

</>3

= О, ^

77=0 ' дт]

= О,

77=0

774 53Ф0

7=оо 24 5г3

ту3 53Фх Н ~

г=1

6 5г3

772 52Ф2

г=1

2 5г2

+ V'

5Ф<

Г=1

5г

(Б.6)

+ Ф4

Г=1

Г=1

Здесь были использованы следующие обозначения

5^ т дтр

52 г _5 ^ дг/

д2 ~ д ~ д ~ д2 ~ и2 = ^ф2 + - + д^О

¿о = = +

57у2 * ' 5?7Г1 'дг\

т

5Т72

52 - 5 -= +

О 7]г ОТ]

д92

¿1 =

и линейные операторы

Ь0ф =

д д2ф дАф дИк? ~ д^'

Ь л, _ д дф ^д3ф

дЬ дт] дт]3'

Т I 9

д2ф дфУ Ъв2 ~77

'дт]3 дг)2 дт]2дв2

_ . д / д2ф 2дф\ дф п д2ф

п д3ф л дАф

дт,? ' дфв2 ' ~'дг]2д02

Формула для вычисления компоненты силы /4 получается из уравнения для Ф4 способом аналогичным представленному в разделе 2.4.8, имеет следующий вид:

к = 2

д_ дг

2тг

2тг

г=1

зт(9)д,9 + л/2Неа!((1 - г)еи)/3

дг

+ 2Ф-

Бт2вйв+

г=1

27Г ОО

4 ' + м ' I I йгд,в

2тг

О 1

\

9 (г, в)

д (г, в)

Д Фс

Г=1

8т(0)с0

Рассмотрим слагаемые /4 более подробно. Значение первого интеграла в правой части определяется из условия сращивания Б.6 для фз. Для его вычисления необходимо рассмотреть поведение этб? компоненты фз на бесконечности. Решение фз зависит от всех предыдущих членов разложения, в том числе от ф2 и ф2. Для вычисления втв компоненты фз при главной временной гармонике необходимы значения компоненты ът2в для ф2 и Бтв, Бт20 компонент ф2.

Второй интеграл в правой части уравнения для /4 состоит из двух слагаемых. Значение первого слагаемого находится из условия сращивания Б.2. Для его вычисление также необходимо найти з[п2в компоненту ф2. Значение второго слагаемого было получено ранее в разделе 2.4.5.