Колебательное движение удлиненных тел в вязкой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Нуриев Артем Наилевич
Нуриев Артем Наилевич
доктор наук
2023
- Специальность ВАК РФ00.00.00
- Количество страниц 258
Оглавление диссертации доктор наук Нуриев Артем Наилевич
Введение
Глава 1. Об исследованиях гидродинамики колеблющихся тел
1.1 Колебания твердого цилиндрического тела в вязкой несжимаемой жидкости
1.2 Упругие колебания балок в вязкой несжимаемой жидкости
1.3 Колебательные движители
1.4 Выводы
Глава 2. Поступательные колебания цилиндрического тела в вязкой
несжимаемой жидкости. Асимптотическая модель
2.1 Постановка задачи
2.2 Вычисление гидродинамической силы
2.3 Асимптотические представления
2.4 Исследование нестационарных составляющих решения
2.4.1 Определение Фо
2.4.2 Определение ф0
2.4.3 Определение Ф1
2.4.4 Определение ф
2.4.5 Определение /2
2.4.6 Итоговая формула для вычисления нестационарной силы вдоль оси колебаний
2.5 Исследование стационарных составляющих решения
2.5.1 Определение ф
2.5.2 Определение Ф1? Ф2
2.5.3 Определение стационарной составляющей силы
2.6 Нестационарное гидродинамическое воздействие на некоторые цилиндрические тела
2.6.1 Эллиптический цилиндр
2.6.2 Профиль Жуковского
2.6.3 Скругленный многогранный (образованный гипотрохоидой) профиль
2.6.4 Прямоугольный цилиндр
2.7 Анализ границ применимости асимптотической теории
2.7.1 Численное моделирование обтекания колеблющегося цилиндра
2.7.2 Гармонические колебания эллиптического цилиндра
2.7.3 Мультигармонические колебания эллиптического цилиндра
2.8 Вторичные стационарные течения. Пропульсивное движение колеблющегося тела
2.8.1 Решение задачи о вторичных течениях
2.8.2 Профиль Жуковского
2.9 Обсуждение результатов
Глава 3. Поступательно-вращательные колебания цилиндра в
вязкой несжимаемой жидкости. Пропульсивное движение
3.1 Синфазные поступательно-вращательные колебания цилиндрического крыла круглого сечения
3.1.1 Определяющие уравнения
3.1.2 Силовые характеристики
3.1.3 Разложение по малому параметру
3.1.4 Стоксовское приближение
3.1.5 Задача о вторичных течениях
3.2 Структура вторичных течений при синфазных колебаниях
3.2.1 Основные режимы вторичного течения
3.2.2 Промежуточные режимы вторичного течения
3.2.3 Структура вторичных течений в предельных случаях. Поступательные колебания
3.2.4 Структура вторичных течений в предельных случаях. Преобладающие вращательные колебания
3.2.5 Структура вторичных течений в предельных случаях. Поступательно-вращательные колебания бесконечно большой частоты
3.3 Оценка границ применимости асимптотической теории
3.3.1 Прямое численное моделирование
3.3.2 Сравнение численных и аналитических результатов
3.4 Оценка эффективности движения при синфазных колебаниях
3.5 Обобщение асимптотической модели на случай произвольного сдвига фаз
3.6 Анализ аэрогидродинамики машущего цилиндрического крыла в высокочастотном приближении
3.6.1 Асимптотическое представление
3.6.2 Структура решения в главном члене
3.6.3 Структура решения в нулевом приближении
3.6.4 Определение ф0,1,0
3.6.5 Определение "ф0,1,1 0,1,1
3.6.6 Определение "ф0,1,2
3.6.7 Определение "ф0,1,3
3.6.8 Определение крейсерской скорости движения и анализ результатов
3.7 Обобщенная нелинейная асимптотическая модель
3.7.1 Определяющие уравнения и граничные условия
3.7.2 Формальное асимптотическое разложение
3.7.3 Главный член разложения
3.7.4 Второй член разложения
3.7.5 Численное решение задачи во втором члене
3.8 Оптимальные параметры пропульсивного движения
3.8.1 Оптимальная структура закона поступательных колебаний
3.8.2 Оптимальное соотношение фаз вращательных и поступательных колебаний
3.8.3 Эффективность движителя по относительным энергозатратам
3.9 Области применимости линейной и нелинейной асимптотических теорий
3.10 Обсуждение результатов
Глава 4. Высокоамплитудные поступательные и изгибные
колебания цилиндрических тел в вязкой несжимаемой жидкости
4.1 Моделирование обтекания колеблющихся тонких пластин
4.1.1 Постановка задачи
4.1.2 Численная схема
4.1.3 Верификация численной схемы
4.2 Плоские структуры течений, формирующиеся при колебаниях тонких пластин, и их гидродинамическое воздействие на пластины
4.2.1 Карта режимов течения
4.2.2 Базовый симметричный режим течения
4.2.3 Симметричный режим с формированием присоединенных вихрей
4.2.4 Симметричный режим с вертикальным отрывом вихрей
4.2.5 Воздействие гидродинамических сил на пластину в симметричных режимах течения
4.2.6 Граница устойчивости симметричных режимов и механизмы потери устойчивости
4.2.7 Режим течения с односторонним диагональным сбросом вихрей
4.2.8 Режим течения с диагональным сбросом вихрей
4.2.9 Коэффициенты сопротивления и присоединенных масс
4.3 Зависимость гидродинамических сил от геометрических характеристик пластины
4.3.1 Влияние формы торцов
4.3.2 Влияние толщины образцов
4.4 Об устойчивости плоских течений к трехмерным возмущениям
4.5 Моделирование обтекания колеблющихся балок
4.5.1 Постановка задачи
4.5.2 Численная модель
4.5.3 Верификация численной схемы
4.6 Обтекание балок разной длины
4.6.1 Трехмерная структура течений
4.6.2 Гидродинамические силы, действующие на балки
4.7 Обтекание длинных балок при разных параметрах колебаний
4.7.1 Течения в квазидвумерной зоне
4.7.2 Гидродинамическое воздействие на длинные балки
4.8 Экспериментальное исследование колебаний балок в воздухе
4.8.1 Экспериментальные измерения параметров колебаний консоли
4.8.2 Изгибные колебания
4.8.3 Вторичные крутильные колебания
4.8.4 Экспериментальная визуализация течений около балки
4.8.5 Идентификация основных параметров изгибных колебаний и характеристик силового гидродинамического воздействия
4.8.6 Определение логарифмического декремента колебаний
4.8.7 Определение относительного изменения частоты
4.8.8 Расчет аэродинамических сил, действующих на балку, по параметрам изгибных колебаний
4.9 Сравнение экспериментальных и численных результатов
4.9.1 Картины течения
4.9.2 Коэффициенты сил сопротивления и сил присоединённых масс
4.10 Обсуждение результатов
Заключение
Список рисунков
Список таблиц
Приложение А. Определение гидродинамических сил, действующих на тело в нестационарном потоке, по характеристикам течения на удаленной контрольной поверхности
А.1 Общий случай
А.2 Двумерный случай
А.3 Обтекание тела нестационарным безвихревым потоком
идеальной жидкости
А.3.1 Вычисление силы
А.3.2 Обтекание неподвижного тела
А.4 Обтекание тела потоком вязкой несжимаемой жидкости
А.4.1 Вычисление силы
А.4.2 Обтекание тела стационарным потоком с образованием
стационарного следа
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Другие cпециальности», 00.00.00 шифр ВАК
Нестационарная гидродинамика и теплообмен колеблющихся тел2012 год, кандидат физико-математических наук Малахова, Татьяна Владимировна
Теоретико-экспериментальное исследование аэродинамических свойств колеблющейся пластины2018 год, кандидат наук Камалутдинов Айрат Марсович
Экспериментальное исследование вибрационной динамики цилиндрического тела в вязкой жидкости2011 год, кандидат физико-математических наук Щипицын, Виталий Дмитриевич
Вихревые методы исследования нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости2011 год, доктор физико-математических наук Дынникова, Галина Яковлевна
Изучение подъемных сил, действующих на твердые тела в жидкости при вибрациях2018 год, кандидат наук Власова Ольга Андреевна
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Колебательное движение удлиненных тел в вязкой жидкости»
Введение
Первые результаты по взаимодействию колеблющихся тел с жидкостью были получены еще в 19 веке в фундаментальных исследованиях Стокса, Бассе и Релея, но разностороннее полномасштабное развитие исследований в данной проблемной области началось в 20 веке, когда с появлением новых технологий и ростом сложности инженерных конструкций проблема колебательного движения в жидкости приобрела особую практическую значимость. Наиболее активные направления исследования взаимодействия колеблющегося тела с жидкостью в начале и середине 20 века были связаны с изучением разрушающих резонансных явлений, таких как флаттер (20 - 40-е годы), волновое воздействие на морские сооружения (60 - 80-е годы), потеря устойчивости летательных аппаратов в результате колебаний жидкости в топливных баках (60 - 80-е годы). В конце 20 века фокус исследований сместился в сторону практического использования гидродинамических эффектов, возникающих при колебаниях тел в жидкости или колебаниях жидкости около тел. Это привело к развитию целого спектра новых прикладных областей, таких как альтернативная энергетика [13; 45; 88; 170] (в том числе создание волновых электростанций), создание высокоэффективных охлаждающих систем для микроэлектроники [23; 38; 100], разработка колебательных биомиметических движителей для беспилотных аппаратов и вибророботов [26; 33; 73; 131; 167; 168; 179; 191; 197; 219], создание акустических систем для манипуляции микро-устройствами и наночастицами (в том числе «лабораторий на чипе» и биопринтеров) [32; 39; 49; 176; 189], разработка систем гашения колебаний конструкций и жидкости в баках [90; 91; 177; 180; 181], атомно-силовая микроскопия [123; 127], развитие методов определения свойств материалов [103; 235; 236] и жидкостей [105] и др.
Несмотря на продолжительную и богатую историю исследований, теория периодического движения тел в жидкости в настоящее время хорошо разработана только в некоторых частных случаях, которые обычно тесно связаны с тем или иным прикладным направлением. Отдельные блоки теоретических и экспериментальных исследований во многих случаях почти не пересекаются между собой ни в области методов, ни в области результатов (например, сильно различаются диапазоны параметров исследования) и имеют отличия даже в терминологии. Это, безусловно, замедляет развитие всего научного направления, затрудняет получение представления об общих гидродинамических процессах
(об их подобии), происходящих при колебаниях тел в жидкости, и ограничивает возможности по систематизации результатов. В связи с этим большую научную и практическую значимость имеют не только получение новых результатов в рамках отдельных прикладных тематик, но и построение взаимосвязей, обобщение, разработка универсальных моделей, формирование единого ядра теории периодического движения. Это определяет актуальность темы исследования.
Объектом исследования в настоящей диссертации является гидродинамика взаимодействия колеблющегося тела с жидкостью.
Предметом исследования являются течения, индуцированные колебаниями удлиненных цилиндрических тел, и соответствующее им гидродинамическое воздействие.
Гидродинамика колеблющегося удлиненного тела рассматривается в диссертации в разрезе трех разных классов задач: о колебаниях твердых цилиндрических тел в покоящейся жидкости, об упругих колебаниях удлиненных тел в жидкости и о пропульсивном движении колеблющихся тел (колебательных движителях). Каждый из них традиционно представляет отдельный объект исследования в своей предметной области.
Целью работы является изучение общих структурных особенностей течений, индуцированных колебаниями удлиненных твердых и упругих тел, и определение характеристик гидродинамического воздействия на тела, оказываемого этими течениями.
Для достижения поставленной цели ставятся следующие задачи:
1. Изучение периодического поступательного движения твердого цилиндрического тела с произвольным профилем сечения в вязкой несжимаемой жидкости по произвольному закону колебаний. Построение высокочастотной малоамплитудной асимптотической модели для этого случая. Построение структурных формул для определения гидродинамических сил, действующих на колеблющееся цилиндрическое тело. Выявление границ применимости таких формул.
2. Исследование процессов взаимодействия течений, возникающих при совместных поступательно-вращательных колебаниях (машущем движении) цилиндрического тела. Построение асимптотической модели движения машущего крыла, совершающего направленное поступательное движение в вязкой жидкости. Изучение вторичных стационарных
течений, индуцированных колебаниями. Определение эффективности такого колебательного движителя на базе построенной теории.
3. Анализ трансформации течений и изменения гидродинамического воздействия при переходе от малоамплитудных к высокоамплитудным колебаниям тонких длинных пластин. Анализ границ применимости плоских моделей обтекания.
4. Проведение экспериментального и трехмерного численного исследования гидродинамического воздействия на тонкую консольно-закреплен-ную балку, совершающую упругие колебания в жидкости. Изучение границ применимости квазидвумерных моделей обтекания.
Методология и методы исследования. Для решения поставленных задач и достижения цели исследования используется комплекс аналитических, численных и экспериментальных методов.
Основу аналитического блока составляют асимптотические методы. Во второй и третьей главах реализуется асимптотическое разложение решения полной системы уравнений Навье-Стокса для исследования структуры гидродинамических течений и соответствующего гидродинамического воздействия в условиях малоамплитудных поступательных и поступательно-вращательных колебаний цилиндрических тел. Строятся четыре различные асимптотические модели:
а) модель высокочастотных малоамплитудных поступательных колебаний тела с произвольным профилем сечения в жидкости;
б) модель малоамплитудных поступательно-вращательных колебаний с малыми углами поворота и произвольной частотой;
в) модель высокочастотных малоамплитудных поступательно-вращательных колебаний с произвольным углом поворота.
г) модель поступательно-вращательных колебаний с произвольными углами поворота и произвольной частотой;
Модели высокочастотных колебаний (а,в) развивают погранслойный подход, сформулированный впервые Шлихтингом [128; 221], когда решение в каждом члене разложения представляется в виде суммы внутреннего (погранслойного) и внешнего решений. Моделирование течения в пограничном слое при этом сводится к аналитическому решению обыкновенных дифференциальных уравнений, для моделирования течений во внешней области в нескольких членах аналитически решаются гармонические и бигармонические уравнения. Относи-
тельно простая структура решений позволяет в рамках модели (а) рассмотреть
и и и С/ 1
задачу в обобщенной криволинейной системе координат, заданной конформным отображением внешности профиля колеблющегося тела на внешность круга, т.е. исследовать движение цилиндрического тела с произвольным профилем сечения.
Модели (б,г), описывающие колебания с произвольной частотой, развивают подход, впервые изложенный в работе Хольцмарка [59]. На каждом асимптотическом уровне задача не расщепляется на внутренние и внешние подзадачи, а рассчитывается целиком. Это в значительной степени усложняет и ограничивает возможности аналитического решения, но позволяет исследовать весь диапазон частот колебаний, что чрезвычайно важно для моделирования колебательных движителей.
За счет выбора разных параметров разложения и удержания разного количества членов, асимптотические модели позволяют охватить достаточно широкий практически важный диапазон параметров задачи о периодическом движении удлиненного тела. Решение задачи при этом позволяется учесть ключевые нелинейности, возникающие в уравнении Навье-Стокса.
Для апробации конечных результатов, определения границ применимости асимптотической теории, исследования вторичных течений (во второй и третьей главах), а также для исследования высокоамплитудного диапазона (в четвертой главе) в работе применяется прямое численное моделирование. Численное решение задач проводится в двумерной и трехмерной постановках. Реализация численных схем выполняется на базе конечно-объемного подхода с использованием библиотек пакета ОрепБОАМ [55], также в рамках разработки собственного кода, основанного на конечно-разностном подходе.
Экспериментальные методы исследования используются в четвертой главе работы для изучения упругих колебаний балок. Для наблюдения за течением около балки использовался метод дымовой визуализации. Для идентификации аэрогидродинамического воздействия на балку использовался теоретико-экспериментальный метод, впервые изложенный в работах [222; 236]. Экспериментальная часть метода базируется на измерении перемещений свободного конца дюралюминиевой консоли при колебаниях, вызванных начальным отклонением образца из состояния равновесия. Использование дюралюминия в качестве материала для изготовления тест-образцов (в силу низких собственных демпфирующих свойств этого материала, практически не зависящих от амплитуды
колебаний), позволяет разделять вклады внешнего аэродинамического и внутреннего механического воздействий в демпфирование. В диссертации проведена серия экспериментов, в рамках которых колебания консоли регистрируются трехосным МЭМС (микроэлектромеханическим) гироскопом. Подобный легкий миниатюрный датчик, установленный на балку, позволяет с высокой точностью измерять угловые скорости одновременно в трех плоскостях. Это дает возможность отслеживать трехмерные колебания балки, которые могут возникать в силу комплексного нелинейного аэродинамического воздействия, вследствие структурных особенностей материала или метода крепления образцов.
Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем: 1. Получены структурные формулы для определения гидродинамической силы, действующей на цилиндрическое тело с произвольным профилем сечения, совершающее малоамплитудные высокочастотные поступательные колебания по произвольному закону.
2т~ч V-/ V-/ V-/ V-/
. В рамках построенной общей асимптотической модели, описывающей гидродинамику при поступательных колебаниях цилиндрического тела, получены частные решения для эллиптического цилиндра, симметричного профиля Жуковского, скругленных многогранных профилей, прямоугольного цилиндра. Описано появление вторичных стационарных гидродинамических эффектов. 3. Построены асимптотические решения, описывающие гидродинамику машущего цилиндрического крыла круглого сечения в крейсерских режимах движения. В предположении о малости амплитуд вращательных и поступательных колебаний получено аналитическое решение задачи: найдены явные выражения для определения крейсерской скорости движения крыла в зависимости от безразмерной частоты, амплитуды вращательных колебаний и фазового сдвига, подробно описаны структуры соответствующих стационарных течений. Для случая высокочастотных колебаний аналитически описаны нелинейные изменения скорости при больших амплитудах вращения. Для случая произвольных частот и амплитуд вращательных колебаний в широком диапазоне параметров построено аналитико-численное решение. С помощью прямого численного моделирования получены оценки применимости каждой из вышеперечисленных моделей.
4. Для случая произвольного закона поступательных и гармонического закона вращательных колебаний найдены оптимальные параметры пропульсивного движения машущего цилиндрического крыла круглого поперечного сечения. Показано, что в оптимальных режимах движения рассматриваемое машущее крыло по относительным энергозатратам является одним из наиболее эффективных движителей в диапазоне малых и умеренных чисел Рейнольдса (Яе<1000).
5. Для случая тонких длинных пластин, совершающих поступательные колебания в вязкой несжимаемой жидкости, описаны трансформации течений, сформирована карта режимов и изучены изменения гидродинамического воздействия при переходе от малоамплитудных к высокоамплитудным колебаниям. Построены оценки границ применимости асимптотических малоамплитудных моделей, описано влияние геометрических характеристик пластин на гидродинамические силы, получены оценки влияния трехмерных эффектов, возникающих при высокоамплитудных колебаниях, на гидродинамическое воздействие.
6. С помощью трехмерного численного моделирования описаны структурные особенности течений, появляющихся при изгибных колебаниях тонких длинных балок (консольно-закрепленных пластин) в вязкой жидкости. Определены условия возникновения и зоны локализации квазидвумерных течений около балок, структура и интегральные характеристики которых подобны тем, что возникают при поступательных колебаниях пластин. На базе квазидвумерной теоретической модели и экспериментальных измерений колебаний консольно-закрепленных образцов в воздухе получены оценки локального гидродинамического воздействия на балки.
Практическая значимость. Большинство результатов диссертационной работы имеют, главным образом, теоретический характер. В то же время полученные в рамках исследования структурные формулы для оценки гидродинамического воздействия на удлиненные цилиндрические элементы могут быть использованы при разработке прикладных методов расчета конкретных конструкций и устройств. Так, в частности, оценки гидродинамического воздействия на удлиненные балочные конструкции при резонансных изгибных колебаниях уже нашли свое применение в области оценки демпфирующих свойств материалов [101—103]. Результаты по исследованию пропульсивного
движения колеблющихся тел могут быть использованы при разработке движителей (в частности, биомиметического типа) для подводных и летательных аппаратов.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Общие структурные формулы для гидродинамической силы, действующей на колеблющееся цилиндрическое тело, совершающее малоамплитудные высокочастотные поступательные колебания по произвольному закону [224; 226].
2. Частные асимптотические решения, описывающие гидродинамику при поступательных малоамплитудных высокочастотных колебаниях цилиндров с различной геометрией сечения: эллиптического цилиндра, симметричного профиля Жуковского, скругленных многогранных профилей, прямоугольного цилиндра [224; 226; 238].
3. Асимптотические модели, описывающие гидродинамику машущего цилиндрического крыла круглого сечения в крейсерском режиме движения [223; 225; 232; 234].
4. Явные выражения для определения крейсерской скорости движения цилиндрического крыла круглого поперечного сечения в зависимости от безразмерной частоты, амплитуды вращательных колебаний и фазового сдвига [225; 232; 234].
5. Решение задачи оптимизации пропульсивного движения машущего цилиндрического крыла круглого поперечного сечения [225].
6. Карта режимов течения и зависимости гидродинамических сил от параметров колебаний, построенные для случая поступательных высокоамплитудных колебаний тонких пластин в вязкой несжимаемой жидкости [228; 231].
7. Результаты трехмерного численного исследования обтекания колеблющихся балок. Карта режимов в зоне квазидвумерных течений, зависимости локальных характеристик гидродинамического воздействия от локальных значений амплитуды колебаний [229; 241].
8. Результаты экспериментального измерения гидродинамического воздействия на колеблющиеся консольно-закрепленные балки в воздухе [233; 241].
Достоверность следует из корректности математических постановок задач, внутренних проверок используемых методов, согласованности полученных
аналитических, численных и экспериментальных результатов, а также из их соответствия известным ранее данным.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
1. Международная школа-семинар «Модели и методы аэродинамики», г. Сочи, 2022.
2. IX Белорусский конгресс по теоретической и прикладной механике «Механика-2022», г. Минск (Белоруссия), 2022.
3. Открытая конференция ИСП РАН им. В.П. Иванникова, г. Москва, 2017-2022.
4. Всероссийская научно-практическая конференция «Вторая конференция Математических центров России», г. Москва, 2022.
5. Итоговые конференции Казанского (Приволжского) федерального университета за 2014-2022 годы, г. Казань, 2014-2022.
6. Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», г. Ярополец, 2014, 2022.
7. Семинар по аэромеханике ЦАГИ - ИТПМ СО РАН - СПбПУ - НИИМ МГУ, 2021.
8. Second International Nonlinear Dynamics Conference (NODYCON 2021), г. Рим (Италия), 2021.
9. Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, г. Алушта, 2015, 2017, 2019, 2021.
10. Всероссийская научная конференция с международным участием «Актуальные проблемы механики сплошной среды — 2020», г. Казань, 2020.
11. 8-th International Symposium on Bifurcations and Instabilities in Fluid Dynamics, г. Лимерик (Ирландия), 2019.
12. XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, г. Уфа, 2019.
13. 14th International Conference on Vibration Engineering and Technology of Machinery (VETOMAC XIV), г. Лиссабон (Португалия), 2018.
14. Международная конференция по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (NPNJ'2018), г. Алушта, 2018.
15. VII International Conference on Coupled Problems in Science and Engineering, о. Родос (Греция), 2017.
16. VII European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS Congress 2016), о. Крит (Греция), 2016.
17. X Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем», г. Нижний Новгород, 2016.
18. XI Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях, г. Алушта, 2016.
19. Bifurcations and Instabilities in Fluid Dynamics, г. Париж (Франция), 2015.
20. 11th World Congress on Computational Mechanics (WCCM XI), г. Барселона (Испания), 2014.
21. XVII школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», г. Сочи, 2014.
22. Всероссийская научная конференция «Обратные краевые задачи и их приложения», г. Казань, 2014.
23. 9th OpenFOAM Workshop, г. Загреб (Хорватия), 2014. Диссертация является составной частью фундаментальных исследований, проводимых в рамках грантов РФФИ 14-01-31230, 16-31-00462, РНФ 15-19-10039, 19-71-00038, 22-79-10033 и программы повышения конкурентоспособности КФУ «Приоритет 2030».
Личный вклад. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который был получен непосредственно соискателем, заимствованный материал обозначен в диссертации ссылками.
В работах [224; 226; 227; 230; 238—240], на материале которых основана вторая глава диссертации, соискателем выполнена разработка асимптотических и численных моделей, проведена обработка, систематизация и описание результатов исследования. Соавторами выполнялись подготовка расчетных сеток, численные расчеты, расчет интегральных характеристик, подготовка графического материала, редакторская работа. С консультантом Егоровым А.Г. обсуждались полученные результаты исследований.
В работах [223; 225; 232; 234], на материале которых основана третья глава диссертации, соискателем выполнены математические постановки задач, выбраны ключевые методы исследования, реализованы асимптотические и
численные решения, проведена обработка, систематизация и описание результатов исследования. Консультанту Егорову А.Г. принадлежат идеи о построении нелинейных асимптотических моделей, о подходах к классификации режимов течения, формулировки задач оптимизации. С Егоровым А.Г. обсуждались полученные результаты исследований.
В работах [228; 229; 231; 233; 241], материал которых включен в четвертую главу диссертации, соискателем выполнены математические постановки задач, выбраны ключевые методы исследования, реализованы численные модели, проведены эксперименты, обработка, систематизация и описание результатов исследования. Соавторами выполнялись подготовка расчетных сеток, численные расчеты, расчет интегральных характеристик, подготовка графического материала, редакторская работа. Материалы работ [222; 235—237], частично включенные в четвертую главу диссертации в качестве связующего и дополняющего материала, полученные соискателем совместно с соавторами, обозначены в диссертации ссылками.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 35 публикациях, 10 из которых опубликованы в отечественных рецензируемых научных изданиях [223; 224; 232; 234; 236—241], рекомендованных ВАК, 10 — в иностранных журналах [222; 225—231; 233; 235], индексируемых Web of Science или Scopus, 15 — в тезисах докладов и материалах конференций.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 1 приложения. Полный объём диссертации составляет 258 страниц, включая 104 рисунка и 11 таблиц. Список литературы содержит 241 наименование.
Глава 1. Об исследованиях гидродинамики колеблющихся тел
1.1 Колебания твердого цилиндрического тела в вязкой несжимаемой
жидкости
Одно из первых аналитических исследований колебаний тела в покоящейся жидкости было проведено Стоксом в 1851 году в работе [137], в рамках которой впервые были получены оценки гидродинамического воздействия на круглый цилиндр, совершающий поступательные гармонические колебания. Решение Стокса, построенное в предположении о малости амплитуды колебаний, не учитывало вклад конвективных слагаемых. Для оценки их значимости Шлихтинг [128; 221] в 1932 году предложил использовать метод последовательных асимптотических приближений. В рамках полученного решения во втором приближении, Шлихтингом впервые теоретически были описаны вторичные стационарные течения, появляющиеся на фоне первичного нестационарного движения жидкости. Это особый эффект, возникающий при колебаниях тел различной формы в результате нелинейного взаимодействия временных гармоник.
Идеи Стокса и Шлихтинга легли в основу широкого класса исследований малоамплитудных колебаний тел различной формы в покоящейся (на бесконечности) жидкости. Наибольшее развитие асимптотическая теория получила для задачи обтекания гармонически колеблющегося круглого цилиндра. Для случая малоамплитудных колебаний решения задачи с разным порядком точности были найдены в работах [59; 159], [57; 119; 120; 138], [209].
Обобщенная для произвольного сечения цилиндра теория Стокса была сформулирована в работе Тука [153], однако ее результаты дали лишь концептуальный подход к решению общей задачи, формально сводящийся к использованию метода граничных элементов. С применением этого метода автором было получено полуаналитическое решение задачи о гармонических колебаниях бесконечно тонкой пластинки с бесконечно малой амплитудой и рассчитаны гидродинамические силы, действующие на пластину. Дальнейшее свое развитие этот метод получил в работах [2; 28], где были проведены расчеты гидродинамического сопротивления для задач о гармонических колебаниях пластин конечной толщины и пластин с фланцами. Все конечные результаты этих исследований являются численными. Для практического использования по данным этих исследований в работах [2; 12; 14; 111; 123] были построены аппроксима-ционные зависимости гидродинамических сил.
Асимптотическая теория легла в основу многочисленных исследований свойств и структурных особенностей вторичных стационарных течений, формирующихся около осциллирующих цилиндрических тел с разной формой сечения в жидкости. Изучение структуры вторичных течений, возникающих при малоамплитудных колебаниях круглого цилиндра, проводилось в работах [57; 119; 120; 138; 209], вторичные течения около квадратных цилиндров с разным радиусом скругления углов и цилиндров с нессимметричным сечением близким к круглому рассматривались в работе [72]. Решение задачи о колебаниях эллиптического цилиндра с помощью асимптотического подхода в различных приближениях проводилось в работах [37; 68; 116]. До настоящего времени асимптотические методы остаются одними из самых эффективных методов моделирования течений при малоамплитудных колебаниях, это делает их перспективным инструментом для решения широкого класса новых прикладных задач в таких областях, как разработка микрофлюидных устройств, систем манипуляции микрочастицами, систем биопринтинга и т.д (см., например, [77; 94]).
В диапазоне умеренных и больших амплитуд основным источником данных о развитии гидродинамики при колебательном движении тел в покоящейся жидкости являются экспериментальные и численные (основанные на прямом решении уравнения Навье-Стокса) исследования. Как и в аналитических исследованиях, значительная часть результатов здесь получена для случаев колебаний цилиндрических тел с простой формой сечения: круглой, прямоугольной, ромбовидной.
Основу экспериментального блока составляют классические гидродинамические исследования, проведённые в 60 - 80-х годах прошлого века [16—19; 71; 134]. Эти работы сформировали общую концепцию для анализа и интерпретации результатов как ранее проведенных аналитических исследований, так и всех последующих работ по изучению колебаний тел в покоящейся жидкости. В ходе многочисленных экспериментов с цилиндрическими телами различного сечения в работах [19; 71; 134] были установлены (ставшие далее традиционными) ключевые параметры подобия течений около гармонически колеблющихся тел, имеющих одинаковые геометрические характеристики: число Келегана-Кар-пентера КС = пА/Я (где А - амплитуда колебаний, Я - характерный размер тела, например, радиус круглого цилиндра), характеризующее безразмерную амплитуду колебаний, и колебательное число Рейнольдса в = 2В2ш/(пу) (где ш - угловая частота, V - кинематическая вязкость жидкости), или число Сток-
Похожие диссертационные работы по специальности «Другие cпециальности», 00.00.00 шифр ВАК
Взаимодействие упругих конструкций с потоком жидкости2022 год, кандидат наук Коваль Кирилл Алексеевич
Исследование отрывных обтеканий тел методом численного решения уравнений Навье-Стокса2013 год, кандидат физико-математических наук Алексюк, Андрей Игоревич
Аэрогидродинамический анализ упругих элементов движущего типа методом интегральных уравнений2015 год, кандидат наук Тарасов Александр Евгеньевич
Нестационарные аэродинамические характеристики плоских и пространственных решеток турбомашин в дозвуковом потоке: Методы расчета и свойства1998 год, доктор физико-математических наук Рябченко, Валерий Павлович
Течение вязкой жидкости вокруг осциллирующего цилиндра: численный эксперимент, бифуркационный и асимптотический анализ2013 год, кандидат наук Нуриев, Артем Наилевич
Список литературы диссертационного исследования доктор наук Нуриев Артем Наилевич, 2023 год
иСО -
и\ )2( + (u¡ )2( ^(и\({ )2 + (и{(\ )2.
Соответствующие кривые изображены на рис. 3.17 красным цветом.
Представляет интерес и иная оптимизационная задача (называемая нами далее ОрИт2), требующая при единичной амплитуде колебаний (А — 1) найти сдвиг фаз ф, обеспечивающий максимальное значение крейсерской скорости безотносительно к величине диссипации. Ее решение дает
ОрИт2 : ф — агС;ап--
и =
2иС и{
у/и )2 + (и )2 ■
Соответствующие кривые изображены на рис. 3.17 зеленым цветом. Ясно, что в этой задаче крейсерская скорость и диссипация энергии будут больше чем
в предыдущей (задаче Орйш1). Как видно из рис. 3.17, обе оптимизационные задачи дают близкие друг к другу крейсерские скорости. В то же время фазовые углы заметно отличаются из-за различия в скоростях диссипации энергии.
3.8.3 Эффективность движителя по относительным энергозатратам
В заключение данной главы вернемся к изучению оптимальных режимов движения по относительным энергозатратам, используя результаты нелинейной асимптотической модели. Эффективность движения Еге1 определим согласно формуле (3.17), как Еге1 — (10/(1, где (10 - безразмерная диссипация энергии при движении цилиндра с постоянной скоростью иж (на буксире)
4 — Со (Ке) ^,
й - диссипация при рассматриваемом колебательном движении.
Примем, что в рассматриваемом нами колебательном процессе диссипация определяется с достаточной точностью главным О (КС-1) членом асимптотического разложения
а ~ КС 2 ^ .
Таким образом, коэффициент эффективности вычисляется как:
Еге1 — Ц « СоКС3 е/п3, е(в,в, ф) — и~(в>в>ф) . (3.58)
л 2яв2о?д-1) (в)
Можно поставить задачу максимизации эффективности колебательного движителя за счет выбора параметров КС, в, в, ф. В рамках рассматриваемой модели максимизация (3.58) по КС тривиальна: наибольшим амплитудам поступательных колебаний соответствует наибольшая эффективность. Однако здесь возникает вопрос о границах пригодности асимптотической теории, построенной в предположении КС ^ 1. Замечания по этому вопросу даны в разделе 3.9.
Здесь же остановимся на задаче максимизации функции е(в,в, ф) по ее аргументам. Задача максимизации по ф крейсерской скорости иж, а значит, и эффективности е решена ранее (ОрИш2). Ее решение определяет оптимальное значение ф как функцию параметров в, в (см. рис. 3.17). При каждом фиксированном в функция е(в,в,ф (в,в)) имеет по в выраженный максимум в (в) (см. рис. 3.18). Таким образом, для каждого в оказываются определены оп-
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 Рисунок 3.18 — Зависимость £(в,6,ф(в,6)) от в при различных в- Маркеры указывают положение максимума функции. Нормировочный множитель в-1/2 использовался из-за того, что £ ~ д/Р при в ^ то
тимальные параметры и характеристики колебательного движителя: амплитуда вращательных колебаний 6, сдвиг фаз ф, безразмерная крейсерская скорость безразмерный показатель эффективности £. Все они представлены на рис. 3.19. Там же приведены результаты расчета оптимальных параметров по модели Optim1. Как можно видеть, ключевые характеристики пропульсивного движения - крейсерская скорость и относительные энергозатраты - у этих двух моделей оказываются достаточно хорошо согласованы.
3.9 Области применимости линейной и нелинейной асимптотических
теорий
Проведем сопоставление полученных в работе оценок крейсерской скорости движения машущего цилиндрического крыла с результатами линейной асимптотической модели и данными прямого численного моделирования (полученными в разделе 3.3).
На рис. 3.20 для случаев Vx = cost (синфазные вращательно-поступатель-ные колебания) и Vx = siní представлены результаты сравнения линейной и нелинейной моделей в параметрической плоскости (в,6). Области согласования асимптотических моделей, в которых относительная погрешность линейной
1
0.8 0.6 0.4 0.2 0
Рисунок 3.19 — Оптимальные характеристики колебательного движителя: амплитуда вращательных колебаний в, сдвиг фаз ф, безразмерная крейсерская скорость , безразмерный показатель эффективности И. Сплошные линии отвечают выбору ф согласно Орйш2, штриховые - Орйш1.
аппроксимации не превышала 5%, изображены на рис. 3.20 зеленым цветом, области, где нелинейная модель давала принципиальные поправки (> 5%) -красным. Как можно видеть, линейная асимптотическая модель, дающая хорошее приближение в значительной части параметрической плоскости при синфазных колебаниях (в том числе, в практически важном диапазоне в > 100, в ^ 1.5), имеет весьма ограниченную применимость при ф = —п/2, где при в > 100 оказывается валидна только для малых углов поворота в < 0.5. Это подтверждается и результатами численного моделирования. На рис. 3.21 представлены зависимости крейсерской скорости от амплитуды вращательных колебаний для разных значений ф. Как можно видеть, предсказанное нелинейной моделью изменение крейсерской скорости в широком диапазоне изменения в достаточно хорошо согласуется с численными оценками иж при КС ^ 0.5. Диапазон применимости линейной модели по в при ф = 0, как уже отмечалось ранее, оказывается весьма ограничен.
Изменения фазового угла значительно влияет и на верхнюю границу
применимости моделей по амплитудам поступательных колебаний КСцш. По/Л V-/ V-/ С/ V/ V-/
скольку для ф = 0 результаты линейной и нелинейной моделей почти не
0.1 1 10 100 1000 , 0.1 1 10 100 1000 /з
Рисунок 3.20 — Области применимости (помечена зеленым) линейной асимптотической модели для Vx = cost (слева) и Vx = sint (справа) отвечают
относительным погрешностям менее 5%.
отличаются в диапазоне в ^ 1.5, то для этого случая справедливы те же оценки КСцт, что и для линейной модели (полученные в разделе 3.3): КСцш « 2.5 в диапазоне низких частот 100 ^ в ^ 300, КСцт « 1 в диапазоне высоких частот 300 < в < 4000. Для других значений фазовых углов область применимости уменьшается. Как можно видеть на рис. 3.21, уже при КС = 0.5 в области больших значений безразмерной частоты в > 1200 значения крейсерской скорости, предсказанные нелинейной теорией, начинают отличаться более чем на 15% от результатов численного моделирования при ф = п/4. Линейная теория для данного случая из-за относительно больших значений амплитуды вращательных колебаний (в = 0.955) оказывается слабо применима практически во всем диапазоне в .
3.10 Обсуждение результатов
Подводя итоги, сформулируем основные результаты, полученные в данной главе:
1. Исследован механизм возникновения ненулевой средней скорости движения при периодических поступательно-вращательных колебаниях цилиндрического крыла круглого сечения в вязкой несжимаемой жидкости. С помощью метода асимптотических разложений для случая малых амплитуд (КС ^ 1) поступательных колебаний построено решение задачи в двух прибли-
и
-КС « 1, <р = О, /3 = 100 --■© < 1,КС< 1, <¿> = 0,/3 = 100
о КС = 0.5, <р = 0, /3 = 100 * КС = 0.4, <р = 0, (3 = 100
-КС < 1, ч> = тг/2, /3 = 250 * КС = 0.5, (р = -к/2, /3 = 250
--.0 « 1, ЯСС « 1, р = тг/2, /3 = 250 -КС <С 1, у = тг/4, /3 = 250
КС = 0.25, ^ = тг/4, /3 = 250
Рисунок 3.21 — Графики зависимости крейсерской скорости от амплитуды вращательных колебаний для разных значений параметров ф и в. Пунктирные линии - линейная асимптотическая теория, сплошные линии - нелинейная асимптотическая теория, маркеры - численные расчеты
жениях: для случая малых амплитуд вращательных колебаний в ^ 1 (линейная модель) и для произвольных амплитуд в (нелинейная модель).
2. Показано, что средняя скорость возникает во вторичном течении в результате нелинейного взаимодействия временных гармоник поступательных и вращательных колебаний. Анализ структуры решения показывает, что присутствие нечетных гармоник в законе поступательных колебаний отвечает за возникновение средней скорости в направлении, перпендикулярном оси поступательных колебаний. В свою очередь, присутствие четных гармоник приводит к появлению средней скорости в направлении, параллельном оси колебаний. Найдена зависимость средней скорости от безразмерных параметров колебания для
V / V-/ V-/ ^ \
случая движения в крейсерском режиме (с нулевой средней силой).
3. Пропульсивное движение, индуцированное поступательными колебаниями по нечетным гармоникам, является существенно более эффективным. При этом вклад в крейсерскую скорость от первой гармоники является определяющим. Вклад более высоких гармоник во всей исследованной области не превышал 2%. Вследствие чего синхронное движение, когда поступательные ко-
•КС ^ 1, у> = 7г/4 ^ КС = 0.25, ц> = тг/4
О КС = 0.5, 1р = тг/4 ---в< 1, (р = 7г/4
-КС 1, <р = 0 ---0« 1, КС<. 1 <р = 0
□ КС = 0.5, (р = 0
Рисунок 3.22 — Графики зависимости крейсерской скорости от безразмерной частоты колебаний в для разных значений параметра ф. Пунктирные линии -линейная (по в) асимптотическая теория, сплошные линии - нелинейная асимптотическая теория, маркеры - численные расчеты
лебания совпадают по частоте с вращательными, можно считать практически оптимальным.
4. При синфазных колебаниях крейсерская скорость может иметь как положительный (прямое движение), так и отрицательный знак (обратное движение) в зависимости от безразмерной частоты колебаний в. Для прямого и обратного движения (в рамках линейной модели) проведен анализ структуры вторичных течений. По характерным структурным особенностям выделены 10 основных режимов обтекания А-К, построена карта режимов в параметрической плоскости (вД).
5. Результаты решения задачи минимизации энергозатрат в классе синхронных режимов движения (в рамках нелинейной модели) показывают, что оптимальная (по относительным энергозатратам) крейсерская скорость рассматриваемого цилиндрического крыла иж практически не зависит от безразмерной частоты колебаний. Ее значение варьируется в диапазоне 0.85 < иж < 0.9. Соответствующие оптимальным режимам движения значения фазового угла ф и амплитуды в вращательных колебаний изменяются (монотонно убывают) от
Ф « 1.41, в « 1.57 при малых в до Ф ~ 0.94, в « 0.79 при в ~ 5 • 103 (см. рис. 3.19). Найденная оптимальная крейсерская скорость движения достаточно хорошо согласуется с оценками оптимальной скорости движения птиц и гид-робионтов, а также с данными лабораторных экспериментальных исследований оптимальных характеристик движения машущего крыла [11; 117; 150; 152; 160]. Так, в частности, результаты [150] показывают, что практически все птицы, крылатые насекомые и рыбы, имеющие разные размеры и частоту колебательного движения в воде и воздухе, перемещаются в оптимальных (в том числе крейсерских) режимах в диапазоне чисел Струхаля 0.2 < St < 0.4 (St = 1/(гсито)) или, что эквивалентно, с безразмерной скоростью 0.8 < иж < 1.6. Это хорошо согласуется с результатом (0.85 < иж < 0.9), полученным в настоящей работе.
6. Сопоставление оценок эффективности по относительным энергозатратам для различных видов движителей показывает, что рассматриваемое цилиндрическое машущее крыло можно отнести к наиболее эффективным движителям в области Re ~ 102 — 103. При синфазных колебаниях в оптимальном режиме тело с диаметром (хордой) крыла 4 мм и частотой колебания 240 Гц, согласно полученной теории, может передвигаться в воздухе со средней скоростью 1.63 м/c. Это примерные параметры и скорость движения комнатной мухи (musca domestica).
7. Для апробации асимптотического решения была проведена серия численных расчетов, в рамках которых гидродинамика около цилиндра описывалась полной нестационарной системой уравнений Навье-Стокса. Моделировалось движение в диапазоне больших и умеренных в в прямых режимах движения. Сопоставление результатов показало, что диапазон применимости построенного асимптотического решения (где разница между теоретическими и численными оценками крейсерской скорости не превышает 12%) при синфазных колебаниях (как для линейной, так и для нелинейной моделей) для умеренных частот 100 ^ в ^ 300 определяется как 0 < КС ^ 2.5, 0.3 ^ в ^ 1.7, для высоких частот 300 < в < 4000 он имеет следующие границы 0 < КС ^ 1, 0.3 ^ в ^ 1.7. Для ф = 0 область применимости линейной модели существенно уменьшается. Так, при ф = п/2 линейная модель валидна только при в ^ 0.4. Вследствие чего в практически интересном диапазоне больших углов поворота необходимо использовать нелинейную модель. Область ее применимости, в свою очередь, для Ф = 0 ограничена по амплитудам поступательных колебаний. Как показывают
результаты расчетов, для ф = п/4 при в < 1200 нелинейная модель корректно предсказывает крейсерскую скорость в диапазоне КС ^ 0.5.
Глава 4. Высокоамплитудные поступательные и изгибные колебания цилиндрических тел в вязкой несжимаемой жидкости
4.1 Моделирование обтекания колеблющихся тонких пластин
4.1.1 Постановка задачи
Перейдем к более детальному изучению изменений в гидродинамике, происходящих при выходе за границы применимости асимптотических (малоамплитудных) моделей. Рассмотрим задачу о обтекании тонких бесконечно длинных (цилиндрических) пластин в вязкой несжимаемой жидкости, которые совершают гармонические колебания вдоль оси Оу с амплитудой А и частотой ш. Проведем численное исследование плоских течений жидкости, формирующихся в результате колебаний, а также анализ гидродинамических сил, вызываемых этими течениями, в широком диапазоне изменения амплитуд колебания.
Рассмотрим пластины трех разных типов: пластины с прямоугольным сечением, пластины с усечёнными торцами, пластины со скруглёнными торцами. Схематичное изображение пластин каждого типа представлено на рис. 4.1. В качестве геометрических параметров далее будем использовать относительную толщину Ь = Яу/Ях, а также безразмерный радиус скругления г8 = г/Яу (для скруглённых образцов).
Рисунок 4.1 — Геометрические характеристики пластин
Решение задачи будем проводить в подвижной декартовой системе координат, жёстко связанной с пластиной. Проводя нормировку пространственных координат, времени и скорости на Ях, Яхи0—1, —и0 (Щ = Аш) соответственно, запишем систему уравнений движения жидкости в следующем виде:
- + и -V« = + — V2«, (ЗД
V ■ и = 0.
Здесь и = (их,иу) - безразмерная скорость, р - фиктивное давление, равное сумме истинного давления р и инерционной составляющей р, которая возникает в результате перехода в подвижную систему координат (см., например, [40]) и может быть определена как
^ = укс81П( кс1). (4.2)
Безразмерные параметры в и КС определены точно так же, как и в предыдущих главах
в = МШ, КС = 2пЛ
2пу Ях
На поверхности пластины 50 в новой системе координат задаются условия прилипания:
(х,у) е 5о : их = иу = 0.
На бесконечности изменение скорости определяется по следующему гармоническому закону:
2п
КС'
(х,у) ^ то : их = 0, иу = = I),
где - скорость осцилляционного потока.
Вычисление гидродинамических сил и момента, действующих на пластину со стороны жидкости, в представленной безразмерной постановке проводится по формулам:
f = (Л, ¡у,0) = / рпй-в — Е ■ пй-в,
О во О во
т = (0,0,т^) = Го х рпйв — / г0 х Е ■ пйв,
«/ 5п ^ Яп
/у = пСм -тг + С в Ыи^ (4.4)
где Е - тензор вязких напряжений, п - внутренняя единичная нормаль к поверхности пластины, г0 - радиус-вектор, направленный из центра к поверхности пластины. Как уже отмечалось раннее, вычисленная в подвижной системе координат сила определена по фиктивному давлению и поэтому содержит дополнительный вклад (называемый силой Крылова-Фруда) от инерционной составляющей р (4.2). Он может быть вычислен следующим образом:
2п 2п Г
}К=/ш^ кс1) (43)
Для анализа продольной составляющей силы будем применять разложение Морисона. В используемой безразмерной постановке оно может быть записано следующим образом:
п -и
Вычисление гидродинамических коэффициентов Св ,См будем проводить на каждом периоде колебания Т = КС с помощью интегрирования:
1 гт+г° 2п 3П гт+г° 2п
см = -п^ ^ 1у ^п(ксс° = 4т1 1у С0й(КС^
4.1.2 Численная схема
Численное решение задачи проводилось в пакете ОрепБОАМ. Плоскость течения хОу ограничивалась прямоугольной областью размерами (1х, 1у), стороны которой устанавливались параллельно основным осям координат. Обтекаемая пластина помещалась в центре расчетной области в начале координат.
Для дискретизации расчётной области использовались блочные сетки, ячейки которых в плоскости течения имели четырехгранную форму. Разрешающая способность сеток вблизи пластины регулировалась за счёт линейного сгущения узлов в направлении нормалей к сторонам пластины, а также последовательного дробления ячеек в окрестности ее границ (рис. 4.2).
Для моделирования обтекания прямоугольных, усеченных и скругленных пластин использовались практически идентичные сетки, отличия между которыми заключались только в нескольких десятках ячеек в зоне торцов. Основные параметры применяемых расчетных сеток представлены в таблице 7, где N -общее количество ячеек, Утп - минимальный объем ячеек в пограничном слое пластины, N - количество ячеек на границе пластины, Утах - максимальный
Рисунок 4.2 — Структура расчетной сетки в окрестности торца пластины
Таблица 7 — Характерные параметры расчётных сеток
Сетка N ^тгп ^тах Nр , 1у )
М1 : и 0.7 х 105 и 6.7 х 10-5 и 2.6 и 280 (40,60)
М2 : и 1.7 х 105 и 3 х 10-5 и 1.2 и 430 (40,60)
М3 : и 3.8 х 105 и 1.3 х 10-5 и 0.5 и 640 (40,60)
М4 : и 4.4 х 105 и 1.3 х 10-5 и 0.7 и 640 (50,70)
объём ячеек в области. Основной, используемой в большинстве расчетов, является сетка М3. Вспомогательные (тестовые) сетки М2, М\ были созданы из сетки М3 путем пропорционального уменьшения количества ячеек в 2.25 и 5.06 раз, соответственно. Они использовались для анализа сеточной сходимости (см. раздел 4.1.3). Сетка М4 была построена в области большего размера. Структурно около пластины она в точности повторяет сетку М3. Сетка М4 использовалась для оценки влияния внешних границ расчетной области на решение (см. раздел 4.1.3).
Дискретизация системы уравнений движения жидкости проводилась по методу конечных объёмов (БУМ) в декартовой системе координат. Дискретные значения составляющих скорости и дискретные давления локализовались в центрах ячеек расчетных сеток. Для вычисления объёмных интегралов по контрольному объему использовалась общая процедура Гаусса. Для аппроксимации градиента давления в расчетах применялась линейная интерполяция. В диффузионных слагаемых при дискретизации оператора Лапласа нормальные градиенты скорости на поверхности ячейки аппроксимировались с помощью
симметричной схемы второго порядка с поправкой на неортогональность [55; 65].
Для интерполяции переменных в конвективных слагаемых использовалась гибридная схема Спалдинга, предложенная в работах [104; 136] (аналог широко применяемой в конечно-элементной дискретизации схемы «streamline upwind» [27]). Она представляет собой комбинацию линейной и противопоточной интерполяций. Линейная интерполяция применяется в области, где сеточное число Рейнольдса (или число Пекле) Re h < 2. В остальных случаях используется про-тивопоточная интерполяция. Схема позволяет избежать нефизичных осцилляций решения в областях с недостаточной разрешающей способностью расчётных сеток (что особенно актуально вблизи внешних границ расчетной области) и обеспечивает устойчивость и сходимость всего процесса решения. Применение схемы, однако, требует особой аккуратности: первый порядок точности противо-поточной интерполяции может привести к существенному влиянию на решение численной диффузии. Как показывают результаты работ [7; 56; 67; 175], для рассматриваемого класса задач, гибридная схема обеспечивает хорошее согласование численных результатов с экспериментальными данными в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Негативное влияние численной диффузии при этом можно минимизировать повышением разрешающей способности сетки вблизи обтекаемого тела и контролировать посредством изучения сеточной сходимости.
Для дискретизации системы уравнений по времени используется неявная схема Эйлера. Шаг по времени во всех расчётах являлся постоянной удовлетворяющей двум условиям: 1) максимальное число Куранта не превышает значения 0.1; 2) минимальное число шагов за период должно быть не менее 500.
Решение дискретизованной задачи проводилось с помощью метода PISO [50; 64]. Решение системы уравнений для давления выполнялось на основе метода сопряженных градиентов (PCG) с геометро-алгебраическим многосеточным предобуславливателем (GAMG). Системы уравнений для компонент скорости решались методом бисопряженных градиентов (PBiCG) с предиктором на основе неполной LU факторизации. Расчёты выполнялись распределенным образом по технологии MPI с применением метода декомпозиции области решения.
Таблица 8 — Коэффициенты Св и См продольной силы для прямоугольной пластины при в = 55, вычисленные на разных сетках
КС =1 КС = 3 КС = 7
Сетка Св См Св См Св См
М 7.29 1.29 5.91 1.43 4.56 2.00
М2 7.37 1.28 6.0 1.41 4.65 2.02
М3 7.4 1.28 6.03 1.4 4.67 2.02
М4 7.4 1.28 6.03 1.4 4.67 2.02
4.1.3 Верификация численной схемы
Для исследования точности численного решения проводилось изучение зависимости структуры течения, его интегральных и локальных характеристик от расчетных сеток.
Сравнение мгновенных картин течения и распределения давления по поверхности прямоугольной пластины, полученных на разных сетках при одной и той же комбинации параметров для одного момента времени, представлено на рис. 4.3, 4.4. Как можно видеть, увеличение количества узлов более чем в пять раз, реализуемое при переходе от сетки М к М3, не вносит существенных изменений ни в структуру течения, ни в создаваемое им давление на пластину. Относительно небольшие изменения наблюдаются и в интегральных характеристиках, рассчитанных по периоду движения.
В таблице 8 представлены коэффициенты продольной составляющей силы, вычисленные согласно аппроксимации Морисона для пластин с острыми и прямоугольными торцами на сетках М, М2, М3, для трёх комбинаций параметров: (в = 55, КС = 1), (в = 55, КС = 3), (в = 55, КС = 7). Как можно видеть, отличия между значениями Св и См, рассчитанными для одной пластины на разных сетках, не превышают 3%. При этом разница между значениями, вычисленными на сетках М2 и М3, во всех контрольных точках меньше, чем на сетках М и М2, что свидетельствует о сеточной сходимости решения. Значения Св и См, вычисленные на сетках М3 и М4, совпадают в первых трех значащих цифрах для всех рассмотренных комбинаций параметров, что свидетельствует о малом влиянии внешних границ на решение.
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 x
Рисунок 4.3 — Распределение давления вдоль поверхности прямоугольной пластины относительной толщины b = 0.1 при ß = 55, КС = 7 в момент времени t/T = 40. Линиями и маркерами отмечены результаты, полученные на разных сетках. Сплошная (передняя кромка пластины) и пунктирная (задняя кромка) линии - сетка М3, круглые маркеры - М2, треугольные маркеры - М\.
Рисунок 4.4 — Сравнение мгновенных картин течения в момент времени t/T = 40 около прямоугольной пластины относительной толщины b = 0.1 при ß = 55, КС = 7, полученных на сетках М\ (левое изображение) и М3 (правое изображение). Завихренность wz = [-4, — 2, — 1, — 0.5,0.5,1, 2,4].
КС
10
6
4
2.5
1.5
0.8
0.5
0.3
0.2
20 35 50 100 200 300 500 р
Рисунок 4.5 — Карта режимов течения для усеченной пластины с относительной толщиной Ь = 0.1. Базовый симметричный режим (•), симметричный режим с формированием присоединенных вихрей (■), симметричный режим с вертикальным отрывом вихрей режим с С-образной структурой течения (<), режим с У-образной структурой течения (□), односторонний диагональный режим (▼), устойчивый диагональный (циклический) режим (♦), неустойчивый диагональный режим (0). Границы режимов течения по данным [132] и [134] обозначены штрих-пунктирными и сплошными линиями соответственно.
4.2 Плоские структуры течений, формирующиеся при колебаниях тонких пластин, и их гидродинамическое воздействие на пластины
4.2.1 Карта режимов течения
Рассмотрим подробно эволюцию течения на примере усеченной пластины с относительной толщиной Ь = 0.1. Расчеты для этой пластины проводились в диапазоне 20 ^ в ^ 500, 0.2 ^ КС ^ 10. Значения параметров каждого расчета отмечались на рис. 4.5 с помощью маркеров. Тип маркера выбирался в зависимости от наблюдаемой около пластины структуры течения. Плотное облако проведенных расчетов позволяет получить в обозначенной параметрической области карту режимов течения.
Проведенные расчеты показывают, что структура и области локализации режимов остаются практически идентичными для всех рассматриваемых образцов при условии сохранения величины Ь. С изменением относительной толщины
карта режимов перестраивается количественно, сохраняясь качественно. В этом смысле развитие структуры течения вокруг всех исследованных пластин любой толщины происходит одинаково. Всюду можно выделить восемь областей, в которых наблюдаются различные режимы течения.
Локализованные режимы на карте (рис. 4.5) обозначены следующими маркерами:
• - базовый симметричный режим,
■ - симметричный режим с формированием присоединенных вихрей,
. V/ и
М - симметричный режим с вертикальным отрывом вихрей,
▼ - односторонний диагональный режим,
♦ - устойчивый циклический диагональный режим,
< - режим с С-образной структурой течения,
□ - режим с У-образной структурой течения,
О - неустойчивый диагональный режим течения. Кроме данных, полученных в рамках настоящего исследования, на рис. 4.5 представлены также границы режимов течения, описанные в экспериментальных работах [132] (штрих-пунктир) и [134] (сплошные линии). Они будут обсуждены в дальнейшем.
Перейдем к описанию выделенных восьми режимов течения. Их идентификация проводилась путем наблюдения за распространением подкрашенной жидкости, вытекающей из малой окрестности пластины, а также (в области малых КС) с помощью анализа картин вторичных течений, получаемых в численных расчетах путем осреднения скорости по периоду колебаний.
4.2.2 Базовый симметричный режим течения
Круглые маркеры обозначают базовый симметричный относительно оси колебания режим течения около пластины, который наблюдается при самых низких амплитудах колебания. Динамика течения в этом режиме за один период колебания представлена на рис. 4.6. Наблюдаемое движение краски вокруг пластины определяется воздействием двух типов потоков, формирующихся в плоскости течения: нестационарных потоков (см. рис. 4.7, а) и вторичных стационарных потоков (см. рис. 4.7, Ь). Концентрация краски вдоль оси Оу (см. рис. 4.6), показывает, что вторичные течения являются и главным механизмом переноса жидкости от торцов пластины во внешнюю область.
Рисунок 4.6 — Визуализация базового симметричного режима течения при ß = 300, КС = 0.5 с помощью краски. Картины течения в моменты времени t/T—То,
где Т0 = 30.
В диапазоне низких частот колебаний в < 50 граница базового симметричного режима варьируется в зависимости от конкретного значения в- При в ^ 50 разрушение этого режима наблюдается почти при одинаковых значениях амплитуды в окрестности КС = 1.
Рисунок 4.7 — ß = 300, КС = 0.2. a) Мгновенные линии тока при t/T — Т0 = 0 (Tq = 30). b) Линии тока вторичного течения.
4.2.3 Симметричный режим с формированием присоединенных вихрей
Изменения в течении, происходящая при переходе границ базового симметричного режима, определяются диапазоном частот колебаний. На низких частотах колебаний с ростом КС вокруг пластины развивается симметричная локальная вихревая структура (см. рис. 4.9, a). В отличие от базового режима, здесь практически сразу после реверса на торцах происходит отрыв потока с формированием присоединенных вихрей за пластиной. Образовавшиеся вихри развиваются и растут полпериода до момента полной остановки пластины, а затем исчезают при смене направления движения. На следующем полупериоде все повторяется на другой стороне пластины. Описанную динамику течения можно наблюдать на рис. 4.8. Этот симметричный режим имеет кардинально отличную структуру вторичных потоков (см. рис. 4.9, b), которые разделяются на внутреннюю и внешнюю циркуляционные зоны. Как можно видеть на рис. 4.8, внутренняя циркуляционная зона препятствует переносу жидкости от пластины во внешнюю область течения.
4.2.4 Симметричный режим с вертикальным отрывом вихрей
Формирование локальных вихрей около торцов пластины на высоких частотах колебаний (ß ^ 50) происходит в окрестности КС = 1. В отличие от предыдущего симметричного режима, сформировавшиеся около торцов пластины вихри в этом диапазоне параметров не исчезают, а отрываются при реверсе
Рисунок 4.8 — Визуализация симметричного режима течения с формированием локальных вихрей при ß = 20, КС = 2.5 с помощью краски. Картины течения
в моменты времени t/T — То, где То = 30
Рисунок 4.9 — Симметричный режим с формированием локальных вихревых структур. ß = 25, КС = 2.5. a) Мгновенные линии тока при t/T — Т0 = 0
(То = 30). b) Линии тока вторичного течения
пластины и перемещаются ортогонально основному потоку. Весь цикл от формирования до полной диссипации вихря занимает чуть менее одного периода. Наблюдая за движением подкрашенной жидкости вблизи пластины (рис. 4.11), следует обратить внимание на яркий слабо размытый след, распространяющийся от торцов пластины вдоль вертикальной оси, свидетельствующий о высокой скорости течения в этом направлении. Эти высокоскоростные потоки образуются вторичными течениями, формируемыми у пластины (рис. 4.10). Структура этих течений близка к наблюдаемым в базовом симметричном режиме. Однако ядра циркуляционных зон разделяются здесь на две части, имеющие одинаковые направления вращения. Одна из частей разделившегося ядра располагается в непосредственной близости от пластины, вторая удалена к границам расчётной области.
4.2.5 Воздействие гидродинамических сил на пластину в симметричных
режимах течения
Ненулевые значения в симметричных режимах принимает только составляющая силы fy, действующая вдоль оси колебаний. Графики изменения этой компоненты с течением времени представлены на рис. 4.12. При малых значениях безразмерной амплитуды в сигнале fy (см. рис. 4.12, a) присутствует только главная гармоника. При этом основной вклад дают инерциальные силы, пропор-
Рисунок 4.10 — Симметричный режим с вертикальным отрывом вихрей. ß = 300, КС = 1. а) Мгновенные линии тока при t/T — Т0 = 0 (Т0 = 30). b) Линии
тока вторичного течения.
циональные ускорению движения. При КС < 0.5 их доля составляет более 80%. С ростом КС вклад инерциальных сил уменьшается, а в сигнале появляются гармоники, отличные от главной. В окрестности границы устойчивости симметричных режимов (см. рис. 4.12, b) доля инерциальных сил становится меньше 60%, доля третьей гармоники в сигнале составляет более 5%.
Во всем диапазоне существования симметричных режимов гидродинамическая сила достаточно хорошо аппроксимируется формулой Морисона (см. рис. 4.12). Коэффициенты разложения, вычисленные на каждом периоде колебания, представлены на рис. 4.13 для случаев КС = 0.5, ß = 300 и КС = 1, ß = 300. Как можно видеть, после 20 периода коэффициенты выходят на постоянные значения. Именно эти постоянные далее используются для определения гидродинамических коэффициентов Cd , См в симметричных режимах обтекания. Заметим, впрочем, что в рассматриваемых режимах достаточно провести расчет лишь на первых четырех - пяти периодах, чтобы аппроксимировать гидродинамические коэффициенты с высокой точностью (см. рис. 4.13).
4.2.6 Граница устойчивости симметричных режимов и механизмы потери
устойчивости
Взаимодействие вихрей с ростом КС при ß ^ 50 приводит к формированию вихревых пар около торцов, которые отрываются с небольшим смещением
Рисунок 4.11 — Визуализация симметричного режима течения с вертикальным отрывом вихрей при ß = 300, КС = 1 с помощью краски. Картины течения в
моменты времени t/T — Т0, где Т0 = 30.
25
25.5
26
26.5
27
27.5
28
28.5
29
29.5 t/T
Ь) ) 1 ^trffl». 1 Л®»4^ 1 сГ — су---«------- 1 1 /g®SW<®, 1 аГ да ~cf---гЕ------ 1 ^ЛГЯ». 1 KS®»*», 1 Л7 Vfel 1" - ^г— ТВ------- 1 1 /Ш^уь, 1 V6J - - er---ж------- —гт__ л
а н ® п Л. пг а а и ® 1 А
Д "ЯР lafewOP 1 г СС ЯР г rk В п ЩЦцрг
y
10 5 0 -5 -10 -15
25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.5 29 29.5 t/T Рисунок 4.12 — Гидродинамические силы, действующие на пластину в симметричных режимах течения. a) ß = 300, КС = 0.5; b) ß = 300, КС = 1. Сплошными линиями изображены результаты расчетов, маркерами - аппроксимация Морисона.
Сг
8.5
8
7.5
7
6.5
1 i___i_____
iLmiiiiiiiiii^iiiiiiiil..........
ifipflll 1 и1111Ч.................... и
1 (((((((ШШПТпЛ ..................
Р Г 1 1
h 1 1 ? !
С
м
1.3
1.25
1.2
1.15
0 20 40 60 80 t/T 0 20 40 60 80 t/T Рисунок 4.13 — Зависимость коэффициентов сопротивления и инерции от периода колебания в симметричных режимах течения: ß = 300, КС = 0.5 (круглые маркеры), ß = 300, КС = 1 (квадратные маркеры).
1 1 1 1 1 1 1 1 1 k 1 1 1 Ш 1 1 1
Г 1 1 1 1 1 ¿) 1 1 1 VIII 1 1 1 О U 1 1
к | |
INI
t-Uj±n±LLi ................" "Г | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Рисунок 4.14 — С-образный режим течения, наблюдаемый при в = 500, КС = 1. a) Мгновенная картина течения, полученная с помощью подкрашенной жидкости; Ь) вторичное течение
в левую или правую сторону от вертикальной оси симметрии пластины (соответственно в первом или втором полупериоде) в зависимости от начальных условий расчета (см. рис. 4.14, a). Направление сброса вихревых пар остается устойчивым в течении большого количества периодов. Это в значительной степени изменяет вторичные потоки вокруг пластины, которые отклоняются от вертикальной оси и приобретают С-образную форму. При этом циркуляционные зоны по одну сторону от пластины превращаются в локальные супервихри (см. рис. 4.14, Ь). С-образное течение сохраняет симметрию относительно оси колебания. Устойчивость подобного режима наблюдается только в малой области в окрестности границы базового симметричного режима. Точки, соответствующие этому режиму, отмечены на рис. 4.5 круглыми незаштрихован-ными маркерами. При незначительном увеличении амплитуды колебаний один из супервихрей становится мощнее другого, в результате чего горизонтальная симметрия течения полностью утрачивается.
Механизм потери симметрии на низких частотах колебаний (в < 50) является отличным. Вихри, формирующиеся около верхнего и нижнего торцов, становятся неравными по мощности (см. рис. 4.15, a). Это приводит к потери горизонтальной симметрии течения, структура движения вторичных потоков при
Рисунок 4.15 — У-образный режим течения, наблюдаемый при в = 20, КС = 3.5. а) Мгновенная картина течения, полученная с помощью подкрашенной жидкости; Ь) вторичное течение
этом приобретает У-образную форму (см. рис. 4.15, Ь). Время существования как малых, так и больших вихрей остается равным приблизительно полупериоду движения. Иными словами, взаимодействия вихрей, сформированных на разных сторонах пластины, в этом режиме не происходит. Режим с У-образной структурой течения также является пограничным (соответствующие ему точки обозначены квадратными незаштрихованными маркерами на карте режимов рис. 4.5). При малом увеличении КС вихри, сформированные на разных полупериодах, начинают образовывать пары, что разрушает вертикальную симметрию течения.
Сравнивая результаты с предыдущими исследованиями, можно отметить, что полученные оценки границы симметричных режимов наиболее близки к экспериментальным результатам [132] (см. границы режимов В и С на рис. 4.5). Заметим, что авторами этого исследования также выделяются 3 типа симметричного течения (А,В,С). Провести полный сопоставительный анализ между найденными режимами не позволяет отсутствие подробного описания гидродинамики этих течений в исследовании [132]. Согласно зонам локализации режим А соответствует базовому симметричному режиму, режим В - режиму с вертикальным отрывом вихрей, режим С - режиму с формированием присоединенных вихрей. Неполное соответствие границ симметричных режимов по всей видимости объясняться разной относительной толщиной рассматриваемых пластин. Как
будет показано далее, у более тонких образцов граница базового симметричного режима значительно снижается в область малых амплитуд.
4.2.7 Режим течения с односторонним диагональным сбросом вихрей
При выходе из пограничной зоны течение переходит в режим с односторонним диагональным сбросом вихрей, который наблюдается во всем диапазон частот колебания. Структура течения приобретает свойства переходных режимов У и С типа: вихри, образующиеся около нижнего и верхнего торцов, становятся не равными по мощности; сформировавшиеся на разных полупериодах вихри взаимодействуют, образуя вихревые пары. Однако полноценный отрыв вихревой пары во внешнюю область течения в новом режиме происходит только с торца, около которого формируются более крупные вихри. Вихревая пара, сформированная у второго торца из малых вихрей, перемещается вдоль пластины к противоположному торцу, где сливается с вихрем, образующимся на новом периоде колебания. Описанные процессы формирования и взаимодействия вихрей можно наблюдать на рис. 4.16, где представлена визуализация этого режима за один период колебания пластины.
Оторвавшиеся во внешнюю область вихревые пары формируют вторичное течение в виде супервихря по одну сторону от пластины. Размеры этого вторичного образования стремительно увеличиваются на каждом периоде колебания. На рис. 4.16, сравнивая картины течения в начале Ь = 0 и конце периода Ь = Т, можно отчётливо видеть изменение супервихря слева от пластины. В результате стремительного роста, он начинает взаимодействовать непосредственно с вихревой структурой на пластине. Это приводит к изменению направления сброса вихревых пар с текущего торца пластины либо к перемещению преобладающего вихря на противоположный торец пластины. На рис. 4.16 справа от пластины можно видеть пятно краски, оставленное супервихрем, разрушенным более 5 периодов назад в результате смены направления сброса вихревых пар. Таким образом, наблюдаемый режим течения, который далее в работе будем называть режимом с односторонним диагональным сбросом, не является в полной мере периодичным.
Точки, соответствующие режиму с односторонним диагональным сбросом, в параметрической плоскости (в,КС) отмечены треугольными маркерами (см. рис. 4.5). Описание режима с подобной структурой можно встретить и в экспериментальных исследованиях [132] и [134]. В работе [132] ему соответствует
t/T-T0=7/8
Рисунок 4.16 — Односторонний диагональный режим течения при ß = 300, КС = 2.5 Картины течения в моменты времени t/T — Т0, где Т0 = 80.
75 75.5 76 76.5 77 77.5 78 78.5 79 79.5 t/T
75 75.5 76 76.5 77 77.5 78 78.5 79 79.5 t/T Рисунок 4.17 — Гидродинамическое силы, действующие на пластину в одностороннем диагональном режиме течения при ß = 300, КС = 2.5
Рисунок 4.18 — Зависимость коэффициентов сопротивления и инерции от периода колебания в одностороннем диагональном режиме течения при в = 300,
КС = 2.5
режим D (см. на рис. 4.5 границу режима D). Заметим, что в исследовании [132] этот режим был локализован при меньших амплитудах КС < 1.5. В работе [134] аналогичный несимметричный режим был обнаружен в диапазоне 3 < КС < 7. Таким образом, полученные в настоящей работе оценки лежат посередине между результатами этих экспериментальных исследований.
Структура действующих на пластину в одностороннем диагональном режиме течения гидродинамических сил и моментов представлена на рис. 4.17. Как можно видеть, несимметричное течение порождает ненулевую подъемную силу и крутящий момент. В результате изменений, происходящих в структуре течения каждый период (ключевым из которых является развитие супервихря у пластины), силовое гидродинамическое воздействие также изменяется с течением времени. Вычисленные по аппроксимации Морисона коэффициенты гидродинамических сил также варьируются от периода к периоду (см. рис. 4.18). Для определения их характерного значения при заданной комбинации параметров вычисляются средние значения по 50 последним периодам колебания.
4.2.8 Режим течения с диагональным сбросом вихрей
Укрупнение вихрей, происходящее с ростом амплитуды колебаний, приводит в окрестности КС = 4 к формированию нового режима течения. Его визуализация представлена на рис. 4.19. Как и в предыдущем режиме, в момент
перед началом реверсивного движения пластины, около ее торцов сформированы большой и малый вихри (см. на рис. 4.19 в момент времени 2/8 слева от пластины). Крупный вихрь при движении пластины в обратную сторону формирует пару с вихрем, образующимся на другой стороне пластины, которая отрывается с торца под углом к направлению основного осциляционного движения (см. на рис. 4.19 в моменты времени 3/8-5/8 справа около верхнего торца пластины). Малый вихрь при переходе на другую сторону пластины разрушается в результате воздействия нового вихря, формирующегося на этой стороне пластины. Этот новой вихрь растет в течение всего полупериода. Перед следующим реверсом именно он перерастает в доминирующий вихрь (см. на рис. 4.19 в момент времени 6/8 справа около нижнего торца пластины). На месте оторвавшейся пары у противоположного торца формируется малый вихрь. Таким образом, на втором полупериоде малый и большой вихрь меняются местами, а картина течения зеркально отражает наблюдаемую на первом полупериоде (см. на рис. 4.19 в моменты времени 6/8-1,0-1/8). Срывы вихрей в этом режиме поочередно происходят с противоположных торцов, оторвавшиеся пары улетают по разные стороны от пластины под углом к оси колебания, образуя вихревые дорожки. Далее этот режим течения будем называть режимом с диагональным отрывом вихрей.
В диапазоне 4 ^ КС < 6 (см. карту режимов, незашрихованные ромбовидные маркеры) структура течения является неустойчивой. Диагональный режим сброса вихрей через несколько периодов колебаний переключается в односторонний режим сброса, затем шаблон течения вновь изменяется на диагональный и т.д. При КС ^ 6 диагональный режим сброса полностью устанавливается (на карте режимов установившееся течение обозначено заштрихованными ромбовидными маркерами). Локализованный диагональный режим в точности соответствует «циклическому режиму течения», описанному в исследовании [134]. Устойчивый диагональный сброс вихрей в экспериментах [134] наблюдался при КС > 7. Отличия по определению границ режимов между численными и экспериментальными данными могут объясняться дополнительными возмущениями, присутствующими в экспериментах.
Структура гидродинамических сил, действующих на пластину в диагональном режиме обтекания, представлена на рис. 4.20. Продольная составляющая силы в этом режиме практически полностью определяется силами сопротивления. Для представленного на рис. 4.20 случая вклад сопротивления
Рисунок 4.19 — Диагональный режим течения при ß = 300, КС = 6. Картины течения в моменты времени t/T — Т0, где Т0 = 56
94 94.5 95 95.5 96 96.5 97 97.5 98 98.5 ИТ
Рисунок 4.20 — Гидродинамическое силы, действующие на пластину в диагональном режиме течения, при в = 300, КС = 6
О 20 Рисунок 4.21
Зависимость коэффициентов сопротивления и инерции от периода колебания при в = 300, КС = 2.5
составляет более 94%. Периодический отрыв с торцов пластины также создает крутящий момент, преобладающая частота которого вдвое выше частоты колебаний пластины.
Коэффициенты С в, См разложения, вычисленные на каждом периоде колебаний, представлены на рис. 4.21. Как можно видеть, выход гидродинамических коэффициентов на постоянные значения затянут по сравнению с симметричными режимами и происходит примерно после 60 периода колебаний. Именно эти постоянные значения далее используются для определения гидродинамических коэффициентов С в, См в диагональном режиме обтекания. Установление коэффициента инерциальных сил происходит заметно быстрее, чем коэффициента сопротивления. Уже после пятого периода См определяется с относительной погрешностью 5%. Для достижения той же точности в расчете С в необходимо провести 12 периодов колебаний.
4.2.9 Коэффициенты сопротивления и присоединенных масс
В заключительном параграфе этого раздела представим графики изменения коэффициентов инерциальных сил и сил сопротивления от параметров колебаний для исследуемого усеченного образца. Кривые зависимостей Св(КС) для разных значений в изображены на рис. 4.22. Как можно видеть, все они имеют характерную S-образную форму. В диапазоне низких КС при базовом симметричном режиме обтекания результаты численных расчетов выходят на
асимптотические зависимости, полученные во второй главе для прямоугольных пластин (2.65). Для рассматриваемого случая Ь = 0.1 зависимость для Св может быть представлена в виде:
КС < 1 : Св - 29.55/(КСу^).
Как можно видеть, диапазон применимости асимптотической теории в значительной степени зависит от параметра в- За границей малоамплитудного диапазона начинается фаза роста коэффициента сопротивления, которая сопряжена с развитием нелинейных процессов в течении. Заметим, что режим течения при этом не изменяется. Фаза роста заканчивается в окрестности границы устойчивости базового симметричного режима, после которой начинается дальнейшее снижение коэффициента сопротивления. При больших КС, с развитием диагонального режима течения, все кривые С в (КС), построенные для разных в, приобретают один и тот же характерный вид. Изменение коэффициента в этом диапазоне хорошо описывается предложенной в [222] аппроксимацией
КС > 6 : Сп - 4Л27(КС/2п)-°.58.
Кривые зависимостей См (КС) для разных значений в представлены на рис. 4.23. Как можно видеть, при низких амплитудах колебаний в базовом симметричном режиме течения значения См практически постоянны и достаточно хорошо совпадают с асимптотическими оценками, полученными во второй главе для прямоугольных пластин (2.65)
КС < 1 : См - т^ + 1.14 + 2.53в-1/2.
10п
После потери устойчивости базового режима течения начинается фаза роста коэффициента инерциальных сил, которая сменяется фазой убывания в окрестности КС = 6 при установлении диагонального режима течения около пластины.
Полученные данные для усеченного образца хорошо согласуются с экспериментальными оценками С в и См для образцов с аналогичными геометрическими характеристиками [18; 222; 134]. Проводя сравнение с другими данными, приведенными на рис. 4.22, нельзя не отметить наличие большого числа работ [71; 143; 235], которые дают в значительной степени отличные
Cd 14 12 10 8 6 4
Cd 14 12 10 8 6 4
0.2
0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1
1.5 2 2.5 3 4 5 6 8 10 KC
□
--■qr-
A*
тйг
4
-A
\ * A
T fT
* v* ;
CP
0.2
0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1
1.5 2 2.5 3 4 5 6 8 10 KC
--Асимпт. решение Расчет /3=50 Расчет /3=100 —•— Расчет /3=20
Расчет /3=500 Расчет /3=200 Расчет /3=300 о Singh (1979)
» Bearman et al. (1985) A Bidkar et al. (2009) * Tafuni and Sahin (2015) © Egorov et al. (2014) -------- Egorov et al. (2018)
v Kulegan and Carpenter (1958) □ Aureli and Porfri (2010) о Shrestha et al. (2018)
4---'
Рисунок 4.22 — Графики зависимостей С в (КС) для разных значений в, построенные для усеченной пластины толщиной b = 0.1
C
a
— J*—\ ___> у
—•—Щг-
т СШПп Доооооо
1.5
C
2.5
9 KC
1.5
9 KC
А Асимп. решение Расчет /3=300 Расчет /3=100 —•— Расчет /3=20
Расчет /3=500 Расчет* /3=200 Расчет /3=50 о Singh (1979)
* Bearmanet al. (1985) д Bidkar et al. (2009) о Shrestha et al. (2018) ® Egorov et al. (2014) - Egorov et al. (2018) ^Tafuni and Sahin (2015)
v Kulegan and Carpenter (1958) □ Aureli and Porfiri (2010)
ч__'
Рисунок 4.23 — Графики зависимостей См (КС) для разных значений ß, построенные для усеченной пластины толщиной b = 0.1
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
оценки гидродинамических коэффициентов. Во многих из этих работ используются пластины с другими геометрическими характеристиками. Поэтому далее проведем идентификацию влияния формы образцов на гидродинамические коэффициенты.
4.3 Зависимость гидродинамических сил от геометрических характеристик
пластины
4.3.1 Влияние формы торцов
В начале проведем сравнение гидродинамического воздействия, оказываемого на образцы одинаковой толщины Ь = 0.1, но с разной формой торцов. Результаты расчетов С в и См для пластин трех разных типов представлены на рис. 4.24. Структура течения и границы режимов для сравниваемых образцов оказываются практически идентичными, однако гидродинамические коэффициенты в зоне больших и умеренных амплитуд колебания имеют видимые различия. Так результаты измерения С в для пластин с прямоугольными торцами и малым радиусом скругления г3 = 0.1 лежат в среднем на 13% выше значений С в, полученных для усеченного образца и пластины с полностью скругленным торцом г3 = 0.5 при КС > 3.
Для анализа причин возникновения обозначенных отличий при столь незначительных изменениях геометрических характеристик образцов проведём сравнение структуры течения при диагональном сбросе вокруг пластин разного поперечного сечения, а также измерим распределение давления по поверхности образцов.
Как видно по рис. 4.25, структура течений вокруг усечённой и прямоугольной пластин в целом остаётся очень похожей, в частности, идентичными остаются структура, размеры и положение, формируемых около пластин вихревых пар. Однако в окрестности торцов пластин все же наблюдаются видимые различия течения, связанные с изменением точек отрыва потока: для усечённых пластин - это вершина острого угла, у пластин с прямоугольным поперечным сечением отрыв происходит в вершине прямого угла со стороны набегающего потока. Положение точки отрыва у пластин с разной формой торцов можно видеть на рис. 4.26.
Оценить значимость наблюдаемых отличий позволяет анализ распределения давления на поверхности пластины. Как видно из представленных графиков
с \
Усечен. пласт. д Прям. пласт. Скругл. rs=0.1 о Скругл. rs=0.5 о Singh (1979) * Bearman et al. (1985) ® Egorov et al. (2014) /3 =50 v Kulegan and Carpenter (1958) -------- Egorov et al. (2018)
Рисунок 4.24 — Графики зависимостей Cd (КС) и См (КС) при в = 50, построенные для пластин разных типов с одинаковой толщиной b = 0.1.
Рисунок 4.25 — Сравнение структуры течения и распределения давления на пластинах при ß = 55,КС = 7 между усечённой пластиной (визуализация слева, серые линии на графике давления) и прямоугольной (визуализация справа, чёрные линии на графике давления) с одинаковой относительной толщиной b = 0.1 в моменты времени (сверху вниз) t/T — Т0 = 0,1/7, 2/7, 3/7
'1*
•а -а
Рисунок 4.26 — Отрыв потока у пластин разного типа: a) усеченная, Ь) прямоугольная, ^ скругленная г8 = 0.1, d) скругленная г8 = 0.5. Параметры колебания: в = 50, КС = 7. Безразмерная толщина пластин Ь = 0.1
(рис. 4.25), практически на всех фазах развития течения у усечённых пластин разница между давлением на правой и левой сторонах пластины в окрестности торцов оказывается меньше, чем у прямоугольной. Поскольку при данных значениях амплитуды силы давления дают основной вклад в полную гидродинамическую силу, наблюдаемые различия полностью объясняют снижение результирующего аэродинамического сопротивления усечённой пластины.
4.3.2 Влияние толщины образцов
Значительные отличия обнаруживаются при сравнении гидродинамических коэффициентов, вычисленных для образцов различной толщины (см. рис. 4.27) при в ^ 50. Максимальное относительное отклонение (до 90% в диапазоне 0.2 < КС < 1) по Со наблюдается между случаями Ь = 0 и Ь = 0.1,0.25. Заметим, что модель бесконечно тонкой пластины (Ь = 0) в численных расчетах
~Е~ Асимп. b=0.1 о Расчет b=0 v Расчет b=0.1 Расчет b=0.25
» Bearman et al. (1985) -------- Egorov et al. (2018) о Singh (1979)
® Egorov et al. (2014) b=0.05 v Kulegan and Carpenter (1958) •k Tafuni and Sahin (2015)
Рисунок 4.27 — Графики зависимостей С в (КС) и См (КС) при в = 200, построенные для усеченных пластин с разной относительной толщиной Ь = 0,0.1,0.25.
(в условиях используемой конечно-объемной схемы второго порядка точности) не содержит особенностей на торцах и в целом может рассматриваться как модель конечной очень тонкой пластины. Так, в частности, вычисленные в области малых амплитуд значения С в имеют конечные значения (в асимптотической модели в окрестности Ь = 0 наблюдается логарифмическое поведение).
Как показал анализ результатов, причиной существенных отличий в диапазоне 0.2 < КС < 1 являются разные режимы течения, наблюдаемые у образцов различной толщины. Предельное значение безразмерной амплитуды,
Рисунок 4.28 — Распределение давления по поверхности бесконечно тонкой пластины (чёрные линии) и поверхности усечённой пластины толщиной b = 0.1 в моменты времени t/T — Т0 = 0,1/8,2/8,3/8 при параметрах колебания ß = 200, КС = 0.8. Пунктирные линии соответствуют левой стороне пластины,
сплошные - правой
при котором происходит переход от базового симметричного режима в режим с вертикальным отрывом вихрей, у пластин относительной толщины b = 0.1, 0.25 практически не отличается и приблизительно равно КС = 1 (см. рис. 4.5). У бесконечно тонкой пластины этот переход происходит значительно раньше. При ß = 200 граница находится ниже КС = 0.2.
Результаты измерений распределения давления на поверхности бесконечно тонкой пластины в режиме с вертикальным отрывом вихрей и на пластине толщиной b = 0.1 в базовом симметричном режиме при одних и тех же значениях параметров колебаний ß = 200, КС = 0.8 представлены на рис. 4.28. Как можно видеть давление, оказываемое на бесконечно тонкую пластину, выше на всех фазах ее движения.
Заметим, что данные по бесконечно тонкой пластине хорошо совпадают с экспериментальными результатами [71] и с данными ряда численных исследований [143; 235]. Таким образом, представленные результаты снимают вопрос о причинах различия ключевых экспериментальных данных по измерению сопротивления тонких пластин.
4.4 Об устойчивости плоских течений к трехмерным возмущениям
Для получения представления о развитии трехмерной неустойчивости течений около колеблющихся пластин и ее влиянии на гидродинамические силы рассмотрим результаты нескольких трехмерных расчетов и сравним их с результатами двумерного моделирования. Расчеты проводились для бесконечно тонкой пластины в четырех точках параметрической плоскости: в = 64, КС = 1, 2, 7 и в = 200, КС = 7. Исследовалось обтекание секции пластины длинной Ь = 20. Расчетная область представляла собой прямоугольный параллелепипед, стороны которого, как и ранее, выбирались параллельно осям координат, связанным с пластиной. Размер расчетной области устанавливался равным (1Х,1У,1г) = (60,40,20). Для моделирования обтекания бесконечно длинной пластины на границах области (г = 0, 20), параллельных плоскости хОу, ставились условия периодичности. Расчетная сетка состоит из 4.5 • 106 ячеек, в плоскости хОу в окрестности тела она повторяет структуру сетки М1, вдоль оси Ох в окрестности пластины сетка имеет равномерный шаг равный 0.04.
В первой исследуемой точке параметрической плоскости в = 64, КС = 1 наблюдаемое течение не имеет трехмерной структуры. Таким образом, результаты 3D расчетов полностью совпадают с результатами двумерного моделирования. Здесь наблюдается характерный для данного набора параметров ^образный режим течения. Соответствующая мгновенная картина течения представлена на рис. 4.29.
Вторая исследуемая точка, в = 64, КС = 2, находится в области одностороннего диагонального режима течения. На начальном промежутке времени (при старте из положения покоя) здесь, как и в первой точке, формируется плоская структура течения. На 20 периоде, в окрестности пластины становятся заметны слабые трехмерные структуры, которые идентичны вихрям Хонджи (см., например, [60; 126; 141]), наблюдаемым при потере устойчивости плоского течения у круглого цилиндра. Эти трехмерные вихревые структуры разрастаются с течением времени и начинают взаимодействовать между собой. Процесс интенсификации (установления) трехмерных течений заканчивается ближе к 45 периоду. Результирующая структура течения около пластины представлена на рис. 4.29. Не затрагивая более подробно детали наблюдаемых трехмерных процессов (это выходит за рамки данного исследования), перейдем к сравнению результатов двумерного и трехмерного моделирования для этого случая.
г ^ «M
Рисунок 4.29 — Слева представлен C-образный режим течения. Изоповерхности wz = ±[6, 4.66, 3.33, 2, 0.34]. Момент времени t/T — Т0 = 0, Т0 = 104. Справа - односторонний диагональный режим ß = 64, КС = 2. Изоповерхности wz = ±[10,8,6,4,3]. Момент времени t/T — Т0 = 0, Т0 = 89
На рис. 4.30 сопоставлены структуры двумерного течения и осреднен-ного по z трехмерного течения для одного и того же момента времени. Как можно видеть, течения в плоскости хОу в обоих случаях имеют идентичную структуру. Обратим внимание на то, что на форму и расположение вихрей в наблюдаемом случае, трехмерность влияет большей степени опосредовано. Как отмечалось в разделе 5, односторонний диагональный режим не является полностью периодичным, мгновенное течение зависит от изменений, произошедших на предыдущих периодах. Синхронность таких изменений в плоском и трехмерном расчетах нарушена. Сопоставление сил, действующих на одном периоде, представлено на рис. 4.31. Как можно видеть, изменения компоненты fy силы, направленной вдоль оси колебания, достаточно хорошо описываются в плоском расчете. Различия между значениями гидродинамических коэффициентов Cd,См в двумерном и трехмерном случаях составляют менее 3% (см. таблицу 9). Наибольшее влияние трехмерные структуры оказывают на компоненту fx (см. рис. 4.31). Если сравнивать максимальные по модулю значения амплитуды этой компоненты силы, то различия достигают 20%.
Рисунок 4.30 — Односторонний диагональный режим. Модуль завихренности \wz| Мгновенная картина течения в плоскости хОу при ß = 64, КС = 2. Сравнение 2D и 3D расчетов. Слева представлены осредненные по z результаты трехмерного моделирования, справа - результаты двумерного моделирования.
Момент времени t/T - Т0 = 0, Т0 = 92
У 10
5
0
-5
-10
-15 .
87.4 87.6 87.8 80 88.2 t/T 87 87.2 87.4 87.6 87.8 t/T Рисунок 4.31 — Силы, действующие на пластину, в одностороннем диагональном
режиме при ß = 64, КС = 2.
Тип расчета Коэффициент
ß =64 ß = 64 ß = 64 ß = 200, КС = 1 КС = 2 КС = 7 КС = 7
2D
3D
10.54 9.84 6.14 6.4 1.45 1.51 2.4 2.47 0.0 0.3 0.13 0.071
10.54 10.01 6.1 6.37 1.45 1.61 2.35 2.4 0.0 0.22 0.17 0.079
Таблица 9 — Сводная таблица коэффициентов гидродинамических сил, полученных в двумерных и трехмерных расчетах
Рисунок 4.32 — Циклический диагональный режим течения. Изоповерхности
wz = ±[5.55,16.66, 27.77, 38.88, 50]. ß = 64 (слева), ß = 200 (справа), КС = 7.
Момент времени t/T = 48.
Последние две рассматриваемые точки ß =64, =7 и ß = 200, КС = 7 относятся к области циклического диагонального режима. Как можно видеть на рис. 4.32, течения здесь, как и в предыдущей точке, являются трехмерными.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.