Гидродинамика пропульсивного движения цилиндрического виброробота тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Анисимов Вадим Дмитриевич

• Анисимов Вадим Дмитриевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Анисимов Вадим Дмитриевич

Введение

Глава 1. Движение цилиндрического виброробота в вязкой несжимаемой жидкости, индуцированное малыми

маятниковыми колебаниями внутренней массы

1.1 Постановка задачи

1.2 Стоксовское приближение

1.3 Крейсерская скорость ВР

1.4 Оптимальность гармонических колебаний

1.5 Гармонические колебания ВМ

1.6 Гидродинамика и эффективность виброробота

1.7 Выводы

Глава 2. Движение цилиндрического виброробота в жидкости при произвольных маятниковых колебаниях

внутренней массы

2.1 Постановка задачи

2.2 Структура асимптотического разложения

2.3 Стоксовское приближение

2.4 Нахождение крейсерской скорости ВР

2.5 Оптимальный закон колебаний

2.6 Выводы

Глава 3. Уточненная гидродинамическая модель

пропульсивного движения цилиндрического тела, совершающего поступательно-вращательные колебания

3.1 Постановка задачи

3.1.1 Определяющие уравнения и граничные условия

3.1.2 Силовые характеристики

3.1.3 Формальное асимптотическое разложение

3.2 Главный член разложения

3.3 Второй член разложения

3.3.1 Задача для члена нулевого порядка

Стр.

3.3.2 Численное решение задачи во втором члене

3.3.3 Результаты

3.4 Третий член разложения

3.4.1 Задача для члена первого порядка

3.4.2 Задача о вращении

3.4.3 Задача о насосе

3.4.4 Результаты расчетов

3.4.5 Насосная компонента средней силы

3.5 Четвертый член разложения:задачи для члена второго порядка

3.6 Анализ результатов

3.7 Выводы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гидродинамика пропульсивного движения цилиндрического виброробота»

Введение

Задача о самопродвижении тел в жидкости имеет богатую историю и восходит к попыткам объяснения движения птиц, рыб и микроорганизмов.

Теория пропульсивного колебательного движения тел в потоке стала развиваться в начале ХХ-го века на базе теории идеальной жидкости как ответвление классической аэродинамики полета. Как и в теории обтекания стационарного крыла, моделям, описывающим колебательные движения тела в потоке, необходимы дополнительные предположения о точках отрыва потока или о структуре вихревого следа.

Для решения этой задачи Л. Прандтлем [41], В. Бирнбаумом [7], Т. Теодорсеном [54], И. Гарриком [20], Г. Вагнером [57] и Г. Глауэртом [22] развивался подход, основанный на введении поверхностей разрыва скоростей внутри идеальной жидкости. В работах Г. Кюсснера [28] и Г. Кюсснера и И. Шварца [27] был предложен метод решения проблемы нестационарного движения крыла, основанный на суперпозиции сингулярностей в идеальной жидкости. Аналогичные походы развивались и советскими учеными М.В. Келдышем и М.А. Лаврентьевым [66], Л.И. Седовым [74] и А.И. Некрасовым [69]. В целом формулирование дополнительных предположений в условиях нестационарного движения тела представляет основную трудность при использовании аппарата идеальной жидкости и в большинстве случаев значительно ограничивает область применимости моделей, названных выше. Тем не менее развитие исследований, основанных на теории идеальной жидкости, активно продолжается и находит свое отражение в работах В.А. Рыжова [73], Д.Н. Горелова [62], Г.Я. Дынниковой [15], М.А. Сумбатяна и А.Е. Тарасова [52], Д. Матеску и М. Абдо [33], Д. Питерса [40] Д. Питерса, М. Се и А. Торреро [39] и др.

Полностью отказаться от дополнительных условий и предположений возможно при описании гидродинамики с помощью полного уравнения На-вье-Стокса. Именно такой подход является доминирующим в современных исследованиях колебательного движения тела в жидкости (см., например, работы С. Албена [2; 3] и С. Албена и М. Шелли [4], Т. Изогая, Ю. Синмото и Ю. Ватанабе [24], Г. Левина и Х. Хадж-Харири [29], Х. Лю, К. Эллингтона, К. Кавачи, К. Берга и А. Уилмотта [30], К. Луа, С. Дэша, Т. Лима и К. Йео [31], А. Мартенса, М. Триантафиллу и Д. Юэ [32], Г. Педро, А. Сулемана, Н. Джилали [38], С. Спаньоли, Л. Море, М. Шелли и Дж.Чжан [49], Х. Та-

ха [53], Ц. Чжана, Н. Лю и С. Лу [60], Я.А. Дынникова [63], К.А. Коваля, А. Л. Сухорукова и И. А. Чернышева [67], С. Ву, С. Чжана, С. Тянь, С. Ли и В. Лу [59]). В общем случае решение полной нелинейной задачи возможно только с помощью приближенных численных методов. Прямые численные методы решения уравнения Навье-Стокса имеют высокую вычислительную сложность, что существенно лимитирует возможности исследования нестационарного про-пульсивного движения даже в двумерном приближении из-за большого числа параметров задачи. В частном случае малых амплитуд колебаний полезной альтернативой прямым численным методам служат приближенные асимптотические подходы, позволяющие в некоторых случаях получать аналитические решения.

Первое аналитическое исследование задачи о гармонических поступательных колебаниях цилиндрического тела в жидкости было проведено Сток-сом [50]. В предположении о малости амплитуд колебаний к = А/а ^ 1 (где А -амплитуда колебаний цилиндра, а - радиус цилиндра) Стоксом было получено приближенное решение. Оно не учитывало вклад конвективных слагаемых и, по этой причине, описывало только нестационарные потоки, индуцированные колебаниями тела. Г. Шлихтинг в работах [48; 75] представил асимптотическое решение задачи о поступательных колебаниях цилиндрического тела для случая высокочастотных малоамплитудных колебаний. Помимо к = А/а ^ 1, он положил в = а<2w/v ~ 1/к ^ то (где v - кинематическая вязкость жидкости, ш - угловая частота колебаний), что позволило упростить решение задачи и найти его в двух последовательных приближениях. Полученное Г. Шлихтин-гом решение показало, что учет влияния конвективных слагаемых в членах разложения второго порядка О(к) позволяет описать вторичные стационарные течения, образующиеся на фоне колебательного потока. Обобщенное на случай произвольных частот колебаний аналитическое решение в члене О(к) было получено Й. Хольстмарком, Т. Сиккеландом и С. Скавлемом [23]. Дальнейшее развитие метода последовательных асимптотических разложений для исследования гидродинамических течений, формирующихся около тела, которое совершает поступательные колебания в жидкости, проводилось в работах Н. Райли [44; 45], Дж. Стюарта [51], Ванга [58], Э. Така [55], Д. Брамли, М. Уиллкокса и Дж. Сэйдера [10], С. Ахсана и М. Аурели [1], С. Кима и А. Трое-ша [26], М. Рэйя [43], Р. Канвала [25], А.Н. Нуриева [71; 72], А.Н. Нуриева и А.Г. Егорова [19; 35], А.Н. Нуриева, А.Г. Егорова, А.М. Камалутдинова [37].

В работе Н. Райли и Э. Дж. Ватсона [46] впервые была продемонстрирована возможность применения метода асимптотических разложений для решения задачи о вращательно-поступательном движении круглого цилиндра. В исследованиях А.Н. Нуриева [72], А.Н. Нуриева и А.Г. Егорова [16; 34], А.Н. Нуриева, А.Г. Егорова, О.С. Зайцевой и А.М. Камалутдинова [36] в рамках асимптотического подхода впервые были получены аналитические приближенные решения уравнения Навье-Стокса, описывающие пропульсивные характеристики машущего круглого цилиндрического крыла при малоамплитудных колебаниях. Решение задачи, построенное в [34], показало, что пропульсивное движение возникает в результате нелинейного взаимодействия временных гармоник. В работе была получена аналитическая зависимость (для случая к ^ 1) крейсерской скорости от безразмерной частоты в и амплитуды в вращательных колебаний. Для случая высокочастотных колебаний (в > 150) была построена следующая асимптотика для крейсерской скорости (обезразмеренной на амплитуду скорости поступательных колебаний):

—в (4 - в-1 - в-).

Сравнение полученных результатов с данными прямого численного моделирования показало, что для синфазных колебаний линейная асимптотическая модель имеет достаточно широкую область применимости. Также в этой работе были проведены оценки эффективности (по относительным энергозатратам) рассматриваемого способа самопродвижения в жидкости. Вычисленный показатель эффективности в наиболее оптимальном режиме движения оказался весьма высок £ ~ 26% для исследуемого диапазона низких чисел Рейнольса и сопоставим с показателем эффективности для летающих насекомых.

Исследование применимости линейной (по в) модели для произвольного сдвига фаз ф между поступательными и вращательными колебаниями было проведено А.Н. Нуриевым, А.Г. Егоровым, О.С. Зайцевой и А.М. Камалутди-новым [36] в высокочастотном приближении. Для крейсерской скорости была

получена следующая формула при в ^ то:

1 Г^ /3 5

иж = ^ 008 Ф + 5 8Ь Ф^ -

3 / (-363 + 500^2) 008 Ф + (8291 - 1800^2) 8т ф\ 0 ^ 4800 у

+о (05)} + о (в"1/2>

Она наглядно показывает, что линейная асимптотика для синфазных колебаний (ф = 0) дает хорошее приближение (с погрешностью менее 5%) вплоть до 0 ^ 1.5. Эта оценка полностью согласуется с результатами численной апробации [34]. В то же время при наличии сдвига фаз между вращательными и поступательными колебаниями область применимости линейной модели уменьшается. Так при ф = п/2 она сокращается до 0 ^ 0.4.

Представленные выше результаты с одной стороны показывают большой потенциал в области использования асимптотических моделей для изучения аэрогидродинамики колебательного пропульсивного движения, с другой стороны показывает необходимость дальнейшего усовершенствования и развития этих моделей.

В последнее десятилетие, помимо теоретических исследований пропульсивного колебательного движения, начали стремительно развиваться исследования по созданию высокоэффективных колебательных движителей. На пути создания таких устройств помимо задач аэрогидродинамики необходимо решать задачи эффективного возбуждения колебаний. В природе колебания крыльев и плавников вызываются мышцами, однако для искусственных устройств пока не разработано столь же эффективной альтернативы им. В последнее время активно обсуждается возможность самодвижения тела за счет колебаний внутренних масс (ВМ), перемещение которых можно осуществлять с помощью обычных электродвигателей. Такое самодвижущееся устройство с одной или несколькими внутренними массами в литературе часто называют вибророботом (ВР).

Одним из первых вопрос об оптимальном движении системы посредством перемещения внутренней массы был поставлен Ф.Л. Черноусько [11; 12], рассмотревшим прямолинейное движение ВР с одной подвижной ВМ по горизонтальной плоскости при наличии кулоновского трения между плоскостью и телом. Данная проблематика широко обсуждается в литературе как

для других идеализированных законов сопротивления, так и для неодномерных перемещений ВМ, например, работы Н.Н Болотника, Т.Ю. Фигуриной и Ф. Л. Черноусько [61] и Н.Н Болотника, М. Пивоварова, И. Зейдиса, К. Зиммермана [8], А.Г. Егорова и О.С. Жучковой (Захаровой) [17; 64], О.С. Жучковой [65], Д. Чжоувэй, Ф. Хунбинь, Ч.Сюн, С. Цзянь [14], Б. Дяо, Чж. Сяосю, Ф. Хунбинь, С. Цзянь [13]. В частности, используются модели, в которых сила сопротивления однозначно определяется мгновенными кинематическими характеристиками движения корпуса ВР. Но при движении виброробота в вязкой жидкости действующие на тело гидродинамические силы не могут быть описаны исключительно в терминах мгновенных кинематических характеристик. Исследование движения ВР в жидкости с использованием разных приближенных походов для оценки нелокального по времени гидродинамического воздействия проводились в работах А.Г. Егорова и О.С. Жучковой(Захаровой) [18], Е.В. Ветчанина, И.С. Мамаева, В. А. Тенеева [56], А.В. Борисова, Е.В. Ветчанина и И.С. Мамаева [9], Е.М. Артемовой, Ю.Л. Караваева, И.С. Мамаева и Е.В. Ветчанина [5]. Так, например, результаты [18] показывают чрезвычайную важность учета наследственных составляющих силы.

Представленный выше обзор исследований показывает высокую значимость исследования пропульсивных механизмов движения в вязкой жидкости и перспективность разработки устройств способных эффективно использовать эти механизмы, что, на ряду с большим научным и техническим потенциалом развития этой области, подтверждает актуальность темы данной работы.

Объектом исследования настоящей диссертации являются колебательные движители.

Предметом исследования является взаимодействие пропульсивной системы типа виброробот с жидкостью.

Целью работы является исследование гидродинамики взаимодействия круглого цилиндрического виброробота с вязкой жидкостью.

Для достижения поставленной цели ставятся следующие задачи:

1. Построение совместной механической и гидродинамической модели движения ВР с подвижной ВМ;

2. Определение силовых характеристик и крейсерской скорости движения ВР;

3. Определение оптимального закона движения цилиндрического ВР и оценка энергоэффективности такой пропульсивной системы;

4. Оценка границ применимости используемой асимптотической гидродинамической модели. Проведение исследований в области ее уточнения.

Методология и методы исследования.

Ключевым инструментом для решения поставленных задач и достижения цели данного диссертационного исследования является метод последовательных асимптотических разложений. В работе проводится развитие перспективных идей, изложенных А.Н. Нуриевым, А.Г. Егоровым и др. в работах [16; 34; 36; 72], по нахождению приближенных аналитических решений уравнения Навье-Стокса для задач о колебательном пропульсивном движении тел в жидкости.

В первой и второй главах с помощью асимптотического метода проводится исследование совместной механической и гидродинамической задач, описывающих движение ВР. Строится решение в первых двух членах разложения по малому параметру у, определяемому как отношение подвижной внутренней массы к полной массе ВР. В этом случае решение гидродинамической подзадачи фактически сводится к решению А.Н. Нуриева и А.Г. Егорова, полученному в работах [16; 34].

В третьей главе для анализа границ применимости результатов и получения более точных оценок гидродинамического воздействия на цилиндрический корпус виброробота, проводится исследование более высоких членов асимптотического разложения гидродинамической задачи. Решения в этих членах строятся численно с использованием метода конечных разностей, соответствующие задачи перед этим сводятся к одномерным.

В заключении третьей главы для оценки границ применимости асимптотической теории проводится численное конечно-объемное моделирование гидродинамических течений около колеблющегося цилиндра, описываемых полными нестационарными уравнениями Навье-Стокса. Для этого используется программа, разработанная А.Н. Нуриевым [34] на базе библиотек ОрепРОЛМ.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Впервые получено аналитическое приближенное решение совместной механической и гидродинамической (сформулированной на основе нестационарного уравнения Навье - Стокса) задачи, описывающей про-пульсивное движения ВР, вызванного маятниковыми колебаниями ВМ.

2. Решена задача оптимизации движения ВР. Определен оптимальный закон колебаний ВМ. Получены выражения для крейсерской скорости ВР, силовых характеристик движения. Даны оценки эффективности данной пропульсивной системы.

3. Получено асимптотическое решение гидродинамической задачи о синхронных поступательно-вращательных колебаниях круглого цилиндрического тела в первых четырех членах в условиях малости амплитуды поступательных колебаний к ^ 1. Впервые определена крейсерская скорость движения колеблющегося цилиндра с точностью до членов 0(к4). Определены границы применимости приближений более низких порядков.

Практическая значимость результатов работы состоит в том, что построенные в ходе проведенного исследования решения являются теоретической основой для объяснения гидродинамических принципов и оценки потенциальной эффективности пропульсивных колебательных устройств для движения в жидкости.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическое решение, описывающее движение ВР, индуцированное малоаплитудными маятниковыми колебаниями ВМ, в вязкой несжимаемой жидкости, выражение для крейсерской скорости движения ВР, оценки эффективности движения такой пропульсивной системы [76; 82].

2. Асимптотическое решение, описывающее движение ВР в вязкой несжимаемой жидкости с произвольными маятниковыми колебаниями ВМ, оптимальный закон движения ВМ, оценки эффективности движения системы при оптимальных параметрах [77; 80; 81].

3. Асимптотическое решение гидродинамической задачи о поступательно-вращательных колебаниях круглого цилиндрического тела, определенное в первых четырех членах разложения. Оценки границ применимости разложений разных порядков [78; 79; 83].

Достоверность обеспечивается корректностью постановок задач и математических моделей, использованием апробированных методов численного моделирования, апробацией на тестовых задачах и согласованием полученных результатов с известными численными данными.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. XIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, г. Санкт-Петербург, 2023.

2. XII Всероссийская научная конференция с международным участием «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики», г. Томск, 2023.

3. Итоговая научная отчетная конференция Казанского университета за 2023 год, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 2024.

4. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2024», г. Москва, 2024.

5. Всероссийская конференция молодых учёных-механиков, г. Сочи, 2024.

6. IX Всероссийская научная конференция с элементами школы молодых ученых «Теплофизика и физическая гидродинамика», проводимая Институтом теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН (Новосибирск), г. Сочи, 2024.

Диссертация является составной частью фундаментальных исследований, проводимых в рамках гранта РНФ 22-79-10033 и программы повышения конкурентоспособности КФУ «Приоритет 2030».

Личный вклад. Постановка задач, обсуждение и интерпретация полученных результатов проведены совместно с научным руководителем Нуриевым А.Н. Построение численных и аналитических решений принадлежат автору.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 8 публикациях, 2 из которых опубликованы в отечественных рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК [76; 77], 1 — в иностранных журналах [78], индексируемых Web of Science или Scopus, 4 — в тезисах докладов и материалах конференций [79—83].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 87 страниц, включая 23 рисунка и 4 таблицы. Список литературы содержит 81 наименование.

Глава 1. Движение цилиндрического виброробота в вязкой несжимаемой жидкости, индуцированное малыми маятниковыми

колебаниями внутренней массы

1.1 Постановка задачи

Рассматриваемая система, состоящая из корпуса массы ткр с цилиндрической оболочкой радиуса а и точечной ВМ твм, изображена на рис. 1.1. Общая масса аппарата твр = ткр + швм, радиус инерции корпуса равен гкр. Обозначим через Ух(1),Уулинейные скорости центра корпуса и угловую скорость его вращения, X(р),У(р) - координаты ВМ в системе координат, перемещающейся поступательно вместе с центром корпуса, РХ(Ь),РУ(Ь),М(£) - действующие на ВР гидродинамические силы и момент.

Рисунок 1.1 — Схема ВР. Синим изображен корпус, красным - ВМ. Оси (х, у) перемещаются поступательно вместе с центром корпуса. ВМ периодически колеблется относительно оси у с размахом колебаний 2ф

Примем, что ВМ периодически колеблется вокруг пространственной оси у с амплитудой ф и частотой ш по дуге окружности максимально возможного радиуса

то

X = а зтФ, У = а еовФ, Ф(£) = ^ cos шЫ.

k=1

Нормируем, сохранив за ними прежние обозначения, X и У на а, а переменные t, V, ft, F и М - на

tsc = ш 1,

твм v sc о f

Vac =-аш, ш8С = —, fsc = пра vscw, msc = af8C.

m

вр

a

Через р обозначим плотность жидкости. Приняв дополнительно нейтральную плавучесть ВР (т.е. твр = пра2), запишем механическую подзадачу в безразмерной форме

- Ф = M + у (YVX - XVy^j , Vx + X = Fx, Vy + У = Fy. (1.1)

Безразмерные параметры определены здесь как

22 Швм ткргКр , \Гкр

Y =-, а =-f = (1 - у)—2-.

твр швра2 а2

Будем считать угол поворота ф ВМ малым. В линейном по ф приближении X = Ф, Y =1, вследствие чего Vy = Fy = 0, и (1.1) перепишем как

- Ф = M + у!4, Vx + Ф = Fx. (1.2)

Далее для простоты записи нижний индекс х при V и F будем опускать.

Для замыкания (1.2) необходимо указать нелокальную по времени связь силовых характеристик движения F и M с кинематическими V и Этому служит гидродинамическая подзадача. Уравнения Навье-Стокса, описывающие течение жидкости вокруг колеблющегося цилиндра, запишем в подвижной полярной системе координат (г, 6), перемещающейся поступательно вместе с центром цилиндра. Использовав в качестве основных характеристик течения завихренность w и функцию тока ф, запишем определяющие уравнения в виде

. , dw у д(",w) „i* „ч

т > 1: w = Дф, — - Y ^ф' / = в ^w. (1.3)

ot г о (г,6)

Безразмерная частота колебаний в - параметр Стокса - выражается через кинематическую вязкость V как

в = a2w/v.

Граничные условия для (1.3) определяются кинематическими характеристиками V(t) и Q(t) движения цилиндра.

д ф

г = 1: " = 0, 7Г = ^

or (1.4)

г ^ то : ф ~ ryVo cos 6 - rV sin 6.

Константа V0 представляет собой крейсерскую скорость движения ВР и находится из условия равенства нулю средних по времени сил, действующих

на цилиндр. После решения задачи (1.3) - (1-4) силовые характеристики движения цилиндра найдем через завихренность и ее нормальную производную на границе цилиндра по формулам [36]

-=---/(£ - •)

о

4 1

М=--П-

в пв

вт 6 ¿в,

г=1

I w(1,6) (16.

(1.5)

о

Совместное решение механической и гидродинамической задач найдем в виде рядов по степеням у с удержанием в них двух главных (нулевого и первого порядков) членов разложения. Для гидродинамической подзадачи получим в главном члене линейное (стоксовское) приближение

д

—п)(0) - в-1 А^(0) = 0, ^(0) = Д-ф

(о)

дъ

Г = 1 : ф(0) =0,

д ф(0) дг

= -^(0), г —>• оо : ф(0) - -гу(0) вт 6.

(1.6)

Оно описывает чисто осцилляционное движение жидкости. В следующем члене имеем

#«,<!> - Р-1Д»<1> = С, Ш(1> = Аф(1), С 1 а(ф(0,<№(0,)

оЬ

г д (г,6) = 0, г ^то : ф(1) — гУ0 сое 6.

д ф(1)

Г = 1 : ф(1) = —_ = 0 Г ^ ТО : ф(1)

дг

(1.7)

Решение этой задачи содержит две составляющих скорости: чисто осцилляци-онную и стационарную, определяемую как среднее за период колебаний. Такое среднее по времени будем обозначать угловыми скобками. Именно стационарные компоненты скорости ВР У0 будут представлять для нас основной интерес. Они заранее неизвестны и должны находиться в ходе решения из условий равенства нулю средних сил. Осреднив по времени гидродинамическую подзадачу (1.7), получим

- в-1А(^(1)) = (С), (V)(1)) = Д(Ф(1)), С

1 д (ф(0),^(0))

г

г = 1 : (ф(1)) = ^ф^ = 0, г ^ то :

дг

д(г,6) ' (ф(1)) - гУ0 сов 6.

(1.8)

Как видно, характеристики течения, в том числе крейсерская скорость У0, полностью определяются функциями V(0)^) и Их необходимо выразить через заданный закон движения ВМ Ф(£) посредством соотношений (1.2), принимающих в главном члене вид

(0) - Ф = М(0) + (0), V(0) + Ф = ^(0). (1.9)

1.2 Стоксовское приближение

Положив

то то

шк е ,

V(0) = Ук е ,

к=1 к=1

то то

м(0) = Re ^ тк el\ F(0) = Re ^ fk elkt

к=1 к=1

и использовав линейность (1.6), найдем решение гидродинамической подзадачи в виде

ф(0) = -Re (ф^М) - sin9 Re (фу(r,t)),

^ V ^ к (1.10)

Фп(г) = (Ф , Фу = Vkфу,к(Ф .

к=1 к=1

Такое же представление, как (1.10), примем и для и>(0) с побуквенной заменой в (1.10) ф на w. Подставив (1.10) в (1.6), придем для функций фп,к, и фу,к, wv., к к следующей паре простых одномерных задач

ik^wn^ - ^0WQ,I = 0, wQ,i = Афпд, г = 1 : фп,1 =0, = 1, r ^ ^ : фп,1 = о(г);

ikfiwv, к - = 0, wv = Афу,к,

1 I А Л v .

г = 1 : фу,к =0, = 0, г ^ то : фу,к - г,

в которых операторы Ст определены как

1 d d т2

^т Т~ Т i о".

г аг аг г2

Очевидно, что их решения при любом к получаются из решений для к = 1 заменой в последнем в ^ к$. Обозначив Хк = л/ikfi, представим эти решения

через модифицированные функции Бесселя К^ в виде

. , ып,к Ко(ггг)

уп,к =яп,к +--, = —,

¿2 К1(г1)

Ко(гк) 1 1 =—,, ( А, = г----- + -„-и^к, (1.11)

гк Кх(гк)' , г г 2

2Кг (гк г) 2Кг(гк)

Ко(гк) ' , гкКо(гк)' Разрез при взятии квадратного корня считается проведенным вдоль отрицательной вещественной полуоси так, что \/равен егп/4\/кв. Вычислив силовые характеристики согласно (1.5), найдем

тк = -гкшк(^-^ + , /к = -гкюк (1 + 2^). (1.12)

Это основной результат решения в главном члене гидродинамической подзадачи.

Механическая подзадача (1.9) с использованием (1.12) приводит к следующим соотношениям между амплитудами временных гармоник

= _ 1кфк ^ =__1кфк (1 13)

Ук = 2(1 + 8у,к)' Ш = а + 25^,, - 4г/кв. (. )

Формулы (1.11), (1.12), (1.13) полностью определяют решение в главном члене.

В заключение данного пункта дадим также используемое в дальнейшем выражение для безразмерной, нормированной на й8С = /вс^вс, диссипации ё, энергии. В главном члене она представляется суммой диссипаций в различных движениях (1 = ¿у + Где

йу = (0)) = ^ к|2 Ие (гкз^к) = ^ йу*ф2,

к=\ к=\ -кЧш(зу,к)

=

4|1 + 8у,к |2 '

^ /2 \ (Ь = -<М(0)^(0)) = ^ К|2 ( в + Ие (^) ) = ^ d^kф2,

к=\ ^' ' к=\ = к3 (2/^в - М^)) П,к |а + 2^ - 4*Ав12.

Диссипации (1у и (1<п представим суммами диссипаций по всем гармоникам с частотами кш, поэтому каждое слагаемое должно зависеть лишь от своей частоты

кш. Наличие множителей к3 в dvkk и d^,k объясняется тем, что нормирующий множитель dsc пропорционален ш3.

1.3 Крейсерская скорость ВР

Стационарные гидродинамические поля, называемые вторичными течениями, определяются решением задачи (1.8). Правая часть в (1.8) и порождаемые ею решения содержат две азимутальные гармоники: cos 6 и sin 26. Вторая из них не дает вкладов ни в момент, ни в силу, действующие на тело; она не понадобится в дальнейшем при вычислении V0. Оставив в (G) лишь первую азимутальную гармонику, запишем

т\ а1»! лЛп ( а\ п к т> ( Wvk • - ^v,k • ,k \ < G) = cos6 > k®kGk(г; а,В), Gk = —Re —-—-, ' .

V ) k( ; k 2г ^2(1 + svk)(а + 2s^k - U/кв))

Черта сверху означает комплексное сопряжение, а штрих - дифференцирование по . Выделим в Gk зависящую от пространственной координаты составляющую

Gk(r; e) = к (wv,k • - ^v,k • k) /2 и решим для нее задачу

C1W = -Gk, W = АФ, Ф(1) = Ф'(1) = 0, . (1.14)

Величину Vk найдем из условия равенства нулю средней силы, которое запишем в терминах W как

W'(1) -W(1) = 0. (1.15)

Решение задачи (1.14), (1.15) получено в [36]. Ограничимся здесь явным представлением для составляющей крейсерской скорости

»

Vk = - кв J Gk (г; |3)(2г2 lnr - г2 + 1) dr. 1

После нахождения комплексной величины Vk крейсерскую скорость вычислим по формулам

» >2

V = £ к2\At\2 ra+Bt|2 (aRe (V^) + Re M) , k=l

Ak = 1 + svk, Bk = 2s Qk + тл".

|к

Наличие множителя к объясняется по прежнему тем, что нормирующий множитель vsс прямо пропорционален ш.

1.4 Оптимальность гармонических колебаний

Вопрос об оптимальном законе Ф(£) в рассматриваемом случае малых колебаний ВМ решается просто. Под оптимальным традиционно понимается такой набор ф,, при котором отношение Л = У0/(1 достигает максимума. Это, разумеется, эквивалентно максимизации крейсерской скорости У0 при заданном уровне диссипации ё, либо минимизации диссипации при заданной величине крейсерской скорости. Обе эти величины определены единообразно

При введении множителя Лагранжа Л придем для нахождения оптимума к соотношениям

к = 1,2,... ик фк = Л<1к фк.

Удовлетворить всем им за счет единственного множителя Лагранжа возможно лишь тогда, когда при фиксированном номере п

Л = ип/(1п, фк = 0 (к = п).

Оптимален тот номер п, при котором отношение Л = ип/(1п максимально. Его нахождение лишено смысла; важно лишь, что оптимальными являются гармонические колебания. Рассмотрим их подробнее.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Анисимов Вадим Дмитриевич, 2025 год

Список литературы

1. Ahsan, S. N. Finite amplitude oscillations of flanged laminas in viscous flows: Vortex-structure interactions for hydrodynamic damping control [Текст] / S. N. Ahsan, M. Aureli // Journal of Fluids and Structures. — 2015. — Т. 59. — С. 297—315. — URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ S0889974615002327.

2. Alben, S. Collective locomotion of two-dimensional lattices of flapping plates. Part 1. Numerical method, single-plate case and lattice input power [Текст] / S. Alben // Journal of Fluid Mechanics. — 2021. — Т. 915. — A20.

3. Alben, S. Collective locomotion of two-dimensional lattices of flapping plates. Part 2. Lattice flows and propulsive efficiency [Текст] / S. Alben // Journal of Fluid Mechanics. — 2021. — Т. 915. — A21.

4. Alben, S. Coherent locomotion as an attracting state for a free flapping body [Текст] / S. Alben, M. Shelley // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2005. — Т. 102, № 32. — С. 11163—11166.

5. Artemova, E. Dynamics of a Spherical Robot with Variable Moments of Inertia and a Displaced Center of Mass [Текст] / E. Artemova [и др.] // Regular and Chaotic Dynamics. — 2020. — Нояб. — Т. 25. — С. 689—706.

6. Becker, L. On self-propulsion of micro-machines at low Reynolds number: Purcell's three-link swimmer [Текст] / L. Becker, H. Stone // Journal of Fluid Mechanics. — 2003. — Сент. — Т. 490. — С. 15—35.

7. Birnbaum, W. Der Schlagflügelpropeller und die Kleinen Schwingungen elastisch befestigter Tragflügel. [Текст] / W. Birnbaum // Z. Flugtech. Motorluftschiffahrt. — 1924. — Т. 15. — С. 128—134.

8. Bolotnik, N. The undulatory motion of a chain of particles in a resistive medium in the case of a smooth excitation mode [Текст] / N. Bolotnik [и др.] // ZAMM Journal of applied mathematics and mechanics: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik. — 2013. — Дек. — Т. 93.

9. Borisov, A. Self-propulsion of a Smooth Body in a Viscous Fluid Under Periodic Oscillations of a Rotor and Circulation [Текст] / A. Borisov, E. Vetchanin, I. Mamaev // Regular and Chaotic Dynamics. — 2018. — Дек. — Т. 23. — С. 850—874.

10. Brumley, D. R. Oscillation of cylinders of rectangular cross section immersed in fluid [Текст] / D. R. Brumley, M. Willcox, J. E. Sader // Physics of Fluids. — 2010. — Т. 22, № 5. — С. 052001. — eprint: https://doi.org/10.1063/1. 3397926. — URL: https://doi.org/10.1063/L3397926.

11. Chernous'ko, F. On the motion of a body containing a movable internal mass [Текст] / F. Chernous'ko // Doklady Physics. — 2005. — Нояб. — Т. 50. — С. 593—597.

12. Chernous'ko, F. Analysis and optimization of a body motion controlled by a movable internal mass [Текст] / F. Chernous'ko // Prikladnaya Matematika i Mekhanika. — 2006. — Дек. — Т. 70.

13. Diao, B. Optimal control of the multi-module vibration-driven locomotion robot [Текст] / B. Diao [и др.] // Journal of Sound and Vibration. — 2022. — Июнь. — Т. 527. — С. 116867.

14. Du, Z. Experiments on vibration-driven stick-slip locomotion: A sliding bifurcation perspective [Текст] / Z. Du [и др.] // Mechanical Systems and Signal Processing. — 2018. — Май. — Т. 105. — С. 261—275.

15. Dynnikova, G. Y. Stability of a reverse Karman vortex street [Текст] / G. Y. Dynnikova [et al.] // Physics of Fluids. — 2021. — Vol. 33, no. 2. — P. 024102.

16. Egorov, A. Cruising Speed of a Cylindrical Wing Performing Small Translational-Rotational Oscillations [Текст] / A. Egorov, A. Nuriev // Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. — 2022. — Сент. — Т. 164. — С. 170—180.

17. Egorov, A. The optimal quasi-stationary motion of a vibration-driven robot in a viscous medium [Текст] / A. Egorov, O. Zakharova // Russian Mathematics. — 2012. — Февр. — Т. 56.

18. Egorov, A. The energy-optimal motion of a vibration-driven robot in a medium with a inherited law of resistance [Текст] / A. Egorov, O. Zakharova // Journal of Computer and Systems Sciences International. — 2015. — Май. — Т. 54. — С. 495—503.

19. Egorov, A. G. Steady streaming generated by low-amplitude oscillations of a cylinder [Текст] / A. G. Egorov, A. N. Nuriev // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2021. — Т. 42, № 9. — С. 2102—2108.

20. Garrick, I. E. Propulsion of a Flapping and Oscillating Airfoil [Текст] / I. E. Garrick. — National Advisory Committee for Aeronautics, 1936. — NACA Report 567.

21. Gazzola, M. Scaling macroscopic aquatic locomotion [Текст] / M. Gazzola, M. Argentina, L. Mahadevan // Nature Physics. — 2014. — Т. 10. — С. 758—761.

22. Glauert, H. The force and moment on an oscillating aerofoil [Текст] /

H. Glauert // Vortrage aus dem Gebiete der Aerodynamik und verwandter Gebiete: Aachen 1929 / под ред. A. Gilles, L. Hopf, T. v. Karman. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1930. — С. 88—95.

23. Holtsmark, J. Boundary Layer Flow Near a Cylindrical Obstacle in an Oscillating, Incompressible Fluid [Текст] / J. Holtsmark [и др.] // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1954. — Т. 26, № 1. — С. 26—39. — eprint: https://doi.org/10.1121/L1907285. — URL: https://doi.org/10.1121/

I.1907285.

24. Isogai, K. Effects of Dynamic Stall on Propulsive Efficiency and Thrust of Flapping Airfoil [Текст] / K. Isogai, Y. Shinmoto, Y. Watanabe // AIAA Journal. — 1999. — Т. 37, № 10. — С. 1145—1151.

25. Kanwal, R. P. Vibrations of an Elliptic Cylinder and a Flat Plate in a Viscous Fluid [Текст] / R. P. Kanwal // ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. — 1955. — Т. 35, № 1/2. — С. 17—22. — eprint: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/ 10.1002/zamm. 19550350104. — URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/ abs/10.1002/zamm.19550350104.

26. Kim, S. K. Streaming flows generated by high-frequency small-amplitude oscillations of arbitrarily shaped cylinders [Текст] / S. K. Kim, A. W. Troesch // Physics of Fluids A: Fluid Dynamics. — 1989. — Т. 1, № 6. — С. 975—985. — eprint: https://doi.org/10.1063/1.857409. — URL: https://doi.org/10.1063/L857409.

27. Küssner, H. G. The oscillating wing with aerodynamically balanced elevator [Текст] / H. G. Küssner, I. R. Schwartz //. — National Advisory Committee for Aeronautics, 1936. — NACA-TM-991.

28. Küssner, H. G. Zusammenfassender Berichtüber den instationären Auftrieb von Flügeln [Текст] / H. G. Küssner // Luftfahrtforschung. — 1936. — Jg. 13, Nr. 12. — S. 410-424.

29. Lewin, G. C. Modelling thrust generation of a two-dimensional heaving airfoil in a viscous flow [Текст] / G. C. Lewin, H. Haj-Hariri // Journal of Fluid Mechanics. — 2003. — Т. 492. — С. 339—362.

30. Liu, H. A computational fluid dynamic study of hawkmoth hovering [Текст] / H. Liu [и др.] // Journal of Experimental Biology. — 1998. — Февр. — Т. 201, № 4. — С. 461—477. — URL: https://doi.org/10.1242/jeb.20L4.461.

31. Lua, K. On the thrust performance of a flapping two-dimensional elliptic airfoil in a forward flight [Текст] / K. Lua [и др.] // Journal of Fluids and Structures. — 2016. — Т. 66. — С. 91—109. — URL: https://www.sciencedirect. com/science/article/pii/S0889974616300202.

32. Maertens, A. P. Efficiency of fish propulsion [Текст] / A. P. Maertens, M. S. Triantafyllou, D. K. P. Yue // Bioinspiration & Biomimetics. — 2015. — Т. 10, № 4. — С. 046013.

33. Mateescu, D. Theoretical Solutions for Unsteady Flows Past Oscillating Flexible Airfoils Using Velocity Singularities [Текст] / D. Mateescu, M. Abdo // Journal of Aircraft. — 2003. — Vol. 40, no. 1. — P. 153—163.

34. Nuriev, A. N. Asymptotic theory of a flapping wing of a circular cross-section [Текст] / A. N. Nuriev, A. G. Egorov // Journal of Fluid Mechanics. — 2022. — Т. 941. — A23. — URL: http://dx.doi.org/10.1017/jfm.2022.287. — (Scopus, WoS).

35. Nuriev, A. Asymptotic Investigation of Hydrodynamic Forces Acting on an Oscillating Cylinder at Finite Streaming Reynolds Numbers [Текст] / A. Nuriev, A. Egorov // Lobachevskii J Math. — 2019. — Vol. 40. — P. 794—801.

36. Nuriev, A. Asymptotic Study of the Aerohydrodynamics of a Flapping Cylindrical Wing in the High-Frequency Approximation [Текст] / A. Nuriev [и др.] // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2022. — Нояб. — Т. 43. — С. 2250—2256.

37. Nuriev, A. N. Hydrodynamic forces acting on the elliptic cylinder performing high-frequency low-amplitude multi-harmonic oscillations in a viscous fluid [Текст] / A. N. Nuriev, A. G. Egorov, A. M. Kamalutdinov // Journal of Fluid Mechanics. — 2021. — Т. 913. — A40.

38. Pedro, G. A numerical study of the propulsive efficiency of a flapping hydrofoil [Текст] / G. Pedro, A. Suleman, N. Djilali // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 2003. — Т. 42, № 5. — С. 493—526. — eprint: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/fld.525. — URL: https: //onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/fld.525.

39. Peters, D. A. Two-dimensional incompressible unsteady airfoil theory—An overview [Текст] / D. A. Peters // Journal of Fluids and Structures. — 2008. — Т. 24, № 3. — С. 295—312.

40. Peters, D. A State-Space Airloads Theory for Flexible Airfoils [Текст] / D. Peters, M.-C. Hsieh, A. Torrero // Journal of The American Helicopter Society - J AMER HELICOPTER SOC. — 2007. — Oct. — Vol. 52. — P. 329—342.

41. Prandtl, L. Über die Entstehung von Wirbeln in der idealen Flüssigkeit, mit Anwendung auf die Tragflügeltheorie und andere Aufgaben [Текст] / L. Prandtl // Vortrage aus dem Gebiete der Hydro- und Aerodynamik (Innsbruck 1922) / под ред. T. v. Karman, T. Levi-Civita. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1924. — С. 18—33. — URL: https: //doi.org/10.1007/978-3-662-00280-3_2.

42. Purcell, E. M. Life at low Reynolds number [Текст] / E. M. Purcell // American Journal of Physics. — 1977. — Т. 45, № 1. — С. 3—11.

43. Ray, M. Vibration of an infinite elliptic cylinder in a viscous liquid [Текст] / M. Ray // ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. — 1936. — Jg. 16, Nr. 2. —S. 99-108. —eprint: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/ 10.1002/zamm. 19360160204. — URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/ abs/10.1002/zamm.19360160204.

44. Riley, N. Oscillatory Viscous Flows. Review and Extension [Текст] / N. Riley // IMA Journal of Applied Mathematics. — 1967. — Vol. 3, no. 4. — P. 419—434.

45. Riley, N. The steady streaming induced by a vibrating cylinder [Текст] / N. Riley // J. Fluid Mech. — 1975. — Vol. 68. — P. 801—812.

46. Riley, N. Eccentric oscillations of a circular cylinder in a viscous fluid [Текст] / N. Riley, E. J. Watson // Mathematika. — 1993. — Т. 40. — С. 187—202.

47. Sánchez Rodriguez, J. Scaling the tail beat frequency and swimming speed in underwater undulatory swimming [Текст] / J. Sanchez Rodríguez, C. Raufaste, M. Argentina. — 2023. — Янв.

48. Schlichting, H. Berechnung ebener periodischer Grenzschichtstromungen [Текст] / H. Schlichting // Phys. Zeit. — 1932. — Vol. 33. — P. 327—335.

49. Spagnolie, S. E. Surprising behaviors in flapping locomotion with passive pitching [Текст] / S. E. Spagnolie [и др.] // Physics of Fluids. — 2010. — Т. 22, № 4. — С. 041903.

50. Stokes, G. G. On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums [Текст] / G. G. Stokes // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1851. — Т. 9. — С. 8—106.

51. Stuart, J. Double boundary layers in oscillatory viscous flow [Текст] / J. Stuart //J. Fluid Mech. — 1966. — Vol. 24. — P. 673—687.

52. Sumbatyan, M. A. A mathematical model for the propulsive thrust of the thin elastic wing harmonically oscillating in a flow of non-viscous incompressible fluid [Текст] / M. A. Sumbatyan, A. E. Tarasov // Mechanics Research Communications. — 2015. — Т. 68. — С. 83—88.

53. Taha, H. E. Geometric Nonlinear Control of the Lift Dynamics of a Pitching-Plunging Wing [Текст] / H. E. Taha // AIAA Scitech 2020 Forum. — 2020.

54. Theodorsen, T. General Theory of Aerodynamic Instability and the Mechanism of Flutter [Текст] / T. Theodorsen. — National Advisory Committee for Aeronautics, 1935. — NACA R-496.

55. Tuck, E. O. Calculation of unsteady flows due to small motions of cylinders in a viscous fluid [Текст] / E. O. Tuck // Journal of Engineering Mathematics. — 1969. — Vol. 3, no. 1. — P. 29—44.

56. Vetchanin, E. The self-propulsion of a body with moving internal masses in a viscous fluid [Текст] / E. Vetchanin, I. Mamaev, V. Tenenev // Regular and Chaotic Dynamics. — 2013. — Апр. — Т. 18.

57. Wagner, H. Über die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Tragflügeln [Текст] / H. Wagner // ZAMM. — 1925. — Т. 5, № 1. — С. 17—35.

58. Wang, C.-Y. On high-frequency oscillatory viscous flows [Текст] / C.-Y. Wang // Journal of Fluid Mechanics. — 1968. — Apr. — Vol. 32, no. 01. — P. 55.

59. Wu, X. A review on fluid dynamics of flapping foils [Текст] / X. Wu [и др.] // Ocean Engineering. — 2020. — Т. 195. — С. 106712. — URL: https://www. sciencedirect.com/science/article/pii/S0029801819308261.

60. Zhang, J. Locomotion of a passively flapping flat plate [Текст] / J. Zhang, N.-S. Liu, X.-Y. Lu // Journal of Fluid Mechanics. — 2010. — Т. 659. — С. 43—68.

61. Болотник, Н. Н. Оптимальное управление прямолинейным движением системы двух тел в сопротивляющейся среде [Текст] / Н. Н. Болотник, Т. Ю. Фигурина, Ф. Л. Черноусько // Прикладная математика и механика. — 2012. — Т. 76. — С. 3—22.

62. Горелов, Д. Н. Методы решения плоских краевых задач теории крыла [Текст] / Д. Н. Горелов. — Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2000. — 214 с.

63. Дынников, Я. А. К расчету машущего гибкого профиля в потоке вязкой несжимаемой жидкости [Текст] / Я. А. Дынников // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. — 2016. — № 4. — С. 22—30.

64. Егоров, А. Г. Оптимальное по энергетическим затратам движение виброробота в среде с сопротивлением [Текст] / А. Г. Егоров, О. С. Захарова // Прикладная математика и механика. — 2010. — Т. 74, № 4. — С. 620—632.

65. Жучкова, О. С. Оптимальное движение тела с подвижной внутренней массой в среде с сопротивлением: дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.02.05 [Текст] / О. С. Жучкова. — Казань, 2018. — 107 с.

66. Келдыш, М. В. К теории колеблющегося крыла [Текст] / М. В. Келдыш, М. А. Лаврентьев // Техн. заметки ЦАГИ. — 1935. — Т. 45. — С. 48—52.

67. Коваль, К. А. Результаты верификации численного метода расчета гидродинамических и гидроакустических характеристик плавникового движителя [Текст] / К. А. Коваль, А. Л. Сухоруков, И. А. Чернышев // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. — 2016. — Т. 9, № 4. — С. 60—72.

68. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Том VI. Гидродинамика [Текст] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Наука, 1988. — 736 с.

69. Некрасов, А. И. Теория крыла в нестационарном потоке [Текст] / А. И. Некрасов. — М.-Л. : АН СССР, 1947.

70. Нуриев, А. Н. Определение гидродинамических сил, действующих на тело в нестационарном потоке, по характеристикам течения на удаленной контрольной поверхности [Текст] / А. Н. Нуриев, А. М. Камалутдинов, О. Н. Зайцева // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. —

2022. — Т. 164, № 4. — С. 302—315.

71. Нуриев, А. Н. Течение вязкой жидкости вокруг осциллирующего цилиндра: численный эксперимент, бифуркационный и асимптотический анализ: дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.02.05 [Текст] / А. Н. Нуриев. — Казань, 2013. — 174 с.

72. Нуриев, А. Н. Колебательное движение удлиненных тел в вязкой жидкости: дис. ... док. физ.-мат. наук : 1.1.9 [Текст] / А. Н. Нуриев. — Казань,

2023. — 258 с.

73. Рыжов, В. А. Гидродинамика пропульсивных и энергосберегающих систем с колеблющимися крыльевыми элементами: автореф. дис. ... д-ра техн. наук : 05.08.01 [Текст] / В. А. Рыжов. — Санкт-Петербург, 1997. — 77 с.

74. Седов, Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. [Текст] / Л. И. Седов. — М.-Л. : ГИТТЛ, 1950.

75. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя [Текст] / Г. Шлихтинг ; под ред. Л. Г. Лойцянский. — Москва : Наука, 1974. — С. 712.

Публикации автора по теме диссертации

76. Anisimov, V. Propulsive motion of a cylindrical vibration-driven robot in a viscous fluid [Текст] / V. Anisimov [и др.] // Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. — 2024. — Т. 166, № 3. — С. 277—296.

77. Egorov, A. Optimization of the Movement of a Cylindrical Vibration-Driven Robot in a Viscous Fluid, Induced by Pendulum Oscillations of the Internal Mass [Текст] / A. Egorov, A. Nuriev, V. Anisimov // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2023. — Янв. — Т. 44. — С. 4438—4447.

78. Egorov, A. Propulsive motion of an oscillating cylinder in a viscous fluid [Текст] / A. Egorov [и др.] // Physics of Fluids. — 2024. — Февр. — Т. 36, № 2. — С. 021908. — URL: https://doi.org/10.1063/5.0189346.

79. Nuriev, A. N. Asymptotic Modeling of Viscous Fluid Flows Near Oscillating Cylindrical Bodies [Текст] / A. N. Nuriev [и др.] // Proceedings of the XII All Russian Scientific Conference on Current Issues of Continuum Mechanics and Celestial Mechanics / под ред. M. Y. Orlov, P. M. Visakh. — Singapore : Springer Nature Singapore, 2024. — С. 205—211.

80. Анисимов, В. Оптимизация движения цилиндрического виброробота вызванного маятниковыми колебаниями внутренней массы [Текст] / В. Анисимов // Всероссийская конференция молодых ученых-механиков YSM-2024. Тезисы докладов. — Сочи : НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова, 2024. — С. 32.

81. Анисимов, В. Гидродинамика пропульсивного движения цилиндрического виброробота (Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ- 2024») [Электронный ресурс] / В. Анисимов. — URL: https: / /lomonosov.msu%20.ru / archive/Lomonoso%20v_2024 / data/33278 / 16%206224_uid922535_repo%20rt.pdf (дата обр. 06.12.2024).

82. Егоров, А. Курсовая скорость виброробота в вязкой жидкости при гармонических колебаниях внутренней массы [Текст] / А. Егоров, А. Нуриев, В. Анисимов // Материалы XIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Т. 2. — Санкт-Петербург : Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2023. — С. 95—97.

83. Нуриев, А. Пропульсивное движение колеблющегося цилиндрического тела [Текст] / А. Нуриев, В. Анисимов, О. Зайцева // Материалы IX Всероссийской научной конференции с элементами школы молодых ученых «Теплофизика и физическая гидродинамика». — Сочи : Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН (Новосибирск), 2024. — С. 21.

Список рисунков

1.1 Схема ВР. Синим изображен корпус, красным - ВМ. Оси (ж, у) перемещаются поступательно вместе с центром корпуса. ВМ периодически колеблется относительно оси у с размахом колебаний

2ф...................................... 12

1.2 Зависимость сдвига фаз поступательных фу (черная линия) и вращательных ф^ (цветные линии) колебаний корпуса от в..... 20

1.3 Зависимость отношения диссипации энергии во вращательном и поступательном движениях от в при различных значениях параметра а................................ 21

1.4 Зависимость безразмерной крейсерской скорости от безразмерной частоты колебаний ВМ. Ее асимптотики (1.17) и аппроксимация (1.18)........................... 22

1.5 Эффективность движения (е), безразмерная скорость (и*^), соотношение масс ВР (у) и безразмерная амплитуда колебаний корпуса ВР (к) при 0 = 1.3, ф = 0.85.................. 24

2.1 (а) Эффективности е, е^то движения ВР и относительная погрешность До гармонической аппроксимации закона оптимальных колебаний ВМ (Ь) Зависимости крейсерской скорости V и диссипации энергии ё, от амплитуды ф0 колебаний для различных законов колебаний ВМ. (а = 0.5, в = 5 • 103)....... 35

2.2 Оптимальный закон Ф(£) колебаний ВМ для а = 0.5, в = 5 • 103 при различных амплитудах ф0. Штриховые линии показывают гармоническую аппроксимацию Ф(£) при ф0 = ф-, ф0 = ф*...... 36

3.1 Зависимости крейсерской скорости движения цилиндра от безразмерной частоты в и амплитуды 0 крутильных колебаний: сверху для синфазных (ф = 0), снизу — для противофазных

(ф = п/2) колебаний............................ 49

3.2 Зависимости крейсерской скорости цилиндра ито,с,8/0 от амплитуды 0 крутильных колебаний для различных безразмерных частот в : сверху — для софазных (ф = 0), снизу — для противофазных (ф = п/2) колебаний.................. 51

3.3 Зависимости (сверху вниз) диссипативных коэффициентов ^д/в, ds^/в от безразмерной частоты |3 и амплитуды в крутильных колебаний.................................. 52

3.4 Зависимость диссипативного коэффициента — (1с8\/в от безразмерной частоты |3 и амплитуды в крутильных колебаний. . . 53

3.5 Зависимости отношения £ диссипативных коэффициентов от безразмерной частоты |3 и амплитуды в крутильных колебаний. . . 58

3.6 Зависимости коэффициентов дс, qs от безразмерной частоты |3 и амплитуды в крутильных колебаний.................. 59

3.7 Зависимость коэффициента qсs от безразмерной частоты |3 и амплитуды в крутильных колебаний.................. 60

3.8 Звисимости дс(в) при различных значениях |3. Штриховые линии отвечают найденному в [34] пределу в ^ 0............... 61

3.9 Изменения крейсерской скорости в зависимости от амплитуды вращательных колебаний в........................ 65

3.10 Изменения крейсерской скорости в зависимости от безразмерной частоты колебаний |3 ........................... 66

3.11 Изменения крейсерской скорости в зависимости от безразмерной амплитуды поступательных колебаний к................ 66

3.12 Области применимости асимптотической зависимости порядка О(к2,в3) при к = 0.01. Зеленым цветом отмечены области, где разница между приближениями О(к2,в3) и О(к4) не превышает 10%, красным - где разница больше 10%. Верхнее изображение представлено для случая ф = 0, нижнее - ф = п/2.......... 67

3.13 Области применимости асимптотической зависимости порядка О(к2,в3) при к = 0.2. Зеленым цветом отмечены области, где разница между приближениями О(к2,в3) и О(к4) не превышает 10%, красным - где разница больше 10%. Верхнее изображение представлено для случая ф = 0, нижнее - ф = п/2.......... 68

3.14 Области применимости асимптотической зависимости порядка О(к2) при к = 0.1. Зеленым цветом отмечены области, где разница между приближениями О (к2) и О (к4) не превышает 10%, красным - где разница больше 10%. Верхнее изображение представлено для случая ф = 0, нижнее - ф = п/2..................... 69

3.15 Области применимости асимптотической зависимости порядка 0(к2) при к = 0.2. Зеленым цветом отмечены области, где разница между приближениями О (к2) и О (к4) не превышает 10%, красным

- где разница больше 10%. Верхнее изображение представлено для случая ф = 0, нижнее - ф = п/2..................... 70

3.16 Области применимости асимптотической зависимости порядка 0(к2) при к = 0.25. Зеленым цветом отмечены области, где разница между приближениями О (к2) и О (к4) не превышает 10%, красным

- где разница больше 10%. Верхнее изображение представлено для случая ф = 0, нижнее - ф = п/2..................... 71

Список таблиц

1 Основные характеристики движения идеального ВР при наиболее эффективном законе колебаний ВМ.................... 37

2 Результаты тестов для случая О = п/2, Vx = cos t при различных в- Здесь иж - крейсерская скорость движения цилиндра, (/) -подсчитанная на границе цилиндра средняя за период сила. Норма суммарной силы f понимается в среднеквадратичном смысле .... 47

3 Коэффициенты в аппроксимации Паде (3.16) для крейсерской скорости................................... 50

4 Поведение на бесконечности компонент асимптотического разложения 62