Теоретико-экспериментальное исследование аэродинамических свойств колеблющейся пластины тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Камалутдинов Айрат Марсович

• Камалутдинов Айрат Марсович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Камалутдинов Айрат Марсович

Введение

Глава 1. Экспериментальное определение аэродинамических

компонентов демпфирования консольных балок

1.1 Постановка задачи

1.2 Описание эксперимента

1.2.1 Схема экспериментальной установки

1.2.2 Методика проведения эксперимента

1.2.3 Обработка данных лазерного датчика

1.3 Тест-образцы

1.3.1 Материал тест-образцов

1.3.2 Геометрия тест-образцов

1.4 Результаты эксперимента. Анализ амплитуды

1.4.1 Общее поведение ЛДК

1.4.2 Аэродинамический декремент

1.4.3 Построение аппроксимации

1.5 Результаты эксперимента. Анализ частоты

1.5.1 Общее поведение частоты

1.5.2 Относительное изменение частоты

1.6 Выводы

Глава 2. Теоретическое исследование колебаний консольной балки

2.1 Модель взаимодействия балки с окружающей средой

2.1.1 Гидродинамическая модель

2.1.2 Квазидвумерная модель

2.1.3 Безразмерные параметры

2.2 Связь затухания и дрейфа частоты колебаний балки с аэродинамическими коэффициентами

2.2.1 Двухмасштабное разложение

2.2.2 Связь параметров колебаний балки с аэродинамическими силами

Стр.

2.3 Определение аэродинамических коэффициентов

2.3.1 Интегральные уравнения Вольтерра для аэродинамических коэффициентов

2.3.2 Приближенный метод решения интегральных уравнений

2.4 Учёт крутильных колебаний

2.4.1 Модель изгибно-крутильных колебаний

2.4.2 Оценка вклада крутильных колебаний в ЛДК

2.5 Анализ результатов

2.5.1 Коэффициент сопротивления

2.5.2 Коэффициент присоединённых масс

2.5.3 Верификация результатов

2.6 Выводы

Глава 3. Численное моделирование течения воздуха вблизи

осциллирующей пластины

3.1 Постановка задачи

3.2 Численное решение задачи об обтекании пластины

3.2.1 Метод конечных объёмов

3.2.2 Расчетная область и сетка

3.2.3 Дискретизация уравнения

3.2.4 Дискретизация граничных условий

3.2.5 Алгоритм решения дискретной задачи

3.2.6 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

3.3 Анализ результатов

3.3.1 Апробация модели

3.3.2 Симметричный режим

3.3.3 Двусторонний диагональный режим

3.3.4 Промежуточные режимы

3.4 Анализ гидродинамических сил

3.5 Выводы

Заключение

Стр.

Список литературы

Приложение А. Особенности замера с помощью лазерного датчика

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-экспериментальное исследование аэродинамических свойств колеблющейся пластины»

Введение

В последние несколько десятилетий значительно возрос интерес к исследованию вынужденных и свободных механических колебаний тел в вязкой жидкости (газе). Одна из областей таких исследований связана с исследованием и определением демпфирующих свойств материалов [122]. Дополнительной мотивацией к такому роду исследований служит решение научно-технических проблем в таких областях, как атомная микроскопия [64; 107; 114; 129; 140], датчики и микромеханические генераторы [77; 92; 104; 105], охлаждающие устройства [71; 106], робототехнические движители [108; 132; 145], устойчивость нефтяных платформ [136; 137], гашение колебаний жидкости в топливных баках [3; 4; 30], выработка энергии из смарт материалов [61; 131]. Одной из основных проблем в классе выше перечисленных задач является определение силового влияния окружающей среды (жидкости или газа) на конструкции при их функционировании.

Исследование взаимодействия деформируемых тел и конструкций с газом или жидкостью является предметом такого направления в механике сплошных сред, как аэрогидроупругость. Среди работ, посвященных аэрогидроупругости стоит выделить монографии таких известных учёных как Горшков А.Г., Ан-туфьев Б.А, Фын Я.Ц., Пономарёв А.Т. В них отмечается, что существенным моментом в аэрогидроупругости является учёт обратного влияния деформаций тела и конструкций на движение газа или жидкости. Поэтому в общем случае внешние нагрузки, действующие на конструкции, неизвестны до тех пор, пока не решена соответствующая задача. При решении конкретных задач аэрогидро-упругости приходится пользоваться методами теории упругости и аэрогидромеханики.

Непосредственной мотивацией данной работы является проблема определения демпфирующих свойств материалов. Информация о демпфирующих свойствах материалов крайне важна для таких, ориентированных на практику, научных направлений как:

- дефектоскопия, для которой при анализе прочности и целостности конструкций с помощью акустических методов [2; 46] важно корректно учитывать демпфирующие свойства исследуемого объекта [90];

- сейсмостойкое строительство [99], в котором для подавления колебаний конструкций используются различные методы и подходы, в част-

ности в работах таких исследователей, как Сумбатян М.А., Marco J., Qarletta M.,Smith Р. предлагается накладывать на конструкции изоляционные слои материала с высоким демпфирующим свойством;

- анализ свойств композитных материалов [26; 43];

- анализ напряженно-деформированного состояния конструкций подвергающиеся динамическому деформированию ( например, подходы, развиваемые научными группами Баженова В.Г. [24; 54], Тарлаковского Д.В. и др., требуют точную информацию о демпфирующих свойствах материалов конструкций).

Для определения демпфирующих свойств материалов применяются различные методики [45; 55; 56; 89—91; 115; 144]. Это связано с тем, что в общем случае производится замер тех или иных параметров деформирующихся механических систем, в которую помимо демпфирующего свойства материала входят свойства окружающей среды и конструкций. Начиная с 70-х годов прошлого столетия в методиках для определения демпфирующих свойств стали учитывать влияние окружающей среды на демпфирование (аэродинамическое демпфирование). В работах Adams R.D. [55; 56] и Guild F.J. [90; 91] для определения демпфирующих свойств материала предлагается анализировать колебания консольно закреплённых тест-образцов в виде удлинённых пластин, имеющие прямоугольное поперечное сечение (в дальнейшем для краткости именуемых балками). Авторами были исследованы демпфирующие свойства балок из различных сплавов и металлов. В частности, из результатов их исследований следует, что демпфирующие свойства дюралюминиевого сплава не зависят от амплитуды колебаний (от уровня деформаций).

В настоящее время экспериментальное определение демпфирующих свойств материалов в диапазоне частот от 10 до 5000 Гц в основном проводится согласно американскому стандарту ASTM E-756 [59]. В соответствии с ним исследование демпфирующих свойств материала необходимо проводить в резонансном режиме динамического поведения консольно закреплённых тест-образцов. Чаще всего в качестве тест-образца используются балки, имеющие прямоугольное поперечное сечение. Однако, следует подчеркнуть, определение демпфирующих свойств материалов в соответствии с указанным стандартом осуществляется недостаточно корректно из-за отсутствия учёта влияния внешних аэродинамических сил на процесс демпфирования испытываемых тест-образцов. Обычно составляющие такого «внешнего» демпфирования при-

писывают к определяемым свойствам внутреннего демпфирования материала. Такой подход применим в случаях, когда материалы обладают высокими демпфирующими свойствами (например резина), в то время как окружающая среда оказывает на них слабое демпфирующее воздействие. Предельно корректно следует учитывать аэродинамическое демпфирование при исследовании напряженно - деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций (пластин и оболочек) при их колебаниях в режиме резонанса.

Задача о колебаниях консольно закреплённых балок в среде в общем случае включает в себя две основные научные проблемы: прогнозирование поведения самой балки и анализ взаимодействия жидкости с балкой. В свою очередь при исследовании взаимодействия твёрдых тел с жидкостью интерес представляют, как оценка сил, действующих на тело со стороны жидкости (газа), так и структура течения вблизи тела, генерируемое взаимодействием с твёрдым телом.

Одной из первых работ, посвящённых исследованию обтекания вязкой несжимаемой жидкостью гармонически колеблющихся твёрдых тел, является классическая работа Stokes D.G.[134] 1851 года. В ней были проанализированы силы, действующие на сферу, совершающую малоамплитудные колебания. Впервые было показано, что выражение для сил, действующих на колеблющуюся сферу, состоит из двух членов: первый, связанный с ускорением сферы, а второй - со скоростью.

Схожими подходами проводились исследования сил, действующих на движущуюся сферу в вязкой жидкости, в работах Boussinesq J.V. [73] и Basset A.B.[65]. Они установили, что помимо текущей мгновенной скорости и ускорения сферы, на силы оказывает влияние история ускорения. Показано, что силы, действующие на сферу в начальный момент движения сферы, отличаются от сил, действующих на сферу с установившейся скоростью движения. В работе Rayleigh O.M. [113] была предложена формула для аэродинамических сил, учитывающая такой эффект. Основной её отличительной особенностью является наличие дополнительного интегрального члена, описывающего эффекты, связанные с историей изменения ускорения. Ещё одной важной работой в данной области является работа научной группы Morison J.R. [117]. В ней исследовались аэродинамические силы, действующие на цилиндр, при его взаимодействии с непрерывными поверхностными волнами жидкости. Авторам удалось уточнить структуру аэродинамической силы. Её предлагают искать в виде суммы силы сопротивления и силы присоединённых масс, при этом сила сопротив-

ления считается пропорциональном квадрату скорости, а сила присоединённых масс - горизонтальной составляющей инерционной силы, действующей на массу жидкости, перемещаемой цилиндром. Впервые обширные экспериментальные исследования сил сопротивления, действующих на прямоугольную пластину, расположенную перпендикулярно осцилляционному потоку жидкости, были проведены Keulegan G.H. и Carpenter L.H. в 1958 году [103]. Была показана применимость аппроксимации Морисона для пластин прямоугольной формы, впервые была установлена зависимость гидродинамических сил, действующих на тело при колебаниях в безграничной жидкости от двух критериев подобия. Первый представляет собой число гомохронности (величина обратная числу Стру-халя) или относительная амплитуда колебаний. В современной литературе этот критерий подобия называется числом Кулегана-Карпентера KC

KC = ит

ь

Второй - число Рейнольдса Яе

иь

Яе = —,

V

здесь и - амплитуда скорости колебаний тела, Т - период колебаний тела, Ь - характерный размер тела (для пластины Ь - ширина) и и - кинематическая вязкость жидкости.

Было показано, что при больших значениях числа Рейнольдса коэффициент сопротивления зависит только от КС. Это позволяет сделать вывод о вихревой природе сопротивления для случаев с большим значением числа Рейнольдса. Как отмечается в работе [4] «значение имеет энергия образующихся за период колебаний вихрей, а не эффекты, связанные с их диффузией и диссипацией в объёме жидкости».

8агркауа Т. в [130], на основе анализа множества экспериментов по замеру сил, действующих на круглый цилиндр, для широкого диапазона изменения Яе < 700000 и КС < 150 ввёл в обиход безразмерный параметр Стокса Р, характеризующий квадрат отношения ширины пластины к толщине нестационарного пограничного слоя,

„ Яе Ь2

Р =

KC Tv

и показал преимущество его использования вместо числа Рейнольдса.

Основываясь на методе дискретных вихрей, Graham J.M.R. в [88] проводил исследования двумерного течения вблизи цилиндров различных форм поперечного сечения для высоких значений параметра KC > 4. Он достаточно подробно описал схему образования и отрыва вихрей от цилиндров, выделил два основных режима течения вблизи цилиндра. На основе анализа сил, согласно аппроксимации Морисона, была установлена степенная зависимость коэффициента сопротивления от параметра KC при больших значениях KC

CD = AKC 3.

Подтверждено существенное влияние формы сечения на коэффициент сопротивления, установленное в экспериментальных работах Singh S. [68; 133].

Серия численно-экспериментальных работ Bearman P.W. [66; 67; 69] расширяет и дополняет результаты, опубликованные Graham J.M.R. в [88].

Бужинский В.А. при исследовании демпфирования колебаний жидкости в топливных баках [3; 4] приходит к идентичным результатам для вихревого сопротивления тонкой пластины.

Приложение такого рода исследований в области гашения колебаний нефтяных платформ представлено в работах Тао L. и Thiagarajan K. [136; 137]. Авторами проводится численное и экспериментальное исследование колебаний диска, прикреплённого к цилиндрическому стояку. Численное моделирование проводилось для 7.5 • 10-4 < KC < 0.75 и ß = 1.585 • 105 с помощью решения уравнения Навье-Стокса методом конечных разностей. Исследователями установлены и описаны три режима сброса вихрей и составлена карта их возникновения в зависимости от параметров колебаний (KC, ß) и отношения толщины диска к его диаметру. Построены зависимости сил от перечисленных параметров. Все результаты, полученные в рамках численного моделирования, авторы подтвердили в экспериментах.

В работе Brumley D.R. [76] для повышения точности микроэлектромеханические (МЭМС) устройств проводилось подробное численное исследование малоамплитудных колебаний прямоугольных пластин с различными значениями 0 ^ А ^ ж, равного отношению толщины к ширине

- V

Исследование течения проводилось путём решения линеаризованного уравнения Навье-Стокса методом, схожим с методом, используемым в работе [138]. На основе обработки результатов Brumley D.R. установил, что для аэродинамических

сил, действующих на пластину с А < 1/3, применимы результаты, полученные для пластин с А = 0.

На основе результатов Бгиш1еу Б.Я. [76] РИап Б.Ы. в работе [125] построил аппроксимационную формулу для аэродинамических сил и провёл двумерное численное моделирование течения вблизи прямоугольных пластин.

Одной из современных работ, посвящённых моделированию двумерного течения вблизи колеблющейся пластины, является работа ТаШш А.[135]. В ней производилось моделирование для четырёх значений параметра (3 = 244,488,976,1952 и к < 0.5 с использованием метода сглаженных частиц (8РН). В работе получены оценки для гидродинамических коэффициентов и описан симметричный режим течения вблизи пластины.

Среди исследований, посвящённых численному анализу периодических течений, можно выделить работы научных групп: Нуриева А.Н. [34—37] и Малаховой Т.В. [27—29]. В работах Нуриева А.Н. производится анализ силового воздействия окружающей жидкости на колеблющееся тело (круглый цилиндр, клиновидное тело) и эволюции структуры течения, индуцированного колебанием тела. Моделирование течения жидкости осуществляется с помощью метода конечных объёмов на основе пакета ОрепБОАМ. Отдельно отметим работу [34], в которой сформулирована и построена численная модель обтекания круглого цилиндра периодическим потоком вязкой жидкости.

Основная тематика работ Малаховой Т.В. связана с исследованием влияния гидродинамических течений, возникающих вблизи колеблющегося тела на теплообменные процессы. Основной упор в них делается на численные алгоритмы для происходящих теплообменных процессов: проводится анализ структур реализуемых течений, оценка сопротивления и теплоотдачи.

8аёег 1.Б. в [129] при исследовании зондов атомно-силовых микроскопов предложил метод учёта аэродинамических сил, действующих на консольно закреплённую балку, совершающую колебания в вязкой несжимаемой жидкости. Согласно методу, для каждого сечения балки с помощью анализа двумерного течения вблизи пластины определяется своя аэродинамическая сила. Моделирование двумерного течения производится путём решения линеаризованного уравнения Навье-Стокса. В работе получены оценки для аэродинамических сил, однако, как отмечает автор, применимость таких оценок ограничено малоамплитудными (КС ^ 0) колебаниями.

Примечательны работы Van Eysden C.A. [139; 140], одна из которых написана в соавторстве с Sader J.E. Они посвящены исследованию влияния сжимаемости окружающей среды на колебания консольной балки. В работе установлены условия, при которых следует учитывать сжимаемость среды: длина звуковой волны должна быть сравнима или меньше характерного для течения геометрического размера. Это условие аналогично условию малости числа Маха.

Основываясь на идеях, предложенных в работе Sader J.E. [129], было проведено множество исследований [60; 62; 71; 79; 80; 96; 108; 125], из которых стоит отдельно выделить работы c участием Aureli M. и Porfiri M. [60; 62; 79; 80; 93; 96; 108; 125]. Они посвящены разработке методов выработки энергии со смарт материалов. В работах исследуются вынужденные колебания консольно закреплённых балок с помощью численных методов. Для учёта силового взаимодействия окружающей среды с балкой применяется подход, предложенный в работе [129]. Описание двумерного поведения жидкости осуществляется путём решения полной системы уравнений Навье-Стокса методом конечных объёмов.

Авторы предлагают искать оценки для гидродинамических сил, разбив их на две составляющие: вязкую, которая имеет форму, аналогичную полученной в [129], и вихревой, отвечающей за силовое взаимодействие, связанное с процессом вихреобразования. В работе отмечается, что рост влияния вихревой составляющей на результирующие аэродинамические силы непосредственно связан с ростом амплитуды колебаний. В целом такое дополнение результатов Sader J.E. позволило авторам предложить новые оценки аэродинамических сил для тонких пластин в более широком диапазоне изменения параметра Кулегана-Карпентера KC < 0.6.

Опишем основные результаты, полученные в [71; 80; 96; 108]. В работе [71] проводились численное и экспериментальное исследования колебаний тонких пластин в воздухе. Моделирование двумерного течения осуществлялось с помощью моделирования срыва вихрей методом граничных элементов, а в качестве математической модели жидкости использовалась модель идеальной несжимаемой жидкости.

В работе [80] проводилось двумерное численное моделирование течения несжимаемой вязкой жидкости вблизи колеблющейся тонкой (А « 0.01) пластины. Для моделирования применялся метод решёточных уравнений Больцмана с моделью столкновения частиц Батнагара — Гросса — Крука. Симуляция производилась в малоамплитудной зоне 0.12 < KC < 0.6.

Экспериментальная работа [96] посвящена исследованию на основе методики PIV (Particle image velocimetry) течения жидкости, индуцированного малоамплитудными колебаниями тонкой пластинки. С помощью предложенной в работе методики авторам удалось получить оценки для аэродинамических сил, которые, как отмечают авторы, повторяют результаты, полученные в работе [62].

Работа [108] посвящена экспериментальному исследованию движения рыбок-роботов. В работе анализируются аэродинамические силы, действующие на плавник рыб, имеющие в сечении форму тонкого прямоугольника.

В работе Facci A.L. и Porfiri M. [79] производилось численное моделирование трёхмерного течения, индуцированного колебаниями консольной балки с различными соотношениями длины балки L к её ширине Ь. При этом производилось сравнение в распределении аэродинамических нагрузок, действующих на балку, с показаниями сил, полученных для двумерного течения. На основе такого сравнения показано незначительное влияние эффектов, связанных с трехмерностью течения на показания сил. Наибольшее отличие наблюдается на торцах коротких балок L/b > 1/3.

Проводя анализ литературы, невозможно не отметить широкий научный инструментарий, применяемый для исследования колебаний твёрдых тел в жидкости. Такое разнообразие в методах решения свидетельствует о нетривиальности задачи в целом. Мало того, несмотря на наличие такого большого разнопланового инструментария, задача учёта, действующих на консольно-закрепленную балку аэродинамических сил даже в двумерном приближении в полном объёме, не решена.

Полученные в большинстве перечисленных работах результаты относятся либо к зоне малоамплитудных колебаний (к = KC/2^ < 0.1), либо к высокоамплитудной зоне (к > 0.6). В таких предельных случаях режимы течения жидкости имеют устойчивый характер и для их описания можно использовать упрощённые модели поведения жидкости. Тем временем промежуточный диапазон изменения безразмерной амплитуды колебаний, в котором вязкие и инерционные эффекты соизмеримы, исследован значительно слабее. Трудности в исследовании промежуточного диапазона связаны с необходимостью применения общих моделей, учитывающей как инерционные, так и вязкие эффекты. В таких случаях течение жидкости становится неустойчивым и чувствительным к различному рода возмущениям.

Подводя итоги по приведённому обзору литературы, можно сделать вывод о теоретической и практической значимости исследований колебаний прямоугольной балки в вязкой жидкости, что свидетельствует об актуальности данной задачи.

Из выполненного анализа литературы вытекают цели и задачи данной диссертационной работы. Её целью является теоретическое и экспериментальное исследование аэродинамического воздействия среды на колеблющуюся консоль-но закреплённую балку, а также разработка методов идентификации её параметров демпфирования.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать эффективный метод определения параметров демпфирования затухающих колебаний консольно закреплённых балок, позволяющий исследовать колебания в диапазоне изменения амплитуды от сотых долей до нескольких десятков миллиметров при частотах, не превосходящих 50 Гц.

2. Построить структурные формулы и выражения, позволяющие определять аэродинамические составляющие параметров демпфирования кон-сольно-закреплённых балок по амплитудно-частотным характеристикам колебаний и параметров геометрии балки.

3. На основе модели вязкой несжимаемой жидкости и модели изгиба балок Эйлера-Бернулли, применяя гипотезу плоских сечений, установить связь между параметрами демпфирования и аэродинамическими коэффициентами пластины, провести обоснование корректности полученной связи.

4. Сформулировать и исследовать обратную задачу идентификации аэродинамических коэффициентов поперечного сечения балки по найденным зависимостям параметров демпфирования колебаний консольной балки, разработать универсальный алгоритм её решения. Построить структурные формулы для аэродинамических коэффициентов по соответствующим формулам для параметров демпфирования.

5. Провести численное моделирование течения вязкой несжимаемой жидкости в окрестности пластины, совершающей гармонические колебания, провести анализ режимов течения и построить на основе результатов численного моделирования структурные формулы для аэродина-

мических коэффициентов пластины в области умеренных значений безразмерных параметров к < 2 и р < 1500.

Методология и методы исследования. Для решения поставленных задач используются подходы механики твёрдого деформированного тела, механики жидкости, газа и плазмы, методы асимптотического анализа, численные методы решения нелинейных задач механики. При решении задач оптимизации применяются методы нелинейного программирования. Решение интегральных уравнений осуществляется численными методами, основанными на методах классической теории интегральных уравнений Вольтерра. Экспериментальная часть диссертации выполнялась на инструментальной базе кафедры прочности конструкций Казанского национального исследовательского технического университета имени А. Н. Туполева, криминалистической лаборатории юридического факультета Казанского (Приволжского) федерального университета и отделения механики Казанского (Приволжского) федерального университета. Научная новизна:

1. Сформулирована и решена обратная задача восстановления аэродинамических коэффициентов плоской пластины по виброграмме свободных затухающих механических колебаний консольно-закреплённой балки.

2. Проведено прямое численное моделирование различных двумерных режимов обтекания вязкой жидкостью осциллирующей пластины в широком диапазоне чисел Стокса (55 < р < 1000). Проанализированы вторичные течения, найдены действующие на пластину гидродинамические силы.

3. Проведено асимптотическое исследование задачи об колебании консольной балки в воздухе. Получена линейная интегральная связь между параметрами колебаний и аэродинамическими нагрузками, действующими на балку.

4. Построены структурные формулы для вклада аэродинамических сил в декремент колебаний балки и коэффициента сопротивления плоской пластины в широком диапазоне изменения амплитуд колебаний (к < 2) и безразмерной частоты (55 < р < 1600).

Практическая значимость. Большинство из полученных в диссертации результатов имеют теоретический характер. Установленная линейная интегральная связь между нагрузками и параметрами колебаний может быть непосред-

ственно использована для анализа взаимодействия колеблющихся консольных балок произвольной формы поперечного сечения с окружающей средой. Разработанный метод определения аэродинамических коэффициентов может применяться как альтернатива классическим экспериментальным подходам. Полученные в работе оценки для гидродинамических сил, действующих на консольную балку, в настоящее время применяются при определении демпфирующих свойств материалов на основе изучения затухающих колебаний тест-образцов прямоугольного сечения. ( в частности, они нашли реальное приложение в исследованиях демпфирующих свойств композитных материалов (РНФ 14-19-00667)).

Работа выполнена при поддержке Казанского федерального университета (проект № 9.9786.2017/БЧ) и Российского научного фонда (проект № 14-19-00667).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Теоретико-экспериментальный метод определения аэродинамических коэффициентов плоских тел, совершающих колебания в вязкой несжимаемой жидкости.

2. Результаты численного моделирования по обтеканию вязкой несжимаемой жидкостью осциллирующих пластин различных форм для диапазона чисел Стокса (55 < Р < 1000) и Кулегана-Карпентера (0.1 < КС < 9). Оценки действующих на пластину аэродинамических сил и анализ возникающих вторичных течений.

3. Результаты асимптотического исследования задачи о колебаниях консольной балки в воздухе. Интегральное уравнение, связывающее силы, действующие на балку, и параметры демпфирования консольной балки.

4. Структурные формулы для коэффициента сопротивления и аэродинамического декремента колебаний.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением строгих непротиворечивых математических моделей механики твёрдого деформированного тела и механики жидкости, газа и плазмы, описывающие наблюдаемые физические процессы, а также корректной реализацией численных методов решения систем дифференциальных и интегральных уравнений. Полученные в работе результаты согласуются с представительным набором экспериментальных и численных результатов, полученных другими исследователями.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 16 конференциях и семинарах:

1. XXI Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность"(«Не-За-Те-Ги-Ус» -2014), Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, г.Звенигород МГУ, 2014.

2. The 22nd International Congress on Sound and Vibration, г.Флоренция, 2015.

3. III Международный научный семинар « Динамическое деформирование и контактное взаимодействие тонкостенных конструкций при воздействии полей различной физической природы», Московский авиационный институт, г.Москва, 2015.

4. Облачные вычисления. Образование. Исследования. Разработка, Институт системного программирования Российской академии наук, г.Москва, 2015.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Камалутдинов Айрат Марсович, 2018 год

Список литературы

1. Бидерман В. П. Теория механических колебаний. — М. : Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — С. 416.

2. Бриганте М., Сумбатян М. А. Акустические методы в неразрушающем контроле бетона: обзор зарубежных публикаций в области теоретических исследований // Дефектоскопия. — 2013. — № 4. — С. 3—16.

3. Бужинский В. А. Вихревое демпфирование колебаний жидкости в резервуарах с перегородками // Прикл. Математика и Механика. — 1998. — Т. 62, № 2. — С. 235—243.

4. Бужинский В. А. Колебания тел с острыми кромками в несжимаемой маловязкой жидкости и некоторые задачи гидродинамики космических аппаратов: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01. — Королев, 2003. — 178 с.

5. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. : Мир, 1968. — С. 464.

6. Доннел Л. Г. Балки, пластины и оболочки. — М. : Наука, 1982. — С. 567.

7. Егоров А. Г., Камалутдинов А. М., Нуриев А. Н., Паймушин В. Н. Выделение аэродинамической составляющей демпфирования при исследования затухающих изгибных колебаний тест-образцов // Книга материалов XVIII международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций, и сплошных сред"им. А.Г. Горшкова. Т. 2. — Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет). Москва : ООО "ТРП", 2013. — С. 94—99.

8. Егоров А. Г., Камалутдинов А. М., Нуриев А. Н., Паймушин В. Н. Теоретико-экспериментальный метод определения параметров демпфирования на основе исследования затухающих изгибных колебаний тест-образцов. 2. Аэродинамическая составляющая демпфирования // Механика композитных материалов. — 2014. — Июль. — Т. 50, № 3. — С. 379—396.

9. Егоров А. Г., Камалутдинов А. М., Нуриев А. Н., Паймушин В. Н. Экспериментальное определение демпфирования колебаний пластины вязкой жидкостью // Доклады академии наук. — 2017. — Т. 474, № 2. — С. 172— 176.

10. Егоров А. Г., Камалутдинов А. М., Паймушин В. Н., Фирсов В. А. Теоретико-экспериментальный метод определения коэффициента аэродинамического сопротивления гармонически колеблющейся тонкой пластины // Прикладная механика и техническая физика. — 2016. — Т. 57, № 2. — С. 96—104.

11. Камалутдинов А. М. Определение аэродинамических сил, действующих на пластину при исследовании затухающих изгибных колебаний тест-образцов // Материалы II международной научно-практической конференции "Фундаментальные и прикладные науки сегодня". Т. 2. — Москва : spc Academic, 2013. — С. 171—174.

12. Камалутдинов А. М. Определение коэффициента аэродинамического сопротивления осциллирующей тонкой пластины // Материалы Международного молодежного научного форума «Л0М0Н0С0В-2015». — М. : МАКС Пресс, 2015. — 1 электрон. опт. диск (CD-ROM).

13. Камалутдинов А. М. Программа идентификации параметров демпфирования консольно-закреплённых балок // РОСПАТЕНТ. Свид-во о гос. регистрации программы для ЭВМ №2017619389 от 24.08.2017. — 2017.

14. Камалутдинов А. М., Егоров А. Г. Определение коэффициента аэродинамического сопротивления гармонически колеблющейся тонкой пластины. // Сборник трудов XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. — 2015. — С. 1693—1695.

15. Камалутдинов А. М., Нуриев A. Н. Анализ сил сопротивления гармонически колеблющейся в вязкой жидкости пластины // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2013». — М. : МАКС Пресс, 2013. — 1 электрон. опт. диск (CD-ROM).

16. Камалутдинов А. М., Нуриев A. Н. Выделение аэродинамической составляющей демпфирования при исследования затухающих изгибных колебаний консольно закреплённых балок // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВЫМ». — М. : МАКС Пресс, 2014. — 1 электрон. опт. диск (CD-ROM).

17. Камалутдинов А. М., Нуриев А. Н. Определение аэродинамических сил, действующих на консольно закрепленную балку при затухающих изгиб-ных колебаниях. // Материалы международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность". — Москва : Издательство Московского университета, 2014. — С. 270.

18. Камалутдинов А. М., Нуриев А. Н., Афанасьева В. И., Габдрахмано-ва Э. Р. Теоретико-экспериментальный метод определения демпфирующих свойств материалов. Изучение влияния качества обработки тест-образцов на аэродинамическую составляющую демпфирования. // Тезисы докладов III международного научного семинара "Динамическое деформирование и контактное взаимодействие тонкостенных конструкций при воздействии полей различной физической природы". — Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет). Москва : ООО "ТРП", 2015. — С. 65—66.

19. Камалутдинов А. М., Паймушин В. Н. Уточненные геометрически нелинейные уравнения движения удлиненной пластины стержневого типа // Известия вузов. Математика. — 2016. — № 9. — С. 84—89.

20. Камалутдинов А. Исследование аэродинамических сил, действующих на тонкую пластину, совершающую свободные затухающие колебания. // Сборник тезисов участников форума "Наука будущего - наука молодых". — Нижний Новгород : Инконсалт К, 2017. — С. 159—161.

21. Камалутдинов А., Егоров А., Паймушин В., Фирсов В. Теоретико-экспериментальный метод определения коэффициента сопротивления пластины, совершающей гармонические колебания в вязкой несжимаемой жидкости. // Обратные краевые задачи и их приложения (ОКЗ и их приложения): материалы конференции. — К. : Изд-во Казан. ун-та, 2014. — 1 электрон. опт. диск (CD-ROM).

22. Коул Д. Методы возмущений в прикладной математике. — М. : Мир, 1972. — С. 274.

23. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. — М. : Наука, 1975. — С. 302.

24. Крылова Е. Ю., Яковлева Т. В., Баженов В. Г. Хаотическая динамика гибких прямоугольных в плане панелей в поле белого шума // Вестник пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - № 1. - С. 82-92.

25. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Гидродинамика. — 6-е изд. - М. : Физматлит, 2015. - С. 728.

26. Лурье С. А., Андрюнина М. А., Соляев Ю. О., Лыкосова Е. Д. Оптимизация демпфирующих характеристик слоистых композитных материалов, содержащих волокна с вязкоупругим покрытием // Вестник пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2012. - № 3. - С. 98-119.

27. Малахова Т. В. Нестационарная гидродинамика и теплообмен колеблющихся тел : дис. ... канд. наук / Малахова Т. В. - Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 2012.

28. Малахова Т. Численное моделирование влияния осцилляций нагретого цилиндра на его сопротивление и теплоотдачу // Тепловые процессы в технике. - 2011. - № 4. - С. 108-112.

29. Малахова Т. Теплоотдача колеблющегося цилиндра в потоке вязкой несжимаемой жидкости // Теплофизика и аэромеханика. - 2012. - Т. 19, № 1. -С. 75-82.

30. Микишев Г. Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. - Москва : Машиностроение, 1978.

31. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. -М. : Наука, 1983. - С. 391.

32. Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. - М. : Наука, 1965. - С. 384.

33. Новацкий В. Теория упругости. - М. : Мир, 1975. - С. 873.

34. Нуриев А. Н. Течение вязкой жидкости вокруг осциллирующего цилиндра: численный эксперимент, асимптотический и бифуркационный анализ : дис. ... канд. наук / Нуриев А. Н. - Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2013.

35. Нуриев А. Н., Егоров А. Применение методов бифуркационного анализа для решения задач гидромеханики // Вестник казанского технологического университета. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 104—109.

36. Нуриев А. Н., Зайцева О. Н. Решение задачи об осциллирующем движении цилиндра в вязкой жидкости в пакете OpenFOAM // Вестник Казанского технологического университета. — 2013. — № 8. — С. 116—123.

37. Нуриев А. Н., Захарова О. С. Численное моделирование движения клиновидного двухмассового виброробота в вязкой жидкости. // Вычислительная механика сплошных сред. — 2016. — Т. 9, № 1. — С. 5—15.

38. Нуриев А. Н., Камалутдинов А. М., Егоров А. Г. Численное и экспериментальное исследование аэродинамических сил, действующих на колеблющиеся консольно-закрепленные пластины в воздухе. 1. Экспериментальное определение аэродинамического воздействия // Материалы XX Юбилейная Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2017), 24-31 мая 2017 г. Алушта. Т. 2. — Москва : Изд-во МАИ, 2017. — С. 171—174.

39. Паймушин В. Н. Проблемы геометрической нелинейности и устойчивости в механике тонких оболочек и стержней с прямолинейной осью // Прикладная математика и механика. — 2007. — Т. 71, № 5. — С. 855—893.

40. Паймушин В. Н., Фирсов В. А., Гюнал И., Шишкин В. М., Егоров А. Г., Камалутдинов А. М., Нуриев А. Н. Идентификация демпфирующих свойств стеклопластика по амплитудным зависимостям логарифмических декрементов колебаний тест-образцов // Материалы XXI международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред"имени А.Г. Горшкова. — Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет). Москва : ООО "ТРП", 2015. — С. 196—207.

41. Паймушин В. Н., Шалашилин В. И. Непротиворечивый вариант теории деформаций сплошных сред в квадратичном приближении // Доклады Академии наук. — 2004. — Т. 396, № 4. — С. 492—495.

42. Паймушин В. Н., Шалашилин В. И. О соотношениях теории деформаций в квадратичном приближении и проблемы построения уточненных вариантов геометрически нелинейной теории слоистых элементов конструкций // Прикладная математика и механика. - 2005. - Т. 69, № 5. - С. 861-881.

43. Паймушин В., Фирсов В., Гюнал И., Шишкин В. Идентификация характеристик упругости и демпфирования стеклопластика на основе исследования затухающих изгибных колебаний тест-образцов // Механика композитных материалов. - 2015. - Т. 51, № 3. - С. 407.

44. Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. - М. : Физматлит, 2003. - С. 608.

45. Постников В. С. Внутреннее трение в металлах. - М. : Металлургия, 1974. - С. 352.

46. Ремизов М. Ю., Сумбатян М. А. Полуаналитический метод решения задач высокочастотной дифракции упругих волн на трещинах // Прикладная математика и механика. - 2013. - Т. 77, № 4. - С. 629-635.

47. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. - М. : Государственное издательство физико-математической литературы., 1963. -С. 635.

48. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. - М. : Издательство иностранной литературы, 1960. - С. 299.

49. Фавстов Ю. К., Шульга Ю. Н., Рахштадт А. Г. Металловедение высоко-демпфирующих материалов. - М : Металлургия, 1973.

50. Федоренко Р. П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1961. - Т. 1, № 5. - С. 922-927.

51. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1). - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. - С. 616.

52. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 2). - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. - С. 810.

53. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 3). - М. : Физматлит, 2001. - С. 662.

54. Яковлева Т. В., Крылова Е. Ю., Баженов В. Г., Крысько В. А. Сложные колебания и контактное взаимодействие пластины, подкрепленной балкой с зазором между ними, в условиях экстремальных режимов нагружения // Известия высших учебных заведений. Строительство. — 2016. — Т. 687, № 3. — С. 13—23.

55. Adams R. D. The damping characteristics of certain steels, cast Irons and other metals // Journal of Sound and Vibration. — 1972. — Vol. 23, no. 2. — P. 199-216.

56. Adams R. D., Bacon D. G. C. Measurement of the flexural damping capacity and dynamic Young's modulus of metals and reinforced plastics // Journal of Physics D: Applied Physics. — 1973. — Vol. 6, no. 1. — P. 27.

57. Ahsan S. N., Aureli M. Finite amplitude oscillations of flanged laminas in vis" cous flows: Vortex-structure interactions for hydrodynamic damping control // Journal of Fluids and Structures. — 2015. — Nov. — Vol. 59. — P. 297-315.

58. Aluminum and aluminum alloys / ed. by J. R. Davis. — Materials Park, OH : ASM International, 1993. — (ASM specialty handbook).

59. ASTM E-756, Standard test method for measuring vibration damping proper" ties of materials / Am. Soc. for Testing, Materials. — 2010.

60. Aureli M., Porfiri M. Low frequency and large amplitude oscillations of can" tilevers in viscous fluids // Applied Physics Letters. — 2010. — Vol. 96, no. 16. — P. 164102.

61. Aureli M., Prince C., Porfiri M., Peterson S. D. Energy harvesting from base excitation of ionic polymer metal composites in fluid environments // Smart Materials and Structures. — 2010. — Т. 19, № 1. — С. 015003.

62. Aureli M., Porfiri M., Basaran M. E. Nonlinear finite amplitude vibrations of sharp-edged beams in viscous fluids // Journal of Sound and Vibration. — 2012. — Т. 331, № 7. — С. 1624—1654.

63. Barrett R., Berry M., Chan T. F., Demmel J., Donato J., Dongarra J., Eijkhout V., Pozo R., Romine C., Van der Vorst H. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, 2nd Edition. — Philadelphia, PA : SIAM, 1994.

64. Basak S., Raman A., Garimella S. V. Hydrodynamic loading of microcan" tilevers vibrating in viscous fluids // Journal of Applied Physics. — 2006. — Vol. 99, no. 11. — P. 114906.

65. Basset A. B. On the Motion of a Sphere in a Viscous Liquid // Philosophical Transactions of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 1888. — Jan. — Vol. 179. — P. 43-63.

66. Bearman P. W. An investigation of the forces on flat plates normal to a turbulent flow // Journal of Fluid Mechanics. — 1971. — Mar. — Vol. 46, no. 01. — P. 177-198.

67. Bearman P. W., Downie M. J., Graham J. M. R., Obasaju E. D. Forces on cylinders in viscous oscillatory flow at low Keulegan-Carpenter numbers // Journal of Fluid Mechanics. — 1985. — May. — Vol. 154, no. 1. — P. 337356.

68. Bearman P. W, Graham J. M. R., Singh S. Forces on cylinders in harmonically oscillating flow. // Proceedings of the Symposium on Mechanics of wave induced forces on cylinders. — Bristol, 1979. — C. 437—449.

69. Bearman P. W., Obasaju E. D. An experimental study of pressure fluctuations on fixed and oscillating square-section cylinders // Journal of Fluid Mechan" ics. — 1982. — June. — Vol. 119, no. 1. — P. 297-321.

70. Behrens T. OpenFOAM's basic solvers for linear systems of equations // Chalmers, Department of Applied Mechanics. — 2009. — Vol. 18, no. 2.

71. Bidkar R. A., Kimber M., Raman A., Bajaj A. K., Garimella S. V. Nonlinear aerodynamic damping of sharp-edged flexible beams oscillating at low Keule" gan-Carpenter numbers // Journal of Fluid Mechanics. — 2009. — Vol. 634. — P. 269-289.

72. Blevins R. D. Formulas for natural frequency and mode shape. — Malabar, Fla : Krieger Pub Co, 2001. — P. 506.

73. Boussinesq J. V. Sur la resistance qu'oppose un fluide indefini au repos, sans pesanteur, au mouvement varie d'une sphere solide qu'il mouille sur toute sa surface, quand les vitesses restent bien continues et assez faibles pour que leurs carres et produits soient negligeables // Comptes Rendu de l'Academie des Sciences. — 1885. — No. 100. — P. 935-937.

74. Brent R. P. Algorithms for Minimization Without Derivatives. — Englewood Cliffs, NJ : Prentice-Hall, 1973.

75. Briggs W. L., Henson V. E., McCormick S. F. A multigrid tutorial. — 2nd ed. — Philadelphia, PA : Society for Industrial, Applied Mathematics, 2000.

76. Brumley D. R., Willcox M., Sader J. E. Oscillation of cylinders of rectangular cross section immersed in fluid // Physics of Fluids. — 2010. — Vol. 22, no. 5. — P. 052001.

77. Castille C., Dufour I., Lucat C. Longitudinal vibration mode of piezoelectric thick-film cantilever-based sensors in liquid media // Applied Physics Let" ters. — 2010. — Apr. — Vol. 96, no. 15. — P. 154102.

78. De Boor C. A practical guide to splines: with 32 figures. — Rev. ed. — New York : Springer, 2001. — (Applied mathematical sciences ; v. 27).

79. Facci A. L., Porfiri M. Analysis of three-dimensional effects in oscillating cantilevers immersed in viscous fluids // Journal of Fluids and Structures. — 2013. — Vol. 38. — P. 205-222.

80. Falcucci G., Aureli M., Ubertini S., Porfiri M. Transverse harmonic oscilla" tions of laminae in viscous fluids: a lattice Boltzmann study // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2011. — May. — Vol. 369, no. 1945. — P. 2456-2466.

81. Ferziger J. H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2002.

82. Fletcher R. Conjugate gradient methods for indefinite systems // Numerical Analysis. Т. 506 / под ред. G. A. Watson. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1976. — С. 73—89.

83. Franjo /.Error analysis in finite volume CFD.PhD thesis / Franjo Juretic. — Imperial College,University of London, 2004.

84. Frigo M., Johnson S. G. The Design and Implementation of FFTW3 // Proceedings of the IEEE. — 2005. — Т. 93, № 2. — С. 216—231.

85. Gaskell P. H., Lau A. K. C. Curvature-compensated convective transport: SMART, A new boundedness- preserving transport algorithm // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 1988. — June. — Vol. 8, no. 6. — P. 617-641.

86. Ghozlani B., Hafsia Z., Maalel K. Numerical study of flow around an oscillat" ing diamond prism and circular cylinder at low Keulegan-Carpenter number // Journal of Hydrodynamics, Ser. B. — 2012. — Oct. — Vol. 24, no. 5. — P. 767-775.

87. Golub G. H., Ye Q. Inexact Preconditioned Conjugate Gradient Method with Inner-Outer Iteration // SIAM Journal on Scientific Computing. — 1999. — Jan. — Vol. 21, no. 4. — P. 1305-1320.

88. Graham J. M. R. The forces on sharp-edged cylinders in oscillatory flow at low Keulegan-Carpenter numbers // Journal of Fluid Mechanics. — 1980. — Vol. 97, no. 02. — P. 331-346.

89. Granick N., Stern J. E. Material damping of aluminum by a resonant - dwell technique: tech. rep. / Goddard Space Flight Center Greenbelt. — 08/1965.

90. Guild F. J. Property-microstructural relationships in GFRP : PhD the" sis / Guild F. J. — Plymouth Polytechnic, 1978.

91. Guild F. J., Adams R. D. A new technique for the measurement of the specific damping capacity of beams in flexure // Journal of Physics E: Scientific Instruments. — 1981. — Vol. 14, no. 3. — P. 355.

92. Hosaka H., Itao K., Kuroda S. Damping characteristics of beam-shaped mi" cro-oscillators // Sensors and Actuators A: Physical. — 1995. — June. — Vol. 49, no. 1-2. — P. 87-95.

93. Intartaglia C., Soria L., Porfiri M. Hydrodynamic coupling of two sharp-edged beams vibrating in a viscous fluid // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2013. — Dec. — Vol. 470, no. 2162. — P. 20130397-20130397.

94. Issa R. I. Solution of the implicitly discretised fluid flow equations by opera" tor-splitting // Journal of Computational Physics. — 1986. — Jan. — Vol. 62, no. 1. — P. 40-65.

95. Issa R. I., Gosman A. D., Watkins A. P. The computation of compressible and incompressible recirculating flows by a non-iterative implicit scheme // Journal of Computational Physics. — 1986. — Jan. — Vol. 62, no. 1. — P. 66-82.

96. Jalalisendi M., Panciroli R., Cha Y., Porfiri M. A particle image velocimetry study of the flow physics generated by a thin lamina oscillating in a viscous fluid // J. Appl. Phys. — 2014. — Feb. — Vol. 115, no. 5. — P. 054901.

97. Jasak H., Weller H. G., Gosman A. D. High resolution NVD differencing scheme for arbitrarily unstructured meshes // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 1999. — Т. 31, № 2. — С. 431—449.

98. Jasak H. Error Analysis and Estimation for the Finite Volume Method with Applications to Fluid Flows : Phd thesis / Jasak Hrvoje. — Department of Mechanical Engineering Imperial College of Science, Technology, Medicine, 06.1996.

99. Jones D. I. G. Handbook of viscoelastic vibration damping. — Chichester ; New York : J. Wiley, 2001.

100. Jones M. A. The separated flow of an inviscid fluid around a moving flat plate // Journal of Fluid Mechanics. — 2003. — Дек. — Т. 496. — С. 405—441.

101. Justesen P. A numerical study of oscillating flow around a circular cylinder // Journal of Fluid Mechanics. — 1991. — Jan. — Vol. 222, no. 1. — P. 157.

102. Kamalutdinov A. M., Egorov A. G., Gyunal I., Paimushin V. N. Theoretical-" experimental method for determining the drag coefficient of thin plate. // Proc. of <<22nd International Congress on Sound and Vibration 2015 (ICSV 22). — Florence, 2015.

103. Keulegan G. H., Carpenter L. H. Forces on cylinders and plates in an oscillat" ing fluid // Journal of Research of National Bureau of Standards. — 1958. — Vol. 60, no. 5. — P. 423-440.

104. Kimber M., Garimella S. V., Raman A. Local Heat Transfer Coefficients In" duced by Piezoelectrically Actuated Vibrating Cantilevers // Journal of Heat Transfer. — 2007. — Vol. 129, no. 9. — P. 1168.

105. Kimber M., Lonergan R., Garimella S. V. Experimental study of aerodynamic damping in arrays of vibrating cantilevers // Journal of Fluids and Struc" tures. — 2009. — Nov. — Vol. 25, no. 8. — P. 1334-1347.

106. Kimber M., Garimella S. V. Measurement and prediction of the cooling char" acteristics of a generalized vibrating piezoelectric fan // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2009. — Sept. — Vol. 52, no. 19-20. — P. 44704478.

107. Kirstein S., Mertesdorf M., Schonhoff M. The influence of a viscous fluid on the vibration dynamics of scanning near-field optical microscopy fiber probes and atomic force microscopy cantilevers // Journal of Applied Physics. — 1998. — Vol. 84, no. 4. — P. 1782.

108. Kopman V., Porfiri M. Design, Modeling, and Characterization of a Miniature Robotic Fish for Research and Education in Biomimetics and Bioinspiration // IEEE/ASME Transactions on Mechatronics. — 2013. — Apr. — Vol. 18, no. 2. — P. 471-483.

109. Lagariasm J. C., Reedsm J. A., Wrightm M. H., Wrightm P. E. Convergence Properties of the Nelder-Mead Simplex Method in Low Dimensions. // SIAM Journal of Optimization. — 1972. — July. — Vol. 9, no. 1. — P. 112-147.

110. Leonard B. P. SHARP simulation of discontinuities in highly convective steady flow. NASA TM-100240, ICOMP-87-9 / Institute for Computational Mechanics in Propulsion Lewis Research Center Cleveland, Ohio. — 12/1987.

111. Leonard B. P. Universal Limiter for Transient Interpolation Modeling of the Advective Transport Equations : The ULTIMATE Conservative Difference Scheme: NASA TR-100916, ICOMP-88-11 / Institute for Computational Me" chanics in Propulsion Lewis Research Center Cleveland, Ohio. — 09/1988.

112. Leonard B. P., Lock A. P., MacVean M. K. Extended numerical integration for genuinely multidimensional advective transport insuring conservation. // Proceedings of the ninth international conference numerical methods in laminar and turbulent flows. 9(1). - Swansea, 1995. - C. 1-12.

113. M. L. R. O. On the motion of solid bodies through viscous liquid // Philo" sophical Magazine. — 1911. — June. — Vol. 21, no. 126. — P. 697-711.

114. Maali A., Hurth C., Boisgard R., Jai C., Cohen-Bouhacina T., Aime J. .-.-P. Hydrodynamics of oscillating atomic force microscopy cantilevers in viscous fluids // Journal of Applied Physics. — 2005. — Vol. 97, no. 7. — P. 074907.

115. Maringer R. E. Damping capacity of materials: Report RSIC-508 / Battelle Memorial Institute, Redstone Scientific Information Center, Redstone arse" nal. — 01/1966.

116. Martinez G. Caracteristiques dynamiques et thermiques de l'ecoulement autour d'un cylindre circulaire a nombres de Reynolds modere's : PhD thesis / Mar" tinez G. — I. N. P. Toulouse., 1979.

117. Morison J. R., Johnson J. W., Schaaf S. A. The Force Exerted by Surface Waves on Piles // Journal of Petroleum Technology. — 1950. — May. — Vol. 2, no. 05. — P. 149-154.

118. Moukalled F., Mangani L., Darwish M. The Finite Volume Method in Com" putational Fluid Dynamics. Vol. 113. — Cham : Springer International Pub" lishing, 2016. — (Fluid Mechanics and Its Applications).

119. Obasaju E. D., Ermshaus R., Naudascher E. Vortex-induced streamwise os" cillations of a square-section cylinder in a uniform stream // Journal of Fluid Mechanics. — 1990. — Apr. — Vol. 213, no. 1. — P. 171.

120. OpenFOAM User Guide. - 05.08.2017. - URL: https://openfoam.org/.

121. OpenFOAM v5 User Guide: 5.4 Mesh generation with snappyHexMesh. — 05.08.2017. — URL: https://cfd.direct/openfoam/user-guide/snappyhexmesh/.

122. Paimushin V. N., Firsov V. A., Gyunal I., Egorov A. G. Theoretical-experi" mental method for determining the parameters of damping based on the study of damped flexural vibrations of test specimens 1. experimental basis // Me" chanics of Composite Materials. — 2014. — May. — Vol. 50, no. 2. — P. 127-136.

123. Paimushin V. N., Firsov V. A., Gyunal I., Egorov A. G., Kayumov R. A. Theoretical-Experimental Method for Determining the Parameters of Damp" ing Based on the Study of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens. 3. Identification of the Characteristics of Internal Damping // Mechanics of Composite Materials. — 2014. — Nov. — Vol. 50, no. 5. — P. 633-646.

124. Paimushin V. N., Firsov V. A., Gyunal I., Shishkin V. M. Identification of the Elasticity and Damping Characteristics of a Fiberglass Based on a Study of Dying Flexural Vibrations of Test Samples // Mechanics of Composite Materials. — 2015. — July. — Vol. 51, no. 3. — P. 285-300.

125. Phan C. N., Aureli M., Porfiri M. Finite amplitude vibrations of cantilevers of rectangular cross sections in viscous fluids // Journal of Fluids and Struc" tures. — 2013. — July. — Vol. 40. — P. 52-69.

126. Rao S. S. Vibration of continuous systems. — Hoboken, N.J : Wiley, 2007. — P. 744.

127. Rhie C. M., Chow W. L. Numerical study of the turbulent flow past an airfoil with trailing edge separation // AIAA Journal. — 1983. — Nov. — Vol. 21, no. 11. — P. 1525-1532.

128. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. — 2nd ed. — Philadelphia : SIAM, 2003.

129. Sader J. E. Frequency response of cantilever beams immersed in viscous fluids with applications to the atomic force microscope // Journal of Applied Physics. — 1998. — Vol. 84, no. 1. — P. 64.

130. Sarpkaya T. Vortex shedding and resistance in harmonic flow about smooth and rough circular cylinders at high Reynolds numbers: tech. rep. / Monterey, California. Naval Postgraduate School. — 08/1976.

131. Scarpetta E., Sumbatyan M. A. Some results on the energy transmission through an elastic half-space loaded by a periodic distribution of vibrating punches // Meccanica. — 2012. — Feb. — Vol. 47, no. 2. — P. 369-378.

132. Shyy W., Berg M., Ljungqvist D. Flapping and flexible wings for biological and micro air vehicles // Progress in Aerospace Sciences. — 1999. — July. — Vol. 35, no. 5. — P. 455-505.

133. Singh S. Forces on Bodies in Oscillatory Flow : PhD thesis / Singh S. — University of London, 1979.

134. Stokes G. G. On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums. — 1851.

135. Tafuni A., Sahin I. Non-linear hydrodynamics of thin laminae undergoing large harmonic oscillations in a viscous fluid // Journal of Fluids and Structures. — 2015. — T. 52. — C. 101—117.

136. Tao L., Thiagarajan K. Low KC flow regimes of oscillating sharp edges.I vortex shedding observation // Applied Ocean Research. — 2003. — Vol. 25, no. 1. — P. 21-35.

137. Tao L., Thiagarajan K. Low KC flow regimes of oscillating sharp edges.II hydrodynamic forces // Applied Ocean Research. — 2003. — Vol. 25, no. 2. — P. 53-62.

138. Tuck E. O. Calculation of unsteady flows due to small motions of cylinders in a viscous fluid // Journal of Engineering Mathematics. — 1969. — Jan. — Vol. 3, no. 1. — P. 29-44.

139. Van Eysden C. A., Sader J. E. Compressible viscous flows generated by oscillating flexible cylinders // Physics of Fluids. — 2009. — Jan. — Vol. 21, no. 1. — P. 013104. — (Visited on 08/16/2017).

140. Van E., Cornelis A., Sader J. E. Frequency response of cantilever beams immersed in viscous fluids with applications to the atomic force microscope: Arbitrary mode order // Journal of Applied Physics. — 2007. — Vol. 101, no. 4. — P. 044908.

141. Versteeg H. K., Malalasekera W. An introduction to computational fluid dynamics: the finite volume method. — 2nd ed. — Pearson Education Ltd, 2007.

142. Vorst H. A. van der. Bi-CGSTAB: A Fast and Smoothly Converging Variant of Bi-CG for the Solution of Nonsymmetric Linear Systems // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. — 1992. — Mar. — Vol. 13, no. 2. — P. 631-644.

143. Wesseling P. An introduction to multigrid methods. — Chichester ; New York : Wiley, 1992. — (Pure and applied mathematics).

144. Zhang J., Perez R. J., Lavernia E. J. Documentation of damping capacity of metallic, ceramic and metal-matrix composite materials // Journal of Materials Science. — 1993. — Vol. 28, no. 9. — P. 2395-2404.

145. Zheng Chen, Shatara S., Xiaobo Tan. Modeling of Biomimetic Robotic Fish Propelled by An Ionic Polymer-Metal Composite Caudal Fin // IEEE/ASME Transactions on Mechatronics. — 2010. — Июнь. — Т. 15, № 3. — С. 448—459.

Приложение А Особенности замера с помощью лазерного датчика

В разделе 1.2.1 упоминалась особенность замеров лазерным датчиком, которая связана с блужданием точки наведения лазерного луча вдоль балки во время её колебаний (см. рис.А.1)

Дж = 0.

То есть показания лазерного датчика нельзя отнести к конкретному сечению балки. Для исследования данного эффекта нужно оценить перемещение зафиксированной точки (М) по поверхности балки во время колебаний.

2А

Рисунок А.1 — Схема замера лазером.

В параграфе 1.1 было описано, что свободные колебания консольной балки, в отсутствие сил сопротивления, описывается уравнением (1.1) и граничными условиями (1.2), а его решение имеет вид (1.4), (1.5). Однако, согласно допущениям данной теории [1], длина балки может слабо варьироваться во время колебаний вблизи значения длины в покое (или во время прохождения нейтрального положения). В действительности длина балки не меняется.

Будем считать, что упругая линия балки описывается кривой 'ш(х^). Расстояние вдоль балки до фиксированной точки М в таком случае определяется

следующим образом

^ Ш I-

Lm (t) = Nl + (fdx =

dx

0 (А-1)

= J у7! + (A(t)cos(uot)W'(x/L))2dx, о

где хм - проекция точки М на ось x. LM всегда постоянно (LM = const), меняется только её проекция на ось координат. Тогда x компонента вектора перемещения точки М определяется как разница между LM и xM

Ax = Lm - хм(t),

а z компонента равна w(xM ,t).

Для оценки перемещения точки М нужно, задав значения амплитуды колебаний A(t), расстояния LM и длины балки L, решить нелинейное уравнение для определения хм,zM и оценить относительное отклонение (Ax, Az) точки М от точки измеряемой лазером в текущий момент времени. Лазерный луч в экспериментах всегда наводился на среднюю линию балки в 10 мм от свободного конца балки, тогда LM = L — 10.

хм

Lm — i \Jl + (A(t) cos(coot)W'(x/L))2dx = 0,

о (А.2)

Zm = W(Xm ,t).

Очевидно, что наибольшее отклонение будет достигаться когда функция cos2 (u0t) достигает своего максимума равного 1. Поэтому, для оценки отклонения (Ax, Az), её значение можно положить в уравнении (А.2) равным 1.

хм

Lm — f ^/lT(AW7{xjL)2dx = 0. (А.3)

Ввиду сложности формы профиля W(£) интеграл в уравнении (А.3) вычислялся численно, методом трапеций. Само уравнение решалось с помощью метода Брента - Деккра предложенного в работе [74].

Лххщ А

8

-2

о

^30 (а)

.25

^20 45

40^

5

Агх 1 о

А

2.5

-2

1.5

0.5

0

(б)

^0

\25

.20 15

"кГ-

150 180 210 240 270 Ь.

мм

150 180 210 240 270 Ь

мм

Рисунок А.2 — Зависимость оценок отклонения Дх (а), Д^ (б) от длины балки Ь, для различных амплитуд. Числа указывают величину амплитуды в мм.

На рис. А.2 представлены оценки отклонения Дх, Дх, отнесённые к текущей амплитуде колебания А, в зависимости от длины балки Ь, для различных значений амплитуды колебаний А. Все зависимости ведут себя однотипно. Наибольшее значение отклонения Дх/А, Дх/А имеют в случаях высокоамплитудных колебаний коротких тест-образцов. Наибольшая величина Дх/А не превосходит 0.03 и быстро падает с уменьшением амплитуды для балок различной длины, что свидетельствует о незначительности вклада этой ошибки при определении амплитуды. В случае с Дх/А наибольшее значение составляет порядка 0.1 и медленно затухает с уменьшением амплитуды. Подобное блуждание точки М вдоль оси х, следует надлежащим образом учитывать при определении частоты колебаний.

Смоделируем колебания, фиксируемые лазерным датчиком и)^). Будем рассматривать случай с наибольшим отклонением Ь = 150, А = 30. Пусть колебания точки М описываются следующим образом

^м (£) = А соб(шО£), тогда лазерный датчик фиксирует колебания следующего вида

(хм (0)/Ь) , ч пЖ) = АЫ( М/Т \ С08М), № (хм&)/Ь)

(А.4)

(А.5)

где хм (¿) определяется путём решения нелинейного уравнения (А.2). Наличие дополнительного множителя, зависящего от времени, может исказить частоту регистрируемой виброграммы.

На рис. А.3 а изображён один период виброграмм п)м (£) и Как

видно, наблюдается незначительное отличие между виброграммами.

А

А 0.9 0.6 0.3 0

-0.3 -0.6 -0.9

(а) | ~

10

О

-10

■15

(б)

0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 Т 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 Т

Рисунок А.3 — (а) - один период виброграммы колебаний точки ым(¿) (сплошная линия) и фиксируемой лазером (пунктирная линия), (б) -

разницы между виброграммами А х(р).

Разница между виброграммами представлена на графике А.3 б. По графику видно, что в сигнале присутствует дополнительная гармоника отличная от основной.

Проведём анализ гармоник одного периода А ( ) и регистрируемой лазером с помощью дискретного преобразования Фурье [84]. На рис.А.4 представлены результаты разложения. По вертикале отложена величина вклада каждой гармоники, нормированная на величину вклада наибольшей гармоники Уь, по горизонтали номер гармоники. По обоим графикам видно наличие, помимо основной (первой) гармоники, также и третьей, обусловленной блужданием точки. В виброграмме её вклад не значителен - 1% в сравнении со вкладом основной гармоники, однако в случаях, когда требуется высокоточные измерения частоты данный факт следует учитывать.

Рисунок А.4 — График спектра одного периода виброграммы, фиксируемый лазером и)^) (а), и разницы между виброграммами Д^(^ (б).

Например, если определять частоту виброграммы замеренной лазером с помощью гармонической аппроксимации вида

А соб(^ + ф),

ошибка в определении частоты будет составлять ±0.3%. В случае определении путём поиска нулей виброграмм, ошибка, вносимая блужданием точки замера, будет отсутствовать. Это объясняется тем, что за смену знака с течением времени в выражениях (А.4), (А.5) отвечает одна и та же функция соб(^^).