Существование базисов в некоторых классах пространств Фреше тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Ефимов, Анатолий Иванович

• Ефимов, Анатолий Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ефимов, Анатолий Иванович

Введение.

Глава I. Линейные топологические инварианты локально выпуклых пространств.

§ 1.1. Основные определения и вспомогательные результаты.

§ 1.2. Свойства, характеризующие подпространства некоторых пространств Кёте, и их эквивалентные формулировки.

§ 1.3. Свойства, характеризующие факторпространства некоторых пространств Кёте, и их эквивалентные формулировки.

Глава II. Выделение последовательностей элементов и функционалов с заданными оценками норм.

§ II. 1. О выделении последовательности функционалов с заданными оценками норм на пространства Фреше.

§ II.2. О выделении последовательности элементов пространства Фреше с заданными оценками норм.

Глава III. О существовании базисов в конкретных классах пространств Фреше.

§ III. 1. О существовании базисов в пространствах Фреше с условием строго конечномерного разложения и свойствами D\([ar(n)]), £2([ar(n)]).

§ III.2. О существовании базисов в пространствах Фреше, обладающих свойствами Di([ar(n)}), Q([ar(n)]) и изоморфных своему декартову квадрату.

§ III.3. О существовании базисов в разрежённых пространствах Фреше, обладающих свойствами

AQo^n)]), П([аг(п)]).

§ III.4. О существовании базисов в сильноразрежённых блочных пространствах Фреше, обладающих свойствами Di([ar(n)}), П([аг(п)]).

§ III.5. О существовании базисов в дополняемых подпространствах пространств Кёте двух классов со свойствами упорядоченности парных композиций с обратными функциями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Существование базисов в некоторых классах пространств Фреше»

При исследовании линейных топологических пространств, в частности пространств Фреше, изучение базисных, минимальных и других последовательностей элементов может нести значительную информацию о геометрии всего пространства. И если в геометрической теории банаховых пространств роль модельных пространств играют координатные пространства 1р, 1 ^ р ^ оо, то в геометрической теории пространств Фреше аналогичную роль выполняют пространства Кёте. Вследствие чего возникает вопрос о наличии базиса в подпространствах, факторпространствах и дополняемых подпространствах пространств Кёте-Фреше. В настоящее время уже известны примеры тех подпространств пространств Кёте-Фреше, которые не имеют базиса, и примеры факторпространств пространств Кёте-Фреше, также не имеющих базиса (см. например, [1, 2]). При этом вопрос о существовании дополняемого подпространства пространства Кёте-Фреше без базиса до сих пор остаётся открытым. Кроме того, заслуживает внимания пример дополняемого подпространства, в котором не существует базис пространства Фреше с базисом (см. [33]). На ряду с этим все больший интерес вызывают исследования вопроса о существовании базисов в конкретных классах весовых пространств Фреше и в дополняемых подпространствах таких пространств, которые имеют базисы (см., напр., [3, 4]). Вопрос о существовании базисов в конкретных пространствах Фреше исторически рассматривался одновременно с вопросом о квазиэквивалентности (единственности) базисов (см. [5], [29]—[32], [34]—[36]), вследствие этого в исследованиях этих вопросов имеется целый ряд общих приёмов.

В диссертации доказано наличие базиса в некоторых конкретных классах пространств Фреше, которые включают в себя дополняемые подпространства конкретных классов пространств Кёте-Фреше. Большинство из них не выходят за рамки пространств Фреше бесконечного типа, то есть пространств Фреше, определяемых свойством £>1 (или ИЫ в иностранной литературе). Свойство в форме: существует норма || • || такая, что или БЫ в форме: существует замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля II С Е такая, что было почти одновременно введено В.П. Захарютой (£)]) (см. [45]) и Д. Фогтом (£>Л/") (см. [47]) соответственно.

Данное свойство является естественным обобщением на пространства Фреше свойства (1\ : введённого для пространств Кёте 1р[аг(п)] М.М. Драгилевым в [28].

Диссертация состоит из Введения и трёх глав. Нумерация глав производится римскими цифрами; параграфы имеют двойную нумерацию (§ 1.2. - второй параграф первой главы); определения и полученные утверждения имеют тройную нумерацию (Определение II. 1.3. - третье определение первого параграфа второй главы; Теорема III. 1.2. - теорема 2 первого параграфа третьей главы)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ефимов, Анатолий Иванович, 2003 год

1. Зобин Н.М., Митягин Б. С. Примеры ядерных метрических пространств без базисов // Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8, вып. 4. С. 304-313.

2. Bessaga С. A nuclear Frechet space without basis 1. Variation on a theme of Djakov and Mitiagin // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. math., astronom., phys. 1976. V. 24, № 7. P. 471-473.

3. Haslinger F., Smejkal M. Representation and duality in weighted Frechhet spaces of entire functions // Lecture Notes in Math. 1987. V. 1275. P. 168-196.

4. Dubinsky E., D. Vogt D. Complemented subspaces in tame power series spaces // Studia Math. 1989. V.93, № 4. P. 71-85.

5. Митягин Б. С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // Успехи мат. наук. 1961. Т. 16, вып. 4. С.63-132.

6. Krone J. On projections in power series spaces and the existence of bases // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V. 105. P. 350-355.

7. Krone J. Basisprobleme in nuklearen Frechetraumen. Dissertation. Wuppertal: 1986.

8. Krone J. Existence of bases and the dual splitting relation for Frechet spaces // Studia Math. 1989. V. XCII. P. 37-48.

9. Ahonen H. On nuclear Kothe spaces defined by Dragilev functions. Series A. Mathematics Dissertationes. 38. Ann. Acad. Sc. Fennicae. Helsinki. 1981.

10. Кондаков В. П. Об ортогонализации базисов в некоторых классах ядерных пространств // Сиб. матем. журн. 1990. Т. 31, № 4. С. 77-89.

11. Кондаков В. П. О базисах в дополняемых подпространствах функциональных пространств // Функц.анал. и его прил. 1990. Т. 24, вып. 3. С. 80-81.

12. Кондаков В. П. О блочных пространствах Кете, в которых образ каждого непрерывного оператора имеет базис // Функц. анал. и его прил. 1993. Т. 27, № 4. С. 74-77.

13. Kondakov V.P. Bases in complemented subspaces of weak-mixed Köthe spaces // Abstracts conf. "Nucleare Frechet Räume". Oberwolfach: 1990. P. 5-6.

14. Кондаков В. П. Геометрические условия существования базисов в пространствах Фреше // Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам анализа и геометрии, тез. докл. Москва: ТВП. 1994. С. 60.

15. Кондаков В. П. О весовых пространствах Кете, определяемых разреженными матрицами // Рук.деп. в ВИНИТИ. 1990. № 6226-В90.

16. Кондаков В. П. Об операторах и дополняемых подпространствах в пространствах Кете, определяемых разреженными матрицами // Сиб. мат.журн. 1995. Т. 35, JVQ 5. С.1096-1112.

17. Кондаков В. П. Критерий существования безусловного базиса в счетно-гильбертовом пространстве // Международная геометрическая школа- семинар памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо: 27 сент,—4 окт. 1996. Тез. докл. Ростов-на-Дону: 1996.С. 113.

18. Кондаков В. П., Каплицкий В.М. О существовании базисов в некоторых весовых пространствах функций // Междунар. геом.школа-семинар памяти Н.Ф.Ефимова. Абрау-Дюрсо: 27 сент.-4 окт. 1996. Тез. докл. Ростов-на-Дону: 1996. С. 114.

19. Кондаков В. П. О существовании базисов в весовых пространствах случайных величин // Третья Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Туапсе: 17.IX-24.IX. 1996.Тезисы докл. М: ТВП, 1996. С. 85-86.

20. Kondakov V. P., Kaplitsky V. M. Sufficient conditions for existence of bases in some Frechet spaces of entire functions // 4th Simposium on mathematical analysis and its applications. Arandelovac. May 26-30 1997. Abstracts. Beograd: 1997. C. 48-49.

21. Kondakov V. P. Geometric conditions for the existence of Bases in nuclear Frechet spaces // Linear Topological Spaces and Complex Analysis. 1994. V. 1. P. 25-32.

22. Djakov P.B. A critérium for the existence of Bases in nuclear Frechet spaces // Doga Tr.J. of Math. 1993. V. 17. P. 171-178.

23. Vogt D. Power series space representations of nuclear Frechet spaces // Trans, of the American Math. Soc. 1990. V.319, № 1. P.191-208.

24. Terzioglu T. Unstable Kôthe spaces and the functor EXT // Doga Tr.J. of Math. 1986. V. 10, № 1 (Special Issue). P. 227-231.

25. Aytuna A., Krone J., Terzioglu T. Complemented infinite type power series subspaces of nuclear Frechet spaces // Math. Ann. 1989. V. 283. P. 193-202.

26. Кондаков В. П. О безусловных базисах в образах слабо перемешивающих операторов в весовых пространствах случайных величин // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 1997. Т. 4, вып.З. С. 358.

27. Kondakov V. P., Zaharjuta V. P. On bases in spaces of infinitely differentiable functions on special domains with cusp // Note di Mathematica. 1992. V.XII. P. 99-106.

28. Драгилев M. M. О правильных базисах в ядерных пространствах // Матем. сб. 1965. Т. 68, № 2. С. 153-173.

29. Драгилев М. М. О специальных размерностях, определенных на некоторых классах пространств Кете // Матем. сб. 1969. Т. 80, № 2. С. 225-240.

30. Драгилев М.М., Кондаков В. П. Об одном классе ядерных пространств // Мат. заметки. 1970. Т. 8, вып. 2. С. 169-179.

31. Кондаков В. П. О строении безусловных базисов некоторых пространств Кёте // Studia Math. 1983. Т. 76, № 2. С. 137-151.

32. Кондаков В. П. Вопросы геометрии ненормируемьтх пространств. Ростов-на-Дону: РГУ, 1983.

33. Taskinen J. A Frechet-Schwartz space with basis having a complemented subspace without basis // Abstracts conf. "Nucleare Frechet Raume". Ober-wolfach: 1990. P. 11.

34. Chalov P. A.,Djakov P. В., Terzioglu Т., Zahariuta V.P. On cartesian products of locally convex spaces // Linear Topological Spaces and Complex Analysis 2. Ankara: 1995. P. 9-33.

35. Захарюта В. П. Об изоморфизме и квазиэквивалентности базисов для степенных пространств Кёте // Докл. АН СССР.1975. Т. 221, № 4, С772-774.

36. Драгилев М.М. Базисы в пространствах Кёте. Ростов-на-Дону. Изд. Ростов, ун-та, 1983.

37. Захарюта В. П. О базисах и изоморфизме пространств функций, аналитических в выпуклых областях многих переменных // Теория функций и функц. анализ. Харьков: 1967. вып. 5. С. 5-12.

38. Захарюта В. П. О квазиэквивалентности базисов в конечных центрах гильбертовых шкал // Докл. АН СССР. 1968. Т. 180, № 4. С. 786-788.

39. Wojtynski W. On bases in certain countably-Hilbert spaces // Bull. Acad. Pol. Sei., ser. math. 1966. V.14. P. 681-684.

40. Митягин Б. С. Квазиэквивалентность базисов в гильбертовых шкалах // Studia Math. 1971. Т. 37. С. 111-137.

41. Митягин Б. С, Хенкин Г. М. Линейные задачи комплексного анализа // Успехи мат. наук. 1971. Т. 26, вып. 4(160). С. 93-152.

42. Крейн С. Г., Петунин Ю.И., Семёнов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978.

43. Peetre J. On interpolation functions 3 // Acta Sei. Math. 1969. V. 30, № 3. P. 235-239.

44. Кондаков В. П. Дискретные локально выпуклые решётки и безусловные базисы // Матем. анализ и его прил. Ростов-на-Дону: 1985. Т. 5. С. 65-72.

45. Захарюта В.П. Некоторые линейные топологические инварианты и изоморфизмы тензорных произведений центров шкал, Изв. Сев. Кав. Научн. Центра Высш. Школы, 4, 1974,С.62-64.

46. Vogt D., Wagner M.J. Charakterisierung der Quotientenraume von s und eine Vermutung von Martinean, Studia Math., 1980, 67, 225-240.

47. Vogt D. Charakterisierung der Unterraume von s. Math. Z., 1977, 155, 109-117.

48. Wagner M.J. Some new methods in the structure theory of nuclear Frechet spaces, ed. T.Terzioglu. Advances in the Theory of Frechet spaces. Kluwer Academic Publishers. 1989. P.333-353.

49. Робертсон А.П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные пространства. «Мир», М., 1967, 257 с.

50. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. «Мир», М., 1967, 266 с.

51. Кириллов A.A., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа, М. «Наука», 1979, 384 с.

52. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 4.1. Функциональный анализ. Изд. «Мир», М., 1977.

53. Като Т. // Теория возмущений линейных операторов, "Мир", М., 1972.

54. Jorg Krone, Volker Walldorf Complemented subspaces with a strong finite-dimensional decomposition of nuclear Kothe spaces have a basis, Studia Math. 1998, 127, 1-7.

55. Terzioglu T. On the diametral dimension of some classes of F-spaces. Journ. of Karadeniz univ. Ser. of Math.-Phys. 1985, v.8, p.1-13.

56. Vogt D., Wagner M.J. Charakterisierung der Unterraume und Quotientenraume der nuclearen stabilen Potenzreihenraumen von unendlichem Typ. Studia Math. 1981, T. LXX, P.63-80.

57. Кондаков В.П. О неизоморфизме локально выпуклых пространств своим замкнутым подпространствам. «Физико-математические исследования». Изд. Ростовского университета, Ростов-на-Дону, 1972, 72-73.

58. Кондаков В.П. О существовании базисов в дополняемых ядерных подпространствах пространств степенных рядов бесконечного типа. Рукопись депонирована в ВИНИТИ, № 3653-В98 от 11.12.1998.

59. Кондаков В. П. Замечания о существовании безусловных базисов в весовых счётно-гильбертовых пространствах и их дополняемых подпространствах // Сиб. мат.журн. 2001. Т. 42, № 6. С. 1300-1313.

60. Apiola H. Characterization of subspaces and quotients of nuclear Lf (a, oo)-spaces. // Compos. Math.50, 65-81 1983.

61. Kondakov V.P. Geometric Properties of Frechet Spaces and Spaces and Selection of Basis Sequences. Mathematical Notes vol. 66, No 1,1999, 82-88.

62. Кондаков В.П. Существование базисов в ядерных дополняемых подпространствах пространств степенных рядов бесконечного типа. Функц. анал. и его прил. май-июнь Т. 34, в. 2, 2000, с. 81-83.

63. Кондаков В.П., Ефимов А.И. О базисах в дополняемых подпространствах обобщённых пространств степенных рядовбесконечного типа. Рукопись депонирована в ВИНИТИ, № 3938-В99 от 30.12.1999.

64. Ефимов А.И. О выделении последовательностей элементов с заданными оценками норм в пространствах Фреше с геометрическими условиями. Рукопись депонирована в ВИНИТИ, № 1672-В00 от 13.06.2000.

65. Кондаков В.П., Ефимов А.И. О базисах в разрежённых дополняемых подпространствах пространств Кёте, определяемых функциями Драгилева. Вестник ТГУ, т.5, вып.4, 2000, с. 464-465.

66. Кондаков В.П., Ефимов А.И. О базисах в дополняемых подпространствах пространств, обобщающих пространства степенных рядов. Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 1. с. 5-9.

67. Кондаков В. П. О дополняемых подпространствах некоторых пространств Кёте бесконечного типа // Сиб. мат.журн. 2003. Т. 44, № 1. С. 1300-1313.