Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в банаховых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Балаганский, Владимир Сергеевич

• Балаганский, Владимир Сергеевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Балаганский, Владимир Сергеевич

СОДЕРЖАНИЕ

Справочный материал

Введение

Глава I. Мощность и структура множества Х\Т'М

§ 1.0. Некоторые вспомогательные результаты

§ 1.1. Структура множества Х\Т'М в гильбертовом пространстве

§ 1.2. Структура множества M с card Х\Т'М < 2К° в пространствах X e(D)n(S)

§ 1.3. Структура множества M с card Х\Т'М < card X в

пространствах X е .(D) П (S) и X 6 (CLUR) П (S)

§ 1.4. Структура множества Х\Т'М в пространствах

X G (2R)

§ 1.5. Открытость метрической проекции

§ 1.6. Об относительных чебышевских центрах

Глава II. Множества с выпуклым дополнением

§ 2.1. Чебышевских каверн в пространствах типа со нет

§ 2.2. Аналог теоремы о биполяре

§ 2.3. Существование и единственность

§ 2.4. Дифференцирование функции расстояния

§ 2.5. Другие результаты

Глава III. Антипроксиминальные множества в

банаховых пространствах

§ 3.1. Некоторые предварительные результаты об антипрокси-

минальных множествах в банаховых пространствах

§ 3.3 . Выпуклые замкнутые ограниченные антипроксимина-

льные множества в подпространствах С {О)

§ 3.4. Антипроксиминальные множества в Ьх(5, Е,//)

§ 3.5 . Пример выпуклого замкнутого ограниченного антипро-ксиминального множества в строго выпуклом пространстве с нормой дифференцируемой по Фреше

Список литературы

1. Справочный материал

В работе приняты следующие обозначения: N [ 3ft ] - множество натуральных [ вещественных ] чисел; X - вещественное банахово пространство, как правило, бесконечномерное;

Х\А — СА, А, А= intА, дА, convA, convA, |А| == card A, diamA - соответственно, дополнение, замыкание, внутренность, граница, выпуклая оболочка, замкнутая выпуклая оболочка, мощность, диаметр множества А С X;

В(х, г) = {z £ X : zx < г} - шар в X;

о

S(a:, г) = В(ж, г)\ В (х, г) - сфера; В(Z), S(Z) - единичные шар и сфера в Z; [ж, у] = {(1 — Х)х + Ху '■ 0 < Л < 1} - отрезок; (х,у) = {(1 — Х)х + Ху : 0 < Л < 1} - интервал; ху - {(1 - Х)х + Ху : Л > 0} - луч; ху = d(x,y) = \\х - у\\;

хА = d(x, А) = inf{ху : у G А} - расстояние от х до А С X; р(А, В) = Ы{хВ : ж € A}; d(A, В) = вир{жб : х <е А], d(x,0) = р(А, 0) = оо;

¿м ' % I—► ¿м{х) — хМ [метрическая функция множества М С X, функционал наилучшего приближения, функция расстояния] ;

Рм : х I—>• Рм(х) = {у 6 М : ху = хМ} [метрическая проекция, оператор наилучшего приближения];

Рём : х 1—► Рм(х) = {у £ М :ху < хМ + 5} -проекция]. В этой работе множество, подлежащее изучению, всегда обозначается через М; при этом предполагается, что 0 ф М = М ф X; Т = - семейство всех таких М;

FCC{X) - семейство всех тех М Е ^(Х), для которых СМ выпукло;

/С = JC(X) - множество выпуклых тел М Е ^(Х), О Е int М.

Пусть Ь > 0. С множеством М мы связываем также следующие множества:

М(Ь) = {z Е X : zM <b} [ Ъ -расширение М ]; Q = Х\М-

Q(b) = {z £ X : zM > 6};

С(Ъ) = {z е X : zM > Ъ}; Г (6) = {2б1:гМ = &}.

Через г обозначается любая из топологий: п [нормированная, или сильная; п обычно опускается], w [слабая], wuj [секвенциальная слабая], w* [слабая* сопряженного пространства].

А ~ В для величин А, В означает А — В —> 0 [а не А/В 1 ].

Мы используем следующие виды непрерывности многозначного отображения, как правило, метрической проекции Рм '■

Я-полунепрерывность сверху: Pm(z) Ф 0 Vz Е B(rr,e) и d(PM(z),PM(x)) —s► 0 при z х-,

полунепрерывность снизу: Му £ Рм{х) Yimp(y, Pm(z)) = 0;

В статье встречаются следующие классы банаховых пространств:

(Rf) - класс рефлексивных пространств;

(R) - класс строго выпуклых пространств [т.е. таких, что единичная сфера S не содержит отрезков];

(S) - класс гладких пространств [в каждой точке сферы существует единственная опорная гиперплоскость];

(UR) - класс равномерно выпуклых пространств [соотношения хп Е S, уп Е S, ||жп + уп\\ -»• 2 влекут \\хп - уп\\ -»> 0];

(.LUR) - класс локально равномерно выпуклых пространств [соотношения х £ S, уп £ S, \\х + уп\\ 2 влекут упх]-

{CLUB) -класспространств, в которых соотношения х £ S, уп £ S, ||ж + уп\\ —2 влекут существование сходящейся подпоследовательности ;

(tUR) - г -равномерно выпуклые пространства: если хп,уп £ S, ||жп + у«|| -»■ 2, то хп-уп-^ 0;

(t/jR) = (nUR), (wUR) - частные случаи (tUR); (■tLUR) - т -локально равномерно выпуклые пространства: если Xf хп £ S, ||ж "Ь ^ 2, то ^ ж,

(tCLUR°) [(rCLt/JR)] - если из (Е S , ||ж + ж„|| —► 2, вы-

текает существование г-сходящейся подпоследовательности к элементу из S];

(£)) - класс пространств, в которых из хп £ S, / Е S*, /(жп) —►

1

следует сходимость хп;

(C.D) - класс пространств, в которых из хп £ S , / £ S*, f(xn) —> 1 следует существование предельной точки хп [пространства Ефи-мова-Стечкина\ ;2

(UCED) - класс пространств, в которых из соотношений z, хп, уп £ S, хп-уп = anz, \\хп + уп\\ 2 следует, что ап 0 ;

(F) - класс пространств с нормой, дифференцируемой по Фреше в каждой точке х £ S;

(■C2R) - класс пространств, в которых соотношения уп £ S, lim \\уп + yk\\ = 2 влекут существование сходящейся подпоследова-

► оо

тельности

(2Л) - класс пространств, в которых соотношения уп £ S, lim ||?/n + = 2 влекут сходимость последовательности уп;

n,k—X3о

(7-R) [ (CjR) ] - класс пространств, в которых условия £

S, lim ||#n + 2/fc|| = 2 влекут, что жп, yk сходятся [ имеют пре-

п—>оо, fc—мзо

1 сильно выпуклые пространства [термин С.Б. Стечкина], или Е -пространства [в теории некорректных задач, см., например, [21],[38]]; впервые рассматривались В.Л. Шмульяном.

2Подробнее об этих пространствах см. у С.В.Конягина и И.Г.Царькова в [29].

дельные точки ];

(6R) [ (C6R) ] - класс пространств, в которых из условий хп, ук G S, lim \\хп + у¡¡.\\ = 2 следует, что хп, yk сходятся к одной и той

к>п—>оо

же точке из S [ имеют предельные точки ];

(CLD),[(LD), (wLD)] - класс пространств, в которых из условий х,хп G S, / G S*, f(x) = 1, /(ж„) —> 1 вытекает, что имеет сходящуюся подпоследовательность [ сходится к х , w -сходится к ж];

(SA) - класс пространств, в которых условия х,хп G S, /п G S*, w; - lima'n = ж, fn(xn) = 1 влекут соотношение fn(x) 1;

- класс пространств, в которых из условий /„, / € S(X*), / G -X"*, ж?г G S(X), fn(xn) = 1,/ - iu*— предельная точка для последовательности /п, следует, что /(ж„) —> 1.

(А*) - класс сопряженных пространств Х*,в которых из условий fn G S(X*), / G S(X*), последовательность /„ сходится к / в «;*— топологии пространства X* следует, что fn сходится к / по норме пространства X*.

- класс сопряженных пространств X*, в которых из условий fn G S(X*), / G S(X*) П последовательность fn сходится к / в w*— топологии пространства X* следует, что /„ сходится к / по норме пространства X*

(UG) - класс пространств с нормой, равномерно дифференцируемой по Гато: предел Ит(||я + th|| — существует при x,h G Х\{0} и является равномерным по х G S [другое название: пространства, равномерно гладкие по каждому направлению].

(В В) - класс пространств, в которых каждая достижимая точка единичного шара пространства X является точкой гладкости.

Определения. Банахово пространство X называется

3условие Кадеца - Кли, см., например, [90], Х# - функционалы достигающие максимума на единичном шаре.

пространством Асплунда [79], если каждая выпуклая непрерывная функция, определенная на выпуклом открытом множестве А С X, дифференцируема по Фреше на плотном в A G$ -множестве. Будем писать X G (Ban) , если X G (В), dim X = оо, и существует замкнутое подпространство Z такое, что фактор-пространство X/Z сепарабельно, dim X/Z = оо.

Многие из перечисленных классов пространств описываются одинаково:

(Р) - класс пространств, в которых все точки х G S обладают свойством Р = Р(х).

В произвольном пространстве точку х £ S , обладающую свойством Р(х), будем называть Р-точкой.

Таким образом, мы считаем определенными понятия F-точки, tLTJR-точки, LUR- [т.е. nLUR -] точки и т.д.

Нам понадобятся следующие множества точек, обладающих тем или иным аппроксимативным свойством относительно М.

Ем = Е(М) = {х G СМ : Рм(%) ф 0} ~ множество точек существования элемента наилучшего приближения; М называется прок-симинальным или множеством существования, если СМ = Е(М)\

UM = U(M) = {ж G °М : \Рм(х)\ < 1} - множество точек единственности; М называется множеством единственности, если СМ = U(M);

Тм = Т(М) = {х G СМ : \Рм(х)\ = 1} = Е(М) П U(M); М называется чебышёвским множеством, если СМ = Т(М);

Т'м = Т'(М) = {х£ СМ : diamPiO) —► 0 при 6 —► +0};

тАС(М) - множество точек аппроксимативной г -компактности, т.е. тех ж G СМ, для которых всякая минимизирующая последовательность уп , [т.е. уп G М, —» хМ] содержит подпоследовательность, т -сходящуюся к элементу из М [зависящему от подпо-

следовательности]; М называется аппроксимативно компактным, если СМ = АС(М);

ЬБСм ~ множество точек полунепрерывности снизу метрической проекции Рм: х Е ЬБСм означает, что из Рм(х) П 6' / 0, где С открыто, следует, что Рм{%) П С ф 0 для всех 2 из некоторой окрестности 11х; это равносильно условию: Уу Е Рм{х) —» ж имеем р(у,Рм(хп)) 0 (0) = оо);

См - множество тех ж Е СМ, где имеет производную Гато

(ж) = / Е X*, так что \ZheX

Рм - множество тех х Е где предел (*) равномерен по К Е Б [в этом случае / называется производной Фреше, а ¿м дифференцируемой по Фреше в точке х ];

01м = {хЕ Шх)\\ = 1};

С"м = {хе Зг Е с1'м(х)(г) = 1};

Тм ~ множество точек х Е СМ, в которых У/г 6 X существует предел (*) [не обязательно линейный по /г];

Г^ - множество таких х Е СМ , что для некоторого к Е Б предел (*) равен 1 при t —► +0.

Г'^ - множество таких точек х 6 Г, что в качестве /г можно взять \х — у)/ху для некоторого у Е Рм(х).

[Заметим, что направление от х к х + Н в Г;м, Г'^ есть направление наибольшего возрастания функции ¿м ~ "направление градиента".]

¿)5(М) = 6вм ~ множество 6 -солнечных точек, т.е. таких х Е °М , что существует последовательность пп ф х, уп —» х, для которой

(упМ - хМ)/упх 1; (**)

если 6Sm = СМ, то M называется 6-солнцем.

6'Sm ~ множество тех х G СМ для которых существуют h G S, tn —» +0 такие, что для vn = х + tnh имеем (**);

6"SM ' если среди h, удовлетворяющих предыдущим условиям, найдется такое, что х — ж M • h G Рм(х);

7г^м ~ множество таких х Е °М [для данного г > 0], что существуют zn с ¿„ж = г, znM — хМ —г;

75м = Пг>о если jSm = СМ, то M называется j -солнцем]

авм ~ множество тех х G СМ, для которых существует такое h G S, что для всех z = х + th [t > 0] имеем zM = zx + жМ; если а = СМ, то M называется а-солнцем;

mSu = {х £ СМ : 3z £ X, Зу G Pm(z)-, х G (г/, 2)}; если т5м = СМ, то M называется метасолнцем;

5М = {ж G СМ : 3|/ G M, у G Рм W V2 с ж G [у, г]};

если 5м = то M называется солнцем; если квантор 3 заменить на V и добавить проксиминальность M , то придем к понятию строгого солнца.

W = CM\6SM; И^' = CM\(6'SM П Щ).

Нетрудно проверить, что в определении 7г5м можно предполагать, что —> г вместо = г; ясно также, что 7г5м и 75м -замкнутые относительно СМ множества.

Теорема А [К. Лау [77], C.B. Конягин [24]]. Пусть X - банахово пространство. Следующие условия эквивалентны:

а) X - пространство Ефимова-Стечкина [ соответственно, X - сильно выпуклое пространство];

б) для любого непустого замкнутого множества множества M С X множество Х\АС(М) [ соответственно, Х\Т'М] - первой категории;

в) для любого непустого замкнутого множества множества М С X множество Е(М) [ соответственно, Тм плотно в X.]

Теорема Б [В, теорема 3.3]. В банаховом пространстве класс 6 -солнц совпадает с классом 7 -солнц.

Теорема В [С. Фитцпатрик,[68, теорема 3.1]].

а) X € (5) <$=>• УМ £ Г(Х) Т'м С вм [или Т'м С в1м\\

в) х е от) ум е г(Х) т'м с

Обратные импликации у Фитцпатрика не сформулированы, однако они очевидны при М = {0}.

Теорема В' [С. Фитцпатрик,[68, теорема 2.6]].

а) X £ (Р) УМ £ Т{Х) -Рм С Т'м]

а') X е(ЬО) еТ(Х) Ем П Е(М) С Т'м;

б) х е (СБ) ^ Уме т(х) ем с ас(м).

б') (СЮ) -ф=ф- УМ Е Г{Х) Ем п Е(М) С АС(М).

Строго говоря, С. Фитцпатрик доказал прямые импликации в а), а'), однако доказательство не меняется и для б), б'); обратные импликации очевидны, если взять в качестве М гиперплоскости [в случаях а' , б' - опорные к В].

Теорема В Л [12]. Следующие условия на банахово пространство эквивалентны:

а) Хе(В)-

б) метрическая проекция на каждое выпуклое множество М £ Р(Х) однозначна и непрерывна.

Теорема Г [В.Л. Шмульян, см. [15, с. 510]]. Пусть ж £ Б, / £ Б*, /(х) = 1. Следующие условия эквивалентны:

а) х есть Е-точка Б;

б)всякая последовательность /п £ Б* с fn(x) 1 сходится к f .

Теорема Д[63]. Пусть X Е (В) удовлетворяет условию Радона - Никодима, множество М Е 3~(Х) выпукло и ограниченно, тогда множество сильно достигающих на М функционалов / Е X* является плотным в X -множеством.

Теорема Е [63, 73]. Банахово пространство X не удовлетворяет условию Радона - Никодима тогда и только тогда, когда существуют открытое ограниченное центрально-симметричное выпуклое множество К и его замкнутое подмножество А С К такие, что К С convA

Об условии Радона - Никодима и о слабо компактно порожденных пространствах можно см. [16]. Слабо компактно порожденные пространства можно эквивалентно перенормировать в пространство класса (CLUR) и тем более (CLD).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в банаховых пространствах»

ВВЕДЕНИЕ

Теория приближения в банаховых пространствах берет свое начало в в работе П.Л.Чебышева, в которой доказана чебышевость множества алгебраических многочленов степени не выше п и множества рациональных функций со степенью числителя не выше т и степенью знаменателя не выше п в пространстве С[а,Ь]. В дальнейшем геометрические вопросы теории приближения в конкретных банаховых пространствах изучались А.Хааром , А.Н.Колмогоровым, Е.Я.Ремезом. Окончательно теория приближения в банаховых пространствах оформилась в самостоятельную ветвь теории приближения в 60-е годы благодаря работам Н.В.Ефимова и С.Б.Стечкина, В.Кли, А.Л.Гаркави, Л.П.Власова, С.Я.Хавинсона, Д.Вулберта, Б.Крипке, Дж.Линденштрауса, П.Морриса, Р.Фелпса, Р.Холмса, Э.Чини и др. В дальнейшее развитие эта тематика получила в очень большом количестве работ разных авторов. Укажем только некоторых авторов чьи работы тесно связаны с тематикой диссертации: С.В.Конягин, И.Г.Царьков, Л.П.Власов, В.И.Бердышев, В.А.Кощеев, А.Л.Браун, Л.Веселы, Л.Заийчек и др. В диссертации рассматриваются различные взаимосвязи между аппроксимативно-геометрическими свойствами множеств в банаховых пространствах. Стержневым в этой проблематике представляется вопрос о свойствах чебышевских множеств. Наиболее популярна нерешенная проблема: выпукло ли всякое чебышевское множество в гильбертовом пространстве 9

Изучение проблематики чебышёвских множеств в нашей стране началось по инициативе Сергея Борисовича Стечкина. Исследования в области теории приближения функций привели его к вопросу: является ли множество рациональных дробей че-

бышёвским в Ьр \р > 1]? [Само название "чебышёвские множества"

дано С.Б. Стечкиным в честь основателя теории наилучших приближений П. Л. Чебышёва]. Поскольку множество Л™ невыпукло, ответ виделся отрицательным, по крайней мере в 1/2- Так возникла ныне широко известная проблема выпуклости чебышёвского множества в гильбертовом пространстве.

В связи с упомянутой проблемой была доказана следующая теорема.

Теорема Ефимова-Стечкина [В]. Пусть М - чебышевское множество в гладком равномерно выпуклом банаховом пространстве X. Следующие условия эквивалентны:

а) М выпукло;

б) М секвенциально слабо замкнуто;

в) М аппроксимативно компактно.

С.Б.Стечкиным доказана следующая теорема.

Теорема Стечкина [В]. Пусть М - непустое замкнутое множество в равномерно выпуклом банаховом пространстве X. Тогда каждое из множеств Т(М), Т'м является дополнением множества I категории [в частности, всюду плотное].

В дальнейшем Л.П.Власовым, С.В.Конягиным и К.-С. Лау [см. теорему А] получены их усиленные аналоги:

Теорема Власова [В]. Следующие условия на банахово пространство X эквивалентны:

а) Хе(£))П(5);

б) класс аппроксимативно компактных чебышевских множеств совпадает с классом выпуклых замкнутых множеств;

в) класс чебышевских множеств множеств с непрерывной метрической проекцией совпадает с классом выпуклых замкнутых множеств.

Теорема Ефимова-Стечкина показала важную роль множества

точек аппроксимативной компактности 4 [ АС(М) ], поэтому эти множества изучались многими авторами и будут рассматриваться нами в диссертации. Топологические свойства множеств Т'м, АС(М),Х\Т'м изучали К.Паук, Л.Зайичек, И.Г.Царьков и др. И.Г.Царьковым [40], в частности, доказано, что для того, чтобы в банаховом пространстве X для любого М е ^(Х) множество АС(М) было связным, необходимо и достаточно, чтобы X е (СИ).

Непустое замкнутое подмножество А ф X банахова пространства X называется антипроксиминальным, если для любой точки х Е Х\А в множестве А нет ближайшей точки [Рм(х) = 0]. Анти-проксиминальные множества стали рассматривать с начала 70-ых годов. Их исследовали М.Еделыптейн, Р.Фелпс, А.Томпсон, С.Кобзаш, В.П.Фонф и др. Основной считается задача: выяснить в каких банаховых пространствах существуют не пустые замкнутые выпуклые ограниченные антипроксиминалъные множества ?

В диссертации рассматриваются три задачи:

Каким условиям должны удовлетворять множество (I) \ Х\Т'М и банахово пространство X,

чтобы замкнутое множество М было выпуклым?

(П)

(Ш)

Какую топологическую структуру имеет множество Х\Т'М1

В каких банаховых пространствах существует

ограниченное выпуклое замкнутое антипроксиминальное множество?

Решению задач (I) и (II) посвящена первая глава. Множества Х\Т'м,АС(М) изучали многие авторы: С.Б.Стечкин, В.Кли,

4Понятие аппроксимативной компактности введено С.Б.Стечкиным [С]

Л.П.Власов, К.-С.Лау, С.В.Конягин, И.Г.Царьков, Л.Заийчек, Л.Веселы и др. В [50] Е.Асплунд свел проблему выпуклости чебышев-ских множеств к частному случаю множества с ограниченным выпуклым дополнением. Г.Джонсон [75] построил пример невыпуклого чебышевского множества с ограниченным выпуклым дополнением в неполном [предгильбертовом] пространстве последовательностей из /2, оканчивающихся нулями. Поэтому во второй главе рассматриваются аппроксимативные свойства замкнутых множеств с выпуклым дополнением, т.е. решается задача (I).

Ранее автором [2] методом инверсии доказана следующая теорема.

Теорема Ж.[2] Пусть X - гильбертово пространство, М £ Т{Х) - невыпуклое множество. Тогда Х\Т'М имеет мощность

о

не меньше за исключением случая, когда М = К\ и Вж,

*€С}\Тм

где К - замкнутое выпуклое тело, ~ семейство [ мощности

меньше 2^°] непересекающихся открытых шаров, содержащихся в К, с центрами в точках х.

Эта теорема усиливала для гильбертова пространства ряд известных результатов разных авторов, в которых выпуклость чебышевского множества следовала из какой-то непрерывности метрической проекции во всех точках пространства. Поэтому в первой главе много внимания уделяется перенесению теоремы Ж на максимально широкий класс банаховых пространств и на обобщение и усиление теоремы для гильбертова пространства. В третьей главе решается задача (III).

Структура диссертации. Диссертация состоит из справочного материала, введения, трех глав и списка литературы из 113 наименований. Нумерация выносных формул - сквозная для каждой главы.

Первая глава состоит из 7 параграфов.

В § 1.0 приведены результаты, которые будут использованы в

дальнейшем, но некоторые из них имеют самостоятельный интерес. Основным результатом параграфа является

Следствие 1.0.2. Следующие условия эквивалентны:

а) X Е (Я/) Г) (ЩИ);

б) для любого М Е Р(Х) С1М С Т'м\

в) для любого М Е ТСС(Х) С1М С Т'м;

г) для любого М Е Т(Х) С1М С Т(М) П и)АС(М).

Следствие 1.0.2 является усилением и обобщением соответствующего результата С.Фитцпатрика [68] [ у С.Фитцпатрика доказана только импликация а) ==> б) при сильных дополнительных условиях на пространство].

В § 1.1 рассматривается топологическая структура множества Х\Т'М в гильбертовом пространстве X. Основным результатом параграфа является следующая теорема.

Теорема 1.1.2. Пусть X - гильбертово пространство, М £ Р(Х), N = сопуМ. Соотношение ]¥а = (Х\Т'М) П Р^г(иа) задает взаимно однозначное соответствие между связными компонентами ТУа множества Х\Т'М и связными компонентами ЪТа множества ]У\М. При этом, на самом деле, И7« линейно связно и открыто в Х\Т'М, IIа открыто в ]У\М.

Следствие 1.1.4. В сепарабельном гильбертовом пространстве X для любого множества М Е ^{Х) множество Х\Т'М является объединением не более чем счетного множества линейно связных открытых в Х\Т'М множеств.

Следствие 1.1.4. можно рассматривать как обобщение соответствующего результата К.Бартке и Х.Беренса [52] для евклидовой плоскости.

У.Вестфаль и Й.Френинг [92] используя теорию монотонных операторов доказали следующую теорему.

Теорема ВФ. Пусть X - гильбертово пространство, М Е Т(Х). Тогда каждая неизолированная точка х 6 Х\Т'М лежит на липшицевой кривой из Х\Т'м , не сводящейся к точке. Точка х является изолированной для Х\Т'М тогда и только тогда, когда Рм(х) = Ъ{х,хМ).

Следует отметить, что в теореме ВФ нет соответствия между компонентами множеств Х\Т'М и (сопуМ)\М. Позднее Л.Веселы [91] с помощью монотонных операторов доказал результат из которого в качестве следствия получаются теоремы 1.1.2 и ВФ.

В § 1.2 результат теоремы переносится на класс пространств (О) П (5). К основным результатам параграфа можно отнести следующие.

Следствие 1.2.4. Пусть X Е (£>) П (5), М £ Р(Х) - невыпуклое множество. Тогда Х\Т'М имеет мощность не меньше за

о

исключением случая, когда М = К\ и Вж, где К - замкнутое

выпуклое тело, - семейство [мощности меньше 2К°] непе-

ресекающихся открытых шаров, содержащихся в К, с центрами в точках х.

Следствие 1.2.5. Пусть X £ (В) П (в А) П (5), М £ Т{Х) - невыпуклое множество. Тогда Х\(Т(М) П ъиАС(М)) имеет мощность не меньше 2Н°, за исключением случая, когда М —

о

К\ и Вж, где К - замкнутое выпуклое тело, <7 = Х\(Т(М) П хез

ъиАС(М), |вж| - семейство [ мощности меньше 2К°] непересекающихся открытых шаров, содержащихся в К, с центрами в точках х.

Нетрудно заметить, что из следствия 1.2.4 молено получить результат теоремы Ефимова-Стечкина. Следствие 1.2.4 усиливает импликации а) ^ б) и а) =Ф- в) теоремы Власова, следствие 1.2.5

усиливает теорему Ефимова—Стечкина, и оба следствия позволяют доказывать выпуклость чебышевских множеств в пространствах

X £ (D) П (S) и X £ (D) П (SА) П (S) при самых слабых условиях,

точек

на сегодня, на мощность множества разрыва метрической проекции.

В § 1.3 теорема 1.1.2 переносится на пространства из классов (CLUR)n(S) и (D)n(S) в измененном виде: вместо Х\Т'М берется Х\Т'М, но и вместо 2U° берется card X. Основными результатами параграфа можно считать следующие.

Теорема 1.3.1. Пусть X £ (CLUR), М £ ?(Х), Рм{х) выпукло [или пусто] для каждого х £ X. Если \W'\ < |Х|, то М - 7 -солнце, (xSm Э Ем плотно в СМ, а если дополнительно X гладко, то М выпукло.

Следствие 1.3.2 Пусть X £ (CLUR) П (S) или X £ (D) П (5), М £ Т(Х) - невыпуклое множество единственности. Тогда \сМ\Т'м\ = |Х|, а если М - чебыгиёвское множество, то замыкание множества точек разрыва метрической проекции тоже имеет мощность \Х\.

В § 1.4 "структурная" теорема 1.1.2, в несколько ослабленном виде, переносится на класс пространств (2R). Основными результатами параграфа является следующие.

Теорема 1.4.3. Пусть X £ (Rf)n{LUR)n(S), М £ Т(Х), N =

сонvM, N\M = U Ua, где Ua - связные компоненты множества

а£Л

N\M. Тогда, если X £ (2R) или Е(М) = X, то Х\Т'М = U Wa,

аеЛ

где Wa - непустые, попарно непересекающиеся, открытые в Х\Т'М множества, Pn{W0) С Ua, множества Wa связны , P^(Wa) С Ua.

Следствие 1.4.5. Пусть X £ (7R) П (5), М £ f(X), N =

сопуМ, = и иа, где IIа - связные компоненты множества

аел

]У\М. Тогда Х\Т'М — и где - непустые, попарно непере-

аеА

секающиеся, открытые в Х\Т'М множества, Рлг(И/а) С иа, множества Ц^а СвЯЗНЫ, Ры(УУа) С IIа.

Заметим, что теоремы 1.1.2, ВФ и результат Л.Веселы [91] были доказаны с использованием методов присущих только гильбертову пространству - инверсия, монотонные операторы. Мартыненко [34] применил стереографическую проекцию в доказательстве выпуклости чебышевского компакта в гильбертовом пространстве; этот подход близок к методу инверсий [Фикен - Кли - Асплунд]. Поэтому доказательства результатов параграфа принципиально отличаются от доказательств теорем 1.1.2 и ВФ.

В § 1.5 рассматривается открытость метрической проекции. Основным результатом параграфа является следующая теорема, которая "закругляет" соответствующие результаты Р.Фелпса [86]. Метрическая проекция Рц называется открытой [ соответственно, слабо открытой, секвенциально слабо открытой ] , если образом открытого [ соответственно, слабо открытого, секвенциально слабо открытого ] множества из Х\К является подмножество из дК, открытое относительно <9А'[86]. Метрическая проекция Рк называется секвенциально слабо непрерывной, если она непрерывна в секвенциально слабой топологии.

Теорема 1.5.3. Пусть X Е (Д)П(Л/). Следующие условия эквивалентны:

а) в X класс множеств М Е К>(Х) с функционалом Минковско-го, дифференцируемым по Фреше, совпадает с классом множеств М Е с открытой метрической проекцией;

б) хе{Р)п{В).

Там же содержится следующая характеризационная теорема.

Теорема 1.5.2. Пусть X = LP(S, £,/1) сепарабельно, 1 < р < оо, р ф 2. Следующие условия эквивалентны:

&) в X класс гладких множеств М £ ¿С(Х) совпадает с классом множеств М £ со слабо [с секвенциально слабо] открытой

метрической проекцией Рм;

б) мера [I атомарна.

В § 1.6 рассматриваются относительные чебышевские центры. Чебышевские центры первым начал рассматривать А.Л.Гаркави, ему и принадлежит определение чебышевского центра. В настоящее время чебышевскими центрами занимается большое число математиков, как у нас, так и за рубежом. Среди последних работ отметим статью Е.М.Семенова и С.Франкетти [71].

Основной результат параграфа:

Теорема 1.6.1. Пусть X - банахово пространство, dim X > 3 . Следующие условия эквивалентны:

а) X - гильбертово пространство;

б) для любого выпуклого множества Y £ Т{Х) и любого выпуклого ограниченного множества К £ справедливо включение ZY(K) С Ру(К);

в) для любого двумерного подпространства Y С X и любого выпуклого ограниченного множества К £ Т{Х) , dim К < 2, справедливо включение Zy{K) С Ру(К) .

Д.Амир и Я.Мах [51] доказали эту теорему при дополнительном предположении компактности множества К.

Вторая глава состоит из 5 параграфов.

В § 2.1 простым методом доказано, что в широком классе банаховых пространств, включающем L\(S, E,/i) [с безатомной мерой /i], C(Q) [Q - бикомпакт, состоящий из конечного множества связных

компонент], чебышевских множеств с выпуклым ограниченным дополнением нет.

§ 2.2 носит вспомогательный характер, в нем устанавливается взаимно однозначное соответствие между кавернами пространства X и множествами из класса из (X + :

Т\ : ТСС{Х) —> множеству M G ТСС{Х) ставится в соот-

ветствие множество Мт = 7{{М) = К* ПС" 5

: Л/* —» ТСС{Х)1 множеству N G M ставится в соответствие множество NT = 72(iV) = X\Nn,

Выясняются некоторые свойства этого соответствия. Там же доказана лемма аналогичная с теоремой о биполяре.

Лемма 2.2.4. Пусть X - линейное нормированное пространство, N еЛГ; M G ТСС(Х) . Тогда

а) М\ = М;

б) NTT = N.

В § 2.3 рассматриваются множества E(M),U(M) и Т(М) для каверн М. Основным результатом параграфа является следующая теорема.

Теорема 2.3.1. В бесконечномерном пространстве L\(S, E,/i) с а— конечной мерой существует центрально-симметричное анти-проксиминальное множество M G ТСС(Х) такое, что Х\М ограниченно.

Следует заметить, что теорема 2.3.1 указывает на принципиальное отличие аппроксимативных свойств выпуклых ограниченных множеств от множеств с выпуклым ограниченным дополнением. Так, С.Кобзаш [59] доказал, что в Li(5, Е,//), где ц. имеет атом, нет выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных мно-

5 к = {х = (x,fi) еХ + $: Ж G X, ц > ||ж||}, К* = {f = (/,/х) G (X + Э*)* : (f,x) > 0 Vx G К). Ai - класс замкнутых непустых выпуклых ограниченных множеств N С К* таких, что О GTV, N = w* - clco (N П дК*) - К* П (N + ), С = {х G У : ж G Х\М, О < ц < d(x, M)}.

жеств.

В § 2.3 рассматриваются дифференциальные свойства функции расстояния до множества с выпуклым дополнением. В теоремах 2.4.1 и 2.4.3 получены характеризации точек из Х\М, в которых функций расстояния дифференцируема по Гато и Фреше. Основным результатом параграфа является следующая теорема, которая является аналогом теоремы Конягина - Jlay для каверн.

Теорема 2.4.4. Пусть X - банахово пространство. Следующие условия эквивалентны:

1) X £ (Rf)[ соответственно X £ (Rf) П (R)]',

2) VM £ ^СС(Х) множество Е(М) [ соответственно, Т(М)] плотно в X;

3) VM £ ТСС(Х) множество X\wAC(M) [ соответственно, Х\(Т(М) П wAC(M)] - множество первой категории.

§ 2.5 содержит следствия из результатов § 2.4.

Л.П.Власов [7] доказал следующие утверждения:

Пусть X £ (В), X* £ (R), ме Т(Х).

Если (а) Х\М С E(M)nGM или (б) Х\М С Fm, то М выпукло.

Следующая теорема диссертации обобщает и уточняет эти утверждения.

Теорема 2.5.1. Пусть X £ (В). следующие условия эквивалентны:

а) X* £ (Л);

б) всякое множество М £ Т{Х) с Х\М С GlM выпукло;

в) всякое множество М £ Т(Х) с Х\М С Fm выпукло.

Вторым основным результатом параграфа является следующая

теорема.

Теорема 2.5.2. Пусть X £ (В) П (Ban), dim X = оо. Следую-

щие условия эквивалентны:

а) в X есть ограниченное замкнутое гладкое выпуклое тело;

б) существует множество М £ ТСС(Х) такое, что Х\М с Gmi а Х\М - ограниченное выпуклое тело и Qq = {х £ X : хМ = sup{zM : z £ X}} одноточечно.

Эта теорема, вместе с теоремой 2.5.1, показывает существенное различие понятий дифференцируемости по Гато и Фреше функции расстояния до множества. Кроме того, это - первые примеры невыпуклого множества с функцией расстояния дифференцируемой по Фреше.

Третья глава состоит из 5 параграфов, в ней решается задача

(ш).

В § 3.1 приводятся известные результаты других авторов, а также некоторые следствия из известных результатов связанных с условием Радона - Никодима.

Основные результаты параграфа:

Теорема 3.1.1. Пусть X £ (i?)\(.RjV). В X существует ограниченное замкнутое центрально-симметричное множество без наиболее удаленных точек, - выпуклое тело, если дополнительно X £ (CLD).

Теорема 3.1.2. Пусть X £ ((В) П (CLUR))\(RN) . В X существует замкнутое антипроксиминальное множество, дополнение которого - выпуклое ограниченное центрально-симметричное тело.

Основные результаты третьей главы содержатся в § 3.2 и состоят в следующем.

Следствие 3.2.1. В бесконечномерном пространстве C(Q), где Q - произвольное топологическое пространство, существует ограниченное замкнутое выпуклое антипроксиминальное тело.

Следствие 3.2.2. В бесконечномерных пространствах Ь^в, /1) и В(Т) существуют ограниченные замкнутые выпуклые анти-проксиминальные тела.

В § 3.3 строятся выпуклые замкнутые ограниченные антипрокси-минальные множества в пространствах, которые являются подпространствами С((5) или Со(Т).

Определение. Носителем множества А С назы-

вается множество и5'(/1), где объединение берется по всем мерам /1 Е А. Через II(А) будем обозначать объединение атомов мер из А [ атомами в случае бикомпакта считаются отдельные точки ].

Здесь получены следующие результаты.

Теорема 3.3.1. Пусть Ц - бесконечный бикомпакт, У С С((5) - бесконечномерное замкнутое подпространство. Тогда если выполняется одно из условий:

а)существует бесконечное замкнутое множество В С (^^(У"1) ;

б) существует бесконечное замкнутое множество В С (¿\£(У±) :

в) для - множества предельных точек бикомпакта -справедливо (¿'^(У1-) ф 0 /

г) аннулятор У1 состоит только из безатомных мер;

д) <3 ~ несчетный метризуемый бикомпакт и аннулятор У1-сепарабелен,

то в У существует множество М, которое является выпуклым замкнутым ограниченным антипроксиминальным телом относительно У.

Следствие 3.3.1. Пусть Ц - несчетный метризуемый бикомпакт, У С С (О) - бесконечномерное замкнутое подпространство, сосИт У < оо. Тогда в У существует множество М, которое является выпуклым замкнутым ограниченным антипроксиминальным телом относительно У.

Теорема 3.3.2. Пусть Q\ - бесконечное хаусдорфово локально бикомпактное пространство, У = Co(Qi). В пространстве Y существует ограниченное замкнутое выпуклое тело, которое является антипроксиминальным множеством для Y.

Теорема 3.3.3. Пусть Q - метризуемый бикомпакт, F С Q замкнуто, card Q\F > ^о?^ Cl = Cq(Q\F) - замкнутое подпространство, чей аннулятор L в Cq(Q\F)* сепарабелен. Тогда в Y существует множество М: которое является выпуклым замкнутым ограниченным антипроксиминальным телом относительно Y.

Из универсальности пространств C(Q) следует, что в теореме 3.3.1 условия а) - д) нельзя просто отбросить.

В § 3.4 приведены примеры радиально ограниченных выпуклых замкнутых антипроксиминальных множеств в пространстве L\(S, Е, ¡jl) с безатомной мерой.

В § 3.5 дан пример выпуклого замкнутого ограниченного анти-проксиминального множества в строго выпуклом пространстве с нормой дифференцируемой по Фреше. Там же приведена эквивалентная перенормировка пространства со, при которой норма дифференцируема по Фреше и производная имеет явное аналитическое представление.

Основные результаты диссертации опубликованы в 20 работах автора, приведенных в конце списка литературы. Они докладывались на на совместном семинаре отдела теории приближений функций и отдела аппроксимации и приложений ИММ УрО РАН под руководством проф. Ю.Н.Субботина и Н.И.Черных, на Международных школах-семинарах по теории приближения функций под руководством С.Б.Стечкина 1993-1995 годах на школах памяти С.Б.Стечкина 1996-1998 годах, на Воронежской зимней школе "Современные ме-

тоды теории функций и смежные проблемы" 1997 года, на конференции "Математическое программирование и приложения" в Екатеринбурге в 1997 году, на Казанской школе-коференции, посвященной 100-летю со дня рождения Б.М.Гагаева "Алгебра и анализ" 1997 года, на 9-й Саратовской зимней школе " Современные проблемы теории функций и их приложения" 1998 года, на Всеросийской научной конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач" , посвященной памяти В.К.Иванова в Екатеринбурге в 1998 году.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Балаганский, Владимир Сергеевич, 1998 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[ЕС] Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Чебышёвские множества в банаховых пространствах// Рукопись 1958-1961 гг.

[ЕС1] Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Некоторые свойства чебышёвских множеств// Докл. РАН. 1958. Т. 118. № 1. С. 17-19.

[ЕС2] Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Чебышёвские множества в банаховых пространствах//Докл. РАН. 1958. Т. 121. № 4. С. 582-585.

[ЕСЗ] Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Опорные свойства множеств в банаховых пространствах и чебышёвские множества//Докл. РАН. 1959. Т. 127. № 2. С. 254-257.

[ЕС4] Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Аппроксимативная компактность и чебышёвские множества//Докл. РАН. 1961. Т. 140. № 3. С. 522-524.

[С] Стечкин С.Б. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Rev. Math. Pur. Appl. 1963. V.8. № 1. P. 5-18.

[1] Бердышев В.И. К вопросу о чебышевских множествах// Докл. АН АзССР, 1966, Т. 226, по 9, С. 3-5.

[В] Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // УМН. 1973. Т. 28. № 6. С.3-66.

[2] Балаганский B.C. Аппроксимативные свойства множеств в гильбертовом пространстве // Матем. заметки. 1982. Т. 31. К2 5. С.785-800.

[3] Балаганский B.C. Слабая непрерывность метрической проекции в банаховых пространствах// Матем. заметки. 1978. Т. 24. № 5. С. 649-660.

[4] Балаганский B.C. Слабая непрерывность метрической проекции на конечномерные подпространства в Lp(ß) // Матем. заметки. 1980. Т. 28. № 6. С. 821-832.

[5] Балаганский B.C. Слабая непрерывность метрической проекции. Дисс... канд. физ.-мат. наук. Свердловск. 1982.

[6 [7 [8 [9 10 11

12

13

14

15

16

17

18 19

Бари Н.К. Тригонометрические ряды. — М.: "Физматгиз",

1961.

Власов Л.П. Несколько теорем о чебышёвских множествах // Матем. заметки. 1972. Т.П. № 2. С. 135-144.

Власов Л.П. О почти выпуклых множествах// Матем. заметки. 1975. Т.18. № 3. С. 343-356.

Власов Л.П. Свойства обобщенных элементов наилучшего приближения// Матем. заметки. 1978. Т.24. № 4. С. 513-522.

Власов Л.П. О чебышёвских и аппроксимативно выпуклых множествах // Матем. заметки. 1967. Т.2. № 2. С. 191-200.

Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в банаховых пространствах // Матем. заметки. 1970. Т.7. № 5. С. 593604.

Власов Л.П. О непрерывности метрической проекции// Матем. заметки. 1981. Т.ЗО. № 6. С. 813-818.

Гаркави А.Л. О наилучшей сети и наилучшем сечении множества в нормированном пространстве// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1962. Т. 26. вып. 2. С. 87-106.

Гаркави А.Л. Чебышевский центр и выпуклая оболочка множества // УМН. 1964. Т. 19. вып. 6. С. 139-145.

Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — М.: ИЛ.

1962. Т.1.

Дистель Д. Геометрия банаховых пространств. Избранные главы— Киев: "Вища школа", 1980.

Дудов С.И. Дифференцируемость по направлениям функции расстояния // Мат. сб. 1995. Т. 186. № . 3. С. 29-52.

Дудов С.И. Субдифференцируемость и функции расстояния //Математические заметки. 1975. Т. 61, вып. 4. С. 530-542.

Дэй М.М. Нормированные линейные пространства. — М.: ИЛ. 1961.

[20] Кобзаш С. Выпуклые антипроксиминальные множества в пространствах со и с //Математические заметки. 1975. Т. 17, вып. 3. С. 449-457.

[21] Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — Москва: "Наука", 1978.

[22] Конягин C.B. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах. Дисс... канд. физ.-мат. наук. Москва. 1982.

[23] Конягин C.B. Аппроксимативные свойства произвольных множеств в банаховых пространствах// Докл. АН СССР. 1978. Т. 239. № 2. С. 261-264.

[24] Конягин C.B. Об аппроксимативных свойствах замкнутых множеств в банаховых пространствах и характеризации сильно выпуклых пространств// Докл. АН СССР. 1980. Т. 251. № 2. С. 276-280.

[25] Конягин C.B. О множестве точек разрыва метрической проекции на чебышёвские множества в гильбертовом пространстве// Тезисы докладов Междунар. конф. по теории приближения функций. Калуга. 26-29 июня 1996 г. Т. 1. С.120-121.

[26] Конягин C.B. О множествах точек непустоты и непрерывности метрической проекции // Матем. заметки. 1983. Т.ЗЗ. № 5. С. 641-655.

[27] Конягин C.B. О множествах существования элементов наилучшего приближения// Труды 2-й Саратов, зимней школы. 24.01-05.02. 1984 г. Изд-во Саратов, ун-та. 1986 г. часть 2. С.136-139.

[28] Конягин C.B. Связность множеств в задачах наилучшего приближения// Докл. АН СССР. 1981. Т. 261. № 1. С. 20-23.

[29] Конягин C.B., Царьков И.Г. Пространства Ефимова-Стечкина. // Вестн. МГУ. Сер.1: Математика. Механика. 1986. № 5. С. 20-27.

[30] Кудрявцев Л.Д. Об эквивалентных нормах весовых пространств// Тр. МИАН. Т. 170. С.161-190.

[31] Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир. 1966. 594 С.

[32] Куратовский К. Топология. Т. 2. М.: Мир. 1969. 624 С.

[33] Мильман В.Д. Геометрическая теория пространства Банаха. Теория базисных и минимальных систем// УМН. 1970. Т. 25. вып. 3. С. 113-174.

[34] Мартыненко Г.В. О структуре чебышёвских компактов в гильбертовом пространстве// Тюмен. ун-т. - Тюмень. 1986. 12 С. Деп. 08.09.86. № 6534-В.

[35] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной — М.: "Наука", 1974.

[36] Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

[37] Рудин У. Основы математического анализа — Москва: "Мир",1976.

[38] Танана В.П. Методы решения операторных уравнений — Москва: "Наука",1981.

[39] Царьков И.Г. Ограниченные чебышёвские множества в конечномерных банаховых пространствах// Матем. заметки. 1984. Т.36. № 1. С. 73-87.

[40] Царьков И.Г. О связности некоторых классов множеств в банаховых пространствах // Матем. заметки. 1986. Т.40. № 2. С. 174-196.

[41] Царьков И.Г. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах. Дисс... канд. физ.-мат. наук. М. 1986. 84 С.

[42] Царьков И.Г. Локальная "однородность" множеств единственности // Матем. заметки. 1989. Т.45. № 5. С. 121-123.

[43] Царьков И.Г. Непрерывность метрической проекции, структурные и аппроксимативные свойства множеств// Матем. заметки. 1990. Т.47. № 2. С. 137-148.

[44] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.2. - М.: "Физматгиз", 1959.

Фонф В.П. Об антипроксиминальных множествах в пространствах непрерывных функций на бикомпактах// Математические заметки. 1983. Т. 33, вып. 3. С. 549-558.

Фонф В.П. О сильно антипроксиминальных множествах в банаховых пространствах //Математические заметки. 1990. Т. 47, вып. 2. С. 130-136.

ХалмошП. Теория меры, - М.: "ИЛ", 1953.

Эк ланд И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы — Москва: "Мир", 1979.

Шефер X. Топологические векторные пространства. — Москва: "Мир", 1971.

Asplund Е. Cebysev sets in Hilbert space // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 144. P. 235-240.

Amir D., Mach J. Chebyshev centers in normed spaces//J. Approx. Theor. 1984. V.40. P.364-374.

Bartke K., Berens H. Eine Beschreibung der Nichteindeutig-keitsmenge fti r die beste Approximation in der Euklidischen Ebene// J. Approx. Theory. 1986. V. 47. no 1. P. 54-74.

Bishop E., Phelps R.R. The support functionals of a convex set// Proc. Symp. Pure Math.: Providence. 1963. V. 7: Convexity. P. 27-35.

Blatter J. Grothendieck spaces in approximation theory // Memoirs Amer. Math. Soc.: Providence. Rhode Island. 1972. № 120.

Borwein J.M. Some remarks on a paper of S. Cobzas on antipro-ximinal sets// Bull. Calcutta Math. Soc. 1981. V. 73. P. 5-8.

Borwein J.M., Fitzpatrick S.P., Giles J.R. The differentiability of real functions on normed linear space using generalized subgradients// Math. Anal. Appl. 1987. V. 128. №. 2. P. 512534.

[57] Br 0 ndsted A. Convex sets and Chebyshev sets. I// Math. Scand., 1965, V. 17, no 1, P. 5-16.

[58] Browder F. Fixed point theorem for nonlinear semicontractive mapping in Banach spaces// Arch. Rat. Mech. and Analysis. 1966. V. 21. P. 259-269.

[59] Cobza§ S. Antiproximinal sets in some Banach spaces// Math. Balkanica. 1974. V. 4. P. 79-82.

[60] Cobza§ S. Antiproximinal sets in Banach spaces of continuous function// Revue d'Analyse Numerique et de la Theorie de l'Approximation// 1976. V. 5. no 2. P. 127-143

[61] Cobza§ S. Antiproximinal sets in Banach spaces of cq— type// Revue d'Analyse Numerique et de la Theorie de l'Approximation// 1978. V. 7. no 2. P. 141-145.

[62] Cobza§ S. Antiproximinal sets in the Banach space c(X) // Comment, math. Univ. Carol. 1997. V. 38. №2. P. 247-253.

[63] Diestel J., Uhl J.J. Vector measures. Math. Surveys, no. 15.

[64] Edelstein M.A. A note on nearest points // Quart. J. Math. 1970. V. 21, no 84. P. 403-406.

[65] Edelstein M.A., Thompson A.C. Some results on nearest points and support properties of convex sets in cq // Pacific J. Math. 1972. V. 40, no 3, P. 553-560.

[66] Edelstein M.A. Antiproximal Sets //J. Approx. Theor. 1987. V. 49, no 3. P. 252-255.

[67] Edelstein M. Weakly Proximinal Sets, Journal of Approx. Theory 18, 1(1976), 1-8.

[68] Fitzpatrick S. Metric projections and the diiferentiability of distance functions//Bull. Austral.Math. Soc. 1980. V.22. № 2. P. 291-312.

[69] Fitzpatrick S. Differentiation of real-valued functions and continuity of metric projections // Proc. Amer. Math. Soc. 1984. V.91. № 4. P. 544-548.

[70] Franchetti C., Papini P.L. Approximation properties of sets with bounded complements // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1981. V. A89. № 1-2. P.75-86.

[71] Franchetti C., Semenov E.M. A Hilbert space characterization among function spaces// Analysis Mathematica. 1996. V. 21. № 2. P.85-93.

[72] Holmes R.B. Geometric Functional Analysis and its Applications. Springer-Verlag. N.-Y. Heidelberg. Berlin. 1975.

[73] Huff R.E., Morris P.D. Geometric characterization of the Radon -Nikodym property in Banach spaces //Studia Math., 1976, V.56, № . 2. P. 157-164.

[74] Jiang M. On Johnson's example of a nonconvex Chebyshev set// J. Approx. Theory. 1993. V. 74. №. 2. P. 152-158.

[75] Johnson G.G. A nonconvex set which has unique nearest point property //J. Approx. Theory. 1987. V.51. № 4. P. 289-332.

[76] Klee V. Dispersed Chebyshev sets and coverings by balls // Math. Annalen. 1981. V.257. № 2. P. 251-260.

[77] Lau K.-S. Almost Chebyshev subsets in reflexive Banach spaces // Indiana Univ. Math. J. 1978. V. 27. № 5. P. 791-795.

[78] Nissenzweig A. w* -sequential convergence// Israel J. Math. 1975. V. 22. №3-4. P. 266-272.

[79] Namioka I., Phelps R.R. Banach spaces which are Asplund spaces // Duke Math. J. 1975. V.42. № 4. P. 735-750.

[80] Narang T.D. A study of farthest points// Nieuw Arch. Wiskunde (3). 1977. V. XXV. P. 54-79

[81] Narang T.D. Convexity of Chebyshev sets// Nieuw Arch. Wiskunde (3). 1977. V. XXV. P. 377-402

[82] Narang T.D. Uniquely remotal sets are singletons// Nieuw Arch. Wiskunde (4). 1991. V. 1. P. 1-12.

[83] Panda B.B., Kapoor O.P. Approximative compactness and continuity of metric projections// Bull. Austral. Math. Soc.. 1974. V. 11. № 1. P. 47-55.

[84] Phelps R.R. Support cones and their generalizations // Proc. Symp. Pure Math.: Providence. 1963. V. 7: Convexity. P. 393401.

[85] Phelps R.R. Counterexamples concerning support theorems for convex sets in Hilbert space // Canad. Math. Bull. 1988. V. 31. № 1. P. 121-128.

[86] Phelps R.R. Openness of metric projection in certain Banach spaces// J. Approx. Theory. 1984. V. 42. № . 1. P. 70-79.

[87] Semadeni Z. Banach spaces of continuous functions. T. 1. Warszawa: Polish Sci. Publ. 1971.

[88] Schaefer H.H. Banach Lattices and Positive Operator. Dis. Grundlehren Wissenschaften in Einzeldarstellunden, 215. Springer-Verlag. N.-Y. Berlin. 1974.

[89] Singer I. Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces. Grundlehren math. Wiss. B. 171. Berlin: Springer-Verlag. 1970.

[90] Singer I. Geometric properties of the norm and basic sequences in Banach spaces// Bull. Austral. Math. Soc. 1975. V. 13. № 3. P. 325-335.

[91] Vesely L. A connectedness property of maximal monotone operators and its application to approximation theory. Proc. Amer. Math. Soc. 1992. V. 115. № 3. P. 663-667.

[92] Westphal U., Frerking J. On a property of metric projections onto closed subsets of Hilbert spaces// Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V. 105. № 3. P. 644-651.

[93] Zajicek L. On the points of multivaluedness of metric projections in separable Banach spaces// Comment. Math. Univ. Carol. 1978. V. 19. no. 3. P. 513-523.

[94] Zajicek L. On differentiation of metric projections in finite dimensional Banach spaces// Czech. Math. J., 1983. V. 33(108). no. 3. P. 325-336.

[95] Zajicek L. Diferentiability of the distance function and points of multi-valuedness of the metric projection in Banach space// Czech. Math.J. 1983. V. 33(108). P. 292-308.

[96] Балаганский B.C. О чебышёвских множествах с выпуклым дополнением / / Приближение функций полиномами и сплайнами. Свердловск: 1985. С.54-57.

[97] Балаганский B.C. О связи аппроксимативных и геометрических свойств множеств // Аппроксимация в конкретных и абстрактных банаховых пространствах: Сб. науч. тр. // ИММ УНЦ АН СССР - Свердловск. 1987. С.46-53.

[98] Балаганский B.C. Дифференцируемость по Фреше функции расстояния и структура множества // Матем. заметки. 1988. Т. 44. № 6. С.725-734.

[БВ] Балаганский B.C., Власов Л.П. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в банаховых пространствах // Препринт. Свердловск: Уральское отделение АН СССР. 1990. 89 с.

[99] Балаганский B.C. О слабой открытости метрической проекции // Матем. заметки. 1991. Т. 49. № 3. С. 135-144.

[100] Балаганский B.C. Достаточные условия дифференцируемости метрической функции//Труды Института математики и механики. 1992. Т. 1. Екатеринбург: УрО РАН. С. 84-89.

[101] Балаганский B.C. Слабая непрерывность метрической проекции на слабо компактные множества //Труды Института математики и механики. 1992. Т. 2. Екатеринбург: УрО РАН. С. 42-56.

[102] Балаганский B.C. Об аппроксимативных свойствах множеств с выпуклым дополнением // Матем. заметки. 1995. Т. 57. № 1. С. 20-29.

[БВ2] Балаганский B.C., Власов Л.П. Проблема выпуклости чебы-шевских множеств Успехи мат. наук, 1996, Т.51, вып. 6(312), стр. 125 - 188.

[103] Балаганский B.C. Антипроксиминальнальные множества в пространствах непрерывных функций // Математические заметки. 1996. Т.60, вып.5. С.643-657.

[104] Balaganskii V.S. An antiproximinal set in a strictly convex space with Frechet differentiable norm // East J. Appr. 1996. V.2. № 2. P. 131-138.

[105] Balaganskii V.S. On the connectedness of the set of points of discontinuity of the metric projection// East J. Appr. 1996. V.2. № 3. P. 263-279.

[106] Balaganskii V.S. Some Remarks on Relative Chebyshev Centers// J. Approx.Theor, 1997, V.89, № 3, P. 372-379.

[107] Балаганский B.C. О ближайших и наиболее удаленных точках // Математические заметки. 1998. Т.63, вып.2. С.289-291.

[108] Балаганский B.C. О гладких антипроксиминальных множествах // Математические заметки. 1998. Т.63, вып.З. С.472-474.

[109] Балаганский B.C. Аппроксимативные свойства множеств с выпуклым дополнением //Труды Института математики и механики. 1998. Т. 5. Екатеринбург: УрО РАН. С. 174-195.

[110] Балаганский B.C. О дифференцируемости функции расстояния до множества с выпуклым дополнением// Тезисы докладов школы-конференции "Алгебра и анализ", 1997 г., Казань, с. 28 - 29.

[111] Балаганский B.C. Антипроксиминальные множества в банаховых пространствах// Тезисы докладов Воронежской зим. мат. школы " Современные методы теории функций и смежные проблемы", Воронеж, 1997, С. 177.

[112] Балаганский B.C. О выпуклых ограниченных антипроксиминальных множествах с дифференцируемой функцией расстояния// Тезисы докладов Саратовской зим. мат. школы "Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов, 1998, С. 18.

[113] Балаганский B.C. Выпуклые замкнутые антипроксиминальные множества в пространствах Ca(Q) // Тезисы докладов Всеросийской научной конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач", Екатеринбург , 1998 г., с. 43