Нелинейные непрерывные функционалы на топологических пространствах функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Лазарев, Вадим Ремирович

• Лазарев, Вадим Ремирович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лазарев, Вадим Ремирович

содержание

Некоторые обозначения и терминология

Введение

Глава I Пространства нелинейных непрерывных функционалов

§1. Многочлены. Пространства многочленов. 17 §2. Функционалы с конечным носителем. Пространства

L (X) и L°p(X)

§3. Всюду плотность пространств нелинейных

функционалов в С®Ср(Х)

§4. Алгебраическое строение пространств нелинейных

функционалов

Глава II Свойства типа дополняемости LP(X) в пространствах

нелинейных функционалов

§5. Недополняемость LP(X) в СРСР(Х) 36 §6. Проектор первого класса Бэра из L (X) на LP(X) для

счётного X 40 §7. о-ретракция всюду плотного в Ci]C(X) подпространства

на LP(X) для о-компактного X

Глава III Отношения эквивалентности на классе тихоновских

пространств и их некоторые топологические инварианты

§8. Р-эквивалентность 51 §9. Р -эквивалентные пространства и размерность dim,

компактность и число Линделёфа 54 §10. Топологические свойства пространств X и их колец RP(X)

Литература

64

некоторые обозначения и терминология

Здесь мы зафиксируем некоторые обозначения, термины и сокращения, используемые в работе, которые не будут определены в основном тексте.

Прежде всего, символом К обозначается поле вещественных чисел с евклидовой топологией. Поскольку все алгебраические объекты рассматриваются нами только над полем М, то элементы М будут называться просто числами. Через N обозначается множество натуральных чисел. Топологическими пространствами, или просто пространствами, мы называем тихоновские топологические пространства, то есть пространства, в которых любое замкнутое множество отделяется от любой не содержащейся в этом множестве точки некоторой непрерывной числовой функцией, и в которых одноточечные подмножества замкнуты.

Символ СР(Х) обозначает пространство всех непрерывных функций с числовыми значениями, определённых на некотором тихоновском пространстве X. Такие пространства СР(Х) всегда считаются наделёнными топологией поточечной сходимости на X. Относительно терминологии и обозначений, касающихся пространств СР(Х), можно обращаться к монографиям [3, 17]. В частности, элемент стандартной базы топологии пространства СР(Х) обозначается Ц?(х],...,хп,1],...,1п), что означает множество всех тех непрерывных функций ср:Х —>М, у которых значение ф(х) принадлежит числовому интервалу I, при каждом г от 1 до п. Аналогично, окрестность точки ф е СР(Х) обозначается 1У(ф, К,е), где К={х^...,хп}с:Х , что означает множество всех непрерывных функций \\i\X —таких, что значение Ц>(х.) принадлежит числовому интервалу (ф(х)-£,ф(х)+8)при каждом г от 1 до п.

Часто вместо записи уе W(ф,Л^£) мы пишем |ф-\|/|(£)<е. Такая же

запись используется, когда одна из функций ф, \|/ есть тождественный ноль, а также, когда множество К бесконечно. Знак модуля используется нами также для обозначения расстояния между точками в конечномерном евклидовом пространстве К" и, кроме того, для обозначения мощности множества. Каждый раз из контекста однозначно явствует, в каком смысле употреблён знак модуля.

Символами 0х, Iх обозначаются функции наХ, тождественно равные 0 и 1 соответственно. Каждому конечному подмножеству КаХ сопоставим некоторое фиксированное дизъюнктное семейство у (К)

открытых окрестностей точек из К. Для х е К обозначим через е(х,К) произвольную непрерывную функцию на X со значениями в числовом сегменте [0, 1], такую, что е(х,К)(х)=1, е(х,К)(х)=0, при х'ё. 0(х)е у(К).

Функционалом мы называем любое отображение, заданное на пространстве вида СР(Х) с числовыми значениями. В работе рассматриваются только непрерывные функционалы, то есть элементы

пространства С (СДХ))= СРСР(Х). Множество непрерывных

функционалов, принимающих, к тому же, нулевое значение в точке

пространства СР(Х), обозначается через С°рСр(Х).

Линейную оболочку подмножества А в векторном пространстве Е мы обозначаем через ^(Л). Пространство всех линейных непрерывных функционалов на топологическом векторном пространстве Е (сопряжённое пространство) обозначается символом Е*.

Определения терминов общей топологии, в частности, кардинальнозначных инвариантов, можно найти в монографии Р. Энгелькинга [14].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные непрерывные функционалы на топологических пространствах функций»

введение

Основным объектом внимания в предлагаемой диссертации выступают нелинейные непрерывные функционалы (то есть вещественнозначные отображения), заданные на пространстве СР{Х) всех непрерывных вещественнозначных функций, определённых на некотором тихоновском пространстве X. Такие пространства СР(Х) всегда считаются наделёнными топологией поточечной сходимости на X. Теория пространств СР(Х) основательно изложена в монографиях [3], [17], а также [20], в которой можно ознакомиться с нерешёнными проблемами теории этих пространств. Мы пользуемся основной терминологией и фактами о пространствах СР(Х), данными в этих книгах. В пространстве СР(Х) определены естественные поточечные операции сложения функций, умножения функции на число, умножения функций. Эти операции согласуются с топологией пространства СР(Х), так что СР(Х) обладает структурами топологического кольца и топологического векторного (локально выпуклого) пространства (ТВП). Кроме этого, можно изучать пространства СР(Х) просто как топологические (тихоновские) пространства, а также как пространства, наделённые равномерностью, порождённой структурой ТВП.

Знаменитая теорема Нагаты [21] гласит, что если топологические кольца СР{Х) и СР(У) топологически изоморфны, то тихоновские пространства X и У гомеоморфны. То есть они имеют полностью совпадающие наборы топологических свойств. Однако если ослабить требование до линейной гомеоморфности ТВП СР(Х) и СДУ), то, как известно [3], некоторые важнейшие топологические свойствами У могут различаться. Таковы, например, первая и вторая аксиомы счётности или свойство Фреше - Урысона. Ясно, что по мере ослабления условий на гомеоморфизм между СР(Х) и СДУ) сужается и круг топологических

свойств, гарантированно совпадающих у пространств X и У. Но и при произвольном гомеоморфизме СР{Х) и СР(У) многие свойствами Убудут общими. Таковы, например, мощность, сетевой вес, плотность, а-компактность и другие [3]. Из более новых результатов здесь нужно отметить теоремы о совпадении спрэда, наследственной плотности, наследственного числа Линделёфа пространств X и У [18], а также о совпадении тесноты компактов X и У при произвольном гомеоморфизме СР(Х) и СР(У) [19], полученные О.Г. Окуневым.

Свойство а-компактности сохраняется при любых гомеоморфизмах пространств функций, чего нельзя сказать о компактности, как доказали С.П. Гулько и Т.Е. Хмылёва [6]. Однако В.В. Успенский [12] установил, что компактность сохраняется при равномерном гомеоморфизме пространств функций.

Таким образом, относительно некоторых топологических свойств весьма актуальным оказывается следующий вопрос: при каких типах гомеоморфизмов пространств СР(Х) и СР(У) эти свойства будут общими для Х и для У? Двойственным образом, если между СР(Х) и СР(У) есть гомеоморфизм с тем или иным дополнительным условием (линейный, равномерный и т. п.), то какие свойства пространств X и У будут для них общими?

Кроме того, для пространства СР(Х), как для ТВП, естественным образом определено сопряжённое к нему пространство ЬР(Х) всех линейных непрерывных вещественных функционалов на СР(Х). Нетрудно установить [3], что оно является замкнутым векторным подпространством в пространстве СРСР(Х) всевозможных непрерывных функционалов. Однако никем не ставился и не изучался вопрос, является ли Ьр(Х) дополняемым в СрСр(Х), либо в каких-то подпространствах в СрСр{Х).

Пространство ЬР{Х) хорошо изучено (см. [3]) и является испытанным инструментом исследований. А именно, наличие

непрерывного линейного отображения из СР(Х) в СР(У) влечёт наличие сопряжённого (линейного) отображения из ЬР{У) в ЬР(Х), которые содержат, соответственно, У и X (как замкнутые подпространства). Линейный гомеоморфизм СР(Х) и СР(У) равносилен линейному гомеоморфизму ЬР(У) и ЬР(Х). В этом случае говорят, что пространства X и У /-эквивалентны. Ключевое обстоятельство состоит в том, что с каждым линейным непрерывным функционалом из ЬР(Х) однозначно связано конечное подмножество в X - носитель этого функционала. Если каждой точке из У поставить в соответствие носитель её образа при сопряжённом отображении, получится конечнозначное отображение У в X. Это позволяет обнаруживать связи между топологическими свойствами X и У. В начале 80-х годов XX века в нескольких статьях ([2], [9], [7], [10]) было доказано, при различных дополнительных предположениях на пространства X и У, что из их /-эквивалентности следует равенство размерностей сИтХ = сНтУ. В 1982-м году В.Г. Пестов, применив отображение носителей линейных функционалов, доказал то же утверждение для произвольных тихоновских пространств X и У [11]. В статье [10] отмечается, что такая техника применялась ещё в работе М.И. Граева [4], посвящённой свободным топологическим группам. Позднее, в 1998-м году, Н.В. Величко, развив эту идею и усовершенствовав понятие носителя, показал, что наличие свойства Линделёфа у одного из /-эквивалентных пространств X и У равносильно его наличию у другого [22]. В 2001-м году А. Бузиад (А. Воишас!) обобщил эту теорему на произвольное число Линделёфа [16].

В то же время примеры применения пространств нелинейных функционалов для изучения соотношения свойств X и У, имеющих нелинейно гомеоморфные пространства СР(Х) и СДУ) пока весьма немногочисленны. Они касаются случая равномерно гомеоморфных пространств СР(Х) и СДУ). С.П. Гулько рассматривал равномерно

непрерывные функционалы и связанные с ними конечные подмножества, наделённые некоторыми чертами носителя. Ему удалось распространить теорему В. Г. Пестова о совпадении размерностей на случай равномерно гомеоморфных пространств СР(Х) и CP{Y) [5]. A.B. Арбит также использовал технологии, связанные с носителями равномерно непрерывных функционалов. В его статье [15], вышедшей в 2011-м году, доказывается, что если одно из пространств X или Y имеет число Линделёфа большее континуума, и СР(Х) равномерно гомеоморфно CP(Y), то числа Линделёфа пространств X и У одинаковы.

Кольцо многочленов, аналогичное используемому в настоящей работе RP(X), в явном виде появлялось только в статье [13].

Таким образом, по крайней мере для таких топологических свойств, как компактность, размерность dim и число Линделёфа, остаётся актуальной задача применения технологии, основанной на понятии носителя нелинейного непрерывного функционала, к описанию классов гомеоморфизмов пространств функций СР(Х) и CP(Y), сохраняющих каждое из этих свойств у пространств X и Y.

Ввиду вышеизложенного, можно так сформулировать цели данной диссертации:

• Найти и изучить возможно более широкие подпространства нелинейных непрерывных функционалов на СР(Х), элементы которых имеют конечные носители.

• Изучить вопрос о дополняемости пространства LP(X) линейных непрерывных функционалов в пространстве СРСР(Х) и в подпространствах нелинейных непрерывных функционалов.

• Применить свойство конечного носителя элементов во введённых подпространствах нелинейных непрерывных функционалов к выделению различных типов гомеоморфизмов пространств СР(Х) и СР(У) и к

исследованию сохраняемых этими гомеоморфизмами свойств пространств Хи Y.

Эти цели достигаются установлением в данной работе следующих основных результатов.

• Введены в рассмотрение несколько пространств нелинейных непрерывных функционалов на СР(Х), обладающих свойством конечного носителя элементов.

• Доказано, что соответствующее отображение носителя является полунепрерывным снизу, а в одном случае - полунепрерывным сверху.

• Доказано, что введённые пространства нелинейных непрерывных функционалов всюду плотны в С°рС (X).

• Установлена недополняемость пространства LP(X) в пространстве СРСР(Х) для бесконечного X .

• Указан новый способ образования классов гомеоморфизмов пространств непрерывных функций.

• Выделены отличные от равномерных гомеоморфизмов классы гомеоморфизмов пространств непрерывных функций, сохраняющие размерность dim, число Линделёфа и компактность.

Первая глава (§§1 - 4) отведена для систематического изложения полученных автором результатов о пространствах нелинейных непрерывных функционалов. В § 1 вводятся понятия одночлена и многочлена на СР(Х), определяется пространство одночленов DP(X), пространство многочленов Rp(X) и два его подпространства: пространство

элементы которого мы называем простыми многочленами, и пространство МР{Х), элементы которого мы называем полными многочленами. Основная идея здесь проста: каждый элемент тихоновского пространства X каноническим отображением вычисления отождествляется с элементом пространства СРСР(Х), то есть с непрерывным функционалом

на СР(Х) [3]. Если рассматривать только линейные комбинации таких функционалов в пространстве СРСР(Х), то мы получим известное пространство ЬР(Х). Если же использовать ещё операцию умножения в СРСР(Х), то мы будем получать одночлены и многочлены.

Как и линейный непрерывный функционал, каждый многочлен определяется конечным набором точек из X, а именно тех точек, образы которых при отображении вычисления участвовали в его (многочлена) построении. Эта определённость заключается в том, что, если две функции на X принимают близкие значения на этом конечном множестве, то и соответствующий многочлен принимает на таких функциях близкие значения. Причём это конечное множество - единственное с таким свойством. Мы называем его носителем (многочлена). Таким образом, каждый элемент пространств ЬР{Х), Ор(Х), 5ДХ), МР(Х) и Ир(Х) имеет конечный носитель. В этом смысле можно говорить, что перечисленные пространства имеют свойство конечного носителя.

В §2 свойство многочленов иметь конечный носитель берётся за определение, и таким образом вводится в рассмотрение пространство Ьр(Х) всех функционалов на СР(Х) с конечным носителем, а также его

подпространство . В §§1,2 устанавливаются основные теоретико-множественные соотношения между введёнными пространствами. В частности, Ьр{Х) содержит все остальные, а 1?р(Х) содержит ЬР(Х), 8Р(Х), и

МР(Х). Одним из главных результатов §2 является теорема о единственности носителя (теорема 2.10). Она позволяет говорить о конечнозначном отображении пространства Ьр{Х) в X, сопоставляющем

каждому функционалу с конечным носителем его носитель. Это отображение для краткости называется отображением носителя. Другой главный результат §2 состоит в том, что сужение отображения носителя на

подпространство 1?(Х) полунепрерывно снизу (теорема 2.12), а его

сужение на Ор(Х) - полунепрерывно сверху (теорема 2.15).

В §3 получен ещё один основной результат всей работы - теорема 3.2. Она утверждает, что пространство 5Р(Х) простых многочленов, а вслед за ним и более широкие МР(Х), ЯР{Х), 1?(Х) и Ь (X), всюду плотно в

С°рСр(Х).

В §4 обсуждается алгебраическая структура рассматриваемых пространств нелинейных функционалов. Это важно для дальнейшего. Например, говорить о дополняемости пространства ЬР(Х) можно только в векторном пространстве. Конечно, операции сложения, умножения и умножения на число не выводят за пределы пространства (всех) многочленов Так что, /?Р(Х) - это векторное пространство и кольцо.

Мы доказываем (предложение 4.3), что теми же свойствами обладает и Ьр{Х). Пространство I?(X) обладает только векторной структурой

(предложение 4.4), пространство одночленов Ор(Х) является полугруппой

по отношению к операции умножения в СРСР(Х) (предложение 4.1), а

пространства и МР(Х) не несут алгебраической структуры. Они

замкнуты только относительно операции умножения многочлена на число

(предложение 4.2).

Вторая глава работы (§§5 - 7) посвящена изучению вопроса о том,

дополняемо ли пространство линейных непрерывных функционалов на

СР{Х) в пространстве всех непрерывных функционалов на СР(Х) (то есть

ЬР(Х) в СРСР(Х)). Другими словами, существует ли непрерывная линейная

сюръекция СРСР(Х) на ЬР(Х), оставляющая точки ЬР(Х) неподвижными?

Этот вопрос возникает совершенно естественно, потому что ЬР(Х) - это

замкнутое линейное подпространство в СРСР(Х).

В §5 доказана весьма общая теорема 5.3, гласящая, что при

бесконечном X не существует линейной непрерывной инъекции

11

пространства СР(Х) в пространство ЬР(У) для любого У. Переходя к сопряжённым пространствам, мы показываем (следствие 5.5), что не существует линейного непрерывного проектора СР{У) на ЬР{Х). Применяя это следствие при У = Ср(Х), получаем отрицательный ответ на

поставленный вопрос. Этот результат также является одним из главных результатов всей предлагаемой работы.

В §6 конструируется линейный (но не непрерывный) проектор пространства Ьр(Х) на Ьр{Х) (предложение 6.2) для произвольного

пространства X. При этом используется тот же подход, что и для конечномерного случая (то есть для конечного X). Решающую роль при построении играет то обстоятельство, что проектор задаётся на пространстве функционалов с конечным носителем. Конструкция проектора позволяет доказать, что для любого счётного пространства X он является отображением первого класса Бэра (предложение 6.3) (на самом деле доказывается несколько более сильное утверждение).

Определённое в § 1 данной работы пространство 5ДХ) простых многочленов, как уже отмечалось, не является векторным пространством.

В §7 мы выделяем в нём ещё более узкое подпространство , так же лишённое векторной структуры и так же, как и 5Р(Х), содержащее ЬР(Х). Мы доказываем (предложение 7.5), что 8°(Х) всюду плотно в пространстве

С°рСр(Х). В §7 рассматриваемое пространство X предполагается о-

компактным. Тогда, как известно [3], пространство ЬР(Х) также о-компактно. В этом случае пространство 5®(Х) удаётся представить как

образ особого о-компактного подпространства в произведении Ср(Ш)х1р(Х) при уплотнении (предложения 7.1-7.4). Таким образом,

можно представить как объединение возрастающей

последовательности его компактных подмножеств Мп, п = 1, 2, .... Вышеназванное уплотнение довольно естественно по конструкции: паре (р, у) из произведения Ср(М)хЬ (X) оно ставит в соответствие

композицию р°у, то есть некоторый простой многочлен из 5ДХ). Это уплотнение, будучи суженным на каждое компактное подмножество своей области определения, становится гомеоморфизмом. Это позволяет установить основной результат §7 - теорему 7.6. Теорема 7.6 утверждает,

что существует отображение Ф (всюду плотного в С°рСр(Х) и о-

компактного) пространства 5°(Х) на его подпространство ЬР{Х) с такими

свойствами:

1) Ф тождественно на ЬР(Х);

2) Сужение Ф на каждое Мп - ретракция.

Наличие такого отображения Ф:5°(Х)—>Ьр(Х) можно рассматривать

как некоторую ослабленную форму дополняемости ЬР(Х) в ¿>°(Х).

В третьей главе (§§8 - 10) результаты о пространствах нелинейных непрерывных функционалов, полученные в первой главе, применяются для изучения отношения ¿-эквивалентности тихоновских пространств. Напомним, что два тихоновских пространства называются /эквивалентными, если они имеют гомеоморфные пространства непрерывных функций (относительно топологии поточечной сходимости).

В §8 мы предлагаем общий способ выделения различных частных случаев ¿-эквивалентности (так называемые отношения Р-эквивалентности). Для этого сначала нами вводится понятие (Е, Т7)-гомеоморфизма (или гомеоморфизма типа (Е, Е)) пространств функций СР(Х), СР(У). Это такой гомеоморфизм к:Ср(Х)—>С (У), двойственный к

которому отображает подпространство УсС°С (У) в подпространство

ЕаС°рСр{Х) и, симметрично, обратный к двойственному гомеоморфизм отображает подпространство X аС°рСр(Х) в подпространство Е^С°рСр{У). Мы показываем (теорема 8.2), что широко изучаемые

линейные, равномерные и общие гомеоморфизмы пространств функций являются частными случаями (Е, /^-гомеоморфизмов при надлежащем выборе подпространств Е и F. В частности, линейные гомеморфизмы

пространств функций оказываются в точности (Ьр(Х),Ьр{У))-

гомеоморфизмами, а равномерные гомеоморфизмы - {и (X),ир{У))~

гомеоморфизмами. Здесь ир(Х) - пространство всех равномерно непрерывных функционалов на СР(Х). Несмотря на простоту, теорему 8.2 можно отнести к основным результатам параграфа и всей работы.

Следует отметить, что не при всяком выборе подпространств Е, Е наличие (Е, /^-гомеоморфизма пространств функций СР(Х), СР(У) определяет какое-либо отношение эквивалентности на классе тихоновских пространств. Это связано с возможным нарушением аксиомы транзитивности: композиция двух гомеоморфизмов типа (Е, /0 может не оказаться гомеоморфизмом типа (Е, Т7).

В §9 рассматриваются два конкретных примера гомеоморфизмов типа (Е, Е), оказавшихся интересными с прикладной точки зрения. А именно, теорема 9.6 утверждает, что если X, У - пространства со счётной базой, и пространства СР(Х), СР(У) являются (мр(Х),Мр(У)) -

гомеоморфными, то размерности сИтХ и сИтУ совпадают. Основную роль в доказательстве играет отображение носителя, свойства которого

исследовались в §2. Кроме этого рассмотрена ситуация

гомеоморфизма пространств СР(Х), СДУ) для произвольных X и У. Доказана теорема 9.8, гласящая, что числа Линделёфа пространств X и У,

имеющих (/)р(Х),^(У))-гомеоморфные пространства функций,

одинаковы. Если же одно из пространств X, У компактно, то и другое компактно. Теоремы 9.6 и 9.8 также относятся к основным результатам работы. Важно также, что, как показывает теорема 8.7, гомеоморфизм типа (о не является равномерным, и нелинейный гомеоморфизм

типа (Мр(Х),Мр(У)) тоже не является равномерным, за исключением

тривиальных случаев. Это означает, что нами указаны классы гомеоморфизмов пространств непрерывных функций, выходящие за пределы класса равномерных гомеоморфизмов и сохраняющие при этом размерность пространств X, У (или число Линделёфа и компактность). В §10 главным объектом является пространство всех многочленов В первой главе было уже установлено, что КР(Х) - всюду плотное

подкольцо в кольце С°рСр(Х). В §10 мы устанавливаем ещё ряд

топологических свойств ЯР(Х) и их связей со свойствами X (предложения 10.3 -10.9). Это важно с точки зрения наших исследований, потому что, как утверждает теорема 10.2, пространства X и У, имеющие топологически изоморфные кольца КР(Х), /?Р(У), имеют и гомеоморфные пространства СР(Х), СР(У). Это основной результат §10. Фактически мы получаем ещё один частный случай ¿-эквивалентности - г-эквивалентность. Можно назвать пространства X и У г-эквивалентными, если их пространства многочленов КР(Х), /?ДУ) топологически изоморфны как топологические кольца. В заключение §10 приводятся некоторые результаты о том, совпадение каких свойств пространств X и У вытекает из гомеоморфизма ВД и ЯДУ).

Автор благодарит своего научного руководителя профессора Сергея Порфирьевича Гулько за полезные советы и постоянное стимулирующее внимание к исследованиям.

Автор также благодарен своим коллегам Татьяне Евгеньевне Хмылёвой и Леониду Владимировичу Гензе за моральную поддержку и дружественную атмосферу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лазарев, Вадим Ремирович, 2012 год

Литература

1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. -М.: Наука, 1973.

2. Архангельский A.B. Принцип т-аппроксимации и признак равенства размерности бикомпактов // ДАН СССР. 1980, Т. 252 №4 С. 777 - 780.

3. Архангельский A.B. Топологические пространства функций. - М.: Изд-во МГУ, 1989.

4. Граев М.И. Свободные топологические группы // Известия АН Сер. матем. 1948, №12 С.279 - 324.

5. Гулько С.П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Труды матем. ин-та им. В.А.Стеклова. АН СССР. 1992. Т. 193. С. 82-88.

6. Гулько С.П., Хмылёва Т.Е. компактность не сохраняется отношением ¿-эквивалентности // Мат. заметки. 1986, Т. 39 №6 С. 895 -903.

7. Замбахидзе Л.Г. О соотношениях между размерностными и кардинальнозначными функциями пространств, погружаемых в пространства специального типа// Сообщения АН Грузинской ССР. 1980, Т. 100 №3 С. 557 - 560.

8. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.

9. Павловский Д.С. О пространствах непрерывных функций // ДАН СССР. 1980, Т. 253 №1 С. 38-41.

10. Павловский Д.С. О пространствах, имеющих линейно гомеоморфные пространства непрерывных функций в топологии поточечной сходимости // УМН. 1982, Т. 37 №2 С. 185 - 186.

11. Пестов В.Г. Совпадение размерностей dim /-эквивалентных топологических пространств // ДАН СССР. 1982, Т. 266 №3 С. 553 - 556.

12. Успенский В.В. Характеризация компактности в терминах равномерной структуры в пространстве функций // УМН. 1982, Т. 37 №4 С. 183 - 184.

13. Ткачук В.В. Наименьшее подкольцо кольца СДСДХ)), содержащее Хи{ 1}, всюду плотно в СР(СР(Х)) // Вестник МГУ. Серия математика, механика. 1987, №1 С. 20 - 22.

14. Энгелькинг Р. Общая топология (Пер. с англ.). М.: Мир, 1986.

15. Arbit A.V. The Lindelôf number greater then continuum is и-invariant // Serdica Math. J. 2011, №37 P. 143 - 162.

16. Bouziad A. Le degré de Lindelôf est /-invariant // Proc. Amer. Math. Soc. 2001, V. 129 №3 P. 913 - 919.

17. Jan van Mill. The Infinite-Dimensional Topology of Functional Spaces. - ELSEVIER Amsterdam - Boston - London etc.

18. Okunev O. Homeomorphisms of function spaces and hereditary cardinal invariants // Topol. and its Appl. 1997, Vol 80. P. 177 - 188.

19. Okunev O. Tightness of compact spaces is preserved by the relation // Comment. Math. Univ. Carolinae. 2002, V. 43 №2 P. 335 - 342.

20. Tkachuk V. V. A C^-Theory Problem Book. - Springer New York Dordrecht Heidelberg London, 2011.

21. Nagata J. On lattices of functions on topological spaces and of functions on uniform spaces // Osaka Math. J. 1949, V.l №2 P. 166 - 181.

22. Velichko N. V. The Lindelôf property is /-invariant // Topol. and its Appl. 1998, V. 89. P. 277 - 283.

Работы автора по теме диссертации

23. Лазарев В. Р. Один пример всюду плотного множества многочленов в СРСР{Х) И Международная конференция по математике и механике. Избранные доклады - Томск, 2003.- С. 55 - 59.

24. Лазарев В. Р. О пространстве функционалов с конечным носителем // Бюллетень оперативной научной информации журнала "Вестник ТГУ", № 54. - Томск, 2005.- С. 80 - 87

25. Лазарев В. Р. О модификации понятия функционала с конечным носителем // Вестник Томского государственного университета. 2007. № 298. С. 119-120.

26. Лазарев В. Р. О полиномиальных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2007. № 1. С. 28 - 32.

27. Лазарев В. Р. О некоторых аналогах ¿-эквивалентности // Всероссийская конференция по математике и механике (Томск, 22 - 25 сентября 2008 г.). Тезисы докладов.-Томск: ТГУ, 2008 - С. 101.

28. Лазарев В. Р. О некоторых отношениях эквивалентности на классе тихоновских пространств // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008. № 3. С. 5 - 10.

29. Лазарев В. Р. О некоторых топологических свойствах кольца многочленов в СРСР(Х) II Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 1. С. 34 - 38.

30. Гулько С. П., Лазарев В. Р., Хмылёва Т. Е. О взаимной «ортогональности» классов пространств СР(Х) и ЬР{У) II Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 1. С.16- 19.