Когомологии банаховых и близких к ним алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Селиванов, Юрий Васильевич

• Селиванов, Юрий Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Селиванов, Юрий Васильевич

Введение

1. Гомологически тривиальные алгебры Фреше

1.1. Унитальные модули Фреше над алгебрами Фреше, их характеристики.

1.2. Проективные модули Фреше.

1.3. Алгебры Фреше глобальной размерности нуль.

1.4. Оболочка Аренса—Майкла и стягиваемые метризуе-мые алгебры Аренса—Майкла.

2. Когомологии бипроективных и биплоских банаховых алгебр

2.1. Банаховы модули и бимодули, бипроективные банаховы алгебры.

2.2. Бимодульные тензорные произведения и биплоские банаховы алгебры.

2.3. Пространства мультипликаторов.

2.4. Вычисление групп когомологий.

2.5. Когомологические характеризации бипроективности и биплоскости.

2.6. Слабая биразмерность и ее вычисление для биплоских банаховых алгебр.

3. Гомологические размерности банаховых модулей и банаховых алгебр

3.1. Одна задача геометрии банаховых пространств.

3.2. Сильно недополняемые подпространства банаховых пространств.

3.3. Гомологические размерности банаховых модулей и их существенных подмодулей.

3.4. Гомологические характеристики банаховых алгебр

3.5. Свойства бипроективных банаховых алгебр.

4. Гомологические размерности тензорных произведений формулы аддитивности)

4.1. Некоторые замечания и напоминания.

4.2. Оценки сверху и снизу гомологических размерностей тензорных произведений.

4.3. Геометрия тензорных произведений (некоторые задачи коретракции).

4.4. Формулы аддитивности (коммутативный случай)

4.5. Формулы аддитивности (некоммутативный случай)

4.6. Формула аддитивности для слабой биразмерности

5. Некоторые приложения

5.1. Дифференцирования бипроективных и биплоских банаховых алгебр.

5.2. Расщепимость и алгебраическая расщепимость сингулярных расширений.

5.3. Множество значений, принимаемых слабой биразмер-ностью в классе полупростых банаховых алгебр

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Когомологии банаховых и близких к ним алгебр»

Предмет настоящей диссертации относится к топологической гомологии — области функционального анализа, изучающей банаховы и локально выпуклые топологические алгебры и их непрерывные представления (банаховы и топологические модули) с использованием методов гомологической алгебры. В диссертации развиты методы, позволяющие изучать закономерности, которым подчиняются гомологические характеристики банаховых и близких к ним топологических алгебр, и вычислять эти характеристики для ряда конкретных "алгебр анализа". Помимо самостоятельного интереса, эти характеристики играют большую роль при изучении дифференцирований, расширений и возмущений таких алгебр и их представлений. Они тесно связаны с банахово-геометрическим строением модулей, а также со многими фундаментальными понятиями топологии и функционального анализа (см. [42]). Гомологические характеристики локально выпуклых алгебр были с успехом использованы Дж. Тэйлором [122] при решении классической задачи построения мультиоператор-ного голоморфного функционального исчисления в банаховом пространстве.

Позднее аппарат локально выпуклой гомологии активно использовался различными авторами в работах, связанных с вопросами многомерной спектральной теории линейных операторов [74, 110, 111], а также с некоторыми задачами комплексной аналитической геометрии [101,113,120]. Отметим, что в спектральной теории операторов топологическая гомология позволила не только обобщить многие классические теоремы на случай нескольких коммутирующих операторов, но и получить новые результаты в "теории одного оператора". Свой ство (/3) Бишопа, понятия разложимого и субразложимого оператора, понятие локального спектра получили естественную гомологическую интерпретацию, что позволило установить новые взаимосвязи между ними. Различные результаты такого рода и литературные ссылки содержатся в недавней монографии Эшмайера и Путинара [75].

Несколько слов об истории вопроса. Важнейшие гомологические характеристики ассоциативных алгебр — группы когомологий — были открыты в 1945 году Г. Хохшильдом [90]. В 1962 году Г. Камовиц [98], используя банахов аналог комплекса Хохшильда, определил группы когомологий Wn(A, X), п = 0, 1, .банаховой алгебры А с коэффициентами в банаховом ^4-бимодуле X и, в частности, установил биекцию между множеством классов эквивалентности сингулярных расширений А с помощью X и элементами И2(А, X). Отметим, что необходимость в изучении расширений банаховых алгебр была замечена еще в 1954 году Н. Данфордом [71] при исследовании спектральных операторов. Позже группы когомологий банаховых алгебр успешно применялись к различным вопросам, связанным с дифференцированиями, расширениями и возмущениями банаховых [81, 93, 112] и операторных [97] алгебр, аменабельными локально компактными группами [94] и т.п.

Что касается самих групп когомологий банаховых алгебр, то вначале в работах различных авторов их вычисления проводились "прямыми методами", основанными на непосредственном изучении стандартного комплекса Хохшильда. Видимо, поэтому подавляющее большинство результатов касалось специальных классов коэффициентов. В то же время в гомологии чисто алгебраических систем этап прямых методов давно был пройден, и общий гомологический аппарат, созданный А. Картаном, С. Эйленбергом, С. Маклейноми други ми авторами, позволил при вычислениях освободиться от стандартных комплексов, а вместо этого пользоваться той или иной специально подобранной резольвентой.

Общий подход к гомологии банаховых алгебр (основанный на гомологической технике резольвент и производных функторов) был предложен в 1970 году А. Я. Хелемским [33]. По существу, этот подход состоял в построении некоторого варианта относительной гомологической алгебры, специально приспособленного для изучения банаховых алгебр и банаховых модулей над ними. Центральным в новой теории стало понятие банахова производного функтора, предоставившее удобные способы вычисления групп когомологий. Как и в "обычной" алгебре, указанные методы позволили подойти к теории когомологий банаховых алгебр с более общей точки зрения и получить в этой области новые результаты. По сравнению с аппаратом одних лишь групп когомологий эти методы предоставили значительно более мощные средства для изучения банаховых алгебр и банаховых модулей над ними. Они позволили в дальнейшем получить ряд результатов о наличии в спектре функциональной (коммутативной полупростой) банаховой алгебры аналитической структуры [25, 26], дать гомологическую интерпретацию некоторым общетопологическим понятиям, таким, например, как дискретность, паракомпактность [35] и метризуемость [128, 12], получить глубокую информацию о структурных свойствах самосопряженных [44, 86, 88] и несамосопряженных операторных алгебр [3].

Вскоре после появления указанных методов стало понятно, что вопрос об оценке и вычислении гомологической размерности (у истоков этого понятия стоит теорема Д. Гильберта о сизигиях [89]) имеет самостоятельный интерес. Многие важные вопросы и результаты стали формулироваться на языке размерностей банаховых алгебр (глобальной размерности dg А и биразмерности db А), а следовательно, стали касаться не отдельных классов, а сразу всех банаховых модулей, либо бимодулей над данной банаховой алгеброй. Например, до сих пор неизвестно, существуют ли полупростые банаховы алгебры, глобальная размерность которых равна 1. Такой вопрос имеет смысл только для бесконечномерных алгебр, поскольку глобальная размерность любой конечномерной полупростой алгебры равна 0. В 1972 году А. Я. Хелемским [38] было доказано, что для любой бесконечномерной функциональной банаховой алгебры верна оценка dg А > 2; из этой теоремы, в частности, следует существование нетривиальных (нерасщепимых) сингулярных расширений бесконечномерных функциональных банаховых алгебр.

Тем самым в классе функциональных банаховых алгебр число 1 является "запрещенным" значением для глобальной размерности (а значит, и для биразмерности); это явление связано с рядом особенностей банаховых структур, и прежде всего с наличием недополняе-мых замкнутых подпространств в банаховых пространствах. С другой стороны, обе эти размерности могут принимать в том же классе алгебр любые четные значения [127].

Естественно возник вопрос (см., например, [85]): Каково вообще множество значений, принимаемых гомологическими размерностями функциональных банаховых алгебр? В данной диссертации получена новая информация, касающаяся этого вопроса. Однако в полной общности он остается открытым, ввиду того, что до сих пор не известно ни одного примера функциональной банаховой алгебры с dg А = 3 и/или db А = 3.

К настоящему времени, помимо бесконечномерных функциональ ных банаховых алгебр, оценка dgA > 2 доказана для ряда конкретных банаховых алгебр, принадлежащих к классу т. н. бипроективных (в частности, для групповых алгебр Ll{G) и C*(G) любой бесконечной компактной группы) [37], для всех бесконечномерных CCR-C^-алгебр [16], всех бесконечномерных сепарабельных GCR-C^-алгебр [1] и всех весовых сверточных алгебр Ll(co) на полупрямой [77].

Напомним, что класс бипроективных банаховых алгебр был введен в рассмотрение А. Я. Хелемским. Им же показано, что эти алгебры образуют содержательный класс: помимо указанных групповых алгебр компактных групп к ним относятся, например, все аннуля-торные С*-алгебры с конечномерными минимальными биидеалами. Первоначальным стимулом к изучению бипроективных алгебр явилось их следующее свойство [38, 95]: для такой А всегда Нп(А, X) = О при п > 3; иными словами, db А < 2 и, как следствие, dg А < 2.

Строение бипроективных банаховых алгебр, в предположении их полупростоты и наличия свойства аппроксимации (Гротендика), было в 1979 году описано автором [131]: каждая алгебра из этого класса представима в виде топологической прямой суммы т.н. тензорных алгебр, порожденных двойственностью.

Одной из основных тем настоящей диссертации является дальнейшее развитие данной тематики, позволяющее, используя указанную структурную теорему, значительно усилить некоторые результаты А. Я. Хелемского и Б. Джонсона, точно вычислив гомологические размерности бипроективных банаховых алгебр в рамках их достаточно широкого класса. В диссертации получена

Теорема I. Пусть А — бипроективная банахова алгебра, RadA — ее радикал. Предположим, что пространство A/RadA бесконечномерно и обладает свойством аппроксимации. Тогда dg А = db А = 2. Более того, Ч2{А,Х) ф 0 для X = А® А.

В частности, тривиальность двумерных когомологий полностью характеризует конечномерные алгебры в классе полупростых бипро-ективных банаховых алгебр со свойством аппроксимации. Этот факт не имеет аналога в чистой алгебре, где имеются: бесконечномерные полупростые бипроективные (в алгебраическом смысле) алгебры с тривиальными двумерными когомологиями; например, С-алгебра финитных последовательностей.

Прямым следствием теоремы I является существование у каждой бесконечномерной полупростой бипроективной банаховой алгебры, обладающей свойством аппроксимации, сингулярного расширения, не являющегося расщепимым. Тем самым для таких алгебр отрицательно решается известный вопрос (см. [57]) о возможности перенесения на тот или иной класс бесконечномерных банаховых алгебр классической теоремы Веддербёрна [123] о расщеплении конечномерной алгебры на радикальную и полупростую составляющие.

Одним из важнейших этапов доказательства теоремы I явилось исследование некоторых геометрических свойств банаховых пространств (и модулей) и их тензорных произведений, что выразилось в решении определенных задач коретракции для "диагональных отображений" и, в частности, в построении теории т.н. сильно недопол-няемых подпространств банаховых пространств.

Как уже было отмечено, интерпретация групп когомологий банаховых алгебр в терминах производных функторов предоставила новые удобные методы их вычисления. В данной диссертации вычислены группы когомологий некоторых важных классов банаховых алгебр. В частности, в классе бипроективных алгебр эти группы удалось вычислить для произвольных коэффициентов. Их описание получено в терминах двойных мультипликаторов и квазимультипликаторов данного бимодуля коэффициентов. Это потребовало интенсивного изучения пространств мультипликаторов банаховых бимодулей. Кроме того, в диссертации получены различные характеризации би-проективных банаховых алгебр в когомологических терминах.

В диссертации также рассмотрен вопрос о поведении гомологических размерностей унитальных банаховых алгебр и банаховых модулей над ними под действием операции проективного тензорного произведения. Вопросы такого рода изучались ранее многими авторами (см. [127, 4, 10, 26]). Оказалось, что во всех конкретных ситуациях, рассмотренных в этих работах, гомологические характеристики тензорных произведений банаховых алгебр или модулей равны сумме соответствующих характеристик сомножителей. Например, в работе А. Н. Кричевца [10] было доказано, что если ., Ап — банаховы алгебры, каждая из которых есть унитализация бипроектив-ной коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром, то dgAi<g>.<g>An = dgAi + . + dgA„.

Важно отметить, что подобные "формулы аддитивности" — специфическое свойство банаховых алгебр, не имеющее аналогов в чистой алгебре. (Простейший контрпример доставляет С-алгебра стабилизирующихся последовательностей; у этой алгебры и у ее тензорных степеней глобальная размерность равна единице. В теории же банаховых алгебр контрпримеры такого рода до сих пор неизвестны.)

В данной диссертации формулы аддитивности для гомологических размерностей банаховых алгебр и модулей получены в довольно общей форме в ряде важных случаев (обычно мы предполагаем, что одна из алгебр тензорного произведения произвольна, а вторая принадлежит к определенному широкому классу банаховых алгебр). Это позволило далеко обобщить все известные ранее результаты на эту тему. В частности, доказана

Теорема II. Пусть А — унитализация полупростой бипроек-тивной банаховой алгебры, обладающей свойством аппроксимации, и пусть В — произвольная униталъная банахова алгебра. Тогда dgА®В = dgA + dgB и dbA^B = dbА + db£.

Как следствие, получена новая информация, касающаяся вопроса описания значений, принимаемых гомологическими размерностями функциональных банаховых алгебр (см. ниже следствие 4.4.14).

Возвращаясь к истории топологической гомологии, отметим, что конструкция Хелемского была независимо повторена в более общем контексте локально выпуклых топологических алгебр Дж. Тэйлором [121]. Им же [122] было показано, что группы гомологий некоторых топологических алгебр играют важную роль в задачах многомерной спектральной теории линейных операторов. В тех же работах были получены оценки для биразмерностей ряда ненормируемых локально выпуклых алгебр и, в частности, было замечено, что db А = 0, если А есть топологическое произведение произвольного семейства полных матричных алгебр или А = £'(G), где £'(<?) — алгебра распределений на любой компактной группе Ли G.

Таким образом Дж. Тэйлором было установлено, что выход за рамки банаховых структур позволяет найти содержательные примеры бесконечномерных алгебр с dbA = 0, т.е. таких А, для которых все группы T-Ll(A,X) тривиальны. (Отметим [28, 117], что до сих пор не известно ни одного примера бесконечномерной банаховой алгебры с dg А = О или db А = 0.) Естественно возникла следующая проблема, включенная А. Я. Хелемским в его список задач [85].

Проблема. Пусть алгебра Аренса—Майкла А имеет dg А = О, или даже dbA = 0. Верно ли, что тогда А есть топологическое произведение некоторого семейства полных матричных алгебр?

В диссертации эта проблема решена положительно для метризуе-мых алгебр (при достаточно широких ограничениях алгебраического и топологического характера):

Теорема III. Пусть А — метризуемая алгебра Аренса—Майкла и предположим, что А полупервична и обладает свойством аппроксимации. Тогда следующие условия эквивалентны: i) А стягиваема (т. е. db А = 0); u) dg А = 0; iii) А топологически изоморфна декартову произведению конечного или счетного семейства полных матричных алгебр.

При тех же ограничениях в работе описано строение произвольных (не обязательно мультинормированных) алгебр Фреше с dg А = 0 или • db Л = 0.

Заметим, что свойство бипроективности (более общее, чем стягиваемость) также имеет смысл для ненормируемых локально выпуклых алгебр. Для любых таких алгебр остается справедливым неравенство dbA < 2 (см. [87]). Однако, как показала О. С. Огнева [22], существуют примеры полупростых бипроективных алгебр Фреше, глобальная размерность и биразмерность которых равны 1. В частности, dg£(Tn) = db£(Tn) = 1, где S(Tn) — алгебра Фреше гладких функций на n-мерном торе Тя С Сп (со сверткой в качестве умножения). Таким образом, приведенная выше теорема I не допускает распространения на более общие (ненормируемые) топологические алгебры.

Среди изучаемых в диссертации классов алгебр и бимодулей над ними выделяются еще т.н. биплоские банаховы алгебры и дуальные (сопряженные какому-либо другому) банаховы бимодули. Важно отметить, что всякая бипроективная банахова алгебра — биплоская. В то же время класс биплоских банаховых алгебр существенно шире класса бипроективных алгебр. Например, он содержит все аменабелъ-ные банаховы алгебры (в частности, все X1-алгебры аменабельных локально компактных групп [94] и все ядерные С*-алгебры [62, 82]).

Напомним, что аменабельные банаховы алгебры были введены Б. Джонсоном [94]. Он выделил эти алгебры следующим условием: У}(А,Х) = 0 для всех дуальных банаховых А-бимодулей X. Аменабельные банаховы алгебры имеют еще одно описание. Они являются биплоскими банаховыми алгебрами с о. а. е. (ограниченными аппроксимативными единицами) [45]. В то же время существуют биплоские банаховы алгебры без о. а. е.; например, таковы многие банаховы алгебры ядерных операторов.

В диссертации изучены некоторые свойства биплоских банаховых алгебр и вычислены группы когомологий этих алгебр с коэффициентами в дуальных бимодулях. Получены различные характеризации биплоских и аменабельных алгебр в когомологических терминах.

Хотя все аменабельные и все бипроективные банаховы алгебры — биплоские, долгое время оставался открытым вопрос [85], существует ли хотя бы один пример биплоской банаховой алгебры, которая не была бы получена из указанных классов с помощью каких-либо стандартных конструкций (подлинно биплоской алгебры).

В настоящей работе мы даем такой пример. Это — алгебра /С(^2 <8>^г) всех компактных операторов в банаховом пространстве Она является неаменабельной и небипроективной биплоской w.db A = банаховой алгеброй (полупростой и обладающей левой о. а. е.).

В диссертации рассмотрена новая гомологическая характеристика банаховых алгебр (связанная с дуальными бимодулями) — слабая биразмерность w.db А. Роль этой характеристики — в том, что это натуральное число (или оо) "измеряет", насколько данная банахова алгебра "гомологически хуже" аменабельных; оно равно нулю в точности тогда, когда А аменабельна. В работе изучены различные свойства этой характеристики и, в частности, получена классификация биплоских банаховых алгебр в терминах слабой биразмерности:

Теорема 1а. Пусть А — биплоская банахова алгебра. Тогда

0, если А обладает о. а. е.;

1, если А обладает левой или правой, но не обладает двусторонней о. а. е.;

2, если А не обладает ни левой, ни правой о. а. е.

Более того, в последнем случае %2(А,Х) ф 0 для X = (А* 0 Л*)*.

Напомним, что Джонсоном [94], а затем, много лет спустя, Эффро-сом и Кишимото [72] был сформулирован следующий

Вопрос. Существуют ли неаменабелъные банаховы алгебры А с T-t2(A,X) = 0 для всех дуальных банаховых А-бимодулей X (иными словами, банаховы алгебры с w.db А = 1)?

В настоящей работе показано, что, ответ на этот вопрос положителен даже для полупростых банаховых алгебр: приведенный выше пример К(12 одновременно служит примером банаховой алгебры с w.db А = 1. Кроме того, в работе доказана формула аддитивности для слабой биразмерности:

Теорема На. Пусть А и В — произвольные унитальные банаховы алгебры. Тогда w.db А®В-= w.db А + w.db В.

В качестве следствия установлено, что у слабой биразмерности нет "запрещенных" значений в классе полупростых банаховых алгебр.

Диссертация состоит из введения и 5 глав, разбитых в общей сложности на 24 параграфа, а также из списка литературы. Нумерация утверждений — тройная: номер главы, номер параграфа и номер утверждения, нумерация формул — двойная: номер главы и номер формулы. Библиография содержит 142 наименования. Перейдем к детальному изложению содержания диссертации.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Селиванов, Юрий Васильевич, 2002 год

1. Аристов О. Ю. Теорема о глобальной размерности для неуни-тальных и некоторых других сепарабельных С*-алгебр. Матем. сб. 186 (1995), 3-18.

2. Аристов О. Ю. Бипроективные алгебры и операторные пространства. Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Функциональный анализ, т. 82, 2001; J. Math. Sciences 111 (2002), no. 2, 3339-3386.

3. Головин Ю. О. Гомологические свойства гильбертовых модулей над гнездовыми операторными алгебрами. Матем. заметки 41 (1987), 769-775.

4. Головин Ю. О., Хелемский А. Я. Гомологическая размерность некоторых модулей над тензорным произведением банаховых алгебр. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1977), No 1,54.61.• 5. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

5. Калиман Ш. И., Селиванов Ю. В. О когомологиях операторных алгебр. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1974), No 5, 24-27.

6. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М., ИЛ, 1960.

7. Келли Дж. Общая топология. М., Наука, 1981.

8. Кричевец А. Н. О связи гомологических свойств некоторых банаховых модулей с вопросами геометрии банаховых пространств. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1981), No 2,55.58.

9. Кричевец А. Н. Вычисление глобальной размерности тензорных произведений банаховых алгебр и одно обобщение теоремы Филлипса. Матем. заметки 31 (1982), 187-202.

10. Кричевец А. Н. Об одной алгебре C(fi) малой глобальной размерности два и ее тензорных степенях. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1982), No 3, 35-39.

11. Курмакаева Е. Ш. Зависимость строгой гомологической размерности C(fi) от топологии fi. Матем. заметки 55 (1994), 76-83.

12. Ламбек И. Кольца и модули. М., Мир, 1971.

13. Лыкова 3. А. Об условиях проективности банаховых алгебр вполне непрерывных операторов. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1979), No 4, 8-13.

14. Лыкова 3. А. О гомологических характеристиках операторных алгебр. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1986), No 1, 8-13.

15. Лыкова 3. А. Оценка снизу глобальной гомологической размерности бесконечномерных CCR-алгебр. Успехи матем. наук 41 (1986), 197-198.

16. Люмис Л. Введение в абстрактный гармонический анализ. М., ИЛ, 1956.

17. Маклейн С. Гомология. М., Мир, 1966.

18. Математическая энциклопедия. Т. 5. М., Советская энциклопедия, 1985.

19. Наймарк М. А. Нормированные кольца. М., Наука, 1968.

20. Наймарк М. А. Теория представлений групп. М., Наука, 1976.

21. Огнева О. С. Гомологические размерности некоторых алгебр основных и обобщенных функций на многообразиях. Дисс. на соискание уч. ст. канд. физ.-матем. наук. М., МГУ, 1986, 66 с.

22. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. М., Мир, 1967.

23. Пугач JI. И. Проективные и плоские идеалы функциональных алгебр, их связь с аналитической структурой. Матем. заметки 31 (1982), 239-245.

24. Пугач JI. И. Гомологические свойства функциональных алгебр и аналитические полидиски в их пространствах максимальных идеалов. Rev. Roumaine Math. Pure et Appl. 31 (1986), 347-356.

25. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. М., Мир, 1967.

26. Селиванов Ю. В. О банаховых алгебрах малой глобальной размерности нуль. Успехи матем. наук 31 (1976), 227-228.

27. Селиванов Ю. В. Некоторые вопросы гомологической классификации банаховых алгебр. Дисс. на соискание уч. ст. канд. физ.-матем. наук. М., МГУ, 1977, 92 с.

28. Селиванов Ю. В. Гомологические свойства алгебры ядерных операторов банахова пространства. VI симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. Львов, 1990, с. 112.

29. Селиванов Ю. В. О проективных модулях Фреше над алгебрами Фреше. Алгебра и анализ. Тезисы докладов межд. научн. конф. памяти Н. Г. Чеботарева. Часть I. Изд-во Казанского ун-та, 1994, 85-86.

30. Хелемский А. Я. О гомологической размерности нормированных модулей над банаховыми алгебрами. Матем. сб. 81 (1970), 430-444.

31. Хелемский А. Я. О гомологической размерности банаховых алгебр аналитических функций. Матем. сб. 83 (1970), 222-233.

32. Хелемский А. Я. Описание относительно проективных идеалов в алгебрах С(П). Докл. АН СССР 195 (1970), 1286-1289.

33. Хелемский А. Я. Периодическое произведение модулей над банаховыми алгебрами. Функц. анал. и прил. 5 (1971), 95-96.

34. Хелемский А. Я. Об одном методе вычисления и оценки глобальной гомологической размерности банаховых алгебр. Матем. сб. 87 (1972), 122-135.

35. Хелемский А. Я. Глобальная размерность функциональной банаховой алгебры отлична от единицы. Функц. анал. и прил. 6 (1972), 95-96.

36. Хелемский А. Я. Низшие значения, принимаемые глобальной гомологической размерностью функциональных банаховых алгебр. Труды семинара им. И. Г. Петровского 3 (1978), 223-242.

37. Хелемский А. Я. Гомологические методы в голоморфном исчислении от нескольких операторов в банаховом пространстве, по Тейлору. Успехи матем. наук 36 (1981), 127-172.

38. Хелемский А. Я. Плоские банаховы модули и аменабельные алгебры. Труды ММО 47 (1984), 179-218.

39. Хелемский А. Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. М., Изд-во МГУ, 1986.

40. Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. М., Наука, 1989.

41. Хелемский А. Я. Гомологическая сущность аменабельности по Конну: инъективность предуального бимодуля. Матем. сб. 180 (1989), 1680-1690.

42. Хелемский А. Я., Шейнберг М. В. Об аменабельных банаховых алгебрах. Функц. анал. и прил. 13 (1979), 42-48.

43. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. М., Наука, 1975.

44. Шейнберг М. В. Об относительной гомологической размерности групповых алгебр локально компактных групп. Изв. АН СССР. Сер. матем. 37 (1973), 308-318.

45. Шефер X. Топологические векторные пространства. М., Мир, 1971.

46. Эдварде Р. Функциональный анализ. М., Мир, 1969.

47. Энгелькинг Р. Общая топология. М., Мир, 1986.

48. Aarnes J. F. and Kadison R. V. Pure states and approximate identities. Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1969), 749-752.

49. Akemann C. A., Pedersen G. K. and Tomiyama J. Multipliers of C*-algebras. J. Funct. Anal. 13 (1973), 277-301.283

50. Arens R. Linear topological division algebras. Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 623-630.

51. Argun Z., Rowlands K. On quasi-multipliers. Studia Math. 108 (1994), 217-245.

52. Aristov O. Yu. Homological dimensions of C*-algebras. Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar (ed. by A. Ya. Helemskii). New York, Nova Science, 2000, 39-55.

53. Bade W. G. and Curtis P. C. The continuity of derivations of Banach algebras. J. Fund. Anal. 16 (1974), 372-387.

54. Bade W. G., Dales H. G. and Lykova Z. A. Algebraic and strong splittings of extensions of Banach algebras. Mem. Amer. Math. Soc. 656 (1999).

55. Beckenstein E., Narici L., Suffel C. Topological algebras. Amsterdam, North Holland, 1977.

56. Bonsall F. F. and Duncan J. Complete normed algebras. Berlin, Springer, 1973.

57. Cigler J., Losert V. and Michor P. Banach modules and functors on categories of Banach spaces. New York, Marcel Dekker, 1979.

58. Comfort W. W. Retractions and other continuous maps from (3X onto (3X\X. Trans. Amer. Math. Soc. 114 (1965), 1-9.

59. Connes A. On the cohomology of operator algebras. J. Funct. Anal. 28 (1978), 248-253.

60. Conway J. B. Projections and retractions. Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 843-847.

61. Conway J. B. The compact operators are not complemented in B{W}. Proc. Amer. Math. Soc. 32 (1972), 549-550.

62. Dales H. G. Banach algebras and automatic continuity. Oxford, Clarendon Press, 2000.

63. Dales H. G. and Jarchow H. Continuity of homomorphisms and derivations from algebras of approximable and nuclear operators. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 116 (1994), 465-473.

64. Diestel J. Sequences and series in Banach spaces. New York, Springer, 1984.

65. Dixon P. G. Approximate identities in normed algebras. Proc. London Math. Soc. 26 (1973), 485-496.

66. Doran R. S. and Wichmann J. Approximate identities and factorization in Banach modules. Lecture Notes in Math. 768. Berlin, Springer, 1979.

67. Dubinsky E. The structure of nuclear Prechet spaces. Lecture Notes in Math. 720. Berlin, Springer, 1979.

68. Dunford N. Spectral operators. Pacific J. Math. 4 (1954), 321-354.

69. Effros E. G. and Kishimoto A. Module maps and Hochschild-Johnson cohomology. Indiana Univ. Math. J. 36 (1987), 257-276.

70. Enflo P. A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Math. 130 (1973), 309-317.

71. Eschmeier J. and Putinar M. Spectral theory and sheaf theory. III. J. Reine Angew. Math. 354 (1984), 150-163.

72. Eschmeier J. and Putinar M. Spectral decompositions and analytic sheaves. Oxford, Clarendon Press, 1996.

73. Fragoulopoulou M. Structure of contractible locally C*-algebras. Proc. Amer. Math. Soc. 129 (2001), no. 10, 2889-2896.

74. Ghahramani F., Selivanov Yu. V. The global dimension theorem for weighted convolution algebras. Proc. Edinburgh Math. Soc. 41 (1998), 393-406.

75. Gr0nbaek N., Johnson В. E., Willis G. A. Amenability of Banach algebras of compact operators. Israel J. Math. 87 (1994), 289-324.

76. Gr0nbaek N. and Willis G. A. Approximate identities in Banach algebras of compact operators. Canad. Math. Bull. 36 (1993), 45-53.

77. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleates. Mem. Amer. Math. Soc. 16 (1955).

78. Guichardet A. Sur l'homologie et la cohomologie des algebres de Banach. C. R. Acad. Sci. Paris 262 (1966), A38-41.

79. Haagerup U. All nuclear C*-algebras are amenable. Invent. Math. 74 (1983), 305-319.

80. Helemskii A. Ya. Some remarks about ideas and results of topological homology. Proc. Centre for Mathematical Analysis Australian National University, Canberra, 21 (1989), 203-238.

81. Helemskii A. Ya. Banach cyclic (co)homology and the Connes-Tzygan exact sequence. J. London Math. Soc. 46 (1992), 449-462.

82. Helemskii A. Ya. 31 problems of the homology of the algebras of analysis. Linear and complex analysis, Problem Book 3. Part 1. Lecture Notes in Math. 1573. Berlin, Springer, 1994, 54-78.

83. Helemskii A. Ya. Projective homological classification of C*-alge-bras. Comm. in Algebra 26 (1998), 977-996.

84. Helemskii A. Ya. Homology for the algebras of analysis. Handbook of algebra. Vol. 2 (ed. by M. Hazewinkel). Amsterdam, North-Holland, 2000,151-274.

85. Helemskii A. Ya. Wedderburn-type theorems for operator algebras and modules: traditional and "quantized" homological approaches. Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar (ed. by A. Ya. Helemskii). New York, Nova Science, 2000, 57-92.

86. Hilbert D. Uber die Theorie der Algebraischen Formen. Math. Ann. 36 (1890), 437-534.

87. Hochschild G. On the cohomology groups of an associative algebra. Ann. of Math. 46 (1945), 58-67.

88. Hochschild G. Cohomology and representations of associative algebras. Duke Math. J. 14 (1947), 921-948.

89. Johnson В. E. An introduction to the theory of centralizers. Proc. London Math. Soc. 14 (1964), 299-320.

90. Johnson В. E. The Wedderburn decomposition of Banach algebras with finite-dimensional radical. Amer. J. Math. 90 (1968), 866-876.

91. Johnson В. E. Cohomology in Banach algebras. Mem. Amer. Math. Soc. 127 (1972).

92. Johnson В. E. Approximate diagonals and cohomology of certain annihilator Banach algebras. Amer. J. Math. 94 (1972), 685-698.

93. Johnson В. E. Perturbations of Banach Algebras. Proc. London Math. Soc. (3) 34 (1977), 439-458.

94. Kadison R. V. and Ringrose J. R. Cohomology of operator algebras. Part I. Acta Math. 126 (1971), 227-243; Part II. Ark Math. 9 (1971), 55-63.

95. Kamowitz H. Cohomology groups of commutative Banach algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 102 (1962), 352-372.

96. Kaplansky I. Modules over operator algebras. Amer. J. Math. 75 (1953), 839-853.

97. Lebow A. Maximal ideals in tensor products of Banach algebras. Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968), 1020-1022.

98. Levy R. The Riemann-Roch theorem for complex spaces. Acta Math. 158 (1987), 149-188.

99. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces I: Sequence spaces. Berlin, Springer, 1977.

100. Loy R. J., Read C. J., Runde V. and Willis G. A. Amenable and weakly amenable Banach algebras with compact multiplication. J. Fund. Anal. 171 (2000), 78-114.

101. Lykova Z. A. The lower estimate of the global homological dimension of infinite-dimensional CCR-algebras. Operator algebras and topology. Longman, 1992, 93-129.

102. Michael E. A. Locally multiplicatively-convex topological algebras. Mem. Amer. Math. Soc. 11 (1952).

103. Palmer T. W. Banach algebras and the general theory of *-algebras. Vol. 1. Cambridge University Press, 1994.Ш

104. Phillips R. S. On linear transformations. Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940), 516-541.

105. Pirkovskii A. Yu. Injective topological modules, additivity formulas for homological dimensions, and related topics. Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar (ed. by A. Ya. Helemskii). New York, Nova Science, 2000, 93-143.

106. Pott S. An account on the global homological dimension theorem of A. Ya. Helemskii. Annates Universitatis Saraviensis 9 (1999), 155-194.

107. HO. Putinar M. Uniqueness of Taylor's functional calculus. Proc. Amer.Math. Soc. 89 (1983), 647-650.288

108. Putinar M. Hyponormal operators are subscalar. J. Oper. Theory 12 (1984), 385-395.

109. Raeburn I. and Taylor J. L. Hochschild cohomology and perturbations of Banach algebras. J. Funct. Anal. 25 (1977), 258-266.

110. Ramis J.-P. and Ruget G. Residus et dualite. Invent. Math. 26 (1974), 89-131.

111. Render H. and Sauer A. Algebras of holomorphic functions with Hadamard multiplication. Studia Math. 118 (1996), 77-100.

112. Rickart С. E. General theory of Banach algebras. New York, Van Nostrand, 1960.

113. RiefFel M. A. Induced Banach representations of Banach algebras and locally compact groups. J. Funct. Anal. 1 (1967), 443-491.

114. Runde V. The structure of contractible and amenable Banach algebras. Banach Algebras'97 (ed. by E. Albrecht and M. Mathieu). Berlin, Walter de Gruyter, 1998, 415-430.

115. Runde V. Lectures on amenability. Lecture Notes in Math. 1774. Berlin, Springer, 2002.

116. Selivanov Yu. V. Coretraction problems and homological dimensions of Banach algebras. 13th International Conference on Banach algebras 1997. Blaubeuren, 1997, p. 24.

117. Seminaire de geometrie analytique (eds. A. Douady, J. L. Verdier), Asterisque 16. Soc. Math. France, Paris, 1974.

118. Taylor J. L. Homology and cohomology for topological algebras. Advances in Math. 9 (1972), 137-182.

119. Taylor J. L. A general framework for a multi-operator functional calculus. Advances in Math. 9 (1972), 183-252.

120. Wedderburn J. H. M. On hypercomplex numbers. Proc. London Math. Soc. (2) 6 (1907), 77-118.

121. Wojtaszczyk P. Banach spaces for analysts. Cambridge University Press, 1991.

122. Zelazko W. A theorem on Bo-division algebras. Bull. Acad. Polon. Sci. 8 (1960), 373-375.

123. Zelazko W. Metric generalizations of Banach algebras. Rozprawy Matematyczne 47 (1965), 70 p.

124. Селиванов Ю. В. О значениях, принимаемых глобальной размерностью в некоторых классах банаховых алгебр. Вести. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1975), No 1, 37-42.

125. Селиванов Ю. В. Гомологическая размерность циклических банаховых модулей и гомологическая характеризация метризуе-мых компактов. Матем. заметки 17 (1975), вып. 2, 301-305.

126. Селиванов Ю. В. Бипроективные банаховы алгебры, их строение, когомологии, и связь с ядерными операторами. Функц. анализ и прил. 10 (1976), вып. 1, 89-90.

127. Селиванов Ю. В. Проективность некоторых банаховых модулей и строение банаховых алгебр. Изв. вузов. Математика (1978), No 1 (188), 110-116.

128. Селиванов Ю. В. Бипроективные банаховы алгебры. Изв. АН СССР. Сер. матем. 43 (1979), No 5, 1159-1174.

129. Selivanov Yu. V. Homological characterizations of the approximation property for Banach spaces. Glasgow Math. J. 34 (1992), 229-239.

130. Selivanov Yu. V. Computing and estimating the global dimension in certain classes of Banach algebras. Math. Scand. 72 (1993), 85-98.290

131. Селиванов Ю. В. Одна задача геометрии банаховых пространств. Успехи матем. наук 48 (1993), вып. 4, 237-238.

132. Селиванов Ю. В. Сильно недополняемые подпространства банаховых пространств и гомологическая размерность банаховых модулей. Успехи матем. наук 49 (1994), вып. 1, 223-224.

133. Селиванов Ю. В. Проективные модули Фреше со свойством аппроксимации. Успехи матем. наук 50 (1995), вып. 1, 209-210.

134. Селиванов Ю. В. Когомологии биплоских банаховых алгебр с коэффициентами в дуальных бимодулях. Функц. анализ и прил. 29 (1995), вып. 4, 84-87.

135. Selivanov Yu. V. Frechet algebras of global dimension zero. Algebra (Krasnoyarsk, 1993). Berlin, Walter de Gruyter, 1996, 225-236.

136. Selivanov Yu. V. Weak homological bidimension and its values in the class of biflat Banach algebras. Extracta Math. 11 (1996), 348-365.

137. Selivanov Yu. V. Homological dimensions of tensor products of Banach algebras. Banach Algebras'97 (eds. E. Albrecht, M. Mathieu). Berlin, Walter de Gruyter, 1998, 441-460.

138. Selivanov Yu. V. Cohomological characterizations of biprojective and biflat Banach algebras. Monatsh. fur Math. 128 (1999), 35-60.

139. Selivanov Yu. V. Coretraction problems and homological properties of Banach algebras. Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar (ed. by A. Ya. Helemskii). New York, Nova Science, 2000, 145-199.