Теория равновесия, МГД-устойчивости и процессов переноса в новых типах открытых ловушек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, доктор физико-математических наук Ступаков, Геннадий Викторович

• Ступаков, Геннадий Викторович
• доктор физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ступаков, Геннадий Викторович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I ОСОБЕННОСТИ РАВНОВЕСНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ В ОТКРЫТЫХ

ЛОВУШКАХ

§ I.I Вакуумное магнитное поле аксиально-несимметричного пробкотрона.

§ 1.2 Влияние продольных токов на равновесие в джинном пробкотроне

§ 1.3 Эффекты КЛР в равновесии плазмы в прямом магнитном поле

§ 1.4 Равновесие плазмы с большим ларморовским радиусом в открытой ловушке

ГЛАВА П МЕЛКОМАСШТАБНЫЕ МГД-НЕУСТОЙЧИВОСТИ В ОТКРЫТЫХ

ЛОВУШКАХ

§ 2.1 Желобковая неустойчивость плазмы в антипробкотроне.

§ 2.2 Влияние течения плазмы на яелобковую неустойчивость

§ 2.3 Желобковая неустойчивость в ГДЛ

§ 2.4 Баллонная неустойчивость плазмы в открытых ловушках

ГЛАВА Ш ДРЕЙФОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ОТКРЫТЫХ

ЛОВУШКАХ . И

§ 3.1 Движение частиц в вакуумном магнитном поле . И

§ 3.2 Влияние электрического поля и конечного давления плазмы на движение частиц в коротких ловушках

§ 3.3 Дрейфовые траектории

§ 3.4 Движение частиц в длинных ловушках.

§ 3.5 Уменьшение радиальных блужданий частиц с помощью специального выбора магнитного поля.

ГЛАВА 1У НЕОКЛАССИЧЕСКИЙ ПЕРЕНОС В ОТКРЫТЫХ ЛОВУШКАХ

§ 4.1 Вывод кинетического уравнения и системы уравнений переноса.

§ 4.2 Качественное рассмотрение

§ 4.3 Банановый режим.

§ 4.4 Потери частиц в амбиполярной лозушке через крайние пробкотроны.

ГЛАВА У РЕЗОНАНСНЫЙ И СТ0ХАС7ШЕСКИЙ ПЕРЕНОС В ОТКРЫТЫХ

ЛОВУШКАХ.

§ 5.1 Качественное рассмотрение

§ 5.2 Вычисление диффузионного потока.

§ 5.3 Влияние на перенос узкого пика на функции отражения

§ 5.4 Оценка коэффициентов переноса при Ь

§ 5.5 Стохастическая диффузия

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория равновесия, МГД-устойчивости и процессов переноса в новых типах открытых ловушек»

Перспективы развития открытых ловушек с точки зрения их термоядерных приложений в настоящее время связываются с успехом направлений, использующих тот или иной способ подавления продольных потерь из системы. В первую очередь речь идет о бурно развивающихся в последние годы амбиполярных ловушках [1,2] . Сюда же относятся многоцробочная конфигурация [3,4] , ловушки, использующие вращение плазмы (см., например, [б] ) и обращение магнитного поля [б] , газодинамическая ловушка [7,8] . Все они, сохраняя основные достоинства "классических" пробкотронов, позволяют, в принципе, избавиться от главного недостатка последних - малого времени жизни плазмы, равного, грубо говоря, времени ион-ионных столкновений.

В теоретическом аспекте разработка этих направлений требует решения целого ряда тесно связанных между собой задач.

В аксиально-несимметричных ловушках, обладающих "средним минимумом В" (например, в амбиполярных ловушках [1.2] , а также в некоторых типах многопробочных ловушек [9] и ловушек с обращенным магнитным полем [6] ), прежде всего возникает задача нахождения допустимых равновесных плазменных конфигураций в сложной трехмерной геометрии магнитного поля. При малых значениях давления плазмы устойчивость таких равновесий обеспечивается наличием магнитной ямы, но с ростом величины р ( р = 8ттр/е> ) возникает возможность развития баллонной неустойчивости, которая, таким образом, приводит к ограничению достижимых значений р в ловушке. Задача теории состоит в определении критического р и анализе возможностей его увеличения. Наконец, большое время продольного удержания делает актуальным изучение поперечных потерь из ловушки, так как аксиальная несимметрия магнитного поля даже в отсутствие микротурбулентности может приводить к значительному возрастанию коэффициентов переноса по сравнению с их "классическими" значениями. Соответственно, важными являются поиски способов подавления переноса.

В случае аксиально-симметричных конфигураций [8,10,п] главной является проблема МГД-стабилиз авди ловушки, а в теории на первое место выступают задачи, связанные с анализом устойчивости системы.

Решению перечисленных задач и посвящена настоящая диссертация. Большинство полученных в ней результатов могут быть использованы применительно к различным типам открытых ловушек, но главным образом они адресуются двум схемам удержания, предложенным и интенсивно развиваемым сейчас в ИЯФ СО АН СССР - амбиполяр-ной и газодинамической ловушкам.

Первая глава диссертации посвящена изучению особенностей равновесия плазмы в аксиально-несимметричных ловушках. Она начинается с § 1.1, где изложены необходимые для дальнейшего сведения о типичной конфигурации вакуумного поля таких ловушек.

Как известно, важным преимуществом открытых ловушек (по сравнению с токамаками и стеллараторами) является возможность получения в них больших значений давления плазмы ( р ~ I). Это было убедительно продемонстрировано в экспериментах на установке

В [12] ; теория таких равновесий, существенно базирующаяся на численных расчетах, была развита в работах [13,14] . Однако в случае, когда аксиально-несимметричные пробки разделены длинной областью однородного магнитного поля (именно такова ситуация в центральном пробкотроне амбиполярной ловушки), как было впервые показано в [15] , на величину р возникает ограничение сверху. Оно связано с тем, что в силу аксиальной несимметрии поперечные к магнитному полю токи , обеспечивающие силовое равновесие, вообще говоря, не удовлетворяют уравнению сЬV^ = О в отличив от осе симметричной конфигурации). Поэтому в пробках генерируются продольные токи, которые, если не принято специальных мер, замыкаются через центральную часть ловушки. Возникающая при этом перпендикулярная к оси системы составляющая магнитного поля даже при малых р может привести на большой длине к сильному уходу силовой линии в радиальном направлении. Б результате,поверхности постоянного давления (в случае изотропной плазмы), которые при р = 0 в области однородного поля образуют семейство вложенных друг в друга цилиндров, становятся "жеваными" и в худшем случае могут касаться боковых стенок камеры.

Решение соответствующей задачи, основанное на работе [15] (см. также обзор [16] ), приведено в § 1.2. Здесь же обсуждается возможность уменьшения продольных токов в плазме с помощью специального выбора (аксиально-несимметричного) магнитного поля установки.

Постановка задачи о равновесии в § 1.2, как и в большинстве работ на эту тему, основана на описании равновесного состояния плазмы в терминах давления р [17] (в анизотропном случае - продольного и поперечного давления р„ и р± ). Для бесстолк-новительной плазмы соответствующие уравнения получают свое обоснование в микроскопической теории [18] . В условия их применимости входит требование малости ларморовского радиуса частиц у [19] , которое грубо может быть записано как *а , (в.1) где а - поперечный размер плазмы, а эе обозначает характерную кривизну силовой линии. Вблизи магнитной оси ловушки кривизна силовых линий мала и вполне реальна ситуация, когда выполняется неравенство, обратное (В.1). Равновесная конфигурация в атом случае определяется эффектами конечного ларморовского радиуса

КЛР) и обладает иногиш необычными свойствами Описанию таких равновесий, основанном на работе [20] , посвящены §§ 1.3, 1.4.

В § 1.3 рассмотрено равновесие плазмы в магнитном поле с прямыми силовыми линиями (что соответствует предельному переходу- эе 0) Отметим, что эта задача имеет и самостоятельный интерес в связи с теорией равновесия 9 -пинчей. В рамках МГД-приближения класс равновесных конфигураций в таком поле весьма широк: можно произвольно задать распределение давления в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, и построить равновесие, определив В из уравнения

В.2)

Учет же эффекта КЛР (а он, при эе =0, как видно из (В.1), должен обязательно приниматься во внимание) приводит к двум особенностям. Во-первых, оказывается, что далеко не всякое распределение давления является допустимым. Во-вторых, для каждой равновесной конфигурации (кроме осесимметричных) фиксируется распределение потенциала по поверхностям постоянного давления (тогда как в МГД-приближении потенциал вообще не входит в задачу).

Физическим механизмом, лежащим в основе эффекта, является дрейф ионов с характерной скоростью ~ lrт¿ (^ /а) , описываемый третьим порядком дрейфовой теории. Требование замкнутости токов, возникающих вследствие этого дрейфа, и дает дополнительные ограничения на равновесные конфигурации.

Изложенная в § 1.3 техника расчетов переносится в § 1.4 на случай слабоискривяенного магнитного поля.

Во второй главе диссерташи рассмотрен ряд вопросов, связанных с МГД-устойчивос тью плазмы в открытых ловушках. Сразу отметим, что мы всюду ограничиваемся исследованием устойчивости в пренебрежении эффектами конечного ларморовского радиуса [21] .

Анализ их влияния на МЩ-неустойчивости изучен сейчас довольно подробно [22,23] и выходит за рамки настоящей диссертации.

Наибольшую опасность для открытых ловушек представляют хе-лобковые моды, которые могут возбуждаться ухе при малом давлении плазмы ( р ^ I). В аксиально-несимметричных ловушках они стабилизируются минимумом В> (или интегральным минимумом В в длинных системах). В осесимметричных конфигурациях их стабилизация представляет сложную проблему, на решение которой в последние годы направлены интенсивные поиски [10,II,24-26] . Один из подходов к ее решению заключается в том, чтобы использовать в качестве стабилизирующего элемента в амбиполярной ловушке антипробко-трон [ю] или его модификацию [II] - Возникающие в связи с этим задачи рассматриваются в § 2.1, написанного по материалам работы [27] .

Отличительной их особенностью является то обстоятельство, что вследствие непараксиальности магнитного поля антипробкотрона обычно используемый простой критерий устойчивости Розенблюта-Лонгмайра [28] оказывается здесь неприменимым. Это приводит к необходимости провести минимизацию функционала Ы потенциальной энергии, причем учесть не только поперечное, но и продольное (по отношению к магнитному полю) смещение элементов плазмы. Величина К/К11П является важной характеристикой антипробкотрона как стабилизатора - для заданных параметров плазмы в нем она определяет максимальное р плазмы в центральной ловушке, при котором вся система устойчива относительно желобков. Отметим, что в отличие от случая изотропной плазмы, где эффекты непараксиальности улучшают устойчивость [29] , при наличии анизотропии это свойство непараксиального магнитного поля, вообще говоря, теряется.

На принципиально ином способе стабилизации основана идея газодинамической ловушки (ГДЮ [7,8] . В такой ловушке эффективная длина свободного пробега частиц Л меньше длины установки L , поэтому потери частиц вдоль силовых линий носят характер газодинамического истечения черев пробки. При этом непосредственно за пробками, где силовые линии имеют благоприятную кривизну, плотность плазмы по порядку величины равна плотности в ловушке (в отличие от случая X » L , когда плотность за пробкой пренебрежимо мала). В результате можно добиться того, чтобы стабилизирующий вклад этой области превысил дестабилизирующий вклад участков неблагоприятной кривизны внутри пробкотрона и, тем самым, гарантировать устойчивость системы относительно желобковых возмущений.

Как явствует из сказанного, характерной чертой ЭД1 является наличие течения плазмы вдоль силовых линий. Это сильно осложняет анализ устойчивости системы, так как не позволяет воспользоваться энергетическим принципом МВД-теории [29,30J . Поэтому прежде чем исследовать устойчивость ГДК,мн рассматриваем в § 2.2 влияние течения на устойчивость в более цростой постановке - в периодической системе связанных пробкотронов [31,32] . Такая задача имитирует ситуацию в многопробочной ловушке или в системе типа BUMPY torus, если в них по какой-либо причине создается течение плазмы вдоль силовых линий. Для нее удается получить обобщение энергетического принципа и значительно упростить анализ, сведя его к вычислению минимума функционала эффективной потенциальной энергии. Результатом § 2.2 является необходимое и достаточное условие устойчивости, обобщающее аналогичный критерий для покоящейся плазмы [29] .

Собственно задача об устойчивости ГДЛ отличается от рассмотрения, проведенного в § 2.2, в нескольких отношениях. Во-первых, вынос энергии желобковых колебаний через пробки приводит к эффективному их затуханию- и делает невозможным использование даже модифицированного энергетического принципа. Во-вторых, важным здесь является учет влияния на устойчивость инжекции, поддерживающей стационарное состояние в ловушке. Ее эффект состоит в том, что при захвате инжектированных частиц возникает дополнительный вклад в "выталкивающую силу", действующую на желобок со стороны окружающей шгазмы. В типичных условиях он является стабилизирующим, причем наиболее сильно проявляется в системах с малым отношением радиуса к длине. Он может играть определенную роль и в обычных пробкотронах с не слишком большим отношением

Х/Ь .

Основным результатом § 2.3 является количественный критерий устойчивости газодинамической ловушки. Он, в частности, подтверждает качественные рекомендации, которые были высказаны в работе [в] касательно оптимального профиля магнитного поля, обеспечивающего стабилизацию.

Задачи, описанные в §§ 2.1-2.3, относятся к плазме с малым р , когда допустимые смещения элементов плазмы носят характер перестановки силовых трубок, не возмущающих магнитного поля. В рассмотренных случаях стабилизация достигается тем, что непосредственно за пробкой располагается глубокая магнитная яма, заполненная плазмой (область резко расходящихся силовых линий в газодинамической ловушке и крайний пробкотрон в амбиполярной ловушке) ; в результате силовые линии фактически оказываются жестко закрепленными в пробках. Однако с превышением р некоторого порогового значения становится возможным искажение магнитного поля за счет внутренней энергии плазмы и развитие МЩ-коле-баний, преимущественно локализованных в областях неблагоприятной кривизны ловушки (баллонные моды). Поскольку пробочное отношение в амбиполярной и газодинамической ловушках достигает значений 20*30 и более, то интуитивно кажется, что вследствие уменьшения площади контакта с магнитной ямой, стабилизирующее влияние последней должно падать - с соответствующим уменьшением величины р>к до значений, малых по сравнению с единицей. Рассмотрение этой задачи и определение зависимости р« от пробочного отношения (и эллиптичности магнитных поверхностей в аксиально-несимметричном пробкотроне) было проведено в работе [35] изложено в § 2.4 - заключительном параграфе второй главы.

Главы 3-5 диссертации посвящены теории процессов переноса в аксиально-несимметричных открытых ловушках. Рассматриваемые процессы переноса обусловлены кулоновскими столкновениями и приводят ко временам жизни, превышающим время кулоновского рассеяния частиц. Соответственно, их учет существен только в применении к ловушкам, в которых продольное время жизни плазмы велико по сравнению со временем ион-ионных столкновений. Такая ситуация реализуется, в частности, в центральном пробкотроне амбиполярной ловушки и в многопробочной ловушке. Что касается обычного цробко-трона, то в нем время жизни ионов не превышает, грубо говоря, времени ион-ионных столкновений, и учет поперечных потерь в худшем случае мог бы привести к уменьшению времени жизни ионов в 1,5-2 раза (по сравнению с чисто продольными потерями). Тем не менее , и здесь эффекты усиленных поперечных потерь могут быть существенны, только в применении не к ионам, а к электронам, поскольку из-за квазинейтральности плазмы, время жизни электронов

На важность учета баллонных эффектов в аксиально-симметричных амбиполярных ловушках было также обращено внимание в работе [36] в связи с методом стабилизации, предложенным в [37 ] . велико по сравнению с временем их кулоновского рассеяния. Естественно, что усиленные диффузия и теплопроводность электронов важны также и для упомянутых выше систем с улучшенным продольным удержанием ионов.

Как было впервые отмечено в работе [38] , отсутствие аксиальной симметрии магнитного поля может приводить к возрастанию поперечных коэффициентов переноса по сравнению с их "классическими" значениями за счет механизма, напоминающего в некоторых случаях механизм неоклассической диффузии в тороидальных системах (см. обзоры [39,40] ). Причиной усиленного переноса являются особенности движения частиц в аксиально-несимметричном магнитном поле.

Если ловушка не очень длинная, то за один пролет от пробки до пробки ведущий центр частицы смещается вследствие дрейфа на силовую линию, близкую к исходной. При этом можно ввести понятие дрейфовой поверхности частицы, на которой лежит ее дрейфовая траектория. Существенно,.что в аксиально-несимметричном поле форма дрейфовых поверхностей, проходящих через одну и ту же силовую линию, вообще говоря, зависит от энергии 6 и магнитного момента да. частицы, причем максимальное расстояние между этими поверхностями может превышать ларморовский радиус частицы. Куло-новские столкновения, вызывая изменения величин £ и , приводят к перескоку частиц с одной дрейфовой поверхности на другую и, как следствие, к усиленному переносу частиц и энергии поперек магнитного поля.

Описанию дрейфового движения частиц в коротких ловушках и анализу их дрейфовых траекторий посвящены первые три параграфа третьей главы. Б них изучена форма дрейфовых поверхностей в вакуумном магнитном поле пробкотрона и проанализировано влияние конечного р и собственных электрических полей плазмы. Показано, в частности, что наряду с частицами, которые в процессе движения обходят магнитную ось системы (они называются пролетными), существуют так называемые запертые частицы» дрейфовые поверхности которых не охватывают оси ловушки. Именно запертые частицы испытывают наибольшие радиальные блуждания в процессе дрейфа.

В § 3.4 рассмотрено движение частиц в длинном аксиально-несимметричном цробкотроне, в котором за время пролета от пробки до пробки частица смещается по азимуту на угол АСр ; сравнимый с единицей. Реальным примером, где выполняется это условие, является центральный пробкотрон амбиполярной ловушки. Оказывается, что в такой ситуации наибольшими радиальными блужданиями отличаются частицы, совершающие при одном пролете пробкотрона рациональное число оборотов вокруг магнитной оси. В частности, дня магнитной системы, обладающей симметрией катушек Инь-Янь, это частицы (названные в работе [41] резонансными), для которых .Аср = (2<и)тг/2, , к= о, ±1, + & . . Так как угол проворота при данных £ и зависит, вообще говоря, от радиуса, то при радиальном перемещении условие резонанса нарушается, что и обусловливает конечный масштаб радиальных блужданий резонансных частиц.

Естественный способ подавления поперечных потерь заключается в том, чтобы (в классе аксиально-несимметричных конфигураций, обладающих средним "минимумом В") выбрать такое магнитное поле, в котором радиальные блуящания частиц сведены до минимума [42] . В идеале это магнитное поле должно обладать тем свойством, что ведущие центры частиц, находившиеся в начальный момент на некоторой силовой линии, в процессе дрейфа остаются все время на поверхности, одной и той же для всех частиц, независимо от их энергии и магнитного момента. Эти поверхности (они, по определению, не могут пересекаться) будут являться поверхностями постоянного давления плазмы (в случае изотропной функции распределения), а невозможность частице попасть с одной поверхности на другую и означает отсутствие эффектов усиленного переноса. Соответствующее магнитное поле мы будем называть , или обладающим свойством ортогональности [43] . Омнигеннне поля имеют еще одно важное достоинство - в плазме с малым ^ , удерживаемой в таком поле , не генерируются продольные токи и отсутствуют эффекты искажения магнитных конфигураций, обсуждаемые в § 1.2. Как было впервые показано в работах [44,45] , в параксиальном приближении существует широкий класс омнигенных полей квадруполь-ной симметрии. Соответствующие результаты изложены в § 3.5.

Эепосредственно&^у вычислению неоклассических потоков частиц и энергии в коротком пробкотроне ( Дф I) посвящена четвертая глава диссертации. В § 4.1 выведена система уравнений переноса, а в § 4.2 доведено качественное рассмотрение и дана классификация возможных режимов в зависимости от частоты столкновений. Для краткости, в § 4.3 мы приводим вычисления только для одного из режимов - "бананового", в котором основной вклад в перенос вносят запертые частицы; расчеты остальных случаев можно найти в работах [46,1б]. Хотя формальная сторона вычислений в § 4.3 близка к аналогичным расчетам коэффициентов переноса в то-камаке [39,40] , имеются и важным отличия. Первое заключается в том, что в нашей задаче возможна диффузия за счет столкновений между частицами одного сорта (в этом смысле имеется близкая аналогия с супербанановой диффузией в стеллараторах [47] ). Второй эффект связан с необходимостью учета влияния на движение частиц х^0т английского термина "оиот^еп^ предложенного в возмущения потенциала на магнитной поверхности, возникающего в процессе диффузии.

В § 4.4 рассмотрен специфический канал потерь, связанный с некоторыми особенностями удержания частиц в амбиполярной ловушке. В крайних пробкотронах таких ловушек существуют популяции ионов, захваченных между горбом амбшюлярного потенциала и внутренней магнитной пробкой (такие ионы иногда называются юшмано-вскими). Их дрейфовые поверхности, как оказывается, отличаются большим радиальным размахом и даже могут не замыкаться вокруг магнитной оси системы. Соответствующие частицы за дрейфовое время выходят из объема плазмы и гибнут на стенках камеры, а захват "центральных" ионов в крайние цробкотроны на эти траектории является причиной дополнительных потерь частиц из ловушки [48] . В § 4.4, основанном на работах [49,50] , изучен случай малых частот столкновений, который может реализоваться при реакторных параметрах ловушки (другой предельный случай разобран в работе [51]).

В пятой главе диссертации развита теория переноса в длинных пробкотронах, характеризуемых тем, что АСр ^ I. Возникающие здесь эффекты, рассмотренные впервые в [41] , не имеют аналогов в неоклассической теории токамаков (см., впрочем, [52] ); этот режим был назван в [41] резонансным. Он наиболее интересен и с точки зрения приложений, так как в большинстве работающих и строящихся в настоящее время амбиполярных ловушек [53-56] параметры плазмы таковы, что по оценке Д(р ~ I.

Качественное рассмотрение, изложенное в § 5.1, показывает, что в зависимости от частоты столкновений V здесь выделяются "банановый" режим с коэффициентами переноса, пропорциональными V , и режим плато, в котором коэффициенты переноса от V не зависят. Вычисление диффузионных потоков проведено в § 5.2; здесь, так же как и в режиме дер « I оказывается важным учет возмущения потенциала на поверхностях постоянного давления.

В § 5.2 предполагается, что радиальное смещение частицы при отражении от пробки является плавной функцией ее энергии & и магнитного момента jjl . Однако, как показал численный расчет для ловушки АМБАЛ [57] , в отдельных областях на плоскости с , jx функция Д^ может значительно меняться при малых изменениях своих ар1ументов. В работе [57] было отмечено, что наличие острых пиков на функции Air приводит к дополнительному возрастанию переноса в неоклассическом режиме (ответственный за это механизм назван в [57] диффузией на расщеплении). В § 5.3, основанном на работе [ 35] , мы показываем, что этот эффект сохраняется и в резонансном режиме и даем оценки коэффициентов переноса.

При вычислении скорости потерь всюду предполагается, что длина пробега частиц X существенно превышает длину установки

L . Однако в первых экспериментах на амбиполярных ловушках [58,59] величина X была либо сравнима, либо ненамного превосходила L . Представляет интерес поэтощу, по крайней мере на уровне оцэнок, определить коэффициенты переноса в области X £ L . Следуя работе [бО] , мы проводим в § 5.4 оценки коэффициента диффузии в этом режиме.

Новый тип потерь, совершенно не связанный с рассеянием частиц возникает при очень больших значениях Дф - это так называемая стохастическая диффузия, появляющаяся из-за того, что с ростом лср корреляция между радиальными смещениями при последовательных отражениях от пробок полностью исчезает, и радиальные блуждания цриобретают характер диффузии даже в отсутствие столкновений [38] . Для того чтобы вычислить коэффициент диффузии в этом режиме требуется выйти за рамки традиционной дрейфовой теории движения частиц [61,62] и учесть дрейфы в следующем порядке по параметру £ /а. . При этом мы основываемся на результатах работы [63] , в которой был получен дрейфовый гамильтониан с нужной нам точностью.

Отметим, что в настоящее время уже существуют экспериментальные подтверждения резонансной теории переноса. Впервые резонансная диффузия наблюдалась на электронной модели СЭМ (стохастическая электронная модель), сооруженной в ШФ СО АН СССР [64, 65] . Здесь было убедительно показано, что увеличение угла про-ворота Дф со значения, близкого к нулю, до величины ^'Я* приводит к резкое возрастанию поперечных потерь частиц. Появление экспериментальных результатов на амбиполярной ловушке ТМХ позволило провести первое (хотя и довольно грубое) сравнение теории с экспериментом [бб] . Оно дает удовлетворительное согласие между расчетными и экспериментально измеренными диффузионными потоками.

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Ступаков, Геннадий Викторович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты диссертационной работы.

1. Решена задача о равновесии плазмы в длинном аксиально-несимметричном пробкотроне. Обнаружено, что продольные токи, которые генерируются в пробках, могут цриводить к значительным искажениям магнитных поверхностей, тем самым существенно ограничивая максимальные значения р . Указаны способы уменьшения продольных токов.

2. Описан класс допустимых равновесных конфигураций плазмы малого давления при учете эффектов конечного ларморовского радиуса ионов в магнитном поле с прямыми силовыми линиями, а также в параксиальном пробкотроне.

3. Выведены условия устойчивости анизотропной плазмы в непараксиальном антипробкотроне.

4. Изучено влияние течения плазмы вдоль силовых линий на желобковую неустойчивость в периодической системе пробкотро-нов. Для этой задачи доказан энергетический принцип и найден необходимый и достаточный критерий устойчивости.

5. Исследована желобковая неустойчивость в газодинамической ловушке. Получен аналитический критерий устойчивости и отмечена важная роль нейтральной инжекции.

6. Проведен анализ баллонной неустойчивости в открытых ловушках с большими пробочным отношением и эллиптичностью магнитных поверхностей. Показано, что большая средняя эллиптичность приводит к снижению критического р до значений, малых по сравнению с единицей.

7. Построена теория неоклассического, резонансного и стохастического переноса в аксиально-несимметричных открытых ловушках. Указано на необходимость учета возмущения потенциала на поверхностях постоянного давления. Изучен способ уменьшения поперечных потерь из ловушки с помощью специального выбора магнитного поля ловушки.

8. Проведены вычисления скорости потерь ионов из амбшго-лярной ловушки через крайние пробкотроны в режиме малых частот столкновений.

9. Найдены коэффициенты диффузии в резонансном режиме в условиях, когда длина пробега ионов меньше длины установки.

10. Показано, что наличие узкого пика на функции отражения приводит к возрастанию коэффициентов переноса в резонансном режиме в области малых частот столкновений.

В заключение выражаю глубокую благодарность Д.Д.Ртотову за постоянное внимание и неизменную поддержку в ходе выполнения этой работы. Для меня было весьма полезным обсуждение с Б.Н.Брейзманом, Г.Е.Векштейном, П.Б.Лысянским, В.М.Мажиным, Б.В.Чириковым ряда вопросов, затронутых в диссертации. Я признателен своим соавторам Р.Коэну, В.П.Нагорному, Л.С.Пеккеру.

- 211 - I

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ступаков, Геннадий Викторович, 1984 год

1. Димов Г. И., Закаидаков В. В., Кишиневский М.Е. Термоядерная ловушка с двойными пробками. - Физика плазмы, 1976, т.2,4, с.597-610.

2. Fowler Т.Е., Logan B.G. The tandem mirror reactor.- Comm. on Plasma Phys. and Contr. Pus., 1977, vol. 2, No 6, p. 167-172.

3. Будкер Г.И., Мирнов В.В., Рютов Д.Д. Влияние гофрировки магнитного поля на расширение и остывание плотной плазмы. Письма в ЖЭТФ, 1971, т.14, Л 5, с.320-322.

4. Multiple mirror confinement of plasmas / B.G. Logan, A.{T. Lichtenberg, M.A. Lieberman a.o. - Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 28, JSfo P. 144-14-7.

5. Problems of a thermonuclear reactor with a rotating plasma / A.A. Bechtenev, V.I. Volosov,V.E. Pal*chikov e.o. Hucl. Pus., 1980, vol. 20, No 5, p. 579-598.

6. Field reversal in mirror machines / L.D. Pearlstein, D.V. Anderson, D.E. Baldwin a.o. In: Plasma physics and controlled nuclear fusion research - 1978: Proc. of the seventh intern, conf. Innsbruck, 1978. Vienna: IAEA, 1979, vol. 2, p. 4-57-466.

7. Мирнов В.В., Рютов Д.Д. Газокинетическая линейная ловушка для удержания плазмы. Письма в ЖГФ, 1979, т. 5, № II,с.678-682.

8. Мирнов В.В., Рготов Д.Д. Газодинамическая ловушка. Вопросы атомной науки и техники, серия "Термоядерный синтез",1980, № 1(5), с.57-66.

9. Tuszewski M.t Lichtenberg А.Т., Eylon S. Transient confinement of a high — density plasma in a multiple mirror magnetic - field configuration. - Nucl. Fus., 1977, vol. 17, No 5, P. 893-901.

10. Димов Г.И. Аксиально-симметричная амбиполярная ловушка. -Новосибирск, 1982, 16с. (Препринт/Институт ядерной физики СО АН СССР; 82-150).

11. Logan B.G. Improved axisymmetric cusp plugs for tandem mirror reactors. - Comm. on Plasma Phys. and Contr. Fus.,1981, vol. 6, No 6, p. 199-207.

12. Field- reversal experiments in a neutral beam - injected mirror machine / W.C. Turner, T.F. Cleuser, F.N. Coensgen a.o. - Nucl. Fus., 1979, vol. 19, No 8, p. 1011-1028.

13. Hall L.S., Mcnemera B. Three dimensional equilibrium of the anisotropic, finite - pressure guiding - centre plasma: Theory of the magnetic plasma. - Phys. Fluids, 1975, vol. 18, No 5, P. 552-565.

14. Ступаков Г.Б. Гидродинамическое равновесие плазмы в амби-полярной ловушке. Физика плазмы, 1979, т.5, № 4,с.871-879.

15. Рютов Д.Д., Ступаков Г.В. Процессы переноса в аксиально-несимметричных открытых ловушках. В кн.: Вопросы теории плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1984, вып.13, с.74-159.

16. Шафранов В.Д. Равновесие плазмы в магнитном поле. В кн.: Вопросы теории плазмы. М.: Госатомиздат, 1963, вып.2,с.92-131.

17. Hastie Е. Т., Taylor Т.В., Haas F.A. Adiabatic invariants and the equilibrium of magnetically trapped particles. -Ann. of Phys., 1967, vol. 41, No 2, p. 302-338.

18. Newcomb W.A. Equilibrium and stability of collisionless systems in the paraxial limit. T. Plasma Phys., 1981, vol. 26, part 3, p. 529-584.

19. Ступаков Г.В. Влияние эффектов конечного ларморовского радиуса на равновесие плазмы. ЖЭТФ, 1984, т. 87, вып. 3(9), с.811-821.

20. Eosenbluth M.N., Krall N.M., Rostoker N. Finite Larmor radius stabilization of "weakly" unstable confined plasmas. Nucl. Fus. 1962 Supplement, 1962, part 1, p. 143150.

21. Finite Larmor - radius stabilization of ballooning modes in an axisymmetric tandem mirror / D.A. D'Ippolito, G.L. Francis, Т.Е. Myra a. o. - Phys. Fluids, 1981, vol. 24,1. No 12, p. 2270-2273.

22. Тимофеев А.В. К теории "желобковой" неустойчивости плазмы в амбиполярных ловушках. Физика плазмы, 1983, т.9, № 3, с.538-546.

23. Арсенш В.В. Возможность МГД-устойчивого удержания плазмы в полой аксиально-симметричной зеркальной ловушке. Физика плазмы, 1979, т.5, £ 6, с.1293-1299.

24. Арсенин В.В. Стабилизация первой моды желобковых колебаний в длинной аксиально-симметричной открытой ловушке.- Физика плазмы, 1982, т. 8, J& 3, с.484-486.

25. Logan B.G. An axisymmetric high beta tandem - mirror reactor. - Comm. on Plasma Phys. and Gontr. Fus., 1980, vol. 5, No 6, p. 271-274.

26. Нагорный В.П., Ступаков Г.В. Желобковая неустойчивость плазмы в антипробкотроне. Физика плазмы, 1984, т.10, В 3, с.476-484.

27. Rosenbluth M.N., Longmire C.L. Stability of plasmas confined by magnetic fields. Ann. Phys., 1957, vol. 1,1. No 2 , p. 120-137.

28. Кадомцев Б. Б. Гидромагнитная устойчивость плазмы. В кн.: Вопросы теории плазмы. М.: Госатомиздат, 1963, вып. 2,с. 132-176.

29. An energy principle for hydromagnetic stability problems / I.B. Bernstein, E.A Frieman, M.D. Kruskal, R.M. Kulsrud. Proc. Roy. Soc., 1958, vol. A224-, No 1236, p.17-40

30. Нагорный В.П., Рютов Д.Д., Ступаков Г.В. Влияние течения плазмы на желобковую неустойчивость. Новосибирск, 1983. 32с. - (Препринт/Институт ядерной физики СО АН СССР; 83-74).

31. Нагорный В.П., Ступаков Г.В. О применении энергетического принципа к задаче об устойчивости течения плазмы. Новосибирск, 1983. 24с. - (Препринт/Институт ядерной физики СО АН СССР; 83-102).

32. Нагорный В.П., Рготов Д.Д., Ступаков Г.В. Желобковая неустойчивость плазмы в газодинамической ловушке. Новосибирск, 1983. 44с. - (Препринт/Институт ядерной физики СО АН СССР; 83-73).

33. Stupekov G.V. MHD stability of plasms flow in open traps. In: Mirror - based and field - reversed approaches t* magnetic fusion: Proc. Course Varenna, 1983. Brussels: CEC, 1984, vol. 2.

34. Арсенин В.В. Баллонный эффект в желобковых колебаниях и пределы устойчивости плазмы в аксиально-симметричной амбиполярной ловушке. Физика плазмы, 1980, т. 6, № 3, с.551-554.

35. Тимофеев А.В. Об устойчивости желобковых колебаний в амбиполярных ловушках. Письма в ЖЗТФ, 1979, т. 29, №4, с.227-230.

36. Рготов Д.Д., Ступаков Г.В. Поперечные потери частиц в амбиполярной плазменной ловушке. Письма в ЖЭТФ, 1977, т.26, № 3, с.186-189.

37. Галеев А. А., Сагдеев Р.З. "Неоклассическая" теория диффузии. В кн. : Вопросы теории плазмы. М. : Атомиздат, 1973, вып.7, с.205-273.

38. Коврижных Л.М. Неоклассическая теория процессов переноса в тороидальных магнитных ловушках. В кн.: Итоги науки и техники. Физика плазмы. М.: ВИНИТИ, 1982, т.З, с.239-281.

39. Рютов Д.Д., Ступаков Г.В. Диффузия резонансных частиц в амбиполярных плазменных ловушках. Докл. АН СССР, 1978, т.340, Jfc 5, с.1086-1089.

40. Baldwin D.E., Pearlstein L.D. Radial diffusion in tandem mirrors. Livermore, 1978. - 8p. -C Memorandum / Lawrence Livermore Laboratory; MFE / TG / 78-189 )

41. Панов Д. А. Структура дрейфовых поверхностей и условие ортогональности геометрии магнитного поля. Письма в ЖЭТФ, 1982, т.35, В 2, с.70-72.

42. Ступаков Г.В. Об одном способе уменьшения поперечных потерь плазмы из амбиполярной ловушки. Физика плазмы, 1979, т.5, № 5, с.958-961.

43. Stupakov G.V. Omnigenous magnetic fields. In: Fusion Energy 1981. Selected lectures presented at the spring college on fusion energy. Trieste, 1981. Vienna: IAEA,1982, p. 255-260.

44. Рютов Д.Д., Ступаков Г.В. Неоклассическая теория процессовпереноса в амбиполярных ловушках. Физика плазмы, 1978, т.4, № 3, с.501-520.

45. Plasma diffusion in a toroidal stellarator / A.A. Galeev, R.Z. Sagdeev, H.P. Furth, M.N. Rosenbluth. Phys. Rev. Lett, 1969, No 11, p. 511-514.

46. Ryutov D.D. Collisio'nal transport in tandem mirrors. -In: Physics of plasmss close to thermonuclear conditions: Proc. of the course held in Varenna, Italy, 1979* Brussels: CEC, 1980, vol.1, p. 81-99.

47. Pekker L.S., Stupskov G.V. Transverse ion losses from plugs of an embipoler traps. In: Tenth European conference on controlled fusion and plasma physics: Proc. of the tenth Europ. conf. Moscow; 1981, vol. 1, p. C-8.

48. Пеккер Л.С., Ступаков Г.В. Поперечные потери ионов через крайние пробкотроны амбиполярной ловушки при редких столкновениях. Физика плазмы, 1983, т.9, Л 4, с.722-732.

49. Пеккер Л.С. Поперечные потери ионов в торцевых пробкотро-нах амбиполярной ловушки. Физика плазмы, 1983, т. 9,2, с.420-433.

50. Юшманов П.Н. Резонансная диффузия банановых частиц в то-камаках с гофрированным полем. Докл. АН COOP, 1982,т.266, № 5, C.II23-II27.

51. Димов Г.И., Росляков Г.В. Ловушка с амбиполярными пробками. Новосибирск. 1980. 51с. - (Препринт/Институт ядерной физики СО АН СССР; 80-152).

52. Summary of results from the tendem mirror experiment (TMX) / TMX Group; Ed. T.C; Simonen.- Livermore, 1981. -(Lawrence Livermore Laboratory; UCRL 535120 ).

53. Recent experiments in the PHAEDRUS tandem mirror / N. Hershkowitz, R.A. Breun, D. Brouchous a.o. In: Plasma physics and controlled nuclear fusion research 1982: Proc. of the ninth intern, conf. Baltimore, 1982. Vienna: IAEA, 1983, vol. 1, p. 555-564.

54. Operation of the tendem mirror plasma experiment with skew neutral - beam injection / Т.О. Simonen, S.L. Allen, T.A. Casper a.o. - Phyc. Rev. Lett., 1983, vol. 50, No 21, p. 1668-1671.

55. Лысянский П.Б., Тиунов М.А. Поперечная диффузия плазмы на расщеплении дрейфовых поверхностей в аксиально-несимметричных плазменных ловушках. Физика плазмы, 1982, т. 8, № 5,с.963-969.

56. Experimental observation on enhancement of the ambipolar potential by injection of neutral beams in a tandem mirror / K. Yetsu, S. Miyoshi, H. Tamai a.o. Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 43, No 9, p. 627-630.

57. Electrostatic plasma confinement experiments in a tandem mirror system / F.H. Coensgen,C.A. Anderson, T.A. Cesper a.o. - Phys. Rev. Lett., 1980, vol. 44, No 17, p. 11321135.

58. Cohen R.H., Kevins W.M., Stupakov G.V. Collisional limits of resonant and neoclassical transport in tandem mirrors.-Nucl. Fus., 1982, vol. 22, No 5, p.611-616.

59. Морозов А.И., Соловьев Л.С. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях. В кн. Вопросы теории плазмы. М.: Госатомиздат, 1963, вып.2, с.177-261.

60. Нортроп Т. Адиабатическая теория заряженных частиц /Пер.с англ. В.М.Балебанова и В.И.Настюхи. Под ред. Н.Н.Семашко. М.: Атомиздат, 1967. - 127с.

61. Ступаков Г.В. Гамильтонова формулировка дрейфовых уравнений движения во втором порядке. Письма в ЮТФ, 1982, т.36,9, с.318-320.

62. Шульженко Г.И. Исследование поперечных потерь в длинной магнитной ловушке с радиальным электрическим полем. Физика плазмы, 1983, т.9, Л 3, с.477-483.

63. Radial transport in the central cell of the tandem mirror experiment / R.P. Drake, E.B. Hooper, C.V. Karmendy a.o. Phys. Fluids, 1982, vol. 25, No 11, p. 2110-2120.

64. Furth H.P., Rosenbluth M.N. Closed magnetic vacuum configurations with periodic multipole stabilization. Phys. Fluids, 1964, vol. 7, No 5, p. 764-766.

65. Волков Т.Ф. Гидродинамическое описание сильно разреженной плазмы. В кн.: Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1964, вып.4, с.3-19.

66. Taylor IT .В. Some stable plasma equilibria in combined mirror cusp fields. - Phys. Fluids, 1963, vol. 6, No11, p. 1529-1536.

67. Pearlstein L.D., Kaiser T.B., Newcomb W.A. Analytic equilibria with quadrupole symmetry in the paraxial limit. -Phys. Fluids, 1981, vol. 24, No 7, p. 1326-1335.

68. Mirror advanced reactor study interim design report. -Livermore, 1983. -(Lawrence Livermore Laboratory; VCRL 53333) .

69. The effect of pondermotive forces on the equilibrium in non axisymmetric tandem mirrors / M.Lontano, R. Pozzo-li, D.Ryutov, G. Stupakov. - Nucl. Pus., 1984, vol. 24, Ко 4, p. 493-497.

70. Брагинский С.И. Явления переноса в плазме. В кн.: Вопросы теории плазмы. М.: Госатомиздат, 1963, вып.1, с.183--272.

71. Трубников Б.А., Жданов С.К. Бесстолкновительная гидродинамика плазмы с ненулевым ларморовским радиусом ионов и желобковая неустойчивость 2. -пинча. Физика плазмы, 1977, т.З, № I, с.78-86.

72. Рудаков Л.И. Влияние вязкости плазмы в магнитном поле на устойчивость плазмы. Ядерный синтез, 1962, т.2, № 1,2, с.107-108.

73. Roberts K.V., Taylor Т.В, Magnetohydrodynamic equations for finite Larmor radius. Phys. Rev. Lett., 1962, vol. 8, No 5, p. 197-198.

74. Newcomb W.A. The perfect gyroscopic fluid.- Ann. of Phys., 1972, vol. 72, No 1, p. 29-79.

75. Newcomb W.A. Gyroscopic quasielastic fluid systems. -Ann. of Phys., 1973, vol. 81, No 1, p. 231-331.

76. Сивухин Д.В. Дрейфовая теория движения заряженной частицы в электромагнитных полях. В кн.: Вопросы теории плазмы. М.: Госатомиздат, 1963, вып.1, с.7-97.

77. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т.2. Неустойчивости неоднородной плазмы. Изд. 2-е перераб.и доп. М.: Атомиздат, 1977, - 360с.

78. Kruskal M.D., Oberman C.R. On the stability of plasma in static equilibrium. Phys. Fluids, 1958, vol. 1, No 4, p. 275-280.

79. Нагорный В.П., Ступаков Г.В. Желобковая неустойчивость плазмы в антипробкотроне. Новосибирск, 1983. 24с. -(Препринт/Институт ядерной физики СО АН СССР; 83-23).

80. Frieman E.f Rotenberg М. On hydromagnetic stability of stationary equilibria. Rev. Modern Phys., 1960, vol. 32, No 4, p. 898-902.

81. Marginal stability condition for stationary non dissipa-tive motions /G.Laval, R.Pellet, M.Cotseftis, M.Trocheris. - Nucl. Pus., 1969, vol. 4, Ho 1, p. 25-29.

82. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.:

83. Гостехтеориздат, 1958. 539с.

84. Riviere А.С. Penetration of fest hydrogen atoms into a fusion reactor plesma. Nucl. Pus., 1971, vol. 11, No 4, P. 365-369.

85. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука, 1974, - 752с.

86. KaiserT.B., Pearlstein L.D. Ballooning modes in quedrupole tandem mirrors. Phys. Fluids, 1983, vol. 26, No10, p. 3053-3065.

87. D*Ippolito D.A., Myra T.R. Strongly localized ballooning modes in an axisymmetric mirror. -Phys. Fluids, 1981, vol. 24, No12-i p. 2265-2269.r

88. Кадомцев Б.Б. Магнитные ловушки с "гофрированным" полем.- В кн.: Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: Изд. АН СССР, 1958, т.З, с.285-289.

89. Панов Д.А. Влияние структуры поля на поведение частиц в магнитной ловушке. Условие ортогональности. Физика плазмы, 1983, т.9, № I, с.184-201.

90. Лысянский П. Б., Тиунов М.А., Фомель Б.М. Расчет процессов переноса в амбиполярной ловушке методом прямого статистического моделирования. Физика плазмы, 1982, т.8, № 4, с.672-681.

91. Byers Т.A« Drift orbits in the ФМХ and MFTF В tandem mirrors. - Nucl. Fus., 1982, vol. 22, No 1, p. 49-61.

92. X180 L.L., Conn B.W., Kesner T. Single particle orbits in 8 tandem mirror. - Nucl. Fus., 1978, vol. 18, No 9, p. 1308-1314.

93. Cetto P.IT., Hazeltine B.D. Omnigenous equilibria for charged particles in a magnetic field. Phys. Bev. Lett., 1981, vol. 46, No 15, P. 1002-1006.

94. Catto P.T., Hezeltine K.D. Omnigenous equilibria. Phys. Fluids,1981, vol. 24, No 9, p. 1663-1675.

95. D'Ippolito D.A., Francis G.L.,Myra Т.Е. Lolally omnigenous tandem mirror design.- Nucl. Fus., 1983, vol. 23, No 12, p. 1698-1701.

96. Myre iT.R., D'Ippolito D.A., Catto P.0\ Reduction of radial losses in tendem mirrors. Phys. Fluids, 1983, vol. 26, No < 4, p. 1028-1036.

97. D'Ippolito D.A., Francis G.L., Myra Т.Е. Magnetic coil optimization for quadrupole stabilized mirror systems. -IEEE Transactions on Plasma Science, 1985, vol. PS-11, Ho 4, p. 288-293.

98. Baxter D.C., DfIppolito D.A, A tandem mirror coil design to reduce radial losses. IEEE Transactions on Plasma Science,1983, vol. PS-11, No 4, p.294-299.

99. Котельников И. А. Влияние конечного давления на равновесие плазмы и движение частиц в аксиально-несимметричных открытых ловушках. Новосибирск, 1983. 16с. - (Препринт/ Институт ядерной физики СО АН СССР; 83-78).

100. Nortrop T.G., Teller Е. Stability of the adiabatic motion of charged particles in the Earth1s field. Phys. Eev., 1960, vol. 117, No 1, p. 215-225.

101. Галеев A.A., Сагдеев Р.З. Явления переноса в разреженной плазме в тороидальных магнитных ловушках. ЖЭТФ, 1967, т.53, № 1(7), с.348-359.

102. Коврижных Л.М. Процессы переноса в тороидальных магнитных ловушках. ЖЭТФ, 1969, т.56, Л 3, с.877-891.

103. Муга Т.Е., Catto Р.З1., Hezeltine B.D. Electron radial transport in tandem mirrors in the low collision frequency limit. Phys. Fluids, 1982, vol. 25, No11, p. 2028-2036.

104. Eozenbluth M.N., Hezeltine E.D., Hinton F.L. Plasma transport in toroidal confinement systems. Phys. Fluids, 1971, vol. 15, No 1, p. 116-140.

105. Hinton F.L., Hezeltire F.L. Theory of plesme transport in toroidal confinement systems. Rev. Modern Phys., 1976»vol. 48, No 2, p. 239-308.

106. Брейзман Б.H., Мирнов В.В., Рютов Д.Д. Омическое сопротивление неоднородной плазмы. ЖЭТФ, 1970, т.58, $ 5, с.1770--1783.

107. Mirnov V.V., Ryutov D.D. Gas dynamic description of aplesme in a corrugated magnetic field. Nucl. Pus.,1972, vol. 12, No 6, p. 627-236. НО. Захаров B.E., Карпман В.И. К нелинейной теории затуханияплазменных волн. ЮТФ, 1962, т.43, J6 2(8), с.490-499.

108. Hinton F.L., Rozenbluth M.N. Transport properties of a low to - intermediate collision frequencies. - Phys.

109. Fluids, 1973, vol. 16, No 6, p. 836-854.

110. Чириков Б.В. Однородная модель резонансной диффузии частицв открытой магнитной ловушке. Физика плазмы, 1979, т.5, № 4, с.880-891.

111. Cohen R.H., Rowlands G. Calculation of resonant transport coefficients from mappings. Phys. Fluids, 1981, vol. 24, No 12, p. 2295-2305.

112. Cohen R.H. 0rbit8l resonances in non8xisymmetric mirror machines. Comm. on Plasma Phys. and Contr. Pus., 1979, vol. 4, No 6, p. 157-174.

113. Мугэ T.R., Catto P.3\ Radial transport, end loss, 8nd 8mbi-polarity in tandem mirrors. Phys. Fluids, 1983, vol. 26, No 7, 1836-1845.

114. Cohen R.H. Analitic approximation to resonant plateau transport coefficients for t8ndem mirrors. Nucl. Fus., 1979, vol. 19, No 12, p. 1579-1586.

115. Radial, transport calculations for tandem mirrors / A.A. Mirin, S.P. Auerbach, R.H. Cohen a.o. Nucl. Fus. 198?, vol. 23, No 6, p. 703-738.

116. Пеккер Л.С. Поперечный перенос в амбиполярной ловушке при наличии пика в функции отражения частиц. Новосибирск, 1981. 19с. - (Препринт/Институт ядерной физики СО АН СССР; 81-131).

117. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний. Усп.физ.наук, 1971, т.105, № I, с.3-39.

118. Крускал М. Адиабатические инвариантц/Пер. с английского М.С.Рабиновича. М.: Изд. иностр. лит., 1962. - 91с.

119. Northrop T.G., Liu C.S., Kruskal M.D. First correcton to the second adiebatic invariant of charged particle motion. - Phys. Fluids, 1966, vol. 9, No 8, p. 1503-1513.