Системы экспонент в весовых гильбертовых пространствах на R тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Башмаков, Рустэм Абдрауфович

• Башмаков, Рустэм Абдрауфович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Башмаков, Рустэм Абдрауфович

Введение

1 Геометрические характеристики выпуклых функций и асимптотика интегралов Лапласа

1.1 Асимптотика интегралов Лапласа.

1.2 Геометрические характеристики выпуклых функций и их свойства.

1.3 Преобразование Фурье-Лапласа и функция Бергмана

2 Базисы Рисса в пространстве L2(I,exph)

2.1 Необходимое условие базисности системы экспонент в пространстве L2(I, exp/i).

2.2 Условия отсутствия базисов Рисса из экспонент в пространстве L2(7, ехр/г).

3 Полнота и минимальность систем экспонент в пространстве L2(/,exp/i)

3.1 Целые функции с заданной асимптотикой.

3.2 Функции типа синуса.

3.3 Полнота системы экспонент в пространстве L2(/,exp/i)

3.4 Минимальность полной системы экспонент в пространстве Ь2(/,ехр/г).

4 Дискретные слабо достаточные множества

4.1 Основные факты и существование дискретного слабо достаточного множества.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Системы экспонент в весовых гильбертовых пространствах на R»

Диссертация посвящена проблеме разложения в ряды из экспонент элементов гидьбертова пространства L2(I, exp/i), в частности вопросам существования базисов Рисса, вопросам полноты и минимальности систем экспонент.

Пусть / — интервал вещественной оси, h(t) — выпуклая функция на этом интервале и L2(/,exp/i) пространство локально интегрируемых функций на I, удовлетворяющих условию

Оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением

Определение. Семейство {eXkt, к = 1,2,.} называется безусловным базисом в пространстве L2(I,exp/i), если

1) семейство {eXkt, к = 1,2,.} полно в пространстве L2(I,exp/i);

2) существуют положительные постоянные т, М такие, что для любой конечной последовательности а* 6 С справедлива двусторонняя оценка mEklV'T^llE^II2 <M£klV*4l2. (2.1)

Мы здесь придерживаемся определения из работы [43]. Как отмечено в этой работе, если система {еЛ,с'} образует безусловный базис в пространстве L2(7, ехр/г), то любая функция / G L2(I, ехр/г) единственным образом разлагается в безусловно (перестановочно) сходящийся ряд по этой системе: к к к оо tel.

2.2)

Известно, что если система {eXkZ, к = 1,2,.} образует безусловный базис Рисса в пространстве X, то любой элемент / этого пространства представляется единственным образом в виде суммы ряда по данной системе экспонент:

00 к=1

Поэтому задача о существовании базисов Рисса относится к проблематике представления функций посредством рядов экспонент.

В диссертации показывается, что базисы Рисса из экспонент достаточно редкое явление. Приводятся необходимые условия базисности систем экспонент в пространстве L2(/.exp/i), условия отсутствия базисов из ъкспонент и обсуждаются вопросы полноты и минимальности систем экспонент в L2(I. exp/i).

Тема представления функций посредством рядов экспонент стала объектом пристального внимания многих математиков после появления в 19G5 году работы А. Ф. Леонтьева [26], в которой было показано, что при некоторых А* можно указать области D, в которых произвольные аналитические в замкнутой области D функции допускают разложение в ряд по системе экспонент ехр(А^,г). За последующие два десятилетия

A. Ф. Леонтьевым и его учениками и коллегами была создана стройная теория представления рядами экспонент, в которой были изучены и примыкающие вопросы - теоремы единственности, восстановление функций по коэффициентам и т.д. Результаты в этом направлении подытожены в монографиях [25], [27]. [28].

С начала семидесятых годов под влиянием таких работ как L. Eh-renpreis ([59]), В. A. Taylor ([62]), P. Oliver ([60]), D. М. Schneider ([61]),

B. В. Напалков ([41], [42]). в данной проблематике систематически стали применяться методы функционального анализа. В классической теории рядов экспонент сходимость рядов рассматривалась как сходимость в естественной топологии равномерной сходимости на компактах. Одним из следствий функционального подхода стало изучение сходимости рядов в различных топологиях счетно нормированного типа. Другими словами, стало возможным представление рядами экспонент функций из заданного локально выпуклого пространства, с естественным условием, что ряды сходятся в топологии этого пространства. Еще одним следствием функционального подхода явилось распадение проблемы представления рядами экспонент на две составляющие задачи: описание сильно сопряженного пространства в терминах преобразования Лапласа и построение целых функций с заданной асимптотикой. В связи с тем, что каждая из этих составляющих задач имеет применения в других проблемах комплексного анализа, они стали объектом самостоятельного интенсивного исследования. Применительно к пространствам счетно нормированного типа обе задачи получили законченное решение к концу восьмидесятых годов. По описанию сопряженных пространств в терминах преобразования Лапласа следует отметить работы [2], [16], [39]. По существу в этих работах получено описание сопряженного пространства к весовым пространствам, замкнутым относительно дифференцирования. По проблеме целых функций с заданной асимптотикой окончательный в общей постановке результат получен в работе [51]. Таким образом, к началу девяностых годов стала актуальной задача представления рядами экспонент функций из нормированных пространств. В пространствах нормированного типа более естественным оказалось не просто разложение в ряды экспонент, а изучение базисов Рисса из экспонент.

Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова на выпуклых многоугольниках были сконструированы в работе [24]. Напомним, что пространство Смирнова на области D — это пополнение пространства многочленов относительно нормы где ds(z) — элемент длины границы области D. Анализ работы [24] показывает, что и задача о безусловных базисах из экспонент распадается на две составляющие части: описание сопряженного пространства и построение целых функций с тонкими асимптотическими оценками. В указанной работе [24] доказано, что сопряженное пространство к пространству Смирнова E2{D), где D выпуклый многоугольник, в терминах преобразования Лапласа совпадает с пространством целых функций F(Л), удовлетворяющих условию

Здесь лучи rellfik, г > 0 перпендикулярны сторонам многоугольника D, a h(<p) — опорная функция этого многоугольника. Целая функция 5(A) с простыми нулями к = 1,2,., названа функцией типа синуса для области D, если она при некоторых положительных константах с,С, 5 удовлетворяет условию: круги {А : |А — А*| <5} попарно не пересекаются и вне этих кругов выполняется двусторонняя оценка

Ю. И. Любарский в статьях [34], [35] предпринял попытку обобщения результатов работы [24] на области более общего вида. В работе [34] потах c<\S{reiip)\e-hMr <С. лучено описание сопряженного пространства к пространству Смирнова в области D, при условии, что опорная функция h(<p) = max Re гещ zeD области D дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет оценке

При этом условии на опорную функцию сопряженное пространство к пространству Смирнова над областью D совпадает с пространством целых функций F с нормой

А в статье [35] введены функции типа синуса для областей, удовлетворяющих этому условию, и такие функции сконструированы. Как показано в этой же работе система ехр(Л^г), где А*, к = 1,2,., — нули целой функции типа синуса для области D, в отличии от случая многоугольника, не образует безусловный базис Рисса в пространстве Смирнова E2{D).

В работе [32] (более подробно в [33]) задача об описании сопряженного пространства к пространству Смирнова в терминах преобразования Лапласа получила решение в общем случае. Оказалось, что сопряженное пространство топологически изоморфно гильбертовому пространству целых функций F с нормой и h(<p) — опорная функция области D. Заметим, что если D — выпуклый многоугольник, то Д(<р) — кусочно постоянная функция со скачками в направлениях ipk, к = 1,2,.,п, перпендикулярных сторонам многоугольника D, и при некоторых постоянных т, М > 0 имеет место двусторонняя оценка +/г"(</>)> 0, ip G [0;7г]. здесь использованы обозначения т < K{re1^) < М, j = 1,2,.,п, г > 0.

Тем самым, в случае, когда D — многоугольник, результат из работы [32] совпадает с теоремой Б. Я. Левина и 10. И. Любарского. Если же опорная функция области D удовлетворяет условию из работы [18], то выполняются соотношения

Таким образом, и в этом случае теорема из статьи [16] повторяет теорему Ю. И. Любарского из [34].

В диссертации В.И. Луценко [33] на основе более детальной разработки методов работы [35] было показано, что если на границе области D имеется дуга, в любой точке которой кривизна границы существует и отлична от нуля, то безусловных базисов Рисса из экспонент в пространстве Смирнова на этой области не существует. Тем самым, было получено далеко идущее обобщение результата из работы [35].

С 1990 года началась разработка темы о безусловных базисах Рисса из экспонент в пространствах Бергмана.

Пространством Бергмана B2{D), где D - область на плоскости С, называется пространство функций, аналитических в D и интегрируемых с квадратом модуля по мере Лебега на D. Структура гильбертова пространства в B2(D) — определяется скалярным произведением где через m(z) обозначена плоская мера Лебега.

В диссертации Исаева К.П. [18] доказано утверждение о том, что если на границе области D имеется точка, в которой существует отличная от нуля кривизна, то в пространстве D не существует базисов Рисса из экспонент. Тем самым, безусловные базисы Рисса из экспонент могут существовать в пространствах Бергмана лишь на "обобщенных"выпуклых многоугольниках, то есть на выпуклых областях у которой кривизна в точках границы либо равна бесконечности, либо равна нулю. В качестве положительного результата сконструированы безусловные базисы Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых многоугольниках.

С того же времени началось изучение представлений функций из пространства L2(I, exp/i) рядами экспонент. Так как основным инструментом является преобразование Лапласа, первоначально была изучена асимптотика интегралов Лапласа (см. [50]) и дано описание пространства e2rh(<p)

0 < а < А'(<р) < А < оо, tp Е [0; 2тг], r2 rh(<p)

- < К(ге%ч>) < В—tp е [0; 2тг], г > 0.

Ф ' сопряженного к L2(/,exp/i). В этой работе предложены геометрические характеристики выпуклых функций, позволяющие вести работу, в отличие от классического случая, не только в случае гладких функций веса.

Для функционала S на пространстве L2(I, exp h) его преобразованием Фурье-Лапласа называется функция

S{\) = S(eXt), ЛеС.

По известному общему виду функционалов на гильбертовых пространствах получаем, что преобразование Фурье-Лапласа непрерывного функционала имеет вид для некоторой функции / 6 L?(I, W).

В работе Луценко В. И. и Юлмухамстова Р. С. [29] доказана следующая теорема,дающая описание сопряженного пространства к L2(I, exp h)

Теорема А. Пусть W(t) — ограничена снизу положительной постоянной на ограниченном интервале I и ограничена сверху на каждом компактном подмножестве I. Положим h(x) = supfe/(x£ — In y/W(t)) — сопряженная no Юту к функции In yW(t) и определим р^{х) из условия гх+п ~ \ti(x)-ti{t)\dt = l. Jx-p-h

Тогда у*.

1. Обобщенное преобразование Лапласа S(z) = S(ezt) функционала S па L2(I,W) является целой функцией, удовлетворяющей условиям

S(z)\<Csexp(h(x)),

JR JR

2. Если lniy(i) — выпуклая функция, то имеют место и нижняя и верхняя оценки

П^Ц^Й^тгеИ.

Кроме того, в этом случае верно обратное утверждение: если F — целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условиям

JrJR

F{z)\ < Cpexph(x), z = x + iy, |F{x + iy)\2e-2~hixVh{x)dh'{x)dy < oo, то существует функционал S € L2(I, W) такой, что

S(z) = F{z), zeC.

3. Если ros

W(t)= / e2xtd,i{x),

J 00 где n(t) — неотрицательная борелевская мера на R, то для любого функционала S = / [ \S(x + iy)\4fl(x)dy.

J R J R

В работе [30] эта теорема распространена на случай неограниченных интервалов I. Утверждение третьего пункта является одномерным случаем теоремы из работы [58].

В работе Луценко В.И. [31] показано отсутствие базисов Рисса в случае веса h(t) = A\t\a, а > 1. 'Этот результат в диссертации является следствием теоремы 2.4(b)

Перейдем к подробному обзору результатов работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Нумерация приведенных во введении теорем, лемм и формул та же, что и в соответствующих разделах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Башмаков, Рустэм Абдрауфович, 2006 год

1. Абанин А. В. Достаточные множества и абсолютно представляющие системы. // Дисс. доктора физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1995.

2. Абузярова Н.Ф., Юлмухаметов Р.С. Сопряженные пространства к весовым пространствам аналитических функций. // Сиб. мат. ж. 2001. Т.42, т. С.3-17.

3. Башмаков Р.А., Напалков В.В. Достаточные множества на римановых поверхностях. // Доклады АН СССР. 1991.

4. Башмаков Р.А. О пространстве сопряженном к пространству Карлемана. // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. 1. Комплексный анализ. Уфа, 1996. С.10-15.

5. Башмаков Р.А. Квазианалитичность и полнота полиномов . // Сб. Теория функций, се приложения и смежные вопросы. Казань, 1999. С.35-36.

6. Башмаков Р.А. О свойстве некоторой функции с особенностями на отрезке. // Сб. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. I. Комплексный анализ. Уфа, 2000. С. 9-13.

7. Башмаков Р.А., Исаев К.П. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа. // Вестник Башкирского университета, 2006, №4, С. 3-6.

8. Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной плоскости. // М.: Мир, 1986.

9. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. // М., 1968. 618 е.

10. Державец Б.А. Пространства функций, аналитических в выпуклых областях С™ и имеющих заданное поведение вблизи границы. // Докл. АН СССР. 1984. Т.276. №6. С. 1297-1301.

11. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. // М.: Наука. 1979.

12. Епифанов О.В. . // Матем. заметки, 1990, 48, №5, С.83-87.

13. Епифанов О.В. Вариации слабо достаточных множеств в пространствах аналитических функций. // Изв. вузов. Матем. 1986, №7. С. 50-55 .

14. Епифанов О.В. Двойственность одной пары пространств аналитических функций ограниченного роста. // Докл. АН СССР. 1991. Т.319, №6. С. 1297-1300.

15. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Преобразование Лапласа функционалов на пространствах Бергмана . // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988.

16. Исаев К.П. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых областях. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН РАН. 2004 г.

17. Коробейник Ю.Ф. О безусловных базисах в Гильбертовом пространстве. // Матем. заметки. 1976. Т. 19. В. 2. С. 259-266. .

18. Коробейник Ю.Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы. // Известия АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50. № 3. С. 539-565. .

19. Курдюмов В.П. , Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования. II Матем. заметки, 2004, 76:1, 97-110.

20. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. // М. Наука. 1966, 516 е.

21. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. // М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

22. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т.39. Ж С. 657702.

23. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. // М.Наука, 1976.

24. Леонтьев А. Ф. О представлении произвольных функций рядами Дирихле. // ДАН СССР, 164, N1, (1965), 40-42.

25. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. // М.: Наука, 1980.

26. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. // М.: Наука, 1981, 320с.

27. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Пэли -Винера на весовые пространства). // Матем. заметки, 1990, 48, №5, С.83-87.

28. Луценко В.И. Теорема Пэли-Винера на неограниченном интервале. // Исследования по теории приближений. Уфа. 1989. С.'79-85.

29. Луценко В.И. Информационные всплески в весовых пространствах. // Вестник Башкирского университета, 2004, Xs 1, С. 3-6.

30. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Теорема Пэли-Винера в пространствах Смирнова. II Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 1991. Т.200. С.245-254.

31. Луценко В.И. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ Уро РАН. 1992 г.

32. Любарский Ю.И. Теорема Винера-Пэли для выпуклых множеств. // Изв. АН Арм. ССР. 1988. T.XXIII. №2. С.163-172.

33. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т.52. №3. С. 559-580.

34. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов . // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т.52. №3. С. 559-580.

35. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. // М., 1968. Т.2. 624 е.

36. Напалков В.В. . // Матем. заметки, 1990, 48, №5, С.83-87.

37. Напалков В.В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. Т.51, №2. С. 287-305.

38. Напалков В.В. О сравнении топологий в некоторых пространствах целых функций. // ДАН СССР. 1982. Т. 264, №4. С. 827-830.

39. Напалков В.В. О дискретных достаточных множествах в некоторых пространствах и,елых функций. // ДАН СССР. 1980. т.250, №4.

40. Напалков В.В. О дискретных слабо достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций. // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1981 . т.45, №5, с. 1088-1099.

41. Никольский Н.К., Павлов B.C., Хрущев С.В. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер. /. // Препринт ЛОМИ, Р-8-80. .

42. Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. // М.: Наука. 1969.

43. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. // М.: Мир, 1973.

44. Седлецкий A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. // М. 2005, 504 е.

45. Федорюк М.В. Метод перевала. // М.: Наука. 1977.

46. Эдварде Р. Функциональный анализ. // М. 1969. 1072 с.

47. Юлмухаметов Р.С. Асимптотическая аппроксимация субгармонических фщнкций. II Сиб. мат. ж. 1985. Т.26. №4. С.159-175.

48. Юлмухаметов Р.С. Асимптотика многомерного интеграла Лапласа . // Сб. БНЦ УрО АН СССР, Уфа, 1989 .

49. Юлмухаметов Р.С. Аппроксимация субгармонических функций. // Analysis Mathematica, 1985. T.ll, N3. С.257-282.

50. Юлмухаметов Р.С. Квазиапалитические классы функций в выпуклых областях . // Матем. сб. -1986. -Т. 11. 3. -С. 257-282.

51. Юлмухаметов Р.С. Однородные г)равнения свертки . // Док. АН СССР. -1991. -Т. 316. 2. -С. 312-315.

52. Юлмухаметов Р.С. Распределение целых функций с нулями в полосе. // Матем. сб. -1995. -Т. 186. 7. С. 148-160 .

53. Юлмухаметов Р.С. Асимптотическая аппроксимация целых функций. // ДАН СССР, т.264, №, 1982 .

54. Юлмухаметов Р.С. Достаточные множества в одном пространстве целых функций. // Математический сб. т. 116, JV53, 1981.

55. Aronszajn N. Theory of reproducing kernels. // Transactions of the American Mathematical Society, 1950, 68, N3, P.337-404.

56. Saitoh S. Fourier Laplace transforms and Bergman spaces on the tube domains. // Мат. вести. 1987, 38, №4, C.571-586.

57. Ehrenpreis L. Fourier Analysis in Several Complex Variables. // New-York, 1970.

58. Oliver P. Sufficient sets for some spaces of entire functions. // Proc. London. Math. Soc. 1977. V.34, №1, p.155-172.

59. Schneider D Discrete sufficient sets for some spaces of entire functions. // Trans. Am. Math. Soc. 1974. V.197, p.161-180.

60. Taylor B.A. Sufficient sets for spaces of entire functions. // Trans. Am. Math. Soc. 1972. V.163, p.207-209.

61. Taylor B.A. Some locally convex spaces of entire functions. // In:"AMS Summer Institute"; Proc. Symp. Pure Math. 1968. 11. p. 431-467.