Структура решений теории гравитации, основанной на изометрических вложениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Шейкин, Антон Андреевич

• Шейкин, Антон Андреевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Шейкин, Антон Андреевич

Оглавление

Введение

1 Явные вложения римановых метрик

1.1 Мотивация

1.2 Симметрийный анализ возможности вложения статических черных дыр

1.2.1 Метод построения вложений симметричных метрик

1.2.2 Построение представлений группы 50(3) х Т1

1.3 Возможные вложения метрики Шварцшильда

1.4 Вложения метрики Шварцшильда

1.4.1 Эллиптическое вложение

1.4.2 Параболическое вложение

1.4.3 Гиперболическое вложение

1.4.4 Экспоненциальное вложение

1.4.5 Спиральное вложение

1.4.6 Кубическое вложение

1.5 Вложение метрики Коттлера

1.6 Вложения метрики Райсснера-Нордстрема

1.6.1 Общие соображения

1.6.2 Классификация известных вложений метрики Райсснера-Нордстрема

1.6.3 Новые глобальные минимальные вложения метрики Райсснера-Нордстрема

1.6.4 Спиральное вложение

1.6.5 Экспоненциальное вложение

1.6.6 Кубическое по времени вложение

1.7 Заключение

2 Теория гравитации на базе вложений и поле точечной массы

2.1 Уравнения Редже-Тейтельбойма

2.1.1 Канонический формализм

2.1.2 Степени свободы

2.1.3 Линеаризация уравнений Редже-Тейтельбойма

2.1.4 Бескоординатная формулировка

2.1.5 Неэнштейновская динамика

2.2 «Лишние решения» уравнений Редже-Тейтельбойма

2.3 Уравнения Редже-Тейтельбойма со статическим сферически симметричным источником

3 Уравнения Редже-Тейтельбойма во фридмановском приближении

3.1 Мотивация

3.2 Уравнения Редже-Тейтельбойма во фридмановском приближении

3.3 Динамика лишних решений в эпоху лямбда-члена

3.4 Динамика лишних решений после инфляции

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура решений теории гравитации, основанной на изометрических вложениях»

Введение

Актуальность темы

На протяжении многих десятилетий задача о квантовании гравитации остается камнем преткновения для теоретической физики. Общая теория относительности Эйнштейна, которая на сегодняшний день, бесспорно, является лучше всего изученной теорией гравитационного взаимодействия, дает очень хорошее согласие с экспериментом и позволяет объяснить огромное множество физических явлений при очень небольшом количестве исходных предположений. Однако при попытках ее квантования неизбежно возникновение крайне серьезных технических и методологических трудностей (детальное обсуждение проблем квантования гравитации и различных подходов к их решению можно найти в обзоре [I]). Многие из них возникают в первую очередь потому, что общая теория относительности является динамической теорией пространства-времени, и по самому ее построению в ней отсутствуют необходимые для квантования объекты, в частности, выделенная ось времени, необходимая для построения гамильтонова формализма. С отсутствием выделенной оси времени связана также проблема энергии гравитационного поля — гамильтониан сводится к связям, а ненулевой вклад дают только поверхностные члены. Отсутствует также фиксированная фоновая метрика, необходимая для записи канонических коммутационных соотношений. С ее отсутствием связана проблемы причинности в квантовой гравитации: мы не можем определить, связаны ли причинно две области пространства-времени, потому что в определение квадрата интервала входит метрика, которая сама является квантовым оператором.

По этим причинам представляется интересным изучение альтернативных формулировок теории гравитации, свободных от вышеперечислен-

ных трудностей. В качестве основного объекта изучения предполагается рассмотреть теорию Редже-Тейтельбойма — теорию гравитации, основанную на изометрических вложениях.

Эта теория также достойна внимания в связи с экспериментально обнаруженными отклонениями астрофизических и космологических данных от предсказаний ОТО Эйнштейна. Напомним, что в современной космологии существуют две главных проблемы: объяснение скрытой массы во вселенной и кривых вращения галактик — т.н. проблема темной материи, и объяснение ускоренного расширения вселенной и параметров этого ускорения — проблема темной энергии [2]. В рамках теории Эйнштейна эти явления не находят удовлетворительного описания, и в силу этого разумно искать объяснения в расширенных теориях. Структура решений уравнений Редже-Тейтельбойма такова, что допускает расширение эйнштейновской динамики; это позволяет искать объяснение вышеупомянутым феноменам в рамках соответствующей теории.

Разработанность темы

Свойства поверхностей, вложенных в некоторое объемлющее пространство, начали изучаться достаточно давно, начиная с пионерских работ Гаусса и Римана. Вложения быстро нашли себе применение в различных аспектах геометрии. Сразу после опубликования трудов Римана геометр Л. Шлефли, изучавший возможность вложения римановых пространств, предположил, что локальное изометрическое вложение п-мерного пространство возможно в риманово пространство размерности п{п + 1)/2. Доказательство этой теоремы для двумерных аналитических метрик было получено М. Жане [3] в 1926, а для произвольных п-мериых метрик Э. Картапом [4] в 1927 году. Фридман [5] обобщил эту теорему на случай псевдоримановых пространств:

Теорема Фридмана. Произвольное п-мерное (псевдо)ршшпово пространство может быть локально изометрически вложено в произвольное объемлющее (псевдо)риманово пространство размерности

м>п{п+1) (1)

и подобающей сигнатуры.

Существуют также теоремы, обеспечивающие существование глобального изометрического вложения при Ат > тг(3?г + 11)/2 для компактных многообразий и при N > п(п + 1)(3п + 11)/2 для некомпактных, см. [6], и гипотеза, согласно которой произвольное С°° риманово многообразие с С°° метрикой может быть глобально изометрически вложено в псевдоевклидово пространство Едт- с N = п(4п + 5). Интересно отметить, что это предположение приводит к Лг = 2G для двумерного многообразия

— результат, свидетельствующий о выделенности этого числа измерений для квантованной бозонной струны, которая, как известно, свободна от аномалий только в 26-мерном пространстве.

При вложении риманова многообразия метрика становится индуцированной и выражается формулой

9fiv(x) = dflya{x)dl/yb{x)gab (2)

где /х, и = 0.. .п, да(, — метрика объемлющего пространства размерности Аг, так что а,Ь = 0.. .N — 1. Глядя на эту формулу, можно легко понять теорему Фридмана: в самом деле, метрика произвольного многообразия

— симметричный тензор пхп, имеющий п(п + 1)/2 независимых компонент, следовательно, в общем случае вектор уа(х) должен иметь как минимум п(п+1)/2 компонент.

Помимо чисто математических задач, вложение со временем начало становиться рабочим инструментом и для физиков. Открытие геометрической структуры пространства-времени сделало возможным свести изучение динамики тел в терминах некоторого мирового многообразия, вложенного в объемлющее пространство-время. Для частицы это одномерная кривая — мировая линия, для одномерного объекта — двумерный лист и т.д. Формализм Арновитта-Дезера-Мизнера, построенный в начале шестидесятых годов [7], позволил трактовать гравитацию как динамику трехмерной поверхности, вложенной в (3+1)-мерное пространство-время. Дальнейшее развитие идеи АДМ получили в геометродинамике Уиле-ра [8]: расширении ОТО, в основе которого лежало предположение о том, что не кривизна пространства порождается массивными источниками, а масса — кривизной.

Еще один шаг в этом направлении был сделан Редже и Тейтельбой-мом в 1975 году. Их подход изначально строился в рамках канонического формализма, с которым они к тому времени уже привыкли иметь дело — можно вспомнить вышедшую несколькими годами ранее статью [9], где исследовалась роль поверхностных интегралов в канонической формулировке ОТО. Стоит также отметить обзор [10], в котором описан канонический формализм для различных систем со связями, в том числе и ОТО.

В начале своей статьи [11] авторы обращают внимание на трудности, возникающие при каноническом квантовании общей теории относительности, как то:

• Корректная параметризация пространства-времени координатами затрудняется калибровочной инвариантностью.

• Гамильтониан представляет собой сложную нелинейную конструкцию, что влечет непреодолимые проблемы, связанные с упорядочением операторов.

• При выборе калибровочного условия «maximal slicing» 7г] = 0, обеспечивающего наиболее приемлемое 3+1-расщепление, не удается интерпретировать скобки Пуассона исходных переменных как коммутаторы, поскольку в их правую часть нетривиальным образом входят д-числа.

Авторы также отмечают, что эти трудности не являются некоей частной проблемой ОТО, а присутствуют во многих теориях с репараметризаци-онной инвариантностью времени. Следовательно, разумно было бы изучить формализм аналогичных теорий, чтобы понять, каким образом в них удается этих трудностей избежать.

Незадолго до этого, в конце шестидесятых — начале семидесятых годов была разработана теория бозонной струны: теория двумерной поверхности, вложенной в многомерное объемлющее пространство-время Мин-ковского. В этой теории успешно устраняются некоторые проблемы, аналогичные вышеуказанным, поэтому Редже и Тейтельбойм предположили, что описание гравитации в тех же терминах — терминах поверхности,

вложенной в объемлющее пространство-время — может иметь некоторые преимущества над стандартным.

Достигается это за счет того, что в качестве объемлющего пространства-времени может быть выбрано плоское пространство-время Минковского, в полном соответствии с теорией бозонной струны. Стоит отметить, что трактовка этого пространства для двух теорий различна. В теории струн это физическое пространство-время, на фоне которого происходят наблюдаемые нами события, а в подходе Редже и Тейтельбой-ма — вспомогательная математическая конструкция, так что известной проблемы струнной теории — проблемы выбора бэкграунда — в подходе Редже-Тейтельбойма не возникает.

Уравнения Редже-Тейтельбойма, как и обычные уравнения Эйнштейна, легче всего поддаются решению при наличии достаточной группы симметрии (достаточной для того, чтобы ДУЧП превратились в ОДУ). Среди решений с высокой симметрией наибольший физический интерес представляют, разумеется, статические сферически-симметричные решения и модель Фридмана. Уравнения Редже-Тейтельбойма анализировались прежде всего в рамках симметрии таких типов. Случай симметрии Фридмана анализировала, в частности научная группа Дэвидсона в [12], [13], [14], и Рохас с сотрудниками (см., напр. [15] и [16]). Сферически-симметричные уравнения изучал Тапиа [17] и Эстабрук [18], но, как будет показано ниже, анализ, проведенный в обеих этих работах, не был полным.

Целыо данной работы является исследование неэйнштейновских решений уравнений Редже-Тейтельбойма при наличии физически обусловленной симметрии. Изучение структуры этих решений на различных масштабах позволит сделать выводы о степени достоверности, с которой планетарная, галактическая и космологическая динамика может быть описана посредством уравнений Редже-Тейтельбойма. В тех ситуациях, где предсказания эйнштейновской теории совпадают с наблюдениями (к примеру, в планетарной динамике) необходимо найти объяснение отсутствия лишних решений, а в тех, где предсказания расходятся с наблюдениями (темная энергия и темная материя) — изучить возможность объяснения их

при помощи теории вложения. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Построение всех явных вложений БО(3) х Т1-симметричной метрики в 6-мерное объемлющее пространство, обладающих такой же группой симметрии.

2. Изучение ограничений, налагаемых вакуумными уравнениями Редже-Тейтельбойма на асимптотику индуцируемой такими вложениями метрики.

3. Изучение динамики масштабного фактора вселенной Фридмана с учетом предположения, что в начальный период развития вселенной реализовался инфляционный сценарий.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Новые глобальные минимальные вложения метрик Шварцшильда, Коттлера и Райсснера-Нордстрёма, построенные и классифицированные при помощи метода, предложенного в [19].

2. Отсутствие «лишних решений» вакуумных уравнений Редже-Тейтельбойма, если рассматривается обладающее 5*0(3) ® Т1 симметрией вложение четырехмерной поверхности в плоское шестимерное объемлющее пространство, а индуцированная метрика обладает той же симметрией и является асимптотически плоской.

3. Наличие экспоненциального подавления «лишних решений» во фридмановском приближении теории вложения, если на ранних стадиях развития вселенной присутствовал инфляционный режим, а состояние вселенной до начала инфляции описывалось начальными данными общего вида.

Научная новизна:

1. Впервые построена полная классификация симметричных вложений метрик Шварцшильда в объемлющее пространство минимальной размерности, при этом два из шести возможных вложений оказались новыми, не описанными ранее в литературе.

2. Впервые найдено вложение метрики Шварцшильда, являющееся асимптотически плоским, т.е. при г —>• оо стремящееся к четырехмерной плоскости.

3. Впервые получены минимальные вложения метрик Коттлера и Райсснера-Нордстрёма, гладко покрывающие оба горизонта.

4. Впервые проведен полный анализ всех допускаемых симметрией решений уравнений Редже-Тейтельбойма для точечного источника, порождающих асимптотически плоскую метрику.

5. Показано, что в модели Фридмана с начальными данными, находящимися в ситуации общего положения, «лишние решения» оказываются экспоненциально подавлены после окончания инфляционного периода.

Научная и практическая значимость

Построенные вложения могут использоваться для изучения различных свойств черных дыр, к примеру, для проверки универсальности соответствия между температурой Хокинга и температурой Унру.

Асимптотически плоское вложение метрики Шварцшильда может использоваться для решения задачи многих тел в подходе Редже-Тейтельбойма.

Доказанное отсутствие «лишних решений» в нескольких физически интересных случаях говорит о том, что теория вложения, по крайней мере на классическом уровне, согласуется с экспериментальными данными, и позволяет рассматривать ее в качестве возможной основы для поиска удобной для квантования теории гравитации.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях: Международная студенческая конференция «Science & Progress — 2011», 14-18.11.2011, Петергоф,

50th International school of subnuclear physics, Erice, Italy, 23 June — 2 July 2012,

VIII Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященная 155-летию со дня рождения К. Э.

Циолковского «Молодежь и наука», Красноярск, 19-27 апреля 2012 г. IV международная конференция «Модели квантовой теории поля», посвященная А. Н. Васильеву, Санкт-Петербург, 24-27 сентября 2012 The XXI International Workshop «High Energy Physics and Quantum Field Theory», Saint-Petersburg, June 23 - June 30, 2013

II Russian-Spanish Congress «Particle and Nuclear Physics at all Scales and Cosmology», Saint-Petersburg, October 1-4, 2013

Международная зимняя школа-семинар по гравитации, астрофизике и космологии «Петровские чтения-2014», Казань, 17-21 февраля 2014 г.; а также на научных семинарах Петербургского отделения Математического института, Государственного астрономического института имени Штернберга, Московского государственного университета и Высшей школы экономики.

Публикации.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы [19-23] в 5 печатных изданиях, индексируемых базами данных «Web of Science» или «SCOPUS» и включенных в список ВАК.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 109 страниц с 9 рисунками. Список литературы содержит 80 наименований.

Первая глава посвящена построению и классификации явных симметричных вложений метрик Шварцшильда, Райсснера-Нордстрёма и Котт-лера в объемлющее пространство минимальной размерности. Для удобства ссылок в этой главе также кратко излагается метод построения симметричных вложений римановых многообразий общего вида, предложенный в [19].

Во второй главе выводятся уравнения Редже-Тейтельбойма в различных формах и обсуждаются достоинства и недостатки теории гравитации на базе таких уравнений, а также различные подходы к их исследованию, описанные в литературе. Затем проводится полный анализ структуры вакуумных решений этих уравнений в сферически-симметричном случае. Проводится сравнение с известными результатами.

В третьей главе рассматривается структура решений уравнений Редже-Тейтельбойма в модели Фридмана. Обсуждаются предыдущие работы, посвященные космологическим моделям в теории вложения. Изучается поведение «лишних решений» во время и после периода инфляционного расширения вселенной.

В заключении суммируются результаты работы и обсуждаются дальнейшие пути исследования теории вложения.

Глава 1

Явные вложения римановых метрик

Эта глава посвящена поиску явных вложений различных черных дыр. Классифицируются и конструируются возможные симметричные вло-жениг метрики Шварцшилъда, Коттлера и Райсснера-Нордстрёма в плоское объемлющее пространство минимальной размерности. В начале главы также описываются различные методы поиска вложений, в том числе и предложенный С. А. Пастоном в [19], при помощи которого производится исследование.

1.1 Мотивация

Явные вложения для различных пространств Эйнштейна начали конструироваться гравитационистами практически сразу после появления общей теории относительности: к примеру, первое вложение для решения Шварцшильда было построено Казнером [24] в 1921 году, спустя всего пять лет после получения самого решения. Тогда же им была доказана важная теорема [25] о вложениях пространств Эйнштейна:

Теорема Казнера. Четырехмерные пространства Эйнштейна, т.е. такие, метрика которых удовлетворяет уравнению

+ = 0, (1.1)

и не является метрикой Минковского, невозможно вложить в плоское пятимерное объемлющее пространство.

Вложения решений уравнений Эйнштейна могут применяться в различных целях. Явный вид вложения может обеспечивает большую наглядность при изучении геометрии пространства-времени. Важную роль в понимании глобальной структуры геометрии черной дыры сыграло вложение Фронсдала [26] метрики Шварцшильда (это вложение оказывается тесно связанным с использованием координат Крускала-Шекереса, см. замечание в конце работы [26]). Класс вложения р конкретной метрики, определяемый как разность минимальной размерности объемлющего пространства, требуемой для вложения этой метрики, и размерности вкладываемого пространства, является геометрическим инвариантом и может применяться в различных геометрических задачах наряду с другими инвариантами — например, для классификации точных решений уравнений Эйнштейна, см. [27]. Кроме того, как было упомянуто во Введении, явные вложения известных решений уравнений Эйнштейна могут использоваться для построения теории возмущений в подходе Редже-Тейтельбойма, а также для исследования структуры решений этой теории (этот вопрос будет обсуждаться в следующих главах).

Построению вложений посвящено достаточно много работ. Большое количество вложений конкретных метрик можно найти в работах [28,29], общие вопросы построения вложений обсуждаются в работе [30]. Подробный список литературы, посвященной вложениям и их применению в теории гравитации, можно найти в обзоре [31].

Стоит, однако, отметить, что, несмотря на большое количество методов поиска вложений, они не в полной мере могут напрямую использоваться в подходе Редже-Тейтельбойма.

Трудность применения большинства этих методов связана, прежде всего, с тем, что в ОТО динамической переменной является не функция вложения уа{х1х), а метрика псевдориманова многообразия (1.17), так что явный вид функции вложения не представляет такого интереса, как в теории вложения. Вложение поверхности с заданными свойствами проводится в ОТО обычно путем решения системы уравнений Гаусса-Кодацци-Риччи, роль переменных в которой играют квадратичные формы поверх-

ности. Данный способ представляет собой некий регулярный алгоритм нахождения вложений, в отличие от обычной в теории вложения практики решения системы уравнений (1.17) относительно уа(х). Преимущество метода Гаусса-Кодацци-Риччи в том, что нам не нужно знать явный вид метрики многообразия, а только симметрии, которыми оно обладает. Однако в силу большой сложности системы уравнений Гаусса-Кодацци-Риччи при классе вложения р > 2 какие-либо регулярные методы решения этой системы еще не известны. Этим объясняется огромное количество найденных вложений класса 1 и 2 и почти полное отсутствие вложений класса 3 и большего. Таким образом, поиск вложений в ОТО представляет собой в значительной степени абстрактную математическую задачу и применяется в основном для классификации и доказательства наличия или отсутствия решений, обладающих какой-либо симметрией. Для этих целей нахождение явного вида вложения, в общем, не является первостепенным.

В теории вложения, напротив, основной задачей является нахождение функции вложения, соответствующей заданной метрике, поэтому большее внимание уделяется не доказательству возможности или невозможности вложения некой метрики, а сам явный вид такого вложеиия. К сожалению, явный вид большинства вложений, существование которых доказано, не известен, а для известных порой затруднительно дать физическую интерпретацию (если, в отличие от подхода к вложениям в ОТО, мы предполагаем, что функция вложения сама по себе имеет какой-то физический смысл). Наличие такого смысла, в свою очередь, влечет за собой наследование функцией вложения физически обусловленных симметрии задачи. Эта идея лежит в основе метода поиска и классификации вложений метрик с симметрией, предложенного С. А. Пастоном в [19]. Данный метод не выносится на защиту и будет кратко изложен в следующем параграфе лишь для удобства чтения.

1.2 Симметрийный анализ возможности вложения статических черных дыр

1.2.1 Метод построения вложений симметричных мет-

Чтобы получить вложение псевдориманова многообразия с некоторой симметрией на нем, нужно построить ¿-мерную поверхность в плоском пространстве, обладающую симметрией относительно заданной группы этой симметрии С. В общем случае плоское пространство содержит п+ времениподобных и п_ пространственноподобных направлений, п+ + гг_ = ЛГ > (I, т. е. является пространством Яп+,п-. Под симметричностью поверхности Л4 относительно группы С? понимается свойство АЛ переходить в саму себя под действием некоторой подгруппы группы движений V плоского пространства 7?п+>п-, изоморфной группе (7. Группой движения объемлющего пространства Минковского Яп+>п- является обобщение группы Пуанкаре на многомерие, т. е. V представляет собой полупрямое произведение группы 50(п+,п_) на группу тп++п- трансляций пространства Яп^п-. Такое определение симметрии поверхности можно понимать как требование совпадения внутренней и внешней геометрии у областей, которые переходят друг в друга, будучи подвергнуты преобразованию симметрии. Если это требование выполняется, то такие области можно совместить друг с другом при помощи поворотов и сдвигов в объемлющем пространстве.

Таким образом, первым шагом к построению симметричной поверхности является отыскание некоторого гомоморфизма V из группы С в группу V. Как известно, элементы группы Пуанкаре V можно представить в виде блочных матриц размера п+ + п- +1, имеющих вид

где АеЗО(п+,п-) и аеЯп+'7г_ описывает трансляции (при этом точкам соответствуют п+ + п_ +1-мерные векторы с единицей в качестве последней компоненты). Поэтому V можно считать матричным представ-

рик

(1.2)

ленисм группы С, элементы которого имеют вид (1.2), причем представление должно быть однозначным и точным, но приводимым (поскольку матрица (1.2) соответствует приводимому, хотя и не вполне приводимому представлению. Тогда множество точек уе.Яп+,п-, даваемых формулой

у = У(д)уо (1.3)

при произвольных фиксированном начальном векторе т/о

по построению будет образовывать поверхность, обладающую требуемой симметрией. Если уо, кроме этого, непрерывно зависит от некоторых параметров, то множество точек, даваемых формулой (1.3) при всех значениях таких параметров также будет образовывать поверхность, симметричную относительно требуемой группы, причем в этом случае той же симметрией будут обладать и ее сечения, соответствующие фиксированным значениям параметров.

Таким образом в [19] был получен некий конструктивный метод построения симметричных поверхностей, суть которого заключается в отборе таких вещественных представлений V группы С, для которых матрицу представления можно привести к виду (1.2). Размерность полученной поверхности, однако, может различаться для разных представлений и начальных векторов, поэтому не все варианты окажутся подходящими при заданной размерности поверхности с1.

Изложенный метод, в зависимости от решаемой задачи, позволяет искать как глобально, так и локально симметричные поверхности. В последнем случае подгруппа группы движений V объемлющего пространства, оставляющая инвариантной поверхность ЛЛ, должна быть лишь локально изоморфна группе С. Тогда представление V уже не обязательно должно быть однозначным и может иметь нетривиальное дискретное ядро. Такая ситуация возникает при поиске вложения для риманова пространства, симметрия которого наблюдается только локально, но не глобально. Например, замкнутая фридмановская Вселенная обладает симметрией 50(4), по мы не можем утверждать этого глобально, поскольку не можем ее обойти по большому кругу. С другой стороны, в некоторых задачах оказывается необходимым не только предполагать наличие глобальной симметрии, но и наложить дополнительные ограничения на топологию

искомой поверхности. Например, при поиске вложения для обсуждаемой ниже метрики Шварцшильда, поскольку тяготеющее тело можно обойти по большому кругу, необходимо считать симметрию 50(3) глобальной, а также дополнительно требовать, чтобы топология поверхности, соответствующей постоянным значениям г и Ь, была топологией сферы.

1.2.2 Построение представлений группы 50(3) х Т1

Рассмотрим сначала возможные типы вложений метрики сферически симметричной невращающейся черной дыры в объемлющее пространство Минковского, классифицируя их по типу реализации симметрии. Размерность объемлющего пространства возьмем равной шести, поскольку класс вложения соответствующей метрики равен двум [27].

Искомая функция вложения может быть представлена в виде

у(х) = У(дЫг), (1.4)

где д — элементы 50(3) ФТ1, уо — начальный вектор, зависящий от г.

Нашей задачей является нахождение такого представления V из (1.4), которое бы осуществляло отображение из 50(3) ®Т1 в группу движений объемлющего пространства Т^гс.-,п+), где п+ — количество времениподобных направлений объемлющего пространства (не менее одного), п- — количество пространственноподобных (не менее трех), причем п+ + п_ = 6. Искомое представление будет представлять собой прямую сумму тензорных произведений V представлений (возможно, не являющихся вполне приводимыми) групп 50(3) и Т1. Как известно, группа 50(3) содержит три генератора. В то же время необходимо, чтобы поверхности, соответствующие постоянным значениям г и были двумерными, поэтому необходимо, чтобы вектор уо (г) оставался неизменным под действием одного из генераторов группы. Это требование, равносильное требованию наличия одномерной подгруппы стабильности, ограничивает допустимые представления У\ группы 50(3) тензорными (т.е. с целым спином), причем вида .т1....тт — (слагаемые, обеспечивающие неприводимость), где Х{ - вектор, инвариантный относительно действия инвариантной подгруппы, га — спин. Для

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шейкин, Антон Андреевич, 2015 год

Литература

1. Carlip S. Quantum Gravity: a Progress Report // Rept. Prog. Phys. 2001. Vol. 64. P. 885-942. arXiv:gr-qc/0108040.

2. Горбунов Д. С., Рубаков В. А. Введение в теорию ранней Вселенной. М.: Красанд, 2009.

3. Janet M. Sur la possibilité du plonger un espace riemannien donné dans un espace euclidien // Ann. Soc. Polon. Math. 1926. Vol. 5. P. 38^13.

4. Kartan E. Sur la possibilité du plonger un espace riemannien donné dans un espace euclidien // Ann. Soc. Polon. Math. 1927. Vol. 6. P. 1-7.

5. Friedman A. Local isometric embedding of Riemannian manifolds with indefinite metric // J. Math. Mech. 1961. Vol. 10. P. 625.

6. Clarke C. J. S. On the Global Isometric Embedding of Pseudo-Riemannian Manifolds // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1970. Vol. 314, no 1518. P. pp. 417-428. URL: littp://www.jstor.org/stable/2416482.

7. Arnowitt R., Deser S., Misner C. The Dynamics of General Relativity // Gravitation: an introduction to current research / Ed. by L. Witten. New York: Wiley, 1962. P. 227-265. arXiv:gr-qc/0405109.

8. Wheeler John A. Geometrodynamics and the Problem of Motion // Rev. Mod. Phys. 1961.-Jan. Vol. 33. P. 63-78.

9. Regge T., Teitelboim C. Role of surface integrals in the Hamiltonian formulation of general relativity // Annals of Physics. 1974. Vol. 88, no. 1. P. 286 - 318.

10. Hanson Andrew J., Regge Tullio, Teitelboim Claudio. Constrained Hamil-tonian Systems. 1976. URL: http://hdl.handle.net/2022/3108.

11. Regge T., Teitelboim C. General relativity à la string: a progress report // Proceedings of the First Marcel Grossmann Meeting, Trieste, Italy, 1975 / Ed. by R. Ruffini. North Holland, Amsterdam: 1977. P. 77-88.

12. Davidson A., Karasik D., Lederer Y. Cold Dark Matter from Dark Energy. arXiv:gr-qc/0111107.

13. Davidson A. A = 0 Cosmology of a Brane-like universe // Class. Quant. Grav. 1999. Vol. 16. P. 653. arXiv:gr-qc/9710005.

14. Davidson Aharon, Karasik David, Lederer Yoav. Geodesic evolution and nucleation of a de Sitter brane // Phys. Rev. D. 2005, —Sep. Vol. 72. P. 064011. arXiv:gr-qc/0509127.

15. Cordero R., Molgado A., Rojas E. Ostrogradski approach for the Regge-Teitelboim type cosmology // Phys. Rev. D. 2009. Vol. 79. P. 024024. arXiv:0901.1938.

16. Cordero R., Cruz M., Molgado A., Rojas E. Quantum modified Regge-Teitelboim cosmology// Gen.Rel.Grav. 2014. Vol. 46. P. 1761. arXiv:gr-qc/1309.3031.

17. Tapia V. Gravitation a la string // Class. Quant. Grav. 1989. Vol. 6. P. L49.

18. Estabrook F. Specialized Orthonormal Frames and Embedding // SIGMA. 2013. Vol. 9. P. 012. arXiv: 1206:5229.

19. Paston S. A., Sheykin A. A. Embeddings for Schwarzschild metric: classification and new results // Class. Quant. Grav. 2012. Vol. 29. P. 095022. arXiv: 1202.1204.

20. Paston S. A., Sheykin A. A. From the Embedding Theory to General Relativity in a result of inflation // Int. J. Mod. Phys. D. 2012. Vol. 21, no. 5. P. 1250043. arXiv: 1106.5212.

21. Paston S. A., Sheykin A. A. Global embedding of the Reissner-Nordstrom metric in the flat ambient space // SIGMA. 2014. Vol. 10. P. 003. arXiv: 1304:6550.

22. Sheykin A. A., Grad D. A., Paston S. A. Embeddings of the black holes in a flat space // Proceedings of QFTHEP 2013, Saint Petersburg Area, Russia. Proceedings of Science, PoS(QFTHEP2013)091. arXiv: 1401.7820.

23. Sheykin A. A., Paston S. A. The approach to gravity as a theory of embedded surface // AIP Conference Proceedings. 2014. Vol. 1606. P. 400. arXiv: 1402.1121.

24. Kasner E. Finite Representation of the Solar Gravitational Field in Flat Space of Six Dimensions // Am. J. Math. 1921. Vol. 43, no. 2. P. 130133. URL: http://www.jstor.org/stable/2370246.

25. Kasner E. The Impossibility of Einstein Fields Immersed in Flat Space of Five Dimensions // Am. J. Math. 1921. Vol. 43, no. 2. P. 126-129. URL: http://wwwr.jstor.org/stable/2370245.

26. Fronsdal C. Completion and Embedding of the Schwarzschild Solution // Phys. Rev. 1959. Vol. 116, no. 3. P. 778-781.

27. Крамер Д., Штефани X., Мак-Каллум М., Херльт Э. Точные решения уравнений Эйнштейна / Под ред. . Шмутцер. М.: Энергоиздат, 1982.

28. Rosen J. Embedding of Various Relativistic Riemannian Spaces in Pseudo-Euclidean Spaces // Rev. Mod. Phys. 1965. Vol. 37, no. 1. P. 204-214.

29. Collinson C. D. Embeddings of the Plane-Fronted Waves and Other SpaceTimes // J. Math. Phys. 1968. Vol. 9. P. 403.

30. Goenner H. Local Isometric Embedding of Riemannian Manifolds and Einstein's Theory of Gravitation // General Relativity and Gravitation: One Hundred Years after the birth of Albert Einstein / Ed. by A. Held. New York: Plenum Press, 1980. Vol. 1. P. 441-468.

31. Pavsic M., Tapia V. Resource Letter on geometrical results for Embeddings and Branes. arXiv:gr-qc/0010045.

32. Яглом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. М.: Наука, 1969.

33. Letaw J. R. Stationary world lines and the vacuum excitation of noninertial detectors //Phys. Rev. D. 1981. Vol. 23. P. 1709-1714.

34. Fujitani Т., Ikeda M., Matsumoto M. On the imbedding of the Schwarzschild space-time I // J. Math. Kyoto Univ. 1961. Vol. 1, no. 1. P. 43-61. URL: http://projecteuclid.org/euclid.kjm/1250525103.

35. Plebanski J. F. An embedding of a Schwarzchild black hole in terms of elementary functions // Acta Phys. Pol. B. 1995. Vol. 26, no. 5. P. 875888.

36. Davidson A., Paz U. Extensible Black Hole Embeddings // Found. Phys. 2000. Vol. 30, no. 5. P. 785-794.

37. Kottler Friedrich. Uber die physikalischen Grundlagen der Einsteinschen Gravitationstheorie // Annalen der Physik. 1918. Vol. 361, no. 14. P. 401462.

38. Pandey S. N., Kansal I. D. Impossibility of class one electromagnetic fields // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1969. Vol. 66. P. 153.

39. Hong S. Complete higher dimensional global embedding structures of various black holes // Gen. Rel. Grav. 2004. Vol. 36. P. 1919-1929. arXiv:gr-qc/0310118.

40. Deser S., Levin O. Mapping Hawking into Unruh thermal properties // Phys. Rev. D. 1999. Vol. 59. P. 064004. arXiv:hep-th/9809159.

41. Giblin Jr J. T, Marolf D., Garvey R. H. Spacetime Embedding Diagrams for Spherically Symmetric Black Holes // Gen. Rel. Grav. 2004. Vol. 36. P. 83-99. arXiv:gr-qc/0305102.

42. Paranjape A., Dadhich N. Embedding Diagrams for the Reissner-Nordstrom spacetime // Gen. Rel. Grav. 2004. Vol. 36. P. 1189-1195. arXiv:gr-qc/0307056.

43. Jacob A., Piran T. Embedding the Reissner-Nordstrom spacetime in Euclidean and Minkowski spaces // Class. Quant. Grav. 2006. Vol. 23. P. 4035-4045. arXiv:gr-qc/0605104.

44. Rosen J. Embedding of the Schwarzschild and Reissner-Weyl Solutions // Nuovo Cimento. 1965. Vol. 38. P. 631-633.

45. Plazowski J. The imbedding method of finding the maximal extensions of solutions of Einstein field equations // Acta Phys. Pol. B. 1973. Vol. 4. P. 49.

46. Ferraris M., Francaviglia M. Algebraic Isometric Embeddings of Charged Spherically Symmetric Space-Times // Gen. Rel. Grav. 1980. Vol. 12. P. 791-804.

47. Liang Songxin, Jeffrey David J. Automatic computation of the complete root classification for a parametric polynomial // Journal of Symbolic Computation. 2009. Vol. 44, no. 10. P. 1487 - 1501.

48. Пастон С. А. Связь между квантовыми эффектами в ОТО и в теории вложения (в печати), 2015.

49. Bustamante M. D., Debbasch F., Brachet M.-E. Classical Gravitation as free Membrane Dynamics. arXiv:gr-qc/0509090.

50. Willison S. A Re-examination of the isometric embedding approach to General Relativity. arXiv: 1311.6203.

51. Pavsic M. Classical theory of a space-time sheet // Phys. Lett. A. 1985. Vol. 107. P. 66-70.

52. Kokarev S. S. Space-time as multidimensional elastic plate // Nuovo Cim. B. 1998. Vol. 113. P. 1339-1350. arXiv:gr-qc/0010005.

53. Deser S., Pirani F. A. E., Robinson D. C. New embedding model of general relativity//Phys. Rev. D. 1976. Vol. 14, no. 12. P. 3301-3303.

54. Ferraris M., Francaviglia M. Energy-momentum tensors and stress tensors in geometric field theories // Journal of Mathematical Physics. 1985. Vol. 26, no. 6. P. 1243-1252.

55. Karasik D., Davidson A. Geodetic Brane Gravity // Phys. Rev. D. 2003. Vol. 67. P. 064012. arXiv:gr-qc/0207061.

56. Capovilla R., Guven J., Rojas E. Hamiltonian dynamics of extended objects//Class.Quant.Grav. 2004. Vol. 21. P. 5563-5586. arXiv:hep-th/hep-th/0404178.

57. Capovilla R., Escalante A., Guven J., Rojas E. Hamiltonian dynamics of extended objects: Regge-Teitelboim model // Int. J. Theor. Phys. 2009. Vol. 48. P. 2486. arXiv:gr-qc/0603126.

58. Mukherjee Pradip, Paul Biswajit. Gauge invariances of higher derivative Maxwell-Chern-Simons field theory: A new Hamiltonian approach // Phys. Rev. D. 2012.-Feb. Vol. 85. P. 045028.

59. Banerjee Rabin, Mukherjee Pradip, Paul Biswajit. New Hamiltonian analysis of Regge-Teitelboim minisuperspace cosmology // Phys. Rev. D. 2014.-Feb. Vol. 89. P. 043508.

60. Franke V. A., Tapia V. The ADM Lagrangian in extrinsic gravity // Nuovo Cimento B. 1992. Vol. 107, no. 6. P. 611.

61. Пастон С. А., Франке В. А. Гравитация как теория вложения пространства-времени в плоское пространство большего числа измерений // Proceedings of the 15 International VA. Fock school for advances of physics 2005 / Под ред. V. Novozhilov. СПб: Изд-во СПб-ГУ, 2006. С. 34.

62. Пастон С. А., Франке В. А. Эйнштейновская гравитация как теория четырехмерной поверхности в плоском десятимерном пространстве // Сб. материалов XLI и XLII Зимних школ ПИЯФ, "Физика атомного ядра и элементарных частиц". СПб: ПИЯФ РАН, 2008. С. 231-275.

63. Paston S. A., Semenova А. N. Constraint algebra for Regge-Teitelboim formulation of gravity // Int. J. Theor. Phys. 2010. Vol. 49, no. 11. P. 2648-2658. arXiv: 1003.0172.

64. Kerner Richard, Vitale Salvatore. Gravitational waves as deformations of embedded Einstein spaces // Classical and Quantum Gravity. 2009. Vol. 26, no. 23. P. 235007.

65. Трухин А. А. Бакалаврская работа, 2014.

66. Пастон С. А. Гравитация как теория поля в плоском пространстве-времени//ТМФ. 2011. Т. 169, №2. С. 285-296. arXivrl 111.1104.

67. Maartens R., Koyama К. Brane-World Gravity // Living Reviews in Relativity. 2010. Vol. 13. P. 5.

68. Davidson A., Gurwich I. Dirac Relaxation of the Israel Junction Conditions: Unified Randall-Sundrum Brane Theory // Phys. Rev. D. 2006. Vol. 74. P. 044023. arXiv:gr-qc/0606098.

69. Фаддеев JI. Д. Новые динамические переменные теории тяготения Эйнштейна//ТМФ. 2011. Т. 166, № 3. С. 323-335. arXiv:0906.4639, arXiv:0911.0282, arXiv: 1003.2311.

70. Chamseddine Ali H., Mukhanov Viatcheslav. Mimetic dark matter // Journal of High Energy Physics. 2013. Vol. 2013, no. 11. P. 1-5. arX-iv:1308.5410.

71. Golovnev Alexey. On the recently proposed mimetic Dark Matter // Physics Letters В. 2014. Vol. 728. P. 39-40. arXiv: 1310.2790.

72. Pavsic M. On The Quantization Of Gravity By Embedding Space-Time In A Higher Dimensional Space // Class. Quant. Grav. 1985. Vol. 2. P. 869. arXiv: 1403.6316.

73. Пастон С. А., Франке В. А. Каноническая формулировка вложенной теории гравитации, эквивалентная ОТО Эйнштейна // ТМФ. 2007. Т. 153, №2. С. 271-288. arXiv:0711.0576.

74. Blaschke D. N., Steinacker H. Curvature and Gravity Actions for Matrix Models // Class. Quant. Grav. 2010. Vol. 27. P. 185020. arXiv: 1005.0499.

75. Paston S. A. When does the Hawking into Unruh mapping for global embeddings work?//JHEP. 2014. Vol. 06. P. 122. arXiv: 1402.3975.

76. Paston S. A. Hawking into Unruh mapping for embeddings of hyperbolic type. arXiv: 1411.4329.

77. Deser S., Levin O. Accelerated Detectors and Temperature in (Anti) de Sitter Spaces // Class. Quant. Grav. 1997. Vol. 14. P. L163-L168. arXiv:gr-qc/9706018.

78. Deser S., Levin O. Equivalence of Hawking and Unruh Temperatures and Entropies Through Flat Space Embeddings // Class. Quant. Grav. 1998. Vol. 15. P. L85-L87. arXiv:hep-th/9806223.

79. Пастон С. А., Семенова E. H. Канонический формализм по внешнему времени для гравитации в форме теории вложения (готовится к публикации).

80. Cahill Kevin. Path integrals for actions that are not quadratic in their time derivatives. 2015. arXiv:hep-th/l501.00473.