Канонический формализм для описания гравитации в виде теории вложения и для теории поля на световом фронте тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор наук Пастон Сергей Александрович

• Пастон Сергей Александрович
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Пастон Сергей Александрович

Введение

1 О каноническом формализме

1.1 Механические системы со связями

1.2 Значение для квантования

1.3 Системы с симметрией относительно перепараметризации времени

1.4 Случай теории поля

2 Формализм теории вложения

2.1 Описание поверхности в плоском пространстве

2.2 Связность и ковариантное дифференцирование

2.3 Проекторы и вторая основная форма поверхности

2.4 Кривизна

2.5 Форма объема

2.6 Описание подмногообразий

2.7 Случай гиперповерхности

2.8 Связь вторых основных форм

2.9 Использование формализма для доказательства

некоторых формул

3 Описание гравитации в виде теории вложения

3.1 Проблемы стандартного подхода к описанию гравитации

3.2 Использование вложения для описания гравитации

3.3 Уравнения движения теории вложения

3.4 Эйнштейновские связи

3.5 Сравнение уравнений теории вложения

с уравнениями Эйнштейна

3.6 "Лишние" решения в теории вложения

4 Канонический формализм для теории вложения

4.1 Возможные варианты

4.2 Случай дополнительного наложения эйнштейновских

связей

4.3 Алгебра связей

4.4 Действие теории

4.5 Обсуждение существования дополнительных связей

первого рода

4.6 Переход к внешнему времени

5 Теория разбиения

5.1 Гравитация как теория поля

5.2 Переменные теории

5.3 Действие теории

5.4 Уравнения движения

5.5 Канонический формализм и дальнейшее развитие

6 Построение явных вложений

6.1 Цели и история

6.2 Метод построения поверхностей с заданной симметрией

6.3 Вложения метрик моделей Фридмана

6.3.1 Закрытая модель

6.3.2 Открытая модель

6.3.3 Пространственно-плоская модель

6.4 Классификация поверхностей с симметрией 50(3) х Т1

6.5 Вложения в шестимерное пространство

6.6 Глобальные вложения метрик невращающихся черных дыр

6.6.1 Невращающиеся черные дыры с горизонтами

6.6.2 Гиперболические вложения

6.6.3 Спиральные вложения

6.6.4 Экспоненциальные вложения

6.6.5 Кубические вложения

6.6.6 Результаты

7 Соответствие между эффектами Хокинга и Унру

в теории вложения

7.1 Соответствия квантовых эффектов

7.2 Эффекты Хокинга и Унру

7.3 Тривиальное соответствие между эффектами

Хокинга и Унру

7.4 Соответствие между эффектами Хокинга и Унру

при использовании вложений

7.5 Примеры отсутствия соответствия

7.6 Общий вид гиперболического вложения метрики

с горизонтом

7.7 Доказательство существования соответствия

7.8 Анализ контрпримеров

7.9 Поверхности, на которых двухточечные функции определяются объемлющим пространством

8 "Исправленный" канонический формализм

на световом фронте в квантовой теории поля

8.1 Каноническое квантование в координатах светового фронта

8.2 "Исправление" квантового канонического

гамильтониана на с. ф

8.3 Случай неабелевой калибровочной теории

8.4 Действие теории на поперечной решетке

8.5 Фейнмановская теория возмущений при наличии поперечной решетки

8.6 Продольные ультрафиолетовые расходимости

8.7 Анализ нерасходящихся диаграмм

8.8 Схема процедуры перенормировки

9 Непертурбативный расчет спектра масс

двумерной КЭД

9.1 Массивная модель Швингера

9.2 Отсутствие УФ расходимости

9.2.1 Анализ общей расходимости в порядках

выше второго

9.2.2 Анализ расходимости во втором порядке

9.2.3 Отсутствие расходимости поддиаграмм

9.3 Идея проведения "исправления" гамильтониана на с. ф

9.4 Отличия при конечных х-

9.5 Сравнение светоподобной и лоренцевой теорий возмущений

9.6 Снятие промежуточной УФ регуляризации

9.7 Возврат к фермионным переменным

9.8 Вычисление спектра масс связанных состояний

9.9 Результаты вычислений

9.9.1 Случай § = в =

9.9.2 Случай § = 9 = -к

9.9.3 Случай промежуточных значений

9.10 Обсуждение

Заключение

Литература

Введение

Исследования, проводимые в данной диссертации, касаются описания двух из четырех известных в природе взаимодействий - гравитационного и сильного. В обоих случаях одним из главных методов исследования является канонический (т. е. гамильтонов) подход к описанию соответствующей теории. Для гравитации, для которой до сих пор не существует общепризнанной квантовой теории, канонический формализм является одним из подходов, с помощью которого можно пытаться теорию прокван-товать. Поэтому представляет особый интерес изучение именно канонического описания вариантов теории гравитации, в частности - отличных от общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна, в чем-то потенциально более пригодных для квантования, чем последняя. Для сильного же взаимодействия, квантовая теория которого уже достаточно давно построена - это квантовая хромодинамика (КХД) - канонический подход является одним из способов непертурбативного (т. е. выходящего за рамки теории возмущений) описания теории, что чрезвычайно актуально в данном случае из-за большого значения константы взаимодействия при не слишком высоких энергиях.

В качестве исследуемой теории гравитации выбрана предложенная Т. Редже и К. Тейтельбоймом в работе [1] теория вложения. Эта теория сходна с теорией классической струны, поскольку в ней четырехмерное пространство-время понимается как некоторая искривленная поверхность в плоском пространстве большего числа измерений. Именно наличие в данном подходе к описанию гравитации плоского пространства делает этот подход потенциально более пригодным для квантования, поскольку квантовые теории всех остальных известных взаимодействий были успешно построены именно при их формулировке в плоском пространстве Минковского.

При непертурбативном описании сильного взаимодействия в качестве метода исследования выбрано предложенное П. Дираком каноническое

квантование в координатах светового фронта (с. ф.) [2]. В этих координатах происходит резкое упрощение квантовой теории, поскольку в них физический вакуум оказывается (при использовании соответствующей регуляризации) совпадающим с математическим, вследствие чего построенный над ним фоковский базис может достаточно успешно использоваться при вычислении спектра масс теории. Однако нефизичность координат с. ф. во многих случаях приводит к отличию возникающей на с. ф. теории от исходной лоренц-ковариантной, что требует проведения сравнения этих двух теорий и, если необходимо - "исправления" теории на с. ф.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Канонический формализм для описания гравитации в виде теории вложения и для теории поля на световом фронте»

Актуальность темы исследования.

Одной из фундаментальных проблем современной теоретической физики, к настоящему времени остающихся нерешенными, является проблема построения квантовой теории гравитации. Прежде всего она необходима для создания единой картины, описывающей все известные взаимодействия. Хотя встречается и точка зрения, что гравитация, тесно связанная с геометрией, занимает настолько особое место, что ее квантовать не обязательно, попытки построения картины мира, включающей про-квантованную материю и остающуюся классической гравитацию наталкиваются на серьезные противоречия, см., например, обзор [3]. Будучи построена, квантовая гравитация должна позволить описывать процессы, происходящие при большой плотности материи, а значит, в том числе, и происходившие на ранних этапах развития вселенной, что необходимо для понимания природы ее возникновения. С оптимистической точки зрения можно даже надеяться, что появление квантовой гравитации может устранить те внутренние трудности, которые присутствуют как в теории гравитации (сингулярности), так и в квантовой теории поля (ультрафиолетовые расходимости) [3].

Поскольку попытки квантования гравитации в форме ОТО в стандартных переменных (метрика или тетрада) до настоящего времени не привели к построению общепризнанной квантовой теории гравитации (на данный момент, наверное, все же нельзя считать таковыми известных главных претендентов на это звание - петлевую теорию гравитации и теорию суперструн, см. [3]), представляет интерес исследование альтернативных формулировок теории гравитации, возможно, более пригодных для квантования. Рассмотрение альтернативных формулировок могло бы обладать дополнительным преимуществом, если бы в их рамках удалось

объяснить эффекты, приписываемые в настоящее время существованию темной материи, природа которой все еще остается неясной.

Одной из таких альтернативных формулировок является упомянутая выше теория вложения. Плоский фон, естественно появляющийся при таком подходе, может облегчить квантование теории, а решения возни-

и V-/ М и V-/

кающей теории, отличающиеся от решений уравнений Эйнштейна, необходимо протестировать на возможность их интерпретации как соответствующих наличию темной материи. На пути к квантованию гравитации в форме теории вложения (прямое исследование самого квантования выходит за рамки темы данной диссертации) необходимо исследовать канонический формализм для этой теории. Для лучшего понимания перспектив квантования теории вложения полезно также исследовать возможные случаи связи между квантовыми эффектами на поверхности вложения и в плоском объемлющем пространстве. Поскольку положительный опыт квантования всех взаимодействий кроме гравитационного имеется при формулировке теории в виде некоторой теории поля в плоском пространстве, является также полезным записать именно в такой форме и теорию вложения.

"1—1 и и ' V-/ 1

Еще одной из важнейших нерешенных проблем теоретической физики является описание квантовой теории поля при большой константе связи, где неприменима теория возмущений (т. в.), что актуально для КХД при низких энергиях. Существующие непертурбативные методы расчета все еще не могут обеспечить достаточно высокой точности и (в особенности это касается вычислений с использованием решеток) являются весьма трудоемкими. Поэтому представляет интерес исследование непертурба-тивных методов, при использовании которых есть основания надеяться на достаточно быстрое получение хороших результатов. Одним из таких методов является вышеупомянутое каноническое квантование на с. ф. (см. обзоры [4,5]), аргументом в пользу которого является простота описания физического вакуума.

До какого-то времени в рамках такого подхода не проводилось какой-либо проверки соответствия возникающей теории на с. ф. и исходной лоренц-ковариантной теории, хотя примеры показывают, что между этими теориями могут возникать отличия, заметные даже в низших порядках т. в. [6, 7]. Метод проведения указанной проверки был предложен в [8,9] и представляет интерес изучить, к каким результатам приводит его применение при проведении непертурбативного расчета спектра масс, в

особенности при больших константах взаимодействия, при которых т. в. заведомо неверна. Это особенно интересно, поскольку указанный метод использует т. в. и возможность с его помощью выйти из области ее применимости будет говорить о хороших перспективах при его дальнейшем применении.

Разработанность темы исследования.

После работы Т. Редже и К. Тейтельбойма [1] (1975), в которой было предложено описание гравитации в виде теории вложения, и вышедшей вскоре после нее, критически ее осмысливающей, статьи С. Дезера с соавторами [10] (1976), различные варианты теории вложения использовались для описания гравитации М. Павшичем [11] (1985), В. Тапиа [12] (1989), М. Майа [13] (1989), И. Бандосом [14] (1997) и другими авторами. Ссылки на большое количество работ по этой тематике можно найти в обзоре [15]. Многие вопросы теории вложения, в том числе и ее квантование, а также возможные следствия для космологии, обсуждались в серии работ А. Дэвидсона с соавторами (1996-2005, [16-18] и др.). Сравнительно недавно новый вариант описания гравитации на основе теории вложения был предложен Л.Д. Фаддеевым [19] (2011), где в качестве независимых переменных было предложено использовать не саму функцию вложения, а ее производные. В данной диссертации исследование уравнений теории вложения проводится в главе 3 с использованием формализма, изложенного в главе 2. В главе 5 предлагается новый вариант теории вложения, имеющий вид некоторой теории поля в плоском объемлющем пространстве.

Исследовались различные подходы к каноническому описанию теории вложения [12,16,20,21], дополнительной сложностью для развития которых является наличие высших производных по времени в исходном действии теории. В исходной работе [1] была сделана попытка записать канонический формализм для теории вложения с дополнительным наложением связей, приводящих к отсутствию лишних решений. Однако корректно это не было сделано из-за ошибки, допущенной при записи

и и 1 ч V-/ и и Л

одной из связей. В диссертации правильный вид связей найден в главе 4, посвященной каноническому формализму теории.

При исследовании теории вложения среди прочих возникает задача поиска явного вида вложений для физически интересных решений теории гравитации, например для решений Фридмана и метрик черных дыр.

Эту проблему начали изучать еще задолго до появления теории вложения, рассматривая ее как математическую задачу, решение которой может помочь классифицировать римановы пространства и помочь исследовать их структуру. Для решений Фридмана явный вид вложений в плоское 5-мерное пространство был найден Робертсоном [22] (1933), для метрики Шварцшильда вложения в плоское 6-мерное пространство были предложены Казнером [23] (1921), Фронсдалом [24] (1959) и др., однако какого-либо регулярного метода построения вложений известно не было. Также не было известно ни одного вложения для метрики заряженной черной дыры, гладкого при всех значениях радиуса. Решению этих проблем посвящена глава 6 диссертации.

В работах С. Дезера и О. Левина [25-27] (1997-1999), а также в большом количестве последовавших за ними работах (см. ссылки в разделе 7.4), было замечено, что для многих вложений пространств с горизонтом, в первую очередь - для черных дыр, параметры излучения Хокинга совпадают с параметрами излучения Унру, возникающего из-за того, что покоящийся относительно черной дыры наблюдатель с точки зрения объемлющего пространства оказывается движущимся равноускоренно. Этот факт может говорить о наличии связи между квантовыми эффектами во вложенном пространстве-времени и в объемлющем пространстве. Аналогичная связь обнаруживается также при сравнении двухточечных функций Вайтмана и функций Грина [28-30]. В главе 7 диссертации изучается, какими свойствами должны обладать используемые вложения, чтобы указанные связи возникали.

Использование канонического квантования в координатах с. ф. [2] в качестве непертурбативного описания моделей квантовой теории поля, несмотря на имеющиеся в этом подходе трудности, продолжает привлекать к себе внимание в течение длительного времени. Это связано с существенным преимуществом подхода, заключающемся в простоте описания вакуумного состояния [31]. Следует отметить, что аналогичный канонический подход в лоренцевых координатах к заметному успеху не приводит [32,33].

Кроме указанного преимущества, переход к квантованию в координатах с. ф. приносит и дополнительные трудности, связанные с тем, что с. ф. является характеристической поверхностью уравнений теории и возникает дополнительная "светоподобная" сингулярность, регуляризация которой нарушает лоренцеву симметрию, см. обзор [4]. Многие интерес-

ные результаты были получены при использовании регуляризации этой сингулярности, заключающейся во введении периодических граничных условий по светоподобному направлению х- [34, 35]. Такая регуляризация (ее использование обычно называют "методом дискретизованного квантования на световом фронте", DLCQ в англоязычной литературе) дополнительно удобна тем, что для калибровочных теорий она оказывается калибровочно-инвариантной.

Данным методом исследовался как ряд двумерных моделей (так называемая модель "синус-Гордон" [36], модель Юкавы [37], двумерная квантовая электродинамика (КЭД) [38], двумерная КХД [39]), так и реалистичные четырехмерные калибровочные теории - КЭД и КХД. Среди большого количества работ, посвященных этим последним теориям, можно отметить работы [40-42]. Для калибровочных теорий было замечено, что при каноническом квантовании на с. ф. оказывается необходимым использовать калибровку А- = 0 или близкие к ней, в противном случае в теории возникают связи второго рода, при решении которых нужно обращать ковариантную производную = д- + %дА- [35,43]. Общее количество работ, посвященных квантованию теории поля в координатах с. ф. очень велико, см. обзоры [4,5] и цитированную там литературу.

Как уже упоминалось выше, теория, возникающая в результате квантования на с. ф., может оказаться неэквивалентна исходной теории в ло-ренцевых координатах [6,7] и был предложен метод проверки такой эквивалентности (а также, при необходимости - "исправления" теории) путем анализа, проводимого во всех порядках т. в. [8, 9] (см. подробности в разделе 8.2). Метод был успешно применен к скалярной теории и модели Юкавы [8,9], к двумерной КЭД [9,44], а также к четырехмерной КХД [9, 45], однако полученный гамильтониан КХД на с. ф. оказался очень сложным и содержащим большое количество неопределенных параметров. Возможность преодоления этой трудности обсуждается в главе 8. В главе 9 рассматривается применение указанного метода к двумерной КЭД на пути, позволившем снять регуляризацию в результирующем гамильтониане на с. ф., и проводится непертурбативный расчет спектра масс теории.

Целями данной работы являются исследование, в том числе с помощью канонического формализма, подхода к описанию гравитации в рамках теории вложения, а также дальнейшая разработка предложенно-

го в кандидатской диссертации автора метода построения "исправленного" канонического гамильтониана на световом фронте. В теории вложения предполагается, что искривленное четырехмерное пространство-время является поверхностью в плоском пространстве большего числа измерений, что делает данный подход к описанию гравитации потенциально более пригодным для квантования. Канонический гамильтониан на с. ф. можно использовать для проведения непертурбативных расчетов спектра масс теории, что актуально при больших константах взаимодействия, но, поскольку теория на с. ф. может отличаться от исходной теории в лоренцевых координатах, перед таким использованием необходимо проводить "исправление" этого гамильтониана.

Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи.

• Разработать математический формализм, удобный для проведения вычислений в теории вложения.

• Провести сравнение уравнений движения теории вложения с уравнениями Эйнштейна и исследовать условия существования "лишних" решений, уравнениям Эйнштейна не удовлетворяющих.

• Построить канонический формализм для теории вложения с дополнительным наложением эйнштейновских связей и найти образуемую ими алгебру, доказав таким образом, что они по классификации Дирака являются связями первого рода.

• Сформулировать вариант теории вложения, имеющий вид некоторой теории поля в плоском объемлющем пространстве.

• Разработать регулярный метод построения явных вложений для ри-мановых пространств, обладающих достаточно большой симметрией.

• Исследовать, при каких свойствах используемых вложений возникает связь между квантовыми эффектами во вложенном пространстве-времени и в объемлющем пространстве, в частности - соответствие между эффектами Хокинга и Унру.

• Исследовать возможность применения метода построения "исправленного" канонического гамильтониана на световом фронте при

проведении вычислений для четырехмерных калибровочных теорий.

• Построить "исправленный" канонический гамильтониан на световом фронте для двумерной квантовой электродинамики, позволяющий явно перейти к пределу снятия используемой ультрафиолетовой регуляризации.

• Провести на основе такого гамильтониана непертурбативный расчет спектра масс теории и сравнить его с известными результатами решеточных расчетов.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Доказано, что для теории вложения достаточно только в начальный момент времени наложить эйнштейновские связи, для того чтобы решение уравнений теории оказалось также решением уравнений Эйнштейна.

. Найден правильный вид связей, возникающих при каноническом описании теории вложения с дополнительным наложением эйнштейновских связей.

3. Доказано, что эти связи образуют алгебру связей первого рода, найден явный вид этой алгебры.

4. Предложен новый вариант теории вложения (теория разбиения), имеющий вид теории (Ы — 4)-компонентного скалярного поля в плоском объемлющем N-мерном пространстве Минковского. Доказано, что при выполнении уравнений движения такого поля поверхности постоянных значений поля удовлетворяют обычным уравнениям теории вложения.

5. Предложен регулярный метод построения поверхностей, обладающих заданной симметрией. С его помощью можно строить явные вложения римановых пространств с заданной метрикой, если они обладают достаточно большой симметрией.

6. С помощью этого метода проведена классификация всех четырехмерных поверхностей, обладающих группой симметрии невращаю-щихся черных дыр 50(3) х Т

7. Найдены достаточные условия существования соответствия между эффектами Хокинга и Унру при использовании вложений.

8. Построен "исправленный" канонический гамильтониан на световом фронте для двумерной квантовой электродинамики, удобный для проведения непертурбативных расчетов.

9. С помощью непертурбативного вычисления спектра масс на основе этого гамильтониана и сравнения полученных результатов с известными результатами решеточных расчетов доказано, что полученный гамильтониан правильно описывает исходную лоренц-ковариантную теорию при всех значениях константы взаимодействия теории.

Научная новизна и значимость работы.

Все перечисленные выше положения, выносимые на защиту, основаны на результатах, полученных впервые.

Разработанный в главе 2 формализм теории вложений может быть полезен как при проведении вычислений в теориях, использующих изометрические вложения (например - в теории бран), так и при доказательстве связанных с описанием подмногообразий формул римановой геометрии, см. примеры из раздела 2.9.

Идея наложения эйнштейновских связей предложена в работе [1], но тот факт, что их достаточно наложить только в начальный момент времени - доказан впервые. Проведенный анализ уравнений теории вложения оказывается полезен при обсуждении возможности интерпретации "лишних" решений уравнений теории вложения как эффекта темной материи.

Попытка записать канонический формализм для теории вложения с дополнительным наложением эйнштейновских связей была предпринята тоже в работе [1], однако из-за допущенной ошибки одна из связей была записана неверно, что также не позволило доказать их замыкание. Таким образом, правильный вид связей получен впервые, равно как и вид образуемой ими алгебры. Полученные результаты позволяют поставить вопрос о виде алгебры связей для соответствующей квантовой теории. Как

известно, вопрос о замыкании квантовой алгебры связей в рамках ОТО все еще остается до конца не исследованным, поэтому полезно изучить его для теории вложения, где наличие плоского объемлющего пространства может сыграть положительную роль.

Формулировки теории вложения в виде какой-либо теории поля в плоском пространстве ранее не существовало, такая формулировка - теория разбиения - предложена впервые. Возможность записать гравитацию в виде некоторой теории поля делает теорию гравитации более похожей на теории всех прочих взаимодействий и может дать определенные преимущества при квантовании, например - вследствие возможности обычным образом сформулировать принцип причинности.

Построение явных вложений для чем-либо интересных римановых пространств ранее чаще всего проводилось без использования каких-либо специальных методов, вид вложения просто угадывался, а в случае, когда какой-то метод использовался (в работе [46]), он оказался недостаточно универсальным. Таким образом, впервые предложен регулярный метод построения явных вложений, пригодный для римановых пространств с достаточно большой симметрией. С его помощью, в частности, впервые построена классификация поверхностей, обладающих симметрией невра-щающихся черных дыр 50(3) хТ1, на основе чего уже удалось построить как все известные, так и ряд новых вложений таких черных дыр.

Проверка наличия соответствия между эффектами Хокинга и Унру при использовании вложений до сих пор проводилась отдельно для каждого конкретного вложения. Впервые удалось доказать, что для широкого класса вложений такое соответствие всегда существует. Полученный результат позволяет для всех вложений из этого класса анализировать термодинамические свойства пространств с горизонтами с использованием таких вложений.

Полученные в главе 8 новые результаты анализа теории возмущений для калибровочной теории с поперечной решеткой могут оказаться полезны при построении "исправленного" гамильтониана КХД на с. ф., пригодного для проведения непертурбативных расчетов.

Выражение для "исправленного" канонического гамильтониана на с. ф. для двумерной квантовой электродинамики, построенное в главе 9, получено впервые. Проведенный с его использованием непертур-бативный расчет спектра масс теории является первой численной проверкой метода построения "исправленного" канонического гамильтониа-

на на с. ф. Хорошее совпадение полученных результатов с известными результатами решеточных расчетов в широком диапазоне изменения константы взаимодействия подтверждает, что данный метод может успешно использоваться в качестве способа непертурбативного вычисления и его применение для КХД может дать интересные результаты после преодоления трудностей, имеющихся на этом пути.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях: "IX International Workshop Small-x Physics and Light Front Dynamics in QCD" (С-Петербург, 1998), "Light-cone physics: particles and strings" (Тренто, 2001), "11th V.Fock School of Physics" (С-Петербург, 2001), "12th V.Fock School of Physics" (С-Петербург, 2002), "13th International V.A. Fock school for advances of physics 2003" (С-Петербург, 2003), "14th International V.A. Fock school for advances of physics 2004" (С-Петербург, 2004), "15th International V.A. Fock school for advances of physics 2005" (С-Петербург, 2005), "Quarks-2006" (С-Петербург), "III International Conference Models in Quantum Field Theory" (С-Петербург, 2010), "IV International Conference Models in Quantum Field Theory" (С-Петербург, 2012), "QFTHEP-2013" (С-Петербург), "II Russian-Spanish Congress Particle and Nuclear Physics at all scales, Astroparticle Physics and Cosmology" (С-Петербург, 2013), "Quark Confinement and the Hadron Spectrum XI" (С-Петербург, 2014), "9th Alexander Friedmann international seminar on gravitation and cosmology" (С-Петербург, 2015), "V International Conference Models in Quantum Field Theory" (С-Петербург, 2015);

на семинарах: "Семинар по проблемам измеримости в квантовой гравитации и темной составляющей Вселенной (посвященный 100-летию со дня рождения Матвея Петровича Бронштейна)" (С-Петербург, 2006), "Фоков-ские чтения: современные проблемы физики" (С-Петербург, 2008), "В поисках фундаментальных симметрий (посвященный 90-летию со дня рождения Ю.В. Новожилова)", (С-Петербург, 2014);

на зимних школах Петербургского института ядерной физики (Репино 2007, Рощино 2014);

на научных семинарах кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультета СПбГУ, отдела теоретической физики ИЯИ РАН, на Петербургском семинаре по квантовой теории поля

ПОМИ РАН, на Петербургских межвузовских семинарах по космологии и гравитации при РГПУ им. А. И. Герцена.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 25 печатных работах, из них 22 работы в изданиях, индексируемых базами данных "Web of Science" или "SCOPUS" и включенных в список ВАК. Список работ приведен в Заключении.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из Введения, 9 глав и Заключения. Полный объем диссертации составляет 288 страниц. Диссертация содержит 14 рисунков, 4 таблицы и список литературы из 177 наименований.

В начале каждой главы приведено ее краткое содержание и указаны работы, в которых опубликованы вошедшие в нее результаты. Основные результаты, полученные в диссертации сформулированы в Заключении.

Глава 1

О каноническом формализме

В этой главе излагаются известные сведения, касающиеся канонического подхода, которые будут использоваться в последующих главах при построении канонического формализма как для описания гравитации в виде теории вложения, так и для других теорий поля в рамках канонического квантования в координатах светового фронта. Обсуждается важность канонического подхода для построения квантовых теорий, а также рассматриваются особенности канонического описания систем, обладающих калибровочной симметрией, в частности - симметрией относительно перепараметризации времени. Данная глава не содержит выносимых на защиту результатов.

1.1 Механические системы со связями

Канонический (или гамильтонов) формализм был предложен для описания механических систем ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 19 веке. В отличие от возникшего еще раньше лагранжева формализма, в котором механическая система описывается обобщенными координатами ^ (индекс г нумерует степени свободы системы) и обобщенными скоростями ф (точка обозначает производную по времени), а также лагранжианом (функцией Лагранжа) в рамках канониче-

ского формализма система описывается парами обобщенных координат ^ и импульсов рГ1, а также гамильтонианом (функцией Гамильтона) Н(дг,Рг).

В лагранжевом подходе действие теории записывается в виде

5 = (1.1)

и из принципа наименьшего действия следуют уравнения Эйлера-Лагран-жа:

'1дЬ дЬ =0. (1.2)

(И д ф д ^

В каноническом же подходе действие можно записать в виде так называемого действия первого порядка (чтобы отличать от него обычное действие лагранжева подхода, действие (1.1) иногда называют действием второго порядка)

Б(1) = I Ург & -Н (дг, РгЛ . (1.3)

J ( ^ - Н(Яг, Рг)^ .

Тогда, считая что и рг являются независимыми переменными (их называют каноническими переменными и говорят, что рг является обобщенным импульсом сопряженным к обобщенной координате дг), можно из принципа наименьшего действия получить уравнения Гамильтона:

д Н д Н

Яг = , Рг = . (1.4)

дрг одг

Эти уравнения могут быть записаны единообразно, если использовать понятие скобок Пуассона, которые для любых двух функций от координат г и импульсов г определяются как

(*, »),<**,»)} = £ (|% - ||) (1.5)

(подробности о каноническом подходе к описанию механических систем можно найти, например, в книге [47]).

С использованием скобок Пуассона уравнения Гамильтона (1.4) принимают вид уравнений

ф = {Н, рг = {Н,pi}, (1.6)

из которых следует, что при выполнении уравнений движения изменение со временем любой функции канонических переменных Е(дг,Рг) определяется тем же уравнением:

Р = {Н,Е}. (1.7)

Скобки Пуассона обладают рядом известных полезных свойств. В частности, они меняют знак при перестановке их аргументов, а также для них выполняется тождество Якоби:

{Е, {Е, С}} + {Е, {С, Е}} + {С, {Е, ^}} = 0. (1.8)

Еще полезно заметить, что скобки Пуассона канонических переменных друг с другом имеют вид

{Ь,Яг'} = 0, {Рг,Рг>} = 0, {рг,Яг'} = бц', (1.9)

что, в частности, означает, что скобка сопряженных друг другу канонических переменных равна единице.

Как хорошо известно, для того чтобы для конкретной динамической системы перейти от лагранжева описания к каноническому нужно определить обобщенные импульсы системы формулой

= , (1.10)

СЩ

а в качестве гамильтониана использовать выражение, даваемое преобразованием Лежандра:

н(дг,Рг) = ^2Рг(^г - (1.11)

г

где предполагается, что в правой части все скорости ф выражены через канонические переменные д,;, р^ путем решения относительно них уравнений (1.10). В случаях, когда это действительно можно сделать, уравнения Гамильтона (1.4) оказываются эквивалентны уравнениям Эйлера-Лагранжа (1.2), т. е. мы имеем просто задаваемую связь между лагранже-вым и каноническим описанием одной и той же системы.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Пастон Сергей Александрович, 2016 год

Литература

[1] T. Regge, C. Teitelboim, "General relativity a la string: a progress report", in Proceedings of the First Marcel Grossmann Meeting, Trieste, Italy, 1975, edited by R. Ruffini, 77-88, North Holland, Amsterdam, 1977.

[2] P. A. M. Dirac, "Forms of Relativistic Dynamics", Rev. Mod. Phys., 21 (1949), 392-399.

[3] S. Carlip, "Quantum Gravity: a Progress Report", Rept. Prog. Phys., 64 (2001), 885-942, arXiv:gr-qc/0108040.

[4] S. J. Brodsky, H.-C. Pauli, S. S. Pinsky, "Quantum Chromodynamics and other field theories on the light cone", Phys. Rep., 301: 4-6 (1998), 299-486, arXiv:hep-ph/9705477.

[5] B.L.G. Bakker, A. Bassetto, S.J. Brodsky, et al., "Light-front quantum chromodynamics: A framework for the analysis of hadron physics", Nuclear Physics B - Proceedings Supplements, 251-252 (2014), 165-174, international Conference on Light-Cone Physics: Hadronic and Particle Physicslnternational Conference on Light-Cone Physics: Hadronic and Particle Physics, arXiv:1309.6333.

[6] M. Burkardt, A. Langnau, "Hamiltonian formulation of (2+1)-dimensional QED on the light cone", Phys. Rev. D, 44 (1991), 11871197.

[7] M. Burkardt, A. Langnau, "Rotational invariance in light-cone quantization", Phys. Rev. D, 44 (1991), 3857-3867.

[8] С. А. Пастон, В. А. Франке, "Сравнение квантово-полевой теории возмущений на световом фронте и в лоренцевых координатах",

Теоретическая и математическая физика, 112: 3 (1997), 399-416, arXiv:hep-th/9901110.

[9] С. А. Пастон, "Построение гамильтониана квантовой теории поля в координатах светового фронта", Кандидатская диссертация, 1999.

[10] S. Deser, F. A. E. Pirani, D. C. Robinson, "New embedding model of general relativity", Phys. Rev. D, 14: 12 (1976), 3301-3303.

[11] M. Pavsic, "Classical theory of a space-time sheet", Phys. Lett. A, 107 (1985), 66-70.

[12] V. Tapia, "Gravitation a la string", Class. Quant. Grav., 6 (1989), L49.

[13] M. D. Maia, "On the integrability conditions for extended objects", Class. Quant. Grav., 6 (1989), 173-183.

[14] I. A. Bandos, "String-Like Description of Gravity and Possible Applications for F-theory", Mod. Phys. Lett. A, 12 (1997), 799-810, arXiv:hep-th/9608093.

[15] M. Pavsic, V. Tapia, "Resource Letter on geometrical results for Embeddings and Branes", 2000, arXiv:gr-qc/0010045.

[16] D. Karasik, A. Davidson, "Geodetic Brane Gravity", Phys. Rev. D, 67 (2003), 064012, arXiv:gr-qc/0207061.

[17] A. Davidson, "Л = 0 Cosmology of a Brane-like universe", Class. Quant. Grav., 16 (1999), 653, arXiv:gr-qc/9710005.

[18] A. Davidson, D. Karasik, Y. Lederer, "Cold Dark Matter from Dark Energy", 2001, arXiv:gr-qc/0111107.

[19] Л. Д. Фаддеев, "Новые динамические переменные теории тяготения Эйнштейна", Теоретическая и математическая физика, 166: 3 (2011), 323-335, arXiv:0906.4639, arXiv:0911.0282, arXiv:1003.2311.

[20] R. Capovilla, A. Escalante, J. Guven, E. Rojas, "Hamiltonian dynamics of extended objects: Regge-Teitelboim model", Int. J. Theor. Phys., 48 (2009), 2486, arXiv:gr-qc/060312 6.

[21] V. A. Franke, V. Tapia, "The ADM Lagrangian in extrinsic gravity", Nuovo Cimento B, 107: 6 (1992), 611.

[22] H. P. Robertson, "Relativistic Cosmology", Rev. Mod. Phys., 5 (1933), 62-90.

[23] E. Kasner, "Finite Representation of the Solar Gravitational Field in Flat Space of Six Dimensions", Am. J.Math., 43: 2 (1921), 130-133.

[24] C. Fronsdal, "Completion and Embedding of the Schwarzschild Solution", Phys. Rev., 116: 3 (1959), 778-781.

[25] S. Deser, O. Levin, "Accelerated Detectors and Temperature in (Anti) de Sitter Spaces", Class. Quant. Grav., 14 (1997), L163-L168, arXiv:gr-qc/97 06018.

[26] S. Deser, O. Levin, "Equivalence of Hawking and Unruh Temperatures and Entropies Through Flat Space Embeddings", Class. Quant. Grav., 15 (1998), L85-L87, arXiv:hep-th/9806223.

[27] S. Deser, O. Levin, "Mapping Hawking into Unruh thermal properties", Phys. Rev. D, 59 (1999), 064004, arXiv:hep-th/9809159.

[28] M. Bertola, J. Bros, V. Gorini, U. Moschella, R. Schaeffer, "Decomposing Quantum Fields on Branes", Nucl. Phys. B, 581 (2000), 575-603, arXiv:hep-th/0003098.

[29] Yi-Zen Chu, "A Line Source In Minkowski For The de Sitter Spacetime Scalar Green's Function: Massless Minimally Coupled Case", J. Math. Phys., 55: 9 (2014), 092501, arXiv:1305.6933.

[30] Yi-Zen Chu, "A Line Source in Minkowski for the de Sitter Spacetime Scalar Green's Function: Massive Case", 2013, arXiv:1310.2 939.

[31] H. Leutwyler, J.R. Klauder, L. Streit, "Quantum field theory on lightlike slabs", Il Nuovo Cimento A, 66: 3 (1970), 536-554.

[32] I. E. Tamm, J. Phys., 9: 6 (1945), 449.

[33] S. M. Dancoff, "Non-Adiabatic Meson Theory of Nuclear Forces", Phys. Rev., 78 (1950), 382-385.

[34] Toshihide Maskawa, Koichi Yamawaki, "The Problem of P+ = 0 Mode in the Null-Plane Field Theory and Dirac's Method of Quantization", Progress of Theoretical Physics, 56: 1 (1976), 270-283.

[35] A. Casher, "Gauge fields on the null plane", Phys. Rev. D, 14 (1976), 452-464.

[36] А. М. Анненкова, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке, "Решение уравнения Шредингера в модели синус-Гордон в координатах светового фронта", Вестник ЛГУ, 4 (1985), 80-83.

[37] H.-C. Pauli, S. J. Brodsky, "Discretized light-cone quantization: Solution to a field theory in one space and one time dimension", Phys. Rev. D, 32 (1985), 2001-2013.

[38] T. Eller, H.-C. Pauli, S. J. Brodsky, "Discretized light-cone quantization: The massless and the massive Schwinger model", Phys. Rev. D, 35 (1987), 1493-1507.

[39] K. Hornbostel, S. J. Brodsky, H.-C. Pauli, "Light-cone-quantized QCD in 1+1 dimensions", Phys. Rev. D, 41 (1990), 3814-3821.

[40] S. J. Brodsky, R. Roskies, R. Suaya, "Quantum Electrodynamics and Renormalization Theory in the Infinite-Momentum Frame", Phys. Rev. D, 8 (1973), 4574-4594.

[41] А. М. Анненкова, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке, "О вычислении спектра масс в КХД при квантовании в светоподобных координатах I", Вестник ЛГУ, 1: 4 (1989), 66-73.

[42] P. P. Srivastava, S. J. Brodsky, "Light-front-quantized QCD in the light-cone gauge: The doubly transverse gauge propagator", Phys. Rev. D, 64 (2001), 045006, arXiv:hep-ph/0011372v2.

[43] E. Tomboulis, "Quantization of the Yang-Mills Field in the Null-Plane Frame", Phys. Rev. D, 8 (1973), 2736-2740.

[44] S. A. Paston, E. V. Prokhvatilov, V. A. Franke, "QED-2 Light-Front Hamiltonian reproducing all orders of covariant chiral perturbation theory", 1999, arXiv:hep-th/9910114.

[45] С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке, "К построению гамильтониана КХД в координатах светового фронта", Теоретическая и математическая физика, 120: 3 (1999), 417-437, arXiv:hep-th/0002062.

[46] T. Fujitani, M. Ikeda, M. Matsumoto, "On the imbedding of the Schwarzschild space-time I", J. Math. Kyoto Univ., 1: 1 (1961), 4361.

[47] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, "Теоретическая физика, т.1 - Механика", ФМЛ, Москва, 2004.

[48] П. А. М. Дирак, "Лекции по теоретической физике", РХД, Ижевск, 2001.

[49] П. А. М. Дирак, "Принципы квантовой механики", Наука, Москва, 1979.

[50] Л. В. Прохоров, С. В. Шабанов, "Гамильтонова механика калибровочных систем", Изд. СПбГУ, С-Петербург, 1997.

[51] В. И. Арнольд, "Математические методы классической механики", Наука, Москва, 1989.

[52] А. В. Борисов, И. С. Мамаев, "Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике", РХД, Ижевск, 1999.

[53] Н.П. Коноплева, В.Н. Попов, "Калибровочные поля", Атомиздат, Москва, 1972.

[54] V. A. Franke, Yu. V. Novozhilov, E. V. Prokhvatilov, "On the light-cone formulation of classical non-abelian gauge theory", Letters in Mathematical Physics, 5: 3 (1981), 239-245.

[55] V. A. Franke, Yu. V. Novozhilov, E. V. Prokhvatilov, "On the light-cone quantization of non-abelian gauge theory", Letters in Mathematical Physics, 5: 5 (1981), 437-444.

[56] V. A. Franke, Yu. V. Novozhilov, S. A. Paston, E. V. Prokhvatilov, "Quantum Field Theory in Light-Front coordinates", in Quantum Theory in honour of Vladimir A. Fock, Part 1, 38-97, Unesco, St.

Petersburg University, Euro-Asian Physical Society, St. Petersburg, 1998, arXiv:hep-th/990102 9.

[57] V. A. Franke, Yu. V. Novozhilov, S. A. Paston, E. V. Prokhvatilov, "Quantization of Field Theory on the Light Front", in Focus on Quantum Field Theory, edited by O. Kovras, 23-81, Nova Science Publishers, New York, 2005, arXiv:hep-th/0404031.

[58] R. Arnowitt, S. Deser, C. Misner, "The Dynamics of General Relativity", in Gravitation: an introduction to current research, edited by L. Witten, chap. 7, 227-265, Wiley, New York, 1962, arXiv:gr-qc/0405109.

[59] С. А. Пастон, В. А. Франке, "Гравитация как теория вложения пространства-времени в плоское пространство большего числа измерений", in Proceedings of the 15 International V.A. Fock school for advances of physics 2005, edited by V. Novozhilov, 34, Publishing house of St.Petersburg State University, St.Petersburg, 2006.

[60] С. А. Пастон, В. А. Франке, "Каноническая формулировка вложенной теории гравитации, эквивалентная ОТО Эйнштейна", Теоретическая и математическая физика, 153: 2 (2007), 271-288, arXiv:0711.0576.

[61] С. А. Пастон, В. А. Франке, "Эйнштейновская гравитация как теория четырехмерной поверхности в плоском десятимерном пространстве", in Сб. материалов XLI и XLII Зимних школ ПИЯФ, "Физика атомного ядра и элементарных частиц", 231-275, ПИЯФ РАН, С-Петербург, 2008.

[62] С. А. Пастон, "Гравитация как теория вложения", LAMBERT Academic Publishing, Saarbrucken, 2012.

[63] В. И. Родичев, "Теория тяготения в ортогональном репере", Новокузнецкий ФМИ, 1998.

[64] Ш. Кобаяси, К. Номидзу, "Основы дифференциальной геометрии", vol. 1, Наука, Москва, 1981.

[65] Ш. Кобаяси, К. Номидзу, "Основы дифференциальной геометрии", vol. 1,2, Наука, Москва, 1981.

[66] М. М. Постников, "Риманова геометрия", Факториал, Москва, 1998.

[67] Л. П. Эйзенхарт, "Риманова геометрия", Иностранная литература, Москва, 1948.

[68] S. A. Paston, A. A. Sheykin, "From the Embedding Theory to General Relativity in a result of inflation", Int. J. Mod. Phys. D, 21: 5 (2012), 1250043, arXiv:1106.5212.

[69] A. A. Sheykin, S. A. Paston, "The approach to gravity as a theory of embedded surface", AIP Conference Proceedings, 1606 (2014), 400, arXiv:1402.1121.

[70] M. Janet, Ann. Soc. Polon. Math., 5 (1926), 38-43.

[71] E. Kartan, Ann. Soc. Polon. Math., 6 (1927), 1-7.

[72] A. Friedman, "Local isometric embedding of Riemannian manifolds with indefinite metric", J. Math. Mech., 10 (1961), 625.

[73] R. E. Greene, "Isometric Embeddings of Riemannian and Pseudo-Riemannian Manifolds", in Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 97, 1970.

[74] А. О. Барвинский, "Космологические браны и макроскопические дополнительные измерения", Успехи физических наук, 175: 6 (2005), 569-601.

[75] A. Davidson, I. Gurwich, "Dirac Relaxation of the Israel Junction Conditions: Unified Randall-Sundrum Brane Theory", Phys. Rev. D, 74 (2006), 044023, arXiv:gr-qc/0606098.

[76] F. B. Estabrook, R. S. Robinson, H. R Wahlquist, "Constraint-free theories of gravitation", Class. Quant. Grav., 16 (1999), 911-918.

[77] R. Cordero, A. Molgado, E. Rojas, "Ostrogradski approach for the Regge-Teitelboim type cosmology", Phys. Rev. D, 79 (2009), 024024, arXiv:0901.1938.

[78] S. Willison, "A Re-examination of the isometric embedding approach to General Relativity", 2013, arXiv:1311.6203.

[79] R. Banerjee, B. R. Majhi, "A New Global Embedding Approach to Study Hawking and Unruh Effects", Phys. Lett. B, 690 (2010), 83, arXiv:1002.0985.

[80] C. D. Collinson, "Embeddings of the Plane-Fronted Waves and Other Space-Times", J. Math. Phys., 9 (1968), 403.

[81] A. Davidson, U. Paz, "Extensible Black Hole Embeddings", Found. Phys., 30: 5 (2000), 785-794.

[82] B. S. DeWitt, "Quantum Theory of Gravity. I. The Canonical Theory", Phys. Rev., 160 (1967), 1113-1148.

[83] Д. С. Горбунов, В. А. Рубаков, "Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего большого взрыва", Издательство ЛКИ, Москва, 2008.

[84] A. H. Chamseddine, V. Mukhanov, "Mimetic dark matter", Journal of High Energy Physics, 2013: 11 (2013), 1-5, arXiv:1308.5410.

[85] A. Golovnev, "On the recently proposed mimetic Dark Matter", Physics Letters B, 728 (2014), 39-40, arXiv:1310.27 90.

[86] Д. С. Горбунов, В. А. Рубаков, "Введение в теорию ранней Вселенной: Космологические возмущения. Инфляционная теория", Кра-санд, Москва, 2009.

[87] S. A. Paston, A. N. Semenova, "Constraint algebra for Regge-Teitelboim formulation of gravity", Int. J. Theor. Phys., 49: 11 (2010), 2648-2658, arXiv:1003.0172.

[88] S. A. Paston, E. N. Semenova, "External time canonical formalism for gravity in terms of the embedding theory", Gravitation and Cosmology, 21: 3 (2015), 181-190, arXiv:1509.01529.

[89] Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уиллер, "Гравитация, в 3х томах", Мир, Москва, 1977.

[90] С. А. Пастон, "Гравитация как теория поля в плоском пространстве-времени", Теоретическая и математическая физика, 169: 2 (2011), 285-296, arXiv:1111.1104.

[91] Ф. Р. Гантмахер, "Теория матриц", Физматлит, Москва, 2004.

[92] А. А. Громов, "Эйнштейновская гравитация как теория поля в плоском пространстве", Бакалаврская работа, 2009.

[93] А. А. Шейкин, "Исследование формулировки гравитации как теории вложения", Магистерская диссертация, 2012.

[94] A. A. Sheykin, S. A. Paston, "Friedmann cosmology in Regge-Teitelboim gravity", 2016, to appear in "International Journal of Modern Physics: Conference Series arXiv:1511.09268.

[95] А. А. Шейкин, С. А. Пастон, "Теоретико-полевая формулировка гравитации Редже-Тейтельбойма", 2016, готовится к печати в журнале "Ядерная физика и инжиниринг".

[96] S. A. Paston, A. A. Sheykin, "Embeddings for Schwarzschild metric: classification and new results", Class. Quant. Grav., 29 (2012), 095022, arXiv:1202.1204.

[97] С. А. Пастон, А. А. Шейкин, "Вложения для решений уравнений Эйнштейна", Теоретическая и математическая физика, 175: 3 (2013), 430-442, arXiv:1306.4826.

[98] S. A. Paston, A. A. Sheykin, "Global embedding of the Reissner-Nordstrom metric in the flat ambient space", SIGMA, 10 (2014), 003, arXiv:1304:6550.

[99] A. A. Sheykin, D. A. Grad, S. A. Paston, "Embeddings of the black holes in a flat space", in Proceedings of QFTHEP 2013, Saint Petersburg Area, Russia, Proceedings of Science, PoS(QFTHEP2013)091, arXiv:1401.7 820.

[100] А. А. Шейкин, С. А. Пастон, "Классификация минимальных глобальных вложений для невращающихся черных дыр", Теоретическая и математическая физика, 185: 1 (2015), 213-223.

[101] Д. Крамер, Х. Штефани, М. Мак-Каллум, Э. Херльт, "Точные решения уравнений Эйнштейна", Энергоиздат, Москва, 1982.

[102] E. Kasner, "The Impossibility of Einstein Fields Immersed in Flat Space of Five Dimensions", Am. J. Math., 43: 2 (1921), 126-129.

[103] J. Rosen, "Embedding of Various Relativistic Riemannian Spaces in Pseudo-Euclidean Spaces", Rev. Mod. Phys., 37: 1 (1965), 204-214.

[104] H. Goenner, "Local Isometric Embedding of Riemannian Manifolds and Einstein's Theory of Gravitation", in General Relativity and Gravitation: One Hundred Years after the birth of Albert Einstein, edited by A. Held, vol. 1, chap. 14, 441-468, Plenum Press, New York, 1980.

[105] E.M. Monte, "Embedding Versus Immersion in General Relativity", Int. J. Mod. Phys. A, 24 (2009), 1501-1504, arXiv:0908.3320.

[106] D. N. Blaschke, H. Steinacker, "Schwarzschild geometry emerging from matrix models", Class. Quant. Grav., 27 (2010), 185020, arXiv:1005.0499.

[107] S. A. Paston, "When does the Hawking into Unruh mapping for global embeddings work?", JHEP, 06 (2014), 122, arXiv:1402.3975.

[108] S. A. Paston, "Hawking into Unruh mapping for embeddings of hyperbolic type", Class. Quant. Grav., 32: 14 (2015), 145009, arXiv:1411.4329.

[109] С. А. Пастон, "Связь между квантовыми эффектами в ОТО и в теории вложения", Теоретическая и математическая физика, 185: 1 (2015), 162-178.

[110] Н. Биррелл, П. Девис, "Квантованные поля в искривленном пространстве-времени", Мир, Москва, 1984.

[111] А. А. Гриб, С. Г. Мамаев, В. М. Мостепаненко, "Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях", Атомиздат, Москва, 1980.

[112] S. W. Hawking, "Particle Creation by Black Holes", Commun. Math. Phys., 43 (1975), 199-220.

[113] W. G. Unruh, "Notes on black-hole evaporation", Phys. Rev. D, 14 (1976), 870-892.

[114] M. Beciu, H. Culetu, "Embedding as a substitute for the Kruskal maximal extension", Mod. Phys. Lett. A, 14: 1 (1999), 1-8.

[115] T. Padmanabhan, "Thermodynamics and/of Horizons: A Comparison of Schwarzschild, RINDLER and desitter Spacetimes", Mod. Phys. Lett. A, 17 (2002), 923-942, arXiv:gr-qc/020207 8.

[116] P. K. Townsend, "Black Holes", 1997, arXiv:gr-qc/9707012.

[117] W. Rindler, "Kruskal Space and the Uniformly Accelerated Frame", Am. J. Phys., 34: 12 (1966), 1174-1178.

[118] J. R. Letaw, "Quantized scalar field in rotating coordinates", Phys. Rev. D, 22: 6 (1980), 1345-1351.

[119] E. T. Akhmedov, Singleton D., "On the physical meaning of the Unruh effect", Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz., 86 (2007), 702-706, arXiv:0705.2525.

[120] J. R. Letaw, "Stationary world lines and the vacuum excitation of noninertial detectors", Phys. Rev. D, 23 (1981), 1709-1714.

[121] S. Abdolrahimi, "Velocity Effects on an Accelerated Unruh-DeWitt Detector", Class. Quantum Grav., 31 (2014), 135009, arXiv:1304.4237.

[122] L. C. Barbado, M. Visser, "Unruh-DeWitt detector event rate for trajectories with time-dependent acceleration", Phys. Rev. D, 86 (2012), 084011, arXiv:1207.5525.

[123] Y.-W. Kim, Y.-J. Park, K.-S. Soh, "Reissner-Nordstrom-AdS black hole in the GEMS approach", Phys. Rev. D, 62 (2000), 104020, arXiv:gr-qc/0001045.

[124] N. L. Santos, O. J. C. Dias, J. P. S. Lemos, "Global embedding of D-dimensional black holes with a cosmological constant in Minkowskian spacetimes: Matching between Hawking temperature and Unruh temperature", Phys. Rev. D, 70 (2004), 124033, arXiv:hep-th/0412076.

[125] R.-G. Cai, Y. S. Myung, "Hawking temperature for constant curvature black hole and its analogue in de Sitter space", Phys. Rev. D, 83 (2011), 107502, arXiv:1012.5709.

[126] S.-T. Hong, W. T. Kim, J. J. Oh, Y.-J. Park, "Higher dimensional flat embeddings of black strings in (2+1) dimensions", Phys. Rev. D, 63 (2001), 127502, arXiv:hep-th/0103036.

[127] S.-T. Hong, S.-W. Kim, "Can wormholes have negative temperatures?", Mod. Phys. Lett. A, 21 (2006), 789-794, arXiv:gr-qc/0303059.

[128] Y.-W. Kim, J. Choi, Y.-J. Park, "Local free-fall Temperature of GMGHS Black Holes", Phys. Rev. D, 89 (2014), 044004, arXiv:1311.0592.

[129] H.-Z. Chen, Y. Tian, Y.-H. Gao, X.-C. Song, "The GEMS Approach to Stationary Motions in the Spherically Symmetric Spacetimes", JHEP, 10 (2004), 011, arXiv:gr-qc/0409107.

[130] E. J. Brynjolfsson, L. Thorlacius, "Taking the Temperature of a Black Hole", JHEP, 09 (2008), 066, arXiv:0805.187 6.

[131] R. Banerjee, B. R. Majhi, D. Roy, "Corrections to Unruh effect in tunneling formalism and mapping with Hawking effect", 2009, arXiv:0901.0466.

[132] R. Banerjee, B. R. Majhi, "A New Global Embedding Approach to Study Hawking and Unruh Effects", Phys. Lett. B, 690 (2010), 83-86, arXiv:1002.0985.

[133] S. Willison, "AdS spacetimes and isometric embeddings", in Relativity and Gravitation, 100 Years after Einstein in Prague, edited by J. Bicak, T. Ledvinka, 319-322, Springer Proceedings in Physics, 2014, arXiv:1302.1762.

[134] S. Willison, 2014, private communication.

[135] M. Bertola, D. Gouthier, "Warped products with special Riemannian curvature", Bol. Soc. Bras. Mat., 32 (2001), 45-62.

[136] S. J. Brodsky, V. A. Franke, J. R. Hiller, G. McCartor, S. A. Paston, E. V. Prokhvatilov, "A nonperturbative calculation of the electron's magnetic moment", Nucl. Phys. B, 703 (2004), 333-362, arXiv:hep-ph/0406325.

[137] С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке, "Калибровочно-инвариантная регуляризация квантовой теории поля на световом фронте", Теоретическая и математическая физика, 139: 3 (2004), 429-447, arXiv:hep-th/0303180.

[138] M. S. Karnevskiy, S. A. Paston, "Feynman perturbation theory for gauge theory on transverse lattice", International Journal of Modern Physics

A, 25 (2010), 3621-3640, arXiv:1009.2238.

[139] М. С. Карневский, С. А. Пастон, "Использование теории возмущений в светоподобной калибровке для модели Янга-Миллса на поперечной решетке", Вестник СПбГУ, Сер. 4, 4 (2009), 303-320.

[140] Е.-М. Ильгенфриц, С. А. Пастон, Г.-Ю. Пирнер, Е. В. Прохватилов,

B. А. Франке, "Квантовые поля на световом фронте, формулировка в координатах, близких к световому фронту, решеточное приближение", Теоретическая и математическая физика, 148: 1 (2006), 89-101, arXiv:hep-th/0610020.

[141] P. M. Stevenson, "Gaussian effective potential. II. field theory", Phys. Rev. D, 32 (1985), 1389-1408.

[142] А. М. Анненкова, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке, "Вычисление мезонных масс при квантовании на световом фронте", Ядерная физика, 56: 6 (1993), 179-200.

[143] Е. В. Прохватилов, В. А. Франке, "Предельный переход к светопо-добным координатам в теории поля и КХД-гамальтониан", Ядерная физика, 49: 4 (1989), 1109-1117.

[144] E. V. Prokhvatilov, H. W. L. Naus, H.-J. Pirner, "Effective lightfront quantization of scalar field theories and two-dimensional electrodynamics", Phys. Rev. D, 51 (1995), 2933-2942.

[145] Wei-Min Zhang, Avaroth Harindranath, "Light-front QCD. I. Role of longitudinal boundary integrals", Phys. Rev. D, 48 (1993), 4868-4880.

[146] Wei-Min Zhang, Avaroth Harindranath, "Light-front QCD. II. Two-component theory", Phys. Rev. D, 48 (1993), 4881-4902.

[147] Avaroth Harindranath, Wei-Min Zhang, "Light-front QCD. III. Coupling constant renormalization", Phys. Rev. D, 48 (1993), 4903-4915.

[148] M. Yu. Malyshev, S. A. Paston, E. V. Prokhvatilov, R. A. Zubov, "Renormalized Light Front Hamiltonian in the Pauli-Villars Regularization", International Journal of Theoretical Physics, 54: 1 (2015), 169-184, arXiv:1311.4381.

[149] M. Yu. Malyshev, S. A. Paston, E. V. Prokhvatilov, Zubov R. A., V. A. Franke, "Pauli-Villars Regularization in nonperturbative Hamiltonian approach on the Light Front", AIP Conference Proceedings, In print, arXiv:1504.07951.

[150] S. Coleman, R. Jackiw, L. Susskind, "Charge shielding and quark confinement in the massive Schwinger model", Annals of Physics, 93 (1975), 267-275.

[151] S. J. Brodsky, J. R. Hiller, G. McCartor, "Pauli-Villars as a Nonperturbative Ultraviolet Regulator in Discretized Light-Cone Quantization", Phys. Rev. D, 58: 2 (1998), 025005, arXiv:hep-th/9802120.

[152] S. J. Brodsky, J. R. Hiller, G. McCartor, "Application of PauliVillars regularization and Discretized Light-Cone Quantization to a (3+1)-Dimensional Model", Phys. Rev. D, 60: 5 (1999), 054506, arXiv:hep-ph/9903388.

[153] S. J. Brodsky, J. R. Hiller, G. McCartor, "Application of PauliVillars regularization and discretized light-cone quantization to a single-fermion truncation of Yukawa theory", Phys. Rev. D, 64: 11 (2001), 114023, arXiv:hep-ph/0107 038.

[154] S. J. Brodsky, J. R. Hiller, G. McCartor, "Exact Solutions to Pauli-Villars-Regulated Field Theories", Ann. Phys., 296: 2 (2002), 406-424, arXiv:hep-th/010724 6.

[155] H.-J. Pirner, "The color dielectric model of {QCD}", Progress in Particle and Nuclear Physics, 29 (1992), 33-85.

[156] W. A. Bardeen, R. B. Pearson, "Local gauge invariance and the bound-state nature of hadrons", Phys. Rev. D, 14 (1976), 547-551.

[157] M. Burkardt, S. Dalley, "The relativistic bound state problem in QCD: transverse lattice methods", Progress in Particle and Nuclear Physics, 48: 2 (2002), 317-362, arXiv:hep-ph/0112007.

[158] S. Dalley, "Transverse Lattice", Nucl. Phys. Proc. Suppl., 90 (2000), 227-232, arXiv:hep-ph/0007081.

[159] S. Dalley, "Introduction to transverse lattice gauge theory", AIP Conf. Proc., 494 (1999), 45-64, arXiv:hep-lat/9912010.

[160] Stanley Mandelstam, "Light-cone superspace and the ultraviolet finiteness of the N=4 model", Nuclear Physics B, 213: 1 (1983), 149 -168.

[161] George Leibbrandt, "Light-cone gauge in Yang-Mills theory", Phys. Rev. D, 29 (1984), 1699-1708.

[162] Дж. Коллинз, "Перенормировка", Новокузнецкий ФМИ, 2000.

[163] A. Bassetto, M. Dalbosco, R. Soldati, "Renormalization of the Yang-Mills theories in the light-cone gauge", Phys. Rev. D, 36 (1987), 31383147.

[164] A. Bassetto, G. Nardelli, R. Soldati, "Yang-Mills theories in algebraic noncovariant gauges: Canonical quantization and renormalization", World Scientific, Singapore, 1991.

[165] С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке, "Ультрафиолетовая конечность киральной теории возмущений для КЭД-2", Теоретическая и математическая физика, 136: 1 (2003), 69-76, arXiv:hep-th/0310053.

[166] С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке, "Гамильтонов формализм на световом фронте для двумерной квантовой электродинамики, эквивалентный лоренц-ковариантному подходу", Теоретическая и математическая физика, 131: 1 (2002), 84-97, arXiv:hep-th/0302016.

[167] S. A. Paston, E. V. Prokhvatilov, V. A. Franke, "On the correspondence between Light-Front Hamiltonian approach and Lorentz-covariant formulation for Quantum Gauge Theory", Nuclear Physics B

Proceedings Supplements, 108 (2002), 189-193, arXiv:hep-th/0111009.

[168] С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке, "Вычисление спектра масс КЭД-2 в координатах светового фронта", Ядерная физика, 68: 2 (2005), 1-12, arXiv:hep-th/0501186.

[169] T. M. R. Byrnes, P. Sriganesh, R. J. Bursill, C. J. Hamer, "Density matrix renormalization group approach to the massive Schwinger model", Phys. Rev. D, 66 (2002), 013002, arXiv:hep-lat/0202014.

[170] P. Sriganesh, C. J. Hamer, R. J. Bursill, "New finite-lattice study of the massive Schwinger model", Phys. Rev. D, 62 (2000), 034508, arXiv:hep-lat/9911021.

[171] C. Adam, "Massive Schwinger Model within Mass Perturbation Theory", Annals of Physics, 259: 1 (1997), 1-63, arXiv:hep-th/9704064.

[172] C. Adam, "Improved vector and scalar masses in the massive Schwinger model", Physics Letters B, 555: 1-2 (2003), 132-137, arXiv:hep-th/0212171.

[173] Gary McCartor, "Mass operator in the light-cone representation", Phys. Rev. D, 60 (1999), 105004.

[174] J. Schwinger, "Gauge Invariance and Mass. II", Phys. Rev., 128 (1962), 2425-2429.

[175] Е. В. Прохватилов, "Бозонизация КХД-2-гамильтониана и проблема вакуума", Теоретическая и математическая физика, 88: 1 (1991), 17-24.

[176] S. Coleman, "More about the massive Schwinger model", Annals of Physics, 101: 1 (1976), 239-267.

[177] S. A. Paston, E. V. Prokhvatilov, V. A. Franke, "On the construction of corrected Light-Front Hamiltonian for QED-2", 2000, arXiv:hep-th/0011224.