Элементы специальной и общей теории относительности в R-пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Ангсачон Тосапорн

• Ангсачон Тосапорн
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Ангсачон Тосапорн

Оглавление

Введение

1 Пространство анти-де Ситтера-Бельтрами и /¿-пространство

1.1 Построение метрики пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами

1.2 Генераторы симметрии в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами

1.3 /¿-пространство

2 Законы сохранения в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами и /¿-пространстве

2.1 Сохраняющиеся величины в объемлющем пространстве (Айв^

2.2 Сохраняющиеся величины в координатах Бельтрами

2.3 Законы сохранения для нерелятивистской космологической частицы

2.4 Энергия нерелятивистской некосмологической частицы

2.5 Лагранжиан и Гамильтониан для свободной частицы в Я-пространстве

2.5.1 Лагранжев формализм в /¿-пространстве

2.5.2 Гамильтонов формализм в /¿-пространстве

2.6 Тензор энергии-импульса в /¿-пространстве

3 Решение Шварцшильда в /¿-пространстве

3.1 Линеаризованные уравнения гравитации в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами и /¿-пространстве

3.2 Метрика Шварцшильда в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами

3.2.1 Предел классической механики в /¿-пространстве

3.2.2 Метрика Шварцшильда в /¿-пространстве и движение по квазикруговым орбитам

3.3 Отклонение луча света в метрике Шварцшильда/¿-пространства

3.3.1 Уравнение луча света в Д-пространстве

3.3.2 Отклонение луча света для решения Шварцшильда Д-пространства

3.4 Собственное время и падение частиц на центр в поле Шварцшильда Д-пространства

3.5 Ускорение падающих частиц в метрике Шварцшильда Я-пространства

Заключение и литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Элементы специальной и общей теории относительности в R-пространстве»

Введение

Постановка и актуальность проблемы

Пространство де Ситтера/анти-де Ситтера(с18/Ас18) является одним из важных решений уравнений поля Эйнштейна. Эти решения играют важную роль в разных задачах теоретической физики, например описание космологического расширения Вселенной, проблема темной энергии, гипотеза АёЭ/ОРТ-соответствия. Впервые решение пространства де Ситтера найдено в работе [1], а случай пространства анти-де Ситтера в работе [29]. Пространство де Ситтер имеет положительную постоянную кривизну, а пространство анти-де Ситтер - отрицательную. Радиус кривизны этих пространств является величиной Я, которая связанная с

космологической постоянной Л по отношению Я =

Обычно пространство де Ситтера/анти-де Ситтера представляется как однополюсный гиперболоид, вложенный в многомерное пространство Минковского. Они могут описываться в разных локальных координатных системах, например, система стереографических [2], плоских, сферических, и гиперболических координат [17]. В указанных работах на основе специальной теории относительности де Ситтера были построены кинематическая алгебра генераторов симметрии и законы сохранения для классических частиц в этих координатах. Было построено действие для классических частиц и получено уравнение геодезической линии для массивных частиц с помощью параметризационных векторов. Эти векторы выбирают в качестве времениподобных векторов, лежащих на пересечении двумерной определенной плоскости с гиперболоидом, поскольку геодезическая линия в объемлющих координатах в пространстве де Ситтера/анти-де Ситтера является пересечением двумерной плоскости, проходящей через центр гиперболоида, и самого гиперболоида.

С помощью теоремы Нетер выводятся сохраняющиеся величины в объемлющих координатах и получается уравнение массовой поверхности в пространстве де Ситтера. Затем сохраняющиеся величины рас-

сматриваются в различных локальных координатах. В пространстве де Ситтера/анти-де Ситтера существуют десять сохраняющихся величин как и в пространстве Минковского [17]-[18]. Определены энергия и импульс свободной массивной частицы в пространстве де Ситтера, и показано, что в этом пространстве энергия определяется в локальной системе отсчета, в отличие от пространства Минковского, в котором энергия выводится в глобальной системе отсчета. Кроме того там изучаются физические процессы, такие как столкновение, распад и детектирование массивных частиц. В случае столкновения и распада частиц выводится закон сохранения импульса в объемлющих координатах, и затем осуществляется переход к 4-импульсам в локальных координатах, а в случае детектирования был определено отношение между импульсами в объемлющих и локальных координатах, и показана роль радиуса кривизны пространства в импульсах фотонов в плоских координатах.

Заметим, что сохранение десяти величин выводится из свойства симметрии пространства де Ситтера/анти-де Ситтера, которое является максимально симметричным пространством. Эта симметрия содержит десять параметров: временная трансляция, относящаяся к энергии системы, три пространственные трансляции, соответствующие трем импульсам, три буста и три пространственных поворота, которые отвечают моменту количества движения.

Важность двух пространств де Ситтера заключается в том, что в них существуют две универсальные константы - скорость света с и радиус кривизны пространства В.. В отличие от пространства Минковского вместо Лоренц-инвариантности в этих пространствах существует де Ситтер/анти-де Ситтер-инвариантность, которая описывается с помощью группы 50(1,4) и 50(2,3) соответственно [5]. Эти группы носят название групп де Ситтера/анти-де Ситтера. Теория относительности, основанная на этих пространствах, называется специальной теорией относительности де Ситтера/анти-де Ситтера [4],[17]. Из принципа относительности следует, что физические законы без внешнего поля гравитации должны быть ковариантными при групповых преобразованиях между инерциальными системами отсчета в четырехмерном локальном пространстве де Ситтера/анти-де Ситтера, а понятие об инерци-альной системе отсчета будет введено ниже. В работах [2]-[4] были построены все генераторы группы де-Ситтера в стереографических координатах, а случаи плоских, сферических, и гиперболических координат были рассмотрены в работах [17]-[18]. Во всех работах показано, что при предельном переходе Я —оо специальная теория относительности де Ситтера/анти-де Ситтера становится специальной теорией относительности Эйнштейна, поскольку все генераторы группы де Ситтера превра-

щаются в генераторы группы Пуанкаре, и значит, что де Ситтер/анти-де Ситтер-инвариантность превращается в Лоренц-инвариантность. Там же показано, что сохраняющиеся величины (энергия, импульсы, момент количества движения) в пространстве де Ситтера переходят в сохраняющиеся величины в пространстве Минковского.

Особой системой локальных коорнат для описания пространства де Ситтера/анти-де Ситтера является система координат Бельтрами. Эти координаты были введены в работе [6]. Координаты Бельтрами являются проекцией половины гиперболоида на определенную плоскость. Важное свойство этих координат заключается в том, что времениподобная геодезическая линия есть прямая [14],[19]. Идеи восходят к работам Фока, Вейля и Умова [30]-[32]. Согласно этим работам для двух систем отсчета существует преобразование координат (дробно-линейное преобразование), которое переводит равномерное движение по прямой в одной системе отсчета в такое же движение в другой системе отсчета, и в механике Ньютона и в специальной теории относительности Эйнштейна движение с постоянной скоростью вдоль прямой линии, называется инерци-альным. Таким образом и пространство Минковского, и пространство де Ситтера/анти-де Ситтера можно называть инерциальными пространствами.

Пусть для свободной частицы существует система отсчета, в которой можно ввести координаты (хг,Ь) и скорость ьг. такие что траектория будет иметь следующий вид

хг = (ж0)г + г>г(£ - ¿о), (1)

где г = 1, 2, 3.

Тогда эта система отсчета и движение являются инерциальными. Очевидно, что если при некотором преобразовании координат и скорости преобразованные величины будут связаны так:

= (2)

то система тоже будет инерциальной. В.А. Фок впервые показал, что общий вид преобразований, связывающих две инерциальные системы отсчета

х: = Л(х„£), (3)

является дробно-линейным преобразованием. Оно преобразует прямую геодезическую линию одной системы отсчета в ту же самую линию в другой системе отсчета.

Для системы координат Бельтрами в пространстве де Ситтера/анти-де Ситтера было построено дробно-линейное преобразование [7],[19], имеющее следующий вид

_ — + (7 — 1)а/'[(аж)/а2 — 1] _ (4)

7(1 + (аж)/Д2) , 7 -у/1 а/К, Щ

где есть 4-вектор и /л = 0,1,2,3.

Это преобразование вместе с преобразованиями вращения и линейными преобразованиям Лоренца образуют группу преобразований де-Ситтера/анти-де Ситтера. В работах [7]-[15],[19],[21] было построено действие для классических массивных частиц в координатах Бельтрами, и показано, что действие инвариантно относительно группы преобразований де Ситтера/анти-де Ситтера (4). В работе [15] были построены лагранжев и гамильтонов формализмы в этих координатах. Далее было найдено уравнение геодезической линии и доказана прямолинейность геодезической линии в координатах Бельтрами. Это удовлетворяет закону инерции, который заключается в том, что свободные частицы и световой сигнал без внешней силы должны сохранять однородное движение вдоль прямой геодезической линии в пространстве де Ситтера/анти-де Ситтера в координатах Бельтрами. Кроме того были созданы десять генераторов группы де Ситтера/анти-де Ситтера в этих координатах [10],[19] как в случае упомянутых дригих координат. Эти генераторы образуют алгебру яо(1,4) в пространстве де Ситтера, а йо(2,3) в пространстве анти-де Ситтера соответственно. Очевидно, что при стремлении радиуса кривизны пространства к бесконечности (Я —> оо) все генераторы в пространстве де Ситтера/анти-де Ситтера в координатах Бельтрами превратятся в генераторы группы Пуанкаре, описывающие алгебру йо(1 ,3) [7]. В силу теоремы Нетер были выражены десять сохраняющихся величин, образующихся уравнение массовой поверхности. Они тоже превратятся в десять сохраняющих величин в пространстве Минковского при Я —оо, а также лагражиан и гамильтониан в этом пространстве преобразуются в лагранжиан и гамильтониан в пространстве Минковского [15]. Это значит, что де-Ситтер/анти-де Ситтер-инвариантность переходит к лоренц-инвариантности как в случае объемлющих, стереографических, плоских и других координат в пространстве де Ситтера/анти-де Ситтера.

Заметим, что существует интересный предельный переход от пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами, который раньше невнимательно рассматривали во многих работах - это предел с —> оо. Это предельное многообразие носит название Я-пространства. Этот предел впервые рассмотрен в работе В.А. Фока при выводе дробно-линейного

преобразование [30], а прямой предельный переход в формализме группы рассматривается в работах [19],[21], там преобразование Лоренца-Фока выводится из деформации алгебры группы Галилея. Вывод преобразования Лоренца-Фока получается путем теоремы о дробно-линейного преобразования без постулата о скорости света подробно описывается в работах [20], [21]. Это преобразование принимает вид

=-7- ^ (5)

г, =

7о - (7о - 1)£/?о ■ - 70гуГО/Я2'

7о (П1 ~ -То))

7о - (7о - 1 )^/Т0 - 7оЯ?То/Д2 :

г±

7о Ч7о - 1 № - 70ЯЯЬ/Я2'

(7)

где 70 = — = , а Т0 есть параметр преобразования, имеющий раз-

Я2

мерность времени. Точка £ = То, г = 0 переходит в = Го, г* = 0 при этих преобразованиях.

Надо отметить, что предельный переход с —» оо, при котором возникает Д-пространтсво, осуществляется только в случае пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами, а в пространстве де Ситтера вообще и в пространстве анти-де Ситтера в других координатах такого предельного перехода не существует.

Преобразования (5)-(7) вместе с преобразованиями пространственного отражения, обращения времени, пространственной и временной трансляций, пространственного поворота образуют инвариантность, которая называется Лоренц-Фок-инвариантностью. Если положить г <С Ди | £ — Т0 |<С То, то преобразование Лоренца-Фока превратится в обычное преобразование Лоренца со скоростью света Со = Я/То. Это преобразование формирует линейный элемент метрики в следующем виде

йз2 = - (гМ - ¿¿г)2]. (8)

Действие для массивной частицы построено из этого линейного элемента, и тоже получена геодезическая линия для массивной частицы. Замечательно, что действие не содержит скорости света с, а содержит только радиус кривизны пространства Я. Это значит, что в /¿-пространстве присутствует только одна фундаментальная константа Я. В силу теоремы Нетер получаем десять сохраняющихся величин в /¿-пространстве. Эти

величины тоже выводится путем поставки предельного перехода с —оо в десять сохраняющихся величин в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами Четыре из десяти величин образуются уравнение массовой поверхности, зависящее от массы и радиуса кривизны пространства Я Кроме того физические величины в /¿-пространстве могут переходить в физические величины в пространстве Минковского через следующие преобразования координат и времени

ГТП (9)

t + То t +Т0

Движение фотонов в /¿-пространстве образует световые конусы Они удовлетворяют условию нулевого линейного элемента и нулевой массовой поверхности После подстановки этих двух условий в линейный элемент (8) получаем траекторию фотона в виде [21]

r(t, с) = (г0)р + et, (10)

где (г0)р есть координата фотона в начальный момент времени Она проходит через сферу (го)2 = Я2 Таким образом получаем зависимость скорости света от координат и времени в таком виде

c(i,f) = (r к + \JЯ2 -г2 + (f-k)2)/t, (11)

где к есть единичный вектор в направлении движения фотонов Отмечаем, что эта полученная скорость не нарушает принцип постоянства скорости света при выводе преобразования Лоренца-Фока поскольку константа с в этом преобразовании равна скорости света в момент времени Т0 в начале координат Это значит что этот результат отвечает постулату о постоянстве скорости света в специальной теории относительности Эйнштейна Можно считать, что /¿-пространство является космологическим обобщением пространства Минковского, когда значение радиуса кривизны Я равняется радиусу видимой части нашей Вселенной, а То - времени, прошедшему после Большого Взрыва

Основные результаты, выносимые на защиту

• В данной диссертации исследован ряд некоторых физических проблем метрики пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами в /¿-пространстве Для этого вычислены связность, тензор Римана, тензор Риччи и скалярная кривизна в этом пространстве

Найдено уравнение геодезической линии и доказана ее прямолинейность, т.е. инерциальность рассматриваемого пространства. Затем построены десять генераторов симметрии и вычислен оператор Лапласа-Бельтрами в этом пространстве.

• Получен вид десяти сохраняющихся величин в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами. При предельном переходе с —> оо получены десять сохраняющихся величин в Я-пространстве. Далее выведено уравнение массовой поверхности в случае Д-пространства. В области (Хх — х)2 Я2 получены дополнительные сохраняющиеся величины, которые являются следствием расширенной группы Галилея - группы Шредингера. Построены лагранжиан, гамильтониан и тензор энергии импульса в Д-пространстве.

• Построено линеаризованные уравнения гравитации в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами и в /¿-пространстве. Вычислены метрика Шварцшильда в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами и метрика Шварцшильда в Д-пространстве. Далее в /¿-пространстве найдено уравнение движения массивной пробной частицы и получена квазикруговая орбита. Показано изменение радиуса орбиты Луны. Также вычислено уравнение траектории луча света. Показано, что угол отклонения луча света отличается от случая пространства Минковского дополнительным слагаемым, содержащим радиус кривизны пространства, а от случая пространства де Ситтера - членом с другой степенью радиуса кривизны пространства. Исследовано собственное время в поле Шварцшильда, и вычислено ускорение падающих частиц в таком поле.

Апробация работы и публикации

Габоты по теме данной диссертации опубликованные в следующих журналах, вошедших в перечень ВАКа:

1. Ангсачон Т., Манида С.Н. Решение Шварцшильда в /¿-пространстве, Вестник СПбГУ, Серия 4. Физика, Химия. Выпуск 2, (2013), 14-19.

2. Ангсачон Т., Манида С.Н., Чайковский М.Е. Законы сохранения для классических частиц в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами ТМФ, 176:1 (2013), 13-21.

и докладывались на следующих конференциях:

• International Student Conference Science and Progress, Saint-Petersburg, Russia, 2010-2012.

• 11-th Asian-Pacific Regional IAU Meeting (APRIM), Chiang Mai, Thailand 2011.

• The Institute for Fundamental Study Inaugural Symposium, Naresuan University, Thailand 2012.

• IV международная конференция "Модели квантовой терии поля" (МКТП-2012), посвященная А.Н. Васильеву, Санкт-Петербург, Россия.

• 41th ITEP WINTER SCHOOL OF PHYSICS, Moscow, Russia 2013.

• Международная научная конференция Третьи «Фридмановские чтения» Пермь, ПГНИУ, Россия, 2013г.

Структура диссертации

Данная диссертация состоит из трех глав:

• В первой главе рассматривается общее понятие о пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами. Вводится определение координат Бельтрами и выражается линейный элемент метрики пространства анти-де Ситтера в этих координатах. Далее проводится вычисление необходимых величин, а именно: связность, тензор Римана, тензор Риччи, скалярная кривизна. Строится уравнение геодезической линии в этом пространстве и показывается, что она является прямой линией. Затем строятся десять генераторов симметрии в объемлющих координатах, и делается переход в координаты Бельтрами. Вычисляется оператор Лапласа-Бельтрами в этом пространстве. В конце данной главы определяется /¿-пространство и также вычисляется необходимы величины в этом пространстве, используя предельный переход с —> оо.

• Вторая глава посвящена законам сохранения в пространстве анти-де Ситтера и в /¿-пространстве. В начале главы определяется действие массивной частицы в объемлющих координатах и показывается инвариантность действия относительно инфинитезимальных преобразований. Используя теорему Нетер, получаются десять сохраняющихся величин. Затем выражаются десять сохраняющихся

величин в координатах Бельтрами и проводится предельный переход с —> сю, чтобы получить десять сохраняющихся величин в Д-пространстве. Исследуем динамику в области (Ах — х)2 <С Д2 как нерелятивистский некосмологический предел, вследствии этого выводятся дополнительные сохраняющиеся величины. Вводятся лагранжиан и гамильтониан в /¿-пространстве. В конце данной главы находим четыре-скорость в метрике Д-пространства, и строится тензор энергии-импульса для пылевидной материи.

• В последней главе начинается с линеаризации уравнения гравитации в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами и в Д-пространстве. Вводится метрику Шварцшильда в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами. Рассматривается предел с —> оо и переводится в метрику Шварцшильда в Д-пространстве. Из этого строятся действие для массивной частицы и ее лагранжиан. Далее исследуется предел классической механики этого лагражиана (Д —> оо): используя метод адиабатического инварианта, выводится энергия частицы в этом случае. Строится уравнение Гамильтона-Якоби для метрики Шварцшильда в Д-пространстве, находя его решение с помощью метода разделения переменных. Анализируется поведение траектории, аналогичной круговой орбите, и представляется изменение радиуса орбиты со временем. Описывается геодезическая линия луча света в метрике Шварцшильда в Д-пространстве. Используя метод последовательных приближений, вычисляется угол отклонения луча света в данной метрике и сравнивается этот результат с соответствующими результами в других пространствах. В конце концов изучается собственное время в поле Шварцшильда в Д-пространстве. В конце этой главы решается уравнение движения пробной частицы и получается ускорение падающих частиц для метрики Шварцшильда в Д-пространстве.

Глава 1

Пространство анти-де Ситтера-Бельтрами и Д-пространство

В первой главе мы будем описывать пространство анти-де Ситтера-Бельтрами и Д-пространство. В начале данной главы вводится понятие о пространстве анти-де Ситтера и определяются координаты Бель-трами. Далее изучается свойства геометрии, и построена метрика этого пространства. Найдены символы Кристофеля, тензор Римана, тензор Риччи и скалярная кривизна. Построены преобразования симметрии в координатах Бельтрами, и получены генераторы трансляций, вращения, и буста, а также вычисляем оператор Лапласа-Бельтрами в таком пространстве. Затем определяем Д-пространства как предельный переход пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами с —>■ оо, также и вычисляем связность тензор Римана, тензор Риччи и скалярная кривизна в Д-пространстве В конце главы получаем оператора Лапласа-Бельтрами для Д-пространства в сферических координатах.

1.1 Построение метрики пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами

В общей теории отноносительности существует одно из известных решений уравнений поля Эйнштейна - это решение анти-де Ситтера, которое опысывает геометрию с максимальной симметрией и постоянной отрицательной кривизной. Пространство анти-де Ситтера можно представить в виде гиперболоида, вложенного в пятимерное пространство

Минковского в координатах Хд = Х0, Х^, Х3)

Х21 + Х02-Х2-Х2-Х32 = Я2, (1.1)

а линейный элемент представляется в виде

с^2 = ах2_г + <1X1 ~ ~ йх1 ~ (1.2)

где Я есть радиус кривизны пространства.

Теперь определим координаты Бельтрами по следующим выражениям

О Х° Г,^1.2,3 /-. 0\

Х0 = К—~, Ж1.2,3 = л——, (1.3)

А_1 А_1

где х0 = с1 и х = £1,2,3-

Эти координаты являются проекцией половины гиперболоида на плоскость Х_1 = Я.

Подставляя выражение (1.3) в метрику (1.2), получаем метрику пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами

,2 _ Т]ц1;(1х^с1х (ЛциХ^сЬх ) . .

аз = и2 т* ' 1 ]

, т „ X2 •Ццух^х"

где

гр 2 'У^ гг> V

к2 = 1 + — = 1 + Ы

+ В2 + Я2 ' ' Метрический тензор принимает вид

п - _ х<хХи (л ^

к2 Я21г*> { }

а обратная метрика:

Ь2

д^ = Н2^ + —х^х". (1.6)

Я

Далее вычисляем связность в данном пространстве. В римановом пространстве без кручения связность представляет собой

г^ = + д„9,ф - дря^). (1.7)

Подставив (1.5) и (1.6) в (1.7), получим

= + (1-8)

Теперь можно найти римановый тензор для пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами из формулы

-Г° (1 91

11111>а )1а и&± ' аи ци1- оса- К1"0)

Для связности (1.8) этот тензор выражается в компактном виде

К* = - + - (1.Ю)

Следующий шаг - это найти тензор Риччи

3

В конце концов получается скалярная кривизна в простом виде

12 Я2

Я = <ГЯМ„ =. (1.12)

Теперь мы хотим рассмотреть уравнение геодезической линии в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами. Известно, что уравнение геодезической линии в криволинейном пространстве выражается в таком виде

й2х» „„ (1ха(1хт п

+ г1Г = (1ЛЗ>

где в есть аффинный параметр. Подставляя связность (1.8) в (1.13), получаем

(£2х" _ 2 йх» ( йха\

~ т2^ \Ха~¿Г) ■ ( }

Теперь если умножим уравнение (1.13) на - и сделаем перестановку

ав

между индексами, тогда получаем

й2х^(1хи ¿2х" йх» „„ йхайхтАх" „„ (1ха<1хт(1хи

_____= р1'____ рА1___П 2о)

йв2 Ав ¿э2 ¿в ат ¿в с1в ат йв йв йв

После подстановки связности (1.8) в равенство (1.15) очевидно, что правая часть этого равенства равняется нулю, остается только левая часть. Это означает, что

сРх" с1хи _ <Рх" йх» 1

(¿й2 йв ¿в2 ' которое эквивалентно условию

<1 (Ах» Лх»\

Равенство (1.17) показывает, что уравнение геодезической линии в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами является прямой

линией [30]. Это значит, что движение частицы в координатах Бельтрами проходит в инерциальной системе отсчета и эквивалентно геодезической линии в пространстве Минковского.

Отмечаем, что линейный элемент метрики пространства анти-де Сит-тера в координатах Бельтрами (1.4) образует действие для свободной частицы с массой т в виде

S = -mcids = -mc2 1 1

с2 R2 R2c2 сЧ2-f2

(1.18)

Очевидно, что в пределе R —> оо это действие превратится в действие для свободной частицы в пространстве Минковского

S = -тс2 / dt\ 1 - —. (1.19)

Мы выразили все вычисленные величины пространства анти-де Ситте-ра в координатах Бельтрами. Далее будем называть пространство анти-де Ситтера в координатах Бельтрами пространством анти-де Ситтера-Бельтрами(АдС-Бельтрами). В следующем разделе будет рассматривать вопрос о построении генераторов в данном пространстве.

1.2 Генераторы симметрии в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами

Данную часть мы начнем с рассмотрения генераторов симметрии в объемлющем пространстве. Напомним метрику этого пространства

ds2 = dX2_x + dX2 - dX\ - dX\ - dX\. (1.20)

Генераторы симметрии этого пространства можно представить в следующем виде

Эти генераторы образуют следующие алгебры

[.Nab, Nmn] = rjBMNAN - r]BNNAM + r}ANNBM - rjAMNBN, (1.22) где А, В, M, N принимают значения -1,0,1,2,3.

Эти алгебры образует группу 50(2,3), которая носит название группы

анти-де Ситтера. Используем преобразование (1.3), чтобы построить генератор в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами.

Прежде всего нас интересует генератор временной "трансляции" Н. Чтобы построить Н необходимо рассмотреть генератор в объемлющем простраснстве

N«-» = bak~x-l<k' (L23)

который производит преобразования координат в таком виде

X'q = Х0 cos а 4- Х-\ sin а, Х'_\ = — Xosina + Х-\ cosa. (1-24)

При инфинитезимальных преобразованиях уравнение (1-24) принимает вид

Х'0 = Х0 + Х_1а, X'_l = -XQa + X.l. (1.25)

После подстановки формулы (1.3) в уравнение (1.25) получаем инфини-тезимальное преобразование в координатах Бельтрами:

ах п „ , ахгх0

х'о = хо + -~ + aR, х[ = хг + —(1.26) К К

Введем преобразование функции /(%), чтобы получить вид генератора /«) = /(*„) + а(4 + + ^f^ = / + (1-27)

Поэтому генератор G\ имеет вид

Определим генератор Н в следующем виде:

с ^ д сх0 id д \ .

Очевидно, что при стремлении R к бесконечности генератор (1-29) становится общим генератором трансляции времени в пространстве Мин-ковского.

Для построения генераторов пространственной трансляции рассмотрим генераторы в объемлющем пространстве

Ъ-ь-х^т-х-ак- (L30)

Они порождают преобразования

Х'_1 = Х-1 cosh а + Хг sinh а, Х[ = Хг cosh а + X_i sinh а, (1-31) и при инфинитезимальных преобразованиях они принимают вид

Х'_г = + Х'й = Хх + Х_ха. (1.32)

При переходе в координаты Бельтрами получаем

/ XQiCjOi » Oi . .

х0 = х0-----1- хга хг = хг----b Ra. (1.33)

К к

Разложение функции f(x') в ряд Тейлора в данном случае имеет вид

/«) = /ы- ¿f +«(д - тт) i;s+(1341

где

= + «

К oxj охг К ох0

Таким образом генераторы пространственной трансляции предсталяют собой

Р - 1г - + А _ ^ А п^

1 R 1 В? дх, дхх R2 дхо" U j

Также как в случае генератора временной трансляции при R —> оо генераторы пространственной трансляции в пространстве анти-де Сит-тера превратятся в обычные генераторы пространственной трансляции в пространстве Минковского.

Далее рассмотрим генераторы буста

= (L37)

соответствующие преобразованиям координат

Х'о = Х0 cosh а + Хг sinh а, Х'г = Хг cosh а + Х0 sinh а. (1.38)

После перехода в координаты Бельтрами эти преобразования принимают вид

х'0 = хо cosh а + хг sinh а, х[ = хг cosh а + х0 sinh а. (1.39)

При инфинитезимальных преобразованиях получаем

х'0 = х0 + х га. х\ = хг + х0а. (1-40)

Разложим функцию /(ж^) в ряд при этих преобразованиях и получим

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ангсачон Тосапорн, 2013 год

Литература

[1] W. de Sitter, Month. Not. Roy. Astr. Soc. 78 (1917).

[2] R. Aldrovandi and J. G. Pereira, "A Second Poincare Group,"arXiv:gr-qc/9809061 (1998)

[3] R. Aldrovandi, J. P. Beltran Almeida and J. G. Pereira, Int. J. Mod. Phys. D, 13, 2241-2248, (2004)

[4] R. Aldrovandi, J. P. Beltran Almeida and J. G. Pereira, Quant. Grav., 24, 1385-1404, (2007)

[5] F. Gursey, Relativity, Groups and Topology, eds. by C. deWitt, B. deWitt, Newyork-London, (1964).

[6] E. Beltrami, Opere Mat., 1, 374, (1868).

[7] H.-Y. Guo, "Special Relativity and Theory of Gravity via Maximum Symmetry and Localization," arXiv:gr-qc/0707.385 (2007)

[8] H.-Y. Guo, Science in China A, 51:4 568-603 (2008).

[9] H.-Y. Guo, C.-G. Huang, Y. Tian, Z. Xu, B. Zhou, "A Model on cosmological constant as origin of inertia/' arXiv:hep-th/0405137 (2004)

[10] H.-Y. Guo, C.-G. Huang, H.-T. YVu, B. Zhou, "The principle of relativity, kinematics and algebraic relations," arXiv:hep-th/0812.0871 (2008)

[11] H.-Y. Guo, H.-T. Wu, B. Zhou, Phys. Lett. B, 670 (2009) 437-441

[12] H.-Y. Guo, C.-G. Huang, Y. Tian, Z. Xu, B. Zhou, Class. Quant. Grav., 24 (2007) 4009-4036,

[13] H.-Y. Guo, C.-G. Huang, Y. Tian, Z. Xu, B. Zhou, Front.Phys.China, 2 (2007) 358-363, arXiv: hep-th/0607016

14] H.-Y. Guo, "The Beltrami Model of De Sitter Space: From Snyder's quantized space-time to de Sitter invariant relativity1', arXiv: hep-th/0607017

15] M.-L. Yan, N.-C. Xiao, W. Huang, Commun.Theor.Phys., 48, 27-36 (2007).

16] Z. Chang, S.-X. Chen, C.-G. Huang, Chin.Phys.Lett, 22, 791, (2005).

L7] S. Cacciatori, V. Gorini, A. Kamenshchik, "Special Relativity in the 21si century," arXiv:hep-th/0807.3009.

18] S. Cacciatori, V. Gorini, A. Kamenshchik and U. Moschella, Class. Quant. Grav. 25:075008,2008.

19] S. N. Manida, ТМФ, 2011, 169:2, 323-336 .

20] S. N. Manida, "Fock-Lorentz transformations and time-varying speed of light", arXiv:gr-qc/9905046.

21] С. H. Манида, "Дополнительные главы курса общей физики. Механика," Из-во СОЛО, 99 стр, 2007.

22] J. Magueijo, А. Mozaffati/ Simple generalization of anti-de Sitter spacetime, arXiv:gr-qc/0911.3697.

23] O. Jahn, V.V. Sreedhar, Am.J.Phys., 69, 1039-1043, (2001).

24] L. O'Raifeartaig, V. V. Sreedhar, Annals Phys., 293 215-227, (2001).

25] R. Jackiw, Ann. Phys., 129 183-200, (1980).

26] U. Niederer, Helvetica Physica Acta, 45 802, (1972).

27] C. R. Hagen, Phys. Rev., D5 377-388, (1972).

28] R. Jackiw, Phys. Today, 25 23, (1972).

29] F. Kottier Uber die physikalischen Grundlagen der Einsteinschen Gravitationstheorie. Ann. Phys. (Germany), 56 : 401-462, 1918.

30] Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. М.УРСС (2007) 568 с.

31] Умов Н. А. Избранные сочинения. Гостехиздат (1950).

[32] H. Weyl, Mathematische Analyse des Raumproblems, Berlin, Springer, (1923).

[33] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. М., (2001) 214 с.

[34] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М., (1988) 531 с.

[35] Владимиров Ю.С. Классическая теория гравитации. М.УРСС, (2009) 264 с.

[36] W. Rindler, Ishak M. Phys. Rev. D. 76, 043006, (2007).

[37] Grib A.A., Pavlov Yu.V. Usp.Fiz. 179, 279-283, (2009).

[38] Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр в 2-х томах, М.Мир, (1986)