Математическое моделирование динамики гравитационного и дилатонного полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Воронцова, Елена Геннадьевна

• Воронцова, Елена Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Воронцова, Елена Геннадьевна

Введение 1

Глава Дилатонная гравитационная модель 13

§1.1. Основные понятия 13

§ 1.2. Вывод уравнений эволюции

Глава Поле тяготения центрально-симметричного массивного тела 21

§ 2.1. Введение 21

§ 2.2. Решения при п = 23

§2.3. Решения шварцшильдовского типа при п = 24

§2.4. Решения шварцшильдовского типа при п > 3, Л = 26

§2.5. Ньютоновский предел и квазиэллиптические орбиты 32

§ 2.6. Отклонение светового луча вблизи солнечного диска

Глава Эволюция однородной и изотропной

Вселенной в дилатонной модели 43

§3.1. Введение 43

§3.2. Плоская модель: к = 46

§3.3. Пространства с кривизной к = ± 1, Л = 49

§ 3.4. Пространства с кривизной к = ±1, Л ф 54

§ 3.5. Решения с пылевидной материей (Т^ ф 0) 60

§ 3.6. Анализ космологических параметров 69

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование динамики гравитационного и дилатонного полей»

В настоящем диссертационном исследовании рассматривается дила-тонная гравитационная модель, которая возникла около 15 лет назад на стыке общей теории относительности и теориин — молодого перспективного направления в теоретической физике и математике, имеющего целью описание всех физических взаимодействий.

В основе появившейся в начале XX века общей теории относительности (ОТО) А. Эйнштейна [1] - [3] лежал революционный для того времени принцип, устанавливавший на количественном уровне связь между геометрическими свойствами пространства-времени и таким физическим явлением, как тяготение. А именно, явление тяготения массивных тел и связанное с ним гравитационное поле были в данной теории поставлены в зависимость от степени искривленности пространства-времени (пространственно-временного многообразия).

ОТО остается до сих пор наиболее совершенной теорией гравитационных явлений, обобщающей теорию тяготения И. Ньютона на случай сильных полей и высоких скоростей гравитирующих тел. Возможности экспериментальной проверки ОТО на данный момент включают наблюдение особенностей движения планеты Меркурий, находящейся в наиболее сильном в масштабах Солнечной системы гравитационном поле, а также наблюдение эффектов в сильных гравитационных полях вне Солнечной системы: в активных ядрах галактик, в звездных скоплениях, пульсарах, черных дырах. Многочисленные эксперименты в данном направлении подтвердили справедливость предсказаний ОТО, в частности, предсказанные данной теорией гравитационное смещение частоты излучения, смещение перигелия Меркурия и периастрия пульсаров в двойных системах, угловое отклонение положения звезд вблизи диска Солнца хорошо ложатся в рамки погрешностей наблюдений [4] И

Общая теория относительности предсказывает существование таких удивительных образований как черные дыры [8] — массивные объекты, чрезвычайно сильное гравитационное поле которых не позволяет покинуть их поверхность никакому физическому телу, в том числе и фотону.

Одно из самых впечатляющих достижений ОТО было связано с космологией — наукой о происхождении и эволюции нашей Вселенной как целого. А именно, в начале 1920-х годов А. А. Фридманом [9] были получены точные решения уравнений ОТО в рамках предположений об однородности и изотропности Вселенной в больших масштабах. Эти решения имели нестационарный характер, то есть описывали расширение или сжатие Вселенной. Через несколько лет Э. Хаббл на основе анализа наблюдений доказал, что Вселенная расширяется в соответствии с предсказаниями Фридмана. Однако этот замечательный результат породил массу вопросов и проблем, в частности касающихся начала расширения Вселенной — Большого Взрыва. Неизбежна ли сингулярность (сверхплотное сжатие вещества) в начале Большого Взрыва? Что лежит на оси времени до Большого Взрыва? Почему средняя плотность материи в Метагалактике (видимой части Вселенной) близка к критической, а Вселенная — близка к плоской и однородной в больших масштабах?

Многочисленные не решенные окончательно вопросы, а также трудности экспериментальной проверки теории привели к появлению большого числа гравитационных моделей, обобщающих ОТО Эйнштейна или предлагающих альтернативные подходы к описанию тяготения. В эйнштейновской теории гравитационное поле имеет тензорный характер, и в его роли выступает метрический тензор четырехмерного пространственно-временного многообразия М. 1,з с координатами ц = 0,1,2,3, с метрикой ds2 = g^(x)dx^dxu (1) и со связностью, согласованной с метрикой. В альтернативных теориях предлагались различные обобщения данного подхода: связность более общего вида, в частности, с ненулевым тензором кручения [1]; введение дополнительного скалярного поля (скалярно-тензорные теории гравитации) [10]-[12]; введение дополнительной метрики (биметриче-ские теории); теории с дополнительными измерениями, развивающие идеи Т. Калуцы и О. Клейна [13], [14] и др. Многие из этих теорий оказались несостоятельными, но тем не менее ряд из них при соответствующем выборе параметров удовлетворяет набору требований, налагаемых экспериментом на теорию гравитации [4]. Поэтому необходимы дальнейшие исследования гравитационных моделей, обобщающих ОТО или выступающих как альтернативные.

Основной мотивировкой для создания таких моделей было естественное стремление создать теорию, объединяющую все физические взаимодействия: гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное. Как известно А. Эйнштейн до конца жизни безуспешно пытался решить проблему объединения гравитации и электромагнетизма [15].

Первые успехи на этом пути были достигнуты в 60-х годах — У. Глэ-шоу, С. Вайнбергом и А. Саламом была предложена единая теория электромагнитных и слабых взаимодействий [16]-[18]. В ходе дальнейшего продвижения по пути включения в единую теорию гравитационного и сильного взаимодействий (построения теории Великого объединения) было выдвинуто немало интересных и плодотворных идей, приведших по мере их развития к появлению новых теорий и направлений в теоретической физике.

Несомненно, самым ярким примером такого нового бурно развивающегося направления является теория струн [19]-[22]. За три десятилетия ее существования эта теория, имеющая целью дать ответы на самые глубокие вопросы о природе фундаментальных взаимодействий, разрослась до уровня крупного самостоятельного раздела в физике и математике.

Сразу после своего возникновения теория струн развивалась как теория адронов — элементарных частиц, участвующих в сильных взаимодействиях. Основная идея данной теории состояла в замене точечной частицы на релятивистскую струну — одномерный протяженный физический объект (линию), действие для которого пропорционально площади поверхности заметаемой струной при движении в пространстве Минковского [23]. Упомянутая поверхность называется мировой поверхностью релятивистской струны. Такой характер движения струны является аналогом динамики свободной материальной точки, действие которой пропорционально длине мировой линии.

В отличие от остальных вариантов квантовой теории поля, описывающих точечные объекты, теория струн оперирует протяженными объектами — релятивистскими струнами, характеризуемыми постоянной плотностью энергии 7 (этот параметр имеет также физический смысл натяжения струны), и их мировыми поверхностями. Топологически релятивистская струна может, в частности, быть открытой — гомеоморфной отрезку или замкнутой — гомеоморфной окружности.

Первоначально открытая струна выступала в качестве модели мезона — частицы, образованной парой кварк-антикварк, связанной сильным взаимодействием. При этом струна с натяжением у служила моделью данного взаимодействия. Эта модель основывалась на том, что квантовая хромодинамика (теория, наиболее адекватно описывающая сильные взаимодействия) предсказывает струноподобный характер распределения соответствующего силового поля [24] при достаточно больших расстояниях между кварком и антикварком в мезоне или тремя кварками в барионе.

В дальнейшем развитии этого направления [19] - [22] стала доминировать высказанная впервые в работе Дж. Шерка и Дж. Шварца [25] идея рассматривать теорию струн не как теорию адронов, а как более фундаментальную теорию, объединяющую все взаимодействия вплоть до гравитационного, возникавшего в низкоэнергетическом пределе такой струнной теории.

Рассмотрим более детально наиболее важные с этой точки зрения аспекты теории струн. Если мировая поверхность струны в пространстве Минковского R1,n произвольной размерности D = n + 1 задана параметризацией Х^сг0,^1), = 0,1,.,п, то действие для релятивистской струны можно записать в следующем виде, предложенном A.M. Поляковым [26]:

S=-\j ^^^d<r°da\ (2)

Здесь = diag (1; -1; —1;----1) — метрический тензор пространства

Минковского, ha/3, а,(3 = 0,1 — вспомогательный метрический тензор на мировой поверхности; везде ниже подразумевается суммирование по повторяющимся индексам, скорость света с = 1.

Действие Полякова (2) инвариантно: а) по отношению к преобразованиям Пуанкаре в пространстве Минковского R1,n, б) по отношению к произвольным невырожденным гладким заменам параметров а01 на мировой поверхности га = a^V1), J = det\\daa/да^\\ ф 0; (3) и обладает конформной или вейлевской инвариантностью относительно преобразований

Kiз e2+Wha0. (4)

Действие (2) на классическом уровне эквивалентно действию Нам-бу-Гото [23] S = —jf л/—det \ \ga0\\ d2a, где gap = r^f^f^ - индуцированная метрика на мировой поверхности.

Для квантования открытых и замкнутых бозонных струн действие Полякова (2) оказалось более удобным. Данная процедура квантования [19], [27]-[29], сопровождается возникновением различных аномалий (нарушений симметрий классического действия на квантовом уровне) и приводит к ряду нестандартных особенностей, таких как наличие тахиона в спектре состояний струны и размерность пространства-времени D = 26, необходимая для отсутствия состояний с отрицательной нормой. Именно с этим связано введение произвольной размерности D пространства Минковского. Для фермионной или спиновой струны [30], [31], а также для развитой на ее основе модели суперструны [32], [33] (обладающей особым видом симметрии между бозонными и ферми-онными полями струны) соответствующая критическая размерность D = 10.

Проблему лишних измерений предполагается решить посредством их компактификации1 на (D — 4) - мерное компактное многообразие с характерным планковским масштабом ip = \JHG/c3 ~ 10~33 см.

Основным критерием при выборе вариантов развития теории является необходимость устранения упомянутых аномалий. В частности, хЭта идея была выдвинута еще в работах Т. Калуцы и О. Клейна [13], [14]. на этом пути удалось установить глубинную связь между теорией (су-пер)струн и ОТО А. Эйнштейна — теорией гравитации. А именно, если рассматривать струну А. М. Полякова (2) не в пространстве Минковского Д1'" а в произвольном п + 1 - мерном многообразии М i „ с псевдоримановой метрикой (1) д^и(Х), то соответствующее обобщение действия (2) будет иметь вид s = ~ljda°da\ (5)

Действие (5) как и (2) инвариантно относительно конформного преобразования (4) внутренней (двумерной) метрики hap на классическом уровне, однако при квантовании выражения (5) возникает конформная аномалия [19], [34] пропорциональная Rlxl,(X) — тензору Риччи многообразия M.i,n. Следовательно, условием устранения этой аномалии является равенство R^ = 0, эквивалентное уравнению Эйнштейна в пустоте

Rplv - = 0. (6)

Здесь R = Кцид^ — скалярная кривизна.

Простейшее возможное обобщение действия (5) связано с наличием на многообразии Mi,n антисимметрического тензорного поля В^(Х) (при этом BUp = —By,v) и скалярного поля ф, что и приводит к появлению двух следующих дополнительных слагаемых в действии [19]

7)

Здесь е01® — антисимметричная тензорная плотность с компонентами б01 = -е10 = 1; е00 = £и = 0; R^(h) — "двумерная" скалярная кривизна на мировой поверхности, определяемая ее внутренней метрикой hap(<7), h = det ||^а/з||. За скалярным полем ф[Х) (точнее, за частицей отвечающей данному полю) закрепилось название "дилатон", от латинского слова, означающего "растяжение". Как мы увидим ниже, изменение значения ф в ряде случаев действительно можно интерпретировать как изменение пространственных масштабов в з

Действие 5в (7) как и S является конформно-инвариантным, однако выражение S<f> инвариантно лишь относительно частного случая вейлевских преобразований (4) с ф = const. Тем не менее в работах Е. С. Фрадкина и А. А. Цейтлина [35] - [38] в ходе квантования суммарного действия (5), (7) S + Sb + Яф были найдены в низшем (в разложении по I/7) нетривиальном приближении следующие обобщающие (6) условия сокращения конформной аномалии:

R^ ~ + \Н£хН„кХ = 0; = 0; (8) ^ЛФ*» ~ ФМ ~R~ HXnvHXKV = 0.

Здесь Ttll = дТ/дх11] — соответствующая ковариантная производная, Ямка = Вцк^х + + Нетривиальным моментом оказалось то, что система уравнений (8) может быть получена как уравнения Эйлера-Лагранжа в теории с действием [19], [37]:

S =-к J VW\e~2<t> (Я + ЧЖ + ^ЯМ1/А#dDx, (9) где g = det Цд^Ц. Данное действие переходит в гравитационную часть действия общей теории относительности

S = -kJ y/\g\RdDx (10) в случае равенства ф = const, = const для дополнительных полей дилатона и В

Действие (9), интерпретируемое как низкоэнергетический или длинноволновый предел взаимодействий безмассовых мод в теории струн [19], поставило перед исследователями ряд вопросов, связанных с его физической интерпретацией. Самые важные из них: может ли действие (9) выступать как обобщение гравитационной части действия ОТО, и каковы физические проявления дополнительных полей ф и В^и.

Модель (9) с Вци = 0, называемую дилатонной гравитационной моделью, можно рассматривать как вариант скалярно-тензорной теории гравитации. Скалярно-тензорные теории гравитации рассматривались многими авторами как вариант модификации ОТО, в частности, широкую известность получила скалярно-тензорная теория, рассмотренная в работах [10], [11] (теория Бранса-Дикке), с действием

S = J Vе?Д + (I67r/c4)L - ыф,{ф'*/ф) d4®, (11) где L — лагранжиан материи, ф — скалярное поле иш - некоторая безразмерная константа.

Дилатонная гравитационная модель с действием (9) привлекла усиленное внимание исследователей в силу ряда причин. В частности, введение дилатона делает нетривиальной двумерную (точнее 1 + 1-мерную) гравитацию2. Двумерная дилатонная гравитация рассматривалась в большом числе работ [39]-[41]. Одна из основных целей этих исследований — разработка на примере данной "игрушечной" модели подходов к квантованию гравитации. В двумерной гравитации были получены решения описывающие подобие черной дыры.

Ряд работ [42] - [44] был посвящен 2+1 - мерной дилатонной модели. Она существенно богаче нетривиальными решениями чем эйнштейновская гравитация той же размерности.

Естественно, дилатонная модель (9) заинтересовала большое число исследователей в плане ее возможных приложений в области космологии [45] - [47] с целью решить ряд упоминавшихся выше проблем: плоскостности, однородности Вселенной, космологической сингулярности и других. Заметим, что уже давно, в частности, в работах А. Д. Линде [48] - [53] для решения этих проблем привлекалось дополнительное скалярное поле ф(х) с потенциалом У(ф) в действии (10) для обеспечения режима инфляции или экспоненциального раздувания Вселенной. Возможности использования для этой цели дилатонного поля ф(х) рассматривались в работах [54]-[60].

В работе [61] изучается предел слабого поля в струнно-дилатонной гравитации, выводятся поправки к ньютоновскому потенциалу и рассматриваются возможные астрофизические приложения полученных результатов.

В целом ряде работ [55]-[57], [62]-[67] исследовались возможности получения космологических решений в дилатонной гравитационной модели в рамках 3 + 1 - метрики Фридмана-Робертсона-Уокера с различными вариантами компактификации остальных D — 4 измерений (подробно см. в главе 3 диссертации).

Однако эти исследования оставили открытыми множество вопро

2Напомним, что действие (10) ОТО в случае является топологическим инвариантом поверхности М\,\ и уравнения (6) обращаются в тождество [3]. сов, касающихся дилатонной гравитационной модели. В частности, какие из космологических проблем она способна решить, а какие — неспособна? Возможна ли (и при каких условиях) стабилизация дилатона ф -» const в современную эпоху с соответствующим переходом дилатонной модели в ОТО? Существуют ли несингулярные решения в дилатонной космологии и как классифицировать эти решения? Как в дилатонной гравитации модифицируются известные решения ОТО, в частности решение Шварцшильда? Сохраняется ли при этом ньютоновский предел при слабых гравитационных полях для этих решений? Каковы возможные наблюдательные проявления, позволяющие экспериментально отличить предсказания дилатонной модели от предсказаний ОТО? К каким ограничениям на параметры это приводит?

Решению этих и других проблем посвящена настоящая диссертационная работа, в центре внимания которой находится дилатонная гравитационная модель с гравитационной частью действия в форме (9):

Ниже мы полагаем В= 0 и рассматриваем вслед за рядом авторов [44] слагаемое, пропорциональное А = const.

В работах [37], [62], [68], [69] константа А имела смысл дефицита центрального заряда и зависела от размерности D пространства.

Однако в дальнейшем данная константа рассматривалась как свободный параметр модели — аналог А-члена (космологической постоянной) в эйнштейновской теории гравитации. В этом последнем случае постоянная Л выступает и в настоящей работе.

Целью работы является разработка математической модели, позволяющей выполнить исследование параметров динамики дилатонного и гравитационного полей; описание на основе дилатонной модели тяготения центрально-симметричного массивного тела и эволюции однородной и изотропной Вселенной, сравнение результатов исследования с последними данными наблюдательной астрономии и предсказаниями

Структура работы

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения.

12)

ОТО.

В первой главе рассматривается дилатонная гравитационная модель, включающая действие (12) и действие полей материи. С помощью варьирования действия по гравитационному полю д^„ и по полю дилатонов ф выведены уравнения, описывающие эволюцию (движение) гравитационного и дилатонного полей в данной модели с учетом материи. Изучена структура этих уравнений и их связь с уравнениями ОТО.

Вторая глава посвящена исследованию поля тяготения центрально-симметричного массивного тела с помощью решений шварцшильдов-ского типа (центрально-симметричных решений в пустоте) для различных размерностей (п = 1, п = 2, п > 3).

Для случая размерности п > 3 получено двухпараметрическое семейство решений, в котором один из параметров является аналогом гравитационного радиуса, а другой параметр характеризует интенсивность дилатонного поля. В случае обращения последнего параметра в нуль найденное решение переходит в решение Шварцшильда.

Найденные решения шварцшильдовского типа в дилатонной гравитационной модели обладают свойством исчезновения горизонта черной дыры в случае присутствия в этих решениях нетривиального дилатонного поля. Геометрический и физический смысл полученных решений исследуется с помощью геодезических линий.

Для решений шварцшильдовского типа проведен анализ таких наблюдательных проявлений дилатонной гравитационной модели, как смещение перигелия и отклонение светового луча вблизи массивного тела. Для этого рассматривается предел г оо, отвечающий слабому гравитационному полю.

Проведено сравнение полученных результатов с соответствующими результатами ОТО и экспериментальными данными, что позволяет получить оценку для значений параметра, характеризующего интенсивность дилатонного поля.

В третьей главе для описания эволюции однородной и изотропной Вселенной исследуется класс космологических решений фридманов-ского типа с космологической константой А и пылевидной материей для случая произвольной размерности.

Для плоской модели решение получено аналитически. Для пространств с ненулевой кривизной используется численное решение системы нелинейных дифференциальных уравнений так как явные аналитические решения имеются лишь в некоторых отдельных случаях, в частности, при равных нулю значениях Л и плотности пылевидной материи. В § 3.4 для случая отсутствия материи была проведена исчерпывающая классификация найденных космологических решений для различных значений пространственной кривизны и космологической константы.

Для сопоставления полученных в рамках дилатонной модели решений с космологическими решениями ОТО и имеющимися на сегодняшний момент наблюдательными данными в § 3.6 проведен анализ космологических параметров.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработана математическая модель для проведения исследования параметров динамики дилатонного и гравитационного полей с включением материи. Исследование на модели осуществляется в различных режимах с выдачей результатов по всем параметрам динамики в графической и цифровой формах, что обеспечивает проведение полного анализа динамики полей непосредственно в процессе вычислительного эксперимента.

2. С помощью моделирования центрально-симметричных решений уравнений дилатонной модели (решений шварцшильдовского типа) исследовано поле тяготения массивного тела и установлено, что в отличие от ОТО в дилатонной гравитации исчезает горизонт черной дыры при наличии дилатонного поля.

3. Получены прогнозные оценки измеримых параметров для таких явлений как смещение перигелия Меркурия и гравитационное отклонение светового луча, проходящего вблизи Солнца; найдены ограничения на допустимые параметры дилатонной модели, полученные на основе экспериментальных данных.

4. Определены с помощью численных экспериментов параметры (масштабный фактор, параметр замедления и др.), характеризующие динамику расширения однородной и изотропной Вселенной, в том числе с пылевидной материей.

5. Получены космологические решения с нетривиальными параметрами динамики: решения описывающие расширение Вселенной с ускорением, а также решения без начальной сингулярности в виде сверхплотного сжатия.

В работе применяются численные и аналитические методы вывода, преобразования и решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику дилатонного и гравитационного полей, оценок асимптотических свойств их решений и соответствующих физических проявлений.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что разработанная математическая модель является вкладом в теорию и методы математического моделирования таких процессов, как динамика дилатонного и гравитационного полей, описывающих тяготение центрально-симметричного массивного тела и эволюцию однородной и изотропной Вселенной.

Практическая значимость разработанной модели и полученных в диссертации результатов моделирования заключается в том, что данная модель построена как практический инструмент по оцениванию и исследованию параметров динамики дилатонного и гравитационного полей. Установленные моделированием ограничения и условия на допустимые параметры динамики могут составить основу при выполнении астрофизических исследований с применением компьютерных технологий.

Результаты диссертации опубликованы 12 работах [70]-[81].

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на конференциях "Математические модели сложных систем" (г. Тверь, 1999 г.), "Математическое моделирование и оптимальный контроль комплексных систем" (г. Тверь, 1999 г.), XV международной конференции QFTHEP 2000 (г. Тверь, 2000 г.), V конференции молодых ученых и специалистов (г. Дубна, 2001 г.), XVIII международной конференции QFTHEP 2004 (г. Санкт-Петербург, 2004 г.).

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Воронцова, Елена Геннадьевна

Заключение

В диссертационной работе разработана математическая модель для проведения исследования параметров динамики дилатонного и гравитационного полей и показана применимость дилатонной модели для описания центрально-симметричного поля тяготения массивного тела, а также эволюции Вселенной как целого.

Для этих целей выведены уравнения эволюции гравитационного и дилатонного полей с помощью варьирования действия (1.1) по гравитационному полю и по полю дилатонов ф. Полученная система уравнений (1.20), как показал ее анализ, не равносильна системе ОТО, так как содержит уравнение, описывающее эволюцию ф(х). Исследована проблема включения материи в дилатонную гравитацию. Указаны условия, при которых система (1.20) переходит в уравнения Эйнштейна при ф = const.

Найденные во второй главе решения шварцшильдовского типа (2.21) (центрально-симметричные решения в пустоте) обобщают известное в ОТО решение Шварцшильда (2.1), обладают рядом его свойств, в частности, являются асимтотически плоскими при г -> оо, и содержат параметр го, являющийся аналогом гравитационного радиуса.

Однако, в отличие от решения Шварцшильда, полученное семейство решений (2.21) содержит (кроме го) параметр Q, характеризующий интенсивность дилатонного поля в соответствии с соотношением (2.18) ф'(г) = Qa'(r). При Q -У 0 найденное решение (2.21) переходит в решение Шварцшильда (2.1).

Замечательным свойством найденных решений шварцшильдовского типа (2.21) в дилатонной гравитационной модели, является то, что решения, описывающие черную дыру, существуют только при Q — О, (ф = const), а наличие нетривиального дилатонного поля ф ф const приводит к исчезновению горизонта черной дыры.

Для решений шварцшильдовского типа (2.21) исследованы такие наблюдательные проявления, как смещение перигелия Меркурия и гравитационное отклонение луча света, проходящего вблизи Солнца. Получены оценки для наблюдательных проявлений модели и соответствующие экспериментальные ограничения на параметр Q\ \Q\ < 0.0002. Эта оценка определяется наиболее жестким из имеющихся на данный момент экспериментальных ограничений — ограничением на постньютоновского параметры, определяемым углом отклонения луча, проходящего вблизи диска Солнца. Точность измерения данного угла за последние годы была улучшена на несколько порядков за счет использования космических радиоинтерферометров с большой базой. Полученная оценка значения параметра параметра Q для Солнца тем не менее не позволяет судить о возможных значениях этого параметра и соответствующих градиентах дилатонного поля ф(х) для других аст-рономичеких объектов.

В главе 3 описана эволюция Вселенной как целого в рамках дилатонной модели, включающей пылевидную материю. Для этой модели найдены и исследованы космологические решения фридмановского типа — решения, описывающих эволюцию однородной и изотропной Вселенной для трех различных значений знака к кривизны пространственной части. На основании их анализа, включающего как аналитические, так и численные методы, можно сделать вывод о существовании в дилатонной гравитации более широкого чем в ОТО спектра решений.

В частности, среди найденных космологических решений имеются обладающие начальной сингулярностью (3.24) в виде сверхплотного сжатия с а ~ \t - to]1^ (похожая сингулярность с несколько иным показателем степени присутствует в решениях Фридмана), но в то же время существуют и решения без сверхплотного сжатия, но с начальным состоянием (3.25) а ~ \t — t^Y"1^. Последняя особенность, не существующая у решений ОТО, описывает сверхбыстрое расширение (или сжатие) масштабного фактора до бесконечности и названа в работе сингулярностью типа "оо".

Космологические решения, описывающие инфляцию или экспоненциальное раздувание Вселенной на ранних стадиях эволюции, в дилатонной гравитации можно получить лишь с помощью введения потенциала У(ф) в лагранжиан теории (12). Такая же ситуация имеет место в ОТО.

Среди полученных в работе космологических решений особо отметим те, которые описывают расширение Вселенной с ускорением (другими словами, с отрицательным параметром замедления q — —аа/а2), что соответствует полученным в последнее время оценкам q на основе наблюдений за сверхновыми с большими красными смещениями [104] -[108]. В ОТО такие решения существуют лишь при положительных значениях Л-члена, в то время как в дилатонной гравитации решения с q < 0 существуют при всех значениях Ли к.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Воронцова, Елена Геннадьевна, 2007 год

1. Л.Д. Ландау, И.М. Лифшиц. Теория поля. М.: Наука. 1984.

2. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация. Т. 1,2,3. М.: Мир. 1977.

3. B. Б. Брагинский. Экспериментальная проверка теории относительности. М.: Знание. 1977.

4. B. А. Ацюковский. Экспериментальные основы теории относительности. М.: Издательство МПИ. 1990.

5. C. Will. The confrontation between general relativity and experiment // Living Rev. Rel. 9. 2006. V. 3; gr-qc/0510072.

6. C. Will. Was Einstein right? Testing relativity at the centenary // Annalen Phys. 2005. V. 15. P. 19-33; gr-qc/0504086. И.Д. Новиков, В. П. Фролов. Физика черных дыр. М.: Наука. 1986. А. А. Фридман. Мир как пространство и время. М.: Наука. 1965.

7. С. Brans, R. Н. Dick е. Mach's principle and a relativistic theory of gravitation // Phys. Rev. 1961. V. 124. N. 3. P. 925-935.

8. R. H. Dicke. The solar oblateness and the gravitational quadrupole moment // Astrophys. J. 1970. V. 159, P. 1-24. P. Дикке. Гравитация и Вселенная. М.: Мир. 1972.

9. Т. Kaluza. On the problem of unity in physics. Sitz. Preuss. Akad. Wiss. 1921. V. Kl. P. 966.

10. O. Klein. Quantum theory and five-dimensional theory of Relativity // Z. Phys. 1926. V. 37. P. 895-906.

11. А. Эйнштейн. Собрание научных трудов. Т. 3,4. М.: Наука. 1967.

12. S. Glashow, S. Weinberg. Breaking chiral symmetry // Phys. Rev. Lett. 1968. V. 20. P. 224-227.

13. S. Weinberg. Nonabelian gauge theories of the strong interactions // Phys. Rev. Lett. 1973. V. 31. P. 494-497.

14. A. Salam. Gauge unification of fundamental forces / / Rev. Mod. Phus. 1980. V. 52. P. 525-538.

15. M. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен. Теория суперструн. Т. 1,2. М.: Мир. 1990.

16. Б.М. Барбашов, В. В. Нестеренко. Модель релятивистской струны в физике адронов. М.: Энергоатомиздат. 1987. JT. Бринк, М. Энно. Принципы теории струн. М.: Мир. 1991.

17. A. Ю. Морозов. Теория струн — что это такое? // Усп. физ. наук. 1992. Т. 162. N. 8. С. 83-176.

18. Т. Goto. Relativistic quantum mechanics of one-dimensional mechanical continuum and subsidiary condition of dual resonance model // Prog. Theor. Phys. 1971. V. 46. N. 5. P. 1560-1569. M. Кройц. Кварки, глюоны и решетки. М.: Мир. 1983.

19. J. Scherk, J. Н. Schwarz. Dual models for nonhadrons // Nucl. Phys.

20. B. 1974. V. 81. N. 1. P. 118-144.

21. A. M. Polyakov. Quantum geometry of bosonic strings // Phys. Lett.

22. B. 1981. V. 103. N. 2. P. 207-210; Quantum geometry of fermionic strings // Phys. Lett. B. 1981. V. 103. N. 2. P. 211-213.

23. Brink, H. B. Nielsen. A simple physical interpretation of the critical dimension of space-time in dual models // Phys. Lett. B. 1973. V. 45. N. 2. P. 332-337.

24. P. Ramond. Dual theory for free fermion // Phys. Rev. D. 1971. V. 3. P. 2415-2418.

25. A. Neveu, J.H. Schwarz. Factorizable dual model of pions // Nucl. Phys. B. 1971. V. 31. N. 1. P. 86-112.

26. F. Gliozzi, J, Scherk, D. Olive. Supergravity and the dual spinor model // Phys. Lett. B. 1976. V. 65. N. 2. P. 282-288; Supersymmetry, supergravity theories and the spinor dual model // Nucl. Phys. B. 1976. V. 122. N. 2. P. 253-290.

27. M. B. Green, J. H. Schwarz. Supersymmetrical dual string theory // Nucl. Phys. B. 1981. V. 181. N. 3. P. 502-530; Nucl. Phys. B. 1982. V. 198. N. 2. P. 252-268.

28. B. 1981. V. 106. P. 63-68.

29. E. S. Fradkin, A. A. Tseytlin. On quantized string models // Annals. Phys. 1982. V. 143. P. 413-447.

30. E. S. Fradkin, A. A. Tseytlin. Effective field theory from quantized strings /1 Phys. Lett. B. 1985. V. 158. P. 316-322. E. S. Fradkin, A. A. Tseytlin. Quantum strings theory effective action /1 Nucl. Phys. B. 1985. V. 261. P. 1-27.

31. C. G. Callan, S.B. Giddings, J. A. Harvey, A. Strominger. Evanescent black holes // Phys. Rev. D. 1992. V. 45. P. 1005-1009; hep-th/9111056.

32. G. W. Gibbons, M. J. Perry. The Physics of 2-d Stringy Spacetimes // Int. J. Mod. Phys. 1992. Dl. P. 335-354; hep-th/9204090.

33. H. Pelzer, T. Strobl. Generalized 2D dilaton gravity with matter fields /1 Class. Quant. Grav. V. 15. P. 3803-3825; gr-qc/9805059.

34. M. Cadoni. The dualities of 3D dilaton gravity // Phys. Rev. D. 1996. V. 54. P. 7378-7385; gr-qc/9606048.

35. K.C.K. Chan, R. B. Mann. Static charged black holes in (2 -f 1) dimensional dilaton gravity // Phys. Rev. D. 1994. V. 50. P. 63856393; gr-qc/9404040.

36. K. Maeda. Attractor in a superstring model: The Einstein theory, the Friedmann universe, and inflation // Phys. Rev. D. 1987. V. 35. P. 471-479;

37. A. R. Liddle, R. G. Moorhouse, A. B. Henriques. Early cosmology and the dilaton and H field of superstring theory // Nuc. Phys. B. 1989. V. 311. P. 719-738.

38. А.Д. Линде. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. М.: Наука. 1981. 275 стр.

39. А.Д. Линде. Квантовое рождение раздувающейся Вселенной // ЖЭТФ. 1984. Т. 87. Вып. 2(8). С. 369-374 А.Д. Линде. Раздувающаяся Вселенная // УФН. 1984. Т. 144. N. 2. С. 177-214.

40. А.Д. Линде. Самовосстанавливающаяся Вселенная. М.: Наука. 1987. 23 стр.

41. J. Ellis, К. Enqvist, D.V. Nanopoulos, M. Quiros. Evolution with temperature and the possibility of inflation from the superstring in four dimensions // Nucl. Phys. B. 1986. V. 277. P. 231-252.

42. K. Maeda, M.D. Pollock. On inflation in the heterotic superstring model // Phys. Lett. B. 1986. V. 173. P. 251-256.

43. K. A. Olive. Inflation // Phys. Rept. 1990. V. 190. P. 307-403.

44. S. Capozziello, G. Lambiase Newtonian limit of string-dilaton gravity j I Int. J. Mod. Phys. D. 2003. V.12. P. 843-852; gr-qc/0301053.

45. R. Easther, K. Maeda, D. Wands. Tree-level string cosmology // Phys. Rev. D. 1996. V. 53. P. 4247-4256; hep-th/9509074.

46. S. Behrndt, S. Forste. String-Kaluza-Klein cosmology // Nuc. Phys. B. 1994. V. 430. P. 441-459; hep-th/9403179.

47. E.J. Copeland, A. Lahiri, D. Wands. Low energy effective string cosmology // Phys. Rev. D. 1994. V. 50. P. 4868-4880; hep-th/9406216.

48. E. J. Copeland, R. Easther, D. Wands. Vacuum fluctuations in axion-dilaton cosmologies // Phys. Rev. D. 1997. V. 56. P. 874-888; hep-th/9701082.

49. T. Barreiro, B. de Carlos, E.J. Copeland. Stabilizing the dilaton in superstring cosmology // Phys. Rev. D. 1998. V. 58. 083513; hep-th/9805005.

50. C.G. Callan, D. Friedan, E.J. Martinec, M.J. Perry. Strings in background fields // Nuc. Phys. B. 1985. V. 262. P. 593-609.

51. C. Lovelace. Strings in curved space // Phys. Lett. B. 1984. V. 135. P.75-77; Stability of string vacua. 1. A new picture of the renormalization group // Nuc. Phys. B. 1986. V. 273. P. 413-467.

52. E. Г. Воронцова, P. А. Лосенкова, Г. С. Шаров. О конической особенности аксиальносимметричных решений уравнений Эйнштейна // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. Тверь. 1998. С. 194-202.

53. Е. Г. Воронцова, Г. С. Шаров. Классификация космологических решений фридмановского типа в дилатонной гравитации // Труды I конф.-семинара молодых учёных "Математические модели сложных систем". Тверь. 2000. Вып. 3. С. 131-137.

54. Е. Г. Воронцова, Г. С. Шаров. Многомерные космологические решения фридмановского типа в дилатонной гравитации // Теор. мат. физика. 2000. Т. 123. N 1. С. 163-176; hep-th/9904127.

55. Е. Г. Воронцова. Исследование решений шварцшилъдовского типа в дилатонной гравитации с помощью пробных частиц // Труды конференции "Математическое моделирование и оптимальный контроль комплексных систем". Тверь. 2000. С. 127-133.

56. Е. Г. Воронцова, Г. С. Шаров. Решения шварцшилъдовского типа в 2+1-мерной дилатонной гравитации // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. Тверь. 2001. С. 28-31.

57. G. Sharov, Е. Vorontsova. Black hole vanishing in superstring-inspired dilaton gravitational model // Proceedings of the XVth International Workshop "QFTHEP2000". Москва. 2000. P. 394-398; hep-th/0101004.

58. Е.Г. Воронцова. Некоторые классы решений в дилатонной гравитации // Труды V научной конференции молодых ученых и специалистов. Дубна. 2001. С. 132-134.

59. Е. Г. Воронцова. О ньютоновском пределе в дилатонной гравитации // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр. Тверь. 2002. С. 122-124.

60. G. Sharov, Е. Vorontsova. Quasielliptic orbits in dilaton gravity in Newtonian limit // Proceedings of the XVIIIth International Workshop "QFTHEP2004". Москва. 2005. P. 262-265.

61. E. Г. Воронцова, Г. С. Шаров. Решения шварцшильдовского типа в дилатонной гравитации // Теор. мат. физика. 2005. Т. 145. N. 1. С. 134-144.

62. Е. Г. Воронцова, Г. С. Шаров. Квазиэллиптические орбиты в дилатонной гравитации // Вестник ТвГУ, Сер. Прикладная математика. 2005. Вып. т. С. 74-78.

63. Е. Г. Воронцова, Г. С. Шаров. Отклонение светового луча массивным телом в дилатонной гравитации // Вестник ТвГУ, Сер. Прикладная математика. 2006. Вып. К®4 21]. С. 114-119.

64. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков А. Т. Фоменко. Современная геометрия. М.: Наука. 1979. 523 стр.

65. A. A. Tseytlin. Cosmological solutions with dilaton and maximally symmetric space in string theory // Int. J. Mod. Phys. D. 1992. V. 1. P. 223-245; hep-th/9203033.

66. M. Gasperini, G. Veneziano. Inflation deflation and frame-independence in string cosmology // Mod. Phys. Lett. A. 1993. V. 8. P. 3701-3714; hep-th/9309023.

67. M.B. Hindmarsh, T.W.B. Kibble. Cosmic strings // Rept. Prog. Phys. 1995. V. 58. P. 477-562; hep-ph/9411342.

68. A. Vilenkin. Gravitational field of vacuum domain walls and strings // Phys. Rev. D. 1981. V. 23. P. 852-857; Cosmic strings // Phys. Rev. D. 1981. V. 24. P. 2082-2089.

69. Г. С. Шаров. Многомерные космологические решения фридмановского типа // Теор.мат. физ. 1994. Т. 101. N. 3. С. 458-466.

70. R. С. Myers. New dimensions for old strings // Phys. Lett. B. 1987. V. 199. P. 371-376.

71. M. Mueller. Rolling radii and a time-dependent dilation // Nuc. Phys. B. 1990. V. 337. P. 37-48.

72. G. Veneziano. Scale factor duality for classical and quantum strings // Phys. Lett. B. 1991. V. 265. P. 287-294.

73. A. A. Tseytlin, C. Vafa. Elements of string cosmology // Nuc. Phys. B. 1992. V. 372. P. 443-466, hep-th/9109048; A. A. Tseytlin. Dilaton, winding modes and cosmological solutions // Class. Quantum Grav. 1992. V. 9. P. 979-1000, hep-th/9112004.

74. E. Witten. On string theory and black holes // Phys. Rev. D. 1991. V. 44. P. 314-324.

75. S. Kar. Stringy black holes and energy conditions // Phys. Rev. D. 1997. V. 55. P. 4872-4879, hep-th/9604047.

76. A. A. Tseytlin. Duality and dilaton // Mod. Phys. Lett. A. 1991. V. 6. P. 1721-1732.

77. M. Абрамовиц, И. Стиган. Справочник по специальным функциям. М.: Наука. 1979. 832 стр.

78. С.К. Годунов, B.C. Рябенький. Разностные схемы. М.: Наука. 1977.

79. А. А. Самарский, А. В. Гулин. Численные методы. М.: Наука. 1989.

80. С. Вайнберг. Первые три минуты: Современный взгляд на происхождение Вселенной. М.: Энергоиздат. 1981. 261 стр.

81. Д. Шама. Современная космология. М.: Мир. 1973. 252 стр.

82. И. Д. Новиков. Эволюция Вселенной. М.: Наука. 1979.

83. О. Lahav, A.R. Liddle. The Cosmological parameters 2005 // 26 pages, Article for The Review of Particle Physics 2006, astro-ph/0601168.

84. Ю.С. Владимиров, H.B. Мицкевич, Я. Хорски. Пространство, время, гравитация. М.: Наука. 1984. 208 стр.

85. A. G. Riess at al. Observational evidence from supernovae for an accelerating universe and a cosmological constant // Astron. J. 1998. V. 116. P. 1009-1038, astro-ph/9805201.

86. N. Bahcall, J.P. Ostriker, S. Perlmutter, P.J. Steinhardt. The cosmic triangle: revealing the state of the universe // Science. 1999. V. 284. P. 1481-1488, astro-ph/9906463.

87. C. Deffayet, G. Dvali, G. Gabadadze. Accelerated universe from gravity leaking to extra dimensions // Phys. Rev. D. 2002. V. 65. 044023, astro-ph/0105068.

88. J.L. Tonry at al. Cosmological results from high-z supernovae // Astrophys. J. 2003. V. 594. P. 1-24, astro-ph/0305008.