НЕКОТОРЫЕ АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ КАРТАНА–ВЕЙЛЯ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Кудлаев Павел Эдуардович

• Кудлаев Павел Эдуардович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Кудлаев Павел Эдуардович

2.5.3. Анализ ^-уравнения

2.5.4. Получение сферически симметричного решения вариационных уравнений поля

2.6. Применение сферически-симметричного решения к объяснению пролетной аномалии движения пробных тел в околоземном пространстве

Глава 3. АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ РЕШЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ КАРТАНА-ВЕЙЛЯ СО СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ ДИРАКА И РОТАЦИОННЫЕ КРИВЫЕ СПИРАЛЬНЫХ ГАЛАКТИК

3.1. Вычисление в - и ^-уравнений теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака для аксиально-симметричного решения

3.2. Аксиально-симметричное решение для центрального тела теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дира- 81 ка

3.2.1. Получение системы дифференциальных уравнений

3.2.2. Применение полученного аксиально-симметричного решения к объяснению ротационные кривые спиральных галактик

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

В создании современной теории гравитации можно проследить происходящее усложнение геометрической структуры пространства-времени. Г. Минков-ский вводит четырехмерное псевдоевклидово пространство-время. Позднее А. Эйнштейн строит свою теорию гравитации (общую теорию относительности -ОТО [1]), наделив четырёхмерное пространство-время геометрической структурой искривлённого пространства Римана. Общая теория относительности является в настоящее время общепризнанной теорией гравитационного поля [1-6]. ОТО позволяет описать основные свойства наблюдаемой части Вселенной на основе построенных космологических моделей [7, 8].

Многие математики (Г. Вейль [9], Э. Картан [10], И. Схоутен [11]) и физики-теоретики (А. Эддингтон [12], Э. Шредингер [13]), начиная со времени создания ОТО, предпринимают попытки обобщения ОТО, в основе которых лежит усложнение геометрической структуры пространства-времени. Но тогда эти попытки не получили дальнейшего развития. Аналогичные попытки обобщения ОТО предпринимались затем в течение всего ХХ века и начала XXI века, см., например, обзор [14]. Различные обобщения ОТО вновь привлекли к себе внимание в конце XX и начале XXI века как следствие произошедшей в это время научной революции в космологии, изменившей представления о свойствах наблюдаемой части Вселенной. В результате в настоящее время стали широко использоваться модифицированные теории гравитации в постримановом пространстве-времени [15-25].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «НЕКОТОРЫЕ АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ КАРТАНА–ВЕЙЛЯ»

Актуальность темы исследования

Новые наблюдательные данные в космологии в конце XX века существенно изменили представления о свойствах наблюдаемой части Вселенной [26-29]. На основании этого был сделан вывод о том, что в динамике Вселенной доминирующую роль играет темная энергия. В большинстве теорий описание темной энергии связывается с космологической постоянной, которая описывает энергию физического вакуума, что впервые было предложено Э. Б. Глинером [30]. Также

подтвердилась гипотеза Цвикки [31], сформулированная в 30-х годах двадцатого века, о наличии внутри галактик и скоплений галактик темной материи, плотность которой в несколько раз превышает плотность обычной светящейся материи звезд и галактик. Свойства темной материи изучаются с помощью телескопа Хаббл, а также в рамках проекта KiDS, осуществляемого с использованием телескопа ESO VLT Survey (VST), расположенного в обсерватории Paranal в Чили [32]. Была сформулирована идея, что динамику Вселенной определяет темная энергия во взаимодействии с темной материей. Также было открыто ускоренное расширение Вселенной, начавшееся около 5 миллиардов лет до настоящего времени [29].

В настоящее время на основании наблюдения движения GPS спутников вокруг Земли было высказано предположение о том, что темная материя находится также и в околоземном и тем самым в околосолнечном пространстве, что может оказать влияние на соответствующие метрологические исследования. В настоящее время точность измерения координат космических систем такова, что является актуальным учет релятивистских поправок, обусловленных как скоростью их движения, так и гравитационными характеристиками околоземного и околосолнечного космического пространства.

О наличии в этом пространстве некоторых действующих факторов, не учтенных ни теорией гравитации Ньютона, ни обобщающей ее теорией гравитации Эйнштейна говорит сравнительно недавнее открытие аномалий движения тел в Солнечной системе [33]. Высказано предположение, что таким неучтенным фактором может быть наличие темной материи. Сформулировано несколько гипотез о природе темной материи, однако окончательная точка зрения до сих пор не выработана (см. обзор в Главе 1).

В работах О.В. Бабуровой и Б.Н. Фролова [4, 34-41] сформировано представление о том, что как темная энергия, так и темная материя может быть объяснена наличием во Вселенной особого скалярного поля, введенного ранее Дираком [42] и несколько ранее Дезером [43]. Обоснование существования данного скалярного поля в природе и его геометрическая интерпретация теоретически вытекают из калибровочной теории гравитации группы Пуанкаре-Вейля [44-46], что

приводит к изменению наших представлений о свойствах пространства-времени. Именно, вместо принятой в ОТО геометрии Римана в пространстве-времени возникает геометрия Картана-Вейля с кривизной, кручением и неметричностью типа Вейля, а также с необходимым наличием геометризованного скалярного поля Дирака. Для модифицированной таким образом теории гравитации в пространстве Картана-Вейля было предложено название теория гравитации Вейля-Дирака.

Обязательное существование в природе скалярного поля Дирака видоизменяет, кроме космологического решения, также сферически-симметричное и аксиально-симметричное решения в современной теории гравитации. Совместное решение уравнений гравитационного и скалярного полей приводит к метрике, не имеющей сингулярности, характерной для метрики Шварцшильда, но на больших расстояниях в ньютоновом приближении совпадающей с метрикой Шварцшильда. Данное решение будет модифицировать решение для черных дыр в ОТО. Аксиально-симметричное решение этих уравнений может обосновать плоский вид ротационных кривых спиральных галактик, что представляет собой одну из актуальных проблем современной галактической астрофизики.

Указанные сведения обосновывают актуальность темы диссертационного исследования.

Цель и задачи

Целью работы является получение астрофизических следствий геометрически модифицированной теории гравитации в пространстве Картана-Вейля в рамках моделирования темной материи скалярным полем Дирака, а именно: влияния темной материи, как скалярного поля, на объекты в Солнечной системе и в околоземном пространстве, влияние распределения темной материи на профиль ротационных кривых спиральных галактик.

Для реализации обозначенной цели решаются следующие задачи: - разработка в теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака метода получения сферически-симметричного решения, основанного на представлении метрики в общем сферически-симметричном виде с двумя произвольными функциями с учетом конкретизации системы координат;

- решение полученных вариационным методом уравнений гравитационного и скалярного полей и получение аналитических выражений для метрики и скалярного поля;

- постановка и решение задачи о движении пробного тела в полученной метрике и сравнение результата с наблюдательными данными;

- развивая идеи А. В. Коганова и В. Г. Кречета [47] о роли цилиндрической симметрии при объяснении ротационных кривых спиральных галактик, осуществление разработки метода получения аксиально-симметричного решения в теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака;

- получение приближенного аксиально-симметричного решения и объяснение на его основе наблюдаемого вида ротационных кривых спиральных галактик.

Научная новизна

Научная новизна исследования заключается в том, что:

- на основе разработанного общего метода для теории Картана-Вейля со скалярным полем Дирака получено сферически-симметричное решение вариационных уравнений гравитационного и скалярного полей, конформное известному решению Илмаза-Розена;

- получено уравнение для скорости движения пробного тела в найденной сферически-симметричной метрике;

- показано, что вычисленная в рамках теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака асимптотически предельная скорость пробного тела не совпадает в сторону увеличения со значением данной скорости, вычисленной на основании теории Ньютона, что совпадает с наблюдательными данными по движению запускаемых с Земли космических аппаратов. Полученный результат дает возможность объяснения одной из обнаруженных аномалий движения тел в Солнечной системе, а именно, пролетной аномалии;

- из сравнения с наблюдательными данными по движению космических аппаратов получена оценка порядка свободного параметра в найденном сферически-симметричном решении;

- в рамках геометрически модифицированной теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака получено приближенное аксиально-симметричного решения;

- на основе найденного приближенного аксиально-симметричного решения предложено одно из возможных объяснений наблюдаемого плоского вида ротационных кривых спиральных галактик.

Теоретическая и практическая значимости работы Теоретическая значимость результатов диссертационного исследования состоит в том, что возможные объяснения пролетной аномалии и плоского вида ротационных кривых спиральных галактик, полученные на основе найденных сферически-симметричного и приближенного аксиально-симметричного решений, могут представлять собой подтверждение модели темной материи как скалярного поля Дирака - поля геометрической природы.

Практическая значимость диссертационного исследования определяется тем, что его результаты могут быть использованы при изучении влияния темной материи в исследованиях околоземного и околосолнечного космического пространства, так как в настоящее время является существенным учет соответствующих релятивистских поправок в связи с повышением точности измерения координат космических аппаратов.

Положения, выносимые на защиту

1). В рамках теории гравитации в пространстве-времени Картана-Вейля со скалярным полем Дирака разработан метод получения сферически-симметричного решения, основанный на представлении метрики в общем сферически-симметричном виде с двумя произвольными функциями с учетом конкретизации системы координат, и выведены вариационные уравнения гравитационного и скалярного полей в сферически-симметричном случае.

2). В теории гравитации Картана-Вейля со скалярным полем Дирака получено сферически-симметричное решение уравнений гравитационного и скалярного полей (для метрики конформное известному решению Илмаза-Розена), определяемое одним свободным параметром.

3). Получено в пространстве-времени Картана-Вейля со скалярным полем Дирака уравнение для скорости движения пробного тела в найденной сферически-симметричной метрике, на основании которого предложено возможное объяснение одной из обнаруженных аномалий движения тел в Солнечной системе, а именно, пролетной аномалии; из сравнения с наблюдательными данными по движению космических аппаратов получена оценка порядка свободного параметра в найденном сферически-симметричном решении.

4). В рамках теории гравитации в пространстве-времени Картана-Вейля со скалярным полем Дирака получены в аксиально-симметричном случае уравнения гравитационного и скалярного полей и найдено приближенное аксиально-симметричное решение этих уравнений.

5). На основе найденного приближенного аксиально-симметричного решения предложено одно из возможных объяснений наблюдаемого плоского вида ротационных кривых спиральных галактик.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, основывается на достоверности использованных методов современной дифференциальной геометрии и вариационного исчисления в формализме внешних форм. Результаты, полученные в диссертации, проверены с помощью компьютерного метода символьных вычислений.

Кроме того, полученные результаты удовлетворяют методу соответствия, а именно, при переходе из геометрии Картана-Вейля к геометрии Римана найденная сферически-симметричная метрика переходит в полученную ранее известную метрику Илмаза-Розена, относящуюся к классу метрик Маджумдара-Папапетру, а найденная аксиально-симметричная метрика переходит в известную аксиально-симметричную метрику Синга.

Апробация

Апробация результатов исследования осуществлялась на следующих международных и всероссийских конференциях и семинарах:

• IX Московская научно-практическая конференция «Студенческая наука»,

Москва, Московский Студенческий Центр, 27 октября-28 ноября 2014 г;

• 4-th International Conference on Theoretical Physics, Moscow, MSPU 3-6 July 2015;

• Xllth International Conference on Gravitation, Astrophysics and Cosmology (ICGAC-12), Moscow, PFUR, 28 June - 5 July 2015;

• Международная Сессия-конференция Секции ядерной физики ОФН РАН, ОИЯИ Дубна, 12-15 апреля, 2016 г.;

• Международная конференция «Гравитация, космология и механика сплошных сред», посвященная 100-летию со дня рождения К.П. Станюковича, Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 3-4 марта 2016 г.;

• LII Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники, Москва, РУДН, 17-19 мая 2016 г.;

• 5-я Ульяновская Международная Школа-Семинар по Теоретической и Наблюдательной космологии - UISS-2016, Ульяновск, 19-30 сентября 2016 г.

Результаты диссертационного исследования были также апробированы при работе над научным Проектом 533п(9), Государственный контракт П797, который был реализован при выполнении федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы и при выполнении проектной части государственного задания (№3.1968.2014/К) Министерства образования и науки Российской Федерации.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 2 статьи в журналах из списка ВАК [48, 49], входящих также в список Web of Science, и 1 публикация в трудах международной конференции [50]. Кроме того, опубликованы 3 тезиса докладов на международных и всероссийских конференциях [51-53] и 2 публикаций сделаны в электронном архиве [54, 55].

Личный вклад автора состоит в непосредственном участии в анализе исходных данных и теоретических моделей, проведении аналитических вычислений, сопоставлении полученных результатов с наблюдательными астрофизиче-

скими данными, подготовке совместно с соавторами публикаций по выполненной работе.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации 106 страниц. Список литературы включает 181 наименование.

Первая глава диссертации представляет собой обзор из трех параграфов. Первый параграф представляет собой исторический очерк появления в теории поля такого объекта, как скалярное поле Дирака, а также обзор работ, в которых рассматривается различные варианты взаимодействия скалярного поля с различными геометрическими структурами постримановых пространств. Во втором параграфе рассматриваются некоторые аномалии движения тел в Солнечной системе и в галактиках. В третьем параграфе производится обзор работ, в которых исследуется предположение о том, что темная материя реализуется в виде некоторого скалярного поля.

Содержание второй главы составляет 6 параграфов. В первом параграфе этой главы излагаются основные положения теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака и проводится описание используемого математического аппарата, в частности, дифференциальной геометрии постри-мановых пространств в формализме внешних форм. Во втором параграфе выписываются лагранжева плотность теории гравитации в пространстве Карта-на-Вейля со скалярным полем Дирака, а также Г -, в- и ¡-уравнения поля, полученные вариационным методом в формализме внешних форм в работах [4,

39-41] при выборе в качестве независимых переменных 1-формы связности Гаъ ,

базисных 1-форм в и скалярного поля Дирака ¡3. В третьем параграфе излагаются результаты анализа Г -уравнения поля и выводятся два важных для дальнейшего следствия этого уравнения. В четвертом параграфе вариационные в- и ¡3-уравнения поля, выписанные ранее в формализме внешних форм, преобразуются в компонентную форму в координатном базисе. В пятом параграфе развивается общий подход в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака к

нахождению сферически-симметричного решения, основанный на представлении метрики в общем сферически-симметричном виде с тремя произвольными функциями и затем сведении числа произвольных функций до двух при выборе так называемых «однородных» координат [3]. Здесь же выписываются в- и ¡3-уравнения поля с помощью этих двух произвольных функций и находится аналитическое решение этих уравнений для метрики и скалярного поля, зависящее от одного произвольного параметра, определяемого константами связи исходной ла-гранжевой плотности. Полученная метрика решения оказывается конформной известной метрике Илмаза-Розена. Наконец, в последнем шестом параграфе второй главы найденное решение применяется к исследованию радиального движения пробного тела в полученной метрике. Здесь показывается, что вычисленная в рамках теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака асимптотически предельная скорость пробного тела не совпадает (в сторону увеличения) со значением данной скорости, вычисленной на основании теории Ньютона. Сравнение данного результата с наблюдательными данными по движению запускаемых с Земли космических аппаратов позволяет сделать предположение о том, что полученный результат дает возможность объяснения одной из обнаруженных аномалий движения тел в Солнечной системе, а именно, пролетной аномалии. Из сравнения с наблюдательными данными получена оценка порядка свободного параметра в найденном сферически-симметричном решении.

Третья глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе конкретизируется общий вид аксиально-симметричной метрики, зависящий от трех произвольных функций, и производится вычисление для данной метрики полученных во второй главе компонентных представлений в - и ¡3 - уравнений поля теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака. Во втором параграфе находится приближенное аксиально-симметричное решение этих уравнений и на этой основе в ньютоновом приближении производится объяснение наблюдаемого вида ротационных кривых спиральных галактик.

Результаты, изложенные во второй и третьей главах диссертации, опубликованы в работах автора [48-55].

При работе над диссертацией существенно использовались компьютерные методы. Полученные аналитическим методом результаты проверялись с помощью компьютерных программ символьных вычислений с геометрическими структурами пространства Картана-Вейля, разработанных В.В. Житниковым [56].

ГЛАВА 1

СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ, ТЕМНАЯ МАТЕРИЯ И АНОМАЛИИ В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ И ГАЛАКТИКАХ

1.1. Скалярные поля в римановых и постримановых гравитационных

теориях

Со времени появления общей теории относительности прошло уже более 100 лет, что является сравнительно большим сроком для физической теории, и, несмотря на её успех в объяснении гравитационных взаимодействий и заслуги в углублении связи между геометрией и физикой, вскоре стало очевидно, что в наблюдаемой части Вселенной проистекают процессы, которые не удаётся в рамках этой теории без привлечения дополнительных предположений объяснить. Как было отмечено во введении, со стороны именитых учёных предпринимались попытки обобщения ОТО при помощи усложнения пространственно-временной структуры.

Среди различных физических полей можно выделить скалярные поля, благодаря их свойствам: с одной стороны, они могут интерпретироваться как поля, отвечающее за сильное взаимодействие, с другой стороны, как эффективные поля, описывающие результат действия других полей.

С использованием скалярных полей естественному решению поддаётся проблема плоскостности и проблема горизонта в космологии, а также удаётся дать ответ на возникающие вопросы о причине изотропности и однородности Вселенной, в том числе о причине инфляции. Таким образом, становится ясна мотивация к исследованию в данной области.

Ретроспективу получивших распространение теорий гравитации со скалярным полем можно представить в виде списка авторов теорий и времени публикации: Литтлвуд (1953), Папапетру (1954), Бергман (1956, 1968), Бранс и Дикке

(1961), Уитроу и Мордук (1960, 1965), Пейдж и Таппер (1968), Розен (1971), Лайтман и Ли (1973), Бекенштейн (1977), Бакер (1978).

В различных теориях поля предполагается наличие фундаментальных скалярных полей: стандартная модель, теория Бранса-Дикке, теория Калуцы-Клейна [2], которая стала одной из первых теорий скалярных полей с геометрической интерпретацией. Развиваемая в настоящее время теория струн также немыслима без скалярного поля.

Наряду с 4-мерными полевыми теориями, существуют и многомерные, к которым относится теория Калуцы-Клейна, объединившая гравитацию и электромагнетизм. Метрический тензор представляет собой матрицу из 15 независимых компонент, включающих аналог метрического тензора ОТО и векторный потенциал для электромагнитного поля [2]. В этой теории скалярное поле появляется на месте компоненты 5-мерного метрического тензора ^, и принимает значение равное 1. Более общее рассмотрение показывает, что эта компонента метрики может являться геометризованным скалярным полем ф, дополнительным к электромагнитному и гравитационному.

В работе А. С. Киселева и В. Г. Кречета [57] на базе объединения геометрической теории гравитации и электромагнетизма с учётом возможного наличия не-метричности пространства-времени построена п-мерная теория гравитационного взаимодействия идеальной жидкости и показано, что источником неметричности может являться плотность потока массы сплошной среды. В рамках работы рассмотрена обобщённая задача Рейснера-Нордстрема в 5-мерной теории гравитации и электромагнетизма с учетом скалярного поля 055 (х) и получено общее решение 5-мерных уравнений в вакууме. Существование скалярного поля убирает плоскую асимптотику задачи и приводит к решениям с нетривиальной топологией пространства-времени типа «кротовой норы».

Маджумдар [58] и Папапетру [59], по-видимому, были первыми, кто рассмотрел в ОТО взаимодействие скалярного поля с гравитационным. На этом пути независимо оригинальную метрику получили Илмаз (1958) [60] и Розен (1973)

[61, 62] (см. Главу 2). Розен отталкивался от идей биметрической теории гравитации, в которой каждой точке пространства были сопоставлены два метрических тензора, один из которых описывал геометрию пространства-времени, тем самым гравитационное поле, второй же плоское пространство-время и силы инерции. Илмаз же считал пространство-время римановым, компоненты метрики которого определяются одним и тем же скалярным полем.

Одними из наиболее общих теорий являются теории Бергмана (1968) и Ваго-нера (1970) [63]. Они включают метрику, динамическое скалярное поле, функцию связи, космологический параметр соответствия и космологическую функцию Лфф). Уравнения поля получаются из действия. Космологическая функция играет роль космологической постоянной ОТО. Решение полевых уравнения для ф дают юкава-подобное выражение ехр(-г /1), где I определяет характерную дальность действия скалярного поля. Гравитационные тесты могут наложить ограничения на параметр Л. Современное значение гравитационной постоянной может быть вычислено по формуле О , = ф"1 4 + = 1, и если оказывается, что значение ф

у 3 + 2ю)

меняется в результате эволюции Вселенной, то и значение гравитационной константы изменится.

Одной из римановых, но отличных от ОТО, полевых теорий гравитации является теория Р. Бранса и К. Дикке [64]. Она является частным случаем теории Бергмана и Вагонера, но заслуживает отдельного рассмотрения. Это также ска-лярно-тензорная теория: в ней гравитационное взаимодействие описывается как при помощи скалярного поля, так и при помощи тензорного поля ОТО. Гравитационная постоянная не является константой, а вычисляется по формуле О = 1/ ф, скалярное поле в которой изменяется в зависимости от пространственной координаты и с течением времени. Теория Бранса и Дикке идейно продолжает теорию П. Йордана [65-67], разработанную в 1959 году, и идею Дирака [68, 69] о переменной величине гравитационной постоянной О .

Как и в ОТО в теории Бранса и Дикке пространство-время снабжено метрическим тензором, однако гравитационное поле задано тензором кривизны Римана только частично. Метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна, тем самым в них автоматически проявляется эффект гравитационного красного смещения [70]. Источником гравитационного поля является тензор энергии-импульса, который учитывает распределение материи в пространстве, дополнительным же является скалярное поле ф , физическое действие которого проявляется в локальном изменении гравитационной постоянной.

В уравнениях поля содержится параметр а, называемой константой связи Бранса-Дикке. Величина параметра безразмерна и должна быть выбрана так, чтобы соответствовать наблюдениям, в дополнение к этому гравитационная постоянная должна удовлетворять граничным условиям и согласовываться с текущими её значениями в ОТО. В рамках теории Бранса-Дикке описывается эффект гравитационной линзы, прецессия перигелия Меркурия и других планет солнечной системы. Действие имеет отличие от ОТО, формулы содержат константу связи а. Оценку а, исходя из экспериментальных данных, оказывается возможным ограничить только по нижнему значению, и наблюдается тенденция к увеличению её значения [71, 72].

Примечателен факт, что Дирак в 1973 году строит конформно инвариантное обобщение ОТО, вводя для этого скалярное поле [42]. Мотивацией для Дирака были работы Бранса, Дикке и Йордана, а также желание приблизится к созданию квантовой теории, объединяющей электромагнитное и гравитационное взаимодействие. Дирак считает, что есть причины для того, чтобы полагать возможным существование зависимости гравитационной постоянной от времени, в связи с чем упоминает теорию Вейля, вводя новый более простой принцип действия, однако, требующий наличия скалярной полевой функции, описывающей гравитационное поле наряду с метрическим тензором. Немного ранее этих событий в 1970 году Дезер ввёл близкое по свойствам скалярное поле [43]. В работах [36-40] аналогичное скалярное поле названо полем Дирака, мы будем придерживаться этого

названия. В дальнейшем Дирак вернулся к идее изменяющейся гравитационной постоянной.

Одной из интересных теорий является теория Бекенштейна (1977) [63], с определённой формой функции связи; в ней массы элементарных частиц могут изменяться в пространстве-времени согласно скалярной функции, а их изменение определяется двумя свободными параметрами.

Рассмотренные скалярные теории в пределе переходят в ОТО при рассмотрении нашей эпохи. Однако в случае ранней Вселенной в теориях, где связь является функцией скалярного поля, появляются отличия [63].

Исследование теорий гравитации предполагает получение сферически симметричного решения, так как большое количество объектов во Вселенной, по всей видимости, обладает такой симметрией (например, звёзды, чёрные дыры и т.д.). Если для ОТО такое решение связано с именем Шварцшильда, первым обнаружившим её в 1916 году, то для теории со скалярным полем, логарифмически убывающим с расстоянием, открытие сферически симметричного статического решения связано с именами Д. И-ши [73], Бергмана, Лейпника [74] и К. А. Бронникова [75], независимо получившими данное решение. В работе [76] высказана идея о том, что если скалярное поле зависит от времени, то существуют статические сферически симметричные метрики. Взаимодействие черных дыр Шварцшильда и Райснера-Нордстрема с безмассовым скалярным полем с точечным зарядом изучено в работе [77], результатом будет являться рост скалярного поля и разрушение чёрной дыры. Автор работы [78] получил решения для геодезических, и рассмотрел поведение световых лучей и пробных частиц, которые оказались нечувствительны к полю, для дальнодействующего скалярного поля в статических плоскосимметричных пространствах. Были найдены точные решения уравнений Эйнштейна, статичные в гармонических координатах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кудлаев Павел Эдуардович, 2017 год

- - - - -

+ -(Л ' + м) + 2 • -(Л ' + м' + -)) + 2 • -(Л ' + м' + -)2г2 - (с^0)2 = 2 2 г 4 г

■л 1 11 О

■д (-(Л + м>2 + г) + - (-(Л ' + м )г2 + г) • (2 + Л ' + м + -

дг 2 БШ 0 2 г

(- Л + -м + -)2г2 - = - -(-Л " + м>2 - Л + м) • 2г 2 2 г $т 0 2 2 2 2

+ (-(Л ')2 + \(м' )2 + 3 Л м + (Л ' + м '))г2 - г (Л ' + м') -

Бш 0 2 2 2

r (Л' + /') - 2 + 2(-(Л' )2 + - (/' )2 + -Л "и' )r2 + - (Я ' + / ' )r2 + 2 = 2 2 4 2 r

=(-11ЛМ-1 Л-Л 1(Л )2) r

2 г 2 2 г 2

r

^^^ = 3СТГ фф - дфУ фа+ Г уаГ фф- Г уфУ фа = 3rГ фф - двТ фф+ Г ффГ га + +Г* Г\ - Гф , Г,, - Г\, Г9- Г * Гф, - Г9,,ГФ =д Г г,, -дв Г9,, +

фф 9о гф фф 9ф фф фф фr фф ф9 r фф 9 фф

+ Гг (V -I-Г^ -1-Г^ ^Г9 Тф — 1Тф Гг — 2Тф Т9 —

+Г фф(Г гг +Г rt +Г г9+ г гф) +Г ффГ 9ф 2Г гфГ фф 2Г 9фГ фф =

= А (- sin2 9 • ^-2U' + М' + 2)r2) -А (- sin 9 cos 9) + Г Гфф(Гr„. + Гtrt + Г99 + дг 2 r д9

-Г^Гф -ГфвфГ9фф =-sin29 • (1 (-2U" + М>2 +1 (-2U' + М)2г +1) -

1 2 1 1

- cos2 9 + sin2 9 + (- sin2 9) - (Л ' + / + -)r 2(-(Я' +/) + ~Я '-/ ) +

2 r 2 2

1 2 1 2 1

+1(Л' + М+ 2) - 1(Л' + М' + 2)) - ctg 9(- sin 9 cos 9) = - sin2 9(1 (Л + М') + 2 r 2 r 2

1 cos9

+ 1(Л' + м' ))r2 - sin2 9 - cos2 9 + sin2 9 +-sin 9 cos9 =

r sin9

= (-1 м"-1 м'-1Л ' М-1Л "- - Л '- 1(Л ')2)r2 sin2 9. 2 r 2 2 r 2

Таким образом, имеем

R 1 // ' 1 1 Л' 1

Rfí = е"2М(-1-1 /Л +1 Л + Л + 1(Л)2), 2 г 2 2 г 2

R 1 и' 1 1 3 Л'

Rrr = -1 и " --М - 1(и " )2+1 /иЛ- 3 л " - Л ,

2 г 2 2 2 г

R 1 //' 1 1 2 1

R 99 = (-1 и"-М --1 -1Л - 2 Л - 1(Л )2) r2, 2 г 2 2 г 2

R 1 //' 1 12 1

Rфф = (-1М'-?--1 1Л - 2 Л - 1(Л)2)r2 sin2 9 . 2 г 2 2 г 2

Вычисляем скаляр кривизны:

R R R R R R

R = gи R/V = gfí Rtt + grr Rrr + g99 R99+ g4'

= е~Л+ие "2 и (-1 и" - М -1 и Л' +1 Л " + Л +1( Л )2) + 2 r 2 2 r 2

(2.5.10)

(V-1 „* - у 1(у ' )2 +1 у' - 3 я * - X) +

+ (-е( )(--у

X

г

+ (-е(^г"^-1 у'- у -1 ' -1X* - 2Я * - 1(Я')2)г2 + 2 г 2 2 г 2

(^ч.-2 -2 ^ 1 у 1X у -1 х * - 2 X - 1(Х )2)г2 в1П2 0

+ (-е(-х~уу)г~2 б1п 0(-~У

в~(Х+У)(у' ' + + 1(у ')2 + 3Х * + - X' + 3(Х ')2).

г 2 г 2

Вычисляем ненулевые компоненты бинома Эйнштейна:

1

я,-1 я = е"2(-1 у- у -1 УХ +1 X + — + 1(Х)2) -

1 У 1 ..Ч' , 1 ^ , — , 1 /

2

2

г

г

1

Х-и -(Х+уЬ и , 2у , 1 /,,|\2 , -> о» , 6 ^ ,

е—уе(х у) у - - + -С- + - (у' )2 + 3Х * + - X' + - (X')2) = 2 г 2 г 2

е_2у(-у * - 2У - ')2 -1 у—' - X* - — - 3(Х ')2),

г

г

(25. П)

(2.5.12)

я 1 я 1 и' 1 1 3 X

Кгг -1 я = (-1 у - У - 1(У )2+1 уX - 3 X* ^ )

2 2 г 2 2 2 г

1

2

_ 1 (-е —+у) )е" —+у) (у+ 2у +1 (у' )2 + 3X * + 6 X ' + 3 (X ' )2)

г 2 г 2

1у ')2+1 у^—+)2,

4 2 г 4

(2.5.13)

я 1 я 1 у 1 1 2 1

я 00-1 ¿00 я = (-1 у - у -1Xу' -1X* - 2 X ' - ^ )2) г2 -2 2 г 2 2 г 2

- +у))г^"^у'4 + 2у + 1(у')2 + 3X* + 6X ' + 3(—)2)) 2 г 2 г 2

= (1(у')2 -1X у' + X * +1X ' + ^ ')2)г2 .

4

2

4

(2.5.14)

1

2'

1 у-у-1 XV-1X*-2 X-1

2 г 2 2 г 2

я*-1 я = (-1 у-у-1XУ -1X*-2 X- ^ )2)г 2б1п20-

-1 (-^+у)г2 Вт2 0) е"^ у ' + 2у + 1(у' )2 + 3X* + 6 X ' + 3(X)2): 2 г 2 г 2

= (1(у' )2 -1 уX' + X* +1X ' + I(X )2)г2 б1П2 0 . 4 2 г 4

(2.5.15)

г

2.5.2. Вычисление компонент 0 -уравнения для сферически-симметричной

метрики

Перейдем теперь к вычислению представления 0 -уравнения (2.4.12). Для

я

этого необходимо произвести вычисление производных V д 1п Р:

я я 1

V,д, 1пр = - Гдг 1пр = -1 е~2у(X'-у')дг 1пр,

' г Л 1„ О ЛЛ 1/1',

Vг дг 1Пр = дгдг 1Пр- Гггг дг 1Пр = дгдг 1Пр- ^ ' + у')дг 1Пр,

я я 111

V0 д0 1пр = - г0 дг 1пр = г2(1 X '+1 у'+1)дг 1пр,

2 2 г

я я 111

ЧЛ 1п Р = -Г ^д > р = г 2В1П20 (1X ' +1 у +1) д > р, (2.5.16)

2 2 г

я2

СТдр1ПА" е ( д гд г 1ПА" ■ + )д г

др 1п р = е_( у) (-д г д г 1п р + (X ' + -) д г 1п Р).

г

С учетом представления кручения и неметричности (2.3.6) подставим полученные результаты в представление (2.4.12) 0 -уравнения. Для у = , находим

Т

(я -1 я - 2Т г я д 1п Р + Тё„ёгг

Л

^^ ^ г 1п р ' Т ¿«^

у

2Гггг д г 1п р- 1тгТг +

+ 1ТДГ - бб + ^р - 2р2)ТТ + 1(р - 2р)Тгбг + + 12 64 9 12 (2.5.17)

2 14

+ 2 СТДГ + 1 Сбб - ^-(р1 - 2р )Т.дг 1п Р - 2Сбгдг 1п Р +

+ /1 г 1п Рд г 1п Р+ /2(2 б д г 1п Р + Тг д г 1п Р) + ^ д г 1п р

о

0.

Подставляя значение бинома Эйнштейна (2.5.12) с соответствующей производной из (2.5.16), находим

(у + X) * + - (у + X)* + - (у' + X )2 + 2д гд г 1п Р+ (у' + X, + -) д г 1п р

(дг 1пР)22 + 1£д2 + - ^Ч2 +1 ^- - 4^ +

' 2 , К 2 2 _ 1 , 1 4

+1 sq(p - 2p2 -1) + 1 s2(p - lp2 -1) - 4s(p - 2p2 -1) + (2.5.18)

2 1

+ lx + l2 (— s + - q - 2) + l3q

= 0

3 8

Если теперь учесть следствие (2.3.8) Г-уравнения и с его помощью исключить из уравнения (2.5.18) слагаемые с константами связи (^-2р2-1), то данное уравнение существенно упрощается и приобретает вид

2 1 4

(ц + Л)" + —(ц + Л)' + ~(ц' + Я ')2 + 2дгдr lnß+ (ц' + Л' + 4)дr lnß -

(дr lnß)2 Uq2+1 Çqs +1 sq - -3q2 + 3q - s - 4 +

(2.5.19)

+11 +112s + hq

0.

Найдем компоненту в -уравнения (2.4.6) при ц = r :

ÎR 1 R Л 1 1

Rr—g R — TQ--QQ +

2 ) 6 32

2 1 2 1

+2 (p - 2p2 - 1)TTr - -p - 2p2 - 1)QTr - 2ÇQrQr - ^QT - - ÇQrQr +

4

+ 4(p1 - 2p2 - 1)T.дr ln ß + 2ÇQrдr ln ß - 2l1 дr ln ß дr ln ß +

1 2 ' + l2 (- 2 Qr - 2T )дr ln ß - 2l3Qrдr ln ß

+ V grrg

1 TT + — TQ

r r r r

1 1 1 2

-—QrQr + ^(a - 2p2)TrTr + —(p - 2p2)TrQr + ÇQrQr + 2arQr + 64 9 12 3

+1CQrQr + кдr lnß дr lnß + l2(Tr +1 )дr lnß + l3Qrдr lnß 8 8

= 0

(2.5.20)

Подставляя сюда результат вычисления бинома Эйнштейна (2.6.9), а также представления (2.6.5) компонент кручения и неметричности, получаем:

- - - 3 4

- (м ' )2 - - ¿Л- - Л - 3 (Л)2 - м + 3 Л + -) дг 1п р-

4

2

3 3 1

(дг 1Пр)2 ^2 + 3Сч2 + — ч2 +1 *ч(р - 2р2 -1)

V о 64 4

1 3

--52(р1 - 2р! - 1) + /1 + "/2Ч + /3Ч 3 о

= 0.

Если теперь учесть следствие (2.3.8) Г-уравнения и с его помощью исключить из уравнения (2.5.21) слагаемые с константами связи (р1-2р2-1), то в результате получим уравнение:

112 3 4

1(у ')2 -1 у X* - ~X * - -(X ')2 - (у * + 3X* + -)дг 1пр 4 2 г 4 г

-(дг 1пр)2 2 + 1 +1 *Ч - -3Ч2 + 3Ч - 5 +

(2.5.22)

+ /1 + 1/2 5 + /3Ч

2 у

= 0.

Найдем теперь компоненту ^-уравнения (2.4.12) при у = 0 :

Т

(я 1 я Л я00- 1 ¿00 я

+ Т ¿00 g

1

1

1

-ТТ +— Тб — бб + у 9 г г 12 64 г г

11 2

+ 1(р1 - 2р2)ТТ + -(р - 2р2)ТДг + ббг + +

(2.5.23)

+ 3 Сбб + (/1 д г 1п Р + /2(Т +1 бг) + Шг )д г 1п Р

о о

0.

Подставим сюда результат вычисления бинома Эйнштейна (2.5.14), а также представления (2.5.9) компонент кручения и неметричности. В результате получим:

1

1

К, 1

—(у' )2 — у X ' + X * + - X' + - (X ' )2 + 2дД 1п р + (-у' + X ' + -) д 1п Р 4 2 г 4 г

- (дг 1пР)2 (^Ч2 + 1Сч2 + 2СЧ5 - ^Ч2 +1 щ- 2СЧ - 45 +

1

1

4

(2.5.24)

+ — 5Чр1 - 2р2 - 1) + ^ 5 (р1 - 2р2 - 1) - ^ 5(р1 - 2р2 - 1) + ,2 1 Л

+ / + /2 (— 5 + - ч - 2) + 1ъЧ

= 0.

3 Б

Если теперь учесть следствие (2.3.8) Г-уравнения и исключить из уравнения (2.5.21) слагаемые с (р - 2р 2-1), то получим уравнение:

1

1

1

1

-(у ')2 - - ух + А" + - X + -(X)2 + 2дД 1пр + (-у' + X + -)дг 1пр -4 2 г 4 г

-(д 1пР)2 (2+1 ^ +1 ^^ - -3Ч2 + 34 - ^ - 4 +

1

+ 11 +-12 ^ + 1зЧ

0.

Полученные в сферически-симметричном случае вариационные уравнения гравитационного поля еще более упрощаются, если учесть другое следствие Г -уравнения, которое в компонентной форме с учетом (2.3.4) имеет вид (2.3.12). Представим здесь это следствие следующим образом:

* 1 А- 1 3 1Г 3 П

+ --а +—1+- = 0.

2 8 64 2 8

(2.5.26)

Учитывая это равенство, уравнения поля (2.5.19), (2.5.22) и (2.5.25) могут быть представлены в следующем виде:

2 1 4

(у + X)" + -(у + X)' + -(у ' + X ' )2 + 2д Д 1п Р+ (у ' + X + -) д 1п р

2( 1 13

(дг 1пр) ( + - 12^ + - 1зЧ + -Ч - ^ - 4

(2.5.27)

= 0.

1(у ')2 -1 ух - 2 X - 3(Х)2 - (у + зх + 4)д 1п р -

г

4

2

(2.5.28)

-(дг1пр)2 А + кЧ + 3Ч - ^

V О

= 0.

1(у ')2 -1 ух + X + 1X + 1(Х)2 + 2дД 1п р + (-у + X + 2) д 1п Р

4

2

(дг1пр)2 Ц +1 ^ + 11зЧ + 3ч - ^ - 4 V 2 2 8

2

г

(2.5.29)

= 0.

Вычислим теперь компоненту ^-уравнения (2.4.12) при у

Г я

1

яЛ

+ Чё<„ ё

1

1

1

—ТгТг + — ТДг--бД +

9 г г 12 64

1 1 2

+ ^(л - 2р2)ТгТг + -(д - 2р2)ТДг + ^б; + 2^ТДГ +

+3 саа+(/15 г 1п р+/2(7;+1 а)+/дг )дг 1п р

о о

0.

Подстановка в это уравнение выражения для бинома Эйнштейна (2.5.15) и представления кручения и неметричности (2.5.9) приводит к результату, совпадающим с уравнением (2.5.24). В результате подстановки следствия (2.5.26) Г-уравнения возникает уравнение (2.5.25). Поэтому можно заключить, что компонента компоненту #-уравнения при [ - ф не образует дополнительного уравнения гравитационного поля.

Найденные уравнения гравитационного поля (2.5.27) - (2.5.29) имеют простое следствие, которым можно заменить любое из этих уравнений. Для получения этого следствия вычтем из уравнения (2.5.27) уравнение (2.5.29). В результате получим

' 2 Л ( , 1Л

V

[ + —[ + [ +; ) V

(Л' + 2д; 1п Р) - 0.

(2.5.31)

Простейшее решение этого уравнения следующее:

2

[ + -0, Я + 21пр- 0. (2.5.32)

;

В этом случае все три компоненты #-уравнения (2.5.27) - (2.5.29) приобретают одинаковый вид

1 1 1 ^ Л

!(//')2 -(/1 +1 /2з +1 /д + 3д - з - 3 1 (д; 1пр)2. (25.33)

4 V 2 2 8 )

2.5.3. Анализ Р -уравнения

Однако, остается еще Р -уравнение, компонентное представление которого было вычислено в п. 2.1 этой главы и имеет вид (2.4.13). Запишем это уравнение следующим образом:

С к к з к 2 1 з

Я + 2 V „Т а- - V „ - - £урТ(уТр + - gаpTaQp - — ¿»<2Др + 2

+ -(р - 2р-)gаpTaTp + 2%gapQaQp + - (2.5.34)

- (2/- +/-* + /-д)g1пр - 21- gИУдц\прду\пр) -

- 1(2/-д„ 1пр + /2Та + /Да) = 0.

Результат вычисления отдельных слагаемых этого уравнения следующий:

я

я

V Та = Va^Тр) = gаp 5^ 1пр

а p

= - 8в

(-Л-И)

а

Гд г д г 1п р + (Л + -)д г 1п рР

V

к Г

^ Qа =- де(~Л~И)

V

д г д г 1п р + (Л' + 2)д г 1п рР г

gаpдaдp 1п р = grrдгдг 1п р = - ё

(-л-И

1 = g11hr!1О2за0 иА&61 А= ёЛГ2 бЬ в & А ёв А

дгдг 1п р ,

0 . 1 /12 1 /13 „Л .2

1п р = дг 1п р = - ё

_ -(Л+и)

/

2

л

&1аТа = ё!гТг =- 8ё

-(Л+и)

Л' + -

V г С л л

д > р1,

л+2

V

д > р1,

у

= ё?га =- де

-(Л+и)

/

л

Л' + -

V г

д г1п р1.

После подстановки данных результатов в уравнение (2.5.34) получим:

И+ ^ + - ')2 + 3 Л" + 6 Л ' + - (Л ' )2 +

г 2

г

с

+2

. . 2

л

V

1, 1

—

дгдг 1п р+дг 1п р(Л + -) (/- + - /25 + - /-д + - д - 5)

г у 2 2 8

+2(дг 1п р)2 Г/- - - - 2 - ^ - 2Р1 -1)5^

^ 4 64 3 у

(2.5.35)

0.

Воспользуемся следствием (2.3.8) Г-уравнения и исключим из этого уравнения члены с константами связи (p - 2p 2 -1):

к

1

2 +

у +

г )

+ 1 (у' )2 + 3 (Л" + 2 Я ' ) + 3 (Л' )2 +

1 4

V

' 2 V 1 1 3 л

аг аг 1п р+аг 1п р(Л+-)+(аг 1п р)2 /1 +1 /2* + -/3д + - д - *

4

л/

V

г

)

V

2 2 2

8

= 0.

)

Если теперь учесть уравнения (2.5.32) и (2.5.33), то уравнение (2.5.36)

примет вид

1

1

-

агаг 1пр+-аг 1пр /- + -/2* + -/—д + -д - *

г Л 2 2 8

+

1

1

1

(2.5.37)

+-(и')2 - (аг 1пр)2 /1 + -/2* + -/—д + -д - * - -4 V 2 2 8

= 0.

Данное уравнение выполняется как следствие уравнений (2.5.32) и (2.5.33).

Тем самым показано, что в сферически-симметричном случае Р -уравнение является следствием уравнений (2.5.32) и (2.5.33).

2.5.4. Получение сферически-симметричного решения вариационных

уравнений поля