Структура множества управляемости линейной нестационарной системы с векторным управлением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Лукьянов, Владимир Викторович

• Лукьянов, Владимир Викторович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Лукьянов, Владимир Викторович

Оглавление

Список основных обозначений

Введение

Глава 1. Двухпараметрические Т-системы функций

§ 1. Определение и свойства двухпараметрических Т-систем функций на фиксированном промежутке

§ 2. Некоторые обобщения понятий и утверждений из § 1

§3. Функции сг(-), </(•) и их свойства

Глава 2. Линейные нестационарные управляемые системы . 60 § 4. Линейная нестационарная управляемая система. Определения

и обозначения

§ 5. Оптимальное программное управление и структура множества

управляемости линейной докритической системы

§ 6. Примеры

Список литературы

Список основных обозначений

N — множество натуральных чисел

Z+ — множество неотрицательных целых чисел

Rn — стандартное евклидово пространство размерности п, элементы Кп следует представлять себе в виде вектор-столбцов

Rn* — n-мерное евклидово пространство, сопряженное к Мп; элементы Rn* следует представлять себе как вектор-строчки

\х\ — евклидова норма элемента х в пространстве Шп

Ш+ = [0, +оо)и{+оо} — неотрицательная полуось расширенной вещественной прямой

С(Х, Y) — пространство непрерывных отображений пространства X в пространство Y

М(п,га) — пространство непрерывных линейных отображений Rm в Мп, элементы пространства М(п, т) могут отождествляться с их матрицами относительно стандартных базисов в Rm и W1

АТ — матрица, транспонированная к матрице А

Sn~l = {х е Мп : — 1} — сфера размерности п —

О"(ж) = {у Е Rn : \х — у\ < г} — открытый шар радиуса £ размерности п с центром в точке х

int А — внутренность множества А

cl А — замыкание множества А

дА — граница множества А

г] ь-» с(г/, А) — опорная функция компактного выпуклового множества А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура множества управляемости линейной нестационарной системы с векторным управлением»

Введение

Задачи быстродействия для линейных систем (линейные задачи быстродействия) являются одним из изучаемых разделов теории оптимальных процессов. Разработанная в 50-х годах XX века Л. С. Понтрягиным, Р. В. Гамкрелидзе, В. Г. Болтянским и Е. Ф. Мищенко математическая теория оптимального управления [31], в основе которой лежит принцип максимума, дала новый общий подход к решению подобного рода задач. Основным предметом исследований в этой области являются вопросы структуры оптимальных управлений, структуры множества управляемости и тесно связанная с ними проблема синтеза оптимальных управлений. Наиболее полно изучена линейная задача быстродействия для стационарных систем [4,5,8,14,31], в то время как для нестационарных систем полученных результатов общего характера значительно меньше [14,38].

Е. Л. Тонков в работах [34-38] рассматривал линейную нестационарную оптимальную по быстродействию управляемую систему

х = А(€)х + Ь{Ь)щ |гг| ^ 1 (0.1)

в предположении непрерывности отображений А: М —> М(п,п) и Ь: М —> Мп. Е. Л. Тонков ввел понятие неосцилляции [34, 35] сопряженной системы ф = —фА(£) на интервале /СМ относительно гиперплоскости 7(£) = {ф € К"* : фЬ{Ь) = 0} и доказал ряд утверждений о структуре оптимальных управлений [34,35], структуре границы множества управляемости системы (0.1) [35,37] и изучил вопрос построения синтезирующей функции [38]. При исследовании этих вопросов автор использовал методы из теории чебышевских систем [15, с. 50]. В более поздних работах систему (0.1), у которой сопряженная система ф = —фА(Ь) неосциллирует на

невырожденном полуинтервале I = [¿о, ¿о + относительно гиперплоскости 7(0> стали называть докритической [26,28,29] в точке ¿о-

Впоследствии исследования Е. Л. Тонкова продолжили С. Ф. Николаев [25-29] и Н. В. Милич [22-24]. С.Ф. Николаев изучал структуру множества управляемости докритической системы (0.1) [28], дифференцируе-мость функции быстродействия [26], численные оценки интервала докри-тичности [25], а также вопросы связанные с существованием и построением позиционного управления для нелинейной системы близкой к докритической [27]. Н. В. Милич получил результаты о структуре границы множества управляемости докритической системы (0.1) на большом промежутке времени (превышающим длину интервала докритичности системы (0.1)) [22,23].

Приведенные выше результаты Е. Л. Тонкова при более сильных ограничениях позже были переоткрыты рядом других авторов [44,46,50]. Вопросы дифференцируемости функции быстродействия изучаются в [47]. Вообще перечень работ на данную тематику довольно обширен. Работы [1-3,6,7,9-13,30,33,39-43,45,48,49] и некоторые другие в той или иной мере имеют отношение к обсуждаемым здесь вопросам.

Основной целыо этой работы является исследование структуры множества управляемости линейной нестационарной управляемой системы с векторным управлением. В ней результаты Е. Л. Тонкова, относящиеся к структуре оптимальных управлений, структуре множества управляемости и структуре границы множества управляемости докритической системы (0.1) со скалярным управлением, распространены на управляемые системы с векторным управлением

X = А{Ь)х + в(г)и, \щ\ ^ 1 и = 1 ,...,г) (0.2)

в предположении непрерывности отображений А: М —> М(п, п) и В: К —> М(п,г). Для этого автор ввел понятие двухпараметрической системы непрерывных функций (ТА-системы), которое обобщает понятие чебышев-ской системы функций [15, с. 50]. Свойства ТА-систем подробно изучены в первой главе диссертации. Эти свойства не сводятся к тривиальным обобщениям, так как структура ТА-систем сложнее структуры чебышевских систем функций. Во второй главе диссертации рассмотрена задача быстродействия в нуль с закрепленным левым концом. Динамика управляемого процесса описывается уравнением (0.2). На такие системы распространено понятие докритической системы из [28,29], определено докритическое множество управляемости. Результаты исследования множества управляемости для докритических систем с векторным управлением сформулированы и доказаны в ряде утверждений второй главы. При доказательстве этих утверждений существенно используется построенная в первой главе теория ТА-систем. Основные результаты диссертации сформулированы в лемме 0.1 о структуре оптимальных в смысле быстродействия управлений, в теореме 0.8 о структуре множества управляемости и структуре границы множества управляемости докритических систем и теореме 0.7, в которой дано оптимальное в смысле быстродействия программное управление для любой начальной фазовой точки, принадлежащей докритическому множеству управляемости системы (0.2). Остальные утверждения диссертации также имеют самостоятельный интерес и могут использоваться для дальнейших исследований в данной области.

Работа состоит из введения, двух глав, шести параграфов (нумерация параграфов сквозная) и списка литературы.

Перечислим основные результаты диссертации.

В первом параграфе введено понятие двухпараметрической Т-системы

функций на невырожденном промежутке и изучены ее свойства, которые позже используются в процессе изучения линейной нестационарной управляемой системы.

Пусть функции : / —► М, г = 1,..., п, j = 1,... ,г (п, г — некоторые фиксированные константы) определены и непрерывны на некотором невырожденном промежутке /.

Определение 0.1. Будем говорить, что двухпараметрическое семейство непрерывных функций {£/(0}^"*' образует двухпараметрическую Т-систему (или короче ТА-систему) на промежутке /, если для любого ненулевого вектора с = (сх,...,сп) € общее количество геометрически различных (то есть без учета кратностей) нулей на / всех линейных комбинаций с) = с^^) + ... + сп£^(£), j = I,.. •, г не больше п — 1.

Сформулирован и доказан ряд простейших свойств ТА-систем, которые часто используются в последующих рассуждениях. Изолированный нуль непрерывной функции £(£), лежащий во внутренности промежутка /, называется узлом ([15, с. 53]), если при переходе через этот нуль функция £(£) меняет знак, и пучностью ([15, с. 53]), если эта функция знака не меняет (если нулем функции £(£) является принадлежащая промежутку I граничная точка, то такой нуль считается узлом).

Теорема 0.1. Пусть семейство непрерывных функций {£/'(•) ^^'"''п образует ТА-систему на промежутке /, с € Кп — произвольный ненулевой вектор, к — общее количество пучностей на I всех линейных комбинаций £•?(£; с), ^ = 1,..., г, а I — их общее количество узлов на I. Тогда 2к + 1^п-1.

В дальнейшем изложении первого и второго параграфов предполагается, что выполнено следующее условие.

Условие 0.1. Семейство непрерывных функций {£•?: I К}^ „ образует ТА-систему на фиксированном непустом интервале I.

Введем множество

3 = {{ = (и,..., V) € Ъ\ : и + ... + V ^ п - 1} и определим отображения

6: 1Г \{0} — {-1,1}г, Г: 1Г \{0}

сопоставляющие ненулевому вектору с 6 1" соответственно вектор знаков 5 = (¿1,..., 5Г) { — 1,1}г и вектор индексов г = (г15..., V) € 3, где

— это знак линейной комбинации ^(¿;с) в правой окрестности левого конца интервала а — количество узлов на интервале / линейной комбинации с) (пучности мы не учитываем). Определим многозначное отображение Л-: 3 {—1,1}г с помощью равенства

секп\{о} Г(с)=1

Основные результаты первого параграфа представлены ниже в утверждениях 0.1 и 0.2 и теоремах 0.2 и 0.3.

Теорема 0.2. Пусть выполнено условие 0.1. Тогда для любых векторов I — (1ъ---?1г) £ 3, 5 е А~(1) и любого семейства точек {т/}^1''"'.г, удовлетворяющих условиям

а) г/ € I при всех г = 1,..., э — 1,..., г;

б) точки т(,... ,т?, попарно различны при каждом ^ — 1,..., г, существует такой ненулевой вектор с, что

1) ад =

2) каждая линейная комбинация с) = 1,...,г) имеет узлы в точках т(,..., т?, и не имеет других узлов на интервале I.

Утверждение 0.1. Пусть выполнено условие 0.1, а вектор индексов I = (н, • • • ,\г) Е 3 удовлетворяет условию ^ + ... + V = п — 1. Тогда множество Л~(1) состоит из двух противоположных элементов.

Теорема 0.3. Пусть выполнено условие 0.1, 1 6 3, 5 Е { — 1,1}г — произвольные векторы. Для того чтобы 5 Е Л~(1) необходимо и достаточно, чтобы существовали векторы ЕЗ и 5' Е Л~(1'), удовлетворяющие условиям:

1) + . . . + \'г = п - 1;

2) 1 ^

3) 8] — 5'- при тех j Е {1,...,г}, при которых ^ = \'у

Утверждение 0.2. Пусть выполнено условие 0.1. Тогда множество Л~(1) непусто при любом I € 3, причем Л~(1) С Л~(1'), если г ^ г'.

В заключительной части первого параграфа описан простой и эффективный способ построения множества А~(1) при любом I € 3. В нем используется определение отображения Л~ (равенство (0.3)), утверждение 0.1 и теорема 0.3. В конце первого параграфа приведены примеры.

Во втором параграфе продолжено изучение свойств двухпараметриче-ских Т-систем на некотором фиксированном интервале.

Определим отображение : Мп \ {0} —> 3, сопоставляющее ненулевому вектору с Е Мп расширенный вектор индексов 1 = (и,..., V) € 3, где у = + а к^ и Ц = 1,..., г) — количества пучностей и узлов соответственно на I линейной комбинации ^(¿;с). По аналогии с отображением Л~ (равенство (0.3)) определим многозначное отображение

^ здесь и далее запись а ^ Ъ (а, Ь £ Мп) является сокращением для записи аг ^ Ьг, г = 1,..., п

Л+: 3 —► { — 1,1}г равенством

Л+(0 = U (5(с)}.

с€М"\{0} i+(c)=i

Основные результаты второго параграфа представлены ниже в теоремах 0.4 и 0.5.

Теорема 0.4. Пусть выполнено условие 0.1. Тогда для любых векторов i = (ii,..., ir) G 3, ô G A+(i) и любых семейств точек т = ,

т' = удовлетворяющих условиям

а) г- G I при всех i = 1,..., rij, j = 1,..., г;

б) ту7 G I при всех i — 1,..., п'р j — 1,..., г;

в) точки т(,...,т£ ,тр,...,т'^, (j = 1,... ,г) попарно различны;

г) 2rij + 7lj = ij (j = l,...,r), существует такой ненулевой вектор с, что

1) 6{с) = (5;

2) каждая линейная комбинация (j = 1,...,г) имеет пучности в точках т(,..., т^, т/з./ш в точках т[3,..., т^ и не имеет других нулей на интервале I.

Теорема 0.5. A~(i) = A+(i) для любого i е 3.

Теорема 0.4 обобщает теорему 0.2, а теорема 0.5 позволяет легко построить множество A+(i) при любом i G 3. Учитывая утверждение теоремы 0.5, мы не будем в дальнейшем указывать верхний индекс у отображения Л: 3 —>• {—1,1}г, положим Л = Л~ = Л+.

В конце второго параграфа кратко рассмотрен случай ТА-системы на произвольном фиксированном невырожденном промежутке / (до этого предполагалось, что I — интервал). Указаны те утверждения, которые остаются справедливыми при таком обобщении (разумеется с некоторыми

уточнениями), и те, которые заведомо теряют силу. Рассуждения снабжены поясняющими примерами.

В третьем параграфе определены специальные функции сг(-), сг'(-) и изучены их простейшие свойства.

Пусть функции ^ : R —> R, i = 1,..., n, j = 1,..., г определены и непрерывны на всем множестве вещественных чисел.

Для каждого t бК обозначим через сг(£) точную верхнюю грань таких и > 0, что на интервале It — (t, t + сг) семейство функций ' п

образует ТА-систему (определение 0.1). Если эти функции не образуют ТА-систему ни на каком интервале It, то положим a(t) = 0. Так определена функция сг: Ш —> R+. Функция сг': Ш —> Ш+ определяется аналогично: ее определение отличается от определения функции сг тем, что вместо интервалов It = ([t, t + a) рассматриваются полуинтервалы I't = [£, i + сг).

Для однопараметрического семейства функций {&(-)}?=i функция а' определялась и использовалась ранее в работах [28,29] (в них она обозначалась а). Однако для наших исследований по ряду причин более удобной оказалась именно функция сг.

Доказаны некоторые свойства функций сг и а'.

Отображение Л, определенное для некоторой фиксированной ТА-систе-мы функций {£/'(•)на произвольном интервале /, вообще говоря, зависит от интервала I. В дальнейшем мы будем подчеркивать это, указывая рассматриваемый интервал в качестве нижнего индекса для отображения Л j.

Доказано следующее утверждение.

Утверждение 0.3. Пусть семейство непрерывных всюду на К функций {^{i^YjZl''"'п образует ТА-систему на интервалах Д и Д, причем h П /2 ф 0- Тогда для любого вектора индексов i 6 3 имеет место pall

венство A/^i) = A/2(i).

Утверждение 0.3 позволяет в индексе отображения Л вместо интервала указывать только его левый конец, то есть Л* = Л/, где t = inf /.

В четвертом параграфе приведена постановка линейной нестационарной задачи быстродействия. Также введены необходимые понятия, сделан ряд построений и доказано несколько утверждений.

Рассмотрим линейную нестационарную задачу быстродействия в нуль с закрепленным левым концом

х = A{t)x + B(t)u, (0.4)

x(to) = х0, x(t0 + T) = 0, T —» min, (0.5)

где А G C(R, M(n, n)), В G C(R, M(n,r)). Множеством допустимых управлений U будем считать совокупность всевозможных измеримых функций и: Ж U = [—1,1]г. Решение системы (0.4), выходящее в момент времени tg из точки Xq под действием фиксированного управления ü(-) G U, обозначим x(t) = x(t]to,XQ,ü(-)).

Если ü(-) — оптимальное управление в задаче (0.4)—(0.5), переводящее точку :го в нуль за минимальное время Т, то справедлив принцип максимума Понтрягина [31]:

таxi/j(t)B(t)u = -0(i)ß(i)ü(£) почти всюду на [¿о, ¿о + (0-6)

u£U

где ip(t) — некоторое нетривиальное решение сопряженной системы

•ф = —ipA(t). (0.7)

Пусть ipi(t),... ,ipn(t) — некоторая фундаментальная система решений сопряженной системы (0.7). Определим семейство функций

= г = 1,..., n, j = 1,...,г, (0.8)

12

где Ы(£) — столбец матрицы В(Ь) с номером Для семейства функций (0.8) строим функцию <х(-), сг(£; А, В) — сг(£). Если в некоторой точке £о выполнено неравенство сг(£0) > 0, то семейство функций {£/(■) образует ТА-систему на интервале / = (£о, + и Для этой точки £0

можно определить отображение Л<0 = Л/.

Показано, что определенные таким образом функция сг и отображение Лг0 не зависят от того, какая конкретно фундаментальная система решений ^(£),..., ^>п(£) сопряженной системы (0.7) была выбрана. Для стационарной системы (0.4) доказано, что функция £ ь-> сг(£) является постоянной, то есть <т(£) = <7 для любого £ € К, и если при этом сг > 0 (в том числе а = +оо), то отображение At определено при любом £ и не зависит от £, то есть At = Л: 3 —» {—1,1}г для любого 4 6 1.

Определение 0.2. Систему (0.4) будем называть докритической в точке £0 ^ М, если «г(¿о; А, В) > 0.

В теореме 0.6 сформулировано достаточное условие докритичности системы (0.4). Предполагая функции Ь А{Ь) и £ н-> .£?(£) достаточно гладкими, построим семейство матриц (Н. Н. Красовский [14, § 20])

¿о(0 = £(*), ш =-А(1)Ь^М + Щ^Ф- ({ = I,... ,п — 1).

Символом Ц мы будем обозначать столбец матрицы Ь^ с номером у.

Теорема 0.6. Пусть в некоторой окрестности точки ¿о функция £ н—» Л(£) имеет непрерывную производную порядка п — 2, а функция £ i—> В{Ь) имеет непрерывную производную порядка п — 1. Если для любого набора целых неотрицательных чисел щ,..., пг таких, что щ + ... + пг = п, семейство векторов

• • • , ^-1(^0), • • • > Ч(£о)> • • • > (^о)

линейно независимо, то система (0.4) докритическая в точке ¿о-

Приведено необходимое условие докритичности стационарной системы (0.4) (системы с постоянными матрицами А и В). Доказано, что стационарная линейная докритическая система вполне управляема.

Множество точек tg, в которых система (0.4) является докритической, обозначим Е = Е(Д В) = {t е R : сг(£; А, В) > 0}.

Для любого момента времени to £ Ж и любого неотрицательного 9 определим множество управляемости D(to, 9) на отрезке [¿о, ¿о + :

fta+в

D(t0,e)= (J / X(t0,s)B(s)u(s)ds.

u{-)eU to

Если 9 — <t(¿o), то множество D(tg, <x(¿o)) мы будем называть докритиче-ским множеством управляемости. На расширенном фазовом пространстве R1+n системы (0.4) определим функцию быстродействия в нуль

(to, Яо) ^ 0(¿o, а?о) = min {Т ^ 0 : x(t0 + Т; t0, х0, и(-)) = 0}.

и{-)Ш

Для тех точек (¿сь^о) £ М1+п, для которых не существует допустимого управления, переводящего точку xq в нуль за конечное время, положим @(¿o, х0) = +00-

Для каждого вектора ri = (ni,...,rir) G 3 и любого положительного 9 определим многообразия без края Дп, Дп(<9) и многообразие с краем Дп(0), вложенные в пространство ]^ni+-+nr+i:

Д» = { (tí, rí,..., г;, тп) б :

0 < т{ < ... < r¿ < rn при каждом j = 1,..., г},

Ап(в) = {(г, тп) еАп:тп< 9}, Ап(9) = {(г, тп) в Ап : тп ^ 9}.

Введем множество Т = у ({п} х Дп) и определим отображение и:Мх

пеЗ

Т х {—1,1}г —> и, сопоставив каждой точке

(¿0, П, т, тп, 5) = (¿0, Пь ..., пг, ..., т^,..., т[,..., , тп, 51,..., <5Г)

пространства МхТх {—1,1}г допустимое управление и(Ьо,п,т,тП15) € Ы, определенное равенством и^о, п, т, тп, 6) — и(-) = (и^-),..., иг(-)), где

¿,-(-1)<+1, если I е [¿о + г/11; и + г/) иЛ*) ={ (г = 1, • • • + 1; 4 = 0, т1.+1 = тп);

0, если Ь £ [£0, ¿о + тп).

Теперь для любого момента времени ¿0 £ К, любого положительного в, каждого вектора п е 3 и каждого вектора € { — 1,1}г определим многообразия М${Ц,6) и М"(£0,#) следующим образом (черта в обозначениях Д, М ив последующих аналогичных обозначениях является частью обозначения, а не операцией замыкания):

м,п(*о,0)= и Мг0,п,т,тп,ад, (г,тп)еДп(<?)

(т,тп)€ А» (в)

Край многообразия М"(£о, в) обозначим <9М"(£0,$)-

Для любой точки ¿о € 5) и любого неотрицательного в определим множество М(£о,#) следующим образом: М{1 о, 0) = {0} (управление тождественно равное нулю на всем множестве вещественных чисел), а для положительных в множество М(Ц,9) определяется равенством

М(*о,0) = {О}и(и и Щ(10,(9)

Чпеэ йеЛг0(п) 15

Определим также множество M(t0) = IJ M(to,6), которое мы превратим

о

в метрическое пространство, введя на нем метрику

г+оо

р(и1, и2) = шах / \ulj(s) — Uj(s)\ds

i Jt0

для произвольных элементов и1, и2 £ M(£q). Отметим, что множества M(tо, 9), M(í0) определены только в точках докритичности системы (0.4), потому что только в этих точках определено отображение Aíu.

Основные результаты четвертого параграфа представлены ниже в леммах 0.1 и 0.2. Они используются в пятом параграфе для решения задачи (0.4)-(0.5) для всех начальных точек лежащих в докритическом множестве управляемости D(to, сг(£0)).

Лемма 0.1. Пусть система (0.4) докритическая в точке Ц. Тогда при любом 0 < 9 ^ <rr(ío) верны следующие утверждения:

1) любое управление и(-) £ M(to,9) удовлетворяет принципу максимума (0.6) на отрезке [£0, ¿о + $] £ С M(t0,9))-,

2) для любого допустимого управления и(-) £ удовлетворяющего принципу максимума (0.6) на некотором невырожденном промежутке [£0, Я [¿0) ¿0+0], существует такое управление и'(-) £ <9М"(£о,$) Q M(¿o, 0), что u{t) = u\t) при почти всех t £ [¿0, ¿о +

Лемма 0.2. i&vm система (0.4) докритическая в точке íq, то для любого 9^0 множество M(£q, 9) компактно.

В пятом параграфе доказано несколько утверждений, касающихся изучаемой нами задачи быстродействия. Теорема 0.7 дает решение задачи (0.4)-(0.5) для всех начальных точек хо, лежащих в докритическом множестве управляемости D(to,cr(to)). Теорема 0.8 описывает структуру множества управляемости D(to, 9) и структуру границы множества управляемости dD(to,9) при условии 9 ^ c(¿o)- Леммы 0.3 и 0.4 могут быть ис-

пользованы для дальнейшего исследования свойств докритических систем (например исследования дифференцируемости функции быстродействия).

Для каждой точки ¿о £ определим отображение : М(£0) —> с помощью равенства

г+оо

= - / Х(*о, 8)В(з)и(з) <1з. (0.9)

Все функции, содержащиеся в множестве М(£о), являются финитными, поэтому интеграл в равенстве (0.9) всегда существует и конечен.

Лемма 0.3. Пусть линейная управляемая система (0.4) докрити-ческая в точке ¿о- Тогда при любом 0 < в ^ сг(Ьо) отображение М(£о,$) —» В(Ьо,в) является гомеоморфизмом.

Обозначим

то,в) = в)), = о,0)),

Лемма 0.4. Пусть система (0.4) докритическая в точке ¿о- Тогда при любых векторах п Е 3, бе А^(п) и любом 0 < в ^ с(£0)

1) отображение : М^^.О) —> N¿(^,0) непрерывно дифференцируемо и в каждой точке области своего определения имеет максимально возможный ранг П1 + ... + пг + 1;

2) отображение : <9М"(£о, в) —* непрерывно дифференцируемо и в каждой точке области своего определения имеет максимально возможный ранг гц + ... + пг.

Теорема 0.7. Если система (0.4) докритическая в точке ¿о> 1710 для любой точки хо е £)(£о,ог(^о)) управление й(-) = Е^1(хо) является решением задачи (0.4)-(0.5) и переводит точку в нуль за время ©(¿о,^о)-

Теорема 0.8. Пусть система (0.4) докритическая в точке ¿о- Тогда для любого 0 < в ^ сг(£0) справедливы следующие утверждения.

1. Множество управляемости D(to,6) системы (0.4) является строго выпуклым компактным телом в пространстве Rn и может быть представлено в виде

£(io,0) = {o}|j(U U Ш^е)

Чпез ¿ел<0(п)

где Ng(to, в) — попарно непересекающиеся многообразия с краем и с гладкой внутренностью Ng(to,6), имеющие размерность rti + .. .+nr + l. Для любой точки х$ £ N^(to,0) существует оптимальное кусочно-постоянное управление и(-) £ U, переводящее точку xq в нуль за минимальное время 0 < $ ^ каждая координатная управляющая функция Uj(-) на промежутке (t$, + принимает значения +1 или —1 и имеет ровно nj переключений, a ôj £ { — 1,1} — значение функции Uj(-) от момента начала движения tQ до первого переключения (до конца движения, если переключений нет).

2. Граница dD(to,6) множества управляемости системы (0.4) может быть представлена в виде

dD(t0,e) = (J (J дМШо.в),

пеЗ JeAt0(n)

где dN$(to,e) — это попарно непересекающиеся гладкие многообразия без края, имеющие размерность ni+.. .+nr. Для любой точки Xq £ <9iV£(io, #) существует оптимальное кусочно-постоянное управление и(-) £ U, переводящее точку Xq в нуль за минимальное время 9; каждая координатная управляющая функция Uj(-) на промежутке (¿о> tо + принимает значения +1 или —1 и имеет ровно xij переключений, a ôj £ {—1,1} —

значение функции от момента начала движения £о до первого пе-

реключения (до конца движения, если переключений нет).

В шестом параграфе рассмотрены примеры линейных управляемых систем, на которых проиллюстрированы основные результаты диссертации.

Основные результаты работы докладывались автором на Ижевском городском математическом семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (Ижевск, 2006-2008), на научной конференции-семинаре «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2006), на Международной конференции «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2007), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И. Г. Петровского (Москва, 2011), на Всероссийской научной конференции «Математическая теория управления и математическое моделирование», посвященной 60-летию ИжГТУ и 90-летию со дня рождения профессора Н.В. Азбелева (Ижевск, 2012) и опубликованы в [17-21].

Глава 1

Двухпараметрические Т-системы функций

§ 1. Определение и свойства двухпараметрических Т-систем

функций на фиксированном промежутке

На протяжении настоящего параграфа предполагаются фиксированными промежуток / и двухпараметрическое семейство определенных на промежутке / непрерывных функций : I —> М}?"*'"'^, где п, г — фиксированные натуральные числа. Под промежутком мы будем понимать связное подмножество вещественных чисел с непустой внутренностью (то есть не вырождающееся в точку).

Определение 1.1. Будем говорить, что двухпараметрическое семейство непрерывных функций (■) 1' ^ образует двухпараметрическую Т-систему (или короче ТА-систему) на промежутке /, если для любого ненулевого вектора с = (сх,...,сп) е Мп общее количество геометрически различных (то есть без учета кратностей) нулей на / всех линейных комбинаций с) = Сх£[(£) + ... + с„££(£), э — 1,..., г не больше п — 1.

Определение 1.1 обобщает известное определение Т-системы для одно-параметрического семейства непрерывных функций {£г(-)}?=1 ([15, с. 50]) (последнее получается из определения 1.1 при г = 1). Примеры семейств функций, образующих ТА-систему при г > 1, приведены в конце этого параграфа. В дальнейшем для краткости будем использовать обозначение с) = С1#'(*) + ... + спф), где с = (сь ..., сп) е Еп.

Определение 1.2. Семейство точек г = {т-}3~,'",г , удовлетворяю-

щих условиям

1) т/ е I при всех % = 1,..., П7, ^ = 1,..., г;

2) точки т{,..., т^ попарно различны при каждом 3 — \,..., г, будем называть допустимой на промежутке I системой точек (или короче допустимой системой точек).

Таким образом, допустимая на промежутке I система точек — это множество точек, принадлежащих промежутку / и явно разделенных на г групп попарно различных точек. При этом не исключается случай, когда некоторые группы (возможно, все) могут быть пустыми. Общее количество точек в системе т мы будем обозначать символом |т| = щ + ... + пг.

Следующие утверждения для ТА-систем аналогичны соответствующим утверждениям для Т-систем ([15, с. 51-54]).

Утверждение 1.1. Семейство функций образует ТА-си-

стему на промежутке I тогда и только тогда, когда для любой допустимой на I системы точек г = {т/}^1'", где |т| = п, определитель матрицы

/й(п1) й(т}) еп(т}У

Е (т) =

йЮ ЙЮ ••• йю

Ш)

(1.1)

не равен нулю.

Утверждение 1.2. Если семейство функций {£/(•) К=1образует ТА-систему на промежутке /, то для любой заданной допустимой на

промежутке I системы точек т = {'п > где \т\ = п — 1, суще-

ствует такой ненулевой вектор с £ К71, что каждая линейная комбинация функций с) (] = 1,..., г) имеет нули в точках т(,... и не имеет других нулей на промежутке I. Этот вектор с определяется с точностью до постоянного множителя, то есть с = кс, к ф 0, где

ЙМ) ÖM) il«) ЙЮ

СК^Л

й(г!)

ei«)

-1

ii'frf) ЙК)

C(ri)

\ßK> sk) ■•• е;,ю)

(Л

о о о

(1.2)

а Tq — произвольная точка промежутка I, отличная от всех точек

т1 т1 Т1 > • • ■ > ТП1 •

Утверждение 1.3. Если семейство функций {£/(•)/"tli'п °бРазУет

TA-систему на промежутке /, то для любой заданной допустимой на

промежутке I системы точек г = {т/}-7"1'"'^ , где Irl = п, существу*» ** % — 11 • •« уГЬ j

ет и при том единственный такой вектор с Е Мп, что каждая линейная комбинация функций i; с) (j = 1,..., г) принимает в точках т(,..., т-j наперед заданные значения £{,..., ^ . Вектор с определяется равенством с = Е_1(г)£, где матрица Е(т) определена равенством (1.1), а вектор | = ... Д,... ... ,4r)T € IT.

Доказательства утверждений 1.1-1.3 полностью аналогичны доказательствам соответствующих утверждений для однопараметрических Т-си-стем ([15, с. 51-53]), поэтому мы их не приводим.

Изолированный нуль непрерывной функции £(i), лежащий во внутрен-

щ

ности промежутка /, называется узлом ([15, с. 53]), если при переходе через этот нуль функция £(£) меняет знак, и пучностью ([15, с. 53]), если эта функция знака не меняет. В случае если нулем функции £(£) является граничная точка промежутка /, принадлежащая этому промежутку, то такой нуль считается узлом.

Теорема 1.1. Пусть семейство непрерывных функций образует TA-систему на промежутке /, с G Rn — произвольный ненулевой вектор, к — общее количество пучностей на I всех линейных комбинаций £J(t;c), j — 1,..., г, а I — их общее количество узлов на I. Тогда 2k + I ^ п- 1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лукьянов, Владимир Викторович, 2015 год

Список литературы

1. Альбрехт Э.Г., Ермоленко Е. А. Синтез оптимального по быстродействию управления в линейных системах // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 11. С. 1443-1450.

2. Белоусова Е. Р., Зарх М. А. Построение поверхности переключения в линейной задаче быстродействия четвертого порядка // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1994. № 6. С. 126-139.

3. Белоусова Е. Р., Зарх М. А. Синтез оптимального управления в линейной задаче быстродействия четвертого порядка // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60, вып. 2. С. 189-197.

4. Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление (линейная теория). М.: Высшая школа, 2001. 239 с.

5. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.

6. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Костюкова О. И. Оптимизация линейной системы управления в режиме реального времени // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1992. Xе 4. С. 3-19.

7. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Прищепова С. В. Синтез оптимальной по быстродействию дискретной системы // Автоматика и телемеханика. 1991. № 12. С. 92-99.

8. Гамкрелидзе Р. В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах // Известия АН СССР. Серия математическая. 1958. Т. 22, № 4. С. 449-474.

9. Киселев Ю. Н. Линейная задача быстродействия и единичная сфера начальных значений сопряженной переменной // Современные проблемы

математики. Матем. анализ, алгебра, топология. Сборник статей. Труды Математического института АН СССР. 1985. Т. 167. С. 179-182.

10. Киселев Ю. Н. Методы решения гладкой линейной задачи быстродействия // Оптимальное управление и дифференц. игры. Сборник статей. Труды Математического института АН СССР. 1988. Т. 185. С. 106-115.

11. Киселев Ю.Н. Оптимальный синтез в гладкой линейной задаче быстродействия // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 2. С. 232-237.

12. Коробов В. И. О множествах достижимости и об управляемости линейной системы // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1970. Т. 10, № 4. С. 848-856.

13. Коробов В. И., Скляр Г. М., Флоринский В. В. Методы построения оптимальных по быстродействию управлений для канонических управляемых систем // Математическая физика, анализ, геометрия. 1999. Т. 6, № 3/4. С. 264-287.

14. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

15. Крейн М.Г., Нуделъман A.A. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. 552 с.

16. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.

17. Лукьянов В. В. Структура множества управляемости линейной нестационарной системы // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2007. Т. 12, вып. 4. С. 479-481.

18. Лукьянов В. В. Двухпараметрические Т-системы функций и их применение для исследования оптимальных по быстродействию линейных нестационарных управляемых систем // Вестник Удмуртского универ-

ситета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. Вын. 1. С. 101-130.

19. Лукьянов В. В. Решение задачи быстродействия для линейной нестационарной управляемой докритической системы с многомерным управлением // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 110-ой годовщине И. Г. Петровского: тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ, 2011. С. 262-263.

20. Лукьянов В. В. Структура границы множества управляемости линейной докритической системы с векторным управлением // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2012. Вып. 1 (39). С. 84-85.

21. Лукьянов В. В. Необходимые и достаточные условия докритичности линейных управляемых систем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 4. С. 100-108.

22. Милич Н. В. О структуре границы множества управляемости линейной докритической системы на большом промежутке времени // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1998. Вып. 2 (13). С. 27-52.

23. Милич Н. В. Длина промежутка чебышевскости и множество управляемости линейной нестационарной системы // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск, 2000. Вып. 1. С. 109-130.

24. Милич Н. В. Позиционное управление возмущенной системой, близкой к докритической // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2000. Вып. 2 (19). С. 38-53.

25. Николаев С. Ф. Численная оценка интервала докритичности // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1998.

Вып. 1 (12). С. 81-88.

26. Николаев С. Ф., Тонкое Е. Л. Дифференцируемость функции быстродействия и позиционное управление линейной нестационарной системой // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1996. Вып. 2 (8). С. 47-68.

27. Николаев С. Ф., Тонкое Е. Л. Позиционное управление нелинейной системой близкой к докритической // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1998. Вып. 2 (13). С. 3-26.

28. Николаев С. Ф., Тонкое Е. Л. Структура множества управляемости линейной докритической системы // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 1. С. 107-115.

29. Николаев С. Ф., Тонкое Е. Л. Дифференцируемость вектора быстродействия и позиционное управление линейной докритической системой // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, № 1. С. 76-84.

30. Никольский М. С. О линейных нестационарных управляемых процессах // Оптимальное управление. Сборник статей. Труды Математического института РАН 2008. Т. 262 С. 196-201.

31. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392 с.

32. Родионова А. Г., Тонкое Е.Л. О непрерывности функции быстродействия линейной системы в критическом случае // Известия вузов. Математика. 1993. № 5 (372). С. 101-111.

33. Сатимов Е. Я., Азамов А. О числе переключений в линейных системах // Известия АН УзССР. Серия физ.-мат. наук. 1982. № 2. С. 20-23.

34. Тонкое Е. Л. Число переключений в линейной нестационарной системе, оптимальной по быстродействию // Тезисы I республ. конф. матем. по дифференц. уравнениям. Ашхабад, 1972. С. 35-39.

35. Тонкое Е. Л. Неосцилляция и число переключений в линейной нестационарной системе, оптимальной по быстродействию // Дифференциальные уравнения. 1973. Т. 9, № 12. С. 2180-2185.

36. Тонкое Е. Л. К вопросу о неосцилляции линейной системы // Сборник научных трудов «Нелинейные колебания и теория управления». Ижевск, 1982. Вып. 4 С. 62-74.

37. Тонкое Е. Л. Неосцилляция и структура множества управляемости линейного уравнения // Успехи математических наук. 1983. Т. 38, вып. 5 (233). С. 131.

38. Тонкое Е. Л. К теории линейных управляемых систем: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / ИММ УНЦ АН СССР. Свердловск, 1983. 267 с.

39. Хайлое Е. Н. Об аналитической параметризации множества управляемости в линейной задаче управления // Математические заметки. 1988. Т. 44, вып. 3. С. 405—406.

40. Хайлое E.H. О поведении моментов переключения в линейной задаче быстродействия // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1988. № 4. С. 65-67.

41. Хайлое Е. Н. Параметризация множества управляемости линейной динамической системы // Оптимальное управление и дифференциальные уравнения. Сборник статей. Труды Математического института РАН. 1995. Т. 211. С. 401-410.

42. Хайлов Е. Н. О моментах переключения экстремальных управлений в линейной задаче оптимального быстродействия //Сб. научных трудов. Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 1996. Т. 4. С. 255-265.

43. Черноусъко Ф.Л., Шматков A.M. Оптимальное по быстродействию управление в одной системе третьего порядка // Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61, вып. 5. С. 723-731.

44. Chukwu E.N., Hajek О. Disconjugacy and optimal control // Journal of Optimization Theory and Applications. 1979. Vol. 27, № 3. P. 333-356.

45. Hajek 0. Geometric theory of time-optimal control // SIAM Journal on Control. 1971. Vol. 9. P. 339-349.

46. Hajek 0. Terminal manifolds and switching locus // Mathematical Systems Theory. 1973. Vol. 6. P. 289-301.

47. Hajek 0. On differentiability of the minimal time function // Funkcialaj Ekvacioj. 1976. V. 20. P. 97-114.

48. Nieolson L. S. Disconjugate systems of linear differential equations // Journal of Differential Equations. 1970. Vol. 7. P. 570-583.

49. Sussmann H. J. A bang-bang theorem with bounds on the number of switchings // SIAM Journal on Control and Optimization. 1979. Vol. 17, № 5. P. 629-651.

50. Yeung D. S. Time-optimal feedback control // Journal of Optimization Theory and Applications. 1977. Vol. 21, № 1. P. 71-82.