К теории стабилизации управляемых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор наук Зайцев Василий Александрович

• Зайцев Василий Александрович
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Зайцев Василий Александрович

Список основных обозначений

Введение

Глава I. Управление ляпуновскими инвариантами

нестационарных линейных систем

§ 1, Управляемость и равномерная полная управляемость

§2, Доказательства необходимых и достаточных условий

равномерной полной управляемости

§3, Управляемость системы в форме Хеееенберга,

Управляемость квазидифференциального уравнения

§4, Ляпуновекая приводимость к канонической форме

и глобальная достижимость системы в форме Хеееенберга

§5, Управление ляпуновскими инвариантами

линейной системы в форме Хеееенберга

§6, Ляпуновекая приводимость и стабилизация

нестационарных систем с наблюдателем

Глава II. Согласованность и управление спектром

собственных значений систем с непрерывным временем

§7, Согласованные системы

§8, Согласованность стационарных систем

§9, Управление спектром собственных значений

§10, Управление спектром собственных значений билинейных систем

специального вида

§11, Согласованность стационарных систем специального вида

§ 12, Экспоненциальная стабилизация квазилинейных управляемых систем

с неполной обратной связью

Глава III. Глобальная асимптотическая стабилизация

нелинейных периодических систем

§ 13, Достаточные условия стабилизации нелинейных периодических систем ,,

§ 14, Достаточные условия существования демпфирующего управления

§ 15, Следствия о стабилизации нелинейных периодических систем

§ 16, Стабилизация билинейных периодических систем

§ 17, Стабилизация линейных периодических систем

§ 18, Стабилизация однородных билинейных периодических систем

§19, Глобальная асимптотическая стабилизация нелинейной

периодической системы ограниченной обратной связью

Глава IV. Управление спектром собственных значений и стабилизация стационарных систем с дискретным временем

§ 20, Согласованные системы с дискретным временем

§21, Согласованность стационарных систем с дискретным временем

§ 22, Необходимые условия и достаточные условия согласованности

стационарных дискретных систем

§ 23, Управление спектром собственных значений дискретных систем

§ 24, Достаточные условия согласованности дискретных стационарных систем

специального вида для п = 4и п =

§ 25, Достаточные условия стабилизации нелинейных стационарных систем

с дискретным временем

§ 26, Стабилизация нелинейных стационарных дискретных систем

с линейной свободной динамикой

Заключение

Список литературы

280

Список основных обозначений

:= и =: — «равно по определению» (двоеточие — со стороны определяемого объекта), N Z R C - множества натуральных, целых, вещественных, комплексных чисел. No := {0} U N.

R+ := [0,

Rn — вещественное пространство векторов-столбцов размерности п. Cn — комплексное пространство векторов-столбцов размерности п. K — поле R или поле C,

col (ai, a2,..., an) G Kn — вектор-столбец с координатами ai, a2,..., an из пол я K, T — операция транспонирования вектора или матрицы.

* — операция комплексного сопряжения вектора или матрицы, то есть х* = хт.

(Rn)T — сопряженное к Rn пространство векторов-строк размерности п.

(Cn)* — сопряженное к Cn пространство векторов-строк размерности п.

(Kn)* — пространетво (Сп)^и (Rn)T,

e1 = col (1, 0,..., 0), ..., en = col (0, 0,..., 1) — базис в Kn,

x*y — скалярное произведение векторов x,y G Kn,

|ж| = л/х*х — норма в Кга (евклидова норма),

O£(x) = {y G Rn : |y — x| < e} — точки x в Rn,

Mn,m(K) — простране тво n x m-матриц с элементами и з поля K с операторной нормой

|A| = max |Ax|, индуцированной евклидовыми нормами в Km и Kn,

M=1

Mn(K) := Mn,n(K).

Mn,m := Mn,m(R).

Mn := Mn(R).

[h1, h2,..., hn] — m x n-матрпца, образованная вектор-столбцами h1; h2, ,,,, hn G Km, I = [e1, e2,..., en] — единичная n x n-матрица.

(a1,..., ak) или span {a1,..., ak} — линейная оболочка элементов a1,..., ak векторного

пространства,

Sp A — след матрицы A,

rank A — ранг матрицы A,

x(A; A) := det(A/ — A) — характеристический многочлен матрицы A, A ® B — прямое (кронекерово) произведение матриц ^B,

vec : МП}ГП(К) —>• Шпт — отображение, «разворачивающее» матрицу Н = {hij}, г = 1, та, j = 1, га, по строкам в вектор-столбец vec Н := col (hn,..., him,..., hni,..., hnm).

n—

J — первый единичный косой ряд, то есть J := e^e*^ G Mn(K),

i=1

Lp(A) = Lp(A,X) — пространство Лебега измеримых функций G : A ^ X ГДе A =

/•в

[a, в], X = Mn,m(R) или X = Rn, таких, что / |G(t)|p dt < то (p =1, 2); множество X в записи опускаем, если из контекста понятно, какое оно,

Lp30 (Q,X) := {G : П ^ X : G|a G Lp(A,X) V A = [a, в] С П} — пространство локально суммируемых функций на П С R со степейью p (p = 1, 2), /г в \ 1/p

||G||Lp(А) := ( / |G(t)|p dt I — норма функции G G Lp(A,X) (p = 1, 2); множество A

в записи опускаем, если из контекста понятно, какое оно,

IIР||с(п) := su.pl|Р(Ь)| : Ь € П} — эир-норма функцнп Р, заданной на П С Е со значениями в Ега или в Мп,т(М).

Запись / € С(а'в) (V х и) означает, что функция /(ж, и) имеет непрерывные частные производные до порядка а включительно по переменной ж € V С Ега, до порядка в включительно по переменной и € и С Ет, то есть для любых мультииндексов V = (VI,..., V,,), ^ = (^1,... таких, что VI,... , V™ ^ 0 ... ^ 0 и IV| := VI + ... +

^11 , , ^ О л, д , . . . , Ста, С1, . . . , Ст) ип ^ а, Щ := + ... + /1т ^ Р, функция -д^дС1-дСт непРеРывна ПРИ

(£ь...,£„,С1,...,Ст) €Рхи 1 П

Для функции д : Е х ^ Ет перемениых Ь € Е, ж € Еп обозначаем дд(г,х) _ ^ /ддг(г,х) ддт(г,х)' ^ ^

дЬ V дЬ '"'' дЬ

<9д(г,ж) ддг(г,х)

—~-= —~- е Мт>га, г = 1, га, 3 = 1, п.

дж \ дж./

\7</?(ж) := gradí/?(ж) := ( —-,..., —- ) € (Ега)т — градиент функции <р : Ега —Е;

V джт джп

д2^(ж) / д2 ^(ж)\п

— := ——-— € Мп — матрица 1ееее,

дж2 \дж»

ас1/(/(ж) := [/, д](ж) := ^ ^ / (ж)--— коммутатор векторных полей /(ж), д(ж),

аа} д := [/, аа}-1 д], г € N.

Если в управляемой системе

ж = /(Ь,ж,и), Ь € Е, ж € Еп, и €

Г,

выбрана некоторая функция и = и(Ь,ж), то она называется обратной связью (по состоянию), а соответствующая система

ж = /(Ь,ж,и(Ь,ж)), Ь € Е, ж € Еп,

называется замкнутой; если и = 0, то соответствующая система

ж = /(Ь,ж, 0), Ь € Е, ж € Еп,

называется свободной.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К теории стабилизации управляемых систем»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Одной из важнейших задач теории управления является задача стабилизации, В простейшей постановке эта задача заключается в следующем. Пусть система управления описывается дифференциальным уравнением в отклонениях

x = f (t,x,u), (t,x,u) G R х Rn x Rm. (0.1)

Здесь f (t, 0, 0) = 0, Требуется построить vnpавление u = u(t,x), u(t, 0) = 0, в системе (0.1) такое, что нулевое решение замкнутой системы

x = f (t, x, u(t, x))

асимптотически (или экспоненциально) устойчиво.

Одной из первых задач классической теории автоматического регулирования была задача о стабилизации линейной стационарной системы

x = Ax + Bu, t G R, x G Rn, u G Rm, (0.2)

посредством линейной обратной связи u = Ux, где U — постоянная m x п-матрица. Поскольку замкнутая система

x = (A + BU)x, x G Rn, (0.3)

является линейной однородной стационарной, асимптотическое поведение решений системы (0.3) характеризуется вещественными частями собственных значений Aj (A + BU) матрицы A + BU, Если возможно построить U так, что Re Aj(A + BU) < — а, где a > 0 — некоторое заданное число, то норма всякого решения системы (0,3) стремится к нулю быстрее, чем функция e-at, при t ^ Более общей задачей является задача о размещении (или о назначении) спектра собственных значений [91, с, 159]; по-другому эту задачу называют задачей о модальном управлении [131, с, 435], В этой задаче требуется для произвольного набора G С построить матрицу U так, чтобы были выполнены равенства

Xj(A + BU) = fij, j = T~n. (0.4)

В 1964 году В. М, Попов доказал [106, 204], что такая (комплексная) матрица существует для системы вида (0,2) с комплексными коэффициентами тогда и только тогда, когда выполнено условие

rank [B, AB,..., An-1B] = п. (0.5)

Впоследствии Уонэм доказал [226] этот результат для системы (0.2) с вещественными

AB

бого набора ..., вещественного типа, (т.е. такого набора, который может

)

U

выполнено условие (0.5). Условие (0.5), согласно критерию Калмана [182], равносильно условию полной управляемости системы (0.2).

Распространение задачи размещения собственных значений и, в частности, задачи стабилизации на более широкий класс систем может происходить в различных направлениях.

Одно из направлений относится к расширению условий на коэффициенты системы: требуется распространить указанные выше результаты на нестационарные системы

ж = А(г)х + в(г)и, г е к, Ж е и е (0.6)

При этом возникают следующие вопросы: что понимать под спектром замкнутой системы

ж = (А(г) + в(г)и)х, ж е (0.7)

и каким образом можно обобщить условие полной управляемости (0.5) на нестационарные системы. Кроме того, возникает также вопрос о том, из какого класса следует выбирать матрицу и = и (г) обратной связи. Ясно, что это должно зависеть от того, какому классу принадлежат коэффициенты системы.

Один из первых результатов в этом направлении был получен П. Бруновеким [151] для ^-периодической системы (0.6) с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами. Он доказал эквивалентность следующих условий: (а) система (0.6) вполне управляема;, (Ь) для любого на,бора, М = вещественного типа, (та,кого, что п?=1 ^ > 0) существует ш-периодическая непрерывно дифференцируемая, матрица и (¿), г е к такая, что си,стем,а, (0.7) си = и (г) имеет совокупностью мультипликаторов набор М.

Для произвольных нестационарных непериодических систем в качестве обобщения понятия спектра собственных значений естественно рассматривать полный спектр показателей Ляпунова [11, с, 63; 21, с, 145], Соответствующая задача о размещении показателей системы (0,7) в произвольные наперед заданные точки ^ £ М, ] = 1, п, была названа задачей глобального управления показателями Ляпунова, Что касается свойства полной управляемости, оно допускает различные обобщения на произвольные нестационарные системы. Каким из них следует пользоваться — зависит от типа исследуемой задачи, от условий на коэффициенты системы и т, д.

Одно из таких определений было введено Р. Калманом [182], Система (0,6) называется равномерно вполне управляемой [182], если найдутся § > 0 и а = а(§) > 0, г = 1, 2, 3, 4, такие, что для всех т е К выполнены неравенства

0 < а11 ^ W(т,т + §) ^ а2/, 0 < аз1 ^ X(т + т^(т, т + §)ХТ(т + т) ^

Г ¿1

в смысле квадратичных форм; здесь W(г0, г1) := / X(г0,з)В(з)Вт(з)Хт(го, в) —

Ло

матрица управляемости (матрица Калмана), X(г, з) — матрица Коши свободной системы

ж = А(г)х. (0.8)

Если система (0,6) стационарна, то свойство равномерной полной управляемости (по Калману) совпадает с условием (0.5) (это доказано в [182]). С помощью методов теории оптимального управления Калман доказал [182], что если система (0.6) равномерно вполне управляема, то существует матрица и (г), г е К, такая, что система (0.7) с

U = U(t) U(t)

Н, Н, Красовский для решения задачи (оптимальной) стабилизации системы (0,6) использовал матрицу управляемости

Q(t) = [Pc(t),Pi(t),...,Pra-i(t)], (0.9)

где

Po(t) = B(t), Pk(t) = — A(t)Pfc-i(t) + ibfc-i(t), k G N. (0.10)

Предполагается, что необходимые производные существуют. Достаточные условия (оптимальной) стабилизации системы (0.6) посредством обратной связи u = U(t)x, выраженные в терминах матрицы Q(t), приведены в [80, §112, теорема 2] (см. также [79]). Если ранг матрицы Q(t) в некоторой точке a G [t0,ti] равен п, то (см. Красовский [81,

[to, ti]

(0.6) аналитические, то верно и обратное утверждение [160].

В работах [210, 212, 213] Сильверман, Медоуз предложили другое определение, отличное от определения Калмана: не равномерной полной управляемости, а равномерной управляемости. Система (0.6) названа равномерно управляемой на интервале J [213] (в

смысле Сильвермана, Медоуза), если rank Q(t) = п для всех t G J. Если система (0.6) стационарна, то определение [213] совпадает с условием (0.5) полной управляемости. Это другое обобщение понятия полной управляемости на нестационарные системы. Определение Калмана и определение Сильвермана, Медоуза отличаются. Во-первых, интервал J

делению Калмана. Чтобы использовать понятие равномерной управляемости для реше-

J

по крайней мере вправо. (В таком случае следует понимать определение равномерной управляемости как выполнение неравенства | det Q(t)QT(t)| ^ к > 0 для всех t G J; см. [225].) С другой стороны, в определении [213] необходимо требуется достаточная гладкость коэффициентов, а в определении Калмана она не требуется. Следовательно, система, удовлетворяющая одному из определений, может не удовлетворять другому. Если

J=R

ляемоети (при некоторых условиях, по крайней мере при m =1) вытекает свойство равномерной полной управляемости. Так, в [211, теорема 6] установлено (для m = 1) для системы (0.6) с ограниченными коэффициентами, что если матрица Q(t) в (0.9) ограничена вместе с Q(t), то свойство равномерной управляемости [213] па R влечет свойство равномерной полной управляемости (по Калману), Таким образом, свойство равномерной управляемости является в определенном смысле более ограничительным.

Свойство равномерной управляемости (в смысле Сильвермана, Медоуза) использовалось в задачах приведения системы (0.6) к каноническому виду. В работе [210] при m =1 показано, что если (и только если) система (0.6) равномерно управляема, то существует нестационарное преобразование y = S(t)x фазового пространства, приводящее систему (0.6) к канонической форме Фробениуеа, т. е. к системе, эквивалентной

скалярному дифференциальному уравнению п-го порядка:

у = р (г)у + с(гк

(0.11)

0 0

1 0

0 1

0 0

0 0

р (г)

с(г)

0 0 0 ... 1

ап (г) -а„_1(г) -а„-2(г) ... -а1 (г)

0 1

Если в системе (0.11) построить управление V = V(г)у, где V(г) = [—7п + ап(г),..., —71 + а1 (г)], то замкнутая система будет стационарной, и характеристический многочлен матрицы замкнутой системы будет равен Ап+71Лп_1 + .. .+7п. Таким образом, за счет выбора чисел 7г можно назначить замкнутой системе произвольный наперед заданный спектр. Если матрица Б (г) будет матрицей Ляпунова (см. определение 0.1), то можно назначить заданный спектр и системе (0.7). Из этих рассуждений, в частности, следует, что свойство ляпуновекой приводимости (т. е. приводимости посредством преобразования Ляпунова) системы (0.6) к канонической форме Фробенпуса является одним из важных свойств: оно обеспечивает глобальную управляемость показателей Ляпунова; более того, оно обеспечивает свойство равномерной глобальной достижимости и глобальной ляпуновекой приводимости (подробнее об этом в § 4). Таким образом, получение достаточных условий ляпуновекой приводимости системы (0.6) к канонической форме Фробениуеа — это еще одна из важных задач.

Для произвольного т достаточные условия ляпуновекой приводимости системы (0.6) к «блочно-фробениуеовой» форме, а точнее, ко второй канонической форме Люенберге-ра [197] (и как следствие, глобальной управляемости показателей Ляпунова) были получены в работах В. А. Воловича [225] и Е. Я. Смирнова [128-130] для систем с матрицей А(-) класс а С2п_2(К) и матрицей В (■) класс а С2п-1(К). В работах И. В. Гайшуна [12, 15] при т =1 эти условия па гладкость коэффициентов были ослаблены; это позволило расширить класс систем (0.6), приводимых преобразованием Ляпунова к канонической форме (0.11). Тем не менее, в этих условиях все еще требуется условие равномерной управляемости. Здесь в § 4 получены другие достаточные условия ляпуновекой приводимости управляемой системы (0.6) к канонической форме (0.11) (они не требуют условия равномерной управляемости в смысле Сильвермана, Медоуза, но требуют условия равномерной полной управляемости по Калману),

Подход, использованный Калманом для стабилизации системы (0.6), развили японские математики М, Икеда, X. Маеда, Ш. Кодама в своей работе [179]. Они установили, что для системы (0.6) с измеримыми ограниченными коэффициентами равномерная полная управляемость по Калману равносильна равномерной стабилизируемое™ замкнутой системы (0.6) с произвольным показателем а > 0. Это означает, что для любого а > 0 существует и (г), г е К такое, что для всех в е К и г ^ в выполнено неравенство X (г, в)| ^ N (а)е_а(4_^, где число N (а) зависит только от заданного а; здесь Хи (г, в) —

и = и(г)

верхний особый показатель + Ви) и все характеристические показатели Ляпу-

нова \](А + В11), ] = 1 ,п, замкнутой системы (0.7) можно сделать меньшими любого

наперед заданного отрицательного числа —а Е, Л, Тонков доказал [133, 134], что для равномерно вполне управляемых почти периодических и рекуррентных систем с почти

U(t)

место аналогичная эквивалентность. Кроме того, в работах Е, Л, Тонкова [86, 133, 134] были установлены критерии равномерной полной управляемости по Калману,

В связи с этим Е, Л, Тонковым была поставлена задача о глобальном управлении показателями Ляпунова на основе свойства равномерной полной управляемости по Калману, Эта задача, а также другие задачи о глобальном управлении асимптотическими инвариантами были решены в работах С.Н, Поповой [112-114, 116, 117], а также в работах Е, К, Макарова, С.Н, Поповой [95, 96, 98],

В частности, был доказан следующий результат [117]: пусть A(-) кусочно непрерывна и ограничена HaR, B(■) кусочно равномерно непрерывна и ограничена на R, и си,стем,а, (0,6) равномерно вполне управляема в смысле Калмана; тогда, полный спектр показателей Ляпунова системы (0,7) глобально управляем,. В связи с этим результатом возникает вопрос о справедливости этого утверждения для системы (0,6) с коэффициентами из более широкого класса. Оказывается, что в этом случае критерий Тонкова равномерной полной управляемости по Калману (который используется при доказательстве данного результата С, Н, Поповой) может быть не выполнен. Возникает вопрос о том, при каких условиях на коэффициенты определение равномерной полной управляемости по Калману и критерий Тонкова совпадают, и каким из этих критериев следует пользоваться в том случае, когда данные свойства не совпадают. Эти вопросы исследуются здесь в § 1 и § 2,

Другой вопрос, который возникает в связи результатом С.Н, Поповой: найти какие-либо классы нестационарных систем, обладающих свойством равномерной полной управляемости. К примеру, система (0.11) в форме Фробениуеа с ограниченными, а также с интегрально ограниченными (теорема 3.1) коэффициентами обладает свойством равномерной полной управляемости. Более общий класс систем образуют системы в форме Хеееенберга (3.7). В таком виде могут быть записаны системы, эквивалентные квазидифференциальному уравнению [27]. Такие уравнения обладают многими свойствами, которыми обладают обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные результаты первой главы, полученные в § § 3, 4, 5, относятся к системам в форме Хеееенберга. Так, в § 3 показано, что система в форме Хеееенберга при некоторых естественных и необременительных условиях обладает свойством равномерной полной управляемости.

Наряду с задачами управления отдельными асимптотическими инвариантами рассматривались задачи (локального и глобального) управления всей совокупностью инвариантов преобразования Ляпунова [32, 33, 37, 65, 95, 109, 113, 135, 136]. Напомним некоторые понятия теории показателей Ляпунова.

Определение 0.1 (A.M. Ляпунов, [92, с. 42]). Линейное преобразование

z = L(t)x (0.12)

называется преобразованием Ляпунова, если его матрица L(-) удовлетворяет условиям:

1) ||L||c(R) < ю;

2) при каждом t G R матрп ца L(t) обратима, при чем ||L-i||C(R) < ю;

3) функция L(-) абсолютно непрерывна на R и sup ||L||Li([i,i+i]) < оо.

ter

Матрица .(■) преобразования Ляпунова (0,12) называется матрицей Ляпунова.

Применение преобразования (0,12) к системе (0,8) переводит ее в систему

z = C(t)z, t G R, z G Rn, (0.13)

где C(t) = L(t)A(t)L-1(t)+L(t)L-1(t), Системы (0,8) и (0,13) называются асимптотически эквивалентными (по Богданову) [9].

Характеристики системы (0,8), которые не изменяются при преобразовании Ляпунова системы (0,8), называются ляпуновскими (асимптотическими) инвариантами. Примерами ляпуновеких инвариантов являются свойства устойчивости, асимптотической (экспоненциальной) устойчивости, правильности системы, показатели Ляпунова, центральные показатели, особые показатели и т, д. Асимптотически эквивалентные системы имеют одинаковые ляпуновекие инварианты.

Определение 0,2 [32, 95, 116, 135, 136; 98, с, 259], Система (0,7) с измеримыми, интегрально ограниченными [11, с, 252] коэффициентами A(-), £(•) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости, если для любой системы (0,13) с измеримой, интегрально ограниченной матрицей C(■) найдется измеримое и ограниченное управление U = U(t), t G R, такое, что система (0,7) с U = U(t) асимптотически эквивалентна системе (0,13),

Если система (0,7) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости, то всякая (конечная) совокупность ляпуновеких инвариантов системы (0,7) глобально управляема [116, теорема 21,4; 98, теорема 25,4], т.е. с помощью выбора допустимого управления данному набору ляпуновеких инвариантов можно придать произвольные допустимые значения. Существует гипотеза о том, что условие равномерной полной управляемости по Калману системы (0,6) с ограниченными и кусочно (равномерно) непрерывными коэффициентами A(-), £(•) является достаточным для глобальной ляпуновской приводимости системы (0,7), Это утверждение доказано для периодических систем (С, Н, Попова [113; 98, теорема 28,1]); причем доказано и обратное утверждение, В общем случае вопрос о справедливости этой гипотезы остается открытым. Здесь в § 5 получены некоторые результаты в этом направлении.

Другое направление в распространении задачи управления спектром собственных значений или показателей Ляпунова (в частности, задачи стабилизации) на более широкий класс систем относится к методу построения обратной связи. Предположим, что линейная управляемая система имеет следующий вид:

Х = A(t)x + B(t)u, y = C*(t)x, t G R. (0.14)

Здесь x G Rn — это вектор состояния сиетемы; u G Rm — вектор входных воздействий (вектор управления); y G Rk — вектор выходных величин (величин, доступных измерению), которые являются функциями состояния объекта. Если C(t) = /, то y = x, т. е. измерению доступны все координаты фазового вектора. В этом случае управление можно строить в виде линейной полной обратной связи u = U(t)x (как это было рассмотрено

выше). Если же гапк С(¿) < и, то измерению доступны не все координаты фазового вектора, а лишь некоторые их линейные комбинации, В этом случае управление и(£) строится по неполным данным о состоянии объекта ж, в зависимости от измеренных значений у, Один из классических методов заключается в построении динамической обратной связи по выходу (см., например, [3, §25; 70, §2,7]): вводится асимптотический идентификатор (система асимптотической оценки)

х = Л(£)ж + V(О (у - С* (*)£) + В(¿)и, х е Кп. (0.15)

Управление в системе (0,14) строится в виде и = и(¿)х. Замкнутая этим управлением система (0,14), (0,15) получается (2и)-мерпой, С помощью известных методов стабилизации систем с полной обратной связью (упомянутых выше и не только) решается задача стабилизации соответствующей замкнутой системы, как для стационарной системы (0,14), так и для нестационарной. Здесь в §6 также получены некоторые результаты в этом направлении.

Другой способ формирования управления в системе (0,14) состоит в построении (линейной) статической обратной связи по выходу, т.е. в виде и = иу; по-другому такое управление еще называют линейной неполной обратной связью. Замкнутая система принимает вид

ж = (Л(*) + В (¿)ис* (¿))ж. (0.16)

Такая система является частным случаем более общей — билинейной (однородной) системы

Ж = (Л(*) + ^Л^) + и2^2(^) + ... + и Лг (¿)) ж. (0.17)

Следует отметить, что задача стабилизации и управления спектром для систем (0.16) и (0.17) становится существенно сложнее, чем для системы (0.7), уже в случае, когда коэффициенты системы постоянны. Пусть даны системы (0.16) и (0.17) с постоянными коэффициентами

ж = (Л + ВиС*)ж, ж е Кп, (0.18)

ж=(Л + и1Л1 + и2Л2 + ... + иг Лг )ж, ж е Кп. (0.19)

Здесь К = С или К = К. Обозначим через

р(А; и) = ае^А/ - Л - ВиС *), £>(Л; и) = ае^А/ - Л - и1Л1 - ... - иг Лг)

характеристические многочлены матриц систем (0.18) и (0.19) соответственно. Задача об управлении спектром (о назначении спектра) в терминах характеристических многочленов формулируется следующим образом. Для заданной системы (0.18) (или (0.19)) и заданного приведенного многочлена р(А) = Ап + 71Ап-1 + ... + 7„ с коэффициентами 7г е К требуется построить управление и е Мт(К) в системе (0.18) (и е Кг в системе (0.19)) так, чтобы характеристический многочлен р(А; и) (еоответетвенно ^(А; и)) совпадал с р(А). Отождествим множество всех приведенных многочленов р(А) с пространством Кп = {7 = (71,..., 7п)}. Для заданной системы (0.18) (системы (0.19)) введем

отображение, которое ставит в соответствие управлению U (управлению u) характеристический многочлен системы с этим управлением:

а : Mmik(K) ^ Kn, a(U) = р(Л; U), ш : Kr ^ Kn, ш(и) = ^(Л; u).

Таким образом, если для системы (0,18) (системы (0,19)) отображение а (отображение ш) сюръективно, то это означает, что спектр собственных значений системы (0,18) (системы (0,19)) глобально управляем.

Задаче управления спектром для систем (0,18) (или (0,19)) посвящено огромное количество работ. Обзор известных результатов можно найти в работах [91, 152, 208, 209, 218], Упомянем некоторые из них. Без ограничения общности считаем, что m = rank B, k = rank С. Отождествим систему (0,18) с матрицей (A, B,C) G Mn>n+m+k(K), Первые результаты относятся к системам вида (0,18) с полной обратной связью, т. е, когда С = /: это уже упомянутые результаты В.М, Попова и В.М, Уонэма, Сформулируем их в виде следующего утверждения. Отождествим систему (0,2) с матрицей (A, B) G Mn>n+m(K),

Утверждение 0,1, Следующие условия эквивалентны.

1. Система (A,B) вполне управляема.

2. rank [B, AB,..., An-1B] = n.

3. Спектр системы (0,3) глобально управляем,.

(A, B)

пространстве матриц Mn>n+m(K), отождествляемом с Kn(n+m), в следующем смысле: подмножество S С K1 называется типичным множеством [91, с, 96], если его дополнение K1 \S содержится в нуль-множестве некоторого нетривиального многочлена от x1,..., xi.

(A, B)

для типичного множества матриц (A,B) G Mn>n+m(K),

(A, B) (A, B, С)

(A, B, С)

разрешении некоторой системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов матрицы U, Если С = /, то есть обратная связь — полная, то условие 2 в утверждении 0,1, во-первых, позволяет свести эту систему к линейной системе алгебраических уравнений, а во-вторых, является достаточным условием разрешимости этой системы. Если же rank С < n (и rank B < n), то упомянутая система алгебраических уравнений, вообще говоря, является нелинейной, и вопрос о ее разрешимости усложняется.

Первые результаты о «почти произвольном» размещении max{m, k} собственных (A, B, С) A

Davison [167], Е, J, Davison, Е, A, Chatterjee [168], В, Sridhar, D, P. Lindorff [217] в предположении, что открытая стационарная система (0,14) вполне управляема и вполне наблюдаема (эти условия необходимы для еюръективноети отображения а), В более поздних работах Е, J, Davison, S, H, Wang [169] и H, Kimura [185] доказали для случая K = R результаты, из которых вытекает, что если

m + k ^ n +1, (0.20)

а

(A, B, С) G Mn ,n+m+fc (R) ■

Для получения дальнейших результатов иепользовалиеь различные методы алгебраической геометрии. Сравнивая размерности области определения и области значений а,

отображения а является условие mk ^ n. R, Hermann, С, Martin доказали [178], используя теорему о доминантном морфизме, что в случае K = C это условие является и достаточным: если n ^ mk, то отображение а почти сюръективно для типичного множества матриц (A, B, C) G Mn>n+m+k(C). Однако для K = R аналогичный результат установить не удалось, J, Willems, W, Hesselink показали [224], что почти еюръек-тивноеть отображения а для типичного множества матриц (A,B,C) G Mn>n+m+k(R) не имеет места, если m = k = 2, n = 4 (см. также [171, 207] для друг их четных m, k), В 1981 году Брокетт и Байрнс показали [149], что задача глобального управления (A, B, C)

ческой геометрии. Из этих результатов было получено для K = C, что если mk ^ n, то а

множества систем (A, B, C) G Mn>n+m+k(C), Этот результат является наиболее сильным для K = C. Для случая K = R из результатов работы [149] следует, что если mk = пи число

1!2!.. .(к — 1)\(тк)\ (m' } ~ m!(m+l)!...(m + fc- 1)!

нечетное, то отображение а сюръективно для типичного множеетва систем (A, B, C) G Mn

, n+m+k (R) ■

K = R n

mk >

n, а (A, B, C) G

Mn,n+m+k(R). Этот результат является наилучшим для K = R, Позднее, в 1995 году J, Rosenthal, J, M, Schumacher, J, С, Willems в работе [206] предложили более простое доказательство этого результата (см, также ссылки в работе [209]),

Задача размещения собственных значений для билинейной системы (0,19) связана с аддитивной обратной задачей на собственные значения (см, обзор М.Т, Chu [161]), Эта задача формулируется следующим образом. Пусть L С Mn(K) — некоторое многообразие, Требуется для заданного полинома p(A) постройть L G L так, чтобы det(A1 — A — L) совпадал с p(A). Один из первых результатов получил S, Friedland [173]. Он доказал, что в случае K = C отображение

<Pa : L^ Kn, <Pa(L) = det(A1 — A — L), L G L,

является еюръективным для любых A, еели L совпадает с множеством диагональных матриц Dn(C) С Mn(C). В работе [159] С, I, Byrnes и X. Wang доказали для K = C, что если L — алгебра Ли, то отображение ^a является еюръективным для любой матрицы A rank L = n L n

собственных значений. W. Helton, J. Rosenthal, X. Wang в работе [177] доказали, что если L — аффинное многообразие в Mn(C), то отображение ^a является почти еюръективным для типичного множества матриц A тогда и только тогда, когда dim L ^ пи

L С s/n := {L G Mn(C) : Sp L = 0}.

Отсюда вытекают следствия для системы (0,19), Некоторые результаты, объединяющие сразу несколько подходов к задаче размещения собственных значений, можно найти в работе [184],

Таким образом, задача размещения собственных значений систем (0,18) и (0,19) в типическом случае исследована достаточно подробно. Тем не менее, как подчеркнуто в работе [209], достаточные условия Брокетта, Байрнеа [149] и X, Wang [223], полученные для системы (0,18), носят в основном теоретический характер, В общем случае, даже когда известно существование компенсатора U, обеспечивающего размещение собственных значений, не существует каких-либо приемлемых алгоритмов для нахождения решения U. Это происходит в силу внутренней нелинейности данной задачи для системы (0,18) с неполной обратной связью (и тем более для системы (0,19)), в отличие от системы (0,3) с полной обратной связью (когда C = /), которая по своей природе является линейной, и для которой такие алгоритмы существуют, В связи с этим возникают вопросы: возможно ли выделить из класса всех систем (0,18) (или (0,19)) некоторый подкласс, для которого можно получить достаточные (и возможно, необходимые) условия, вроде условий 1, 2 в утверждении 0,1, обеспечивающие глобальную управляемость спектра, и для которого возможно привести конструктивные алгоритмы для нахождения требуемой матрицы U (соответственно, вектора u = (ui,... , ur)), Исследованию этих вопросов посвящена II глава.

Отметим, что изложенные выше результаты и поставленные вопросы о глобальном управлении спектром в равной степени относятся к управляемым системам с дискретным временем

x(t + 1) = (A + BUC*)x(t), t G Z, x G Kn, x(t + 1) = (A + u1A1 + u2A2 + ... + urAr)x(t), x G Kn.

Исследованию этих вопросов для систем с дискретным временем посвящена IV глава.

Для более простой задачи — задачи стабилизации системы (0,18) с помощью постоянных управлений — необходимые условия и достаточные условия можно получить с помощью матричного уравнения Ляпунова, используя теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости линейной автономной системы в терминах функции Ляпунова (см.,

U

сводится к разрешимости специального уравнения Лурье-Риккати (подробнее см. [91, глава III, §9]). Эта задача также является трудной для аналитического решения. Некоторые частные результаты о стационарной стабилизации билинейных систем получены в работах [198] и [170].

В 1999 году Брокетт сформулировал в работе [148] задачу стабилизации системы

U = U(t)

89, 91] были получены некоторые результаты в решении этой проблемы (Брокетта), а в работах [90, 91] соответствующие результаты были получены для систем с дискретным временем. Между тем, задача управления показателями Ляпунова (в локальной постановке) для нестационарной системы (0.16) исследовалась в 1994-95 годах работах С.Н. Поповой, Е.Л. Тонкова [118-120]. Для этого в работе [118] было введено определение свойства согласованности системы (0.14). Свойство согласованности является обобщением понятия полной управляемости системы (0.6) на системы с наблюдателем

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Зайцев Василий Александрович, 2016 год

Список литературы

1. Адрианова Л. 5L Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений: Учеб, пособие, — С.-Петербург: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1992. — 240 с.

2. Альбрехт Э. Г. Об оптимальной стабилизации нелинейных систем // Прикладная математика и механика. — 1961. — Т. 25, вып. 5. — С. 836-844.

3. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976,- 424 с.

4. Астровский А. И., Гайшун И. В. Управляемость линейных нестационарных систем в классе обобщенных функций конечного порядка // Известия РАН. Теория и системы управления. — 1998. — JVS 2. — С. 24-30.

5. Астровский А. И., Гайшун И. В. Линейные системы с квазидифференцируе-мыми коэффициентами: управляемость и наблюдаемость движений. — Минек: Беларуе, навука, 2013. — 213 с.

6. Астровский А. И., Гайшун И. В. Управляемость линейных нестационарных систем со скалярным входом и квазидифференцируемыми коэффициентами // Дифференциальные уравнения. — 2013. — Т. 49, JVS 8. — С. 1047-1055.

7. Астровский А. И., Гайшун И. В. Существование и способ построения канонических форм линейных нестационарных систем управления со скалярным входом / / Дифференциальные уравнения. — 2014. — Т. 50, JVS 12. — С. 1622-1628.

8. Барбашин Е. А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом // Доклады Академии наук СССР. — 1952. — Т. 86, JVS 3. — С. 453-456.

9. Богданов Ю.С. Об асимптотически эквивалентных линейных дифференциальных системах // Дифференциальные уравнения. — 1965. — Т. 1, 6. — С. 707-716.

10. Быков Д. С., Долгий Ю.Ф. Канонические аппроксимации в задаче оптимальной стабилизации автономных систем с последействием / / Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2011. — Т. 17, JVS 2. — С. 20-34.

11. Былов Б.Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. — М,: Наука, 1966. — 576 с.

12. Гайшун И. В. Канонические формы, управление показателями Ляпунова и ета-билизируемоеть линейных нестационарных систем // Известия РАН. Теория и системы управления. — 1998. .V" 6. С. 24-32.

13. Гайшун И. В. Системы с дискретным временем. — Минек: Институт математики HAH Беларуси, 2001. — 400 с.

14. Гайшун И. В. Стабилизируемоеть дискретных систем над кольцами // Автоматика и телемеханика. — 2002. .V" 3. С. 27-35.

15. Гайшун И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. — М,: Еди-ториал УРСС, 2004. - 408 с.

16. Гайшун И. В. Об одном алгоритме стабилизации нестационарных линейных дискретных систем с одним входом // Дифференциальные уравнения. — 2006. — Т. 42,

№11.-С. 1464-1472.

17. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М,: Наука, 1988. — 552 е.

18. Голубев А. Е., Крищенко А. П. Практическая стабилизация билинейных систем третьего порядка//Дифференциальные уравнения, — 2015. — Т. 51, .V" 8. С. 1096-1100.

19. Голубев А. Е., Крищенко А. П., Ткачев C.B. Стабилизация нелинейных динамических систем с использованием оценки состояния системы асимптотическим наблюдателем // Автоматика и телемеханика. — 2005. — JVS 7. — С. 3-42.

20. Далецкий Ю.Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М,: Наука, 1970. — 536 с.

21. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М,: Наука, 1967. - 472 с.

22. Емельянов C.B., Ильин A.B. Одновременная стабилизация объектов различных порядков // Дифференциальные уравнения. — 2013. — Т. 49, JVS 5. — С. 649-655.

23. Емельянов C.B., Коровин С. К., Никитин C.B. Глобальная управляемость и стабилизация нелинейных систем // Математическое моделирование. — 1989. — Т. 1, № 1. — С. 51-90.

24. Емельянов C.B., Коровин С. К., Шепитько А. С. Стабилизация билинейных систем на плоскости посредством постоянных и релейных управлений / / Дифференциальные уравнения. — 2000. — Т. 36, JVS 8. — С. 1021 -1028.

25. Емельянов C.B., Крищенко А. П. Стабилизация нерегулярных систем // Дифференциальные уравнения. — 2012. — Т. 48, Л'" 11. С. 1515-1524.

26. Емельянов C.B., Крищенко А. П. Стабилизируемоеть билинейных систем канонического вида // Доклады Академии наук. - 2012. - Т. 445, № 6. - С. 630-633.

27. Дерр В. 51. Неосцилляция решений линейного квазидифференциального уравнения // Известия Института математики и информатики УдГУ. — 1999. Л'" 1 (16). — С. 3-105.

28. Долгий Ю. Ф. К стабилизации линейных автономных систем дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием / / Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 10. — С. 92-105.

29. Долгий Ю.Ф., Кошкин Е.В. Оптимальная стабилизация линейных периодических конечномерных систем дифференциальных уравнений с последействием // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2013. — Т. 19, JVS 1. — С. 87-98.

30. Долгий Ю.Ф., Кошкин Е.В. Использование конечномерных аппроксимаций в задаче стабилизации периодических систем с последействием // Известия вузов. Математика. — 2015. — № 1. — С. 29-45.

31. Зайцев В. А. Согласованность, достижимость и управление показателями Ляпунова: Дне. ... канд. фпз.-мат. наук: 01.01.02. — Ижевск, 2000. — 102 с.

32. Зайцев В. А. Глобальная ляпуновекая приводимость двумерных управляемых систем с кусочно-постоянными коэффициентами // Вестник Удмуртского университета. Математика. - 2002. - № 1. - С. 3-12.

33. Зайцев В. А. Глобальная достижимость и глобальная ляпуновекая приводимость двумерных и трехмерных линейных управляемых систем с постоянными коэффи-

циентами // Вестник Удмуртского университета. Математика, — 2003, .V" 1. С, 31 -62.

34. Зайцев В. А. Модальное управление линейным дифференциальным уравнением с неполной обратной связью // Дифференциальные уравнения, — 2003, — Т. 39, 1, - С. 133-135.

35. Зайцев В. А. Модальное управление линейным квазидифференциальным уравнением // Вестник Удмуртского университета. Математика. — 2004. .V" 1. С. 3-20.

36. Зайцев В. А. Стационарная стабилизация линейных управляемых систем дифференциальных уравнений с неполной обратной связью // Известия Института математики и информатики УдГУ. — 2006. — 2 (36). — С. 57-60.

37. Зайцев В. А. Равномерная полная управляемость и ляпуновекая приводимость двумерного квазидифференциального уравнения / / Вестник Удмуртского университета. Математика. — 2007. — № 1. — С. 55-66.

38. Зайцев В. А. Об управлении спектром и стабилизации билинейных систем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. —

2008. .V" 2. С. 19 51.

39. Зайцев В. А. Управляемость квазидифференциального уравнения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2009. — №1,-С. 90-100.

40. Зайцев В. А. Управление спектром в линейных системах с неполной обратной связью // Дифференциальные уравнения, — 2009, — Т. 45, № 9, — С, 1320-1328,

41. Зайцев В. А. Согласованность и управление спектром в линейных системах с наблюдателем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2009. — № 3. — С. 50-80.

42. Зайцев В. А. Управление спектром собственных значений билинейных систем // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. —

2009. Т. I I. .V" I. С. 713 715.

43. Зайцев В. А. Согласованность линейных стационарных управляемых систем с наблюдателем специального вида // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2010. — № 1. — С. 22-47.

44. Зайцев В. А. Ляпуновекая приводимость и стабилизация нестационарных систем с наблюдателем // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т. 46, 3. — С. 432442.

45. Зайцев В. А. Управление спектром в билинейных системах // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т. 46, № 7. — С. 1061 -1064.

46. Зайцев В. А. Необходимые и достаточные условия в задаче управления спектром // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т. 46, 12. — С. 1789-1793.

47. Зайцев В. А. Экспоненциальная стабилизация квазилинейных управляемых систем с неполной обратной связью // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2011. — № 1. — С. 47-57.

48. Зайцев В. А. Согласованные системы и управление спектром собственных значений. I // Дифференциальные уравнения. — 2012. — Т. 48, 1. — С. 117-131.

49. Зайцев В. А. Согласованные системы и управление спектром собственных значений. II // Дифференциальные уравнения. — 2012. — Т. 48, 6. — С. 851-859.

50, Зайцев В. А. Стабилизация билинейных нестационарных управляемых систем // Известия Института математики и информатики УдГУ, — 2012, Л'" 1 (39), — С, 5557.

51, Зайцев В. А. Обобщение теоремы Джарджевича-Куинна и стабилизация билинейных управляемых систем с периодическими коэффициентами, I // Дифференциальные уравнения, — 2013, — Т. 49, № 1, — С, 101 -110,

52, Зайцев В. А. Обобщение теоремы Джарджевича-Куинна и стабилизация билинейных управляемых систем с периодическими коэффициентами, II // Дифференциальные уравнения, — 2013, — Т. 49, № 3, — С, 348-357,

53, Зайцев В. А. Стабилизация аффинных управляемых систем с периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения, — 2013, — Т. 49, 12, — С, 16641672.

54, Зайцев В. А. Управление спектром собственных значений в системах с дискретным временем // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления (ВСПУ-2014), Москва. 16-19 июня 2014. ИПУ РАН. - С. 861-867.

55, Зайцев В. А. Согласованность дискретных линейных стационарных управляемых систем с неполной обратной связью специального вида для п = 5 // Вестник Удмуртского университета. Математика, Механика, Компьютерные науки, — 2014, — №3,- С. 13-27.

56, Зайцев В. А. Согласованность и управление спектром собственных значений дискретных билинейных систем, I // Дифференциальные уравнения, — 2014, — Т. 50, №11.-С. 1498-1509.

57, Зайцев В. А. Согласованность и управление спектром собственных значений дискретных билинейных систем, II // Дифференциальные уравнения, — 2015, — Т. 51, №4,-С. 502-513.

58, Зайцев В. А. Достаточные условия стабилизации дискретных нелинейных стационарных систем // Динамика систем и процессы управления: Труды международной конференции, Екатеринбург, Россия, 15-20 сентября 2014, — МММ УрО РАН, 2015, — С. 187-193.

59, Зайцев В. А. Критерии равномерной полной управляемости линейной системы // Вестник Удмуртского университета. Математика, Механика, Компьютерные науки, - 2015. - Т. 25, № 2. - С. 157-179.

60, Зайцев В. А. Равномерная полная управляемость и глобальное управление асимптотическими инвариантами линейной системы в форме Хессенберга / / Вестник Удмуртского университета. Математика, Механика, Компьютерные науки, — 2015, — Т. 25, №3,-С. 318-337.

61, Зайцев В. А. Достаточные условия равномерной глобальной асимптотической стабилизации билинейных неоднородных периодических систем с устойчивой свободной динамикой // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2015. - Т. 20, № 5. - С. 1161 -1163.

62, Зайцев В. А. Об управлении ляпуновекими инвариантами линейной системы в форме Хессенберга // Дифференциальные уравнения, — 2015, — Т. 51, 11, — С, 15551556.

63, Зайцев В. А. Стабилизация стационарных аффинных управляемых систем

с дискретным временем // Дифференциальные уравнения, — 2015, — Т. 51, .V" 12. С. 1658-1668.

64. Зайцев В. А., Максимова Н.В. К свойству согласованности четырехмерных дискретных линейных стационарных управляемых систем с неполной обратной связью специального вида // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2014. — № 1. — С. 19-31.

65. Зайцев В. А., Тонков Е.Л. Достижимость, согласованность и метод поворотов В. М. Миллиошцикова // Известия вузов. Математика. — 1999. —№2 (441). — С, 4556.

66. Иванов А. Г. Линейные управляемые системы в пространстве Степанова. — Свердловск, 1985. — 32 е. — (Препринт / АН СССР. Уральский научный центр. Физико-технический институт).

67. Иванов А. Г., Тонков Е.Л. О равномерной локальной управляемости линейной системы // Дифференциальные уравнения. — 1992. — Т. 28, JVS 9. — С. 1499-1507.

68. Изобов Н. А. Введение в теорию показателей Ляпунова. — Минек: Изд-во БГУ, 2006,- 320 с.

69. Кадец В. М. Куре функционального анализа. — Харьков: Харьковский национальный университет, 2006, — 607 с.

70. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем.

М.: Мир, 1971.- 400 с.

71. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М,: Наука, 1977.

- 744 е.

72. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. — М,: Мир, 1977. - 650 е.

73. Козлов А. А. Об управлении показателями Ляпунова двумерных линейных систем с локально-интегрируемыми коэффициентами // Дифференциальные уравнения.

- 2008. - Т. 44, № 10. - С. 1319 -1335.

74. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М,: Наука, 1968. — 496 е.

75. Коровин С. К., Кудрицкий A.B., Фурсов A.C. К вопросу об одновременной стабилизации линейных объектов // Дифференциальные уравнения. — 2009. — Т. 45, №5.-С. 698-705.

76. Коровин С. К., Фурсов A.C. Одновременная стабилизация: синтез универсального регулятора // Автоматика и телемеханика. — 2011. .V"9. ('.(¡1 73.

77. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию, — М,: Наука, 1975,- 302 с.

78. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения, — М,: Наука, 1959,- 211 с.

79. Красовский Н. Н. О стабилизации неустойчивых движений дополнительными силами при неполной обратной связи // Прикладная математика и механика, — 1963, — Т. 27, вып. 4.-С. 641-663.

80. Красовский Н. Н. Проблемы стабилизации управляемых движений: Дополнение IV // Малкин И. Г. Теория устойчивости движения — М,: Наука, 1966. — С. 475 - 514.

81. Красовский Н. Н. Теория управления движением. — М,: Наука, 1968. — 476 е.

82. Красовский Н. Н. Задачи управления и стабилизации динамических систем // Итоги науки и техн. Сер, Соврем, мат, и ее прил, Темат, обз, — 1998, — Т. 60, — С, 24-41,

83. Красовский Н. Н., Осипов Ю. С. О стабилизации движений управляемого объекта е запаздыванием в системе регулирования // Известия АН СССР, Техническая кибернетика, — 1963, .N'"6. ('..'> 15.

84. Крищенко А. П., Кавинов A.B. Стабилизация аффинных систем // Дифференциальные уравнения, — 2000, — Т. 36, JVS 11, — С, 1482-1487,

85. Крищенко А. П., Панфилов Д. Ю., Ткачев С. Б. Глобальная стабилизация аффинных систем е помощью виртуальных выходов // Дифференциальные уравнения, - 2003. - Т. 39, № 11. - С. 1503-1510.

86. Култышев С. Ю., Тонков Е. Л. Управляемость линейной нестационарной системы // Дифференциальные уравнения. — 1975. — Т. 11, 7. — С. 1206-1216.

87. Ланкастер П. Теория матриц. — М,: Наука, 1978. — 280 е.

88. Леонов Г. А. Проблема Брокетта в теории устойчивости линейных дифференциальных уравнений // Алгебра и анализ, — 2001, — Т. 13, JVS 4. — С. 134-155.

89. Леонов Г. А. Стабилизационная проблема Брокетта // Автоматика и телемеханика. - 2001. 5.-С. 190-193.

90. Леонов Г. А. Проблема Брокетта для линейных дискретных систем управления // Автоматика и телемеханика. — 2002. — № 5. — С. 92-96.

91. Леонов Г. А., Шумафов М. М. Методы стабилизации линейных управляемых систем. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. — 421 е.

92. Ляпунов A.M. Собр. соч.: В 6 т. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. - Т. 2. -473 е.

93. Макаров Е. К. О дискретности асимптотических инвариантов линейных дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т. 34, 10. — С. 1322-1331.

94. Макаров Е. К, Попова С.Н. О локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова системы е некратными показателями // Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т. 33, JVS 4. — С. 495-499.

95. Макаров Е. К., Попова С.Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновеких инвариантов двумерных линейных систем / / Дифференциальные уравнения. - 1999. - Т. 35, № 1. - С. 97-106.

96. Макаров Е. К., Попова С. Н. О глобальной управляемости центральных показателей линейных систем // Известия вузов. Математика, — 1999, — .V" 2 (111). С. 60-67.

97. Макаров Е. К., Попова С. Н. О достаточных условиях локальной пропорциональной управляемости показателей Ляпунова линейных систем / / Дифференциальные уравнения. - 2003. - Т. 39, № 2. - С. 217-226.

98. Макаров Е. К., Попова С.Н. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем. — Минек: Беларуе, навука, 2012. — 407 е.

99. Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла, — М,: Мир, 1984,- 224 е.

100, Марченко В. М. Гибридные дискретно-непрерывные системы. I. Устойчивость и етабилизируемоеть // Дифференциальные уравнения. — 2012. Т. 18. .V" 12.

С. 1658-1671.

101, Метельский A.B. Спектральное приведение, полное успокоение и стабилизация системы с запаздыванием одним регулятором // Дифференциальные уравнения. —

2013. 'Г. 19. .V" 11. С. 1136 1152.

102, Метельский А. В. Полное успокоение и стабилизация системы с запаздыванием через спектральное приведение // Известия РАН. Теория и системы управления. —

2014. ДМ. С.З 21.

103, Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М,: Наука, 1974.

- 480 е.

104, Осипов Ю. С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. — 1965. — Т. 1, JVS 5. — С. 605-618.

105, Петренко П. С., Щеглова А. А. Стабилизация решений нелинейных диффе-ренциально-алгебраичееких уравнений // Автоматика и телемеханика. — 2015. — JVS 4.

- С. 31-50.

106, Попов В. М. Гиперуетойчивоеть автоматических систем, — М,: Наука, 1970. 335 е.

107, Попова С. Н. К вопросу об управлении показателями Ляпунова // Вестник Удмуртского университета. Математика. — 1992. .V" 1. С. 23-39.

108, Попова С. Н. Задачи управления показателями Ляпунова: Дне. ... канд. физ,-мат. наук: 01.01.02, — Ижевск, 1992,— 103 с,

109, Попова С. Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновеких инвариантов периодических систем / / Известия Института математики и информатики УдГУ, — 2002, -№2(25).-С. 79-80.

110, Попова С. Н. Об эквивалентности локальной достижимости и полной управляемости линейных систем // Известия вузов. Математика, — 2002, — № 6 (481), — С, 5053.

111, Попова С. Н. К свойству локальной достижимости линейных управляемых систем // Дифференциальные уравнения, — 2003, — Т. 39, № 1, — С, 50-56,

112, Попова С. Н. К свойству пропорциональной управляемости ляпуновеких инвариантов линейных систем // Дифференциальные уравнения, — 2003, — Т. 39, № 11, — С. 1578-1579.

113, Попова С.Н. Глобальная управляемость полной совокупности ляпуновеких инвариантов периодических систем // Дифференциальные уравнения, — 2003, — Т. 39, №12,- С. 1627-1636.

114, Попова С. Н. Глобальная приводимость линейных управляемых систем к системам скалярного типа // Дифференциальные уравнения, — 2004, — Т. 40, .V" 1. С. 11 46.

115, Попова С.Н. Одновременная локальная управляемость спектра и коэффициента неправильности Ляпунова правильных систем // Дифференциальные уравнения,

- 2004. - Т. 40, № 3. - С. 425-428.

116, Попова С.Н. Управление асимптотическими инвариантами линейных систем: Дис, ,,, докт, физ.-мат, наук: 01,01,02, — Ижевск, 2004, — 264 с,

117, Попова С.Н. О глобальной управляемости показателей Ляпунова линейных систем // Дифференциальные уравнения, — 2007, — Т. 43, № 8, — С, 1048-1054,

118. Попова С. H., Тонков Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем, I // Дифференциальные уравнения, — 1994, — Т. 30, JVS 10, — С, 1687-1696,

119. Попова С. Н., Тонков Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем, II // Дифференциальные уравнения, — 1994, — Т. 30, Л'" 11. С, 1949-1957,

120. Попова С.Н., Тонков Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем, III // Дифференциальные уравнения, — 1995, — Т. 31, JVS 2, — С, 228-238,

121. Попова С. Н., Тонков Е. Л. К вопросу о равномерной согласованности линейных систем // Дифференциальные уравнения, — 1995, — Т. 31, JVS 4, — С, 723-724,

122. Попова С.Н., Тонков Е. Л. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова // Дифференциальные уравнения, — 1997, — Т. 33, JVS 2, — С, 226-235,

123. Руш М., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости,

- М.: Мир, 1980,- 300 с.

124. Садовничий В. А., Григорьян A.A., Конягин C.B. Задачи студенческих математических олимпиад. — М,: Изд-во МГУ, 1987. — 310 с.

125. Сергеев И. Н. Вопросы стабилизируемое™ и дестабилизируемое™ линейных систем малыми в среднем линейными возмущениями // Дифференциальные уравнения,

- 1982. - Т. 18, №11,-С. 2012-2013.

126. Сергеев И. Н. Стабилизируемое™ линейных гамильтоновых систем // Успехи математических наук, — 1985, — Т. 40, JVS 5 (245), — С, 230,

127. Сергеев И. Н. Об управлении решениями линейного дифференциального уравнения // Вестник Московского университета. Серия 1, Математика, Механика, — 2009,

.Y"3. С. 25 33.

128. Смирнов Е. Я. О стабилизации нестационарных линейных управляемых систем // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1970. — № 5. — С. 182-190.

129. Смирнов Е. Я. Некоторые задачи математической теории управления, — Л,: Изд-во Ленингр, ун-та, 1981, — 200 с.

130. Смирнов Е. Я. Стабилизация программных движений, — С.-Петербург: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1997, — 308 с.

131. Справочник по теории автоматического регулирования / Под ред. А, А, Краеов-ского, — М,: Наука, 1987. — 712 с.

132. Тонков Е.Л. Замечание об управляемости линейной периодической системы // Дифференциальные уравнения, — 1978, — Т. 14, 9, — С, 1715-1717,

133. Тонков Е.Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной системы // Дифференциальные уравнения, — 1979, — Т. 15, JVS 10, — С. 1804-1813.

134. Тонков Е. Л. К теории линейных управляемых систем: Дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. — Свердловск, 1983,— 267с.

135. Тонков Е. Л. Равномерная достижимость и ляпуновекая приводимость билинейной управляемой системы // Труды Института математики и механики УрО РАН,

- 2000. - Т. 6, № 1. — С. 209-238.

136. Тонков Е. Л. Ляпуновекая приводимость линейной системы, стабилизация и управление показателями 11 ¡обог,а // Труды Института математики HAH Беларуси. Минск. - 2000. - Т. 4. - С. 146 -155.

137, Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения е разрывной правой частью,

- М.: Наука, 1985,- 224 е.

138, Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ, — М,: Мир, 1989, — 655 с,

139, Щеглова А. А. Стабилизируемоеть линейных алгебро-дифференциальных систем управления е одним входом // Автоматика и телемеханика, — 2010, .V" 9. С. 33 56.

140, Anderson B.D.O., Ilchmann A., Wirth F.R. Stabilizabilitv of linear time-varying systems // Systems & Control Letters, — 2013, — Vol, 62, № 9, — P. 747-755,

141, Anderson B. D. O., Moore J. B. New results in linear system stability // SIAM Journal on Control. - 1969. - Vol. 7, № 3. - P. 398-414.

142, Anderson B. D. O., Silverman L. M. Uniform complete controllability for time-varying systems // IEEE Transactions on Automatic Control, — 1967, — Vol, AC-12. № 6, — P. 790-791.

143, Bacciotti A. Stability by damping control // Differential Equations and Dynamical Systems. - 2002. - Vol, 10. - P. 331-341.

144, Bacciotti A., Biglio A. Some remarks about stability of nonlinear discrete-time control systems // Nonlinear Differential Equations and Applications, — 2001, — Vol, 8, № 4,

- P. 425-438.

145, Bacciotti A., Ceragioli F. Closed loop stabilization of planar bilinear switched systems // International Journal of Control, — 2006, — Vol, 79, № 1, — P. 14-23,

146, Bacciotti A., Rosier L. Liapunov functions and stability in control theory (2nd edition), — Berlin: Springer, 2005,— 237p,

147, Bohl P. Uber Differentialgleiehungen//J, reine und angew. Math, — 1913, — Bd. 144,- S. 284-318.

148, Brockett R. W. A stabilization problem // Open Problems in Mathematical Systems and Control Theory, — London: Springer, 1999, — P. 75-78,

149, Brockett R. W., Byrnes C.I. Multivariable Nvquist criteria, root loci and pole placement: a geometric viewpoint // IEEE Transactions on Automatic Control, — 1981, — Vol, AC-26, № 1. - P. 271-284.

150, Brualdi R. A. Combinatorial verification of the elementary divisors of tensor products // Linear Algebra and its Applications, — 1985, — Vol, 71, — P. 31-47,

151, Brunovsky P. Controllability and linear closed-loop controls in linear periodic systems // Journal of Differential Equations. - 1969. - Vol. 6, № 3. - P. 296-313.

152, Byrnes C.I. Pole assignment by output feedback // Three Decades of Mathematical System Theory, Lecture Notes in Control and Information Sciences /Eds: Nijmeijer H,, Schumacher J, M, — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 1989, — Vol, 135, — P. 31-78,

153, Byrnes C.I. On Broekett's necessary condition for stabilizabilitv and the topology of Liapunov functions on Rn // Communications in Information and Systems, — 2008, — Vol.8, №4,- P. 333-352.

154, Byrnes С. I., Celani F., Isidori A. Omega-limit sets of a class of nonlinear systems that are semigloballv practically stabilized // International Journal of Robust and Nonlinear Control. - 2005. - Vol.15, № 7. - P. 315-333.

155, Byrnes C.I., Isidori A. New results and examples in nonlinear feedback stabilization // Systems & Control Letters. - 1989. - Vol. 12, № 5. - P. 437-442.

156. Byrnes C.I., Isidori A., Willems J. C. Passivity, feedback equivalence, and the global stabilization of minimum phase nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1991. - Vol. 36, № 11. - P. 1228-1240.

157. Byrnes C.I., Lin W. Losslessness, feedback equivalence, and the global stabilization of discrete-time nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1994.

- Vol.39, №1.-P. 83-98.

158. Byrnes C.I., Lin W., Ghosh B.K. Stabilization of discrete-time nonlinear systems by smooth state feedback // Systems & Control Letters. — 1993. — Vol.21, .V" 3. P. 255-263.

159. Byrnes C.I., Wang X. The additive inverse eigenvalue problem for Lie perturbations // SI AM Journal on Matrix Analysis and Applications. — 1993. — Vol. 14, .V" 1. P. 113-117.

160. Chang A. An algebraic characterization of controllability // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1965. - Vol. 10, № 1. - P. 112-113.

161. Chu M. T. Inverse eigenvalue problems // SIAM Review. — 1998. — Vol. 40, № 1.

- P. 1-39.

162. Clarke F.H., Ledyaev Yu. S., Rifford L., Stern R.J. Feedback stabilization and Lvapunov functions // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2000. — Vol. 39, mi.-P. 25-48.

163. Clarke F.H., Ledyaev Yu. S., Sontag E.D., Subbotin A.I. Asymptotic controllability implies feedback stabilization//IEEE Transactions on Automatic Control,— 1997. - Vol. 42, № 10. - P. 1394-1407.

164. Clarke F.H., Ledyaev Yu. S., Stern R.J. Proximal analysis and feedback construction // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2000. — № 1 (suppl,), — P. S72-S89.

165. Clarke F.H., Vinter R. B. Stability analysis of sliding-mode feedback control // Control and Cybernetics. - 2009. - Vol. 38, № 4A. - P. 1169-1192.

166. Coron J. M. Control and nonlinearity. — American Mathematical Society, 2007. — 426 p. — (Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 136).

167. Davison E.J. On pole assignment in linear systems with incomplete state feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1970. - Vol. AC-15, № 3. - P. 348-351.

168. Davison E.J., Chatterjee R. A. A note on pole assignment in linear systems with incomplete // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1971. — Vol. AC-16, A'" 1. P. 98-99.

169. Davison E. J., Wang S. H. On pole assignment in linear multivariable systems using output feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1975. — Vol. AC-20, №4. — P. 516-518.

170. Elliott D. L. Bilinear control systems. — New York: Springer, 2009. — 281 p. — (Applied Mathematical Sciences. Vol. 169).

171. Eremenko A., Gabrielov A. Pole placement by static output feedback for generic linear systems // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2002. — Vol.41, A'" 1. P. 303-312.

172. Fabourg L., Pomet J.-B. Control Lvapunov functions for homogeneous Jurdjevie-Quinn systems //ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. — 2000. —

Vol.5. - P. 293-311.

173. Friedland S. Inverse eigenvalue problems // Linear Algebra and its Applications. — 1977. — Vol. 17, № 1. — P. 15-51.

174. Gauthier J. P. Structure des svstemes non lineaires. — Paris: Editions du CNRS, 1984,- 307 p.

175. Gauthier J. P., Bornard G. Stabilisation des svstemes nonlineaires // Outils et Methodes Mathématiques pour L'automatique / Ed: Landau I.D. — Paris: CNRS, 1981. — P. 307-324.

176. Grüne L., Wirth F. Feedback stabilization of discrete-time homogeneous semilinear systems // Systems & Control Letters. — 1999. — Vol. 37, № 1. — P. 19-30.

177. Helton W., Rosenthal J., Wang X. Matrix extensions and eigenvalue completions, the generic case // Transactions of the American Mathematical Society — 1997. — Vol. 349, № 8. - P. 3401 - 3408.

178. Hermann R., Martin C. Applications of algebraic geometry to systems theory: part 1 // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1977. - Vol. AC-22, № 1. - P. 19-25.

179. Ikeda M., Maeda H., Kodama S. Stabilization of linear systems // SIAM Journal on Control. - 1972. - Vol. 10, №4. - P. 716-729.

180. Jameson A. Design of a single-input system for specified roots using output feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1970. - Vol. AC-15, № 3. - P. 345- -348.

181. Jurdjevic V., Quinn J. P. Controllability and stability // Journal of Differential Equations. - 1978. - Vol. 28, № 3. - P. 381 - 389.

182. Kaiman R. E. Contribution to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. - 1960. - Vol. 5, № 1. - P. 102-119.

183. Kalouptsidis N., Tsinias J. Stability improvement of nonlinear systems by feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1984. - Vol. 29, № 4. - P. 364-367.

184. Kim M., Rosenthal J., Wang X. Pole placement and matrix extension problems: a common point of view // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2004. — Vol. 42, №6,- P. 2078-2093.

185. Kimura H. Pole assignment by gain output feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1975. - Vol. AC-20, № 4. - P. 509-516.

186. Kucera V., De Souza C.E. A necessary and sufficient condition for output feedback stabilizabilitv // Automatica. - 1995. - Vol. 31, № 9. - P. 1357-1359.

187. Lancaster P., Tismenetsky M. The theory of matrices. Second edition: with applications. — San Diego: Academic Press, 1985, — 570 p.

188. Ledyaev Yu. S., Vinter R. B. Discontinuous feedback in nonlinear control: stabilization under persistent disturbances // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics.

- 2010. - Vol. 268, № 1. - P. 222-241.

189. Lee K. K., Arapostathis A. Remarks on smooth feedback stabilization of nonlinear systems // Systems & Control Letters. - 1988. - Vol. 10, № 1. - P. 41-44.

190. Leonov G. A., Shumafov M. M. Vibrational stabilization and the Brockett problem // Differential Equations. - 2011. - Vol. 47, № 13. - P. 1853-1915.

191. Lin W. Input saturation and global stabilization of nonlinear systems via state and output feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1995. — Vol.40, №4.

- P. 776-782.

192. Lin W. Feedback stabilization of general nonlinear control systems: A passive system approach // Systems & Control Letters, — 1995, — Vol, 25, № 1, — P. 41-52,

193. Lin W. Bounded smooth state feedback and a global separation principle for nonaffine nonlinear systems // Systems & Control Letters, — 1995, — Vol, 26, № 1, — P. 41-53,

194. Lin W. Further results on global stabilization of discrete nonlinear systems // Systems & Control Letters. - 1996. - Vol. 29, № 1. - P. 51-59.

195. Lin W. Global asymptotic stabilization of general nonlinear systems with stable free dynamics via passivity and bounded feedback // Automatica. — 1996. — Vol. 32, № 6. — P. 915-924.

196. Lin W., Byrnes C. I. KYP lemma, state feedback and dynamic output feedback in discrete-time bilinear systems // Systems & Control Letters. — 1994. — Vol.23, №2,-P. 127-136.

197. Luenberger D. G. Canonical forms for linear multivariable systems // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1967. - Vol. AC-12. № 3. - P. 290-293.

198. Luesink R., Nijmeijer H. On the stabilization of bilinear systems via constant feedback // Linear Algebra and its Applications. — 1989. — Vol. 122-124. — P. 457-474.

199. Malisoff M., Mazenc F. Constructions of strict Lvapunov functions. — London: Springer-Verlag, 2009. — 386 p.

200. Mazenc F., Malisoff M. Further constructions of control-Lvapunov functions and stabilizing feedbacks for systems satisfying the Jurdjevie-Quinn conditions // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2006. — Vol. 51, № 2. — P. 360-365.

201. Mazenc F., Malisoff M. Strict Lvapunov function constructions under LaSalle conditions with an application to Lotka-Volterra systems // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2010. - Vol. 55, № 4. - P. 841 - 854.

202. Mazenc F., Malisoff M. Asymptotic stabilization for feedforward systems with delayed feedbacks // Automatica. - 2013. - Vol. 49, № 3. - P. 780-787.

203. Outbib R., Sallet G. Stabilizabilitv of the angular velocity of a rigid body revisited // Systems & Control Letters. - 1992. - Vol. 18, № 2. - P. 93-98.

204. Popov V. M. Hvperstabilitv and optimalitv of automatic systems with several control functions // Revue Roumaine des Sciences Techniques. Ser. Eleetroteehn. et Energ.— 1964. - Vol. 9, № 4. - P. 629 - 690.

205. Riesz M. Sur les ensembles compacts de fonetions sommables // Acta Litt. Sei. Szeged. - 1933. - Vol. 6. .V" 2 3. P. 136-142.

206. Rosenthal J., Schumacher J. M., Willems J. C. Generic eigenvalue assignment by memorvless real output feedback // Systems and Control Letters. — 1995. — Vol. 26, № 4. - P. 253-260.

207. Rosenthal J., Sottile F. Some remarks on real and complex output feedback // Systems & Control Letters. - 1998. - Vol. 33, № 2. - P. 73-80.

208. Rosenthal J., Wang X. Inverse eigenvalue problems for multivariable linear systems // Systems and Control in the Twenty-First Century / Eds: Byrnes C.I., Datta B.N., Gilliam D., Martin C. F. - Boston: Birkhauser, 1997. - P. 289-311.

209. Rosenthal J., Willems J. C. Open problems in area of pole placement // Open problems in Mathematical Systems and Control Theory / Eds: Blondel V. D., Sontag E.D., Vidyasagar M,, Willems J. C. — London: Springer, 1999. — Chapter 37. — P. 181-191.

210. Silverman L. M. Transformation of time-variable systems to canonical (phasevariable) form // IEEE Transactions on Automatic Control, — 1966, — Vol, AC-11, №2,-P. 300-303.

211. Silverman L.M., Anderson B.D.O. Controllability, observability and stability of linear systems // SIAM Journal on Control. - 1968. - Vol. 6, № 1. - P. 121 -130.

212. Silverman L. M., Meadows H. E. Degrees of controllability in time-variable linear systems // Proceedings of the National Electronics Conference. — 1965. — Vol. 21. — P. 689693.

213. Silverman L. M., Meadows H.E. Controllability and observability in timevariable linear systems // SIAM Journal on Control. — 1967. — Vol. 5, № 1. — P. 64-73.

214. Slemrod M. Stabilization of bilinear control systems with applications to noneon-servative problems in elasticity // SIAM Journal on Control and Optimization. — 1978. — Vol. 16, №1.- P. 131-141.

215. Sontag E. D. Mathematical control theory. Deterministic finite-dimensional systems. — New York: Springer, 1998. — 532 p.

216. Sontag E. D. Input to state stability: basic concepts and results // Nonlinear and Optimal Control Theory. Lecture Notes in Mathematics. — 2008. — Vol. 1932. — P. 163-220.

217. Sridhar В., Lindorff D.P. Pole placement with constant gain output feedback // International Journal of Control. - 1973. - Vol. 18, № 5. - P. 993-1003.

218. Syrmos V. L., Abdallah C.T., Dorato P., Grigoriadis K. Static output feedback - a survey // Automatica. - 1997. - Vol. 33, № 2. - P. 125-137.

219. Tarasyev A. M., Usova A. A. Nonlinear stabilizer constructing for two-sector economic growth model // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2010. — Т. 16, №5,- С. 297-307.

220. Tarasyev A.M., Usova A. A. Stabilizing the Hamiltonian system for constructing optimal trajectories // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2012. — Vol. 277, № 1. — P. 248-265.

221. Tarasyev A. M., Usova A. A. Global stabilization of the Hamiltonian system in the two-sector economic growth model // IFAC PapersOnLine, Proceedings of IFAC Workshop on Control Applications of Optimization. Rimini, Italy, 2012. — Vol. 15. Part 1. — P. 1-6.

222. Tsinias J. Stabilizabilitv of discrete-time nonlinear systems //IMA Journal of Mathematical Control and Information. - 1989. - Vol. 6, № 2. - P. 135-150.

223. Wang X. Pole placement by static output feedback // Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control. - 1992. - Vol. 2, № 2. - P. 205-218.

224. Willems J., Hesselink W. Generic properties of the pole placement problem // Proceedings of 7th IFAC World Congress. 1978. - P. 1725-1729.

225. Wolovich W. A. On the stabilization of controllable system // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1968. - Vol. AC-13. № 5. - P. 569-572.

226. Wonham W. M. On pole assignment in multi-input controllable linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1967. - Vol. AC-12. № 6. - P. 660-665.

227. Zaitsev V. A. Lyapunov redueibilitv and stabilization of nonstationary systems with observer // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2007. - Т. 12, № 4. - С. 451-452.

228, Zaitsev V. A. Consistency and pole assignment in linear systems with incomplete feedback // IFAC PapersOnLine, Proceedings of IFAC Workshop on Control Applications of Optimization, Jyvâskylâ, Finland, 2009, — Vol, 7, Part 1, — P. 344-345,

229, Zaitsev V. A. Global asymptotic stabilization of bilinear control systems with periodic coefficients // Вестник Удмуртского университета. Математика, Механика, Компьютерные науки, — 2012, — № 2, — С, 17-27,

230, Zaitsev V. A. Global asymptotic stabilization of affine periodic systems by damping control // IFAC PapersOnLine, Proceedings of 5th IFAC International Workshop on Periodic Control Systems, Caen, France, 2013, — Vol, 5, Part 1, — P. 166-170,

231, Zaitsev V. A. Sufficient conditions for global asymptotic stabilization of nonlinear periodic systems with stable free dynamics // Abstracts of International Conference on Mathematical Control Theory and Mechanics, Suzdal, 2015, — P. 188-189,