Стохастическое моделирование макроэкономических процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Соловьев, Владимир Игоревич

• Соловьев, Владимир Игоревич
• кандидат экономических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Соловьев, Владимир Игоревич

список использованных обозначений. введение.

глава 1. современные подходы к учёту неопределённости, случайности и риска при анализе макроэкономических процессов.

1.1. Неопределённость, случайность и риск в экономических исследованиях.

1.2. Нелинейные детерминированные модели макроэкономических процессов.

1.3. Дискретные стохастические экономико-математические модели.

1.4. Непрерывные стохастические модели финансового сектора экономики.

1.5. Термодинамические аналогии в исследовании макроэкономических процессов.

1.6. Резюме.

глава 2. стохастическое моделирование односекторной национальной экономики.

2.1. Стохастическое обобщение модели Солоу.

2.2. Исследование модели.

2.3. Логарифмически стационарные траектории экономики.

2.4. Детерминированные характеристики показателей развития односекторной экономики.

2.5. Резюме.

глава 3. стохастическое моделирование экономики российской федерации.

3.1. Анализ макроэкономических показателей Российской Федерации по методу нормированного размаха (7Z / S -анализ).

3.2. Энтропийный анализ макроэкономических показателей Российской Федерации.

3.3. Параметрическая идентификация односекторной стохастической динамической модели экономики Российской Федерации.

3.4. Резюме.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастическое моделирование макроэкономических процессов»

Актуальность темы исследования. Одним из основных постулатов современной политической экономии и математической экономики является общая теория экономического равновесия, основанная на утверждении Ж.-Б. Сэя (XIX в.) о том, что рыночные отношения автоматически приводят к состоянию равновесия, т. е. равновесие является глобально устойчивым. Реальная экономическая система никогда не находится ни в состоянии статического равновесия, ни в состоянии сбалансированного роста, о чём свидетельствуют экономические кризисы, регулярно возникающие в последнее время в различных странах мира.

Как отмечают А. А. Петров, И. Г. Поспелов и А. А. Шананин, «в любой экономической системе у людей достаточно свободы, чтобы действия их всех вместе выглядели хаотическими» [70, с. 34]. Экономика серьёзно подвержена влиянию случайных факторов — многие события, влияющие на макроэкономическую динамику, являются случайными: экономическая конъюнктура, производственная неопределённость, сбор большого или малого урожая, научные открытия и др. Поэтому стохастические математические модели являются наиболее адекватным отражением экономической реальности.

Любые решения об управлении экономикой страны должны приниматься на основе тщательного анализа имеющейся информации, с учётом оценок возможных последствий и рисков. Даже если модель построена точно, практические предсказания и управление соответствующей экономической системой могут оказаться невозможными, как из-за влияния экзогенных случайных факторов, так и вследствие неустранимых ошибок измерений.

В современной математической экономике распространены следующие типы моделей макроэкономической динамики: детерминированные модели с дискретным временем; детерминированные модели с непрерывным временем; стохастические модели с дискретным временем.

В последнее время при моделировании финансовых процессов появляются и стохастические модели с непрерывным временем, но такие модели практически не применяются при исследовании динамики макроэкономических систем в целом.

Вместе с тем, использование стохастических моделей с непрерывным временем при анализе макроэкономических процессов актуально, так как аналитическое исследование таких моделей технически проще, чем исследование аналогичных систем с дискретным временем (в силу так называемого «проклятия размерности», впервые отмеченного Р. Беллманом).

Диссертация выполнена в рамках плановой госбюджетной научно-исследовательской работы Государственного университета управления по теме «Математические методы исследования экономики» [62], [63] (№ гос. регистрации 01.960.010838, код темы по ГРНТИ 06.35.51).

Цель исследования. Целью диссертационного исследования является разработка и анализ макромодели экономической динамики, учитывающей влияние на эту динамику случайных факторов.

Задачи исследования. Достижение поставленной цели проводится посредством последовательной реализации еледующих основных задач:

• анализ и обобщение современных подходов к учёту случайных факторов при анализе макроэкономических процессов;

• выявление макроэкономических показателей, на которые случайные факторы оказывают существенное влияние;

• разработка теоретических подходов к построению математической модели национальной экономики, учитывающей влияние случайных факторов;

• построение односекторной стохастической динамической модели национальной экономики и её исследование;

• проверка по статистическим данным гипотезы о применимости построенной модели к реальной экономической системе (экономике России);

• проведение практических экспериментов с построенной моделью;

• разработка индикатора экономических кризисов.

Объект исследования. Объектом исследования является национальная экономическая система.

Предмет исследования. Предметом исследования выступают социально-экономические процессы, протекающие в национальной экономике.

Методология и методика исследования. Теоретической и методологической основой диссертационной работы послужили исследования в области математического моделирования макроэкономической динамики, теории случайных процессов и стохастического исчисления, а также теории вероятностей, математической статистики и эконометрики. В ходе исследования были использованы труды отечественных и зарубежных экономистов и математиков: В. И. Аркина, Л. Багиелье (L. Bachelier), Ф. Блэка (F. Black), Н. Винера (N. Wiener), К. Гардинера (К. Gardiner), А. Дик-сита (A. Dixit), И. В. Евстигнеева, Ж. Жакода (J. Jacod), В.-Б. Занга (W.-B. Zhang), К. Ито (К. ltd), М. Каца (М Kaz), В. А. Колемаева, А. Н. Колмогорова, Р. Ш. Липцера, Р. Мертона (R. Merton), А. А. Петрова, Р. Пиндайка (R. Pindyck), И. Г. Поспелова, Э. Л. Преемана, П. Самуэльсона (P. Samuelson), А. Д. Сластникова, А. Д. Смирнова, Р. Солоу (R. Solow), С. Тарновского (S. Turnovsky), А. А. Шананина, А. Н. Ширяева, М. Шоулза (М. Scholes) и других авторов.

Для расчётов были использованы программные средства Microsoftm Visual С++™ и Microsoft® Excel™.

Научная новизна. Автором получены и выносятся на защиту следующие новые научные результаты:

• в основных предположениях модели Солоу построена одно-секторная стохастическая динамическая модель экономики с непрерывным временем;

• получено точное аналитическое решение этой модели, доказаны теоремы о поведении математических ожиданий и дисперсий макроэкономических показателей национальной экономики, описываемой этой моделью;

• по статистическим данным об экономике Российской Федерации проведена параметрическая идентификация модели, сделаны практические выводы о динамике российской экономики;

• проведён анализ макроэкономических показателей Российской Федерации по методу нормированного размаха (статистический Я/«5-анализ);

• проведён энтропийный анализ макроэкономических показателей Российской Федерации с помощью метода падающих прямоугольников;

• предложен метод прогнозирования валютных кризисов на основе анализа относительного изменения энтропии динамики обменных курсов валют.

Достоверность. Достоверность полученных результатов обеспечивается построением экономически обоснованных математических моделей, использованием для исследования этих моделей достоверных математических методов, совпадением частных случаев с известными результатами. Основные положения работы сформулированы в виде теорем с доказательствами.

В качестве материала, на котором оцениваются реальные параметры экономики Российской Федерации, используются исторические данные Госкомстата России и Центробанка России.

Практическая значимость. Предложенная одно-секторная стохастическая динамическая модель экономики позволяет получать своевременные качественные и количественные выводы не только об ожидаемых последствиях тех или иных экономических решений, но и о сопутствующих этим решениям рисках.

Анализ относительного изменения энтропии динамики обменных курсов позволяет получить сигнал о грядущем наступлении валютного кризиса заранее, за один или несколько месяцев до его наступления.

Результаты работы могут быть использованы:

• государственными структурами как инструмент поддержки принятия решений при макроэкономическом регулировании с целью оценки возможных последствий и рисков;

• финансовыми институтами как индикатор наступления валютных кризисов с целью своевременного страхования рисков;

• учебными заведениями при обучении, переподготовке и консультировании работников соответствующих государственных регулирующих структур, государственных и коммерческих финансовых институтов.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на: семинарах кафедры прикладной математики ГУУ (Москва, ГУ У, 1997-2000 гг.); семинаре «Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур» (Москва, МГОПУ, 1999 г.); VI Международной научно-методической конференции «Современные информационные технологии в профессиональном образовании» (Москва, МГТА, 2000 г.); 15-й Всероссийской научной конференции молодых учёных и студентов «Реформы в России и проблемы управления-2000» (Москва, ГУУ, 2000 г.); научной конференции «Математические методы исследования экономики» кафедры прикладной математики ГУУ (Москва, ГУУ, 2000 г.); VII Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи, МИ РАН им. В.А. Стеклова, РостГСУ, Ростовское математическое общество, Редакция журнала «ТВП», СочГУТКД, 2000 г.); Первом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, Редакция журнала «Обозрение прикладной и промышленной математики», РостГСУ, Ростовское математическое общество, СамГУ, СочГУТКД, 2000 г.); Международной научной конференции «Актуальные проблемы управления-2000» (Москва, ГУУ, ОЭ РАН, Мэрия Мои сквы, 2000 г.); Российском научном симпозиуме «Математическое и компьютерное моделирование социально-экономических процессов» (Нарофоминск, ГУУ, ЦЭМИ РАН, РФФИ, РАЕН, 2000 г.); Международной научной конференции по фундаментальным наукам «Ломоно-сов-2001» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2001 г.); Втором Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Самара, СамГУ, Редакция журнала «Обозрение прикладной и промышленной математики», РостГЭА, 2001 г.).

Внедрение результатов исследования. Результаты исследования нашли отражение в практической деятельности Службы информатизации ВГТРК по определению объёмов государственной поддержки радио- и телевизионных передающих центров (акт о внедрении от 18.01.2001 г.).

Материалы исследования были использованы в научно-исследовательской работе ГУУ по теме «Математические методы исследования экономики» [62]-[63] (№ гос. регистрации 01.960.010838, код темы по ГРНТИ 06.35.51). В развитие идей, изложенных в третьей главе диссертации, студентом Е.С. Долматовым под руководством соискателя была выполнена работа, занявшая третье место на конкурсе студенческих научных работ ГУУ в 2000 г. Ряд подходов, разработанных в диссертационном исследовании, составил методологическую основу специализированных направлений учебного процесса в Институте информационных систем управления ГУУ. Эти подходы используются при преподавании дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» студентам специальности «Математические методы в экономике» - 061800, а также в деятельности Студенческого научного кружка «Стохастические модели в математической экономике и финансовой математике», работающего при кафедре прикладной математики ГУУ. По материалам исследования опубликованы учебное пособие [93] и проблемная лекция [92] для студентов специальности «Математические методы в экономике» - 061800 (акт о внедрении от 08.06.2001 г.).

Публикации. Основной материал диссертационной работы опубликован в 17 печатных научных работах общим объёмом 224 с. (авторский объём 219 с.) [92]-[108] и двух рукописных научных отчётах [62]-[63]. Из совместных публикаций в диссертацию включён лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, трёх глав, выводов, списка использованной литературы и приложений, содержит 138 страниц сквозной нумерации, в том числе 7 иллюстраций и 2 таблицы; список использованной литературы включает 125 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Соловьев, Владимир Игоревич

Основные выводы

1. В настоящей работе критически осмыслен опыт существующих теоретических подходов к построению математических моделей макроэкономических процессов с учётом случайных факторов, и в основных предположениях модели Солоу построено её стохастическое обобщение, правомерность использования которого при моделировании национальной экономики Российской Федерации подтверждается анализом показателей развития российской экономики по методу нормированного размаха.

2. В случае производственной функции Кобба-Дугласа получено точное аналитическое решение односекторной стохастической динамической модели экономики и исследованы детерминированные характеристики показателей развития макроэкономической системы, описываемой моделью. Показано, что при управлении экономикой как одним сектором невозможно избавиться от неопределённости, риска.

3. Исследование динамики обменного курса RUR/USD, проведённое методом нормированного размаха по данным Центробанка России о динамике курса за 1995-2000 гг., выявило его сложную фрактальную структуру, что говорит об увеличении риска валютных операций с увеличением их срока по сравнению с операциями на рынках акций и облигаций.

4. Программно реализован метод падающих прямоугольников для вычисления статистической энтропии по данным о реализациях временных рядов.

5. Предложено использовать относительное изменение энтропии обменного курса (рассчитанной по методу падающих прямоугольников) в качестве индикатора валютных кризисов. Практическая проверка такого индикатора произведена на примере кризиса 11.10.1994 г. (мог быть предсказан примерно за 20 дней до его наступления) и кризиса 17.08.1998 г. (мог быть предсказан примерно за 6 месяцев до его наступления). Расчёт энтропии проводился по методу падающих прямоугольников.

6. На основе анализа односекторной стохастической динамической модели экономики с учетом полученных по статистическим данным оценок её коэффициентов сделан вывод о том, что в среднем наблюдается замедляющееся падение ВВП России за счёт «проедания» фондов при конечной дисперсии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Соловьев, Владимир Игоревич, 2001 год

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. -М.: ЮНИТИ, 1998.

2. АмирР., Евстигнеев И.В. (Amir REvstigneev I.V.) A stochastic version of Polterovich's model: exponential turnpike theorems for equilibrium paths I I Macroeconomic Dynamics. 1999. -V. 3. - № 2. - P. 149166.

3. Аркин В.И, (Arkin V.I.) Economic dynamics with discrete changes in technology: stochastic approach // Matecon. 1990. - V. 26. -№3.

4. Аркин В.И., Евстигнеев И.В. Вероятностные модели управления и экономической динамики. М.: Наука, 1979.

5. Бабиков В.Г. Ценные бумаги. Прикладные методы прогнозирования. М.: МФТИ, 1999.

6. Башелье Л. (Bachelier L.) Theorie de la speculation//Annales de l'Ecole Normale Supcrieure. 1900. - V. 17. - P. 21-86.

7. Бекман М.Дж., Пу Т. (Beckman M.J., Рии Т.) Spatial economics: density, potential and flow. Amsterdam, Holland: North-Holland, 1985.

8. Белкина Т.А. Асимптотическая оптимальность траекторий в стохастических моделях экономического роста // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2000. - Т. 7. - № 1. - С. 176-177.

9. Бенхабиб Дж., ДэйР.Х. (Benhabib J., Day R.H.) A characterization of erratic dynamics in the overlapping generations model // Journal of Economic Dynamics and Control. 1982. - V. 4. - P. 37-55.

10. БенхабибДж., ДэйР.Х. (Benhabib J., Day R.H.) Rational choice and erratic behaviour// Review of Economic Studies. 1981. -V. 48.-P. 459-471.

11. Блэк Ф., Шоулз M. (BlackF., Scholes M.) The pricing of options and corporate liabilities//Journal of Political Economy. 1973. -V. 81. -№ 3. - P. 637-659.

12. Болдрии M., Монтруччио JI. (Boldrin M., Montrucchio L.) On the indeterminacy of capital accumulation paths // Journal of Economic Theory. 1986. - V. 40. - P. 26-39.

13. Вайдлих У., ХаагГ. (Weidlich W., Haag G.) Quantitative sociology. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1983.

14. Винер H. {Wiener N.) Differential space // Journal of Mathematical Physics, Massachusetts Institute of Technology. 1923. - V. 2. -P. 131-174.

15. Волков И.К., Зуев C.M., Цветкова F.M. Случайные процессы. М.: Издательство МГТУ, 1999.

16. Гардин ер К. В. (Gardiner C.W.) The stochastic handbook for physics, chemistry and natural sciences. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1983. (Рус. пер. Гардин ер K.B. Стохастические методы в естественных науках. - М.: Мир, 1986).

17. Демпстер М.А.Х., Евстигнеев И.В., Пирогов С.A. (Dempster М.А.Н., Evstigneev I.V., Pirogov S.A.) Balanced states in stochastic economies with locally interacting agents // Stochastics and Stochastics Reports. 1998. - V. 64. - P. 235-253.

18. Денкерэ P., ПеликанС. (Deneckere R., Pelikan S.) Competitive chaos // Journal of Economic Theory. 1986. - V. 6. - P. 527-545.

19. Диксит А., ПиндайкР. (Dixit A., PindyckR.) Investment under uncertainty. Princeton, USA: Princeton University Press, 1994.

20. Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

21. ДэвисЕ. (Davis Е.Р.) Debt, financial fragility and systemic risk. Oxford, UK: The Clarendon Press, 1992.

22. ДэйР.Х. (Day R.H.) The emergence of chaos from classical economic growth// Quarterly Journal of Economics. 1983. - V. 98. -P. 201-213.

23. Евстигнеев И.В. Оптимальное экономическое планирование с учетом стационарных случайных факторов // Доклады АН СССР. 1972.-№5.

24. ЖакодЖ., Ширяев А.И. Предельные теоремы для случайных процессов. Т. 1. М.: Физматлит, 1994.

25. Задорожный ВТ. О модели Леонтьева развития экономики // Математические методы и модели в социальных науках. Труды вторых математических чтений МГСУ. М.: МГСУ, 1994. - С. 43-47.

26. Закс Дж., Торнелл А., Веласко A. (Sachs J., Tornell А., VelascoA.) Financial crises in emerging markets: the lessons from 1995 // Economic Activity. 1996. - V. 1. - P. 147.

27. Занг В.-Б. (Zhang W.-B.) Existence of aperiodic time-dependent solutions in optimal growth economy with three sectors // International Journal of Systems Science. 1989. - V. 20. - № 10. - P. 19431953.

28. ЗангВ.-Б. (Zhang W.-B.) Synergetic economics: time and change in nonlinear economics. Berlin, Germany: Springer-Verlag. -1991. (Рус. пер. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. - М.: Мир, 1999).

29. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975.

30. Ито К. (ltd К.) On a formula concerning stochastic differentials // Nagoya Mathematical Journal. 1951 - № 3. - P. 55-65.

31. Ито К (ltd К.) On stochastic differential equations // Memoirs of the American Mathematical Society. 1951 - V 4. - P. 1-51.

32. Ито К. Вероятностные процессы. Вып. 1, 2.- М.: ИЛ, 1960; М.: Мир, 1963.

33. Капица С.Л., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Наука, 1997.

34. Кеидалл М. (Kendall М.) The analysis of economic time-series. Part 1. Prices I I Journal of Royal Statistical Society. 1953. -V. 96.-P. 11-25.

35. Кобб Ч.В., Дуглас П.Х. (Cobb Ch. W., Douglas P.H.) A theory of production // American Economic Review. 1928. - V. 18. -№ 1 (Supplement). - P. 139-165.

36. Колемаев B.A. Трёхсекторная модель экономики // Труды Международной академии информатизации, отделение АПК. -Вып. 2. М.: ООО «Копия-Принт», 1997.

37. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ,1998.

38. Колемаев В.А. Исследование инфляции и налогообложения с помощью трехсекторной модели экономики // Вестник Университета / ГУУ. 1999. - № 1. - С. 52-66.

39. Колемаев В.А., Белова Е.Ю. Моделирование внешней торговли страны с сырьевой направленностью экономики // Сборник научных сообщений Международной академии наук высшей школы. 1999.

40. Колемаев В.А. Моделирование сбалансированного экономического роста // Вестник Университета/ ГУУ. 2000. 1. - С. 41-47.

41. Колемаев В.А. Детерминанты внешней торговли // Вестник Университета, серия Информационные системы управления / ГУУ.2000.-№1.-С. 53-64.

42. Колемаев В.А., Белова Е.Ю. Исследование условий целесообразности вхождения национальной экономики в мировой рынок // Вестник Университета, серия Информационные системы управления / ГУУ. 2000. - № 1. - С. 47-52.

43. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: ФАЗИС, 1998 (1-е изд. — 1933 г.).

44. Кузнецов С.Е., Евстигнеев И.В. Модели экономического роста, учитывающие случайные факторы // Экономика и математические методы. 1982. - Т. 18. - № 6.

45. Ли Т. К, Йорке Й. (Li T.Y., YorkeY.) Period three implies chaos I I American Mathematical Monthly. 1975. - V. 82. - P. 985-992.

46. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. -М.: Наука, 1974.

47. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

48. Лоренц Е.Н. {Lorenz E.N.) Deterministic nonperiodic flow// Journal of Atmosphere Science. 1963. - V. 20. - P. 130-141.

49. Лоренц X.B. {Lorenz H.W.) International trade and the possible occurrence of chaos// Economics Letters. 1987. - V. 23. -P.135-138.

50. Лоренц X.B. {Lorenz H. W.) Nonlinear dynamical economics and chaotic motion. Berlin, Germany: Springer Verlag, 1993.

51. Лукас P. {Lucas R.) An equilibrium model of the business cycle // Journal of Political Economy. 1975. - V. 83. - P. 1113-1144.

52. Лукас P. {Lucas R.) Some international evidence on output-inflation trade-offs// American Economic Review. 1973. - V. 63. -№ 1. - P. 3.

53. Ma Ш.-К. {Ma Sh.-K.) Calculation of entropy from data of motion // Journal of Statistical Physics. 1981. - V. 26. - № 2. - P. 221-240.

54. Мандельброт Б. {Mandelbrot В.В.) Une classe de processus stochastiques homothetiques a soi: application a la loi climatologique de H.E. Hurst // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. Paris. 1965. -V. 240.-P. 3274-3277.

55. Мандельброт Б. {Mandelbrot В.В.) Some noises with 1/f spectrum: a bridge between direct current and white noise // IEEE Transactions on Information Theory. 1967. - April.

56. Мандельброт Б. {Mandelbrot B.B.) Robustness of the re-scaled range R/S in the measurement of noncyclic long-run statistical dependence// Water Resources Research. 1969. - V. 5. - № 5. - P. 967988.

57. Манделъброт Б. (Mandelbrot В.В.) Statistical methodology for non-periodic cycles: from the со variance to R/S analysis // Annals of Economic and Social Measurement. 1972. - V. 1. - № 3. - P. 259-290.

58. Манделъброт Б. (Mandelbrot В.В.) Limit theorems of the self-normalized range for weakly and strongly dependent process// Zeitschrift Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 1975. -V. 31.-P. 271-285.

59. Манделъброт Б. (Mandelbrot В.В.) Fractals: form, chance and dimension. San Francisco, USA: Freeman, 1977.

60. Марков А.А. Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга // Известия физико-математического общества при Казанском университете. 1906. - Т. 15. - №2. -С.135-156.

61. Мертон P. (Merton R.C.) Theory of rational option pricing//Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. -№4 (Spring).-P. 141-183.

62. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Математические мтеоды и модели анализа экономики» / Сост. В.А. Колемаев. М.: ГАУ, 1997.

63. Найт Ф.Х. {Knight F.H.) Risk, uncertainty and profit. London: School of Economics, 1933.

64. О'Брайен Дж., Шривастава С. {O'Brien J., Shrivastava S.)l nvestments: A Visual Approach. Option Valuation and Option Tutor. . Cincinnati, USA: South-Western College Publishers, 1995.

65. Осборн M. {Osborne M.) Brownian motion in the stock market // Operations Research. 1959. - V. 7. - P. 145-173.

66. Петров А. А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.

67. Питере Е. {Peters Е.) Chaos and order in the capital markets: a new view of cycles, prices, and market volatility. New York, USA: Wiley, 1991.

68. Питере E. {Peters E.) Fractal market analysis: applying chaos thoery to investment and economics. New York, USA: Wiley, 1994.

69. Плешивцев O.O. Оценка кризисных явлений на валютном рынке. Диссертация на соискание учёной степени кандидата экономических наук: 08.00.13. М.: ГУУ, 2000.

70. ПуТ. {Рии Т.) Regional modeling and structural stability// Environment and Planning. 1979. - V. 11.-P. 1431-1438.

71. Пу Т. (Рии Т.) Outline of a trade cycle model in continuous space and time // Geographical Analysis. 1982. - V. 14. - P. 1-9.

72. Пу Т. (Рии Т.) A simplified model of spatiotemporal population dynamics // Environment and Planning. 1985. - V. 17. - P. 1269.

73. Пу Т. (Рии Т.) Multiplier-accelerator models revisited // Regional Science and Urban Economics. 1986. - V. 16. - P. 81-95.

74. Пу Т. (Рии Т.) Complex dynamics in continuous models of the business cycle // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. -Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1987. P. 293-327.

75. Пу Т. (Рии Т.) Nonlinear economic dynamics. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1997. (Рус. пер. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. - Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 2000).

76. Пу Г., Вайдлих У. (Рии Т., Weidlich W.) The stability of hexagonal tessellations // Karlsruhe Papers in Economic Policy Research. -1986. V. 3. - P. 133-158.

77. Разжевайкин B.H. Методы исследования устойчивости в модели рынка при наличии у его участников спекулятивных мотивов // Исследование операций. М.: ВЦ РАН, 1999. - С. 46-60.

78. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. М.: Наука, 1989.

79. Рубин А.Б. Лекции по биофизике. М.: Издательство Московского университета, 1994.

80. Самуэльсон П. (Samuelson P.A.M.) Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. 1965. - V. 6. - P. 41-49.

81. Сарджент Т. (Sargent Т.) Macroeconomic theory. -New York, USA: Academic Press, 1989.

82. Селезнёва Т.В., Тутубалин В.Н., УгерЕ.Г, Исследование прикладных возможностей некоторых моделей стохастической финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2000. - Т. 7. - № 2. - С. 211-238.

83. Сергеев ЯМ Пределы рациональности. М.: ФАЗИС,1999.

84. Смирнов А.Д. (SmirnovA.) Optimal budget and segniorage targeting policy in a transition economy // Экономический журнал ВШЭ. 1998.-Т. 2.-№4.

85. Смирнов АД. Инфляция и бюджетный дефицит в переходной экономике. М.: ГУ ВШЭ, 1997.

86. Смирнов АД. Лекции по макроэкономическому моделированию. М.: ГУ ВШЭ, 2000.

87. Смирнов АД. Оптимальная стабилизация государственного долга // Экономический журнал ВШЭ. 1998. - Т. 2. - № 1. - С. 330.

88. Соловьёв В.И. Стохастические методы в экономике и финансах: Проблемная лекция. М.: ГУУ, 2000. - 52 с.

89. Соловьёв В.И. Стохастические модели математической экономики и финансовой математики: Учебное пособие. М.: ГУУ, 2001.-92 с.

90. Соловьёв В.И. Вычисление энтропии динамики обменных курсов по статистическим данным // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2000. - Т. 7. - № 2. - С. 421-422.

91. Соловьёв В.И. Неопределённость состояния экономики страны при управлении ею как одним сектором // Вестник Университета, серия Информационные системы управления / ГУУ. 2000. -№ 1. - С. 98-104.

92. Соловьёв В.И. Односекторная стохастическая динамическая модель экономики // Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур: Сборник научных трудов -Вып. 3. М.: Издательство МГОПУ, 2000. - С. 101-112.

93. Соловьёв В.И. Современные подходы к учёту случайности, неопределённости и риска при анализе макроэкономических процессов // Вестник Университета, серия Информационные системы управления / ГУУ. 2000. - № 2. - С. 226-244.

94. Соловьёв В.И., Долматов Е.С. Энтропия как индикатор кризисных явлений на валютных рынках // Вестник Университета, серия Информационные системы управления; ГУУ. 2000. - № 2. -С. 245-250.

95. Соловьёв В.И. (Soloviev V.I.) Macroeconomic Dynamics: Stochastic Approach // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8. -№ 1.

96. Солоу P. (Solow R.M.) Contribution to the Theory of Economic Growth // Quarterly Journal of Economics. 1956. - V. 70. - P. 6594.

97. Статистические ежегодники 1965-2000. M.: Госкомстат СССР, Госкомстат РФ, 1965-2000.

98. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуа-ций в радиотехнике. М.: Советское радио, 1961.

99. Струченевский А.А. Эмпирический анализ финансовых кризисов в России//Экономический журнал ВШЭ. 1998.- Т. 2.-№2.-С. 197-209.

100. Феллер В. {Feller W.) The asymptotic distribution of the range of sums of independent random variables // Annals of Mathematical Statistics. 1951. - V. 22. - № 3. - P. 427-432.

101. Финансовый портал информационного агенства «МФД-Центр» // http://www.mfd.ru/

102. Хаавельмо Т. {Haavelmo Т.) A study in the theory of economic evolution. Amsterdam, Holland: North-Holland, 1954.

103. Шеннон К. {Shannon С.Е.) Mathematical theory of communication // Bell System Technical Journal. 1948. - V. 27. - №3. - P. 379423; №4.-P. 623-656.

104. Ширяев A.H. Вероятность. M.: Наука, 1989.

105. Ширяев A.H. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998.

106. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ.-М.: Наука, 1976.

107. Эйнштейн A. (Einstein A.) On the movement of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory of heat // Annals of Physics. 1905. - V. 17. - P. 549-560.