Стохастические модели и спектрально-корреляционный анализ нелинейных систем с распределенными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Давидович, Михаил Наумович

• Давидович, Михаил Наумович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Давидович, Михаил Наумович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДШШЖЧЕСКИХ

СИСТЕМ ТИПА ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОТОК.

§ 1.1. Стохастическая модель электронного потока, находящегося под воздействием случайных возмущений

1.1.1. Метод статистической линеаризации. Линеаризация нелинейных преобразований в уравнениях электроники.

1.1.2. О использовании гауссова модельного распределения в методе статистической линеаризации для анализа нелинейной стохастической модели электронного потока . 31 1.1.3. Вывод стохастических уравнений электронного потока.'.

1.1.4. Стохастическая модель электронного потока в виде уравнений эквивалентной длинной линии.

§ 1.2. Стохастическая модель электронного потока, находящегося под воздействием аддитивно связанных гармонических и случайных возмущений

1.2.1. Совместное применение гармонической и статистической линеаризации к нелинейным преобразованиям в уравнениях электроники

1.2.2. Вывод уравнений, описывающих совместное распространение гармонических и случайных возмущений в электронном потоке

Выводы.

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЙ СПЕКТРАЛЬНО-КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФЛУКТУАЦИИ ТОКА И СКОРОСТИ В

ЭЛЕКТРОННЫХ ПОТОКАХ 777.

§ 2.1. Вывод нелинейных уравнений для спектральных плотностей флуктуации в электронных потоках

§ 2.2. Анализ системы нелинейных уравнений для спектральных плотностей методом возмущений.

2.2.1. Нелинейные шумовые волны в электронных потоках.

2.2.2. Расчет шумовых параметров $ и П , определяющих "шумность" электронного потока.

Выводы.

ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ ТИПА

ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОТОК-ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА.

§ 3.1. Модель взаимодействия электронного потока с электромагнитной волной, поле которой является стационарным случайным процессом.

§ 3.2. Анализ нелинейной стохастической модели взаимодействия.

3.2.1. Узкополосный шумовой сигнал на входе в пространство взаимодействия. Расчет выходной спектральной плотности поля.

3.2.2. Широкополосный шумовой сигнал с произвольным распределением по частоте спектральной плотности поля. Расчет спектральной плотности поля на выходе системы

§ 3.3. Модель взаимодействия электронного потока с электромагнитной волной, поле которой представляет собой аддитивно связанные случайные и гармонические составляющие.

3.3.1. Гармонический сигнал и узкополосное случайное возмущение на входе в пространство взаимодействия. Расчет амплитуды и фазы выходного сигнала.

3.3.2. Гармонический сигнал и широкополосное случайное возмущение на входе. Расчет амплитуды и фазы выходного сигнала

Выводы

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫХОДНЫХ! ХАРАКТЕРИСТИК ЛБВ ТИПА О, РАБОТАЮЩЕЙ В РЕЖИМЕ НЕЛИНЕЙНОГО УСИЛЕНИЯ

СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

§ 4.1. Анализ усиления узкополосного шума.

§ 4.2. Анализ коэффициента шума и динамического диапазона ЛБВО средней мощности.

§ 4.3. Анализ усиления широкополосного случайного сигнала

§ 4.4. Анализ усиления гармонического сигнала на фоне случайной помехи.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастические модели и спектрально-корреляционный анализ нелинейных систем с распределенными параметрами»

Создание и исследование стохастических моделей нелинейных распределенных систем с целью изучения широко распространенных в природе и технике физических явлений, обусловленных воздействием различных случайных возмущений на среды с вероятностно изменяющимися параметрами, можно со всей определенностью считать актуальными для решения задач в гидродинамике и аэродинамике, физике плазмы и биологии, в исследовании поля скоростей взволнованного моря и в задачах автоматического управления. Актуальность данной проблемы диктуется также задачами радиофизики, являющейся теоретической основой радиотехники, электроники, акусто-электроники и других смежных областей, где анализируемые нелинейные стохастические объекты и системы (электронные генераторы, электронные и квантовые усилители, электронные пучки и так далее) являются распределенными.

В современной радиофизике одним из ведущих направлений является анализ таких стохастических объектов как электронный поток (ЭП) и система взаимодействия электронный поток-электромагнитная волна (ЭП-ЭМВ) [1 - з] .Охватывая достаточно широкий класс нелинейных радиотехнических устройств СШ с распределенными параметрами и определяя, в основном, их функциональные возможности, системы ЭП и ЭП-ЭМВ рассматриваются как стохастические в тех случаях, когда эти устройства работают в так называемых стохастических режимах. Работа в стохастических режимах связана с преобразованием случайных сигналов- их усилением, трансформацией или генерированием. Направление исследований физических явлений (в том числе и стохастических) в системах ЭП и ЭП-ЭМВ определяется характером самого радиоэлектронного устройства и условиями, вытекающими из режима его работы. Если исследуются собственные шумы усилительных устройств, таких, например, как лампа бегущей волны (ЛБВ), то анализ стохастических систем ЭП и ЭП-ЭМВ ведется в направлении изучения распространения флуктуаций в ЭП и их усиления в системе ЭП-ЭМВ [4 - 7] . При исследованиях, направленных на изучение режимов генерации конкретных электронных устройств СВЧ (например, ламп обратной волны /ЛОВ/) возникают задачи, связанные с анализом переходных и стохастических явлений в автоколебательных системах ЭП-ЭМВ - ю] .

Радиотехнические устройства, работающие в стохастических режимах, используются в системах радиосвязи и радиолокации, применяются в системах радиопротиводействия и радионавигации, находят широкое применение в измерительной технике. Разработка выделенного класса радиоэлектронных устройств с учетом их возможного использования в стохастических режимах требует решения таких научно-исследовательских задач как статистический анализ распространения возмущений в распределенных системах ЭП, ЭП-ЭМВ; установление количественных характеристик влияния параметров указанных систем на качество выходного сигнала; получение взаимосвязи вероятностных характеристик входного и выходного сигналов ; выявление параметров, целенаправленная вариация которых приводит у эффективному управлению такими характеристиками прибора как выходная мощность, коэффициенты усиления и шума, фазовые характеристики и другие. Круг перечисленных задач значительно расширяется с учетом таких применений электронных устройств, когда на вход подается как случайный сигнал, так и детерминированный сигнал на фоне случайной помехи. Именно поэтому анализ стохастических процессов в электронных системах типа ЭП, ЭП-ЭМВ выделяется в настоящее время в самостоятельное направление теоретической радиофизики.

Исследование физических явлений в различных радиотехнических системах базируется на создании их адекватных математических моделей. Случайные воздействия на радиоэлектронное устройство, трактуемое как распределенная система, проявляются в виде стохастических изменений начальных или граничных условий, наличия случайных внешних воздействий, а также вероятностного характера параметров описывающих это устройство уравнений (или систем уравнений) - математических моделей данного физического объекта. Учет многообразия проявлений случайных воздействий и анализ дифференциальных уравнений исследуемого объекта приводит к его различным стохастическим моделям. Естественно, что при моделировании реальных стохастических объектов целесообразно ориентироваться на математические модели, которые обеспечены соответствующим аппаратом. К такому аппарату относится, например, линейная теория преобразования случайных функций [п] , благодаря успешному применению которой в настоящее время широко развиты общие методы анализа линейных систем.

Практикуемые специальные режимы эксплуатации электронных приборов требуют развития методов нелинейного анализа стохастических процессов, протекающих как в электронных пучках, так и в приборах СВЧ с распределенным взаимодействием.Необходимость нелинейного анализа обусловлена тем, что системы с длительным взаимодействием типа ЭП-ЭМВ, являясь существенно нелинейными, используются в настоящее время в стохастических режимах с высоким уровнем интегральной мощности, то есть в существенно нелинейных стохастических режимах работы. Именно потому, что электронные пучки и электронные приборы в целом представляют собой нелинейные динамические системы, процессы в которых развиваются во времени, методически обоснованной представляется тенденция к использованию традиционного аппарата статистического анализа подобных динамических систем ^12 - 16 ] . Этот анализ описательно сводится к следующей схеме: предполагая известными параметры системы и характеристики входного случайного сигнала, требуется найти статистические характеристики выходного сигнала [12 ] . Решение этой задачи связано с определением законов распределения выходных параметров исследуемых систем. На практике, как правило, ограничиваются определением математических ожиданий, корреляционных функций, мо-ментных и кумулянтных функций (обощенных корреляционных функций [16 ] ) высших порядков - числовых характеристик функций распределения. Выбор метода решения статистической задачи определяется способом задания характеристик системы и действующих случайных возмущений [п] . В задачах радиофизики обычно случайные возмущения задаются математическими ожиданиями и корреляционными функциями, а динамические системы - дифференциальными уравнениями, моделирующими протекающие процессы [12, 14, 17 ^ . Поэтому успех статистического анализа реальных динамических систем в большей мере зависит от выбора поддающейся расчету адекватной стохастической модели.

Моделирование процесса взаимодействия ЭП и ЭМВ по разнообразию математического подхода представляет наибольший интерес с точки зрения использования его в статистическом анализе. В настоящее время существуют две теории, в рамках которых возможно описание физических процессов нелинейного взаимодействия ЭП и ЭМВ: стационарная (одночастотная и мног о частотная) [18-21] и нестационарная [I, 2, 8, 22, 2з] теории взаимодействия.

Первые работы по статистическому анализу приборов СШ основывались на математической модели многочастотного взаимодействия. Среди развитых в настоящее время методов анализа многочастотных уравнений наиболее разработанными являются методы численного интегрирования]^)], что и определило успешное использование этих методов в статистическом анализе распределнных систем. Численные методы решения вероятностной задачи предполагают последовательное задание реализаций рассматриваемого случайного процесса на входе прибора (метод Монте- Карло .) с дальнейшим усреднением результатов расчета. Поэтому для численного анализа необходимо решение задачи, связанной с машинной реализацией (генерацией) случайных процессов.

Многочастотная аппроксимация взаимодействия в принципе позволяет моделировать входной случайный процесс, используя различные спектральные представления (например, представления Райса [24] , [2б], Котельникова [13] ,при помощи рядов Фурье [13], спектральные формы канонических разложений Пугачева [п, 26, 27]) »однако практическое осуществление этих представлений сталкивается с известными трудностями, связанными с анализом реализаций, состоящих из большого числа спектральных компонент. Поэтому в каждом конкретном случае желательно иметь некий критерий, с помощью которого возможно ограничение расчетов практически приемлемым числом гармонических составляющих. Достоверность конечных результатов в этом случае достигается путем предварительного (точного или приближенного) решения аналогичной стохастической задачи,как это делается, например, при анализе линейных радиотехнических цепей (см.»например, [II стр. 430] ). Другой способ выбора критерия ограничения числа членов - это использование известного решения детерминированной задачи. Такой прием осуществлен, например, в [28] при анализе усиления узкополосного шума в ЛБВО, где в качестве известного решения берется усиление одночастотного и многочастотного сигналов. Следует отметить, что ограничение числа гармоник не снимает основных практических трудностей численного анализа случайных процессов с непрерывным спектром. Использование перечисленных гармонических представлений (кроме канонических) случайных функций затрудняется тем, что все случайные величины (коэффициенты при гармониках) должны быть коррелированными, что существенно затрудняет получение случайных чисел на ЭВМ.

Использование многочастотной модели взаимодействия для статистического анализа электронных приборов СШ с распределенным взаимодействием позволяет исследовать воздействие практически только узкополосных сигналов с непрерывным спектром. Попытка расширения возможностей многочастотной теории в работах,по с вя-щенных исследованию стохастических режимов, приводит к рассмотрению так называемых "шумоподобных" сигналов, которые представляют собой сумму нескольких (заранее выбранных) гармоник, занимающих произвольный частотный диапазон со случайными амплитудой и фазой [28 - 34] .

Более глубокого и полного статистического анализа динамической системы типа ЭП-ЭМВ можно ожидать от получившей в последние годы развитие нелинейной нестационарной теории, опирающейся на систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, учитывающих взаимодействие пучка и электромагнитной волны во времени и пространстве. Нестационарная модель используется при анализе процессов установления колебаний в генераторах на ЛОВ [I, 8, 22] , а также при анализе усиления в ЛЕВ произвольно изменяющихся во времени узкополосных [1, 35, Зб] и широкополосных

37 - 40] сигналов. Впервые нестационарная теория в статистических задачах электроники СВЧ использовалась при анализе шумовых явлений в электронных генераторах (ЛОВО, ЛОВМ, МНН) £ 2^ . Несколько позже нестационарная модель ЛБВ [зв] легла в основу анализа шумового сигнала [41] . В этом случае анализ также основывается на численном интегрировании нелинейных уравнений для различных реализаций входного случайного процесса. Статистической обработке здесь подвергается выходной процесс, представляющий собой не набор спектральных составляющих, как в многочастотной модели, а различные реализации случайной функции времени.

Аналогичные представления использовались и на раннем этапе математического моделирования процессов распространения возмущений в электронном потоке. Процессы распространения произвольно изменяющихся во времени возмущений в электронном потоке описываются известными нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных (нестационарная модель) [42] . Методы анализа этих уравнений развиты как для линейного, так и для нелинейного приближений в различных предположениях (пучок предполагается односкоростным или многоскоростным, бесконечно широким или тонким и т.д.) [б, 18, 22, 42, 43] . Для гармонических возмущений существующие нелинейные модели группирования электронного потока в дрейфе наиболее подробно рассмотрены в монографии [18] . Одна из таких моделей - нелинейная модель группирования по Со-лимеру [44] - использована ее автором для приближенного нелинейного анализа распространения флуктуаций в электронном пучке [45] . В силу специфики используемой модели флуктуации тока и скорости во входном сечении пучка, занимающие сплошной спектр частот (белый шум), представлены в [45] в виде конечной суммы некоррелируемых гармонических составляющих. В предположении малости относительных флуктуаций тока и скорости анализ распространения шумов в £45] проводится с точностью до членов четвертого порядка малости (в линейной теории учитываются только члены втоporo порядка малости [4 - 7] ). Вместе с тем в [45] отмечается, что модель Солимера не приводит к практическому результату при высоком уровне интенсивности флуктуаций. С другой стороны, предложенная в [45] методика не позволяет последовательным образом исследовать шумовые характеристики пучка для различных вероятностных структур входных флуктуации. Поэтому модель Солимера не получила дальнейшего развития в статистическом анализе электронного потока, и в настоящее время не может быть использована в статистических задачах взаимодействия ЭП и ЭМВ.

Данное краткое рассмотрение математических описаний систем типа ЭП и ЭП-ЭМВ показывает, что современное развитие моделей взаимодействия с целью использования их в статистическом анализе идет по пути численного эксперимента, проводимого по методу Монте-Карло. Трудности численного анализа связаны в этом случае как с представлением и реализацией входных случайных возмущений, так и с численным решением нелинейных дифференциальных уравнений обыкновенных (стационарная модель) или в частных производных (нестационарная модель). Ясно, что метод Монте-Карло опирается на выбор необходимого числа реализаций случайного процесса, и использование : его для анализа сложных нелинейных динамических систем с распределенными параметрами требует больших затрат машинного времени. Известно, что минимизация затрат машинного времени должна опираться на информацию, накопленную при аналитическом решении задачи. Уже только по этой причине развитие аналитических методов является целесообразным. С другой стороны, сочетание численных и аналитических методов позволяет всесторонне исследовать процессы и явления, происходящие в сложных динамических системах. Поэтому развитие аналитических методов статистического анализа сложных динамических систем представляло и представляет несомненный интерес.

В настоящее время довольно полно развиты точные общие методы аналитического анализа линейных динамических систем, основанные на теории линейных преобразований случайных функций. Математической моделью таких систем являются стохастические линейные дифференциальные уравнения. Для нелинейных систем задача точного вероятностного исследования чрезвычайно сложна. Общей теории преобразования случайных функций, а следовательно и методов анализа стохастических нелинейных систем, пока еще не существует [14] . Поэтому важное значение приобретают приближенные методы исследования нелинейных систем, в основе которых лежит построение предельно простых математических моделей, отражающих существенные черты реальных объектов. Широкое распространение в настоящее время получили приближенные методы, основанные на оптимальной (в смысле выбранного критерия точности) статистической линеаризации (СЛ) сложных нелинейных стохастических моделей. Эти методы используются при анализе точности и качества нелинейных систем автоматического регулирования [15, 4б] , при анализе колебаний упруго-пластических тел [47] , в приближенном решении широкого класса нелинейных стохастических дифференциальных уравнений [48 - 51]. Методы СЛ распространены на простые нелинейные системы, которые описываются уравнениями в частных производных [52] . Основным преимуществом использования методов СЛ является то, что к статистически линеаризованным уравнениям можно применять хорошо развитый аппарат линейной теории преобразования случайных функций и, прежде всего, корреляционную теорию. Это в значительной степени упрощает анализ нелинейных систем и приводит к простым аналитическим решениям. Поэтому понятна тенденция к использованию этих методов в анализе сложных динамических систем с распределенными параметрами, в частности, систем типа ЭП, ЭП-ЭМВ.

В настоящей диссертации обсуждается возможность применения методов СЛ для получения простых стохастических моделей сложных нелинейных динамических систем с распределенными параметрами, формулируются нелинейные стохастические модели систем типа ЭП и ЭП-ЭМВ, и на основе развитых моделей методом спектрально-корреляционного анализа исследуется распространение флуктуаций в электронных потоках и усиление как чисто случайных, так и аддитивно связанных случайных и гармонических сигналов в ЛЕВ О-типа.

В качестве математического (детерминированного) описания распространения возмущений в электронном потоке используется нелинейная система уравнений в частных производных ( [42, стр. 52] ). Процесс взаимодействия электромагнитной волны с электронным пучком моделируется на основе метода самосогласованного поля.

Цель работы заключается в построении стохастических моделей нелинейных систем с распределенными параметрами типа ЭП, ЭП-ЭМВ и развитии аналитических методов их спектрально-корреляционного анализа, на основе которых исследуется распространение флуктуаций в электронных потоках и анализируется процесс усиления в ЛЕВО случайных сигналов с произвольной формой спектральной плотности поля и гармонических сигналов на фоне аддитивных шумов.

Научная новизна. Впервые применен метод СЛ для анализа нелинейных систем с распределенными параметрами, что позволило сформулировать нелинейные стохастические модели систем типа ЭП и ЭП-ЭМВ. Развитые модели впервые использованы для спектрально-корреляционного анализа нелинейных стохастических явлений в электронных потоках и приборах СВЧ с распределенными параметрами.

Обнаружена неизвестная ранее зависимость периода стоячих шумовых волн от параметров электронного пучка и уровня интенсив-ностей флуктуаций тока и скорости на входе в дрейф при распространении в пучке дробовых флуктуаций.

Впервые теоретически обнаружена зависимость "шумностип электронного потока от постоянной составляющей тока.

В рамках корреляционной теории установлена неизвестная ранее зависимость коэффициента усиления ЛЕВО, работающей в нелинейном режиме, от полосы частот и формы спектральной плотности шумового воздействия при постоянном уровне интегральной мощности на входе.

Установлена количественная зависимость спектральной плотности поля на выходе ЛБВО от уровня интегральной мощности и полосы частот входного широкополосного шума, обладающего как прямоугольным, так и колоколообразным спектрами.

Установлен характер нелинейного искажения амплитуды и фазы , вызванного высоким уровнем мощности помехи при совместном усилении в ЛБВО гармонического сигнала и случайной помехи.

Развита методика расчета и минимизации коэффициента шума ЛБВО средней и высокой мощности. В области нелинейного усиления впервые обнаружена и исследована зависимость минимального коэффициента шума от электрической длины ЛБВО.

Практическая ценность. Использование разработанных стохастических моделей систем ЭП и ЭП-ЭМВ позволяет проводить расчет и анализ шумовых и флуктуационных процессов в реальных режимах, а также оптимизацию параметров конкретных ЛБВО с целью повышения коэффициента усиления (как по гармоническому сигналу в присутствии шумов, так и по интегральной мощности шума), уменьшения амплитудных и фазовых искажений, снижения коэффициента шума и увеличения динамического диапазона.

Разработанные аналитические методы анализа позволяют для конкретных расчетов получить алгоритмы, более экономичные, чем те, которые основаны на использовании метода Монте-Карло.

Разработанные теоретические методы, касающиеся ЛБВО, были использованы в ряде НИР и ОКР на предприятиях МЭП и МРИ [ю4,105].

Апробация. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах в С1У и СПИ; на объединенной УП и итоговой 1У научно-технической конференции молодых ученых (июнь 1977); на УП Всесоюзном научном семинаре "Колебательные явления в потоках заряженных частиц" (Ленинград, 1979); на 41-ом заседании Всесоюзного семинара "Проблемы электроники" (Москва, МИЭМД979); на 10 Всесоюзной конференции "Электроника СВЧ" (Минск, 1983).

Публикации.По материалам диссертации опубликовано II работ £бЗ - 62, ЮЗ] .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из четырех глав, заключения и приложений ( 142 стр. основного текста, 35 стр. рисунков, 17 стр. приложений и II стр. списка литературы / 105 названий/ ).

В первой главе развиваются методы построения нелинейных стохастических моделей распределенных динамических систем на примере исследования одномерного односкоростного электронного потока, находящегося под воздействием случайных возмущений. Рассматриваются два вида случайных возмущений: стационарный гауссовый случайный процесс и нестационарный, представляющий собой аддитивно связанные случайный и гармонический сигналы. В основе методов построения соответствующих моделей лежат методы статистической линеаризации (СЛ), с помощью которых преобразуются нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие электронный поток как динамическую систему. Дается обоснование возможности использования методов СЛ для анализа нелинейных распределенных систем типа ЭП и ЭП-ЭМВ.

Сформулированы две нелинейные стохастические модели одномерного односкоростного электронного потока, соответствующие двум, указанным выше, видам случайных возмущений. В рамках стохастических моделей электронный поток описывается двумя переменными- кинетическим потенциалом V и конвекционным током </ .

Во второй главе на основе стохастической модели ЭП развиваются нелинейные методы спектрально-корреляционного анализа флук-туаций тока и кинетического потенциала в электронном пучке. С этой целью выводится система нелинейных интегро-дифференциаль-ных уравнений для спектральных плотностей тока V , кинетического потенциала Ф и их корреляций /7 и / (действительной и мнимой частей).

Развитыми методами исследуются важные шумовые характеристики мощных электронных потоков ("шумность", период стоячей шумовой волны тока, параметр /7 ) в широких пределах изменений параметров ЭП и статистических параметров интенсивных случайных возмущений.

Третья глава посвящается развитию стохастических моделей систем типа ЭП-ЭМВ и методам их спектрально-корреляционного анализа. Построение адекватных моделей осуществляется методами самосогласованного поля, в основу которых положены стохастические модели ЭП, развитые в главе I, и уравнение возбуждения, полученное Л.А.Вайнштейном. Сформулированы две стохастические модели. Одна описывает нелинейные особенности преобразования как флуктуации потока, так и входного случайного возмущения. Другая - учитывает совместное преобразование гармонического и шумового сигналов. Получены общие аналитические соотношения для спектральной плотности поля на выходе системы ЭП-ЭМВ при воздействии на ее вход как узкополосного, так и широкополосного случайных сигналов. Получены общие формулы для расчета амплитуды и фазы гармонического сигнала на выходе системы при воздействии на ее вход гармонического сигнала в присутствии как узкополосной, так и широкополосной аддитивной случайной помехи.

Четвертая глава посвящается расчету и анализу выходных характеристик ЛЕВ типа 0, работающей в режиме нелинейного усиления стохастических сигналов. На основе стохастической модели системы ЭП-ЭМВ исследуется усиление узкополосного и широкополосного шума с прямоугольным и колоколообразным спектрами в широких пределах изменения параметров ЛБВО и входного шума и анализируется искажение выходного спектра, развивается методика анализа минимально достижимого коэффициента шума лучевых приборов средней мощности. Приводятся результаты исследования динамического диапазона ЛБВО и указываются пути его расширения. Приводятся результаты анализа усиления гармонического сигнала на фоне узкополосной шумовой помехи. В широких пределах изменения отношения мощности сигнала к интегральной мощности шума на входе исследуется влияние параметров ЛБВО на величины коэффициента усиления и фазового набега.

Работа выполнена на кафедре технической физики Саратовского политехнического института при постоянном содействии и внимании заведующего кафедрой доктора физико-математических наук профессора А.М.Каца.

Основные положения, выносимые на защиту.

1.Исследование методами статистической линеаризации уравнений нелинейных динамических систем с распределенными параметрами типа ЭП, ЭП-ЭМВ позволяет получить поддающиеся спектрально-корреляционному анализу стохастические модели указанных систем, находящихся под воздействием как стационарного гауссового случайного процесса, так и аддитивно связанных гармонического и случайного сигналов.

2.Методы спектрально-корреляционного анализа нелинейных моделей ЭП и ЭП-ЭМВ позволяют исследовать нелинейные особенности распространения флуктуаций тока и скорости в электронном потоке и усиление шумов в лампе бегущей волны типа 0.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Давидович, Михаил Наумович

ВЫВОДЫ

1. Стохастические модели систем ЭП-ЭМВ являются эффективной основой нелинейного статистического анализа приборов СВЧ с длительным взаимодействием в широких пределах изменения параметров приборов и входных случайных возмущений.

2. Анализ усиления узкополосного шума показал, что имеет место режим насыщения по выходной спектральной плотности по

С с™2 ля О* . Величина максимального значения О- и соответству

0,5

А1ра 3

•ОД о,а

•од

-0,1

0,115 О

У у У // //

- X' * / * у / У

5,15

V

Ши Ре л

-й -и -8 -6 -|1 -а о

Рис. 4.21. Зависимость фазы выходного сигнала от относительного уровня входного шума для различных 4 и при =-30 дб,

4 =0,1, £ =1, Л. =0, : -¿¿=1,

---4=1,5, —4=2

1 / / / 0

Г / / /

1 / £ / / / / 2 / / у / У У

4 5 15 7

Яо

Рис. 4.22. Зависимость фазы выходного сигнала от длины взаимодействия для различных значений и С[ при Рс/ув% =-30 дб, Рш/Рс =-4 дб,

С =0,1, ^ =1,5, : -й! =0,

---¿/=0,5; о - точки насыщения выходной мощности ющая ей длина У0 зависят от уровня интегральной мощности входного шума ( Pg ) и параметров ЛЕВО ( ф , 3 , £ ,

OÍ ). Характер этой зависимости при полосе частот входного шума Ъ%-10% в общих чертах соответствует результатам нелинейного усиления одночастотного сигнала.

3. Проведен нелинейный анализ минимально достижимого коэффициента шума f^fa приборов средней мощности. Установлено влияние на интенсивности дробовых и тепловых флуктуации тока и скорости электронного пучка, а также параметров ЛЕВО. Показано, что с увеличением интегральной мощности дробовых шумов ( £ ) электронного пучка г^ возрастает и дос-■

Ai тигает максимальной величины. При £sCú/?st коэффициент шума может быть снижен за счет увеличения длины пространства взаимодействия £0 и уменьшения параметров ф и S , что является следствием нелинейного характера усиления собственных шумов. Нелинейные эффекты проявляются быстрее для пучков с более высоким уровнем собственных шумов.

4. Указаны пути расширения динамического диапазона ЛЕВО, обусловленные нелинейным характером усиления собственных шумов. Показано, что увеличение вс и уменьшение параметра рас-синхронизма ¿0 позволяют увеличить динамический диапазон лампы, работающей в нелинейном режиме.

5. Проведен нелинейный анализ усиления широкополосного шума с прямоугольным и колоколообразным спектрами, сосредоточенными в полосе частот ДО) от 20% до 60%. В результате обнаружен ряд новых явлений, среди которых выделим следующие:

- распределение спектральной плотности поля £g на выходе ЛЕВО в рассматриваемом диапазоне частот ДСО зависит от уровня интегральной мощности входного шума flfa . С увеличением Р^ (при AQsCO/JSÍ ) максимальное значение^, которое в линейном режиме работы находится в центре полосы, смещается в низкочастотную область. При этом увеличивается перепад в рассматриваемом диапазоне частот, а общий относительный уровень спектральной плотное-ТИ В (в, (д) í6:mg[Se(eo,<ú)/Se(0,ae)]) снижается:

- характер распределения спектра и величина относительного уровня спектральной плотности 6(ffffiú)) зависят от полосы частот А 0) входного шума. С увеличением АО) при Pj s ÚOftst ) спектр искажается (максимум смещается в низкочастотную область), а значение 6(&0(¿¡)ii& каждой частоте заметно изменяется в зависимости от формы входного шумового спектра;

- при прямоугольном входном спектре увеличение полосы частот АО) (при ty^COflSt ) от 0 до 60% приводит к снижению

3 в рассматриваемой полосе частот в среднем на 6%.

Физически это связано с уширением полосы частот выходного спектра и перераспределением выходной мощности по частотам. В этом случае происходит относительное увеличение мощности на частотах вне рассматриваемой полосы АО) , что приводит к общему ее снижению в полосе АО) ; - при увеличении полосы АО) входного спектра колоколооб-разной форглы относительный уровень спектральной плотности на центральной частоте вначале убывает так же как и при прямоугольном спектре, а затем, достигнув минимума, начинает возрастать. Это говорит о том, что в данном случае внеполосные гармоники "уносят" незначительную часть мощности и, начиная с некоторого значения АО? , вся выходная мощность сосредотачивается в рассматриваемой полосе ДО) и возрастает с увеличением последней.

6. Проведен анализ совместного усиления в ЛБВО гармонического сигнала на фоне шумовой помехи. При фиксированном значении отношения мощности сигнала к мощности шума имеет место режим насыщения по мощности сигнала. Увеличение мощности шумов приводит к снижению коэффициента усиления 6 и смещению его максимального значения в сторону уменьшения . Характерным является то, что при любых коэффициент 3 достигает максимума для параметров ЛБВО .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены пути построения стохастических моделей и развиты аналитические методы для статистического анализа нелинейных систем с распределенными параметрами. Основное внимание уделено формулировке стохастических моделей ЭП и ЭП-ЭМВ и, на их основе, решению конкретных задач, связанных с преобразованием флуктуаций тока и скорости в электронном пучке и с усилением шумов в ЛБВО. Сформулированные модели и развитые спектрально-корреляционные методы дают возможность, с одной стороны, использовать для статистического анализа рассматриваемых систем линейную теорию преобразования случайных функций, а с другой - получать более экономичные численные алгоритмы чем те, которые основаны на методе Монте - Карло.

В заключение выражаю искреннюю благодарность доценту Голу-бенцеву Александру Федоровичу за научное руководство и постоянное внимание к работе и профессору Кацу Альберту Марковичу за конструктивную помощь в постановке и решении ряда конкретных задач, вошедших в работу, и создание всех необходимых условий для ее выполнения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Давидович, Михаил Наумович, 1984 год

1. Трубецкой Д.И. Нелинейные и переходные процессы при взаимодействии электронного потока в скрещенных полях с электромагнитной волной.- Дис. д-ра физ.-мат.наук.-Саратов, 1978.- 468с.

2. Кузнецов С.П. Теоретические методы для анализа нестационарных явлений в некоторых распределенных автоколебательных системах типа электронный поток-электромагнитная волна.- Дис. . канд. физ.-мат. наук.- Саратов, 1977,- 206 с.

3. Безручко Б.П. Экспериментальное исследование нестационарных и стохастических явлений в распределенной автоколебательной системе электронный поток-обратная электромагнитная волна.~ Дис. . канд. физ.-мат. наук.- Саратов, 1980.- 232 с.

4. Шумы в электронных приборах /Под ред. Л.Смуллина и Г. Хауса.-М.: Энергия, 1964.- 484-с.

5. Шумы и параметрические явления в электронных приборах сверхвысоких частот /Лопухин В.М., Магалинский В.Б., Мартынов В.П., Рошаль A.C. М.: Наука, 1966.- 372 с.

6. Голубенцев А.Ф., Минкин Л.М. Шумы и флуктуации в электронных потоках. Часть I /Под ред. В.М.Лопухина.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1982.- 124 с.

7. Голубенцев А.Ф., Минкин Л.М. Шумы и флуктуации в электронных потоках. Часть П /Под ред. В.М.Лопухина.-Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1982.- 108 с.

8. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в динамической системе электронный пучок- обратная электромагнитная волна.-Письма в ЖЭТФ, 5 февраля 1979, т.29, в.З, с. 1053 1059.

9. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления.- М.: Изд-во Физ.-мат. лит-ры, 1962.- 883 с.

10. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике.- М.: Сов. радио, 1961.- 560 с.

11. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга I.- М.: Сов. радио, 1974.- 552 с.

12. Рытов .С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть I. Случайные процессы.- М.: Наука, 1976.- 496 с.

13. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний.- М.: Hayica, 1975.- 432 с.

14. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций.-М.: Наука, 1968.- 464 с.

15. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований.- М.: Сов. радио, 1978.- 376 с.

16. Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ.- М.: Сов. радио, 1970.- 584 с.

17. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.- М.: Сов.радио, 1973.- 400 с.

18. Кац A.M., Ильина Е.М., Манькин И.А. Нелинейные явления в СВЧ приборах 0-типа с длительным взаимодействием.- М.: Сов. радио, 1975.- 296 с.

19. Цейтлин М.Б., Кац A.M. Лампа с бегущей волной.- М.: Сов. радио, 1964.- 312 с.

20. Электроника ламп с обратной волной /Под ред. В.Н.Шевчика и Д.И.Трубецкова.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975.- 196 с.

21. Манькин И.А. Возбуждение волноводов нестационарными сторонними токами.- Радиотехника и электроника, 1979, т.24, JH, с. 682-690.

22. Райе С. Теория флуктуационных шумов,- В кн.: Теория передачи электрических сигналов при наличии помех /Пер. с анг.-М.: ИЛ, 1953, с. 88-238.

23. БендатДж. Основы теории случайных шумов и ее применение.-М.: Наука, 1965.- 464 с.

24. Полляк 10.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах.- М.: Сов. радио, 1971.- 400 с.

25. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем.- М.: Наука, 1978.- 400 с.

26. Картамышев В.М., Кац A.M., Клинаев Ю.В. Усиление узкополосного шума в ЛБВ0.- Изв. вузов СССР Радиоэлектроника, 1980, т. 23, J6 3, с. 53-57.

27. Усиление шумоподобных сигналов в ЛБВ / Железовский Б.Е., Железовский Е.Е., Каримов Р.Н., Клинаев Ю.В. Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1978, вып. 5, с. 21-26.

28. Картамышев В.М., Кац A.M., Клинаев Ю.В. Усиление шумового сигнала в ЛБВ0.- В кн.: ХХХШ Всесоюзная научная сессия, посвященная Дню радио: Аннотации и тезисы докладов.- М., 1978, с. 90-92.

29. К вопросу усиления шумоподобного сигнала в ЛБВМ /Железов-ский Б.Е., Яелезовский Е.Е., Каримов Р.Н., Клинаев 10.В.-Радиотехника и электроника, 1977, т.22, Kß, с.1222-1227.

30. Безручко Б.П., Шараевский Ю.П. Нелинейная модель усиления узкополосного шумового сигнала в ЛЕВ 0-типа,- В кн.: ХХХУ Всесоюзная научная сессия, посвященная Дню радио: Тезисы докладов и сообщений.- М., 1980, с.25.

31. Лагранский Л.М. Исследование прохождения узкополосного шумового сигнала через ЛБВ. Там же, с. 24.

32. Кац A.M., Клинаев Ю.В., Глейзер В.В. Характеристики узкополосных шумовых сигналов в ЛБВО.- Изв. вузов СССР Радиоэлектроника, 1980, т. 23, iß 12, с. 54-58.

33. Белявский Е.Д. Нелинейная теория распространения узкополосных сигналов в ЛБВ.- Радиотехника и электроника, 1978, т. 23,16 I, с. 2II-2I4.

34. Белявский Е.Д., Гельнер В.В. Анализ нелинейных искажений сигнала в ЛБВ-0,- Радиотехника и электроника, 1979, т.24,1. J& 6, с. 1153 1158.

35. Белявский Е.Д. О нелинейной теории усиления широкополосных сигналов в ЛБВ.- Радиотехника и электроника, 1980, т.25,3, с. 665.

36. Манькин И.А., Школьников В.Г. Нелинейная нестационарная теория взаимодействия широкополосных сигналов с электронным потоком в ЛБВ.- В кн.: ХХХУ Всесоюзная научная сессия, посвященная Дню радио: Тезисы докладов и сообщений.- М., 1980,с.31.

37. Белявский Е.Д. Анализ усиления широкополосных сигналов в ЛБВ.- Радиотехника и электроника, 1981, ,т.26,.|б, с.1039-1048.

38. Манькин И.А., Школьников В.Г. К нестационарной нелинейной теории ЛБВ.-Радиотехника и электроника,1981, т.26, Ш,с.1918-1926.

39. Манькин И.А., Школьников В.Г. Теоретический анализ взаимодействия протяженного электронного потока с полем широкополосного стохастического сигнала.- Радиотехника и электроника, 1981, т. 26, №9, с. 1932-1938.

40. Люиселл У. Связанные и параметрические колебания в электронике.- М.: ИЛ, 1963.- 352 с.

41. Шевчик В.Н., Шведов Г.Н., Соболева A.B. Волновые и колебательные явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1962.- 336с.

42. Solymer. Exoct solution of the one-dimentional bunching problem. Electronics and Control, 1961, Y.IO, 1 3, p.165-180.

43. Солимер А. Нелинейная теория распространения сигнала и шума вдоль электронного потока.- В кн.: Труды 1У-го Международного конгресса по приборам СВЧ. Вып.Ш (Щумы).-М.: Изд-во МЭП, 1966, с. 45-55.

44. Нелинейные и оптимальные системы: Труды 1-го Всесоюзного симпозиума по статистическим проблемам в технической кибернетике.- М.: Наука, 1971.- 440 с.

45. Пальглов В.А. Колебания упруго-пластических тел.- М.; Наука, 1976.- 328 с.

46. Евланов Л.Г., Казаков И.Е. Статистическое исследование нелинейных автоколебательных систем в установившихся режимах.-Автоматика и телемеханика, 1969, IS 12, с. 18-26.

47. Пугачев B.C., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории автоматических систем.- М.: Машиностроение, 1974.400 с.

48. Bud.gor А.В. Studies in Nonlinear Stochastic Processen. I. Approximate Solutions of Nonlinear Stochastic Differential Equations Ъу the Method of Statistical Linearization.- Journal of Statistical Physics,?.15, U5, 1976, p.355-374.

49. Budgor A.B.,Lindenherg K.,Shuler K.E. Studies in Nonlinear Stochastic Processen. II. The Duffing Oscillator Revisited.-Journal of Statistical Physics, V.I5, N5» 1976, p.375-391.

50. Синицин И.Н. 0 статистической линеаризации нелинейностей в регулируемых системах с распределенными параметрами: Труды 1У Всесоюзного совещания по автоматическому управлению.- В кн. .-Теория автоматического управления.-М. :Наука, 1972, с. 192194.

51. Голубенцев А.Ф., Давидович М.Н.О нелинейных шумовых волнах в электронных пучках.- Радиотехника и электроника, 1978, т. 23, № I, с. I22-I3I.

52. Голубенцев А.Ф., Давидович М.Н. Об одном методе статистического анализа нелинейных систем с распределенными параметрами.-В кн.Техническая электроника и электродинамика.- Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1978, вып.З, с. 43-48.

53. Голубенцев А.Ф., Давидович M.H., Кац A.M. Статистическая линеаризация и ее применение для решения задач электроники.-Обзоры по электронной технике.Сер.Электроника СВЧ, вып.13 (645).-М.: ЦНИИ "Электроника",1979.- 32 с.

54. Голубенцев А.Ф., Давидович М.Н., Кац A.M. К анализу динамического диапазона ЛБВО средней мощности.- В кн.: Техническая электроника и электродинамика.- Саратов: Сарат.политехи, ин-т, 1980, с. 29-36.

55. Голубенцев А.Ф., Давидович М.Н. К одномерной одно скоростной теории шумов в электронном пучке,- Радиотехника и электроника, 1980, т. 25, В 5, с. 1058-1062.

56. Голубенцев А.Ф., Давидович М.Н., Кац A.M. Нелинейные явления в ЛБВО при совместном усилении гармонического и случайного сигналов.- Радиотехника и электроника, 1981, Т.26, tè 4,с. 803-809.

57. Голубенцев А.Ф., Давидович М.Н. О шумовых инвариантах релятивистского электронного пучка.- Радиотехника и электроника, 1970, Т.15, В II, с. 2412-2414.

58. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Новые методы нелинейной механики в их применении к изучению работы электронных генераторов. Часть I.-M.-Л.: Гостехиздат, 1934.- 243 с.

59. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику.-Киев: Изд-во АН УССС, 1937.

60. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике,- Львов: Изд-во АН УССР, 1945,- 139 с.

61. Казаков И.Е. Приближенный метод статистического исследования нелинейных систем.-Труды ВВИА им. Н.Е.Жуковского,1954, вып. 394.

62. Booton R.C. The analysis of non-linear Control Systems with random inputs.- Proc.Symposium nonlinear circuit analysis, V.2,1953, p.369-391.

63. Казаков H.E., Доступов Б.Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем.- М.:Изд-во Физ.мат.лит-ры, 1962.332 с.

64. Первозванский А.А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах.-М.: Изд-во Физ-мат.лит-ры, 1962.- 351 с.

65. Казаков И.Е. Статистические методы проектирования систем управления.- М.: Машиностроение, 1969.- 262 с.

66. Sawaragi Y.,Sugai IT.,Sunachara Y. Statistical studies of nonlinear Control Systems. Nippon Printing and Publishing Company LIO, Osaka, Japan, 1962.

67. Мельц И.О., Пыхова Т.А.,Усков Г.В. Многомерная статистическая линеаризация функций, содержащих множители степенного, показательного и тригонометрических типов, а также S -функции.- Автоматика и телемеханика, 1967, JÍ2 12, с. 65-75.

68. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.: Наука, 1973.- 832 с.

69. Диткин В.А., Прудников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М.: Наука, 1974.- 544 с.

70. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике.- М.: Мир, 1972.- 276 с.

71. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы теории нелинейных колебаний.- М.:Наука, 1974.- 504 с.

72. Найфе А.Х. Методы возмущений.- Мир, 1976.- 465 с.

73. Paschke P. On the nonlinear behavior of electron-beam devices.- RCA Rev, V.I8, IT2, 1957, p.221.

74. Peter R.W. Low-noise traveling-wave amplifier.- RCA Rev, V.I3, 1952, p.344.80.' Agdur В.,Haus H.A. A one-dimensional electron beam as a four -terminal netv^ork. MIT Research Lab. Electronics Quart.

75. Prog. Rept 30, April 15, 1954.

76. Калинин В.И., Герштейн Г.M. Введение в радиофизику.- М.:

77. Гостехиздат, 1957.- 660 с.

78. Асеев Б.П. Колебательные цепи.- М.: Связьиздат, 1955.463 с.

79. Синицин И.Н. 0 совместной статистической и эллиптической линеаризации : Труды Ш Всесоюзного совещания по автоматическому управлению,- В кн.: Оптимальные системы. Статистические методы.- М.: Наука, 1967, с. 224-227.

80. Казаков И.Е. Методы исследования нелинейных автоматических систем, основанные на статистической линеаризации.- В сб.: Современные методы проектирования систем управления.- М.: Машиностроение, 1967, с. 447-487.

81. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем.- М.: Физматгиз, I960.-792с.

82. Боголюбов H.H. Теория возмущений в нелинейной механике.- В сб.: Труды института строительной механики, АН УССР,1950, JS 14.

83. Пупков К.А. Статистический расчет нелинейных систем автоматического управления.- М.: Машиностроение, 1965.- 403 с.

84. Currie M.R. A New Type of Xow-Noise Electron Gun for Microwave Tubes.- Proc. IRE, May, V.46, 1958, p.911.

85. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики.-М.: Наука, 1969.- 379 с.

86. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.- М.: Мир, 1957.- 310 с.

87. Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн.- М.: Наука, 1983.- 288 с.

88. Притуло М.Ф. Об определении равномерно точных решений дифференциальных уравнений методом возмущений координат.- Прикладная математика и механика, 1962, т.26, № 3, с.222-448.

89. Модификация метода трехрезонаторного клистрона для измерения шумовых параметров S и /7 электронных потоков., ■ /Аншценко B.C., Родионова Е. А., Соколов И.П., Штыров А.И.-Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1968, вып. 8, с. 44-52.

90. Аншценко B.C., Соколов И.П., Штыров А.И. Влияние тока на шумность электронного пучка.- Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1969, вып.II, с. III-II6.

91. Бердавцев В.Б. 0 волнах в многоскоростных электронных потоках.- Вопросы радиоэлектроники. Сер. Электроника, 1965, вып. 5, с'. 14-36.

92. Мухамедова Н.В. Много скоростная теория шумов электронно-лучевых усилителей с продольным полем.- Обзоры по электронной технике. Сер. Электроника СВЧ, 1969, вып. 17(86).-56 с.

93. Анищенко B.C., Соколов И.П., Штыров А.И. Влияние частоты на шумовые свойства пучка.- Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1971, вып. II, с. II7-II8.

94. Пирс Да. Лампа бегущей волны,- М.: Сов.радио, 1952.-229 с.

95. Электронные приборы сверхвысоких частот /Под ред. В.Н.Шев-чика и М.Л.Григорьева.- Саратов: Изд-во ун-та,1980.- 416 с.

96. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Наука, 1970.- 331 с.

97. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы.-М.: Гостехиз-дат, 1952.- 272 с.

98. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах.-М.: Наука, 1968.- 660 с.

99. Голубенцев А.Ф., Давидович М.Н., Кац А.М. Нелинейный анализ усиления широкополосных стохастических сигналов в ЛЕВО.

100. В кн.: Тезисы докладов X Всесоюзной научной конференции "Электроника сверхвысоких частот". Том I. Вакуумная электроника.- Минск: Изд-во Минск, радиотехн. ин-та, 1983, с. 284.

101. Акт о внедрении результатов диссертационной работы в ОКР 5524.

102. Справка об использовании результатов диссертационной работы в НТ/Р.