Геометрия симметрических пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Семенов Андрей Вячеславович

• Семенов Андрей Вячеславович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Семенов Андрей Вячеславович

Введение

Глава 1 Основные определения и факты

1.1 Алгебраические группы: обозначения

1.2 Алгебраические группы: определения

1.3 Микровесовые торы

1.4 Параболические подгруппы

1.5 Алгебра Ли и оператор Казимира

1.6 Йордановы алгебры и алгебры Альберта

1.7 Структурируемые алгебры

1.8 Алгебры Брауна и тройные системы Фрейденталя

1.9 Сужение Вейля

1.10 Индексы Дынкина

1.11 Спуск Галуа

1.12 Группы типа E6 и E7

Глава 2 Группы автоморфизмов проекторов на центральные простые алгебры

2.1 Автоморфизмы проекторов

2.2 Внутренние идеалы

2.3 Связь с геометрией симметрических пространств

Глава 3 Геометрия симметрического пространства типа EIII

3.1 Симметрические пространства: напоминание

3.2 Симметрическое пространство типа EIII

3.3 Фильтрация Черноусова-Меркурьева

3.4 Описание геометрии пространства EIII

Глава 4 Геометрия симметрического пространства типа EVI

4.1 Сбалансированные симплектические тернарные алгебры

4.1.1 Конструкция Титса-Кантора-Кёхера

4.1.2 Кватернионные гифты

4.2 Симметрическое пространство типа EVI

4.3 Расположение подалгебр

4.4 Описание геометрии пространства EVI

Глава 5 Скрученные формы коммутативных алгебраических моноидов на

аффинных пространствах

5.1 Основные понятия и идеи

5.1.1 Схемы как функторы

5.1.2 Алгебраические моноиды и их скрученные формы

5.1.3 Стратегия классификации

5.1.4 Автоморфизмы алгебраических моноидов

5.2 Три частных случая

5.3 Основные результаты для А^ и А2Р

5.4 Основной результат для А3Р

5.5 Финальные замечания

Заключение

Литература

Введение

Актуальность темы и степень ее разработанности

Симметрические пространства — один из центральных объектов дифференциальной геометрии, важный как сам по себе, так и в связи с группами Ли. В середине 1950-ых годов Борис Розенфельд заметил, что для многих (и в том числе почти для всех исключительных) симметрических пространств существует реализация как «эллиптической плоскости»: более конкретно, для каждого такого пространства существуют две алгебры с композицией над базовым полем такие, что «эллиптическая плоскость» (понимаемая почти формально с рядом исключений) над тензорным произведением двух таких алгебр является рассматриваемым изначально симметрическим пространством (для деталей см. [3]). Этот результат является, очевидно, глобальным аналогом хорошо известного «магического квадрата» Фрейденталя-Титса: например, симметрическое пространство FII является плоскостью Кэли (то есть оно реализуется как эллиптическая плоскость над алгеброй октав), а симметрическое пространство EVIII является эллиптической плоскостью над тензорными произведением двух алгебр октав.

Конструкция, которую представил Розенфельд в основополагающей статье докладов Академии наук СССР в 1956 году, не была формально строгой, и, таким образом, нуждалась в формализации. Оказывается, различных способов формализовать ее несколько: в конечном итоге она была формализована Винбергом (см. [63]), Ацуямой (см. [9]), а также несколько позже Хуангом и Леунгом (см. [36]). Логичным следующим шагом в направлении формализации и понимания симметрических пространств как геометрических объектов было понимание их внутренней геометрии (выраженной, в том числе, взаимным расположением различных алгебраических объектов в соответствующем пространстве). Несложно сформулировать естественные для многих типов симметрических пространств вопросы: «сколько прямых (в каком-то смысле) проходят через две точки в общем положении?» и «сколько прямых проходят через две точки в специальном положении?», где понятия общего и специального положения определяются в каждом конкретном случае независимо.

Винберг и Ацуяма, работая в «классическом» случае над R и C, независимо друг от друга посчитали число прямых, проходящих через две точки в общем положении (например, их 135 для случая EVIII), кроме того, Ацуяма также вычислил многообразия прямых, проходящих через две точки в специальных положениях для симметрических пространств EIII, EVI и EVIII.

Однако симметрические пространства имеет смысл рассматривать не только над веще-

ственными или комплексными числами: они допускают реализацию над произвольными полями характеристики не 2 — в этом случае, принимая за базовое поле F не обязательно алгебраически замкнутое поле характеристики не 2, симметрические пространства становятся естественным образом связанными с инволюциями на простых алгебраических группах. Классические работы на эту тему, обобщающие понятие симметрических пространств и раскрывающие эту связь, принадлежат Хельминку, Ричардсону, Спрингеру (см. [34], [55], [57] соответственно). Более того, недавно появились работы Хатченса (см. [39]), в которых исследуется также связь симметрических пространств над произвольным базовым полем с некоторыми специальными подалгебрами в неассоциативных алгебрах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия симметрических пространств»

Цель работы

В этой диссертации мы ставим своей целью обобщение результатов Ацуямы и Винберга на симметрические пространства типов EIII и EVI над произвольными полями различной характеристики. Основные результаты, полученные в статье [63] Винбергом и в статье [9] Ацу-ямой, существенным образом используют то, что рассматриваемые в этих статьях объекты находятся над вещественными или комплексными числами: так, например, для достижения нужных ответов Ацуямой используются интегралы и вещественно-аналитические идеи. Из этого следует, что методы, представленные в этих работах, не позволяют сделать какое-либо алгебраическое обобщение на более абстрактный случай базового поля. Таким образом, в данной диссертации мы отвечаем на естественный вопрос «можно ли избавиться от веще-ственнозначных предположений для достижения аналогичных результатов в случаях симметрических пространств некоторых типов?» положительно.

Для достижения этой цели мы развиваем аппарат анализа геометрии подалгебр в неассоциативных алгебрах. В пространствах типа EIII таковыми алгебрами являются алгебры Брауна и Альберта — что дает прямую связь «точек» и «прямых» в терминах кватерни-онных подалгебр с инволюцией и некоторых специальных 22-мерных подалгебр в алгебрах Брауна.

В пространствах типа EVI нам необходимы структурируемые алгебры и симплектические тройные алгебры, частным случаем которых являются знаменитые тройки Фрейденталя (см. [24]). Мы показываем, что некоторые 32-мерные подалгебры алгебр Брауна несут структуру симплектических тройных алгебр, после чего с помощью изучения геометрии пересечения 32-мерных подалгебр такого типа мы делаем выводы о расположении подгрупп типа Л1 индекса Дынкина 1 в E7, откуда возникает финальная классификация «точек» и «прямых» в случае пространства EVI. В этом случае роль «точек» и «прямых» играют группы типа Л! индекса Дынкина 1 в E7, а отношение инцидентности задается поточечным коммутированием элементов соответствующих подгрупп.

Для доказательств наших результатов также необходимо понимать строение некоторых специальных проекторов на центральных простых алгебрах: подобные проекторы возникают при попытке классифицировать геометрию пространства типа EIII в моменте классификации

прямых, а также в изучении геометрии пространства типа EVI при введении кватернионных гифтов, и мы показываем, что (абсолютно простую) алгебраическую группу присоединенного типа можно представить как компоненту связности группы автоморфизмов такого проектора. Похожие результаты получали Гордеев и Попов в статье [32]: они смогли доказать, что любая аффинная алгебраическая группа является группой автоморфизмов некоторого тензора валентности (1,2). Также в статье [13] подобный результат получил Браун — он рассматривал спинорное представление, в то время как проекторы, которые интересуют нас, могут быть заданы как тензоры валентности (2,2) в любом абсолютно неприводимом представлении. Такой результат также естественным образом связывает проекторы такого типа (а значит, и получающуюся в результате геометрию симметрического пространства типа EIII) с теорией инвариантов Васильева и классической теорией инвариантов (ср., например, с [11] и [42]). Также получаемые нами результаты приводят к красивому и новому доказательству теоремы Лихтенштейна об уравнениях, задающих проективное однородное многообразие.

Структура и содержание диссертации

Текст диссертации включает в себя введение, пять глав и заключение. Основные результаты изложены во Введении и в теоремах в конце Глав 2, 3, 4, 5. В Главе 1 изложены основные определения и факты, которые будут использоваться в дальнейшей работе.

Глава 2 посвящена доказательству того, что присоединенная абсолютно простая алгебраическая группа внутреннего типа является группой автоморфизмов соответствующего специального проектора центральной простой алгебры. Результаты этой главы и аналогии с конструкцией соответствующих проекторов позже используются для изучения геометрии симметрических пространств типов EIII и EVI.

В разделе 2.1 мы определяем стрелку п : End(V) —> End(V) для абсолютно неприводимого представления V абсолютно простой алгебры Ли g как композицию гомоморфизмов

End(V )(aa^End(V )* g* ^ g ^ End(V).

а также мы определяем t как (2,2)-тензор из End(V ® V), соответствующий п. Далее мы описываем свойства этих стрелок, доказывая следующую теорему:

Теорема 2.1.6. В предыдущих обозначениях справедливы следующие утверждения:

1. п является g-эквивариантной стрелкой;

2. Im п = p(g), и более того, существует некоторая константа c £ Kх такая, что

2

п = c ■ п;

3. Gad = AutW;

4. Морфизм t является образом оператора Казимира для g.

В разделе 2.2 мы определяем стрелку D : V ® V* ^ g по правилу (D(v ® a),x) = a(p(x)v) для v £ V, a £ V*, x £ g, где через (—, —) обозначена форма Киллинга. С помощью свойств

этой стрелки, ее связи с Ь и п и развитой в разделе 2.2 техники мы получаем новое, инвариантное доказательство хорошо известной теоремы Лихтенштейна.

Также мы формулируем и доказываем основной результат, посвященный проекторам такого типа:

Теорема 2.2.5. Пусть СаЛ — абсолютно простая алгебраическая группа присоединенного типа, и пусть к тому же СаЛ внутреннего типа. Пусть А — центральная простая алгебра над К и р : СаЛ —> РСЬ1(А) соответствующее абсолютно неприводимое проективное представление. Тогда существует проектор п : А —> А (как отображение линейных пространств) такой, что СаЛ = АШ;(п)0, где

Аи^п) = {/ € РСЬг(А) | п(/ф/-1) = /п(ф)/-1 для всех ф € А}.

Более того, 1т п является подалгеброй Ли в А, изоморфной Ые(Сай).

Наконец, в разделе 2.3 мы обсуждаем связь доказанных результатов с симметрическими пространствами.

Глава 3 посвящена изучению геометрии симметрического пространства типа Е111: в ней показано, что через две точки в общем положении в случае Е111 можно провести только одну прямую, а многообразие точек, лежащих на двух прямых в специальном положении, описывается напрямую.

Пусть Г — поле характеристики не 2 и не 3 и пусть К — его квадратичное расширение. Обозначим через В алгебру Брауна В (А) 27-мерной алгебры Альберта над Г. Она имеет структуру структурируемой алгебры, и можно рассмотреть ее многообразие Q кватерни-онных подалгебр (в смысле структурируемых алгебр). Само симметрическое пространство типа Е111 может быть представлено в виде Е6/П5 ■ От. В разделе 3.2 нами были доказаны следующие два предложения:

Предложение 3.2.3. Существует аффинное открытое подмногообразие А в сужении Вейля Як/р(Ск/Р1) такое, что оно является скрученной формой Е6/Б5 ■ Ст и Q является множеством Г-рациональных точек этого подмногообразия. Если к тому же группа С анизотропна, то дополнение к А не имеет Г-рациональных точек.

Теперь рассмотрим отображение п(^) = К^ ■В, где Q € Q и К^ обозначает ортогональное дополнение к К в Q, а умножение поточечное.

Предложение 3.2.4. п^) является подалгеброй в В и &тр п^) = 22 для любой ква-тернионной подалгебры Q в В. Более того, п индуцирует биекцию открытых подмногообразий в Як/р(АиЬ(В)0к/Р1) и Як/р(АиЬ(В)К/Р6 соответственно.

Далее мы вводим геометрию на симметрическом пространстве типа Е111, определяя точки и прямые.

В разделе 3.3 нами был описан частный случай фильтрации Черноусова-Меркурьева:

Предложение 3.3.2. Пусть С — группа внутреннего типа Е6, и пусть Р1 и Р6 — соответствующие параболические подгруппы. Тогда существуют фильтрации, чьи последовательные разности между соседними членами — аффинные расслоения над однородными

многообразиями:

G/P6 x G/P6

D

G/P

1,6

X

D

G/P5,6 ;

G/P6

G/P6 x G/Pi

D

G/P6

Y

D

G/Pi

1,6

G/P

5,6 •

Стрелки между аффинными расслоениями определяются формулами P, Q м- (PHQ)-Ru(P), где P — типа P6 и Q —типа P6 или Pi соответственно.

Отсюда мы делаем вывод о расположении прямых и точек в EIII, что формулируется и доказывается нами в разделе 3.4:

Теорема 3.4.1. Справедливы следующие утверждения:

1. Пусть L\ и L2 — две прямые в общем положении. Тогда они пересекаются не более чем в одной точке, причем условие на пересечение ровно в одной точке является открытым. Если группа G анизотропна, то дополнение к открытому подмногообразию, определяемому этим условием, не имеет F-рациональных точек.

2. Пусть Li и L2 — две прямые в специальном положении. Тогда множество {H £ Q | H ^ LiHL2] может быть представлено как множество F-рациональных точек аффинного открытого подмногообразия в Rk/f(P4), являющегося скрученной формой A4/A3 ■ Gm.

3. Для любой прямой L существует некоторая 8-мерная изотропная гладкая квадрика такая, что множество точек, принадлежащих L, может быть представлено как множество F-рациональных точек некоторого ее аффинного открытого подмногообразия в сужении Вейля с K до F. Более того, эта квадрика является скрученной формой D5/D4 ■ G

В Главе 4 мы занимаемся изучением симметрического пространства типа EVI и его геометрии, излагаемые в ней результаты подводят в доказательству Теоремы 4.4.1.

Все доказываемые в этой главе результаты справедливы для произвольного поля F характеристики нуль. В разделе 4.1 мы обсуждаем прелиминарии и основные факты, которые понадобятся нам в дальнейшем. Основным инструментом работы будет сбалансированная симплектическая тернарная алгебра с одной стороны, и тройная система Ли с другой. В разделе 4.1.1 мы обсуждаем конструкцию Титса-Кантора-Кёхера, которая позволяет с помощью сбалансированной симплектической тернарной алгебры (здесь и далее мы будем писать ССТА вместо этого термина) перейти к тесно связанной с ней 5-градуированной алгебре Ли: полученная алгебра обозначается TKK(A). Далее мы доказываем важный структурный факт о ССТА:

8

1

A

A

5

A

A

Предложение 4.1.14. Для любой ССТА A, если TKK(A) редуктивная алгебра Ли, то изначальная ССТА A проста.

На практике это означает, что если TKK(A) редуктивна, то она обязательно полупроста. В разделе 4.1.2 мы реферативно обсуждаем понятие кватернионного гифта с небольшими поправками на рассматриваемый нами случай.

В разделе 4.2 мы даем описание пространства EVI, имеющего вид E7/D6 + Ai и вводим понятие геометрии на нем. Для этого мы рассматриваем многообразие S(G) всех подгрупп типа A1 в полупростой линейной группе G таких, что вложение соответствующих алгебр Ли имеет мультииндекс Дынкина (0,... , 1,... , 0), после чего показываем, что в предположении группы G типа E7 и условия S(G)(F) = 0 такое многообразие имеет тип EVI как симметрическое пространство, что позволяет далее работать с ним. Мы доказываем следующее Предложение.

Предложение 4.2.1. Справедливы следующие утверждения:

1. S(G1 ■ G2) = S(G1) U S(G2) для любых линейных групп G1 и G2;

2. Если групп G проста, то многообразие S(G) однородно в алгебраическом смысле (т.е. все такие A1-подгруппы сопряжены над F).

Далее, мы вводим структуру геометрии на симметрическом пространстве типа EVI следующим образом: положим элементы S(G)(F) в качестве как точек, так и прямых. Будем говорить, что точка инцидентна прямой, если соответствующие подгруппы A^ и A12) (обе имеют тип A1) коммутируют, или, более точно, если для каждого x Е A^ и y Е Ai2) (где точка берется над замыканием поля F) выполнено соотношение xy = yx.

Наконец, в основном разделе 4.3 данной главы нами формулируются результаты, касающийся подгрупп типа Ai в E7 и соответствующих подалгебр.

Лемма 4.3.2. Пусть H1 и H2 — централизаторы двух микровесовых подгрупп типа A1 в G, и пусть H1 = Aut(W), как в Лемме 4.2.3. Тогда существует кватернионный подгифт, U в W (кватернионной) размерности хотя бы 4 такой, что TKK(U) проста и существует, некоторая полупростая группа H такая, что

[Hi П H2, Hi П H2]0 = Aut(U) ■ H.

Лемма 4.3.3. Пусть H1 и H2 — централизаторы двух коммутирующих микровесовых подгрупп типа A1 в G. Тогда H1 П H2 имеет тип D4 + A1.

Лемма 4.3.4. Для любой простой ССТА A размерности хотя бы 8 существует простая подалгебра M ^ A над F такая, что dim M = 8.

Лемма 4.3.5. Пусть V — 32-мерная ССТА над алгебраически замкнутым полем F такая, что TKK(V) имеет тип E7. Тогда для любых простых M1,M2 ^ A таких, что dim M1 = dim M2 = 8 существует g Е TKK(V) такой, что TKK(M1) = g-1 TKK(M2)g.

В последнем разделе Главы 4 мы формулируем и доказываем основную теорему про геометрию симметрического пространства типа EVI.

Теорема 4.4.1. Пусть А и В — две точки в 5 (С) для анизотропной группы С типа Е7. Тогда существует симметрическое пространство С над Е из следующего списка:

1. В%/В± + 2А1 (в случае А = В),

2. В4/4А1Ц (в случае коммутирования А и В),

3. рШр1Цр1 (в общем положении),

4. В3/ЗА1Ц р1,

5. А3/А2 ■ СтЦ р^

6. В2/2А1Ц р1,

7. А5/А3 + А1,

8. С3/С2 + А1,

и существует некоторая скрученная форма С' пространства С такая, что выполнено следующее равенство:

[Ь — прямая | Ь проходит через А и В} = С'(Е).

Наконец, в Главе 5 мы находим приложение методам, используемым нами для исследования геометрии симметрических пространств: а именно, методами, использующимися для работы с группами автоморфизмов, а также с помощью спуска Галуа получаем классификационные результаты, касающиеся аффинных алгебраических моноидов над произвольными полями характеристики нуль.

В разделах 5.1.1 и 5.1.2 мы формулируем основные факты, которые будем использовать при доказательствах. Раздел 5.1.3 посвящен объяснению стратегии классификации, а в разделе 5.1.4 доказываются несложные факты про автоморфизмы моноидов.

Теперь, сделав всю необходимую подготовительную работу, в разделе 5.2 мы доказали три следующих Предложения, описывающих важнейшие частные случаи малых ранга и коранга:

Предложение 5.2.1. Любой коммутативный моноид на Ап ранга нуль изоморфен моноиду С, который задается по формуле

(Х1, ...,хп) * (У1, ...,уП) = (Х1 + У1,.. .,Хп + Уп).

Предложение 5.2.2. Любой коммутативный моноид на Ап коранга нуль изоморфен мультипликативному моноиду сепарабельной алгебры над Е, причем неизоморфные алгебры соответствуют неизоморфным моноидам.

Предложение 5.2.5. Для любого коммутативного моноида коранга 1 на Ап существует семейство сепарабельных алгебр Я1г . .,Як размерностей ¿1,..., ¿к соответственно, и существует последовательность целых чисел 0 ^ с1 < ... < ск такая, что ¿1 +... + ¿к = п — 1,

что моноидальная структура задана формулой

(Х1,... }хк}х) * .. ,ук,у) = (Хгу-1. }хкук(х)С1 ...М(Хк)°ку+

+ N(уХ ...М(ук)с*х), (1)

где у — это ¿г-арки координат,, все произведения хгуг вычисляются по формуле, определяющей произведение в Яг в некотором фиксированном базисе, а N (хг) и N (уг) вычисляются по формуле, которая задает нормы в Яг. Более того, числа ¿г и сг, а также классы изомор-физов Яг определены однозначно классами изоморфизмов моноидов.

Все коммутативные моноидальные структуры на А^ и А2Р полностью покрываются результатами Предложения 5.2.1, Предложения 5.2.2 и Предложения 5.2.5. Таким образом, в разделе 5.3 мы доказываем следующий результат.

Теорема 5.3.1. 1) Любой коммутативный моноид на А^ изоморфен одному из следующих моноидов:

А: (х) * (у) = (х + у);

М: (х) * (у) = (ху).

2) Любой коммутативный моноид на А2Р изоморфен одному из следующих моноидов:

ранг обозначение (х !, х2) * (у ! , у2)

0 2А (х ! + у ъх2 + у 2)

1 М + А ь (х!у! ,х\у2 + уЬх2), Ь Е о

2 М + М (х ! у 1,х2у2)

2 М (К) мультипликативный моноид квадратичного расширения К/Я.

Более того, эти моноиды попарно неизоморфны.

Далее, в разделе 5.4 мы доказываем два Предложения, описывающих недостающие для классификации случаи моноидов на А^.

Предложение 5.4.1. Пусть Ь,с Е Z, 0 ^ Ь ^ с. Тогда коммутативный моноид М на А^, заданный формулой

(х! ,х2,хз) * (уЬу2,уз) = (х^ьх^ + у\ х2,х\уз + у{ х3)

не имеет нетривиальных скрученных форм.

Предложение 5.4.2. Пусть Ь,с Е 2>0, Ь ^ с. Определим числа ¿,е Е Ъ формулой с = Ьд + е, где 0 ^ е < Ь. Обозначим за QЬc полином, определяющийся следующей формулой:

Яь,е(х!,у!,х 2,у2)

(х!у2 + уЬх2)а+! - (х\у2)а+! - (уЬх2)а+!

Тогда коммутативный моноид М на А3Р, заданный правилом

(Х1,Х2,Х3) * (У1,У2,У3) = (Х1у1,х1у2 + у\Х2,х\у3 + у{Х3 + Qь,c(Хl ,У1,Х2,У2))

не имеет нетривиальных скрученных форм.

Теперь можно подвести все полученные результаты к единому итогу. Теорема 5.4.3. Любой коммутативный моноид на А^ изоморфен одному из следующих моноидов:

ранг нотация (Х1,Х2,Х3) * (у1, у 2, У3 )

0 3А (Х1 + У1,Х2 + У2,Х3 + У3)

1 М + А + А Ь с (Х1У1, х1у2 + УЬ1Х2 ,ХС1У3 + УСХ3), где Ь,с Е 0, Ь ^ с,

1 М + А + А Ь Ь,с (Х1У1,Х1У2 + УЬХ2,Х1У3 + УСХ3 + Qь,c(Хl, У1, Х2, У2)),

где Ь,с Е Ъ>0, Ь ^ с,

2 М + М + А Ь,с (х1У1, Х2У2, Х1Х2У3 + УЬУС х3),

где Ь,с Е 0, Ь ^ с,

2 М2 (К) + А с ((Х1,Х2) *М(к) (У1,У2), ^к(Х1,Х2)СУ3 + Nк(у1 ,У2)СХ3), где с Е о, degК/Е = 2 ,

3 М + М + М (Х1У1,Х2У2,Х3У3),

3 М2 (К) + М ((Х1,Х2) *М(к) (У1,У2),Х3У3),

3 М 3(К) мультипликативный моноид кубического расширения К/Е.

Здесь полином Qь,c определен в Предложении 5.4.2. Под (Х1,у1) *м(к) (Х2,у2) мы всегда понимаем формулу, которая определяет умножение в К для некоторого фиксированного базиса, а под Ык(х1;х2) мы всегда понимаем формулу, определяющую норму в К в этом же базисе.

Более того, все эти моноиды попарно неизоморфны.

Научная новизна работы

Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены подробными, формально строгими доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее результаты, однако, могут быть направлены на получение новых результатов о геометрии симметрических пространств других, не рассмотренных в данной диссертации типов. Отдельно хочется отметить, что представленные в работе методы могут быть примененены как для изучения других геометрий на симметрических пространствах разных типов, так и в областях, не относящихся напрямую к симметрическим

пространствам и их геометриям: например, в теории алгебраических моноидов или для исследования геометрии неассоциативных алгебр. Также материалы диссертации могут быть широко использованы для проведения спецкурсов и спецсеминаров по темам, близким к теме диссертации: например, в курсах по алгебраическим группам, алгебраической геометрии, а также в курсах, связанных со спуском Галуа и вопросами расширений полей.

Методы исследования

В данной диссертации мы свободно используем язык алгебраических групп и алгебраической геометрии. Основными средствами для достижения заявленной цели являются являются спуск Галуа, фильтрации на произведениях однородных проективных многообразий и использование геометрии подалгебр в соответствующих случаю алгебрах Брауна и Альберта, а также нами широко используются общие техники и конструкции для вычислений в структурируемых алгебрах и различных алгебраических группах.

Положения, выносимые на защиту

1. Доказательство того, что что присоединенная абсолютно простая алгебраическая группа внутреннего типа является группой автоморфизмов некоторого специального проектора центральной простой алгебры в случае произвольного базового поля характеристики нуль.

2. Новое доказательство теоремы Лихтенштейна.

3. Определение и полное описание конфигураций пар точек и пар прямых на симметрическом пространстве типа EIII в терминах геометрии различных подалгебр в алгебрах Брауна в случае произвольного базового поля характеристики не 2 и не 3.

4. Определение и полное описание конфигураций пар точек и пар прямых на симметрическом пространстве типа EVI в терминах в терминах сбалансированных симплектических тернарных алгебр и кватернионных гифтов, используя геометрию A^-подгрупп в группах типа E7 в случае произвольного базового поля характеристики нуль.

5. Обобщение классификации аффинных алгебраических моноидов на An для n £ {1, 2, 3} на случай незамкнутого поля характеристики нуль. Классификация отдельных случаев для таких моноидов на An для произвольного n £ N.

Апробация работы и публикации

Результаты данной диссертационной работы представлены в следующих докладах, сделанных на различных спецсеминарах и конференциях:

1. доклад на спецсеминаре «Алгебраические группы», лаборатория Чебышева, 2022 год.

2. доклад на конференции «Algebraic groups: the White Nights season II», Санкт-Петербург, 2022 год.

3. постерный доклад на летней математической школе-конференции «Алгебра и геометрия», Суздаль, 2022 год.

Основные результаты диссертации опубликованы двух печатных работах [67] и [70], одной принятой к печати работе [68] и одном препринте [69]. Все опубликованные статьи входят в список рекомендованных ВАК для соискателей ученой степени кандидата или доктора наук. Статьи [67], [68] и [69] были написаны в соавторстве с научным руководителем, при этом научным руководителем были сформулированы задачи и предложены некоторые методы и идеи для достижения поставленных результатов, а также предложены некоторые обобщения доказательств диссертанта до необходимо абстрактного уровня.

Статья [70] написана в соавторстве, причем соискателю принадлежат все результаты разделов 3 и 4, доказательство Предложения 5.1 (в данной диссертации это Предложение 5.2.1, Предложение 5.2.2, Предложение 5.2.5 и Предложение 5.4.1). Таким образом, Теорема 5.3.1 принадлежит автору, а Теорема 5.4.3 получена совместно с соавтором.

Благодарности

Диссертант выражает глубочайшую благодарность своему научному руководителю Виктору Александровичу Петрову за бесконечное терпение и яркий математический талант, проявленные им в течение моего обучения.

Глава 1 Основные определения и факты

В данной главе нам будет удобно сконцентрировать все основные факты и понятия, которые мы будем в дальнейшем использовать. Заметим, что основные понятия, относящиеся к алгебрам Ли, системам корней, группам Вейля, весам (алгебраических групп и алгебр Ли), представлениям, линейным алгебраическим группам и классическим группам мы предполагаем известными читателю и отсылаем к [37] и [4].

1.1 Алгебраические группы: обозначения

Пусть Я — некоторое поле произвольной характеристики р Е N и {0}, и пусть Я — алгебраическое замыкание оля Я. Во всех результатах данной работы потребуется условие р = 2, а во многих разделах дополнительно необходимо условие р = 3. Исходя из этого в главах, посвященных результатам, мы будем придерживаться обоих этих условий. В параграфах же, посвященных теории, мы каждый раз будем оговаривать характеристику отдельно.

Зафиксируем рV — (конечномерное) евклидово пространство размерности п, скалярное произведение на котором будем обозначать через (—, —). Рассмотрим приведенную неприводимую систему корней Ф в V.

Для корней а, в Е Ф положим {в, а) = и будем обозначать так соответствующее

число Картана. Определим также для корня а Е Ф его двойственный корень ау = (2а): заметим, что в таком случае справедливо равенство {в,а) = (в,а^). Через Фу мы будем обозначать множество {ау | а Е Ф} всех двойственных корней по отношению к Ф.

Также полезно будет зафиксировать решетку корней Q(Ф), порожденную всеми корнями а Е Ф, и решетку весов

Р(Ф) = {и Е V | (и, ау) Е 2 для всех ау Е ФУ}.

В Ф существует множество простых корней П: после соответствующей нумерации можно записать П = {а!,... ,ап}. Тогда относительно П можно корректно определить множества Ф- и Ф+ в Ф, где Ф+ является множеством положительных корней, а Ф- является множеством отрицательных корней. Таким образом, корректно задается (частичный) порядок на весах Ф: для каждых А,^ Е Р(Ф) положим

А ^ ^, если Х — ^ = ^^ тгаг, «¿еп

где mi ^ 0 для всех возможных i.

Для произвольной алгебраической группы G, ее подгруппы H и подмножества S мы будем обозначать через CentH(S) централизатор S в H, через NH (S) нормализатор S в H, а через D(H) или [H, H] коммутант H. Алгбраическая группа G, определенная над F, будет иногда называться алгебраической F-группой, через Gk будет обозначаться расширение скаляров, в то время как G(K) будет обозначать множество ее K-рациональных точек для произвольного расширения K над F.

1.2 Алгебраические группы: определения

Для некоторого поля F характеристики не 2 и некоторой решетки L такой, что ф(Ф) С L С P(Ф) положим G = G^,F) — группу Шевалле типа Ф, L над F, и пусть T = T(Ф, F) — максимальный расщепимый тор в G. Зафиксируем подгруппу Бореля B в G такую, что она определена над F и T С B. Через W будем обозначать группу Вейля Ф.

Определение 1.2.1. Группа G = G^,F) называется односвязной, если L = P(Ф). В этом случае мы будем обозначать ее символом Gsc.

Определение 1.2.2. Группа G = G^,F) называется группой присоединенного типа, если L = ф(Ф). В этом случае мы будем обозначать ее символом Gad.

Замечание 1. В данном тексте, допуская вольность речи, мы будем называть Gad как группой присоединенного типа, так и просто присоединенной группой.

Определение 1.2.3. Группа G называется абсолютно простой, если ее диаграмма Дынкина связна.

Пусть П С Ф — система соответствующих B простых корней, и пусть, как обычно, Фи Ф+ — множества отрицательных и положительных корней соответственно (по отношению к П). Для некоторой подгруппы H ^ G мы будем также писать Ru(H) для обозначения унипотентного радикала H в G, если его можно корректно определить.

Обозначим через xa(b) элементарный корневой унипотент в G, который соответствует корню а £ Ф и числу b £ F, и через Ua обозначим соответствующую корню а корневую унипотентную подгруппу:

Ua = {Ха(Ь) | b £ F}.

Определение 1.2.4. Через Fsep мы всюду будем обозначать (единственное) сепарабельное замыкание поля F, то есть множество сепарабельных элементов F над F.

Группа Галуа Gal(Fsep/F) действует на всех описанных выше структурах: см. [61] для определения и описания этого действия.

Определение 1.2.5. Будем называть ^-действием действие группы Галуа на на T, B, W, Ф и на П.

Определение 1.2.6. Мультилинейное отображение f : V™ —> V2 будет называться альтернированным, если f (х 1,... , хп) = 0 для всех таких наборов (х 1,... , хп) Е Vй, что х^ = х^ для некоторых индексов г = ].

1.3 Микровесовые торы

Данный параграф целиком базируется на работе Вавилова и Нестерова [62] о микровесовых торах. Напомним кратко их конструкцию.

Пусть, в предыдущих обозначениях, дано множество корней Ф, пусть Р является решеткой, лежащей между Q(Ф) и Р(Ф), и пусть С = С(Ф, Я) — группа Шевалле типа Ф, Р над Я. Фиксируем максимальный расщепимый тор Т и вес ш Е Р(Фу). Тогда мы имеем (Ф,ш) С 2 и мы можем корректно задать характер £ш,а для всех а Е Я * по правилу

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Семенов Андрей Вячеславович, 2023 год

Литература

[1] Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Часть 3. Подалгебры Картана. Регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли. М.: Мир, 1978.

[2] В.А. Корлюков. Линейные группы, порожденные двумерными элементами порядка r > 5, Вестник МГУ. 1983. T. 38, № 5, стр. 21-25.

[3] Б. А. Розенфельд. Геометрическая интерпретация компактных простых групп Ли класса E, Доклады академии наук СССР 110 (1956), стр. 23-26.

[4] Дж. Хамфрис. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, М.: МЦНМО 2003.

[5] B. N. Allison. Models of isotropic simple Lie algebras, Comm. Algebra 7 (1979), no. 17, 18351875. MR 547712.

[6] B. N. Allison. A construction of Lie algebras from J-ternary algebras, American J. Math. 98 (1976), 285-294.

[7] B. N. Allison and J. R. Faulkner. a Cayley-Dickson process for a class of structurable algebras, Transactions of the American mathematical society, vol. 283, number 1, 1984.

[8] I. Arzhantsev, S. Bragin and Y. Zaitseva. Commutative algebraic monoid structures on affine spaces, Communications in Contemporary Mathematics, Vol. 22, No. 08 (2020), P. 1950064: 1.

[9] Kenji Atsuyama. The connection between symmetric space E6/S0(10) ■ SO(2) and projective planes, Kodai Math. J. 8 (1985), 236-248.

[10] B. Bilich. Classification of noncommutative monoid structures on normal affine surfaces, Proceedings of the American Mathematical Society, published online.

[11] Indranil Biswas and Niels Leth Gammelgaard. Vassiliev Invariants from Symmetric Spaces, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, vol. 25, no. 10 (2016).

[12] Lien Boelaert, Tom De Medts and Anastasia Stavrova. Moufang sets and structurable division algebras, Memoirs of the American Mathematical Society 259 (1245), 2016.

[13] Robert B. Brown. A characterization of spin representations, Can. J. Math., Vol. XXIII, No. 5, 1971, pp. 896-906.

[14] A. Borel and J. Tits, Groupes reductifs, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. (1965), no. 27, 55-151.

15] R. W. Carter, Finite groups of Lie type, John Wiley and Sons Inc., 1985.

16] Vladimir Chernousov and Alexander Merkurjev. Motivic decomposition of projective homogeneous varieties and the Krull-Schmidt theorem, Transf. Groups 11 (2006), 371-386.

17] Michel Demazure and Alexander Grothendieck. Schémas en groupes III. Structure des schémas en groupes reductifs, Lecture Notes in Math. 153, Springer, Berlin (1962-64).

18] S. Dzhunusov and Y. Zaitseva. Commutative algebraic monoid structures on affine surfaces, Forum Mathematicum 33 (2021), no. 1, pp. 177-191.

19] D. Eisenbud and J. Harris. The Geometry of Schemes, Springer, New York, 2000.

20] Mboyo Esole and Monica Jinwoo Kang. Matter representations from geometry: under the spell of Dynkin, preprint https://arxiv.org/pdf/2012.13401.pdf.

21] R. Farnsteiner, On ad-semisimple Lie algebras, J. Algebra 83 (1983), 510-519. 22| John R. Faulkner. On the Geometry of inner ideals, Journal of Algebra, 26, 1-9 (1973).

23] John R. Faulkner and Joseph C. Ferrar. On the structure of symplectic ternary algebras, Indagationes Mathematicae 75 (1972), 247-256.

24] C. Ferrar. Strictly regular elements in Freudenthal triple systems, Transactions of the AMS 174 (1972), pp. 313-331.

25] Hans Freudenthal. Beziehungen der E6 und E7 zur Oktavenebene. I, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 57 (1954), 218-230.

26] R. Skip Garibaldi. Groups of type E7 over arbitrary fields, Communications in Algebra, vol. 29, no. 6, 2689-2710.

27] R. Skip Garibaldi and Michael Carr. Geometries, the principle of duality, and algebraic groups, Expo. Math. 24 (2006), pp. 195-234.

28] Skip Garibaldi. Structurable algebras and groups of type E6 and E7, J. Algebra 236 (2001), pp. 651-691.

29] Skip Garibaldi and Philippe Gille. Algebraic groups with few subgroups, J. London Math. Soc. 80 (2009), 405-430.

30] Philippe Gille. Groupes algebriques semi-simples en dimension cohomologique ^ 2, Lecture Notes in Math. 2238 (2019).

31] Benedict H. Gross, Skip Garibaldi. Minuscule embeddings, Indagationes Mathematicae, 32 (2021), 987-1004.

[32] N.L. Gordeev and V.L. Popov. Automorphism groups of finite dimensional simple algebras, Annals of Math. 158 (2003), pp. 1041-1056.

[33] Brian Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222, Springer, 2015.

[34] Aloysius G. Helminck. On the Classification of k-Involutions, Advances in Mathematics, 153 (2000), pp. 1-117.

[35] Holger P. Petersson, Michel L. Racine. An elementary approach to the Serre-Rost invariant of Albert algebras, Indag. Math. 7 (1996), 343-365.

[36] Yongdong Huang and Naichung Conan Leung. A uniform description of compact symmetric spaces as Grassmannians using the magic square, Math. Ann., volume 350, pp.79-106 (2011).

[37] J. E. Humphreys. Linear Algebraic Groups, Springer, New York, 1975.

[38] Mark Hunnel. Minimal parabolic k-subgroups acting on symmetric k-varieties corresponding to k-split groups, J. Algebra and Its Applications 20 (2021), paper no. 2150199, pp. 18.

[39] John Hutchens. Isomorphism classes of k-involutions of algebraic groups of type E6, Beitrage zur Algebra und Geometrie 57 (2016), pp. 525-552.

[40] N. Jacobson. Structure and representations of Jordan algebras, AMS Coll. Pub., vol 39, AMS, Providence, RI 1968.

[41] Noriaki Kamiya. A Structure Theory of Freudenthal-Kantor Triple Systems, Journal of Algebra 110, 108-123 (1987).

[42] G.I. Lehrer and R.B. Zhang. Strongly multiplicity free modules for Lie algebras and quantum, groups, Journal of Algebra 306 (2006) 138-174.

[43] Woody Lichtenstein. A system of quadrics describing the orbit of the highest weight vector, Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 84, No. 4 (1982), pp. 605-608.

[44] K. Meyberg. Eine Theorie der Freudenthalschen Tripelsysteme. I, II Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 71 (1968), pp. 162-190.

[45] Kevin McCrimmon. A Taste of Jordan Algebras, Springer, 2003.

[46] Andrei N. Minchenko. The semisimple subalgebras of exceptional Lie algebras, Trans. Moscow Math. Soc. 67 (2006), pp. 225-259.

[47] Victor A. Petrov. A rational construction of Lie algebras of type E7, J. Algebra 481 (2017), 348-361.

[48] Viktor Petrov, Anastasia Stavrova. Tits indices over semilocal rings, Transformation Groups, 16:1 (2011), pp. 193-217

[49] Eugene Plotkin, Andrei Semenov and Nikolai Vavilov. Visual basic representations: an atlas, Internat. J. Algebra Comput. 8 (1998), pp. 61-95.

[50] B. Poonen. Rational Points on Varieties, American Mathematical Society, 2017.

[51] M. Putcha. Linear Algebraic Monoids, London Math. Soc. Lecture Notes, vol. 133, Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1988.

[52] L. Renner. Linear Algebraic Monoids, Encyclopaedia Math. Sciences 134, Springer, Berlin, 2005.

[53] A. Rittatore. Algebraic monoids and group embeddings, Transform. Groups 3 (1998), no. 4, pp. 375-396.

[54] A. Rittatore. Algebraic monoids with affine unit group are affine, Transform. Groups 12

(2007), no. 3, pp. 601-605.

[55] Roger W. Richardson. Orbits, Invariants and Representetions Associated to Involutions of Reductive Groups, Inventiones mathematicae, volume 66 (1982), pp. 287-312.

[56] J. P. Serre. Galois Cohomology, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1997.

[57] Tonny A. Springer. Decompositions related to symmetric varieties, Journal of Algebra, 329 (2011), pp. 260-273.

[58] Tonny A. Springer and Ferdinand D. Veldkamp. On Hjemslev-Moufang planes, Math. Z. 107 (1968), pp. 249-263.

[59] The Stacks Project Authors, Stacks Project, http://stacks.math.columbia.edu.

[60] Jacques Tits. Unipotent elements and parabolic subgroups of reductive groups. II, in: Algebraic Groups, Lecture Notes in Math. 1271, Springer, Berlin (1987), pp. 265-284.

[61] Jacques Tits. Classification of algebraic semisimple groups, Algebraic groups and discret groups, Matematika, 12:2 (1968), pp. 110-143.

[62] N.A. Vavilov, V.V. Nesterov. Geometry of microweight tori, Vladikavkaz. Mat. Zh., 10:1

(2008), pp. 10-23.

[63] E. Vinberg. Short SO3-structures on simple Lie algebras and the associated quasielliptic planes, Amer. Math. Soc. Transl. 213 (2005), pp. 243-270.

[64] E. Vinberg, On reductive algebraic semigroups, In: Lie Groups and Lie Algebras, E.B. Dynkin Seminar, S. Gindikin and E. Vinberg, Editors, AMS Transl. 169, 145-182, Amer. Math. Soc., 1995.

[65] W. Waterhouse, Introduction to Affine Group Schemes, Springer-Verlag, New York, 1979.

[66] Hermann Weyl. The Classical Groups. Their Invariants and Representations, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1939.

[67] Viktor A. Petrov, Andrei V. Semenov. Adjoint algebraic groups as automorphism groups of a projector on a central simple algebra, Journal of Algebra, Volume 560, 15 October 2020, pp. 574-578.

[68] Viktor A. Petrov, Andrei V. Semenov. Geometry of symmetric spaces of type EIII, принято к печати в журнал «Алгебра и анализ», https://arxiv.org/abs/2205.00509.

[69] Viktor A. Petrov, Andrei V. Semenov. Geometry of symmetric spaces of type EVI, preprint, https://arxiv.org/abs/2208.13730.

[70] Andrei V. Semenov and Pavel Gvozdevsky. Twisted forms of commutative monoid structures on affine spaces, Journal of Algebra, Vol 608 (2022), pp. 272-289.

St. Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

manuscript

Andrei V. Semenov GEOMETRY OF SYMMETRIC SPACES

1.1.5. Mathematical logic, algebra, number theory and discrete mathematics

Candidate of Physical and Mathematical sciences

Translation from Russian

Scientific advisor: Doctor of Science Viktor A. Petrov

ST. PETERSBURG 2022

Contents

Introduction....................................................................................90

Chapter 1 Main definitions and facts......................................................99

1.1 Algebraic groups: notations ............................................................99

1.2 Algebraic groups: definitions............................................................100

1.3 Microweight tori..........................................................................100

1.4 Parabolic subgroups ....................................................................101

1.5 Lie algebras and Casimir operator......................................................103

1.6 Jordan algebras and Albert algebras ..................................................103

1.7 Brown algebras and Freudenthal triple systems........................................109

1.8 Weil restriction..........................................................................111

1.9 Dynkin indices ..........................................................................111

1.10 Galois decsent............................................................................113

1.11 Groups of types E6 and E7..............................................................116

Chapter 2 Adjoint algebraic groups as automorphism groups of a projector on

a central simple algebra ............................118

2.1 Automorphism group of a projector....................................................118

2.2 Inner ideals..............................................................................120

2.3 Connection with geometry of symmetric spaces ......................................122

Chapter 3 Geometry of symmetric spaces of type EIII................123

3.1 Symmetric spaces: the reminder........................................................123

3.2 Description of EIII......................................................................124

3.3 Chernousov-Merkurjev filtration for E6................................................126

3.4 Description of geometry of symmetric spaces of type EIII ............................128

Chapter 4 Geometry of symmetric spaces of type EVI................131

4.1 Balanced symplectic ternary algebras ..................................................131

4.1.1 Tits-Kantor-Kocher construction..............................................133

4.1.2 Quaternionic gifts................................................................135

4.2 Description of EVI......................................................................136

4.3 The geometry of subalgebras ............................................................137

4.4 Description of geometry of symmetric spaces of type EVI ............................139

Chapter 5 Twisted forms of commutative monoid structures on affine spaces . . 142

5.1 Main definitions and facts..............................................................142

5.1.1 Schemes as functors..............................................................143

5.1.2 Algebraic monoids and twisted forms..........................................143

5.1.3 Strategy of classification........................................................144

5.1.4 Automorphisms of algebraic monoids..........................................145

5.2 Three particular cases ..................................................................145

5.3 Main results for A1F and ............................................................149

5.4 Main results for A3F......................................................................150

5.5 Final remarks............................................................................153

Conclusion ........................................................................................155

Bibliography ..........................................156

Introduction

Relevance of the topic and the state of the art

Symmetric spaces are one of the objects of main interest in differential geometry, and this theory grows rapidly. They are also strongly connected with Lie groups. In the 1950-ies Boris Rosenfeld noticed that many symmetric spaces (which include almost all exceptional cases) can be realized as "elliptic planes": more precisely for any such symmetric space there exist two composition algebras over the base field such that "elliptic plane" (this means elliptic plane with some exceptions) over the tensor product of two such algebras is the symmetric space considered above (see [3] for details). This result provides a global analogue of well-known Freudenthal-Tits magic square: for example, symmetric space FII is a Cayley plane (in the sense this is an elliptic plane over octonion algebra), and symmetric space EVIII is an elliptic plane over tensor product of two octonion algebras.

The construction described by Rosenfeld in 1956 in his paper in Proceedings of the USSR Academy of Sciences was not formal, so it should have been formalized. There were many ways to formalize it. So it were formalized by Vinberg (see [63]), Atsuyama (see [9]), and much later by Yongdong Huang and Naichung Conan Leung (see [36]). The next logical step in this direction was understanding of inner geometry of symmetric spaces. This means, for example, understanding of how some algebraic objects could mutually lie in such spaces. It is not hard to formulate some natural (for many symmetric spaces) questions: firstly, "how many lines pass through two points in general position (in some sense)?" and secondly, "how many lines pass through two points in special position (in some sense)?", where the notions of general position and special position can be defined in each case independently.

Working in the classical case of R and C, Vinberg and Atsuyama counted the number of lines through two points in general position independently (for example, 135 in the case of EVIII). Moreover, Atsuyama identified the variety of the lines through two points in special position for symmetric spaces of types EIII, EVI, and EVIII.

It is important that one can develop symmetric spaces not only over R or C: one can define them over any field of characteristic not two. In this case they are related to involutions on simple algebraic groups. We refer to the classical works of Helminck, Richardson, Springer (see [34], [55], [57] respectively), where one can find details. Moreover, their connection with non-associative algebras and their subalgebras was developed in recent Hutchens research (see [39]).

The purpose of research

In this thesis our aim is to generalize Atsuyama's and Vinberg's result on the case of arbitrary base field of some characteristic, where we develop the cases of symmetric spaces of types EIII and EVI. Main results described in [63] and [9] uses the real and complex arguments significantly. For example, in order to reach the result, Atsuyama used calculus over real and complex numbers. So those methods cannot be used in more general situation. In this thesis we give the positive answer to the natural question "is it possible to abandon such restrictions and obtain a result over almost arbitrary field?".

In order to achieve our goal we develop tools for understanding geometry of subalgebras in non-associative algebras. In the case of symmetric spaces of type EIII we use Brown algebras and Albert algebras. We describe points and lines in such symmetric spaces in terms of quaternion subalgebras with involution and in terms of some special 22-dimensional subalgebras in Brown algebras.

In the case of EVI we need the theory of structurable algebras and the theory of symplectic ternary algebras. The partial case of such structures are Freudenthal triple systems (see [24]). We show that some 32-dimensional subalgebras in Brown algebras carries the structure of symplectic ternary algebra. By describing the geometry of such subalgebras we deduce some facts about A1-subgroups of Dynkin index 1 in algebraic groups of type E7 and obtain final classification of points and lines in the case of EVI. Here both points and lines are minuscule subgroups of type Ai in E7, and incidence relation can be described it terms of pointwise commuting of such subgroups.

We also need to understand how some projectors in central simple algebras work. Such projectors arises in the case of EIII when one need to obtain some results about lines, and in case of EVI when we untroduce quaternionic gifts. We show that adjoint absolute simple algebraic group of inner type can be viewed as connected component of automorphism group of some projector of such type. Similar theorem was proven by Gordeev and Popov in [32]: they show that any affine algebraic group is an automorphism group of some tensor of valency (1,2). Also Brown studied the case of spinor representation in [13] and he reached similar result. We show that in the case of adjoint absolutely simple groups one can choose a tensor of valency (2,2) in any absolutely irreducible representation, which is closely related to the Casimir operator and define the projector in this way. This tensor naturally arises in theory of knot invariants and in the classical invariant theory (see [11] and [42]). Also using such technique we obtain new proof of famous Lichtenstein theorem.

Organization of the dissertation

The thesis consists of introduction, five chapters and of the conclusion. Main results are formulated in introduction and in the end of the chapters 2, 3, 4, 5.

Chapter 1 is devoted to all main definitions and facts one, which and needed it this thesis.

In chapter 2 we show that adjoint absolute simple algebraic group of inner type can be viewed

as connected component of automorphism group of some projector of such type. This result is proven in order to work with some constructions, which naturally arise in the cases of symmetric spaces of types EIII and EVI.

In section 2.1 we define the map n : End(V) —> End(V) as the composition of maps

End(V)(aa^iEnd(V)* g* ^ g End(V),

for any absolute simple representation V of any absolute simple Lie algebra g. We define t to be (2,2)-tensor in End(V 0 V), which corresponds to n. We develop some properties of these maps.

Theorem 2.1.6. Following statements hold:

1. n is a g-equvariant map;

2. Im n = p(g), and, moreover, there exist a constant c G Kx such that n2 = c • n;

3. Gad = Aut(n)°;

4. t is equal to the image of the Casimir operator of g.

In section 2.2 we introduce the map D : V0V* ^ g defined by the rule (D(v0a), x) = a(p(x)v) for any v G V,a G V*, x G g, where (—, —) stands for Killing form. We obtain new proof of famous Lichtenstein theorem using the properties of D, t and n.

Now let us present our main result about such projectors.

Theorem 2.2.5. Let Gad be an adjoint absolute simple algebraic group of inner type and let A be a central simple algebra over K. Let p : Gad —> PGL\(A) be an absolute irreducible projective representation. One can find a projector n : A —> A (as a vector spaces map), such that

Gad = Aut(n)° = {f G PGLi(A) | n(fVf-1) = fn(<p)f-1 for any <p G A}°.

Moreover, the image of n is a Lie subalgebra in A isomorphic to Lie(Gad).

In section 2.3 we discuss the connection between these results and geometry of symmetric spaces.

In chapter 3 we reach our main results about geometry of symmetric spaces of type EIII. We show that for the two points in the general position there is at most one line such that they lies on this line. Also the varieties of points that lies on the two lines in general or special position were described.

Let F be a field of characteristic not 2 or 3 and let K be its quadratic extension. Fix B (A) — 56-dimensional Brown algebra which is associated to 27-dimensional Albert algebra over F. There is a structure of structurable algebra on B (A) and so one can describe its variety Q of quaternion subalgebras (in the sense of structurable algebras). We have a presentation of symmetric space of type EIII as E6/D5 • Gm. In section 3.2 we proved two Propositions.

Proposition 3.2.3. There is an affine open subvariety A in RK/F(GK/P1) such that A is a twisted form of E6/D5 • Gm and the set Q can be viewed as the set of the F-rational points of

A. Moreover, if G is anisotropic, then the complement to this open subvariety has no F-rational points.

Now consider the map n(Q) = Kq • B, where Q G Q and Kq stands for the orthogonal complement of K in Q.

Proposition 3.2.4. n(H) is a 22-dimensional subalgebra of B for any H G Q. Moreover, n defines a bijection between the open subvarieties A1 and A6 of Rk/f(Gk/P1) and Rk/f(Gk/P6) respectively.

Also we introduce the geometry on EIII by defining points and lines.

In section 3.3 we described partial case of Chernousov-Merkurjev filtration for E6.

Proposition 3.3.2. There are filtrations whose consecutive complements are affine bundles over projective homogeneous varieties, as shown on the picture:

G/P& x G/P& D X D G/P&

A8 A1

G/Pi,6 G/p5,6;

G/P& x G/Pi D Y D G/Pi,6

A16 A5

G/P6 G/P5,6 ■

The affine bundle maps are given by the rule (P,Q) M (P H Q) • Ru(P) (where P is of type P6 and Q is of type P6 or P1 respectively, and Ru stands for the unipotent radical).

Now we are ready to introduce our main result about geometry of points and lines in the case of EIII. In section 3.4 the main Theorem was formulated.

Theorem 3.4.1. Following statements hold:

1. If L1 and L2 are two lines in the general position, then they meet at at most one point. The condition that they meet at exactly one point is open, and if G is anisotropic, the complement to this open subvariety has no F-rational points.

2. If L1 and L2 are lines in the special position, then the set {H G Q | H < L1 H L2} can be viewed as the set of the F-rational points of an affine open subvariety of RK/F(P4), which is a twisted form of A4/A3 • Gm.

3. For any line L the set of all points on L can be viewed as the set of the F-rational points of an affine open subvariety of the Weil restriction from K to F of an 8-dimensional isotropic smooth quadric, which is a twisted form of D5/D4 • Gm.

Chapter 4 is devoted to the geometry of symmetric spaces of type EVI. Here all the proven facts lead us to the Theorem 4.4.1.

All the results are obtained over the base field F of characteristic zero. In section 4.1 we discuss some preliminaries and basic facts. Our main tools here are balanced symplectic ternary algebras

from one side and Lie triple systems from another side. In section 4.1.1 we described Tits-Kantor-Kocher construction, which allows us to move from balanced symplectic ternary algebra A (we call such construction BSTA for simplicity) to some 5-graded Lie algebra. We denote such algebra by TKK(A). Here we prove some important facts about such structures.

Proposition 4.1.14. If TKK(A) is reductive then A is simple as BSTA.

Hence if TKK(A) is reductive then it is semi-simple. In section 4.1.2 we briefly discuss the construction of quaternionic gifts with some improvements.

In section 4.2 we describe the symmetric spaces of type EVI, which is of the form E7/D6 + A1. In order to define the geometry on such spaces we describe the variety S(G) of all subgroups A1 in semisimple algebraic group G such that they are of Dynkin multi-inedx (0,..., 1, ■ ■ ■, 0). It is shown that is G is a group of type E7 and if S(G)(F) = 0 then such variety is of type EVI.

Proposition 4.2.1. Following formulas hold:

1. S(G1 • G2) = S(G1) S(G2) for any linear groups G1 and G2;

2. If G is simple, then S(G) is homogeneous in algebraic sense, that is all such A1-subgroups are conjugate after passing to an algebraic closure.

We introduce the geometry on the symmetric spaces of type EVI: both points and lines are the elements of S(G)(F), and a point is incident to a line if and only if the respective subgroups of type A1 commute, or, more precisely, for any x G A^ and y G Af^ over F we have xy = yx.

Further in section 4.3 some results about minuscule subgroups of type A1 in E7 are obtained.

Lemma 4.3.2. Let H1 and H2 be the centralizers of two minuscule subgroups of type A1 in G with H1 = Aut(W) as in Lemma 4-2-3. Then there is a quaternionic subgift U of W of (quaternionic) dimension at least 4 corresponding to a simple balanced symplectic ternary algebra over an algebraic closure of F and there is a semisimple group H such that

[H1 n H2, H1 n H2]° = Aut(U) • H.

Lemma 4.3.3. Let H1 and H2 be the centralizers of two commuting minuscule subgroups of type A1 in G. Then H1 n H2 is of type D4 + A1.

Lemma 4.3.4. Every simple balanced symplectic ternary algebra of dimension at least 8 over an algebraically closed field contains a simple subalgebra of dimension 8.

Lemma 4.3.5. Let V be a 32-dimensional balanced symplectic ternary algebra over an algebraically closed field with TKK(V) of type E7. Then all TKK of 8-dimensional simple subalgebras in V are conjugate in TKK(V).

In the last section we prove the main result of the chapter.

Theorem 4.4.1. Let A and B be two points in S(G), where G is anisotropic of type E7. Then there exists a symmetric space C over F which has one of the following types:

1. D6/D4 + 2A1 (when A = B),

2. D4/4A1\[ pt (when A and B commutes),

3. pt pt pt (in the general position),

4. B3/3A1II pt,

5. A3/A2 • G^U pt,

6. B2/2A1U pt,

7. A5/A3 + A1,

8. C3/C2 + A1,

and there exists some twisted form C of C such that following statement holds:

{L — line | L passing through A and B} = C'(F)■

In chapter 5 we develop the methods and ideas introduced in the previous chapters while we investigated geometry of symmetric spaces, namely our technique developed while working with automorphism groups. We study affine algebraic commutative monoids over an arbitrary field F of characteristic zero and we reach full classification of such structures in some cases.

In sections 5.1.1 and 5.1.2 we state some useful facts. Section 5.1.3 is devoted to strategy of classification, while in section 5.1.4 we prove some propositions about automorphism groups of such monoids.

In section 5.2 we obtain three main cases.

Proposition 5.2.1. Any commutative monoid on An of rank 0 is isomorphic to G^, i.e. it is defined by the formula

(X1, ■■■,xn) * (y1, ■■■,yn) = (X1 + y1, ■ ■ ■,Xn + Vn )■

Proposition 5.2.2. Any commutative monoid on An of corank 0 is isomorphic to the multiplicative monoid of a separable algebra over K (i.e. a direct product of field extensions). Moreover, non-isomorphic algebras give rise to non-isomorphic monoids.

Proposition 5.2.5. For any commutative monoid on An of corank 1 there exists a collection of separable algebras R1r ■ ■ ,Rk of dimensions d1r ■ ■ , dk and integers 0 < c1 < ■ ■ ■ < ck such that d1 + ■ ■ ■ + dk = n — 1 and the monoid structure is given by

(X1,■■ ■ ,Xk,x) * (V1, ■ ■ ■ ,Vk,V) = (xlVl,■■ ■ ,XkVk,N (X1)C1 ■■■N (xk)cfc V+

+ N (V1)C1 ■■■N (Vk )ck x), (1)

where Xi, yi are di-tuples of coordinates, XiVi is calculated by formula that defines multiplication in Ri in some fixed basis, and N(xi), N(yi) are calculated by formula that computes norm in Ri. Moreover, numbers di, ci and isomorphism classes of Ri are defined uniquely by the isomorphism class of the monoid.

Any monoidal structure on AF and A2F now covered by Proposition 5.2.1, Proposition 5.2.2 and Proposition 5.2.5. In section 5.3 we deduce the result about monoids on AF and A2F.

Theorem 5.3.1. 1) Every commutative monoid on AF is isomorphic to one of the following monoids:

A: (x) * (y) = (x + y); M: (x) * (y) = (xy).

2) Every commutative monoid on A2F is isomorphic to one of the following monoids:

rank Notation (xi,x2) * (yi,y2)

0 2A (Xi + yi,X2 + y2)

1 M + A b (xiyi,xbiy2 + ybiX2), b G Z>0

2 M + M (Xiyi,X2y2)

2 M (K ) Multiplicative monoid of a quadratic extension K/F.

Moreover these monoids are pairwise non-isomorphic. In section 5.4 we prove some results about monoids on AF.

Proposition 5.4.1. Let b,c G Z, 0 < b < c. Then the commutative monoid M on A3F given

by

(xi ,X2,X3) * (Vl,V2,V3) = (Xiyi,x\y2 + ybi X2, X^s + yl X3)

has no nontrivial twisted forms.

Proposition 5.4.2. Let b,c G Z>0, b < c. Define d and e by c = bd + e, d,e G Z, 0 < e < b. Denote by Qb,c the polynomial

Qb,c(Xi,yi,X2,y2) =

(Xbiy2 + ylX2)d+i - (X\y2)d+i - (ybX2)d+i

Xb-e b-e '

Xb yb

Then the commutative monoid M on A3F given by

(xi,x2,x3) * (Vl,V2,V3) = (xiyi,x\y2 + y\X2,xly3 + y{ X3 + Qb,c(xi ,Vl,X2,V2))

has no nontrivial twisted forms.

Now we are ready to introduce the main result of the chapter.

Theorem 5.4.3. Every commutative monoid on A3F is isomorphic to one of the following monoids:

rank Notation (Xi,X2,X3) * (yi,V2,V3)

0 3A (xi + yi,X2 + y2,X3 + y3 )

1 M + A + A b c (xiyi, x1y2 + yiX2,XCiy3 + ylX3), b,c G Z>0, b < c,

1 M + A + A b b,c (xiyi,x1y2 + yC X2,xCy3 + ycX3 + Qb,c(xi,yi ,X2,y2)), b,c G Z>0, b < c,

2 M + M + A b,c (xiyi, x2y2, xCx2y3 + yiУI2X3), b,c G Z>0, b < c,

2 M 2(L) + A c ((Xi,X2) *M (K ) (yi, y2), Nk (Xi,X2)cy3 + NK (yi ^2)^3) c G Z>0, deg K/F = 2 ,

3 M + M + M (Xiyi,X2y2,X3y3),

3 M2 (K ) + M ((xi,X2) *m(K) (yi,y2),X3y3),

3 M 3(K ) Multiplicative monoid of a cubic extension K/F.

Here the polynomial Qb,c is defined in Proposition 5-4-2. By (xi,yi) *M(k) (x2,y2) we mean the formula that defines multiplication in K in some fixed basis, and by NK(xc,x2) we mean the formula that defines norm in K in the same basis.

Moreover these monoids are pairwise non-isomorphic.

Practical and theoretical importance

The work is of theoretical nature. Its results can be applied in the theory of linear algebraic groups and in the theory of symmetric spaces, when holding educational and scientific seminars. Also it is worth note that the results can be applied not only in its area of knowledge but in certain another areas like theory of algebraic monoids. The results of the work are equipped with detailed proofs and are published in refereeing scientific journals, that certifies their reliability.

Methods

It this thesis we fluently use the language of algebraic groups and the language of algebraic geometry. Our main tools are Galois descent, filtrations on varieties and facts about non-associative subalgebras in some Brown and Albert algebras. Also we use some general methods from algebraic geometry theory.

Results presented to defence

1. The proof of the statement that adjoint absolutely simple algebraic group of inner type is the group of automorphisms of some special projector on central simple algebra in the case of arbitrary base field of characteristic zero.

2. The definition and full classification of the configurations of pairs of points and pairs of lines

on the symmetric spaces of type EIII in terms of geometry of some subalgebras in Brown algebras in the case of arbitrary base field of characteristic not 2 or 3.

3. The definition and full classification of the configurations of pairs of points and pairs of lines on the symmetric spaces of type EVI in terms of balanced symplectic ternary algebras and quaternionic gifts using geometry of A1-subgroups in groups of type E7 in the case of arbitrary base field of characteristic zero.

4. The generalization of the classification of affine algebraic monoids on Ap for any n £ {1, 2, 3} on the case of arbitrary base field of characteristic zero.

Approbation of work

The results of this thesis has been presented on international conferences and scientific seminars:

1. scientific seminar "Algebraic groups", SPbSU, 2022.

2. conference "Algebraic groups: the White Nights season II", Saint Petersburg, 2022.

3. school-conference "Algebra and geometry", Suzdal, 2022 (poster session).

Main results are published in refereeing scientific journals: 2 published papers [67] and [70], 1 paper [68] accepted to publication and 1 preprint [69]. The papers [67], [68] and [69] was written in cooperation with scientific advisor, who formulated the tasks and suggest some methods and ideas.

In the case of co-authored works, the author tried to present in detail only his own contribution but certainly such a strict separation cannot always be done consistently: in the paper [70] author proved all the results from sections 3 and 4 and also proved Proposition 5.1 (in this thesis these are Proposition 5.2.1, Proposition 5.2.2, Proposition 5.2.5 and Proposition 5.4.1). So the Theorem 5.3.1 is obtained by the author, and Theorem 5.4.3 is obtained together with co-author.

Acknowledgment

Author is deeply grateful to his scientific advisor professor Viktor Petrov for his outstanding mathematical skills and enormous amount of patience.

Chapter 1 Main definitions and facts

In this chapter we want to concentrate all general definitions and notations. We assume the reader knows and can fluently use all the basic concepts from the theories of Lie algebras, root systems, Weil groups, weights, from the Representation theory and from the theory of linear algebraic groups. For all the details from these area of knowledge we refer to [37] and [4].

1.1 Algebraic groups: notations

Let F be a field of characteristic p G P U {0}, and let us denote its algebraic

closure by F. In all the results of this paper we need to assume p = 2, and often we also assume p = 3. So we assume these two restrictions hold everywhere by definition, and we also prefer to mention the characteristic of the base field it each section separately.

Fix a (finite-dimension) Euclidean space FV of dimension n. We denote by (—, —) a scalar product on V. Consider reduced irreducible root system $ in V.

For any roots a, ft G $ define corresponding Cartan number (ft, a) = . For a root a G $ we define its corresponding coroot by the formula av = j^Ox). In this case following formula folds: (ft, a) = (ft, av). By $v we define the set {av | a G $} of all coroots of $.

Also we need a root lattice Q($), which is a lattice generated by all a G $. Define the lattice of weights by the formula

P($) = {u G V | (u, av) G Z for any av G $v}.

Fix the set n of all simple roots in $: without loss of generality one can write n = {a\,..., an}. One can correctly define subsets $- and $+ in $, where $+ is the set of all positive roots and $- is the set of all negative roots associated to n. So we can define partial order on the weights of $: for any A,p G P($) put

A > p, if A — p = ^^ miai, «¿en

where mi > 0 for any admissible i.

For any algebraic group G and its subgroup H we denote by CentH (S) the centralizer of S in H. Also we denote by NH (S) the normalizer S in H, and by D(H) or [H, H] we denote the commutator subgroup of H. An algebraic group G defined over F will sometimes be called algebraic F-group, and we denote by GK its scalar extension for any extension K of F. Also in this paper G(K) stands for the set of K-rational points for any extension K of a field F.

1.2 Algebraic groups: definitions

For any field F of characteristic not 2 and any lattice L such that Q($) C L C P($) let G = G($,F) be a Chevalley group of type ($,L) over F. Let T = T($,F) be its maximal split torus. Fix a Borel subgroup B in G such that it is defined over F and T C B .By W we denote the Weil group of $.

Definition 1.2.1. A group G = G($, F) is called simply connected if L = P($). In this case we will use symbol Gsc.

Definition 1.2.2. A group G = G($,F) is called adjoint type group if L = Q($). In this case we will use symbol Gad.

Remark 1. In this paper we often use "ajoint group" instead of "adjoint type group".

Definition 1.2.3. A group G is called absolutely simple if its Dynkin diagram is connected.

Let n C $ be a system of corresponding to B simple roots and let as usual we denote by $_ and $+ the sets of positive and negative roots respectively. For the subgroup H ^ G we denote by Ru(H) its unipotent radical in G, if such radical can be defined.

By xa(b) we denote elementary root unipotent in G, which corresponds to a root a £ $ and to b £ F. Now one can define Ua as the unipotent subgroup which corresponds to a:

Ua = {xa(b) | b £ F}.

Definition 1.2.4. Define Fsep as the separable closure of F which is a set of separable elements of F over F.

The Galois group Gal(Fsep/F) acts on all the structures defined above, see [61] for definition and describing of the action.

Definition 1.2.5. We define a ^-action as the action of the Galois group on T, B, W, $ and on n.

Definition 1.2.6. We say that multilinear map/ : V™ —> V2 is alternating if / (x1;... ,xn) = 0 for any (x1}... , xn) £ Vn such that xi = xj for some i = j.

1.3 Microweight tori

This section is based fully on the paper of Vavilov and Nesterov [62] about microweight tori. Recall the construction of such tori.

In the notation above let us fix a root set $, and let P be the lattice between Q($) and P($). Fix a Chevalley group G = G($, F) over F and fix a maximal split tori T in G. For the weight u £ P($v) we have ($,w) C Z and so one can correctly define the character for any a £ F* by the rule

&,a(a) = a(a'w).

Consider the diagonal automorphism h.(a) that corresponds to this character (see [2] for example). It can be defined by the relations

[h.(a),t] = 0 for any t G T,

h. (a)xa(b)h. (a)- = xa (a(a'M)b) for any a G $,b G F.

Such elements lie in the generalized Chevalley group G (see [62]), so we can consider the elements conjugated with such automorphisms.

Definition 1.3.1. We say that h G G is a weight element of type u if it is conjugated with h. (a) for some a G F.

We are interested in some type of such elements.

Definition 1.3.2. A weight u G P($v) is called microweight if the unipotent radical Ru(P.) is abelian for parabolic subgroup P..

In other words sum of two roots a, ft G {7 G $ | (7, u) > 0} cannot again be root.

Definition 1.3.3. An element h G G is microweight element of type u if it is conjugated with h.(a) for some a G F and that u G P($v) is a microweight.

Remark 2. It is worth note that for a group of type E6 the only microweights are fundamental weights u\,u6. For a group of type E7 the only microweight is fundamental weight u7 (here we use notation from [1]).

For a microweight u G P($v) of $v consider the subgroup

Q. = {h.(a) | a G F*}

in the group G($, F).

Definition 1.3.4. A subgroup H ^ G($, F) is called microweight tori of type u if it is conjugated with Q..

Remark 3. In the case of an adjoint group the situation is much trivial: if G = Gad then G($,F) = G($,F).

1.4 Parabolic subgroups

Parabolic subgroups are one of the keys for the understanding of the geometry of symmetric spaces. In this section we recall main constructions related to this type of groups. In the notation above we fix an algebraic group G over F. Main results of this section holds for any characteristic of the ground field. For detailed explanations and proofs we refer to [37]. Let us begin with the basic definition of parabolic subgroup.

Definition 1.4.1. Subgroup P in G is said to be parabolic if G/P is a projective variety.

Remark 4. It is equivalent to the statement that P is closed smooth subgroup and there exists a Borel subgroup B ^ G such that B C P. We will use this variant of the definition later. Also it is worth note that for any two parabolic subgroups A, B there exists an automorphhism g of G such that g(A) = B.

Fix some set S C n and define the subgroup PS in G as the group generated by B and all root subgroups U_a such that a £ S .It is clear that such subgroup is parabolic.

Definition 1.4.2. We say that PS is a standard parabolic subgroup generated by S.

Definition 1.4.3. A parabolic subgroup P ^ G is a parabolic subgroup of type S, if it is conjugated to PS.

It is a well-known fact that for any parabolic subgroup P in G there exists S C n such that P is conjugated to PS. So for any parabolic subgroup we can define its type. By HS we define the variety of all parabolic subgroups of type S in G.

Remark 5. Note that HS ~ G/PS and this variety defined over the base field F if and only if the set S is invariant under the ^-action of Gal(Fsep/F).

Example 1.4.4. Put S = n. In this case HS = Spec F.

Example 1.4.5. Put S = 0. In this case

HS = {B ^ G | B — Borel subgroups in G}.

For parabolic subgroups one can define the Levi decomposition: for any parabolic P ^ G there exists F-closed reductive H ^ P such that

P = RU(P) X H.

Definition 1.4.6. Such subgroup will be denoted by Levi(P) and we call such subgroup the Levi subgroup of P.

Remark 6. We need to note that Levi subgroup is defined only up to conjugation. In this paper all the formulae with Levi(P), should be taken up to conjugation.

Consider two parabolic subgroup P1 ,P2 ^ G and their intersection P1 if P2.

Definition 1.4.7. The subgroups P1 and P2 are opposite if P1 if P2 = Levi(P^ = Levi(P2), where the last equation holds up to conjugation.

Example 1.4.8. It is not hard to understand that in the group of type E6 the opposite to standard parabolic subgroup P1 is the subgroup of type P6. But is is not true that P1 and P6 are opposite.

1.5 Lie algebras and Casimir operator

In this section we briefly discuss some special definitions and constructions from Lie algebras theory that play an important role in this paper. Also we introduce the Casimir operator which plays crucial role in the representation theory of Lie algebras. All the proofs and details can be found in the paper [33].

Let F be a field of characteristic not 2. Let 0 be a Lie algebra over F and let p : 0 —> End(V) be a representation of 0.

Definition 1.5.1. We say that g is absolute simple over F if it is simple over F. In these terms there is no nontrivial ideals in g 0FF.

Definition 1.5.2. A representation V over F is absolutely irreducible if it is irreducible over F.

It is worth note that 0 is absolute simple if and only if it is simple over any extension K of F. For (any) representation V of 0 over F one could construct its projective space.

Definition 1.5.3. By Pn(F) we denote the space of the lines in Fn+1 over F. By P(V) we denote the space of one-dimensional subspaces L C V.

For any 0 the center of its universal enveloping algebra can be identified with the centralizer of 0 in U(g) and so it is corresponds to the set of all linear combinations z = v 0 w 0 ... 0 u G U(g) which commutes with all x G g. So z G Ker(adx) for any z G U(g) and x G g. Fix the basis {ea}aej of the Lie algebra g. So all the elements of the center are just linear combinations of homogeneous symmetric polynomials in bases elements ea by the Poincare-Birkhoff-Witt theorem. In this case the Casimir invariants are just irreducible homogeneous polynomial of fixed degree.

Definition 1.5.4. The n-th Casimir operator is defined by the formula k"3"'1ea 0 e3 0 ■ ■ ■ 0 eY and denoted by Cjn), where tensor product is of length n G N and k"3-1 is a full symmetric tensor of dimension n.

Note that k"13-1 defined above is an element of (adg)

Remark 7. We are interested in Casimir operators of order 2, and we will say "Casimir operator" instead of "2-Casimir opeator". It is described by the formula

C = Kij ei 0 ej,

where Kij is just an inverse matrix of Killing form matrix.

1.6 Jordan algebras and Albert algebras

One of the main tools in this thesis is Jordan algebra. Informally, this is the main example of non-associative commutative algebra with "good axioms". Jordan algebras gives us not only big

amount of examples but the way to exceptional algebraic groups: we use them in order to construct groups of type E6. In this section we heavily use statements from [45], [28] and [22].

Note that here by "algebra" we assume non-associative algebra. The base field is assumed to be of characteristic neither 2 nor 3.

Definition 1.6.1. An algebra J over F is a Jordan algebra if for any x,y £ J we have:

1. xy = yx,

2. (xy)(xx) = x(y(xx)).

The second formula is often called Jordan identity.

The axioms imply that a Jordan algebra is power-associative, meaning that one can define xn correctly. We want to provide here the basic example:

Example 1.6.2. Let A be associative algebra over F with product •: A x A —^ A. Define the new product on the space (A, +):

xy + yx

x o y := -.

2

Obviously this is Jordan algebra.

Such example leads us to the following definition.

Definition 1.6.3. Let (J', o) be a Jordan algebra constructed as in the example above from the algebra (J', •). A Jordan subalgebra J of J' is a special Jordan algebra.

Also we need a generalization of the notion of Jordan algebra, which we use in the Chapter 4 when discuss the geometry of the symmetric space of type EVI.

Definition 1.6.4. A vector space J with basepoint 1 over the field F together with a quadratic map Q : A —> EndF (A) is a quadratic Jordan algebra, if

1. Q(1) = id;

2. Q(Q(a)b) = Q(a)Q(b)Q(a);

3. Q(a)R(b, a) = R(a, b)Q(a), where R(a, b)c = (Q(a + c) — Q(a) — Q(c))b.

and all the formulae holds after any scalar extension.

We need two crucial examples: construction of a quadratic algebra via quadratic form and construction of a quadratic algebra via admissible cubic form.

Example 1.6.5. Describe the construction of a quadratic algebra via quadratic form. Let J be a vector space with a quadratic form q and associated bilinear form q(x, y) = q(x + y) — q(x) — q(y) such that there exists e £ J with the property q(e) = 1. Define the trace T by the formula T(y) = q(y, e), and define y* = T(y)e — y. So one can define Q(x) for any x £ J by the rule

Q(x)y = q(x,y*)x — q(x)y*-

Now (J,e,Q) defines quadratic Jordan algebra (see [45]).

We describe the second construction in the end of the section.

Definition 1.6.6. A Jordan algebra (J, o) is an exceptional Jordan algebra if it is not special.

We will say "exceptional algebra" instead of "exceptional Jordan algebra " if it is possible. Now we study Albert algebras. We need them in order to construct Brown algebras.

Definition 1.6.7. An Albert algebra A over a field F is a central simple exceptional Jordan algebra, such that dimF A = 27.

The main example here is the algebra of 3 x 3 matrices over octonions.

Example 1.6.8. Let O be Cayley algebra over F and let 7 G M3(F) be a diagonal invertible matrix diag(71,72,73). Consider the vector space

H3(0,7) = {B G M3(O) | Inn(7) o *(B) = B},

where *(B) = B* = BT. We define a product on H3(0,y) by the rule a ■ b = ab+2ba. So it turns H3(0,y) to the Albert algebra. Note that one can find an explicit description of the elements in this algebra: for B G H3(0,7) we have

B

( ßo c 7o172b\

7-17oO ßi a

\ b 72-17ia ß2 J

It is worth note that #3(0,7) is an Albert algebra since matrices over octonians are not associative and so the definition of the special Albert algebras cannot be applied here. Fix an Albert algebra A over F.

Definition 1.6.9. An algebra A is split if it is isomorphic to H3 (0,1) for the split Cayley algebra O. An algebra A is reduced is it is isomorphic to some H3 (0,7).

Remark 8. For every such A one can find a cubic norm map N : A —y F and a linear trace map T : A —y F. The trace map induces the non-degenerate symmetric bilinear form

T(x,y) := T(xy) for any x,y £ A,

see [40] for details.

For any f £ EndF(A) we can define f * £ EndF(A) by the rule T(f (x),y) = T(x, f *(y)). For any cubic map f : X —y Y one can write

f tixi) = Y1t3f (xi) + Y1t2 f (xi ,xj) + titjtk f (xi,xi,xk i i=j i<j<k

so for any x one can express N(x + ty) in this way and obtain a linear map fx : A —y F by considering the coefficient of t for a fixed x £ A.

Definition 1.6.10. For every x £ A we define an element x# £ A such that T(x#,y) = fx(y) for all y £ A. Note that such an element exists and unique since T is nondegenerate.

It is easy to see that the map # : A —> A is quadratic, so we can define its linearization x : A x A —^ A.

Definition 1.6.11. The Freudenthal cross-product is a linearization of the map #, given by the formula

x x y = (x + y)# — x# — y#.

We need one more construction closely related to Albert algebras.

Definition 1.6.12. We call an F-linear homomorphism / : A —^ A a norm similarity, if there exists A £ F* such that N(/(a)) = AN(a) for any a £ A. Such A will be called the multiplier of /, and if A =1, then we call / a norm isometry.

Let us finish this section by construction of quadratic Jordan algebra via an admissible cubic form.

Example 1.6.13. Fix a vector space J and an admissible cubic form N (which is described in the section 4.2.1 of the book [45]) with the basepoint e. So it has a non-degenerate bilinear trace T and one can construct the quadratic map # and its linearization x defined above. So (J, N, c) defines a structure of quadratic Jordan algebra on J with product defined by the rule

x • y = ^(x x y + T(x)y + T(y)x — N(x, y, e)e).

algebras] Structurable