Статистическое описание динамических систем в поле цветных шумов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Логинов, Валерий Михайлович

• Логинов, Валерий Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Логинов, Валерий Михайлович

ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В.1. Характеристики случайных процессов

В.2. Описание динамическими или кинетическими уравнениями

1. ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ СРЕ ДНИХ.

1.1. Формулы дифференцирования средних, содержащих запаздывающие функционалы

1.2. Формулы дифференцирования средних, содержащих запаздывающие функционалы. Кумулянтное представление

1.2.1. Вводные замечания о кумулянтных функциях

1.2.2. Формулы дифференцирования

1.3. Формулы дифференцирования средних, содержащих функции от запаздывающих и опережающих функционалов марковских процессов

1.3.1. Формулы дифференцирования для средних от опережающих функционалов

1.3.2. Формулы дифференцирования средних от опережающих и запаздывающих функционалов

1.3.3. Формулы дифференцирования для условных средних

1.4. Формулы дифференцирования и стохастическое исчисление И то

1.4.1. Модель непрерывных процессов

1.4.2. Модели дискретных процессов

2. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ВОЗМУЩАЕМЫЕ МАРКОВСКИМИ ПРОЦЕССАМИ ТЕЛЕГРАФНОГО ТИПА

2.1. Цветные шумы телеграфного типа. Процессы Кубо-Андерсона

2.1.1. Процессы Кубо-Андерсона (определения, свойства, формулы дифференцирования)

2.1.2. Усреднение линейных систем

2.1.3. Пример усреднения матричных уравнений .74"

2.1.4. "Усреднение нелинейных систем.

2.1.5. Усреднение уравнений высокого порядка.

2.1.6. Уравнения с нелинейной зависимостью от а

2.2. Обобщенные процессы телеграфного типа. Процессы кенгуру

2.2.1. Определения, свойства, формулы дифференцирования

2.2.2. Суммы простейших статистически независимых телеграфных процессов

2.2.3. Воздействия шумов кенгуру на линейные динамические системы

2.2.4. Воздействия шумов кенгуру на нелинейные динамические системы .,

2.2.5. Уравнения с явно зависящими от t параметрами

2.2.6. Динамические системы с воздействиями в виде суммы простейших телеграф-' ных процессов

3. ВОЗДЕЙСТВИЯ В ВИДЕ МАРКОВСКИХ ГАУССОВСКИХ И ДРУГИХ РАСПРОСТРАНЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ЦВЕТНЫХ ШУМОВ

3.1. Характеристики процессов. Формулы дифференцирования средних

3.2. Усреднение динамических систем. Цепочки уравнений для средних

3.3. Анализ при конечных и нулевых временах спада корреляций

3.3.1. Редукция цепочек уравнений

3.3.2. Уравнение для средних и характеристический функционал воздействий

3.4. Расцепление корреляций в случае быстрофлуктуирующих воздействий

3.5. Сравнение с точно решаемыми примерами.

3.6. Формулы дифференцирования и диффузионное приближение

3.7. Динамические системы при воздействии цветных шумов и метод расширения пространства динамических переменных

3.8. Усреднение динамических систем. Кумулянтное представление

4. ТЕОРЕМЫ УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕ-ГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтер-ра, встречающиеся при анализе усредненной динамики систем в поле цветных шумов

4.2. Новая схема усреднения для системы (4.1)

4.3. Усреднение в системах интегро-дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, с многоточечными краевыми условиями

4.3.1. Многоточечные линейные краевые условия

4.3.2. Теоремы сравнения решений интегро-дифференциальных уравнений с многоточечными краевыми условиями

5. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ФЛУКТУИРУЮЩИМИ ПАРАМЕТРАМИ

5.1. Точно решаемые модели нелинейных динамических систем, Еюзмугцаемых цветными шумами Орнштейна-Уленбека и Рэлея

5.1.1. Шумы Рэлея и Орнштейна-Уленбека.

5.1.2. Структура редуцированного уравнения

5.1.3. Точно.решаемые динамические модели. Общий случай

5.1.4. Точно решаемые модели. Модель Хонглера

5.1.5. Пример стационарного распределения на бифуркационной прямой

5.2. Вычисление функционалов от процесса Винера

5.3. Нестационарные распределения связанных осцилляторов Дуффинга

5.4. Эффективная частота и затухание для поверхностных волн в проводящей жидкости при воздействии случайного электрического поля

5.5. Может ли случайная сила оказывать стабилизирующее воздействие?

5.6. Нестационарные эффекты в динамике частицы в стохастической слоисто-неоднородной среде.

5.7. Статистические характеристики коэффициента прохождения и отражения волны в периодической среде с хаотической модуляцией

5.8. Точно решаемые модели коагуляции в присутствии стохастического источника и стока.

5.8.1. Постановка задачи

5.8.2. Стохастический источник . 224"

5.8.3. Стохастический источник и постоянный сток частиц

5.8.4. Постоянный источник и стохастический сток

5.8.5. Синфазная схема включений стохастического источника и стока.

5.8.6. Противофазная схема включений стохастического источника и стока

5.9. Моделирование сложной динамики

5.9.1. Качественные соображения

5.9.2. Математическая постановка задачи

5.9.3. Случайные переключения простых динамик. Точно решаемая модель

5.9.4. Автоматизированная система моделирования сложных процессов, выраженных временными рядами

6. СОЛИТОНЫ И ДИАГНОСТИКА ШУМОВ И СИГНАЛОВ

6.1. Солитоны и диагностика случайных шумов.

6.1.1. Точное уравнение для средней огибающей

6.1.2. Влияние фликкер-шума на солитон уравнения КДВ

6.1.3. Негауссовы флуктуации параметров

6.1.4. Солитоны как "устройства" для разделения аддитивных смесей детерминированных сигналов и гауссовского шума

6.1.5. Примеры нелинейных распределенных фильтров

6.1.6. Многосолитонные решения в качестве нелинейных распределенных фильтров

6.1.7. Заключительные замечания

6.2. Замедление расплывания солитона в стохастической среде

6.2.1. Случайные возмущения с плоской формой спектральной функции

6.2.2. Флуктуации с С(0) =

6.2.3. Особенности случайного воздействия с немонотонным спектром

7. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ С КОНЕЧНЫМ РАДИУСОМ СПАДА КОРРЕЛЯЦИЙ

7.1. Статистическое описание движения пробной заряженной частицы в случайно-неоднородном электрическом поле

7.1.1. Скачкообразная модель поля

7.1.2. Непрерывная модель поля

7.2. Средняя скорость стохастически ускоренной заряженной частицы

7.3. Броуновское движение частиц в статистически однородных полях с конечным временем спада корреляций

7.3.1. Постановка задачи

7.3.2. Усредненное кинетическое уравнение

7.3.3. К чему приводит изменение формы спектра.

7.3.4. О применимости приближения

7.4. Неусредненное описание поведения частицы в неоднородном случайном электрическом поле

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистическое описание динамических систем в поле цветных шумов»

Актуальность работы. Предметом настоящей работы являются динамические системы, находящиеся под действием случайно меняющихся возмущений. Этим вопросам посвящена обширная физическая и математическая литература (см., например, [1-40] и имеющиеся там ссылки). С точки зрения физики при изучении таких систем прежде всего представляет интерес вопрос о влиянии конечности времени спада корреляций случайного воздействия (цветные шумы), формы его спектра, а также статистики на характер осредненной динамики. Другой важной проблемой является разработка конструктивных методов анализа, динамических систем с флуктуирующими параметрами, которые давали бы возможность изучать осреднен-ное поведение систем в области сильных флуктуаций и сильных корреляций. Этим двум проблемам посвящена диссертация.

Для выявления типичных физических особенностей осредненной -эволюции динамической системы при воздействии случайных сил с конечными временами спада корреляций tc, с различными спектральными характеристиками и статистиками мы будем использовать в основном точно решаемые модели. Эти модели будут браться из раличных разделов физики. В этой связи обзор соответствующей литературы и необходимые сведения относятся во Введения к главам.

Здесь же кратко остановимся на некоторых общих вопросах проблемы расцепления корреляций и влияния конечных на поведение динамических систем.

С динамическими системами в поле случайных воздействий мы встречаемся в самых разнообразных областях физики, химии, биологии, техники при изучении кинетических и релаксационных процессов и явлений. Сюда относятся и традиционные вопросы броуновского поведения частиц в газах и жидкостях [1-7,25,27,28] и многочисленные задачи движения частиц в случайных электромагнитных полях [4,38-43] в твердом теле [44,45] , вопросы вопросы уширения спектральных линий [5,46,47], задачи распространения волн в случайных средах [48-51]. особое место занимает фундаментальная проблема полного статистического описания развитой турбулентности в жидкостях и газах, проводящих средах [52-54] и т.п. В технике это прежде всего задачи о колебаниях и устойчивости различных конструкций и аппаратов при воздействии на них стохастических вибраций и возмущений [9.10.55]. Установленное в последнее время фундаментальное свойство динамики многих нелинейных систем - стохастичность (см. [56-62]) еще в большей степени расширяет область параметров и условий, где необходимо учитывать влияние случайных сил и полей.

Под динамической системой понимается некоторый объект, поведение которого описывается системой дифференциальных уравнений в обыкновенных или частных производных, или системой интегро-дифференциальных, содержащих случайные коэффициенты. Классической моделью в физике, где рассматривается влияние случайных сил на динамику системы - является модель броуновского движения тяжелой частицы в газе легких частиц, описывгьемая в рамках линейных ланже-веновских уравнений. При таком подходе среда, в которой происходит движение броуновской частицы, рассматривается как некоторый резервуар случайных воздействий с заданными вероятными свойствами. В самой простой постановке этот резервуар моделируется гауссовской дельта-коррелированной во времени случайной силой (гауссовский белый шум). Последнее условие физически означает, что характерные частоты движений частицы много меньше характерных частот столкновений частицы с молекулами среды - толчки происходят мгновенно и за. акт столкновения не меняют положения частицы.

В последние десятилетия в различных областях физики наметился большой интерес к рассмотрению нелинейных многомерных (или распределенных) динамических систем с флуктуирующими параметрами. Наибольшее развитие при этом получил предельный случай, когда время спада корреляций случайного воздействия стремится к нулю (см., например, [3,6]). Основным математическим инструментом исследования систем в этом пределе является известное уравнение Фоккера-Планка (в математике уравнение Колмогорова или Колмогорова-Феллера) [15,25].

Рассмотрение случая конечных 1:с, 1С ф 0 встречается с серьезными математическими трудностями. Основная задача при конечных временах спада корреляций связана с проблемой расцепления корреляций между динамической переменной и случайными параметрами. Существует несколько путей ее решения. Прямой путь состоит в записи решения динамических уравнений со случайными коэффициентами, часто в операторной форме, с последующим усреднением этого решения по ансамблю реализаций случайных параметров. Получить в явном виде решение задачи, т.е. найти все вероятностные характеристики динамической переменной, невозможно, за исключением весьма простых классов динамических уравнений и функциональных зависимостей решений от случайных параметров. Дальнейшее продвижение в этом направлении состоит в использовании приближенного анализа, при котором случайные воздействия рассматриваются как малые возмущения и используется та или иная форма теории возмущений. При этом, как правило, параметром малости является интенсивность флуктуаций случайного воздействия и время корреляции. Для обсуждаемого подхода характерно использование таких известных приближений как средние борновские приближения [8,48], кумулянтные разложения [4,5,23], различные модификации метода последовательных приближений [63] и т.д.

Другое направление основано на усреднении не решения, а непосредственно самого динамического уравнения со случайными коэффициентами. В ряде случаев, при специальном выборе моделей случайных коэффициентов, удается проводить точное статистическое усреднение (например, для марковских скачкообразных процессов телеграфного типа и некоторых моделей диффузионных процессов). В рамках этого направления возникает серьезная математическая проблема вычисления средних от некоторой функции зависящей от случайного возмущения a(t) и запаздывающего функционала Ф[а(т)] (г < t) от него, т.е. речь идет о средних вида < F(cv, ¿)Ф[«(т)] >, где символ < . > означает среднее по ансамблю реализаций шума a(t). При анализе усредненной динамики физической системы в поле случайных сил, которая стартует из заданного начального состояния, в качестве запаздывающего функционала выступает переменная, характеризующая состояние этой системы. В тех случаях, когда воздействие можно рассматривать как процесс типа, белого шума с ic = 0 задача расцепления подобных средних решается сравнительно легко. Например, с помощью традиционных способов, основанных на кинетических уравнениях Фоккера-Планка (Колмогорова-Феллера) или в рамках стохастического исчисления Ито-Стратоновича [17,19]. При дельта-коррелированных воздействиях весьма удобным для вывода кинетических уравнений для распределений вероятности оказался функциональный подход [6,49], основанный на формуле Фуруцу-Новикова-Донскера [64,65] и ее обобщениях [6,49,66,67].

При воздействии на систему цветных шумов, для которых /,,. ф 0 задача статистического описания динамических систем усложняется. Успех в решении напрямую зависит от возможности решения многомерных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, а в более общей постановке - от решения дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах [27-30,68].

Для вычисления средних < F (а, ¿)Ф[а(т)] > в случае конечных tc применяются как приближенные, так и точные методы. В физической литературе, по видимому, одной из первых схем расцепления подобных средних была, предложена Бурре [69,70] и, которая в течение достаточно длительного промежутка, времени, являлась правдоподобной физической гипотезой. Ее строгое математическое обоснование было дано в работе [4], где было показано, что приближение Eîvppe представляет собой первый член асимтотического разложения по степеням некоторого малого параметра. В разное время, разными авторами предлагались другие схемы приближенного замыкания а(т)\ >« II < Ф[«(т)| >, где 0- некоторый неслучайный оператор. Среди приближенных методов замыкания средних получили распространение марковские приближения, различные, схемы с использованием кумулянтов, диаграммные и проекционные техники, методы континуального интегрирования (см., например, [71-86] и цитированную в них литературу). Область применимости всех приближенных методов ограничивается случаем слабых стохастических воздействий с малыми

В начале 70-годов был опубликован важный цикл работ [87-92], в которых обсуждался вопрос получения точных уравнений для средних для определенных классов динамических систем и определенных моделей шумов. Было показано, что для марковских скачкообразных процессов Кубо-Андерсона и .,кенгуру11 (их относят к классу процессов телеграфного типа) задача получения точных уравнений для средних может быть решена для некоторых частных случаев линейных и нелинейных динамических систем. Среди процессов диффузионного типа первой моделью, для которой удалось найти точное решение для нетривиальной динамической системы явился гауссовский марковский процесс (в физической литературе его называют шумом Орнштейна-Уленбека. В работе [93] было найдено решение для средней функции Грина в форме цепной дроби.

В связи со сказанным выше представляется актуальной разработка метода, который с одной стороны позволил бы проводить точное статистическое усреднение широкого класса уравнений (линейных и нелинейных) со случайными параметрами с конечными Класс случайных параметров должен быть не узок и, по крайней мере, включать в себя процессы дискретного и непрерывного типов, которые используются в приложениях, быть унифицированным в применении, содержать процедуры приближенного анализа с заданной точностью при наличии малых параметров, а также допускать расширения на новые классы динамических систем, моделей случайных воздействий и типы решаемых задач.

В диссертации дается систематическое изложение разработанного нами метода статистического описания динамических систем, находящихся под воздействием цветных шумов [94-99]. Метод основан на предложенных нами формулах дифференцирования" (ФД) статистических средних. В его рамках удалось существенно расширить класс/моделей случайных воздействий, с которыми можно проводить точное усреднение стохастических уравнений, а также охватить гораздо более широкий класс самих динамических систем. В случае, когда /., мало в рамках метода формулируется приближенный метод анализа. В его рамках, естественным образом из формул дифференцирования, следуют способы замыкания цепочек уравнений для средних. Развито два представления для формул дифференцирования - ФД для моментных функций и ФД для кумулянтных функций. Дается сравнение метода на основе ФД с другими известными методами, в том числе стохастическим исчислением Ито и Стратоновича.

Остановимся кратко на основных физических особенностях в поведении динамических переменных, обусловленных конечностью /с (см., например, [27] и цитированную там литературу). Наиболее важной особенностью является вклад от флук-туаций параметров в средние движения динамической системы. Это часто приводит к формированию новых устойчивых или метастабильных сосчояний - индуцированные шумом фазовые переходы [30]. В случае дельта-коррелированных воздействий вклад в средние движения, как правило, отсутствует.

Для сосредоточенных систем (например, частиц в случайных полях) вклад от флуктуаций в осредненную динамику системы часто может быть записан в терминах эффективного затухания и переномировки ее потенциальной энергии. Для распределенных систем - в терминах эффективного затухания и переномировки дисперсии. Эффективное затухание, как правило, положительно и осредненные движения затухают (в диссертации будут обсуждаться случаи, когда оно отрицательно и средние движения, наоборот, стохастически раскачиваются).

В качестве примеров вклада флуктуационных воздействий на осредненную динамику отметим эффекты существенного изменения характера, заселенностей в многоуровневых системах под действием немонохроматического электрического поля [100], эффект аномального затухания крупномасштабного магнитного поля в однородной и изотропной проводящей среде [101], появление отличной от нуля подвижности квантовой частицы в одномерной среде [102-104], особенности стохастических резонансов в задачах о движении частицы в потенциале с двумя минимумами при наличии случайных воздействий [105-111], формирование за. счет действия цветных шумов направленных движений в одномерных нелинейных системах [112-114] и т.п. Среднеквадратичные характеристики движения динамичес ких систем (они определяют устойчивость системы по отношению к случайным воздействиям) как в случае ¿с = 0, так и конечных ¿с имеют, в случае действия параметрического цветного шума, тенденцию к росту во времени, что приводит к стохастической неустойчивости системы. При этом характер развития неустойчивости (ее ускорение или замедление) в существенной степени зависит, как увидим ниже, от формы спектра флуктуационных воздействий.

Физическими примерами развития неустойчивости в системе за счет действия случайных параметрических сил является эффект стохастического ускорения заряженных частиц в случайном электрическом поле [115-117], диффузия солитона в стохастической среде [118-120] и в более общем аспекте разнообразные процессы аномальной диффузии и релаксации во флуктуирующих средах [121-130].

Значительная часть работы (главы 5-8) посвящена обсуждению в рамках типичных физических моделей особенностей осредненной динамики систем, связанных с конечностью В качестве примеров мы рассматриваем: осциллятор с флуктуирующей частотой, заряженную частицу в случайно-неоднородном электрическом поле, солитон в стохастической среде, задачу о распространении полны в одномерном стохастическом слое, процессы коагуляции при наличии стохастических источников и стоков частиц и ряд других.

Основное внимание в работе уделяется выявлению новых особенностей в осредненной динамике. В частности подробно обсуждается вопрос., который нам представляется недостаточно изученным, о влиянии формы спектра (-.луч айн ого воздействия на характер усредненной динамики, поскольку достаточно широко распространено мнение, что по крайней мере в качественном отношении осредпенное поведение динамической системы слабо зависит от формы спектра и поэтому при опенках часто используют простейший закон, соответствующий экспоненциальному .во времени спаду корреляционной функции воздействия. Для этого случая средние движения, как правило, затухают. В данной работе прослеживается, что это отнюдь не всегда так. Ответ существенно зависит от того, несет ли спектр случайного воздействия черты регулярного поведения или нет. Черты последнего проявляются, когда спектр воздействия имеет форму горба около некоторой частоты. Физически такие спектры реализуются, например, в плазменной и гидродинамической турбулентности, в твердом теле и т.д.

Для того чтобы легче было ориентироваться в последующем материале, сделаем ряд замечаний общего характера, касающегося анализа динамических систем при случайных воздействиях, а также конкретизируем некоторые, приведенные выше положения. Более развернутое освещение затрагиваемых вопросов дается в следующих главах.

1. Под динамической системой будем понимать объекты, поведение которых описывается дифференциальными (или интегродифференциальными) уравнениями в обыкновенных или частных производных, например вида = /0М) (В.1) с начальными условиями при t = О, где x(t),f(x,t.) - векторные функции некоторого числа измерений, точка означает дифференцирование по t. При случайных воздействиях в уравнения дополнительно включаются случайные функции. Так, вместо уравнения (В.1) имеем x = f(x,t)+g(x,t,a), (В.2) где g - неслучайная функция своих аргументов, а « = a(t) является случайной. Под случайной функцией (или процессом) понимается функция a(t). которая в каждый момент времени t представляет случайную величину. Это можно представить себе наглядно с помощью Рис. 1 (а). На рисунке изображено несколько функций (кривые 1-3), представляющих возможные реализации случайного процесса a(t). Одни реализации более вероятны, другие менее, и каждой реализации приписывается некоторая вероятность появления.

Поскольку a(t) - случайный прцесс, решение x(t) также является случайным процессом. Каждой реализации a(t) соответствует определенная реализация ж(^)1(см. Рис. 1 (б), где кривые 1-3- решения x(t) при соответствующих реализациях 1- 3 процесса a{t). Детальное определение поведения решения x(t) при каждой реализации a(t) сложно, и обычно не оно представляет интерес, поскольку, как правило, важно нахождение тех или иных вероятностных характеристик решении x(t) по известным (заданным) вероятностным характеристикам процесса о:(/;). Эта задача, конечно, тоже сложна. В общем случае при произвольных вероятностных свойствах a(t) она, естественно, неразрешима и важную роль приобретает выбор модели случайных воздействий a(t).

2. Определение той или иной вероятностной характеристики от x(t) фактически связано с вычислением статистического среднего от функции или функционала от a(t). Поясним сказанное на простейшей нетривиальной физической модели - осци-ляторе с флуктуирующей частотой + с^(1+а(0)ж = 0 (В.З) с начальными при t = О условиями. Из уравнения (В.З) следует t x(t) = x0(t) - Jш0 sinu>o{t — ii )a[t-i )x(t\)(lt i, 0 где xo(t) - решение уравнения (В.З) при а = 0, удовлетворяющее начальным усло

Считаем, что условия существования и единственности решения .-?;(/.) уравнения (В.2) выполнены.

Рис. 1: Реализации случайного воздействия а(1) (а) и соответствующие им реализации динамической переменной (б). виям. Итерируя это уравнение, получаем решение для х{1) в виде ряда

ОО Л Л Л ж0(*) + £ у у . у к=г о о о где

1, = вти;о(г - ¿1) 8тш0((1 -¿2).Я11Шо(^-1 -tk)x0(tk).

Тем самым значение х в момент времени t определяется поведением реализаций а на предшествующем моменту £ интервале. Это означает, что решение ж(Ч) является запаздывающим функционалом процесса а(т),т < 1 Если, например, требуется вычислить среднее < ж(^) >, то возникает задача вычисления всевозможных многоточечных средних по ансамблю реализаций процесса J ••• j а1а2.а(!гР(а1, ¿г; а2, Ь] ■■■]оск, 1к)йагйа2.Яак} (В.4) где

Р(аг,гг; «2,^2! •••; ак,1к)(1а1(1а>2--.(1ак есть вероятность того, что значение функции а в момент времени ^ будет находиться в интервале + ¿а\), в момент ¿2 " в интервале (л2,а2 + (*1(*2),-., в момент tk- в интервале + dak)2. Сказанное относится и к задаче вычисления средних x(t\)x{t2) >, < x(t\)x{i,-2)x{tz) >,. При произвольных a(t) вычисление средних и суммирование соответствующих рядов является трудной задачей, и только при наличии малого параметра и удачного выбора представления решения x(t) можно провести эффективно приближенный анализ. При этом широко используются методы, заимствованные из квантовой теории поля, различные кумулянтаые разложения, борновские приближения и т.д. (см., например, [69-79]).

3. Другой способ нахождения вероятностных характеристик ;е(/;) заключается в том, что вместо усреднения решения можно попытаться найти уравнения для искомых средних < x(t) >,< x(t\)x(t-2) >, . Хотя явная функциональная зависимость соответствующих величин < x(t) >, < x(t,1)x(t2) >,. от а может быть чрезвычайно сложной, динамика их средних может описываться относительно простыми уравнениями.

Так, если мы хотим определить динамику < x(t) > для модели (В.З), то после применения к обеим частям уравнения (В.З) операции усреднения < . > по ансамблю реализиций процесса получаем d2 < х > +и>о < х > < >- О- (В.51 atz

В уравнении (В.5) наряду с < x(t) > входит среднее < о'(t)x(t.) >, так, что уравнение (В.5) не является замкнутым. Расцепление средних < a(t)x >, т.е. выражение их через < х >, представляет при этом основную задачу.

Хотя задача расцепления корреляций между случайными воздействиями и динамическими переменными в общем случае сложна, она эффективно решается для многих моделей случайных воздействий. К их числу относятся модель гауссовского белого шума и ряд других моделей, в том числе моделей цветных шумов, о которых будем говорить далее . Систематическому анализу стохастических уравнений с такими моделями шумов и посвящена диссертация.

4. Весьма общими вероятностными характеристиками процесса x(t) являются функции распределения: одноточечные Р(х, t), двухточечные ¡'{xi, /1 ) и т.д. Их определение приводит нас к задаче усреднения уравнений непрерывности для траекторий в фазовом пространстве динамических систем. Такие уравнения (стохастические уравнения Лиувилля) являются уравнениями к частных производных по t и координатам фазового пространства системы х = (ж-i, х2,. хп) и содержат случайно меняющиеся параметры a(t) Уравнения, которым подчиняются вероятностные

2Интегрирование в (В.4) (или суммирование, если a(t) принимает дискретные значения) производится по всей области определения процесса a{t). распределения Р(х,Р,.), носят название кинетических урав'нений.

Для систем вида (В.2) при случайных воздействиях, моделируемых гауссовски-ми или пуассоновскими белыми шумами, структура кинетических уравнений хорошо известна. Так, для случая гауссовского белого шума кинетические уравнения в физике называются уравнениями Фоккера-Планка (или уравнением Колмогорова - в' математике), их общая структура для всех многоточечных распределений Р(х,£;.) такова:

Здесь и далее по дважды повторяющимся индексам производится суммирование. В этом уравнении наряду с начальными и граничными условиями фигурируют коэффициенты а и Ь, которые надо определять из решения исходной динамической системы (В.2). Традиционный подход к вычислению этих коэффициентов состоит в определении непосредственно из решения системы (В.2) средних и среднеквадратичных приращений Ах на предельно малых временах —> 0.

Отметим также, что имеется строгий математический подход для получения коэффициентов этих кинетических уравнений, основанный на так называемых стохастических уравнениях Ито (см.[19]). В них в качестве исходного, „затравочного" случайного воздействия рассматривается не гауссовский или пуассоновский белый шум, авинеровский или пуассоновский процесс с независимыми приращениями (производные от этих процессов в некотором смысле близки к гауссовскому или пуассо-новс.кому белым шумам соответственно). Причем для оперирования с такими процессами разработан специальный аппарат стохастического дифференцирования и интегрирования [11-13].

В физической литературе для тех же целей, как уже говорилось выше, получил развитие функциональный подход на основе формулы Фуруцу-Новикова-Донскера и ее обобщений (см., например, [49]).

5. Модели белого шума являются предельными, для многих же приложений важна конечность времени спада корреляций воздействия. Соответствующие модели цветных шумов можно получать, рассматривая их как отклик динамических систем на белый шум (гауссовский или пуассоновский). Важно, что в таких случаях расширением числа переменных можно опять прийти к задаче о воздействии белого шума, но на расширенную динамическую систему, включающую уравнение фильтрации белого шума. Так, если а^.) в уравнении (В.2) является откликом системы на белый гауссовский шум 7(2), то для расширенной динамической переменной г =

В.6) Й т; ] = 1,2.,/, ж, су) имеем систему уравнений с параметрами, представляющими белый гауссов-ский шум и соответственно упомянутыми способами можно записать кинетические уравнения вида (В.6) для ¿-точечных распределений Р(г. /;; , .; 1.к-\)-Отметим, что путем фильтрации пуассоновского белого шума можно получать процессы, описываемые распространенным в физике уравнением Больцмана.

Поскольку различными системами фильтрации перебирается огромное (достаточное для физических приложений) множество моделей, тем самым в принципе решается вопрос о нахождении вероятностных характеристик динамических систем при случайных воздействиях, в том числе и не дельта-коррелированных. Однако анализ расширенных динамических систем, конечно, более сложен, так как связан с решением уравнений в частных производных по большому числу переменных и, как правило, с переменными коэффициентами.

6. Замечательно, что существует ряд весьма общих моделей цветных шумов, с которыми можно эффективно проводить точное усреднение, минуя процедуру рассмотрения расширенных динамических систем. К числу таких моделей относятся марковские процессы телеграфного типа (дихотомические, Кубо - Андерсона, кенгуру) и другие. Далее мы подробно остановимся на моделях этого типа, применяя новые математические приемы, отличающиеся простотой и стандартностью получения уравнений для средних, а также удобством приближенного анализа, когда воздействия обладают коротким временем спада корреляций.

7. Системы вида (В.1), (В.2) и последующие, о которых мы говорили ранее, относятся к эволюционному типу. Для них выполняется „принцип причинности" в том смысле, что поведение х({) зависит от значений су на предшествующих i временах и не зависит от значений су(т) при т > 1. Широкий класс задач, с которыми имеют дело в физике, связан с рассмотрением условий, при которых принцип причинности не выполняется. В частности, это характерно для систем вида (1.2) не с начальными, а с краевыми условиями, например:

Аж(0) + }1х{Т) = -о, (В.7) где - постоянные неслучайные матрицы п х гс, и - неслучайный вектор. Каждой реализации су(^) соответствует некоторый набор собственных функций и собственных значений краевой задачи (В.2), (В.7), и типична задача определения статистики собственных функций и собственных значений по заданной статистике а(<).

Один из действенных способов рассмотрения таких задач состоит в предварительном сведении их к задачам эволюционным, математические средства вероятностного анализа которых более разработаны. Мы в основном будем говорить о динамических системах эволюционного типа. Примеры систем с краевыми условиями рассматриваются в главах 1,2.

Резюмируя сказанное выше, сформулируем цели и задачи данной диссертационной работы, ее научную новизну и практическую значимость, а также укажем, где, когда и на каких научных совещаниях обсуждались основные результаты работы.

Цель настоящей работы состоит: а) в разработке эффективного метода статистического описания динамических систем в поле цветных шумов, который решает задачу получения точных и замкнутых уравнений для средних (моментов, кумулянтов, распределений вероятности) для широкого класса, систем и моделей воздействий, позволяет исследовать усредненную динамику систем в случае негауссовых цветных воздействий и дает возможность изучить влияние формы спектра шума на усредненную динамику; б) в развитии асимптотического метода усреднения для систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в с тандартной форме, возникающих при изучении усредненных характеристик динамических систем в поле цветных шумов; в) в разработке, простых средств моделирования сложного динамического поведения; д) в разработке нового подхода к диагностике шумов и разделения смесей сигнала и шума на основе точно решаемых моделей нелинейной физики, в том числе солитонных.

Научная новизна.

Предложен новый метод вероятностного описания динамических систем с флуктуирующими параметрами на основе формул дифференцирования (ФД) статистических средних. В представлении моментных и кумулянтных функций проведено систематическое применение ФД для получения замкнутых уравнений для различных средних для широкого класса линейных и нелинейных динамических систем, возмущаемых цветными шумами (шумы Орнштейна-Уленбека, Рэлея. Пирсона, пуас-соновские, скачкообразные - Кубо-Андерсона, кенгуру и т.д.). Разработаны эффективные алгоритмы приближенного анализа для быс.трофлуктуирующих процессов. Предложен новый класс, точно решаемых моделей нелинейных динамических систем, возмущаемых цветными шумами Орнштейна-Уленбека и Рэлея. Предложен новый подход к задаче диагностики шумов и разделения смесей шума и детерминированного сигнала на основе нелинейных распределенных фильтров (НРФ), представляющих собой точные решения уравнений нелинейной физики определенной структуры (в частности, решения солитонного типа). Показано, например, в частности, что для аддитивных смесей сигнала и гауссова, шума НРФ точно разделяет компоненты смеси. В рамках точно решаемых моделей проведено систематическое изучение влияния конечности времени спада корреляций шума на движение пробной частицы в одномерном случайно-неоднородном электрическом поле негауссовой статистики, на процессы коагуляции при наличии стохастических источников и стоков частиц, броуновской частицы в слоисто-неоднородной среде. Изучено влияние формы спектра шума на динамику: заряженной частицы в одномерном стохастическом поле, волны в одномерной слоисто-неоднородной среде, солитонов уравнения Корте-вега де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера и синус-Гордона. Показано, что усредненная динамика критична к наличию в спектре мод с нулевой „частотой". Флуктуации имеющие, спектр в форме „горба" на некоторой „частоте" приводят к стохастическому ускорению частицы, резонансному отражению волны в слое и критическому замедлению диффузии формы солитонов. Для систем нелинейных интегро-дифференциальных ургшнений (ИДУ) в стандартной форме, возникающих при статистическом описании динамических систем в поле цветных шумов, доказан ряд новых теорем по обоснованию асимптотического метода усреднения. Предложен подход к моделированию сложной динамики и обрабо тки данных как результата перемешивания (стохастического и (или) динамического) монотонных движений.

Практическая ценность работы.

Разработан эффективный метод статистического описания динамических систем с флуктуирующими параметрами, позволяющий решать многочисленные задачи из разных областей физики, техники, других наук.

Предложен подход к диагностике случайных процессов и разделению смесей шума и детерминированного сигнала, основанный на использовании нелинейных распределенных фильтров, представляющих собой точные решения нелинейных стохастических уравнений специального вида (в частности, решения солитонного типа).

Предложен и реализован в программных средствах подход к моделированию сложных процессов, основанный на их представлении как результата перемешивания (стохастического и (или) динамического) простых монотонных динамик.

Полученные результаты указывают пути возможного управления усредненным поведением динамических систем за счет конечности корреляционного радиуса и немонотонности спектра флуктуаций.

Апробация работы.

Результаты исследований докладывались на 9 и 10 Рижских Совещаниях по Магнитной гидродинамике (Рига 1978, 1981 гг.), 5 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981 г.), Международном семинаре Ренормгруппа -1986 (Дубна, 1986 г.), 9 Международной конференции по нелинейным колебаниям (Киев, 1981 г.). Всесоюзной школе-семинаре Эргодическая теория марковских процессов (Кызыл, 1987 г., Рига, 1989 г.), 4 Всесоюзной конференции Флуктуационные явления в физических системах (Паланга, 1988), 3 Всесоюзной школе-семинаре по макроскопической кинетике, химической и магнитной газодинамике (Красноярск, 1990 г.), Всесибирской школе по вычислительным методам (Шушенское, 1995 г.), 1-3 Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (INPRIM) (Новосибирск, 1994 г.,1996 г., 1998 г.), 1,3,4 Межреспубликанских симпозиумах Оптика атмосферы и океана (Томск, 1994г., 1996г., 1997г.), Международном симпозиуме по статистической физике (Zakopane, 1995, Poland), семинарах:- член-кор. АН СССР С.М. Рытова (Москва, 1980 г.), акад. H.H. Яненко (Новосибирск, 1981), член-кор. РАН В.И. Зубова (Санкт-Петербург 1994 г.); Отделе теоретической физики Института физики Силезского университета (Catowice, Poland, 1995), Отдела статистической физики Ягелонского университета (Krakow, 1995), семинарах теоретического отдела Института физики СО РАН (Красноярск).

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 43 научных публикациях, в том числе:

-монографии -1,

-обзоры -1,

-авторское свидетельство-1.

Следующие параграфы этой главы дают представленке о способах описания случайных процессов динамическими и кинетическими уравнениями, приводится общая структура кинетических уравнений.

§В.1. Характеристики случайных процессов3

Случайная функция (или процесс.) a(t) характеризуется множеством своих реализаций a^'(i), a(2)(i),., которым приписывается определенная вероятность появления (см. Рис.1). Примером случайного процесса является детерминированная (неслучайная) функция /(¿, с) времени t и случайного параметра с: МИ. (В.8)

Каждому значению с^ параметра с соответствует функция /(/', с^') - реализация a^(t) процесса a(t). Набор всех значений {с^} параметра с перебирает множество реализаций = j'/(£, такого процесса a(t). и статистика величины с, т.е.

3Мы здесь излагаем необходимые сведения из теории случайных процессов. Более подробное изложение можно найти в известных руководствах [1-15]. вероятность p(c)dc значений с в интервале (с, с + de). задает статистику процесса a(t). Еще один пример: N a{f') = Щ COSt°k(t ~ tk); к= 1 где Cfc и tk при каждом к - случайные величины. Всевозможные наборы значений {c^\tk} перебирают множество реализаций процесса a(t), а вероятностные, распределения р(с\, с2,., сдг, t\, ¿-¿,tN)dcidc2.dc^dtldl2.dtN того, что значения ck,tk, к = 1,2, .,N лежит в интервалах (с^с/,. + dck), (t^,tu + dt к), определяют статистику процесса a(t).

Ясно, что в общем случае описание a(t) как детерминированных функций времени, зависящих от случайных параметров с заданной статистикой, позволяет задавать всевозможные случайные процессы. Так, например, задают статистику при описании пуассоновских процессов.

Наряду с указанным способом описания процесс о(/) в общем случае удобно задавать всевозможными многоточечными распределениями P(cv, /;), Р{ос, t; 04, ti),., P(ac,t; oci,ti-,.; ak-i,tk-i), где P(a,t\ cvbi.; ak-i, ik-i )daida2.dak-X представляют собой вероятность того, что значения а в моменты времени /;, ij,/-¿г-ч ^fc-i находятся в соответствующих интервалах («, a + da), (cvj, а.\ +dai),., («/„■-ъ + dak-i).

Все вероятностные характеристики величин, которые зависят от значений а в один и тот же момент времени t, определяются одноточечным распределением P(a,t). При этом статистическое среднее от произвольной функции f(a(t)) вычисляется по правилу

Здесь и далее интегрирование производится по всей области допустимых значений а. В случае дискретных значений интегрирование заменяется суммированием.

В разные моменты времени значения а, вообще говоря, статистически зависимы и поэтому для определения средних от а в разные моменты времен:! нужно пользоваться многоточечными распределениями. Например, двух- и трехточечные средние определяются выражениями:

В.9)

В.10)

4Если с пробегает непрерывный ряд значений. Если же множество {с1^} дискретно, то статистика задается вероятностью р (с^). Далее случай дискретных распределений особо оговаривать не будем.

Все функции Р должны быть неотрицательны, нормированы и удовлетворять условиям согласования:

Р(а, *;.)> О,

J . j P(abfi; .]ak7tk)dal.(bl, = 1, (В.И)

В принципе, знание всех многоточечных моментов < akl (ti)ak2 {t2).akn(tn) > или всех многоточечных распределений Р достаточно для определения случайного процесса a(t).

Часто вместо распределений Р для вычисления средних удобно пользоваться их Фурье-образами по переменным а :

Ф (-М) = (exp (iua(t))) = J exp ( г и а ) Р {a, t) da. (В. 12)

Ф/с = Ф(и1; t\] и2, t2;.; uk,tk) = (expi[uiCï(ii) + u2a[h) + •■• + ^«(¿/t)]) = J . J exp г[ща\ + u2a2 + . + ukak)P{oi\, Н\а2, t2:.; ak, lk)do:-lda2.dak.

Функции Ф* называются характеристическими функциями процесса a(t). С их помощью легко определяются любые ¿-точечные моменты от a(t). Например,

1 дкЧ1ъ ik дщди2.дик ц1=«2=.=«А-=0

Таким образом, если Фк известны, то вычисление моментов сводится к простому дифференцированию, а не интегрированию, как по формуле (В. 10).

Заметим, что все приводившиеся выражения справедливы как для скалярного процесса a(t), так и для многокомпонентного a(i) = ., a^m\t)). 5 В этом случае da понимается как m-мерный объем, da^hl.

1 дкък гк 'о 4ni «1 =. = ик=0

5Хотя это обозначение и совпадает с использовавшимися прежде обозначением отдельных реализаций процесса, это не должно вызывать путаницы, поскольку каждый раз иг» контекста ясно, о чем будет идти речь.

Сведения о всех Ф* содержит в компактной форме .гарактерисшический функционал Ф[и] процесса a(t), который определяется как

Щи] = ^ехр г I и{т)а(т)с1т^ . (В.13)

Интеграл в экспоненте берется по интервалу времени, на котором определяется процесс a(t). Произвольная функция u(t) должна обеспечивать существование интеграла в (В.13) для любой функии a(t). Характеристический функционал (В.13) можно рассматривать как предел (В. 12) при к —у оо. Нахождение средних от процесса при этом сводится уже к вычислению вариационных (функциональных) производных от Щи] по и. Например, ч , , х 1 a(i1)a(i2).rt(iifc) ik 8u(t.l)6u{t2).8u{tk) и=0

Об определении вариационных производных и оперировании с ними см. [49,67,68].

Наряду с характеристическими функциями и характеристическим функционалом часто удобно работать с логарифмами от них: 1п Ф/. и 1пФ[и]. Дифференцирование их дает не моменты, а так называемые кумулянты (или семиинварианты) случайного процесса. Кумулянты в отличие от момен тов принято обозначать ((.)) [4,5] или (.,.,.) [131]. Первый кумулянт от а совпадает со средним < а >, для второго имеем , , . 1 сПпФ, a(h),a(t2) >= -Jгг Öu\du2 и высшие кумулянты

1 dk In Ф к < о'(^)о'(-/.;) > - < П'(-/;1) >< a(t2) > щ —'IL2 —О a(ti),a(t2), .,a{tk) >= ik <)ti\()

Как правило, в физических задачах мы априори не знаем явного вида всех многоточечных распределений или характеристического функционала случайных воздействий. Скорее, имеется возможность моделирования того или иного окружения, с которым взаимодействует выделенная подсистема .г. кинетическими или динамическими уравнениями, описывающими динамику флуктуаций о:. И тот, и другой способ моделирования широко используется в физических исследованиях.

§В.2. Описание динамическими или кинетическими уравнениями

При моделировании случайных воздействий динамическими уравнениями исходят из детерминированных уравнений движения а = Л(а,П), (В.14) вводя в уравнения случайные параметры или (и) считая случайными начальные условия. Существенная стохастизация движений возникает, например, когда в качестве 12 берут не случайные величины, а простейшие модели каких-либо быстроменяющихся процессов, скажем, белый гауссовский шум или вииеровский процесс; при этом уравнения (В. 14) называют стохастически. \ т дифферент шальными уравнениями.

Уравнения вида (В.14) могут, очевидно, моделировать динамику флуктуаций как сосредоточенных систем, так и распределенных (при этом в качестве компонент от выступают амплитуды нормальных волн, в терминах которых можно описывать всевозможные возмущения системы). Уравнения (В. 1-1) могут быть гамильтоновыми (ими, например, часто задают резервуар термодинамических флуктуаций колебаний решетки в твердом теле [132-134]) или уравнениями гидродинамического типа, как при моделировании турбулентных сред [135].

Динамический способ описания удобен для выявления временных масштабов изменения и распределения интенсивности флуктуаций по спектру. Подчеркнем, что при задании случайных процессов динамическими уравнениями последние рассматриваются как уравнения эволюционного типа, с некоторыми начальными (а не краевыми) условиями, так что решение «(¿) в момент времени 1. зависит от поведения случайных параметров в предшествующие моменты времени.

Более опосредованным является описание динамики флуктуаций а(1) в рамках кинетических уравнений - уравнений, которым подчиняются распределения вероятностей или связанные с ними условные распределения (переходные вероятности)

Qk = .;

Здесь Qkda есть вероятность значениям а находиться в момент времени t в интервале (а, а + da) при условии, в другие не равные t моменты времени ii, t2, процесс a(t) принимал значения а2,., ак-\ соответственно. По определению,

P(a,t-,ai,tr, .}ak,tk) = Q(a, t,\ab h;.; ak, tk)P{au U;.; ak, h-)- (B.15)

Для краткости совокупность значений («i, а2,., «/,)• которые принимает a(t) в соответствующие моменты времени (tb t2,., tk) будем обозначать далее через (Е,Т). Тогда, например, (В. 15) записывается в виде

P(a,i;S,T) = Q(a,i|S,r)P(S!r). (В.15 а)

Какова структура кинетических уравнений и как она связана, с заданием динамики флуктуаций в рамках динамических уравнений (В.14). В случае, когда процесс oc(t) является чисто детерминированным (соответственно в (li.14) начальные условия а(0) и параметры il неслучайны), распределения Рк и Qk это, очевидно, дельта-функции:

Рк = Рк = Р(а,*;аъ*1; = S (а - a(t))è(a, - - a(tk 0),

В.16)

Qk = Qk = .]ak^,tk^) = S(a - a(/;)). (B.16a)

Знак "тильда" над функциями Р и Q указывает на то, что распределения соответствуют некоторым фиксированным значениям параметра il или начального условия а(0). Кинетические уравнения, которым подчиняются распределения, -уравнения непрерывности (или уравнения Лиувилля) в пространстве переменных а: + div(AP,) = О, ot, r'livi,\0;.i U. (В.17) где

8 т 8 =-А/= m - число компонент вектора а = (с^1), о^2',., «(т)). Результат (В.17) получается следующим образом [89].

Умножим обе части (В.16) на произвольную функцию д{

Ц Р^а^ак-г :г [ ^д.Ыо: = А^ =

Выражение справа можно переписать в виде

А^ = [ А—6(а - а^))8(а1 - а(г1)).8(ак-1 - .<1ак-1 = оа J Оа дд ~ [ д ~

А—Рк(1ас1а1.(1ак-1 — - J д~{АРк)<:1а<1а1.(1ак.].

К последнему равенству приходим после интегрировали я по частям и в предположении, что плотность траекторий Рк при значениях о = ±оо равна нулю. В результате

9 {ж + 1 =

Отсюда в силу произвольности функции д приходим к результату (В. 17). Аналогично получается уравнение для

Если П = 0,(1) - случайный процесс, т.е. уравнение (В.14) содержит случайные параметры, то Рк,Як представляют собой „мелкозернистые" распределения, удовлетворяющие уравнениям (В. 17), которые содержат случайные коэффициенты. При этом уравнения (В.17) принято называть стохатшческими уравненгшми Ли-увилля. Очевидно, что вероятностные распределения 1),: и (¿к при данной статистике параметров «(¿) уравнения (В.14) есть просто средние но этой статистике:

Рк = (Рк) = (6(а - а(1.))8(а, - - а(1;к^))) , (В.18)

Як = (С1к) = (8(а:-а(Г)))у1.;1. (В.18о)

В кинетических уравнениях (В. 17) а и I являются независимыми переменными, поэтому операции (.) усреднения по статистике И и дифференцирования по а и I перестановочны (если, конечно, существуют соответствующие производные [136], что и предполагаем).6 Поэтому для Рк,(^к получаем + «Их- (АРк) = О, г с11У (АСЬ) - 0. (В.19)

Если бы в уравнениях (В. 19) удалось расцепить корреляции Рк) , , т.е. выразить их через действие некоторых детерминированных опера .торов только на

То есть имеет место сходимость в среднеквадратичном величины Ит = о и аналогично для . функции (Рк) 1 (Qk) 5 то тем самым получили бы замкнутые уравнения для функций PkiQk-, которые и называются кинетическими уравнениями (master equations).

Для определения общей структуры кинетических уравнений обратимся [137] (см. также [7] ) к интегральному соотношению между условными вероятностями 7, которое в силу (В.11), (В. 15) имеет вид

3(t*,i|£,r) = jQ{n,t\rj,t-T]^T)Q(-4.t-T\i:,T)dv. (В.20) где if = a(t — т). Q(a,t\r), t — г; S, Т) есть плотность вероятности перехода в состояние а в момент t из совокупности (£,Т) и ('i]. t — т). В (И.20) значения ^ в множестве Т не должны совпадать с ¿, однако могут лежать и справа и слева от точки t, т.е. возможны значения ^ < t и t% > t.

Для случая, когда в Т все /. < i — г, уравнение (В. 15) физически означает, что переход из (Е,Т) в (a, t) можно рассматривать как сумму всевозможных переходов из (Е, Т) в какое-то промежуточное состояние (?/, t — т). а из него - в (о, t,) (Рис. 2). На этом рисунке кривыми 1-4 обозначены реализации случайного процесса, который, имея некоторую предысторию (Е,Т), оказывается в момент 1: в состоянии а. Все такие реализации, очевидно, проходят в момент т через промежуточные состояния Г], и суммирование по всем ?; перебирает все реализации.

Частным случаем уравнения (В.20) является уравнение Смолуховского, справедливое для класса, марковских процессов (см. ниже). Уравнение (В.20), поэтому можно трактовать как обобщенное уравнение Смолуховского для процессов с памятью.

Учитывая, что Q(a,t\rj,t] Е, T) = S(a — г/) (так как при совпадалощих временах-переход в другие состояния отсутствует, а суммарная вероятность сохраняется и нормирована на единицу), в пределе, когда т —> 0, из (15.20) получаем кинетическое, уравнение вида [137] et ЦШ [ - " "П., T)S, Г),,,,. (В.21} т—>0 J т

Интегральный оператор L линеен и носит название кинетического или производящего оператора процесса a(t). Уравнение (В.21) должно быть дополнено граничными и начальными условиями. Последние определяются тем, что плотность вероятности перехода из состояния г) в момент t в состояние а в тот же момент 1. равна ¿(а — rj).

Заметим, что величина г в (В.20) и в (В.21) может бы ть как положительной, так и отрицательной и следует, вообще говоря, различат!, пределы т —> +0 и т —» —0, в

Ограничимся далее лишь рассмотрением уравнений для условных вероятностей.

Состояние ШШШ: 1 Промежуточное „ \ состояние ' s / / Предыстория 2

1 (Л/г)

1 / \ 4 у Время

Рис. 2: Графическая интерпретация обобщенного уравнения Смолуховского (В.20). которых операторы L могут отличаться, и это надо иметь в виду в тех местах, где будут встречаться выражения, содержащие пределы при т —> 0. Дифференциальное представление оператора L имеет вид [137]

СО / 1 \к ßk

LQ = (В.22) где

Ak(a,t\Z,T) = = lim / ~ ^ Q(a, t - т; S, T)dV. т-+ 0 \ T / J Т уел

В.23)

Коэффициенты Л& называются кинетическими коэффициентами. Убедимся, что уравнение с оператором L в виде (В.22) имеет место. В самом деле, функцию Q(ct,t\rj, t — т; Е, Г) можно тождественно представить как 8 оо оо

Q(.) = — J exp[—i(a — rj)u]du J ехр[г(о; — r})u]Q{.)dcx = оо —оо

1 00 ük 7 00 dkS(a-Tj) 2«£0-MJ {m)k exph?(a ~ V)u]du = 5: ПГак dak '

U -OO

Предполагается, что все необходимые условия на гладкость распределения выполнены. где fc

ОО afc(7/,i-r|S,r)= J (a-V)kQ(a.l\V,1 -r-,^.T)da.

Если учесть определение (В.23) и подставить выражение для (¿>(.) в (В.21), то приходим к результату (В.22), (В.23):

ОО от ^ А'! т-^о г у я1—I

Часто используют непосредственно интегральное1 представление оператора Ь, как, например, в уравнениях Больцмана или Колмогорова-Феллера, соответствующих марковским скачкообразным процессам (см. ниже).

Как видим, оператор Ь в (В.22) имеет более сложный вид, чем в случае детерминированного процесса (уравнение (В. 17)). Для последнего Л^ = Л, а все Л*. = 0, к > 2. Коэффициенты Ль связаны согласно (В.23) инфииит<-зи.мальвыми изменениями во времени определенных моментов и в принципе их можно определять из решения уравнения (В. 14).

Для класса случайных процессов, называемых диффузионными, все Л* в (В.22), начиная с к > 3, равны нулю. При этом уравнение (В.21) принимает вид dt

Q(a,t\Z,T) (В.24)' и носит название обобщенного уравнения Фоккера-Планка. Для процессов, содержащих разрывные компоненты, в (В.21) существуют Л д. ф 0 с как угодно высокими номерами к [137]. Причем, если для некоторых значений (a, i; S, Т) и четном ко > 2 Л*0(а, i|S,T) = 0, то непременно Л*(«,<|£,7') = 0 для всех к > 3.

Приведем некоторые полезные свойства кинетических коэффициентов Л, легко доказываемые из их определений (В.23) [137]:

1) свойство симметрии. Если то

Afe(a,i|S,r) = (-1)%(-а,/.| - Е, Т)]

2) если < a(t) >= 0 при всех i, то среднее Л] (а, / |Е, Т) = 0;

3) для стационарных процессов a(t) (у которых функция корреляции K(t,t\) = = ((«(¿) — (a))(a(t\) — («))) есть функция только разности аргументов, K(t,t\) = К(1, — 1\)) с дифференцируемой в нуле функцией корреляции К{т) коэффициенты Л*(а, ¿¡Е, Т) = 0 для всех к > 2.

До сих пор речь шла о скалярном процессе а(1). Обобщение на случай много-, мерного процесса «(¿) = ., несложно. Так, в многомерном случае оператор Ь в (В.22) имеет вид [137]

-1)^ ( д 4

LQ= £ кгп — 1 П где теперь

1 / "1 / Afel.fcm(a,i|E,r) - Hm - ( П («(i,(<) - «li)(i - г)) i=1

1 t m /• = lim — у П - - r)) " Q(o. L\rh i - т; S, T)dr,.

T ^ ¿=1

Весьма распространенным в математических исследованиях и приложениях является класс марковских случайных процессов a(t). Такие процессы отличает то. что в них отсутствует вероятностное последействие: задание а = о0 в момент ¿о определяет все статистические свойства a(t) при t > tо, или, другими словами, для определения марковского процесса достаточно задания плотности вероятности P(a,t) и вероятности перехода Q(a,t\a0,t0). Процессы, для которых это не имеет места, представляют собой процессы с памятью.

С физической точки зрения моделирование окружения марковскими процессами эквивалентно рассмотрению процессов, к которым приложим принцип Гюйгенса [136,138]. Согласно последнему всякая точка фронта волны может рассматриваться как новый точечный источник излучения, так ч то поведение волны при t > to полностью определяется ее поведением при t = i0 независимо от -того, как распо-странялись волны до этого момента.

В рамках описания процесса a(t) динамическими уравнениями (В.14) для выполнения условия марковости достаточно, чтобы случайный параметр 12 либо не флуктуировал во времени (12 - случайная величина), либо флуктуировал предельно быстро (т.е. 12 = ü(t) - дельта-коррелированный случайный процесс).

Во многих случаях увеличением размерности пространства переменных а кинетику случайного резервуара с вероятностным последействием, моделирующего окружение, можно свести к марковскому типу. В принципе всякий случайный процесс a(t) можно рассматривать как марковский, ес.чи всю его предысторию, т.е. все множество Е значений а до момента t, считать состоянием.

Для марковских процессов функция Q(a,t\r),l. - т;Е,У) в (В. 15) совпадает с Q(a,t\rj,t — т) и уравнение (В.20) переходит в извес тное уравнение Смолуховского, а оператор L и коэффициент Л/о в (В.22), (В.23) не зависят от предыстории (Е,Т). Уравнение (В.24) при т —> +0 редуцируется к обычному уравнению Фоккера-Планка 9. Более общее кинетическое уравнение получается, когда марковский процесс наряду с непрерывной компонентой содержит и скачкообразную. При г —>• +0 оно имеет вид (в одномерном случае) dQ(a,t\a0-,t0) ( did2 \ п, , N ш—= +

-a(a,t)Q{a,t\a0,t0) + J а(т/, t)ip(a\ri, t)Q(rh ¿|а0, i0)dr/ (B.25) и носит название уравнения Колмогорова-Феллера. Уравнение (В.25), когда процесс a(t) содержит только скачкообразную компоненту, переходит в dQ(a,t\ao,to) = QMaQjto) J u(i]\a, t)d/i] + J a(a]V, t)Q(rh i|a0, t0)dr, (B.26) и носит название уравнения Феллера10. Функции a(a.t) и и(сф/,/;) = a(r],t)(p(a\r),t), фигурирующие в этих уравнениях, связаны с харак тером скачкообразного поведения a(t) следующим образом: a (a, t)dt есть вероятность появления скачка на интервале (t,t + dt). Она зависит от значения а в момент / и от этого момента; ip{a\rj,t)dr] представляет собой условную вероятность того, что в результате скачка в момент t значения г/ лежат в интервале (?/, у + dr)), а перед скачком (в моменч t ~ 0) функция a(t) принимала значения а.

Перебирая функции a(a,t) и (р(а\r/.t), мы имеем возможность описывать весьма разнообразные скачкообразные процессы. Некоторые из них будут подробно рассмотрены в следующих главах.

Уже упоминалось, что установление структуры кинетических уравнение для той или иной модели случайных воздействий может бы ть сведено к проблеме усреднения стохастического уравнения Лиувилля. Заметим, что проблему вычисления характеристического функционала процесса a(t)

Ф4[и] = ^exp i j 0'(т)и(т)с/г^ , который дает возможность получать все вероятностные характеристики процесса, также можно свести к проблеме усреднения некоторого стохастического дифферен

9При т —► — 0 получается уравнение с кинетическим оператором, сопряженным оператору Ь уравнения Фоккера-Планка. Это уравнение часто называют обратным уравнением Колмогорова.

10В физике уравнение (В.26), но записанное в несколько иной форме, называется кинетическим уравнением Болъцмана (см.напрмер, [7] с. 203). циального уравнения. Действительно, рассмотрим случайную функцию г х{г) = ехр г I а(т)и(т)(1т. (В.27) о

Среднее от этой функции по процессу «(£) как раз и дает характеристический функционал Ф<[м]. Дифференцируя (В.27) по t, получаем искомое стохастическое дифференциальное уравнение х = ги^,)а{1:)х. (В.28)

К нему нужно добавить еще начальное условие: очевидно, что х{1:0) = 1. Таким образом, если бы удалось расцепить правую часть. <г (\(1)х >, т.е. выразить его через некоторый оператор, действующий только на < х >= Ф г [и], то получили бы детерминированное уравнение для определения характеристического функционала ад.

Во многих случаях проблема расцепления корреляций в стохастических уравнениях может быть успешно решена на основе установленных нами „формул дифференцирования" статистических средних, о которых пойдет речь в следующей главе.

В заключение отметим, что хотя мы говорили о способах вероятностного описания случайных воздействий но совершенно очевидно, что сказанное относится и к вероятностному описанию динамических систем при случайных воздействиях (речь идет лишь о переобозначении о: на х, а Л на о).

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Логинов, Валерий Михайлович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение сформулируем основные результаты диссертации:

1. Для ряда употребительных моделей цветных шумов (процессы телеграфного типа, Орнштейна-Уленбека) впервые получены формулы дифференцирования статистических средних для расцепления корреляций между функцией от случайного процесса и некоторого запаздывающего функционала от него.

2. Установлена общая структура формул дифференцирования для случайных процессов произвольного вида.

3. На основе формул дифференцирования предложен и развит (в терминах мо-ментных и кумулянтных функций) метод статистического описания динамических систем с флуктуирующими параметрами. Метод позволяет для широкого класса динамических моделей и моделей цветных шумов получать замкнутые уравнения для различных средних - моментов, кумулянтов, распределений вероятности. Для быстрофлуктуирующих процессов построены и обоснованы эффективные алгоритмы приближенного анализа уравнений для средних от динамических переменных. Проведено сравнение метода ФД с другими известными методами статистического описания - стохастическим исчислением Ито-Стратоновича, диффузионным приближением, марковским приближением.

4. Для средних, встречающихся в стохастических многоточечных краевых задачах, установлена общая структура формул дифференцирования средних, содержащих функции от запаздывающих и опережающих функционалов марковских процессов.

5. Для систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, встречающихся в задачах статистического описания динамических систем в поле цветных, шумов доказаны в рамках асимтотического метода усреднения новые теоремы усреднения для задачи Коши и многоточечных краевых задач.

6. Дано систематическое применение метода ФД для статистического описания динамических систем в поле цветных шумов:

6.1. Для динамической системы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка, возмущаемого параметрически цветными шумами Орнштейна-Уленбека (ОУ) и Рэлея получены новые точные решения двумерного стационарного уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка, которые существенно расширили для шума ОУ классы точно решаемых моделей, для процессов Рэлея точные решения получены впервые.

6.2. Предложен метод вычисления функционалов запаздывающего типа от процессов Винера с использованием ФД статистических средних.

6.3. Для диссипативно связанных осцилляторов Дуффинга, возмущаемых аддитивно гауссовскими белыми шумами получены в рамках метода усреднения Крылова- Боголюбова-Хасьминского нестационарные четырехточечные распределения вероятности, вычислена корреляционная матрица.

6.4. В рамках точно решаемой одномерной модели исследована устойчивость поверхностных волн в проводящей жидкости под действием стохастического электрического поля, моделируемого марковским Д-шумом. Вычислены эффективная частота и затухание поверхностных колебаний. Показано, что стохастическое поле может как дестабилизировать поверхностные колебания, так и, наоборот, стабилизировать их в среднеквадратичном.

6.5. Вычислены эффективная частота и затухание для осциллятора с флуктуирующей частотой, когда марковский Д-шум управляет включением гауссова белого шума - модель маятника со стохастически вибрирующей точкой при наличии дополнительных случайных сбоев. Показано, что дополнительные случайные сбои повышают порог устойчивости системы для ее среднеквадратичных характеристик. Построена диаграмма устойчивости в зависимости от корреляционного времени случайных сбоев.

6.6. Детально проанализирована задача об особенностях нестационарной динамики для броуновской частицы в слоисто-неоднородной среде, моделируемой случайными изменениями в ее константе релаксации по закону Д-шума. Показано, например, что возможны режимы немонотонного изменения среднеквадратичной скорости частицы и появление минимума в некоторый момент времени. Вычислены эффективные коэффициенты трения и диффузии частицы. Получено кинетическое уравнение, описывающее немарковскую динамику частицы в стохастически слоистой среде. В пределе, частых чередований слоев показано, что кинетическое уравнение для распределения по скоростям описывается процессом Пирсона с бета распределением.

6.7. Предложена точно решаемая модель коагуляции в присутствии стохастического источника и стока частиц. Проведено систематическое изучение стационарных распределений для счетной концентрации частиц. Для разных схем работы источника и стока построены фазовые плоскости параметров, демонстрирующих многообразие индуцированных цветным шумом фазовых переходов.

6.8. Рассмотрена модель распространения волны в слоисто-неоднородной среде, позволяющая проанализировать влияние формы спектра флуктуаций показателя преломления на характеристики волны. Показано, что флуктуации показателя преломления, имеющие спектр в форме „горба" на некотором характерном пространственном масштабе возбуждают в среде параметрические резонансы, которые, в отличие от шумов со столообразной формой спектра приводят к локализации волны на конечной (а не бесконечной) глубине слоя.

6.9. Предложен и развит метод математического моделирования сложных временных процессов (сложных динамик) на основе их представления как результата перемешивания детерминированного и (или) случайного простых монотонных движений. Разработан пакет программ для ЭВМ, с его помощью обработан большой массив временных рядов из динамики атмосферных процессов. Показано хорошее согласие результатов математического моделирования с реальными данными.

7. Предложен новый способ диагностики шумов и точного разделения аддитивных смесей гауссова шума и детерминированных сигналов на основе применения распределенных фильтров, представляющих собой специальные точно решаемые модели нелинейной физики, в частности солитонного типа. Проведено систематическое рассмотрение этого вопроса применительно к шумам гауссовой статистики. Показано, например, что аддитивная смесь детерминированного сигнала и гауссова шума в определенном фазовом пространстве описывают процесс переноса некоторой субстанции. При этом случайная компонента смеси отвечает исключительно за процессы диффузии субстанции, а детерминированная компонента за ее конвективный перенос.

8. На примере точно решаемых примеров динамики солитона в стохастической среде изучено влияние формы спектра флуктуаций параметров среды на процессы расплывания солитонов. Показано, что динамика расплывания солитона чувстви-' тельна к присутствию в спектре мод с нулевыми частотами. Их отсутствие или малый вес ведет замедлению расплывания солитонов. Даны количественные характеристики этого процесса.

9. В рамках одномерной модели исследованы характеристики и механизмы стохастического ускорения заряженных частиц в случайных электрических полях, в частности, моменты и кумулянты для полей моделируемых цветными шумами телеграфного и непрерывного видов. Получено точное решение для средней скорости частицы в произвольном гауссовом поле. В рамках предложенного способа анализа задача эквивалентна задаче распространения тепла в полуограниченном пространстве. Проанализировано влияние формы спектра временных флуктуаций статистически однородного электрического поля на динамику стохастического ускорения. Показано, что для статистически однородного поля возможен эффект стохастического ускорения, если в спектре временных флукутаций отсутствуют моды с нулевой частотой. Рассмотрена возможность анализа динамики частицы в отдельных реализациях случайного поля. Показано, что для плавно неоднородных полей это можно сделать в случае, если в качестве фазовых переменных, характеризующих поведение частицы выступают значения кинетической энергии частицы в двух точках. Выявлено три типа реализаций в динамике частицы - реализации, в которых частица испытывает стохастическое ускорение, реализации, отвечающие локализации частицы и реализации, где кинетическая энергия не меняется при прохождении слоя. Отмечается, что при статистическом усреднении теряется важная информация о реализациях первых двух типов. Об эффекте стохастического ускорения можно судить лишь косвенно по поведению моментов высокого порядка.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Логинов, Валерий Михайлович, 1998 год

1. Wong М.С., Uhlenbeck G.E. On the theory of the brownian motion.1. //Rev. Mod. Phys. 1945, V.17, P.323.

2. Чандрасекхар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. М.: ИЛ, 1947.

3. Кляцкин В.И., Татарский В.И. Приближение диффузионного случайного процесса в некоторых нестационарных статистических задачах физики //УФН, 1973. Т.110. В.4. С. 499-536.

4. Van Kampen N.G. Stochastic differential equations //Physics Reports, 1976. V.24C, P.171.

5. Fox R.F. Gaussian stochastic processes in physics //Physics Reports, 1978. V.48. N3. P. 179-283.

6. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М.: Наука, 1975. 240 с.

7. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Случайные процессы. Часть 1. М.: Наука, 1976. 404 с.

8. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Случайные поля. Часть II. М.: Наука, 1978. 463 с.

9. Болотин В.В. Колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. 336 с.

10. Диментберг М.Ф. Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами. М.: Наука, 1989. 176 с.

11. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов, т.1. М.: Наука, 1971. 664 с.

12. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т.П. М.: Наука, 1973. 639 с.

13. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. т.Ш. М.: Наука," 1975. 496 с.

14. Дуб Д.JI. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956. 605 с.

15. Баруча Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. 511 с.

16. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963. 859 с.

17. Ито К., Маккин Г.П. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир,-1968. 394 с.

18. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979. 424 с.

19. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев.: Наукова Думка, 1967. 364 с.

20. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров.М.: Наука, 1969. 367 с.

21. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига: Зинатне, 1989. 421 с.

22. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982. 296 с.

23. Пугачев B.C., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1985. 560 с.

24. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977. 488 с.

25. Risken Н. The Fokker-Planck Equation (Methods of solution and applications). Berlin-New-York: Springer-Verlag, 1989. 472 p.

26. Hanggi P., Thomas H. Stochastics processes: time evolution, symmetries and linear response //Phys. Rep., 1982. V.88. P.207-319.

27. Noise in Nonlinear Dynamical Systems: Theory, Experiment, Simulation /eds. Moss F., McClintock P.V.E./ (3 Volumes). Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989.

28. Gardiner C.W. Handbook of Stochastic Methods. Berlin-Heidelberg: Springer, 1985.

29. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 1990. 376 с.

30. Хорстхемке В., Лефевер Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987. 400 с.

31. Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic Resonance //Rev. Mod. Phys., 1998. V.70. P. 223

32. Хакен Г. Синергетика. M.: Мир, 1980. 404 с.

33. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990. 342 с.

34. Николис Дж. Динамика иерархических систем. М.: Мир, 1989. 486 с.

35. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т. 1. М.: Мир, 1978. 405 с.

36. Хир К. Статистическая механика, кинетическая теория и стохастические процессы. М.: Мир, 1976. 600 с.

37. Рёпке Г. Неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1990. 320 с.

38. Fermi Е. Of the origin of the cosmic radiation //Phys. Rev., 1949. v.75. P. 11691174. Имеется перевод //Э. Ферми. Научные труды. М.: Наука, 1972. С. 439-450.

39. Цытович В.Н. Теория турбулентной плазмы М.: Атомиздат, 1971. 423 с.

40. Топтыгин И.Н. Космические лучи в межпланетных магнитных полях. М.: Наука, 1987. 304 с.

41. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1976. 238 с.

42. Мазманишвили А.С. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач. Киев: Наукова Думка, 1987. 224 с.

43. Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория электромагнитных процессов. М.: Наука, 1980. 373 с.

44. Мотт Н., Дэвис Э. Электронные процессы в некристаллических веществах. Т. 1. М.: Мир, 1982.

45. Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем. М.: Наука, 1982. 358 с.

46. Ахманов С.А., Дъяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981. 640 с.

47. Coffey W.T., Evans M. W., Grigolini P. Molecular Diffusion and Spectra. New-York: Wiley, 1984.

48. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1967. 548 с.

49. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980. 336 с.

50. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980. 304 с.

51. Гурбатов С.Н., Малахов А.Н., Саичев А.И. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. М.: Наука, 1990. 215 с.

52. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Часть I. М.: Наука, 1965. 639 с.

53. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Часть II. М.: Наука,1967. 720 с.

54. Вайнштейн С.И. Магнитные поля в космосе. М.: Наука, 1983. 237 с.

55. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

56. Заславский Г.М. Статистическая необратимость в нелинейных системах. М.: Наука, 1970. 143 с.

57. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991. 240 с.

58. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1974. 271 с.

59. Chirikov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems //Phys. Rep., 1979. V.52. P. 265.

60. Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528 с.

61. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М:. Наука, 1990. 312 с.

62. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем //УФН, 1983. Т.141. В.2. С. 343-374.

63. Адомиан Дне. Стохастические ситемы. М.: Мир, 1987. 376 с.

64. Furutsu К. On the statistical theory of electromagnetic waves in a fluctuating medium //J.Res. NBS, 1963, V. I) 667. N 3. P.303.

65. Новиков E.A. Функционалы и метод случайных сил в теории турбулентности //ЖЭТФ, 1964. Т.47. С. 1919.

66. Hanggi. P. Correlation Functions and Master Equations of Generalized Non-Mar-kovian Langevin Equations //Z. Physik, 1978. V. B31. P. 407.

67. Hanggi P. The Functional Derivative and its Use in the Description of Noisy Dynamical Systems, //in Stochastic Processes Applied to Physics. Eds. Pesquera L. and Rodriguez M. A., World Scientific, (U.S.-distr. Heyden, Philadelphia), 1985. P. 69-95.

68. Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. М.: Наука, 1983. 420 с.

69. Bourret R. Statistically perturbed fields, with applications to wave propargation in random media //Nuovo Cimento, 1962. V.26. N1. P. 1-31.

70. Bourret R. Stochastics systems equivalent to second guantized systems: examples //Canad. J. Phys., 1966. V. 44. N 10. P. 2519-2524.

71. Van Kampen N.G. A cumulant expansion for stochastic linear differential equations. I,II // Physica, 1974. V.74. N 2. P. 215-247.

72. Terwiell R.H. Projection operator method applied to stochastic differential equations //Physica, 1974. V. 74. N 2. P. 248-265.

73. Adomian G. Random operator equations in mathematical physics I. //J.Math. Phys., 1970. V.ll. N 3. P. 1069-1084.

74. Малахов A.H., Музычук О.В. О высших приближениях уравнения Дайсона для среднего поля //Изв. вузов. Радиофизика, 1976. Т.19. N2. С. 202-213.

75. Налбандян О.Г., Татарский В.И. Сопоставление диаграмных и аналитических методов приближенного решения линейных стохастических уравнений //Изв. вузов. Радиофизика, 1977. Т.20. N.4. С. 549-561.

76. Малахов А.Н. Кинетические уравнения кумулянтов произвольного марковского процесса //Изв. вузов. Радиофизика, 1976. Т.19. N1. С. 71-81.

77. Kraichnan R.H. Dynamics of nonlineare stochastic systems //.J.Math. Phys., 1961. V.2. P. 124-148.

78. Luciani J.F., Verga A.D. Functional Integral Approach to Bistability in the Presence of Correlated Noise //Europhysics Letters, 1987. V.4. N3. P. 255-261.

79. Jang P., Hanggi P. Dynamical Systems: A Unified Colored-Noise Approximation //Phys. Rev. A., 1987. V.35. N10. P. 4464-4466.

80. Luczka J. An Approximate Description of Stochastic Processes With Gaussian Coloured Noise //Acta Phys. Polonica, 1990. V.A77. N.4. P.427-442.

81. Fox R.F. Uniform convergence to an effective Fokker-PIanck equation for weakiy colored noise //Phys. Rev. A., 1986. V.34. P. 4525-4527.

82. Doering C.R., Hagan P.S. Bistability Driven by Weakly Colored Gaussian Noise: Mean First-Passage Times //Phys. Rev. Lett., 1987. V.59. P. 2129-2133.

83. Петров В.Э., Решетняк С.А., Третьков Г.Н., Шелепин Л.А. Многомерные уравнения Фоккера-Планка и их решение //Труды ФИАН, 1980. Т. 124. С. 75-97.

84. Питовранов С.Е., Четвериков В.М. Поправки к диффузионному приближению в стохастических дифференциальных уравнениях //ТМФ, 1978. Т.35. N2. С. 211-222.

85. Grabert Н., Scharamm P., Ingold G.L. Quantum Brownian motion: The Functional integral approach //Phys. Rep., 1988. V.168. P. 115-207.

86. Grigolini P. The projection approach to the Fokker-PIanck equation: Application to phenomenological stochastic equations with colored noises /см. 27. V.I. P. 161-190.

87. Frisch U., Bourret R. Parastochastics //J.Math. Phys., 1970. V.ll. N 2. P. 364-390.

88. Bourret R., Frisch U., Pouguet A. Browbian motion of harmonic oscillator with stochastic frequency //Physica, 1973. V.65. N2. P. 303-320.

89. Brissaud A., Frisch U. Solving linear stochastic differential equations //J.Math.Phys., 1974. V.15. P. 524-534.

90. Frisch U., Brissaud A. Theory of Stark broading 1. Soluble scalar model as atest // J.Quantum Spectroscop. Radiat. Transfer, 1971. V.ll. N12. P. 1753-1766.

91. Brissaud A., Frisch U. Theory of Stark broading 11. Exact line profile with model microfield //J. Quant. Spectroscop. Radiat. Transfer, 1971. V.ll. N12. P. 1767-1784.

92. Auverque M., Pouquet A. Two-state atomic system with stochastic coupling //Physica, 1973. V.66. N2. P. 409-415.

93. Музычук О.В. К построению точного решения уравнения Дайсона для средней функции Грина //ТМФ, 1976. Т.28. N3. С. 371-378.

94. Shapiro V.E., Loginov V.M. „Formulae of differentiation" and their use for solving stochastic equations //Physica A, 1978. V.91. P. 563-574.

95. Логинов B.M., Шапиро B.E. „Формулы дифференцирования" для расцепления корреляций в динамических системах с флуктуирующими параметрами. II //Препринт ИФСО-128Ф /Институт физики им.Л. В. Киренского СО АН СССР, Красноярск/, 1980. с. 44.

96. Шапиро В.Е., Логинов В.М. Динамические системы при случайных воздействиях. Новосибирск: Наука, 1983. 160 с.

97. Loginov V.M. Simple mathematical tool for statistical description of dynamical systems under random actions.I //Acta Physica Polonica, 1996. V.27. N3. P. 693-735.

98. Loginov V.M. Formulas of differentiation of statistical averages containing functions of advanced and retarded functionals of Markov processes //Advanced in Modelling & Analysis. A., 1995 V.30. N2, P. 51-63.

99. Loginov V.M. On the calculation of functionals from Wiener processes //Phys. Lett. A., 1985. N8. P. 374-376.

100. Финкелыдтейн В.Ю. К поведению квантовых систем в немонохроматическом внешнем поле //ЖЭТФ, 1979. Т.76. В.1. С. 91-106.

101. Вайнштейн С.И. К теории турбулентного динамо //Изв вузов. Радиофизика, 1978. Т.21. N12. С. 1803-1811.

102. Овчинников А.А., Эрихман Н.С. Вычисление подвижности частиц при высоких температурах //ЖЭТФ, 1978. Т.75. В.6. С. 2220-2227.

103. Madhukar A., Post W. Exact solution for the diffusion of a particle in a medium with site diagonal and off-diagonal dynamic disorder //Phys. Rev. Lett., 1977. V.39. N22. P. 1424-1427.

104. Reineker P., Kassner K. Non-markovian diffusion of a quantum particle in a fluctuating medium //J. de Physique, 1985. V.C7. N10. P. 35-39.

105. Jung P., Talkner P. Suppression of higher harmonics at noise induced resonances //Phys. Rev. E., 1995. V.51. N3. P. 2640-2643.

106. Bartussek R., Jung P., Hanggi P. Stochastic Resonance in Optical Bistable Systems. //AIP Conf. Proc. Vol. 285: Noise in Physical Systems and 1/f Fluctuations. P.H. Handel and A.L. Chung, eds. /American Institute of Physics. New York, 1993/ P. 661664.

107. Frankowicz M., Gaveau В., Moreau M. Random motion in a one-dimensional fluctuating medium //Phys. Lett., 1991. V.152. N5,6. P. 262-265.

108. Dykman M.I., Luchinsky D.G., McClintock P.V.E., Stein N.D., Stocks N.G. Stochastic resonance for periodically modulated noise intensity //Phys. Rev., 1992. V.46. N4. P. R1713-R1716.

109. Dykman M.I., Luchinsky D.G., Mannella R., McClintock P.V.E., Stein N.D., Stocks N.G. Stochastic resonance: linear responce and giant nonlinearity //J. of Statistical Physics, 1993. V.70. N1,2. P. 463-478.

110. Stocks N.G., Stein N.D., McClintock P.V.E. Stochastic resonance in monostable systems //J. Phys. A., 1993. V.26. P. L385-L390.

111. Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic Resonance //Rev. Mod. Phys., 1998. V.70. P. 223.

112. Reimann P., Grifoni M., Hanggi P. Quantum Ratchets. // Phys. Rev. Lett., 1997. V.79. P. 10.

113. Luczka J., Czernik Т., Hanggi P. Symmetric white noise can induce directed current in ratchets //Phys. Rev. E., 1997. V.56. P. 3968.

114. Sturrock P.A. Stochastic acceleration //Phys. Rev., 1966. V.141. N1. P. 182-186.

115. Silevith M.B., Golden K.I. Dielectric formulation of test particle energy loss in a plasma //J.Stat.Phys., 1973. V.7. N1. P. 65-87.

116. Emmerich A., Gerlich G., Kegerman H. Particle motion in stochastic force fields //Physica, 1978. V.92A. P. 362-378.

117. Wadati M. Stochastic Korteweg-de Vries equation //J. Phys. Soc. Japan, 1983. V.52. N8. P. 2642-2648.

118. Маймистов А.И., Маныкин Э.А. Распространение солитонов в неоднородных и случайных средах специального класса //Изв. вузов. Физика, 1987. N4. С. 91-97.

119. Bass F.G., Kivshar Yu.A., Konotop V.V., Yu.A.Sinitsyn. Dynamics of solitons under random perturbations //Phys. Rep., 1988. V.157. N2. P. 63-181.

120. Pollak E., Talkner P. Theory of correlated hops in surface diffusion //Phys. Rev. Lett., 1993. V.70. N21. P. 3299-3302.

121. Masoliver J., Wang Кe-Gang Free inertial processes driven by Gaussian noise: Probability distributions, anomalous diffusion, and fractal behavior //Phys. Rev. E., 1995. V.51. N4. P. 2987-2995.

122. Wang K.G. Long-time-correlation effects and biased anomalous diffusion //Phys. Rev. A., 1992. V.45. N2. P. 833-837.

123. Laskin N.V. Non-Gaussian diffusion //J. Phys. A. Math. Gen., 1989. V.22. P. 1565-1576.

124. Gadomski A., Luczka J. An anomalous diffusion of growing clusters //Fractals, 1993. V.l. N4. P. 875-880.

125. Gitterman M. Brownian motion in fluctuating media //Phys. Rev. E., 1995. V.52. N1. P. 303-306.

126. Luczka J., Niemiec M., Piotrowski E., Exact solution of evolution equation for randomly interrupted diffusion //J. Math. Phys., 1993. V.34. N11. P. 5357-5366.

127. Faid K., Fox R.F. Stochastic theory of line shape and relaxation //Phys. Rev. A., 1986. V.34. N5. P. 4286-4302.

128. Faid K., Fox R.F. Stochastic theory of relaxation and approach to thermal equilibrium for phonon reservoirs //Phys. Rev. A., 1987. V.35. N6. P. 2684-2689.

129. Faid K., Fox R.F. The absorption line shape for a molecular system stochastically coupled to a phonon thermal reservoirs //J. Chem. Phys., 1988. V. 88. N8. P. 4579-4583.

130. Малахов A.H. Кумулянтный анализ негауссовских случайных процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978. 376 с.

131. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. 528 с.

132. Леонтович М.Л. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983. 416 с.

133. Toda М., Kubo R., Sato. Statistical Physics. I. Berlin-Heidelberg: Springer, 1995. 252 p.

134. Должанский Ф.Ф., Кляцкин В.И., Обухов A.M. и др. Нелинейные системы гидродинамического типа. М.: Наука, 1974. 142 с.

135. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука, 1972. 375 с.

136. Pawula R.F. Generalizations and extensions of the Fokker-Planck-Kolmogorov equations //IEEE Trans.on Inform. Theory, 1967. V.IT-13. N1. P. 33-41.

137. Королев Ф.А. Теоретическая оптика. M.: Высшая школа, 1966. 555 с.

138. Шапиро В.Е., Логинов В.М. Простой метод решения стохастических уравнений для некоторых распространенных моделей случайных процессов //Препринт

139. ИФСО-55Ф /Институт физики им. Л.В.Киренского СО АН СССР. Красноярск/, 1977. с.28.

140. Шапиро В.Е., Логинов В.М. Турбулентная конвекция в недиффузионном приближении //Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1977. Т.13. N7. С. 690-697.

141. Кляцкин В.И. Марковские процессы, корреляции функционалов и стохастические уравнения //Изв. вузов. Радиофизика, 1979. Т.22. N6. С. 716-727.

142. Казаков В.А. Кинетические уравнения для плотностей вероятности немарковских процессов. Эволюция моментных и кумулянтных функций //Изв. вузов. Радиофизика, 1987. Т.ЗО. N11. С. 1309-1320.

143. Казаков В. А. Кинетические коэффициенты в прямом уравнении для недиф-ференцируемых процессов с последействием //Изв. вузов. Радиофизика, 1986. Т.29. N11. С. 1344-1354.

144. Казаков В.А. Формулы дифференцирования статистических средних для немарковских процессов //Сб. рефератов депонированных рукописей. ВИМИ, 1990." в.7.

145. Музычук О.В. К статистическому описанию линейных систем с не дельта-коррелированными флуктуациями параметров //Изв. вузов. Радиофизика, 1979. Т.22. N10. С. 1246-1254.

146. Малахов А.Н., Музычук О.В. К вероятностных характеристиках динамических систем, подверженных воздействию не дельта-коррелированных случайных сил //Изв. вузов. Радиофизика, 1980. Т.23. N8. С. 968-981.

147. Логинов В.М. Формулы дифференцирования статистических средних, содержащих функции от запаздывающих и опережающих функционалов марковских процессов //Эргодическая теория марковских процессов. Всесоюзная школа-семинар. Тезисы докладов 1987. Кызыл. С.37.

148. Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. М.: Наука, 1986.

149. Касти Дж., Калаба Р. Методы погружения в прикладной математике. М.: Мир, 1976.

150. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. М.: Мир, 1974.

151. Goldberg М.А. Invariant inbedding and Riccati transformations //Appl. Math, and Com., 1975. V.l. N1. P. 1-24.

152. Саичев А.И. Статистический анализ линейных краевых стохастических задач способом сведения к задачам Коши //Изв. вузов. Радиофизика, 1980. Т.23. С.1161-1176.

153. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979. 400 с.

154. Ito К. On a formula conserning stochastic differentials // Nagoya Nath. J., 1951. V.3. N1. P. 55-65.

155. Стратонович P.JI. Условные марковские процессы. М.: МГУ, 1966. 319 с.

156. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов. радио, 1989. 656 с.

157. Anderson P.W. A mathematical model for the narrowing of spectral lines by. exchange or motions //.J. Phys. Soc. Japan, 1954. V.9. N3. P. 316-339.

158. Kubo R. Note on the stochastic theory of resonance absorption. //J. Phys. Soc. Japan, 1954. V.9. N6. P. 935-944.

159. Бурштейн А.И. Кинетика релаксации, индуцированной внезапно изменяющимся потенциалом //ЖЭТФ, 1965. Т.49. В.4. С. 1362-1375.

160. Векштейн Г.Е., Заславский Г.М. К теории релаксации под действием внешнего случайного поля //ДАН СССР, 1967. Т. 172. N1. С. 69-72.

161. Бендерский М.М., Пастур Л.А. Вычисление среднего числа состояний в одной модельной задаче //ЖЭТФ, 1969. Т.57. В.1{7). С. 284-294.

162. Гредескул С.А., Пастур Л.А. Плотность состояний в одномерной неупорядоченной системе в двухзонном приближении //ЖЭТФ, 1978. Т.75. В.4(10). С. 14441457.

163. Петров Э.Г., Тесленко В.И. Кинетические уравнения для квантовой динамической системы, взаимодействующей с термостатом и случайным полем //Теоретическая и математическая физика, 1990. Т.84. N3. С. 446-458.

164. Бакшеев Н.В., Логинов В.М., Мушаилов Э.С., Цифринович В.И. Ядерная поперечная релаксация в магнетиках, индуцированная низкочастотными полями //ЖЭТФ, 1983. Т.85. В.3(9). С. 962-966.

165. Kassner К., Reineker P. Influence of coloured noise on the diffusion of a quantum particle. Part II: Diffusion constant for dichotomic markovian fluctuations //Z.Physik B, 1985. V.60. P. 87-100.

166. Fulinski A. Non-markovian dichotomic noises //Acta Physica Polonica, 1995. V.26. N6. P. 1131-1157.

167. Maruyama K., Shibata F. From two-state jump to Gaussian stochastic processes //Physica A, 1988. V.149. P. 447-471.

168. Balakrishnan В., Van den Broeck C., Hanggi P. First Passage Times of Non Markovian Processes: The Case of a Reflecting Boundary //Phys. Rev. A., 1988. V. 38. p. 4213.

169. Кузовлев Ю.Н., Бочков Г.Н. Операторные методы анализа стохастических негауссовских процессов и систем //Изв. вузов. Радиофизика, 1977. Т.20. N10. С. 1505-1515.

170. Arnoldus H.F., Nienhuis G. Initial correlations of multiplicative process, driven by random jumps //J. Phys. A: Math. Gen., 1986. V.19. P. 1629-1643.

171. Luczka J., Niemiec M., Piotrowski E. Randomly interrupted diffusion //Phys. Lett. A., 1992. V.167. P. 475-478.

172. Боголюбов H.H., Митропольс.кий Ю.А. Асимпотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с.

173. Митропольский Ю.А., Моисеенков Б.И. Асимптотическое решение уравнений в частных производных. Киев: Вища школа, 1976. 589 с.

174. Филатов А.Н. Асимпотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Ташкент, Фан. 1974. 216 с.

175. Фейнман Р., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968.

176. Хелстром К.В. Марковские процессы и их применение, //в кн. Теория связи / под ред. Б.Р.Левина. М.: Связь, 1972.

177. Мальцев A.A., Саичев А.И. Точное вычисление статистических характеристик одноканального автокомпенсатора помех с коррелирующей обратной связью //Радиотехника и электроника, 1978. Т.23. N12. С. 2543-2552.

178. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: На-укова Думка, 1971. 440 с.

179. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости. М.: Наука, 1986. 192 с.

180. Филатов А.Н. Усреднение в системах дифференциальных, интегро-диффе-ренциальных и интегральных уравнений. Ташкент: Фан, 1967. 107 с.

181. Митропольский Ю.А., Филатов А.Н. Усреднение интегро-дифференциальных и дифференциальных уравнений //Украинский математический журнал, 1972. Т. 24. N1.

182. Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 151 с.

183. Логинов В.М. Усреднение в системах интегро-дифференциальных уравнений специального типа //Дифференциальные уравнения, 1978. Т.14. N10. С. 1875-1880.

184. Логинов В.М. Об одном способе усреднения интегро-дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения, 1980. Т.16. N9. С. 1716-1718.

185. Логинов В.М. Усреднение некоторых систем интегро-дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, с многоточечным линейнымкраевым условием //Дифференциальные уравнения, 1981. Т.17. N4. С. 689-696.

186. Логинов В.М. О теоремах сравнения решений интегро-дифференциальных уравнений с многоточечными краевыми условиями //Украинский математический журнал. 1980. т.32. N3. с.394-398.

187. Логинов В.М. Способы укорочения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в стандартной форме с многоточечными краевыми условиями //Труды 9. Международной конференции по нелинейным колебаниям, т.1. Киев: Наукова Думка, 1984. С. 227-230.

188. Вахабов Г. К вопросу обоснования метода усреднения интегродифференци-альных уравнений //Украинский математический журнал, 1969. Т.21. N6. С. 810-812.

189. Логинов В.М., Шапиро В.Е., Особенности поведения осциллятора при периодическом параметрическом воздействии с хаотической модуляцией //Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1980. N5. С. 42-50.

190. Shapiro V.E., Loginov V.M. The effective potential in a rapidly oscillating irregular field //Phys. letters, 1979. V.71A. N5,6. P. 387-389.

191. Шарова Л.В. Усреднение одного специального класса интегро-дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения, 1974. Т.10. N8. С. 1520-1524.

192. Эшматов X. Об усреднении в некоторых системах интегро-дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения, 1974. Т.10. N6. С. 1124-1129.

193. Филатов А.Н., Хекимов К. О некоторых алгоритмах построения высших приближений для систем интегро-дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения, 1974. Т.10, N6. С. 1139-1141.

194. Банах В.А., Миронов В.Л. Распространение оптических волн в случайно-неоднородной атмосфере. Новосибирск: Наука, 1979. 322 с.

195. Миронов В. Л. Распространение лазерного пучка в турбулентной атмосфере. Новосибирск: Наука, 1981. 248 с.

196. Дынкин Е.Б. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1970. 392 с.

197. Тихонов В.И. Выбросы случайных процессов. М.: Наука, 1970. 392 с.

198. Тихонов В.И., Хименко В.И. Выбросы траекторий случайных процессов. М.: Наука, 1987. 304 с.

199. Константинов А.Ф., Логинов В.М. Точно решаемые модели нелинейных динамических систем, возмущаемых цветными шумами Орнштейна-Уленбека и Рэлея //Теоретическая и математическая физика, 1993. Т.97. N3. С. 396-416.

200. Hánggi P., Talkner P., Borkovec М. Reaction-rate theory: fifty years after Kramers. //Rev. Mod. Phys., 1990. V.62. N2. P.251-342.

201. Mikhailov A.S. Selected topics in fluctuational kinetics of reactions //Phys. Rep., 1989. V.184. N5,6. P.307-375.

202. Banai N., Brenig L. A non-linear stochastics differential equation: Exact critical statics and dynamics //Physica A, 1983. V.119. N3. P. 512-526.

203. Suzuki M. Universality and scaling law of long-time tails in multiplicative stochastic processes //Progr. Theor. Phys., 1982. V.68. N2. P. 1917-1934.

204. Suzuki M., Kaneko K., Takesue S. Critical slown down in stochastics processes.1.//Progr. Theor. Phys., 1982. V.67. N6. P. 1756-1775.

205. Suzuki M., Takesue S., Sasagawa F. Critical slown down in stochastics processes.1. //Progr. Theor. Phys., 1982. V.68. N1. P. 98-115.

206. Ishii K., Kitahara K. Relaxation of systems under the effect of a colored noise //Progr. Theor. Phys., 1982. V.68. N2. P. 665-668.

207. Luczka J. An approximate master equation for systems driven by linear Qrnstein-Uhlenbeck noise //Physica A, 1988. V.A153. P. 619-635.

208. Салдатов А.В. Кинетическое уравнение в теории неравновесных фазовых переходов, индуцированных „окрашенными" мультпликативными шумами //Теоретическая и математическая физика, 1990. Т.85. N2. С. 288-301.

209. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука. 1971.

210. Hóngler М.О. Exact time dependent probability density for a nonlinear non-markovian stochastic process //Helv. Phys. Acta, 1979. V.52. N2. P. 280-287.

211. Brenig L., Banai N. Non-linear dynamics of systems coupled with external noise. Some exact results //Physica D, 1982. V.5. N2-3. P. 208-226.

212. Graham R., Schenzle A. Carleman imbedding of multiplicative stochastic process //Phys. Rev. A, 1982. V.25. N3. P. 1731-1754.

213. Graham R. Hopf bifurcation with fluctuating control parameter //Phys. Rev. A; 1982. V.25. N6. P. 3234-3258.

214. Донгак М.Д., Логинов В.М. Нестационарные распределения связанных осцилляторов Дуффинга //Математическая физика и нелинейная механика, 1992.

215. B.17(51). Киев: Наукова Думка. С. 38-43.

216. Мигдлин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука. 1978. 391 с.

217. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний. М.: Наука. 1986. 432 с.

218. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа. 1979. 400 с.

219. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука. 1981. 352 с.

220. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. Новый подход к статистической теории открытых систем. М.: Наука. 1990. 317 с.

221. Митропольский Ю.А., Коломиец В.Г. Применение асимптотических методов в стохастических системах //Приближенные методы исследования нелинейных систем /Ин-т математики АН УССР. Киев/, 1976. С. 102-147.

222. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах //Изв. вузов. Радиофизика, 1986. Т.29. N9. С.1050-1060.

223. Коломиец В.Г. Случайные колебания в нелинейных системах с двумя степенями свободы //Приближенные методы исследования нелинейных систем, Киев: Ин-т математики АН УССР, 1976. С. 238-243.

224. Кьеу Тхе Дык. Двухчастотные колебания в нелинейных системах с двумя степенями свободы под действием случайных воздействий //Математическая физика, 1983. N34. Киев: Наукова Думка. С. 66-70.

225. Хасьминский Р.З. О принципе усреднения для параболических и эллиптических дифференциальных уравнений и марковских процессов с малой диффузией. //Теория вероятностей и ее применения, 1963. Т.8. N1. С. 3-25.

226. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев С.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука. 1983. 750 с.

227. Логинов В.М., Григорьева Т.В., Ондар Х.О. Флуктуирующее электрическое поле как демпфер антидемпфер для поверхностных волн проводящей жидкости //Труды Кобдосского педагогического института, Улан-Батор: 1987. С.326-330.

228. Loginov V.M. Effective frequency and damping for surface waves in a conductingfluid under the influence of a stochastic electric. iield //Physica Scripta, 1992. V.46. P. 535-537.

229. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука. 1982. 623 с.

230. Бриксман В.А., Шайдуров Г.Ф. Параметрическая неустойчивость поверхности жидкости в переменном электрическом поле //ДАН СССР, 1968. Т.180. N6. С. 1315-1318.

231. Wolf G.N. Dynamic stabilization of the interchange instability of a liguid-gas interface //Phys. Rev. Letters, 1970. V.24. N9. P. 444-446.

232. Ковнацкий A.M., Матюшичев Ю.Ф., Иоффе И.В. Параметрическое возбуждение колебаний поверхности заряженной жидкости //Журнал технической физики, 1978. Т.48. В.З. С. 633-634.

233. Бучин В.А., А.Г.Цыпкин А.Г. О неустойчивости Рэлея-Тейлора поляризующихся и намагничивающихся жидкостей в переменном электрическом поле //ДАН СССР, 1974. Т.219. N5. С. 1085-1088.

234. Осовед С.М. Динамические методы удержания и стабилизации горячей плазмы //Успехи физических наук, 1974. Т. 112. В.4. С. 637-684.

235. Логинов В.М. Может ли случайная сила оказывать стабилизирующее воздействие? //Письма в журнал технической физики, 1991. Т.17. В.7. С. 74-78.

236. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1973. 208 с.

237. Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса //Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1951. Т.21. N5. С. 588-598.

238. Гапонов А.В., Миллер М.А. О потенциальных ямах для заряженных частиц в высокочастотном электромагнитном поле //Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1958. Т.34. В.1. С. 242-243.

239. Морозов А.И., Соловьев Л.С. //Вопросы теории плазмы. М.: Госатомиздат, 1963. С. 177.

240. Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций //ДАН СССР, 1956. Т.110. С. 345-347.

241. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980. 368 с.

242. Барц Б.И., Лапидус. И.И., Моисеев С.С. Роль шума в развитии неустойчивости нелинейной системы на примере осциллятора Дуффинга //ДАН СССР, 1989. Т.306. N6. С. 1366-1371.

243. Кореневский Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. Киев: Наукова Думка, 1989.

244. Лапидус И.И.Чхетиани О.Г. О стохастической стабилизации некоторых нелинейных колебательных систем //Препринт Пр-1669 /Инт. космич. иссследов. РАН. Москва/, 1990. с. 17.

245. Graham R., Schenzle A. Stabilization by multiplicative noise //Phys. Rev. A, 1982. V.26. N3. P. 1676-1685.

246. Loginov V.M. Modeling of beta-Pearson process by linear stochastic equation //Modelling, Measurement к Control. A, 1995. V.65. N3. P. 1-7.

247. Логинов B.M., Лешаков О.Э. Диффузия в нестационарной стохастической среде //Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98). Новосибирск, 1998 /Ин-т математики СО РАН. Часть IV. Тезисы докладов. С. 65-66.

248. Верже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе: О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. 367 с.

249. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неус.тойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985. 419 с.

250. Ma Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир. 1980. 298 с.

251. Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982. 381 с.

252. Ласкин Н.В. Диффузия в случайно-слоистых структурах //Украинский физический журнал, 1988. Т.ЗЗ. N9. С. 1429-1434.

253. Papanicolalaou G.C. Wave propagation in one-dimensional random medium //SIAM J. Appl. Math., 1971. V.21. N1. P. 13-18.

254. Герценштейн M.E., Васильев B.B. Волноводы со случайными неоднороднос-тями и броуновское движение в плоскости Лобачевского //Теория вероятностей и ее применение, 1959. Т.4. С. 424.

255. Герценштейн М.Е., Васильев В.В. Диффузионное уравнение для статистически неоднородного волновода //Радиотехника и электроника, 1959. Т.4. С. 611.

256. Анцыгина Т.Н., Пастур Л.А., Слюсарев В.А. Локализация состояний и кинетические свойства одномерных неупорядоченных систем. //Физика низких температур, 1981.Т.7. N1. С. 5-44.

257. Логинов В.М., Шапиро В.Е. О броуновском движении частиц в статистически однородных полях с конечным временем спада корреляций //Журнал технической физики, 1981. Т.51. N1. С. 40-45.

258. Логинов В.М. Влияние низкочастотных мод флуктуирующего поля на динамику солитонов //Письма в журнал технической физики, 1990. Т.16. В.6. С. 53-56.

259. Логинов В.М. Влияние спектральных особенностей стохастической среды на динамику расплывания солитонов //I Межреспубликанский симпозиум „Оптика атмосферы и океана". Томск, 1994 /Ин-т оптики атмосферы СО РАН. Тезисы докладов. Часть 1.С. 195-196.

260. Логинов В.М. Солитоны и диагностика случайных шумов //Оптика атмосферы и океана, 1995. Т.8. N3. С. 484-491.

261. Sheng P., White В., Zhang Z., Papanicolaou G. //Scattering and localization of classical waves in random media. Singapurer World Scientific, 1989.

262. Гредескул С.А., Фрейлихер В.Д. Локализация и распространение волн в случайно-слоистых средах //Успехи физических наук, 1990. Т.160. В.2. С. 239-262.

263. Кляцкин В.И., Саичев А.И. Статистическая и динамическая локализация плоских волн в хаотических слоистых средах //Успехи физических наук, 1992. Т. 162. В.З. С. 161-194.

264. Логинов В.М., Лешаков О.Э. Коагуляция в системах со стохастическим источником и стоком //IV Симпозиум „Оптика атмосферы и океана". Томск, 1997 /Ин-т оптики атмосферы СО РАН. Тезисы докладов. С. 144-146.

265. Логинов В.М., Лешаков О.Э. Точно решаемая модель коагуляции в присутствии стохастического источника и стока //Препринт К2./ТувИКОПР СО РАН. Кызыл/, 1998. с. 24.

266. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. Л: Гидрометеоиздат, 1984. 284 с.

267. Лушников A.A., Пискунов В.Н. Коагуляция в присутствии внешних источников //ДАН СССР, 1976. Т.231. N6. С. 1403-1406.

268. Лушников A.A., Пискунов В.Н., Осидзе И.Г. Коагуляция в системах с периодическим источником частиц //ДАН СССР, 1986. Т.287. N3. С. 679-682.

269. Лушников A.A., Пискунов В.Н. Асимптотические режимы коагуляции в системах с внешним источником частиц //Коллоидный журнал, 1997. Т.39. N6. С. 1076-1080.

270. Эрнст М. Фракталы в физике. //Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике. М.: Мир, 1998. С. 399-429.

271. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1969. 623 с.

272. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1976. 491 с.

273. Барьяхтар В.Г., Криворучко В.Н., Яблонский Д.А. Функции Грина в теории магнетизма. Киев: Наукова Думка, 1984. 336 с.

274. Атмосферная турбулентность и моделирование распространения примесей

275. Под ред. Ф.Т.М.Ньюстадта и Х.Ван Допа. Л.: Гидрометеоиздат, 1985. 351 с.

276. Вызова Н.Л.,Иванов В.Н., Гаргер Е.Л. Турбулентность в пограничном слое атмосферы. Л: Гидрометеоиздат. 1987. 263 с.

277. Логинов В.М., Калуш Ю.А. Математическое моделирование временных рядов, возникающих при мониторинге природных процессов //Оптика атмосферы и океана, 1996. Т.9. N5. С. 681-687.

278. Loginov V.M. New mathematical approach to modeling of temporary behaviour of ecosystems //Modelling, Measurement & Control. C, 1995. V.53. N3. P. 57-63.

279. Логинов B.M., Калуш Ю.А. Моделирование рядов долговременных наблюдений //Труды IV Международного симпозиума „Глобальный мониторинг и Убсу-нурская котловина". М.: Интеллект, 1996. С. 127-135.

280. Логинов В.М., Калуш Ю.А. Программный комплекс для анализа и прогнозирования временных рядов //III Межреспубликанский симпозиум „Оптика атмосферы и океана". Томск. 1996 /Ин-т Оптики атмосферы СО РАН. С. 215-216.

281. Логинов В.М., Калуш Ю.А. Новый метод моделирования временных рядов //Второй Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (INPRIM-96) Новосибирск, 1996 /Институт математики СО РАН. С. 10-11.

282. Логинов В.М., Калуш Ю.А. Система моделирования временных рядов //Оптика атмосферы и океана, 1998. Т.П. N9. С. 9-14.

283. Логинов В.М., Калуш Ю.А. А.с. 970532 Россия //Система математического моделирования временных рядов. 1997.

284. Виниченко Н.К., Пинус Н.З., Шметер С.М., Шур Г.Н. Турбулентность в свободной атмосфере.Л: Гидрометеоиздат, 1976. 287 с.

285. Кабанов М.В. Региональный мониторинг атмосферы. 4.1 Научно-методические основы. Томск: Изд-во СО РАН, 1997. 211 с.

286. Глобальное потепление: Доклад Гринпис /Под ред. Дж.Леггетта. М.: Изд-во МГУ, 1993. 272 с.

287. Karpe H.-J., Otten D., S.C. Trinidade (Eds.). Climate and Development. SpringerVerlag. Printing: Druckhaus Beltz. Hemsbach/Bergstrasse, 1990. 477 p.

288. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 240 с.

289. Смит Дж. М. Модели в экологии. М.: Мир, 1976. 184 с.

290. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т.2. Получисленные алгоритмы. М.: Мир, 1987. 728 с.

291. Loginov V.M. Exact splitting of additive mixture of deterministic signal and arbitrary Gaussian noise //Advances in Modelling h Analysis. B, 1994. V.30. N3.-P. 7-14.

292. Логинов В.М. Точное разделение аддитивной смеси детерминированного сигнала и гауссова шума с помощью солитонов уравнения Кортевега-де Вриза //Письма в журнал технической физики, 1993. Т.19. В.14. С. 1-4.

293. Логинов В.М. Влияние фликкер-шума на солитон уравнения Кортевега-де Вриза //Журнал технической физики, 1991. Т.61. В.4. С. 186-188.

294. Логинов В.М. Солитон уравнения Кортевега-де Вриза „Устройство" для разделения аддитивной смеси детерминированного сигнала и гауссова шума //Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1994. Т.105, В.4. С. 796-807.

295. Купер Дж., Макгиллен К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. М.: Мир, 1989. 376 с.

296. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь. 1976. 495 с.

297. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 584 с.

298. Букингем М. Шумы в электронных приборах и системах. М.: Мир. 1986. 398 с.

299. Колачевский H.H. Флуктуационные процессы в ферромагнитных материалах. М.: Наука, 1985. 181 с.

300. Тез. докл. V Всесоюзной конф. „Флуктуационные явления в физических системах". Вильнюс, 1988. 240 с.

301. Каган Ш.М. Низкочастотный токовый шум со спектром 1// в твердых телах //Успехи физических наук, 1985. Т. 145. N2. С. 285-328.

302. Weissman M.B. 1// noise and other slow, nonexponential kinetics in condensed matter //Rev. Mod. Phys., 1988. V.60. N2. P. 537-571.

303. Voss R.F. Linearity of 1// noise mechanisms //Phys. Rev. Lett., 1978. V. 40, N14. P. 913-916.

304. Лонгрен К. //Солитоны в действии /под ред. К.Лонгрена, Э.Скотта. М.: Мир, 1981. С. 138-162.

305. Гурбатов С.Н., Пелиновский А.Н., Саичев А.И. //Изв. вузов. Радиофизика, 1978. Т.21. С. 1485.

306. Wadati V., Akutsu Y. Stochastic Korteweg-de Vries equation with and without damping //J. Phys. Soc. Japan, 1984. V.53. N10. P. 3342-3350.

307. Tsuboi T. Formation process of solitons in a nonlinear transmission line: experimental study //Phys. Rev., 1990. V.41. N8. P. 4534-4537.

308. Ishiwata S., Watanabe S., Tanaca H. Experiment on solitary wave in a symmetric electric circuit //J. Phys. Soc. Japan, 1990. V.59. N4. P. 1163-1172.

309. Mollenauer L.F., Stolen R.H. Solitons in optical fibers //Laser Focus, 1982. V.18. N4. R 193-198.

310. Gasch A., Berning T., Jäger D. Genereation and parametric amplification of solitons and a nonlinear resonator with a Korteweg-de Vries medium //Phys. Rev. A, 1986. V.34. N5. P. 4528-4531.

311. Басс Ф.Г., Файнберг Я.Б., Шапиро В.Д. Квазилинейная теория слаботурбулентной плазмы с учетом корреляции электрических полей //ЖЭТФ, 1965. Т.49.1. B.1. С. 329-334.

312. Ахиезер А.И., Бакай A.C. Стохастический нагрев плазмы высокочастотными полями //Физика плазмы, 1976. Т.2. В.4. С. 654-657.

313. Буланов C.B., Догель В.А. Влияние потерь на ускорение частиц на фронте ударной волны //Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 1979. Т. 5. N10. С. 521-525.

314. Grappin R.J.P. Acceleration of test particles in one-dimensional random force fields //Physica A, 1977. V.88. P. 435-451.

315. Барышевский В.Г. Каналирование, излучение и реакции в кристаллах при высоких энергиях. Минск: Изд-во БГУ, 1982. 256 с.

316. Базылев В.А., Жеваго Н.К. Каналирование быстрых частиц и связанные с ним явления //Успехи физических наук, 1990. Т.160, В.12. С. 47-90.

317. Зубов В.И. Колебания и волны. Л: ЛГУ, 1989. 416 с.

318. Зубов В.И. Аналитическое представление движений, устойчивых по Пуассону //ДАН РАН, 1992. Т.322. N1. С. 28-32.

319. Логинов В.М. Статистика энергии заряженной частицы в слоисто-неоднородном электрическом поле //Письма в журнал технической физики, 1983. Т.9. N9.1. C. 552-554.

320. Логинов В.М., Тюпкин Г.М. Статистическое описание движения заряженной частицы в случайно-неоднородном электрическом поле //Препринт №94Ф. Красноярск. 1984/ Институт физики СО РАН. 16с.

321. Логинов В.М. Средняя скорость стохастически ускоренной заряженной, частицы //Письма в журнал технической физики, 1992. Т.18. N7. С. 63-66.

322. Логинов В.М. Тонкая структура динамики движения заряженной частицы, обусловленной случайно-неоднородным электрическим полем //Письма в журнал технической физики, 1987. Т.13. N4. С. 200-203.

323. Землетрясения в СССР в 1987 г. М.: Наука, 1990. 323 е.; Землетрясения в СССР в 1988 г. М.: Наука, 1991. 382 е.; Землетрясения в СССР в 1989 г. М.: Наука, 1993. 399 с.

324. Жамбаажамц В., Цэвэлсурен Б. Картирование климатических элементов котловины оз. Уве //Труды международного рабочего совещания „Комплексное изучение геоэкосистем аридной зоны Центральной Азии", Кызыл, 1994. С. 59-66.