Численный анализ и моделирование стохастических колебаний в нелинейных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Телегин, Сергей Сергеевич

• Телегин, Сергей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Телегин, Сергей Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Численный анализ спектрально-корреляционных характеристик марковских процессов в нелинейных системах первого порядка.

1.1. Уравнения Ланжевена. Стохастические дифференциальные уравнения.

1.2. Метод расчёта корреляционных функций марковских случайных процессов.

1.3. Численный анализ стационарного броуновского движения в одномерных потенциальных ямах.

1.4. Расчёт одномоментной плотности вероятности и статистических средних нестационарного броуновского движения.

1.4.1 Плотность вероятности одномерного броуновского движения.

1.4.2 Дисперсия и мощность одномерного броуновского движения.

1.4.3. Численное решение.

1.5. Корреляционные характеристика периодически нестационарного броуновского движения.

1.6. Примеры расчетов корреляционных функций периодически нестационарного броуновского движения.

1.6.1. Линейная стохастическая система.

1.6.2. Бистабильная стохастическая система.

1.7. Стохастический резонанс в дискретной мультистабильной системе.

Глава 2 Интегральные и дискретные модели стохастических колебаний.

2.1. Интегральная модель осциллятора Дюффинга.

2.1.1. Интегральное уравнение движения нелинейной колебательной системы с одной степенью свободы.

2.1.2. Алгоритм численного решения интегрального уравнения движения.

2.1.3. Моделирование стохастических колебаний в осцилляторе Дюффинга.

2.1.4. Усреднение в интегральном уравнении движения.

2.1.5. Режим установившихся детерминированных колебаний.

2.1.6. Перестраиваемый емкостью электрический вибратор как осциллятор Дюффинга.

2.2. Дискретный осциллятор Дюффинга: динамические и хаотические режимы колебаний

2.2.1. Уравнение движения ДОД.

2.2.2 Частотные характеристики динамического режима колебаний ДОД.

2.2.3. Численный эксперимент по исследованию частотных характеристик дискретного осциллятора Дюффинга.

2.2.4. Гармонический анализ установившихся автоколебаний в ДОД.

2.2.5. Хаотические колебания в дискретном осцилляторе Дюффинга.

2.3 Механизм хаотизации колебаний ОМД.

2.3.1. ОМД аналоговая и дискретная модели.

2.3.2. Резонансные характеристики ОМД.

Глава 3. Стохастические процессы в моделях математической биологии.

3.1 Модель системы хищник-жертва с запаздыванием.

3.1.1. Динамическая модель системы. Стационарные режимы и их устойчивость.

3.1.2. Стохастическая модель.

3.1.3. Результаты численного эксперимента.

3.2 Интегральная автоколебательная модель взаимодействий по схеме хищник-жертва.

3.2.1. Стохастическая модель.

3.2.2. Результаты моделирования и сравнение с данными наблюдений.

3.3 Дискретная модель взаимодействий по схеме хищник-жертва.

3.3.1. Уравнения движения системы в дискретном времени.

3.3.2. Стохастическая модель со случайным запаздыванием.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный анализ и моделирование стохастических колебаний в нелинейных системах»

Актуальность работы

Согласно принятой в естественных науках классификации к стохастическим системам относятся системы, переменные состояния которых испытывают флуктуации, обусловленные внешними случайными воздействиями и внутренними источниками шумов.

Один основных из подходов к анализу и моделированию процессов в стохастических системах - стохастических процессов состоит в использовании марковского приближения и аппарата кинетических уравнений, в частности, уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова для непрерывных марковских процессов [1—4].

Другой подход использует дифференциальные математические модели стохастических систем — уравнения Ланжевена и стохастические дифференциальные уравнения (СДУ). При этом модель в форме СДУ позволяет достаточно просто перейти к описанию стохастического процесса методом уравнения Фоккера-Планка (УФП). В то же время численные решения СДУ открывают широкие возможности для проведения численного эксперимента в стохастических системах.

Первой стохастической дифференциальной моделью в физике, по-видимому, была модель Ланжевена, описывающая движение броуновской частицы, взвешенной в жидкости [5]. Полученное П. Ланжевеном уравнение, носящее его имя, — первый пример стохастического дифференциального уравнения. Однако достаточно долгое время подход Ланжевена оставался эвристическим, и строгой математической базы для него не существовало. В радиофизике первой работой в этом направлении была статья Л.С. Понтрягина, А.А.Андронова, А.А. Витта [6], опубликованная в 1933 году и долгое время сохранявшая свое основополагающее значение.

Термин «стохастические дифференциальные уравнения», а также первые работы по их теории принадлежат советскому математику С.Н. Бернштейну [7]. Японский математик К. Ито предложил первый вариант строгой теории СДУ на базе введенного им определения стохастического интеграла ([8], цит. по [1]). В настоящее время стохастическое интегральное исчисление Ито лежит в основе большинства математических исследований по теории СДУ. При этом весьма авторитетными руководствами в этой области являются монографии советских ученых И.И. Гихмана и А.В. Скорохода [9, 10].

Еще одно определение стохастического интеграла, отличное от определения Ито, предложил P.JI. Стратонович [11, 12]. СДУ в форме Стратоновича, допускающие предельный переход от реальных физических шумов к идеализированному белому шуму, нашли широкое применение в прикладных исследованиях стохастических процессов [1].

В настоящее время стохастические модели широко используются в физике и химии [3, 4], в математической биологии и экологии [13], в экономике и финансовой математике [14, 15], в теории оптимального управления и фильтрации сигналов [16], в других отраслях естественных и технических наук.

Обзор текущего состояния проблемы численного интегрирования СДУ можно найти в статье [21].

Цель работы

Целью диссертации является разработка численных методов анализа спектрально-корреляционных характеристик периодически нестационарных случайных процессов в нелинейных системах и методов моделирования стохастических систем на основе интегральных уравнений движения.

Методы исследования

Работа выполнена на основе методов теории колебаний, численного моделирования, теории дискретных сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна диссертационной работы заключается: в методе расчета корреляционной функции стохастических колебаний, основанном на численном интегрировании систем дифференциальных уравнений, следующих из уравнения Фоккера - Планка; в интегральном методе моделирования стохастических колебаний в нелинейных резонансных системах;

- в обнаружении новых хаотических режимов вынужденных колебаний дискретного осциллятора Дюффинга и осциллирующего магнитного диполя;

- в математических моделях систем, элементы которых взаимодействуют по схеме «хищник - жертва»;

Обоснованность и достоверность результатов работы

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:

- использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа случайных процессов;

- использованием апробированных на практике методов анализа и синтеза дискретных систем;

- результатами тестирования разработанных математических методов и численных алгоритмов на задачах, имеющих точное аналитическое решение;

- соответствием приведенных результатов анализа и моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

- соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.

Практическая значимость работы

Предложенные в диссертационной работе методы численного анализа стохастических колебаний и моделирования стохастических систем могут найти применение при решении задач проектирования устройств обработки сигналов и прогнозирования процессов развития систем различной физической природы.

Положения, выносимые на защиту

1. Метод и результаты расчета корреляционных функций периодически нестационарных случайных процессов в нелинейных стохастических системах первого порядка.

2. Метод моделирования стохастических колебаний на основе интегральных уравнений движения нелинейных резонансных систем.

3. Результаты численного эксперимента с дискретным осциллятором Дюффинга, в том числе обнаруженные режимы хаотических колебаний.

4. Механизм перехода к динамическому хаосу в дискретных бистабильных системах.

5. Интегральные и дискретные модели вольтерровской системы.

База исследований

Работа была выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета.

Апробация результатов работы

Материалы диссертации докладывались на

- V, VI, VII и VIII Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2006 г.; г. Казань, 2007 г.; г. Самара, 2008 г.; г. СанктПетербург, 2009 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР-2007» (г. Томск, 2007 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 13 работ, в том числе 4 статьи из в журналах из перечня ВАК и 9 докладов и тезисов докладов на международных и всероссийских научно-технических конференциях.

Личный вклад

Диссертант принимал непосредственное и равноправное участие в разработке математических моделей и численных алгоритмов, проведении расчетов, обсуждении и физической интерпретации результатов моделирования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Телегин, Сергей Сергеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Предложен метод расчета корреляционных функций периодически нестационарных случайных процессов в нелинейных стохастических системах первого порядка

2. Для исследования явления стохастического резонанса синтезирована ДВ-система в форме нелинейного фильтра первого порядка.

3. Предложен метод моделирования стохастических колебаний на основе интегральных уравнений движения нелинейных резонансных систем с ДВ-фильтрацией источника шума.

4. Методом численного эксперимента с дискретным осциллятором Дюффинга установлено, что наряду с вынужденными динамическими колебаниями в системе реализуются режимы хаотических колебаний.

5. Выявлен механизм перехода к динамическому хаосу в дискретных бистабильных системах. Показано, что хаотизация системы является следствием ее скрытой стохастизации.

6. Разработаны интегральная и дискретная динамические и стохастические модели системы, элементы которой взаимодействуют по схеме «хищник — жертва».

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Телегин, Сергей Сергеевич, 2009 год

1. Тихонов, В.И. марковские процессы / В.И.Тихонов, М.А.Миронов. -М.: Сов. радио, 1977. 488 с.

2. Стратонович, P.JI. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961. - 560 с. / 2-е изд. - Стратонович, P.JI. Случайные процессы в динамических системах. - М.-Ижевск: НИЦ РХД, 2009. — 592 с. (готовится к печати).

3. Гардинер, К.М. Стохастические методы в естественных науках. / К.М. Гардинер М.: Мир, 1986. - 528 с.

4. Ван Кампен, Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. / Н.Г. Ван Кампен М.: Высш. Школа, 1990. - 376 с.

5. Ланжевен, П. О теории броуновского движения // Ланжевен П. Избранные труды. М.:Изд. АН СССР, 1960. - С. 338-341.

6. Понтрягин Л.С. О статистическом рассмотрении динамических систем / Л.С. Понтрягин, А.А. Андронов, А.А. Витт // Андронов А.А. Собрание трудов. -М.: Изд. АН СССР, 1956. С. 142-160.

7. Бернштейн, С.Н. Принципы теории стохастических дифференциальных уравнений // Труды физ.-мат. института им. В.А. Стеклова. 1933. -Т. 5-С. 95-124.

8. Ito, К. Stochastic integral // Proc. Imperial Acad. 1944. -V. 20. - P. 519524.

9. Гихман, И.И. Стохастические дифференциальные уравнения / И.И. Гихман, А.В. Скороход. Киев: Наукова думка, 1968. - 356 с.

10. Гихман, И.И. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения / И.И. Гихман, А.В. Скороход. Киев: Наукова думка, 1982. -612 с.

11. Стратонович, Р.Л. Новая форма записи стохастических интегралов и уравнений // Вестник МГУ (Математика, механика). -1964. — № 1. С. 3-11.

12. Стратонович, P.JI. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. / P.JI. Стратонович-М.: Изд. МГУ, 1966. -319 с.

13. Мюррей, Дж. Математическая биология. Т. 1. Введение / Дж. Мюррей М.-Ижевск: РХД, 2009. - 776 с.

14. Мантенья, Р.Н. Введение в эконофизику: Корреляции и сложность в финансах / Р.Н. Мантенья, Г.Ю. Стенли. М.: ЛИБРОКОМ, 2009. - 192 с.

15. Артемьев, С.С. Математическое и статистическое моделирование в финансах / С.С. Артемьев, М.А. Якунин. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2008.- 174 с.

16. Пугачев, B.C. Стохастические дифференциальные системы / B.C. Пугачев, И.Н. Синицын. М.: Наука, 1985. - 560 с.

17. Рытов, С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть I. Случайные процессы. / С.М. Рытов М.: Наука, 1976. - 496 с.

18. Малахов, А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. / А.Н. Малахов- М.: Наука, 1966. 660 с.

19. Милыптейн, Н.Г. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. / Н.Г. Милыптейн- Свердловск: Изд. Уральского университета, 1988. 225 с.

20. Кузнецов, Д.Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. 3-е изд. / Д.Ф. Кузнецов — СПб: Изд. Политех. Университета, 2009. - 800 с.

21. Лукшин, А.В. Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений / А.В. Лукшин, С.Н. Смирнов // Математическое моделирование. 1990. - Т. 2. - № 11. — С. 108-121.к главе 1

22. Wright, D. J. The digital simulation of stochastic differential equations / D. J. Wright // IEEE Trans Automatic Control, 1974. v.19. -Nl. - c. 75-76

23. Стратонович, P. JI. Условные марковские процессы и их применение в теории оптимального управления / P. JI. Стратонович — М.: из у.НГУ, 1966. -319 с.

24. Дуб, Дж. Вероятностные процессы / Дж. Дуб М.: ИЛ, 1956. - 606 с.

25. Ито, К. Диффузионные процессы и их траектории / К. Ито, Г. Маквин -М.: Мир, 1968.-394 с.

26. Ito, К. Stochastic integral / К. Ito // Proc. Imperial Academy 1944 - v20 -P.519-524

27. Крылов, И. В. Управляемые процессы диффузионного типа / И. В. Крылов М.: Наука, 1977 - с.

28. Гихман, И. И. Стохастические дифференциальные уравнения / И. И. Гихман, А. В. Сказоход Киев: хз, 1968. - 356 с.

29. Пугачёв, В. С. Стохастические дифференциальные системы / В. С. Пугачёв, И. Н. Синицин М.: Наука, 1985. - 560 с.

30. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии / Н. Г. Ван Кампен М.: Высшая школа, 1990. - 376 с.

31. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований / А. Н. Малахов М.: Сов. радио, 1978. - 376 с.

32. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. / В.И. Тихонов, М.А. Миронов М.: Сов. радио, 1977. - 488 с.

33. Стратанович Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. / Р.Л. Стратанович М.: Сов. радио, 1961. - 558 с.

34. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. / А. Н. Малахов М.: Наука, 1968. - 660 с.

35. Зайцев В.В. Об одном способе вычисления корреляционных характеристик марковских случайных процессов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2006. — Т. 9. — № 4. — С. 73-75.

36. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. / Дж. Деммель — М.: Мир, 2001.-430 с.

37. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер JI. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // УФН. 1999. - Т. 169. - Вып. 1. - С. 7-38.

38. Музычук О.В. К анализу спектрально-корреляционных характеристик одномерного броуновского движения // Известия вузов. Радиофизика. 2003. -Т. 46. -№2.-С. 167-174.

39. Дубков А.А., Малахов А.Н., Саичев А.И. Время корреляции и структура функции корреляции нелинейного равновесного броуновского движения в потенциальных ямах произвольной формы // Известия вузов. Радиофизика. 2000. - Т. 43. - №4. - С.369-382.

40. Стратанович P.J1. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. / P.J1. Стратанович М.: Сов. радио, 1961. — 558 с.

41. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. / К.В. Гардинер М.: Мир, 1986. -528 с.

42. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. / Дж. Голуб М.: Мир, 1999.-548 с.

43. Стратанович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике./Р.Л. Стратанович-М.: Сов. радио, 1961. — 558 с.

44. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. / А. Н. Малахов М.: Наука, 1968. - 660 с.

45. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть I. Случайные процессы. / С.М. Рытов М.: Наука, 1976. — 496 с.

46. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии / Н.Г. Ван Кампен М.: Высшая школа, 1990. - 376 с.

47. Маланин В.В., Полосков И.Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах. / В.В. Маланин, И. Е. Полосков М.Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. — 296 с.

48. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. / К.В. Гардинер-М.: Мир, 1986. -528 с.

49. Зайцев В.В. Об одном способе вычисления корреляционных характеристик марковских случайных процессов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2006. — Т. 9. — № 4. - С. 73-75.

50. Дубков А.А., Малахов А.Н., Саичев А.И. Время корреляции и структура функции корреляции нелинейного равновесного броуновского движения в потенциальных ямах произвольной формы // Известия вузов. Радиофизика. 2000. - Т. 43. - №4. - С.369-382.

51. Зайцев В.В., Телегин С.С. Численный анализ корреляционных характеристик броуновского движения в одномерных потенциальных ямах // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2007. Т. 10. — № 1. - С. 60-65.

52. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер JI. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка / B.C. Анищенко, А.Б. Нейман, Ф. Мосс, JI. Шиманский-Гайер // УФН. 1999. - Т. 169. - Вып. 1. - С. 7-38.

53. Зайцев, В.В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля / В.В. Зайцев, С.В. Давыденко, О.В. Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. - Т. 3. - N 2. - С. 64-67.к главе 2

54. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин В.В. Интегральные модели автоколебательных систем // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2006. — Т. 9. — N 1. — С. 53-57.

55. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. / В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Пустель, В.Н. Парыгин М.: Наука, 1978. - 392 с.

56. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. /А.Н. Малахов М.: Наука, 1968. - 660 с.

57. Крылов В. И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Том 2. / В.И. Крылов, В.В. Бобков М.: Наука, 1977. - 400 с.

58. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. 2-е изд. / А. Оппенгейм, Р. Шафер - М.: Техносфера, 2006. — 856 с.

59. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. / А. Н. Малахов -М.: Наука, 1978. —376 с.

60. Братчиков, А.Н. СВЧ-устройства, излучатели и ФАР на основе новых метаматериалов и структур / А.Н. Братчиков // Антенны. -2009. Вып. 1. — С. 3-72.

61. Зайцев, В.В. Динамическая модель активного электрического вибратора / В.В. Зайцев, А.В. Карлов // Вестник СамГУ. -2008. Вып. 8/2. -С. 230-240.

62. Зайцев, В.В. Модовая модель автогенератора на основе электрического вибратора /В.В. Зайцев, А.В. Карлов // Тезисы докладов VIII МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов». — СПб, 2009. С. 156.

63. Хаяси, Т. Нелинейные колебания в физических системах / Т. Хаяси. — М.: Мир, 1968.-432 с.

64. Мигулин В.В. Основы теории колебаний / В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мустель, В.Н. Парыгин. М.: Наука, 1978. - 392 с.

65. Капранов М.В. Теория колебаний в радиотехнике / М.В. Капранов, В.Н. Кулешов, Г.Н. Уткин. М.: Наука, 1984. - 320 с.

66. Зайцев В.В., Телегин С.С. Стохастический резонанс в дискретной мультистабильной системе // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докл. VI Международной НТК. Казань: КГТУ, 2007. -С. 383-384.

67. Зайцев В.В., Телегин С.С. Дискретная модель автоколебаний в системе хищник — жертва // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. -2009. № 6.

68. Неймарк Ю.И. Стохастические и хаотические колебания / Ю.И. Неймарк, П.С. Ланда. М.: Наука, 1987.

69. Вайнштейн Л.А. Разделение частот в теории колебаний и волн / Л.А. Вайнштейн, Д.Е. Вакман. М.: Наука, 1983. - 288с.

70. Малахов А. Н. Флуктуации в автоколебательных системах / А.Н. Малахов. М.: Наука, 1968. - 660 с.

71. Зайцев О.В. моделирование дискретного осциллятора Ван дер Поля / О.В. Зайцев, Г.П. Яровой // Всероссийская конференция «Современные проблемы радиоэлектроники». Тезисы докладов. — Красноярск, 2001. С. 127.

72. Мун Ф. Хаотические колебания. / Ф. Мун М.: Мир, 1990. - 312 с.

73. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Телегин С.С. Стохастические колебания в бистабильном осцилляторе // V Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов. Самара, 2006. - С.320-321.

74. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1974. 504 с.к главе 3

75. Вольтера, В. Математическая теория борьбы за существование. / В. Вольтера М.: Наука, 1976. - 288 с.

76. Базыкин, А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. /

77. A. Д. Базыкин М.: Институт компьютерных исследований, 2003. — 368 с.

78. Мари, Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях: Пер. с англ. /Дж. Мари М.: Мир, 1983. - 400 с.

79. Рубаник, В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. /В.П. Рубаник-М.: Наука, 1969.-288 с.

80. Колесов, Ю.С. Математические модели экологии / Ю.С. Колесов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль: Изд. ЯрГУ, 1979.-С.З-40.

81. Бабский, В.Г. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия / В.Г. Бабский, А.Д. Мышкис // В кн.: Мари, Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. — М.: Мир, 1983. 400 с.

82. Музычук, О.В. Вероятностные характеристики системы хищник-жертва со случайно изменяющимися параметрами / О.В. Музучук // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1997. — Т.5. №2. — С.80-86.

83. Гардинер, К.В. Стохастические методы в естественных науках. К.В. Гардинер М.: Мир, 1986.

84. Эльсгольц, Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с тклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц, С.Б. Норкин — М.: Наука, 1971. 296 с.

85. Зайцев, В.В. Интегральные модели автоколебательных систем /

86. B.В. Зайцев, О.В. Зайцев, В.В. Никулин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2006. — Т. 9. — № 1. — С. 53-57.

87. Карлов, Н.В. Колебания, волны, структуры / Н.В.Карлов, Н.А. Кириченко М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 496 е.

88. Тутубалин, В.Н. Математическое моделирование в экологии /

89. B. Н. Тутубалин, Ю. М. Барабашева, А. А. Григорян, Г. Н. Девяткова, Е. Г. Угер. М.: Языки славянских культур, 1999. - 208 с.

90. Gilpin, М.Е. Do hares eat lynx? / M.E. Gilpin // American Naturalist 1973. -V. 107.-N957.-P. 727-730.

91. Ярощук, И.О. Статистическое моделирование как метод решения стохастических волновых задач / И.О. Ярощук // Актуальные проблемы статистической радиофизики (Малаховский сборник). -2005. Т. 4. - С. 2746.

92. Управление риском. Риск, устойчивое развитие, синергетика / Под ред. Г.Г. Малинецкого. — М.: Наука, 2000. 432 с.

93. Марчук, Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. / Г.И. Марчук— М.: Наука, 1991. — 304 с.

94. Зайцев, В.В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля / В.В. Зайцев, С.В. Давыденко, О.В. Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. - Т. 3. — N 2. - С. 64-67.

95. Зайцев, В.В. ДВ-осцилляторы, порождаемые томсоновскими автоколебательными системами / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, А.В. Карлов, А.В. Карлов (мл) //Физика волновых процессов и радиотехнические системы. -2008.-Т. 11. -№ 4. С. 98-103.

96. Оппенгейм, А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер. — 2-е изд. М.: Техносфера, 2006. - 856 с.

97. Зайцев, В.В. Интегральная модель автоколебаний в системе хищник-жертва / В.В. Зайцев, С.С. Телегин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2009. - Т. 12. -N 2.

98. Hall, C.A.S. An assessment of several of the historically most influential theoretical models used in ecology end of the data provided in their support /

99. C.A.S. Hall // Ecological modeling. 1988. - V. 43. - P. 5-31. ^